2011/12/7 第六章 期权的希腊值及波动率微笑 希腊字母度量期权的风险，用于期权头寸的风险管理 De期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动lta 率、无风险利率以及执行价格，其中易变的因素本章Gamma 有四个： 主要内容Theta 1.股价：Delta, Gamma 2.到期时间：Theta Vega、Rho 3.波动率：Vega 4.无风险利率：Rho 1 2 Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度对于看涨期权来说，目标资产价格上涨（下跌），量了期权价值对标的资产价格变化的敏感性 期权价格随之上涨（下跌），二者始终保持同向 变化。因此看涨期权的delta为正数。而看跌期权 ∋ 价格的变化与目标资产价格相反，因此，看跌期fωωS 权的delta为负数。 期权价格斜率=Δ 股票价格 3 4 Delta与资产价格的关系 期权的delta值介于-1到1之间。对于看涨期权， delta的变动范围为0到1。对于看跌期权，delta变动范围为-1到0。 根据B-S公式，可以得到ΔΔ S c∋∋NpN ( dd 1) (1)1 看涨期权DeS lta看跌期权Delta 5 6 1
2011/12/7 Delta与到期时间的关系 组合的Delta值 不仅期权有Delta，金融现货和远期以及期货都有相应的Delta。标的资产的Delta显然为1，股票远期合约的Delta也为1.期货由于每天结算，根据Delta 实值期货价格公式，其 ∋er (T t) 当证券组合中含有标的资产以及各种衍生品时，平价证券组合的Delta就是各种资产Delta值的总和 ∋ n虚值 1 ƒiΖi ∋i T Delta对冲 Delta对冲 定保义护：的建头立寸对的冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要Delta动态对冲——由于股价的不断变动，导致值。Delta等于零。也就是通过对冲进行保Delta也在变动，因此Delta中性只能维持一段时 Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零 间，对冲策略需要不断调整。 动态对冲：由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现对冲目标，例：前文的例子中，如果第三天末股价为110，具头寸的数量通常必须动态调整对冲工则Delta也会增大，如果假设Delta从增大到 例：股价100，期权价格10，，交易员卖出，如果仍需保持Delta中性，则投资者需要再2买入×2000=100只股易0份员看的涨头期寸权可（以多通过头购有权买购买2000份股票）。则交票 对冲。如×2000=1200只股票来下跌果股价上涨（下跌）1元，期权价格上涨（消。）元。相应在股票上的涨跌可以由期权来抵Delta为零，被称为Delta中性 9 10 Delta对冲模拟 动态对冲的练习 周股价 Delta 购买股票数量 购买费用累计现金流利息费用天数 S C Delta 应持有股购买股票购买贷款资产组合价值 数 （千元） （千元） （千元） 票数量 数量 费用 余额 0 52200 0 -6400 1 -5800 2 0596 19600 4 9700 投资者卖出1000份欧式看涨期权，每一份期5 8100 权交割一股股票，执行价为40美元，离到期6 -300 7 -6500日还有180天。当前股价美元，连续复 8 利10%，波动率20%。计算上表中的空白项 -3200 9 11300 假设股价49，期权执行价50，无风险利率5%，股价波动率20%每年，股票期望收益率13%。期初股票数量10万份，卖出10万份无息股票的欧式看涨期权 11 2
2011/12/7 2. Gamma 一个期权交易的Gamma是指交易组合Delta的变Delta只有在资产价格变化较小时才能比较精确化与标的资产价格变化的比率。即 地描述期权价格的变化，当资产价格变化较大， ∗ 则其误差会很大。 2Sωω 32例：S=45美元，K=40，r=，T=，σ=.利用一个无息股票的欧式看涨和看跌期权的GammB-S公式计算欧式看涨期权的价格及其Delta。此a 外，若假设资产价格上升美元，利用Delta计 ∗算变化后的期权价格，与B-S公式计算出的值比SN (d ςχ1T)0较。同样，比较计算资产价格上升1美元之后的两者计算结果的差。 13 Gamma的性质 欧式股票期权的 Γ与股价的关系 1.标的资产、到期期限以及执行价相同的看涨与Γ 看跌具有相同的Gamma 2.期权多头的Gamma大于零 3.期权平价时，具有最大的Gamma，而处于深度价外时Gamma趋于零 KST Γ与到期时间的关系 Gamma的性质 当Gamma很小时，Delta变化缓慢，对冲交易可以不必很频繁。但当Gamma的绝对值很大时，交易组合实值的Delta对标的资产价格变化很敏感，需要经常对资 平价产组合进行对冲。 虚值 如果ΔS为很小区间Δt内股价的变化，ΔΠ为相应交易组合价格变化。对于一个Delta中性的交易组合，可以证明 ∋ 3Τt 12 (∋S)2 ∗ ∋可见，Gamma度量了期权Delta对标的资产价格变化的敏感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性 T 18 3
2011/12/7 证券组合的Gamma值 Gamma中性与Gamma对冲 对于标的资产和远期以及期货来说，Gamma均与Delta对冲类似，Gamma对冲也是要使资产组为零。因此，当证券组合中含有标的资产以及其合不随标的资产价格的变化而变化，但由于资产他衍生资产时，组合的Gamma值就是各期权价格变化较大，Delta对冲不能准确实现对冲目Gamma值与其数量的乘积 的，而只能用Gamma对冲 由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都 ∗ n等于零，因此，不能用来改变投资组合的 1ƒiΖi ∗iGamma，只能用那些价格与标的资产价格呈非线性关系的工具，例如期权 Gamma中性与Gamma对冲 Gamma对冲的示例： 假设某个Delta中性的资产组合Gamma值为-5000，假设一个Delta中性的资产组合Gamma值为Γ，一该组合中资产的某个看涨期权多头的Delta和个期权的Gamma值为Γc，如果将x份期权加入到Gamma分别为和2。为保持组合Gamma和这个组合中，则组合的Gamma值为Delta中性，该组合应购买多少份期权，同时卖 x c ∗ 。所以，要想使该组合的Gamma值为零， 但是， ∗∗ ∗x出多少份资产？ cGamma为零，Delta又不为零了，因此还为保持Gamma中性而购入的看涨期权数量需要改变目标资产的数量 =5000/2=2500 购入2500份期权后，新组合的Delta值由0增 加到2500*=2000.因此，应出售2000份标的资产 3. Theta Theta用来测量时间变化对期权理论价值的影响，随着到期日的临近，期权的时间价值越来越小，即衍生品价格对时间变化的敏感度： 因此期权的Theta几乎总是负的，代表了期权价 Τ fω值随着时间的推移而逐渐衰减的程度 tω以欧式看涨期权为例，当S非常小时，Theta近似根据期权定价公式，看涨期权的为零；当S在K左右时，Theta的绝对值最大；当STheta为 很大时，Theta趋近于某一确定值 Τ S 思考：欧式看涨期权当S趋于无穷大时，Theta收0N2 (Tdχ1) ςrKe r T N(d2)敛于何值？ 看跌期权的Theta为 Τ S 0N 2 ( Tχd 1) ςrKe r T N(d2) 23 4
2011/12/7 看涨期权的Theta与标的资产价格的关系 Theta与时间的关系 T heta Theta K股票价格 期限 虚值 实值 平值 25 26 Δ、Γ、θ的关系 由于时间的一维性因此无法对Theta进行对冲。1.从B-S-M方程容易推导出三者的关系 但在交易中由于Theta值的大小反映了期权购买 者随时间推移而损失的价值，也就是期权卖方随 fω时间增加的价值，因此对投资者而言 ω r Sf ωω22ςS 22f ωtS S2rfω Theta是一个非常敏感的指标。即 Τr S ∋2ς2S 2 ∗rf 2.如果投资组合是Delta中性的，则 Τ2ς2意味着，如果2S ∗ rf Theta是较大的正数，Gamma就是很大的负数，因此，Theta可以作为Gamma的替代指标使用 如果是一个Delta和Gamma均为中性的组合，可以得到什么结果？如何解释这种结果？ 4. Vega 之前的分析都是假定波动率为常量。当定义波动Vega 率为一个变量时，也就说明衍生品价格会随着波动率的变化而变化 Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度量了期权价值对标的资产波动率的敏感性 K 股价 / 欧 式 ωω ς 3从图形可以看出，Vega总是大于零。说明波动率期权的V对期权的影响是正向的——波动率越高，期权价ega 格越高 /S T N (dχ1)5
2011/12/7 Vega中性与Vega对冲 Vega中性与Vega对冲 由于标的资产及其远期、期货合约的Vega都等于令 零，因此，不能用来改变投资组合的 和 分别代表原证券组合的Gamma和VegaVega 值，0∗ 0/ 和 代表期权1和期权2的Gamma值， 和 要改变投资组合的Vega ，必须使用那些Vega不 1∗ 2∗ Ζ 1/ 2/ 表示期权1和期权2的Vega值， 1 和 2 Ζ 表示为等于零的工具，例如期权。因此，证券组合的使新组合达到Gamma和Vega中性而需要的两种Vega值仅取决于期权，可以通过持有某种期权的期权的数量，联立得到方程 多头或空头来改变组合的Vega值，使得组合处于Vega中性状态。 但期权头寸的改变在使得Vega中性的同时，使 ↑→↓0∗/ 1 1 ∗/2Ζ2 Gamma值发生改变，因此要想使两者都处于中0112 0 ∗/Ζ 20 性，至少要用同一标的的两种期权 31 5. Rho 例：某个处于Delta中性的证券组合的Gamma为Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了6000，Vega为9000。期权1的Gamma为，Vega期权价值对利率变化的敏感性 为，Delta为；期权2的Gamma为，Vega为，Delta为，那么应持有多少期权头寸才 能使证券组合达到 Υ V rωω 3ega和Gamma中性？ 标的股票不支付红利的欧式期权 60↑→↓00 0 .8 11 .0 Ζ20 Ζ 0 RrTRhoc K T e NdhopKTe N(2)rT(d2) 解得ω1=-6522，ω2=-653.加入两种期权后组合的Delta值变为，因此还需要买入6262份标的资产才能使Delta中性 Rho Rho 时间 股价 欧式看涨期权 35 6
