第五讲 Ross 的套利定价
理论 (APT) 和资产定价基本定理
《金融经济学》第五讲
CAPM 和 APT 的表达形式
CAPM:
APT:
APT 开始时作为 CAPM 的替代物出现
的。
2《金融经济学》第五讲
Stephen Ross (1944-)
3《金融经济学》第五讲
摘
自
L
evy
《
投
资
学
》
3 2 5
页
4《金融经济学》第五讲
Markowitz 理论和 CAPM
Markowitz 理论指出，对于固定的收益（期望
收益率)，怎样选取适当的证券组合，使得风
险 (收益率方差) 最小。
CAPM 则指出，任何证券和证券组合的收益
(期望收益率) 怎样通过两个均值－方差有效
的收益率的期望值来估计。
两者通过“系统风险”、“非系统风险”之
说联系在一起。
5《金融经济学》第五讲
“未定权益空间”上的正交分解
6《金融经济学》第五讲
正交分解的含义
对于 Markowitz 理论来说，为求“风险”最小，
应取“收益率前沿”直线上的点，使“非系统
风险” (的长度) 为零。
对于 CAPM 来说，任何证券或证券组合的“
收益”可用“收益率前沿”直线上的两点来计
算，它并不关心“非系统风险” (的长度)
有多大。
就这两点来说，增加“风险因素”的 APT 不
可能有任何新作为。
7《金融经济学》第五讲
APT 能取代 CAPM 吗？
APT 声称它要取代 CAPM, 并认为它所取的
“风险因素”不需要“均值－方差有效”。
但是如果要求“误差项” 可能是所有“非
系统风险”，即所有与“收益率前沿”所在
平面正交的元素，那么它将要求所有“风险
因素”都“均值－方差有效” 。
因此，结论是“误差项” 不能是所有“非
系统风险”。
8《金融经济学》第五讲
APT 能否提高“收益估计质量
”？
如果 APT 的目的是为了提高“收益估计”的
“质量”，即要求“误差项” “很小”，这
对于个别证券或证券组合是可能做到的，它可
通过对 继续进行对“更大的风险因素空间”
进行正交分解来做到。
但是不可能有一个对所有证券或证券组合都是
“高质量”的 APT! 因为对于任何确定的“风
险因素空间”，总存在“误差项很大”的证券
组合。
9《金融经济学》第五讲
APT 理论的真正意图
APT 理论试图回答的问题其实与 Markowitz
理论－CAPM 试图回答的问题有很大不同。
它回避“均值－方差有效”的概念，也不仅
仅是要得到“收益估计”，而是对“部分”
(但是有无限个！) 证券希望得到“相对较好
”的“收益估计”，并且认为只要互相独立
的“风险因素”越来越多，个别的“收益估
计”就会越来越好 （“渐近无套利假设”)。
10《金融经济学》第五讲
APT 的出发点、终点与根据
为此，APT 的出发点与以前有很大不同：多
“风险因素”，被估计收益的是一系列无限多
种证券，“误差项”不是“非系统风险” (不
一定与“前沿平面”正交)，它们的方差是有
界的。
APT 的终点是： “误差项”的“总体”“较
小”。
理论根据是“渐进无套利假设”，即线性定价
函数是连续的。
11《金融经济学》第五讲
关于 CAPM 和 APT 的结论
CAPM:
它对任何收益率 r 都成立。不可能被“证实”。
APT:
它对“一些”收益率 r 成立，有可能被“证实”。
12《金融经济学》第五讲
渐近无套利假设和
Ross 的 APT 方法
13《金融经济学》第五讲
14《金融经济学》第五讲
15《金融经济学》第五讲
16《金融经济学》第五讲
17《金融经济学》第五讲
18《金融经济学》第五讲
19《金融经济学》第五讲
20《金融经济学》第五讲
21《金融经济学》第五讲
22《金融经济学》第五讲
23《金融经济学》第五讲
24《金融经济学》第五讲
25《金融经济学》第五讲
26《金融经济学》第五讲
27《金融经济学》第五讲
28《金融经济学》第五讲
29《金融经济学》第五讲
30《金融经济学》第五讲
31《金融经济学》第五讲
多因子模型与随机折现因子
32《金融经济学》第五讲
33《金融经济学》第五讲
34《金融经济学》第五讲
35《金融经济学》第五讲
资产定价基本定理
Ross 在提出他的 APT 理论以后， 1978 年又
提出一条很一般的定理。这条定理后来被人
们称为“资产定价基本定理”。甚至“金融
学基本定理”。
它指出完整的无套利假设等价于正线性定价
法则。
这条资产定价基本定理对金融经济学框架的
形成，实际上起了决定性的作用。
36《金融经济学》第五讲
Ross 1978 年的经典论文
37《金融经济学》第五讲
Ross 论文的引言
38《金融经济学》第五讲
引言的译文
“在一个没有未被开发的套利机会的资产市场中，
存在一个线性估值算子，它可以毫不含糊地以完善
的市场替代来为收益流定价，或者对通过市场组合
界定的现金流来界定其值。用不到进一步假定，只
要预计的收益可以通过购买一个市场资产组合的确
定的跨时规划来复制(或界定)，这是可能的。这些
结果已被证明，并且被用来简化和统一许多金融经
济学中的论述，其中包括项目估值，Modigliani-
Miller 理论，远期定价，封闭式互助基金悖论以及
有效市场理论。”
39《金融经济学》第五讲
最近出版 (2003) 的新书
Table of Contents Arbitrage, State Prices
and Portfolio Theory (. Dybvig, S. Ross).
Intertemporal Asset Pricing Theory (D.
Duffie). Tests of Multi-Factor Pricing Models,
Volatility, and Portfolio Performance (.
Ferson). Consumption-Based Asset Pricing
(. Campbell). The Equity Premium in
Retrospect (R. Mehra, . Prescott).
Anomalies and Market Efficiency (.
Schwert). Are financial assets priced locally
or globally? (. Karolyi, R. Stulz).
Microstructure and Asset Pricing (D. Easley,
M. O'Hara). A Survey of Behavioral Finance
(. Barberis, . Thaler). Finance,
Optimization, and the Irreducibly Irrational
Component of Human Behavior (.
Shiller). Derivatives ( Whaley). Fixed
Income Pricing (Q. Dai, ).
40《金融经济学》第五讲
41《金融经济学》第五讲
42《金融经济学》第五讲
资产定价基本定理
所谓资产定价基本定理实际上是一条数学定
理，它是指一个正线性 (定价) 函数应该有什
么形式。
资产定价基本定理的讨论是从“有限维未定
权益空间”开始的。这时所有“未定权益”
都可以用有限维向量来表示。
对于一般的“未定权益 Hilbert 空间”，至今
似还没有明确的“资产定价基本定理”。
43《金融经济学》第五讲
S 维向量空间上的正线性函数
对于 S 维向量空间来说，其上的正线性函数
一定可以通过一个 S 维正向量来表示，其分
量是这个函数在 S 个单位向量上所取的值。
每个 S 维向量的正线性函数都可表示为这个
正向量与自变向量的内积。
44《金融经济学》第五讲
S 维向量空间的经济学对应物
Arrow-Debreu 在把不确定性引进一般经济
均衡模型时，没有用概率论，而是用一个
有限 (S) 维向量来对应一个“未定权益”。
这样，Arrow-Debreu 意义下的“未定权益
空间”就是一个 S 维向量空间。在这个空
间中的 S 个单位向量，后人把它们称为
Arrow-Debreu 证券。相应的“未定权益空
间”常称为“未定市场 (Contingent
Market)。
45《金融经济学》第五讲
完全市场的资产定价基本定理
金融经济学考虑的问题是：如何用基本证券
的价格来为所有的未定权益定价。
如果任何未定权益都是基本证券的未来价值
的线性组合，这样的“市场”就称为“完全
市场”。
在“未定市场”情形下，即“未定权益空间
”是有限维空间时，完全市场就是说基本证
券组的未来价值构成空间的“基”。
46《金融经济学》第五讲
完全市场的资产定价基本定理
基的数学性质翻译成经济语言为：每一种资
产 (未定权益、衍生证券等) 都可以通过基本
证券的组合来“复制”，或者叫“重构”。
在这种情况下，尤其是 S 种 Arrow-Debreu 证
券也能被复制。而 Arrow-Debreu 证券的价值
一定是正的。由此我们就得到这种情形的资
产定价基本定理。
47《金融经济学》第五讲
问题在于不完全市场情形
困难的是，基本证券集不能构成向量空间的
不完全市场情形。在这种情况下，我们要证
明资产定价基本定理，可以通过对证券集不
断加入证券来使其成为完全市场。被加入的
证券的定价当然要求仍然满足无套利假设。
被加入的证券显然可以是 Arrow-Debreu 证券。
48《金融经济学》第五讲
一种最简单的情形
举一个最简单的例子，看这样的过程是怎样
进行的。
假设 S=2。而证券只有一种无风险证券，并
且它的当前价格是 1，未来价格是 (1,1)。即
只有一种没有时间价值的货币。这时我们能
对其他证券定价吗？显然，除了与它完全成
比例的证券外，别的都定不了。
49《金融经济学》第五讲
无套利 (正线性) 定价
但是由于无套利假设的约束，我们仍然可以
对任何证券的价格定出其可能的范围。我们
在最初的例子中实际上已经指出，如果有一
种证券的未来价格是 (a,b)，那么其当前价
格只可能在 a 和 b 之间。否则就有套利机会。
因此，对于 Arrow-Debreu 证券例如 (1,0),
其当前价格只可能是 0 和 1 之间的数。
50《金融经济学》第五讲
一般情形的讨论
这个简单的例子说明，在不完全市场中也能
利用无套利假设来定价，但是所定出的价不
是唯一的。
一般情况下，对一组不构成完全市场的基本
证券集，我们都可通过它们对另一个与它们
线性无关的证券定出其当前价格的范围。任
取该范围中的一个价格，形成一个新的证券
集。继续这一过程。
51《金融经济学》第五讲
资产定价基本定理的数学困难
最后形成一个能张成 S 维空间的基本证券集，
使问题归结为完全市场情形。
在不完全市场情形下，对一种证券确定其定
价范围是问题的关键。解决这一问题有本质
的数学困难。它需要凸集分离定理或者其他
定价命题。
52《金融经济学》第五讲
凸集分离定理
53《金融经济学》第五讲
资产定价基本定理的一般提法
资产定价基本定理说到底就是正线性定价法
则在数学上怎样表达。
对于“未定权益 Hilbert 空间” 来说，问题
可以这样来提：一个连续正线性定价函数是
否一定有这样的性质：
这里 是“最大的未定权益空间”。
54《金融经济学》第五讲
资产定价基本定理的经济含义
这条定理的经济含义可叙述为：一个“小市
场”中的正线性定价法则是否可以扩充到“
大市场”？或者说，我们能否通过“已定价
商品”的价格来为“未定价商品” 定价，使
得正线性定价法则仍然保持？
整个衍生证券定价理论，即 Black-Scholes-
Merton 理论就是这样的基本思想，即“相对
定价”思想。
55《金融经济学》第五讲
资产定价基本定理的数学解答
一般问题没有一般答案，即以刚才的形式提
出的问题不一定有解。
但是当 是有限维空间时，问题的答案是肯
定的。只是要得到这样的结果，数学上都不
太简单 (涉及凸集分离定理)。
一种有限维的情况是“未来只有有限种状态
”的“未定市场 (Contingent Market)”的情况。
56《金融经济学》第五讲
“未定市场”的资产定价基本定
理
这时，资产定价基本定理这样叙述：设未来
有 S 种状态，市场中有 K 种已定价的“基本
证券”，其“未来价格”为
“当前价格”为 那么“无套
利假设”（正线性定价法则）成立的充要条
件为存在 使得
57《金融经济学》第五讲
Arrow-Debreu 证券和“状态价
格”
称为状态价格，它们是未来价值
为单位向量的“证券”的价格。这种证券已
经被文献上普遍称为 Arrow-Debreu 证券。
“Arrow-Debreu 证券”这一名词起源于
Arrow-Debreu 把“不确定性”引进一般经济
均衡理论时的做法。其主要特点是其中没有
概率的概念。
58《金融经济学》第五讲
引进等价概率鞅测度
如果在“基本证券”中有“无风险证券”，其未来
价格为
当前价格为 ，那么有
令 那么 可看作第 i 种状
态的概率，这种概率称为“等价概率鞅测度”，即
在这种概率测度下，每一种未定权益的当前价格都
等于其未来价格的折现值的期望值。
59《金融经济学》第五讲
在等价概率鞅测度下的
随机折现因子
写成数学表达式就是
由此还可对收益率 得到
即所有未定权益的期望收益率都相等。这就
是“鞅”这个名词的含义。
这时随机折现因子是无风险证券！
60《金融经济学》第五讲
等价概率鞅测度下，
不再有“金融平面几何”！
当随机折现因子为无风险证券时，“金融
平面几何”不再有效，即不再有（有意义
的） Markowitz 理论，不再有 CAPM。
CAPM 变为“平凡”的情形：所有期望收
益率都等于无风险收益率。
这一结果是现代经典金融经济学最重要的
结果，因而可称为“金融学基本定理”！
61《金融经济学》第五讲
未定权益定价与
概率论的早期历史
Blaise Pascal
(1623-1662)
Pierre de Fermat
(1601-1665)
未定权益定价问题联系
着概率论的起源。1654
年 Pascal 与 Fermat 的五
封通信，奠定概率论的
基础。他们当时考虑的
就是一个“未定权益定
价” (掷骰子) 问题。
62《金融经济学》第五讲
Pascal － Fermat 问题
二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者赢。
有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷满 3 次双 6
点。由于天色已晚，两人无意再赌下去，那
么该怎样分割赌注？
答案：A 得 3/4, B 得 1/4.
结论：应该用数学期望来定价。
63《金融经济学》第五讲
资产定价基本定理
与 “P-F 定价”的根本区别
“P-F 定价”直到现在还是“未定权益定价
”的一种主要方法。当然，计算时要考虑“
折现”。例如，保险定价、NPV 方法等都属
这种类型。
但这种方法不能用到一般的衍生证券定价。
而“资产定价基本定理”与 “P-F 定价”的
根本区别在于后者用的是“客观概率”，前
者用的是“等价概率鞅测度”。
64《金融经济学》第五讲
一般的资产定价基本定理
资产定价基本定理可推广到一般的多时期模
型。这时，需要引进“条件数学期望”、-
流等概念。这时，鞅就定义为“当前的值等
于未来的（条件）期望值”的随机过程。
“无套利假设”在这时就要比“正线性定价
法则”要更复杂些。但除线性定价以外，仍
然是“未来值钱的现在也值钱”。
65《金融经济学》第五讲
一般的资产定价基本定理（续）
然而，这时“无套利假设”不一定再等价于
“存在等价概率鞅测度”。
最好的结果是 Dalang-Morton-Willinger
(1990): 有限期、有限种“基本证券”的“市
场”，“无套利假设”等价于“存在等价概
率鞅测度”。
其他情况都需要加一些比“无套利假设”更
高的条件。
66《金融经济学》第五讲
有限状态情况下的
资产定价基本定理
67《金融经济学》第五讲
68《金融经济学》第五讲
69《金融经济学》第五讲
70《金融经济学》第五讲
71《金融经济学》第五讲
72《金融经济学》第五讲
73《金融经济学》第五讲
74《金融经济学》第五讲
等价概率鞅测度下，
不再有“金融平面几何”！
当随机折现因子为无风险证券时，“金融
平面几何”不再有效，即不再有（有意义
的） Markowitz 理论，不再有 CAPM。
CAPM 变为“平凡”的情形：所有期望收
益率都等于无风险收益率。
这一结果是现代经典金融经济学最重要的
结果，因而可称为“金融学基本定理”！
75《金融经济学》第五讲
76《金融经济学》第五讲
资产定价基本定理的证明
77《金融经济学》第五讲
78《金融经济学》第五讲
79《金融经济学》第五讲
80《金融经济学》第五讲
凸集分离定理与
资产定价基本定理
81《金融经济学》第五讲
Ross (1978) 中的一段
82《金融经济学》第五讲
83《金融经济学》第五讲
84《金融经济学》第五讲
85《金融经济学》第五讲
86《金融经济学》第五讲
87《金融经济学》第五讲
88《金融经济学》第五讲
89《金融经济学》第五讲
90《金融经济学》第五讲
91《金融经济学》第五讲
92《金融经济学》第五讲
资产定价第二基本定理
文献中常称“完全市场中无套利假设等价于
存在唯一的等价概率鞅测度”为资产定价第
二基本定理。
我们这里的资产定价第二基本定理是指：个
人最优投资－消费问题有解的充要条件是无
套利假设成立。
这说明如果我们要为资产定价建立一般经济
均衡模型，资产定价基本定理同样是基础。
93《金融经济学》第五讲
未定市场的一般经济均衡
和资产定价第二基本定理
94《金融经济学》第五讲
95《金融经济学》第五讲
96《金融经济学》第五讲
97《金融经济学》第五讲
98《金融经济学》第五讲
99《金融经济学》第五讲
100《金融经济学》第五讲
101《金融经济学》第五讲
102《金融经济学》第五讲
说明资产定价基本定理的
一个简单例子
103《金融经济学》第五讲
104《金融经济学》第五讲
