第32卷第l期经济数学 2 0 1 5年3月JOURNAL OF QUANTITATIVE ECONOMICS Mar. 2 0 1 5 基于随机双曲折现的投资消费及效用无差别定价提杨招军，罗鹏飞(湖南大学金融与统计学院，湖南长沙410079) 摘要在随机双曲折现条件下，显式地给出了具有指数函数CCARA)效用的最优跨期消费与投资组合;在非完备市场下，显式给出了基于CARA效用的收益流的效用元差别价格.结果表明:最优投资比例以及收益流的价值不受随机双曲折现因子的影响;在低折扣阶段，本文的最优消费水平高于Merton模型下的对应佳，低折扣时期越短或高低折扣值相差越大，消费差距越明显.关键词随机双曲折现;投资消费;效用元差别定价中图分类号 文献标识码A Investment, Consumption and Utility-based Indifference Pricing with Stochastic Hyperbolic Discounting YANG Zhao-jun, LUO Peng-fei (School of Finance and Statistics, Hunan University, Changsha, Hunan 410079，Chinα) Abstract We explicitly derive the optimal intertemporal consumption and investment with stochastic hyperbolic dis›counting for a constant absolute risk aversion CCARA) investor. After that. we explicitly present the utility-based indifference price of cashflows received by the investor. We find that the optimal investment and indifference price do not depe叫onthe dis›count factor but during the low discounting period. the optimal consumption is more than that under Merton mode1. The shor ter the low discounting period or the bigger the difference between the high and low discount factor. the more obvious the dis tinction between the two optimal consumptions. Key words stochastic hyperbolic discounting; investment and consumption; utility-based indifference pricing 目前具有常数折现率的指数折现函数被广泛用言1引来分析经济问题.这种指数折现函数确定的时间偏好是连续一致的，不会产生任何急剧变化.然而，心很多经济决策问题都是跨期决策，需要对当前理行为科学家和经济学家有大量实验证据表明:人与未来报酬和消费的权衡，其中用来衡量现在与将的偏好并不是连续不变的，参见Thalerand Shefrin 来权重的折现率具有决定作用.例如，投资者在追求Cl981)[lJ,Ainslie & Haslam(1992)[2J,Kirby and J 整体目标最优时，往往会在较小且较早的报酬与较HerrnsteinCl995)[3, Myerson and GreenCl995)[4J, 大且较远的报酬中做出权衡，选择的结果决定于时Dellavigna and Malmendier (2006) [51.为此，经济学间折扣率:只有当折扣系数随时间衰减足够快时，投家引入了随机双曲折现模型，即在未来某个随机时刻J资者才会偏好较小且较早的报酬.以后，时间折扣因子急剧减少.参见&rro(1999)[6，丧收稿日期:2014-10-15 基金项目:国家自然科学基金(71171078，71221001)作者简介:杨招军0964-)，男，湖南邵阳人，教授，博士E-mail:zjyang@
第1期杨招军等:基于随机双曲折现的投资消费及效用无差别定价7 Dellavigna and Malmendier (2004 )l7J, Grenadier and Pn = J e-sε[t，t十τ); …JWang (2007 )[8, Palacios-Huerta and Perez-Kakabadse l卢e-pc.，-t), s E [t十r，∞), J(2013)[町，Zouet al(2014)[10. 其中[t，t十τ)表示当前区间，[t十r，∞)表示未来Palacios-Huerta and Perez-Kakabadse (2013)[9J基区间，r是随机的，刻画当前区间持续性，且服从系于随机双曲折现模型，给出了在无限生命期内，具有罪数为A的指数分布.于是E(τ)= 1/λ，故当λ较小效用(CRRA)投资者的消费投资问题，给出了最优消费时，则当前区间期望持续性较大.ρ表示折现率，且和投资的解析解.Zou et al. (2014)[叫将Harisand 为常数，卢是未来区间中折现的一个附加因子，满足JLaibson(2013 )[l1的随机双曲折现模型结合Merton0<卢~1，反映了技资者对当前的偏好程度，如果卢(1969，1971)凶.13J考虑了在有限生命期内的最优消费比较小，则投资者对当前偏好较大.于是，其值函数和投资问题，对对数效用函数给出了解析解，事效用给可以表示为出了数值解，得出与Merton模型相比较，随机双曲折V(w)= 现提高了消费水平，同时，投资在风险资产的比例不受严其影响.e俨U:川(C，)ds+ßfU(川Iwo=ω]’ 本文主要贡献在于:显式地给出了随机双曲折根据Palacios-H uerta and Perez-Kakabadse 现模型下，具有CARA效用的跨期消费储蓄与投资J(2013)[9，对应的HJB方程为组合，显式给出了基于CARA效用的收益流的效用pV(w)十K(w)二元差别价格.与Merton模型比较，本文得到如下结十÷(m)2V吧~，x[U (c)+川-r)十rw，-c，)Vw论:最优投资比例以及收益流的价值不受随机双曲斗，折现因子的影响;最优消费水平在本模型条件下高(1) 于Merton模型下的对应值;投资者对当前偏好越-) 其中Kω=(1 eU (c: ds )E ] '这[[ 大，其差距越明显. 里f为最优消费.2 指数效用下的投资与消费假定投资者偏好对应CARA效用函数UK)=-le衍，Y 假设市场上存在两种资产，一种是无风险资产，其中γ为风险厌恶系数.由HJB方程，可得最优的其价值且满足如下过程消费f和最优的投资idB, = rB,dt, 其中r是无风险利率.→种是风险资产，其价值5，Y 满足几何布朗运动1l;=h r 拎μι=←一互卫巳一二二ds, = ,u5,dt +σS，dZ" Vwwσ2 其中μ是该风险资产的平均增长率，σ是该风险资猜测值函数具有如下形式产收益的波动率，μ、σ为常数.Z，是标准的布朗运(时b)l’" -(2) V (w) =-动.7γ 假设在时刻t，投资者的财富为W"消费为其中b是待定常数.最优消费和投资满足C, ，投资于风险资产的财富数量为π，.于是技资者!c=rvb) 的财富满足方程(3) =旦二主1τ。CyrdWσ，" , = [π， (μ-r)十rW，-, Jdt + 7[，σdZ， . 投资者选择一个连续时间下的消费与投资组合从而，投资者的财富过程为2 策略，其目标是最大化无限生命期内的期望消费效(μ--r r) 1" ~~L lμ主ι一÷二一一dW= 份Idt+ι一二, IdZ"yryrL σJ σ 用，即求解如下优化问题l!P 可~XE[[ D,U (C，)叶，-阿三三川s+ι工(2，WZO). , =w+L rrσJ yra 其中0，表示在5时消费效用折现到当前时刻的折现函数，根据Harisand Laibson(2013)[l1J其表达式进-步K(w)可表示为
8 经济数学第32卷「pil∞l--iu --Y J、、、「Ill--，，，‘/飞Ill-l+b 、、、fA 十K /，、、、) 、/，‘唱飞mut， E/ >Y 飞由p JBEES,'''-14w -›AAQEU E AU ˙a (μ-r) cd 一一E飞飞、」二~二为风险调整后的收益流增长率.Z" Z, o 」」σ 是相互独立的标准布朗运动.w二且1 0-)'，(时的(4) y " I (/1-r)2 .._21_ A十p+且一」二--yr" b 于是，投资者的财富满足下述随机微分方程t" 2i dW, = (rW, + , + (μ-r)π，-C, )dt+σIT，dZ，. 将式(2)~式(4)代人式(1)，可得起义值函数b=坦ζ主主二十巳笠F(w,x) = 2yr"σyr' 俨[J:e-~U(川+卢re-~U(C，)击队=w, =斗，o 其中cp= =-J -r)十Jiλ-r)2十锹r则最优的消费f为根据Palacios-H uerta and Perez-Kakabads巳c = r(w十与ζr?2+ι到(2013)l9] ，可得HJB方程为飞ζyr"σyr"/ pF'(w，x)十K(w，x)工maxU(c)于是值函数为+(ηu十x+(μ-r)πc)Fw(w，x) V(w)二ifY(时it活节)(5) yr +μaF x (w，x)十÷σ2归阳(w，x)当卢=1或者λ=0时，重新得到Merton模型下的最优消费:+÷札(w，x)十(J(Ja'TC$F町(w，x).(7) c,: r ( w十与二之+巴二-，rì从而最优消费策略和投资策略满足:飞L)γ"σ】yr"/ 于是本文随机双曲折现下的消费与Merton模型的l中(w，x)(8) 最优消费之差为旷工→单二三)F巳空~F旦σFwwσFu-w c -c.:一(À+ r)-,j ( -~)2十4风r2yr 通过猜测验证法，得到值函数具有:2λ(1β)\n F(w,x)= V(w十A(工))，(9) y [CÀ十r)十V(À-r)2+4用;-J~ v. 进一步，根据效用无差别定价的定义，上式中的(6) A(x)就是收益流的消费效用元差别价格.将式。)这表明:与Merton模型相比，随机双曲折现下的最代人式(的，立即得到优消费水平高.容易验证，其差是参数卢的减函数，F(141,z)=-iexp 〕叫γ-是参数λ的增函数.即，在低折扣阶段(即当前时间小于川，本文的最优消费水平高于Merton模型F[-yr(Uω十t如;扩二+7j i十A(x))丁l，(10) 的对应值，低折扣时期越短或高低折扣值相差越大由式(7)、(8)和(10)，可得收益流的元差别价格(&P ß越小)，消费差距越明显.直观上，这是由于卢如下:越小，则对未来消费效用的越不重视，故投资者越偏向(μ-r)街y(1-$2 )ai A(x)=一十哼土ι二旦旦→向于当前消费;λ越大，未来区间(低折扣区域)越22 r ’ r" r2rσ长，相对提高了当前消费效用的重要性，故投资者更(11) 偏向于当前消费，进而使得两者的差距变得更明显.即，本模型下收益流的价值与Merton模型下的收益流的价值是完全相同的，参见Wangand Yang 3 随机双曲折现下收益流的效用无差别定价J(2012)l叫、王晓琳和杨招军(2014)[15•也就是说，收益流的价值不受随机双曲线折现因子卢、A的影响.假设投资者拥有随机收益流(如劳动收入)B, 最后将式(10)、(11)代入式(8)，得到企业家的服从算术布朗运动最优消费水平和最优技资策略为战=卢òdt十Ça dZ, + ，jf=fσòdZ， , 其中严是增长率、的是收益波动率、5是收益流与市场的相关系数，三者均为常数.问fia一
第1期杨招军等:基于随机双曲折现的投资消费及效用元差别定价9 Russell Sage, New York, 1992. c r w十些ζ41十ι1十三十哗L 乙严γσρyrι r rι [3J K N KIRBY, R J HERRNSTEIN. Preference reversals due to myopic discounting of delayed reward [J]. Psychological Sci 且二且生主y(1_$2)O"~l 22 ence. 1995,6(2): 83~89. rσ2rJ’ [4J J MYERSON, L GREEN. Discounting of delayed rewards: i一丘二r坠models of individual choice [J]. J ournal of the experimental a›yrσrσ， nalysis of behavior, 1995, 64(3): 263~276. 上式表明:基于随机双曲线折现模型，具有随机收益[5J S DELLAVIGNA, U MALMENDIER. Paying not to go the 流的投资者在无风险资产的比例不受随机双曲参数gym [JJ. The American Economic Review, 2006, 96(3): 694 的影响;相比Merton模型，本模型的最优消费水平719. [6J R J BARRO, 1999. Ramsey meets Laibson in the neoclassical 更高，当卢越小或A越大，其差别越明显.即在低折growth model [J]. Quarterly lournal of Economics, 1999, 114 扣阶段，本文的最优消费水平高于Merton模型下(4): 1125~1152. 的对应值，低折扣时期越短或高低折扣值相差越大，[7J S DELLAVIGNA, U MALMENDIER. Contract design and 消费差距越明显.这与上文的解释相同.self-control: Theory and evidence [J]. The Quarterly Journal of Economics, 2004, 119(2): 353~402 [8J S R GRENADIER, N WANG. Investment under uncertainty 4结论and time-inconsistent preferences [JJ. Journal of Financial E conomics, 2007, 84(1): 2~39. 本文研究了随机双曲折现条件下，具有指数效[9J 1 PALACIOS-HUERTA, A PEREZ KAKABADSE. Con 用(CARA)的投资者的跨期消费储蓄与投资组合，sumption and portfolio rules with stochastic hyperbolic dis 以及在非完备市场下基于CARA效用的收益流的countl吨[R].Spain: Univers町ofthe Basque Country, 2013. [loJ Z R ZHOU, S CHEN, L WEDGE. Finite horizon consump 效用无差别定价.本文得到了企业家的最优消费、最tion and portfolio decisions with stochastic hyperbolic discoun 优投资以及收益流效用元差别价格的解析解.结果ting [JJ. lournal of Mathematical Economics, 2014(52): 70 表明最优投资比例以及收益流的效用无差别价格不18 受随机双曲折现因子的影响;本文的最优消费水平[l1J C HARRIS, 0 LAIBSON. Instantaneous gratification [J]. 高于Merton模型下的对应值，投资者越偏好当前The Quarterly Journal of Economics. 2013. 128 (1): 205 消费，其差距越明显.考虑到资产定价与投资消费具248. [12J R C MERTON. Lifetime portfolio selection under uncertainty: 有密切的关系、以及当投资者收益流面临较大本性the continuous-time case [J]. The review of Economics and 风险时效用无差别定价具有明显的合理性，本文结Statistics. 1969. 51(3): 247一257.论对于进一步发展随机双曲折现条件下的资产定价[l3J R C MERTON. Optimum consumption and portfolio rules in a 理论具有一定的参考价值.continuous-time model [J]. lournal of Economic Theory. (4): 374~413. 参考文献[14J X L W ANG. Z J YANG. Pricing Contingent Convertible Bond with Idiosyncratic Risk[R]. Changsha: School of Finance and [1丁RH THALER, H M SHEFRIN. An economic theory of self›Statistics, Hunan University, 2012. control [JJ. Political Economy, 1981, 89(2): 392~406. [l5J王晓林，杨招军.非系统风险与公司最优资本结构[JJ.经济数[2J G AINSLE, N HASLAM. Hyperbolic discounting[CJ/ /Loe-学，(1):21 ~28. wenstein, George, Elster, J on ( Eds. ), Choice Over Time.
