L/O/G/O LINGO实用简易教程 培训内容 LINGO基本功能介绍 利用LINGO求解整数规划问题 LINGO的常用函数定义及其分类 利用LINGO求解非线性规划问题 利用LINGO求解线性规划问题 在编程中对LINGO的调用 利用LINGO进行敏感度分析 LINGO简介 • LINGO（Linear Interactive and General Optimizer “交 互式的线性和通用优化求解器” ）是美国的Lindo公司开 发的一种专门用于求解数学规划问题的软件包,Lingo分为 Demo、Solve Suite、Super、Hyper、Industrial、 Extended等六类不同版本。由于LINGO执行速度快，易于 方便地输入、求解和分析数学规划问题，因此在教学、科 研和工业界得到广泛应用。 • LINGO主要用于求解线性规划、非线性规划、二次规划和 整数规划等问题，也可以用于求解一些线性和非线性方程 组及代数方程求根等。 Lingo的主要功能特色为： 1、既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问 题的能力； 2、输入模型简练直观、运行速度快，计算能力强； 3、内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语 句，以较直观的方式描述较大规模的优化模型； 4、将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转化为 Lingo模型； 5、能方便地与Excel，数据库等其他软件交换数据 通常，一个优化模型由以下三部分组成： 1、目标函数：一般表示成求某个数学表达式的最大值或最小 值。 2、决策变量：目标函数值取决于哪些变量。 3、约束条件：对变量附加一些条件限制（通常用等式或不等 式表示）。 例1： Lingo代码： min=2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; 注1：Lingo默认决策变量 都非负，因而变量非负条 件可以不必输入。 注2：Lingo默认的文件格式的扩 展名为.lg4，这是一种特殊的二 进制文件，保存了模型窗口中所 有的文本和其他对象以及格式信 息，其它几种扩展名分别代表不 同类型的文件。  Lingo的主要功能特色为： Lingo的文件类型  扩展名 文件类型 lng  纯文本格式模型文件，不含格式（如字体，颜色 等）信息  ldt  Lingo数据文件  ltf  Lingo命令脚本文件  lgr  用来存放Lingo的计算结果（solution report）  Lingo的语法规定： (1)求目标函数的最大值或最小值分别用Max=---或Min=---来表示 (2)每个语句必须以分号结束，每行可以有多个语句，语句也可以 跨行； (3)变量名必须以字母(A---Z)开头，由字母，数字和下划线组成， 长度不超过32个字符，不区分大小写； (4)可以给语句加上标号，例如[obj]  Max=200*x1+300*x2; (5)以!开头，以;号结束的语句是注释语句； (6)如果对变量的取值范围没有作特殊说明，则默认所有决策变量 都非负； (7) Lingo模型以语句Model:开头，以end结束，对于比较简单的 模型，这两个语句可以省略。 使用入门——界面 使用入门——菜单命令 • “File” • “Edit”： ——match parenthesis：括号匹配，选 定某括号的一边，然后点击此选项， 程序会自动寻找与之相匹配的括号， 如果未找到，会有弹窗提示。 ——paste function：用来进行函数的插 入。 • “lingo”： ——solution：主要是考察结果，可以 指定某一行或者某一个项目来考察 结果，有文字形式也有图表形式。 ——range：主要是用于灵敏度分析， 在这里要先更改默认设置，将price 改为price and range，然后才能运 行range。 ——generate：可以产生相对应的程序。 ——debug：用于调试程序，只能在程 序出错时才能用。 示例： model: sets:   number/1..6/:x; endsets data:   x = 5 1 3 4 6 10; enddata  end •windows： ——command window：生成命令窗口， 用于在非windows系统下以命令的方式编 写和运行程序。 ——tile：排列窗口的方式/横排或竖排 ——cascade：以瀑布的方式排列窗口 ——arrange icons：当窗口最小化之后用 来排列图标。 程序结构——集 • LINGO的程序一般是以“MODEL：”开头，以“end”结束， 内容包括四部分：集部分，数据部分，初始部分，目标函 数、约束函数部分。 • 集部分是LINGO模型的一个可选部分。在LINGO模型中使 用集之前，必须在集部分事先定义。集部分以关键字 “sets:”开始，以“endsets”结束。一个模型可以没有 集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分。一个 集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性 在模型约束中被引用之前必须被定义。  程序结构——原始集 • 集包括原始集和派生集两 种。 • 定义原始集 为了定义一个原始集，必须详 细声明： ·集的名称 ·可选，集的成员 ·可选，集成员的属性 • 定义一个原始集，用下面 的语法： • setname[/member_list/][:at tribute_list]; • 注意：用“[ ]”表示该部分 内容可选。 Setname是你选择的来标记集的名 字，最好具有较强的可读性。集名 字必须严格符合标准命名规则：以 拉丁字母或下划线（_）为首字符， 其后由拉丁字母（A—Z）、下划线、 阿拉伯数字（0，1，…，9）组成的 总长度不超过32个字符的字符串， 且不区分大小写。 注意：该命名规则同样适用于集成 员名和属性名等的命名  示例1： model: sets: students/John,Linda,Tom/:age,gender; endsets End 程序结构——原始集 • 集成员列表（Member_list ）的罗列可以有显式罗列和隐式罗列两种，显示罗列如 上页所示，即将集成员全部罗列出来。 • 隐式罗列不必罗列出每个集成员。可采用如下语法： • setname/member1..memberN/[: attribute_list]; • 这里的member1是集的第一个成员名，memberN是集的最末一个成员名。LINGO 将自动产生中间的所有成员名。LINGO也接受一些特定的首成员名和末成员名， 用于创建一些特殊的集。列表如下：隐式成员列表格式示例所产生集成员 隐式成员列表格式 示例 所产生的集成员 1..n 1..5 1,2,3,4,5 StringM..stringN Card2..Card10 Card2,Card3,Card4…Card 10 DayM..DayN Mon..Fri Mon,Tue,Wen,Thu,Fri MonthM..MonthN Oct..Jan Oct,Nov,Dec,Jan MonthYearM..MonthYearN Oct2001..Jan2002 Oct2001,Nov2001,Dec200 1,Jan2002  程序结构——原始集 • 也可以将集成员在数据部分定义。 • 示例： !集部分; sets:   students:sex,age; endsets !数据部分; data:   students,sex,age=         John 1 16                        Jill     0 14                        Rose 0 17                        Mike 1 13; enddata 注意：开头用感叹号（!）， 末尾用分号（;）表示注释，可跨多行。 请注意：数据部分的数据之间可 以用空格隔开，也可以用逗号隔 开。程序默认的数据是从索引1 开始分配，即将“students， sex，age”的第一个数据分配完 了之后再分配其第二个数据。 再如下例： model: sets: students/John,Linda,Tom/:age,gender; Endsets Data: Age,gender=10,1,11,0,12,1; enddata End 运行之后便可看出数据分配的结果。 程序结构——派生集 • 定义派生集（衍生集合） • 为了定义一个派生集，必须详细声明： ·集的名字 ·父集的名字 ·可选，集成员 ·可选，集成员的属性 • 可用下面的语法定义一个派生集： setname(parent_set_list)[/member_list/] [:attribute_list]; • setname是集的名字。 parent_set_list是已定义的集的列表， 多个时必须用逗号隔开。 • 如果没有指定成员列表，那么LINGO 会自动创建父集成员的所有组合作为 派生集的成员。 • 派生集的父集既可以是原始集，也可 以是其它的派生集。      friends Students Harry Green John 8 4 Linda 9 6 Tom 6 8 示例： model: sets: students/John,Linda,Tom/:age,gender; friends/Harry,Green/; Links(students,friends):relationship; Endsets Data: Relationship=8,4,9,6,6,8; enddata End 运行结果如下图： 程序结构——派生集 集 派生集 原始集 稀疏集 稠密集 显示罗列 过滤器 派生集：稠密集，稀疏集； 稠密集：当成员列表被忽略时，派生集成 员由父集成员所有的组合构成 ； 稀疏集：如果限制派生集的成员，使它成 为父集成员所有组合构成的集合的一个子 集 。        同原始集一样，派生集成员的声明也 可以放在数据部分。一个派生集的成员列 表有两种方式生成：①显式罗列；②设置 成员资格过滤器。  显式罗列：必须显式罗列出所有要包含在 派生集中的成员，并且罗列的每个成员必 须属于稠密集 ；如上页示例。 如果需要生成一个大的、稀疏的集，那么 显式罗列就很讨厌。  然而，许多稀疏集的成员都满足 一些条件以和非成员相区分。我 们可以把这些逻辑条件看作过滤 器，在LINGO生成派生集的成员 时把使逻辑条件为假的成员从稠 密集中过滤掉。 程序结构——派生集 • 稀疏集可以用显式表示也可以用成员资格过滤器表示。 显式表示可如下示例： Links(students,friends)/John,Harry,Linda,Green/:relationship;（1） 成员资格过滤器表示可如下示例： Links(students,friends)|&1 #eq# 1 #and# &2 #eq# 2:relationship;（2） • 将分别插入程序中，并修改数据，可得到如下结果： • （1）RELATIONSHIP( JOHN, HARRY)                       RELATIONSHIP( LINDA, GREEN)         • （2）RELATIONSHIP( JOHN, GREEN)         注：用竖线（|）来标记一个成员资格过滤器的开始。#eq#是逻辑运算符，用来 判断是否“相等”， &1可看作派生集的第1个原始父集的索引，它取遍该原始父 集 的所有成员；&2可看作派生集的第2 个原始父集的索引，它取遍该原始父集的所 有成员；&3，&4，……，以此类推。注意如果派生集B的父集是另外的派生集 A，那么上面所说的原始父集是集A向前回溯到最终的原始集，其顺序保持不变， 并且派生集A的过滤器对派生集B仍然有效。因此，派生集的索引个数是最终原始 父集的个数，索引的取值是从原始父集到当前派生集所作限制的总和。  程序结构——数据        在处理模型的数据时，需要为集指派一些成员并且在 LINGO求解模型之前为集的某些属性指定值。为此，LINGO 为用户提供了两个可选部分：输入集成员和数据的数据部分 （Data Section）和为决策变量设置初始值的初始部分（Init  ection）。 程序结构——数据 • 数据部分以关键字“data:”开 始，以关键字“enddata”结束 。在这里，可以指定集成员、 集的属性。其语法如下： • object_list = value_list; • 对象列（object_list）包含要指 定值的属性名、要设置集成员 的集名，用逗号或空格隔开。 • 一个对象列中至多有一个集名， 而属性名可以有任意多。 • 如果对象列中有多个属性名， 那么它们的类型必须一致。如 果对象列中有一个集名，那么 对象列中所有的属性的类型就 是这个集。 • 数值列（value_list）包含要分 配给对象列中的对象的值，用 逗号或空格隔开。注意属性值 的个数必须等于集成员的个数。 看下面的例子。 示例： sets:   set1/A,B,C/: X,Y; endsets data:   X=1,2,3;   Y=4,5,6; Enddata 注：在集set1中定义了两个属性X 和Y。X的三个值是1、2和3，Y的 三个值是4、5和6。数据部分也可 以如此表示，其本质是一样的： data:   X,Y=1 4       2 5       3 6; enddata 程序结构——数据 • Data部分也可以用来定义标量变量，如下所示: data:   interest_rate = .085; enddata • 也可以同时指定多个参数。 data:   interest_rate,inflation_rate = .085 .03; enddata  • 在某些情况，对于模型中的某些数据并不是定值。譬如模型中有一个通货膨胀率的参数， 我们想在2%至6%范围内，对不同的值求解模型，来观察模型的结果对通货膨胀的依赖 有多么敏感。我们把这种情况称为实时数据处理（what if analysis）。LINGO有一个特 征可方便地做到这件事：在本该放数的地方输入一个问号（?）。如下所示： data:   interest_rate,inflation_rate = .085  ?; enddata • 每一次求解模型时，LINGO都会提示为参数inflation_rate输入一个值。在WINDOWS操 作系统下，将会接收到一个类似右上角所示的对话框：  • 直接输入一个值再点击OK按钮，LINGO就会把输入的值指定给inflation_rate，然后继 续求解模型。 程序结构——数据 • 指定属性为一个值 • 可以在数据声明的右边输 入一个值来把所有的成员 的该属性指定为一个值。 看下面的例子。 • 数据部分的未知数值 • 有时只想为一个集的部分 成员的某个属性指定值， 而让其余成员的该属性保 持未知，以便让LINGO去 求出它们的最优值。在数 据声明中输入两个相连的 逗号表示该位置对应的集 成员的属性值未知。两个 逗号间可以有空格。 • 属性capacity的第2个和第 3个值分别为34和20，其 余的未知。  示例1： sets:   days /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs,cost; endsets data:   needs cost = 20 100; Enddata 示例2： sets:   years/1..5/: capacity; endsets data:   capacity = ,34,20,,; Enddata 属性capacity的第2个和第3个值分别为34和20， 其余的未知。 程序结构——初始部分 • 初始部分是LINGO提供的另一个可选部分。在初始部分中，可以输入初始声 明（initialization statement），和数据部分中的数据声明相同。对实际问题 的建模时，初始部分并不起到描述模型的作用，在初始部分输入的值仅被 LINGO求解器当作初始点来用，并且仅仅对非线性模型有用。和数据部分指 定变量的值不同，LINGO求解器可以自由改变初始部分初始化的变量的值。 • 一个初始部分以“init:”开始，以“endinit”结束。初始部分的初始声明 规则和数据部分的数据声明规则相同。也就是说，我们可以在声明的左边同 时初始化多个集属性，可以把集属性初始化为一个值，可以用问号实现实时 数据处理，还可以用逗号指定未知数值。 • 示例： init:      X, Y = 0, .001; endinit   Y=@log(X);   X+Y<=1; •注意：好的初始点会减少模型的求解时间。如左例中，若将x的初始值改为， 则可以明显减少迭代次数。 LINGO中的基本函数 • LINGO有9种类型的函数： • 1．   基本运算符：包括算术运算符、逻辑运算符和关系 运算符 • 2．   数学函数：三角函数和常规的数学函数 • 3．   金融函数：LINGO提供的两种金融函数 • 4．   概率函数：LINGO提供了大量概率相关的函数 • 5．   变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围 • 6．   集操作函数：这类函数为对集的操作提供帮助 • 7．   集循环函数：遍历集的元素，执行一定的操作的函 数 • 8．   数据输入输出函数：这类函数允许模型和外部数据 源相联系，进行数据的输入输出 • 9．   辅助函数：各种杂类函数 程序结构——基本运算符 一、基本运算符 1、算术运算符 算术运算符是针对数值进行操作的。LINGO提供了5种二元运算符： ＾　乘方 ﹡　乘 ／　除 ﹢　加 ﹣　减 LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数“﹣”。 这些运算符的优先级由高到底为： 高　﹣（取反）     　＾ 　　﹡／ 　　低　﹢﹣ 运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行。运算的次序可以用圆括号 “（）”来改变。 算术运算符示例： 2﹣5／3，(2﹢4)／5等等。 程序结构——逻辑运算符 2、逻辑运算符 • 在LINGO中，逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中，来控制在函 数中哪些集成员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在成员资格过滤器 中。 • LINGO具有９种逻辑运算符： #not#　 否定该操作数的逻辑值，＃not＃是一个一元运算符 #eq#　　若两个运算数相等，则为true；否则为flase #ne#    若两个运算符不相等，则为true；否则为flase #gt#    若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否则为flase #ge#　  若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase #lt#　  若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为flase #le#　  若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase #and#　 仅当两个参数都为true时，结果为true；否则为flase #or#    仅当两个参数都为false时，结果为false；否则为true • 这些运算符的优先级由高到低为： 高  #not#      #eq#  #ne#  #gt#  #ge#  #lt#  #le#       低  #and#  #or# 示例：2 #gt# 3 #and# 4 #gt# 2，其结果为假（0）。 程序结构——关系运算符 3、关系运算符 • 在LINGO中，关系运算符主要是被用在模型中，来指定一个表达式的左边是否等 于、小于等于、或者大于等于右边，形成模型的一个约束条件。关系运算符与逻 辑运算符#eq#、#le#、#ge#截然不同，前者是模型中该关系运算符所指定关系的 为真描述，而后者仅仅判断一个该关系是否被满足：满足为真，不满足为假。 •  LINGO有三种关系运算符：“=”、“<=”和“>=”。LINGO中还能用“<”表示 小于等于关系，“>”表示大于等于关系。LINGO并不支持严格小于和严格大于关 系运算符。然而，如果需要严格小于和严格大于关系，比如让A严格小于B：                                      A<B， 那么可以把它变成如下的小于等于表达式：                                  A+ε<=B， 这里ε是一个很小的正数，它的值依赖于 模型中A小于B多少才算不等。 下面给出以上三类操作符的优先级： 高　#not#   ﹣（取反）     　　＾ 　　　　﹡ ／ 　　﹢﹣      #eq#  #ne#  #gt#  #ge#  #lt#  #le#           #and#  #or# 低     <=  =  >=  程序结构——数学算符 二、数学函数 LINGO提供了大量的标准数学函数： @abs(x)             返回x的绝对值 @sin(x)             返回x的正弦值，x采用弧度制 @cos(x)             返回x的余弦值 @tan(x)             返回x的正切值 @exp(x)             返回常数e的x次方 @log(x)             返回x的自然对数 @lgm(x)             返回x的gamma函数的自然对数 @sign(x)            如果x<0返回-1；否则，返回1 @floor(x)           返回x的整数部分。当x>=0时，返回不超过x的最大整数； 当x<0时，返回不低于x的最小整数。 @smax(x1,x2,…,xn)  返回x1，x2，…，xn中的最大值 @smin(x1,x2,…,xn)  返回x1，x2，…，xn中的最小值 程序结构——应用实例 • 应用示例： • 给定一个直角三角形，求包含该三角形的最小正方形。     解：如图所示。 求最小的正方形就相当于求如下的最优化问题： LINGO代码如下： model: sets:   object/1..3/: f; endsets data:   a, b = 3, 4; !两个直角边长，修改很方便; enddata   f(1) = a * @sin(x);   f(2) = b * @cos(x);   f(3) = a * @cos(x) + b * @sin(x);   min = @smax(f(1),f(2),f(3));   @bnd(0,x,); end A B C D E a b x 程序结构——金融函数 • 目前LINGO提供了两个金融函数。 • 1．@fpa(I,n) • 返回如下情形的净现值：单位时段 利率为I，连续n个时段支付，每个 时段支付单位费用。若每个时段支 付x单位的费用，则净现值可用x乘 以@fpa(I,n)算得。@fpa的计算公式 为。 • 净现值就是在一定时期内为了获得 一定收益在该时期初所支付的实际 费用。 • 2．@fpl(I,n) • 返回如下情形的净现值：单位时段 利率为I，第n个时段支付单位费用。 @fpl(I,n)的计算公式为： 两个函数间的关系： 示例：贷款买房问题          贷款金额50000元，贷款年利率 %，采取分期付款方式（每年年末 还固定金额，直至还清）。问拟贷款10 年，每年需偿还多少元？ LINGO代码如下： 50000 = x * @fpa(.0531,10); 答案是x=元。 程序结构——概率函数 三、概率函数 1．@pbn(p,n,x)：二项分布的累积分布函数。当n和（或）x 不是整数时，用线性插值法进行计算。 2．@pcx(n,x) ：自由度为n的χ2分布的累积分布函数。 3．@peb(a,x) ：当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且 允许无穷排队时的Erlang繁忙概率。 4．@pel(a,x) ：当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不 允许排队时的Erlang繁忙概率。 5．@pfd(n,d,x) ：自由度为n和d的F分布的累积分布函数。 6．@pfs(a,x,c) ：当负荷上限为a，顾客数为c，平行服务器 数量为x时，有限源的Poisson服务系统的等待或返修顾客 数的期望值。a是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均 返修时间。当c和（或）x不是整数时，采用线性插值进行 计算。 程序结构——概率函数 7．@phg(pop,g,n,x) ：超几何（Hypergeometric）分布的累 积分布函数。pop表示产品总数，g是正品数。从所有产品 中任意取出n（n≤pop）件。pop，g，n和x都可以是非整 数，这时采用线性插值进行计算。 8．@ppl(a,x)Poisson ：分布的线性损失函数，即返回 max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从均值为a的 Poisson分布。 9．@pps(a,x) ：均值为a的Poisson分布的累积分布函数。 当x不是整数时，采用线性插值进行计算。 10．@psl(x) ：单位正态线性损失函数，即返回max(0,z-x) 的期望值，其中随机变量z服从标准正态分布。 11．@psn(x) ：标准正态分布的累积分布函数 12．@ptd(n,x) ：自由度为n的t分布的累积分布函数。 程序结构——@qrand 13．@qrand(seed)：产生 服从(0,1)区间的拟随机 数。@qrand只允许在模 型的数据部分使用，它 将用拟随机数填满集属 性。通常，声明一个 m×n的二维表，m表示运 行实验的次数，n表示每 次实验所需的随机数的 个数。在行内，随机数 是独立分布的；在行间， 随机数是非常均匀的。 这些随机数是用“分层 取样”的方法产生的。 示例： model: data:   M=4; N=2; seed=1234567; enddata sets:  rows/1..M/;   cols/1..N/;   table(rows,cols): x; endsets data:   X=@qrand(seed); enddata end 如果没有为函数指定种子，那么LINGO 将用系统时间构造种子。 程序结构——@rand 14．@rand(seed)返回0 和1间的伪随机数，依 赖于指定的种子。 典型用法是 U(I+1)=@rand(U(I))。 注意如果seed不变， 那么产生的随机数也 不变。 示例：利用@rand产生 15个标准正态分布的 随机数和自由度为2的t 分布的随机数。 model: !产生一列正态分布和t分布的随机数; sets:   series/1..15/: u, znorm, zt; endsets    !第一个均匀分布随机数是任意的;   u( 1) = @rand( .1234);    !产生其余的均匀分布的随机数;   @for(series( I)| I #GT# 1:u( I) = @rand ( u( I - 1))  );    @for( series( I):     !正态分布随机数;   @psn( znorm( I)) = u( I);     !和自由度为2的t分布随机数;   @ptd( 2, zt( I)) = u( I);     !ZNORM 和 ZT 可以是负数;    @free( znorm( I)); @free( zt( I));  ); end 程序结构——变量界定函数 四、变量界定函数 变量界定函数实现对变量取值范围的附加 限制，共4种： @bin(x)：限制x为0或1 @bnd(L,x,U)：限制L≤x≤U @free(x) ：取消对变量x的默认下界为0 的限制，即x可以取任意实数 @gin(x)：限制x为整数 • 在默认情况下，LINGO规定变量是非 负的，也就是说下界为0，上界为+∞。 @free取消了默认的下界为0的限制， 使变量也可以取负值。@bnd用于设 定一个变量的上下界,它也可以取消默 认下界为0的约束。 应用示例： （1）min=x1+x2; x1-x2<=2; x1+2*x2<=3; 结果显示：x1=0,x2=0。 （2）若添加@free函数： @free(x1); @free(x2); 则结果显示为：“Unbounded Solution”，即 为无界解。 （3）若将添加@gin函数： @gin(x1); @gin(x2); 则结果显示：x1=0,x2=0，说明@gin函数限 制x为整数的同时也限定x>0。 （4）若将程序修改为： max=x1+x2; x1-x2<=2; x1+2*x2<=3; 则结果显示为x1=,x2=， 为全局最优解。 （5）若将添加@gin函数： @gin(x1); @gin(x2); 则结果显示为：x1=1，x2=1，即为整数最优 解。 程序结构——集操作函数 五、集操作函数 LINGO提供了几个函数帮助处理集。 1．@in(set_name,primitive_index_1  [,primitive_index_2,…]) 如果元素在指定集中，返回1；否则返 回0。 示例： 全集为I，B是I的一个子集，C 是B的补集。 sets:   I/x1..x4/;   B(I)/x2/;   C(I)|#not#@in(B,&1); endsets  此例C(I)中的元素为x1,x3,x4。 另见此例： model: sets:   series/x1..x5/; endsets y=@in(series,8); End 返回的结果为y=0，说明集series中不包括第8 个元素； 若程序为： model: sets:   series/x1..x5/;   series1/z1..z4/;   links(series,series1); endsets y=@in(links,1,4); End 返回的结果为y=1，说明在集links中存在第一 行第四列的元素。 程序结构——集操作函数 2．@index([set_name,] primitive_set_element) • 该函数返回在集set_name中原始集成员primitive_set_element的索引。如果set_name 被忽略，那么LINGO将返回与primitive_set_element匹配的第一个原始集成员的索引。 如果找不到，则产生一个错误。 • 示例1：  如何确定集成员(B,Y)属于派生集S3。 sets:   S1/A B C/;   S2/X Y Z/;   S3(S1,S2)/A X, A Z, B Y, C X/; endsets X=@in(S3,@index(S1,B),@index(S2,Y)); 看下面的例子，表明有时为@index指定集是必要的。 示例2： sets:   girls/debble,sue,alice/;   boys/bob,joe,sue,fred/; endsets I1=@index(sue); I2=@index(boys,sue); I1的值是2，I2的值是3-=。我们建议在使用@index函数时最好指定集。 程序结构——集操作函数 3．@wrap(index,limit) 该函数返回j=index-k*limit，其中k是一个整数，取适当值保证j落在区间[1，limit]内。该 函数相当于index模limit再加1。该函数在循环、多阶段计划编制中特别有用。 4．@size(set_name) 该函数返回集set_name的成员个数。在模型中明确给出集大小时最好使用该函数。它 的使用使模型更加数据中立，集大小改变时也更易维护。 程序结构——集循环函数 六、集循环函数 集循环函数遍历整个集进行操作。其语法为 @function(setname[(set_index_list)[|conditional_qualifier]]:expression_list); @function相应于下面罗列的四个集循环函数之一；setname是要遍历的集；set_  index_list是集索引列表；conditional_qualifier是用来限制集循环函数的范围，当集循 环函数遍历集的每个成员时，LINGO都要对conditional_qualifier进行评价，若结果为 真，则对该成员执行@function操作，否则跳过，继续执行下一次循环。 expression_list是被应用到每个集成员的表达式列表，当用的是@for函数时， expression_list可以包含多个表达式，其间用分号隔开。这些表达式将被作为约束加到 模型中。当使用其余的三个集循环函数时，expression_list只能有一个表达式。如果省 略set_index_list，那么在expression_list中引用的所有属性的类型都是setname集。 1．@for 该函数用来产生对集成员的约束。基于建模语言的标量需要显式输入每个约束，不过 @for函数允许只输入一个约束，然后LINGO自动产生每个集成员的约束。 示例： 产生序列{1,4,9,16,25} sets:   number/1..5/:x; endsets   @for(number(I): x(I)=I^2); 程序结构——集循环函数 2．@sum 该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的 和。 示例1： 求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数 的和。 model: data:   N=6; enddata sets:   number/1..N/:x; endsets data:   x = 5 1 3 4 6 10; enddata   s=@sum(number(I) | I #le# 5: x); End 注意：此时如果将集部分和第一个数据部分调 换的话，程序无法运行，因为此时N尚未被 定义。 3．@min和@max 返回指定的集成员的一个表达式的最小值 或最大值。 示例2： 求向量[5，1，3，4，6，10]前5 个数的最小值，后3个数的最大值。 model: data:   N=6; enddata sets:   number/1..N/:x; endsets data:   x = 5 1 3 4 6 10; enddata   minv=@min(number(I) | I #le# 5: x);   maxv=@max(number(I) | I #ge# N-2:  x); end 程序结构——应用实例 • 示例：职员时序安排模型  一项工作一周7天都需要有人（比如护士工作）， 每天（周一至周日）所需的最少职员数为20、16、13、16、19、14和12， 并要求每个职员一周连续工作5天，试求每周所需最少职员数，并给出安排。 注意这里我们考虑稳定后的情况。 model: sets:   days/mon..sun/: required,start; endsets data:   !每天所需的最少职员数;   required = 20 16 13 16 19 14 12;  enddata !最小化每周所需职员数;   min=@sum(days: start);   @for(days(J):   @sum(days(I) | I #le# 5:       start(@wrap(J+I+2,7))) >= required(J)); end 程序结构——应用实例 计算的部分结果为 Global optimal solution found at iteration:             0   Objective value:                                                         Variable           Value        Reduced Cost                  REQUIRED( MON)                                      REQUIRED( TUE)                                      REQUIRED( WED)                                      REQUIRED( THU)                                      REQUIRED( FRI)                                      REQUIRED( SAT)                                      REQUIRED( SUN)                                         START( MON)                                         START( TUE)                                         START( WED)                                        START( THU)                                         START( FRI)                                         START( SAT)                                         START( SUN)                     • 从而解决方案是：每周最少需要22个职员，周一安排8人，周二安排2人，周三无需安 排人，周四安排6人，周五和周六都安排3人，周日无需安排人。 程序结构——辅助函数 七、辅助函数 1．@if(logical_condition,true_result,false_result) @if函数将评价一个逻辑表达式logical_condition，如果为真，返回true_ result，否则返回 false_result。 示例1：求解最优化问题 其LINGO代码如下： model:   min=fx+fy;   fx=@if(x #gt# 0, 100,0)+2*x;   fy=@if(y #gt# 0,60,0)+3*y;   x+y>=30; end     2．@warn(’text’,logical_condition) 如果逻辑条件logical_condition为真，则产生一个内容为’text’的信息框。 示例2： model:   x=1;   @warn('x是正数',x #gt# 0);  end 简单的命令行命令及应用 命令行命令一般用于非windows系统的计算机中，我们可以通过菜单行中找到 “command window”或者按组合键“CTRL+1” 来启动命令窗口。在这里仅仅对简单的命 令作一下介绍。 cat——显示所有命令类型； com——按类型显示所有命令； model——开始以命令行方式输入一个模型； go——求解当前模型； solu——显示当前模型的求解结果； quit——退出lingo系统。 Lingo与外部文件之间的数据传递        人们经常会遇到一种情况：Lingo程序运行时需要用到的 大量数据保存在其他文件中，如Word、Matlab、Excel或 Access等文件中，为了避免逐个输入的麻烦，通常的做法是 利用Windows剪贴板把需要的数据从其他软件拷贝到剪贴板 ，然后粘贴到Lingo程序中。但是，有些情况下这种做法并不 方便，一种情况是人们想让同一Lingo程序使用多种不同数据 来计算，如果每次变换数据要重新剪贴，略显麻烦；另一种 情况是数据量很大，如2005数学建模竞赛B题的数据共10万 个，计算结果也有10万个，如果数据都放到Lingo程序中，则 程序的语句虽然不多，数据却很长，似乎有点喧宾夺主。计 算结果多达10万个，若要自己做统计，则很不方便。能否将 Lingo程序与它所用到的数据分开，让程序运行时读取其他文 件中的数据并把计算结果直接写入其他软件？ Lingo与外部文件之间的数据传递 1、通过Windows剪贴板传递数据        有时候实际问题的数据在Word或Excel中(通常出现在表格中)，在编写 Lingo程序时可以通过剪贴板把表格连同数据传递到Lingo中。下面用实 例而来说明具体操作方法。 示例： !集部分; sets:   students:sex,age; endsets !数据部分; data:   students,sex,age= John 1 16                     Jill 0 14                     Rose 0 17                     Mike 1 13; enddata Lingo与外部文件之间的数据传递       要想通过Windows的剪贴板把数据传入Lingo程序的数据段，应当先在Word或 Excel中用鼠标选中表格中的数据块，点击菜单中的复制，然后在Lingo中点击Edit 菜单的Paste,则数据连同表格一起出现在Lingo程序中，如下所示：     注：程序的数据段出现从Word或 Excel中剪贴过来的表格，Lingo能否 正确识别这些表格并正确地给出变 量赋值？点击求解，Lingo正常运行， 正确地给集students附了值。 John 1 16 Jill 0 14 Rose 0 17 Mike 1 13 !集部分; sets:   students:sex,age; endsets !数据部分; data:   students,sex,age=  enddata  Lingo与外部文件之间的数据传递—@file函数 1．@file函数     该函数用从外部文件中输入数据，可以放在模型中任何地方。该函数的语法格式为 @file(’filename’)。这里filename是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两种表示方 式。@file函数对同一文件的两种表示方式的处理和对两个不同的文件处理是一样的， 这一点必须注意。 示例：以上例来讲解@file函数的用法。 注意到在上例编码中有两处涉及到数据。第一个地方是集部分的6个warehouses集成 员和8个vendors集成员；第二个地方是数据部分的capacity，demand和cost数据。 为了使数据和我们的模型完全分开，我们把它们移到外部的文本文件中。修改模型代 码以便于用@file函数把数据从文本文件中拖到模型中来。 Lingo与外部文件之间的数据传递—@file函数 修改后（修改处代码黑体加粗）的模型代码如下： model: sets:   warehouses/ @file('') /: capacity;   vendors/ @file('') /: demand;   links(warehouses,vendors): cost, volume; Endsets   min=@sum(links: cost*volume); @for(vendors(J):     @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); @for(warehouses(I):     @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); data:   capacity = @file('') ;   demand = @file('') ;   cost = @file('') ; Enddata end Lingo与外部文件之间的数据传递—@file函数 模型的所有数据来自于文件。其内容如下： !warehouses成员; WH1 WH2 WH3 WH4 WH5 WH6 ~ !vendors成员; V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 ~ !产量; 60 55 51 43 41 52 ~  !销量; 35 37 22 32 41 32 43 38 ~ !单位运输费用矩阵; 6 2 6 7 4 2 5 9 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3 Lingo与外部文件之间的数据传递—@file函数 • 把记录结束标记（~）之间的数据文件部分称为记录。如果数据文件 中没有记录结束标记，那么整个文件被看作单个记录。注意到除了记 录结束标记外，模型的文本和数据同它们直接放在模型里是一样的。 • 我们来看一下在数据文件中的记录结束标记连同模型中@file函数调用 是如何工作的。当在模型中第一次调用@file函数时，LINGO打开数 据文件，然后读取第一个记录；第二次调用@file函数时，LINGO读 取第二个记录等等。文件的最后一条记录可以没有记录结束标记，当 遇到文件结束标记时，LINGO会读取最后一条记录，然后关闭文件。 如果最后一条记录也有记录结束标记，那么直到LINGO求解完当前模 型后才关闭该文件。如果多个文件保持打开状态，可能就会导致一些 问题，因为这会使同时打开的文件总数超过允许同时打开文件的上限 16。 Lingo与外部文件之间的数据传递—@text函数 2.@text函数 该函数被用在数据部分用来把解输出至文本文件中。它可 以输出集成员和集属性值。其语法为 @text([’filename’]) 这里filename是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两 种表示方式。如果忽略filename，那么数据就被输出到标 准输出设备（大多数情形都是屏幕）。@text函数仅能出 现在模型数据部分的一条语句的左边，右边是集名（用来 输出该集的所有成员名）或集属性名（用来输出该集属性 的值）。    我们把用接口函数产生输出的数据声明称为输出操作。输 出操作仅当求解器求解完模型后才执行，执行次序取决于 其在模型中出现的先后。 Lingo与外部文件之间的数据传递—@text函数 model: sets:   days/mon..sun/: required,start; endsets data:   !每天所需的最少职员数;   required = 20 16 13 16 19 14 12;   @text('d:\')=days '至少需要的职员数为' start; enddata !最小化每周所需职员数;   min=@sum(days: start);   @for(days(J):     @sum(days(I) | I #le# 5:       start(@wrap(J+I+2,7))) >= required(J)); end Lingo与外部文件之间的数据传递—@ole函数 3．@ole函数 @OLE是从EXCEL中引入或输出数据的接口函数，它是基于传输的OLE技术。OLE传 输直接在内存中传输数据，并不借助于中间文件。当使用@OLE时，LINGO先装载 EXCEL，再通知EXCEL装载指定的电子数据表，最后从电子数据表中获得Ranges。 为了使用OLE函数，必须有EXCEL5及其以上版本。OLE函数可在数据部分和初始部分 引入数据。 @OLE可以同时读集成员和集属性，集成员最好用文本格式，集属性最好用数值格式。 原始集每个集成员需要一个单元(cell)，而对于n元的派生集每个集成员需要n个单元， 这里第一行的n个单元对应派生集的第一个集成员，第二行的n个单元对应派生集的第 二个集成员，依此类推。 @OLE只能读一维或二维的Ranges（在单个的EXCEL工作表(sheet)中），但不能读间 断的或三维的Ranges。Ranges是自左而右、自上而下来读。 Lingo与外部文件之间的数据传递—@ole函数 sets:    PRODUCT;  !产品;    MACHINE;  !机器;    WEEK;     !周;    ALLOWED(PRODUCT,MACHINE,WEEK):x,y;   !允许组合及属性; endsets data:    rate=;    PRODUCT,MACHINE,WEEK,ALLOWED,x,y=@OLE('D:\');    @OLE('D:\')=rate; enddata Lingo与外部文件之间的数据传递—@ole函数 代替在代码文本的数据部分显式输入形式，我们把相关数据全部放在如下电子数据表中来 输入。下面是D:\的图表。 除了输入数据之外，我们也必须定义Ranges名：PRODUCT，MACHINE，WEEK， ALLOWED，x，y. 明确的，我们需要定义如下的Ranges名： Name        Range PRODUCT       B3:B4 MACHINE       C3:C4 WEEK        D3:D5 ALLOWED       B8:D10 X         F8:F10 Y         G8:G10 rate      C13 为了在EXCEL中定义Ranges名： ① 按鼠标左键拖曳选择Range， ② 释放鼠标按钮， ③ 选择“插入|名称|定义”， ④ 输入希望的名字， ⑤ 点击“确定”按钮。 Lingo与外部文件之间的数据传递—@ole函数 Lingo与外部文件之间的数据传递—@ole函数 我们在模型的数据部分用如下代码从EXECL中引入数据： PRODUCT,MACHINE,WEEK,ALLOWED,x,y=@OLE('D:\'); @OLE('D:\')=rate; 等价的描述为 PRODUCT,MACHINE,WEEK,ALLOWED,x,y =@OLE('D:\', PRODUCT,MACHINE,WEEK,ALLOWED,x,y); @OLE('D:\',rate)=rate; 这一等价描述使得变量名和Ranges不同亦可。 与C++，VB交互 • 在“\lingo11\”文件的Lingo  on line users manual/interfacing with other  applications/有详细介绍。 LINGO实战 • 线性规划 • 灵敏度分析 • 整数规划 • TSP问题 • 非线性规划 LINGO实战——线性规划 某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数 据如下表所示： 若要求桌子的生产量不超过5件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？   每个书桌 每个餐桌 每个椅子 现有资源 总数 木料 8单位 6单位 1单位 48单位 漆工 4单位 2单位 单位 20单位 木工 2单位 单位 单位 8单位 成本单 价 60单位 30单位 20单位   LINGO实战——线性规划 分析：这是一个典型的线性规划问题。我们用DESKS、TABLES和CHAIRS分别表示 三种产品的生产量，建立LP模型。 程序如下所示： max=60*desks+30*tables+20*chairs;  8*desks+6*tables+chairs<=48; 4*desks+2*tables+*chairs<=20; 2*desks+*tables+.5*chairs<=8; tables<=5; 在变量较少的情况下，用这种格式是比较方便的，但是当变量增多时，这样的写法就 会耗时耗力了。因此，我们提倡用lingo提供的函数来简化模型的结构，使之更加易写 与易读。 首先，我们要定义集合： sets: products/desks,tables,chairs/:interest,volume; materials/a..c/:capacity; links(products,materials):x; endsets LINGO实战——线性规划 现在我们来定义数据部分： data: interest=60,30,20; capacity=48,20,8; x=8,4,2 6,2, 1,,; enddata 然后我们写出目标函数与约束条件： max=@sum(products(i):interest(i)*volume(i)); @for(materials(j):@sum(products(i):x(i,j)*volume(i))<=capacity(j)); volume(2)<=5; 最后，我们只需要将这几部分组合起来即可。     LINGO实战——线性规划 model: sets: products/desks,tables,chairs/:interest,volume; materials/a..c/:capacity; links(products,materials):x; endsets data: interest=60,30,20; capacity=48,20,8; x=8,4,2 6,2, 1,,; enddata max=@sum(products(i):interest(i)*volume(i)); @for(materials(j):@sum(products(i):x(i,j)*volume(i))<=capacity(j)); volume(2)<=5; end LINGO实战——线性规划 Objective value:                               Total solver iterations:                             2 Variable                      Value        Reduced Cost VOLUME( DESKS)                                       VOLUME( TABLES)                                     VOLUME( CHAIRS)                                                                     Row    Slack or Surplus      Dual Price                                1                                                    2                                                    3                                                    4                                                    5                     “Global optimal solution found at iteration: 2”表示2次迭代后得到全局最优解。  “Objective value:”表示最优目标值为280。  LINGO实战——线性规划 “Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量 有微小变动时, 目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0， 对于非基变 量 Xj, 相应的 reduced cost值表示当某个变量Xj 增加一个单位时目标函数减少的量(  max型问题)。本例中：变量tables对应的reduced cost值为5，表示当非基变量tables的 值从0变为 1时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会 发生变化），最优的目标函数值 = 280 - 5 = 275。 “DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。 输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。 若其数值为p， 表示对应约束中不等 式右端项若增加1 个单位，目标函数将增加p个单位（max型问题）。显然，如果在最 优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格 值才可能不是0。本例中：第3、4行是紧约束，对应的对偶价格值为10，表示当紧约束  3) 4 DESKS + 2 TABLES +  CHAIRS <= 20  变为 3) 4 DESKS + 2 TABLES +  CHAIRS <= 21  时，目标函数值 = 280 +10 = 290。对第4行也类似。  对于非紧约束（如本例中第2、5行是非紧约束），DUAL PRICE 的值为0, 表示 对应约束中不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。有时, 通过分析DUAL PRICE,  也可对产生不可行问题的原因有所了解。 LINGO实战——灵敏度分析 下面我们来做灵敏度分析： 首先，我们要启动灵敏度分析，即将“General Solver”选项卡中的“Dual  Computation”下拉项修改为“Prices & Ranges”。 然后，我们点“Solve”运行程序，运行完之后，回到模型界面，点击“lingo”菜单 下的“range”选项即可得到结果。 结果显示如下：  Ranges in which the basis is unchanged:                                        Objective Coefficient Ranges                                    Current              Allowable        Allowable                 Variable       Coefficient         Increase         Decrease           VOLUME( DESKS)                                     VOLUME( TABLES)                           INFINITY          VOLUME( CHAIRS)                            LINGO实战——灵敏度分析   Righthand Side Ranges                      Row          Current        Allowable        Allowable                                        RHS         Increase         Decrease                        2                  INFINITY                                 3                                                   4                                                   5                  INFINITY          LINGO实战——灵敏度分析 目标函数中DESKS变量原来的费用系数为60，允许增加（Allowable  Increase）=4、允许减少（Allowable Decrease）=2，说明当它在[60-4，60+20] = [56 ，80]范围变化时，最优基保持不变。对TABLES、CHAIRS变量，可以类似解释。由 于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不 变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优 值会变化）。  第2行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS）原来为48，当它在[48-24 ，48+∞] = [24，∞]范围变化时，最优基保持不变。第3、4、5行可以类似解释。不过由 于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。 灵敏性分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。由此，也可以进一步确定 当目标函数的费用系数和约束右端项发生小的变化时，最优基和最优解、最优值如何 变化。下面我们通过求解一个实际问题来进行说明。 LINGO实战——灵敏度分析 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3 公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售 出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供 应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙 车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步 讨论以下3个附加问题：  1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶 ？  2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？  3） 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？ 模型很简单，设生产A1的数量为x1，生产A2的数量为x2，代码如下： max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; LINGO实战——灵敏度分析 求解这个模型并做灵敏性分析，结果如下。   Global optimal solution found at iteration:             0   Objective value:                                                           Variable           Value        Reduced Cost                              X1                                                  X2                                                 Row    Slack or Surplus      Dual Price                               1                                                   2                                                   3                                                   4                     LINGO实战——灵敏度分析 Ranges in which the basis is unchanged:                                  Objective Coefficient Ranges                               Current              Allowable        Allowable Variable Coefficient         Increase         Decrease                  X1                                              X2                                                               Righthand Side Ranges                 Row          Current        Allowable        Allowable                                   RHS         Increase         Decrease                    2                                              3                                              4                 INFINITY          LINGO实战——灵敏度分析 目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然跟着增长。输出 中DUAL PRICES 给出这3种资源在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量：原料 增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48（元），劳动时间增加1个单位（1小时）时利 润增长2（元），而增加非紧约束车间甲的能力显然不会使利润增长。这里，“效益”的 增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48 元，1小时劳动的影子价格为2元，车间甲的影子价格为零。读者可以用直接求解的办 法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束milk）右端的50改为51，看看得到的最 优值（利润）是否恰好增长48（元）。 用影子价格的概念很容易回答附加问题1）：用35元可以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的 影子价格48，当然应该作这项投资。 回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价 格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。  目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这个 问题不能简单地回答。上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范 围：x1的系数为（72-8，72+24）=（64，96）；x2的系数为（64-16，64+8）=（48， 72）。注意：x1系数的允许范围需要x2系数64不变，反之亦然。由于目标函数的费用 系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值 变化。 用这个结果很容易回答附加问题3）：若每公斤A1的获利增加到30元，则x1系数变为 30×3=90，在允许范围内，所以不应改变生产计划，但最优值变为 90×20+64×30=3720。  LINGO实战——灵敏度分析 下面对“资源”的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1 个单位时“效益”的增量）是有限制的。每增加1桶牛奶利润增长48元（影子价格），但 是，上 面输出的CURRENT RHS 的ALLOWABLE INCREASE 和 ALLOWABLE  DECREASE 给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围： milk）原料最多增加 10（桶牛奶），time）劳动时间最多增加53（小时）。 现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买1桶牛奶的投资，但每天最 多购买10桶牛奶。顺便地说，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工人以增加劳动时 间，但最多增加小时。  需要注意的是：灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要 条件。比如对于上面的问题，“原料最多增加10（桶牛奶）”的含义只能是“原料增加 10（桶牛奶）”时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即利润的增加大于牛奶的投 资。反过来，原料增加超过10（桶牛奶），影子价格是否一定没有意义？最优基是否 一定改变？一般来说，这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。此时，应该重新用 新数据求解规划模型，才能做出判断。所以，从正常理解的角度来看，我们上面回答“ 原料最多增加10（桶牛奶）”并不是完全科学的。 LINGO实战——整数规划 • 有四种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变费用、单件售价、资源单耗 量及组织三种商品生产的固定费用见下表。现要求制定一个生产计划，使总收益最大。 产品 I II III 资源量 A 2 4 8 500 B 2 3 4 300 C 1 2 3 100 D 3 5 7 700 单件可变费用 4 6 12 固定费用 100 150 200 单件售价 7 10 20 单耗 量 资源 LINGO实战——整数规划 LINGO实战——整数规划 LINGO实战——整数规划 LINGO实战——整数规划 下面是LINGO程序。 MODEL: DATA: M=150; ENDDATA max=3*x1+4*x2+8*x3-100*y1-150*y2-200*y3;!目标函数; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; x1+2*x2+3*x3<=100; 3*x1+5*x2+7*x3<=700; x1<=M*y1; x2<=M*y2; x3<=M*y3; @GIN(x1);@GIN(x2);@GIN(x3); !指定产品件数为整数; @BIN(y1);@BIN(y2);@BIN(y3); !指定0-1变量; end 得到的解为x1=100,x2=0,x3=0,y1=1,y2=0,y3=0。最大值为Z=200元。 LINGO——整数规划 公司在各地有4项业务，选定了4位业务员去处理。由于业务能力、经验和其它情况不 同，4业务员去处理4项业务的费用（单位：元）各不相同，见下表： 业务 业务员 1 2 3 4 1 1100 800 1000 700 2 600 500 300 800 3 400 800 1000 900 4 1100 1000 500 700 应当怎样分派任务，才能使总的费用最小？ LINGO实战——整数规划 LINGO实战——整数规划 LINGO程序如下： MODEL: SETS: person/1..4/; task/1..4/; assign(person,task):a,x; ENDSETS DATA: a=1100,800,1000,700,    600,500,300,800, 400,800,1000,900, 1100,1000,500,700; ENDDATA min=@sum(assign:a*x); @for(person(i):@sum(task(j):x(i,j))=1); @for(task(j):@sum(person(i):x(i,j))=1); @for(assign(i,j):@bin(x(i,j))); END LINGO实战——整数规划 得到的结果如下： x(1,1)=0,x(1,2)=0,x(1,3)=0,x(1,4)=1; x(2,1)=0,x(2,2)=1,x(2,3)=0,x(2,4)=0; x(3,1)=1,x(3,2)=0,x(3,3)=0,x(3,4)=0; x(4,1)=0,x(4,2)=0,x(4,3)=1,x(4,4)=0; 最小费用为2100元。 即第1个业余员做第4项业务，第2个业余员做第2项业务，即第3个业余 员做第1项业务，第4业余员做第3项业务。总费用达到最小，为2100 元。 LINGO实战——TSP问题 • 设有一个售货员从10个城市中的某一个城市出发，去其它9个城市推销产品。10个城市 相互距离如下表。要求每个城市到达一次仅一次后，回到原出发城市。问他应如何选 择旅行路线，使总路程最短。 城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 7 4 5 8 6 12 13 11 18 2 7 0 3 10 9 14 5 14 17 17 3 4 3 0 5 9 10 21 8 27 12 4 5 10 5 0 14 9 10 9 23 16 5 8 9 9 14 0 7 8 7 20 19 6 6 14 10 9 7 0 13 5 25 13 7 12 5 21 10 8 13 0 23 21 18 8 13 14 8 9 7 5 23 0 18 12 9 11 17 27 23 20 25 21 18 0 16 10 18 17 12 16 19 13 18 12 16 0 LINGO实战——TSP问题 LINGO实战——TSP问题 LINGO程序如下： !TSP quesion; MODEL: SETS: city/1..10/; link(city,city)|&1#GT#&2:d,s; ENDSETS DATA: d=  7     4  3        5  10  5     8  9   9  14     6  14  10  9  7     12 5   21  10 8 13     13 14  8   9  7  5  23     11 17  27  23 20 25  21  18     18 17  12  16 19 13  18  12  16;     LINGO实战——TSP问题 ENDDATA   MIN=@SUM(link:d*s);   @SUM(city(j)|j#GT#1:S(j,1))=2;  !与第1个城市相连的有两个城市;   !与第i个城市相连有两个城市;   @FOR(city(i)|i#GT#1:@SUM(city(j)|j#GT#i:s(j,i))+                       @SUM(city(k)|k#LT#i:s(i,k))=2); @FOR(link:@BIN(s)); 得到的结果如下：   S(3,2)=1,S(4,1)=1,S(4,3)=1,S(6,5)=1,S(7,2)=1,S(7,5)=1,S(8,6)=1,S(9,1)=1,S(10,8)=1, S(10,9)=1。其它全为0。  其最短路线为1—4—3—2—7—5—6—8—10—9—1，最短距离为77公里。 LINGO实战——非线性规划 • 使用LINGO软件计算6个发点8个收点的最小费 用运输问题。产销单位运价如下表。  单      销地 位运 价 产 地 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 产 量 A 1 6 2 6 7 4 2 5 9 60 A 2 4 9 5 3 8 5 8 2 55 A 3 5 2 1 9 7 4 3 3 51 A 4 7 6 7 3 9 2 7 1 43 A 5 2 3 9 5 7 2 6 5 41 A 6 5 5 2 2 8 1 4 3 52 销量 35 37 22 32 41 32 43 38   LINGO实战——非线性规划 • Sets部分： SETS:   WAREHOUSES/WH1..WH6/: CAPACITY;   VENDORS/V1..V8/: DEMAND;   LINKS( WAREHOUSES, VENDORS): COST, VOLUME; ENDSETS • Data部分： DATA:   CAPACITY = 60 55 51 43 41 52;   DEMAND = 35 37 22 32 41 32 43 38;   COST = 6 2 6 7 4 2 5 9          4 9 5 3 8 5 8 2          5 2 1 9 7 4 3 3          7 6 7 3 9 2 7 1          2 3 9 5 7 2 6 5          5 5 2 2 8 1 4 3; ENDDATA LINGO实战——非线性规划 • 目标函数： Minimize Σij COST ij • VOLUME ij 翻译成lingo语言即为：MIN = @SUM( LINKS(I,J): COST(I,J) * VOLUME(I,J)); • 约束条件： Σi  VOLUMEij = DEMANDj, for all j in VENDORS  翻译成lingo语言即为： @FOR( VENDORS( J): @SUM( WAREHOUSES( I): VOLUME( I, J)) = DEMAND( J)); Σj VOLUME ij <= CAP i , for all i in WAREHOUSES 翻译成lingo语言即为： @FOR( WAREHOUSES( I):@SUM( VENDORS( J): VOLUME( I, J))<=CAPACITY( I)); LINGO实战——非线性规划 MODEL: TITLE WIDGETS; ! A 6 Warehouse 8 Vendor Transportation Problem; SETS: WAREHOUSES/WH1..WH6/: CAPACITY; VENDORS/V1..V8/: DEMAND; LINKS( WAREHOUSES, VENDORS): COST, VOLUME; ENDSETS ! Here is the data; DATA: !attribute values; CAPACITY = 60 55 51 43 41 52; DEMAND = 35 37 22 32 41 32 43 38; COST = 6 2 6 7 4 2 5 9  4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3; ENDDATA ! The objective; MIN = @SUM( LINKS( I, J):  COST( I, J) * VOLUME( I, J)); ! The demand constraints; @FOR( VENDORS( J):  @SUM( WAREHOUSES( I): VOLUME( I, J)) =  DEMAND( J)); ! The capacity constraints; @FOR( WAREHOUSES( I):  @SUM( VENDORS( J): VOLUME( I, J)) <=  CAPACITY( I)); END L/O/G/O The end! Thank you very much!