学校编码：10384 分类号 密级 学 号：B200112042 UDC 学 位 论 文 中国利率期限结构及应用研究 Theories and Applications of Term Structure in China 林 海 指导教师姓名：张亦春 教授 郑振龙 教授 申请学位级别：博 士 专 业 名 称：金 融 学 论文提交日期：2003 年 11 月 论文答辩时间：2003 年 12 月 学位授予单位：厦门大学 学位授予日期：2003年 月 答辩委员会主席： 评 阅 人： 2003 年 11 月
厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。 声明人（签名）： 年 月 日
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论 文 摘 要 利率期限结构（term structure），是某个时点不同期限的利率所组成的一条曲线。它是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等的基准。所以对利率期限结构的估计一直是金融工程领域一个十分基础性的研究问题。随着我国债券市场的发展、金融创新的不断深入以及利率市场化进程的逐步推进，利率期限结构问题研究的重要性日益凸现。但是我国目前对这方面的研究仍然停留在一个比较粗浅的阶段，尚未形成对利率期限结构的系统性研究。本文则打算在这方面作一个尝试，对中国众多的利率期限结构问题进行开拓性的研究，得出一些富有理论意义和现实指导意义的结论。 论文首先对国内外有关利率期限结构研究进行了比较系统详尽的述评，分析了目前国内外利率期限结构研究的现状。接着，本文对利率期限结构的相关理论进行了深入细致地分析，研究利率期限结构同众多的资产定价理论，包括随机贴现因子定价理论、无套利定价理论以及风险中性定价理论等之间的密切关系，对其中的一些理论进行了拓展，为利率期限结构研究奠定一个坚实的理论基础。在实证分析部分，本文利用上海证券交易所的国债现货价格数据对我国利率期限结构的静态特征和动态变化过程进行了全面的分析，具体包括我国利率期限结构的具体形态、流动性溢酬、违约风险溢酬、政府利率动态行为、市场利率动态行为、市场利率变化和央行行为之间的关系以及利率变动的主成分分析等，得出了一些我国有关利率期限结构的基本结论。在应用研究部分，本文则在金融工程基本原理和方法的基础上，首先提出了银行基本资产负债中隐含着期权的创新性命题，并充分利用实证分析部分的研究结果对这些期权进行定价，对我国的金融创新具有重要的积极意义。此外，本文还在发行公司和投资者最优决策的基础上对可转债进行了定价。定价结果表明，我国的可转债被明显低估，无法用一些合理的原因进行解释，只能归因于市场的无效。最后，本文还对证券交易所债券市场和银行间债券市场的利率期限结构之间的差异进行了分析，并提出了统一债券市场的政策性建议。纵观全文，文章无论在理论基础，还是在实证分析、应用研究等部分，都提出了许多创新性的命题，这些命题很多均为国内首次提出或进行系统性研究，如对利率期限结构的理论基础的研究、期限结构的静态估计、流动性溢酬和违约风险溢酬的分析、我国银行资产负债中隐含期权的定价以及我国可转换债券的定价等，是国内最早的利率期限结构问题系统性研究成果之一，在一定程度上填补和充实了国内在该领域的研究。 总之，本文是在对国内外利率期限结构研究的综合考察的基础上对中国的利率期限结构作一个全面系统的研究，利用这些研究结果对目前市场上的一些衍生产品进行定价。在这些研究的过程中，始终贯穿着对中国现实情况的考察，分析和研究中国在利率期限结构以及相关市场方面存在的问题和缺陷，并提出相应的改革建议。 关键词：利率；期限结构； 应用研究ii
论文摘要 Abstract Term Structure is the curve formed by interest rates of different maturities. It is the benchmark for asset pricing, financial product design, hedging, risk management, arbitrage and speculation. Therefore, the research on term structure is always a basic research in finance field. With the development of financial markets, the deepening of financial innovations and the market-oriented process of interest rate, the importance of term structure research is more and more obvious in China. But the reality is that we still have not made a systematic research on it. This paper is aimed at this goal, making some pioneering research on term structure of China, driving some reasonable conclusions on term structure of China. This paper first reviews systematically the research on term structure, then analyzes the relevant theories in details, studying the relationship between term structure and the asset pricing theories, such as stochastic discount factor theory, no arbitrage pricing theory and risk neutral pricing theory, thus establishes a robust theoretic base for term structure research. In empirical test part, this paper uses the bond price of Shanghai Stock Exchange to study the static character and dynamic behavior of interest rate in China, including the shape of term structure, liquidity premium, default risk premium, dynamic behavior of government rate and market rate, the relationship between market rate behavior and government actions, and main factor analysis of term structure, etc. Some reasonable conclusions are driven by empirical tests. In the application part, this paper utilizes the basic theories of financial engineering, putting forward a significant proposition, ., the basic asset and liabilities of banks imply some options. By the empirical results, we price these options, which are very important for financial innovation of banks in China. We also price the convertible bonds in China, finding that the convertible bonds are highly under priced compared with the theoretical prices. This under-pricing can only be due to the market inefficiency. In the end, this paper study the difference of term structure between Shanghai Stock Exchange and Inter-Bank Market, making some suggestions on the unification of bond markets. In all, this paper is to make a full and systematic research on term structure of China, including the theoretical analysis, empirical tests, applications on pricing, and policy suggestions. Key Words: Interest Rate; Term Structure; Applicationiii
中国利率期限结构及应用研究 目 录 1. 导论...............................................1 选题的意义................................................1 利率期限结构为债券等定价提供基准.................................................1 为衍生产品定价提供基准.....................................................................3 我国利率期限结构问题研究的意义.....................................................4 有关利率的几个基本概念的界定...............................5 利率.........................................................................................................5 远期利率（forward rate）.....................................................................8 久期（duration）....................................................................................9 凸性（convexity）...............................................................................11 理论基础、研究方法及主要结论.............................11 理论基础...............................................................................................11 研究方法...............................................................................................12 主要结论...............................................................................................14 本文创新与不足之处........................................16 创新之处...............................................................................................17 不足之处...............................................................................................19 论文的结构安排............................................19 2. 文献回顾...........................................22 国外文献综述1：利率期限结构形成假设.......................22 利率期限结构形成的几种假设...........................................................22 对利率期限结构形成假设的检验.......................................................27 小结.......................................................................................................32 国外文献综述2：利率期限结构的估计.........................32 贴现函数...............................................................................................33 对贴现函数形式的选取.......................................................................33 其他的估计方法...................................................................................35 国外文献综述3：利率期限结构自身形态微观分析...............35 iv
目 录 利率期限结构因子模型与主成分分析...............................................36 利率期限结构的变动以及资产免疫...................................................37 国外文献综述4：利率期限结构动态模型.......................43 基本的利率期限结构动态模型...........................................................43 一般化扩展模型...................................................................................53 小结.......................................................................................................59 国外文献综述5：利率期限结构动态模型的实证检验.............59 对利率单位根的检验...........................................................................60 对不同期限结构模型的比较研究.......................................................61 对特定利率期限结构模型的分析.......................................................63 模型可靠性的分析...............................................................................64 小结.......................................................................................................65 国内利率期限结构研究现状述评..............................65 3 利率期限结构研究的理论基础.........................70 随机贴现因子理论.........................................70 随机贴现因子理论的提出...................................................................71 随机贴现因子表达的不同方式...........................................................74 随机贴现因子的拓展...........................................................................75 无套利定价理论...........................................83 风险中性定价理论..........................................87 风险中性定价理论的提出：B-S期权定价模型................................88 风险中性定价的理论根据...................................................................91 风险中性定价的应用...........................................................................94 利率期限结构和定价原理....................................95 4. 中国利率期限结构的实证分析........................101 中国市场利率期限结构的静态估计..........................101 两种静态估计方法：息票剥离法和样条估计法.............................102 我国利率期限结构的静态估计：2003-9-26....................................105 我国利率期限结构的动态变化特征分析：2001-2003....................109 小结.....................................................................................................110 v
中国利率期限结构及应用研究 中国市场利率流动性溢酬实证分析..........................110 中国市场利率流动性溢酬通用验证模型设计.................................111 中国市场利率流动性溢酬水平的实证检验.....................................113 中国市场利率不同期限流动性溢酬差异的显著性检验.................115 中国市场利率流动性溢酬随时间变动的检验.................................115 小结.....................................................................................................116 中国违约风险溢酬实证分析.................................117 中国公司债券发行的现状描述.........................................................118 单独估计和联合估计.........................................................................118 中国公司债券市场利率期限结构估计.............................................120 中国公司债券违约风险溢酬变动特征分析.....................................121 小结.....................................................................................................124 中国政府利率动态模型分析.................................124 政府利率的单纯跳跃过程.................................................................125 λ的估计和可靠性检验.....................................................................126 政府利率的跳跃幅度.........................................................................128 中国市场利率动态变化的实证分析..........................129 中国市场利率变动的动态模型检验.................................................129 动态模型的估计偏误.........................................................................131 央行行为与市场利率的相关性分析.................................................133 小结.....................................................................................................134 利率期限结构的主成分分析................................135 中国利率期限结构的主成分分析.....................................................135 主成分分析对债券投资组合的意义.................................................137 中国利率期限结构主成分分析的可靠性检验.................................138 小结.....................................................................................................139 5 中国利率期限结构应用研究...........................140 银行资产负债基本业务中隐含期权的定价....................140 银行负债业务的分解.........................................................................141 银行资产的分解.................................................................................144 银行资产负债中隐含期权的定价.....................................................146 vi
目 录 两种不同定价方法结果的比较.........................................................152 小结.....................................................................................................153 中国可转换债券定价分析..................................154 可转换债券及其条款简介.................................................................155 全球可转债市场发展概览.................................................................156 可转债发行中的公司最优决策分析.................................................157 中国可转债定价分析.........................................................................164 可转债的价格敏感性分析以及条款设计.........................................171 6 中国利率期限结构的缺陷和改革.......................178 国债市场在中国利率市场化进程中的基准作用.................178 中国国债市场发展的历史回顾...............................181 利率期限结构的市场差别...................................186 中国不同国债市场利率期限结构的差异.........................................186 中国不同市场利率期限结构差异的原因分析.................................187 我国利率期限结构的改革...................................188 统一国债市场的必要性与意义.........................................................188 统一国债市场的构想.........................................................................189 统一国债市场的步骤.........................................................................190 7. 结论及今后研究方向................................193 参考文献：...........................................196 附录1 VASICEK模型的推导............................206 附录2 有关MATLAB程序...............................208 附录3 我国不同时点的利率期限结构及误差比较...........219 后 记...............................................221 vii
Theories and Applications of Term Structure in China Contents 1. Introduction-----------------------------------------------------------------------------1 The Significance of Problem Selection----------------------------------------------1 Benchmark for Bond Pricing------------------------------------------------------1 Benchmark for Derivatives-------------------------------------------------------3 Significance of Research on Term Structure in China---------------------------4 Some Basic Concepts-----------------------------------------------------------------5 Interest Rate-----------------------------------------------------------------------5 Forward------------------------------------------------------------------------8 Duration------------------------------------------------------------------------9 Convexity------------------------------------------------------------------------11 Theoretical Foundation, Research Methodology and Main Conclusions--------11 Theoretical Foundation---------------------------------------------------------11 Research Methodology----------------------------------------------------------12 Main Conclusion---------------------------------------------------------------14 Innovations and Shortcomings----------------------------------------------------16 Innovations----------------------------------------------------------------------17 Shortcomings--------------------------------------------------------------------19 Framework of Paper----------------------------------------------------------------19 2. Research Review----------------------------------------------------------------------22 Research Review 1: Hypothesis of Term Structure Formation------------------22 Some Hypothesis of Term Structure Formation--------------------------------22 Test of Hypothesis-------------------------------------------------------------27 Summary-----------------------------------------------------------------------32 Research Review 2:Estimation of Term Structure--------------------------------32 Discount Function---------------------------------------------------------------33 Selection of Discount Function--------------------------------------------------33 Other Methods---------------------------------------------------------------35 Research Review 3: Micro Analysis of Term Structure Shape------------------35 Factor Model and Principal Component Analysis of Term Structure------------36 Change of Term Structure and Asset Immunization-----------------------------37 Research Review 4: Dynamic Models of Term Structure-------------------------43 Basic Dynamic Models of Term Structure---------------------------------------43 Generalized Models------------------------------------------------------------53 Summary-----------------------------------------------------------------------59 Research Review 5: Empirical Tests of Term Structure Models-----------------59 viii
Contents Test of Unit Root---------------------------------------------------------------60 Comparisons of Different Models---------------------------------------------61 Analysis on Given Models------------------------------------------------------63 Analysis on Robustness Problem of Models------------------------------------64 Summary-------------------------------------------------------------------65 Research Review 6: Research of Term Structure in China----------------------65 3. Theoretical Foundations of Term Structure Research-------------------------70 Stochastic Discount Factor Theory------------------------------------------------70 Advancing of Stochastic Discount Factor------------------------------------71 Different Expressions of Stochastic Discount Factor ---------------------------74 Extensions of Stochastic Discount Factor------------------------------------75 No Arbitrage Pricing Theory------------------------------------------------------83 Risk Neutral Pricing Theory------------------------------------------------------87 Advancing of Risk Neutral Pricing Theory: B-S Option Pricing Theory--------88 Theoretical Base of Risk Neutral Pricing Theory--------------------------------91 Applications of Risk Neutral Pricing Theory------------------------------------94 Term Structure and Pricing Theories---------------------------------------------95 4. Empirical Analysis of Term Structure in China--------------------------------101 Static Estimation of Term Structure in China----------------------------------101 Two Estimation Methods: Boot Strap Method and Spline Function Method--102 Static Estimation of Term Structure in China: 2003-09-26--------------------105 Dynamic Change of Term Structure in China: 2001-2003--------------------109 Summary----------------------------------------------------------------------110 Empirical Test of Liquidity Premium of Term Structure in China------------110 Design of General Model for Testing Liquidity Premium--------------------111 Empirical Test of Liquidity Premium Level in China--------------------------113 Significance Test of Liquidity Premium of Different Maturities---------------115 Test of Variant Liquidity Premium with Time-----------------------------------115 Summary--------------------------------------------------------------------------------116 Empirical Test of Default Risk Premium in China-----------------------------------117 Description of Bond Market in China------------------------------------------------118 Single Estimation and Joint Estimation----------------------------------------------118 Estimation of Term Structure with Default Risk Premium in China--------------120 Dynamic Change of Default Risk Premium in China-----------------------------121 Summary----------------------------------------------------------------------------------124 Dynamic Behavior of Government Rates in China----------------------------------124 Pure Jump Process of Government Rate--------------------------------------------125 Estimation and Robustness Test of λ---------------------------------------------126 ix
Theories and Applications of Term Structure in China Esimation of Jump Parameter-------------------------------------------------------128 Empirical Test of Dynamic Behavior of Market Rates in China-----------------129 Empirical Test of Dynamic Models of Term Structure in China-----------------129 Estimation Errors of Dynamic Models-----------------------------------------------131 Correlation of Government Policies and Market Rate Change-------------------133 Summary----------------------------------------------------------------------------------134 Principal Component Analysis of Term Structure in China-----------------------135 Principal Component Analysis of Term Structure in China-----------------------135 Significance of Principal Component Analysis on Hedge of Bond Portfolio---137 Robustness Test of Principal Component Analysis--------------------------------138 Summary----------------------------------------------------------------------------------139 5. Applications of Term Structure in China-----------------------------------------------140 Pricing of Implied Options in Bank Assets and Liabilities--------------------------140 Unbundling of Bank Liabilities--------------------------------------------------------141 Unbundling of Bank Assets------------------------------------------------------------144 Pricing of Implied Options in Bank Assets and Liabilities------------------------146 Comparisons of Two Different Pricing Methods-----------------------------------152 Summary---------------------------------------------------------------------------------153 Pricing of Convertible Bonds in China------------------------------------------------154 Introductions of Convertible Bonds-------------------------------------------------155 Development of Global Convertible Bonds Markets------------------------------156 Analysis on the Best Choice of Convertible Bond Issuing Company-----------157 Pricing of Convertible Bonds in China---------------------------------------------164 Sensitivity Test and Clause Design of Convertible Bonds-----------------------171 6. Limitations and Reforms of Term Structure in China--------------------------178 Benchmark of Government Bond Market -------------------------------------------178 Historical Review of Development of China’s Government Bond Market----181 Difference of Term Structure on Different Markets-------------------------------186 Difference of Term Structure on Different Markets in China-----------------186 Possible Reasons of Difference --------------------------------------------------187 Reform of Term Structure in China---------------------------------------------------188 Necessity and Significance of Uniting Government Bond Markets-----------188 Suggestions on Uniting Government Bond Markets-----------------------------189 Steps of Unitization-------------------------------------------------------------------190 7. Conclusions and Future Research-------------------------------------------------------193 Bibliography------------------------------------------------------------------------------------------196 Appendix 1. Derivation of Vasicek Model-------------------------------------------------206 Appendix 2. Relevant Matlab Programs---------------------------------------------------208 Appendix 3. Term Structure and Comparison of Estimation Error ------------219 Postscript-----------------------------------------------------------------------------------------------221 x
1． 导 论 1. 导论 本章简要介绍利率期限结构课题的研究背景、研究内容、研究思路、研究方法和研究结论。总共从五个方面进行介绍：选题的背景和意义；涉及到研究课题的一些基本概念；理论基础、研究方法和主要结论；创新与不足之处；研究的结构安排等。 选题的意义 利率期限结构（term structure），是某个时点不同期限的利率所组成的一条曲线。因为在某个时点，零息票债券的到期收益率等于该时期的利率，因此利率期限结构也可以表示为某个时点零息票债券的收益率曲线（yield curve）。它是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等的基准。利率期限结构的基准作用体现在：它为各种债券定价提供基准；同时它还为衍生产品提供定价基准。 利率期限结构为债券等定价提供基准 （一）为国债提供定价标准 我国市场上交易的那些国债品种属于无风险息票债券。这些债券没有违约风险，也就没有信用风险溢酬。因此，其价格的确定只与市场利率水平相关。但是由于息票债券的未来现金流是多次的，必须把每次的未来现金流，如利息、本金等按照相应的利率水平贴现到现在，才能够确定其合理价格。所以，和息票债券相关的不仅仅只是和息票债券期限相同的那个期限的利率水平，而是和整个利率期限结构相关，也就是和贴现函数δ(τ),0≤τ≤T相关，其中τ代表到期时间。δ(τ)是期限为τ的单位零息票债券的贴现值，−①rττ0δ(τ)=e,r代表0时刻的τ期连续复利利率。 τ0 ①所以不同期限的贴现函数就对应不同期限的利率水平。这也是众多研究都是通过贴现函数研究利率期限结构的原因。 - 1 -
中国利率期限结构及应用研究 假设一个期限为T的息票债券B，在τ,τ,....,τ有利息收入12nC(τ),C(τ),...,C(τ)，在期末T有本金收入S。则该息票债券的价格就可以表12n示为： nP=C(τ)δ(τ)+C(τ)δ(τ)+..C(τ)δ(τ)+Sδ(T)C(τ)δ(τ)+Sδ(T)B1122n ƒii=1 从上面的式子中可以看出，息票债券的价格受到整个利率期限结构的影响，随着利率期限结构的变动而不断变化。 （二）为公司债券提供定价标准 公司债券是具有违约风险的债券，因此公司债券的利率水平，要高于同期限的无风险利率，高出的那部分就是违约风险溢酬。也就是说，公司债券利率＝同期限无风险利率＋同期限的违约风险溢酬。 在现实生活中，对公司债券有两种处理办法。一种办法是直接估计不同信用级别公司债券的贴现函数，构建公司债券市场的利率期限结构，公司债券的利率减去同期限的国债市场无风险利率，就是相应的违约风险溢酬。第二种做法就是将贴现函数分解成两部分：一部分是无风险利率部分，按照利率期限结构计算贴现函数；另一部分就是违约风险溢酬部分，根据不同信用级别的违约风险溢酬构建其贴现函数。 假设某个信用级别（AAA）公司债券B预期在τ,τ,....,τ有利息收入112nC(τ),C(τ),...,C(τ)，在期末T有本金收入S。 11121n1如果该债券的贴现函数为δ(τ)，则该公司债券的价格可以表示为： 1nPC(τ)δ(τ)+Sδ(T) B ƒ1i1i11i=1如果贴现函数分解成无风险贴现函数δ(τ)和违约风险贴现函数δ(τ)，即2δ(τ)=δ(τ)+δ(τ)；则公司债券的价格可以表示为： 12nnP[C(τ)δ(τ)+Sδ(T)]+[C(τ)δ(τ)+Sδ(T)] B 1i1ƒ121 ƒii21==- 2 -
1． 导 论 无论使用哪一种方法，必须首先估计利率期限结构。利率期限结构是公司债券定价的一个基准因素。 为衍生产品定价提供基准 （一）为非利率衍生产品定价提供基准 利率期限结构在非利率衍生产品定价中的基准作用主要基于风险中性（risk neutral）原理的运用。根据风险中性原理，任何标的资产都必需按照无风险利率进行贴现，而不是资产本身的带有风险溢酬的预期收益率。因此，无风险利率的多少，就构成非利率衍生产品定价的一个重要的基准。而且由于无风险利率的不断变化，利率期限结构对预期将来利率变动具有重要的意义，利率期限结构就在非利率衍生产品的定价中发挥着重要的作用。 最经典的衍生证券定价模型当属B-S模型。在常数利率水平以及常数波动率条件下，一个不付红利的欧式股票看涨期权的定价公式为： −rTc=SN(d)−XeN(d)， 0122ln(S/X)+(r+σ/2)T0d=,d=d−σT， 121σTS代表初始股票价格，X代表期权执行价格，N(.)代表标准正态分布累0计概率密度函数，r代表无风险利率，σ代表股票的波动率。 因此，利率期限结构在非利率衍生产品中的作用体现在它是风险中性定价模型中贴现的基准利率。 （二）为利率衍生产品定价提供基准 利率期限结构在利率衍生产品定价中的基准作用更为明显，因为利率衍生产品的标的资产的价格都和利率水平息息相关或者完全由利率水平决定，比如国债，公司债券等。利率期限结构在利率衍生产品定价中的基准作用主要体现在它代表了对将来市场利率变动的一种预期，因此也反应了对未来利率相关资产价格的一种预期。以这种利率相关资产或者直接以利率作为标的资产的利率衍生产品的定价要基于这种未来利率变动的预期。 - 3 -
中国利率期限结构及应用研究 我国利率期限结构问题研究的意义 由于利率期限结构的基准作用，所以对利率期限结构的估计一直是金融学领域一个十分基础性的研究问题。在美国等发达国家，利率期限结构的研究一直是金融学领域的一个研究重点。而且，研究的工具和考虑因素也日益复杂，理论假设越来越接近于现实。 在我国目前的现实背景下，利率期限结构研究具有更多的理论意义和现实意义： （一）理论意义 （1）为中国的资产定价提供一个坚实的理论依据。中国证监会于1997年3月25日颁布了《可转换公司债券管理暂行办法》，并于2001年4月26日颁布了《上市公司发行可转换公司债券实施办法》，表明中国证券市场已经将可转债的发展提到一个议事日程上。这也表明了我国发展衍生金融市场的一个方向。可转债就是一个典型的衍生金融产品，它的定价依赖于对市场利率及其变动的准确估计。而且，事实上，目前中国银行的存款和贷款中都包含着期权，如何对包含在现有存款和贷款当中的期权进行准确的定价，对银行业务的发展和金融市场的完善，具有重要的意义。这些相关资产和衍生产品的定价，都严重依赖于利率期限结构的动态模型。 （2）促进中国资本市场的完善。一个完善的市场应该是一个定价合理、不存在套利机会的市场。通过利率期限结构的准确动态估计，就可以为政府提供有关市场价格是否合理的信息，为减少市场套利，促进市场的完善提供指导性的理论建议。 （3）为我国的利率市场化进程提供基准利率支持。利率市场化是我国利率体系改革的一个方向。在利率市场化改革的进程中，如何确定基准的市场利率是一项十分重要的基础性工作。它必须建立在市场上投资者预期的基础之上，并能够切实地反应这种预期。我国国债市场的利率期限结构因为其本身的众多特点，可以成为这种基准利率的一个十分重要的参考。 - 4 -
1． 导 论 （二）现实意义 （1）保值和风险管理。利率风险是投资者面临的一个重要风险，通过对利率期限结构的动态估计，就可以对未来利率变动进行一个比较有效的预测，从而为投资者的保值和风险管理提供有用的信息。 （2）金融产品设计。在对利率期限结构进行有效估计并对相应产品进行准确定价的基础上，就可以充分利用金融工程的“量子理论”，通过分解和组合现有的资产形成新的能够满足投资者需要的资产并能够进行合理定价。 （3）套利。通过对市场利率期限结构的分析，就可以发现市场上资产定价可能存在的不合理性，并利用这种不合理性进行套利，获取无风险收益，从而促进市场的完善。这种套利包括跨市场套利、跨期限套利、跨商品套利以及综合套利等。 有关利率的几个基本概念的界定 利率 利率是因为出让货币资金在一定时期内的使用权而给货币资金所有者的报酬。在金融工程领域，它被广泛地应用于固定收益证券（fixed-income security）的定价以及分析中。因为在风险中性定价（risk-neutral pricing）原理中，标的资产的收益率的漂移率必须根据无风险利率进行计算。所以，对利率的分析和估计是金融工程领域一个十分基本的问题。 （一）利率和零息票债券 一个最基本的一期利率的等式就是： P(N−1,t+1)=P(N,t)(1+r)， 1t①其中，P(N,t)代表时刻t的N期零息票债券的价格，r代表时刻t的1期计1t1次复利的1期利率水平。 ① 所谓零息票债券是指只有在到期期末获得固定收益的债券。 - 5 -
中国利率期限结构及应用研究 将这个等式扩展到多期，假设零息票债券到期获得的现金流量都为1，则期限为N的零息票债券的价格可以表示为： 1P(N,t)=，r代表时刻t的1期计1次复利的N期利率水平。 NtN(1+r)Nt以连续复利收益率表示则为: −yNNtP=e， Nt连续复利的利率y=−logP(N,t)/N=−p(N,t)/N，其中Ntp(N,t)=logP(N,t)。 比如，在某个时点t, 市场有P(1,t),P(2,t),...,P(N,t)的零息票债券的市场价格，我们就可以通过上式分别计算出y,y,...y，这就是一个时点t的利1t2tNt率期限结构。所以，利率期限结构可以直接从零息票债券价格中计算出来。 （二）利率和息票债券 ①②对息票债券而言，则可以有好几种表示方法： 第一种方法是把息票债券看作是一个不同期限零息票债券的组合，这样就可以利用零息票债券的利率期限结构进行计算。假设息票债券每期支付的利息为C,到期支付1。 inC1iP(N,t)+，如果债券息票利率保持不变，即C不变， ƒn(1+r)(1+r)i=1itnt则可以简化为： nC1P(N,t)+。 ƒin(1+r)(1+r)i=1itnt第二种方法是利用到期收益率（yield to maturity）的概念。所谓到期收益率，就是指使债券未来的现金流量的贴现值等于当前债券价格的贴现率。在每期支付利息相同的条件下， ① 所谓息票债券指除了到期获得固定收益之外，每期还能获得利息收入的债券。 ② 当然，零息债券也可以用这几种方法表示。 - 6 -
1． 导 论 C1(1−)nnC11+y(1+y)1cntcntP(N,t)+=+= ƒinn1(1+y)(1+y)(1+y)i=1cntcntcnt1−1+ycnt1C(1−)n(1+y)1cnt+，y表示息票债券的到期收益率。 cntny(1+y)cntcnt从上面分析可以看出对息票债券而言，其到期收益率不等于利率水平。 所以，利率的期限结构等于零息债券的到期收益率结构，但不等于息票债券的到期收益率结构。 此外，和利率相关的概念还有： N连续复利持有收益率，用hpr表示。即从时刻t到时刻t+1持有N期零t+1N息票债券的连续复利收益率，因此hpr=p(N−1,t+1)−p(N,t)； t+1瞬时利率，即期限趋于零时的利率水平，可以用r(t)表示。 而且， −p(N,t)r(t)=limy=lim NtN→0N→0N（三）单利、1期计1次复利和连续复利 在本文的分析中，所涉及到的利率有三种形式：单利、1期计1次复利和连续复利。为了说明三者之间的连续和区别，我们假设投资的期限为N，初始投资为1，N期利率为r。则： （1）如果利率为单利，则投资者的期末总收益为1+rN。 N（2）如果利率为1期计1次复利，则投资者的期末总收益为(1+r)。 rN（3）如果利率为连续复利，则投资者的期末总收益为e。 三种不同形式的利率是对同一投资收益率的不同表达，期末的总收益必须相等。因此，单利的利率可以通过ln(1+rN)/N转化为N期连续复利；1期N计1次复利的利率可以通过[ln(1+r)]/N转化为N期连续复利。 - 7 -
中国利率期限结构及应用研究 在本文的分析中，为了说明的简化，有时对1期计1次复利的N期利率和连续复利的N期利率没有做出明确的说明，而统称为N期利率，对利率为哪种形式主要通过总收益的形式进行区别。 远期利率（forward rate） 远期利率指现在约定的从未来某一时点开始的某个时期之内的利率，用N→N+1f，t表示现在时间，N表示远期生效距离时刻t的时间，N+1表示远期t结束距离时刻t的时间，也就是说，在时刻t约定的，从N+t时刻开始的1期时间之内的利率水平。 (N→N+1)定理：f=p(N,t)−p(N+1,t)。 t证明： 考虑一个零成本的投资策略。购买1单位的零息票债券P(N,t)，卖出P(N,t)/P(N+1,t)单位的零息票债券P(N+1,t)。假设零息票债券到期支付1。总共的支出为： −P(N,t)+[P(N,t)/P(N+1,t)]×P(N+1,t)=0。 该投资策略的回报为： 在时刻N+t,获得1； 在时刻N+t+1,付出P(N,t)/P(N+1,t)； 根据无套利原则，该回报的期末值应该为0。因此， N→N+11×exp(f)−P(N,t)/P(N+1,t)=0， tN→N+1f=p(N,t)−p(N+1,t)。证毕。 t0→1推论 f=y。即即期远期利率等于即期利率。 t1t(0→1)证明：f=p(0,t)−p(1,t)=−p(1,t)=y。证毕。 1与瞬时利率相对应，也有一个瞬时远期利率的概念，用f(N,t)表示。 p(N,t)−p(N+∆,t)∂p(N,t)f(N,t)=lim=−。 ∆→0∆N同样，我们也可以得到：f(0,t)=r(t)。 - 8 -
1． 导 论 ① 久期（duration） ②债券久期的概念最早由Macaulay(1938)提出。他使用债券期限的加权平均形式来计算债券的平均到期时间。 nPV(C)×i ƒii=1D=， P其中P代表债券的目前价格，PV(C)代表债券第i期现金流（利息或者i本金）的现值。 如果利用到期收益率的概念，则久期可以表示为： nC×ii ƒi(1+y)i=1D=， P其中，C代表第i期的现金流（利息或者本金），y代表到期收益率。 i如果使用连续复利到期收益率，则 n−y'×iD=(Ce)/P ƒii=1y'代表连续复利到期收益率。 （一）久期和债券价格 因为债券价格满足： n−y'×iP=Ce， ƒii=1n−y'×iCie ƒin'∂P−y×ii=1所以=−Cie=P(−)=−PD。 ƒi'∂yi=1∂P=−D∂y'， P也就是说，债券价格的变动比例等于债券久期和到期收益率变动量乘积 ① 参见张亦春和郑振龙(2003)。 ② 因此也可以称为Macaulay久期。 - 9 -
中国利率期限结构及应用研究 的相反数。债券价格变动和久期之间是一个线性关系。 因为y'=ln(1+y)，所以， ∂P∂y=−D 1+D*令修正的久期（modified duration）D=，则我们可以得到： 1+y∂P*=−D∂y P∆P*或者可以近似地表示为：=−D∆y。 P因此，久期反映了价格变动对收益率变动的敏感程度，二者通过债券久期构成一个线性关系。但是这个方法也有缺陷：首先它假定所有期限的收益率同时移动相同数量，就是指期限结构的平行移动；而且它是一阶估计，没有考虑到凸性问题。 （二）久期和债券期限 久期衡量的是债券的平均到期时间，它和债券的实际到期时间之间既有联系，也又区别。 对于零息票债券而言，它到期一次性支付本金，期间不支付利息，所以它的价格等于到期本金的现值，因此， PV(C)nD=×=n， P即零息票债券的久期等于它的实际到期时间。 n对于息票债券而言，PV(C)=P，所以 ƒii=1nnnPV(C)×iPV(C)×nPV(C) ƒ ƒ ƒiiii=1i=1i=1D≤=×=n， 也就是说，息票债券的久期不超过债券的实际到期时间。 - 10 -
1． 导 论 凸性（convexity） 因为在现实生活中，债券价格变动率和到期收益率变动之间并不是线性关系，久期只不过是用线性关系进行近似地估计。在收益率变动比较小以及利率期限结构平行移动时，这种近似比较准确；但是如果收益率变动比较大，或者利率期限结构发生了非平行移动，一阶近似就会产生比较大的误差，此时就需要进行二阶项的调整。这个二阶项就是凸性。凸性是指债券价格变动率和收益率变动关系曲线的曲度，是债券价格对收益率的二阶导数除以价格： 21∂PC=， 2P∂y考虑了凸性之后，债券价格变动和收益率变动之间的关系可以重新写为： ∂P1*2nt=−D∂y+C(∂y)， P2nt∆P1*2nt或者可以近似地表示为：=−D∆y+C(∆y)。 理论基础、研究方法及主要结论 本文是在对国内外利率期限结构研究的综合考察的基础上对中国的利率期限结构作一个全面系统的研究，利用这些研究结果对目前市场上的一些衍生产品进行定价。在这些研究的过程中，始终贯穿着对中国现实情况的考察，分析和研究中国在利率期限结构以及相关市场方面存在的问题和缺陷，并提出相应的改革建议。 理论基础 我们对利率期限结构的研究建立于一系列坚实的理论基础之上。这些理论包括：随机贴现因子理论、无套利定价理论和风险中性定价理论。其中，随机贴现因子理论是最广泛、最通用的资产定价理论，其条件期望值代表了利率期限结构。在对贴现因子做出假设之后，随机贴现因子可以转换为众多- 11 -
中国利率期限结构及应用研究 的具体理论，如贝塔定价模型，因素定价模型等。由于贝塔模型和因素模型之间存在的差异，二者在具体的计量分析方法上也不同，所以二者不能等同。无套利定价理论则是在随机贴现因子理论基础上的拓展，当存在一个正的随机贴现因子时，随机贴现因子模型就变为无套利定价理论。利用无套利定价理论则可以分解出风险中性概率，使得风险资产的价格等于其到期回报按照无风险利率的贴现，由此产生了风险中性理论。正是基于此，风险中性定价理论是一个相对定价原理。它是衍生产品定价的基础。利用风险中性定价原理，所有衍生产品的价格就等于其到期回报的无风险贴现值。由于风险中性世界和现实世界存在的差异，因此要将现实世界转换成风险中性世界，需要经过等价鞅测度的转变。 一般的利率期限结构动态模型研究都是描述风险中性世界中利率的变动，因此利用现实世界的数据进行分析就隐含了风险中性世界和现实世界模型的互相匹配，这种匹配本质上对风险价格的形式作出了规定。不同的模型，会导致对不同的风险价格的规定。而且，现实世界中估计的利率参数也和风险中性世界中存在差异，在用于衍生产品定价时可以不作考虑，但是在进行资产管理时必须重视。 研究方法 就方法论而言，本文采取了理论和实践相结合、实证分析和规范分析相结合的研究方法。在具体的语言运用上，以定量分析为主，并不断地结合定性分析，以期能够对中国利率期限结构作一个比较全面深入地研究。 理论和实践相结合是马克思主义认识论的一个基本原则。因此，本文力求理论问题和实际问题之间的紧密联系，尽量在一个我国的现实宏观经济背景下来探讨理论问题，使得本文分析的结论尽可能的符合实际情况。理论必须来源于实践，最后又要回到实践中去，并对实践起指导意义。本文首先对利率期限结构的理论基础进行详尽深入地分析，为利率期限结构研究奠定了一个坚实的理论基础；然后在这些理论基础上，利用中国的具体数据对各种- 12 -
1． 导 论 具体问题进行具体地分析，并研究利率期限结构在实践中的具体应用。在利率期限结构相关理论的基础上，通过对实践的考察，研究它与理论之间存在的差距，并在此基础上提出相应的改革建议，这是本文研究的基本思路。 实证分析和规范分析则是现代经济理论研究中广泛使用的一个研究方法。二者的结合可以对一个问题进行深入、透彻的分析，了解它的前因后果。实证分析方法研究的是“现实是什么”的问题，而规范分析方法则研究“应该是什么”的问题。本文首先立足于规范分析，通过对利率期限结构的理论基础的分析和研究，揭示出利率期限结构的合理性和一些基本的相关理论。然后，通过大量的实证分析，研究和分析我国目前利率期限结构所存在的一些静态特征和动态变化行为，以及它在现实中的具体应用。通过这些实证分析所得出的具体结果和规范分析所得出基本结论的比较，我们就可以具体地分析我国在利率期限结构上所存在的问题及改革的方向。 定量分析是本文重要的研究方法之一，在整篇文章中通过大量的数学推导和公式演算，充分利用数学工具简洁、严谨的特点，准确充分地说明问题。数学带给金融学研究除了研究工具上的重大创新之外，更为重要的是其公理化的研究方法。坚持公理化方法，我们就应该清晰地界定前提假设或者说约束条件，严格地进行逻辑推证。坚持公理化方法，我们就应该严格地把金融学建立成“前提假设、逻辑推证、逻辑结论”这样的三段式理论体系。当然，要实现数学公理化研究方法在金融学领域中的充分应用，我们就必须对前提假设做出合理、客观的规定，使其能够最为真实地反映现实背景，从而所推出的结论也才具有其实际价值。金融学和数学公理化研究方法结合并能够有①所突破的最为重要的环节就是前提假设如何设定。对这个问题的合理解决需要深厚、扎实的经济学、金融学理论功底和文化素养。因此，本文的数学分析从本质上是一种工具，其目的都是要通过一些合理假设的确定，利用数学分析的公理化研究方法，探讨其背后深刻的金融学问题。 此外，图表也是本文的一个重要的分析工具，其目的是为了得出全面客观 ① 正是基于此，众多的学者都对经济研究中的数学化倾向提出了严厉的批评。 - 13 -
中国利率期限结构及应用研究 的结论，并且可以使文章的论述变得生动活泼。 主要结论 本文的主要结论包括： （一）中国的利率期限结构从静态特征上分析，已经初步具备市场经济国家的特征，但是也存在着许多的不完善，这种不完善是中国特殊的经济制度背景造成的。通过样条函数对中国利率期限结构的静态估计，可以发现中国的利率期限结构基本上是一条向上的正常形状，长期利率高于短期利率。对流动性溢酬的分析则可以清楚地显示出，流动性问题是中国投资者十分关心的一个问题，不同期限的流动性溢酬水平均是显著的，而且1年之间不同期限流动性溢酬之间的差异也十分显著，这表明投资者对流动性问题的敏感性。而对违约风险溢酬的估计则证实，虽然中国也存在违约风险溢酬，但是投资者对违约风险的敏感性要小于流动性，具体表现在数据上就是不同期限的违约风险溢酬之间差异性不太显著，而且，还一度出现了短期违约风险超过长期违约风险溢酬的不正常现象，不同期限的违约风险溢酬之间差距不大。这实际上反应了我国目前强大的国家信用担保的现实经济背景下投资者对信①用风险的忽视。 （二）利用不同的模型可以对中国存在的两种高度相关的利率（政府利率和市场利率）分别进行动态分析。政府利率由央行颁布决定，在一段时间内保持不变，其动态行为可以用一个可变波动率的单纯跳跃模型进行检验。由于最大似然估计法无法用于对该模型的估计，我们选择了矩估计，并利用其他方法对该估计参数进行了可靠性检验。检验表明，在中央银行决定利率的变动水平时，会受到初始利率的影响，一般是根据初始利率的一定幅度来决定利率的变动。对市场利率的变动我们选取了不同的模型进行验证，实证结果发现Vasicek模型的表现要比CIR模型好得多，而Vasicek-GARCH(1,1)则可以显著地增加Vasicek模型的最大似然值。因此，中国利率变动服从一个 ① 对这个问题的论述参见张亦春和林海(2003a)。 - 14 -
1． 导 论 均值回归过程，其变动要受到历史信息的影响。对利率的单位根检验表明，我国利率无法拒绝单位根假设，因此均值回归参数的估计是有偏的。而且通过对市场利率的直观分析还可以发现，央行的政策行为对市场利率的变动产生明显的影响。 （三）对中国市场利率期限结构的主成分分析表明，久期匹配策略可以获得比较好的套期保值效果，但是要选择比较合适的时间窗口。通过对中国市场利率期限结构的主成分分析，我们发现，水平因素、倾斜因素和曲度因素可以解释绝大部分的利率变动，其中水平因素的影响程度最大，超过了90%。而水平因素和倾斜因素联合起来可以解释99%以上的利率变动，因此在中国，如果条件许可，久期匹配策略可以获得比较好的套期保值效果。但是，由于主成分分析的结果会受到时间窗口的影响，因此在实际的运用中要十分注意时间窗口的选择。当然，由于我国还无法卖空，所以这些结果只具备一些参考意义。 （四）我国银行的基本资产负债中隐含着期权，由银行承担其成本，因此，在计算银行的真实利差时，必须考虑这些期权的价格，从而导致了银行的真实利差偏低。作为银行的基本负债，定期存款对存款人而言，可以分解成一个固定债权和若干个美式利率看涨期权多头；对银行而言，则可以分解成一个固定债务和若干个利率美式看涨期权空头。作为银行的基本资产，定期贷款对贷款人而言，可以分解成一个基本债务和若干个美式利率看跌期权的多头；对贷款银行而言，则可以分解成一个基本债权和若干个美式利率看跌期权的空头。通过对无套利分析方法和数值模拟方法计算出两个期权的价格并进行比较，我们发现两种方法对定期存款隐含期权价格的估计上存在着相当大的差异；这反应了政府利率和市场利率的严重脱节，以及市场行为和政府行为之间的巨大差异；而定期贷款中隐含期权的价格则相差不大，这表明商业银行市场化改革的逐步成功。 （五）在发行公司和一般投资者最优决策的假设条件下，对可转债的定价结果表明中国的可转债价格被严重低估，这种低估不能用信息反馈的滞后、- 15 -
中国利率期限结构及应用研究 股本稀释、流动性等原因解释，只能归因于市场的无效。由于可转债是一个复杂的衍生产品，它既包含投资者的期权，也包含发行公司的期权，二者是一个互相博弈的过程。因此要对可转债定价，首先要分析发行公司和投资者的最优决策行为。一般投资者的决策行为相对比较简单，即比较转股和持有转债之间的收益并选择较大值。而发行公司由于其特殊的制度背景，决策目标有其特殊性，我们归结为“以尽可能高的价格尽可能早地转股”，在这个决策目标下，我们依次分析了发行公司在赎回政策、调整转股价格政策上的最优决策行为。立足于这些最优决策以及相应的参数，我们通过数值模拟方法对可转债进行了定价。定价结果表明，中国可转债存在明显的低估，只能用市场的失效来解释。 （六）对银行间市场和交易所国债市场利率期限结构的分析表明，两个市场在利率期限结构及其变动上存在着相当大的差异，处于分割的状态，不利于一个基准市场利率的形成，不利于市场化进程的推进，为此，我们提出了统一国债市场的设想。通过对国债市场的众多优势的分析，我们认为在市场化进程中最有可能承担基准利率作用的就是国债市场的利率期限结构。而由于我国国债市场存在的人为分割，造成了同时存在两个不同的国债市场利率期限结构，制约了国债市场基准利率的形成，因此我们必须统一国债市场，将银行间市场和国债市场变成在一个统一市场下的两个子市场，不同市场侧重不同的交易。为了统一市场，我们必须对发行市场和流通市场分别进行改革。 本文创新与不足之处 本文是国内最早的利率期限结构系统性研究成果之一，对中国众多的利率期限结构问题都进行了开拓性的研究，得出了许多富有理论意义和现实指导意义的结论。利率包括市场利率和政府利率，本文的研究重点放在市场利率，当然对政府利率也有所提及。市场利率包括回购短期利率、票据利率和国债- 16 -
1． 导 论 现货利率等，本文只对国债现货利率进行研究；国债现货利率包括交易所市场现货利率和银行间市场现货利率，本文则主要研究交易所市场的国债现货利率，由于上海证券交易所的国债市场在交易所市场中居于主导地位，因此本文的研究重点是上海证券交易所的国债交易市场现货利率。总的来说，本文主要通过对上海证券交易所的国债现货市场利率期限结构的分析和估计，研究我国市场利率期限结构的一些静态特征、动态行为以及同政府利率变动之间的关系，并利用这些研究成果对我国的一些衍生产品定价。 创新之处 ①本文主要的创新之处有： （一）对利率期限结构理论基础的分析。本文对随机贴现因子理论、无套利定价理论和风险中性定价理论进行了详细的分析和讨论，并在此基础上分析了它同利率期限结构之间的紧密联系，从而为利率期限结构的研究奠定了一个坚实的理论基础。在对理论基础的分析中，对随机贴现因子理论在不同效用函数下的一般适用性进行了拓展，对贝塔定价模型和因素定价模型之间的本质区别以及由此引起的计量分析方法差异进行了深入细致的论证，从而对所存在的将贝塔定价模型和因素定价模型等同起来的错误进行了理论上修正。在对利率期限结构和定价理论的联系中，论证了一般债券定价公式在现实世界中的适用性，从而修正了Cochrane(2000)对该问题的论述；并在此基础上分析了随机贴现因子在风险中性世界中的特征，着重指出了利用现实世界的随机贴现因子定价和风险中性世界中的随机贴现因子定价之间的差异，从而更明确地验证了风险中性世界定价的方便和简洁。基于利率期限结构动态模型描述的均是风险中性世界中的利率变动行为，本文首次提出了利用现实数据对利率期限结构动态模型进行参数估计时隐含着一个重要的假设前提，即现实世界中的利率期限结构动态模型和风险世界中利率期限结构动态模型在表达形式上保持一致。进一步分析，本文还得出这本质上是假定了风 ① 必须指出的是，下面大部分的研究都是和郑振龙教授的合作研究成果。 - 17 -
中国利率期限结构及应用研究 险价格形式的重要推论，从而明确而又鲜明地指出了利率期限结构动态模型在现实世界和风险中性世界中的差异，丰富了利率期限结构的理论研究。 （二）对中国利率期限结构的静态估计和相关假设分析。通过一个样条估计方法，本文对中国上海交易所国债市场的利率期限结构进行了静态估计，①在国内首次提出了真正意义上的利率期限结构。 （三）对中国政府利率动态行为的研究。本文首次通过一个可变波动率的单纯跳跃模型对中国政府利率变动行为进行了分析，并估计出政府利率调整的频率和幅度。 （四）对中国市场利率动态行为的分析。本文通过不同模型对市场利率动态行为进行了验证，而且为了验证模型是否存在估计偏误，还对利率的单位根问题进行了研究。在单位根检验中，除了适用一般的单位根检验方法之外，还使用了更为准确的GPH方法。 （五）对银行资产负债业务中隐含期权的定价。本文在国内首次提出了银行资产负债业务中隐含期权的概念，并利用政府利率动态模型对这些期权进行了定价。在这些定价结果基础上，本文估计出银行真正的存贷利差。 （六）对中国可转债的定价。与一般的直接利用BS定价模型对可转债进行定价的研究不同，本文的可转债分析建立在更为现实的公司和投资者决策基础之上。基于中国特殊的制度性背景，本文首次提出了许多关于可转债发行公司最优决策目标以及最优决策行为的推论，并在这些推论基础上对可转债进行了合理定价。应该说，相比国内其他的可转债定价研究而言，本文的定价方法更为科学、合理，结论也更为精确、可信。 （七）可转债的条款设计分析。本文通过可转债价格的敏感性分析，研究了不同因素和可转债条款对可转债价格的影响程度，并在此基础上对可转债发行公司的可转债条款设计提出了许多富有建设性的意见和建议。 ① 早期的研究大多直接用到期收益率曲线代替利率期限结构。 - 18 -
1． 导 论 不足之处 本文主要的不足之处则体现在： （一）在对利率期限结构的静态估计中，所选取的样条函数相对比较简单，虽然得出的结果已经令人满意，但是没有通过对其他样条函数的选择进行函数的可靠性检验（robustness test）。 （二）对中国市场利率的动态模型研究中，只选取了最为简单的两种模型。虽然也引入了GARCH效应，但还存在其他的许多的利率期限结构动态模型，需要进行进一步的验证。 （三）在对政府利率行为的动态模型研究中，虽然考虑了条件信息，即波动率和利率水平相关，但是对跳跃均值的条件信息没有进行考虑，而只是简单的估计它的无条件期望值为0，没有考虑其条件期望值。 （四）对央行行为和市场利率之间的关系，没有通过一个准确的模型进行验证。国外的研究一般都是通过一个均值回归——跳跃模型对这种关系进行验证，由于数据的限制，我国还无法进行这个研究。 （五）对可转债的定价分析建立在投资者和发行公司最优化决策的基础上，这是一个合理的假设。但是这种最优化只是考虑和可转债有关的最优化，没有放在一个组合的框架内进行考虑，即没有考虑投资者和发行公司虽然在可转债的决策上对于可转债不是最优，但是对其整个投资组合或者公司决策是最优的情况。 （六）在可转债定价中，对标的资产的波动率的估计过于简单，没有考虑到不同发行数量以及不同的公司性质对标的资产波动率的影响。 （七）对银行间市场和交易所市场之间的差异只是从利率期限结构上进行分析，没有进行全面的论述，也没有对利率市场化进程进行太多的论述。 论文的结构安排 本文总共分为7章。 - 19 -
中国利率期限结构及应用研究 第1章是导论。简要介绍利率期限结构课题的研究背景、研究内容、研究思路、研究方法和研究结论。主要从五个方面进行介绍，包括论文选题的背景和意义；有关课题的一些基本概念；理论基础、研究方法和研究结论；创新和不足之处；研究的结构安排等。 第2章是利率期限结构的文献回顾。主要对国内外利率期限结构的研究现状作一个比较全面的文献综述。对国外的利率期限结构研究分五个部分进行评述，包括利率形成假设、利率期限结构静态估计、利率期限结构自身形态的微观分析、利率期限结构动态模型以及利率期限结构动态模型的实证检验。此外还对国内的一些利率期限结构研究进行了述评。 第3章是利率期限结构的理论基础。对在利率期限结构研究过程中所应用到的一些基本的定价理论作一个比较深入的研究和探讨，以便为实证分析和应用研究奠定一个坚实的理论基础。分析的理论主要有三个：随机贴现因子理论（stochastic discount factor theory）、无套利定价理论（No arbitrage pricing theory）和风险中性定价理论（risk neutral pricing theory）。其中，随机贴现因子理论是最一般、最广泛适用的理论，无套利定价理论和风险中性定价理论均可以由随机贴现因子理论推导出来。在这些理论基础之上，还对利率期限结构和上述理论之间的关系进行了拓展，得出了许多富有理论意义的结论。 第4章是中国利率期限结构的实证分析。主要是利用中国的实际数据（上海证券交易所的国债价格数据和公司债价格数据）对中国市场的利率期限结构作一个系统、全面的估计和分析，研究我国市场利率期限结构的静态特征、流动性溢酬的大小以及违约风险溢酬的高低。在这些研究基础上，对中国市场利率的变动进行动态的分析，探讨中国利率期限结构的动态变化特征。为了分析影响中国市场利率变动的潜在因素，还对中国利率期限结构进行了主成分分析。除了市场利率之外，还对中国政府利率的变动进行了研究。与通常的政府利率变动的研究不同，本章的研究重点不在于分析中国政府利率变动的原因，而是研究中国政府利率变动的特征。本章提出了一个可变波动率的纯跳跃模型（pure jump model），利用该模型可以比较好的描述中国政府利- 20 -
1． 导 论 率的变动。 第5章是中国利率期限结构的应用研究。我们主要运用中国利率期限结构的实证研究结果对中国目前存在的一些衍生产品进行定价，以具体说明利率期限结构在现实世界中的运用。利率期限结构的应用主要在两个方面：一个是银行资产负债基本业务中隐含期权的定价；另一个则是中国可转换债券的定价分析。为了分析不同因素对期权价格的影响，本章还对期权价格进行了敏感性分析，并在此基础上提出相应的建议。 第6章是中国利率期限结构的缺陷和改革。通过对银行间债券市场和交易所债券市场的利率期限结构的分析，发现二者之间存在着相当大的差异。这反映了我国国债市场发展的不完善，不利于一个统一的市场基准利率的形成，对我国的利率市场化进程是一个极大的障碍。为此，本章提出了统一两个市场的设想。 第7章是本文的结论。主要分析本文理论研究、实证检验、定价分析中的一些重要结论以及存在的一些缺陷和问题，指出今后进一步研究的方向。 - 21 -
中国利率期限结构及应用研究 ①2. 文献回顾 本章主要对国内外利率期限结构的研究现状作一个比较全面的文献综述，总共分为六节。第一节至第五节分五个部分对国外的利率期限结构研究进行评述：（1）利率期限结构形成假设；（2）利率期限结构静态估计；（3）利率期限结构自身形态的微观分析；（4）利率期限结构动态模型；（5）利率期限结构动态模型的实证检验。第六节则是评述国内的一些利率期限结构研究。 国外文献综述1：利率期限结构形成假设 利率期限结构是由不同期限的利率所构成的一条曲线。由于不同期限的利率之间存在差异，所以利率期限结构可能有好几种形状：向上倾斜、向下倾斜、下凹、上凸等。当利率期限结构向上倾斜时，长期利率高于短期利率；当利率期限结构向下倾斜时，长期利率低于短期利率；当利率期限结构下凹时，随着期限的延长，利率先下降，然后上升；当利率期限结构上凸时，随着期限的延长，利率先上升，后下降。在现实中，大多数的利率期限结构是向上倾斜的曲线，偶尔也会出现其他的形状。为了解释这些不同形状的利率期限结构，人们就提出了几种不同的理论假设。 利率期限结构形成的几种假设 （一）利率形成假设之一：市场预期假设（expectation hypothesis） 1、市场预期假设的内容及不同版本的表示方法 市场预期假设的基本内容是：当前利率期限结构代表了对未来利率变化的一种预期。当利率期限结构曲线向上倾斜时，预期市场短期利率上升；当利率期限结构曲线向下倾斜时，则意味着预期市场短期利率下降。 ① 本章内容主要在林海(2002a)基础上修改而成。 - 22 -
2． 文献回顾 该假设中隐含着几个重要的前提条件：（1）投资者对债券的期限没有偏好，投资行为完全取决于预期收益；（2）所有市场参与者都有相同的预期；（3）不同期限的债券之间可以完全替代；（4）金融市场完全竞争。在这些假设前提下，债券市场就会通过投资者在不同期限的债券之间的选择和竞争达到均衡。在这个均衡下，相同期限内不同投资方式所获得的预期收益率应该是相同的。具体而言，投资方式可以有三种：（1）短期债券；（2）长期债券；（3）远期。在同一期限内，不同投资方式的预期收益率是相等的。所以，不同投资方式预期收益率的比较也就构成了市场预期假设表示的不同版本。 版本1：在某一个时期，持有短期债券和长期债券的期望总收益率是一样的。对一个期限为1期的零息债券而言，其总收益率为1+r；对期限为n期1,tnEP(1+r)tn−1,t+1nt的零息债券而言，其1期的期望总收益率为=。其中，n−1PE(1+r)nttn−1,t+E（⋅）表示t时刻的条件期望，r,i=1,2,...,n代表时刻t的i期利率。所以，该版ti,t本可以表示为： n(1+r)n,tn−(n−1)1+r=E)=(1+r)E(1+r) （） 1,ttn,ttn−1,t+1n−1(1+r)n−1,t+1版本2：长期债券在n个时期中的总收益率等于n个一期债券在n期中的复合总收益率的期望值，也等于1期债券与n-1期债券复合总收益率的期望值。 nn−1(1+r)=E((1+r)(1+r)(1+r)....(1+r))=(1+r)E((1+r))， n,tt1,t1,t+1,t+21,t+n−1,ttn−1,t+1n(1+r)n,t1+r= （） 1,tn−1E((1+r))tn−1,t+1版本3：远期利率等于未来即期利率的期望值。 n(1+r)n,t+f==E(+r)， n−1,tt1,t+n−1n−1(1+r)n−1,t- 23 -
中国利率期限结构及应用研究 其中f代表t+n−1时刻的1期远期利率。 n−1,t2、市场预期假设三个版本的矛盾之处 n(1+r)n,t根据（），1+r=E)， 1,ttn−1(1+r)n−1,t+1n(1+r)n,t根据（），1+r=， 1,tn−1E((1+r))tn−1,t+1nn(1+r)(1+r)n,tn,t但是，由詹森不等式可知，E≠，（）tn−1n−1(1+r)E((1+r))n−1,t+1tn−1,t+1①和（）互相矛盾。由于存在这个问题，所以市场预期假设本身就存在着缺陷。 3、市场预期假设同利率期限结构 为了分析市场预期假设下利率期限结构的形状，我们将上述分析简化为2期，并运用版本2。则， 2(1+r)=(1+r)E(1+r)， 2,t1,t1,t+1所以，如果rfr，即利率期限结构上倾，则E(1+r)f1+rf1+r，2,t1,tt1,t+12,t1,t也就是说，预期利率上升；如果rpr,即利率期限结构下倾，则2,t1,tE(1+r)p1+rp1+r，预期利率下跌。 t1,t+12,t1,t因此市场预期假设最直接的经济含义就是当期利率期限结构代表了对未来利率变动的一种预期。 （二）市场分隔假设（market segmentation hypothesis） 该理论假设存在一个市场分隔。期限不同的债券市场是完全分离和独立的，每一种债券的利率水平在各自的市场上，由对该种债券的供给和需求决定，不受其他期限债券的影响。由于不同市场之间的差异以及投资者面临的众多投资限制，比如风险水平的限制、头寸的限制等，他们不会轻易地离开 ① 这是离散状态下的矛盾。可以证明，在连续时间状态下，该矛盾同样存在。Cochrane(2000)对该问题的解释是一个笔误。详细的证明参见Lin(2002)。 - 24 -
2． 文献回顾 原先的市场而进入一个不同的市场，从而导致了不同市场之间的利率差异。 该假设隐含的前提条件是:（1）投资者对不同期限的债券有不同的偏好，只关心他所偏好的那种债券的预期收益水平；（2）投资者对投资组合的调整①有一定的局限性；（3）期限不同的债券是完全不可替代的；（4）投资者是理性的。 所以根据市场分割假设，利率期限结构的形状之所以存在差异，是因为对不同期限债券的供给和需求不同： （1）利率期限结构向上倾斜表明对短期债券的需求高于对长期债券的需求，结果是短期债券具有较高的价格和较低的利率水平，短期资金的供给和需求曲线的交点的利率比长期资金的交点的利率低，长期利率高于短期利率。 （2）一个下倾的期限结构则表明对长期债券的需求相对高于短期债券，结果是长期债券具有较高的价格和较低的利率水平，短期资金供求的交点的利率比长期资金的交点更高的时候，短期利率高于长期利率。 （3）一般而言，投资者宁愿持有短期债券而非长期债券，因此利率期限结构通常向上倾斜。 （三）流动性偏好假设（liquidity preference hypothesis） 1、流动性偏好假设的提出 流动性偏好假设是对市场预期假设和市场分割假设的综合和发展。市场预期假设将不同期限的债券市场看成可以完全互相替代的，不同投资方式的预期收益率相等。根据该假设，利率期限结构曲线向上倾斜，预期短期利率上升，但是在实际中短期利率也可能下跌。因此预期假设不能很好地解释现实。市场分割假设则走了另外一个极端，即不同期限的债券之间是完全不可替代的，一种期限债券利率的变动不会影响到另外一种债券，无法解释利率的共同变动。流动性偏好假设则是对二者的综合和发展。它既考虑了投资者的投资偏好，也考虑了不同债券之间的替代性。 ① 这个条件和市场预期假设相反。 - 25 -
中国利率期限结构及应用研究 该假设的隐含前提条件为：（1）投资者具有一定的债券偏好，但会受到其他债券的影响，如果其他债券的收益上升，则对此债券的偏好就可能被抵消；（2）不同债券之间具有一定的替代性，一种债券的预期收益率会影响到其他债券的预期收益率，但是不是完全替代的；（3）投资者具有偏好短期债券的倾向，因为他们认为这些投资可以更早地获得需要的资金，同时认为如果投资于较短期的证券，他们将面临较小的“价格风险”（即“利率风险”）；（4）为了吸引投资者投资于长期债券，必须有一个正的时间溢价作为补偿，这个溢价就是流动性溢酬（也成为“期限溢酬”）。 因此，根据流动性溢酬假设，长期债券收益率等于连续短期的收益率再加上一个流动性溢酬，即 n(1+r)=E((1+r)(1+r)(1+r)....(1+r))＋L，L表示流动性溢n,tt1,t1,t+1,t+21,t+n−酬。 2、流动性偏好假设同利率期限结构 为了简化分析，我们假设n=2，因为Lf0，所以 22E(1+r)(1+r)=(1+r)−Lp(1+r)， t1,t1,t+12,t2,t因此，如果rfr，即利率期限结构下倾，则E(1+r)p1+rp1+r，1,t2,tt1,t+12,t1,t表明对即期利率的一个下降的预期，因此利率期限结构下倾和流动性溢酬假设并不矛盾。 但是，如果rfr，即利率期限结构上倾，则 2,t1,t2(1+r)−L2,tE(1+r)=， () t1,t+1(1+r)1,t2(1+r)−L2,t所以，E(1+r)可能大于、等于和小于1+r，这取决于和t1,t+11,t(1+r)1,t1+r之间的关系： 1,t2(1+r)−L2,t2（1）如果f1+r，即rf(1+r)+L，预期市场利率上1,t2,t1,t(1+r)1,t- 26 -
2． 文献回顾 升； 2(1+r)−L2,t2（2）如果=1+r，即r=(1+r)+L，预期市场利率保持1,t2,t1,t(1+r)1,t不变； 2(1+r)−L2,t2（3）如果p1+r，即rp(1+r)+L，预期市场利率下1,t2,t1,t(1+r)1,t降。 因此，三种可能性都有，这取决于利率期限结构上倾的陡峭程度。一般地，越陡峭，越可能是市场预期即期利率将上升。因此，即使利率期限结构上倾，也并一定就代表着未来利率上升，这就能够比较好地解释现实情况。 而且，在流动性溢酬水平一定的条件下，如果短期利率上升，则预期在短时间内会继续上升，因此长期利率也会上升，所以不同期限的利率共同变动。 对利率期限结构形成假设的检验 利率期限结构形成假设主要有市场预期假设、流动性溢酬假设以及市场分割假设。其中，市场预期假设是最基本的假设。因此，绝大部分的研究对象都放在市场预期假设上，并在此基础上考虑流动性溢酬假设。 Cargill(1975)利用英国的资料对利率期限结构的预期假设进行了实证分析并拒绝了市场预期假设。在它的文章中，使用了两个市场预期的方法： （1）瞬时远期利率f(N,t),f(N−1,t+1),f(N−2,t+2),...,f(0,N+t) 是一①个鞅过程。 所以， , ① 鞅过程的严格定义是p=Ep,也就是说，根据目前信息对未来的最好预测就是现在的价格。该ttt+1式子证明为：Ef(N−1,t+1)=EEr(N+t)=Er(N+t)=f(N,t)，r(N+t)代表 t+1tN+t时刻的瞬时利率。 - 27 -
中国利率期限结构及应用研究 cov((f(N−1,t+1)−f(N,t)),(f(N,t)−f(N+1,t−1)))=0, cov((f(N−1,t+1)−f(N,t)),(f(N−1,t)−f(N,t−1)))=0， ∞（2）R(n,t)=βR(j,t−j),j≠n，R(n,t)表示t时刻n期债券的净收益 ƒjj=0率。 经过分析，他得出结论认为流动性溢酬的不断变动是市场预期假设无法得到验证的主要原因。 Lee（1989）利用广义矩方法对市场预期假设的非线性关系进行了分析，认为随时间变化的风险溢酬和异方差对分析战后美国的债券市场十分重要。他的模型主要是： 一个代表性投资者要达到其效用最大化： ∞tmaxEβU(C), 0 ƒtt=0市场上有两种债券：无风险短期债券（期限假设为1）和无风险长期债券（假设期限为n），则约束条件为： BB1t+1nt+PC++≤Pm+B+B tttt1tntn1r(1r)1,tn,tP 是时刻t的价格水平, B,j=1,n是时刻t购买的j期无风险债券的tjt+j数量, B,j=1,n指时刻t到期的j期债券的数量，m代表时刻t的非投资真jtt实收入。其主要的经济含义是投资者的支出（包括消费支出和投资支出）必须受他所获得收入的限制（包括投资收入和其他收入）。 所以最优方程为 ∞BBt1t+1nt+Eβ(U(C)+λ(Pm+B+B−PC−−)，可以得出 0 ƒtttt1tntttn1r(1rt=01,tn,t1λt+1=βE() t1+rλ1,tt- 28 -
2． 文献回顾 1λnt+n=βE() tn(1+r)λn,tt如果n=2，则 1λλλλt+1t+2t+1t+2E(β(β)=E(β)E(β)cov +1t2(1+r)λλλλ2,t1111=E+cov tt1+r1+r1,1,t+1根据市场预期假设, 1111=×, 为预期远期利率。流动性溢酬为： 2+ˆ(1r)1+r1+r+ˆ1r2,t1,t1,t+11,t+1ˆr−E(r)。 1,t+1t1,t+1使用Woodward(1983)的风险溢酬概念： S=−E(), tˆrr1,t+11,t+1Scov=。 t1+r1,t因为条件协方差随着时间变动，标准化的风险溢酬也会随时间变动。它是一个非线性关系。 ①在一个一般的相对风险厌恶系数为常数的基数效用函数条件下： 1+r1C−α1,tt+1=E[()]=E(V) 1t+1βC1+pit1tnt(1+r)1Cn−αn,tt+n()=E[()]=E(V) nt+βC1+pipi代表t时刻的j期通胀水平。 jt所以非线性的计量分析方法为： 1−αC① 也就是效用函数的形式为：U(C)=,α≠1。 1−α- 29 -
中国利率期限结构及应用研究 ♠1+rC ≡−α1,tt+1β()−1 ↔ ≈C1+pit1t ↔ ≈u=h(x,b)= t+nt+n0nt ↔ ≈(1+r)Cn−αn,tt+n β↔()−1 ≈C1+pi ↔ ≈,t←…而对数线性模型为： nE(r−r|ϕ)−δ=0, n ƒ,t+n1,t+itni=1jr=ln(1+r)−ln(1+pi),代表 j期的真实利率。 j,t+jj,tjtδ代表一个流动性溢酬，为一个不变常数。 n实证结论支持了非线性模型，拒绝了线性模型。非线性模型中还在考虑异方差基础上进行了分析，发现方差也是一个重要因素。所以它对利率市场的均衡进行了一个详细的分析，综合考虑了效用函数、流动性溢酬以及异方差性，使用的计量方法也具有普遍性。但它只能用于债券，不能用于股票，因为股票的期末价格是不固定的。 Culbertson(1957)对流动性溢酬等影响利率期限结构的因素进行了分析，发现市场预期假设不能解释美国战后资料。 Campbell(1986a)对利率期限结构进行了线性估计，并证明不同形式的市场预期假设在常数的风险溢酬条件下可以同时成立，从而就解决了Cox, Ingersoll and Ross(1981)所提出的不同形式的市场预期假设在风险溢酬为0时互相矛盾的问题。这个模型在利率波动不大时可以比较好地拟合数据，但是如果利率的波动率很大，则模型表现很差。其主要原因是它是一阶泰勒估计，忽略了二阶问题。 Campbell and Shiller(1991)则 分析了长短期利率差距（Yield spread）对将来利率变动的预期能力并发现了一些与市场预期假设不符的现象。一个大的长短期利率差距预期将来利率的上升，这与预期假设一致。但是同时，大的长短期利率差距也预期长期债券收益率相对短期债券收益率的下降，这与市场预期假设不一致。他认为发生这种现象的原因是因为流动性溢酬随时间的- 30 -
2． 文献回顾 变化。 Mankiw and Miron(1986)通过将历史资料划分成不同的区域（regime）对利率期限结构的市场预期假设进行了实证检验。通过划分成不同的时间区域，中央银行的利率政策就可以进行分析。实证研究结果表明在1915年以前，市场预期假设在某种程度上成立，1915年以后，市场预期假设不再成立，短期利率服从随机游走过程。 1市场预期假设可以表达为：r=θ+(r+Er), 2t1tt1+2Er−r=−2θ+2(r−r)， 1t+11t2t1t在回归模型中， r−r=α+β(r−r)+v,α=−2θ,β=2，v为白噪音。 1t+11t2t1tt+1t+1从1915至1979年, β接近于0，显著地不等于2。而且，资料还表明α随着时间变化。 在这种情况下，即使β=0，市场预期假设也能被拒绝。 ∆r=α+v, E∆r=α≠0≠cont. 1t+1t+1tt+1但是，这篇文章使用的资料仅仅包括三个月以及六个月资料，没有使用远期资料，所以所得的结论受到限制。 Bekaert, Hodrick and Marshall(1997)对市场预期假设回归模型中的小样本偏误问题进行了分析，研究表明小样本时间序列可以导致估计的偏误。它主要分析了Campbell and Shiller(1991)的计量分析方法。经过偏误调整之后，市场预期假设可以被拒绝。 McCown(2001)利用8个国家的数据对利率期限结构形状和股票市场收益之间的相关性进行了分析。实证结果表明，当利率期限结果倒转时（inverted），3个国家出现负风险溢酬。而且，如果美国和德国的利率期限结构倒转，其他国家会出现负的风险溢酬，从而证实了一个世界性风险因子的存在。 Froot(1989)根据市场调查资料对市场预期假设在估计将来利率的有效性进行了实证分析。实证分析结果表明市场预期假设在短期内无效，在长期内- 31 -
中国利率期限结构及应用研究 具有一定的估计能力。实证结果还表明长期利率对短期利率反应不足，对远期利率反应则过度。通过将预测误差分解成流动性溢酬以及一个估计误差，结果表明随时间变化的流动性溢酬是造成短期偏误的最主要原因。对长期而言，反应不足和过度反应也很重要。但是它根据的是市场的调查资料，而不是交易资料，所以由于样本的问题可能存在系统性偏误。 Cox, Ingersoll and Ross(1981)通过对不同形式的市场预期假设的分析，发现它们之间在风险溢酬为０的条件下互相矛盾。主要原因是： P=E(X),1/P=E(1/X),ln(P)=E(lnX)不能同时成立，除非X是确定的。 小结 根据上面对利率期限结构形成假设的文献综述，我们可以发现目前对利率期限结构形成假设的一些一致性的结论： 1、在三个假设中，市场分割假设逐渐地被人们所遗忘，因为随着市场的发展，技术的进步，市场交易规模的扩大，市场已经逐渐形成一个统一的整体； 2、市场预期假设如果没有同流动性溢酬相结合，都会被市场资料所拒绝。而且流动性溢酬呈现出不断变化的特征。 国外文献综述2：利率期限结构的估计 当市场上存在的债券种类有限时（特别对债券市场不发达国家而言），如何根据有效的债券价格资料对整个利率期限结构进行估计，是进行债券研究的一个重要内容。由于美国债券市场比较发达，而且债券的种类也比较齐全，所以所使用的方法也相对比较简单，如息票剥离法（Bootstrap method）。但是对不规则的债券市场资料而言，就必须使用一些新的估计方法。不同的学者①提出了不同的估计方法，其核心就是对贴现函数δ(m)的估计。 ① 对贴现函数和利率期限结构之间的一一对应关系参见第1章。 - 32 -
2． 文献回顾 贴现函数 假设 m0P=100δ(m)+cδ(m)dm，P代表债券价格，δ(m)是期限为m的单位0 ≥0零息债券的贴现值，m是债券的到期日，c是利息额。 0如果假设： k①δ(m)=a+af(m)，a=1,f(0)=0，则 0 ƒjj0jj=1knkP=100(1+af(m))+c(1+af(m)) ƒjj0 ƒjj iƒj=1i=0j=1km0=100+cm+a(100f(m)+cf(m)dm) 0 ƒjj0j ≥0j=1因此，如果我们令： m0y=P−100−cm，x=100f(m)+cf(m)dm，就可以得到： 0jj0j ≥0ky=ax ƒjjj=1k在回归模型中， y=ax+ε ƒjjtj=1所以在某个时点t,我们就可以通过对f(m)以及k的假设求出a，通过ajjj就可以求出任何时期的折现值。因此，研究的重点在于对函数形式以及分割区间k的选取。对k的选取，一般在k=2,3或者4的时候就可以获得比较好的效果，此外还可以根据s，即可观察到的债券价格个数的平方根原则进行选取。 对贴现函数形式的选取 j（1）最简单的函数形式就是一个多项式：f(m)=m，但是这个函数存j ① 这样就可以满足δ(0)=1。 - 33 -
中国利率期限结构及应用研究 在比较严重的多重共线性问题。 （2）McCulloch(1971)是估计利率期限结构的经典文献。首次提出了通过贴现函数对利率期限结构进行估计的方法。他采用的方法是样条估计（spline approximation）： ↑1 2m−m,0≤m≤d2°° ° °2d2f(m)=, → 11 ° °d,d<m<m22n ° °↓2↵ ↑ ° ° °0,0<m<dj−1 °2(m−d) °j−1f(m)=,d≤m≤d,j=2...k−1 →jj−1j2(d−d)jj−1 °2 °(m−d)j1/2(d−d)+(m−d)−,d<m≤d °jj−1jjj+12(d−d) °j+1j °1/2(d−d),d≤m≤mj+1j−1j+1n ↓ ↑0,0≤m≤d k−1 ° °2=(m−dfm)). → k−1k,d<m≤mk−1n ° °2(m−d) ↓nk−1 ↵d=m+θ(m−m).m是小于 [j−1]n/k−1的最大整数, jll+1llθ=(j−1)n/(k−1)−m。这样就可以保证在不同的时间区域内有相同的债券数l量。 （3） B-spline 估计。由Powell(1981)提出 : s+p+1s+p+1 ♠ ≡ ♣ •1pp ♦ ÷g(t)= ↔ [m≈ax(t−T,0)] s ƒ∏j ♦ ÷(T−T)i=s j↔=s,j≠iji ≈ ←♥ ≠…Lin and Yeh(2001)就使用了B-Spline 估计方法对台湾的利率期限结构进行了估计。并在此基础上对期限结构模型进行了实证分析。但是由于在实际运用过程当中，还有很多争论，所以运用得不多。 - 34 -
2． 文献回顾 此外，还有指数样条估计（exponential spline approximation）等非线性模型，但是也不一定表现得比样条估计方法好。 其他的估计方法 Carleton and Cooper(1976)分析了到期收益率曲线作为利率期限结构替代物所可能存在的缺陷，并提出直接的估计方法。它是一个离散的估计形式。而且要求大多数的付息日相同或接近。 估计模型为： P(n,0)=b+bX+bX+...+bX+ε。 0,n1,n1,n2,n2,nn,n,jX代表n期债券在j时刻的现金流量，一般而言： j,nX=C,j=1,2,...,n−1;X=C+S，C代表利息,S代表本金。 jnn,n1b= j,nj(1+r)j0但是我们只能估计离散的贴现值 b,b,...b, 然后估计对应的利率期1,n2,nn,限结构。 而且它要求付息日接近，所以这种方法不适用于中国。 此外，Shea(1984)还对利率期限结构估计中的函数选取的重要性进行了分析。 国外文献综述3：利率期限结构自身形态微观分析 利率期限结构是不同期限的利率所构成的一条利率期限结构，因此它可能有不同的形状，如水平的，向下凹，向上凸等。而且利率期限结构的变动也有平行移动和非平行移动等。由于利率直接和债券的收益率相关，这些不同形状的利率期限结构以及不同方式的移动对债券组合的收益会产生很大的影响，并进而影响债券组合管理的技术。为了衡量利率期限结构的形状变动对债券投资组合的影响并在此基础上进行有效的管理，达到“免疫”的目的，- 35 -
中国利率期限结构及应用研究 众多的学者对利率期限结构本身的形态作了大量的分析，并对利率期限结构的平行移动和非平行移动条件下的债券组合套期保值的问题进行了深入地研究。 利率期限结构因子模型与主成分分析 利率期限结构因子模型所能做的就是揭示了数据所暗示的利率变动潜在因素的统计形式。其经典文献是Litterman and Scheinkman(1991)。他们称这些因素为水平（level）、倾斜程度（steepness）和曲度（curvature）。 Dai and Singleton(1999)用的因素为：水平（level）、斜度（slope）和蝴蝶式（butterfly）。其他基于潜在因素的均值回归参数的研究，如Chen and Scott(1993)，则称这些因素为：持续性（persistent）、较少持续性（less persistent）和强均值恢复 （strong mean-reverting）。这些都是用来描述潜在因素是如何影响利率期限结构的。 Litterman and Scheinkman(1991)在对美国利率期限结构的研究中，借鉴了多因素套利定价理论，通过建立线性多因子模型，考察了债券收益与系统风险因素和非系统风险因素之间的关系。他们研究了水平因素、倾斜因素以及曲度因素在利率期限结构变化中的作用。 （1）水平因素对应于最大特征根，反映了平行移动因素在利率期限结构变动中发挥着主导作用。收益率对水平因素变动敏感性与债券的到期期限长短无关是水平因素的重要特征，各种到期期限的债券收益率均受到该因素的显著影响。在投资实践中，通过久期/凸性逼近债券的价格变化来实施对债券组合的套期保值就是基于该风险因素。当然，利率期限结构的完全平行移动只有市场预期短期利率和长期利率以相同数量变化时才会出现。 （2）倾斜因素对应于第二特征根，它是影响短期收益率和长期收益率朝不同方向变化的重要因素，当市场预期短期利率将发生变动，而长期利率维持不动(或者相反)时，利率期限结构就会发生倾斜移动。 （3）曲度因素对应于第三特征根，发生的背景比较复杂，当市场对收益- 36 -
2． 文献回顾 率的波动率预期发生改变，市场的分割造成特定期限的债券供求关系发生暂时失衡，或者利率风险的期限溢酬发生变化等情况出现时，都会造成利率期限结构的曲度移动。曲度因素与债券贴现函数的凸性有内在的关联，对于嵌入期权债券的风险管理具有重要的意义，因为收益率波动率通常对这种类型债券的内含期权和未来支付的价值产生重要影响。 Litterman and Scheinkman(1991)还通过对零息票债券和息票债券的方差分解研究不同因素在利率期限结构变动中的重要性。不论是零息票债券还是息票债券，水平因素、倾斜因素和曲度因素都能解释绝大部分的价格变动。在三个因素中，水平因素是最主要的因素。 随后研究人员采取类似的方法，针对不同国家的债券市场展开大量的研究，如Buhler and Zimmermann(1996), D’Ecclesia and Zenios(1994), Sherris(1994), Martellini and Priaulet(2000), Maitland(1999), Schere and Avellaneda(2000) 分别对德国、瑞士、意大利、澳大利亚、法国、南非、拉美等国家和地区的利率期限结构进行了主成分和因子分析。 利率期限结构的变动以及资产免疫 利率期限结构变动是指不同期限的利率的相对变动，曲线的平行移动是指所有期限的利率变动是相同的，而利率期限结构的非平行移动这意味着各种期限利率变动的基点是不同的。 （一）利率期限结构的平行移动 1、平行移动的特征 即是指所有期限的利率以相似的规模移动。它一般由市场风险引起。具体参见图。 2、平行移动时的资产免疫（immunization） 久期免疫 对于利率期限结构的平行移动，经典的对策是依据久期对相应的债券组合进行免疫。免疫的含义是无论利率如何变动，资产与负债的久期匹配就可- 37 -
中国利率期限结构及应用研究 以确保资产组合有偿还公司债务的能力。它首先由Readington（1952）提出的。久期反映了资产价格对于利率变动的敏感性。因此，久期在利率变动和债券收益率变动之间建立了联系。 图：利率期限结构的平行移动 利率期限结构上移 利率水平 短期 中期 长期 到期日 利率期限 结构下移 利率水平 短期 中期 长期 到期日 债券的投资者面临着两种相互抵消作用的利率风险：价格风险和再投资风险。利率提高会导致资本损失，但同时，再投资收入会增加。如果资产组合的久期选择得当，这两种影响可以恰好相互抵消。当这一资产组合的久期恰好与投资者的持有期相等时，到期时投资组合的累积价值将不受利率波动的影响。即持有期与资产组合久期相等时，价格风险与再投资风险将完全抵消。 免疫资产可以用这样的简单方法来构造：先计算实现承诺的现金流出的久期，然后投资于一组具有相同久期的债券资产组合。这一技术主要利用了这样一个事实，即一个债券组合的久期等于组合中各债券的久期的加权平均。 久期假定所有期限的收益率同时移动相同数量，就是指期限结构的平行- 38 -
2． 文献回顾 移动。这样，当利率期限结构发生平行移动时，利用久期可以估计出相应的债券价格的变化。在这样的情况下，久期是处理利率期限结构平行移动的合适的工具。 Fisher and Weil (1971)，Bierwag等(1981),Bierwag等(1983), Brennan and Schwartz(1983)等都展示了这种方法如何能够减少市场风险。另外，Bierwag and Khang(1979)认为当只存在一种不确定性来源影响利率期限结构时，利用久期可以对息票债券的资产组合进行免疫。Ingersoll(1983) ，Nelson and Schaefer(1983) 和Brennan and Schwartz(1983)都显示出久期比其他更为复杂的方法表现得更好。 久期免疫的进化 久期是对债券价格变化的一阶近似，因此，一般来说，久期会低估利率变动带来的预期收益或损失。而凸性是二阶估计。考虑凸性可以提高利用久期得到的结果。当利率期限结构发生微小的变化时，久期法则是正确的。凸性虽然没有久期重要，但是在利率期限结构的变化足够大时，凸性具有重要的影响。在利率变化很大时，凸性可以修正通过久期得到关于债券价格变化的估计。 （二）利率期限结构的非平行移动 1、 非平行移动的类型 即是指利率期限结构形状的变化。历史地看，可以观察到两种类型的利率期限结构非平行移动： （1）斜度的变化。利率期限结构斜度的变化是指利率期限结构变得平缓或者陡峭。实际上，利率期限结构的斜度是由长期利率与短期利率间的差额来衡量的。一般可以认为，平缓的利率期限结构预示着长期利率与短期利率间的差额趋于递减；陡峭的收益曲线预示着长短期利率间的差额是递增的。具体参见图。 - 39 -
中国利率期限结构及应用研究 图.利率期限结构的非平行移动：斜度变化 利率期限结构斜度变平缓 利率水平0 短期 中期 长期 到期日 利率期限结构斜度变陡峭 利率水平0 短期 中期 长期 到期日 （2）曲率的变化。利率期限结构两端和利率期限结构的中间部分发生相似但是方向相反的变化。也被称为蝴蝶式转换(butterfly shift)。可以分为正蝴蝶式和反蝴蝶式两种。具体参见图。 2、非平行移动时的资产免疫 久期免疫 许多不同的文献提出并检验了关于利率期限结构非平行移动的久期策略。由于非平行移动时传统意义上的久期不再能够刻画出大部分的价格变动，因此要继续利用久期，就必须对这个概念和技术进行拓展。Garbade(1985)讨论了利率期限结构的斜率发生变化时，如何免疫。Gultekin and Rogalski(1984),Elton等(1988)和Elton 等(1990)在多因子模型的基础上发展并检验了实证主义的久期法则。Klaffky等(1992)则提出双久期（重新构建- 40 -
2． 文献回顾 久期reshaping duration）来反映利率期限结构在极点的变化。 图：利率期限结构的非平行移动：曲率的变化 正蝴蝶式 利率水平0 短期 中期 长期 到期日 反蝴蝶式 利率水平0 短期 中期 长期 到期日 Chambers and Carleton(1988)提出多维久期(multiple duration)的建议，他们称之为久期矢量（duration vectors）。Reitano (1992,1996)研究了非平行移动，提出了相似的方法，设计出久期矢量（方向性久期）来反映变化的方向，并称为部分久期(partial duration)。这一方法由Ho（1992）予以了发展。 Ho(1992)提出了基于相应到期日利率变化的“核心利率久期”(key rate duration)。核心利率久期(key rate duration)的基本原理是改变基于特定到期日利率期限结构的收益率并确定单只证券或投资组合对其他- 41 -
中国利率期限结构及应用研究 所有收益率变动的敏感性。基于特定收益率变动的价值变动敏感性被称为利率久期(rate duration)，利率期限结构上的每一点都针对着一个利率久期。Ho的方法集中在利率期限结构上的11个主要到期日上，在分析中所使用的这条具体曲线被称为国债即期利率期限结构曲线；这条重要的曲线显示了零息国债剩余期限和收益率之间的关系。这一利率久期被称为核心利率久期。比如，为测定核心利率久期，即期利率曲线上的特定剩余期限可以选择为3个月、1年、2年、3年、5年、7年、10年、15年、20年、25年以及30年，两个任意主要利率之间的收益率变动均可以用线性估计方法予以计算。某一特定投资组合到期日的核心利率久期可认为是：保持所有其他到期日的收益率不变，基于已有变化的到期日收益率的100个基点变动时，投资组合价值变动百分数的近似值。因此，核心利率久期可通过利率期限结构中的收益率变动和价值或价格变动的确定中予以量化。 Moreno(1997)提出“一般性久期”的方法，认为可通过将传统久期和凸性一般化，以获得一般化的久期和凸性。一般化久期的方法可用来计算套期保值比率。利用计算出的套期保值比率，用债券期权使债券资产组合获得免疫。 久期免疫策略在非平行移动时存在的问题 虽然众多学者力图通过对久期的改造来尽可能地使之能够衡量债券的利率风险，但在实践中也存在着免疫资产不能完满地发挥作用的可能性，而且久期也无法精确地度量债券的利率风险。其主要原因有： （1）推迟和提前赎回风险。免疫资产（以及久期）是基于这样的信念，即债券所约定的现金流会按时足额支付。这意味着免疫资产是以所有债券都不会被推迟和提前赎回为假设前提的。这即是说假设债券不存在推迟支付风险和提前赎回风险。所以，如果债券组合中的某种债券被拖欠或提前赎回，整个组合就失去了免疫作用。 （2）在非水平利率期限结构上的多重非平行移动。免疫资产（以及久期）- 42 -
2． 文献回顾 还基于这样的假设：利率期限结构是水平的，曲线的移动是平行的，并且移动只发生在获得所购买的债券规定的任何支付之前。但是在现实中，利率期限结构在开始不是水平的，而且利率期限结构的移动既不可能是平行的，也不可能在时间上有任何的限制。 （3）重新平衡。使用免疫资产存在的另一个问题是时间的流逝对所持有债券的久期和约定现金流出的久期的影响。随着时间流逝和利率期限结构变化，久期可能会按不同的速度改变，债券组合就不再具有免疫能力。这意味着债券组合需要经常再平衡。 这里的重新平衡是指出售当前持有的某些债券，将他们替换成另一种债券，以便使新的债券组合的久期与约定的现金流出的久期保持一致。不过，由于债券的替换会带来成本，而这种替换的成本可能会超过再平衡所带来的收益。 （4）众多的候选资产。通常存在多种具有规定久期的债券组合，投资者面临不同的选择方案。一种方法是挑选具有最高到期收益率的组合（即是成本最低的）。另一种方法是选择与目标组合最相似的组合，这种组合比其他任何组合都有更最小的随机过程风险（即投资组合的波动率最小）。在这种组合中，所有债券的久期都最接近约定的现金流出的久期。但是二者所具有的利率风险却完全不一样。 国外文献综述4：利率期限结构动态模型 基本的利率期限结构动态模型 根据利率期限结构模型的推导过程，可以分为两种类型：第一种类型就是均衡模型(Equilibrium Model)，根据市场的均衡条件求出利率所必须遵循的一个过程，在这些模型中，相关的经济变量是输入变量，利率水平是输出变量；这类模型有Viesicek Model, CIR 模型等；另一种类型是无套利模型（No arbitrage Model），通过相关债券等资产之间必须满足的无套利条件进行分析，- 43 -
中国利率期限结构及应用研究 此时利率水平是一个输入变量，相关金融工具的价格是输出变量。这类模型有Hull and White Model, HJM model, BGM model等。必须特别指出的是，这些模型都是建立在风险中性世界中，所描述的均是风险中性世界中的利率变动行为。 （一）均衡模型 1、Vasicek 模型 基本假设 Vasicek模型由Vasicek（1977）提出。该模型假设：在风险中性世界中，利率的变化过程遵从： dr(t)=a(b−r(t))dt+σdz，a,b,σ都是常数。 ①经过计算，我们可以得到，利率的期望值和方差分别为： t−atau−atat−at−atE(r(t))=e(r(0)+abedu)=e(r(0)+be−b)=r(0)e+b(1−e) ≥0−2att1−e2−2at22au2σ(r(t))=eσedu=σ。 ≥02a在此模型下，期限为T的债券价格B(0,T)等于 B(0,T)=D(0,T)exp(−C(0,T)r(0)，其中 −aT1−eC(0,T)=, a2σ222D(0,T)=exp(C(0,T)+T)(b−σ/2a)−C(0,T))。 4a这个等式可以扩展到任何时刻。 Vasicek模型的评价 Vasicek模型是众多利率期限结构模型中最简单的一个。它假设所有的参数都是常数，不随时间变化，而且波动率也是一个常数，没有考虑到利率水平对波动率高低的影响以及波动率本身的GARCH效应等。但是它却能够比较 ① 详细的计算过程参见附录1。 - 44 -
2． 文献回顾 好地拟合现实数据。 Vasicek模型的缺陷是过于简单，没有考虑到利率必须是一个大于0的正数，因此在模拟过程中就可能出现利率为负的情况，这不符合现实情况。为了避免这个缺陷，Cox, Ingersoll and Ross(1985a,b)等人就提出了CIR模型。 2、CIR模型 Cox, Ingersoll and Ross(1985a,b)在一个跨期的资产市场均衡模型中对利率的期限结构模型进行了研究，并提出了CIR模型。所使用的研究方法与Merton(1990)类似，认为投资机会集是随机变动的。 CIR模型的基础和主要原理 CIR模型的基础是，个人从消费单一商品中取得的预期效用达到最大化。在实现效用最大化过程中，每一个人选择： （1） 最佳消费水平； （2） 财富中投资于每个生产过程的最佳比例； （3） 财富中投资于各种债券的最佳比例。 然后，剩余的财富按短期无风险率进行投资，如果不存在剩余，而是出现短缺， 则通过借款来弥补短缺。根据Cox等人的观点，随着个人做出选择，并实现效用最大化，短期利率和债券预期收益率会出现调整直至所有的财富都投资于实物生产为止。该均衡过程就被称为总体均衡概念。CIR模型的特点是，对于所有期限的债券来说，风险—收益比例相同，套利是导致这种现象的力量。模型的主要结论是： （1）无风险利率等于最优投资的预期收益率减去财富边际效用的变动。即 JJWWWYr(W,Y,t)=a*'α+a*'GG'a*W()+a*'GS'() JJWWkJvarWJcovW,YWWWYia*'α−(−)()−(−)()= ƒJWJWi=1WW- 45 -
中国利率期限结构及应用研究 ①*J代表动态规划中的J函数，α代表资产的预期收益率，a代表投资者2∂J∂J的最优投资比例；J=,=。 WWYWWY（2）或有债券的超额收益率必须和它所具有的系统性风险相匹配。 iiiβ−r=−cov(F,W)/FJ。F代表或有债券的价格。 iW（3）或有索取权F的价格必须满足： kkk11(varW)F+(covW,Y)F+(covY,Y)FWW iWYƒijYY ƒ ƒiij22i=1i=jikkJJWYWWi+[rW−C*]F+F[u−(−)(covW,Y)−(−)(covY,Y)]+ W Yiiƒij ƒiJJi1Wi=1WF−r+δ=0t22∂F∂F∂F∂F其中，F=,F=,F=,F=，δ代表红利。 WYWYtijiWYWYtiji（4）所提出的CIR模型为：dr=k(θ−r)dt+σrdZ。 CIR模型主要内容 CIR模型认为，利率围绕一个平均值波动，如果利率偏离了平均值，它总是要回到平均值的。在单一因子模型中，他们假设技术状态用单一状态变量来表示。他们发现，债券的实际价格是短期利率的递减的凸形函数，而且债券价格是期限的递减函数。而且，债券价格是利率与财富之间协方差的递减函数。在协方差较大的条件下，财富值大，则利率高，债券价格低；财富值小，则利率低，债券价格高。 在CIR模型中，债券价格还是利率方差的递减的凹形函数。Cox等人认为，较高的方差反映了未来实际生产机会具有较大的不确定性，因而未来的消费具有较大的不确定性，风险厌恶型的投资者就会对债券定价较低。总体而言，CIR模型认为，在大多数情况下，利率期限结构中包含着正的期限溢价。 此外该模型还得出利率期限结构平行移动的结论。根据该模型，期限结构 ① 对J函数的详细解释参见Merton(1990)。 - 46 -
2． 文献回顾 曲线任何一点利率的变化完全相关。而且，利率收敛于正常利率即前面公式中的平均值，因此该平均值可以被视为CIR模型期限结构所围绕的核心。调整系数是一项重要的回归参数，它告诉我们，利率在何种程度上迅速地向正常利率回归。 CIR模型评价 期限结构的CIR模型的优点是它产生于经济中的内在经济变量和总体均衡。因此，它包含了风险回避、时间消费偏好、财富限制、导致风险补偿的因素和众多的投资选择。尽管该公式具有众多优点，但是它太复杂，在估算经济参数、风险参数和进行现实预测方面产生困难。使用CIR模型的研究者试图简化假设，并简化该模型中包括的连续数学计算，可以推导出债券以及其他金融工具的定价公式。而且他们得出的结论是利率期限结构为平行移动，这是不符合现实情况的。 （二）无套利模型 1、HJM模型 HJM模型的基本内容 HJM模型由Heath, Jarrow and Morton(1992)提出。模型研究的对象是瞬时远期利率，假设T时刻瞬时远期利率f(t,T)的变化服从： df(t,T)=α(t,T)dt+σ(t,T)dz(t)， 则到期日为T的零息债券价格B(t,T)为： TB(t,T)=exp(−f(t,u)du), ≥t因为, TTd−f(t,u)du=f(t,t)dt−df(t,u)du ≥ ≥ttT=f(t,t)dt−(α(t,u)dt+σ(t,u)dz(t))du ≥tTT=f(t,t)dt−α(t,u)dudt−σ(t,u)dudz(t) ≥ ≥tt- 47 -
中国利率期限结构及应用研究 **=r(t)dt−α(t,T)dt−σ(t,T)dz(t), T*其中，α(t,T)α(t,T)du,σ(t,T)=σ(t,T)du ≥≥t所以， TTT12dB(t,T)=d(exp(−f(t,u)du))=B(t,T)d(−f(t,u)du)+B(t,T)(d(−−f(t,u)du)) ≥ ≥ ≥ttt2**2* =B(t,T)(r(t)−α(t,T)+1/2σ(t,T))dt−σ(t,T)B(t,T)dz(t) 因此，风险价格为 **2−α+1/2σθ(t)=， *σ~如果设dz(t)=−θ(t)dt+dz(t)，就可以转化为风险中性定价： *~dB(t,T)=B(t,T)r(t)dt−σB(t,T)dz(t)。 在风险中性世界中， **2−α(t,T)+1/2σ(t,T)=0， 我们可以得到： Tα(t,T)=σ(t,T)σ(t,u)du，因此整个模型估计的参数只有一个， ≥t即波动性，而且这个波动性不会随着测度的变化而变化。 T此时，df(t,T)=σ(t,T)σ(t,u)dudt+σ(t,T)dz(t) ≥ HJM模型的评价 HJM模型的主要方法是无套利分析法，即在n个因子风险模型下，可以通过一个无风险资产和n个风险资产的组合构造资产市场上的所有资产。给定债券波动率的期限结构，就可以得到债券定价的全部信息，它是无套利模型的基准模型。但是模型本身在应用的过程中也会产生问题。在构造利率变动的二叉数或者三叉数模型时，利率通常在上升和下降后就不会再重新聚合。也就是说，利率先上升后下降与先下降后上升之后所达到的不是同一个节点，利率变动不是马尔可夫链。这就会导致二叉树模型的最终节点的几何扩大，- 48 -
2． 文献回顾 n极大地增加计算和模拟的难度。比如，在单因子模型中，n步之后将会有2个节点，而不是正常情况下的n个节点。 ①2、Ho-Lee模型 Ho and Lee（1986）提出了一个基于无套利假设的利率期限结构变动模型，人们称之为Ho-Lee模型。Ho-Lee模型认为现在的利率期限结构包含有现时人们对利率预测的足够信息，因此在没有套利机会的假设下，利率期限结构的变动只能反映出这些信息，因而其变化情况是可测的。 Ho-Lee模型的基本假设 Ho-Lee模型的基本假设有以下几点： （1）市场是无摩擦的，既无税收费用，也不考虑交易费用，所有证券皆可分割； （2）市场并非连续出清，而是在有规则间隔的时点上出清。 （3）市场是完全的。对每一期限n，均有相对应的贴现债券存在。 （4）在每一时刻t，仅存在有限种状态。定义P(t,T)为在时刻t、状态ii下期限为T的债券价格。这里，P是一以期限为变量的贴现债券价格函数，i称为贴现函数。贴现函数必须满足下列条件：它们必须是正数，此外要求 P(t,0)=1 （） i limP(t,T)=0 （） T→∞i （）式表明，贴现债券到期值为1美元。（）表明期限极长的贴现债券之现值可忽略不计。 Ho-Lee模型的二元格点结构 Ho-Lee模型考察贴现函数的变动，其最重要的部分是贴现函数的二元格点结构。对于贴现函数D(*)，在初始时刻为零状态，记为D(*)=D(*)，s,t0,0经过一时刻后，在时刻1，贴现函数可能出现两种状态：上升状态和下降状态，贴现函数分别为D(*)和D(*)，其中第一个小标表示状态下标，第二个下1,10,1 ① 引自祝小兵（2003）。 - 49 -
中国利率期限结构及应用研究 标表示时间下标。以后每经历一个上升状态，状态下标s增加1，否则不增加；时间下标t在每一时刻后增加1。这样，在时刻2有贴现函数D(*),D(*),D(*)。显然，这里出现一种路径无关现象，即贴现函数经历2,21,20,2一次上升后下降D(*)−D(*)−D(*)和经历一次下降后上升0,01,11,2D(*)−D(*)−D(*)完全相同，D(T)只与经历的上升次数和下降次数有0,00,11,2s,t关而与时间路径无关。 通常我们用收益率曲线而不用贴现函数来表示利率期限结构，因此须将贴现函数转为收益率曲线形式，利率期限结构可以表示为 r(T)=−lnD(T)/T （） 其中r（T）是到期期限为T的贴现债券的连续复利收益率。 图：Ho-Lee模型的二元格点结构 D（*）2,2 D（*）1,1 D（*） D（*）0,01,2 D（*）0,1 D（*）0,2 Ho-Lee模型的主要内容 Ho-Lee模型是建立在无套利假设基础上的，它现在已经成为离散时间框架基础上利率期限结构模型的一般原则。Ho-Lee模型的主要内容有： 初始利率期限结构的估计。首先必须确定一个期限结构或相应贴现函数的初始状态，一般来说要求所选择的债券能覆盖市场上大部分的可得债券，并必须运用特定的函数形式，如样条函数形式。 - 50 -
2． 文献回顾 利率变动的无套利约束。利率期限结构被假设按满足某种自然约束的方式进行变化，Ho-Lee模型假定贴现函数依据下列原则随时间进行变化： 对所有（s,t）和T= 1,2,…,n, D(T+1)s, tD(T) =hu(T) () s+1, t +1D(1)s, t 和 D(T+1)s, tD(T) =hd(T) () s, t +1D(1)s, t 其中hu(T),hd(T)被称为扰动函数(Perturbation function )。D(T+1)s, t是在结点（s,t）处隐含的T期远期利率。扰动函数hu(T),hd(T)分D(1)s, t 别衡量了期限结构中上升状态和下降状态下利率同隐含远期利率的差额，因此期限结构的波动性就隐含在扰动函数中。在Ho-Lee模型中hu(T),hd(T)被简化为与（s,t）无关而只与T有关。依据无套利假设，有D(0)=1,D(T+1)φD(T)，对所有（s,t）和T= 1,2,…,n；由于无套利s,ts,ts,t机会，因此在点（s,t）处存在参数π，是一个不随（s,t）变化的常数，使得T+1期贴现债券在（s,t）的价格等于一时刻后债券价格的π权重线性组合的价值的现值，即 D(T+1)/D(1)=piD(T)+(1−pi)D(T),T=1,2,....n （） s,ts,ts,t+1s+1,t+1代入（）、（）式变化后，有 pihd(T)+(1−pi)hu(T)=1 （） 经过一番复杂的推导可以得到扰动函数hu(T)的唯一解为 T hu(T)=1/[pi+(1−pi)δ] （） 将（）代入（）式，得 TT hd(T)=δ/[pi+(1−pi)δ] （） 这样，我们得到了扰动函数的一般表达式，只要给定参数pi,δ，就可以- 51 -
中国利率期限结构及应用研究 由公式（）、（）得到Ho-Lee模型的一般表达式，即可由初始的贴现函数D(T)和参数pi,δ来完全确定利率期限结构的变化。特别地，在更复0,0杂的Ho-Lee模型的推广模型中，参数pi,δ被看作是随状态s和时间t而变化。 Ho-Lee模型中的参数π被看作是一种风险中性概率，即恰好使得本时刻的T期限债券的价格等于本时刻后预期价格现值的概率，这一点反映在（）中，因此pi=(r−d)/(u−d)，这里r是无风险收益率，u和d分别是上升状态和下降状态的无风险收益。参数δ的解释稍稍复杂一些，正如Ho-Lee所指出的，δ决定了两个扰动函数hu(T)和hd(T)间的差额，差额越大，则期限结构的可变性越大，因此参数δ同期限结构的可变性直接相关，而且呈负相关关系，即δ越大，波动性越小。这一点可以由（）式看出， δ=1/[(1−pi)hu(1)]−pi/(1−pi)， （） 因此δ越大，hu(1)越小，即波动性越小。 Ho-Lee模型指出，参数π、δ的估计，必须使用非线性估计方法来决定，使得某些或有要求权的理论价格能最好地符合观察到的价格。具体来说，是通过一个反复试错的过程来估计pi,δ的值。首先观察一组不同期限的或有要求权的价格，以此来计算初始的pi,δ，随后用它们来估计理论价格，再依据理论价格和观察到价格之间的差价来调整pi,δ，使得理论价格尽可能符合观察到的价格。这一过程一直重复下去，直到最后理论价格充分接近市场价格。 Ho-Lee模型评价 Ho-Lee模型用一种比较简单的方式来模拟利率期限结构随时间的可变性，这一模型使用从市场数据估计出来的参数pi,δ，它使得债券价格的变化过程没有套利机会。由于它是由最初的利率期限结构决定的，因此它是一个相对定价模型，同时由最初期限结构的外生性决定利率期限结构的变化也是外生的。 Ho-Lee模型也有几个不足之处：首先，它假设参数pi,δ是不随着（s,t）的变化而变化，这意味着隐含的价格波动性是独立于时间变化的。但事实上，- 52 -
2． 文献回顾 随着到期期限的临近，债券价格分布也将自动回归到到期平价，也就是说，隐含的波动性会随时间的推移而变小。 其次，根据Ho-Lee模型假设的限制和初始条件，可能出现负的远期利率。Ritchken and Boenawan(1990)指出了这一缺陷并提出了修正方案，通过增加一个约束条件 1=D(0)≥D(1)≥D(2),.....≥D(T) s,ts,ts,ts,t即可消除这一缺陷。 第三，Ho-Lee模型隐含了一个所有利率的共同波动性，即长期利率和短期利率的波动性是相同的。但事实上长期利率的波动性要小于短期利率的波动性，这一点已经得到证明，即收益率曲线将随期限增加变得越来越平坦。 一般化扩展模型 除了上面分析的众多利率期限机构的动态模型之外，许多学者在这基础上进行了更进一步的研究，得出了许多更有意义、更符合实际的结论。 （一）基本利率期限结构模型的扩展 1、考虑波动率滞后效应（GARCH）的利率期限结构模型 Brenner, Harjes and Kroner(1996)提出了一个一般化的利率期限结构模型。在这个模型中，波动率不仅与利率水平相关，还和信息（information shock）相关。 利率水平模型可以表示为: γdr=(α+βr)dt+ϕrdW,r 代表利率水平，α,β,ϕ,γ是参数。β反映均值回归的速度。可以看出,这个式子可以代表许多的利率期限结构动态模型: CIR模型: γ=1/2; Vasicek模型: γ=0; Ho-Lee模型: β=0,γ=0; Hull-White模型: γ=0。 - 53 -
中国利率期限结构及应用研究 在这些模型中，参数都是常数，因此无法反应相关系数变动的可能性，也没有考虑条件波动率可能的变化。即， r−r=α+βr+ε, tt−1t−1t2222γE(ε|I)=0,E(ε|I)=σ=ϕr, tt−1tt−1ttt−1条件方差的变动可以由ϕ或者r的变动引起。如果假定ϕ服从tt−1t222ϕ=a+aε+bϕ, 它就可以考虑信息的因素。考虑到杠杆效应， t01t−11t−12222ϕ=a+aε+aη+bϕ, η=min(ε,0). t01t−12t−11t−1t−1t−1因此，可以用下列公式近似地替代： 22222γσ=a+aε+aη+bϕ+br t01t−12t−11t−12t−12γ但是如果 ϕ是变化的，则条件方差和r之间的关系是非线性的。但是tt−1在替代模型中，它是线性的。 2、多因子模型 Longstaff and Schwartz(1992)在CIR模型基础之上考虑了一个两因子(用X和Y表示)均衡模型。这个模型可以解释不同形状的收益率曲线。所使用的计量分析方法为广义矩方法。他们的模型为： dQ/Q=(uX+θY)dt+σYdZ， 当 u=0，模型简化为CIR模型。 1dX=(a−bX)dt+cXdZ 2dY=(d−eY)dt+fYdZ 3Z与Z,Z无关。 213∞投资目标最大化效用函数 Eexp(−ρs)ln(C)ds, ts ≥tdQdW=W−Cdt Q根据动态优化规则，可以得出 C=ρW。 dW=(uX+θY−ρ)Wdt+WσYdZ 1- 54 -
2． 文献回顾 W2t+1r=logE=uX+(θ−σ)Y tρWt22222var(r)=V=ucX+(θ−σ)fY 2如果uc≠θ−σ,我们就可以通过X、Y计算r、V。所以两个状态变量就可以用r、V代替。因此，就可以计算r、V的变动情况、零息债券的价格、以及债券期权的价格。而且在这个模型中，收益率曲线可以为任意形状。而且债券期权的价格可以是利率的增函数或者减函数。 3、非线性模型 Constantinides(1992)则在CIR基础之上提出了一个一般化的模型。在CIR模型中，期限溢酬在所有状态和所有的期限下都是同一个符号，因此期限结构的形状就受到限制。而Constantinides(1992)对此进行了推广。模型所使用的方法是定价核方法，而且估计是非线性的。定价核模型的内容为： P(t)=E(X(T)M(T))/M(t)，其中P(t)代表到期收益为X(T)的证券在tt时刻的价格，M代表随机贴现因子。则债券B(t,T)的价格可以表示为： B(t,T)=E(M(T))/M(t). t在此模型中，债券的价格可以通过解析的方法求出，可以通过数据进行校准。 4、仿射模型(affine model) Dai and Singleton(2003)通过一个仿射模型将一系列的利率期限结构模型包含在该理论框架中，提出了一个一般化的利率期限结构模型。他们直接假设： dMt=−rdt−Λ'dW(t), ttMt其中，r为瞬时利率。W(t)是N个独立的布朗运动变量。Λ代表风险的tt市场价格。而且， r=r(Y(t),t),Λ=Λ(Y(t),t),tt这就是一个最一般化的模型，可以包括PPdY(t)=u(Y,t)dt+σ(Y,t)dW(t)YYN个不确定源对利率的影响。 - 55 -
中国利率期限结构及应用研究 经过进一步的简化， dMPt=−rdt−σ(r,t)dW(t) trttMt仿射模型的具体内容为： 假设在风险中性（risk neutral）世界中，风险因子Y(t)服从： NQu(t)=λ+λY(t),σ(t)σ(t)'=g+gY(t),Y0YYY0 ƒii=1 iσ(t)=S(t),S(t)=α+β'Y(t),S(t)=0,Y ƒiiiiij'利率r为Y(t)的仿射函数：r=δ+δ(t),此时债券的价格B(t,T)为： tt0YB(t,T)=exp(γ(T−t)+γ(T−t)'Y(t))。 0Y仿射模型可以将许多的模型，如Vasicek模型，CIR模型，Hull-White模型，Ho-Lee模型等纳入到这个理论框架中，具有广泛的应用前景。 ①此外，放宽仿射函数的假设，此模型还可以变为二次——高斯模型、非②线性随机波动率模型、机制转化模型以及考虑跳跃行为的利率期限结构模型等。因此，这是一个一般化的通用模型。 （二）机制转换模型 Bansal and Zhou(2001)对存在机制转换情况下的利率期限结构问题进行了研究和分析。所使用的计量分析方法是半参数(SNP)以及有效矩(EMM)方法。检验结果表明两因子机制转换模型可以很好地拟合历史资料。这篇文献也发现了类似于Campbell and Shiller(1984)年的违反市场预期假设的现象。 在对数效用函数假设条件下,随机贴现因子可以表示为 u'(C)Ct+1tM=β=β. t+1u'(C)Ctt+1欧拉方程为： VV+Ctt+1t+1=βE。 tCCtt+1 ① 比如Ahh, Dittmar and Gallant(2002)。Constantinides(1992)也可以视为它的一个特例。 ② 比如Anderson and Lund(1997,1998)，Ahn and Gao(1999)。 - 56 -
2． 文献回顾 V+C1−1t+1t+1R==E(βC/)=E. t+ttVMtt+1EM=exp(−r),r=logR. tt+1t+1t+1t+1λxλ2t假定 r=x+()+xu， t+1tttσ2σ在机制转换模型中，λ,σ可以为λ,σ或者λ,σ。 0011Sanders and Unal(1988)对Vasicek模型的机制转换问题进行了分析，并且发现不同的机制可以表现出不同的均值回归特征。一些均值回归现象是显著的，而一些则是不显著的。所以在研究利率的行为时，时间窗口的选择十分关键。 假设：dr=k(u−r)dt+σdz ∆r=k(u−r)+ε tt−1t∆r=ββ+βr+ε,j=1,2... t0j1j1jt−1tj（三）跳跃模型 Baz and Das(1996)对跳跃——漂移利率期限结构动态模型（jump-diffusion model）的求解方法进行了研究。假设，利率的变动服从扩展的Vasicek跳跃——漂移过程： dr(t)=α(β−r(t)dt+σdW(t)+JdN(t)， N(t)服从一个强度为λ的泊松过程。也就是说，在时间[t,t+dt]内发生1次跳跃的概率为λdt，如果发生了跳跃，dN(t)=1；如果没有发生跳跃，则2dN(t)=0。J代表跳跃的幅度，服从一个均值为θ、方差为δ的正态分布。dW(t)和dN(t)互相独立。在这些条件下， N(t)ttαT−αt−αuαujr(t)=e(r(0)+eαβdu+eσdW(u))+eT ƒj ≥≥00j=1T代表第j次跳跃的时间，0pTpTp...pTpt，N(t)表示跳跃的次j12N(t)数。通过一定的方法就可以计算出似然函数并进行最大似然估计。 - 57 -
中国利率期限结构及应用研究 （四）其他模型 Glodstein(2000)则将远期利率作为一个随机域进行分析，并考虑到不同的到期日的创新之间的相关关系。在这个模型中，整个收益率曲线是一个输入变量，而不仅仅是短期利率。他的模型具体内容为：在风险中性世界中，到T期日为T的债券的s时刻价格P(s)的变化服从： TNdP(s)i,Ti=r(s)ds−σdZ(s), ƒQTP(s)i=1iN{dZ(s)} 是独立的布朗运动变量。 Qi=1∂TT因为T时刻的瞬时远期利率f(s)=−logP(s),利用Ito引理， ∂TNNTi,Tiiidf(s)=σ(s)σ(s)ds+σ(s)dZ(s) ƒT ƒTQi=1i=1∂ii,Tσ(s)=[σ(s)] T∂TNTTii12因此， df(s)df(s)=σ(s)σ(s)ds。 ƒTT12i=1如果将到期时间作为不确定性的原因，我们就可以假定： NTQTi2df(s)=u(s)ds+σ(s)dZ(s), σ(s)=[σ(s)]。 TTQT ƒTi=1TT12相关函数为dZ(s)dZ(s)=c(s,T,T)ds。 QQ12TT12df(s)df(s)=σ(s)σ(s)c(s,T,T)ds。 因此一个必要的条件是 TT1212Niiσ(s)σ(s)ds=σ(s)σ(s)c(s,T,T)ds。 ƒTTTT121212i=1在随机域模型中，样本路径是整个曲线，而不是一个单独的数。 TT12如果dZ(s)=dZ(s)=dZ(s)，模型就变为单因子 HJM模型。它是HJMQQQ的一个扩展。 但是它只能在理论上进行推导，很难进行实证检验。 - 58 -
2． 文献回顾 Black(1995)通过将利率视为一个期权对利率的分布进行了分析。因为利率本身不能为负数，因此它是一个期权。因此，我们可以建立允许名义利率为负数的利率分布，然后将那些负数的利率水平用0替代，就可以得到现实中的利率水平分布。 小结 根据上面的文献综述，我们可以发现目前对利率期限机构动态模型的一些特征： 1、利率期限结构模型已经逐渐地由简单向复杂方向发展，研究水平也逐渐地深入，逐渐的从单因素模型向多因素模型，从单状态模型向机制转换模型，从常数模型向动态模型拓宽，利率期限结构模型的理论研究已经到了一个相对比较全面的层次。 2、目前对利率期限结构模型的校准（calibration）则是一个具有积极意义的工作。通过对不同模型的实际校准并在此基础上选择最优的模型，是一项技术性非常强的工作。而且，由于决大部分的模型所描述的都是风险中性世界中的利率变动，因此要利用现实世界的实际数据进行实证分析，需要进行①模型上的验证。 国外文献综述5：利率期限结构动态模型的实证检验 在对利率期限结构模型的理论研究基础之上，众多的学者都对不同的期限结构模型进行了实证检验，以对不同的模型进行判别和比较。实证分析可以分成几个类别：（1）对利率单位根问题的检验；（2）对不同期限结构模型的比较研究；（3）对某个特定期限结构模型的分析；（4）对模型可靠性的分析。 ① 但是目前大部分对动态模型的检验都是直接利用实际数据在现实世界中进行的，对现实世界和风险世界的差异并未引起足够的重视。 - 59 -
中国利率期限结构及应用研究 对利率单位根的检验 因为一般的利率期限结构动态模型都假设利率服从一个均值回归过程，并在此基础上展开分析。因此为了验证这些模型的可行性，首先就必须对利率是否真正服从一个均值回归过程进行验证。 Wang and Zhang(1997)对利率的单位根问题进行了实证分析，以对利率市场的有效性进行验证。根据他们的检验方法以及检验结果，单位根过程可以被显著地拒绝，表明利率市场存在着均值回归过程。 他们估计的模型是：i期利率r的变动服从： itr=α+ρr+ε, itit−1iti=1,2,...N 单位根过程就是检验ρ=1。将截距从式子中去掉，我们就可以得到： ˆr=ρr+ε itit−1it1ˆr=r−r,r=r, ƒititiiitT22但是文章假设E(ε)=0,E(ε)=σ,实际上不同到期日资料的方差可能不itit相等。 Lai(1997)对单位根问题进行了一个非常好的理论分析和实证检验。因为单位根只是检验I(1) 或者 I(0)过程, 它没有检验I(d) d<1，因此在实证中假设条件太强。所以需要一个新的方法来验证I(d), 0<d<1。如果实证结果支持它，则时间序列服从一个均值回归过程，具体使用的分析方法是傅立叶变化。 Pesando(1979)对有效市场上的短期利率和远期利率的随即游走问题进行了分析。在现实生活中，由于：（1）远期利率的估计性质；（2）利率的非随机游走性；长期利率可以表现出明显的序列相关性。该文为利率的非单位根性找到了切实的证据。 - 60 -
2． 文献回顾 对不同期限结构模型的比较研究 Durham(2002)利用Durham and Gallant(2002)的计量分析方法对不同的期限结构模型进行了实证检验。检验结果表明漂移项对模型表现好坏不会产生影响。对漂移率的变化增加一些变化所能带来的效果不会好于常数漂移率。随机波动率能够提高模型的拟合程度，但是对债券定价没有带来多大的好处。 主要实证分析的模型有： dX=u(X;θ)dt+σ(X;θ)dW,包括: 1/2dX=(α+αX)dt+(β+βX)dW; 1212β2dX=αdt+βXdW， 11β2dX=(α+αX)dt+βXdW, 1212β2dX=(α+αX+αX+α/X)dt+βXdW, 12341β1/24dX=αdt+(β+βX+βX)dW， 1123β1/24dX=(α+αX)dt+(β+βX+βX)dW， 121232β1/24dX=(α+αX+αX+α/X)dt+(β+βX+βX)dW。 1234123以及随机波动率模型： dX=u(X)dt+σ(X)exp(H)dW， XX1dH=u(H)dt+σ(H)dW。 HH2Bali(1999)对不同的利率期限结构模型进行了实证分析，结果表明漂移率和波动率为常数的模型以及波动率为利率水平函数的模型过度强调了利率水平对波动率的影响。最好的模型是波动率为利率水平和信息两个因素的函数。 估计模型为： γdr=(α+αr+αlnr)dt+ΨrdW t0,t1,tt2,tttt离散形式为： r−r=α+αr+αlnr+ε tt−10,t1,tt−12,tt−1t222γE(ε|I)=0,E(ε|I)=Ψr tt−1tt−1t222Ψ=β+βε+βΨ. t0,t1,tt−12,tt−1- 61 -
中国利率期限结构及应用研究 Chan等(1992)利用广义矩（GMM）估计方法对不同的利率期限结构模型进行了实证比较，结果表明波动率受风险水平影响的模型表现最好。结果同样表明对漂移率进行改进不会对模型产生太大的影响。而且，结果还表明一些经常运用的模型，如Vasicek 模型等，表现很差。 γ估计模型为： dr=(α+βr)dt+σrdW，具体包括： Merton模型:dr=αdt+σdW,β=γ=0; Vasieck模型dr=(α+βr)dt+σdW,γ=; CIR模型:dr=(α+βr)dt+σrdW,γ=1/2; Dothan模型: dr=σrdW,α=β=0,γ=1; GBM模型dr=βrdt+σrdW,α=0,γ=; Brennan-Schwastz模型:dr=(α+βr)dt+σrdW,γ=1; 3/2CIR VR 模型dr=σrdW,α=β=0,γ=3/2; γCEV 模型:dr=βrdt+σrdW,α= 具体分析采用离散数据： 22γr−r=α+βr+ε,E(ε)=0,E(ε)=σr. t+1ttt+1t+1t+1tGMM方法使用为： ε=r−r−α−βr ， f(θ) 为 t+1t+1ttt ♠ε ≡t+1 ↔ ≈εrt+1t ↔ ≈f(θ)=, t222γ ↔ ≈ε−σrt+1t ↔ ≈222γ(ε−σr)r ←t+1tt …E(f(θ))=0, GMM估计方法就是最小化 t'J(θ)=g(θ)W(θ)g(θ), TTTTT1g(θ)=f(θ), W(θ) 是正定的加权矩阵。 T ƒtTTt=1Schlogl and Sommer（1997）通过横截面分析（cross sectional analysis）对- 62 -
2． 文献回顾 不同利率期限结构模型进行了检验和比较。实证结果发现，在利率期限结构的分析中，均值回归方程和因子数量的选择要比对利率分布的选择更为重要。 Johannes（2003）对一般的利率期限结构漂移模型进行了分析，发现这些模型无法产生出同历史数据相符合的分布并在此基础上提出了跳跃因素。这些跳跃因素和中央银行的货币政策行为存在很大的相关性。考虑跳跃行为会影响到期权的定价，但是对债券的收益率预测却不会产生影响。 对特定利率期限结构模型的分析 Fernandez(2001)利用智利的数据采用非参数检验的方法对利率期限结构进行了实证分析。所估计的模型是单因子模型，漂移率和波动率都是利率水平的函数。结果证实了智利期限结构向下的趋势，这可以用中央银行的货币政策或者市场分割理论进行解释。 Karoui, German and Lacoste(2000)对HJM模型中所使用的状态变量选择问题进行了分析和研究。研究结果表明两个变量可以解释95%以上的利率变动，但是对波动率则需要更多的变量。 Brown and Dybvig(1986)利用横街面美国国库券的数据对单因子CIR模型进行了实证检验。横截面实证分析可以得出同时间序列分析类似的结论。但是这种方法会导致对贴现债券价格的低估以及期限溢酬的高估，这可能由税收效应引起。 假设：dr=k(u−r)dt+σrdz，则债券价格的变动服从： 2dP=Pdr+1/2P(dr)+Pdt=(k(u−r)P+P+1/2P)dt+σrPdz rrrtrtrrr根据均衡条件，预期收益率等于无风险利率加上风险溢酬。 dP/P=µ(r,t,T)dt+v(r,t,T)dz µ(r,t,T)=r+λ*v(r,t,T) 如果 λ*=λr/σ, 则 2rP+λrP=Pk(u−r)+P+1/2Pσr, 以及 P(r,T,T)=1, 可以得到P的rrtrr- 63 -
中国利率期限结构及应用研究 价格。利用P的实际数据，我们就可以估计利率水平和方差。但是，它对λ*的假设没有经济原因。 Lin and Yeh(2001)对B-spline估计函数估计出来的利率进行了实证分析，分析结果表明两因子模型好于单因子模型。但是考虑跳跃性的两因子模型并不能显著的优于单纯的两因子模型，但是它能够很好地解释期限结构以及利率衍生产品的定价。 Lanne and Saikkonen（2003）通过一个混合自回归模型对利率期限结构进行了实证检验，发现该模型可以很好的反映美国利率期限结构的波动持续（volatility persistence）和水平持续（level persistence）等特征。 Ball and Torous(1999)对欧元利率的随机波动率模型进行了实证检验并证实了利率变动中随机波动率的存在。他们还将利率的随机波动率模型结果同股票市场的随机波动率模型结果进行了比较。比较结果表明，利率的持续性更短，因为它主要受到中央银行货币政策的影响。他们检验的随机波动率模型为： γr=(a+br)+σrε,tt−1t−1t−11,t。 22lnσ−u=β(lnσ−u)+ξεtt−12t但是这个研究没有考虑到利率的单位根问题，实际上，实证估计的系数b接近于1，因此需要进行可靠性检验。 模型可靠性的分析 Ball and Torous(1996)对CIR模型以及Brennan and Schwartz的两因子模型中的利率时间序列单位根问题进行了分析。当利率服从一个均值回归过程时，一般的期限结构模型可以运用；但是如果利率服从单位根过程，这些模型则不再适用，所进行的估计也是有偏的，而且这种偏误无法由GMM等计量方法进行改进。Brown and Dybvig(1986)使用横截面分析有助于降低这种偏误，因为横截面可以提供将来利率变动的一些信息。因此如果收益率曲线是平稳的，则包含的信息量少，所改进的程度也就比较少；如果收益率曲线是陡峭- 64 -
2． 文献回顾 的，则可以进行很大的改进。 单位根问题的偏误可以表示为: X=ρX+ε tt−1t2如果ρpi1, 那么ˆn(ρ−ρ)渐进于服从一个均值为0、方差为1−ρ的正态分布。但是如果ρ=1，分布将是有偏的。 小结 根据对利率期限结构动态模型的实证分析，我们可以发现： 1、不同的模型，不同的计量分析方法，不同的数据，所得出的实证结果都会产生差异。因此，对不同的市场，重要的是模型的适用性。 2、但是，实证分析也得出一些基本一致的结论： （1）漂移率的假设不会对利率期限结构模型产生太大的影响； （2）波动率是利率期限结构模型的重要因素； （3）多因子模型要比单因子模型表现得好，但是多因子要牺牲自由度，因此，根据实证结果，两因子模型可能是一个比较好的模型。 （4）利率一般服从一个均值回归过程。 3、目前大部分对动态模型的检验都是直接利用实际数据在现实世界中进行的，对现实世界和风险中性世界的差异并未引起足够的重视。 国内利率期限结构研究现状述评 由于我国债券市场发展的滞后，对中国市场利率期限结构的研究在国内也屈指可数，相应的研究水平也处于一个比较粗糙的程度，没有形成一些一致性的观点和结论。而且，许多研究都将息票债券的到期收益率曲线同零息票债券利率期限结构等同起来，用息票债券的到期收益率曲线直接替代利率期限结构，从而造成利率期限结构的错误分析和无效结论。 庄东辰（1996）利用非线性回归的方法对我国的零息票债券进行分析，- 65 -
中国利率期限结构及应用研究 他的非线性回归模型为： BR=AT （） 其中，R为投资期限总的净收益率，T为到期期限，A和B为结构参数。将（）式两边都除以T，得到我国国债单利到期年收益率Y的期限结构模型： B−1Y=AT () 宋淮松（1997）则利用线性回归的方法进行分析。一元线性回归模型直接采用单利到期收益率，建立零息国债利率曲线的一元线性回归模型： Y=A+BT () 上述两种模型均采用单利，否认了货币的时间价值，不能真实地反映投资者的实际收益，而且，单利模型不能有效地反映流动性偏好和预期。换句话说，即使没有流动性偏好，长期投资工具的单利收益率也应高于短期投资①工具的单利收益率。 另外，（）式在理论上站不住脚，因为如果B＞1，则随着到期日的临近，国债的年收益率趋近于零，这是不合理的。（）式在理论上要相对合理一些。当到期期限为1年时，（）式的年利率为A＋B；当到期期限趋近于零时，其年利率为A，但（. 3）式关于线性的假定，过于粗疏，在实证中效果也比较差。 这些研究分析的对象都是零息票债券，对市场上大量存在的息票债券则没有进行分析和研究。所使用的方法也相对比较简单。 陈典发（2002）对Vasicek模型中参数和实际市场数据的一致性问题进行了研究，并探讨了它在公司融资决策中的应用。但是他没有考虑到融资期限长短所带来的流动性溢酬问题。 谢赤和吴雄伟（2002）通过一个广义矩方法，使用中国货币市场的数据，对Vasicek模型和CIR模型进行了实证检验。实证结果表明Vasicek模型能够更好地说明中国货币市场利率的变动。他们的估计结果为： ①例如，某一年期投资工具，单利收益率为10%，假定市场利率不变，连续投资两年，总收益率为21%，与单利收益率为%的二年期投资工具的总收益相同。 - 66 -
2． 文献回顾 k u σ *********Vasicek模型 ******CIR模型 注：Vasicek模型：dr=k(u−r)dt+σdW，k代表均值回归调整系数，u代表长期均值，tttσ代表波动率； CIR模型： dr=k(u−r)dt+σrdW，k代表均值回归调整系数，u代表长期均tttt值，σ代表波动率； ***表示显著性水平为1%。 从估计结果可以看出，Vasicek模型估计的波动率的显著性水平超过CIR模型，其余两个系数都十分显著，这说明Vasicek模型的估计效果要好于CIR模型。但是他们估计的长期利率均值为%，这远远高于政府利率水平，不符合实际情况。这说明他们使用的数据或者计量分析过程中可能存在着问题。 唐齐鸣和高翔（2002）利用同业拆借市场的利率数据对预期理论进行了实证。实证结果表明：同业拆借利率基本上符合市场预期理论，即长短期利率的差可以作为未来利率变动的良好预测，但是短期利率也存在着一些过度反应的现象。 范兴亭和方兆本（2001）对随机利率条件下的可转换债券的定价问题进行了实证的分析。他们利用Ho-Lee模型模拟利率的运动并在此基础上得到可转换债券的定价模型。利用实际的可转换债券数据进行实际验证，可以发现：在可卖空的市场条件下，对处于实值状态的可转换债券而言，由于其转换的可能性很大，基本上不存在违约风险，运用这个定价模型可以直接获得满意的定价。对处于虚值状态的可转换债券而言，需要考虑债券的恶意违约风险，而且恶意违约风险会随着股票价格的变动而变动，因此需要在定价模型中加入随股票价格而调整的风险溢酬，方可获得满意的定价。由于中国是一个不允许卖空的市场，这个模型仅对进入可转换期的可转换债券价格具有一定的预测作用。 他们选用的利率期限结构动态模型为Ho-Lee模型,即时刻t,期限为T的零息债券的价格满足: - 67 -
中国利率期限结构及应用研究 dP(t,T)=r(t)dt+σ(T−t)dW(t), 11P(t,T)r(t),σ由利率的初始结构决定。 1企业市场价值的运动满足下列微分方程： dV(t)=(r(t)+u)dt+σdW(t)， 22V(t)其中u为常数，代表企业市场价值的风险补偿，dW(t)dW(t)=ρdt。 12因此，作为企业市场价值和利率期限结构的或有债权的可转换债券C(t)①的价值必须满足： 222r(t)C(t)=CP(t,T)r(t)+CV(t)r(t)+C+1/2{CP(t,T)σ(T−t)+CV(t)PVtPPtVV2σ+2CP(t,T)V(t)ρσσ(T−t)}2PV1222∂C(t)∂C(t)∂C(t)∂C(t)∂C(t) 其中，C=,C=,C=,C=,C=, PVtPPVV22∂P(t,T)∂V(t)∂t∂P(t,T)∂V(t)2∂C(t)C= PV∂P(t,T)∂V(t)对可转换债券而言，其价值有到期结束和到期前结束两种情况。对到期结束而言，其价值为： CB(T)=min{Max[0,V(T)/m],Max[M+C(T),γV(T)]} 其中，V(T)为到期时企业的市场价值，m为可转换债券的总份数，M为可转换债券的本金，C(T)为期末的息票，γ为单位可转换债券的稀释因子，β其定义为γ=，其中β为单位可转换债券可转成的股份数，N为企业N+mβ②的原有股份数。 到期前结束可以分为违约、自愿转换和被赎回三种情况。其发生条件和相应的价值为： ① 具体的推导过程参见Johnson(1987)。 ② 具体意思参考Ingersoll(1977)。 - 68 -
2． 文献回顾 Max(0,V(τ)/m),V(τ)pimC(τ)+CB(τ)={γV(τ),CB(τ)+C(τ)≤γV(τ)piK(τ)， Max[γV(τ),K(τ)],CB(τ)≥K(τ)+其中，K(τ)为赎回价格，C(τ)是时刻τ获得的息票，CB(τ)为企业支付红利后企业可转换债券应有的市场价值。 李仲飞等（2002）对存在市场摩擦条件下的利率期限结构进行了研究。这些市场摩擦包括买卖价差、交易费以及税赋等。在这些摩擦条件下，李仲飞等人研究了市场满足无套利分析时利率期限结构所应该满足的条件。但是，这些问题，在中国都相对不重要。在中国，最重要的市场摩擦是头寸的限制，即投资者无法卖空，这将对利率期限结构产生很大的影响。而且，他们也将利率期限结构同到期收益率曲线等同起来。 朱峰（2002）通过样条函数估计中国市场利率的期限结构，并对中国利率期限结构进行了主成分分析。实证分析结果表明，中国的利率期限结构同样可以用水平因素、斜度因素和曲度因素来进行解释。但是，水平因素对利率期限结构的影响程度没有达到西方国家的水平（超过70%），只有%；水平因素和斜度因素联合起来的影响程度也只有73%左右，同西方国家超过90%的水平也存在较大差异。但是，由于他没有对样条函数的可靠性进行详细地比较分析和检验，因此利率期限结构的估计结果可能存在误差，并进而影响了主成分分析结果。 此外，还有杨大楷、杨勇（1997）和姚长辉、梁跃军（1998）对我国国债市场收益率曲线进行的实证分析。此外，还有严天华、李晓昌（2002）、长城证券（2002）等对国债收益率的研究。但这些研究也同样只是停留在息票债券的到期收益率上，没有研究真正意义上的利率期限结构。 - 69 -
中国利率期限结构及应用研究 3 利率期限结构研究的理论基础 本章是对在利率期限结构研究过程中所应用到的一些基本的定价理论作一个比较深入地研究和探讨，以便为后面的实证分析和应用研究奠定一个坚实的理论基础。本章分析的理论主要有三个：（1）随机贴现因子理论（stochastic discount factor theory）；（2）无套利定价理论（No arbitrage pricing theory）；（3）风险中性定价理论（risk neutral pricing theory）。其中，随机贴现因子理论是最一般、最广泛适用的理论，无套利定价理论和风险中性定价理论均可以由随机贴现因子理论推导出来。在这些理论基础之上，本文还对利率期限结构和上述理论之间的关系进行了拓展，得出了许多富有理论意义的结论。 随机贴现因子理论 自Markowitz (1952), Sharpe (1964) 以及 Lintner (1965)提出CAPM以来，资产定价问题一直是金融领域争论与研究的一个焦点。Black (1972) 推导出CAPM的一般形式。但是由于 CAPM建立于对单一因素风险的单期优化的基础之上，用它来解释现实的资本市场显得过于简单。在多因素的基础之上，Ross (1976) 提出了套利定价原理 (APT)，而Merton (1973) 则在考虑多期决①策的基础之上引入了基于消费的跨期资产定价模型（ICAPM）。自此，基于消费的资产定价模型理论迅速发展，最终形成了随机贴现因子理论。 Campbell (2000) 通过随机贴现因子对资产定价问题进行了分析和回顾，而 Cochrane (2000)则将所有的资产定价问题纳入到随机贴现因子的一般框架之中，建立了一个比较完整的随机贴现因子理论体系。 定义. 如果一个贴现因子，能够满足： p=E(mx)， 或者用条件期望的形式 ① Breeden(1979)正式提出了标准的消费资产定价模型（C-CAPM）。 - 70 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 p=E(mx)， ttt+1t+1其中，p表示资产的价格，x表示资产的未来回报，则我们称m为随机贴现因子。 随机贴现因子理论的提出 随机贴现因子理论最早是由基于消费的资产定价模型发展而来。基于消费的资产定价模型认为，代表性投资者的效用来自于消费，其目标是终生效用最大化。为了实现其目标函数，投资者必须将财富在消费和投资之间进行分配。消费是为了满足现在的效用，而投资则是为了满足未来效用的需要。目标函数用数学公式表示为： maxEU(C,C,C,...)， ttt+1t+2其中U代表效用函数。如果效用函数是时间可分（time separable）的，则目标函数可以简化为： ∞imaxEβU(C)， ƒtt+ii=0所服从的约束条件为： W=(W−C)R+e， t+1ttt+1t+1W代表时刻t的财富水平，R代表投资资产的总收益率，e代表时刻tt+1t+1t+1所获得的非投资收入，比如劳动收入等。 （一）效用函数时间可分时的随机贴现因子 为了寻找最优决策行为，我们根据动态规划的基本原则，构建一个贝尔曼动态方程： V(W,C)=U(C)+βEV(W−C)Re,C) ttttttt+1t+1t+1最优化的一阶条件是 U'(C)=βERV((W−C)Re,C) tt+11ttt+1t+1t1包络条件为 - 71 -
中国利率期限结构及应用研究 V(W,C)=U'(C), 1ttt∂V(W,C)tt其中V(W,C)=。 1tt∂Wt所以 U'(C)=βERU'(C). tt+1t+1U'(C)t+1E(βR=， tt+1U'(C)tU'(C)t+1因为R=x/p，所以p=E(βx t+1t+1tttt+1U'(C)tU'(C)t+1至此，随机贴现因子m 就可以写为 m=β, N期随机贴现因t+1t+1U'(C)tU'(C)Nt+N子就可以表示为 m=β。 t+NU'(C)t（二）效用函数时间不可分时的随机贴现因子 如果效用函数不可分，则贝尔曼动态方程可以写为： V(W,C,C,...)=U(C,C,...)+βEV((W−C)Re,C,C,...) ttt+1tt+1tttt+1t+1tt+2最优化的一阶条件是 U(C,C,...)=βERV((W−C)Re,C,C,...) 1tt+1tt+1ttt+1t+1t+1t+2包络条件为 V(W,C,C,...)=U(C,C,C,...) 1ttt+11tt+1t2所以 U(C,C,...)=βERU(C,C,...). 1tt+1tt+1t+1t+2U(C,C,...)1t+1t+2βR=， +1U(C,C,...)1tt+1U(C,C,...)1t+1t+2至此，随即贴现因子m 就可以写为 m=β。 t+1t+1U(C,C,...)1tt+1因此，无论效用函数是否可分，我们都可以找到一个随机贴现因子，该因子能够对资产进行定价。 - 72 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 ①（三）考虑消费者行为习惯时的随机贴现因子 此时，消费者的消费有一个习惯水平，用X表示，消费者的效用来自于t现实消费同消费习惯的差距，即U(C−X)，当期消费习惯不会受到当期真实tt∂Xt消费的影响，所以=0。 ∂Ct消费者的目标函数是： ∞imaxEβU(C−X)， ƒtt+it+ii=0所服从的约束条件为： W=(W−C)R+e， t+1ttt+1t+1同样，构建贝尔曼动态方程： V(W,C)=U(C−X)+βEV(W−C)Re,C) tttttttt+1t+1t+1最优化的一阶条件是 U'(C−X)=βERV((W−C)R+e,C) tttt+11ttt+1t+1t1包络条件为 V(W,C)=U'(C−X) 1tttt所以 U'(C−X)=βERU'(C−X). tttt+1t+1t+1U'(C−X)t+1t+1E(βR)=1, tt+1U'(C−X)ttU'(C−X)t+1t+1至此，随机贴现因子m 就可以写为 m=β, 这与传统t+1t+1U'(C−X)tt形式上的随机贴现因子不同。 U'(C−X)Nt+Nt+NN期随机贴现因子就可以表示为 m=β。 t+NU'(C−X)tt因此，从一般意义上分析，无论采取什么形式的效用函数，我们都可以 ① Campbell and Cochrane (1998) 和 Brandt and Wang (2001)。Zheng and Lin(2002)，林海和郑振龙（2003a）对这个问题进行了拓展。 - 73 -
中国利率期限结构及应用研究 找到相应的随机贴现因子对资产定价，只不过在随机贴现因子的具体形式上有所差异。因此，随机贴现因子理论的核心部分就是寻找随机贴现因子。 随机贴现因子表达的不同方式 虽然随机贴现因子的一般表达式只有一个，但是在实际的应用中，它可以根据具体的情况转变成不同的表达方式。 （1）用总收益率表示，随机贴现因子可以表示为： E(mR)=1 tt+1t+1对任意的资产a,b，都满足： abE(mR)=E(mR)=1， tt+1t+1tt+1t+1abE(m(R−R)=0。 tt+1t+1t+1eab令R=R−R，为资产a相对于资产b的超额收益率，则 t+1t+1t+1eE(mR)=0 tt+1t+1（2）如果资产是股票，则p=E(m(pd)。因为在时刻t+1，股ttt+1t+1t+1票资产的回报为x=p+d。p表示股票在t+1时刻的价格，d则表示t+1t+1t+1t+1t+1红利收入。同样，该式子还可以表示为： pp+dpdtt+1t+1t+1t+1=E(m)=E(m))。 tttt+1d+1（3）如果资产是无风险资产，则随机贴现因子可以表示为： p=E(m)， ttt+1或者 f1=E(mR)， tt+1tfR代表时刻t的1期无风险总收益率。它与1期无风险利率r之间的关t1,t系为： - 74 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 f①R=1+r。 t1,t（4）如果资产是一个欧式看涨期权，则随机贴现因子可以表示为： +p=E(m(S−K))， ttTTS表示标的资产的期末价格，K表示期权的执行价格，T+(S−K)=max(0,S−K)。 T定理. 利率期限结构代表了随机贴现因子的条件期望。 ff证明：根据1=E(mR)，在时刻t，R已知，因此 tt+1tt1f②1/R=Em，即r=−1。 ttt+11,tEmtt+1等式的左边为利率期限结构，右边为随机贴现因子。因此利率期限结构③代表了随机贴现因子的条件期望。证毕。 随机贴现因子的拓展 随机贴现因子理论提出之后，我们还要考察它与资产定价其他理论之间的相关关系。分析表明，其他的资产定价理论，如贝塔定价模型（beta pricing model）、因素定价模型、均值方差有效前沿模型等，都是随机贴现因子理论的特例。正是从这个意义上讲，随机贴现因子理论是最一般的通用模型。 （一）随机贴现因子和一价定律（law of one price） 定义. 如果未来收益相同的资产具有相同的价格，则我们称一价定律成立。 定理. 一价定律等价于资产组合的价格是资产价格的线性组合。 证明：假设一个资产，其在时刻t+1的收益可以由市场上的其他资产x,x,...,x组合而成，则该组合价格可以表示为： 12n rf①1,t 这边所采用的利率为1期计1次复利，如果是连续复利，则R=e。 t② 如果是连续复利，则r=−logEm。 1,tt+1③ 正是出于这个原因，很多研究都从随机贴现因子入手分析利率期限结构。 - 75 -
中国利率期限结构及应用研究 np(ax)， ƒii1n该资产的收益状况同组合ax相同： ƒii1nn（1） 充分性：如果根据一价定律，p(ax)=ap(x)。 ƒ ƒiiii11nn（2） 必要性：如果p(ax)=ap(x)，则一价定律同样成立。证毕。 ƒ ƒiiii11①定理. 如果存在一个随机贴现因子，则一价定律成立。 证明：设随机贴现因子为m，则资产价格为p=E(mx)， iinnnnp(ax)=E(max)=aE(mx)=ap ƒ ƒ ƒ ƒiiiiiiii1111满足定理，因此一价定律成立。 定理. 如果一价定律成立，则市场上存在一个随机贴现因子能够对资产定价。 证明：假设市场上存在N个基本资产，使得任意资产都可以通过这N个资产进行线性组合，一价定律成立。 基本资产的价格为p=[p,p,p,...,p]'，回报x=[x,x,...,x]'，则我们123N12N需要寻找一个随机贴现因子m满足p=E(mx)。 因为m可以表示为市场上的一个资产组合，即可以表示为m=c'x。则： −1p=E(mx)=E(x'c)=E(x')c，因为E(xx')非奇异，所以E(xx')存在。所以 −1c=E(x')p， −1m=p'E(x')x，证毕。 （二）随机贴现因子和贝塔定价模型（β定价模型） 从随机贴现因子也可以十分简单地推出贝塔定价模型。 ① 参见Cochrane(2000)。 - 76 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 if定理. 随机贴现因子理论也可以表达为：E(R)=R+βλ，R代i,mmf表无风险资产总收益率。 i证明：根据E(mR)=1，即 iiE(m)E(R)+cov(m,R)=1， iE(R)=1/E(m)−cov(R,m)/E(m)， cov(R,m)var(m)iiE(R)=R+()(−), fvar(m)E(m)cov(R,m)var(m)i令β=,λ=−，我们可以得到： i,mmvar()E()iE(R)=R+βλ。证毕。 fi,mm（三）随机贴现因子和均值方差有效前沿理论 从随机贴现因子理论中，还可以十分容易地推导出均值方差有限前沿理论。 定理. 如果市场上存在无风险利率，则任意的均值方差有效组合可以表示为： mvmE(R)=R+a(E(R)−R)， ffmvmR代表均值方差有效前沿，R代表均值方差有效前沿上的任意一个组合。 ii证明：根据E(m)E(R)+cov(m,R)=1， iiE(m)E(R)+ρσ(R)σ(m)=1， im,Rσ(m)iE(R)=R−ρσ(R) ifm,RE(m)可以看出，均值方差有效前沿必须满足ρ=1。也就是说，有效前沿im,R上的资产和随机贴现因子之间是完全相关的，因此他们之间也是完全相关的。mvE(R)−Rσ(m)mvf如果用R代表均值方差有效前沿有效组合，则||=，因为mvσ(R)E(m)- 77 -
中国利率期限结构及应用研究 mv在正常情况下，E(R)≥R，所以均值方差有效前沿组合满足：fmvE(R)−Rσ(m)f=；也就是说，所有的均值方差有效组合都在截矩为R，fmvσ(R)E(m)σ(m)斜率为的直线上。所以线上的任意两点就可以线性的表示这条直线，我E(m)m们可以选取无风险资产R和任意的一个有效组合R，则均值方差有效组合满f足： mvmmvmvE(R)−RE(R)−RE(R)−Rσ(R)fff=，即=， mvσ()σ()E(R)−Rσ(R)ffmvE(R)−Rmvmvfm则E(R)=R+E(R)−R=R+(E(R)−R) ffffmE(R)−Rfmvσ(R)m＝R+(E(R)−R)， ffmσ(R)mvσ(R)令a=， mσ(R)mvmR=R+a(R−R)。 ff证毕。 CAPM理论、APT模型等，都可以在上述分析的基础上通过进一步演化得到。因此，总的来说，随机贴现因子理论为资产定价提供了一个最一般、最通用的分析框架。下面分析的无套利定价理论和风险中性定价理论都建立在随机贴现因子理论基础之上。 ①（四）贝塔定价模型和因素定价模型 因为贝塔定价模型和因素定价模型在表达式上几乎相同，因此众多研究将二者等同起来，用因素定价模型来替代贝塔定价模型（如Kan and Zhou(1999)），并在此基础上对随机贴现因子提出了种种质疑。但实际上，二者之间存在着根本上的区别。为了分析的方便，我们假设市场上只有单个风 ① 这部分内容由林海（2002b）修改而成。 - 78 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 险因子，即市场收益率R。此时，风险价格λ=E(R)−R。 mmmf1、贝塔定价模型和因素模型的表达 贝塔定价模型的表达式可以写为： E(R)=R+β[E(R)−R],jfjmf cov(R,R)jmβ=jvar(R)m一个单因素模型则可以表示为： R=E(R)+βf+ε,ε代表非系统性风险。 jjjjjf是经过处理的因子，f=R−E(R)。 mm假设m为随机贴现因子，即p=E(mx)， jjE(mx)jmR=mE(R)+βfm+mε，E(mR)==1， jjjjjpj1=E(m)E(R)+βE(mf)+E(mε)， jjjE(mε)1E(mf)jE(R)=+β(−)−， jjE(m)E(m)E(m)如果无风险收益率位于资产空间内，E(m)=1/R,而且非系统性风险不会f带来预期收益，E(mε)=0，所以 jE(R)=R−βRp(f),p(f)表示因素f的价格。 jfjfcov(R,f)cov(R,)jjmβ==， 等于β模型。 jvar()var()mE(R)mp(f)=E(m(R−E(R)=1−， mmRfE(R)=R+β(E(R)−R) jfjmfR=E(R)+βf+ε=R+(E(R)−R)+βf+ε,ε为残差项。 jjjjfmfjjR−R=β(E(R)−R)+f+ε， jfjmfj风险价格为 λ=E(R)−R, 等于β模型下的风险价格。 mf- 79 -
中国利率期限结构及应用研究 所以，在β模型下，R=R+β（E(R)−R)+η，η为残差项。 jfjmfjj而在因素模型下， R=R+(E(R)−R)+βf+ε。如果用超额收益jfjmfjj率R＝R−R（即超过无风险利率的部分）和风险价格α表示，则我们可以jjf得到有关推论： cov(R,f)j推论. 贝塔定价模型可以表达为：R=βα+η，β=；jjjjvar(f)而因素模型则可以表达为：R=βα+βf+ε。二者在表达上存在差异。 jjjj对影响因子可以进行标准化，使得影响因子的方差变为１。即可以设f①'f'=，此时在β模型中，β=cov(R,f')=E(Rf')，因为E(f')=0。jjjσ(f)所以经过标准化处理之后： ''β模型：R=βα'+η，β=E(Rf')。 jjjjj''因素模型：R=βα'+βf'+ε。 jjjj2、贝塔定价模型和因素模型的计量分析 上面的分析都是横截面分析，在实际计量分析的时候要扩展到时间序列分析。由于两个模型的不同，因此，使用的时间序列GMM计量模型也不一样。 T(R−Rfλ) ƒtttt=1 对β模型而言，GMM方法为：计算矩g=，1TTTg:N(0,S)。 1TN1)通过最小化argming(λ)'Wg(λ)求出λ，此时λT1T)−1②λ=(D'WD)(D'WR)。其中， T1TTT1TT βj'① 可以发现，此时β=，所以α'=ασ(f)，影响因子的变动同时影响风险价格和风险系数。 jσ(f)② 式子中的R是一个N×1向量，代表时刻t市场上N个资产的超额收益率。 t- 80 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 TTRfR ƒ ƒttt−1t=1t=1D=，R=，W是S的有效估计。 TT1T1TT 而对因素模型而言，它的GMM方法为： E(ε)=E(R−βλ−βf)=0;ttt。它的矩条件为 E(f)=E[(R−−f)f]=0tttttT1g(λ,β)=[z⊗(R−βλ−βf)]，Tg(λ,β):(0,S),z=[1,f] 2T ƒttt2T2N2ttTt=1 所以参数λ,β通过argming(λ,β)'Wg(λ,β)进行估计。 λ,β2T2T2所以，在β模型中，GMM方法只有一个估计参数，那就是风险价格，而T风险系数直接通过E(Rf)=1/TRf进行估计。而在因素模型中，GMM方 ƒttttt=1法同时对风险系数和风险价格同时进行估计，使得最后的误差最小。因此，对于一个收益率时间序列，β模型将所有的误差都体现在风险价格中，使得风险价格变得相对不稳定；而因素模型则将误差同时分给风险系数和风险价格，因此风险价格就显得相对比较稳定。总的来说，因素模型是联合求解，而β模型则是单独求解。 3、随机贴现因子、贝塔定价模型和因素模型 在随机贴现因子模型中，Cochrane(2000)等认为，如果单因素模型成立，①则存在一个随机贴现因子m使得E(Rm)=0，m=δ−δf，则 tttt01tE(Rm)=E[R(δ−δf)]=0, E[R(1−λf)]=0,λ=δ/δ， ttt01ttt10E(R)=E(Rfλ)=E(Rf)λ， ttt等于经过标准化处理之后的β模型。 所以这个随机贴现因子形式检验的是β模型，而不是因素模型。如果要检验因素模型，则需要另外的条件。 ① 实际上，由此可知δ=1/R，因为E(m)=δ=1/R 0ft0f- 81 -
中国利率期限结构及应用研究 4、贝塔模型和风险溢酬 对随机贴现因子的质疑主要是认为它可能无法准确判别真正的风险因素，因为可能同时存在着几个变量满足随机贴现因子等式。假设真实的经过标准化处理的风险因素为f，则E[R(1−λf)]=0。但是存在两种情况也能满ttt足随机贴现因子等式： f+n2tt(1) g=,λ=λ1+σ；n是一个纯粹的测量误差； tgnt21+σn−1β'ε ƒt−1(2) h=，λ=λβ'β。 h ƒ−1β'β ƒ而g,h都不是真正的风险因素。因此，利用随机贴现因子无法找到真正tt的风险价格。但是，虽然无法找到风险价格，但是风险溢酬，即风险价格和风险系数的乘积，却是唯一的。因为风险因子的变动不仅会影响风险价格，也会影响风险系数；我们要分析随机贴现因子对β模型的检验能力，就必须综合分析风险因素变动对风险价格和风险系数的影响。 f+n2tt (1) 如果使用新的风险因素g=,λ=λ1+σ，则此时， tgn21+σnf+ncov(R,fn)βtttttˆβ=cov(R,)==，因为cov(R,n)=0。此gttt2221σ1+σ1+σnnn时的风险溢酬为： ˆβλ=βλ， gg仍然等于真实因素下的风险溢酬，所以加入一个测量误差并不会对风险溢酬的估计产生影响。 −1β'ε ƒt−1(2) 如果使用新的风险因素h=，λ=λβ'β，此时， h ƒ−1β'β ƒ−1β'εβ ƒtˆβ=cov(R,)=，风险溢酬为： t−1βββ'βƒ ƒ- 82 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 )βλ=βλ， hh也仍然等于真实因素下的风险溢酬。 所以无论在何种条件下，影响因素的非系统性改变会改变相应的风险价格和风险系数，但是不会改变对风险溢酬的估计。非系统性改变实际上是在不改变风险溢酬的条件下对风险溢酬的两个组成部分，即风险价格和风险系数进行重新分配。此时，真正的因素仍然是f，对它的非系统性改变不会对t结论产生影响。这也就验证了，在β模型下，非系统性的风险因素不会对风险溢酬产生影响。因此，可以利用随机贴现因子方法对贝塔定价模型进行验证。 无套利定价理论 无套利定价理论是目前大多数资产、特别是衍生产品定价的理论基石（benchmark）。它主要建立在一个理论假设前提之上：市场上存在着大量的套利者（arbitrager）不断地在寻求市场上所有可能的套利机会，并不断地利用这个套利机会赚取超过无风险的超额利润，也就是说，所获得的无风险利润超过市场上的无风险利率。其套利的主要策略是卖出价格被高估（over－priced）的资产，买入价格被低估（under－priced）的资产。随着价格被高估资产的出售的增加，其价格就会下降，恢复到正常水平；而价格被低估的资产则由于购买的增加，其价格上升，也会减少市场的定价偏误。大量的套利行为就会使得不同的资产价格之间可能存在的套利机会迅速消失。 为了进一步具体地分析无套利定价理论，我们这边假设一个两期市场： （1）市场上不存在交易成本，即不存在交易头寸的限制、税收以及交易手续费等。这个假设可以放宽至考虑市场交易成本，并不改变无套利定价的基本结论。 （2）市场上存在一个无风险资产，其价格水平为B(t)； （3）市场上存在N个风险资产，其时刻t的价格为 - 83 -
中国利率期限结构及应用研究 S(t)=[S(t),S(t),...,S(t)]'； 12N（4）市场上存在M个不确定性，即在时刻t+1的市场可能状态有M个，其条件真实概率分布用q(t+1)=[q(t+1),q(t+1),...,q(t+1)]'表示。因此，风12M险证券在时刻t+1的回报矩阵为： SS...S ♠ ≡11121M ↔ ≈SS...S21222M ↔ ≈S(t+1)=， ..↔. ≈ ↔ ≈SS...S ←N1N2NM …（5）为了保证市场的完全性，假设N≥M。也就是说，市场上任意回报特征的资产都可以通过现有的证券进行复制。 定义. 如果一个组合θ(t)在时刻t+1的可能回报可以表示为 NNθ(t+1)=wS(t+1)+(1−w)(1+r)B(t),i=1,2,...,M， ƒ ƒijij1,t=1=1其中S(t+1)为矩阵S(t+1)第j行的第i个元素。w为投资于第i种风险jiiN证券的比重，1−w为投资于无风险资产的比重，则θ为市场上所有资产的 ƒi1一个线性扩展（linear spanning）。 定义. 如果一个证券能够被市场上的其余资产线性扩展，则我们称该证券是冗余证券（redundant security）。 定义. 如果市场上所有具有以下两个特征的组合θ(t)： （1）θ(t+1)≥0； i（2）至少有一个θ(t+1)φ0； i其在时刻t的价格p(θ(t))φ0，则我们称市场是无套利的。 该定义的经济含义就是所有具有正回报的资产组合，其价格必须为正。由此我们可以得出两个套利组合的形式： 形式1：θ(t)pi0;θ(t+1)≥0,i=1,2,...,M； i- 84 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 形式2： θ(t)=0;θ(t+1)≥0,i=1,2,...,M，并至少有一个θ(t+1)φ0。 ii定理. 在无套利的市场条件下，如果两个组合在时刻t+1的回报完全相同，则他们在时刻t的价格必须相等。 证明：采用反证法。假设两个组合的价格分别为θ(t),θ(t)，如果12θ(t)≠θ(t)，则可能有两种情况： 12（1）θ(t)fθ(t)，则在时刻t,采取投资策略：卖出θ(t),然后买入θ(t)。1212则该投资策略满足：θ(t)pi0;θ(t+1)=0,i=1,2,...,M，满足套利形式（1）。 i（2）θ(t)pθ(t)，则采取相反的投资策略，同样满足套利形式（1）。 12定理的经济含义是市场无套利意味着市场上的一价定律（law of one price）成立。反之则不一定成立。 利用一价定律，我们可以得到由市场上现有资产线性扩展所得冗余证券的价格为： NNθ(t)=wS(t)+(1−w)B(t)， ƒ ƒiii11这点性质对衍生产品的定价特别有意义。衍生产品定价的一个基本思路是，用现有资产去复制衍生产品未来的回报特征。如果能够找到一个现有资产的一个组合，该组合的未来回报和衍生产品完全一致。则可以用该组合的价格来对衍生产品定价。 定理. 在一个无套利的市场上，存在一个正的随机贴现因子能够对资产定价。 证明：因为市场无套利意味着一价定律成立，而一价定律成立意味着存在一个随机贴现因子。 由于存在M个风险源，随机贴现因子D(t+1)为一个M×1矩阵，即 D(t+1)=[D,D,...,D]'， 12MD代表状态i的状态价格。此时，市场上的所有的资产价格可以表示为： i- 85 -
中国利率期限结构及应用研究 Mθ(t)q(t+1)θ(t+1)D(t+1)。 ƒiiii=1假设有一个随机贴现因子元素D≤0，则我们可以构建一个组合θ(t)，该i组合满足： （1）θ(t+1)=0,j≠i,j=1,2,...,M, j（2）θ(t+1)f0； i则该组合具有正的回报，但是它的价格为Mθ(t)θ(t+1)D=θ(t+1)D≤0，不满足市场无套利的定义。证毕。 ƒjjiij=1推论.在真实概率q(t+1)下，任意一个风险资产组合θ(t)满足： (Eθ(t+1)/θ(t)−1fr 1,t证明：(Eθ(t+1)/θ(t)−1为风险资产组合的预期收益率，根据风险资产t必须有风险溢酬的原则（否则投资者不愿意持有），风险证券的预期收益率应该大于无风险利率。证毕。 定理 在一个无套利的市场上，存在另一个概率分布%q(t+1)能够满足： %(Eθ(t+1)/θ(t)−1=r。 t1,t证明：首先，由随机贴现因子的性质可知， MD(t+1)q(t+1)=1/(1+r)， ƒii1,t1Mθ(t)q(t+1)θ(t+1)D(t+1) ƒiiii=1MMq(t+1)D(t+1)ii=(q(t+1)D(t+1)θ(t+1)， kkƒ ƒMi=1=1q(t+1)D(t+1) ƒjjj=1q(t+1)D(t+1)ii令%q(t+1)=,则%q(t+1)满足： iMiq(t+1)D(t+1) ƒiii=1- 86 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 M%%q(t+1)≥0,q(t+1)=1，为一个新的概率分布。在这个概率分布条件下， ƒii1M%%θ(t)＝q(t+1)θ(t+1)=Eθ(t+1), ƒiit+rr11,t1,%Eθ(t+1)tt所以−1=r。证毕。 1,tθt也就是说，只要通过对概率的重新调整，所有资产经过概率调整后的预期收益率全部变为无风险利率。这就是我们在下面要详细分析的风险中性定价原理。 定义. 如果一个时间序列s(t),s(t+1),...，满足 Es(t+i)=s(t),i=1,2...,对于任意的t都成立， t则我们称时间序列s(t)为一个鞅过程。 也就是说，鞅过程指的是根据目前所得的信息对未来某个资产价格的最①好预期就是资产的当前价格。它是一个同市场效率真正等同的概念。 推论%. 在新的概率分布条件q(t+1)下，所有资产价格经过无风险利率贴现之后，为一个鞅过程。 证明：在两期条件下， θ(t+)%θ(t)=Eθ(+1)=E。证毕。 tt+rr1,1,定义%(t+1)称为风险中性概率（risk neutral probability）。 上面的这些分析都可以十分简单的扩展到多期以及连续时间状态，其基本结论都不会发生改变。 风险中性定价理论 风险中性定价理论是对衍生产品定价的一个最重要的理论，其主要优势就在于它规避了十分复杂而且尚无定论的风险资产的预期收益率的估计问 ① 对鞅过程、白噪音和独立同分布三者之间的区别，参见张亦春（2002）。 - 87 -
中国利率期限结构及应用研究 题，而直接利用了一个风险世界的转换，通过该转换，所有资产的预期收益率全部变为无风险利率这个十分简单而且又能在市场上直接找到的变量。在风险中性中的价格可以适用于任何世界，当然包括现实世界。它最主要的原理是相对定价理论，也就是无套利原理。隐含在这风险中性定价之后更深层次的原理是如果市场是无套利的，市场上存在一个风险价格，这个风险价格对所有的风险资产都适用。因此经过这个风险价格将风险扣除掉之后，所有资产的预期收益率全部为无风险利率，现实世界变为风险中性世界。 ① 风险中性定价理论的提出：B-S期权定价模型 Black and Scholes(1973)的经典文献提出了一个基本的欧式期权定价公式，成为衍生金融市场理论和实践发展的奠基石。在Samuelson(1965)的基础上，他们利用了无风险套利的市场均衡原则，通过一个期权和标的资产（underlying asset）的无风险的资产组合必须获得无风险市场收益率的条件寻找到市场均衡时的BS偏微分方程。在这方程中，资产的期望收益率被市场无风险收益率所替代，从而就避免了估计资产的期望收益率所带来的许多问题。这就成为风险中性定价理论的最早应用。 定义. 自融资交易策略是指除了初始投资（initial investment）之外，在投资过程中，不追加任何投资，也不从投资中转移资本，只通过资产组合本身所含资产的等额买卖进行资产组合的结构调整。 假设在时刻t,组合的市场价值为V=α(t)S(t)，α(t)表示时刻t资产it ƒiii的数量，S(t) 表示时刻t资产i的市场价格。在时刻t，投资者要根据市场情i况对组合的结构进行调整，即对α(t)进行调整。调整之后的结构保持到下一i期t+1,因此，如果这个资产组合为自融资，则必须满足 α(t)S(t)=α(t+1)S(t)， ƒii ƒii ① 该部分内容主要参考张亦春和林海（2003b）。 - 88 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 即在时刻t进行调整的资本来源只能是这个资产组合本身，而不能是额外的资本。在时刻t+1,组合的市场价值为V=α(t+1)S(t+1)，因此，组合t+1 ƒii价值的变动可以表示为： ∆V=V−V=α(t+1)S(t+1)−α(t)S(t) t+1t+1t ƒii ƒii=α(t+1)S(t+1)−α(t+1)S(t)=α(t+1)∆S(t+1)， iiii ƒiiƒ在连续时间序列条件下，这个式子可以表示为： dV=α(t)dS(t)， t ƒii定义.如果在任意时刻t，衍生产品的价值f(t)都可以表示为一个自融资交易策略V，即S(t)=V=α(t)S(t)，则我们称自融资交易策略V为衍 ƒttiit生产品f(t)的复制资产组合。 因此，根据无套利原则，衍生产品的当前价格等于自融资交易策略组合的当前价值。 利用自融资交易策略和复制资产组合，我们就可以对衍生产品进行定价。 遵循B-S定价模型的假设，假设衍生产品的价格为f，其标的资产的价格服从一个几何布朗运动： dS/S=µdt+σdz 其中，µ表示收益率，σ表示资产的波动率。 无风险资产的变动可以表示为：dB=rBdt。B表示无风险资产的价格。 考虑一个期权、标的资产以及无风险资产的组合。如果我们能够证明，存在一个初始投资为0的自融资交易策略，保证期权、标的资产以及无风险资产之间的匹配，我们就可以将期权表示成标的资产和无风险资产的组合。该组合的初始市场价值为： V=Qf+QS+B, fSQ表示期权的数量，Q表示股票的数量。 fS根据自融资交易策略的条件，dV=Qdf+QdS+dB。 fS- 89 -
中国利率期限结构及应用研究 根据伊托引理， 22∂f∂f1∂f∂f1∂f∂f222df=dt+dS+(dS)=(+σS)dt+dS， 22∂t∂S2∂S∂t2∂S∂S所以， 2∂f1∂f∂f22dV=Q(+σS)dt+QdS+QdS+rBdt， ffs2∂t2∂S∂S因此，只要令 ∂fQdS+QdS=0，即 fs∂S∂fQ=−Q， sf∂S就可以将组合中的随机项消除掉，从而整个资产组合无风险，必须获得∂f无风险收益。我们可以假设Q=−1,Q=。 fS∂S∂f接着，如果我们令初始投资V=0，即B=−Qf−QS=f−S。则 fs∂S2∂f1∂f∂f22dV=(−−σS)dt+r(f−S)dt=rVdt=0，即 2∂t2∂S∂S2∂f1∂f∂f22+σS+rS−rf=0， 2∂t2∂S∂S这也就是BS的偏微分方程。 因此，存在着一个初始投资为0的自融资交易策略，使得这个投资组合∂f∂f的价值在到期之前可以确定为0。即，V=−f+S+B=0，f=S+B。∂S∂S∂f因此，一个期权可以由一个一定数量（）标的资产和一定数量的无风险资∂S产组成的组合通过自融资交易策略的方式进行复制。 从BS偏微分方程中可以看出，标的资产的预期收益率µ不在方程当中，也就是说，我们不需要对标的资产的预期收益率进行估计，可以用任意数值代替，因为它不会对定价结果产生任何的影响。一个最简洁、最方便的方法- 90 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 就是直接假设预期收益率为无风险利率。 风险中性定价的理论根据 假设资产价格服从一个漂移过程： dS(t)/S(t)=µ(t)dt+σ(t)dz， µ(t)为资产价格的漂移率，σ(t)为资产价格的波动率，dz在现实概率P下为一个标准布朗运动。 µ(t)−r(t)①定理. 如果满足Nivikov条件，则经过一定的概率测度变σ(t)换， dS(t)/S(t)=r(t)dt+σ%(t)dz， dz% 为在另一个概率下的标准布朗运动。 证明：新概率测度下的布朗运动dz%只要满足 µ(t)−r(t)dz%=dz+dt，则， σ(t)µ(t)−r(t)dS(t)/S(t)=µ(t)dt+σ%(t)(dz−d%t)=r(t)dt+σ(t)dz。 σ(t)µ(t)−r(t)令=λ(t)，则dz%=dz+λ(t)dt。 σ(t)根据Girsanov定理，我们只要令新的概率测度Q满足： tt12②dQ=L(t)dP，L(t)=exp(−λ(s)dz−λ(s)ds)。 （） ≥ ≥002证毕。 定义. 如果概率测度dQ,dP满足（），则我们称dQ为dP的等价鞅测度。 T1µ(t)−r(t)2① 即满足E(exp(()ds))p∞。 ≥02σ(t)② 详细的证明过程参见Elliott and Kopp(1999)。 - 91 -
中国利率期限结构及应用研究 因此，经过这个等价鞅测度转换之后，资产的预期收益率变为无风险利率，所有的风险溢酬都变为0，这就类似于一个风险中性定价世界。所以dQ实际上是风险中性概率的连续状态表现形式。在风险中性世界中，资产价格经过无风险利率贴现之后是一个鞅过程。它是将无风险资产作为参照物。当然，我们可以找到另外一个等价鞅测度，使得在那个鞅测度下，所有资产的预期收益率都为某个值。即，该推论可以推广至一般情形。 µ(t)−a(t)推论. 假设满足Nivikov条件,则经过一定的概率变化, σ(t)dS(t)/S(t)=a(t)dt+σ(t)dz%， a(t)为一个任意的实数，dz%为在另一个概率下的标准布朗运动。 证明:同定理的证明相同,我们只要令 µ(t)−a(t)dz%=dz+λ'(t)dt,λ'(t)=即可。此时，新概率测度和现实概率测σ(t)度之间同样满足： tt12dQ=L(t)dP，L(t)=exp(−λ'(s)dz−λ'(s)ds)。证毕。 ≥ ≥002该引理的经济含义是我们不仅仅可以将无风险资产作为参照物进行风险中性定价，还可以将其他的风险资产作为参照物，在该参照物的等价鞅测度下进行定价。不同等价鞅测度下的定价结果是完全一致的。这就为我们对资产定价，特别是衍生产品定价提供了极大的方便。我们可以根据不同的资产情况选择最适合的资产作为参照物，在该参照物的等价鞅测度下进行资产的定价。 定理：如果风险中性定价成立，则存在一个唯一的风险价格λ(t)。 证明：假设在现实世界中，有一个资产价格S(t)服从： 1dS(t)/S(t)=µ(t)dt+σ(t)dz， 1111经过风险中性的等价鞅测度变换之后， dS(t)/S(t)=r(t)dt+σ%(t)dz， 111- 92 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 µ(t)−r(t)1风险价格为λ(t)=，则风险中性等价鞅测度必须满足1σ(t)1dz%=dz+λ(t)dt。 1假设另外一个资产价格S(t)服从： 2dS(t)/S(t)=µ(t)dt+σ(t)dz， 2222经过风险中性的等价鞅测度变换之后， dS(t)/S(t)=r(t)dt+σ%(t)dz， 222µ(t)−r(t)2风险价格为λ(t)=，则风险中性等价鞅测度必须满足2σ(t)2dz%=dz+λ(t)dt。 2因此风险中性等价鞅测度必须同时满足： dz%=dz+λ(t)dt和dz%=dz+λ(t)dt，所以λ(t)=λ(t)。 1212该情形可以扩展至任意资产。因此，如果风险中性定价成立，所有资产的风险价格必须相同。 推论. 如果相对于现实世界的某个等价鞅测度存在，则相对于那个测度的风险价格唯一。 证明：假设经过该鞅测度转换之后，所有资产的预期收益率都变为a(t)，µ(t)−a(t)i则资产的风险价格为λ'(t)=，要使得该等价鞅测度存在，必须满iσ(t)i足 dz%=dz+λ'(t)dt,i=1,2,...，所以 i''λ(t)=λ(t)=...，证毕。 12该引理拓展了我们对风险价格的理解。风险价格的衡量和计算必须有一个参照物，这个参照物可以是无风险资产，也可以是任意的风险资产。 - 93 -
中国利率期限结构及应用研究 风险中性定价的应用 风险中性定价理论最大的一个优点就是它避免了对风险资产的预期收益率的估计，而直接通过一个概率测度的转换，用市场上已知的无风险利率替代。它可以应用在对许多资产，尤其是衍生产品的定价中。 定理. 假设风险资产价格服从： dS(t)/S(t)=µ(t)dt+σ(t)dz， 无风险资产B(t)服从： dB(t)/B(t)=r(t)dt， S(t)则在风险中性世界中，是一个鞅过程。 B(t)证明：在风险中性世界中，dS(t)/S(t)=r(t)dt+σdz%， S(t)1dS(t)S(t)r(t)S(t)dt+σ%(t)S(t)dzd=S(t)d+=−r(t)dt+ B(t)B(t)B(t)B(t)B(t)σ(t)S(t)＝dz%，所以 B(t)tS(t)S(0)σ(s)S(s)=+dz%， ≥0B(t)B(0)B(s)S(t)S(0)E(=， 0B(t)B(0)S(t)所以为一个鞅过程。证毕。 B(t)定理.假设一个资产X的到期回报为X(T)，则其现在的价格可以表示为： QX(t)=B(t)E[X(T)/B(T)]， t其中Q代表风险中性等价鞅测度。 证明：在风险中性世界中，X(t)/B(t)为一个鞅过程，所以 X(T)X(t)QE[]=， tB(T)B(t)- 94 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 QX(t)=B(t)E[X(T)/B(T)]。证毕。 tTQ推论. X(t)=E[X(T)exp{−r(s)ds}]。 t ≥t证明：因为dB(t)/B(t)=r(t)dt，所以dlnB(t)=r(t)dt， TTB(t)①lnB(T)/B(t)=r(s)ds，=exp(−r(s)ds)，所以 ≥ ≥ttB(T)TQQX(t)=B(t)E[X(T)/B(T)]＝E[X(T)exp{−r(s)ds}]。证毕。 tt ≥t如果无风险利率保持不变，则上式可以简化为： QX(t)=exp(−r(T−t))E[X(T)]。 t+对于欧式期权而言，其到期回报为C(T)=(S−K)，所以其现在的价格T可以表示为： Q+C(t)=exp(−r(T−t))E[(S−K)]。 tT利用定理，就可以根据具体资产的到期回报情况，利用风险中性的②定价原理，对任意资产进行定价。 利率期限结构和定价原理 因为利率动态模型都是对风险中性世界中的利率变动进行描述，所以要对该模型进行实证检验，就必须进行模型上的验证。 假设在现实世界中，随机贴现因子m服从： ③dm(t)/m(t)=−r(t)dt−σ(r(t))dz， m(t)而瞬时利率则服从：dr(t)=u(.)dt+σ(.)dz，则： rr定理. 现实世界中用于贴现的随机贴现因子m(T)为： TB(t)① 到期日为T的零息票债券价格B(t,T)=E=Eexp(−r(s)ds)。 tt ≥tB(T)② 利用该原理，对不同衍生产品定价的具体应用参见Bingham and Kiesel(1998)。 ③ σ(r(t))会根据不同的模型设定而产生差异，但它总是是状态变量r(t)的一个函数。 m(t)- 95 -
中国利率期限结构及应用研究 TT12−(r(s)+σ)ds−σdzm(T)m(s)m(s) ≥ ≥tt2=e。 m(t)2dm(t)1dm(t)12证明：dlnm(t)=−=−(r(t)+σ)dt−σdz， M(t)M(t)2m(t)2m(t)2TTm(T)12ln=−(r(s)+σ)ds−σdz, M(s)M(s) ≥ ≥ttm(t)2m(T)TT12ln−(r(s)+σ)ds−σdzm(T)m(s)m(s) ≥ ≥m(t)tt2=e=e,证毕。 m(t)因此，在现实世界中，对于任意的回报X(T)，其价格可以表示为： TT12−(r(s)+σ)ds−σdzm(T)m(s)m(s) ≥ ≥tt2P=E(X(T))=E(eX(T))。 tm(t)推论. 到期日为T的零息票债券B(t,T)的价格为： TT2T−r(s)ds−(r(s)+1/2σ)ds−σdz m≥ ≥≥(s)m(s)tttB(t,T)=E(e)=Ee。 证明：因为零息票债券的到期回报为1，所以 TT2−(r(s)+σ)ds−σdzm(T)m(s)m(s) ≥① ≥ttB(t,T)=E=E[e] ttm(t)TTT2−r(s)ds−σds−σdzm(s)m(s) ≥ ②≥ ≥ttt=E(eE(e|r(s) t因为，σ是状态变量r(s)的一个函数，所以 m(s)TTTT1122−σds−σdz−σds+σdsm(s)m(s)m(s)m(s) ≥ ≥ ≥ ≥ttttE(e|rs)=e=1， T−r(s)ds ≥t所以B(t,T)=Ee。证毕。 tT−r(s)ds ≥t因此，在一般情况下，B(t,T)=Ee都是成立的，这也是现实世界中t ① 因为利率是一个随机变量，所以TTTTT11222−rs+σds−σdz−(r(s)+σ)ds+σds(())−r(s)dsmsmsm(s)m(s)()() ≥ ≥ ≥ ≥t2tttt E[e]≠e=et② 感谢厦门大学金融系王保合同学在该推导中提供的意见。 - 96 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 ①我们所用的债券价格公式。 Q定理. 如果一个世界内，σ=0，则该世界为风险中性世界。 m(t)证明：假设一个资产的期末回报为X(T)，则根据随机贴现因子定价原理，该资产的价格为： T−r(s)dsm(T)QQ ≥tP=E[X(T)]=E(eX(T) tm(t)因此，在该世界中，资产的价格为其期末回报的无风险利率贴现。根据上面有关风险中性定价原理的性质，这是一个风险中性世界。 推论. 用瞬时利率就可以对整个利率期限结构进行描述。 证明：因为到期日为T的零息票债券在时刻t的价格可以有两种方法表示：−r×(T−t)t,(T−t)第一种是用时刻t的T-t期连续复利r，表示为e；另一种是用T-tt,T−tT−r(s)ds ≥t期间的瞬时利率，表示为Ee。两种表示方式必须相等，所以 tT −r(s)ds−r×(T−t) ≥t,T−tte=Ee,t T−r(s)ds ≥tlnEet所以r=−，只要我们知道了瞬时利率的变动行为，我们就t,T−tT−t可以知道整个的利率期限结构。这也是绝大部分利率期限结构动态模型只对短期利率进行分析的原因。 定理 风险中性世界中， QQQQdr(t)=µ(.)dt+σ(.)dz%,u(.)=µ(.)−σ(.)σ,σ(.)=σ(.) m(t)证明：因为在风险中性世界中，任何资产的预期收益率都为无风险利率，即预期超额收益率为0。 对一个固定期限为N的零息票债券P(N,r(t)而言，其瞬时收益率为： ① Cochrane(2000)认为这个等式只在σ=0时才成立，这实际上是一个错误。因为σ＝0（证明m(t)m(t)见定理）也就是风险中性世界。如果该等式只在风险中性世界中成立，而在现实世界中不成立，则我们通常用的债券价格表达式就是错误的。 - 97 -
中国利率期限结构及应用研究 dP(N,r(t)1∂P(N,r(t)①−dt， PP∂N在风险中性世界中， dP(N,r(t)∂P(N,r(t)QE[−d]=r(t)， ∂2∂P∂P1∂P2dP(N,r(t)=dN+dr(t)+dr(t)2∂N∂r(t)2∂r(t)， 2∂P1P∂PQQ2Q=[µ(.)+σ(.)]dt+σ(.)dz%2r2∂rr所以 2∂P1∂P∂PQQ2µ(.)+σ(.)−−rP=0。 （） 2r2rN在现实世界中，根据随机贴现因子定价理论， dP(N,r(t))∂P(N,r(t))dm(t)dP(N,r(t)E[−d]=r(−E， t∂()(,()因为 2∂P1∂P∂P2dP=(µ(.)+σ(.))dt+σ(.)dz 2r2rr所以 2∂P1∂P∂P∂P2µ(.)+σ(.)−−rP=σ(.) m(t)2r2rNr2∂1∂∂2[µ(.)−σ(.)σ]+σ(.)−−rP=0 () m(t)2r2rN ① 证明：P(N,r(t)的瞬时收益率可以表示为：P(N−∆,r(t+∆)−P(N,r(t)lim∆→0P(N,t)P(N−∆,r(t+∆)−P(N,r(t+∆)+P(N,r(t+∆)−P(N,r(t)=lim ∆→0P(N,r(t)P(N−∆,r(t+∆)−P(N,r(t+∆)lim∆dP(N,r(t)∆→0∆=+P(N,r(t)P(N,r(t)dP(N,r(t)1∂P(N,r(t))=−dtP(N,r(t)P(N,r(t)∂N- 98 -
3． 利率期限结构研究的理论基础 所以联立()和()，我们可以得到： QQµ(.)=µ(.)−σ(.)σ,σ(.)=σ(.)，证毕。 m(t)如果我们令σ=λ(t)，为风险价格，则 m(t)Qµ(.)=µ(.)−σ(.)λ(t)。 因此风险中性世界中的利率的漂移率和现实世界中的漂移率存在一个互相对应的关系，而波动率则保持不变。我们可以根据不同模型的具体情况假设σ，即风险价格，就可以使得风险中性世界中的模型和现实世界中的模m(t)型在表达形式上保持一致。 定理 如果λ(t)=c，为一个常数，则此时，风险中性世界中的Vasicek模型在现实世界中也表现为Vasicek模型。 QQ证明：在风险中性世界中，µ(.)=k(r−r)，σ(.)=σ=σ(.) σcQ在现实世界中，µ(.)=µ(.)+σc=k(r−r)+σc=k[(r+)−r]， kσc令r'=r+，则µ(.)=k(r'−r)， k所以dr=k(r'−r)dt+σdz。证毕。 推论. 在现实世界中使用Vasicek模型的隐含假设是风险价格为一个不变的常数。 定理 如果λ(t)=cr，则此时，风险中性世界中的CIR模型在现实世界中也表现为 CIR模型。 QQ证明：µ(.)=k(r−r),σ(.)=σr=σ(.)， Qµ(.)=µ(.)+σr×cr=k(r−r)+σcr=kr−(k+σc)r k＝(k+σc)(r−r)， k+σck令k'=k+σc,r'=r，则 k+σcµ(.)=k'(r'−r)。所以dr=k'(r'−r)dt+σrdz。证毕。 - 99 -
中国利率期限结构及应用研究 推论. 在现实世界中使用CIR模型的隐含假设是风险价格为利率水平平方根的线性函数。 因此，实际上风险中性世界和现实世界中利率期限结构模型的一一对应实际上隐含了对风险价格的假设。Vasicek模型最为简单，假设风险价格为一个常数；而CIR模型则加入了利率水平的因素；其他更为复杂的模型则隐含假设了更为复杂的风险价格。 由于风险中性世界中的长期均值水平和回归速度和现实世界中均可能存在差异，因此用现实数据估计的利率模型参数，准确地说，无法直接应用于衍生产品的定价。但是，由于利率的波动率（σ(.)）一般都比较小，因此考虑系数调整之后，二者的结果差异也不是很大。波动率的估计在两个世界中是一致的。因为对于资产定价而言，尤其是衍生产品定价，更为重要的是波动率。因此，在现实的应用过程中，对两个世界的差异一般忽略不计，而直接用现实世界的模型来替代风险中性世界。 但是对于资产管理而言，这些差异就不能忽略不计了，因为均值的变化以及变化速度等都是资产管理必须考虑的一个重要方面。在资产管理中，面临着众多的风险，作为资产管理的投资者必须对这些风险和收益之间的关系进行比较并进行相应的分散投资，实现资产管理风险收益的最优目标。因此，在应用于现实的资产管理时，必须对这些模型进行相应的调整。如何从现实世界的参数中分析和估计出风险中性世界中的利率变动过程，并进而估计出风险价格，是一个值得研究而且具有广阔应用前景的领域。但是目前这个问题并未引起相应足够的重视。 - 100 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 4. 中国利率期限结构的实证分析 本章主要是利用中国的实际数据（上海证券交易所的国债价格数据和公司债价格数据）对中国市场的利率期限结构作一个系统、全面的估计和分析，研究我国市场利率期限结构的静态特征，流动性溢酬的大小，以及违约风险溢酬的高低。在这些研究基础上，对中国市场利率的变动进行动态的分析，探讨中国利率期限结构的动态变化特征。为了分析影响中国市场利率变动的潜在因素，本章还对中国利率期限结构进行了主成分分析。除了市场利率之外，本章还对中国政府利率的变动进行了研究。与通常的政府利率变动的研究不同，本章的重点不在于分析中国政府利率变动的原因，而是研究中国政府利率变动的特征。本章提出了一个可变波动率的纯跳跃模型（pure jump model），利用该模型可以比较好地描述中国政府利率的变动。 ① 中国市场利率期限结构的静态估计 中国目前公布的利率水平属于政府的官定利率，和市场利率存在着差异。市场利率反映了市场的交易者对市场资金供求状况的真实感受以及资金的真实价格，这种资金的价格可以从市场上交易的债券，特别是无违约风险（default free）的国债的价格中反映出来。因此，我们就可以根据市场上交易的国债价格来估计和分析整个市场利率的期限结构及其动态变化。 利率期限结构（term structure of interest rate）是在某个时点上不同期限的利率所组成的一条利率曲线。它可以表示为在某个时点不同期限的零息票债券的到期收益率所组成的一条收益率曲线（yield curve）。所谓静态分析，就是指对某个时点的整个利率期限结构的分析和估计。 在一个存在零息票债券的市场上，我们通过直接求出这些零息票债券的到期收益率就可以估计出某个时点的利率期限结构并进行分析。但是如果不 ① 由郑振龙和林海（2003b）修改而成。 - 101 -
中国利率期限结构及应用研究 存在零息票债券或者数量十分有限，那么这种方法就受到很大的限制。中国债券市场就是如此。在中国债券市场上，大部分债券都是息票债券，零息票债券的数量很少。上海证券交易所和银行同业间债券交易市场上交易的国债都是息票债券。因此，我们就不能通过求到期收益率的方法估计利率期限结构，而只能采取其他的估计方法。在本节中，主要采取MacCulloch(1971)年提出的样条估计（spline approximation）方法以及息票剥离法（bootstrap ①method）。 两种静态估计方法：息票剥离法和样条估计法 由于在中国债券市场上，大部分国债都是息票债券，零息票债券的数量很少，而且这些息票债券在息票率、付息时间上都存在着很大的差异。因此，就必须通过一定的方法对这些息票进行剥离和分析。具体的可以有两种选择：一种是线性条件下的息票剥离法，另一种则是非线性条件下的样条估计法。 （一）息票剥离法 息票剥离法将息票从债券中进行剥离并在此基础上估计无息票债券利率水平的一种方法。具体的计算方法为： ②首先根据经验假设一个最短期的利率水平r。假设市场上有两个债券，T0其到期日分别为T,T（TfT），价格分别为P,P，短期债券的到期日为T,1331131到期之前不支付利息；长期债券的到期日为T,，在T时刻支付一定的利息C。32由于短期债券到期之前不再支付利息，因此它就类似于零息票债券。其到期收益率为： ③ln(M)−ln(P)，M是短期债券到期时获得的本息和。由于方程右111r=T1T1 ① 具体详细的计算过程参见Hull(2000)。 ② 也就是期限小于min(T,T)的短期利率。在后面的实证中将证明，这个假设对利率期限结构的估12计基本没有影响。 ③lnP 如果是贴现债券，则。 1M=1,Y=−1T1T1- 102 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 边都是已知量，我们就可以求出期限为T的利率水平。对长期债券的处理，1则分为两种情况： 1、当T<T时，就可以通过对期限为T、T利率水平的线性插值求出期2101限为T的利率水平： 2T−TT−T−rT−rTT2T3201223r=r+r，而且由于P=Ce+Me，所以 TTT32201T−TT−T1010−rTT22r=(lnM−ln(P−Ce))/T。 T22332、当T>T时，我们就可以假设T期的利率水平为r，则T期的利率水213T23平为： T−TT−T−rT−rTT2T3213223r=r+r，而且P=Ce+Me，通过单变量求解TTT32203T−TT−T3131就可以计算出r。 T3因此，利用r,r，我们就可以对T−T之间的利率进行线性插值估计。 TT0303这个方法可以扩展到n个债券，m个付息日的市场。而且，由于短期利率的假定对估计结果没有影响，因此，估计结果就不会受到假设条件的限制。 （二）样条估计法 样条估计法主要通过一个贴现函数将不同时期的息票和本金贴现到现在，通过这些贴现总值和目前债券价格的拟合对贴现函数进行估计，从而估计出不同期限的利率水平。 样条函数具体形式为： ↑1 2m−m,0≤m≤d2°° ° °2d2f(m)=, → 11 ° °d,d<m<m22n ° °↓2↵- 103 -
中国利率期限结构及应用研究 ↑ ° ° °0,0<m<dj−1 °2 °(m−d) °j−1f(m)=,≤,=2...k−1 →j−12(d−d)jj−1 ° °2(m−d)j °1/2(d−d)+(m−d)−,d<m≤djjjjj+1 °2(d−d)j+1j °1/2(dd),dpm≤m °j+1j−1j+1n↓ ↑0,0≤m≤d k−1 ° °2m=(m−d)f). →1 kk−,d<m≤mk−1n ° °2(m−d) ↓nk−1 ↵d=m+θ(m−m)，m是小于 [j−1]n/k−1的最大整数, jll+1llθ=(j−1)n/(k−1)−m。这样就可以保证在不同的时间区域内有相同的债券数l量。 对于k的值，我们分别选取3和4，并比较他们的估计结果。 （三）两种估计方法的比较 通过上面对两种估计方法的描述和分析，我们可以对两个方法进行比较： （1）息票剥离法是在假定两个最近期间之间的利率服从线性变化关系的条件下进行估计的，而样条估计法则是在假定整个样本区间服从某种非线性关系的条件下进行估计的； （2）息票剥离法是单个利率水平从短期到长期的不断单变量求解，最后将这些利率水平连接起来，就构成利率期限结构；而样条估计法则是对整条利率期限结构的同时估计，使用的是一种线性拟合的办法。 （3）息票剥离法由于是不断地进行单变量求解，因此它的计算误差相对比较小。但是由于假定线性关系，也就是某个时期的利率水平只跟最近两个时期的利率水平线性相关，因此对利率随期限变动的描述上就显得简单；样条估计法则是进行曲线的线性拟合，因此误差比起单变量求解来说，会相对- 104 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 比较大；但是它是一种非线性拟合，可以考虑更为复杂的利率期限结构的形状。因此两种估计方法各有它的优点和缺点。 （4）息票剥离法是不断的求解，计算相对比较麻烦；而样条估计则是估计出贴现函数，对利率的计算和估计则要简单的多。 （5）由于样条估计方法在样条函数以及分割区间上存在着比较大的选择空间，因此最后的估计结果也会有差异。息票剥离法的利率期限结构估计则是为样条估计法中分割区间的选择提供了一个标准，因为息票剥离法的误差很小，因此样条估计如果能够得出和息票剥离相近的结果，则可以避免误差过大的缺陷，又可以发挥它非线性以及计算简单的优势。 我国利率期限结构的静态估计：2003-9-26 本文选取2003年9月26日上海证券交易所的国债交易价格对我国的利率期限结构进行静态的估计分析。由于2002年3月25日以后，国债交易价格是以扣除掉累计利息的净价法表示，因此首先要加上这些债券的累计利息，得出真实的息票债券价格。分析的方法采用息票剥离法和样条估计法。2003年9月26日上海证券交易所的国债交易情况如表所示。 （一）息票剥离法的估计结果 由于最近的付息日刚好是期限最短的债券（896）的到期日，该债券在这期间没有其他息票收入，它等同于一个零息票债券，利用零息票债券的利率计算公式我们可以计算出它的利率水平为%，这就是我们所需要的最短期利率。以这个最短期利率为基础，我们就可以根据息票剥离法估计出整个①利率期限结构。估计结果参见表。 ① 在正常情况下，最近的付息日一般不是期限最短的债券的到期日，而是其他息票债券的付息日。此时无法直接估计最短期利率水平，但我们只需假设一个最短期利率水平，利用这个最短期利率进行息票剥离。研究结果表明（郑振龙和林海（2003）），最短期利率假设水平的高低对利率期限结构的估计结果几乎没有影响。 - 105 -
中国利率期限结构及应用研究 表：中国上海证券交易所国债交易情况：2003-9-26 到期时债券本年息票债券市每年付息次债券代码 到期日 间 金 率 价 数 896 2003-11-1 % 1 696 2006-6-14 % 1 9905 2007-8-20 % 1 9704 2007-9-5 % 1 10214 2007-10-24 % 1 10103 2008-4-14 % 1 10115 2008-12-18 % 1 10210 2009-8-16 % 1 9908 2009-9-23 % 1 10215 2009-12-6 % 1 10301 2010-2-19 % 1 10307 2010-8-20 % 1 10110 2011-9-25 % 1 10112 2011-10-30 % 1 10203 2012-4-18 % 1 10308 2013-9-17 % 1 10213 2017-9-20 % 2 10107 2021-7-31 % 2 10303 2023-4-17 % 2 表：息票剥离法的估计利率期限结构：2003-09-26 期限（年） 利率水平（%） 期限（年） 利率水平（%） % % % % % % % % % % % % % % % % % % （二）样条估计法的估计结果 对于k的值，分别选取k=3和k=4，并比较它们的估计结果。见表和表。 - 106 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 表：样条估计法的估计参数：2003-09-26 a a a a 1234*** *** *** k= *** *** *** *** k=4 注：*** 表示显著性水平为1%。 表：样条估计法的估计利率期限结构：2003-09-26 k=3 k=4期限 %% %% % %%% %% % %%% %% % %%% %% % %%% %% % %%% %% % %%% （三）两种估计结果的比较 将两种不同估计方法估计出来的结果进行比较，比较的结果见图和图。从图中可以看出，息票剥离法和k=4时的样条估计结果十分接近。ˆ而k=3时的样条估计结果则相对比较差。假设估计价格为P，真实价格为P，22ˆˆ则(P−P)就可以表示估计价格和真实价格之间的差异程度。(P−P) ƒ ƒ越小，表明估计价格和真实价格之间的差距越小，说明估计结果越精确。表列出了K=3和K=4时的估计误差。K=4时的估计误差要小于K=3。 - 107 -
中国利率期限结构及应用研究 图：两种不同估计方法估计的利率期限结构的比较：2003-09-26 %%%%K=%K=%%%%%00830107971902040595..........034566883911期限（年） 图：两种不同方法估计的债券价格结果比较：2003-09-26 130120AM3110M4B1009000830107971902040595..........034566883911期限（年） 注：B表示息票剥离法估计； M4表示k=4时的样条估计； M3表示k=3时的样条估计； A表示实际值。 表：不同估计方法的估计误差比较：2003-9-26 K=3 K= 估计误差 因此，采用k=4时的样条估计法，可以取得和实际数据十分接近的利率期限结构。也就是说，样本分成三个区间是一个合理选择。 - 108 - 价格（元）利率（%）
4． 中国利率期限结构的实证分析 从上面的利率期限结构估计形状分析，我国的利率期限机构基本上是一条稍微向上的曲线，其中短期利率比较低，在2%左右，长期利率比较高，在①%左右。在中间期限还存在着一些波动。 我国利率期限结构的动态变化特征分析：2001-2003 由于k=4时的样条估计可以获得同息票剥离法相近的结果，而且计算十分简单。因此，本文接着选取k=4时的样条估计方法对中国利率的变动进行分析。 分析采用的数据是上海证券交易所的国债交易周末结算数据。由于2001年8月之前，没有长期债券，即债券期限超过10年的债券，而且债券的交易品种很少，因此为了避免估计产生的误差，本文只对2001年8月31日-2003年10月17日的利率变动进行分析。分析的利率采用月利率、年利率、3年期利率以及5年期利率。图画出了利率变化情况。 图：中国不同期限的利率变动：2001-2003 %%%%%%%时间 从图中我们可以发现中国利率变动的一些趋势： （1）长期利率高于短期利率，图中5年期利率在3年期利率之上，3年 ① 不同时点（随机抽取）的利率期限结构参见附录3。 - 109 - 利率（%）Aug-01Oct-01Dec-01Feb-02Apr-02Jun-02Aug-02Oct-02Dec-02Feb-03Apr-03Jun-03Aug-03
中国利率期限结构及应用研究 期利率在1年期利率水平之上。 （2）长期利率和短期利率存在着同涨同跌现象。图中3年期利率、1年期利率以及月利率的变动方向几乎一致。5年期长期利率则稳定在3%的水平上。 （3）利率的变动呈现出均值回归现象。月利率水平在２％左右上下波动。 小结 从上面对利率期限结构的静态估计以及动态变化特征的考察中，我们可以得出一些有关中国利率期限结构方面的结论： （1）样条估计和息票剥离法各有自身的特点以及缺陷，将二者结合起来互相比较使用，就可以比较科学合理的对利率期限结构进行静态估计。在上面分析中，我们可以通过两种不同方法的比较将k=3时的样条估计法排除，利用k=4时的样条估计来计算其他期限的利率水平。 （2）总体来说，中国的利率期限结构是一条稍微向上的曲线。短期利率比较低，长期利率相对比较高，在中间存在一些波动。 （3）不同期限的利率水平存在着同涨同跌的现象。 （4）动态来看，短期利率的变动表现出了利率波动的均值回归特征，为利率的动态模型研究提供了坚实的基础。 ① 中国市场利率流动性溢酬实证分析 市场利率的流动性溢酬（liquidity premium），也称为期限溢酬（term premium）,是为了弥补投资者投资于长期证券所承担的额外利率波动风险（Hicks,1942）。这种风险一般随着期限的延长而增加，因此，相应的流动性溢酬也要随着期限的延长而增加。 流动性溢酬的分析主要来源于利率形成假设之一的流动性偏好（liquidity preference）理论。认为，投资者由于流动性对短期债券有偏好，因此为了诱 ① 由林海和郑振龙(2002)修改而成。 - 110 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 使投资者购买长期债券，必须提供更高的利率，二者的差额就是流动性溢酬（liquidity premium）。 中国市场利率流动性溢酬通用验证模型设计 假设存在两种债券，一种债券是短期债券，期限为T；另一种债券为长1期债券，期限为T，T=nT。对于投资者而言，在期限为T的时间内投资具221有两种选择：一种是直接投资于长期债券，获得长期债券的市场利率报酬；另一种是投资于短期债券，在短期债券到期后再购买短期债券，通过连续n次循环投资于短期债券，不断获得购买短期债券时的市场短期利率报酬。由于投资短期债券的流动性要高于长期债券，而且它在短期债券之后具有根据当时实际情况再次选择投资机会的权利，因此，如果投资者对短期债券具有一定的偏好。为了吸引投资者购买长期债券，就必须提供更高的报酬以弥补投资者由于投资长期债券所带来的流动性损失。 假设时刻t，期限为T的连续复利利率水平为r。则长期债券的连续复t,T利利率水平为r，短期利率为r，在不存在流动性溢酬的条件下，二者的t,Tt,T21期望总收益率必须相等。 n−1rT tƒ+iT,T111rTrTrTrT(r+r+...+r)Tt,T2t,T1t+T,T1t+(n−1)T,T1t,Tt+T,Tt+(n−1)T,T121111111111i=0e=E(e×e×...×e)=Ee=Eettt①， n−1r tƒ+iT,T111rTt,T22i=0e=eε，Eε=0。 t+1tt+1存在流动性溢酬条件下， n−1rT tƒ+iT,T111rTrTrTrTt,T2t,T1t+T,T1t+(n−1)T,T1211111i=0e=E(e×e×...×e)+u=Ee+u， ttt n−1rn−1 tƒ+iT,T111rTt,T2①2i=0 必须注意的是，这边不能直接转化成ln(e)=Elne,rEr/n，因为 ƒtt,Ttt+iT,21i=0ElnX≠lnEX，除非X是一个常数。 tt- 111 -
中国利率期限结构及应用研究 n−1rT tƒ+iT,T111rTt,T①22i=0e=e+u+ε，Eε=0。 tt+1tt+1如果假设流动性溢酬不随时间变化，则 n−1rT tƒ+iT,T111rTt,T22i=0e=e+u+ε，Eε=0， t+1tt+1n−1rT tƒ+iT,T111rTt,T22i=0构建一个时间序列y=e−e=u+ε， () t,T,Ttt+112因为E(ε)=E(Eε)=0，所以 t+1tt+1如果E(y)>0,则 t,T,T12E(y)=E(u+ε)=E(u)>0； t,T,Ttt+1t12如果E(y)=0,则 t,T,T12E(y)=E(u+ε)=E(u)=0。 t,T,Ttt+1t12所以，如果时间序列y的无条件均值显著大于0，我们就可以验证流t,T,T12动性溢酬的存在。如果时间序列y的无条件均值和0之间无差异，则可能t,T,T12表明不存在着流动性溢酬。 由于y代表时刻t期限T相对于T的流动性溢酬，因此为了比较不同t,T,T2112期限之间的流动性溢酬，必须转化为同一单位。这种转化只需要通过yt,T,T12Y=就可以完成。这种转化只是对原有序列的放大，不会改变原有t,T,T12T−T21序列的任何关系。序列Y就是我们要进行检验的对象。 t,T,T12这个模型可以扩展至市场同时存在多种债券，长期债券和短期债券之间的期限不是倍数关系的一般化情形，其前提条件是能够有效估计出市场利率的期限结构。 ①实际上，当u=0，这个式子就变成无流动性溢酬的利率市场预期假设。 t- 112 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 中国市场利率流动性溢酬水平的实证检验 实证检验的债券数据来自于上海证券交易所的国债周末数据，利率期限结构数据利用上一节对中国利率期限结构的静态估计结果。所采用的数据为周利率、月利率、季度利率、半年利率以及1年利率水平。假设它们的利率水平分别为rr,r,r,r。假设周利率为短期利率。一个月等于4周，t,m,t,mt,mt,mt,m12345①一季度等于12周，半年为24周。则一个月相对一周的标准化流动性溢酬可以表示为： 33rmr/48 tƒ+im,m1 tƒ+im,m1111rmrt,m2t,m/122i=02i=0ye−ee−et,m,m12Y===， t,m,m12m−mm−m(1/12−1/48)2121一季度相对一周的标准化流动性溢酬可以表示为： 1211rmr/48 tƒ+im,m1 tƒ+im,m1111rmrt,m3t,m/43i=03i=0ye−ee−et,m,m13Y===， t,m,m13m−mm−m(1/4−1/48)3131半年相对一周的标准化流动性溢酬可以表示为： 2423rr/48 t+im,m1ƒt+im,m ƒ1111rmrt,m4t,m/2=04=0ye−ee−et,m,m14Y===， t,m,m14m−mmm(1/21/48)41411年相对于一周的标准化流动性溢酬可以表示为： 2423rr/48 t+im,m1ƒt+im,m ƒ1111rmrt,m5t,m=05=0ye−ee−et,m,m15Y=== t,m,m15m−mmm(11/48)5151Y,Y,Y,Y就是我们需要进行实际验证的流动性溢酬时间t,m,mt,m,mt,m,mt,m,m12131415序列。图列出了四个时间序列随时间变动的情况。 ① 1年的时间有52周，但是由于存在着节假日，1年的实际工作周数约为48周。而且，使用48周可使得周、月、季度、半年之间成倍数关系。 - 113 -
中国利率期限结构及应用研究 图：中国市场利率流动性溢酬 %%月%季度%半年1年%%时间 从图中可以比较明显的看出，中国市场利率存在着流动性溢酬，而且期限越长，流动性溢酬水平就越高。 四个时间序列的统计值见表。 表：不同时间期限流动性溢酬的统计值 序列 均值 标准误 T检验值标准差 最大值 最小值 -05 Y t,m,m12** Y t,m,m13*** Y t,m,m14*** Y t,m,m15**注：表示显著性水平为5％； *** 表示显著性水平为1%。 从统计数据中可以看出，随着时间期限的增长，市场流动性溢酬的显著性逐渐增强。月流动性溢酬水平不显著，季度流动性溢酬在5%水平上显著；半年流动性溢酬和1年流动性溢酬则在1%水平上显著。我国的市场利率体现出了流动性溢酬所具备的特征。 而且，随着期限的延长，流动性溢酬的水平也逐渐上升，月流动性溢酬水平约为%，季度流动性溢酬水平为%，而半年的流动性溢酬水平则上升至%，1年的流动性溢酬则迅速上升至%。当然，不同水平之- 114 - 溢酬（%）Aug-01Oct-01Dec-01Feb-02Apr-02Jun-02Aug-02Oct-02Dec-02Feb-03Apr-03Jun-03Aug-03
4． 中国利率期限结构的实证分析 间的差异是否显著还需要进行检验。 中国市场利率不同期限流动性溢酬差异的显著性检验 显著性检验的方法使用双样本异方差假设下的t检验，检验两个样本在方差不同的假设条件下的均值能否一致。表列出了检验结果。 表：中国不同期限流动性溢酬差异的显著性检验:双样本异方差假设 比较序列 Y和Y Y和Y Y和Y t,m,mt,m,mt,m,mt,m,mt,m,mt,m,m121312141215****** t检验值 ***注：表示显著性水平为1%。 因此，随着时间差距的不断延长，四个序列之间的差异日益显著的。其中，月流动性溢酬水平和季度流动性溢酬水平之间的差异不显著，月度流动性溢酬和半年流动性溢酬水平的差异以及月流动性溢酬水平和1年流动性溢酬水平之间差异的显著性水平则达到了1%。这就证实了流动性溢酬随期限延长而不断增加的假设。 中国市场利率流动性溢酬随时间变动的检验 上面的实证检验验证了中国市场利率流动性溢酬的存在以及流动性溢酬随着期限的延长而上升，研究的是流动性溢酬的总体平均水平。这部分则是在此基础上分析和验证中国市场利率流动性溢酬随时间的变动情况。 根据()，Y=u+ε，如果假设流动性溢酬保持不变，为一个常t,T,Ttt+112数u，则 Y=u+ε，Eε=0，则 t,T,Tt+1tt+112E(Y)=E(u+ε)=u， t,T,Tt+112而且Eε=E(Y−u)=E(Y−E(Y)=0，因此，在流动性溢酬tt+1tt,TTtt,TTt,TT121212为常数的条件下，市场利率流动性溢酬时间序列中扣除其无条件均值后是一- 115 -
中国利率期限结构及应用研究 ①个鞅过程。根据鞅过程的性质，我们可知，其自相关系数为0。扣除掉无条件均值之后市场流动性溢酬时间序列的自相关系数统计结果参见表。 表：中国市场利率常数流动性溢酬检验 AC(1) AC(2) AC(3) AC(4) AC(5) 序列 Y t,m,m12***************() () () () () Y t,m,m13***************() () () () () Y t,m,m14***************() () () () () Y t,m,m15***************() () () () () 注：Y=Y−E(Y); t,T,Tt,T,Tt,T,T121212括号内为自相关系数的Q统计值； ***表示显著性水平为1%; AC(i)为时间序列的i阶子相关系数。 ②因此，四个样本序列的各阶自相关系数都显著地不为0。因此，该时间序列不满足鞅过程的必要条件，它不是一个鞅过程，流动性溢酬为常数的假设就被拒绝。不同期限的流动性溢酬都随着时间的变动而不断地发生变化。 小结 通过对市场流动性溢酬通用模型的检验，我们可以发现中国市场利率流动性溢酬存在着几个和市场经济理性投资者假设相符的特征： （1）中国市场利率存在一定的流动性溢酬，随着期限的延长，这种流动性溢酬就越明显； （2）中国市场利率的流动性溢酬水平随着期限的延长不断上升，半年和1年的流动性溢酬水平显著地高于月度流动性溢酬。 （3）中国市场利率不同期限的流动性溢酬都随着时间不断发生变化。 ① 必须指出，时间序列自相关系数为0只是鞅过程的必要条件，而非充分条件。 ② 实证结果还表明，更高阶的自相关系数也是显著地异于0。 - 116 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 （4）本节对市场利率流动性溢酬研究的创新之处主要有两点：一个是直接使用总收益率进行估计，而不是像大多数文献（如Oslen(1974),Nelson(1972)等），使用利率本身，而且也没有对短期利率施加任何分布上的假定，显得更为直接、通用；第二个是通过对不同期限的流动性溢酬进行标准化，比较不同期限的流动性溢酬的高低。当然，由于中国债券市场刚刚起步，发展时间比较短，如果要研究更长期限的流动性溢酬，比如3年、5年，样本区间不够。这就在一定程度上限制了结论对更长期限流动性溢酬的适用性。 ① 中国违约风险溢酬实证分析 和无风险国债相比，公司债券的投资者必须承担公司无力偿还本金而违约的额外风险。因此，为了吸引投资者，公司债券的收益率应该高于同一时期的市场无风险利率，二者之间的差额就是公司债券的违约风险溢酬。因此，要对公司的违约风险溢酬进行估计和研究，需要分为两个步骤：第一步是从国债中估计市场利率水平，第二步是从公司债券中估计公司债券收益率。第1节作了第一步的研究工作，本章则是在此基础上利用相同的方法进行第二步的研究，并分析中国违约风险溢酬状况。 在对公司债券收益率进行估计时，有两种可以选择的方法：一种是没有考虑市场利率水平，单独对公司债券收益率进行估计，它是一种单独估计（single estimation）方法；另外一种就是将市场利率考虑进来，将公司债券收益率分解成市场利率和违约风险溢酬进行估计，这是一种联合估计（joint estimation），如Houweling等（2001）。本章则分别使用这两种估计方法并比较它们的估计结果，得出和Houweling等（2001）不同的结论：即在中国的公司债券市场上，使用单独估计就可以获得良好的估计效果，使用联合估计并不能减少估计的误差。 ① 由郑振龙和林海（2003a）修改而成。 - 117 -
中国利率期限结构及应用研究 中国公司债券发行的现状描述 我国公司债券的发展已经远远落后于股票市场，这不利于一个合理科学①的资本市场结构的形成，也与西方成熟资本市场国家的经验相悖。 我国上海证券交易所2003年9月26日交易的13只固定利息公司债券的②具体情况见表。 表：上海证券交易所公司债券一览表：2003－9－26 代码 到期日 到期时间本金 利率 价格 利息支付方式 到期一次性还本付息 129806 2003-12-24 100 % 一次性还本付息 129901 2004-10-12 100 %到期 每年支付一次利息 120001 2005-8-10 % 100 每年支付一次利息 129904 2006-6-15 % 每年支付一次利息 129805 2007-1-17 %112 100 每年支付一次利息 129905 2007-9-8 % 每年支付一次利息 120202 2007-10-27 % 100 每年支付一次利息 129902 2009-10-12 % 付一次利息 %每年支120288 2012-4-18 100 每年支付一次利息 120102 2016-11-8 % 100 每年支付一次利息 120203 2017-10-27 % 每年支付一次利息 120204 2017-12-12 % 120201 2022-9-20 %每年支付一次利息 单独估计和联合估计 单独估计和联合估计之间的区别主要在于对贴现函数的处理上。单独估计是直接从公司债券的贴现函数估计出公司债券的收益率；联合估计则是将公司债券贴现函数分解成无风险贴现部分和违约风险部分，无风险贴现部分利用国债价格进行估计，违约风险部分利用公司债券价格进行估计。 （一）单独估计 假设公司债券的贴现函数为δ(m)，代表m期之后的1元钱的现值。在单 ① 在美国等成熟资本市场国家，债券市场的发展一般远远超过股票市场。 ② 这边略去了浮动利率公司债券，因为浮动利率债券每年支付的利息额不固定，无法利用贴现函数进行贴现。 - 118 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 独估计条件下，直接假设贴现函数的具体形式为： kδ(m)=a+af(m)。 ƒjjj=1当m=0时，因为δ(0)=1, 所以a=1,f(0)=0。 j 由于中国公司债券的面值等于100，因此 knkP=100(1+af(m))+C(1+af(m))， ƒjj0 ƒjj iƒj=1i=0j=1knP=100+C(n+1)+a(100f(m)+Cf(m))。 jj0ƒji ƒj=i=0其中，P代表债券价格，C表示息票，n+1表示付息次数，m表示债券的到0期日，m,j=1,2,...n表示债券的付息日。如果我们令： jny=P−100−C(n+1)，x=100f(m)+Cf(m)， ƒjj0jii=0就可以得到： ky=ax。 ƒjjj=1k在截面回归模型中， yax+ε,i=1,2,...,q, 表示市场上的债券品i ƒjiij=1种。 所以在某个时点t,我们就可以通过对f(m)以及k的假设求出a，通过ajjj就可以求出任何时期的贴现值。贴现值求出之后，连续复利收益率水平可以ln(δ(m))通过r(m)=−进行计算。 m（二）联合估计 在联合估计中，则假设δ(m)=δ(m)+δ(m)，δ(m)代表无风险贴现部分，121δ(m)代表违约风险贴现部分。同上面类似，假设无风险贴现函数2- 119 -
中国利率期限结构及应用研究 kδ(m)=1+af(m),f(0)=0。违约风险贴现函数则假设为1j ƒjjj=1k'δ(m)=bg(m),g(0)=0。则： 2j ƒjjj=1knP=100+C(n+1)+a(100f(m)+Cf(m)) jj0ƒji ƒj=i=0k'n+b(100g(m)+Cg(m)， jj0ƒjj ƒj=1i=0由于可以根据国债价格估计出a，我们可以令： jkny=P−100−C(n+1)−a(100f(m)+Cf(m))， ƒjj0 ƒjij=1i=0nx=100g(m)+Cg(m)， jj0 ƒjii=0上式就可以转化为： k'y=bx。 ƒjjj=1k'在截面回归模型中， ybx+ε,i=1,2,...,q，表示市场上的公司债券i ƒjiij=1品种。 中国公司债券市场利率期限结构估计 本文采用MacCulloch(1971)所提出的样条函数作为贴现函数对上海证券交易所的2003年9月26日的公司债券收益率期限结构进行估计，表列出了几种不同估计方法的估计结果。 - 120 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 表：公司债券市场利率期限结构参数估计：2003-09-26 参数估计 联合估计1 联合估计2 单独估计 k=4,k’=3k=4,k’=4k=4*** *** *** a *** *** *** *** *** *** a *** *** *** *** *** b 1*** *** 2*** *** b 3*** b 4注：***表示显著性水平为1%。 三种估计方法的估计误差参见表。 表：三种估计方法的估计误差：2002-09-13 联合估计1 联合估计2 单独估计 估计误差 从表可以看出，单独估计的估计误差最小，使用联合估计无法降低①估计的误差，甚至使估计误差上升。 图画出了不同估计方法的公司债券预期价格，图则画出了不同估计方法的公司债券收益率期限结构，从中也可以明显地看出，单独估计②可以有效地对公司债券利率期限结构进行估计，它与息票剥离法最为接近。 中国公司债券违约风险溢酬变动特征分析 ③由于单独估计方法就可以取得比较好的估计效果，因此我们采取这种估计方法对中国公司债券2001年8月31至2003年9月30日的公司违约风险溢酬进行了估计。图列出了期限为1个月、1年、3年以及5年的违约 ① 本人在早期的研究中曾获得联合估计可以大大降低估计误差的结论，这主要是由于在样条函数的程序处理中出现了偏差。 ② 图2中的“息票”表示息票剥离法（BOOTSTRAP METHOD），具体计算方法参见第1节。 ③ 为了验证这一点，我们还选取了其它时间进行比较，发现结果基本没有差别，即单独估计和联合估计之间不存在太大的差异(具体比较参见附录3)。 - 121 -
中国利率期限结构及应用研究 风险溢酬。 图：不同估计方法的公司债券预期价格 140联合估计2130120联合估计1110单独估计100实际价格9044721594629182087390051029.............01123346834481111期限（年） 图：不同估计方法的公司债券利率期限结构 %%%联合%联合%单独%息票%%%44721594629182087390051029.............01123346834481111期限（年） 从图可以看出我国公司债券违约风险溢酬变化的一些特征： （1）违约风险溢酬的大小和期限之间的关系不明显。在一段时间内，长期违约风险溢酬高于短期违约风险溢酬（2001-2002）；但是在另一段时间内，长期违约风险溢酬却小于短期违约风险溢酬（2002-2003）。 （2）违约风险溢酬的波动幅度一般随着期限的延长而缩小。5年期和3年的违约风险溢酬相对比较稳定，而1月和1年期违约风险溢酬则上下波动。 （3）有违约风险溢酬小于0的现象发生。这说明我国公司债券市场存在着定价的不合理。 - 122 - 价格（元）利率（%）
4． 中国利率期限结构的实证分析 图：中国违约风险溢酬估计：2001－2003 %%%一月%一年%三年%五年%%时间 各种期限违约风险溢酬的统计值以及它们之间均值的差异性检验分别见表和表。检验结果表明1月和1年的违约风险溢酬不存在显著性差异，3年和5年的违约风险溢酬之间也不存在差异，而1年和3年的违约风险溢酬的差异是显著的。这表明，投资者对违约风险的敏感性要低于流动性，①因为在上节对流动性的分析中，1年之内的流动性溢酬的差异是显著的。这也正确地反映了我国目前国家信用担保条件下投资者对信用风险的忽视。 表：各种期限违约风险溢酬统计描述 期限 均值 标准差 T检验值 ***%% 1月 ***% % 1年 ***%% 3年 ***% % 5年 注：***表示显著性水平为1%。 表：不同期限违约风险溢酬的差异性检验：双样本异方差检验 1月-1年 1年-3年 3年-5年 ** T检验值 注：**表示显著性水平为5%； ① 我们还对1月和3年、5年的违约风险溢酬之间的差异进行了比较，发现无法得出显著性差异的结果。这进一步证实了投资者对信用风险的忽视。 - 123 - 溢酬（%）Aug-01Oct-01Dec-01Feb-02Apr-02Jun-02Aug-02Oct-02Dec-02Feb-03Apr-03Jun-03Aug-03
中国利率期限结构及应用研究 小结 根据上面的分析，我们可以得出有关中国违约风险溢酬的一些基本结论： （1）在对公司债券收益率进行估计时，使用单独估计方法就可以获得良好的估计效果，使用联合估计并不能获得比单独估计更小的估计误差。 （2）根据我国的现行税制，国债利息收入是免税的，而公司债券的利息收入个人要交纳20%的所得税，公司则并入其他所得一并交纳公司所得税。这样，不同的公司，其税收待遇是不同的。对于处于亏损状态和享受免税待遇的公司而言，其真实税率为零。本文的估计正是基于零税率的基础上。从个人投资者的角度看，有些公司债券（如中铁债券）完税后的收益为负。显然，公司债是不适合个人和高税率公司投资的。 （3）中国存在比较明显的违约风险溢酬，但是违约风险溢酬的大小和期限之间的关系不明显。这也正确地反映了我国目前国家信用担保条件下投资者对信用风险的忽视。 （4）2002年下半年，出现了短期违约风险溢酬在一段时间内连续超过长期违约风险溢酬的现象，这表明我国公司债券市场仍然存在着一些不合理的因素。 （6）当然，由于我国债券市场刚刚起步，发展的时间很短，而且品种很少，公司债券全部为AAA级公司。时间区间的狭窄以及样本种类、样本数量的稀少在一定程度上限制了本文结论的一般适用性。而且本文使用的样条函数也相对比较简单，可以考虑使用更为复杂的B样条函数。 ① 中国政府利率动态模型分析 中国市场上存在两种高度相关的利率：第一种利率是政府利率，由中央银行决定和颁布，可以用一个单纯的可变波动率跳跃过程进行描述。第二种利率是根据政府债券的交易价格利用样条估计法计算的市场利率。这一节主 ①由Lin and Zheng(2003)以及林海和郑振龙（2003c）修改而成。 - 124 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 要对政府利率进行动态模型分析，对市场利率的动态分析则放在下节。 政府利率的单纯跳跃过程 在考虑跳跃情况下，单因子瞬时短期利率均值回归漂移——跳跃模型可以表示为： dr=k(u(t)−r)dt+σ(t)dW+JdP, ttt其中k表示向均值调整的速度，u(t) 表示时刻t的利率长期均值，σ(t) 则表示波动率，W 代表布朗运动。J代表服从某些分布的随机变量，一般是正态t2分布，N(α,θ), dP代表强度为λ的泊松分布。 漂移——跳跃过程的似然函数存在，并且可以表示为： ∞n21(∆r−ku(t)+kr−nα)ttf(u(t),k,σ(t),α,θ,λ)exp(−λ)exp(−) ƒ2222!σ+θn=02pi(σ(t)+nθ)①因此，参数可以通过最大似然法进行估计。 但是在中国，政府利率由央行决定并保持一段时间不变。它完全不同于漂移过程或者漂移——跳跃过程。它类似于一个单纯跳跃过程。跳跃过程的波动率是可变的，和利率水平相关。 dr=KdP， tt其中，dP服从参数为λ的泊松分布，K服从均值为α，波动率为σr的条件tt2②正态分布，即K→N(0,(σr))。跳跃的波动率随着利率水平的变动而不断tt的发生变化。 推论4.. 单纯跳跃过程的似然函数不存在，因此不能用最大似然法进 ① 因为 ∞n2λ1(∆r−ku(t)+kr−nα)ttf(u(t),k,σ(t),α,θ,λ)d∆r=exp(−λ)exp(−)d∆r ƒtt≥22 ≥22!σ+θn=02pi(σ(t)+nθ)∞nλexp(−λ)=1 ƒn!n=0 ② 这边之所以选择利率本身而不是平方根，主要是因为如果使用平方根原则，经过模拟后会有利率为负数的情况发生。 - 125 -
中国利率期限结构及应用研究 行参数的估计。 证明：如果dP=n≠0，对离散时间序列而言， nλ2∆r→N(nα,n(σr))，概率为exp(−λ), 在似然函数中就可以表示为： ttn!n2λ1(∆r−nα)texp(−λ)exp(). 22!2σ2pin(σr)tt但是如果 dP=0, p(∆r=0)=1,p(∆r≠0)=0, 不是一个连续函数，因此连续tt的概率密度函数就不存在。 推论 对具有相对较短时间的离散数据的单纯跳跃过程，矩方法可以用于参数估计。 2证明: 因为dP服从参数为λ的泊松分布，而K→N(α,(σr))，所以 tt2dr=0, 概率为 1−λ; dr→N(α,(σr)) 概率 λ。 ttt22则， E(dr)=λα,σ(dr)=λ(σr)。对离散时间序列而言， ttttnN∆r∆r ƒj ƒinnj=1i=1ˆEdˆ(r)==×=α×, 其中N,n分别代表数据的数量以及跳跃tNnNNnˆ的次数。因此，对λ的直观估计为 λ=。 λ的估计和可靠性检验 在中国，政府利率由中央银行确定，没有每天发生变动。因为1980年之前和1980年之后中国的政策发生了绝大的变化，我们将1980年以前的数据剔除掉，估计1980年以后的跳跃参数。我们使用从1980年5月到2003年9月存款利率的月数据，总共281个数据。差分序列有280个数据。 在280个数据中，17个数据显著异于0，可以代表跳跃的次数。因此λ的17大约估计为≈。 280但是这个估计是一个粗略的估计，需要通过可靠性检验。因为λ参数和- 126 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 正态分布之间是一个独立的关系，我们可以单独地对λ进行估计。 推论 如果过程N(t)服从泊松分布，则跳跃时间的序列T,n=1,2,3,4... 服从参数为λ和n的Γ分布. n证明: ∞i(λt)−λtP(T≤t)=P(N(t)≥n)=e,n ƒi!i=n∞ii−1∂()−λt−λt=[(−λ)e+e], ƒ!(1)!i=n∞i1in(λt)(λt)(λt)−λt=e−= ƒ(i1)!i!(n−1)!i=n这是Γ分布的概率密度函数。而且 n−1(λt)−λtf(T=t)=λe, n(n−1)!i−1n(λt)−λtiif(T=t,T=t,...,T=t)=λe, 1122nn∏(i−1)!i=1nlogf(T,...,T)=(logλ−λt+(i−1)logλ+(i−1)logt−log(i−1)!)1 ƒiii=1 n(n+1)=logλ−λt+((n−1)logt+log(n−1)!) ƒ ƒi2∂fn(n+1)=−t=0 ƒi∂λ2λ n(n+1)ˆλ=2t ƒi推论 如果过程 N (t)服从参数为λ的泊松分布，两个跳跃之间的时间间隔M,M...,M,M=T−T，服从均值为 1/λ的指数分布。 12,niit−1证明: −λtP(M≤t)=1−P(M>t)=1−P(N(t)=0)=1−e, ∂P−λt=λe∂t由泊松分布、矩估计、Γ分布以及指数分布估计的λ见表 。 - 127 -
中国利率期限结构及应用研究 表：λ的估计 泊松分布 矩估计 Γ分布 指数分布 ˆ λ [,] [,]5% 置信区间 从表中，我们可以看出，泊松分布、矩估计以及指数分布的估计结果几乎相同，Γ分布的估计结果也在其他分布的5%置信区间之内。因此，不同方法估计出来的λ是稳定的。 政府利率的跳跃幅度 估计出λ之后，我们可以接着估计跳跃的幅度 (α,σ)。 推论. 5 如果政府利率在一个合理的范围内，α等于0。 证明: 如果 α≠0, E(dr)=λα≠0。当αf0, 它向上倾斜，政府利率就t会上升至一个不合理的高水平。当αp0,它向下倾斜，政府利率就会将至负数。 α 的估计结果见表。我们可以看出，α没有显著异于0，这符合合理界限条件。而且，它还具有一定的经济周期内涵。当经济陷入停滞，政府需要刺激经济增长时，政府利率就会下跌，利率的变动就为负数。当经济过热，政府需要抑制经济增长时，政府利率就会上升，利率的变动就为正数。经济周期的正向变动和负向变动互相抵消，使得跳跃的均值接近于0。 表. 跳跃幅度 α的估计 1年期利率 3年期利率 5年期利率 %%%估计值 % % % 标准误 检验值 因此， 2dr=KdP，K→N(0,(σr)) tttt经过转化，我们可以得到： - 128 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 dr/r=(K/r)dP。 tttt2令J=K/r，则J→N(0,σ)。因此经过转化之后，可变波动率的单纯tt跳跃模型变为常数波动率的单纯跳跃模型。因为，波动率保持不变，所以，22波动率可以通过σ(dr/r)=λσ进行估计。 tt估计的参数结果参见表。 表；可变波动率条件下跳跃幅度σ估计 1年期利率 3年期利率 5年期利率 )σ %%% 可以看出，跳跃波动率和利率水平之间的关系在不同的时间水平上相当稳定，都在20%左右。这说明，中央银行在确定利率变动幅度的时候，考虑更多的是利率变动的比率，而不是利率变动的水平。 2 该模型和常数波动率的单纯跳跃模型dr=JdP,P→P(λ),J→N(0,σ)相t比，优越性体现在：（1）避免了负数利率水平的产生，跳跃波动率为利率水平的一定比例，利率水平低，相应的波动率就低；（2）考虑了利率水平对跳跃波动率的影响，从而反应了一定的条件信息。 ① 中国市场利率动态变化的实证分析 中国市场利率变动的动态模型检验 为了分析中国市场利率的动态行为，我们使用了Vasicek模型、Vasicek-GARCH(1,1)模型、CIR 模型以及CIR-GARCH(1,1)模型。因为这些模型研究的是短期利率，我们选择周利率和月利率，估计的结果参见表、②。 ① 由Lin and Zheng(2003)以及林海和郑振龙(2003c)修改而成。 ② 我们还利用这些模型对1年期以上的利率变动进行了检验，发现这些模型无法有效地解释长期利率的变动。其主要原因在于长期利率相对比较稳定，这些长期利率的均值回归现象需要在一个更长的时间窗口（5到10年）中才能观察到，而本文的样本期只有2年。 - 129 -
中国利率期限结构及应用研究 我们可以从表中明显地看出， Vasicek模型的对数似然值比CIR模型要大得多，显著性水平也要好于CIR模型。这意味着Vasicek模型的拟合效果要好于CIR 模型，这与Xie and Wu (2002)的结论一致。在Vasicek模型基础上，考虑GARCH效应可以比较大地提高对数似然值。经过似然比检验（likelihood ①ratio test），二者之间的差异都是显著的。这表明，利率的变动存在比较明显的条件异方差，利率的变动受到历史信息的影响。 表 ：中国市场利率的动态模型：周利率 2模型 1. Vasicek 模型:∆r=k(u−r)+ε,ε→N(0,σ) ttt估计结果: ******ˆˆk=(),u=%(),σ=%，log= ∆r=k(u−r)+ε,ttt模型 2. Vasicek-GARCH(1,1)模型: ε=hv,v→.(0,1), ttt2h=κ+ah+bεt1t−11t−1估计结果: ******ˆˆk=(),u=%(), *********ˆˆκ=E−,aˆ()=(),b=()，log=模型 3. CIR 模型:∆r=k(u−r)+rε,ε→N(0,σ) tttt估计结果: ******ˆˆk=(),u=%(),σ=%，log= ∆r=k(u−r)+rε,ttt模型 4. CIR-GARCH(1,1)模型:ε=hv,v→.(0,1), ttt2h=κ+ah+bεt1t−11t−1估计结果: **ˆˆk=(),u=%(), *********ˆˆˆκ=−05(),a=(),b=(),log=注:*,**,***分别表示显著性水平为1%,5%,10% 。 括号中的数值表示t检验值（对没有GARCH效应的模型）或者z检验值（对考虑GARCH效应的模型）。 ① 所谓似然比检验就是指似然比检验值2(log－log）服从自由度为受限条件个数的卡方分无限制限制布。 - 130 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 表 ：中国市场利率的动态模型：月利率 2模型1. Vasicek 模型:∆r=k(u−r)+ε,ε→N(0,σ) ttt估计结果： ******ˆˆk=(),u=%(),σ=%,log= ∆r=k(u−r)+ε,ttt模型2. Vasicek-GARCH(1,1)模型: ε=hv,v→.(0,1), ttt2h=κ+ah+bεt1t−11t−1估计结果: ******ˆˆk=(),u=%(), *********ˆˆκ=E−ˆ(),a=(),b=(),log=模型 3. CIR 模型:∆r=k(u−r)+rε,ε→N(0,σ) tttt估计结果: ******ˆˆk=(),u=%(),σ=%,log= ∆r=k(u−r)+rε,ttt模型 4. CIR-GARCH(1,1) 模型:ε=hv,v→.(0,1), ttt2h=κ+ah+bεt1t−11t−1估计结果: **ˆˆk=(),u=%(), *********ˆˆκ=E−ˆ(),a=(),b=(),log=注:*,**,***分别表示显著性水平为1%,5%,10% 。 括号中的数值表示t检验值（对没有GARCH效应的模型）或者z检验值（对考虑GARCH效应的模型）。 动态模型的估计偏误 Ball and Torous (1996)通过模拟得出结论认为如果利率时间序列近似于单位根过程，那么所有的估计方法，包括最小方差法、广义矩方法、以及最大似然值法等，都会导致模型中均值回归调整系数的高估。为了保证模型在定价中的有效适用性，我们还必须检验利率时间序列是否是一个单位根过程。 传统的单位根检验、ADF检验和PP 检验参见表。两个检验值都不是显著的，因此无法拒绝单位根的原假设。 - 131 -
中国利率期限结构及应用研究 表 ：中国市场利率的单位根检验：传统方法 周利率: 月利率 ADF 检验值 PP 检验值 但是，Lai(1997)指出传统的单位根检验容易导致拒绝不足，因为它只考虑整数阶，即I(1) 或者 I(0), 但是没有考虑到分数阶，即I(d), 0<d<1。 Lai (1997) 使用了Geweke and Porter-Hudak(GPH(1983)) 谱回归的方法对这个分数阶的问题进行了分析。这个方法可以检测到传统方法检测不到的均值回归。因此如果我们要检验中国市场利率的单位根过程，单单使用传统方法是不够的。 ①GPH方法通过一个对差分时间序列的谱回归估计出d: 2ln(I(λ))=φ−φln(4sin(λ/2))+η,j=1,2,3.....,n j01jtδ其中 I(λ)指频率为λ=2pij/T时的样本周期图；n=T，0pδp1 指jj用于回归的坐标数目。φ的最小二乘估计是1−d的无偏估计,而且对d的显著1性可以通过一般的t检验。 对一个有T个数据的时间序列样本, 频率为λ的样本周期图,I(λ) 的计jj算公式为： T−11−iλk2jˆˆ I(λ)γe,=−1,或者 ƒj2pik=−T+1T−11ˆ, λ=γˆ()(+2γcos(λ)),j0 ƒj2pik=1 其中γ表示样本序列的j阶自协方差。 jT ↑−1T(y−y)(yy),j=0,1,2,...,T−1 ° ƒtt−jˆγ=. t=j+1 →j °ˆγ,=−1,−2,...,−T+1−j ↓ ① 在Lai (1997), 使用的是真实的利率。但是在本文中，是用名义数据。因为时间比较短，通货膨胀率不会发生太大的变化。 - 132 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 和Lai(1997)一样, 我们选择δ=,, ，因为样本数量没有太大的区别。估计的结果参见表。 表 ：中国市场利率的单位根检验： GPH Method GPH检验值 序列 δ d H0:d=1;H1:d<1 H0:d=0;H1:d>0 ***周利率 *** *** ***月利率 *** *** *** 注：表示显著性水平为1%。 在考虑了谱回归之后，d 仍然无法显著异于１，中国市场利率的单位根过程的假设仍然不能被拒绝。 因此，和大多数拒绝利率单位根假设的文献不同，我们仍然不能拒绝市场利率的I(1)假设。主要的原因可能是由于时间太短，因为我们只有两年时间的交易数据，但是均值回归一般要在长期内才能观测得到。 央行行为与市场利率的相关性分析 由于我国国债市场发展的时间比较短，相应的利率期限结构数据也比较少。因此无法通过一个准确的模型来检验央行政策变动对市场利率的影响，只能利用市场利率变动的数据作一个简单直观的说明。 在2001－2003年间，中央银行比较重大的政策行为有两次：即2002年2月的降息和2003年9月提高存款准备金比率（图）。从2002年2月之前的利率变动中可以看出，市场利率已经事先对降息做出反应，2001年低就开始逐步下跌；在中央银行宣布下调利率之后，市场利率进一步下跌。但是在一段时间之后，市场利率又逐步回升，恢复到长期均值附近。在2003年9月- 133 -
中国利率期限结构及应用研究 宣布提高存款准备金比率之前，市场利率、特别是长期利率已经有所反应，开始逐步攀升；在政策宣布之后，短期利率、中期利率和长期利率都有一个明显的向上跳跃性行为。但是在比较短的时间内，市场利率又开始逐步回调。从市场利率对不同事件的反应程度以及事后的调整速度可以看出，政府利率变动对市场的影响要超过存款准备金比率的调整。综合分析，央行行为和市场利率之间存在明显的相关性，央行政策的变动对市场利率的变化有相当大的影响，市场利率能够在一定程度上预先反映央行的政策变动，并在一段时间内受到央行政策的影响；但是随着时间的推移，在利率均值回归因素的驱动下，利率又逐渐地恢复到长期均值附近。 图：政府利率和市场利率的相关性分析 % 存款准备金比率%降息 提高 1M %% % % % 时间 小结 通过对中国市场利率动态模型的分析，我们可以发现： （1）Vasicek模型要比CIR模型更能说明中国市场利率的变动。在Vasicek模型中加入GARCH效应可以显著地提高模型的拟合效果。 （2）我们不能拒绝市场利率的I(1)假设。由于市场利率接近于 I(1)过程，均值回归调整速度的估计就向上偏差，不能用于利率产品定价时市场利率变- 134 - 利率（%）Aug-01Oct-01Dec-01Feb-02Apr-02Jun-02Aug-02Oct-02Dec-02Feb-03Apr-03Jun-03Aug-03
4． 中国利率期限结构的实证分析 2化路径的模拟。而且，R也很小，在模拟过程中也会产生很大的误差。 （3）但是长期的利率均值估计不会受到单位根问题的影响。因此，要对中国的一般衍生产品进行定价，我们可以假定利率等于长期均值并保持不变，这样就可以避免模型使用不当而带来的定价错误。当然这也会同时带来一些定价的误差。另外，由于我们所使用的是现实数据，对均值的估计中包含了风险溢酬和风险中性世界中利率长期均值的联合估计，这也会产生一定的误差。但是由于利率波动率一般比较小，因此这个误差在一般的衍生产品定价时可以忽略不计。 （4）央行行为和市场利率之间存在明显的相关性，市场利率能够在一定程度上事先反应央行政策变动的信息，具有一定的预测央行政策行为的能力；受到央行政策的影响，市场利率在一段时间内会脱离其长期均值水平；但是随着时间的推移，在利率均值回归因素的驱动下，利率又逐渐地恢复到长期均值附近。央行的政策行为根据其性质，其市场反应会存在差异，调整政府利率对市场的影响要超过调整存款准备金比率。 利率期限结构的主成分分析 中国利率期限结构的主成分分析 在一个可卖空的债券市场上，主成分分析是进行债券保值的一个重要的交易策略。它通过构建对因素免疫的债券资产，来达到债券套期保值的目的。虽然我国目前尚无法进行卖空，主成分的分析方法在很大程度上受到了限制，但是通过主成分分析方法研究影响我国利率期限结构的因素并确定其重要性，仍然具有重要的借鉴意义。 为了进行主成分分析，我们选前了2001年9月－2003年9月的1周、1月、1季度、半年、1年、2年、3年、4年、5年利率的周末数据，使用Matlab软件的主成分分析程序进行实证检验。为了避免Lekkos(2000)所提出的使用- 135 -
中国利率期限结构及应用研究 ①②水平时间序列存在的问题，我们使用利率的一阶差分数据。检验结果参见表。由于因素1、2、3可以解释绝大部分的利率变动，因此我们只列出这三个因素的影响系数。 表：中国利率期限结构的主成分分析：2001－2003 因素1 因素2 因素3 1周 1月 1季度 半年 1年 2年 3年 4年 5年 方差贡献率 %%% 图画出了三个因素影响系数的变动情况。从途中可以看出，因素1大部分在到之间变动，非常平稳，体现的是水平因素对利率变动的影响。因素2则向上倾斜，代表斜度因素对利率变动的影响，对短期利率影响为负，对长期利率影响则是正的。因素3则是先下降，后上升，体现了曲度的影响。这个结论同朱峰（2002）基本相同。 从方差贡献率中可以看出，对利率变动影响最大的是水平因素，贡献率达到了%，这与西方市场的实证数据基本一致。水平因素加上斜度因素可以解释绝大部分的利率变动，这表明在我国的债券市场上，使用久期匹配策略就可以比较好地券套期保值的目标。这与朱峰（2002）存在较大的差异。 ① 主要包括两个方面：一个是不同利率水平是相关的（即无法拒绝单位根假设），其结果是因子分析将体现在期限结构中的绝大部分信息视为多余，这样一个简单的趋势变量就基本上足以对所有的方差进行解释；另一个是利率时间序列高度相关，同因子分析的多元分布的独立随机变量存在背离。 ② 我们对未经差分的利率水平也做了主成分分析，发现二者虽然在估计结果上有差异，但是基本结论没有发生改变，即水平因素可以解释90%以上的利率变动，使用久期策略在中国可以获得比较好的套期保值效果。 - 136 -
4． 中国利率期限结构的实证分析 图：利率期限结构的主成分分析：2001－2003 因素因素20因素周1月1季度半年1年2年3年4年5年期限（年） 主成分分析对债券投资组合的意义 为了研究主成分分析在债券投资组合中的作用，我们假设利率期限结构的影响因素分别为X,X,....,X，不同期限利率为r,r,...,r，其影响系数为12n12mr,r,...,r,i=1,2,...,m。则主成分分析结果可以写为： i1i2inr=rX+rX+...+rX,1111221nnr=rX+rX+...+rX 2211222nn....r=rX+rX+...+rXmm11m22mn3假设每个期限债券的投资比例为，每个期限的债券到a,a,...,a,a=112m ƒi期获得1。则 mmm−ri−(rX+rX+.rX)iii11i22in， PaPaeae ƒ ƒ ƒiiiii=1i=1i=1要做到债券组合的免疫，只需满足 m∂P−rjj即可。 =−jaer=0,i=1,2,...,n ƒjij∂Xj=1i展开可以写为： ar+2ar+...+mar=0 111212m1mar+2ar+...+mar=0121222m2m.... ar+2ar+...+mar=01n12n2mn- 137 - 系数
中国利率期限结构及应用研究 上述联立方程组有n个等式，有m个未知数。我们只需满足 n≤m， 则方程肯定有解。在正常情况下，n=3pm，因此该条件满足。 因此，如果能够比较准确的确定影响因子以及各个影响因子的影响系数，即使我们无法确定这些因子的大小，我们也可以构建出一个对这些影响因子免疫的债券组合，达到套期保值的目的。 中国利率期限结构主成分分析的可靠性检验 时间窗口的选取对主成分分析的结果影响巨大。为了检验利率期限结构主成分分析的可靠性，我们还分别选取了2001－2002，2002－2003的时间窗口进行了主成分分析。检验结果见图和。从两个图可以看出，2001－2002的检验结果和2001－2003的检验结果不存在太大差异，但是2002－2003的检验结果则与二者存在相当大的差异。这表明，时间窗口的选择确实对利率期限结构的主成分分析产生了巨大的影响，如何根据投资者自身的具体情况选择一个合适的时间窗口，是一个需要进一步研究的问题。一般一个原则是如果投资期限比较长，则应该选择比较长的时间窗口；如果投资期限比较短，则可以相应的选择比较短的时间窗口。 图：中国利率期限结构的主成分分析：2001－2002 因素因素20因素周1月1季度半年1年2年3年4年5年期限 - 138 - 系数
4． 中国利率期限结构的实证分析 图：中国利率期限结构的主成分分析：2002－2003 因素因素因素周1月1季度半年1年2年3年4年5年期限 小结 通过上面的实证检验，我们可以得到一些有关利率期限结构主成分分析的结论： （1）中国利率期限结构的影响因素可以分解成水平因素、斜度因素和曲度因素。其中水平因素是最重要的影响因素，能够解释大部分的利率期限结构变动。而水平因素加上斜度因素则可以解释绝大部分的利率期限结构变动。因此久期匹配方法可以在我国获得比较有效地应用。 （2）由于时间窗口的选择对主成分的分析结果会产生严重的影响，因此在实际的投资决策过程中要选择一个比较合适的时间窗口，才能达到比较好的保值效果。 - 139 - 系数
中国利率期限结构及应用研究 5 中国利率期限结构应用研究 在本章中，我们主要运用中国利率期限结构的实证研究结果对中国目前存在的一些衍生产品进行定价，以具体说明利率期限结构在现实世界中的运用。在本章中，利率期限结构的应用主要在两个方面：一个是银行资产负债基本业务中隐含期权的定价；另一个则是中国可转换债券的定价分析。为了分析不同因素对期权价格的影响，本章还对期权价格进行了敏感性分析，并在此基础上提出相应的建议。 ① 银行资产负债基本业务中隐含期权的定价 在传统的银行资产负债管理理论中，贷款和存款是银行最基本的资产负债业务。存贷款利差是银行利润的一个重要来源。这种理解没有考虑到银行资产负债业务中所承担的期权成本。这些期权隐含在银行的一般资产负债业务中，能够给债权人或者债务人带来额外的收益。银行一般都是将这些期权随资产负债业务无偿地赠送给债权人或债务人，并没有在利率中反映出这些期权的价格。而且，银行对这些期权也没有真正地关心和重视。总的来说，银行仍然将这些含有期权的资产负债业务同一般的资产负债业务等同起来。 银行对资产负债中含有期权的忽略不利于银行的经营成本管理以及业务创新。首先隐含期权的价格本身也是银行需要承担的一个成本。因此，银行的存贷款利差并不直接就是银行的利润，而是要从中减去银行承担的期权价格成本，包括作为存款银行提供给债权人的期权价格成本和作为贷款银行提供给债务人的期权价格成本，以及银行所承担的违约风险。其次，如果没有将资产负债业务中的期权剥离出来，将资产负债业务分解成几个基本的资产形式的组合，银行就无法对这些资产进行重新组合和打包，从而构造出新的金融产品，并能够准确确定它的价格，银行的金融创新业务也就无从说起。 ① 由郑振龙和林海（2003c）修改而成。 - 140 -
5． 中国利率期限结构应用研究 本章对隐含在银行资产负债中的期权进行了分解，并通过模拟和无套利分析的方法对隐含期权进行了定价。其目的在于为银行重新组合和打包这些资产负债进行金融创新提供定价依据。 银行负债业务的分解 银行最主要的负债业务是存款，包括活期存款、定期存款、通知存款以及定活两便存款等。其中除了活期存款之外，其他的三种存款中都包含期权。这里我们以定期存款为例来说明。 存款是银行最基本的负债业务，其中定期存款是银行资金的一个最稳定的来源。在传统的理论框架下，银行只是把它看作是一个银行的基本负债，主要根据相应的负债理论进行管理，定期存款的利率是银行承担的唯一成本，通过将这笔定期存款进行资产运用获得超过存款利率的收益就能够获得利润。但是这种做法实际上忽略了定期存款中隐含的期权。一般定期存款都可以提前支取，支取的利率按照新的活期存款利率。因此，对于存款人来说，最直接的利益就是他的最低收益获得了保证；如果提前支取后按照新利率存款所获得的收益超过维持这个定期存款，他就可以提前支取并转存；如果提前支取后按照新利率存款所获得的收益小于维持这个定期存款，他就可以维①持定期存款，这类似于一个利率的看涨期权多头。相应地，对于银行来说，则意味着最低成本：如果没有提前支取并转存行为，利率维持在原先水平；如果发生了提前支取并转存行为，则利率水平要上升，这类似于利率看涨期权的空头。 定理. 对存款人而言，定期存款可以分解成一个固定债权和若干个美式利率看涨期权多头；对银行而言，定期存款可以分解成一个固定债务和②若干个利率美式看涨期权空头。 ① 如果从债券价格的角度分析，则是一个债券的看跌期权，因为债券价格是利率的减函数。 ② 在笔者早期所作的研究中，曾从债券的角度进行分解。因为债券是利率的减函数，因此对存款人而言，定期存款可以分解成一个固定债权和若干个美式债券看跌期权的多头；对银行而言，定期存款可以分解成固定债务和若干个美式债券看跌期权的空头。两种分解方法原理一样，主要区别在于期权执行价格。如果从利率入手，则执行价格保持不变，就是原来的定期存款利率；如果从债券入手，则执行价格＝（1＋R新活期××t），是一个可变价格。因此比较两种方法，前面一种方法显得更为简洁、直观。 - 141 -
中国利率期限结构及应用研究 假设在时刻0，一个投资者在银行预先存了期限为T的定期存款，连续复利存款利率为r，存款金额标准化为1。如果没有发生提前支取行为，它0,TrTT的期末收益为e。同时为了说明问题的需要，假设投资者投资期间不变，为0——T，投资者的投资目标就是要使期间的收益最大化。 假设在时刻t，中央银行突然宣布改变利率水平，改变后的活期利率为r，t,tT−t时期的定期存款利率为r。此时， t,TrTrt+r(T−t)0,Tt,tt,T（1）如果e≥e，则维持原有定期存款的收益超过转存，存款人选择维持原有定期存款； rTrt+r(T−t)0,Tt,tt,T（2）如果e≤e，则提前支取转存的收益超过维持原有定期存rtt,t款，存款人选择提前支取并转存，此时转存的金额为e。 ①综合起来，在时刻t，存款人的期末收益函数可以表示为： rt+r(T−t)rTrTrt+r(T−t)rTt,tt,T0,T0,Tt,tt,T0,Tmax(e,e)=e+max(e−e,0) rTrTrt+r(T−t)−rT0,T0,Tt,tt,T0,T=e+max[e(e−1),0]， rTrT0,T0,T≈e+emax[rt+r(T−t)−rT,0]t,tt,T0,TrT0,T其中，e代表一个基本的债券合同，到期能够确定性地获得。 rT0,T而emax[rt+r(T−t)−rT,0]则表示一个利率看涨期权，执行价格t,tt,T0,T为K=rT。证毕。 0,T期权执行的条件是： rt+r(T−t)≥rT,t,tt,T0,T， rt+r(T−t)t,tt,T≥r0,TT用图可以表示为： ① 由于在这边，利率是固定的，因此无论选择哪一种存款方式，其期末收益都是固定的，所以这边没有采用“预期收益”而直接使用收益。 - 142 -
5． 中国利率期限结构应用研究 图：银行定期存款利率的比较 r×t r×（T-t） t,tt,T 0 t T r×T 0,T 这类似于一个亚式期权，但是又不同于亚式期权，因为亚式期权在期末执行，而这可以在期间执行。 此外，在期权执行之后，存款人获得一个T−t的定期存款，自然又获得了一个期权，即在T−t期间又可以进行提前支取并转存，此时的执行价格为r。因此，对存款人来说，一个定期存款可以分解成一个基本的债权和若干t,T个美式期权。不过随着时间的推延，期权被执行的可能性逐渐缩小，其价值也就逐渐降低了。定期存款中隐含期权最主要的价值体现在合同签订不久的一段时间内。 推论：期权执行的必要条件是利率上升。 证明： 期权执行的条件为： rt+r(T−t)≥rT,t,tt,T0,T， rT−rt0,Tt,tr≥t,T(T−t)因为在正常情况下，r<r，所以 t,t0,TrT−rtrT−rt0,Tt,t0,T0,Tr≥>=r。 t,T0,T(T−t)T−t也就是说，存款人提前支取的即期收益是负数，这种损失需要靠将来获得的超额收益来补偿。证毕。 推论：利率上涨得越多，提前支取的可能性就越大。 证明： 因为利率上涨多，表明提前支取的即期损失相对较少，将来获得的超额- 143 -
中国利率期限结构及应用研究 收益相对比较多，因此未来收益弥补即期损失的可能性就越大，就越可能提前支取。证毕。 推论：t越大，提前支取的可能性就越小。 证明：期权执行的条件为： rT−rt(r−r)t0,Tt,t0,Tt,tr≥=+r， t,T0,T(T−t)T−t(r−r)tϖ0,Tt,t因此，最低执行利率水平为r(t)=+r。 0,TT−tϖ∂r(t)T=(r−r)≥0，所以最低执行利率水平随着时间的延长而0,Tt,t2∂t(T−t)不断上升，期权执行的可能性也就随之下降。证毕。 银行资产的分解 银行最主要的资产是贷款，其主要形式是定期贷款，是银行的主要利润来源。在进行资产业务管理时，银行一般都直接将定期贷款利率视为不变，将定期贷款固定利息作为银行贷款业务的收入。这种做法同样忽略了定期贷款中隐含的期权。一般而言，定期贷款都没有规定不允许提前偿还，只是在提前偿还时需要缴纳违约金。对于贷款人来说，最直接的利益就是他的最大成本获得了保证；如果提前偿还、缴纳违约金后按照新利率贷款所承受的成本超过维持这个定期贷款，他就可以维持这个定期贷款；提前偿还、缴纳违约金后按照新利率贷款所承受的成本小于维持这个定期贷款，他就可以提前偿还、缴纳违约金并按照新利率贷款，这类似于一个利率的看跌期权多头。相应地，对于银行来说，则意味着最大收益：如果没有提前偿还、缴纳违约金并签订新贷款合同行为，利率维持在原先水平；如果发生了提前偿还、缴纳违约金并签订新贷款合同行为，利率水平就要下跌。这类似于利率看跌期权的空头。 定理：对贷款人而言，定期贷款可以分解成一个基本债务和若干个美式利率看跌期权的多头；对贷款银行而言，定期贷款可以分解成一个基本- 144 -
5． 中国利率期限结构应用研究 债权和若干个美式利率看跌期权的空头。 假设在时刻0，一个投资者同银行签订了期限为T的定期贷款合同，连续复利贷款利率为r，贷款金额标准化为1。违约金为α。如果没有发生提0,TrT0,T前偿还行为，他在期末需付出的总成本为e。假设贷款人贷款期间不变，为0——T，目标是要使期间的成本最小化。贷款人的信用等级在贷款期间没有发生变化。 假设在时刻t，中央银行突然宣布改变利率水平，改变后的T−t时期的定期贷款利率为r。此时， t,TrTrtr(T−t)0,T0,Tt,T（1）如果e≥(e+α)e，则维持原有定期贷款的成本超过提前偿还、缴纳违约金并签订新合同，贷款人选择提前偿还、缴纳违约金并签订rt0,T新合同，新合同的贷款金额为e+α； rTrtr(T−t)0,T0,Tt,T（2）如果e≤(e+α)e，则维持原有定期贷款的成本超过提前偿还、缴纳违约金并签订新合同，贷款人维持原有贷款合同。 ①综合起来，在时刻t，存款人的期末成本付出函数可以表示为： rtr(T−t)rTrTrtr(T−t)rT0,Tt,T0,T0,T0,Tt,T0,T−min((e+α)e,e)=−e−min((e+α)e−e,0) rTrTrtr(T−t)0,T0,T0,Tt,T＝−e+max(0,e−(e+α)e) rT0,T其中，−e代表一个基本的含有信用风险的债务合同。 rTrtr(T−t)0,T0,Tt,T而max(0,e−(e+α)e)则表示一个利率看跌期权。证毕。 rT0,T期权的执行价格为K=e。期权执行的条件是： rTrtr(T−t)0,T0,Tt,Te≥(e+α)e。 rt0,Tr≤[rT−ln(e+α)]/(T−t) t,T0,T推论. 期权执行的必要条件是利率下调。 证明：利率执行的条件为： rTrtr(T−t)0,T0,Tt,Te≥(e+α)e， ① 负数表示贷款人需要付出。 - 145 -
中国利率期限结构及应用研究 rTrt+r(T−t)rtr(T−t)0,T0,Tt,T0,Tt,T如果利率上调，则r≥r，此时e≤e<(e+α)e，t,T0,T期权不会被执行。用数学表示， rt0,Tr≤[rT−ln(e+α)]/(T−t)<(rT−rt)/(T−t)=r。 t,T0,T0,T0,T0,T也就是说，对贷款人而言，执行期权增加了即期成本（违约金），需要靠将来利息的减少来弥补这个成本。证毕。 推论 .α越大，期权被执行的可能性就越小。 证明：期权执行的最高利率是， ϖ∂r1=−<0。 r0,T∂αe+α因此，α越大，利率需要降到更低的水平，期权才有可能被执行。证毕。 推论. t越大，提前偿还的可能性就越小。 ϖr0,T证明：同理，期权执行的最高利率是r=rT−ln(e+α)/(T−t)， 0,Tϖr0,T∂rln(e+α)=−<0。证毕。 2∂t(T−t)在期权执行之后，存款人获得一个T−t的定期贷款，自然又获得了一个期权，即在T−t期间又可以进行提前偿还、缴纳违约金并签订新合同。此时r(T−t)t,T的执行价格为e。因此，对贷款人来说，一个定期贷款可以分解成一个基本的债务和若干个美式期权。不过随着时间的推延，期权被执行的可能性逐渐缩小，其价值也就逐渐降低了。定期贷款中隐含期权最主要的价值体现在合同签订不久的一段时间内。 银行资产负债中隐含期权的定价 根据上面的分析，银行中的许多资产和负债中都包含着期权。这些期权对银行客户来说，都是期权多头；对银行而言都是空头。因此，银行的存贷款利差并不能直接作为银行利润的基础，因为它没有考虑银行承担的期权成本。考虑期权，银行的真正利差为： - 146 -
5． 中国利率期限结构应用研究 贷款利率—存款利率－美式利率看涨期权价格－美式利率看跌期权价格 如果考虑违约风险溢酬，则银行的真正利差变为: 贷款利率—存款利率－美式利率看涨期权价格－美式利率看跌期权价格－违约风险溢酬 因此，要确定银行的真正利差，需要计算出银行资产负债中隐含期权的价格以及违约风险溢酬。违约风险溢酬可以通过相应信用级别的公司债券进①行估计，本文主要分析对隐含期权价格的计算。 对这些期权价格的确定是银行经营管理和业务创新的一个重要内容。对隐含期权的定价有两种方法：第一种是无套利分析方法，即通过对债权人和债务人的无套利分析中估计出隐含期权的价格；第二种方法则是数值方法，通过对将来利率变动的模拟，计算各种利率变动条件下的期权收益，并进行平均，计算出期权价格。 （一）无套利分析 1、利率看涨期权的定价 对存款人而言，除了定期存款以外，他还可以有另外一种选择：购买相同信用等级的定期债券，两种选择所获得的收益率应该一样。因此，在无套利条件下， 定期债券税后收益率＝定期存款税后利率＋看涨期权价格 看涨期权价格＝定期债券税后收益率－定期存款税后利率 比如，假设某投资者的投资期限是5年，他面临两种选择：购买5年期的不可赎回、不可回售的国债，到期连续复利年收益率为%；或者存5年定期，连续复利年利率为%，利息税率为20%，此时，如果用连续复利表示，看涨期权的价格可以计算为： ②看涨期权价格＝%%×≈%。 ① 参见上章对中国违约风险溢酬的实证分析部分。 ② 看涨期权和看跌期权价格的计算使用2003年9月底数据。 - 147 -
中国利率期限结构及应用研究 2、利率看跌期权的定价 对贷款人而言，除了定期贷款之外，他还有另外一种选择：发行相同期①限的不可赎回、不可回售公司债券。如果没有考虑定期贷款的灵活性，这两种选择对公司的成本负担应该一样。定期贷款的成本等于定期贷款利率减去看跌期权价格，公司债券的成本等于公司债券利率加上发行费用。因此，在无套利条件下, 定期贷款利率－看跌期权价格＝公司债券利率＋发行费用 看涨期权价格＝定期贷款利率－公司债券利率－发行费用 假设公司需要一笔5年的资金，面临两种选择：可以发行5年期不可赎回、不可回售定期债券，债券利率为连续复利%，发行费用和担保费用为②%；或者直接贷款5年，贷款利率为单利%，转化为连续复利为%，此时用连续复利表示，则 ③看跌期权价格＝%%%＝%。 （二）数值计算方法 使用数值计算方法首先要模拟政府利率的将来变动。这边直接使用上一章的研究成果，即政府利率的变动服从一个单纯的可变波动率跳跃过程： dr=KdP tt2其中，K服从正态分布N(0,(σr)), dP是参数为λ的泊松分布。使用月tt数据，λ参数的估计结果为。1年期，3年期，5年期估计的σ为： 1年 3年 5年 )σ %%% 为了计算定期存款中隐含期权的价格，我们可以根据参数模拟出未来政府利率的变动（一般是10万次），计算每次利率变动路径下的期权收益，最后求出收益的均值并按照原先利率进行贴现，就可以得到隐含期权的价格。 ① 即可以提前偿还并不再贷款。 ② 根据对3A级企业的贷款利率一般下调10%得出。 ③ 发行费用和担保费用需要在5年之内平均。 - 148 -
5． 中国利率期限结构应用研究 目前5年期存款年利率为%,折合成连续复利年利率为%。因为其隐含期权一般在前期才有一定价值，即执行的时刻t一般较小，所以我们可以假设用r来代替r。而且一般活期存款利率和定期存款利率的比率相对t,T+tt,T稳定。根据历史数据，活期存款和5年期存款利率的比率大部分在18%－34%①之间，我们选取其均值25%。因此，r=≈。5年期存款利t,tt,Tt,T+t率服从一个单纯的跳跃过程，参数为：λ=,K→N(0,)。模拟t,T+次数为10万次，使用程序为。在模拟过程中只考虑期权在1年内执行的可能性，即只考虑t≤12。计算出来的价格为：p==%，约为定期存款利率的%。也就是说，银行实际承担的成本大约是%+%=%。存款人的实际税后利率大约为%×+%≈%。根据同样方法，１年期和３年期定期存款中隐含期权的估计价格为%和%。 通过变动不同的参数，我们可以研究期权价格对各个参数变动的敏感性。这些参数主要是初始利率水平、波动率、到期时间和λ。 首先考察期权价格对初始利率水平和波动率的敏感性。假定λ=，T=5。我们分析5年期存款利率从2%－4%，σ从10%－30%的期权价格变动情况。分析的结果见表和图。 表：定期存款中隐含期权的敏感性分析1：初始利率水平和波动率 r 10% 15% 20% 25% 30% σ % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 注：r代表初始利率水平；σ代表波动率。 ① 活期存款和1年期的比率为30%，活期存款和3年期存款利率的比率均值为28%。我们还通过对其他比例的模拟，发现这些假设对结果产生的影响微乎其微。 - 149 -
中国利率期限结构及应用研究 图：定期存款中隐含期权的敏感性分析1：初始利率水平和波动率 %r=2%%r=%%r=3%r=%%r=4%%10%15%20%25%30%波动率(%) 从表和图中可以明显的看出，定期存款中隐含期权的价格随着波动率的上升而上升，随着初始利率水平的上升也有所上升。波动率对期权价格的影响随着初始利率的上升不断上升，表现在图中就是随着利率的上升，曲线的斜率不断上升。当利率水平为2%时，波动率为30%的期权价格只高出10%的期权价格%；而当利率水平为4%时，波动率为30%的期权价格要高出10%的期权价格%。初始利率水平对期权价格的影响程度也随着波动率的上升而不断扩大，在图中表现为随着波动率的增加，不同曲线之间的间隔逐渐增大。当波动率为10%时，利率为4%的期权价格只比利率为2%的期权价格高出%；而当波动率达到30%时，二者则要相差%。 其次，我们还可以考虑期权价格对跳跃强度和存款期限的敏感性。假设初始利率为3%，波动率为20%。我们分析λ从——，T从3年——5年的期权价格变动情况。分析的结果参见表和图。 表：定期存款中隐含期权的敏感性分析2：跳跃强度和存款时间 λ 3 4 5 T % %%% %% %%% % % %%% %% %%% % % %%% %- 150 - 期权价格(%)
5． 中国利率期限结构应用研究 图：定期存款中隐含期权的敏感性分析2：跳跃强度和存款时间 %%l=%l=%l=%l=%l=%%存款时间(年) 从表和图也可以明显地看出，期权价格随着存款期限的延长而上升，是存款期限的一个增函数。同时，期权价格也随着跳跃强度的上升而上升，也是跳跃强度的一个增函数。 必须指出的是，由于在模拟过程中，全部用r来代替r，实际上二者t,T+tt,T之间有稍微的差距，即r要稍稍大于r，所以估计的价格可能会稍稍大于t,T+tt,T真实的价格，但是相差幅度很小。 同样，这种模拟方法也可以用于对定期贷款中隐含利率看跌期权的定价。贷款利率的变动幅度远远小于存款利率，其σ大约在10%左右。λ仍用。目前AAA级5年期贷款年利率为%, 折合成连续复利年利率为%。用同样的模拟方法算出α=0情况下定期贷款隐含期权价值为%。 AAA级5年期违约风险溢酬均值为%。因此对AAA级企业的5年期银行存贷款的真实连续复利利差为： %－%－%－%－%=% 利差水平显然是过低了。特别对于低信用级别的企业来说，市场的违约风险溢酬很大，即使银行将贷款利率上浮30%，存贷款真实利差则很可能变为负数。这也可以部分解释中国国有商业银行存在的“惜贷”、“惧贷”等行为。 为了提高银行的真实利差水平，提高罚息是一个重要的工具。罚息对真实- 151 - 期权价格（%)
中国利率期限结构及应用研究 利差的影响体现在两个方面：第一方面，它降低了定期贷款中隐含期权的价值，从而提高了真实利差；第二方面，它在期权执行条件下可以为银行带来罚息收入。但是两个因素制约了罚息收入对真实利差的影响。第一个因素是它需要在整个贷款期内进行平均，而在有罚息条件下期权一般都是在贷款前期执行，平均化对罚息水平的影响比较大；第二个因素则是期权执行的可能性。因为罚息只有在期权执行条件下才能获得，罚息水平越高，期权执行的可能性就越低，给贷款银行带来的期望罚息收入也就会受到限制。表列出了α从%——2%的期权价格、罚息预期收入以及真实利差。从中可以明显地看出，罚息对真实利差的影响主要在降低期权价格方面，而对增加罚息收入则几乎没有影响。 表：不同罚息条件下的定期贷款隐含期权价格及真实利差 罚息：α 期权价格 罚息预期收入 真实利差 %%%%1% % % % %%%%2% % % % 从银行的资产和负债中分解出期权的意义不仅仅在于计算银行的真实利差，更重要的意义在于指出可以从期权的角度分析银行面临的利率风险，从而为银行的风险管理提供全新的思路，它还可以为中央银行制定利率水平和利率结构提供重要的参考。 两种不同定价方法结果的比较 将利用市场数据进行无套利分析所得出的期权定价结果同利用政府利率变动模型数值模拟所得出的期权定价结果进行比较，可以发现： （1）定期存款隐含期权的无套利定价结果要远远高于其数值模拟结果。这种差异无法用利率和模型的估计误差进行解释。这反应了我国政府存款利率和国债市场利率之间的严重脱轨。因为国债市场所反应的是市场利率的变- 152 -
5． 中国利率期限结构应用研究 动，所以，国债市场利率同定期存款利率的差代表的是存款利率按照市场利率变动规则变动时的定期存款中隐含期权价格。这和定期存款利率根据政府利率变动规则变动时的隐含期权价格相差甚远。从本质上分析，因为国债市场利率是一种市场行为，而政府存款利率是一种政府行为，所以这种差异反应了市场行为和政府行为的差异。 （2）定期贷款中隐含期权的无套利定价和数值模拟结果则相差不大，如果考虑到利率和模型的估计误差，二者之间的差异有可能进一步缩小。这是商业银行市场化改革的成果。因为贷款利率同存款利率不同，商业银行只能按照规定的存款利率吸收存款，但是却可以根据不同的信用等级实行不同的贷款利率。随着市场竞争的逐步加剧以及银行市场化改革进程的逐步推进，贷款市场逐步走向市场化；而发行公司债券也是一种市场化行为。因此两种市场化行为应当不存在太大的差异，表现在期权价格上就是根据不同计算方法计算出来的定期贷款中隐含期权价格差距不大。 小结 利用金融工程的基本原理，通过将银行资产负债业务中隐含期权的分解，我们可以得出一系列对银行业务的发展具有重大意义的创新性结论： （1）银行的负债业务对存款人而言，可以看作一个基本债券和美式利率看涨期权多头的资产组合。这个基本债券可以是一个纯粹的定期债权（定期存款），或者是一个活期债权（通知存款和定活两便）。对银行而言，则可以看成一个基本债务加上美式利率看涨期权的空头。 （2）对存款人而言，定期存款可以分解成一个固定债权和若干个美式利率看涨期权多头；对银行而言，定期存款可以分解成一个固定债务和若干个利率美式看涨期权空头。期权执行的必要条件是利率上升，而且利率上升越多，期权执行的可能性就越大。而且，期权执行的可能性随着时间的不断推移而不断下降，一般只会在早期执行。 （3）对贷款人而言，定期贷款可以分解成一个基本债务和若干个美式利- 153 -
中国利率期限结构及应用研究 率看跌期权的多头；对贷款银行而言，定期贷款可以分解成一个基本债权和若干个美式利率看跌期权的空头。期权执行的必要条件是利率下跌，而且利率下跌越多，期权执行的可能性就越大；罚金越大，期权执行的可能性就越小。t越大，期权执行的可能性也越小，一般只会在早期执行。 （4）如果考虑期权成本以及信用风险，银行的真正利差为：贷款利率—存款利率－美式利率看涨期权价格－美式利率看跌期权价格－违约风险溢酬。 （5）对银行资产负债业务中隐含期权的定价，可以采取无套利分析或者数值计算方法。根据数值计算方法，在现有的利率水平以及相应的政府调整利率频率和幅度的条件下，５年期定期存款中隐含期权的价格大约为%。5年期定期贷款中隐含期权的价格约为%。 （6）定期存款中隐含期权的价格随着初始利率水平、波动率、存款期限、跳跃强度的上升而上升。 （7）在目前的利率水平和利率管理体制下，中国银行的真实利差明显偏低，甚至还有可能出现负数。这个结论可以部分解释中国国有商业银行的一些行为。 （8）利用无套利定价方法和利用数值模拟方法所估计的定期存款隐含期权结果存在相当大的差异，这反应了市场行为和政府行为的差异；而定期贷款隐含期权结果则相差不大，这反应了我国商业银行市场化约束的逐步增强。 （9）银行资产负债业务中隐含期权的分解对银行的经营管理以及金融创新业务的开展具有重大的战略性意义。 ① 中国可转换债券定价分析 ②可转换债券是一种极其复杂的信用衍生产品。除了一般的债权之外，它 ① 由林海和郑振龙（2003b），郑振龙和林海(2003d,e)修改而成。 ②② 可转债定价的相关文献有Ingersoll(1977)，Brennan and Schwartz(1977,1979,1980,1988)，Greiner, Kalay and Kato(2002)，Nelkon(1998)，Yigitbasioglu(2001)，Tsiveriotis and Fernandes(1998)，Nelkon(1998)等。在国内，杨如彦等（2002）以及王晓东（2003）也对可转债的价值进行了分析。 - 154 -
5． 中国利率期限结构应用研究 包含着很多的期权。这些期权主要有：投资者按照一定价格在一定期限内将债券转换成公司股票的期权（转股权），投资者在一定条件下将债券按照一定价格回售给公司的期权（回售权），公司在一定条件下调整转股价格的期权（转股价格调低权），以及公司在一定条件下赎回可转债的期权（赎回权）。其中转股权和回售权属于投资者的多头期权，而转股价调低权和赎回权则属于发行公司的多头期权。投资者和发行公司在行使各自的期权时存在着复杂的博奕过程，而且这些期权的行使都有一定的条件，这就决定了可转债定价的复杂性。这种复杂性主要体现在：1、由于可转债所含期权是结构复杂的奇异期权，无法得到解析解，因此只能用数值方法求解。2、转股权属于美式期权，因此似乎难以直接使用蒙特卡罗模拟。3、可转债所含期权有三项是路径依赖期权，难以使用二叉树（或三叉树）和有限差分法。本文对可转债的定价建立在一个理性人假设前提之上，即不论是发行公司，还是投资者，其目标都是自身利益最大化。 可转换债券及其条款简介 可转换债券（convertible bonds, convertibles, converts）赋予债券持有者在一定时间内按照一定比率（转股比率）将债券转换成公司普通股股票的权利。除了一般的转股权之外，可转债中还包含着许多的路径依赖期权。这些路径依赖期权都会对可转债的价格产生影响。 （一）赎回权（call option）。该期权规定，在一定期限内，如果公司股票的价格在若干个交易日内满足赎回条件，公司有权按照赎回价格赎回公司的剩余可转债。由于公司的赎回价格一般要远远小于转换价值，所以这个条款最主要的作用就是实现强制性转股（forced conversion），缩短可转债的期限。影响赎回权价值大小的因素有赎回权的期限、赎回条件、赎回价格、股票价格波动率等。 （二）回售权（redemption option）。该期权规定，在回售期内，如果公司股票的价格满足回售条件，则投资者有权按照回售价格将可转债回售给公司。- 155 -
中国利率期限结构及应用研究 对投资者而言，是否要回售，取决于可转债价值和回售价格的大小。如果可转债价值大于回售价格，则投资者仍然会持有债券；如果可转债价值小于回售价格，则投资者就会进行回售。影响该期权价值大小的因素有回售期限、回售价格、回售条件、股票价格波动率等。 （三）转股价格调低权。该期权规定，在一定期限内，如果公司股票价格满足转股价格调整条件时，公司董事会有权在一定幅度内调整转股价格。同时还一般规定超过这个幅度则需要股东大会通过。该期权实际上是为了避免投资者发生回售行为而制定的。因此，它要和回售权结合起来分析。 总结起来，按照可转债价值的不同构成，影响可转债价格的因素有： （一）影响转股权价值的因素：包括可转债的期限、股票价格波动率、票①面利率及其支付方式。 （二）影响赎回权价值的因素：包括赎回期限、赎回价格、赎回条件。 （三）影响回售权价值的因素。包括回售期限、回售价格、回售条件。 ② 全球可转债市场发展概览 可转债是在全球金融创新的大浪潮中发展起来的，而且由于兼具股票和债券的投资优点而日益受到投资者的关注，市场规模不断扩大。截至2001年底，全球可转债市场发行规模达到了4，750亿美元。但是从区域分析，可转债的发展是不平衡的。目前，可转债市场主要集中在欧洲、美国和亚洲的日本。其中，欧洲为1，350亿美元，约占全球总规模的28％；美国为2，100亿美元，约占全球总规模的44％；日本为1，000亿美元，约占全球总规模的21％。三个地区占据了可转债全球总规模的93％。因此，不同国家、不同地区之间的可转债发展水平存在相当的差异。 可转债作为一种新的金融工具和衍生金融产品，其风险收益特征也是投资者十分关注的一个问题。根据Ibboston Associates的分析，在1973－2000 ① 利息的支付方式也会对可转债价值产生影响。有些可转债采取在转债存续期内利率较低而到期日实行利息补偿的方法，这也会对可转债价值产生影响。 ②梁讫铭（2002）。 - 156 -
5． 中国利率期限结构应用研究 年间，可转债的平均收益率为%，波动率为%，都界于股票和公司债券之间。表列出了可转债和股票、长期公司债券的风险收益特征的比较情况。 表：不同种类资产的风险收益特征：1973——2000 资产类别 收益 风险（波动率） %%可转债 S&P 500 % % %%长期公司债券 注：资料来源：Ibboston Associates，转引自梁讫铭（2002）。 考察和分析可转债和其他金融产品的相关性，对于我们了解可转债在分散风险、构建投资组合中的作用是十分必要的。表列出了可转债和其他一些金融产品的相关性。从表中可以看出，可转债和其他金融产品之间存在着一定的相关性，这种相关性因产品不同而存在较大的差异，和大市值股票组合的相关性最大，和房地产的相关性最小。因此，在投资组合中加入适当的可转债，可以获得有效分散风险、提高收益的目的。 表：可转债和其他金融产品的相关性 产品类别 与可转债的相关性 大市值股票组合 小市值股票组合 长期国债 短期国债 长期公司债 房地产 注：资料来源：Ibboston Associates，转引自梁讫铭（2002）。 可转债发行中的公司最优决策分析 要对可转债进行比较合理地定价，首先要分析可转债发行后，发行公司的决策目标以及为了实现这一目标的最优决策行为。 - 157 -
中国利率期限结构及应用研究 （一）可转债发行公司的决策目标分析 在研究中国可转债发行公司的目标时，我们要注意中国资本市场的两个特殊性。 首先，中国的股票市场是一个以非流通国有股、法人股占主导地位的特殊市场。国有股、法人股股东在公司中拥有控股权地位，但其股票不能在市场上按照市场价格买卖，只能根据股票的每股净资产作为自身价值的一个标准。因此，公司控股股东的最终目标是实现公司每股净资产价值的最大化。 其次，中国的股票价格存在较大的泡沫，市场股票价格大大高于公司价值。因此，转股对控股股东是非常有利的。 在这种背景下，我们就可以得到有关可转债发行公司决策目标的一个重要结论。 推论. 可转债发行公司的决策目标是以尽可能高的转股价格、尽可能早地实现转股。 证明：假设公司在发行可转债之前的每股净资产为A，总股本为N。发2行可转债的数量为N，发行价格为P，转股价格为X，可转债的面值为FV。1由于中国可转债均按面值发行，因此P=FV。如果没有转股发生，则公司的每①股净资产仍然为A，控股股东没有从发行可转债中获得任何好处。如果转股发生，则公司的每股净资产变成： A×N+FV×N21A'= N+（FV/X）N要使得A'>A，则必须满足条件： X>A 也就是说，发行公司的控股股东要想从可转债发行中获利，可转债的转股价格必须高于每股净资产。这也正是许多可转债条款中所规定的。 ∂A'而且，>0，也就是说，转股价格越高，公司控股股东的每股净资产∂X ① 这边没有考虑公司发行可转债所付出的利息支出，因为它比起转股给公司价值带来的增长相比是微不足道的。 - 158 -
5． 中国利率期限结构应用研究 增加得就越多。因此，公司的一个决策目标就是要以尽可能高的转股价格转股。 由于转股价只能调低，不能调高。越早转股，公司被迫调低转股价的可能性就越小。因此公司的控股股东必然追求尽可能早地实现转股。证毕。 可转债发行公司的决策目标直接影响到他们行使期权时的决策行为。而且这种决策行为不是独立的，而是根据和投资者之间的复杂博弈作出的一个多层次决策行为。投资者的投资目标函数是收益最大化，他们将根据转股价值（(FV×S)/X）和可转债持有价值孰大来决定是转股还是继续持有可转债。公司的决策行为就是要通过影响可转债持有价值进而影响投资者的行为，从而顺利实现自身的目标。 （二）公司行使转股价调整权的决策行为分析 大部分可转债都规定，当公司股票收盘价连续n个交易日低于转股价的1一定比例（如80%），公司董事会有权在一定的幅度内下调转股价。董事会一般1年内只能调整1次。但股东大会通常有权超过上述幅度和次数进行调整。①因此这里包含两个选择权：第一就是是否调整；第二就是调整的幅度。由于公司决策的目标之一是按照尽可能高的转股价格转股。因此，我们也可以推出可转债发行公司调整转股价格的一个重要推论。 推论. 在没有回售压力的条件下，公司不会主动向下调整转股价格。 证明：首先向下调整转股价格会稀释公司控股股东的每股净资产，这在上面已经证明。 其次，它会降低控股股东的控制权。假设公司发行的可转换债券数量为N，初始转股价格为X，则此时转成的股票为(FV×N)/X，可能只占公司11总股本的一个有限比例，对公司原有的控股股东的控制权并没有产生威胁。但是如果降低X至X'，则此时可以转成股票的数量为： (FV×N)/X'>(FV×N)/X， 11在公司总股本中的比例就会上升，就会影响到公司原先的控制权。 ① 一些特殊的可转债，比如新钢钒转债，规定满足一定条件时公司必须调整转股价格，调整幅度不低于10%，调整后的转股价格不低于每股净资产。这时公司就只有一个选择权，那就是调整幅度。 - 159 -
中国利率期限结构及应用研究 因此，公司绝对不会主动调低转股价格。证毕。 但是由于可转债规定了回售条款，即在可回售期内，当公司股票价格连续n个交易日低于转股价格的一定比例（如75％）时，投资者有权在若干个交2①易日后按照一定的价格（比如债券面值加上当年利息）将债券回售给公司。因此，为了避免投资者将债券回售给公司，以便能够实现转股的目标，公司控股股东这时要调低转股价格。 推论. 当面临回售压力时，公司会调低转股价，使回售日该债券的价值超过赎回价，从而诱使投资者放弃回售权。 证明：当回售条件满足且可转债价格低于回售价时，如果公司不调低转股价，投资者就会行使回售权，这样就会使控股股东失去净资产增值的机会。因此，只要转股价不降到每股净资产之下，控股股东就会作出降低转股价的决定。同时，由于所有可转债回售的条件都比降低转股价的条件苛刻，因此，公司回售条件满足时，公司也有权调低转股价。 接下来分析调整的幅度。假设在可回售期内T时刻满足了回售条件，则在1回售日T+L时刻，该可转债的收益函数为： 1max(P,K) T+L11其中K表示回售价格。要使得投资者不回售，只能通过降低转股价从而提高1P来实现。证毕。 T+L1（三）公司行使赎回权的决策行为分析 大部分可转债都规定，在可赎回期内，当股票价格连续n个交易日超过3转股价的130%时，公司有权按照一定的价格（如债券面值加上当年利息）在一定的时期内赎回（如5日内公告，30日内赎回）该债券。由于赎回价通常大大低于转股价，因此投资者会在赎回日之前行使转股权。因此公司行使赎回权实际上是要迫使投资者尽早行使转股权。 ① 新钢钒转债是一个特例。它规定在可转债的最后1年的任何时刻，投资者都有权按照103元的价格将可转债回售给公司。 - 160 -
5． 中国利率期限结构应用研究 假设可转换债券的期限为T，公司股票价格S服从几何布朗运动，即 tdS/S=µdt+σdz，或者 ttt2dlnS=(µ−σ/2)dt+σdz， 在风险中性定价中，µ=r。在离散形式下，股票价格的变化可以表示为： 2S=Sexp[(r−σ/2)∆+σ∆ε],ε:N(0,1) t+∆ttt在可赎回期内，如果股票价格在T到T期间满足条件： 23S≥,t=T,T+1,...,T−1,T，X表示时刻t的执行价格。 tt2233t此时，公司可以在赎回日T+M时刻按照K的价格赎回公司的可转换债券。 32推论. 公司是否在时刻T提出赎回，取决于赎回日转股价值是否有足3够把握大于赎回价格。 证明：T+M时刻可转债转股价值为(FV×S)/X，赎回价格为K。 3T+MT+M233如果，(FV×S)/X>K，则公司在时刻T提出赎回，在T+M时T+MT+M23333刻，投资者肯定会进行转股，公司就达到了以尽可能高的转股价尽早转股的目标。 但是如果(FV×S)/X<K，则如果公司在时刻T提出赎回，在T+MT+M2333T+M时刻，投资者不会进行转股，公司只能赎回，公司的强制性转股就没3有达到目的，反而大大加重自身的财务负担。因此，在满足赎回条件的时刻T，3公司要预期时刻T+M的转股价值。因为转股价值等于(FV×S)/X，在未来3M个交易日内可以假定转股价保持不变。其主要原因在于赎回条件和转股价调整条件的差异巨大，股票价格不可能在满足赎回条件之后在很短的时间内又满足转股价调整条件。所以，对转股价值的预期主要是对股票价格的预期。为了尽可能避免未来股票价格的变动风险，我们这边不使用期望值的概念，而使用VAR的概念，即计算出使得时刻T+M股票价格有一定（如95％）2的概率高于它的股票价格预期最低临界值ES↓。如果TT+M33- 161 -
中国利率期限结构及应用研究 (FV×ES↓)/X>K，则公司如果时刻T提出赎回，在时刻T+M，TT+MT+M33333①投资者有95%的可能性会进行转股。这在公司可以承受的风险之内，因此，公司应该提出赎回，迫使投资者提早转股。 2ES=ESexp[(r−σ/2)M+σMε)] TT+MTTT+M333332＝Sexp[(r−σ/2)M]exp(σM/2σMEε)=Sexp(rM) +3333在95%的置信区间内，该期望值的下限为： ES↓=Sexp(rM−σM)。证毕。 TT+MT333推论. 在正常情况下，公司会在满足赎回条件时立即行使赎回权。 证明： 在现在通常情况下，r≈%，σ≈30%，M≈，假设S为满足赎T3回条件的最低水平，即S＝。则 TT33ES↓=Sexp(rM−σM)≈(×−××)≈+MTTT33333 所以(FV×ES↓)/X≈106>K。因为在正常情况下，K≤105。证毕。 TT+Mt33从上面分析可以看出，影响股票价格VAR95%临界水平并进而影响提出赎回可能性的影响因素有无风险利率、波动率、满足条件时的股票价格以及赎回期限。 1、无风险利率 ∂ES↓TT+M33=SMexp(rM−σM)>0， T3∂r因此r越大，公司在满足赎回条件时进行赎回的可能性就越大。 2、波动率 ∂ES↓TT+M33=Sexp(rM−σM)(−)<0， T3∂σ因此σ越大，公司在满足赎回条件时进行赎回的可能性就越小。 3、满足条件时的股票价格 ① 如果公司觉得95%的可能性太大，则可能将VAR的水平进行提高，比如提高至99%。 - 162 -
5． 中国利率期限结构应用研究 ∂ES↓TT+M33=exp(rM−σM)>0 ∂ST3所以，S越高，公司在满足赎回条件时进行赎回的可能性就越大。 T34、赎回期限 ∂ES↓σTT+M33=Sexp(rM−σM)(r−)， T3∂M2M在正常情况下，r<10%,σ≈30%,M≈，所以 σ−<−<0，所以， ∂ES↓TT+M33<0。 ∂M所以，在正常情况下，如果可转在条款对赎回日没有硬性规定，则公司会尽量缩短M以减少变数。 （四）小结 根据上面的分析，我们可以得出了公司在可转债发行后行使调整权和赎回权决策行为的几个重要结论： （1）发行公司的决策目标是以尽可能高的转股价格、尽可能早地实现转股。这些决策行为是在和投资者的博弈过程中通过影响投资者的收益函数作出的。 （2）由于转股价的调整会直接影响到公司控股股东的利益，所以公司不会自动调整转股价。调整转股价格的目的是为了避免投资者的回售而给公司带来的更大损失。而且，公司在选择转股价格调整幅度时也是尽可能的小，目标是能够保证投资者在回售日不选择回售而选择持有可转债。 （3）公司是否行使赎回权，取决于赎回日转股价值是否有足够把握大于赎回价格。在目前中国正常市场情况下，只要满足赎回条件，公司就会行使赎回权，并选择在尽可能短的时间内赎回，从而迫使投资者尽可能早地转股，以实现公司的决策目标。 - 163 -
中国利率期限结构及应用研究 （4）公司是否行使赎回权的决策行为会受到满足赎回条件时的股票价格、无风险利率、波动率、赎回期限等因素的影响。其中，满足赎回条件时的股票价格和无风险利率的影响是正向的，而波动率和赎回期限的影响则是反方向的。 （5）在目前正常的市场条件下，可以无限制地连续赎回的期权价值并不高于只在首次满足条件时赎回的期权价值，但它会给投资者造成可转债赋予公司太多选择权的假象，降低可转债的吸引力。对于可转债来说，关键的不在于允许使用赎回权利的次数，而在于提出赎回之后的期限。期限越短，对公司越有利。因此公司应该在这方面规定相应的条款，力求使公司能够在提出赎回之后尽可能短的时间内赎回，而不应该拘泥于可以有几次赎回的权利。 中国可转债定价分析 要对中国的可转债进行定价，除了上面分析的几个推论之外，还必须利用中国的特殊现实背景推出一些其他的相关结论。这些结论包括： 推论. 在中国特殊的制度背景下，可转债中股性占了绝大部分，而且中国的信用风险溢酬不高，因此全部使用无风险利率进行贴现，并不会对可转债的价值造成很大的影响。 证明：从推论可知，中国可转债发行公司会通过调整转股价诱使投资者转股，可转债最终以债券的形式还本付息的概率极低，因此可转债中的债性占的比例很小。而且，中国的信用风险溢酬也非常低，AAA级5年期公司债券的信用风险溢酬才%。因此，全部用无风险利率进行贴现不会对①可转债价值产生太大影响。证毕。 ① 通过模拟，我们可以发现，全部使用无风险利率进行贴现的价格（最高限）仅比全部使用信用风险利率（最低限）进行贴现的价格高出1元。 - 164 -
5． 中国利率期限结构应用研究 推论. 可转债中的转股权不会被提前执行，它实际上是一个欧式看涨①期权。 证明：因为中国可转债发行条款均规定转股价将根据公司股票的股利政策进行相应的调整，因此转股权实际上相当于无红利股票的看涨期权。对无红利股票的美式看涨期权而言，它不会被提前执行。 考虑可转债可以按照X的价格(转股价)转成公司的股票。在时刻t，投资者可以有两种选择：或者持有可转债，价值为P；或者转成股票，价值为tS×(FV/X)，其中，S表示t时刻标的股票的价格，FV表示可转债的面值。 tt在到期日T，可转债的回报为Max(S×(FV/X),V)+I≥S×(FV/X)。其TT中V表示到期日债券的价值，I表示T-t期间可转债支付利息的终值。根据无套利原则，在t时刻（t≤T），可转债的价值应该大于转股的价值，即P≥S×(FV/X)，因此执行转股权不是投资者的最优决策行为。 tt如果在t时刻可转债满足了赎回条款，公司宣布决定在τ时刻赎回可转债，我们同样可证明投资者不应在τ时刻之前执行转股权。 上述推导说明，虽然转股权是美式看涨期权，但在正常情况下（不存在无风险套利机会），投资者不应提前行使转股权。这意味着这个美式看涨期权实际上等同于欧式看涨期权。这就为使用蒙特卡罗模拟进行定价奠定了理论依据。证毕。 引理. 赎回政策可能缩短可转债的期限，因此可转债的预期期限要比发行期限短。 一般的可转债中都规定了首次回售条款，即投资者如果在满足回售条件的第一次不执行回售权，则在这年度内不能再执行。对于公司而言，只需要在满足首次回售条件时调整转股价格，使得可转债的价值超过回售价格，投资 ① 这边假定投资者除了投资收益之外，没有转股所带来的其他收益，比如控制权收益。因此，如果放宽这个假设，投资者就会提前转股，因为此时的期末回报为S×(FV/X)+C，有可能大于TMax(S×(FV/X),V)+I，其中C代表转股所带来的控制权收益。这一般发生在持有转债比例T非常多的投资者身上。当然，也有一些中小投资者由于对可转债不了解而发生提前转股。对于一般投资者，这个推论是成立的。 - 165 -
中国利率期限结构及应用研究 者就会放弃回售，持有可转债。 为了计算在满足回售条件下公司应将转股价调低到什么位置，我们可以将可转债价值W粗略表示为： 普通欧式看涨期权价值＋到期日债券价值现值＋期间债券利息现值 ①利用布莱克——舒尔斯期权定价公式，可以表示为： −r(T−t)−r(T−t) W=(SN(d)−X×(V/FV)eN(d)×(FV/X)+(V+I)e t12−r(T−t)−r(T−t) ＝S×(FV/X)N(d)VeN(d2)+(VI)e t12σ[ln(FV×S/(X×V))+(r+)(T−t)]t2d=,=σ。 11σT−t其中，r表示连续复利无风险年利率，σ表示标的股票的年波动率。 '令S=S×(FV/X)，则 tt'−r(T−t)−r(T−t)W=SN(d)VeN(d)+(VI)e， t122σ'[ln(S/V)+(r+)(T−t)]t2,=dσ， 1σT−t∂W∂W因为φ0,所以pi0。降低转股价格可以使得可转债价值上升。我们可'∂S∂Xt以令W=P（回售价格），此时求出的X就是我们所需要调整到的新的转股2价。 （一）中国可转债定价模型和参数估计 1、中国可转债定价模型 由于中国可转债转换成的股票是可以立即流通的，与非流通股有很大区别，因此本文假设在风险中性世界，股票价格服从一个几何布朗运动： dS/S=rdt+σdz。 t由于可转债是股票的衍生产品，根据布莱克——舒尔斯衍生产品的偏微 ①需要注意的是，这边的执行价格并不直接就是转股价X，而是X×(V/FV)。 - 166 -
5． 中国利率期限结构应用研究 分方程，我们可得可转债价格的偏微分方程为： 2∂P1∂P∂P2+σ−rP+r=0。 2∂t2∂S∂S该偏微分方程应满足的边界条件有： (1)在赎回日t, 可转债的回报Y=max(S×(FV/X),P)，在正常情况下等ttt1于S×(FV/X)，其中P表示赎回价； 1tt(2)在满足回售条件投资者要回售时，公司需要调整转股价格。调整后的①转股价X'应该满足: t'−r(T−t)−r(T−t)P=SN(d)−VeN(d)+(V+I)e， 2t122σ'[ln(S/V)+(r+)(T−t)]t'2S=100S/X'，,d=σT ttt21σT−t(3)如果没有发生赎回，则在到期日T的回报函数分为两种情况： （i）如果没有满足回售条件，则Y=max(S×FV/X,V)； TTt（ii）如果满足回售条件，则Y=max(S×FV/X,P)。 TTT2此外，可转债的价格还有其理论界限。第一个理论界限就是上文分析的转股价值。在没有赎回条件限制时，可转债价值应高于转股价值，即P≥S×FV/X。第二个理论界限就是债券价值，B。因为总体来说，可转tttt债可以看作奇异期权和一个债券的组合。因此当股票价格比较低时，期权价值比较低，此时，可转债价值就比较接近于债券价值，特别地，当股票价格为0时，期权价值为0，此时可转债价值等于债券价值。可转债的价格区域可以用图表示。 ① 董事会调整转股价格有一定的幅度限制，比如20％等，但是一般超过这个幅度经过股东大会批准即可。所以公司一般可以调整到所需的转股价。 - 167 -
中国利率期限结构及应用研究 图：可转债价格的合理区域 转债价值 股票价格 债券价值 2、中国可转债定价的参数估计 根据上面分析，影响可转债价格的参数有：初始股票价格、期限、波动率、无风险利率、信用风险溢酬、可转债利息、赎回价格、赎回条件、回售价格、回售条件等。其中，股票价格、期限、可转债利息、赎回价格、赎回条件、回售价格、回售条件等可以直接在转债条款中和市场上找到。无风险利率和信用风险溢酬则使用前面的研究成果。5年期市场无风险利率为①%，违约风险溢酬为%。所以，对参数的估计集中在对波动率的估计。 对波动率的估计采取历史波动率方法(historical volatility)，即通过股票价格的历史变动估计出股票价格的波动率，并作为可转债定价的参数。可转债发行本身会对价格波动率产生影响，它一般会使得股票价格波动率降低。因此我们不能直接用可转换债券发行之前的历史价格估计波动率。而且可转换债券是一个长期证券，使用的波动率参数应该是长期的平均波动率，但是可转债发行之后的数据时间一般较短，无法真实反映出股票的长期平均波动率。因此，我们只能通过在发行之前的历史波动率的基础上综合分析可转债发行 ①根据5年期无风险市场利率的长期均值获得。 - 168 -
5． 中国利率期限结构应用研究 对波动率的可能影响以及平均幅度，然后做出相应的调整。根据对可转债的综合分析，可转债的发行对波动率的影响大约在5个百分点。当然这是一个简单的处理方法。更为合理的一种调整应该是根据可转债发行规模和流通股股数之间的相关关系进行调整。但是由于我国目前可转债数量太少，进行这方面的分析缺乏相应的数据支持，需要在今后做进一步研究。我们利用GARCH(1,1)模型估计出可转债相应的标的股票在发行之前的长期平均价格波动率，并计算出中国可转换债券定价所使用的价格波动率。计算结果参见表。 ①表：中国可转换债券的价格波动率 可转债发行之前(%) 可转债发行之后(%) 43% 38% 万科 39%34%燕京啤酒 37%32%南京水运 41% 36% 江苏阳光 38%33%雅格尔 30%25%民生银行 40% 35% 新钢钒 32%27%丝绸股份 35%30%上海机场 38% 33% 鞍钢新轧 35%30%丰源生化 （二）中国可转换债券的定价 在参数估计出来之后，就可以计算可转换债券的价值。为了分析不同条款对转债价值的影响，我们将可转债分成不考虑所有条款的可转债价值（价值1）、考虑赎回条款的可转债价值（价值2）、考虑赎回和回售条款的可转债价值（价值3）、以及考虑所有条款的可转债价值（价值4），并综合运用二叉树模型、有限差分方法、蒙特卡罗模拟三种方法进行定价，以尽可能提高运行速度和运算效率。 ① 另外还有茂炼转债。由于茂炼转债的股票还没有上市，所以在本文中不分析这只转债。 - 169 -
中国利率期限结构及应用研究 我们选取可转债发行第一天作为我们定价的时点。无风险利率为%。信用风险溢酬为%。定价的结果参见表。可转债定价中新钢钒的条款最为特殊。它规定最后1年可以按照103的价格无条件回售，但是由于最后一年有利息保护（最后1年利息支付达），因此债券价值加上期权价值在大多数情况下会超过回售价格，因此投资者一般不会回售。对转股价格的调整主要是董事会在满足条件时的义务。它规定在满足调整价格条件时，董事会必须调整转股价格，最小幅度为10%，调整后转股价不低于每股净资产。因此，对新钢钒公司而言，它只愿意调整最低幅度的价格。 表：中国可转债定价 可转债价值1 可转债价值2可转债价值3 可转债价值4 上市当天实 101（BS价格） 际价格 万科（） 燕京啤酒（） 南京水运 （） 江苏阳光 （） 雅格尔() 民生银行 （） 新钢钒() 丝绸股份（） 上海机场() 鞍钢新轧（） 丰源生化() 注：括号内为初始股票价格。 从估计价格和实际价格的比较中可以明显地看出，实际价格要远低于理论价值，低估的幅度在20%左右。 我们还计算了2003年6月11日可转债的价值并与当天的市场价格相比， 101 上市和发行之间有一段时间差距（一般在1个月左右），在这段时间内股票价格会发生变化，因此上市当天价格与发行日价格存在差异，差异大小主要由股票价格变动幅度决定。大部分转债的股票价格在这期间变动不大（小于10％），所以上市日转债价格和发行日当天的转债理论价值差距不大。股票价格变动幅度比较大的是万科（上涨15％左右）和鞍钢新轧（上涨30％左右），所以转债价值会有一个比较大幅度的增长。考虑这些因素，可转债价值被低估的程度更大。 - 170 -
5． 中国利率期限结构应用研究 发现中国的可转债价格被明显低估了，低估的幅度大多在10%－20%之间。低估幅度如此之大，无法用投资者偏好、流动性溢酬等进行合理解释，只能102归因于市场的无效。 （三）小结 通过对中国可转债的具体深入的分析，并综合利用金融工程学的基本原理和各种方法，我们对中国可转债的合理价格进行了估计。结果表明，中国可转债的市场价格被明显低估。 定价分析建立在公司最优决策的基础之上。如果面临赎回和调整转股价时，公司违背了最优决策的原则，如推迟赎回时间，降低回售价格的幅度过大等，都会进一步导致可转债的价值上升，从而使可转债价格被低估的程度更高。考虑公司决策的信息传递效果并分析其对可转债价值的影响，是今后的一个研究方向。而且，本文对股票价格波动率采取了一种近似的统一处理方法，没有考虑到价格波动率变化和可转债发行规模之间存在的关系。这也需要在今后的研究中进一步的进行验证和修正。此外，从公司金融和证券产品设计的角度分析公司发行可转债的原因，是另一个广阔的研究领域。 可转债的价格敏感性分析以及条款设计 在这部分，我们将根据影响可转债价格的各个因素，对可转债价格一一作敏感性分析，以分析可转债价格的重要影响因素，并在此基础上对可转债的条款设计提出一些建议。 在作敏感性分析之前，我们假设可转债的条款如下：期限5年，面值100元，执行价格为10元，股票初始价格为10元，价格波动率为25%，每年利息支付为2元；赎回期限从第二年开始，赎回价格为102元，赎回条件为股 102 在一个理性预期的市场上，由于投资者预期可转债最终会转股，所以发行日的股票价格就会对可转债进行调整。但是在中国，这个调整明显滞后，调整一直到公司发布可转债进入转股期的公告后才开始进行，这表明了中国投资者对信息反应的滞后以及市场的无效。为了考察这种调整对可转债价格的影响并考察它是否能够解释中国的可转债价格低估，我们事先将初始股票价格下调并估计其在价格下调时的价格，发现这只能在有限的幅度内降低可转债价值(%左右)，根本无法解释如此大幅度的价格低估。 - 171 -
中国利率期限结构及应用研究 票价格连续30个交易日超过执行价格130％；回售期限从第二年开始，回售价格为102元，回售条件为股票价格连续30个交易日低于执行价格70％。 （一）影响转股权价值因素的敏感性分析 影响该价值的因素有期限、股价波动率、利率水平及其支付方式等。为了进行敏感性分析，我们分别计算期限为3年、4年、5年，价格波动率变为20%、25%、30%，票面利率水平为1%、2%、3%条件下的可转债价格，并分析他们的变化。计算结果参加表。 表：影响转股权价值因素的敏感性分析 20% 25% 30% 期限＝5年 1% 2% 3% 期限＝4年 1% 2% 3% 期限＝3年 1% 2% 3% 从表中可以看出，可转债期限、价格波动率以及利率水平都会对可转债价格产生比较明显的影响。其中利率水平对可转债的影响程度最大，而且，这种影响程度随着期限的延长而不断扩大。当期限为3年时，利率水平每增加1%，可转债价值增加1元左右；而当期限为5年时，利率水平每增加1%，可转债价值则会增加3元左右。波动率对可转债价格的影响程度也比较大，而且不会随着期限的变化而发生太大的改变。波动率增加5%,可转债价格提高3元左右。期限对可转债价格的影响也比较明显，但程度不一。期限从3年增加到4年所导致的可转债价格提高幅度要超过期限从4年增加到5年。 此外，票面利率方面，除了利率水平外，利息的支付方式也会对可转债- 172 -
5． 中国利率期限结构应用研究 价格产生影响。为了分析这种影响，我们将原有的利率为每年2%变为前4年%，最后1年4%，并计算出这种利息支付方式下的可转债价格。经过估计，该可转债价格为，比原先的价格少了。因此，在利率水平保持不变的条件下，通过利率支付方式的调整可以在一定程度下降低可转债的价值，这对发行公司的可转债条款设计具有积极的意义。 （二）影响赎回权价值因素的敏感性分析 影响赎回权价值的因素有赎回期限、赎回条件以及赎回价格。为了进行敏感性分析，我们分别计算赎回期限为4年（第二年开始）、3年、2年、1年，赎回价格为102、104、106，以及不同赎回条件下的可转债价格，并分析他们的变化。对赎回条件的选择，一般有三种选择：第一种就是连续30个交易日超过执行价格130%；第二种就是连续20个交易日超过执行价格130%；第三种就是40个交易日中至少30个交易日超过执行价格130％。这边分别用条件1、2、3表示。计算结果见表。 表：影响赎回权价值因素的敏感性分析 4 3 2 1 赎回条件1 104 赎回条件2 104 赎回条件3 104 从表中可以明显看出，影响赎回权价值的最重要的因素是赎回权期限。赎回权期限每减少1年，可转债价值就会提高1元左右。而不同的赎回条件对赎回权价值的影响不大，因此也就不会对可转债价值产生太大影响。- 173 -
中国利率期限结构及应用研究 条件1最严格，因此赎回权的价值最小，从而可转债价值也就最大。条件3最为宽松，因此可转债价值最小。但是三者之间的差距并不大。特别值得注意的是，赎回价格的确定对可转债价值没有任何影响。这实际上很容易理解，因为在满足赎回条件时，一般都是可转债严重实值的时候，此时的转股价值远远超过赎回价格，因此投资者总是会进行转股。 （三）影响回售权价值因素的敏感性分析 103影响回售权价值的因素有回售期限、回售条件以及回售价格。为了进行敏感性分析，我们分别计算回售期限为4年、3年、2年、1年，回售价格为102元、104元、106元，以及不同回售条件下的可转债价值，并分析他们的变化。对回售条件的选择，主要有两种：第一种是股票连续30个交易日低于执行价格70%；第二种是股票连续20个交易日低于执行价格70%。分别用条件1和条件2表示。计算结果见表。 表：影响回售权价值因素的敏感性分析 4 3 2 1 回售条件1 102 104 106 回售条件2 102 104 106 从表中可以明显看出，影响回售权价值的重要因素是回售价格，回售价格越高，在满足回售条件时，公司必须降低更大幅度的执行价格，从而导致可转债价值的增加。而回售期限的延长只在很小的幅度内提高可转债价值。其主要原因在于回售期限越长，公司必须在越早的时间调整转股价格，从而使得满足赎回条件的时间就越早，可转债的价值也就会相应降低，从而 103 在进行影响回售权价值因素的敏感性分析时，综合考虑了公司调整转股价格的权利。即在满足回售条件时，公司会调整转股价格，使得可转债价值超过回售价格，从而避免回售行为的发生。 - 174 -
5． 中国利率期限结构应用研究 抵消了回售期限延长而导致的价值上升。而不同的回售条件对可转债价值的影响很小。 （四）中国可转换债券的条款设计分析 根据上面的敏感性分析所得出的结论，我们可以进一步研究可转债发行条款设计,设计的目标是在可转债价值不变的情况下使发行者的成本最小化，或者在成本不变的前提下使可转债价值最大化。由于中国可转债市场仍处于104无效率阶段，因此可转债的条款设计对提高可转债吸引力有重要意义。 1、可转债转股条款的设计 该条款的主要内容包括：发行期限的确定；发行利率水平以及支付方式的确定；股票价格波动率的大小。在发行期限的选择中，发行公司应该根据自身企业的财务状况、资金运用情况选择3年或者5年的期限，应尽可能避免105选择4年的期限。因为该期限和5年期比起来，可转 债价值没有太大差异，但是5年期可转债能够给公司更多的选择权，并且能够延长公司的本金支付时间。利率水平对可转债价值的影响程度很大，因此公司应该在财务能力允许的范围内提供一定的利息，以增加可转债的吸引力；同时为了避免利率上升给公司带来的沉重财务负担，可以采取前期利息支付少，到期实行利息补偿的利息支付方式。表面上看，公司的利率水平保持不变，但是由于可转债一般在到期之前都会被强制性转股，所以公司就可以节省大量的利息支出，从而能够顺利实现在不增加公司财务负担的情况下提高可转债价值及其吸引力的目标。股票波动率也是影响可转债价值的一个重要因素。波动率越高，可转债价值也就越大。因此，公司可以通过规定发行所筹集资金的用途来一定程度上改变公司的风险，从而改变股票的价格波动率。比如，发行公司可以通过规定筹集资金用于风险比较大的项目来提高股票价格波动率，从而增加可转债的吸引力。 2、可转债赎回条款的设计 104 郑振龙，康朝锋（2003）。 105 现实中的可转债期限也验证了这一点。 - 175 -
中国利率期限结构及应用研究 该条款的主要内容包括：赎回期限的确定、赎回价格的选择以及赎回条件的选取。其中，赎回期限是最重要的因素，因此发行公司应该慎重选择赎回期限。而赎回价格只要低于满足赎回条件的最低股票价格，它就不会对可转债价值产生任何影响，因此公司可以选择一个比较高的赎回价值，以便能够在不改变可转债价值的条件下增加可转债的吸引力。而赎回条件的选取不会对转债价值产生太大影响。因此公司可以选择最为严格的赎回条件，比如连106续30个交易日超过转股执行价格130％，以增加可转债的吸引力。 3、可转债回售条款的设计 该条款的主要内容有：回售期限的确定、回售价格的选择以及回售条件的选取。此外，该条款还隐含着发行公司调整转股价格条款的设计。由于公司调整转股价格的目的是为了避免回售，因此公司所规定的调整转股价格所应满足的条件应比回售条件宽。而且，为了给公司调整转股价格幅度提供更大的空间以保证公司通过转股价格的调整来避免回售行为的发生，公司不应该对调整执行价格的幅度作太多的限制，或者即使董事会的权利有限制，也应该赋予股东大会完全的权利。在影响回售权价值的三个因素中，回售价格是一个最重要的因素，回售价格越高，可转债价值就越高。因此，公司应该尽可能选择比较低的回售价格，一般以选择面值加上当年利息为准。回售期限对可转债价值的影响不大，因此公司可以选择尽可能长的回售期限，给投资者更多的回售权利，从而能够大大增加可转债的吸引力，虽然这些回售权利由于受到公司调整转股价格权利的制约并不会真正实行。此外，回售条件则对可转债价值几乎没有影响，公司可以选择最为宽松的回售条件。 （五）小结 可转债的价值可以分为转股权价值、赎回权价值以及回售权价值。影响可转债基本转股权价值的影响因素有期限、利率及其支付方式以及股票价格波动率，三个因素都很重要，都需要在条款设计中加以注意。影响赎回权价值 106 实际上，现实中的可转债条款设计也验证了这一点。 - 176 -
5． 中国利率期限结构应用研究 的因素有赎回期限、赎回价格以及赎回条件。其中赎回期限是最重要的影响因素，必须慎重选择赎回期限；而赎回价格和赎回条件则不太重要，可以根据投资者的偏好选取，以增加可转债的吸引力。影响回售权价值的因素有回售期限、回售价格和回首条件。其中回售价格是最重要的影响因素，应该选择尽可能低的回售价格；而其他两个因素则不重要，根据投资者的偏好选取即可。 - 177 -
中国利率期限结构及应用研究 6 中国利率期限结构的缺陷和改革 中国的债券市场，除了交易所的交易市场之外，还有银行间债券市场。在一个合理的统一市场条件下，这两个市场的利率期限结构不应该存在太多的差异。但是，本章通过对这两个市场的利率期限结构的分析，发现二者之间存在着相当大的差异，这反映了我国国债市场发展的不完善，不利于一个统一的市场基准利率的形成，对我国的利率市场化进程是一个极大的障碍。为此，我们提出了统一两个市场的设想。 国债市场在中国利率市场化进程中的基准作用 利率市场化是市场经济建设的重要内容，是市场经济发展的必然要求。利率市场化是市场机制发挥资源配置的基础性作用的基本前提。利率市场化的关键是要在由众多利率组成的市场利率体系中确定一个基准利率。所谓基准利率是指对其他金融市场的形成和变动具有决定性影响作用的利率。在高度集中的计划经济体制下，没有金融市场，没有市场利率，自然也就无所谓市场基准利率。利率对资源配置不起调节作用。改革开放后，我国己初步建立了国债、回购、企业债券、基金、股票、同业拆借等金融市场，市场利率在资源配置中己经发生作用，但是目前市场利率发挥的作用是有限的，还没有一个金融市场的利率在利率体系中发挥基准利率的作用。这种情况限制了市场利率在资源配置中的作用。因此，利率市场化的关键是要在市场利率体系中确定一种基准利率，这也是构建新利率体制的首要条件。 利率体系由银行存贷款利率、债券发行市场利率、债券流通市场收益率、同业拆借利率、回购利率、贴现利率、票据市场利率、大额可转让定期存单市场利率等组成。在众多的利率中，有一个利率发挥基准利率的作用，对其他利率的形成和变动发生决定性的影响。因此，如果基准利率水平能够反映经济状况和适合经济发展的需要，则其他市场利率也能趋于合理化，金融市- 178 -
6． 中国利率期限结构的缺陷和改革 场得到健康发展。如果基准利率无序变动，则受此影响其他市场利率也变动紊乱，金融市场得不到健康发展。能够满足市场基准利率要求的，一是对其他利率具有决定性的影响，二是满足宏观调控的可控性要求。国债二级市场的利率期限结构正是能够满足上述条件、起到市场基准利率作用的利率。其原因在于以下几点： （1）国债发行数量大 在一个比较成熟的市场经济国家，国债的发行数量都很大，市场流通余额很多。比如，多数西方发达国家的国债流通余额约占当年国内生产总值的25%以上；国债在金融市场上举足轻重，国债资产约占金融市场资产的30%以上，国债市场流通交易数额约占全部金融市场交易数额的一半以上。国债市场在金融市场上的权重最大；与国债市场相比，其他市场要小些，或小得多。由此，国债市场的收益率（或利率）反映市场中占最大份额的资金融通的价格，它在金融市场上处于主导地位，起资金融通主渠道的作用。其他市场的价格需参考国债市场收益率的高低而定。 （2）国债流通市场参与者众多 国债流通市场参与者既包括银行与非银行金融机构，也包括企事业单位和居民，还包括有金融管理职能的中央银行。由于国债市场规模大，参与者众多，除央行外，市场上任何一个主体都难以形成影响价格的垄断力量。这就是说，国债市场比较接近完全竞争市场，市场价格由供求双方的竞争形成。机构和个人投资者是市场价格的接受者，而不是市场价格的制定者。国债市场上虽然不乏进出数额巨额的大机构投资者，但由于此类机构投资者数量众多，其所占市场份额有限，谁也没有能力形成垄断力量，故国债市场竞争性很强。 （3）国债期限品种齐全 国债市场可流通交易的既有一个月或几个月的短期品种，也有一年以上甚至10年或几十年的中期和长期品种，市场品种十分齐全。其他金融市场的期限品种都不及国债市场齐全。由于期限品种齐全，国债市场既能反映市场- 179 -
中国利率期限结构及应用研究 短期利率水平，又能反映中期和长期利率水平。换句话说，国债市场跨货币和资本两个市场，其利率既反映货币市场利率，又反映资本市场收益率。由短、中、长期利率形成国债市场的利率期限结构，既能较全面地反映当前市场利率水平，又能反映对未来利率水平的预期。由于国债市场收益率在反映市场利率上的上述特点，国债市场收益率适合作为金融市场的基础利率，它既是其他金融市场短期金融工具利率制定的基准，又是长期金融工具利率制定的参照。其他金融市场一般不具有这一特点。 （4）国债的风险最小 国债信誉最高，破产风险和偿还风险很小，是金边债券。国债投资的本金和名义收益是有保证的。国债的利率水平反映期限相同条件之下市场无风险资产的利率。与国债相比，其他金融资产有违约风险，其投资的本金和收益有遭受损失的可能性。换句话说，国债收益是反映市场不确定因素最小的金融工具的利率，其他金融工具的利率可根据其不确定因素的大小，以国债收益率为依据加一定的风险。这也就是说，国债市场收益率是其他风险资产利率确定的基准。 （5）国债的流动性最好 在国债二级市场发达的条件下，国债能够随时按市场价变现，流动性最强，仅次于货币的活期存款。商业银行把国债作为仅次于存款准备金的二级准备金持有。普通投资者也把国债视为资金闲置时（无论闲置时间长短）的合适的投资对象。由此，国债的利率水平是反映期限相同条件下流动性最强资产的利率。换句话说，国债利率是期限相同的其他金融资产利率制定的基准。 （6）国债市场交易方式多 国债市场既有国债现券市场（二级市场），又有国债回购市场，还有国债期货市场。国债回购是以国债为抵押的短期融资，其市场利率（回购利率）是短期利率。回购市场的存在对现券市场的短期收益率具有稳定作用：如果现券市场价格过低，资金将从回购市场流向现券市场；如果现券市场价格过- 180 -
6． 中国利率期限结构的缺陷和改革 高，资金将从现券市场流向回购市场，这两种情况都有助于现券价格和收益率的稳定。国债期货是约定未来交割的交易合约，它具有价格发现和套期保值的功能。当现券市场价格不合理时，人们就会利用期货市场来避免价格风险，从而同样能够对现券市场的价格波动产生稳定作用。由于国债市场价格的稳定，其市场收益率更适合作为金融市场的基准利率。 （7）国债市场是国家宏观调控政策的切入点 首先，国债市场是国家货币政策即央行公开市场业务操作的切入点。央行通过国债市场上的买卖操作，对国债市场的价格和收益率进行调节，从而对其他金融市场的利率发生有利于经济发展目标的影响。其次，国债市场还是财政政策的切入点，财政政策通过国债发行数额和发行条件的变动来影响国债市场并从而影响宏观经济。由于货币政策和财政政策都能切入国债市场，国债市场是货币政策和财政政策的结合点，只要两种政策在国债市场上协调配合，就能够产生更有效的调控作用，调控国债市场收益率的形成。金融市场中只有国债市场才适合财政政策和货币政策配合调控的需要。 因此，利率期限结构在金融市场的发展中起着一个基准的作用。在我国的利率市场化进程中，有可能成为这种基准的利率期限结构是国债市场的利率期限结构。因此，为了顺利的实现国债市场利率期限结构的基准作用，就必须大力发展国债市场。 中国国债市场发展的历史回顾 自1981年恢复国债发行以来，中国国债市场得到了迅速的发展。经过二十多年的努力，国债发行市场最大的成绩就是国债的投资价值得到广大投资者的认可。国债不再是强行摊派的滞销产品，而是投资者踊跃购买的金融工具。国债真正成为了信誉高、变现能力强的金边债券。国债发行市场从行政摊派到投资者主动购买的重要转折点是1996年。1996年是国债发行方式改革和国债投资价值被投资者认可的重要一年。这年财政部共发行国债2206亿元- 181 -
中国利率期限结构及应用研究 人民币。为保证国债的顺利发行，国债发行市场采取了一系列的重要改革，主要包括：引进竞标拍卖机制；一年中分多次发行，共发行了十次；国债期限多样化，共发行了7个期限各异的债券，最短的3个月，最长的10年；付息方式多样化，第一次引进了附息券；86%的国债可以上市流通。在国债发行市场化方面取得了重要的进步。 1996年国债发行市场的革新带动了国债二级市场的发展，表现在：二级市场的容量陡增；国债流动性提高；利率期限结构初步显现；人民币基准利率正在形成。与一级市场相同的原因，国债二级市场在96年的火爆之后，也出现了一些重大改变，导致了国债二级市场出现了相互分割--深沪交易所国债市场和银行间债券市场并存的现象。 起初交易所市场一直是国债二级市场的主体，其中上海交易所的国债交易量占了深沪两市交易总量的95%以上，是国债交易的主要场所。目前参与交易所国债市场交易的主要是非银行金融机构，包括证券公司、保险公司和一些养老基金等。商业银行过去一直参与交易所国债市场，并凭借其强大的资金实力成为市场资金的主要供给方和国债现券的主要投资人。 1996年，按照党中央国务院关于商业银行停止在证券交易所进行债券买卖的精神，中央银行为尽快构建银行之间的债券交易场所，进行了一系列的技术准备。1996年1月3日全国统一拆借网络系统开始试运行；1996年12月2日中央国债登记结算公司正式成立。1997年6月5日商业银行停止在证券交易所进行债券回购和现券买卖业务，1997年6月16日，全国银行间债券市场正式启动，商业银行债券交易（品种包括国债、政策性金融债券和中央银行融资券）必须在全国统一同业拆借网络中心办理，并在中央国债登记结算公司开立证券集中托管账户。1997年6月，人民银行下令所有商业银行退出交易所市场，并组建了银行间债券市场，市场参与者主要为国有商业银行、107股份制商业银行、城市合作银行、保险公司及中央银行。 总的来说，经过了约二十多年的发展，我国的国债市场已经初具规模。 107王松奇等（2000）。 - 182 -
6． 中国利率期限结构的缺陷和改革 （1）国债的发行规模迅速上升。我国国债的发行规模从1979年的亿元猛增到2001年的亿元，增加了近200倍。1994年是我国财税体制改革最关键的一年，财政部被禁止向中央银行透支，发行国债成为弥补财政赤字的唯一手段，这就导致了该年国债发行首次突破了1000亿元大关，并在以后的各年里加速增长。1998年为了防范亚洲金融危机，扩大内需，在原定计划的基础上又增发了国债1000亿元，国债的发行突破了3000亿元规模。108国债在GDP中的比重也从不到1%上升到4%以上。 （2）国债的期限结构不断丰富，发行品种日益增多。1994年以前发行的国债，期限大多在3-5年。1994年以后，国债二级市场有了一定程度的发展，国债的期限也在不断地丰富。特别是1994-1996年，1年及1年以下的短期国债开始发行，1996年以后财政部增加了5年期以上的国债的发行。2000年以后，财政部又将银行间债券市场所发行的国债期限延长到了10年以上，有的达到20年，最长的有30年。国债的发行品种也由原来单一的无记名式发展到记账式、凭证式等多种形式。 （3）发行方式逐渐向市场化迈进。1991年以前，我国的国债发行几乎都是靠行政摊派的方式。1991-1994年，我国开始采用承购包销方式发行国债。1991年财政部首次与中国工商银行信托投资公司签订了国债承购包销协议，1992年扩大了承购包销国债的数量，并与1993年建立了国债一级自营商制度，首批确定了19家资金实力雄厚、信誉良好的金融机构为国债一级自营商。90年代中期开始尝试国债公开招标发行方式，由国债的发行人和投标人根据市场供求情况来决定国债的发行价格与收益率。 （4）二级市场获得了一定的发展。在我国国债发展的初期，没有二级市场。投资者一旦购买了国债，就只能持有到期。1988年我国开始建立国债二级市场，允许国债上市流动、转让。此后，国债二级市场逐步得到发展，市场交易日趋活跃。1992年我国证券市场国债的年底成交额（包括现券与回购协议交易）还只有亿元，到2002年就上升到了亿元，增长 108 数据来源：《中国统计年鉴1981-2002》，中国统计出版社；《中国金融统计年鉴》，中国金融出版社 - 183 -
中国利率期限结构及应用研究 109了4500多倍。 （5）银行间国债市场获得了一定的发展。1997年起，商业银行的国债业务从证券交易所退出，银行间的债券业务进入全国银行同业拆借中心进行交易，从此银行间国债市场得以形成。从1998年开始，财政部多次在银行间国债市场发行国债，仅1999年在银行间国债市场上发行的国债和政策性金融债券就到3817亿元，占当年发行总量的60%。2001年，在银行间国债市场上发行的国债和政策性金融债券达，占当年总发行量的64%。而且保险公司、证券公司等其他金融机构被陆续批准进入银行间国债市场进行交易。中央银行也将银行间国债市场作为公开市场业务操作的舞台，不断增加在银行间国债市场买卖国债的数量。在短短的几年里，我国银行间国债市场获得了迅速的发展，以国债为主的债券交易额从1997年的亿元，迅猛增长110到了2002年的10万余亿元。 （6）市场法规体系不断完善。 为了保证银行间债券市场稳步发展，必须加强市场制度建设。1997年以来，人民银行组织制定了一系列银行间债券市场的管理条例和办法。在市场建立初期，中国人民银行就颁发了《银行间债券回购业务暂行规定》、《关于开办银行间国债现券交易的通知》等有关办法，随后又制定了《银行间债券交易规则》、《银行间债券交易结算规则》。在政策性金融债市场化发行改革之前，制定了《政策性金融债发行管理暂行规定》。在证券公司和证券基金管理公司加入银行间债券市场前，起草并发布《证券公司进入银行间同业市场管理规定》和《基金管理公司进入银行间同业市场管理规定》。2000年发布了中国人民银行令第二号《银行间债券市场债券交易管理办法》和《债券回购主111协议》。 尽管二十多年来我国国债市场获得了一定的发展，但它还远远不是一个成熟、发达的市场。不论在一级或二级市场上都存在着不少问题，成为我国 109 数据来源：中国证券监督管理委员会网站，国债交易统计报表，2002。 110 《银行间债券市场交割年报2002》，中国债券信息网，。 111 周荣芳（2002）。 - 184 -
6． 中国利率期限结构的缺陷和改革 国债市场不断发展的障碍。这些问题主要体现在： （1）国债市场人为分割。我国的国债市场目前被人为分割成交易所和银行间两个各自独立运行的市场，不同的市场有不同的交易主体，从而导致了不同市场存在不同利率期限结构的不合理现象的发生，严重阻碍了我国国债市场的发展。 （2）交易主体单一。这在银行间债券市场表现得最为明显。目前银行间债券市场的会员即交易主体主要是商业银行和非银行金融机构，由于市场交易主体的同质性强，需求一致性高，在一定程度上限制了交易的动力。而且，许多商业银行对持有的大量的债券资产如何通过市场进行管理和运作还缺少足够的研究，以致在管理、人才、技术、后勤等保障的投入上没有做到与其所拥有的银行间债券资产相匹配，也影响了市场的活跃和市场功能的发挥。由于商业银行持有的国债结构的不合理，交易主体的相对单一性及其投资动机的趋同性使国债在市场上表现为交易不足，债券的流动性受到一定限制。 而且，债券市场柜台交易刚刚起步，债券市场的覆盖面有限，个人投资者和企业没有广泛地参与银行间市场买卖债券，银行间市场的交易受到限制。 （3）交易品种单一，特别是短期债券的缺乏。债券产品的单一化现象严重，产品之间缺乏梯次，难以满足市场成员不同层面的交易需要。从交易产品上分析，只有债券即期交易，没有债券的远期和衍生产品等，市场交易产品体系单一；从交易品种期限上分析，发行的国债也基本为中长期国债，缺少作为流通性工具的1年期以内的短期国债。 此外，在具体的交易结算制度、会计制度、激励约束机制等方面，我国的国债市场都存在着一定的缺陷，需要在不断的发展中加以改革和完善。在上述缺陷中，国债市场的人为分割是最主要的缺陷，不利于一个统一的市场基准利率的形成。 - 185 -
中国利率期限结构及应用研究 利率期限结构的市场差别 中国不同国债市场利率期限结构的差异 中国的国债交易市场有银行间市场和交易所市场。两个市场基本上处于分割的状态，从而导致不同的市场具有不同的利率期限结构。图，图和图分别列出了2001年8月－2003年5月银行间国债交易市场和上海证券交易所的月利率、年利率、3年期利率的不同变动情况。从图中可以发现中国银行间市场利率期限结构和交易所市场利率期限结构之间存在着相当大的差异。 图：中国不同市场的利率变动:月利率 银行间市场交易所市场%%%%时间 图：中国不同市场的利率变动：年利率 银行间市场交易所市场%%%%%%时间 - 186 - 利率（%）利率（%）Aug-01Aug-01Oct-01Oct-01Dec-01Dec-01Feb-02Feb-02Apr-02Apr-02Jun-02Jun-02Aug-02Aug-02Oct-02Oct-02Dec-02Dec-02Feb-03Feb-03
6． 中国利率期限结构的缺陷和改革 图：中国不同市场的利率变动：3年期利率 银行间市场交易所市场%%%%%%时间 中国不同市场利率期限结构差异的原因分析 中国银行间国债交易市场和中国交易所国债交易市场之间存在着巨大的差异。二者交易性质不同、资金占有期不同，两个市场处于分割状态，托管和清算不统一，债券不能灵活转托管，也不能进行套利。 （1）交易主体不同 市场参与者无法自由选择交易场所，自1997年商业银行退出交易所市场后，政策上还不允许商业银行到交易所买卖债券，而非金融机构投资者也无法参与银行间债券市场交易。 （2）托管不统一 在银行间债券市场发行的债券在中央国债登记结算公司托管，在交易所发行的债券在交易所的登记公司托管，除少数券种可以转托管到中央国债登记结算公司外，绝大部分债券不得相互转托管。 国债托管法律上规定必须在中央国债登记结算公司。现在部分国债在交易所发行并托管，但是它仍然必须到中央国债登记结算公司去总托管。从这个意义上说，交易所的国债托管是二级托管，不是一级托管。所谓国债从银行间市场转托管到交易所市场，其实质是由一级托管转到二级托管，这是一个矛盾。银行间市场的其他债券转托管到交易所，例如国家开发银行的债券转托管到交易所市场，会产生这样一个问题，即这些金融债的持有人是商业银行和金融机构，如果要转托管，商业银行就要在交易所开户，显然存在制度- 187 - 利率（%）Aug-01Sep-01Oct-01Nov-01Dec-01Jan-02Feb-02Mar-02Apr-02May-02Jun-02Jul-02Aug-02Sep-02Oct-02Nov-02Dec-02Jan-03Feb-03Mar-03
中国利率期限结构及应用研究 障碍。 （3）交易所市场和场外市场的分割 统一的债券市场并不意味着交易方式、交易场所和托管系统的统一，交易方式和托管系统只是技术层面的问题。发达国家的债券市场也分场内市场和场外市场。统一的债券市场应是指交易主体可以在遵守规则的前提下，根据需要自由地选择交易场所和交易方式，资金可以自由地在不同的市场间流动。但是，目前我国在这方面存在着比较严重的分割。交易主体无法自由地选择交易场所和交易市场，市场资金也无法在两个市场之间自由地流动。这种分割就极大程度地限制了投资者在不同市场之间的套利行为，从而导致了不同市场存在不同利率期限结构的不合理现象的发生。 我国利率期限结构的改革 要改变我国利率期限结构的不合理状态，最有效的方法就是将交易所市场和银行间债券市场统一起来，建立一个统一的国债市场。通过资本在两个不同市场之间的自由流动，充分市场的无套利目标，促进市场的完善以及一个统一的市场基准利率的生成，为我国的利率市场化奠定一个坚实的基础。 统一国债市场的必要性与意义 首先，统一的国债市场有利于提高国债流动性。统一的国债市场使得投资者可以在两个市场之间进行自由地选择，拓宽了投资的渠道以及交易的手段，投资者买卖国债所需付出的成本就会降低，从而国债市场的流动性就会提高。 其次，统一的国债市场有利于形成以国债收益率为基准利率的市场利率体系，这是利率市场化的要求。利率市场化的一个根本性要求是市场要有一个统一的基准利率，而我国国债市场的分割产生出两个不同的利率期限结构，如果不进行统一，则在基准利率的选择上会产生混乱，会严重的阻碍我国的利率市场化进程。 - 188 -
6． 中国利率期限结构的缺陷和改革 再次，统一的国债市场有利于改善货币传导机制，这是货币管理当局强化宏观调控的需要。统一的国债市场也有助于中央银行同时在两个市场上进行宏观调控的操作，操作的余地和空间迅速提高，增加了操作的隐蔽性，有助于中央银行货币政策的实施和宏观调控目标的实现。 第四，统一的国债市场有利于进一步降低国债融资成本，这是实施积极财政政策的要求。统一的国债市场可以提高市场的竞争水平，通过市场的竞争就可以达到有效降低成本的目的。而且，国债市场统一之后，国债可以同时在两个市场发行，发行的对象增多，也有利于降低成本。 统一国债市场的构想 统一的国债托管、清算系统是国债市场一体化的物质基础。中央国债登记结算有限责任公司的建立，《国债托管管理暂行办法》(1997)、《货币市场债券托管业务实施细则（暂行）》(2003)、《实物国债集中托管业务（暂行）规则》(2003)等规章的颁布实施以及实物国债的停发等措施的相继推出，表明统一国债市场的技术条件已经渐趋成熟。 统一的国债市场应该是一个有两元结构的统一市场。第一元是银行间的国债子市场，由经过政府准许的商业银行、保险公司、证券公司、信托投资公司以及中央银行参与。它们的国债供求金额巨大，场内市场的撮合成交制度不适合这种大宗的批发性业务，询价交易方式有利于降低交易成本。中央银行也在这个子市场进行公开市场操作，向外界传递政策倾向。在这个子市场还要建立经纪人制度和做市商制度以活跃市场的交投。没有获得准许的企业和个人投资者，不能直接参与银行间子市场的买卖，但他们可以通过委托证券公司或信托投资公司间接参与其中。 113第二元就是交易所的国债子市场。除了商业银行受到限制之外，其他所有投资者都可以在这个市场自由买卖国债。这样，保险、证券、信托等非银 112 参考王松奇等（2000）。 113其主要目的是为防止银行资金直接流入股票市场。 - 189 -
中国利率期限结构及应用研究 行金融机构（若条件具备，甚至包括商业银行）既可以参与银行间子市场的国债交易，也可以参与交易所的国债子市场；一般投资者既可以直接买卖交易所子市场上市的国债，也可以通过委托买卖银行间子市场的国债。这个子市场还构成货币政策信号的次级传递层。 国债两个子市场之间既独立运作，又互相沟通。银行间的国债子市场是中央银行与政府认定的主要交易商进行的公开市场操作的场所。国债交易商还承担做市商的责任，维持国债的连续交易。交易所的子市场主要为其他投资者提供交易服务。证券公司、信托公司、保险公司以及一般投资者通过在两个市场之间的套利行为可以消除子市场之间的价格差异，从而把两个子市场融为一体。 统一国债市场的步骤 国债市场的统一可分为发行市场的统一和流通市场的统一。具体为： （一）发行市场的统一 （1）国债分别在两个子市场同时发行。1999年8月20日99（五期）记帐式国债的发行采取了同时面向银行间债券市场和交易所债券市场投资者发行的方式，取得了巨大的成功和市场反应。本次国债发行是首次同时面向银行间债券市场和交易所债券市场发行，是管理层从国债发行开始探索发行市场的一体化进程。体现了国债市场未来一段较长时间内的发展方向。 （2）允许有资格的券商或信托公司（信誉高、经营规范、政府准许的机构）进入银行间债市参与发行，国债发行面向全体投资者。无论是国债的承销还是国债期货、期权和衍生工具的设计与定价，都离不开成熟的承销商和经纪人（Dealer/Broker）。承销商是金融产品创新的先行者，对金融市场的深化与发展有着重要的作用。做空机制和套利机制的建立有赖于承销商。目前我国国债的主要承销商是四大国有银行，其产品创新能力有待提高，而这又需要一定的制度创新的支持。应当允许有资格的券商或信托公司（信誉高、经营规范、政府准许的机构）进入银行间债市参与发行，国债发行面向全体- 190 -
6． 中国利率期限结构的缺陷和改革 投资者。 （3）国债发行系列化和例行化。中国目前的国债系列尚不够成形，各系列之间经常断档，没有完整的、合理的利率期限结构。现有国债多为中期国债，长期固定利率国债和短期国债比例过低甚至缺乏。中国应该充分考虑到各类投资者对国债品种和期限的偏好，以及国债市场中长期发展的需要。我国应该实行长、中、短并存，以中短期为主的国债期限结构。各种期限的国债应安排在每年的相近日期发行，从而逐步形成一条利率期限结构，为在交114易场所内开发国债衍生产品打下基础。在这方面可以借鉴美国的经验。 （二）流通市场的统一 （1）促进银行间市场与交易所市场的统一。从国债流通市场发展来看，尽管1988年以来中国国债市场建设取得了很大进展，但是与1998年以来大规模的国债发行相比，已不能完全适应。目前银行间债券市场与同业拆借市场紧密相联，却与交易所债券市场相互分离。今后我国应在统一国债登记托管系统、实行即时支付结算和货银两讫交易基础上，把银行间债券市场发展为场外批发市场，建立一级交易商、做市商和经纪人制度；把交易所市债券场发展为场内零售市场，同时允许部分金融机构在两个市场之间进行套利活动，最终建立全国统一的国债流通市场。此外，还应当允许国债在两个子市场实现单向转移（如交易所国债向银行间子市场转托管）以及在两个子市场之间双向自由转移。 （2）加快做市商队伍建设。2000年初《全国银行间债券市场债券交易管理办法》颁布后，中国人民银行鼓励金融机构进行债券双边报价的尝试；2001年3月下发了《中国人民银行关于规范和支持银行间债券市场双边报价业务有关问题的通知》，对申请成为双边报价商的资格条件、双边报价商的业务规 114美国国债系列比较成形，具有四大系列：T-bills（4周、13周和26周），T-notes（2-10年期），T-bonds（10-30年期）和TIPS(通胀保护的国债)。T-bills不附息，按一定的贴现率发行。T-notes 发行的品种有2年期，5年期和10年期，半年付息，不可赎回。T-bonds发行品种只有30年期，不可赎回。美国国债的发行频率也比较稳定。T-bills为每周一次，2年期和5年期T-notes为每月一次，10年期T-notes和30年期T-bonds为每季度一次。 - 191 -
中国利率期限结构及应用研究 范以及人民银行给予双边报价商的支持措施做出了具体规定；同年7月，批准中国工商银行、中国农业银行、中国银行、中国建设银行、光大银行、烟台住房储蓄银行、北京市商业银行、南京市商业银行、武汉市商业银行共9家商业银行成为银行债券市场双边报价商，享受规定的权利，承担规定的义务，维持市场的流动性。其他市场参与者如果认为报价商的报价合适，可以即时点击成交。这样，提高了交易效率，节约了交易成本。 现在确定的双边报价商制度，其实是做市商的雏形。现在的双边报价对市场的影响力还比较弱，还需要进一步加以完善。为活跃市场，应重点培养一批市场意识强、资金实力雄厚、市场影响力大的商业银行作为市场的做市商，并对其做市行为进行规范，以提高债券交易的成功率。另外，在政策上可给“做市商”一定的扶持，以补偿其在发挥“做市商”作用时所尽的义务。 （3）不断促进交易产品的开发。首先，要大力发展和开发国债期货和衍生金融市场。债券期货、期权、互换和衍生工具具有套期保值和价格发现等功能，有助于形成基准利率。在制定规则、规范交易和完善管理的基础上，恢复国债期货市场，而利率互换和衍生金融市场待国债期货市场发展成熟再适当推出。 其次，建立国债投资基金。国债投资基金是连通个人投资者与机构投资者的桥梁。发展债券基金，一方面为个人投资债券提供良好的渠道，个人投资者通过购买债券基金，可以享受专业的投资服务，避免了个人投资的盲目性，同时积少成多，得到了规模效应。另一方面发展债券基金，间接地扩大了市场参与者的数量，增大了对债券的需求，有利于市场流动性的提高。 - 192 -
7．结论及今后研究方向 7. 结论及今后研究方向 本文对中国利率期限结构进行了一个比较全面、系统的研究，对利率期限结构的相关问题都进行了分析，在利率期限结构的理论分析、实证检验和应用研究上都进行了拓展，得出了一些有关利率期限结构理论的富有启发意义的结论。这些结论包括： （一）利用现实数据对利率期限结构动态模型的研究实际上隐含着对风险价格形式的假设。这种假设是为了确保在风险中性世界中的利率期限结构动态模型的形式和现实世界中保持一致。虽然二者在形式上能够保持一致，但是在估计的参数上存在区别，在现实世界中所估计的参数是对风险中性世界中利率期限结构动态模型的参数和风险价格的联合估计。这种联合估计在对衍生产品进行定价时，产生的误差可以忽略不计；但是在进行资产组合的套期保值管理时必须引起重视。 （二）利用样条估计法可以比较有效地估计出中国国债市场的利率期限结构。中国目前的利率期限结构基本上是一条稍微向上倾斜的曲线，长期利率高于短期利率。从利率的变化来看，中国的利率变动存在均值回归现象。 （三）中国存在比较明显的流动性溢酬和违约风险溢酬，一般随着期限的延长而逐渐上升。投资者对流动性溢酬的敏感性要超过违约风险溢酬，因为不同期限流动性溢酬之间的差异在1年内就已经十分显著；而违约风险溢酬则需要超过1年的时间。这也反应了中国的具体现实。 （四）中国的市场利率变动存在均值回归现象。通过对Vasicek模型，Vasicek-GARCH(1,1)模型，CIR 模型，以及CIR-GARCH(1,1)模型的检验，我们发现Vasicek类模型（包括Vasicek模型，Vasicek-GARCH(1,1)模型）要优于CIR类模型（CIR 模型，以及CIR-GARCH(1,1)模型），而在Vasicek模型中加入GARCH(1,1)效应（Vasicek-GARCH(1,1)模型）则可以大大提高Vasicek模型似然值。通过似然比检验，发现二者之间差异是显著的。但是由于中国- 193 -
中国利率期限结构及应用研究 市场利率的变动无法拒绝单位根过程，所以在估计的均值回归参数上存在偏误，但是对长期均值的估计是稳定的。 （五）利用一个可变波动率的单纯跳跃模型可以对中国的政府利率变动进行分析。通过矩估计对模型的参数进行了估计并进行了可靠性检验。 （六）市场利率变动和央行行为之间存在明显的相关关系。市场利率能够在一定程度上实现反应央行的行为，并受到央行行为的影响。影响程度因政策的性质而异。调整利率的影响程度要超过银行调整存款准备金比率。 （七）利用主成分分析，中国利率期限结构可以分解成水平因素、倾斜因素和曲度因素。其中水平因素是最重要的因素。水平因素和倾斜因素联合起来，可以解释绝大部分的利率变动，因此在中国，久期策略可以获得比较好的效果。但是由于我国无法进行卖空，这种久期策略受到很大的限制。而且，主成分分析的结果会受到时间窗口的严重影响，不同的时间窗口会导致不同的主成分分析结果，因此在实际的组合管理时要选择适当的时间窗口。 （八）中国可转债的价格存在比较明显的低估现象，这种低估无法其他因素所解释，而只能归结于市场的无效。 （九）中国银行的基本资产负债中包含着期权，其成本由银行承担，因此在计算银行真实的利差时，必须扣除掉银行所承担的这部分成本。通过无套利分析方法和数值模拟的方法，我们对其隐含期权进行了定价，发现对定期存款中隐含期权的定价，两种方法的差异巨大；而对定期贷款中隐含期权的定价，则差异不大。这反应了我国利率非市场化条件下政府行为和市场行为的差异，以及我国商业银行市场化进程的不断推进。 （十）中国的交易所国债市场和银行间国债市场的利率期限结构存在很大的差异，不利于我国基准利率的形成以及利率市场化进程的推进，必须进行统一。 当然，由于本人的研究能力以及知识有限，在研究的过程中，对许多问题都还未进行更为细致深入的研究，需要在今后进一步完善。这些缺陷包括： （一）在对利率期限结构的静态估计中，所选取的样条函数相对比较简单，虽然得出的结果已经令人满意，但是通过对其他样条函数的选择进行函- 194 -
7．结论及今后研究方向 数的可靠性检验（robustness test），是保证样条函数合理性的一个必要措施。 （二）对中国市场利率的动态模型研究中，只选取了最为简单的两种模型。虽然也引入了GARCH效应，但还存在其他的许多的利率期限结构动态模型，需要进行进一步的验证。 （三）在对政府利率行为的动态模型研究中，虽然考虑了条件信息，即波动率和利率水平相关，但是对跳跃均值的条件信息没有进行考虑，而只是简单的估计它的无条件期望值为0，没有考虑其条件期望值。 （四）对央行行为和市场利率之间的关系，没有通过一个准确的模型进行验证。国外的研究一般都是通过一个均值回归——跳跃模型对这种关系进行验证，由于数据的限制，我国还无法进行这个研究。 （五）对可转债的定价分析建立在投资者和发行公司最优化决策的基础上，这是一个合理的假设。但是这种最优化只是考虑和可转债有关的最优化，没有放在一个组合的框架内进行考虑，即没有考虑投资者和发行公司虽然在可转债的决策上对于可转债不是最优，但是对其整个投资组合或者公司决策是最优的情况。这种情况在投资者购买的可转债比率相当大，从而可转债转股具有额外的控制权益时表现得最为明显。这样就会改变投资者和发行公司的决策行为，并进而影响可转债的价值。 （六）在可转债定价中，对标的资产的波动率的估计过于简单，只是按照通行做法，将发行前的标的资产波动率下调5%。实际上，由于不同发行公司发行可转债数量的不同以及公司的性质存在差异，可转债发行对标的资产波动率的影响应该存在差异，必须进行具体深入地研究。这是另外一个独立的研究课题。 （七）对银行间市场和交易所市场之间的差异只是从利率期限结构上进行分析，没有进行全面的论述，也没有对利率市场化进程进行太多的论述。如何从利率期限结构的角度来进一步具体地分析和研究我国的利率市场化进程，又是另外一个独立的研究课题。研究内容包括国内外利率期限结构形状的差异、基准利率如何形成、基准利率期限结构和其他利率之间的关系、基准利率形成的相关制度建设、央行如何影响基准利率等。- 195 -
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中国利率期限结构及应用研究 附录1 Vasicek模型的推导 利率的变化过程遵从： dr(t)=a(b−r(t))dt+σdz，a,b,σ都是常数。 计算过程： atatatatd(er(t))=edr(t)+r(t)de=e(abdt+σdz)，所以 ttatauauer(t)=r(0)+abedu+σedz(u) ≥ ≥00tt−atauaur(t)=e(r(0)+abedu+σedz(u))， ≥ ≥00所以我们可以得出： t−atau−atat−at−atE(r(t))=e(r(0)+abedu)=e(r(0)+be−b)=r(0)e+b(1−e) ≥0−2att1−e2−2at22au2σ(r(t))=eσedu=σ。 ≥02aTTtTt−atau−ataur(t)dt=e(r(0)+abedu)dt+eσedz(u)dt ≥ ≥≥ ≥ ≥00000tTT−atau−at−ate(r(0)+abedu)dt=r(0)edt+bT−bedt ≥ ≥0−aTe−1=−(r(0)−b)*+bT， aTtTTTT−atau−atauau−at eσedz(u)dt=eσedtdz(u)=σedtdz(u) ≥ ≥≥ ≥ ≥ ≥000u0uau−aTTe−1=σ−dz(u)， ≥0aTTTB(0,T)=Eexp(−r(t)dt)=exp(E(−r(t)dt)+1/2var(r(t)dt) ≥ ≥ ≥000−aTTe−1E(−r(t)dt)=(−(r(0)−b)*−bT) ≥0a2(au−aT)au−aT2TTTe−2e+1σ22au−2aTau−aTvarr(t)dt=σdu=(edu−2edu+T) ≥ 22≥ ≥ ≥000aa- 206 -
附录1 2−2aT−aT2σ1−e1−eσ−2aT−aT=(−2+T)=(1−e−4+4e+2aT) 23a2aa2a2−aTσ1−e=(−+T) 22aa−aT−aT21−e1−eσ−2aT−aTB(0,T)=exp(−r(0)*+b(+T)+(−3−e+4e+2aT))= 3aa4a22σσ2exp(−r(0)*C(0,T)+(C(0,T)+T)(b−)−C(0,T))=D(0,T)exp(−C(0,T)r(0))22a4a−aT1−eC(0,T)=, a2σ222D(0,T)=exp(C(0,T)+T)(b−σ/2a)−C(0,T))。 4a这个等式可以扩展到任何时刻，即 B(t,T)=D(t,T)exp(−C(t,T)r(t))， −a(T−t)1−eC(t,T)=， a2σ222D(t,T)=exp(C(t,T)+(T−t)(b−σ/2a)−C(t,T))。 4a - 207 -
中国利率期限结构及应用研究 附录2 有关Matlab程序 一、中国利率期限结构的静态估计 %estimation of term structure % prepared by Hai Lin %--------------------------------------------------------------------------------- %----------------------------------------------------------------------------------- %bond paramaters: settle=37890; bonddata={896 37926 37926 1 696 38882 38152 1 9905 39314 38219 1 9704 39330 38235 1 10214 39379 37918 1 10103 39552 38091 1 10115 3 39800 37973 1 10210 40041 38215 1 9908 40079 38253 1 10215 40153 37961 1 10301 40228 38036 1 10307 40410 38219 1 10110 40811 38255 1 10112 40846 37924 1 10203 41017 38095 1 10308 41534 38247 1 10213 42998 38066 2 10107 44408 38017 2 10303 45033 37911 2 }; n=19; maturity = ([bonddata{1:n,4}]-settle)/365; couponrate=[bonddata{:,3}]'; nextpayment=([bonddata{:,5}]-settle)/365; paymenttime=[bonddata{:,6}]';; for i=1:n if paymenttime(i)==1 coupon(i,1)=(1-nextpayment(i))*couponrate(i); else coupon(i,1)=(-nextpayment(i))*couponrate(i); end; end; bondprice=[bonddata{:,2}]'+coupon; - 208 -
附录2 %------------------------------------------------------------------------- %------------------------------------------------------------------------- % division of the time horizon k=4; %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- % computation of the spline function; b=zeros(n,60); for i=1:n if paymenttime(i)==1 b(i,1)=nextpayment(i); j=1; while abs(b(i,j)-maturity(i))> b(i,j+1)=b(i,j)+1; j=j+1; end; else b(i,1)=nextpayment(i); j=1; while abs(b(i,j)-maturity(i))> b(i,j+1)=b(i,j)+; j=j+1; end; end; end; d(1)=min(b(1:n,1)); d(k)=maturity(n); for i=2:k-1 s=floor((i-1)*n/(k-1)); theta=(i-1)*n/(k-1)-s; d(i)=maturity(s)+theta*(maturity(s+1)-maturity(s)); end; for i=1:n for j=1:60 if b(i,j)<=d(2) f1(i,j)=b(i,j)-(1/(2*d(2)))*b(i,j)*b(i,j); else f1(i,j)=*d(2); end; if b(i,j)<=d(1) f2(i,j)=0; - 209 -
中国利率期限结构及应用研究 else if b(i,j)<=d(2) f2(i,j)=((b(i,j)-d(1))^2)/(2*(d(2)-d(1))); else if b(i,j)<=d(3) f2(i,j)=*(d(2)-d(1))+(b(i,j)-d(2))-((b(i,j)-d(2))^2)/(2*(d(3)-d(2))); else if b(i,j)<=d(4) f2(i,j)=*(d(3)-d(1)); end; end; end; end; if b(i,j)<=d(2) f3(i,j)=0; else if b(i,j)<=d(3) f3(i,j)=((b(i,j)-d(2))^2)/(2*(d(3)-d(2))); else f3(i,j)=*(d(3)-d(2))+(b(i,j)-d(3))-((b(i,j)-d(3))^2)/(2*(d(4)-d(3))); end; end; if b(i,j)<=d(3) f4(i,j)=0; else f4(i,j)=(b(i,j)-d(3))^2/(2*(d(4)-d(3))); end; end; end for i=1:n if maturity(i)<=d(2) f1m(i,1)=maturity(i)-(1/(2*d(2)))*maturity(i)*maturity(i); else f1m(i,1)=*d(2); end; if maturity(i)<=d(1) f2m(i,1)=0; else if maturity(i)<=d(2) f2m(i,1)=((maturity(i)-d(1))^2)/(2*(d(2)-d(1))); else if maturity(i)<=d(3) - 210 -
附录2 f2m(i,1)=*(d(2)-d(1))+(maturity(i)-d(2))-((maturity(i)-d(2))^2)/(2*(d(3)-d(2))); else if maturity(i)<=d(4) f2m(i,1)=*(d(3)-d(1)); end; end; end; end; if maturity(i)<=d(2) f3m(i,1)=0; else if maturity(i)<=d(3) f3m(i,1)=((maturity(i)-d(2))^2)/(2*(d(3)-d(2))); else f3m(i,1)=*(d(3)-d(2))+(maturity(i)-d(3))-((maturity(i)-d(3))^2)/(2*(d(4)-d(3))); end; end; if maturity(i)<=d(3) f4m(i,1)=0; else f4m(i,1)=(maturity(i)-d(3))^2/(2*(d(4)-d(3))); end; end; %------------------------------------------------------------------------------------- %------------------------------------------------------------------------------------- % computation of the regression varaibles; for i=1:n if paymenttime(i)==1 c(i,1)=couponrate(i); else c(i,1)=couponrate(i)/2; end; end a1=100*f1m+c.*(sum(f1'))'; a2=100*f2m+c.*(sum(f2'))'; a3=100*f3m+c.*(sum(f3'))'; a4=100*f4m+c.*(sum(f4'))'; for i=1:n j=0; while j<60 if b(i,j+1)==0 - 211 -
中国利率期限结构及应用研究 break end; j=j+1; end; t(i)=j; end y=bondprice-100-c.*t'; s=[a1 a2 a3 a4]; [z,bint,r,rint,stats]=regress(y,s) expectedbondprice=100+c.*t'+s*z dif=[bondprice expectedbondprice] %----------------------------------------------------------------------------------- %------------------------------------------------------------------------------------ % estimation of the term structure e=[1/48,1/12,,,1,2,3,4,5,7,10,15,maturity(n)]; for i=1:13 if e(i)<=d(2) e1m(i)=e(i)-(1/(2*d(2)))*e(i)*e(i); else e1m(i)=*d(2); end; if e(i)<=d(1) e2m(i)=0; end; if e(i)>d(1),e(i)<=d(2) e2m(i)=((e(i)-d(1))^2)/(2*(d(2)-d(1))); end; if e(i)>d(2) e2m(i)=*(d(2)-d(1))+(e(i)-d(2))-((e(i)-d(2))^2)/(2*(d(3)-d(2))); end; if e(i)>d(3) e2m(i)=*(d(3)-d(1)); end; if e(i)<=d(2) e3m(i)=0; else if e(i)<=d(3) e3m(i)=((e(i)-d(2))^2)/(2*(d(3)-d(2))); else e3m(i)=*(d(3)-d(2))+(e(i)-d(3))-((e(i)-d(3))^2)/(2*(d(4)-d(3))); end; - 212 -
附录2 end; if e(i)<=d(3) e4m(i)=0; else e4m(i)=(e(i)-d(3))^2/(2*(d(4)-d(3))); end; end; em=[e1m' e2m' e3m' e4m']; discount=1+em*z interest=(-log(discount))./e' maturity(n) for i=2:12 forward(i-1)=-(log(discount(i))-log(discount(1)))/(e(i)-e(1)); end; forward' 二、中国可转换债券定价：深万科 % pricing of CB:wanke % prepared By Hai Lin % Department of Finance, Xiamen University, China % email address: xmulh2@ %--------------------------------------------- %----------------------------------------------- % imput of data; D=5; TD=5; delt=1/50; T=ceil(D/delt)+1; M=10000; e=; S0=; vol=; r= ;%无风险利率； cs= ;% 风险溢酬； X=; %执行价格； p1=102; p2=102; c1=; c2=; c3=; c4=; c5=;%票面利率。 interest=[c1 c2 c3 c4 c5]; c=zeros(T,1); Fv=100; - 213 -
中国利率期限结构及应用研究 d=ceil(e/delt); % computation of straight bond equivalent; K=251; c(K)=100*(1+c5); c(K-50)=c(K)/exp(r+cs)+c4*Fv; c(K-100)=c(K-50)/exp(r+cs)+c3*Fv; c(K-150)=c(K-100)/exp(r+cs)+c2*Fv; c(K-200)=c(K-150)/exp(r+cs)+c1*Fv;%付息日的债券价值，每年分为50次。。 i=250; while i>201; c(i)=c(i+1)/exp((r+cs)/50); i=i-1; end; i=200; while i>151; c(i)=c(i+1)/exp((r+cs)/50); i=i-1; end; i=150; while i>101 c(i)=c(i+1)/exp((r+cs)/50); i=i-1; end; i=100; while i>51; c(i)=c(i+1)/exp((r+cs)/50); i=i-1; end; i=50; while i>0 c(i)=c(i+1)/exp((r+cs)/50); i=i-1; end; %非付息日的债券价值 % simulation of stock price and repurchase etc; s(1)=S0; j=1 while j<=M for i=1:T x(i)=X; end; for i=2:T s(i)=s(i-1)*exp((r-vol*vol/2)*delt+normrnd(0,vol*sqrt(delt))); end; %股票价格的模拟。 k=d+1; - 214 -
附录2 w=zeros(5,1); p1=zeros(5,1); a1=1; while k<=T-6 l1=k+5; n1=0; for m2=k:l1 if s(m2)<*x(m2) n1=n1+1;%计算连续低于股价70％的次数。 end; end; if n1==6 w(a1)=l1; f0=s(w(a1)); X1=x(w(a1)); T1(a1)=(T-w(a1))*delt; m1=1; F=s(w(a1))*Fv/X1; d1=(log(F/c(K))+(r+vol^2/2)*T1(a1))/(vol*sqrt(T1(a1))); d2=d1-vol*sqrt(T1(a1)); N=floor(T1(a1)); int1=0; if N==0 int1=0; else for g=1:N int1= int1+interest(TD-g)*Fv*exp(-r*(T1(a1)-g)); end; end; pc=F*normcdf(d1,0,1)-c(K)*exp(-r*T1(a1))*normcdf(d2)+c(K)*exp(-r*T1(a1))+int1; p1(a1)=max(pc,p2); a1=a1+1; k=ceil((D-floor(D-(k-1)*delt))/delt)+1; k=k+1; else k=k+1;%不满足则跳至下一个。 end; end; bk=0; for i=1:5 if p1(i)==p2 bk=w(i); break end; - 215 -
中国利率期限结构及应用研究 end; k=d+1; w1=T; while k<=T-10 l2=k+5; n1=0; for m2=k:l2 if s(m2)>*x(m2) n1=n1+1;%计算连续超过股价130％的次数。 end; end; if n1==6 w1=l2; k=T+1; else k=k+1;%不满足则跳至下一个。 end; end; if bk==0 if w1==T p=max(s(w1)*Fv/x(w1),c(K)); N1=floor(); else p=s(w1)*Fv/x(w1); N1=floor((w1-1)*delt); end; else if bk<w1 p=p2; w1=bk; N1=floor((w1-1)*delt); else p=s(w1)*Fv/x(w1); N1=floor((w1-1)*delt); end; end; int2=0; if N1==0 int2=0; else for i=1:N1 int2=int2+Fv*interest(TD-i)*exp(-r*(D-i)); end; end; v(j)=p/exp(r*w1*delt)+int2; - 216 -
附录2 t(j)=w1; j=j+1 end; mean(v) 三、银行存款中隐含期权的定价 %pricing of options in saving account %Prepared by Hai Lin, Department of Finance, Xiamen University,361005, China %email address:xmulh2@ % imput of basic parameters; r=; per=; T=60; N=13; lamda=; vol=; c=zeros(13,1); % the simulation process c(1)=r; m=100000; p=zeros(m,1); for j=1:m; payoff=r*T; for i=2:N c(i)=c(i-1)+poissrnd(lamda)*normrnd(0,vol*c(i-1)); end; for i=2:N spayoff=c(i)*per*(i-1)+c(i)*(T+1-i); npayoff=max(spayoff,payoff); payoff=npayoff; end; p(j)=(npayoff-r*T)* end; % the estimation of price mean(p) 四、GPH检验 %GPH Test % BY Hai Lin, Department of Finance, Xiamen University y=[];% imput of data T=502; %number of data u=; - 217 -
中国利率期限结构及应用研究 N=floor(T^u); for i=0:T-1 r(i+1)=0; for j=i+1:T r(i+1)=r(i+1)+(y(j-i)-mean(y))*(y(j)-mean(y)); end; auto(i+1)=r(i+1)/T; %computation of autocorrelations end; for i=1:N L(i)=auto(1); for j=2:T L(i)=L(i)+2*auto(j)*cos(2*pi*i*(j-1)/T); %Fourier Transformation end end K=L/(2*pi); z=log(K)'; for i=1:N z1(i)=log(4*sin(pi*i/T)*sin(pi*i/T)); end; for i=1:N c(i)=1; end; z; z3=z1'; for i=1:N c(i)=1; end; c1=c'; z2=[c1 z3]; [m,bint,r,rint,stats]=regress(z,z2,) %regression - 218 -
附录3 115附录3 我国不同时点的利率期限结构及误差比较 一、我国不同时点的国债市场利率期限结构 %%%%%%%%%%周度年年年年一季一三五十一期限 二、我国不同时点的公司债券利率期限结构 %%%%%%%周月度年年年年年年一一季半一两三四五一期限 115 这些时点均是随机抽取的。 - 219 - 利率（%）利率（%）
中国利率期限结构及应用研究 三、单独估计和联合估计不同时点的误差比较 估计误差 单独估计(k=4) 联合估计2(k=4,k’=4) -05-31 注：由于联合估计方法1的估计误差明显大于单独估计和联合估计方法2，所以不对此进行比较。 2ˆˆ 估计误差＝(P−P)，P为真实价格，P为估计价格。 ƒ- 220 -
附录3 后 记 论文搁笔之际，心中万千感慨。在论文的写作过程中，有过绞尽脑汁却百思不得其解的那种困惑和郁闷，也有过灵感突现豁然开朗的狂喜；有过运算完成发现错误需要重来的那种沮丧，也有过敲下最后一个“运行”按键时的如释重负；有过文如泉涌、奋笔疾书至凌晨五点的壮举，也有过思维呆滞、下笔艰难只好在大白天蒙头大睡的偷懒……。如今，这一切都将暂时划上一个句号。而写论文的日日夜夜，将是我人生中最难忘的一段回忆，将是我最为宝贵的一段人生经验。 论文的完成需要感谢太多的人。首先是我的导师张亦春教授和郑振龙教授。“师者，传道授业解惑也”。张老师为学的博大、治学的严谨、为人的谦和以及工作的忘我精神皆为人之楷模。张老师三年来对我关切备注，不仅教我为学，更教我如何做人。郑老师则从我读硕士时就一直担任我的导师，不仅引我走进了金融工程学的研究殿堂，还给我提供了各种学习和科研的机会。两位老师渊博的知识、刻苦的钻研精神、对现实和学术问题的敏锐直觉和深邃洞察力，都使我收益非浅，也是我努力追求的境界。两位老师和师母在学习、科研和生活上的无微不至的关怀，都深深地令我感动。感谢两位老师，他们对我的惠赐远非言语所能表达。 此外，在几年的求学生涯中，我还受到了厦门大学金融系多位老师的亲切指导和帮助。他们是林宝清教授、邱崇明教授、朱孟楠教授、魏巍贤教授、陈国进教授、郑鸣副教授、黄华副教授、陈善昂副教授等。论文的中期成果还相应得到香港科技大学的. Kwok教授、北京大学光华管理学院的史树中教授、徐信忠教授以及中山大学的李仲飞教授等富有建设性的评论。“礼者，所以正身也；师者，所以正礼也。无礼，何以正身？无师，吾安知礼之为是也？”。诸多老师的教诲，将使我受益终身，也将永远铭记在心。 还要感谢在论文写作过程中参与讨论、不断提出意见、给我很多帮助和支持的师兄师弟、师姐师妹们。他们是陈蓉、康朝峰、甘少浩、陈惠玲、邱文华、陈淼鑫、王保合、郑泽星、马喜德、俞琳、唐革榕、黄兴孪、冯玲、张睿等。北京大学深圳研究院的陈灯塔博士后、宝盈基金管理公司的蒋峰博士、清华大学经济管理学院的姚正春博士研究生、厦门大学管理学院的陈炜博士研究生、中国人民银行总行研究生部的黄晓捷硕士以及厦门大学金融系的贺涛硕士研究生等，都在资料收集过程中给我无私的帮助。还要感谢我的球友和牌友，他们帮助我在论文艰辛的写作过程中身心得到有效的放松。 最后的感谢总是给与家庭。感谢我的父母，他们辛苦地培养了我，负担了我20多年的读书费用。他们对我充满期待的眼神，将是我前进的永恒动力。还要感谢我的妻子，她的善良和乐观使我放弃过多的思想包袱，专致于论文写作。 是为后记。 林海 2003年11月于 厦大 - 221 -
