第7节 马尔可夫预测方法
几个基本概念
马尔可夫预测法
对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率。
马尔可夫（Markov）预测方法，就是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法是对地理事件进行预测的基本方法，它是地理预测中常用的重要方法之一。
状态
指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。
状态转移过程
事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，称为状态转移。
马尔可夫过程
在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
一、几个基本概念
状态转移概率
在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其他状态的可能性，称为状态转移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态转移概率 就是条件概率 ,即
（）
状态转移概率矩阵
假定某一个事件的发展过程有n个可能的状态，即E1，E2，…，En。记为从状态Ei转变为状态Ej的状态转移概率 ，则矩阵
称为状态转移概率矩阵。
概率矩阵
一般地，将满足条件（）的任何矩阵都称为随机矩阵，或概率矩阵。
（）
（）
不难证明，如果P为概率矩阵，则对于任何整数m>0，矩阵都是概率矩阵。
标准概率矩阵、平衡向量
如果P为概率矩阵，而且存在整数m>0，使得概率矩阵 中诸元素皆非零，则称P为标准概率矩阵。可以证明，如果P为标准概率矩阵，则存在非零向量
，而且 满足
，
使得
（）
这样的向量α称为平衡向量，或终极向量。这就是说，标准概率矩阵一定存在平衡向量。
状态转移概率矩阵的计算
计算状态转移概率矩阵P，就是求从每个状态转移到其他任何一个状态的状态转移概率 。
为了求出每一个，一般采用频率近似概率的思想进行计算。
例题1:考虑某地区农业收成变化的3个状态，即“丰收”、“平收”和“歉收”。记E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态，E3为“歉收”状态。表给出了该地区1960—1999年期间农业收成的状态变化情况。试计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。
表 某地区农业收成变化的状态转移情况
10
E2
1979
20
E1
1989
30
E2
1999
40
E2
9
E1
1978
19
E3
1988
29
E1
1998
39
E1
8
E2
1977
18
E3
1987
28
E2
1997
38
E3
7
E3
1976
17
E1
1986
27
E2
1996
37
E2
6
E1
1975
16
E2
1985
26
E3
1995
36
E2
5
E2
1974
15
E1
1984
25
E1
1994
35
E1
4
E3
1973
14
E3
1983
24
E1
1993
34
E1
3
E2
1972
13
E2
1982
23
E2
1992
33
E2
2
E1
1971
12
E1
1981
22
E3
1991
32
E3
1
E1
1970
11
E3
1980
21
E3
1990
31
E1
序号
状态
年份
序号
状态
年份
序号
状态
年份
序号
状态
1969
1968
1967
1966
1965
1964
1963
1962
1961
1960
年份
(1) 计算： 从表中可以知道，在15个从E1出发（转移出去）的状态中:
有3个是从E1转移到E1的（即1→2，24→25，34→35）；
有7个是从E1转移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30，35→36，39→40）；
有5个是从E1转移到E3的（即6→7，17→18，20→21，25→26，31→32） 。
所以
同理可得
(2)结论：该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为
（）
二、马尔可夫预测方法
状态概率
表示事件在初始（k＝0）状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，在第k 个时刻（时期）处于状态 的概率。 且
根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式，有
（）
（）
记行向量 ，则由（）式可以得到逐次计算状态概率的递推公式
（）
式中: 为初始状态概率向量。
第k个时刻（时期）的状态概率预测
如果某一事件在第0个时刻（或时期）的初始状态已知，即 已知，则利用递推公式()，就可以求得它经过k次状态转移后，在第k个时刻（时期）处于各种可能的状态的概率，即 ，从而就得到该事件在第k个时刻（时期）的状态概率预测。
例题2:将例题1中1999年的农业收成状态记为 =[0,1,0] ，将状态转移概率矩阵（）式代入递推公式（）式，可求得2000—2010年可能出现的各种状态的概率（表）。
表 某地区1990—2000年农业收成
状态概率预测值
E3
E2
E1
E3
E2
E1
E3
E2
E1
E3
E2
E1
状态概率
2003
2002
2001
2000
年份
E3
E2
E1
E3
E2
E1
E3
E2
E1
E3
E2
E1
状态概率
2007
2006
2005
2004
年份
E3
E2
E1
E3
E2
E1
E3
E2
E1
状态概率
2010
2009
2008
年份
终极状态概率预测
① 定义 ：经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率 ，即
② 终极状态概率应满足的条件
③ 例题：在例1中，设终极状态的状态概率为
则
即
求解该方程组得： ＝ 3, ＝ 5， ＝ 9。
这说明，该地区农业收成的变化过程，在无穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状态出现的概率都将大于“歉收”状态出现的概率。
在地理事件的预测中，被预测对象所经历的过程中各个阶段（或时点）的状态和状态之间的转移概率是最为关键的。
马尔可夫预测的基本方法就是利用状态之间的转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势。
马尔可夫预测方法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。
换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。这一点也是运用马尔可夫预测方法预测地理事件的一个最为基本的条件。
