第三章 投资组合理论
概述
现代投资学最根本的特征是在其理论和方法中对投资风险的关注。他们讨论的一系列问题的立足点在于投资者的投资决策基于对两个目标——预期收益最大化和不确定性（风险）最小化的全盘考虑。现代投资组合理论为这种全盘考虑提供了一种行之有效的途径。
任何投资者都希望投资获得最大的回报，但是较大的回报伴随着较大的风险。为了分散风险或减少风险，投资者投资证券组合（portfolio），目的是在适当的风险水平下通过多样化获得最大的预期回报，或者获得一定的预期回报时风险最小。
在1952年马柯维茨（Harry M. Markowitz）发表了一篇里程碑性的论文。被公认为“现代组合理论”的开端。马柯维茨证券组合理论给予证券组合的预期回报和风险以定量分析。
资产组合的预期回报和风险
概念
资产组合：使用不同的证券和其他资产构成的资产，是一个各种证券和资产的聚集。
投资者的持有期：投资者有一笔资金在现时进行投资，这笔资金要投资一段特定的时间，即所谓投资者的持有期。
回报率：投资者财富在持有期的变化率。其可表示为：
预期回报
证券组合预期回报率的计算：
假设证券组合由n个基本证券组成。可以计算从t-1期到t期的预期回报率：
()
其中，证券组合在t时期的财富为 ，是在t时期包含在证券组合中的第i个基本证券的财富（该财富通常用该证券在t时刻的价格来衡量）。因此，为t-1时期包含在组合中的证券的综合价格；为t时期这些证券的综合价格，以及从t-1时期到t时期之间收到的现金（或等价的现金）的综合值。
（）
其中，表示财富的权重，E表示期望值，表示资产组合的回报率，表示证券i的回报率。
并且 。
因此，有两种方法计算资产组合的预期回报。根据()式，投资者在t-1期投资总额为，并且在t时期，预期值为，即可计算从t-1期到t期的资产组合的预期回报。根据()式，时期基本证券的预期回报和在证券组合的市值中占的百分比（权重）的乘积之和。
计算示例
[例]由甲、乙和丙三种基本证券组成的证券组合，计算在t期的预期回报。已知的证券和证券组合的价值如下：
证券名称
证券组合中的份额
t-1时期每股市价（元）
总投资额（元）
权重
（%）
甲
乙
丙
100
200
100
40
35
62
4000
7000
6200
23．25
40．70
36．05
t-1期证券组合的市值=17200元，权重之和=1。
假设投资者有一年的持有期，他估计在这一段期限内甲、乙和丙三种证券的预期回报率分别为%、%和%。也就是说，投资者估计这三种证券的期末价值分别为元[因为(-40)/40=%]，元和元。
法1：使用t期预期值计算预期回报率
证券名称
证券组合中的份额
t期每股预期值（元）
总预期值
（元）
甲
乙
丙
100
200
100
*100=4648
*200=8722
*100=7614
证券组合的预期值=20984元
证券组合的预期回报=(20984-17200)/17200=%
法2：使用证券的预期回报计算证券组合的预期回报
证券名称
权重（）
（%）
证券预期回报 （%）
对组合期望收益率的贡献（%）
甲
乙
丙
*%=
*%=
*%=
证券组合的预期回报率=%
小结
因为一个组合的预期回报率是其所含证券的预期回报率的加权平均，每一证券对组合的预期回报率的贡献依赖于它的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其他一切无关。一位仅仅希望预期收益最大的投资者将持有一种证券，这种证券是他认为预期收益率最大的证券。很少有投资者这样做，也很少有投资顾问会提供这样一个极端的建议。相反，投资者将分散化投资，即他们的组合将包含不止一种证券。这是因为分散化可以减少由标准差所测度的风险。
证券组合的标准差
投资者投资总希望获得尽可能大的预期回报，但他们同时需要考虑风险。一个有用的风险测度应该以某种方式考虑各种可能的“坏”结果的概率及“坏”结果的量值。取代测度大量不同可能结果的概率，风险测度将以某种方式估计实际结果与期望结果之间可能的偏离程度。 标准差就是这样一个测度。
概念
测度风险的标准差：回报相对于它的预期回报的离散程度。
标准差的计算
（1）如果证券组合由n个基本证券组成， 那么证券组合的方差为
（）
其中，为证券i占投资额的百分比（权重）；
是证券i和j的回报的协方差。当i=j时即为证 券i的方差，即。
协方差是两个证券的回报同时变化的测度。如果协方差是正数，证券i的回报大于预期回报，换句话说，证券i和证券j在同一方向变化。如果协方差是负数，两个证券回报必向相反方向变化，即其中一个补偿另一个。
为了能更清楚说明两个证券的相关程度，通常把协方差正规化，使用证券i和j的相关系数
（）
其中，和分别是证券i和j的方差。
相关系数总落在-1和+1之间：当时，证券i和j是完全正相关的；
当时，证券i和j是完全负相关的；
当时，证券i和j是不相关的。
下列各图展现了不同相关程度的两个证券A和B的回报率的散点图。
EMBED
图3-1两种证券的收益
（2）由两种证券构成的证券组合的方差
(）
当时，
当时，
当时，
显然，证券组合的标准差在时最大，时最小。
计算示例
[例3．2]有两种证券的预期回报和标准差分别为，；，。并且权重，。试分别计算=1，，，和-1时的证券组合的标准差。
时
时
时
时
时，
小结
可以看出，证券组合通过多样化减少了风险，即使在这两个证券完全正相关的情况下，证券组合的标准差也比基本证券中第二个证券的标准差要小。从上述情况可知，两个证券的相关程度对证券组合的标准差有很大影响。随着相关程度从完全正相关到完全负相关，证券组合的标准差减小到最小。不过在实际操作中很难找到完全负相关的证券。
总之，投资组合的标准差依赖与各基本证券的标准差、投资比例以及同其他基本证券间的协方差。所以一般地，投资者可购买的证券组合由无穷多种，他们需要从中找出最优的证券组合。因此，导出有效集理论。
证券组合分析
Markowitz有效集
可行集
概念
可行集[feasible set]：可行集也称为机会集，它代表由N种基本证券所形成的所有组合。
图示
图3-2对可行集的位置提供了描述。所有可能的组合可以位于可行集的边界上或内部（图中的G、E、S和H就是这样的组合的例子）。一般的，这个集合有一个如图所示的伞形形状。依赖于所包含的特定证券，它可能更右或更左，更高或更低，更胖或更瘦一些。除非出现反常情况，其形状看起来应该与图中所示相似。
S
H
可行集
E
G
图3-2 可行集和有效集
横轴为标准差，纵轴为预期回报。
2．有效集
（1）概念
有效集（有效边界）[efficient set（frontier）]：可行集中满足下列两个条件的证券组合叫做Markowitz有效集：（1）对每一风险水平，提供最大预期回报率；
对每一预期回报率水平提供最小的风险。
图示
将有效集定理应用于可行集可对有效集进行定位。
首先，满足的一个条件的组合集必须被确定。如图3-2，没有哪一个组合提供比组合E更小的风险，同时也没有一个组合提供比H更大的风险。于是，随着风险水平的变化，提供最大预期回报率的组合集是可行集介于E和H之间的“北部”边界上的组合集。
接下来考虑第二个条件，没有哪个组合提供比组合S更大的预期回报率，同样，没有哪个组合提供比组合G更低的预期回报率。于是随着预期回报率水平的变化，提供最小风险的组合集是可行集介于G和S之间的“西部”边界上的组合集。
为了确定有效集，两个条件必须被同时满足。我们可以看到只有位于E和S之间的“西北部”边界上的组合是如此。由此，这些组合形成有效集，从这个有效组合的集合中，投资者将发现他的最佳组合，所有其它可行组合是无效组合。
组合的边界
根据[例]，按照不同的相关系数和权重得到的证券组合（，）的不同值，我们可做出图3-3。
图中，绿线为时的证券组合；红线为时的证券组合。
证券组合边界的上限和下限分别出现在两种证券的相关系数为+1和-1的时候，这就意味着，这两种证券的任何组合的标准差不会位于连接着两种证券的直线（AB）的右边；也不会位于连接这两种证券的折线（ACB）的左边。
30% B
C
10% A
10% 15% 20%
图3-3 证券A和B构成的证券组合
组合的实际位置
从图3-3中我们还可看出，兰线为时的证券组合；绿线与兰线之间的为时的证券组合；兰线与红线之间的为时的证券组合。所以，如果相关系数小于0，组合曲线将更加向左弯曲；如果相关系数大于0，向左弯曲程度减弱。证券组合随着基本证券所这相关系数减小而凹向纵轴。因此，相关系数在-1和+1之间的有效集是凹的。
有效集的凹性
有效集不可能不是下凹形的。如果在图3-4中有效集UV之间有凹陷（即有效集是非凹的），由于投资者可能投资在证券U和V上，这时证券U和V组合的证券组合必在有效集UV的左边，比具有相同预期回报位于有效集UV上的点W更有效。
因为，如果证券U和V的相关系数为1，证券组合必在直线UV上，与W有相同预期回报的证券组合Z的标准差小于W的标准差；而U和V的相关系数实际上小于等于1。因此，证券组合的标准差可能小于或更小于W的标准差，证券组合Y的标准差比W更小。
U
Y Z W
V
图3-4 有效集的凹性
最优证券组合的选择
无差异曲线
概念
无差异曲线：表示一个投资者对风险和收益的偏好的曲线。
性质
1）一条给定的无差异曲线上的所有组合对投资者来说，其提供的满意程度是相同的。
推论：无差异曲线不能相交。
2）一个投资者将发现位于一条“更西北”的无差异曲线上的组合比“更东南”的无差异曲线上的组合更满意。
3）我们假设投资者不喜爱风险（risk averse），从这个假设可以得到无差别曲线有正的斜率并且是凸的。
（3）不同类型风险厌恶投资者的无差异曲线
EMBED I3 I2 I1 I3 I2 I1 I3
I2
I1
高度风险厌恶投资者 中等风险厌恶投资者 轻微风险厌恶投资者
图3-5 不同风险厌恶投资者的无差异曲线
最优证券组合的选择
概念
预期效用原理：效用函数U是财富W的函数，即。根据公式（）效用函数又是回报的函数。而预期效用是预期回报和标准差的函数。预期效用原理是使投资者的预期效用最大。
最优证券组合：一个投资者选择的一个有效的证券组合并且具有最大的效用。
最优证券组合的选择（optimal portfolio）
最优证券组合在有效集和具有最大可能效用的无差别曲线的切点上。由于风险厌恶的投资者的无差异曲线是正斜率且下凸形的，而且有效集一般是正斜率且下凹形的，这意味着投资者的无差异曲线与有效集的切点只有一个。
I3 I2 I1
X
图3-6 最优证券组合的选择
市场模型
1．简介
在求Markowitz有效集时需要计算证券组合的协方差矩阵。如果证券组合由n个证券组成，需要估计n(n-1)/2个协方差。许多机构投资者可能需要估计更多个证券，因此需要简化协方差的计算，W. Sharpe的市场模型可以被用来简化协方差的计算。
市场模型
（1）公式
市场模型假设一种普通股在某一给定时期内的收益率与同一时期市场指数的回报率相联系。市场模型可表示为
()
其中：为证券i在期间t的回报率；
为市场指数在期间t的回报率；
为截距项，是证券i不计市场回报水平的常数回报；
为斜率项，是证券i的回报率相对于市场指数的回报率的敏感性；
为随机误差项，是在时期t的实际回报和给定市场回报时的预期回报之间的差。
（2）分析
①随机误差项：其表示证券回报率中没有被市场模型所完全解释的部分。随机误差项可看作一个随机变量，它的平均和为零，即它的数学期望。因此，证券i的预期回报率为 （）
②贝塔值:假定市场指数和随机误差项不相关，有
，是的方差。 （）
β值大于1表示这种证券回报率的波动比市场指数的波动更大，β值小于1表示比市场的回报波动小。
除假设随机误差项的数学期望是零，市场指数和随机误差项不相关外，再增加证券和证券的误差项是不相关的。可以得到
（）
()
市场模型的图形表示
图3-7（a）中的直线提供了证券A的市场模型的图形，其对应于方程
图3-7（b）表示证券B的市场模型，其对应于方程
14%
7%
8% 3%
EMBED
5% 10% 5% 10%
(a)证券A (b)证券B
图3-7 市场模型
使用市场模型简化计算
假设，证券组合包含n个证券需要计算，则
使用市场模型：n个值
n个值
n个值
1个市场指数的预期回报率
+ 1个市场指数的方差
3n+2个估计值
而Markowitz有效集需要投入
n个预期回报率
n个方差
+ n(n-1)/2个协方差
n(n+3)/2个估计值
因此，市场模型大大简化了协方差的估计问题。
多样化
1．单个证券的风险
根据市场模型，任何证券i的总风险都是用它的方差来测度，记为，根据（）式，它由两部分组成：（1）市场风险（或系统风险），以及（2）个别风险（或非系统风险）。
2．组合的风险
我们已知一个证券组合的回报率总是基本证券的回报率的加权平均， （公式（）），进一步我们可导出组合的市场模型：
（）
其中，，为基本证券的；
，为基本证券的的加权平均；
，为市场模型的误差项的加权平均。可得
组合的期望回报率： ()
由组合回报率的方差测度的组合的总风险： （）
其中 ()
方程()表明，任何组合的总风险可以看作是由两个部分构成，这与单个证券总风险的构成是相同的。这两个部分也称为市场风险和个别风险。
多样化
多样化程度增加可以降低证券组合的总风险。实际上是减少个别风险，而市场风险大致不变。
组合的市场风险
多样化可导致市场风险的平均化，而不管多样化的程度如何，证券组合的回报率都要受市场风险的影响。因为，一个组合的贝塔值是其基本证券的贝塔值的加权平均，一个组合越多样（即，组合中包含的证券数越多），每一个证券的权重就越小，这将不会引起组合的贝塔值显著减小或增大，除非刻意在组合中增加相对低的或高的贝塔值的证券。其只起到使组合的市场风险更平均的作用。
组合的个别风险
多样化程度越高，个别风险就越小，以致总风险最小。因为一个组合中，一些证券因为其发行公司意料之外的好消息而上涨，其他一些证券则因为公司未预料的坏消息而下跌。总的看来，预期有好消息和坏消息的公司数量近似相等，因此个别事件对组合风险的影响相互抵消，将组合的个别风险变得很小。
下图描述了多样化和个别风险与市场风险的关系。
个别风险
总风险 市场风险
图3-8 多样化和风险 n
计算示例
[例3．3]某人有一投资组合，由3种证券组成，他们的特征如下：
证券 贝塔值 随机误差项的标准差（%） 比例
A 5
B 8
C 2
如果市场指数的标准差为18%，该投资组合的总风险是多少？
使用无风险资产改进Markowitz有效集
无风险资产的定义
无风险资产是有确定的预期回报率和方差为零的资产。
每一个时期的无风险利率等于它的预期值。因此，无风险资产和任何风险资产的协方差是零，无风险资产与风险资产不相关。
允许无风险贷出
概念
无风险贷出：对无风险资产的投资常被称为“无风险贷出”。
无风险贷出对Markowitz有效集的改进
投资于一个无风险资产和一个风险资产
对于任意一个由无风险资产和风险资产所构成的组合，其相应的预期回报率和标准差都落在连接无风险资产和风险资产的直线上；其在直线上的确切位置将取决于投资于这两种资产的相对比例。如图3-9所示，E为风险资产，F为无风险资产，投资于这两种资产的组合就在直线EF上。
投资于无风险资产和风险组合
无风险资产与风险组合的投资组合于无风险资产和某个单个风险证券的组合之间可以认为没有区别。最终投资组合的预期回报率和标准差都将落在连接两个端点的直线上。如图3-10所示，PAC为一由风险资产A与C构成的风险组合，由PAC与无风险资产F构成的组合就在直线F-PAC上，他们在直线上的具体位置将由对PAC和无风险资产这两者的投资比例来决定。
C
E PAC
A
F F
图 3-9 无风险贷出和风险资产投资的组合 图3-10 无风险贷出与风险组合投资的联合
无风险贷出对有效集的影响
如前所述，随着无风险贷出的引进，可行集会有明显的改变。图3-11显示出它是如何改变有效集的，在这里，所有的风险资产和组合，都能以各种可能的方式同风险资产相结合，即无风险资产可以与有效集上的任一点进行组合，他们的连线形成新的组合。
B
T
A
图3-11 引入无风险贷出时的可行集和有效集
图中，AB为有效风险组合，为无风险资产。我们可看到有两条直线形边界T与B，这两条直线都是从无风险资产发出的，可行集就是夹在两条直线与曲线TB中间的全部区域。
底部那条直线代表无风险资产与B构成的所有投资组合。另一条从无风险资产发出的直线则代表了无风险资产与马柯维茨模型中有效集上某一特殊组合的结合。这条直线与有效集相切，切点命名为T。
尽管马柯维茨模型中其他的有效风险组合也能与无风险资产相结合，但是对于所有由风险资产构成的组合来说，没有哪个点与无风险资产相连形成的直线会落在T点与无风险资产的连线的西北方。此时，马氏模型有效集中从最小风险组合到T的那部分组合将不再有效，新的有效集将由一条直线段和一条曲线段构成（TB），这条直线段从无风险资产到T点，它代表无风险资产和T得以各种比例结合形成的一些组合。而这条曲线段所代表的组合就使马氏模型有效集中那些位于T点的东北方向的组合。
无风险贷出对组合选择的影响
图3-12显示了当投资者在除了有风险资产可供选择外，还有无风险资产时，他是如何选择一个最佳有效组合的。
I3
O I1 B
T
I3*I2* I1*
O*
图3-12 允许无风险贷出时的组合选择
如果投资者的无差异曲线为I3*I2* I1*，那么投资者的最佳投资组合O*将包括两部分投资，一部分是对无风险资产的投资，剩下的部分是对T的投资。这是由于投资者的无差异曲线在无风险资产和T点之间与有效集相切。另外还有一种情况，如果投资者更倾向于冒险，具有像I3I2I1一样的无差异曲线，那么投资者的最佳投资组合O中将不包括任何无风险贷出。这是因为投资者的无差异曲线与有效集的曲线段部分相切，而这部分曲线段位于T点的东北方向。
允许无风险借入
概念
无风险借入：投资者借入资金时，利率是已知的，而且偿还贷款也没有任何不确定性，投资者的这种行为被称为“无风险借入”。
2．借入资金并投资于风险资产（或组合）
投资者以无风险利率借入资金，并连同他自有的资金一起全部投资于某一风险资产（或组合），所形成的组合的预期回报率和标准差正好能使该组合位于连接无风险资产和风险资产（或组合）的线段的延长线上。他们的确切位置将由借入无风险资产的数量来决定。如图3-13与3-14所示。
C
E PAC
A
F F
图 3-13 无风险借入和风险资产投资的组合 图3-14 无风险借入与风险组合投资的联合
3．无风险借入的作用
随着无风险借入的引进，投资者可以使用杠杆手段。投资者可以用他的全部自有资金，再加上以无风险利率借入的资金，投资一个风险组合。
同时允许无风险借贷
无风险借入和贷出对有效集的影响
图3-15显示了当既允许无风险借入有允许无风险贷出（两者利率相等）时，可行集是如何变化的。
B
T
A
图3-15 引入无风险借入和贷出后的可行集和有效集
可行集就是夹在两条射线中间的全部区域，这两条射线都是由无风险利率处发出，一条通过组合B，一条通过组合T。如果假定投资者借入资金的数量没有限制的话，那么这两条射线可以无限的向右延伸。
通过组合T的直线代表着有效集，其正好与马氏模型有效集相切。在引入无风险借入和贷出后，除组合T外，那些曾经是马氏有效集上的组合将不再有效。
无风险借入和贷出对投资组合选择的影响
I3 I2 I1
O
T
I3*I2* I1*
O*
图3-16 允许无风险借入和贷出时的组合选择
假定投资者具有以无风险利率借入和贷出的机会，他将在这个图中，画出他的无差异曲线，找出无差异曲线与有效集的相切点，从而确定出投资者所需要的最佳投资组合。图3-16显示出两种不同情况，如果投资者的无差异曲线如I3*I2* I1*，那么投资者的最佳组合O*将由对于风险资产的投资和对T的投资构成。相反，如果投资者更偏好冒险，具有无差异曲线如I3I2 I1，那么投资者的最佳组合O将由无风险借入和对T的投资（包括借入资金和自有资金）构成。
所以，相对于偏好冒险的投资者而言，风险厌恶的投资者将更少的借入资金进行投资，或者更多的是贷出资金。
第四章 投资定价模型
资本资产定价模型
简介
资本资产定价模型（CAPM）是以Markowitz的证券组合理论为基础，说明资本资产的价格，提供使用Markowitz证券组合理论的投资者在市场中如何定价的模型。这个模型的主要特点是一种资产的预期回报率可以用这种资产的风险的相对测度β值来测量。
资本资产定价模型的假设条件
就像1976年诺贝尔经济学奖得主弗里德曼曾论述的那样：有关一个理论的“假设”的问题，并不在于这些假设是否很好的描述了“现实”。因为这些假设从不是真的，而在于它们是否是对我们的目标的一个足够好的近似。因此尽管资本资产定价模型包括了如下诸多假设，其仍是一个成功的模型，其对非常复杂的形式进行提炼从而将注意力集中于最主要的几个要素上。
这些假设包括：
1．投资者通过投资组合在某一段时期内的预期回报率和标准差来评价这个投资组合；
2．投资者永不满足，因此，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较高预期回报率的那一种；
3．投资者是厌恶风险的，因此，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较小标准差的那一种；
4．每一个资产都是无限可分的，意味着，如果投资者愿意的话，他可以购买一个股份的一部分；
5．投资者可以以一个无风险利率代处（即投资）或借入资金；
6．税收和交易成本均忽略不计；
7．所有投资者都有相同的投资期限；
8．对于所有投资者，无风险利率相同；
9．对于所有投资者，信息是免费的并且是立即可得的；
10．投资者具有相同的预期，即他们对预期回报率、标准差和证券之间的协方差具有相同的理解。
通过检查这些假设，可以看到，资本资产定价模型将情况简化为一个极端的情形：
1．每一个人拥有相同的信息，并且对证券的前景具有一致的看法，投资者以同一种方式来分析和处理信息，即，投资者有齐性预期；
2．资本市场中不存在摩擦，是一个完全市场；
3．所有投资者具有相同的时期水平。
这样，我们的注意力就由单一的投资者如何投资转移到如果每个人采取同样的投资态度，证券价格将会是怎样的。通过考察市场上所有投资者的集体行为，我们可以获得每一种证券的风险和收益之间均衡关系的特征。
资本市场线
分离定理
根据假设，我们可知，所有投资者对证券的预期回报率、方差和协方差的估计以及无风险利率的大小的看法都是完全一致的。这意味着每一个投资者将他的资金投资于风险资产和无风险借贷上，而每一个投资者选择的风险资产都是同一个资产组合，加上无风险借入和贷出只是为了达到满足投资者个人对总风险和回报率的选择偏好。我们可得到分离定理。
概念
投资决策：确定由风险资产组成的最优证券组合叫做投资决策。
金融决策：个别投资者如何将可投资资金在无风险资产和风险证券组合之间进行分配进行分配叫做金融决策。
分离理论的内容
分离理论表示风险资产组成的有效证券组合的确定与个别投资者风险偏好无关。最优证券组合的确定仅取决于各种可能的风险组合的预期回报率和标准差。其也可表述为将投资决策从金融决策中分离出来的思想。
分离理论的意义
个人投资者研究投资可分为两部分：首先决定一个最优证券组合，然后决定最想要的无风险证券和这个证券组合的组合。只有第二部分依赖效用曲线。分离理论使得投资者作决策时不必考虑个别的其他投资者对风险的看法，更确切的说，证券价格的信息可以决定应得的回报率，投资者将据此做出决策。
市场组合
资本资产定价模型的另一个重要特征时，在均衡时，每一种证券在切点组合的构成中具有一个非零比例。这意味着，没有哪种证券在均衡时在T组合中的比例为0。
（1）概念
均衡状态：满足以下三个条件的市场即达到均衡状态。首先，每一个投资者对每一种风险证券都愿意持有一定的数量；其次，市场上每种证券的现有价格将处在使得对于股票需求与供给相等的水平上；再次，无风险利率的水平正好使得借入资金的总量等于贷出贷出资金的总量。
均衡价格：股份需求数等于上市数时的价格。
市场组合的定义
市场组合是由所有证券构成的组合，在这个组合中，投资于每一种证券的比例等于该证券的相对市值。一种证券的相对市值简单的等于这种证券总市值除以所有证券的市值综合。
理论上，市场证券组合将包括所有风险资产：金融资产——股票、债券、期权、期货等，以及实际资产——不动产、黄金、古董、艺术品等。这样的证券组合将完全多样化。市场证券组合是一个风险组合。
市场组合中的每一种证券的现时市价都是均衡价格，如果不是均衡价格，这时投资者为了赚取额外利润或购买较多股票或卖空所产生的买压或卖压将迫使价格回到均衡水平。
市场组合的作用
在资本资产定价模型中，市场组合起非常重要的作用。有效集是由对市场组合的投资和无风险借入或贷出两部分构成的。但市场组合是无法观测的，所以，通常用所有的普通股的证券组合代替市场证券组合，如斯坦德普尔500指数、纽约证券交易所的综合指数等。
资本市场线（CML）
资本市场线代表有效组合的预期回报率与标准差之间的均衡关系。
在资本资产定价模型中，决定有效组合的风险和收益关系很简单。图4-1描述了此过程。
CML
M
图4-1 资本市场线
图中，点M代表市场组合，代表无风险利率，有效组合落在从出发穿过M的直线上，这条直线是由通过市场组合与无风险借入或贷出的结合获得的收益和方差的搭配构成的。这一线性有效集就是大家所知的“资本市场线”（CML），任何不是使用市场组合以及无风险借入或贷出的组合都将位于资本市场线的下方，尽管有一些组合会非常接近资本市场线。
资本市场线具有如下方程：
（）
分析：
①风险溢酬。如果投资者准备投资风险资产，他需要一个风险报酬来补偿增加的风险。风险溢酬是一个证券组合的回报率与无风险回报率之差。图4-1中市场组合M的风险溢酬=。
②通常CML总是向上倾斜的，因为风险溢酬总是正的。并且根据我们的假定，投资者都不喜爱风险，除非未来的风险得到补偿才会投资。因此，风险越大，预期回报率越大。但这不等于说CML有时可能向下倾斜，就是风险回报率低于无风险回报率。这表明投资者的预期并不总能实现。
③CML的斜率。CML的斜率是有效组合的风险市场价格，表示一个组合的风险每增加1%，需要增加的回报数。
CML的斜率
因此，CML上的任何有效的组合的预期回报=预先决定消费的价格+风险的市场价格╳组合的标准差。
④CML根据组合的不同的风险水平决定它的预期回报率。换言之，CML给出每一种组合的风险水平的应得回报。
计算示例
[例4．1]设市场组合的期望收益率为15%，标准差为21%。无风险收益率为7%。一个被很好分散化（没有非市场风险）期望收益率为%的组合的标准差是多少？
证券市场线
涉及单个风险资产
资本市场线代表有效组合预期回报率和标准差之间的均衡关系。单个的风险证券始终将位于该线的下方，因为单个的风险证券本身是一个非有效的组合。因为，在第三节中我们已经知道，资产的总风险可分为市场风险和个别风险：
（）
个别(非系统化)风险是可以通过多样化方法减低；而市场（系统化）风险是不能用多样化方法消除的，他是由市场偏差产生的。如果一个证券组合是完全多样化证券组合，其风险只有市场风险。因此，任何一个资产贡献给一个组合的风险是它的市场风险。
证券市场线（SML）
证券市场线代表每种资产的预期回报率与协方差（或相对市场风险）之间的均衡关系。证券市场线有两种形式：
协方差版本
（）
分析：
①为和的协方差，它是对一种证券风险的相对测度，它表示对市场组合M的风险有贡献的资产i与市场组合M有关，具有较大协方差值的证券将被投资者认为对市场组合的风险有较多的贡献，它同样意味着：不能认为那些具有较大标准差的证券，相对于那些具有较小标准差的证券，必然会给市场组合增加更多的风险。
②的风险证券的预期回报率等于无风险证券的回报率；的风险证券将具有比无风险利率还低的预期回报率，投资于这些证券的资金越多，市场组合的风险就越小；的风险证券将对市场组合做出平均程度的贡献，它具有同市场组合相等的预期回报率。
（2）贝塔版本
()
分析：
①。是衡量该证券为市场组合所增加的风险的另一种测度。或者说它是风险的相对测度：个别资产相对于市场组合的测度。
②使用可以比较不同资产的相对的市场风险。因为市场风险=，而在一定时期内是一常数，它和用市场风险比较的结果相同，资产的β值较大，风险较大；β值较小，风险较小。
③贝塔值的一个性质是：，也就是说，一个组合的贝塔值只是它的各基本证券贝塔值的加权平均，前面已说明一个组合的预期回报率是它各基本证券预期回报率的加权平均。这意味着，既然每一证券都落在证券市场线上，那么由这些证券构成的组合也不例外，其中，有效组合既落在资本市场线上也落在证券市场线上，非有效组合仅落在证券市场线上，位于资本市场线之下。
④证券市场线必经过表示市场组合的那一点。这一点贝塔值为1，预期回报率为。
⑤资产的预期回报率=无风险回报率+市场组合的风险价格╳。
下面两图描述了证券市场线：
SML SML
M M
协方差版本 贝塔版本
图4-2 证券市场线
计算示例
[例4．2]给定市场组合的期望收益率为10%，无风险收益率为6%，证券A的贝塔值为，证券B的贝塔值为，问：证券市场线的方程式什么？证券A和B的均衡期望收益率是多少？
证券市场线为：
A：
B：
（五）市场模型与资本资产定价模型的区别
同：这两个模型都由一个称为“贝塔值”的斜率，并且这两个模型都或多或少的包含了市场。
异：1．市场模型是一个“因素模型”，在该模型中，因素就是市场指数；
资本资产定价模型是一个“均衡模型”，描述证券价格如何确定。
2．市场模型采用一个市场指数，而资本资产定价模型包含的却是市场组合。市场组合是市场中所有证券的集合，而市场指数实际上基于市场中的一个样本。
因素模型
概述——因素模型和回报率生成过程
回报率生成过程：回报率生成过程是描述证券的回报率是如何产生的一种统计模型。
因素模型：因素模型又称指数模型，是建立在证券回报率对各种因素或指数变动的敏感度这一个假设之上的。市场模型就是一种单因素模型。
作为一个回报率生成过程，因素模型试图提取那些系统的影响所有证券价格的主要经济力量。其暗含着如下假设：两种证券的回报率具有相关性——也就是说，它们通过对模型中一个或多个因素的共同反应而一起变动。证券回报率中不能被因素模型所解释的部分被认为是该种证券的个性。
因素模型不仅能提供每一种证券的预期回报率、方差和协方差从而确定马氏有效集，它还可用来刻画一个组合对因素变动的敏感度。
单因素模型
1．单因素模型公式
单因素模型可记为：
()
其中：=在时期t证券i的回报率；
=在时期t因素的预测值；
=随机误差项，其均值为0，代表在时期t证券i的个别回报率；
=零因素；
=证券i对因素F的灵敏度，有时叫做因子载荷。
基于以下两个假设我们可进一步得到证券预期回报率、方差和协方差公式：
假设1：随机误差与因素不相关；
假设2：任意两种证券的随机误差之间不相关，即两种证券的回报率仅仅通过对因素的共同反应而相互关联。
预期回报率： （）
方差（证券的因素风险）： ()
协方差： ()
2．单因素模型的两个重要特征
切点组合
和市场模型类似，可以使用单因素模型计算出证券的预期回报率、方差和协方差。然后，可以推导Markowitz有效集。最后，可以由给定的无风险利率确定切点证券组合。
多样化
如果证券组合由n种证券组成，权重为，可得证券组合的因素风险：
（）
其中：
，
在前面已说明，多样化导致市场风险的平均化和个别风险的降低。对任何因素模型，除了术语上用因素风险和非因素风险分别代替市场风险和非市场（个别）风险外，上述特征总是成立的。
多因素模型
多因素模型公式
影响证券的回报率的因素可能有多个，使用两个以上因素构成的模型可能更为精确。多因素模型可记为：
()
其中， 为在时期t对证券i的回报率有普遍影响的k个因素；
分别是这k个因素的因子载荷；
是每个因素为零时证券i的预期回报率；
为随机误差项，其均值为0，代表在时期t证券i的个别回报率；。
基于以下两个假设我们可进一步得到证券预期回报率、方差和协方差公式：
假设1：随机误差与各因素均不相关；
假设2：任意两种证券的随机误差之间不相关，即两种证券的回报率仅仅通过对因素的共同反应而相互关联。
证券i的预期回报率： （）
证券i的方差（证券的因素风险）： ()
证券i与j的协方差： ()
图4-3是双因素模型的直观说明。平面ABCD表示回归平面，证券的个别回报是证券的回报与其预期回报之差。
证券i的回报率 证券个别回报 B
●
C
●
A 证券预期回报
零因素
D
因素2
因素1
图4-5 双因素模型
多因素模型的两个重要特征
切点组合
跟单因素模型一样，一旦利用前面那些公式计算出预期回报率、方差和协方差后，投资者便可使用最优化来导出马氏有效集。继而，对于一个给定的无风险利率，可以确定出切点组合，在此基础上，投资者可以确定它的最佳组合。
多样化
如果一个证券组合由n个证券组成，权重为，那么证券组合的双因素模型为：
（）
其中： ；
；
；
。
()
其中，是因素风险，是非因素风险。
对单因素模型所说的多样化作用仍然适用于此：
①多样化导致因素风险的平均化；
②多样化能大大降低非因素风险；
③对于一个充分多样化的组合，非因素风险将变得不显著。
估计因素模型
时间序列法
对投资者而言，时间序列法也许是最为直观的。模型建立这被假设事先知道那些影响证券回报率的因素。识别有关的典型因素是通过对所包含的公司的经济分析来进行的。确定出典型的因素以后，模型建立者一个时期一个时期的收集有关因素的敏感度、证券零因素和个别回报率、以及因素的标准差和两两之间的协方差。
横截面法
模型建立者从估计证券对某些因素的敏感性入手，继而在一特定时期根据证券的回报率和他们对因素的敏感性来估计因素的值，在多个时期重复这一过程，便提供了因素的标准差以及因素间相关系数的估计。
提请注意的是横截面法和时间序列法是完全不同的方法。在后一种方法中，因素值是已知的，敏感性需要估计。且分析是对每个证券的多个时期逐个进行的。在横截面法中，敏感性是已知的，因素的值是需要估计的，相应的称横截面法重的敏感性为特征。且分析是对一组证券的每一时期逐个进行。
因素分析法
在因素分析法中，模型建立者既不知道因素值，也不知道证券对这些因素的敏感性。因素分析这种统计技术仅仅基于证券过去的历史数据来获得一些因素和证券敏感性。因素模型采用一组样本证券在多个时期的回报率，企图识别一个或多个在统计上显著的因素，且这些因素能够生成样本证券回报率的协方差。本质上，回报率根据模型建立者模型的结构。但往往，因素分析未能指出因素代表什么经济变量。
注意：一个时期内的因素模型在下一个时期不一定适用。正如70年代的能源危机和80年代末的波斯湾战争期间，能源价格对证券市场会产生影响一样，各种关键因素、与各种因素相联系的风险和回报率、证券对各因素的敏感性等均会随时间而变化。
因素模型与均衡
因素模型不像资本资产定价模型那样是一个均衡模型。然而如果均衡存在，因素模型与均衡的资本资产定价模型之间存在如下的特定关系：
此时，因素F是市场组合的回报率。
套利定价理论
概述
套利定价理论（APT）跟资本资产定价模型（CAPM）一样，是一个证券价格的均衡模型，但APT比CAPM需要更少的关于投资者偏好的假设。
套利定价理论假定证券回报率有因素模型生成，但并不具体确定因素。它的基本假设是：每个投资者都会去利用在不增加风险的情况下能够增加组合的回报率的机会，利用这种机会的具体做法是使用套利组合。
套利组合
套利原则
套利：套利是利用同一种实物资产的不同价格来赚取无风险利润的行为。最具代表性的套利行为是以较高的价格出售证券并在同时以较低价格购进相同的证券（或功能上等价的证券）。
低价购买趋势资产价格上涨，高价出售使价格下跌，最后价格趋于相等，使获利机会消失。
因素模型
套利定价理论假设证券回报可以用单因素模型来解释：
该模型表明，具有相同的因素敏感性的证券或组合除了非因素风险以外将以相同的方式行动。因而，具有相同因素敏感度的证券或组合必须要求有相同的预期回报率。如不然，“准套利”机会就会存在，投资者将利用这些机会，最终使得其消失。
套利组合的主要特点
套利组合是在不增加风险的情况下，增加组合的预期回报率。满足下列三个条件即为套利组合：
它是一个不需要投资者任何额外资金的组合；
一个套利组合对任何因素都没有敏感性，严格的讲，一个套利组合的非因素风险也应该等于零；
套利组合的预期回报率为正。
总而言之，套利组合对任何一个渴望高收益且不关心非因素风险的投资者是具有吸引力的。
计算示例
[例4．3]设证券的收益率由单因素模型生成。某人拥有一个投资组合，其基本证券具有如下特征：
证券 因素敏感性 比 例 期望收益率（%）
A 20
B 10
C 5
该投资者决定通过增加证券A的持有比例来创造一个套利组合。
问：
（1）该套利组合中其他两种证券的权数是多少？
（2）该套利组合的期望收益率是多少？
根据套利组合的条件：
它是一个不需要投资者任何额外资金的组合；
一个套利组合对任何因素都没有敏感性，严格的讲，一个套利组合的非因素风险也应该等于零；
解得：。
套利组合的预期回报率为
投资者的选择
现在，投资者可以从两个等价角度中的任何一个来估价他的位置：（1）持有旧的组合和套利组合；或（2）持有一个新的组合。其中，新组合的预期回报率等于就组合与套利组合的预期回报率的和；新组合的风险来源除了因素风险外，还有非因素风险，这时的新组合的方差与就组合有所不同。我们以上例为例对此进行总结,设旧组合的方差为11%。
旧组合 套利组合 新组合
权数
性质
10% % %
11% 很小 约11%
套利定价线
对定价的影响
上例中买入证券A并卖出证券B和C的结果使证券的市场价格将受到影响，相应的它们的预期回报率也将做出调整。购买证券将提高它的价格，于是导致其回报率下降；相反，出售证券将降低它的当前价格，并导致其预期回报率的上升。
这种买卖行为将持续到所有套利机会明显减少或消失为止。此时，预期回报率和敏感性将近似的满足如下的线性关系：
()
其中，和是常数。该方程就是套利定价理论的资产定价方程，它意味着在均衡时，预期回报率和敏感性之间存在一个线性关系。
分析：
①是资产对因素无敏感性的回报，它是无风险回报，记作；
②是单位敏感性的组合的预期超额回报（即高出无风险利率的那部分预期回报率）。它也被称为因素风险溢价和因素预期回报率溢酬。另表示对因素由单位敏感性的组合的预期回报率，则；
由此，我们可得到套利定价理论中定价方程的第二种形式：
()
套利定价线
根据方程()我们可得到套利定价线：
图4-6 套利定价线
对于一个因素敏感性和预期回报率都没有落在该直线上的证券，其定价就是不合理的，这就给与投资者一个构造套利组合的机会。通过这种买卖，使得套利机会最终消失，证券最终落在套利定价线上，实现均衡。
套利定价理论的多因素模型
假设每个证券的回报率满足多因素模型：
()
存在满足如下三个条件的套利组合：
（1）；
（2）；
（3）。
均衡时，我们可得到套利定价理论的资产定价方程：
()
和单因素模型类似，等于无风险利率，对任何因素均无敏感性，记作。是第j个因素的风险报酬。
令，（j=1，┅，k），其中，每一个的值代表一个证券组合的预期回报率，该组合只对因素j有单位敏感性而对其他因素无敏感性。结果方程进一步扩展为下列形式：
()
因此，证券的预期回报率等于无风险利率加上证券对k个因素敏感性的风险溢价。
APT与CAPM的一致性
单因素模型
单因素APT证券定价方程为：
CAPM证券定价方程为：
贝塔系数与因素敏感性
如果证券回报率由因素模型生成，而同时CAPM成立，那么证券的贝塔系数取决于证券对因素的敏感性和因素与市场组合之间的协方差。即：
因素风险溢酬
如果套利定价理论（单因素）和资本资产定价模型的假设都成立，那有如下关系：
套利定价理论本身没有给出因素风险溢酬的大小，但在一定条件下其满足上式。如果因素与市场组合正相关（即，），则证券的预期回报率将是证券对该因素敏感性的正函数（因为都为正，故为正；由公式()知，的值越大，证券的预期回报率就越高。）；反之，如果因素与市场组合负相关，则证券的预期回报率将是证券对该因素敏感性的负函数。
市场指数作为因素
如果市场指数满足如下两个条件：①市场指数与市场组合完全相关；②市场指数与市场组合的方差完全相同。那么，就可以用这个指数代替市场组合。然而，因为市场组合是不可观测的，所以就不可能找到这样的替代变量。
多因素模型
如果CAPM和APT多因素模型同时成立，类似的我们可得到：
，即证券的贝塔系数是它的k个敏感性的线性组合；
，即如果因素和市场组合正相关，则将为正；反之，为负。
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图表4
0
A的收益
B的收益
完全负相关的收益
Sheet1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
Sheet2
Sheet2
0
A的收益
B的收益
完全正相关的收益
Sheet3
图表5
-1
-2
A的收益
B的收益
不相关的收益
Sheet1
-6 -5 -5 -3 6
-1 -2
Sheet2
Sheet2
-1
-2
A的收益
B的收益
完全正相关的收益
Sheet3
图表3
0
A的收益
B的收益
完全正相关的收益
Sheet1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
Sheet2
Sheet2
0
A的收益
B的收益
完全正相关的收益
Sheet3
