第7章 金属塑性加工变形力的工
程法解析
§ 工程法及其要点
§ 直角坐标平面应变问题解析
§ 圆柱坐标轴对称问题
§ 极坐标平面应变问题解析
§ 球坐标轴对称问题的解析
§ 工程法及其要点
求解原理
——工作应力，一般它在工作面上是不均匀的，常用单位
压力 表示
S——工作面积 ，按“工作面投影代替力的投影”法则 求
解
求解要点
工程法是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简
化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条
件。
这些简化和假设如下：
1．把实际变形过程视具体情况的不同看作是平面应变问
题和轴对称问题。如平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、
棒材挤压和拉拔等。
2．假设变形体内的应力分布仅是一个坐标的函数。这样
就可获得近似的应力平衡微分方程，或直接在变形区内截
取单元体，截面上的正应力假定为主应力且均匀分布，由
此建立该单元体的应力平衡微分方程为常微分方程。
3. 采用近似的塑性条件。工程法把接触面上的正应力
假定为主应力，于是对于平面应变问题，塑性条件
可简化为 或
对于轴对称问题，塑性条件
可简化为
4．简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系
库仑摩擦定律： （滑动摩擦）
常摩擦定律： （粘着摩擦）
式中：
——摩擦应力 k——屈服切应力（ ）
——正应力 f ——摩擦系数
5．其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为
均质和各向同性等。
例题一
1.滑动摩擦条件下的矩形块平锤压缩变形（直角坐标平面应变问
题 ）
高为h，宽为W，长为l
的矩形块，置于平锤下压
缩。如果l 比W大得多，
则l方向几乎没有延伸，
仅在x方向和y方向有塑
性流动，即为平面应变
问题，适用于直角坐标
分析。
矩形工件的平锤压缩
§ 直角坐标平面应变问题解析
（以图示应力方向推证。）
单元体x方向的力平衡方程为：
整理后得：
由近似塑性条件
或 ，得：
将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
代入上式得：
上式积分得：
σy－σx=Kf
在接触边缘处，即 时， ，
由近似塑性条件得
于是
因此接触面上正应力分布规律
最后求得板坯单位长度（Z向单位长度）上的变形
力P可求得为：
下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变
形力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和接触表面状
态没有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线
（z轴），即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与
坐标无关，仅与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标
轴对称问题。
§ 圆柱坐标轴对称问题
圆柱坐标轴对称问题
工件的受力情况如
右图所示。仍以图示受
力方向推证。分析它的
一个分离单元体的静
力平衡条件，得：
由于很小d， ，
忽略高阶微分，整理得：
对于均匀变形， ，上式即为：
将近似的塑性条件
代入上式得：
接触面上正应力 的分布规律
1．滑动区
上式积分得：
当r=R时， ，将近似塑性条件
代入上式，得积分常数C
1
因此：
2．粘着区
将 代入平衡方程得：
上式积分得：
设滑动区与粘着区分界点为rb。
由 ，得此处
利用这一边界条件，得积分常数
因此得：
3．停滞区
一般粘着区与停滞区的分界面可近似取 ，
于是得：
积分得：
当 时， ，代入上式得：
于是
式中
4．滑动区与粘着区的分界位置rb
滑动区与粘着区的分界位置可由滑动区在
此点的 与粘着区在此点的 相等这一条
件确定，因此在rb点上有：
因此得：
5．平均单位压力
圆柱体平锤压缩时的平均单位压力
式中 视接触面上的分区状况而异。
§ 极坐标平面应变问题解析
不变薄拉深（极坐标平面应
变问题 ）。不变薄拉深时，
由于板厚不变化，变形区主
要是在凸缘部分，发生周向
的压缩及径向延伸的变形，
因而凸缘部分的变形是一种
适用于极坐标描述的平面应
变问题。由于变形的对称性，
、 均为主应力。
因此平衡微分方程为：
将塑性条件 代入上式得
然后利用边界条件进行拉深力的求解。
积分常数C根据凸缘处 的 与边压力Q引起摩擦阻
力相平衡条件确定，即
式中 －板坯厚度
Q －压边力
因此
根据以上边界条件，得积分常数
于是
当 （凸模半径）时，得凸缘部分得
拉深力为
r=r1
单孔模正挤压圆棒
（球坐标轴对称问题）
分四个区进行求解:
1.定径区
2.锥形塑性变形区
3.后端弹性区
4.多余功和多余应变
(仍然以图示受力方向推证。）
§ 球坐标轴对称问题的解析
1.定径区
坯料进入该区后，塑性变形刚好终结。坯料在该
区内只是发生弹性回复，力图径向涨大。因而受到定
径带给予的正压力 与摩擦力 的作用，此外还
受到来自锥形塑性变形区的径向压力 的作用，金
属在该区内处于三向压应力状态。
根据定径区的力平衡条件 ，得
式中 d －挤压后圆棒直径；
－定径带长度。
摩擦应力 取最大值， ，
为定径带上的摩擦系数。因此可得
2.锥形塑性变形区
在该区内，坯料受到来自I区和III区的压力以及IV区
的压应力 和摩擦力 的作用，处于三向压应力状态，
产生两向压缩一向拉伸的变形，当按照球坐标轴对称问题
处理时，认为塑性变形区与I区和III区的分界面为同心球
面，与IV区的分界面为锥角为 的锥面。
在球坐标中所截取的单元体，其力平衡条件
式中
忽略高阶微分项，上式整理得
（a）
式中，m为锥面上得摩擦因子，通常取1。
将近似塑性条件 代入（a）式得
将上式积分得
（b）
当 时
将此边界条件代入（b）式得积分常数C：
于是塑性区内
在塑性变形得入口界面上，即 时其径向应力
式中，D为挤压筒直径。
3.后端弹性区
坯料在该区内受到接近等值的、强烈的三向压应
力作用，一般不会发生塑性变形，只是在垫片的推动
下不断向塑性变形区内补充金属。由于坯料与挤压筒
间的压力很高，所以其接触摩擦力也很大，通常取
根据力平衡条件 ，得挤压垫片的平均单位挤压力
为 ：
式中 － 坯料第三区的长度，其最大
值近似为坯料填充挤压后的长度，
－ 坯料的原始直径和长度。
4.多余功和多余应变
挤压模锥面或“死区”锥面的约束，使坯料在塑性变
形区的入口和出口处受到两次不同方向的剪切变形，而这
种剪切变形对工件 的外形变化并没有直接贡献。故通常把
这种变形叫做多余应变。消耗于多余应变上的能量叫多余
功。
下面说明多余应变及多余功对挤压力的影响。如图7
－8所示，在塑性变形区入口处取一离轴心线半径为r的
微小圆球体，长为 ，厚度为 。
此圆环的剪切变形为角 ，假设角 是随半径r呈线性变
化的，即
则消耗于微圆环剪切变形所需的能量为
因此，在变形区入口处出现多余应变所需的总能量为
另一方面，当使这一多余应变发生，挤压轴额外提供的
多余应力 作的功为
由 得
同理，可确定在塑性变形区出口处的多余应力
因此，总的多余应力为
小 结
本章主要介绍了计算塑性加工变形力的一种解法
——工程法的概念及其要点。举例解析了直角坐标平
面应变问题，极坐标平面应变问题，圆柱坐标轴对称
问题以及球坐标轴对称问题。
这里重点要掌握的是工程法的要点，直角坐标平
面应变问题、极坐标平面应变问题、圆柱坐标轴对称
问题以及球坐标轴对称问题的解析，且能够运用工程
法简单分析变形力。
第8章 滑移线理论及应用
§ 概述
§ 平面应变问题和滑移线场
§ 汉盖（Hencky）应力方程——滑移线
的沿线力学方程
§ 滑移线的几何性质
§ 应力边界条件和滑移线场的绘制
§ 三角形均匀场与简单扇形场
组合问题及实例
滑移线理论是根据平面应变的变形力学特点，通过联
解精确平衡微分方程与精确塑性条件，求得理想刚塑性体
平面应变问题变形力以及变形区内应力分布的一种图解与
数值计算相结合的方法。
§ 概述
滑移线理论是二十
世纪二十年代初，基于
以下实验现象而发展起
来的：当金属进入塑性
变形的初期，人们可以
从光滑的金属试样表面
观察到一些规则取向的
条纹，即所谓的“滑移
带”现象。
实验表明，条纹上各点的切线方向正好是该点的最大
切应力方向。同时，金属塑性变形的微观机理研究表明，
这些条纹也恰好是金属晶体滑移变形的实际滑移面与金属
试样表面的交线，滑移线的名称即由此而来。据此，塑性
力学上把塑性流动平面内，最大切应力等于屈服切应力的
轨迹线称为滑移线。由于各点的最大切应力平面是成对正
交的，因此滑移线在塑性流动平面内为两族正交的曲线。
实验表明，条纹上各点的切线方向正好是该点的最
大切应力方向。同时，金属塑性变形的微观机理研究表
明，这些条纹也恰好是金属晶体滑移变形的实际滑移面
与金属试样表面的交线，滑移线的名称即由此而来。据
此，塑性力学上把塑性流动平面内，最大切应力等于屈
服切应力的轨迹线称为滑移线。由于各点的最大切应力
平面是成对正交的，因此滑移线在塑性流动平面内为两
族正交的曲线。
由于金属塑性变形的基本机制是晶体在切应力作用
下沿着特定的晶面和晶向而产生滑移，滑移结果在试样
表面显露出滑移台阶，因此，滑移线是金属塑性变形时，
发生晶体滑移的可能地带。只有特定的晶面和晶向的切
应力达到金属的临界屈服切应力时才会使晶体产生滑移
变形。
现在，滑移线理论成为了求解理想刚塑性体平面应变问
题的重要方法之一，广泛应用于长宽比较大的矩形工件的平
锤压缩、宽板平辊轧制和板条平面挤压、拉拔等变形力和应
力分布的计算上。
近二十多年来，又推广到了主应力互为异号的平面应力
问题和轴对称问题等等方面。
§平面应变问题和滑移线场
对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零
（设duZ=0），故只有三个应变分量（ 、 、 ），
也称平面应变问题。平面应变问题的最大切应力为：
这是一个以τmax为半径的圆方程，这个圆便称为一点的
应力状态的莫尔圆。
图8-1 平面应变问题应力状态的几何表示
（a）塑性流动平面（物理平面），（b）α-β正交曲线坐标系的应力特点，
（c）应力莫尔圆
a b c
根据平面流动的塑性条件， τmax = k（对Tresca塑性条件k =
σT/2；对Mises塑性条件
由图8-1(C)的几何关系可知，有
式中静水压力
Ф——定义为最大切应力τmax (= k)方向与坐标轴Ox的夹角
图8-2 x-y坐标系与α-β滑移经网络
α线
β线
微分方程：
滑移线场定义
§汉盖（Hencky）应力方程
由平面应变问题的微分平衡方程
得
第一式乘以cosФ，第二式乘以sin Ф ，然后两相加，经整理
变换后得沿α线的微分方程
或
类似变换可得沿β线的微分方程
或
沿某一α线积分，得到
常数
或得关系式
同理
常数
或得关系式
汉盖应力方程
对
对α线取“+”号，对β线取“-”号
§ 滑移线的几何性质
一、汉盖第一定理
同族的两条滑移线（如α1和α2线）与另一族任意一条滑移
线（如β1或β2 ）相交两点的倾角差和静水压力变化量均保持
不变。
图8-3 证明Hencky第一定理的两对滑移线
证明：沿α1线从点A→点B
沿β2线从点B→点C
于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
同理
由上两式可得
同理
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始
位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点
所移动的路程（如dSα）。 1
证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为R α 、R β ，由
曲率半径的定义知：
和
ΔSβ沿弧S α的变化率为：
根据汉盖第一定理有，
当曲线四边形单元趋近无限小时
比较上两式，可得 同理
• 滑移线为最大切应力等于材料屈服切应力为k的迹线，与主应力迹线相交
成π/4角；
• 滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布满整个塑性变形区；
• 滑移线上任意一点的倾角Ф值与坐标的选择相关，而静水压力p的大小与
坐标选择无关；
• 沿一滑移线上的相邻两点间静水压力差（ Δ pab）与相应的倾角差（ΔФab
）成正比；
• 同族的两条滑称线（如α1和α2线）与另族任意一条滑称线（如β1或β 2线）
相交两点的倾角差ΔФ ，和静水压力变化量Δp均保持不变；
• 一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑
移线的曲率变化量（如dRβ ）等于该点所移动的路程（如dSα）；
• 同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
滑移线的基本性质：
§ 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
（）
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代
替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑
移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p
和角。
根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。
1）特征线问题
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线
网的边值问题，即所谓黎曼（Riemann）问题。
对于任意网点（m, n）的坐标（x, y），可将滑移线的微
分方程，写成差分形式
α线
β线
则有
式中
则得
据此，可依次逐渐求得场内全部结点的坐标，依编码连线，
从而绘制出等倾角差为ΔФ的滑移线网。
2）特征值问题
这是已知一条不为滑移线的边界AB上任一点的应力分
量（σx、σy、τxy）的初始值，求作滑移线场的问题，即所
谓柯西（Cauchy）问题。
如图8-8所示，将边界线AB分成若干等分，等分点的编码为
（1，1）、（2，2）、……（m, m）。由莫尔圆的关系式，计
算出该边界上等分点的参数p(m, m)和 Φ(m, n)。
利用汉盖第一定理，计算结点(m, m+1)的p(m, m+1)和 Φ(m, n)。
3）混合问题
这是给定一条α线OA，和与之相交的另一条不是滑移线
的某曲线OB（可能是接触边界线或变形区中的对称轴线）
上倾角值Ф1（见图8-9）。如对称轴线上，其Ф1等于π/4。
例题：张角为的双心扇形场的结点计算。
§ 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例
金属塑性加工中，许多平面应变问题的滑移线场是由三
角均匀场和简单扇形场组合而成的，称为简单滑移线场问
题，如平冲头压入半无限体、平冲头压入、某些特定挤压
比下的挤压、剪切乃至切削加工。
小 结
本章主要介绍了计算塑性加工变形力的一种解法—
—滑移线法的概念及其要点。举例解析了三角形均匀
场与简单扇形场和双心扇形场问题。
这里重点要掌握的是滑移线法的概念及要点，了解
滑移线法分析变形的方法。
第9章 功平衡法和上限法及其应用
§ 功平衡法
§ 极值原理及上限法
§ 速度间断面及其速度特性
§ Johnson上限模式及应用
§ Aviztur上限模式及应用
采用近似解法求解金属塑性加工变形力学问题，据原理有
两类：一类是根据力平衡条件求近似解，如工程法；另一类是
根据能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。
功平衡法是利用塑性变形过程的功平衡原理来求解变形力的
近似解；极值原理是根据虚功原理和最大塑性功耗原理，确定
物体总位能接近于最低状态下，即物体处于稳定平衡状态下变
形力的近似解。
§ 功平衡法
功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形
力的一种近似方法，又称变形功法。
功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作
的外部功（W
P
）等于物体塑性变形所消耗的应变功（W
d
）和接
触摩擦功（W
f
）之和，即：
对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式：
WP = Wd + Wf
dWP = dWd + dWf
dW
P
为外力所作功的增量
dW
d
为塑性变形功增量
dWf为接触摩擦所消耗功的增量
单元体积的塑性变形功增量为
若接触面S上摩擦切应力及其方向的位移增量为du
f
，则
外力P沿其作用方向产生的位移增量为du
P
，则
于是由功平衡方程，得到了总的变形力P为
由于塑性变形总是不均匀的，计算 是比较困难的，
通常可按均匀变形假设确定，故变形功法又称为均匀变
形功法。
§ 极值原理及上限法
极值原理包括上限定理和下限定理，都是根据虚功原理
和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。
上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条
件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载
荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近
似值，故称上限解；
下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条
件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于
（理想情况下才等于）真实载荷，即低估的近似解，故称下
限解。
最大塑性功消耗原理：在一切许可的塑性应变增量（应变
速度）或许可的应力状态中，以符合增量理论关系的应力状
态或塑性应变增量（应变速度）所耗塑性应变功耗（或功率
消耗）最大。
上限定理是根据运动学许可速度场来分析变形载荷的，
设所拟运动学许可速度场为 ，由几何关系确定的应变速度
场 ，再由该应变速度场按几何方程与增量理论确定的应
力场为 。而变形体中实际的应力场为 ，于是根据虚
功原理和塑性功耗原理可以导出在一般情况下塑性加工中常
用的上限定理的功率表达形式为：
式中， 为真实载荷。
用上限法计算塑性加工过程的极限载荷的关键在于拟设塑
性变形区内的虚拟运动学许可速度场，这种速度场应满足以
下三个条件：
（1）速度边界条件；
（2）体积不变条件；
(3) 保持变形区内物质的连续性。
而与此速度场对应的应力场则不一定要求满足力平衡条件
和力的边界条件。
上限法中虚拟的运动学许可速度场模式有三种：
（1）Johnson模式，通常称为简化滑移线场的刚性三角形上限
模式，主要适用于平面应变问题。
（2）Avitzur模式，通常称为连续速度场的上限模式，它既可
适用平面应变问题、轴对称问题，也可用于某些三维问题，用
途比较广泛。
（3）上限单元技术（UBET）,目前比较实用的是圆柱坐标系的
圆环单元技术。它可用于解轴对称问题，以及某些非对称轴的
三维问题。
§ 速度间断面及其速度特性
速度间断面
速端图及速度间断量的计算
速端图是以代表刚性区内一不动点O为所有速度矢量的
起始点（也称为基点或极点），所作变形区内各质点速度矢
量端点的轨迹图形，它是研究平面应变问题时，确定刚性界
面和接触摩擦界面上相对滑动速度（即速度间断量）的一个
重要工具。
矩形断面板条平面应变压缩问题
§ Johnson上限模式及应用
基本思路：塑性变形区由若干个刚性三角形构成，塑性变
形时完全依靠三角形场间的相对滑动产生，变形过程中每一个
刚性块是一个均匀速度场，块内不发生塑性变形，于是块内的
应变速度
上限功率表达式
求解的基本步骤
• 根据变形的具体情况，或参照该问题的滑移线场，确定变
形区的几何位置与形状，再根据金属流动的大体趋势，将
变形区划分为若干个刚性三角形块；
• 根据变形区划分刚性三角形块情况，以及速度边界条件，
绘制速端图；
• 根据所作几何图形，计算各刚性三角形边长及速端图计算
各刚性块之间的速度间断量，然后计算其剪切功率消耗；
• 求问题的最佳上限解，一般划分的刚性三角形块时，几何
形状上包含若干个待定几何参数，所以须对待定参数求其
极值，确定待定参数的具体数值以及最佳的上限解。
例一：平冲头压入半无限体
各块间的剪切功率
p•(W/2)·vo = k(OB·ΔvOB+ AB·ΔvAB+ BC·ΔvBC+
AC·ΔvAC+ CD·ΔvCD)
例二 板条平面应变挤压
§ Aviztur上限模式及应用
基本思路：
用一个连续速度场vi = fi(x, y, z)来描述整个变
形区内金属质点的流动
考虑塑性区与刚性区界面上速度的间断性及摩擦功
率的影响
N = Nd + Nt + Nf + Nq
塑性变形功率消耗
速度间断面上剪切功率消耗
接触面上摩擦功率消耗
附加外力消耗的（取“+”号）或
向系统输入的附加功率（取“-”号）
总的塑性变形功耗
基本能量方程
例一：直角坐标平面应变问题
——考虑侧鼓时板坯的平锤压缩
例二：极坐标平面应变问题
——宽板的平辊轧制
例三：圆柱坐标轴对称问题
——圆盘的镦粗
例四：球坐标轴对称问题
——圆棒的拉拔或挤压
