目前实物期权定价的三类方法
偏微分法： Black-Scholes模型。
（通过解析方法直接求解出，期望的表达式）
动态规划法：二叉树定价模型。
（使用数值方法求得期望）
模拟法： 蒙地卡罗模拟法。
（通过大量模拟的方法求期望）
布莱克-舒尔斯期权定价模型
假设条件：
金融资产价格服从对数正态分布;
在期权有效期内,无风险利率和金融资产收益变量是恒定的;
市场无摩擦,即不存在税收和交易成本;
金融资产在期权有效期内无红利及其它所得；
该期权是欧式期权。
布莱克-舒尔斯期权定价模型
布莱克-舒尔斯模型假定期权的基础资产现货价格的变动是一种随机的“布朗运动”(Brownian Motion)，其主要特点是：每一个小区内价格变动服从正态分布，且不同的两个区间内的价格变动互相独立。
Black—Scholes微分方程：
布莱克-舒尔斯期权定价模型
欧式看涨期权的价格可通过下式计算：
其中
布莱克-舒尔斯期权定价模型
应用
假定有个6个月期限（T=6）的股票看涨期权需要定价。现行的股价（S）为100美元，股票收益率的年度标准差（σ）为50%，期权的协定价格（K）为100美元，无风险收益率（r）为年率10%。请计算出期权价格。
布莱克-舒尔斯期权定价模型
计算过程如下：
d1= [ln(100/100)+(+×)×] / (×)
=
d2= ×
= -
查表可知：
N(d1)=
N(d2)=
带入公式得到：
C=100×-(100×)/(×)
=元
1、标的资产的未来价格只有上涨或下跌两种情况
2、标的资产的未来价格上涨或下跌的报酬率己知，且投资人能利用现货市场及资金借贷市场，建立与期权报酬变动完全相同之对冲资产组合
3、无摩擦之市场，亦即无交易成本、税负等，且证券可以无限分割
CRR模型的基本假设
实物期权的二叉树模型
4、借贷利率均相等，皆为无风险利率。
5、每一期之借贷利率(r)、上涨报酬率〔u)及下跌报酬率(d)均为己知，且存在以下关系，否则将出现无风险套利机会。
u> 1且d<1
u>R>d，其中R= l +r
CRR模型的基本假设
实物期权的二叉树模型
CRR模型估值方法
1、动态复制技术
核心思想:寻找一个与所要评价的实际资产或项目有相同风险特征的可交易证券,并用该证券与无风险债券的组合复制出相应的实物期权的收益特征。
动态复制技术就是把该项资产或项目看作一项金融资产,用△份该资产或项目和价值为f的无风险债券来复制实物期权
实物期权的二叉树模型
CRR模型估值方法
2、风险中性估值
风险中性假设假定管理者对不确定性持风险中性态度,其核心环节是构造出风险中性概率ｐ和(1-ｐ)
实物期权的二叉树模型
CRR模型估值方法 ----问题的提出
假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。假设股票三个月内不付红利。有效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对该期权进行估值？
实物期权的二叉树模型
图1
图1
实物期权的二叉树模型
解决思路----动态复制技术
如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。
构造一个证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。
实物期权的二叉树模型
计算过程----动态复制技术
当股票价格从$20上升到$22时，该证券组合的总价值为22Δ-1；当股票价格从$20下降到$18时，该证券组合的总价值为18Δ。完全可以选取某个Δ值，使得该组合的终值对在上述两种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。 由
22Δ—1=18Δ
得
Δ=
因此，一个无风险的组合由股股票和一个期权空头构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是$
实物期权的二叉树模型
计算过程----动态复制技术
在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。假设无风险利率为年率12％。则该组合的现值应为：
×=
股票现在的价格已知为$20。用f表示期权的价格。组合现在的价值=有效期结束时的价值按无风险利率贴现
因此，由
20×－f=
得 f=
如果期权价格偏离，则将存在套利机会
实物期权的二叉树模型
一般结论----动态复制技术
考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况
一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生证券空头构成
如果股票价格上升,在有效期末该组合的价值为：
SuΔ—fu
如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为：
SdΔ—fd
实物期权的二叉树模型
图2
实物期权的二叉树模型
当两个价值相等时
SuΔ-fu =SdΔ- fd
即
(1)
该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。
一般结论----动态复制技术
实物期权的二叉树模型
用r表示无风险利率，该组合的现值应为：
而构造该组合的成本是：
因此
一般结论----动态复制技术
实物期权的二叉树模型
将式（1）代入上式，得到
（2）
其中
（3）
运用单步二叉树图方法，式（2）和（3）就可为衍生证券估值。
一般结论----动态复制技术
实物期权的二叉树模型
风险中性估值
式（2）中的变量p可以解释为股票价格上升的概率，于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样，
pfu+(1-p)fd
就是衍生证券的预期收益。于是，式（2）可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值
实物期权的二叉树模型
风险中性估值
按照上式对p的解释，在T时刻预期的股票价格
E(ST)=pSu+(1-p)Sd
即 E(ST)=pS(u-d)+Sd
将式（2）中的p代入上式，得
E(ST)=SerT （4）
这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。因此，设定上升运动的概率等于p就是等价于假设股票收益等于无风险利率。
实物期权的二叉树模型
风险中性估值
股票的预期收益率一定等于无风险利率12％
则有：
22p+18(1-p)=×
即 4p=×-18
得 p=
在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率为，价值为零的概率为。因此，看涨期权的期望值为：
×1+×0=$
按无风险利率贴现得期权现在的价值：
f=× =
实物期权的二叉树模型
一个应用
某公司研制出一项新技术,并获得专利,现准备将此技术应用于公司一项新产品的生产
预计建立生产该新产品的设备需要投入Ｉ=300万元,产品投入市场后每年可以产生税后现金流量100万元,项目可以在无竞争条件下持续进行4年,经市场部门调研,该项目最大的不确定性来源于市场对新产品的反应,估计产品未来现金流量波动率为45%。根据项目的风险性质,公司期望投资回报率为15%,4年期国债利率为5%
公司是否对该项目进行投资？
实物期权的二叉树模型
该项目ＮＰＶ值
-300+100(Ｐ/Ａ,ｉ,4)=万元<0
根据传统判断规则,该项目不可行
一个应用
实物期权的二叉树模型
一个应用
套用二叉树定价模型计算推迟起期权的价值模型中的几个份量的价值如下:
ｖ0=100(Ｐ/Ａ,15%,4)=万元
ｖ+=100(1+45%)(Ｐ/Ａ,15%,4)=万元
ｖ-=100(1-45%)(Ｐ/Ａ,15%,4)=万元
ｃ+=ｍａｘ(ｖ+-Ｉ,0)=113 975万元
ｃ-=ｍａｘ(ｖ--Ｉ,0)=0
实物期权的二叉树模型
1、利用动态复制技术
确定项目期权价值,代入数据计算得到:
△=0 444,ｙ=-66 335,从而ｃ=万元
即该投资项目的期权价值(考虑进优先选择权)为万元。
一个应用
实物期权的二叉树模型
一个应用
2、利用风险中性假设
根据风险中性假设分析方法,风险中性概率为:
ｐ=[(1+ｒ)ｖ0-ｖ-]/(ｖ+-ｖ-)=
1-ｐ=而ｃ+=,ｃ-=0
故期权价值为:
ｃ=[ｐｃ++(1-ｐ)ｃ-]/(1+ｒ)=万元
两种假设计算的结果一致
实物期权的二叉树模型
研究项目总价值：
ＮＰＶ+期权价值=+=万元
上述结果表明,在运用传统判断方法ＮＰＶ<0的情况下,考虑企业持有的优先选择权价值,由于项目总价值大于0,所以该项目值得投资。又因为立刻投资的价值万元,因此该公司应持有该项期权,即推迟4年进行投资
一个应用
实物期权的二叉树模型
