Lecture 4
净现值（NPV）
单期例子: 终值
如果你以年利率5%投资$10,000一年，一年之后你将得到 $10,500。
$500是利息 ($10,000 × .05)
$10,000 是本金 ($10,000 × 1)
$10,500 是本金和利息的总和。计算公式如下：
$10,500 = $10,000×()
期末所要交的本金和利息数额叫做将来价值 或者终值。
Future Value (FV)
单期例子: 终值
以一期的例子为例，终值（FV）的公式可以写成：
FV = C1×(1 + r)
其中 C1 是时间1的现金流，而 r 是一个适当的利率。
单期例子: 现值
如果你投资于一个项目，一年后付给你$10,000，且当时的利率为5%。这个项目现值是$9,。
一个借款者一年后要还款金额$10,000，今天应该准备的金额叫做$10,000的当前价值 或者现值。
Present Value (PV)
注意到 $10,000 = $9,×()。
单期例子: 现值
以一期的例子为例，现值（ PV ）的公式可以写成：
其中C1是时间1的现金流，而r是一个适当的利率。
单期例子: 净现值
一个投资的净现值(NPV)是期望现金流的现值减去项目投资成本。
假设一个投资项目现在投资$9,500，而一年后可以得到$10,000。当前利率是 5%。
你该投资这个项目么?
Yes!
现值与收益率
期望收益率 = (期望利润) / 投资成本
= (10,000 – 9,500) /9,500
= .0526
法则：
(1) 当期望收益率> r ，投资 (收益率法则)
(2) 当NPV > 0，投资 (NPV法则)
只有当投资回报现金流是单期时，这两个法则是等价的。 (以后会对这个等价性质进行拓展)
拓展
明天的现金(C1)是一个期望值而不是一个确定的价值。
明天确定的$1比明天不确定的$1更值钱。
含意： 有风险的现金流要以更大的利率折现(discounted)。
如何确定一个合适的折现利率？
猜测风险类似项目的收益率，把这一收益率当成折现率或者机会资本成本。
单期例子: 净现值
以单期为例， NPV 的公式可以写成：
考虑上张ppt的例子，如果我们没有投资于净现值为正的项目，相反以利率5%投资$9,500，所得到的未来价值将少于原来项目所承诺的价值（$10,000）。从未来价值的大小看，毫无疑问，以5%的利率进行投资使我们变差。
$9,500×() = $9,975 < $10,000.
多期例子: 终值
多期投资的终值计算公式，一般地可以写成：
FV = C0×(1 + r)T
其中
C0 是0时刻的现金流，
r 是一个适当的利率，
T 是投资所进行的期间数。
多期例子: 终值
假设Jay Ritter购买Modigliani公司的IPO (initial public offering)股票进行投资。 Modigliani立刻支付股利 $，并且预期股利发放将以40%的增长率持续5年。
第五年的股利将是多少?
FV = C0×(1 + r)T
$ = $×()5
终值与复利
注意到按这种方式计算的股利（$）比按照本金加五年利息增长（$）的计算方式高:
$ > $ + 5×[$×.40] = $
原因是复利！
终值与复利
0
1
2
3
4
5
现值与复利
假设年利率为5%，为了在五年后取得$20,000，现在应该准备多少钱？
0
1
2
3
4
5
$20,000
PV
等待时间
今天以10%的利率存款$5,000，什么时候会变成$10,000?
利率大小
假设大学教育总花费为$50,000，假设你的孩子12年后将上大学，假设现在你有$5,000，那么你应该投资于一个多大收益率的项目，使得孩子上学那年你不用为学费而发愁？
复利计息期数
一年m次复利计息计算，T年之后的未来价值是：
比如，如果你以利率12%（半年复利计息）投资$50，三年后你可以得到：
实际年利率
一个合理的问题是——对于上面的那个例子，每年有效年利率（effective annual rate, EAR）是多少？
有效年利率是可以在三年后得到同样金额，但是以每一年复利计息的年利率：
实际年利率 (续)
因此，以%（年复利）投资和以12%（半年复利）投资是等价的。
R被称为名义年利率(annual percentage rate, APR)。
连续复利
以连续复利投资于多期，得到的终值用公式表示是：
FV = C0×erT
其中
C0 是0时刻的现金流，
r 是名义年利率，
T 是投资的期数。
简化
永续年金
一系列没有止境的固定的现金流。
永续增长年金
一系列以某一固定增长率增长的、没有止境的现金流。
年金
一系列固定的、持续固定期数的现金流。
增长年金
一系列以固定增长率增长的、持续固定期数的现金流。
永续年金
一系列没有止境的固定的现金流。
0
…
1
C
2
C
3
C
永续年金的现值公式：
永续年金：例子
一个承诺每年支付£15（一直持续下去直到地球毁灭）的英国金边债券，这个债券价值几何？
利率10%
0
…
1
£15
2
£15
3
£15
永续增长年金
一系列以某一固定增长率增长的、没有止境的现金流。
0
…
1
C
2
C×(1+g)
3
C ×(1+g)2
永续增长年金的现值公式是：
永续增长年金：例子
下一年预期得到的股利是$，而且股利预期将以5%增长到永远。
如果折现率是10%，那么这个承付的股利流价值几何？
0
…
1
$
2
$×()
3
$ ×()2
年金
一系列固定的、持续固定期数的现金流。
0
1
C
2
C
3
C
年金的现值公式是：
T
C
年金系数
PV = C*PVA(r,t)
PVA(r,t)=(1-[1/(1+r)t])/r
年金：例子
如果你每个月可以承受$400的汽车贷款， 那么你可以买一辆价值多少的汽车？（假设贷款期限是36个月，利率是7%）
0
1
$400
2
$400
3
$400
36
$400
A. 递延年金
例子: 如下的年金价值怎么计算?
(1) 每年收到$1000
(2) 从第五年开始，持续五年
(3) 折现率10%
在第四年，年金价值是：
1,000x [1/.10 - 1/(.1()5)] = 1,000 x = $3,791
当前价值：$3,791/()4 = $2,589
B. 先付年金
例子: 如下的年金价值怎么计算？
(1) 每年收到$1000
(2) 现在可以马上收到$1000 ，一直持续5年。
(3) 折现率10%
上面的年金可以看成：
(i) 在第0年支付$1000，加上
(ii) 4年期从第1年开始的年金
4年年金当前价值是：
1,000 x [1/.10 - 1/(.1()4) =1,000 x
= $3,170
所以当前总体价值:：
$1,000 + $3,170 = $4,170
贷款分期偿付
例子： 你所在的公司想购买一个价值$500,000设备。第一国民银行将为您提供5年贷款，利率10%。 这个贷款将会以每期等额还款的方式分期偿还。（偿还期限：从现在开始到第五年）
每年支付多少?
贷款所支付利率一共多少?
第三年支付多少利息？
第三年还欠多少钱？
贷款分期偿付
期初结余 每年支付 应付利息 减少本金 期末结余
1. 500,000 131, 50,000 81, 418,
2. 418, 131, 41, 90, 328,
3. 328, 131, 32, 99, 228,
4. 228, 131, 22, 119, 119,
5. 119, 131, 11, 119, .01
659, 159, 500,
分期偿付
例子: 你想购买一套价值$170,000的房子。其中自己承担10%，剩下的$153,000以利率%向银行贷款，每个月支付30年还清贷款。每月支付多少？利息一共支付多少？在第20年时还欠多少？在第20年应支付多少利息？
(i) 支付：C=153,000/PVA(.0775/12,360)
=153,000/ =
(ii)总利息支付：
总利息支付 = (*360)-153,000
= 241,
分期偿付
(iii) 第20年末结余：
$*PVA(.0775/12,120) = $*
= $91,
第20年末还欠银行贷款 = $91,
(iv)第19年末结余:
$*PVA(.0775/12,132) = $*
= $ 97,
第20年本金变动：
$97,-91, = $
第20年利息支付：
$*12 – =
增长年金
一系列以固定增长率增长的、持续固定期数的现金流
0
1
C
增长年金的现值公式；
2
C×(1+g)
3
C ×(1+g)2
T
C×(1+g)T-1
增长年金
一个退休金计划承诺第一年将支付$20,000，而且以后每年以3%的增长率增长，持续期间40年。如果折现率是10%，那么这个退休计划的现值是多少？
0
1
$20,000
2
$20,000×()
40
$20,000×()39
公司的价值
以上的现值计算工具被广泛使用于公司价值评估和项目评估。
(1) 购买股票， 投资分析
(2) 兼并与收购
(3) 证券发行
市场上存在着一个价值数十亿美元的行业，他们的工作是测算上述公式的主要成分，进行定价。
企业价值评估
从概念看，公司的价值是公司未来所产生现金流的现值。
比较难确定的部分是：如何确定未来现金流的多少、风险大小和现金流发生的时间？
什么是期望现金流？
现金流的贴现率应该是多少？
现金流的增长率应该多大？
概要与总结
两个基本的概念， 终值与现值。
利率一般以年为期表示。但是，半年付利、季度复利、月复利、连续复利也广泛存在。
投资C0，以后每期收到C，持续N期。这个投资的净现值用公式表示：
概要与总结(续)
四个重要的简易公式:
e is a transcendental number because it transcends the real numbers.
