高级微观经济学
袁 峰
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经济行为空间
本讲是经济学学走向高级阶段的第一步，将反思经济活动中的人、市场和商品，并借助现代数学工具，使这些基本概念得以提升和科学化，为后面的分析奠定基础。本讲的内容安排如下：
经济人 商品空间
市场结构 价值与价格
经济人：主要是要进一步解析经济活动主体的含义和行为理性，把经济活动者与现实人加以区分。
市场结构：解析市场的实质以及市场的组织结构特点。
商品空间：主要是解析经济人行为表现的一般特点。
价值与价格：主要是从实证角度去看待和研究价值问题，给出一套工具，并要把价值表现形式与市场结构联系起来。
自修：自修现代数学工具基本知识。
用现代观点看，微观经济学象是一门行为科学，是研究作为经济活动主体的人的行为的科学。
当然，研究人的行为的科学不止经济学一种，但经济学对人的行为的研究不同于其他行为科学，经济学假定了参加经济活动的人具有理性。也正是由于理性人假设，经济学才能够运用数学方法加以研究，并把数学工具用得得心应手。
理性人假设使得经济学中的人与现实中的人有所不同。把经济学中的人叫经济人，把现实中的人叫现实人。经济人概念既来自于现实，又高于现实。为了更好地理解经济人概念，我们先对经济人的特点进行分析。概括地讲，经济人具有以下两大特点：
经济活动主体：独立自主决策
理性人：追求个人利益最大化
这两大特点可作为一个人是否为经济人的判别标准。
§1 经济人
职业性——生产活动：发生于生产、管理、营销等事务中。
私人性——消费活动：发生于个人、家庭和消费等事务中。
一、经济活动主体
例如，公司可看成经济人，公司具有决策机构：董事会、董事长、总经理，这个机构决定和指挥着公司的一切经济活动。公司员工也是经济人：员工既能自主决定他自己的劳动提供和商品消费。
经济人是经济活动的主体，即社会经济活动的基本单位，具有独立的决策中心，这个中心决定和指挥着它的一切经济活动。
经济人概念的关键之处：独立自主决策。
两类性质不同的经济活动：职业性、私人性。
经济人可以是个人、家庭、集团或组织。
经济活动
生产活动
消费活动
生产经济人——生产者
消费经济人——消费者
经济人
两类经济人：消费者、生产者。
(一) 消费者
消费者的最大特点在于购买商品以供自己享用，是商品的需求者(购买者)。经济社会的总需求是由各个消费者的需求构成的，因此，要研究社会需求的变化规律，必须首先研究消费者个人需求是如何变化的。可见，对消费者进行研究将是微观经济学的一个十分重要的内容。对于消费者，我们将关注如下一些问题：
消费者是如何选择他们需要的商品的？
消费者选择商品的原则和目标是什么？
消费者在选择的过程中有自己的目标函数吗？
影响消费者选择的因素都有哪些？
影响消费选择的因素又是如何具体影响消费者的选择的？
从消费者的具体购买行为能窥测消费者的个人偏好吗？
消费者个人需求与社会总需求之间究竟具有怎样的深层关系？
(二) 生产者
生产者的最大特点在于向社会提供商品，是商品供应者。经济社会的总供给是由各个生产者的商品供给构成的，因此，要研究社会供给，必须首先研究生产者的个人供给。可见，对生产者进行研究也是微观经济学的一个十分重要的内容。
生产问题也是一个选择问题：生产者投入一些商品，生产出另一些商品，并把产品提供给社会，生产者从中取得利润。经济学不关心生产过程的细节，只关心生产过程的始端和终端。因此，关于生产者的如下一些问题才是微观经济学关注的：
生产者是如何选择他们的要素投入和产品供应的？
生产者选择投入和产出的原则与目标是什么？
影响生产者选择的因素都有哪些？
影响生产选择的因素又是如何具体影响生产者的选择的？
要素需求与产品供给具有怎样的规律？
单一产品生产与多种产品生产又有怎样的区别？
(三) 双重身份
生产活动与消费活动完全不同，活动主体往往难以区分。一个人可能既是生产者，又是消费者。比如，从消费角度看，家庭是商品消费者；但家庭同时还向社会提供劳动和资本品，是劳动和资本的生产者。又如，从供应角度看，企业是生产者；但企业为了生产又必须购买生产要素，是生产要素的消费者。我们把经济人具有的这种双重身份(消费者和生产者)，叫做经济人的两面性。
经济人的两面性为我们研究问题带来了方便。比如，当专心研究消费者问题的时候，人们处心积虑地建立了一套完整的消费者行为理论，那么这套理论就适合于描述生产者的要素需求行为，因而没有必要再去重复建立要素需求理论。又如，人们处心积虑地为生产者建立起来的产品供给理论，同样适合于分析消费者的生产要素供给行为，也没有必要重复建立要素供给理论。总之，经济人的两面性，使得消费者的需求理论能够成为生产者的要素需求理论，使得生产者的供给理论能够成为消费者的要素供给理论。
二、理性人假设
经济人是理性人，即具有理性。疯子、傻子不是经济人，他们缺乏理性。所谓理性人，对于消费者来说，是指具有良好的偏好或效用函数，使得在一定的约束面前能够最大化自己的效用；对于生产者来说，是指在一定的约束面前能够最大化自己的利润。总而言之，理性人总是在条件许可的范围内追求个人利益最大化。
理性人的人格
理性人以追求个人利益为天性，总会以最经济有效的方式使用现有资源和要素，安排个人活动，以实现个人利益目标。理性人与自私人有所不同，理性人既有利己的一面，也有利他的一面。
利己：理性人是利己主义者，他具有个人利益，并且要追求个人利益最大化，追求个人安乐和享受。
利他：理性人是利他主义者，他会为他人考虑，服从社会与客观条件的制约，遵纪守法，不以损人利己的方式去追求个人利益。
(一) 理性人之间的合作制度
在追求利益最大化的过程中，理性人之间会相互合作，以实现合作的潜在利益。当需要合作，而合作中又存在着矛盾冲突时，理性人发明了各种各样的制度来规范他们的行为。
价格制度(或者说市场机制)是为了实现合作的潜在利益和解决合作中的矛盾冲突，人类发明的一种最重要的制度。
新古典经济学以价格制度为研究对象，故又称为价格理论，它有两个基本假定：
市场竞争：市场上有大量的买者和卖者，任何个人力量都微不足道。个人不能左右市场价格，只能接受价格，依据价格行事。
信息完全：每个市场参与者都掌握着完全的信息，信息传递渠道畅通，信息获取即时，无需为获取信息支付费用。
这就刻画了一种理想的价格制度——任何个人都无法对市场价格施加影响，个人只能听从价格召唤，依据价格行事。我们称这种价格制度为“背对背”的交易制度。
(二) 价格制度的合理性
在这种制度下，经济活动达到的结果，让每个市场参与者都实现了个人利益最大化(消费者、生产者行为理论和竞争均衡)。
在这种制度下，合作中的矛盾与冲突通过帕累托改良得到了有效解决，全社会实现了福利最大化(福利经济学基本定理)。
在这种制度下，交易“背对背”地进行，其结果与“面对面”交易等同(经济核心等价定理)。实际交易的确如此，交易都是在叫价拍卖、讨价还价中“面对面”进行的。但竞争场上，参与者数不胜数，任何个人交易量都只是整个市场交易量的微不足道的一部分，因而最终形成的那种对每个参与者都有利的交易结果等同于依据价格行事的“背对背”交易结果。
为什么说这种价格制度是实现合作的潜在利益和解决合作中的矛盾冲突的重要制度呢？对此，可从三方面论述。
(三) 价格制度的局限性
现实市场上交易者的人数有限，不可能要多多少有多少。这样一来，个人行为必然会对市场产生一定的影响。
现实中存在着自然垄断行业。在这种行业中，垄断者决定价格而不是接受价格。因此，价格制度解决不了垄断行业中合作的利益与矛盾冲突问题。
现实中存在公公品和外部性，导致经济活动结果达不到社会福利最大化状态。
现实中市场参与者的信息不完全，信息不对称现象存在。信息的不完全使得价格制度往往不是实现合作和解决冲突的最有效途径。另外，现实市场中理性人之间相互影响，人们在决策时会考虑他人反应，因而决策行动实际上是一种博弈。
虽然说价格制度是实现合作和解决矛盾冲突的重要制度，但是现实市场符合不了这种价格制度提出的苛刻要求。
价格制度存在的上述种种缺陷，要求政府对经济活动必须予以适当调控，以促进理性人之间的合作，以解决合作中的矛盾冲突。
§2 市场结构
促使现代经济有秩序运转的机制，就是市场。那么，究竟什么是市场？有人会说，市场是买卖商品的场所。不错，商品买卖场所是市场，但商品买卖活动不见得要在某个固定场所进行，可以分散在许多地方，可以通过各种渠道和方式进行。比如，同样的布匹可以在许多不同的商店销售，还可通过电话、电视、广播、报纸、英特网进行交易。可见，交易场所并不是市场的特征。
任何市场都离不开买者、卖者及交易活动，三者并存才能形成市场。因此，买者、卖者及交易才是市场的三大基本要素。
经济学关心的是交易活动如何影响和决定价格。照此，可对市场作出这样的解释：市场是影响商品价格的所有买者和卖者，这些买卖双方频繁的交换活动，使相同商品的价格趋于一致。马歇尔早就认识到了这一点，他说：“一个市场是一个区域，在那里买者和卖者彼此相互交往非常紧密，市场的价格在全区域内趋于一致。”
一、市场的分类
市场的分类方式很多，但主要有以下几种：
按交易者范围分：地方市场(某个地方的买者和卖者)、国内市场(一国的买者和卖者)和国际市场(多国的买者和卖者)。
按交易者人数分：有限市场(有限个交易者)、无限市场(无限个交易者，这是一种抽象，表示交易者多得象分子一样数不清)。
按组织结构分：完全市场(有组织的市场, 同种商品的价格在市场内一致。完全市场的形成必须具备两个条件：信息完全、自由进出)、不完全市场(不满足完全市场条件的市场)。
按竞争程度分：纯粹竞争市场(大量的交易者；个人不能影响价格；相同数量的同种商品完全同质；要素自由流动)、非纯粹竞争市场(不满足纯粹竞争条件的市场)。
以上分类可同举并用。比如把组织结构和竞争程度结合起来，则有完全竞争市场(纯粹竞争的完全市场)和不完全竞争市场。
二、完全竞争市场的特点
完全竞争市场的特点可概括为六条：
大量的买者与卖者：个人丝毫不具有垄断力量
商品同一：同一数量的同种商品之间完全同质
进出自由：经济人可以自由进入和退出市场
要素流动自由：生产要素可以自由地转移
信息完全：经济人完全了解市场，信息渠道畅通
价格既定：经济人只能是价格的接受者
这六个特点又可概括为如下三个基本特征：
第一特征：每种商品的价格对所有的经济活动者都一致。
第二特征：商品价格不依赖于个人决策。
第三特征：市场上每个买者与卖者都能感受到，按照市场价格，他能够买进或卖出自己所需或提供的任何数量的商品。
三、不完全竞争市场的特点
垄断竞争：厂商众多、互不依存、进出较易、可形成产品集团。
寡头垄断：少数卖(买)者面对众多的买(卖)者。
完全垄断：一个卖(买)者面对众多的买(卖)者。
完全竞争市场是一种理论抽象，现实市场难以符合。1920年以后，便出现了斯拉法、张伯伦、琼·罗宾逊等人对完全竞争理论的修正。尽管如此，完全竞争仍然是经济学家分析市场的着眼点和判别标准。然而，经济学也没有忽视对不完全竞争市场的研究。
不完全竞争市场的特点是市场中存在着一定程度的垄断，某些个别经济人对市场价格具有一定的影响力。按照竞争强弱程度，不完全竞争市场分为垄断竞争市场、寡头垄断市场、完全垄断市场。
完全垄断是与完全竞争完全相反的一种市场结构，同完全竞争一样在实际中极为少见。但完全垄断市场为我们研究垄断问题提供一种很好的分析框架，同样成为经济理论的基础。
§3 商品空间
商品是用来交换以满足人们需要的一切物品、服务及劳动。交换和满足需要，是商品的两个缺一不可的属性。
交换是商品具有价值的表现，满足需要则是商品具有使用价值的表现。这两个属性决定了任何商品的取得都要付出代价。
劳动是商品，并且是特殊重要的商品，任何生产活动都离不开劳动。劳动是用来交换的，要使用劳动，必须向劳动支付报酬。因此，劳动是通过交换以满足生产需要的商品，劳动者付出劳动以获取生活所需的物品或服务。
空气不是商品，尽管为人人所需，但人们并不用它来交换。
经济活动离不开商品，经济人的行为表现为选择一定数量的若干种商品。经济学关心的是经济活动的结果，而不是经济活动的具体细节。这样，经济人的行为可用商品空间来描述。
一、区分商品的四条原则
物质原则：从商品的物质属性上加以区分。商品的物质属性，是指商品的物质内容与存在形式。
时间原则：从商品的时间属性上加以区分。商品的时间属性，是指商品存在的时间区段。
区位原则：从商品的区位属性上加以区分。商品的区位属性，是指商品所处的地理位置。
随机原则：从商品的随机属性上加以区分。商品的随机属性，是指影响商品数量的随机因素。现实中，商品的生产、交换和消费往往受到许多随机因素的影响。不同随机因素下的商品，其性质、用途和作用等都可能不同，应该区分。
商品形形色色，多种多样，如何来区分各种不同的商品呢? 这里介绍区分商品的四条基本原则。
二、经济行为
按照上述四条原则细分商品，商品种类就有无限多种。但实际中，人们通常总是把商品的各种属性特征划分为有限种，于是，所考虑的商品也就只有有限多种了。
为了叙述上的方便，假定所有商品被区分成为 种：商品1, 商品2, , 商品。商品 i 也叫做第 i 种商品。然后，假定每一种商品都规定好了一个计量单位。
经济活动表现为选择一定数量的这 种商品。
经济学只关心经济活动的结果，而不管经济活动的详细情节如何。比如，把家庭主妇在商店挑选商品的过程描述得淋漓尽致，对于经济学研究来说没有任何意义。经济学家关心的是消费者选择了多少数量的商品。这样，经济活动可用商品空间加以描述。
如果经济人选择的最终结果是这样的：x1 个单位的商品1, x2 个单位的商品2, , x个单位的商品，那么他的这一选择行为就可用 维向量 x =(x1, x2,, x) 表示，称为商品向量，从而维欧氏空间 R 自然成为描述经济行为的工具，称为商品空间。
商品向量代表了经济人的选择方案或行动计划，因而也叫做选择方案或行动计划。商品向量对消费者和生产者具有不同的意义。
(一) 商品空间
消费商品1
消费商品2
消费商品1
提供商品2
提供商品1
提供商品2
提供商品1
消费商品2
商品向量对消费者的意义
商品向量对生产者的意义
生产商品1
生产商品2
生产商品1
投入商品2
投入商品1
投入商品2
投入商品1
生产商品2
(二) 经济行为之间的结构
1. 合成结构：经济行为z叫做是经济行为x与y的合成, 是指 z=x+y。
2. 比例结构：行为 x 与 y 成比例，是指存在实数 使得 x= y 或者 y= x。这个 称为行为 x与y 之间的比例系数。
3. 半序结构：从数量上对经济行为进行比较。
小于或等于：
小于：
严格小于：
y
x
z=x+y
x
y
y= x
x
y
z
x << y
z y
w y
w
(三) 经济行为度量
1. 规模度量：商品向量的范数(长度、模)是衡量经济活动规模大小的合适指标，可把商品向量的范数叫做经济活动模数。具体地说，经济活动 x 的模数是指数值 。
2. 差距度量：不同经济行为 x 与 y 的差向量 x y ，称为 x 与 y 的差别行为，差别行为 x y 的力度 ||x y|| 称为行为差距。
x
y
||x y||
对任何 ，以半序关系 为准，可给出上、下确界公式。
x与y的上确界 x y = sup {x, y}为：
x与y的下确界 x y = inf {x, y} 为：
向量 x = x 0 叫做 x 的正部，向量 x = (-x) 0 叫做 x 的负部，向量
叫做 x 的绝对值。
容易证明： x = x - x ， |x| = x + x 。
(四) 经济行为的上、下确界
+
+
+
-
-
-
x y
x y
x
y
x
- x
x
x
|x|
+
-
(五) 一般商品空间
商品如果严格细分，那么就有无限多种，商品空间成为无限维空间。这样，以上建立的有限维商品空间就不能满足经济分析的需要。自20世纪70年代以来，经济学中出现了各种各样的无限维商品空间，诸如p、L p(1 p)、ca(T )、C(T)等。
1983年，C. D. Aliprantis、D. J. Brown和O. Burkinshaw惊奇地发现，出现的所有这些商品空间共同具有如下一般特征：
商品空间是由人们的各种经济行为构成的集合，其上具有相互融洽的线性结构、半序结构和拓扑结构。线性结构用于对经济行为进行合成、伸缩或变向，半序结构用于对经济行为进行数量上的大小比较，拓扑结构用于刻画经济行为之间的差距以及人们经济活动的连续性。拓扑结构也常常通过商品空间上的距离函数或范数来诱导，从而使得行为差距得以量化。
于是，他们三人提出用黎斯空间来描述经济活动者的行为。这样，黎斯空间成为商品空间的一般框架——一般商品空间。
§4 价值与价格
价值问题是微观经济学的中心议题，从某种程度上说，微观经济学就是关于商品价值的学问。德布罗在1959年出版他的学术著作时, 就是以“价值理论(Value Theory)”为名，来宣告公理化经济学的诞生的。
事实上，价值问题是一个规范经济学问题。价值是一种抽象概念，涉及到人们的世界观。商品能够满足人们的需要，说明商品具有价值。但人们的需要各种各样，同样的商品，不同人需要它的目的不同，这就给价值问题研究带来了极大的困难。
如果抛开规范意义上的价值问题的困难性，那么价值问题就变成为如何确定商品价值的具体数值这样一个实证经济学问题，即变成了价格问题。因此，从实证角度看，微观经济学是关于价格问题的学问，故也称为价格理论(Price Theory)。
一、价值函数
价格的形成
价格是在商品交换过程中形成的。
原始社会中，原始族落共同劳动获得的产品仅够维持族落的生存，没有剩余产品去交换其他族落的产品，因而没有价格的概念。
原始社会后期，生产力水平有了较大提高，族落劳动产品出现了剩余，从而出现了族落之间劳动产品的交换享用。
社会分工的出现，又使得这种交换变得更加频繁。商品在交换过程中便形成了物与物之间一定的交换比例，即商品的价格。
价格的实质
价格的实质是价值，价格是商品价值的具体体现。一种商品的价格就是用其他商品表示的这种商品的价值。
为了从实证经济学角度研究价值函数，先来看一下价格的形成过程以及价格的实质。
(一) 货币与商品价值
价格单轨性
作为“物—物交换比”的价格必须具有单轨性，即若商品甲与乙的交换比为1:P12，乙与丙的交换比为1:P23，那么甲与丙的交换比只能为1:P12P23，而不能为其他。否则，甲与丙的交易无法做成。
有了价格单轨性，便可选定一种商品作为标准商品，然后用标准商品来表示其他商品的价值，从而方便了不同商品的价值比较。
货币的角色
货币正充当着标准商品的角色，它不但是交易媒介，更为人们提供了价值计算与比较的标准尺度。微观经济学虽然没有讨论货币问题，但却暗含着经济社会的货币制度既定的假定。在这一暗含假定下，商品的价值可用实数来表示。比如, 说商品Q的价值为V，就是说商品Q可以换得V个单位的货币。如果考虑商品数量的变化, 便就有价值函数的概念：商品价值与商品数量之间的关系。
(二) 单一商品的价值函数
假定我们考虑的商品为Q，并规定了该商品的计量单位。
价值函数
商品 Q 的价值函数，是指用货币表示的商品 Q 的价值同商品 Q的数量之间的关系。用v(x)表示 x 个单位的商品Q的价值，则 v = v(x) 就是商品Q的价值函数。一般来说，商品数量越大，价值就越大。
价格函数
令 p(x) = v(x) / x，即 p(x) 表示当商品数量为 x 时，平均一单位商品的价值，叫做商品Q在数量 x 上的价格。当数量 x 变化时，p(x)代表着一种函数关系，称为商品Q的价格函数。
从商品的零售价格高于批发价格这一经验事实，可以设想价格函数是递减(至少不增)的函数。
价值函数 v(x)的特点：v(x)是商品数量 x 的单调递增函数。
价格函数 p(x)的特点：p(x) 一般是商品数量 x 的单调不增函数。
1. 价格歧视
一级价格歧视(完全歧视)
不但对于不同人员实行不同的价格，而且对同一人员的不同购买量，也实行不同的价格。
二级价格歧视(数量歧视)
根据商品的不同购买量，采取不同的价格。由于这种价格歧视是针对商品数量的，因而也叫做数量歧视。
三级价格歧视(人员歧视)
对不同的人索要不同的价格。这种价格歧视是针对人的，因而也叫做人员歧视。
从中级微观经济学可知，价格歧视存在三种情况：一级价格歧视、二级价格歧视、三级价格歧视。
显然，完全歧视 = 数量歧视 + 人员歧视。
2. 价格歧视的判断
如果价格函数 p(x) 不是常值函数，则便说明存在着(二级)价格歧视：根据商品Q的不同数量，采取不同的价格。 这种价格歧视现象在实际中比较多见，比如，商品的零售价高于批发价，就属于价格歧视。价格歧视除了买多便宜买少贵外，可能还会出现另一种相反的情况：买少便宜买多贵，这可能是由于该种商品比较稀少的缘故。不过，这种“少贱多贵”的现象在实际中并不多见。
如果价格歧视发生在不同人之间，即对不同的人，索要不同的价格，那么价值函数 v(x) 和价格函数 p(x) 便都不是单值函数，而是多值函数：同等数量的同种商品，具有多种不同的价值，具有多种不同的价格。这种价格歧视属于三级价格歧视，不过，我们在这里只能讨论单值价值函数，因此排除了三级价格歧视。
价格函数不为常值函数当且仅当存在二级价格歧视。
价值函数为单值函数当且仅当不存在三级价格歧视。
3. 线性价值函数
如果没有价格歧视，那么不论商品数量多少，商品的价格都一样，从而价格函数 p(x)成为常值函数：p(x) = p。
没有价格歧视，价值函数v(x)则成为线性函数：v(x) = px；反过来，结论也是成立的，即下述定理：
定理 价值函数成为线性函数当且仅当不存在价格歧视。
此定理表明了线性函数在价值分析中的重要作用。在下面对多种商品情形的价值函数的讨论中，我们将会进一步看到线性函数在价值分析中的这种重要作用。
(三) 多种商品的价值函数
现在考虑“一篮子”商品(即商品向量)的价值。为此，假定市场上共有种商品，商品空间为 。
用 v(x) 表示商品向量 x = (x1, x2,, x)的价值，函数 v(x) 就是商品空间 上的价值函数。
同单一商品的价值函数一样，商品空间上的价值函数 v(x) 通常也是单调递增函数：
价值函数的特点：
与单一商品情形不同的是，商品价格无法通过价值函数以形式
p(x) = v(x) / x 来给出。不过，我们依然可以通过价值函数 v(x) 来讨论价格歧视问题。
1. 通过价值函数，判断价格歧视
如果存在商品向量 及存在实数 rR使得 v(rx) rv(x)，则也说明存在着价格歧视：虽然按照 rx 购买的商品在数量上是按照 x 购买的商品的 r 倍，但方案 rx 的支出却不是方案 rx 的支出的 r 倍，说明价值函数 v(x) 在商品数量上存在着价格歧视。
当上述两种情况都不存在时，就称 v(x) 是无歧视的价值函数。即价值函数 v(x) 叫做是无歧视的，是指 v(x) 满足如下条件：
如果存在商品向量 使得 v(x+y) v(x)+v(y)，那么就说明存在着价格歧视：消费者面临三种购买方案： x、 y、z = x+y；虽然按照方案 z 购买的商品，是按照方案 x 购买的商品与按照方案 y 购买的商品之总和，但方案 z 的支出却不等于方案 x 和 y 的支出之总和。这就说明价值函数 v(x) 在商品数量上存在着价格歧视。
从经济行为的合成结构来判断
从经济行为的比例结构来判断
2. 无歧视的价值函数
无歧视的价值函数 v(x) 是商品空间 上的线性泛函。下面的线性泛函表示定理便是分析这类价值函数的一个重要工具。
线性泛函表示定理. 对于商品空间R 上的每个线性泛函 f , 都存在唯一的向量 f 使得(xR )( f ( x) = f x ), 其中 f x 代表向量 f 与 x 的内积。这个向量 f 就叫做线性泛函 f 的表示向量。
从这个定理可知，对于无歧视的价值函数 v(x) 来说，必存在唯一的向量 p = ( p1, p2,, p) 使得 。反之，对于任何向量 p，规定v(x) = px，则 v(x) 是无歧视的价值函数，并且 p 就是线性泛函 v 的表示向量。由此可见，任何无歧视的价值函数 v(x) 都可以看成是它的表示向量 p，并且这个向量 p = ( p1, p2,, p) 就是由价值函数 v(x) 确定的商品价格体系，称为价格向量。由于此价格向量不会因商品数量的变化而变化，因此不存在价格歧视。
定理 价值函数v(x)不带歧视的充分必要条件是存在价格向量 p = ( p1, p2,, p) 使得 。
3. 带歧视的价值函数
根据价格歧视的三个级别，当存在三级价格歧视或者一级价格歧视的时候，就存在着人员歧视，相同数量的同样商品的价值会因人而异，从而价值函数 v(x)是多值函数：同一篮子商品(即x)有着多种不同的价值。反之，若 v(x) 是多值函数，则也意味着存在人员歧视。因此，我们有如下定理：
定理 价值函数v(x)带有人员歧视意义当且仅当v(x)是多值函数。
这里，我们重点关注单值价值函数。因此，价格歧视问题便仅仅停留在数量歧视(即二级价格歧视)的意义上。对于单值的价值函数函数来说，由于不含有价格歧视等同于价值函数是线性函数，因此我们又得到下述定理：
定理 对于单值价值函数v(x)来说，v(x)带有价格歧视(数量歧视)当且仅当v(x)是商品空间 上的非线性泛函。
定理 在完全竞争经济中，商品空间 上的价值函数 v(x) 不带歧视，v(x) 是 上的线性泛函，可用唯一的一个向量 p 加以表示：
价格泛函：线性价值函数 v(x)的表示向量 p 是价格向量，v(x)与 p可等同看待：v(x) = px，即v(x)是由价格向量 p 确定的线性泛函，称为价格泛函。
(四) 完全竞争条件下的价值函数
完全竞争条件下，不会有价格歧视，人人都是价格接受者，价格不因人而异，也不因商品数量而异。因此，我们有下述定理：
完全竞争条件下，既然可把价值函数v(x)与其价格向量 p等同看待，那么就无需在符号上作区别，而直接用价格向量 p表示：p既是价格向量，又是价格泛函(由价格向量确定的线性泛函)。
商品的价值与价格通过完全竞争与线性泛函得到了统一：
二、价格支持与价值分离
在一般经济均衡与社会福利研究中，经济学家往往要通过分析不同类型的经济活动之间的价值分离，来找出所关心的某类经济活动的支持价格，从而为经济走向一般均衡并实现最大社会福利铺垫道路。
这里作为基础准备，我们来讨论一下经济活动的价格支持与价值分离的有关概念、问题与理论工具，具体包括以下知识点：
等价平面
支持价格
支持行为
价值分离
凸集的分离性定理
在价值函数 v(x) 下，商品空间的子集 是价值为 r 的商品向量的全体，称为等价曲面。
在完全竞争条件下，价值函数v(x)成为了价格泛函：v(x) = p(x) = px，从而等价曲面 H(v, r) 成为商品空间中的超平面 H( p, r)，称为等价平面：
当 = 2 时，等价平面是直线；当 = 3 时，等价平面是通常的平面；当 4 时，等价平面是超平面。价格泛函的重要作用之一，就是决定商品空间中的等价平面。
(一) 等价平面
= 3
H( p, r)
p
= 2
p
H( p, r)
定义 设 。等价平面H( p, r)称作A的支持平面, 是指( p 0)(xA )( px r )。
若H( p, r) 是A的支持平面，则称 p 是A的支持价格。
若 且H( p, r) 是A的支持平面，则称 x 是 A 的支持行为或支撑点。
市场经济条件下，任何一类经济活动都需要价格支持，即需要在某种价格体系的支持下至少实现某种价值。比如粮食问题，国家对农民生产粮食进行价格支持，目的就是希望保证农民至少能获得某一收入水平。如果一类经济活动不受任何价格支持，那么这类活动就失去了继续进行下去的理由。
研究价格支持问题的办法一般是：首先，要划定经济活动的范围，即选定商品空间的一个子集A；然后寻找支持A的价格 p 以及相应的支持行为。为此，我们给出支持价格的严格定义。
(二) 经济活动的价格支持
A
p
支持价格
支持平面
支持行为
x
例1 消费活动的价格支持
消费者通过向生产者提供生产要素，获得收入，来购买产品以达到一定程度的满足。用 x 表示消费者的要素提供量，用 y 表示消费者的产品消费量，则(x, y)就代表消费者的一种消费活动。
消费集合X：一切允许的消费活动(x, y)的全体。
效用函数 u：一个定义在集合 X 上的实值函数u(x, y)。
无差异曲线C(U )： C(U ) = {(x, y)X : u(x, y) = U }
下，只要找到 A 的支持平面 H(p, r)和支持行为 ，那么实现消费者目标的最佳消费就是支持行为 z 下的消费。
为实现这一目标，消费者可以进行的消费活动范围为 A ：
X
支持平面
支持行为
z
p
支持价格
A
x
y
消费集合
消费者的目标：实现效用水平U。
在市场价格体系既定为p = (p1, p2)的情况
例2 生产活动的价格支持
生产者使用消费者提供的生产要素来进行产品的生产，以供消费者享用。用 x 表示生产者的要素投入量，用 y 表示生产者的产品生产量，则(x, y)就代表生产者的一种生产活动。
生产函数 f ：f (x)表示投入 x (x 0)下的最大产量。
生产集合Y：
生产前沿Fr(Y )：
支持行为 ，那么按照支持行为 z 组织生产，就能使生产活动技术有效并且在价格 p下实现利润最大化。
生产集合 Y 代表一切技术上可行的生产活动的全体，就是生产者的活动范围，但只有前沿上的生产活动才技术有效。在既定的价格体系 p = (p1, p2)下，只要找到生产集合 Y 的支持平面 H( p, r) 和
Y
支持平面
支持行为
z
p
支持价格
x
y
生产集合
Fr(Y )
商品空间的任何一个子集都代表着一类经济活动。现在来分析这些不同类型的经济活动之间的价值关系——价值分离性。
定义 设 A与B 是商品空间R 的任意两个子集，价格向量 p 0。
(1) 如果 (xA)(yB)( p( x) p( y))或(xA)(yB)( p( x) p( y))，
则称 A 和 B 由价格向量 p 所分离；
(2) 如果 (xA)(yB)( p( x) < p( y))或(xA)(yB)( p( x) > p( y))，
则称 A 和 B 由价格向量 p 所严格分离；
(3) 如果 A 和B 由某个价格向量所(严格)分离，则称 A 和 B 是(严格)
价值分离的。
(三) 经济活动的价值分离
价值分离的直观含义是说：集合 A 与 B 分别位于等价平面的两侧，即A类与B类经济活动在价值上截然不同：一个位于高价位，另一个位于低价位。
H( p,r)
A
B
价值分离
有一类经济活动比较普遍，更值得我们关注，乃就是凸性经济活动活动。比如，用1千元可购买100只股票A, 也可购买100只股票 B时, 人们就可以进行加权平均处理。这样，用100元购买股票之活动就是凸性经济活动：可以进行加权平均。
准确地说，一类经济活动叫做是凸性活动，是指这类活动的加权平均活动仍然属于这类活动，即该类活动对于加权平均活动具有封闭性。
1. 凸性经济活动
凸集 X
x
y
x+(1) y
当我们用商品空间的某子集 X 来代表某类经济活动时，凸性活动就是说 X 是凸集，即 X 具有如下性质：
定理(凸集的分离性) 设 是任意两个非空凸集。
(1) 如果 A 并且 A B = ，则 A 与B 价值分离；
(2) 如果 A 和 B 是不相交的开集，则 A 与B 严格价值分离；
(3) 如果 A 是闭集, B是开集, 且 A B = ，则 A 与B 严格价值分离；
(4) 如果 A ，则 A 的边界 A 上的每个点都是 A 的支撑点。
2. 凸集的分离性定理
由于凸性经济活动具有一定的封闭性，因此凸性经济活动之间容易价值分离，这就是下述定理所表达的事实。
本定理是泛函分析中的一个著名定理，在经济分析中，尤其是在一般均衡分析中，具有重要的作用。
下面，我们给出凸集的分离性定理在价值支持问题研究中的一个应用事例。
例3 消费与生产的价值分离与同时价格支持
进行的。例如，行为 w 比 b 对消费者更有利，消费与生产便不能在b处。也不会在w处，因为 z 对消费者和生产者都最为有利。
假定经济社会只有两个经济活动者：消费者、生产者。
消费者通过向生产者提供生产要素，获得收入，购买产品，以达到一定的满足。用 x 表示消费者的要素提供量，用 y 表示消费者的产品消费量，则(x, y)代表消费者的消费活动，具体同例1中。
生产者使用要素生产产品，供消费者享用。用x表示要素投入量，用 y 表示的产品产量，则(x, y)代表生产活动，具体同例2中。
如右图，让社会利益最达到大的生产与消费是按照支持行为 z
支持行为
支持价格
z
p
x
y
生产集合
Y
消费集合
X
w
b
无差异曲线
支持平面
支持价格
p
Fr(Y)
A
o
p是 A 的支持价格，p是Y 的支持价格。
三、价格空间
我们已经看到，完全竞争条件下，空间 中的向量既能表达人们的经济活动，又能表达商品的价格体系。正因为如此，经济活动的价值便能由价格向量与商品向量的内积加以表示。
需要说明的是，商品价格可为正，可为负，还可为零。当一种商品的价格为零时，这种商品就叫做自由商品。比如，美国的许多报纸都属于自由商品，人们可以随便拿；甚至有些发达国家的手机都属于自由商品。负价格商品一般是垃圾或有害物，比如，发达国家常常把他们的垃圾以负价格出售给落后国家。
如此看来，空间 中的任何向量都可以作为价格向量，从而空间 也是价格空间。商品空间与价格空间一致，这给我们分析问题带来了极大方便。不过应该注意，这种一致性在无限维商品空间框架下还是难以做到的。因此，商品空间与价格空间的一致性是有限维商品空间和有限维经济的一个重要特征。
现代数学工具基本知识
（自修的内容）
商品空间上的拓扑
映射与函数
连续性原理
隐函数存在定理
集值映射
二元关系
一、商品空间上的拓扑
点集：商品空间R 中的向量也叫做点，R 的子集叫做点集。
开球：B(x,r)={ yR : || y – x || < r} ( xR , r > 0 )
闭球：B(x,r)={ yR : || y – x || r} ( xR , r > 0 )
开集：能够表示成若干个开球的并的点集，叫做开集。易证：空集 和全空间 R 都是开集，任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。
拓扑：由R 的一切开集组成的集族，叫做空间R 上的拓扑。
闭集：能够表示成某个开集的余集的点集，叫做闭集。易证：空集 和全空间 R 都是闭集，任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
开球B(x,r)
开集 X
闭球B(x,r)
任何两个开球的交都是开集
11. 闭包：集合X 的附贴点的全体，叫做 X 的闭包，记作 cl X 或 X 。
可以证明： X 是包含X 的最小闭集；
X 是闭集 当且仅当 X = X 。
12. 边界：集合 X = X X º 叫做 X 的边界。
显然， X 是闭集 当且仅当 X 包含着它的边界。
8. 内部：集合 X 的内点的全体叫做 X 的内部，记作 int X 或者 X º。
可以证明： X º是包含在 X 中的最大开集；
X 是开集 当且仅当 X = X º 。
9. 邻域：我们把以 x 为内点的集合叫做 x 的邻域。
可以证明： x 的任何两个邻域的交仍然是 x 的邻域。
拓扑(1)
7. 内点： 点 x 叫做集合 X 的内点， 是指存在实数 r > 0 使得以 x 为中心、r 为半径的开球 B(x,r) 包含在 X 中。
10. 附贴点：点 x 叫做集合 X 的附贴点，是指以 点 x 为中心的任何开球 B(x,r) 都与 X 相交。
x
X
x
X
B(x,r)
内点
附贴点
B(x,r)
X
X
X
X
13. 子空间：赋予了相对拓扑的点集 X，叫做商品空间的子空间。
所谓子空间 X 上的相对拓扑，是指由 X 与 R 的开集之交所构成的集族 (X )={X U : U 是R 的开集}。 (X )中的集合就叫做 X 的开集，也叫做相对开集。 相对开集在 X 中的余集，叫做 X 的闭集，也叫做相对闭集。显然， X 的子集 M 是相对闭集当且仅当 M 是 X 与R 的某个闭集的交集。
例：半开半闭区间(1,2]既不是R的闭集，也不是R的开集。 但在子空间(0,2]中，(1,2]是(相对)开集，因为 (1,2] = (0,2](1,3)。
14. 连通集：赋予了相对拓扑后，不能表示成为两个非空且不相交的相对开集之并的子空间，叫做连通子空间，或叫做连通集。
可以证明： 对于点集 X 来说，
拓扑(2)
(1) X 连通当且仅当X 不能表示成两个非空且不相交的相对闭集之并。
(2) X 连通当且仅当不存在满足下述条件的集合 A 与B：X = A B，A ，B ，A B = ，A B = 。
A
B
X = A B
不连通的集合
15. 下有界：X 下有界是指 (aR )(xX )( x a )。
16. 上有界：X 上有界是指 (bR )(xX )( x b )。
17. 有界集：X 有界是指 X 既下有界，又上有界。
19. 开覆盖：R 的开集族 {Ut}tT 叫做点集 X 的开覆盖是指 X Ut 。
18. 紧集：点集 X 是紧集，是指 X 的任何开覆盖都有
有限子覆盖。
20. 凸集：点集 X 叫做是凸集，是指 X 中任何两点之间的连线都在 X 中，即
(x, yX )(t[0, 1]) ( t x+(1-t ) y X )
21. 凸紧集：既是凸集，又是紧集的集合叫做凸紧集。凸紧集在经济分析中相当有用。
22. 凸包：点集 X 的凸包是空间 R 中包含 X 的最小凸集，记作 co X 。可以证明：
拓扑(3)
tT
co X
X
凸集
x
y
a
b
X
有界集
X
开覆盖
X
凸包
定理 设 X R 。
(1) X 是开集当且仅当 X = int X 。
(2) X 是闭集当且仅当 X = cl X 。
(3) int X X cl X 。
(4) int X 是包含在 X 中的最大开集。
(5) cl X 是包含X 的最小闭集。
(6) X 是闭集当且仅当 X 中任何收敛点列的极限都仍在 X 中。
(7) 点集 X 连通当且仅当不存在满足下述条件的集合 A 与B：
(8) X 是紧集当且仅当X 是有界闭集。
(9) X 是紧集当且仅当X 是闭集且 X 中的任何序列都有收敛子序列。
(10) X 是紧集当且仅当X 的任何具有有限交性质的相对闭集族都具有非空的交。
拓扑(4)
这里，集族的有限交性质是指该集族中任何有限个集合的交集都是非空的。
二、映射与函数
设 X 和 Y 为任意两个集合。映射 f : X Y 是从 X 到Y 的一种对应关系：对于X 中的任一元素x，Y 中都有唯一的元素 y与之对应(这个元素 y 通常记作 f (x))。X 叫做 f 的定义域，Y 叫做 f 的值域。
集合G( f ) = {(x, y)X Y : y = f (x)}叫做
f 的图像。对于M X ， f [M ] = { f (x): xM }叫做 M 在 f 下的像或值集。对于K Y ， f [K ]={xX : f (x)K }叫做 K 在 f 下的原像。显然，若 f 是从 X 到 Y 的映射, 则 f 也是从 X 到 f [X ]的映射。
f : X Y
X
Y
x
y
映射
单射：把不同的点映射成为不同的点的映射，即
(x, yX ) ( ( x y ) ( f ( x) f ( y) )
满射：满足条件 Y = f [ X ]的映射 f ，即 (yY )(xX ) ( y = f ( x) )
双射：既是单射，又是满射的映射。
函数：取值为实数的映射。
泛函：定义域为(拓扑)向量空间，取值为实数的映射。
线性泛函：保持线性运算的泛函 f : V R ( V 为向量空间)，即
(x, yV )( , R ) ( f ( x+ y) = f (x)+ f ( y) )
-1
定理 关于连续映射，下面一些事实成立：
f : X Y 连续的充要条件是开集的原像是开集；
f : X Y 连续的充要条件是闭集的原像是闭集；
紧集上的连续函数必有最大值和最小值；
商品空间R 上的任何线性泛函都是连续的；
商品空间R 的子空间的连通性与道路连通性等价。
连续性原理是经济分析中的一条极为重要的原理，它表述了经济运行中因变量随自变量连续变动的现象，而这种现象正是社会经济环境稳定情况下经济活动的普遍规律。
连续性原理的具体含义是通过连续映射来准确表达的。
定义 设 X 和Y 都是拓扑空间(比如 X R , Y R )，f : X Y 。映射 f 叫做在点 xX 处连续，是指对点 f (x)Y 的任何邻域V，都存在点 x 的邻域U，使得对一切 z U ，都有 f (z)V 。如果映射 f 在 X 中的任何点处都连续，则称 f 为连续映射。
连续映射的一个最直观的例子就是道路：拓扑空间 X 中连接两点 x 和 y 的道路是一个连续映射 : [0,1] X 使得 (0) = x 且 (1) = y。如果 X 中任何两点都由道路来连接，就称 X 是道路连通的。
三、连续性原理
m
道路
x
y
X
定理中的雅克比矩阵 J (x, y)定义如下：
定理 设函数Fi(x, y)在点 附近连续可微且 。如果雅克比矩阵 可逆，则存在 的邻域 和 的领域 以及存在唯一的映射 (即 )
满足下述三个条件：
(1) 对任何 xU，都有 ；
(2) ；
(3) 在 U 内连续可微(i = 1,2,, n)。
四、隐函数存在定理
五、集值映射
集值映射是经济学为自己创造的一种分析工具，主要用于研究需求与供给问题。与通常的映射相比，集值映射是取值为集合的映射，它反映的是元素与集合之间的某种对应关系。事实上，多值函数就是集值映射的一种形式。前面在讨论带歧视的价值函数时，就已经涉及到了集值映射：带歧视的价值函数就是一种集值映射。今后将会看到，消费预算、需求、供给其实也都是集值映射，甚至连经济系统本身也可以看成是一种集值映射。
现实经济生活中，集值映射也是多见的。比如，消费选择。消费者往往因为百货商店的好多西太多而眼花缭乱，做不出唯一的选择：这件东西好，那件东西也好，买其中哪一个都行。这样，这件东西和那件东西都成为他需要且能够购买的商品，但只能购买其中之一。这种现象就是集值映射的一个典型事例：选择的不唯一性。
又如，抛物线 y ² = 4x 所表达的变量 y与x之间的关系就是集值映射： 。
关于集值映射，讨论起来比单值映射要复杂得多。这里，我们只讨论与本课程有关的内容：集值映射的连续性。
(一) 集值映射的概念
定义 设 E 和F 是两个集合。如果对 E 中每个元素x，都有F 的子集 (x) 与之对应，则称这种对应关系为从 E 到F 的集值映射(set-valued map)，简称集映，记作 : E F 。如果集映 : E F 满足条件：(xE )( (x) )，则称 : E F 为对应(correspondence)。
x
(x)
: E F
E
F
例1(预算对应) 集合 E, F 如下:
E = {( p1, p2, r): ( p10)( p2 0)(r0)}
F = {( x1, x2): (x10)(x2 0)}
对任何 ( p1, p2, r)E，与之对应的F 的子集为 ( p1, p2, r) = {(x1, x2)F : ( p1 x1 + p2 x2 r)}。则这一对应关系就
是一个集值映射，并且是对应。我们可把 ( p1, p2)看成价格向量，把 r 看成收入，则集合 ( p1, p2, r)就是支付不超过收入的消费方案的全体——预算集合，因而通常把 : E F 称为预算对应。
( p1, p2, r)
例2(集族) 通常的集族就是集映。比如，集族{Zt}tT 实际上是集映 Z: T F，其中 F = Zt，Z(t) = Zt(对一切 tT )。
tT
x1
x2
1.看作多值映射
通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个，甚至无限多个。
例3. 带人员歧视的价值函数
用 x 表示商品Q的数量，则下述集值映射 v : R+ R+ 是一种带有人员歧视的价值函数：v(x) = {x, exp(x) 1, ln(1+ x)} ( x 0)。这是一个多值函数。
例4. 反三角函数
经常使用的各种反三角函数都是多值函数，它们就是集值映射。比如，反正玄函数 Arcsin(x) 是从闭区间 [1, 1] 到实数直线 R 的集值映射，即Arcsin : [1,1]R, 其中 Arcsin(x) = {2k +arcsin(x): k = 0, 1, 2, }{(2k+1) arcsin(x): k = 0, 1, 2,}。
v
x
x
v(x)
x
exp(x)1
ln(1+ x)
x
x
y
Arcsin(x)
例5. 经济系统集映
社会经济系统本身就是一个集值映射 : AR，其中 A代表经济人的全体，R 是商品空间， (a)代表经济人 a 的选择集合(商品空间的子集)。经济制度及法律法规都能通过集映 : AR 得以体现。
2.看作单值映射
也可把集值映射 : EF 看成是一种单值映射 : EP(F )，其中P(F )是 F 的幂集(power set)，即由集合 F 的一切子集所构成的集合。这种看法的好处在于, 与 x 对应的元素 (x)被作为一个整体来看待，而不再像多值映射那样把 (x)看成是对应于x的多个元素。
当把集值映射看成是单值映射时, 集值映射 : EF 实际上代表着一个集族{ (x)}xE，也就是说，集映 : EF 与集族{ (x)}xE是同一回事。
F
E
(x)
x
把集值映射看成单值映射的又一个好处在于, 当E和F为拓扑空间时, 我们可以给幂集合P(F )赋予适当的拓扑结构，从而可以像单值映射那样来研究集映。
都是本质集映, 例4是非本质集映。对于本质性集映，采用如下的集合论观点看待，将会给分析带来方便。
3.看作乘积集合的子集
G( )
x
(x)
F
E
集映的图像
集映 : E F 可看作是积集合 EF 的子集G( ) = {(x, y)EF : y (x)}。
集合G( )叫做 : EF 的图像。不同集映的图像是不同的，集映与它的图像之间一一对应，因而可把集映与其图像等同看待。
这样, 单值映射 f 与集值映射 表达了相同的对应关系。可见，我们更应该关心本质性集值映射 : E F：存在x, yE使得 x y且 (x) ( y) 。前面的例1,3,5
集值映射可以区分为本质性和非本质性两类。所谓非本质集映 : E F，是指 (x) (xE)互不相交，即对任何x, yE，只要xy，就有 (x) ( y) = 。事实上，如果 : E F 是非本质集映, 那么 必然是某个单值映射 f :FE 的逆映射：(zF )((x = f ( z))( z (x)))。
(x)
( y)
x
y
E
F
非本质集映
(二)、各种类型的集映
E 的子集 K 在集映 : E F 下的像集是指集合 [K ]：
[K ] = (x) = { yF : (xE )( y (x))}
1. 开集映：设 E与F 都是拓扑空间。如果集映 : E F 的图像G( )是积空间 EF 的开子集，则称 : E F 为开集映。
2. 闭集映：设 E与F 都是拓扑空间。如果集映 : E F 的图像G( )是积空间 EF 的闭子集，则称 : E F 为闭集映。
3. 开集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的开子集，则称 : E F 为开集值集映。
4. 闭集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的闭子集，则称 : E F 为闭集值集映。
5. 紧集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的紧子集，则称 : E F 为紧集值集映。
6. 凸集值集映：设 E 为任一集合，F 为向量空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的凸子集，则称 : E F 为凸集值集映。
xE
(三) 集映的连续性
设 E和F 都是拓扑空间， : E F， xE。
1. 上半连续性
在点 x 处上半连续是指：对于F 中
任何包含 (x) 的开集 V ，都存在 x 的邻域
U 使得 [U ]V 。
如果 在 E 中的任何点处都是上半连
续的，则称 是上半连续的集映。
2. 下半连续性
在点 x 处上半连续是指：对于F 中
任何与 (x)相交的开集V ，都存在 x 的邻
域 U 使得 (zU )( (z)V )。
如果 在 E 中的任何点处都是下半连
续的，则称 是下半连续的集映。
E
F
(x)
U
V
上半连续
下半连续
x
F
E
U
(x)
x
V
3. 连续性
在点 x 处连续是指 在点 x 处既上半连续，又下半连续。如果 在 E 中的任何点处都是连续的，则称 是连续集映。
V
U
U
集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广。 的上半连续性是说 (x)不会突然彭胀——框得住； 的下半连续性是说 (x)不会陡然收缩——粘得住。
1.集映连续性的意义
V
(x)
(x)
x
x
粘不住
框不住
在 x 处上半连续，但不下半连续
在 x 处下半连续，但不上半连续
定理 设 : E F，xE，E R ，F R ，m 和 n 都为自然数。
如果 是闭集值集映且 [E ] 是有界的，则 上半连续当且仅当 是闭集映。
若 (x) 是闭集且存在 x 的邻域U 使得 [U ] 有界，则 在 x 处上半连续当且仅当对任何 yF 以及任何序列 xkE 和 yk (xk) ( k = 1,2,)，当 xk x ( k ) 且 yk y ( k ) 时，y (x)。
在 x 处下半连续当且仅当对任何 y (x) 及 E 中任何收敛于 x 的序列xk ( k = 1,2,)，存在F 中收敛于 y 的序列 yk (k = 1,2,)，使得 yk (xk) ( k = 1,2,)。
如果 是闭集值的闭集映且存在 x 的邻域U 使得 [U ] 有界，则 在 x 处上半连续。
2.集映连续性的判别
n
m
本定理为研究集值映射提供了极大的便利。其中的结论(4)直接从(1)得到，它比(1)可能更为有用；结论(2)和(3)分别是集值映射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的。
六、二元关系
消费者在选择消费方案时，会对各种方案进行比较，这种比较实际上确定了选择集合上的一种二元关系——消费方案两两之间的关系。比如，数量比较 就是一种二元关系。一般来讲，集合 X 上的二元关系可定义为 X ² = X X 的子集： = {(x, y)X ² : xy}。
例1. 关系<、>、=、、、<< 都是二元关系。
< = {(x, y)X ² : x<y}, > = {(x, y)X ² : x>y}, = = {(x, y)X ² : x=y}, = {(x, y)X ² : xy}, = {(x, y)X ² : xy}, ≪ = {(x, y)X ² : x≪y}。
例2. 价值关系¥
设 v(x) 是R 上的价值函数。定义 ¥ = {(x, y)X ² : v(x) v(y)}，则 ¥是消费集合X 上的二元关系，称为价值关系。x ¥ y 就是说方案 x的价值没有方案 y 的价值大。
例3. 集映关系
从 X 到自身的集值映射 : X X 实际上表达了 X 上的一个二元关系 ={(x, y)X ² : y (x)}；反过来，X 上的任何二元关系 也都是一个集映 : X X ：(xX )( (x) = { yX : x y})。因此，消费集合 X 上的二元关系恰恰就是从 X 到自身的集值映射。
(一) 二元关系的性质
对于集合 X 上的二元关系 ，以下五条性质是经常用到的。但这些性质不是任何二元关系都具备的，因而要以定义的形式给出。
自 反 性：(xX )(xx)
传 递 性：(x, y, zX )(((xy)( yz))(xz))
完 全 性：(x, yX )((xy)( yx))
对 称 性：(x, yX )((xy)( yx))
反对称性：(x, yX )(((xy)( yx))(x = y))
把以上这些性质组合使用，即可得到常见的几种二元关系：等价关系、半序关系、序关系、半预序关系、预序关系。
等价关系：自反、传递、对称的二元关系。
半序关系：自反、传递、反对称的二元关系。
序 关 系：自反、传递、完全、反对称的二元关系。
半 预 序：自反、传递的二元关系。
预序关系：自反、传递、完全的二元关系。
前面例1中的关系=是等价关系，关系和是半序关系；例2中的价值关系 ¥ 则是预序关系。
(二) 预序关系
预序关系 (pre-ordering) 是消费选择活动中的一种十分重要的关系。实际上，任何评价行为都可用预序关系来反映。如果用 X 表示各种可能的选择方案的全体，那么 X 上的一个预序关系 就给 X 中的方案依次排了队：排在越后，表示越好。不过，这种排队中存在着队员并列的现象，因为它是预序。
序关系(ordering)与预序关系的区别就在于排序中是否有并列现象。按序关系排序，无并列；按预序关系排序，则有并列。要研究预序关系，就必须研究排序中的这种并列关系。为此，设 是集合X 上的预序关系。对于x, yX，当 x 既不排在 y的前面，也不排在 y的后面的时候，x 就与 y 并列，记作 x ~ y。也即，在预序关系 下，X 上的并列关系 ~ 定义为：~ = {(x, y)X ² : (x y)( y x)}。
容易看出，X 上的并列关系 ~ 是等价关系：自反、传递、对称的二元关系。对于xX, 集合 ~(x) = { yX : y ~ x}叫做 x 的并列类或等价类。可以看出，并列类之间互不相交。找出了并列类之后，就可以引出严格预序：对于x, yX, (x y)((x y)(x ≁ y))。预序、严格预序及并列关系~在后面要讲述的消费评价中将有重要作用。
