联立方程组模型
建立联立方程组模型的理由
在实际生活中，社会经济现象是极其错综复杂的，单方程模型往往不能够全面揭示经济过程的运行机制，因而有必要使用多个方程来分别反映不同的方面。
在实际生活中，经济变量之间的因果关系常常不是单方向，而是相互依赖，此时我们需要使用联立方程组模型。
Y＝F（X），同时X＝G（Y）
联立方程组模型的特点
包括两个以上的方程；
联立方程组模型主要由随机行为方程组成，但其中也可以包括确定性的恒等式关系；
对方程组中任何一个方程的参数做估计时，都必须考虑其它方程提供的信息，即所有系数是同时估计得出的；
方程之间可能存在系数约束或误差项相关等情况。
联立性(Simultaneity)
联立性属于解释变量具有内生性(endogeneity)的一种特殊情况，此时因变量与解释变量之间存在双向因果关系；
与其他类型的内生性问题一样，利用工具变量法可以解决模型估计问题。
另一方面，联立方程组模型有一些需要考虑的特殊问题。
联立方程组模型案例：劳动供给与需求
考虑以下的劳动供给函数：
hs = a1w + b1z + u1
式中w表示工资率，z表示影响劳动供给的其他因素。
我们将此方程称作结构式方程
该方程体现了经济学理论对劳动供给的解释
该方程反映出，工资率对劳动供给有一种直接的影响。
出现的问题是，直接做劳动供给与工资率的回归是错误的，因为工资率是由劳动市场供求平衡所决定的。
考虑第二个结构方程，即劳动需求函数：
hd = a2w + u2
联立方程组模型案例：劳动供给与需求
模型中的h和w均为内生变量，因为两者均是由供给和需求均衡条件所决定；
模型中的z则是外生变量，其变化会导致劳动供给曲线发生移动，从而允许我们识别劳动需求曲线。
当劳动需求曲线没有移动因子(shifters)时，劳动供给曲线是无法识别的，因而无法对其做估计。
识别劳动需求曲线
w
h
D
S (z=z2)
S (z=z3)
S (z=z1)
利用工具变量法估计劳动需求曲线
我们可以以z作为w的工具变量，利用工具变量法估计劳动需求方程的结构式；
第一阶段估计的方程为：w = p0 + p1z + v2
第二阶段估计的方程为：h = a2ŵ + u2
这种方法被叫作两阶段最小二乘法(Two stage least square，习惯缩写为2SLS或TSLS)
利用2SLS方法可以得到劳动需求曲线斜率a2的一致估计量。
然而，我们无法估计得到劳动供给曲线斜率a1的估计值。
一般形式的联立方程组模型
假定准备估计的结构方程为：
y1 = a1y2 + b1z1 + u1
式中y2 = a2y1 + b2z2 + u2
因而有：
y2 = a2(a1y2 + b1z1 + u1) + b2z2 + u2
即(1 – a2a1)y2 = a2 b1z1 + b2z2 + a2 u1 + u2,
该式可以被写作：
y2 = p1z1 + p2z2 + v2
这即是y2的简化式方程。
一般形式的联立方程组模型
将
By substituting this reduced form in for y2, we can see that since v2 is a linear function of u1, y2 is correlated with the error term and a1 is biased – call it simultaneity bias
The sign of the bias is complicated, but can use the simple regression as a rule of thumb
In the simple regression case, the bias is the same sign as a2/(1 – a2a1)
Identification of General SEM
Let z1 be all the exogenous variables in the first equation, and z2 be all the exogenous variables in the second equation
It’s okay for there to be overlap in z1 and z2
To identify equation 1, there must be some variables in z2 that are not in z1
To identify equation 2, there must be some variables in z1 that are not in z2
Rank and Order Conditions
We refer to this as the rank condition
Note that the exogenous variable excluded from the first equation must have a non-zero coefficient in the second equation for the rank condition to hold
Note that the order condition clearly holds if the rank condition does – there will be an exogenous variable for the endogenous one
估计一般化的联立方程组模型
利用现代计量经济学软件估计联立方程组模型并不复杂；
用2SLS方法时的工具变量是供给和需求方程中的外生变量；
这一方法可以扩展到由更多方程组成的方程组模型；
对于每个可识别的方程，其工具变量是整个方程组中的所有外生变量。
需要注意的是，大型系统模型的外生变量数量可能相当大，因而会出现自由度的限制。
非联立的系统回归模型
例1：厂商投资行为模型Ii=f(EPi, CRi)
虽然每个厂商都根据如预期利润和需更新资本的数量等因素独立制定投资决策，但由于受到共同的政策和市场环境的影响，误差项可以出现相关。
例2：消费系统模型Qij=f(Yj, Pij)
消费者的预算是一定的，因而在某个商品上多支出必然意味着在其他商品上少支出，因而存在商品需求方程间误差相关。
联立方程组案例
例1：凯恩斯宏观经济学模型
式中：C=宏观消费，I=总投资，Y=GDP，G=政府支出，R=利率。
例2：简化的市场均衡模型
式中：P=价格，Y=收入。
联立方程组中的变量分类
以案例2为例：
内生变量（Endogenous variable）：
Dt，St和Pt
前定变量（Pre-determined variable）
外生变量（exogenous variable）：Yt
滞后的内生变量（lagged endogenous variable）：Pt-1
联立方程组模型的形式
结构形式(Structural form)
联立方程组模型的结构形式是用完整的方程系统描述经济变量之间的关系结构。结构模型设定反映出所依据的经济理论。
在结构形式模型中，每个内生变量都表示成其它内生变量、前定变量和随机误差项的函数。
结构形式模型的参数有直观的经济意义，它们表示出各方程中的自变量对因变量产生的直接影响。
联立方程组模型的形式
简化形式(Reduced form)
在联立方程组模型的简化形式中，每个内生变量都表示为前定变量和误差项的函数，其特点是每个方程左端是一个内生变量，右端只包含前定变量和误差项，即简化形式中每个方程只有一个内生变量。
简化形式参数反映自变量变化引起的调整过程充分完成时对内生变量产生的综合影响。
获得联立方程组模型简化形式的方法
以市场均衡模型为例
方法1：直接写出模型的简化形式
方法2：由模型的结构形式推导出简化形式
结构形式与简化形式的比较
简化形式参数是结构形式参数的函数，简化形式误差项是结构形式误差项的函数。
简化形式参数考虑了内生变量之间的相互依存性，可以度量前定变量的变化对内生变量的综合影响，包括直接和间接影响。结构形式参数只表示单一自变量变化的直接影响。
简化形式本身是模型解的表达式，根据已知的外生变量值和内生变量滞后值，可以由简化形式直接计算出内生变量的值。
简化形式系数可以直接用于政策分析和预测。
联立方程组模型的矩阵形式
设模型包含G个内生变量Y1，Y2，…，YG，K个前定变量Z1，Z2，…，ZK（包括外生变量X和滞后内生变量Y）,那么结构式模型的一般矩阵形式为：
联立方程组模型的矩阵形式
方程个数应等于内生变量个数，此时一般保证有唯一解；反之当方程个数少时无解，多时可能有多个解。
内生变量的结构参数矩阵必须是可逆的。
模型中的截距项可以被看作是一个恒等于1的变量的系数，也可以用转换为离差表示方式消去。
必要时可以用 去除第j个方程两端，使该方程中内生变量的系数为1（标准化）。
未包含在方程中的内生变量和前定变量的参数为0，即等于施加了零约束。
联立方程模型产生的问题
在联立方程的结构式中，解释变量不仅包含前定变量，而且包含内生变量，因而产生下列问题：
用作解释变量的内生变量与方程误差项出现相关；
此时用OLS得到的结构参数估计量是有偏的，并且是不一致的；
方程间的误差项可能出现相关。
下面用一个简单的联立方程模型来证明上述结论。
联立方程模型产生的问题
考虑由两个方程组成的方程组模型
从逻辑关系可以看出，方程1的误差影响Y1，Y1又可以将影响传递到Y2，从而影响到第二个方程的误差项，导致内生的解释变量与误差项出现相关，即：
联立方程模型产生的问题
证明：将第一个方程代入第二个方程，整理得到：
所以采用OLS方法直接估计结构式参数得到的结果将是有偏的和不一致的。
联立方程模型的识别问题
对估计前联立方程模型前需要确定模型是否可以识别。
模型识别指能否利用样本数据得出模型参数的估计结果。
只有在模型中任何一个结构方程都是可以识别的条件下，才能考虑估计问题。
因此，模型识别应当在模型设定阶段解决。
联立方程模型的识别问题
例：市场模型
可以用代数解析方法得到模型的简化式：
估计简化式仅可以得到两个常数项，然而这两个常数项为四个结构参数的函数，因而无法得出结构参数。
供给与需求曲线识别问题
Q
P
Q
P
Q
P
不可识别情况
需求曲线移动，可以识别供给曲线。
D(Y3)
D(Y2)
D(Y1)
D(Y2)
D(Y1)
S(W1)
S(W2)
S(W1)
供给和需求曲线均移动，可以识别。
供给与需求曲线识别问题
另一方法是，用任意常数和（1-）分别乘以原始模型第一和第二个方程的两端，然后相加，经整理可以得到：
该曲线为供给曲线和需求曲线的线性组合方程，随权重的变化可以得到无穷个组合。
此时需求函数、供给函数和组合方程具有相同的内生变量和外生变量，我们无法确定利用观察数据估计得出的方程究竟是供给方程还是需求方程，即需求函数和供给函数均为不可识别的。在此情况下，增加观察值并不能够解决模型参数识别问题。
供给与需求曲线识别问题
从前面的图形可以注意到，当假定供给曲线或需求曲线中的一条移动位置而另一条保持不变时，那么后者的位置可以被确定。
例2：在上面的需求函数中加入一个外生变量Y（消费者收入〕，模型变为：
此时供给函数可以被识别，而需求则不能被识别。
供给与需求曲线识别问题
例3：在供给函数中加入一个外生变量W（气候变量〕，需求函数不变，模型变为：
此时需求函数具有唯一的统计形式，因而它可以被识别，而供给函数的形式不是唯一的，不能够被识别。
供给与需求曲线识别问题
例4：在需求函数和供给函数中分别加入外生变量Y和W，模型变为：
从结构式模型得出的简化式模型为：
由结果可以看出，所有的结构式模型参数均可以由简化式模型参数得出，并且值是唯一的，因而需求函数和供给函数都是可以识别的。
供给与需求曲线识别问题
例5：在例4基础上在供给方程中再加入一变量T（技术），模型变为：
得到的简化式模型共有8个参数，而结构式模型仅有7个待估计参数，因而可以得出多组结构式参数，此时模型为过度识别的。
模型识别的定义
如果模型的第i个结构方程同模型中其它任何一个方程以及任意线性组合方程包含的内生变量或者前定变量不完全相同，那么称第i个结构方程具有唯一的统计形式；相反，如果模型的第i个结构方程同模型某个方程或线性组合方程具有相同的内生变量和前定变量，那么就称第i个结构方程的统计形式不唯一。
如果第i个结构方程具有唯一的统计形式，那么它是能够被识别的；如果其统计形式不是唯一的，那么它是不能被识别的。
模型识别的定义
对模型的识别应逐个考虑每一个方程；
若联立方程模型中所有的方程都可以被识别，则称该模型是可识别的；
识别是针对需要估计系数的方程而言的，因而只需要识别随机方程，对定义方程和均衡方程不存在识别问题；
识别的对象是结构式方程；
对模型中的截距项如何处理不影响识别结果；
识别的定义有多种，如统计形式唯一，结构参数唯一确定等，它们都是等价的。
模型识别的条件
设：
G＝模型中内生变量（方程）的个数
K＝模型中前定变量的个数；
gi＝第i个方程中内生变量的个数；
ki=第i个方程中前定变量的个数；
mi＝第i个方程中未包括的内生变量、前定变量总数（即零约束的个数）。
识别的阶条件
（Order condition）
第i个方程可识别的阶条件：
如果未包括在方程i中的前定变量个数大于或等于该方程中包括的内生变量个数减1，则该方程是可以识别的，即K-kigi-1。
另一种表达方法是，如果方程i结构式中约束条件的个数（未包括在该方程中的变量个数）大于或等于系统中方程（内生变量）个数减1，则该方程是可以识别的，即K-ki+G-gi＝miG-1
阶条件是方程可被识别的必要条件。阶条件成立不能断定第i个方程可以被识别；但阶条件不成立则可以断定第i个方程不可被识别。
识别的秩条件
（Rank condition）
在结构参数矩阵内划掉第i行，同时划掉第i行上非零元素所在列，剩下的元素按原来的排列组成矩阵A，A是G-1行mi列矩阵。
第i个方程可识别的秩条件：在一个包括G个内生变量的方程组中，如果所有其它方程对应于第i个方程中未包括（内生和前定）变量的系数至少构成一个(G-1)(G-1)非零行列式，即R(A)=G-1，或说A的列数不小于行数或A为满秩矩阵，那么方程i是可以识别的。
秩条件为方程可被识别的充分必要条件。
例：模型识别
阶条件：
方程 K-ki gi-1 mi 结论
1 2 2 3 正好识别
2 1 1 3 正好识别
3 1 1 3 正好识别
4 2 2 3 正好识别
例：模型识别
秩条件：
方程1 不足以识别
方程2 不足以识别
模型识别
模型中方程i的结构式参数可以识别的一般准则：
如果K-kigi-1（或miG-1）且A的秩为G-1，则该方程是过度识别的；
如果K-ki=gi-1（或mi=G-1）且A的秩为G-1，则该方程是恰好识别的；
如果K-kigi-1（或miG-1）且A的秩小于G-1，则该方程是不足以识别的；
如果K-kigi-1（或miG-1），则该方程是不足以识别的。
判断方程可识别性的步骤
阶条件G-1≤mi是否成立？
秩条件R(Ai)＝G-1是否成立？
G-1≦mi ？
不可识别
不成立
成立
不可识别
不成立
成立
恰好识别
等于
过度识别
小于
模型识别案例：市场均衡模型
第一个方程的阶条件：
G＝3，K＝3，g1=2，k1=1，G-1=2，m1=(3+3)-(2+1)=3，满足阶条件。
第二个方程的阶条件：
g2=2，k2=2，m2=6-4=2，满足阶条件。
模型识别案例：市场均衡模型
秩条件判别
写出结构参数矩阵如：
可以看出，第一个方程为过度识别的，第二个方程为恰好识别的 。
模型识别案例：宏观经济模型
消费函数
投资函数
税收函数
定义方程
式中：Y为国民收入，C为消费额，I为投资额，T为税收，G为政府支出。
模型中的内生变量：Yt，Ct，It和Tt；
模型中的前定变量：Yt-1和Gt。
模型识别案例：宏观经济模型
结构参数矩阵：
第一个方程：
阶条件：G＝4，K＝2，g1=3，k1=0，M1=(4+2)-(3+0)=3，G-1=3，满足。
秩条件：Rank（A1）＝2，小于G-1，不可识别。
模型识别案例：宏观经济模型
第二个方程：
阶条件：g2=1，k2=1，M2=(4+2)-(1+1)=4，G-1＝3，满足。
秩条件：Rank（A2）＝3＝G-1，过度识别。
第三个方程：
阶条件：？
秩条件：？
联立方程模型估计问题
由于模型中存在内生的解释变量，因而直接用OLS方法估计联立方程模型中的每个方程，所得到的系数是有偏的和不一致的。
计量经济学家发展了一些可以用于估计联立方程模型的方法，其核心思想是
避开内生解释变量
用其它变量替代内生解释变量
这些方法通常建立在估计量的一致性特点基础上，既适合于大样本情况。
情况1：似乎无关的方程组
似乎无关方程组模型并没有将内生变量作为解释变量，但不同方程的内生变量存在概念上的相互联系，或受到共同的外部因素影响，导致方程间误差相关。
以一个由三个方程组成的系统模型为例：
若各方程的误差项相互独立，那么可以用OLS方法分别估计每个方程，并得到参数的无偏估计。
若存在方程间的误差相关，那么OLS方法没有能够有效利用这一信息，所得到的估计结果不是最有效的。
情况1：似乎无关的方程组
例：线性支出系统（ LES）
式中：vi为用于第i种商品的支出，V为用于全部N种商品的总支出，Pi为第i种商品的价格， 为第i种商品的基本消费需求量。
根据定义有 和
这意味着，模型中的N个方程并非相互独立，在任意N-1个方程已知的情况下，可以利用总和条件得到第N个方程。同样的，N个方程的误差项也是相关的。
情况1：似乎无关的方程组
例2：近似理想的消费系统模型(AIDS)
式中：wi为用于第i种商品的支出份额，Pj为第j种商品的价格，V为总消费支出，P为一综合价格指数。
与LES模型相类似，所有支出份额之和等于1，这意味着存在方程间误差项相关。
情况1：似乎无关的方程组
上述模型可以采用似乎无关的方程组估计方法（SUR），其步骤为：
用OLS方法估计每个方程，得到相应的误差项估计；
利用估计的误差计算系统模型的误差方差-协方差矩阵；
利用扩展最小二乘法重新估计每个方程，并得到新的误差项估计；
计算新的方差-协方差矩阵；
重复步骤3和4，直到达到满意的收敛标准时为止。
情况1：似乎无关的方程组
在EVIEWS软件中，SUR是系统估计方法中的选项之一。
调用SUR方法，需要先建立一个系统模型文件：
在菜单中选择Objects->New Object->System
写出系统中所有方程的数学表达式（线性和非线性），包括统计方程和定义方程，所有待估计参数均用向量C依序表示，可以加上方程间的参数限制，在一些情况下需要给出参数的初始值。
在完成这一工作后，在菜单中调用Estimate -> Seemingly unrelated Regression->Ok进行估计
由输出结果可以得知每个方程的信息；
可以在菜单中选择Spec来修改系统文件。
情况1：似乎无关的方程组
一般地说，由于SUR方法考虑了方程间的误差相关，并利用这种信息来改善参数估计的有效性，因而得到的参数估计方差较小。
需要注意的是，若系统中某一个方程存在设定错误，那么利用OLS方法估计仅使该方程估计结果受到影响；而利用SUR方法时，这一错误会使全部方程估计结果都受到影响，因而在模型设定上需要格外仔细。
情况2：递归系统模型估计
递归系统(Recursive regression)模型使用内生变量作为解释变量，但具有一种特殊的设定形式。下面是一个由三个方程组成的递归系统模型：
假定有
情况2：递归系统模型估计
在结构模型参数已知的条件下，可以由第一个方程解出与给定的Z相对应的Y1，然后利用Y1由第二个方程解出Y2，最后利用Y1和Y2由第三个方程解出Y3。
在假定方程间误差不相关的条件下，后两个方程中的内生变量与误差项不会出现相关（可以由下面的简化式看出），因而用OLS方法分别估计每个方程，所得到的结果是无偏的和一致的。
情况2：递归系统模型估计
例：农产品市场蛛网模型
需要注意的是，根据假定，内生变量Y是一个随机变量，因而对于递归系统模型来说，仍存在解释变量测定误差问题。
在实际工作中，由于经济变量很少能够完全满足古典假定要求，通常采用的做法是忽略此问题，也可以采用工具变量法进行估计。
情况3：联立方程组模型估计
估计联立方程组模型有多种方法，分别适用于不同的情况，具有不同的优点和问题。
单方程估计：
间接最小二乘法
工具变量法
两阶段最小二乘法
系统估计：
两阶段最小二乘法
三阶段最小二乘法
完全信息最大似然法
情况3：联立方程组模型估计
(间接最小二乘法)
间接最小二乘法适用于模型为恰好识别的情况，在步骤上首先估计模型的简化式，然后利用得到的参数估计值计算出模型的结构式参数。
例：市场模型
该模型的阶条件为g1＝2，k1＝1，K＝2，两个方程均为恰好识别。
情况3：联立方程组模型估计
(间接最小二乘法)
上述模型的简化形式为：
即
模型的6个结构参数可以由6个简化式参数计算得出：
情况3：联立方程组模型估计
(间接最小二乘法)
间接最小二乘法估计模型的步骤为：
确定模型中哪些方程可以被识别；
将结构式参数表示成简化式参数的函数；
用OLS方法估计可识别方程的简化式参数；
计算出结构式参数的间接最小二乘法估计量（需要注意的是，此时无法得到对结构式参数估计值的统计检验结果）。
间接最小二乘法不适合用于估计不足以识别的方程和过度识别的方程；
间接最小二乘法估计量是有偏的，但具有一致性。
情况3：联立方程组模型估计
（工具变量法）
工具变量法可用于过度识别情况，在正好识别时结果与间接最小二乘法相同。
考虑以下模型：
第一个方程是过度识别的，第二个方程是不足识别的，因而只能估计第一个方程的参数。
在估计第一个方程时，可以任选一个z作为工具变量，即： 或
情况3：联立方程组模型估计
（工具变量法）
需要注意的是，在满足有关工具变量的假定条件下，两个估计值都具有无偏性和一致性，但得到的估计结果不同。
可以挑选与y2相关系数大的z作为工具变量，此时得到的估计参数方差一般较小。然而这一方法没有能够充分利用信息。
工具变量法的核心是选择适当的工具变量Z，该变量应该满足下列两个条件：
Z与误差项高度不相关；
Z与Y高度相关。
情况3：联立方程组模型估计
（工具变量法）
一般可以用所考虑的方程中未包括的前定变量做内生解释变量的工具变量。
对于恰好识别的方程组，每个方程中排斥的前定变量是唯一的，也就是说全部排斥的前定变量都要被用做工具变量，得到估计结果是唯一的。
对于过度识别的方程，工具变量有多种选择，造成估计值不是唯一的。解决此问题可以采用将所有被排斥的前定变量的线性组合作为工具变量。这样做的一种办法是建立内生解释变量对所有未包括在该方程中的外生变量的回归，用得到的拟合值作为工具变量。
情况3：联立方程组模型估计
（工具变量法）
以述模型为例，首先回归
然后利用估计方程计算出 作为y2的工具变量，得到工具变量估计值：
工具变量估计值的特性
估计值是有偏的，但具有一致性;
估计值非为渐近有效的，即与其它估计方法相比，不具有最小方差。
情况3：联立方程组模型估计
（两阶段最小二乘法）
两阶段最小二乘法可用于过度识别情况，其优点是可以利用已知的全部信息。在恰好识别情况下，这一方法得到的结果与间接最小二乘法相同。其步骤为：
列出内生解释变量的简化式方程并用OLS方法估计，即估计Y=F（Z）；
用内生解释变量的估计值取代原方程中的内生解释变量，注意此时该估计值为所有前定变量的一个线性组合。
对原方程进行第二阶段估计，得到结构式参数的两阶段最小二乘法估计值。
情况3：联立方程组模型估计
（两阶段最小二乘法）
二阶段最小二乘法不仅保证得到唯一解，同时由于较充分地利用了信息，使估计参数的方差降低。
从性质上说，二阶段最小二乘法为一种特定的工具变量法。
对于大模型，由于前定变量的数量极大，采用两阶段最小二乘法会遇到多重共线和缺乏自由度的问题。
情况3：联立方程组模型估计
（两阶段最小二乘法）
以前述的过度识别模型为例，首先估计
然后利用估计方程计算出 ，然后用其取代原方程等号右边的y2，得到两阶段最小二乘法估计量：
利用表达式 可推出
情况3：联立方程组模型估计
（三阶段最小二乘法）
三阶段最小二乘法的步骤为：
列出内生解释变量的简化式方程并用OLS方法估计，即估计Y=F（Z）；
用内生解释变量估计值作为原方程中内生变量的工具变量；
对原方程进行第二阶段估计，得到结构式参数的二阶段最小二乘法估计值；
利用残差估计值计算方程间误差的方差-协方差矩阵，并利用扩展最小二乘法方法进行校正；
重新估计方程组，并得到新的残差估计值；
重复步骤4和5，直到达到满意的收敛标准时为止。
情况3：联立方程组模型估计
（三阶段最小二乘法）
在EVIEWS软件中，采用三阶段最小二乘法估计也需要先编写系统文件，其内容同前述SUR方法情况。
使用两阶段和三阶段最小二乘法时，必须在系统文件中设定工具变量，这有两种方式：
所有方程使用相同的工具变量，此时在系统文件中加一行：Inst 工具变量表
不同方程用不同的工具变量，此时在相应方程后增加@ 该方程的工具变量表
如果需要提供初始值，那么在系统文件中加一行
Param C(1) C(2) –2 …
如果考虑误差项自回归，那么可以在相应方程后加上[ar(t)=C(i)]，式中t为自回归阶数，i为参数序号。
练习：联立方程组模型估计
（农村居民LES/ELES模型）
利用所给的数据文件RELES；
按前述步骤建立系统文件（以LES为例）：
efood=c(1)*pfood+c(2)*(texp-c(1)*pfood-c(3)*pcloth-c(5)*phouse-c(7)*pothers)
ecloth=c(3)*pcloth+c(4)*(texp-c(1)*pfood-c(3)*pcloth-c(5)*phouse-c(7)*pothers)
ehouse=c(5)*phouse+c(6)*(texp-c(1)*pfood-c(3)*pcloth-c(5)*phouse-c(7)*pothers)
估计模型（可以分别选择OLS和SUR方法）。
例如自然灾害对所有农作物生产产生影响，政策变化/战争等也可以产生广泛的影响。
