統 計 學
普林斯頓國際有限公司
書號：512282
編著 江建良
第十章 實驗設計與變異數分析
10-1 實驗法與實驗設計
10-2 統計的實驗設計
10-5 多重比較
10-3 變異數分析的基本概念
10-6 隨機區集設計的變異數分析
10-4 完義隨機的變異數分析
10-7 拉丁方格設計的變異數分析(選讀)
10-8 二因子設計的變異數分析(選讀)
10-1 實驗法與實驗設計
P366
實驗法的意義：
係指在控制的情境之下，實驗者有系統的操弄 (manipulate) 實驗變數 ( 又稱實驗因子或自變數 )，以觀察其對實驗結果 (又稱反應變數、依變數) 的影響之研究程序。
實驗單位 (experimental unit)：
即被實驗的對象，如：單位或人 (受測者、受試者)。
實驗變數 (experimental variable)：
即實驗者所操弄的變數，一般稱為自變數 (independent variable) 或實驗因子 (factor)。表示實驗因子的狀態，稱為水準 (level)，而因子水準的特定組合，稱為處理 (treatment)。
實驗法的要件：
10-1 實驗法與實驗設計
P366
實驗法的要件：
反應變數(response variable)：
即實驗結果的變數，一般稱為依變數 (dependent variable)。
實驗設計(experimental design)：
即能增加實驗效果精確度的一些方法，如控制在干擾變數等方法。
變異數分析(ANOVA; analysis of variance)：
即衡量自變數對依變數影響效果的統計方法。
(p. 366 例10-1)
實驗法的要件
例：某連銷超商經理想了解行銷部所提出的三種不同促銷方案，對營業額的增加效果是否相同，此時就需要透過實驗法的方式來進行了。在實驗法中，促銷手法稱為因子(factor)，三種不同的行銷手法就為處理(treatment)或水準(level)，而營業額就稱之為反應變數(response variable)或依變數(dependent variable)，實施促銷手法的超商就稱為實驗單位(experiment unit)。由於我們的目的是要了解不同的促銷手法對營業額的效果是否相同，因此，變異數分析也可以用來回答這樣的問題。
另外，由於只考慮一個因子，因此也稱為一因子變異數分析(one-way ANOVA)。
10-1 實驗法與實驗設計
P367
實驗設計的意義與類型：
實驗設計的意義：
狹義的實驗設計：利用某些技巧 (如隨機性、重複性、區集性等) 使實驗變數能充分發揮其對反應變數的影響，並能牌除實驗變數以外的干擾變數，以純粹觀察實驗變數對反應變數的影響效果，而能提高實驗分析的精確度。
(2) 廣義的實驗設計：泛指在進行實驗設計之前，對實驗如何進行所做的計畫。如擬定實驗假設、決定自變數與依變數、考慮如何控制外來干擾變數、如何減少實驗誤差、如何抽樣及選擇適當的統計方法，甚至利用實驗結果加以推論等均是。
10-1 實驗法與實驗設計
P367
實驗設計的意義與類型：
實驗設計的類型：
(1) 因子設計：係指對實驗因子 (即實驗變數) 作適當處理
的設計，使其能充分顯示出實驗因子對
反應變數的影響情形。
(2) 區集設計：係指依據某一外在影響變數，將實驗單位
區分為若干區集，然後再觀察實驗因子對
反應變數的影響效果。
例：價格對銷售量的影響 (p. 368)
10-1 實驗法與實驗設計
P369
實驗設計的意義與類型：
實驗設計
因子設計
區集設計
一區集設計(簡單區集設計)
二區集設計(拉丁方格設計)
一因子設計
二因子設計
10-2 統計的實驗設計
P369
完全隨機設計：
係指沒有區集設計的一因子實驗設計，
通稱為一因子分類 (one-way classification) 的實驗設計，
這是較簡單的實驗設計。
(p. 370 例10-2)
假設檢定的寫法：
H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3
H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3
上述等號至少有一個不成立
10-2 統計的實驗設計
P370
隨機區集設計：
係指一區集設計的一因子設計之實驗設計。
其特色乃依某一外在變數將實驗單位劃分為若干區集 (block)，使區集變數能吸收反應變數的某些變異，
而減少抽樣所造成的誤差。屬於二因子分類 (two-way classification) 的實驗設計。
(p. 371 例10-3)
假設檢定的寫法：
(1) H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3
H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3
(2) H΄0:不同商店類型，銷售量並無顯著差異。 H΄0:μ΄1=μ΄2=μ΄3
H΄1:不同商店類型，銷售量有顯著差異。 H΄1: μ΄1≠μ΄2≠μ΄3
10-2 統計的實驗設計
P373
二因子設計：
可衡量各個實驗因子的個別效果，稱為主要效果 (main effects)。
在重覆的實驗單位下，可衡量兩實驗因子間是否發生交互作用 (interaction effects，又稱為互動效果 )。
(交互作用係指當一個實驗因子與反應變數之關係，依另一實驗因子的不同水準而顯著改變；此為二因子變異數分析之主要目的)
是指二個實驗因子的實驗設計 (區集設計可依實際需要加入
或不加入 )。
假設二因子為A與B因子，各有a與b個水準，稱為a×b的二因子設計。於實驗設計中，共有a×b個處理水準（ 即a×b個方格），A與B因子中之水準可為重覆或不重複。
二因子設計之特點：
10-2 統計的實驗設計
P373
二因子設計：
(p. 374 例10-5) 獨立樣本二因子變異數分析
假設檢定的寫法：
(2) 實驗因子A之影響效果
H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3
H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3
(3) 實驗因子B之影響效果
H΄0:包裝差異，銷售量並無顯著差異。 H΄0:μ΄1=μ΄2=μ΄3
H΄1:包裝差異，銷售量有顯著差異。 H΄1: μ΄1≠μ΄2≠μ΄3
(1) A與B因子之交互作用
H˝0:價格與包裝無交互作用。 H˝0:μ˝1=μ˝2=μ˝3
H˝1:價格與包裝有交互作用。 H˝1: μ˝1≠μ˝2≠μ˝3
(即價格對銷售量的影響受包裝的影響)
10-2 統計的實驗設計
P370
拉丁方格設計：
係指二區集設計的一因子設計之實驗設計。
其特色為一種雙向區集設計，包括行區集設計、列區集設計。
拉丁方格的特色是若實驗因子有K個水準，則外在變數須分為K類，實驗單位須有K×K 個，並以隨機方式將實驗因子的水準分派到各個實驗單位，且同行或同列不得出現相同的處理水準（把實驗因子所造成的效果加以平衡，以看出實驗處理效果之差異）。(p. 372 例10-4)
當有三個因子，而每個因子的水準數都相等，且這三個因子之間並無交互作用存在時，可用拉丁方格實驗設計來代替三因子變異數分析的實驗設計。
假設檢定的寫法：
(1) H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3
H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3
(2) H0:不同商店類型，銷售量並無顯著差異。 H΄0:μ΄1=μ΄2=μ΄3
H1:不同商店類型，銷售量有顯著差異。 H΄1: μ΄1≠μ΄2≠μ΄3
(3) H0:商店地點不同，銷售量並無顯著差異。 H˝0:μ˝1=μ˝2=μ˝3
H1:商店地點不同，銷售量有顯著差異。 H˝1: μ˝1≠μ˝2≠μ˝3
實驗設計之實施步驟
找出並詳細說明問題所在
決定影響之因子與其水準數和範圍
選擇應變變數
尋找適當之實驗設計
進行實驗
統計分析
做出結論與建議
實驗設計
10-3 變異數分析的基本概念
P376
變異數分析的意義：
係指將實驗的結果 (即反應變數) 按變異發生的原因，
區分為實驗變數所造成的變異 (即已知原因所造成) 及
外在干擾變數 (即實驗因子以外的因素) 所造成的變異
[通稱為實驗誤差 (如：抽樣與非抽樣誤差)]，
再配合這兩類變異的自由度取成變異數，再轉換成分配，
用分配來檢定各變異是否有顯著差異，以判斷變異發生的原因，是否顯著的統計方法。
變異數分析(analysis of variance) ： 用來檢定三個或三個以上母體平均數，是否有顯著性差異的方法。
變異數分析的意義
統計學家. Fisher（1890～1962）首創變異數分析（Analysis of Variance，ANOVA），在相同的顯著水準下，同時（simultaneously）檢定k個母體平均數是否相等的方法，謂之。
一因子ANOVA（one-way ANOVA）：以一個解釋變數來解釋反應變數變異來源的一種分析方法。
二因子ANOVA（two-way ANOVA）：以兩個解釋變數來解釋反應變數變異來源的一種分析方法。
多因子ANOVA：按兩個以上因子分類分析。
變異數分析的意義、原理
……………
………………
3因子ANOVA
機器 + 操作人員 + 原料
2因子ANOVA
機器 + 操作人員
1因子ANOVA
機 器
……………
………………
3因子ANOVA
小麥品種 + 肥料 + 土壤
2因子ANOVA
小麥品種 + 肥料
1因子ANOVA
小麥品種
因子ANOVA
考慮因素
10-3 變異數分析的基本概念
P377
變異數分析的基本假設：
每個處理水準 (即依實驗因子的準分組之各組樣本資料) 的母體，均為常態分配。
每個處理水準的母體之變異數相等。
抽自各母體的各組隨機樣本互為獨立。
實驗結果的變異可區分為實驗因子所造成的變異，加上實驗因子以外的因素所造成的變異。
變異數分析基本觀念
變異數分析既然是以變異數為名，自然地它的基本觀念自是源自資料的變異，而其想法是利用全部資料的變異，也就是指所有資料與其平均數差的平方和，然後再考慮個別母體間的變異與個別母體內的變異，再由其間的差異來做比較。
因此變異數分析的基本觀念在虛無假設的成立下，亦即假設所有母體的平均數均相等的情況下，將所有樣本資料混合的變異分成兩部分：一部分為各母體內的變異，另一部分為各母體間的變異。然後再去比較這兩個部分的變異比值，是否足以支持虛無假設成立的假說。
變異數分析基本觀念
變異數分析中虛無假設成立的狀況
變異數分析基本觀念簡介
變異數分析中對立假設成立的狀況
ANOVA方法是透過對變異數的分析來同時檢定k個母體之平均數 i，i = 1, 2, …, k是否相等。即檢定，H0：1 = 2 =…= k，H1：至少有二平均數不等。
ANOVA的步驟是將樣本各觀測值之總變異（total of variation）分解為組間變異（between of variation）與組內變異（within of variation）。
組內變異：由各組本身資料的分佈情形去觀察資料本身內部的變異。
組間變異：由各組平均數的分佈情形去觀察各組平均數之間的變異。
變異數分析基本觀念
總變異(sum of squares due to total,SSt) ：混合後資料的變異。
處理間變異(sum of square between treatment, SSb )
處理內變異 (sum of square due to error,SSE; sum of square within treatment; SSw)
總變異=處理間變異+處理內變異
SS (sum of square): 平方和
變異數分析基本觀念
單因子變異數分析標準資料表
其中，yij代表第i水準下第j個觀測值。
變異數分析基本觀念
母體間的變異：各組組平均與總平均數間之變異總和
母體內的變異：各組內離均差平方和之總和
總變異：各個數值與總平均數之差的平方和
離均差 (deviation)：任一樣本觀察值yi與其平均數 的差，即
變異(variation)：離均差的平方，即 2
離均差平方和 (sum of square for deviation) ：所有變異相加，即
變異數的估計
變異數 (variance) 或均方(mean of square): 離均差平方和除以自由度，即
變異數分析中的一個假設條件是隨機樣本，因此MSb和MSw是獨立的，所以MSb與MSw的比值將是一個分子自由度為，分母自由度為的F分配。
10-4 完全隨機的變異數分析
P382
變異數分析(摘要)表：
nk - 1
SST
總 和
k (n – 1)
SSE (SSW)
誤 差
k - 1
SSB
處 理
F
均方 MS
自由度 df
平方和 SS
變異來源
實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位相同(即分為 k 組，每組樣本大小 n 相等)：
獨立樣本單因子變異數分析表 ( 樣本大小相同 )
MSB
SSB
=
-
k
1
MSE
SSE
=
-
k
n
(
)
1
F
=
MSB
MSE
10-4 完全隨機的變異數分析
P383
變異數分析表：
SST
總 和
SSE
組內
(誤 差)
k - 1
SSB
組間
(處 理)
F
均方 MS
自由度 df
平方和 SS
變異來源
實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位不同(即分為 k 組，每組樣本大小 n 不同)：
獨立樣本單因子變異數分析表 (樣本大小不等)
F
=
MSB
MSE
n
1
i
i
k
-
=
å
1
n
k
i
i
k
-
=
å
1
MSB
SSB
=
-
k
1
MSE
SSE
=
-
=
å
n
k
i
i
k
1
10-4 完全隨機的變異數分析
P382
變異數分析表：
相依樣本單因子變異數分析表 (樣本大小必定相等)
MSB
=
-
k
1
MSres
SSres
=
-
(k-1)
n
(
)
1
F
=
MSres
實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位重覆
nk - 1
SSt (5)
總 和
(k-1) (n – 1)
SSres (4)
殘 差
k - 1
(3)
處 理
n (k-1)
SSw. subject (2)
受試者內
(n – 1)
(1)
受試者間
F
均方 MS
自由度 df
平方和 SS
變異來源
相依樣本時，除了將MSw( 組內變異數估計值) 改為MSres( 殘餘誤差)(SSres=SSw-SSb. treatment)，將dfw 改為dfres=(k-1)(n-1) 之外，其他都與獨立樣本時的算法一樣。
(2) =SSres (3) + (4); SSt (5) = (1) + (2)
10-4 完全隨機的變異數分析
P383
變異數分析的步驟：
將總變異區分為實驗因子變異(處理變異、可解釋變異)與誤差變異(未解釋變異)。
總變異
實驗因子變異
誤差變異
決定各變異對應之自由度。
將變異平方和除以自由度，化為變異數 ( 即均方 )。
求算 F 統計量。
若
F
F
f
f
>
-
(
:
)
1
1
2
α
時，放棄 H0。
-676
關聯強度
變異數分析的結果若F值達到顯著水準，即可說自變項與依變相之間有關聯存在，其關聯強度 (strength of association) ω2為：
SSb-(k-1)MSw
SSt+MSw
即自變項所能解釋依變項的總變異百分比。
當F值達到顯著水準時ω2將會是正值，若為負值則要解釋為”0”
當樣本數很大而使MSw變得很小時，F值很容易達到顯著。此時若ω2很小，即使在統計上有意義，實際應用上仍然沒意義。
10-5 多重比較
P390
事後比較：共有
對平均數比較使用
檢定。
當變異數分析達顯著水準，才
可實施。
C
F
k
2
多重比較
任取一對或某些對作平
均數比較
個別
之估計。
m
i
事前比較
t
檢定
事後比較：當變異數分析的F值達到顯著水準後才須尋找到底哪些對平均數之間有顯著差異。
10-5 事後比較
杜凱氏HSD 法(Tukey’s Honestly Significant Difference)：HSD 法係由. Tukey 於1953 年發展而成，此法適用於當各組樣本數相等時，比較兩組平均數相互之間的差異（q值之差距考驗）。
q值：差距與標準誤的比值
當二平均數的差值大於HSD者，該對平均數之差即達到顯著水準
查表值
10-5 事後比較
紐曼－科爾氏法(Newman-Keuls method; N-K法)：此法同HSD法，適用於每組人數相等時的差距考驗，而其最大特色，係依平均數之大小依序使用不同的臨界q值 (依相差等級數r而異)，而HSD法，則不管平均數之大小次序，都使用同一個臨界q值。
等級數 (rank) ：二個平均數在平均數排列次序中相差的等級
查表值
10-5 事後比較
薛費法(Scheff ’e method)：係H．Scheffe’於1959 年所發展而成，無論各組樣本人數相等或不相等均可適用。常用於人數不相等時多組平均數間的比較。
HSD法與N-K法均只適用於各組人數相等時，以及比較一對二個平均數之間的差異時。當各組人數不相等或者想要進行複雜的比較 (每次比較包含二個以上平均數的差異) 時，則可使用此方法。
查表值
10-5 事後比較
費雪爾氏LSD法(Fisher’s Least Significant Difference)：LSD係由 Fisher於1914 年發展而成，此法適用於一組K個平均數間的成對比較。
查表值
10-5 事後比較
鄧肯氏法(Duncan’s method)：此法與Newman-Keuls法的系列檢定程序類似，但需採用特別的臨界值。
龐費洛尼t 考驗法(Bonferroni procedure)：此法亦稱為杜恩氏多重比較法(Dunn’s multiple comparison procedure)，係利用LSD法加以修正而成，故又稱為修正的LSD法(modified LSD)，其特色是將α依比較數加以分割。
R-E-G-W F 值是以 F 檢定為基礎，而 R-E-G-W Q 值則以 Studentized 全距為基礎。這些檢定，比 Duncan 多重全距檢定和 Student-Newman-Keuls 法都更有效，但在細格大小不相等的時候，建議最好別用。
10-5 事後比較
Duncan 多重範圍檢定、Student-Newman-Keuls 法 (S-N-K) 和 Tukey-b 檢定，都是全距檢定，它們會將組別平均數分等級，並計算全距值。
Hochberg GT2 檢定，跟 Tukey 最誠實顯著性差異檢定很像，但是它使用Studentized 最大模數。通常，Tukey檢定比較有效。再者，Gabriel 成對比較檢定，也使用 Studentized 最大模數，而且當細格大小不等的時候，通常會比 Hochberg GT2 檢定有效。當細格大小變化很大時，Gabriel 檢定可能會變成開放式的。
Waller-Duncan t 檢定，乃是使用 Bayesian 作法。這個全距檢定在樣本大小不相等的時候，會使用樣本大小的調和平均數。
10-5 事後比較
Dunnett 成對多重比較 t 檢定，會把一組處理方式，與單一控制平均數做比較。其中最後一個類別，是預設的控制類別。此檢定法可以選擇雙邊或單邊檢定。若要檢定因子在任何水準 (除了控制類別) 的平均數，是否不等於控制類別的平均數，使用雙邊檢定。若要檢定因子在任何水準的平均數，是否小於控制類別的平均數，則選取「< 控制」。同樣地，若要檢定因子在任何水準的平均數，是否大於控制類別的平均數，可選取「> 控制」。
10-5 事後比較
當我們在選擇事後比較方法時，應該考慮研究的性質再作決定。
若研究屬於初步的探索性研究，則應該考慮強調統計的強韌性，盡量找出可能的差異出來；若是較接近驗證性研究，則應該考慮強調保守性，除非二組間平均數差異真的是非常顯著，否則寧可接受虛無假設。
10-4 完全隨機的變異數分析
單因子變異數分析
(例題10-7)
Excel法：用單因子變異數分析 (適用於獨立樣本)
21
總和
18
組內
3
組間
臨界值
P-值
F
MS
自由度
SS
變源
10-4 完全隨機的變異數分析
獨立樣本單因子變異數分析
(例題10-7) SPSS法：one-way ANOVA
10-4 完全隨機的變異數分析
相依樣本單因子變異數分析
SPSS法：GLM-Repeated Measures
10-4 完全隨機的變異數分析
相依樣本單因子變異數分析
SPSS法：GLM-Repeated Measures
10-4 完全隨機的變異數分析
相依樣本單因子變異數分析
SPSS法：GLM-Repeated Measures
六種事後比較
離差(Deviation) ：每一組皆與其餘組做比較。
簡單(Simple) ：每一組皆與參考組做比較。
差分(Difference) ：除第一組外，每一組皆與其前面各組的平均數做比較。
Helmert：除最後一組外，每一組皆與其後面各組的平均數做比較。
重覆(Repeated) ：除第一組外，每一組皆與其前一組做比較。
多項式(Polynomial) ：進行多項式比較。
相依樣本變異數分析中不能採用離差(Deviation) 、簡單(Simple)及重覆(Repeated) 這三種
10-4 完全隨機的變異數分析
P383
單因子變異數分析之預檢資料
(例題10-7) SPSS法：one-way ANOVA
變異數分析須符合常態分配、變異數同質的條件，故應預檢資料是否成常態分配、變異數同質。
10-9 t檢定與F檢定的再說明
P415
二組樣本用t檢定，三組以上的樣本用F檢定。二組樣本用t檢定的結果與用變異數分析之F檢定的結果是一樣的；t2=F。
(p. 415 例10-17獨立樣本、 p. 417 例10-18相依樣本)
作業
請自訂一研究主題，後進行四種實驗設計的方法安排設計內容。
