珞珈青年学者经济与管理论坛 系列论文之六 Luojia Young Scholars Seminar on Economics and Management Working Paper Series
递归效用函数vs.幂效用函数：在战略资产配置的分析框架下 侯成琪 （武汉大学经济与管理学院，武汉，430072） 摘要：采用理论性质更好的递归效用函数代替幂效用函数是否有助于改进相关的经济理论是一个尚待深入研究的问题。本文采用战略资产配置的分析框架，从资产配置、消费决策和效用分析三个方面对递归效用函数和幂效用函数进行比较分析，研究采用递归效用函数代替幂效用函数是否能够改进投资者的消费－投资决策。本文通过数值模拟发现，不论是在投资机会集不随时间变化的条件下还是在投资机会集随时间变化而且决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程的条件下，跨期替代弹性系数和相对风险厌恶系数都通过各自不同的方式对消费决策和投资决策产生影响。因此，采用递归效用函数将能够更好的描述投资者的消费－投资行为，应该在经济模型中采用递归效用函数描述投资者的偏好。此外，本文的研究还发现，考虑投资机会集的动态变化能够改进投资者的消费－投资决策，使投资者获得更多的消费和更高的效用。 关键词：递归效用函数；幂效用函数；战略资产配置 一、引言 在常用的幂效用函数中，相对风险厌恶系数（coefficient of relative risk aversion）和跨期替代弹性系数（intertemporal elasticity of substitution）互为倒数。但是，相对风险厌恶系数描述的是消费者跨状态替代消费的意愿，跨期替代弹性系数描述的是消费者跨时间替代消费的意愿，两者并无理论上的必然联系。针对这一问题，Epstein & Zin（9198，1991）和eWil（1990）采用Kreps & Porteus（1978）的理论框架，提出了递归效用函数（又称非期望效用函数或者Epstein－niZ型效用函数）。递归效用函数放松了幂效用函数对相对风险厌恶系数和跨期替代弹性系数取值互为倒数的限制，允许相对风险厌恶系数和跨期替代弹性系数独立取值。因此，在理论上，递归效用函数能够更好的描述消费者的偏好，优于幂效用函数。然而，采用递归效用函数代替幂效用函数能否改进相关的经济理论仍然是一个尚待研究的问题。动态经济模型往往面临不易求解的难题，因此，为了模型便于求解和分析，经济学家有时不得不采用较为简单的幂效用函数。比如，Bodie, Merton & Samuelson（9129）、Viceira（2001）和Chan & Viceira（0200）在研究考虑人力财富的动态消费－投资决策问题时，oGme,s Cocco & Maenhout（2005）在研究生命周期中的动态消费－投资决策问题时，为了能够求解模型，不得不放弃理论上更优的递归效用函数，仍然采用较为简单的幂效用函数。因此，如果采用递归效用函数代替幂效用函数不能改进相关的经济理论，那么我们宁愿采用较为简单且易于分析的幂效用函数，以期降低问题的复杂度；如果采用递归效用函数代替幂效用函数能够改进现有的经济理论，那么我们就应该在采用递归效用函数，如何有效求解具有递归效用函数的动态模型将是一个急待解决的问题。 eWi（l1989）首次尝试用递归效用函数来解决资产定价领域中的“股票溢价之谜”（equity premium puzzle），结果却发现：采用递归效用函数代替幂效用函数不仅无助于解决“股票溢价之谜”，而且导致了“无风险利率之谜”（riskfree rate puzzle）的出现。本文认为，eWi（l1989）的结论并不能说明用递归效用函数代替幂效用函数无助于改进资产定价模型。因为资产定价模型是一个均衡模型，建立在对经济和消费者的严格假设之上，所以造成资产定价领域存在诸多难解之谜的原因是多方面的。比如：资产定价模型一般采用纯交换的证券市场经济假设，没有考虑生产和非金融资产；假设投资者仅拥有金融资产但是没有劳动收入；采用的效用函数可能不能正确的描述投资者的偏好等。我们无从分辨到底是哪个或者哪些简化的假设条件导致了“股票溢价之谜”和“无风险利率之谜”等难解之谜的出现，当然也无从知道采用递归效 1
用函数代替幂效用函数是否真正改善了资产定价模型。 本文认为，检验递归效用函数代替幂效用函数能否改进经济理论的最根本途径就是直接检验采用递归效用函数代替幂效用函数能否改进投资者的动态消费－投资决策。消费－投资决策问题是研究其他经济问题的微观基础，如果采用递归效用函数代替幂效用函数能够改进投资者的动态消费－投资决策，则说明递归效用函数优于幂效用函数，应该在经济模型中用递归效用函数代替幂效用函数；否则，就说明递归效用函数虽然具有理论上的优越性，但无助于解决任何实际问题。 然而，由于很难求出动态模型的显性解析解，同时也缺乏有效的数值算法，由Samuelson（1969）和Merton（1969、1971、7913）最早提出的动态消费－投资决策模型在随后的近30年中基本上毫无进展。直到20世纪90年代末，动态消费－投资决策模型的求解问题才取得了较大突破——更多的连续时间动态消费－投资决策模型可以求出精确解析解，Campbell & Viceira（9199，2001）提出了动态消费－投资决策模型的近似解析解的对数线性化求解策略，动态消费－投资决策模型的数值解法也取得了很大进展，这使得深入研究动态消费－投资决策问题成为可能。Campbell & Viceira（0220）将这一研究领域称为战略资产配置（strategic asset allocation）。 本文将采用战略资产配置的分析框架对递归效用函数和幂效用函数进行比较分析，研究在战略资产配置模型中用递归效用函数代替幂效用函数是否能够改进消费者的动态消费－投资决策。 二、战略资产配置模型 记无风险资产从时间t到时间t+1的总收益率为R；第i种风险资产从时间t到时间f,t+1t+1的总收益率为R（i=,12,L,n）；如果只有一种风险资产，则记该风险资产从时间i,t+1t到时间t+1的总收益率为R。投资组合从时间t到时间t+1的净收益率为R。连续t+1p,t+1复利收益率用相应的小写字母表示，如r=nlR。 t+1t+1假设投资者具有无限生命，只有金融财富但是没有劳动收入。则具有时间可分的幂效用函数的投资者的战略资产配置模型（将该模型简称为幂效用函数模型）为： 1−γ+∞C−1t+jjxamEδ∑t+∞{CααKα}+,1,+2,+,+=1−γtjtjtjntjj0 j=0 )1(=R(W−C),R=αR(1−α)Rt+1p,t+1ttp,t+1i,t+1i,t+∑1i,t+1f,t+1=其中：E为条件期望算子，δ为时间折现因子，γ为相对风险厌恶系数，W为投资者在t时tt所拥有的财富，C为投资者在t时的消费，α（i=,12,L,n）为t+j时投资者在第i种ti,t+j风险资产上的投资权重。幂效用函数模型的一阶条件即Euler方程为： −γ 1=E[δ(CC)R](i1,2,L,n) )2(tt+1t,it+1具有递归效用函数的投资者的战略资产配置模型（将该模型简称为递归效用函数模型）的约束条件与幂效用函数模型的约束条件相同，目标函数为： θ1(−γ)1θ1(−γ)θ1−γ⎡⎤ U=1(−δ)C+δEU )3(()ttt+1⎢⎥⎣⎦其中：θ=1(−γ)(1−1ψ)，ψ为跨期替代弹性系数。递归效用函数用两个独立的参数分别表示相对风险厌恶系数和跨期替代弹性系数，放松了幂效用函数对相对风险厌恶系数和跨期替代弹性系数取值互为倒数的限制。递归效用函数模型的Euler方程为： θ−1ψθ−1⎡⎤ EδCCRR(i=2L,n) )4(()tt+1tp,t+i,t+1{}⎣⎦2
当跨期替代弹性系数ψ和相对风险厌恶系数γ的取值互为倒数时，对U进行严格递增t的变换1+(1−δ)(1−γ)U，递归效用函数模型将退化为幂效用函数模型。对于任意一个优t化问题，对其目标函数进行严格递增的变换不会改变其最优解。因此，不必分别求解递归效用函数模型和幂效用函数模型，只需求解递归效用函数模型，然后用γ替代递归效用函数模型最优解中的1ψ即可得到幂效用函数模型的最优解。 下面本文分别在投资机会集不随时间变化和投资机会集随时间变化这两种情况下采用对数线性化的策略求解战略资产配置模型，在此基础上从资产配置、消费决策和效用分析三个方面对幂效用函数模型和递归效用函数模型进行比较分析。 三、投资机会集不随时间变化时战略资产配置模型的求解 假设仅存在一种无风险资产和一种风险资产，且风险资产收益率和消费增长率都服从对数正态分布，即： 22r=nlR~NE[r],σ，∆c=nlCC~NE[∆c,]σ ()()()t+1t+1t+1tt+1t+1ttt+1ct由于投资机会集不随时间变化，因此不同时期的风险资产收益率独立同分布。 在递归效用函数模型中，根据风险资产收益率和消费增长率的概率分布，将风险资产Euler方程的两边取自然对数，可得： 221(−θ)2θ10=θlnδ−E[∆c]−(1−)E[r]+E[r]+σ+var(r)+σ2ψtt+1tp,t+1tt+1ctp,t+t2ψ )5(θ1(−θ)θ+voc(∆c,r)−voc(r,∆c)−(1θ)cvo(r,r)tt+1p,t+1ψtt+1t+1tp,t+1t+1根据风险资产收益率和消费增长率的概率分布，将无风险资产Euler方程的两边取自然对数，可得： 22θ0=θlnδ−E[∆c]−(1−)E[r]+rσ2ψtt+1tp,t+1f,t+1ct2ψ )6(21(−θ)θ(1−)+avr()cov(∆c,)p,t1ψtt1p,t12式（5）减式（6），可得： 21 E[r]−rσ=θcov(r,∆c)ψ+(1−θ)cov(r,r) )7(tt+1f,t+1ttt+1t+1tt+1p,t+12当投资机会集不随时间变化时，在不同的时期，投资者都会采取相同的消费－投资决策，此时消费－财富比率是常数，记CW=b，b为常数。则根据递归效用函数模型的约束条tt件W=R(W−C)，有： t+1p,t+1tt ∆c=∆w=r+nl(1−b) )8(t+1t+1p,t+1而根据Campbell & Viceira（2002），投资组合的连续复利收益率可以近似表示为： 21 r≈rα(r−r)+α(1−α)σ )9(p,t+1f,t+1tt+1f,t+1ttt2所以： 221 E[r]−rσ=θcov(r,r)ψ+(1−θ)cov(r,r)=αγσ (10) tt+1f,t+1ttt+1p,t+1tt+1p,t+1tt2则在递归效用函数模型中，风险资产的最优投资权重为： 2Er−rσ2tt+1f,t+1t α=1( )1t2γσt由式（11）可知，跨期替代弹性系数ψ对风险资产的最优投资权重没有影响。因此，幂效用函数模型的最优权重配置决策与递归效用函数模型的最优权重配置决策是相同的。当投资机会集不变时，对风险资产的需求与风险资产的期望超额收益Er−r成正比、与风险tt+1f,t+12资产收益率的方差σ和投资者的相对风险厌恶系数γ成反比。式（11）所示的对风险资产t 3
的需求就是Samuelson（6919）和Merton（9196、1971、1973）提出的短视的需求（ymopic demand）。短视的需求是指，当投资机会集不变时，长期投资者会做出与短期投资者相同的投资决策，即长期投资者的投资决策是短视的，对风险资产的需求仅取决于风险资产的期望超额收益、风险和投资者的相对风险厌恶系数。 由消费－财富比率CW=b和W=R(W−C)可得： ttt+1p,t+1tt CC=WW=R1(−b)(12) t+1tt+1tp,t+1将式（12）带入递归效用函数模型的Euler方程，整理后可得： ψ−1ψγ1−γ− b=1−δE[RR](13)()tp,t+1t+1*幂效用函数模型的最优消费－财富比率b可以表示为： 11γ*−γγ b=1−δE[RR](14) ()tp,t+1t+1对比递归效用函数模型和幂效用函数模型的最优消费－投资决策可以发现：两个模型的最优资产配置决策是相同的，而最优消费决策是不同的。相同的资产配置决策是指投资于风险资产和无风险资产的相对比例是相同的，但是由于两个模型的最优消费决策不同，因此投资于风险资产和无风险资产的财富量是不同的。显然，递归效用函数将跨期替代弹性系数ψ和相对风险厌恶系数γ分开进行处理，从而能够更好的描述投资者的动态消费－投资决策。将R=αR1(−α)R和式（11）带入式（13）和式（14），得到的最优消费－财p,t+1tt+1tf,t+1富比率的表达式非常复杂，因此本文将在第五节通过数值模拟来分析递归效用函数模型和幂效用函数模型的最优消费决策。 四、投资机会集随时间变化时战略资产配置模型的求解 投资机会集的变化主要表现为三种形式：无风险利率随时间变化，风险资产收益率的数学期望随时间变化以及风险资产收益率的方差随时间变化。由于当投资机会集随时间变化时求解战略资产配置模型的难度非常大，所以目前在战略资产配置模型中一般只考虑一种变化形式的投资机会集。如Campbell & Viceira（0210）考虑了无风险利率随时间变化的投资机会集，Campbell & Viceira（1999），Campbell、Chan & Viceira（0230）和Campbell、cahCoh、Rodriguez & Viceira（0240）考虑了风险资产收益率的数学期望随时间变化的投资机会集，Chacko & Viceira（0250）考虑了风险资产收益率的方差随时间变化的投资机会集。 因为我国的利率尚未完全市场化，而Chacko & Viceira（0250）发现风险资产收益率方差的波动对消费－投资决策的影响很小，所以本文仅考虑风险资产收益率的数学期望随时间变化而无风险利率和风险资产收益率的方差保持不变的情况。这种变化形式的投资机会集常用自回归（RA）模型和向量自回归（AVR）模型来描述。如Campbell & Viceira（1999），Campbell、Chan & Viceira（2003）和Campbell、Chacho、Rodriguez & Viceira（2004）分别采用了RA（1）、AVR（1）和连续时间AVR（1）来描述状态变量。 依然采用对数线性化的策略求解战略资产配置模型。假设仅存在一种无风险资产和一种风险资产，且风险资产收益率和消费增长率都服从对数正态分布，即： 22r=nlR~NE[r],σ ∆c=nlCC~NE[∆c,]σ ()()()t+1t+1t+1tt+1t+1ttt+1ct''记z=r−r,s为m×1的状态向量。其中向量s表示其他的状态变量，如()t+1t+1f,t+1t+1t+1红利－价格比率等对资产收益率有一定预测作用的变量。假设z服从一阶AVR过程： t+1 z=Φ+Φz+v (15)t+101t+1其中Φ为m×1的向量，Φ为m×m的矩阵，v为服从多元正态分布的m×1的随机误差01t+1向量，记v~N0,Σ。 ()t+1 4
为了求解递归效用函数模型，必须首先将式（7）中的对数消费增长率替代出去。 对数消费增长率可以表示为： ∆c=(c−w)−(c−w)+∆w (16)t+1t+1t+1ttt+1而约束条件W=1(+R)(W−C)的对数线性化近似公式为： t+1p,t+1tt1 ∆w≈r+1(−)(c−w)+k(17) t+1p,t+1ρtt其中ρ和k为线性化参数。因此，式（7）可以变换为： 21θ E[r]−rσ=cov(r,c−w)+γcov(r,r) (18) tt+1f,t+1tψtt+1t+1t+1tt+1p,t+12下面运用猜解的方法进一步求解。当状态向量服从一阶AVR过程时，允许投资者随着投资机会集的变化而改变其投资决策的最简单的投资规则是如下的线性投资规则： ' α=A+Az (19)t01t而给定一个线性的投资规则，对数消费－财富比率将是状态向量的二次函数，原因如下：由投资组合的Euler方程可得： θ E[∆c]=ψlnδ+ψE[r]+var(∆c−ψr) (20) tt+1tp,t+1ψtt+1p,t+12由式（17），有： 1 E[∆w]=E[r]+(1−)(c−w)+k (21) tt+1tp,t+1ρtt式（20）减去式（21），化简后得到： ρθc−w=−ρψnlδ−avr(∆c−ψr)+ρ(1−ψ)E[r]+ρk+ρE[c−w] (22) ttψtt+1p,t+1tp,t+1tt+1t+12根据式（22）和AVR(1)的同方差假设可知，给定一个线性的投资规则，对数消费－财富比率将是状态向量的二次函数，记为： '' c−w=B+Bz+zBz (23) tt01tt2t根据式（15），式（18）的左边可以变换为： 221 E[r]−rσ=HΦ+HΦz+σ (24) tt+1f,t+1t1011tt其中H=1(,0,0,K,0)为1×m的选择矩阵。因为： 122'2voc(r,r)=ασ=Aσ+Aσztt+1p,t+1tt0t1tt''voc(r,c−w)=voc(r,B+Bz+zBz)tt+1t+1t+1tt+101tt2t'''''=voc(r,BvΦBvzΦBvvBΦvBΦz)tt+11t+102t+1t12t+1t+120t+121t '''''=BΣ+ΦBΣ+zΦBΣ+ΣBΦ+ΣBΦz1()102(1)t12()1(1)20()121t'=Σ(B+(B+B)Φ)+Σ(B+B)Φz1()1220(1)221t=Λ+Λz01t''''其中Λ=Σ(B+(B+B)Φ),Λ=Σ(B+B)Φ，Σ表示Σ的第一列。所以式（18）0(1)12201(1)221)1(的右边可以变换为： 2'2θθ voc(r,c−w)+γvoc(r,r)=Λ+Λz+γAσ+γAσz (25) ψtt+1t+1t+1tt+1p,t+1ψ01t0t1tt采用待定系数法，由式（24）和式（25）可得： 2221⎧A=(HΦ+σ)γσ+1−γ)(ψ−1Λσ()⎪010tt0t2 (26) ⎨'2A=HΦγσ+1(−1γ)(ψ−1)Λσ()⎪1111t⎩根据式（26），当决定投资机会集动态的状态向量服从式（51）所示的AVR(1)时，对风险资22'1产的需求可以分为两部分：一部分由A的第一项(HΦ+σ)γσ和A的第一项010tt12
2HΦγσ决定，正好等于式（11）所示的短视的需求，而且短视的需求依然不受跨期替11t2'代弹性系数ψ的影响；另一部分由A的第二项1(−1γ)(ψ−1)Λσ和A的第二项()00t121(−1γ)(ψ−1)Λσ决定，是长期投资者为了对冲投资机会集对消费的影响而导致的()1t跨期对冲需求（intertemporal hedging demand）。 对于幂效用函数模型，同样假设投资者具有线性投资规则和二次消费规则，即假设风险资产的最优配置权重和对数消费－财富比率分别满足如下方程： **' α=A+Az(27) t01t**'*'* c−w=B+Bz+BzB(28)tt01t2t2采用与求解递归效用函数模型类似的计算方法，可得： *22*21⎧A=(HΦ+σ)γσ−Λσ⎪010tt0t2 (29) ⎨*'2*2A=HΦγσ−Λσ⎪⎩111t1t*'***'*'**'其中：Λ=Σ(B+(B+B)Φ),Λ=Σ(B+B)Φ。很显然，当决定投资机会集0(1)12201(1)221动态的状态向量服从式（15）所示的AVR(1)时，在幂效用函数模型中，对风险资产的需求也可以分为短视的需求和跨期对冲需求两部分。 当跨期替代弹性系数ψ和相对风险厌恶系数γ的取值互为倒数时，式（26）和式（29）的形式趋于一致。然而，分析式（62）和式（29）可以发现，不管是递归效用函数模型还是**幂效用函数模型，最优消费决策分别通过Λ和Λ以及Λ和Λ对风险资产的最优配置决策0101产生影响。因此，式（62）和式（92）的最优配置决策是否相同取决于两个模型的最优消费决策是否相同。而在状态变量服从一阶自回归的条件下，很难求出最优消费决策的显性表达式，从而很难求出最优资产配置决策的显性表达式，因此很难直接对幂效用函数模型和递归效用函数模型的消费－投资决策进行比较分析。本文将通过附录所示的数值方法求出幂效用函数模型和递归效用函数模型的最优解，在此基础上对两者进行比较分析。 五、数值模拟及比较分析 本节以我国金融市场的历史数据为样本数据，通过数值方法求解战略资产配置模型的数值解，在此基础上对幂效用函数模型和递归效用函数模型进行比较分析。 1、样本数据的选择和AVR（1）的参数估计 首先，选择我国一年期存款利率为无风险收益率，年收益率为%。 其次，仅考虑一种风险资产，也就是说仅考虑风险资产和无风险资产之间的资产配置决策，不考虑证券选择决策。之所以这样处理，是因为Brinson，oHdo &rewobeeB（1986，9159）和Brinson，Singer & Beebower（9119）等研究表明，90％以上的投资收益取决于资产配置决策，证券选择等其他决策对投资收益的影响非常小。也正是因为这个原因，Campbell等人将动态消费－投资决策理论称为战略资产配置理论。 当仅考虑一种风险资产时，以往的处理方法一般是选用上证指数或者深证成指这两个代表我国股市整体运行状况的股票指数作为风险资产。然而，上证指数和深证成指属于第一代指数，仅具有揭示股市总体走势的功能，不具有投资功能。由于本文研究的是战略资产配置问题，用不具有投资功能的上证指数或者深证成指作为投资对象显然不合适。本文选用上证180指数作为风险资产。上证180指数是上证FTE081（Exchange-Traded Fund，交易所交易基金）所选用的目标指数，具有代表性强、收益性好且市场认同度高的优点，非常适合作为投资标的。 当投资机会集随时间而变化，为了求解递归效用函数模型和幂效用函数模型，必须利用计量经济模型描述投资机会集的动态变化。然而，描述投资机会集的动态变化是一个需要专6
门深入研究的实证问题。因为本文的目的是在战略资产配置的分析框架下进行递归效用函数和幂效用函数的对比分析，而不是在战略资产配置的分析框架下研究我国的消费和投资问题，因此本文对投资机会集采用比较简化的处理——假设决定投资机会集动态的状态变量为上证180指数的超额收益率，并用1(RA)来描述状态变量。以上证180指数从2002年7月到2500年21月这42个月的月收盘价为样本数据，估计出状态变量所服从的1(RA)过程为： z =- ×z (30)t+1t2、数值模拟及比较分析 本文取年度时间折现因子为。相对风险厌恶系数的合理取值范围为1～5，因此，本文分别取相对风险厌恶系数为、2、3、4、5，相应的取跨期替代弹性系数为2/3、1/2、1/3、1/4、/15，采用附录所示的数值算法求解幂效用函数模型和递归效用函数模型，这样共有52种不同参数取值的模型，相应的就有52组不同的解。注意，我们让相对风险厌恶系数和跨期替代弹性系数一一对应、互为倒数，这样在25种不同参数取值的模型中就正好有5个模型的相对风险厌恶系数和跨期替代弹性系数互为倒数，从而可以在一张表格中很方便的对幂效用函数模型和递归效用函数模型进行比较分析。当决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程时，本文利用附录所示的递归数值算法分别求解递归效用函数模型和幂效用函数模型；同时，由于在这种条件下，消费－投资决策随着投资机会集动态变化，所以本文只给出最优解的均值。当投资机会集不随时间变化时，可以直接根据式（11）、式（31）和式（14）求解递归效用函数模型和幂效用函数模型。 （1）风险资产配置的比较 投资机会集不随时间变化时风险资产的最优配置权重见表1，当决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程时，25种不同参数取值的模型的风险资产最优配置权重见表2。在表2中，对角线上的元素（此时相对风险厌恶系数和跨期替代弹性系数互为倒数）表示在幂效用函数模型中风险资产的最优配置权重。 表1 投资机会集不随时间变化时风险资产的最优配置权重 γ 2 3 4 5 短视的需求 表2 状态变量服从V)1(RA过程时风险资产的最优配置权重 γ 2 3 4 5 ψ 2/3 1/2 1/3 1/4 1/5 根据前文的分析，当投资机会集不随时间变化时跨期替代弹性系数对资产配置决策没有影响，此时对风险资产仅有短视的需求；当决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程时，对风险资产的需求分为两部分：短视的需求和跨期对冲需求。而且，在这两种不同的情况下，短视的需求是相同的。因此，表1中“短视的需求”既表示当投资机会集不随时间变化时风险资产的最优配置权重，又表示当决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程时对风险资产的短视需求。 从表2可以明显的看出，当相对风险厌恶系数不变时，风险资产的最优配置权重不随跨期替代弹性系数的变化而变化。这表明：跨期替代弹性系数不仅对短视的需求没有影响，对跨期对冲需求也没有影响。也就是说，在战略资产配置模型中采用递归效用函数代替幂效用 7
函数不会对资产配置决策产生任何影响。同时，从表1和表2还可以看出，随着相对风险厌恶系数的增大，即随着投资者相对风险厌恶水平的提高，风险资产的最优配置权重不断减小。这与相对风险厌恶系数的理论含义是完全一致的。 （2）消费决策的比较 投资机会集不随时间变化时的最优消费－财富比率见表3，状态变量服从AVR(1)过程时的最优消费－财富比率见表4。在表3和表4中，对角线上的元素都表示幂效用函数模型的最优消费－财富比率。 表3投资机会集不随时间变化时的最优消费－财富比率 γ 2 3 4 5 ψ 2/3 1/2 1/3 1/4 1/5 表4状态变量服从V)1(RA过程时的最优消费－财富比率 γ 2 3 4 5 ψ 2/3 1/2 1/3 1/4 1/5 消费－财富比率描述当期消费在当期财富中所占的比重，决定了在投资者所拥有的财富中有多大比重用于支付当期的消费、有多大比重储蓄起来进行投资。从表3和表4可以看出：保持跨期替代弹性系数不变，相对风险厌恶系数越大，消费－财富比率越小。本文认为这是因为风险厌恶水平较大的投资者往往会采取比较保守从而期望收益较低的投资策略，当这种投资策略的收入效应（较低的投资收益会使投资者较少当期消费）大于替代效应（较低的投资收益会使投资者增加当期消费）时，投资者的消费－财富比率会减小。分析本文求解战略资产配置模型的过程也可以发现，相对风险厌恶系数确实是通过影响投资决策而对消费决策产生间接影响的。 从表3可以看出，保持相对风险厌恶系数不变，跨期替代弹性系数越小，消费－财富比率越小。而在表4中，保持相对风险厌恶系数不变，跨期替代弹性系数越小，消费－财富比率越大。这表明，在不同的条件下，跨期替代弹性系数对消费决策的影响也不相同。由于在投资机会集不随时间而变化的条件下，多期消费－投资决策退化为单期消费－投资决策，所以在这种条件下跨期替代弹性系数的经济意义不明确。在投资机会集随时间而变化且决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程的条件下，跨期替代弹性系数越小，消费－财富比率越大，即跨时间替代消费意愿越弱的投资者往往倾向于更多的当期消费，这与跨期替代弹性系数的理论含义是完全一致的。 因为相对风险厌恶系数和跨期替代弹性系数都对消费决策有显著的影响，而且两者对消费决策产生影响的方式也不相同——跨期替代弹性系数直接影响消费－财富比率，而相对风险厌恶系数通过投资决策对消费－财富比率产生间接的影响，所以在战略资产配置模型中用递归效用函数代替幂效用函数将能够更好的描述投资者的消费－投资行为。 8
此外，对比表3和表4的数据可以发现：在跨期替代弹性系数和相对风险厌恶系数都相等的条件下，决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程时的最优消费－财富比率要大于投资机会集不随时间变化时的最优消费－财富比率。本文认为，这是由于考虑投资机会集动态的投资者能够通过改变风险资产的投资权重来对冲投资机会集的变化对消费产生的影响，从而获得更高的消费率。 （3）效用分析 效用分析是对比在两个模型中单位财富所获得的最大效用。如果在一个模型中单位财富所获得的最大效用明显大于在另一个模型中单位财富所获得的最大效用，则前者一定优于后者。递归效用函数模型的值函数（即单位财富所获得的最大效用）为： −ψ1(−)11(−ψ)V=1(−δ)(CW) tt当相对风险厌恶系数和跨期替代弹性系数互为倒数时，递归效用函数退化为幂效用函数。因此，递归效用函数和幂效用函数的度量单位是一致的，从而可以直接比较模型的单位财富所获得的最大效用。 投资机会集不随时间变化时单位财富所获得的最大效用见表5，状态变量服从AVR(1)过程时单位财富所获得的最大效用见表6。在表5和表6中，对角线上的元素都表示在幂效用函数模型中单位财富所获得的最大效用。 表5 投资机会集不随时间变化时单位财富所获得的最大效用 γ 2 3 4 5 ψ 2/3 1/2 1/3 1/4 1/5 表6 状态变量服从V)1(RA过程时单位财富所获得的最大效用 γ 2 3 4 5 ψ 2/3 1/2 1/3 1/4 1/5 从表5和表6都可以看出，保持跨期替代弹性系数不变，单位财富所获得的最大效用随着相对风险厌恶系数的增大而减小。这是因为风险厌恶水平较高的投资者会采用比较保守从而期望收益较低的投资策略，较低的投资收益会导致较低的财富增长，投资者所能够消费的财富总量也相应的较少，从而单位财富所带来的总效用也就较少。 同时，保持相对风险厌恶系数不变，单位财富所获得的最大效用随着跨期替代弹性系数的增大而增大。由于在投资机会集不随时间而变化的条件下，多期消费－投资决策退化为单期消费－投资决策，所以在这种条件下跨期替代弹性系数的经济意义不明确。在投资机会集随时间而变化且决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程的条件下，跨期替代弹性系数越大，单位财富所获得的最大效用越大，这是因为投资者跨期替代消费的意愿越强烈，投资者就越愿意推迟消费进行投资，从而更能够享受投资所带来的财富增长，单位财富所带来的总效用也就越大。 9
因为相对风险厌恶系数和跨期替代弹性系数都通过各自不同的方式对单位财富所获得的最大效用产生影响，所以在战略资产配置模型中用递归效用函数代替幂效用函数将能够更好的描述投资者的消费－投资行为。 此外，对比表5和表6的数据可以发现：在跨期替代弹性系数和相对风险厌恶系数都相等的条件下，决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程时单位财富所获得的最大效用要大于投资机会集不随时间变化时单位财富所获得的最大效用。其原因同样是由于考虑投资机会集动态的投资者能够通过改变风险资产的投资权重来对冲投资机会集的变化对消费产生的影响，从而获得更高的消费率和效用。 六、结论 本文采用战略资产配置的分析框架，从资产配置、消费决策和效用分析三个方面对递归效用函数和幂效用函数进行了比较分析，研究采用理论上更优的递归效用函数代替幂效用函数是否能够改进消费者的动态消费－投资决策。本文的研究发现： （1）不论是在投资机会集不随时间而变化的条件下，还是在投资机会集随时间而变化且决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程的条件下，跨期替代弹性系数和相对风险厌恶系数都会影响消费－财富比率，其中跨期替代弹性系数直接影响消费－财富比率，而相对风险厌恶系数通过投资决策对消费－财富比率产生间接的影响。因此采用递归效用函数模型将能够更好的描述投资者的消费决策。 （2）不论是在投资机会集不随时间而变化的条件下，还是在投资机会集随时间而变化且决定投资机会集动态的状态变量服从AVR(1)过程的条件下，跨期替代弹性系数对资产权重配置决策都没有影响，递归效用函数模型和幂效用函数模型具有相同的资产权重配置决策。但是，在两个模型中，投资于风险资产和无风险资产的财富量是不同。 由于跨期替代弹性系数和相对风险厌恶系数都通过各自不同的方式对消费决策和投资决策产生影响，所以采用递归效用函数将能够更好的描述投资者的消费－投资行为。也就是说，递归效用函数优于幂效用函数，在经济模型中应该采用递归效用函数描述投资者的偏好。 此外，本文的研究还发现，在战略资产配置模型中，保持其他条件不变，考虑投资机会集的动态变化能够改进投资者的消费－投资决策，使投资者获得更多的消费和更高的效用。由于在现实经济中投资机会集确实是动态变化的，因此，在研究消费－投资问题以及其他以消费－投资问题为基础的经济问题时，应该尽可能的考虑投资机会集的动态变化特征。 附录：战略资产配置模型的数值算法 对于幂效用函数模型，根据猜测的投资规则式（19）和对数消费－财富比率式（23），给出式（22）中的E[r]、avr(∆c−ψr)和E[c−w]的具体表达式。 tp,t+1tt+1p,t+1tt+1t+121E[r]=αE[r−r]rα(1−)σtp,t+1ttt+1f,t+1f,t+1ttt2'''1=(A+Az)H(Φ+Φz)+r+σ(A+Az)−σ(A+Az)01t101tf,t+1t01tt01t2'''''21=AHΦ+AHΦz+HΦAz+AzzΦH+rσA 010011t101t1t11f,t+1t022'222'2''+σAz−σA−σAAz−σAzzAt1tt0t01tt1tt122'=F+Fz+Fvec(zz)01t2t 10
avr(∆c−ψr)=var((c−w)+r−ψr)tt+1p,t+1tt+1t+1p,t+1p,t+1''21=avrB+BzzBz(1−ψ)(α(r−r)rα(1−α)σ)()t01t+1t+12t+1tt+1f,t+1f,t+1ttt2'''=avrBzzBz(1−ψ)(A+Az)Hz)t1t+1t+12t+101t1t+1''⎛B(Φ+Φz+v)+Φ+Φz+v)B(Φ+Φ+⎞zv)101tt+101t1201t+1=avr ⎜⎟t'+1(−ψ)(A+Az)H(Φ+Φz+v)⎝01101+1⎠'''=avr(Π+zΠ)vvec(B)vec(vv))t1t2t+12t1t1''''''=ΠΣΠ+2ΠΣΠz+vec(ΠΣΠ)vec(zz)+vec(B)var(vec(vv)vec(B)1112222t+1t+12'=V+Vz+Vvec(zz)01t2t''E[c−w]=E(B+BzzBz)tt+1t+1t01t+1t+12t+1'''''''''=B+BΦ+BΦz+ΦBΦ+ΦBΦz+ΦBΦz+zΦBΦz+E[vBv]01011020021021t121t+12t+1'''''''''=B+BΦ+BΦz+ΦBΦ+ΦBΦz+ΦBΦz+zΦBΦz+vec(B)vec(Σ)01011t020021t0211212'=U+Uz+Uvec(zz)01t2tt其中：vec表示向量化算子， 22211'''F=AHΦ+rσA−σAΠ=B+Φ(B+B)+(1−ψ)AH0010f,t+1t0t0221102201'2'2'''1F=AHΦ+HΦA+σA−σAA，Π=Φ(B+B)+(1−ψ)AH 1011101t1t012122112'2''1F=vec(AHΦ)−σvec(AA)211t12'''''=ΠΣΠ+vec(B)Ω(B)U=B+BΦ+ΦBΦ+vec(B)vec(Σ)0112200100202'''''V=2ΠΣΠ，U=BΦ+ΦBΦ+ΦBΦ 112111021021'''V=vec(ΠΣΠ)U=vec(ΦBΦ)2222121将E[r]、avr(∆c−ψr)和E[c−w]的表达式待入式（22），得： tp,t+1tt+1p,t+1tt+1t+1ρθ'c−w=−ρψnlδ+ρk−(V+Vz+Vvec(zz))ttψ01t2tt2 (31) '−ρ(ψ−1)(F+Fz+Fvec(zz))+ρ(U+Uz+Uvec(zz))01t2t01t2t'''''因为c−w=B+Bz+zBz=B+Bz+vec(B)vec(zz)，所以： tt01tt2t01t2ttρθ⎧B=−ρψnlδ+ρk−V−ρ(ψ−1)F+ρUψ002⎪⎪ρθ' B=−V−ρ(ψ−1)F+ρU (32) ⎨1ψ1112⎪ρθ'vec(B)=−V−ρ(ψ−1)F+ρU⎪2ψ2222⎩根据式（32），本文设计了如下的递归数值算法求解递归效用函数模型：首先选定相对风险厌恶系数γ和时间折现因子δ，从{B,B,B}的某一个初始值{B,B,B}开始，0120()1(1)12()1根据式（26）可以得到{A,A}的一个初始值{A,A}；根据式（23）以及初始值010()1(11){B,B,B}和{A,A}，求出{B,B,B}的一组新值，记为{B,B,B}，0()1(11)2(1)0()1(11)0120(2)1(2)2(2)再通过式（26）求出{A,A}的一个新值{A,A}；重复同样的计算过程直至{A,A}和010(2)1(2)01{B,B,B}的取值收敛。 012幂效用函数模型的递归数值算法与幂效用函数模型的递归数值算法是类似的，这里不再重复。 11
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