天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第一章 绪论 知识点结构框架 本章的知识点结构框架如图1-1所示。 通信基本概念 基本概念通信系统发展简史 系统分类 工作方式系统组成信息度量性能指标 模拟通信系统数字通信系统 图1-1 知识点结构框图 教学要求 （1）了解通信的基本概念，通信系统的分类，工作方式，以及发展简史； （2）理解通信系统的基本组成，熟悉通信系统各部分的功能； （3）掌握信息及其度量的计算； （4）掌握模拟和数字通信系统的主要性能指标及其计算，重点是信息量的计算。 难点重点 教学难点：不同进制条件下的码元传输速率和信息传输速率的关系。 教学重点：通信系统的性能指标，信息量、平均信息量、传输速率和误码率等。 教学安排 本章分为6节，即通信与信息、通信系统的组成、通信系统的分类及通信方式、信息及其度量、主要性能指标、通信系统的发展，课时为2学时。讲授采用多媒体课件和板书相结合的方式。 （1）教学要求 见2．教学要求的四点内容。 （2）难点重点 见3．难点重点。 （3）知识回顾 《通信原理》是为通信工程专业学生开设的一门必修主干课程。既是入门课，又是核心专业基础课，也是低频电子线路、高频电子线路、信号与系统、工程数学等在通信中的综合运用。 （4）讲授提纲 课程性质和任务 1
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 教材、参考书、学时安排 教学要求 本章知识点结构 通信与信息 通信的概念及作用 信息的由来 信息的解释 通信系统的组成 通信系统的一般模型（信息源，发送设备，信道，接收设备，噪声源，受信者） 模拟通信系统 数字通信系统 数字通信的特点 通信系统的分类及通信方式 通信系统的分类（按通信业务，调制方式，信号特征，传输媒介，工作波段，复用方式等分类） 通信方式（按消息传递的方向与时间关系，数字信号排列顺序，同步方式，通信网络形式等分类） 信息及其度量 信息的度量 信息量的单位 等概离散消息的信息量 非等概离散消息的信息量 连续消息的信息量 信息量的计算 主要性能指标 模拟通信系统 数字通信系统 通信系统的发展 通信发展简史 通信技术的发展趋势（多媒体化，数字化，宽带化，综合化，个人化） 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 信息量的计算公式推导，码元传输速率和信息传输速率、误码率和误信率的公式推导。 （6）扩展知识 1）信息的概念，来源，主要的几种解释 概念：信息是客观事物运动状态的表征与描述。 来源：最早出现在我国唐代文人李中的《暮春怀故人》一诗中：梦断美人沉信息，日穿长路倚楼台。 主要的几种解释： 哈特莱学说：1928年，哈特莱（）在《贝尔系统电话杂志》上发表了《信息传输》一文，指出“信息是选择的自由度”。把信息理解为选择通信符号的方式，并用选择的自由度来计量信息大小。其定义提供了一种思路，即信息是可以客观测量的，为香农（）信息论的产生创造了条件。 香农学说：1984年，现代信息论的创始人香农（Shannon）在《贝尔系统电话杂志》上发表了2
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 《通信的数学理论》一文，认为“信息是用来减少随机不定性的东西”。其贡献主要表现在两个方面：一是推导出信息测度的数学公式，标志着信息科学进入了定量研究阶段。二是发现了信息编码的三大定理，为现代通信技术的发展奠定了理论基础。他的信息定义着眼于信息的认识和描述。 维纳学说：1984年，维纳（Norbert Wiener）出版了专著《控制论——动物和机器中的通信与控制问题》，创立了控制论。他将信息理解为“信息是人们在适应外部世界，并使这种适应反作用于外部世界的过程中，同外部世界进行交流的内容的名称”。维纳对信息的认识着眼于信息的应用。 郎高学说：1975年，意大利学者郎高（）在《信息论：新的趋势与未决问题》一书的序言中指出：“信息是反映事物的形成、关系和差别的东西，它包含在事物的差异之中，而不在事物本身”。简而言之，信息就是差异。 钟义信学说：1988年我国学者钟义信在《信息科学原理》一书中对信息的界定为：“信息是事物运动的状态和（状态改变的）方式，是物质的一种属性”。 马克思主义哲学认识论学说：从马克思主义哲学认识论的观点出发，我国多数学者对信息较为一致的看法是：信息是物质的一种基本属性，是物质的存在方式和运动的规律和特点的表征，是事物及其现象的内外特征、相互联系及作用的反映。 【提示】：在讲授通信的概念“通信是指信息或消息的传输与交换”时补充。 2）通信名人简介 有线电报的发明人——萨密尔·莫尔斯（Morse，Samuel Finley Breese）； 经典电动力学的创始人——詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwel）； 电话的发明人——亚历山大·格拉汉姆·贝尔（Alexander Graham Bell）； 无线电报发明人——伽利尔摩·马可尼（Guglielmo Marchese Marconi）； 信息论的创始人——克劳德·艾尔伍德·香农（Claude Elwood Shannon）； 电磁学之父——迈克尔·法拉第（Michael Faraday）。 【提示】：在讲授通信的发展时补充。 3）卫星通信作为目前的三大通信（光纤通信，移动通信，卫星通信）之一，其发展的里程碑 世界第一颗人造地球卫星、中国第一颗人造地球卫星简介。 【提示】：在讲授通信的发展时补充。 4）communication的来源 据考证，communication起源于拉丁语的communicatio和communis，14世纪在英语中写作comynycacion，15世纪以后逐渐演变成现代词形。其含义不下十几种，包括“通信”、“传播”、“沟通”、“交通”、“交流”、“交往”等。19世纪末，这个词语已经成为日常用语，主要指人们传递、交换信息的过程，基本上可以看作一个等同于“传播”含义的词。 【提示】：在讲授通信的概念“通信是指信息或消息的传输与交换”时补充。 （7）互动话题 1）何谓信噪比、载噪比，其关系如何？ 信噪比：传输信号的平均功率与噪声平均功率之比。 载噪比：已调信号的平均功率与噪声平均功率之比。 这两个参数均是描述系统抗干扰性能（可靠性）的重要指标。在调制传输系统中，一般采用载噪比，在基带传输系统中，一般采用信噪比。即解调前用载噪比，解调后用信噪比。对于同一系统，信噪比和载噪比之间具有固定的对应关系。 【提示】：在讲授模拟通信系统可靠性时提问。 2）信噪比与误码率之间关系如何？ 信噪比是衡量模拟通信系统的指标，误码率是衡量数字通信系统的指标。抽样判决前一般用信噪比，抽样判决后后用无码率。信噪比高，误码率低。 【提示】：在讲授数字通信系统可靠性时提问。 3
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （8）例题习题 例题：见经典例题中的例4和例5。 习题：教材11页1-1、1-2、1-4，12页1-6。 核心内容 通信的基本概念 通信（communication）：指信息或消息的传输与交换。即利用电波（电通信（telecommunication））、光波（即光通信（optcommunication））等信号来传送文字、语言、图象、数据等。 消息（message）：有待于传输的语言、图像、文字、数据等。前者为连续消息，后者为离散消息，均具有不确定性。 信息（information）：消息中所包含的人们原来不知而待知的内容，即有意义的内容，是通信系统的传输对象。不同形式的消息可以包含相同的信息。 信号（signal）：与消息（信息）相对应的电量，是消息（信息）的物质载体。通信的根本目的是传输代表消息（信息）的信号，即研究信号的传输问题。 通信系统（communication system）：实现信息传递所需的一切设备和传输媒介的总和。 通信系统的组成 点对点通信系统的一般模型如图1-2所示，由发送端（信源和发送设备）、信道和接收端（接收设备和信宿）三部分组成。 信源 发送设备 信道接收设备信宿 噪声源 图1-1 通信系统的一般模型 信源（information source）：消息的产生地，其作用是把各种消息转换成原始电信号，称为消息信号或基带信号。信源分为模拟信源和数字信源。 发送设备（send equipment）：又称为发信机（transmitter），其作用是将信源和信道匹配起来，即将信源产生的消息信号变换成适合在信道中传输的信号。其变换主要包括调制（modulation）和编码（coding）。编码包括信源编码（source coding）和信道编码（channel coding）。 信道（channel）：又称为传输媒介（transmission medium），是传输信号的通道，即传输信号的物理媒质。分为无线和有线两类。 噪声源（noise source）：信道中自身存在的噪声和分散在通信系统各处噪声的集中表示，影响通信质量。 接收设备（receiving equipment）：又称为收信机（receiver），其作用是完成发送设备的反变换，即解调（demodulation）和解码（decoding）等，其主要任务是从带有干扰的接收信号中正确恢复出相应的原始基带信号。 信宿（destination）：传输信息的归宿点，其作用是将复原后的原始信号转换成相应的消息。 通信系统的分类 （1）按照消息的物理特征（即通信的业务内容）分类 4
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 狭义上分为电报通信（telegraph communication），电话通信（telephone communication），数据通信（data traffic）和图象通信（image communication）等； 广义上分为遥测（remote measure），遥控（remote control）和遥感（remote sensing）等。 （2）按照调制方式分类 分为基带传输和频带传输。基带传输是将未经调制的信号直接传送；频带传输是对各种信号调制后传输的总称。 基带信号（base-band signal）是指未经调制的信号，也称为低通信号（low-pass signal），基带的含义是指信号的频谱从零频附近开始。 频带信号是经调制后的信号，也称为已调信号（modulated signal）和带通信号（band-pass signal）。 （3）按照信号特征分类 分为模拟通信（analog communication）和数字通信（digital communication）。也有的资料上分为三类，增加了模拟信号的数字传输系统。 （4）按照传输媒介分类 分为有线通信和无线通信。有线通信是用导线（如架空明线、同轴电缆（coaxial cable）、光纤（fiber）等）作为传输媒介完成通信，如市内电话、有线电视、海底电缆通信等；无线通信是依靠电磁波在空间传播达到传递消息的目的，如短波电离层传播、微波视距传播、卫星中继等。 （5）按照工作波段分类 不同频率的电磁波具有不同的传输特点，按照设备的工作频率可以分为长波通信（longwave communication）、中波通信（mediumwave communication）、短波通信（shortwave communicatin）、微波通信（microwave communication）、远红外线通信等等。 （6）按照信号复用方式分类 分为频分复用（Frequency Division Multiplexing，简称FDM）、时分复用（Time Division Multiplexing，简称TDM）、码分复用（Code Division Multiplexing，简称CDM）和波分复用（Wavelength Division Multiplexing，简称WDM）。 通信系统的工作方式 （1）按照消息传递的方向与时间关系分类 分为单工传输方式（simplex transmission mode）、半双工传输方式（half-duplex transmission mode）和全双工传输方式（full-duplex transmission mode）三种。 单工通信：消息只能单方向传输的工作方式，因此只占用一个信道。如广播、遥测、遥控、无线寻呼等。 半双工通信：通信双方都能收发消息，但不能同时进行收和发。如使用同一载频的对讲机等。 全双工通信：通信双方可以同时进行收发消息的工作方式。一般情况下全双工通信的信道必须是双向信道。如普通电话、手机等。 （2）按照数字信号排列顺序分类 分为并行传输（parallel transmission）和串行传输（serial transmission）。 并行传输：将代表信息的数字序列以成组的方式在两条或两条以上的并行信道上同时传输。优点是节省传输时间，但需传输信道多，设备复杂，成本高，故较少采用。 串行传输：数字序列以串行方式一个接一个在一条信道上传输。 （3）按照同步方式分类 分为同步通信和异步通信。 （4）按照通信网络形式分类 分为点对点通信（如专线通信），点对多点通信（如广播（broadcast）、电视（Television）等）和多点对多点通信（如电话（telephone）等）。 5
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 信息度量 （1）信息量的计算 设离散消息x发生的概率为P(x)，则其携带的信息量为 1 I=−logP(x)=log aaP(x)当对数底数a=2时，信息量的单位为比特（bit）；当a=e时，信息量的单位为奈特（nit）；当a=10时，信息量的单位为哈特莱（hartley）。 （2）离散信源平均信息量的计算 平均信息量是指信源中每个符号所含信息量的统计平均值。统计独立的N个符号离散信息源的平均信息量为 N H(x)=−P(x)logP(x)bit/符号) i2∑i=1由于H同热力学中熵（entropy）的形式一样，因此也把信源输出消息的平均信息量称为信源的熵，单位为bit/符号。熵值越大越好。当每个符号等概出现，且符号出现为统计独立时，该信源的熵最大，为 H(x)=logM(bit/符号) 2（3）连续消息平均信息量的计算 连续消息的平均信息量可用概率密度来描述，平均信息量为 +∞ H(x)=−f(x)lnf(x) ∫−∞式中，f(x)为连续消息出现的概率密度。 性能指标 有效性和可靠性是通信系统的主要指标，前者是指消息传输的速度问题，后者是指消息传输的质量问题。 （1）模拟通信系统性能指标 模拟通信系统的有效性可用有效传输频带来度量，同样的消息用不同的调制方式，则需要不同的频带宽度。可靠性用接收端最终输出信噪比来度量。不同调制方式在同样信道信噪比下所得到的最终解调后的信噪比是不同的。 （2）数字通信系统性能指标 数字通信系统的有效性可用传输速率来衡量。可靠性可用差错率来衡量。传输速率一般分为码元传输速率、信息传输速率和频带利用率。差错率一般分为误码率和误信率。 码元传输速率R：简称传码率，又称为符号速率、波形速率、信号速率、码元速率、数码率B和码率等。定义为每秒钟传输码元的数目，单位是波特（Baud），记作B（B不能小写）。 数字信号有多进制和二进制之分，但码元速率与进制数无关，只与传输的码元长度T有关，即R=1/T。 B信息传输速率R：简称传信率或比特率等。定义为每秒钟传递的信息量，单位是比特/秒，记b作bit/s、b/s、bps。 由于信息量与进制数有关，因此信息传输速率也与进制数有关。 频带利用率：在比较不同通信系统的有效性时，不能只考虑其传输速率，还应考虑其所占带宽，故频带利用率是衡量有效性的重要指标。频带利用率定义为单位频带内的传输速率，即 RRBb η=(Buad/Hz)，η=(b/s⋅Hz) BbBB6
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 二者的关系为 η=RlogM bB2码元传输速率与信息传输速率的关系：在二进制中，码元传输速率R和信息传输速率R在B2b2数值上相等，只是单位不同。在多进制中，R和R数值和单位均不同，其换算关系为BMbMR=RlogM。如码元传输速率为1200B，采用八进制（M=8）时，信息速率为3600b/s；采bMBM2用二进制（M=2）时，信息速率为1200b/s。这说明为提高有效率，可以采用多进制传输。 在保证系统信息传输速率不变的情况下，多进制码元传输速率与二进制码元传输速率的转换关系为R=RlogM。 B2BM2在保证系统码元传输速率不变的情况下，多进制信息传输速率与二进制信息传输速率的转换关系为R=R/logM。 b2bM2误码率P：又称为码元差错率，是指发生差错的码元数在传输总码元数中所占的比例，更确e切地说，误码率是码元在传输系统中被传错的概率，即 错误码元数 P= e传输总码元数误信率P：又称为信息差错率或误比特率，是指错误接收的信息量在传送信息总量中所占的b比例，即是码元的信息量在传输系统中被丢失的概率。也可以说，发生差错的比特数在传输总比特数中所占的比例，故又称为误比特率，即 错误比特数 P= b传输总比特数在二进制中，；N进制时与译码方式有关，一般P<P。 beR越大，有效性越好，但带来的问题是数字信号占用的带宽越大，同时抗噪声性能也越差，B也就是误码率P越大；R越小，通信的可靠性越高。一般对P的要求与所传输的信息有关，对数eBe−3−5−6字电话信号要求P≤10，数据传输时要求P≤10~10或者更小。 ee误码率和误信率的关系：在二进制中，P=P，误码率和误信率相等。在多进制中，如M进ebMi制，每个码元含有n=log比特，出现错误的样式有M−1种，其中错i(i=1,2,L,n)比特的样式有C2n个。若错误样式等概出现，则当一个码元发生错误时，在n年比特中错误比特为所占比例的数学期望为 nn−1⎡错误比特数⎤1i2Mi E[n]=E=C== n⎢⎥∑一个码元中的比特数M−1nM−12(M−1)⎣⎦i=1因此，当M较大时，有 M1 P=E[n]P=P≈P beee2(M−1)重要公式 1 信息量：I=−logP(x)=log，a=2时，单位为比特（bit） 2aP(x)N平均信息量：H(x)=−P(x)logP(x)(bit/符号) i2i∑i=1符号等概时有最大熵：H=−logP(x)(bit/符号) max2 7
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 信息速率与码元速率的换算：二进制：R=R(bit/s)，M进制：R=RlogM(bit/s) b2B2bMBM2RRBb频带利用率：η=(Buad/Hz)，η=(bit/s⋅Hz) bBB错误码元数误码率：P= e传输总码元数错误比特数误信率：P= b传输总比特数经典例题 例1 设英文字母E出现的概率为，X出现的概率为。试求E及X的信息量。 解：由于字母E出现的概率为，故其信息量为 I=−=(bit) 2由于字母X出现的概率为，故其信息量 I=−=(bit) 2评注：考察信息量的基本概念。 例2 本信息源的符号集由A、B、C、D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率为1/4、1/8、1/8、3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息量。 解：信息源符号的平均信息量为 5H=−P(x)logP(x)i2i∑i=1 1111113355⎡⎤=−log+log+log+log+log=(bit/符号)22222⎢⎥44888816161616⎣⎦评注：考察平均信息量的计算公式。 例3 国际摩尔斯电码用电和划的序列发送英文字母，划用连续3个单位的电流脉冲表示，点用连续1个单位的电路脉冲表示，且划出现的概率是点出现概率的1/3。 （1）计算点和划的信息量； （2）计算点和划的平均信息量。 解：（1）由于划出现的概率是点出现概率的1/3，则P=3/4，P=1/4。得到点的信息量为 点划3I=−log=(bit) 点24划的信息量为 1I=−log=2(bit) 划24（2）平均信息量为 23311⎡⎤ H=−P(x)logP(x)=−log+log=(bit/符号) i2i22∑⎢⎥4444⎣⎦i=1评注：考察信息量和平均信息量的计算公式。 提示：信息量和平均信息量只与各消息出现的概率有关，而与其持续时间无关。只有涉及信息速率或码元速率时，才与持续时间有关。 例4 某人A预先知道他的三位朋友B、C、D中晚上必有一人到他家，并且可能性相同。令P、P、BC8
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 P分别表示B、C、D三人到A家的概率，则有P=P=P=1/3。但上午D说他不来了，若称DBCD此事为事件E，则P(DE)=0，P(BE)=P(CE)=1/2。下午C说他也不能来了，称此事为事件F，则P(CEF)=P(DEF)=0，P(BEF)=1。试求互信息量I(B,E)、I(C,E)、I(D,E)和I(B,EF)。 解：接到上午电话后，A获得的B、C、D的互信息量为 P(BE)P(BE)1/2 I(B,E)=I(C,E)=log=log=log=(bit) 222P(B)P(B)1/3 由于在E条件下，已不可能出现D，故不必考虑D、E之间的互信息量。 在接到两次电话后，A获得的B、C、D的互信息量为 P(BEF)1 I(B,EF)=log=log=(bit) 22P(B)1/3由于此时C、D已不可能出现，故也不必考虑C、D与EF之间的互信息量。 评注：考查互信息量的计算公式化式。 例5 一信息源由4个符号0、1、2、3组成，它们出现的概率分别为3/8、1/4、1/4、1/8，且每个符号的出现都是独立的。试求某个消息201020130213001203210100321010023102002010 312032100120210的信息量。 解：该消息共有57个符号，其中0出现23次，1出现14次，2 出现13次，3出现7次。整个符号串的信息量为 N3111I=−nlogP(x)=−23log−14log−13log−7logi2i2222∑ 8448i=1=33+28+26+21=108(bit)若用熵的概念计算，则为 N33111111⎡⎤I≈MH=MP(x)logP(x)=57−log−log−log−logi2i2222∑⎢⎥ 88444488⎣⎦i=1=(bit)评注：考查信息量的两种计算方法。 例6 已知二进制信号在3min内共传输72000码元 （1）其码元速率R和信息速率R各为多少？ B2b2（2）如果码元宽度保持不变，但改为八进制数字信号，则其码元速率R和信息速率R又为多少？ B2b2解：（1）码元传输速率为 72000 R==400(Buad) B23×60信息速率为 R=R=400(bit/s) b2B2（2）若改为八进制，由于码元宽度未变，故 R=R=400(bit/s) B8B2 R=Rlog8=1200(bit/s) b8B82评注：本题考查R和R的基本定义及相互转换。计算R和R时，要注意时间单位为秒。 BbBb例7 已知X、Y两个八进制数字传输系统，码元速率相同，在接收端4mn内，X收到m个错误码元，Y收到m+3个错误比特，试比较两个系统哪个性能较好，为什么？ 解：比较两个系统性能好坏主要看有效性和可靠性。 9
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （1）两个系统的码元速率相同，均为R。 B（2）由误码率定义知 mm P== eXR×4×60240RBB(m+3)/log8m+32 P== eYR×4×60720RBB或由误信率定义知 mlog8m2 P== bXRlog8×4×60240RB2Bm+3m+3 R== bYRlog8×4×60720RB2B可以看出，当m≥2时，P>P，P>P，Y系统性能优于X系统。仅当m=1时，X系eXeYbXbY统性能优于Y系统。 评注：本题可以通过计算误信率和误码率来比较两个系统性能，但必须讨论m的取值。 名词中英文对照 analog communication，模拟通信 analog signal，模拟信号 anglog source，模拟信源 analog communication system，模拟通信系统 base-band signal，基带信号 broadcast，广播 binary modulation，二进制调制 communication，通信 Code Division Multiplexing，简称CDM，码分复用 communication system，通信系统 channel，信道 channel coding，信道编码 coding，编码 coaxial cable，同轴电缆 code rate，码率 data traffic，数据通信 digital communication，数字通信 destination，信宿 demodulation，解调 decoding，解码 digital signal，数字信号 discrete （digital） source，离散（数字）信源 digital modulator，数字调制器 digital demodulator，数字解调器 data compression，数据压缩 entropy，熵 Frequency Division Multiplexing，简称FDM，频分复用 10
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 full-duplex transmission mode，全双工传输方式 fiber，光纤 half-duplex transmission mode，半双工传输方式 Information，信息 information source，信源 information sequence，信息序列 image communication，图象通信 long-wave communication，长波通信 low-pass signal，低通信号 medium-wave communication，中波通信 microwave communication，微波通信 message，消息 modem，调制解调器 modulation，调制 modulated signal，已调信号 noise source，噪声源 noise，噪声 optcommunication，光通信 parallel transmission，并行传输 remote measure，遥测 remote control，遥控 remote sensing，遥感 receiving equipment，接收设备 receiver，收信机 signal，信号 shortwave communication，短波通信 send equipment，发送设备 source coding，信源编码 simplex transmission mode，单工传输方式 serial transmission，串行传输 Time Division Multiplexing，简称TDM，时分复用 telegraph communication，电报通信 telephone communication，电话通信 telecommunication，电通信 transmission medium，传输媒介 transmitter，发信机 Television，电视 telephone，电话 Wavelength Division Multiplexing，简称WDM，波分复用 练习与思考 练习题 1-1 设英文字母E出现的概率为，X出现的概率为。试求E和X的信息量。 11
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 11解：I=log=log=(bit) I=log=log=(bit) -2 某信息源的符号集由A、B、C、D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为1/4、1/8、1/8、3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息量。 解：根据信源平均信息量的计算公式得 5H=−P(x)logP(x)i2i∑i=1 1111113355=−log−log−log−log−log=(bit/符号)22222448888161616161-3 设有四个消息A、B、C、D分别以概率1/4、1/8、1/8和1/2传送，每一消息的出现是相互独立的，试计算其平均信息量。 411111111解：H=−P(x)logP(x)=−log−log−log−log=(bit/符号) i2i2222∑44888822i=11-4 一个由字母A、B、C、D组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A、01代替B、10代替C、11代替D，每个脉冲宽度为5ms （1）若不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率； （2）若不同的字母是等可能性分别为P=1/5、P=1/4、P=1/4、P=3/10时，试计算传输ABCD的平均信息速率。 解：（1）因为一个字母对应两个二进制脉冲，故一个字母的持续时间为10ms，得到传送字母的符号速率为 1R==100(B) B−310×10等概出现时，平均信息速率为 R=Rlog4=200(bit/s) bB2 （2）每个符号的平均信息量为 411111133H=−PlogP=−log−log−log−log=(bit/符号) i2i2222∑5544441010i=1平均信息速率 R=RH=100×=(bit/s) bB41-5 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现概率的1/3。 （1）计算点和划的信息量； （2）计算点和划的平均信息量。 解：（1）由题意得，划出现的概率为P=P/3，且P+P=1，得P=1/4，P=3/4。 121212得到划的信息量为 1I=−log=2（bit） 124点的信息量为 3I=−log=(bit) 22412
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （2）平均信息量为 31H=×+×2=(bit/符号) 441-6 设一信息源的输出由128个不同字符组成。其中16个出现的概率为1/32，其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算信息源的平均信息速率。 解：由题意得P(x)=P(x)=L=P(x)=1/32，P(x)=P(x)=L=P(x)=1/224，得到信息源的12161718128墒为 1281111H=−P(x)logP（x）=−16×log−112×logi2i22∑3232224224i=1 11=×5+×=(bit/符号)22信息源的平均信息速率为 R=RH=1000×=6404（bit/s） bB1-7 对于二电平数字信号，每秒钟传输300个码元，问此传码率R等于多少？若该数字信号0和1B出现是独立等概的，那么传信率R等于多少？ b解：由于传码率定义为每秒钟传输码元的数目，得 R=300B。 B由于传信率定义为每秒钟传递的信息量，题意已知为二进制系统，得 R=R=300(bit/s) bB1-8 若题1-2中信息源以100B速率传输信息，则传送1小时的信息量为多少？传送1小时可能达到的最大信息量为多少？ 解：由题1-2可知，H= BR=RH=100×=223(bit/s) bB传送1小时的信息量为 5I=RT=223×3600=×10(bit) b当等概发送时平均速率最大，为 R=Rlog5=100×=232(bit/s) bmaxB2传送1小时的最大信息量为 5I=RT=232×3600=×10(bit) maxbmax1-9 如果二进独立等概信号，码元宽度为，求R和R；有四进制信号，码元宽度为，Bb求传码率R和独立等概时的传信率R Bb解：对于二进制 1R==2000(B)，R=Rlog2=2000(B) BbB2−×10对于四进制 1R==2000(B)，R=Rlog4=4000(B) BbB2−×思考题 1-1 以无线广播和电视为例，说明图1-1所示模型中信息源、受信者以及信道包含的具体内容是什么？ 答：信源的作用是把各种消息转换成原始电信号。无线广播中，信源的内容是从声音等消息转换成 13
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 的原始电信号；无线电视中，信源的内容是从声音、图像等消息转换成的原始电信号。 受信者的作用就是将复原的原始电信号转换成相应的消息。无线广播中，受信者的内容是从复原的原始电信号中转换出的声音等消息；无线电视中，受信者的内容是从复原的原始电信号中转换出的声音和图像等消息。 信道的作用是传输由原始电信号转换而来的信号。在无线广播和电视中，信道就是空气，其内容为无线电波。 1-2 数字通信有哪些特点 答：与模拟通信相比，数字通信具有如下特点：抗干扰能力强，在中继通信中，数字信号通过再生，可以消除噪声积累；传输差错可以控制，通过信道编码技术使误码率降低，提高传输质量；易于与各种数字终端接口，用现代计算机技术、数字信号处理技术对信号进行处理、加工、变换、存储；易于加密处理，且保密性强；可以综合传输各种消息，增强通信系统功能，实现综合化通信；缺点是需要较大的传输带宽。 1-3 通信方式是如何确定的？ 答：对于并行和串行通信方式，主要根据传输距离来确定。一般远距离数字通信均采用串行传输方式，因为该方式只需占用一条通道。并行传输方式主要用于近距离数字通信，它需要占用两条或两条以上的通道 14
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第二章 随机信号分析 知识点结构框架 本章的知识点结构框架如图2-1所示。 随机过程统计描述 概率密度函数平稳随机过程数字特征 广义狭义概念 高斯过程自、互相关函数功率谱密度函数 正态分布 窄带高斯过程 数学描述 随机过程通过线性系统统计特性 数学期望 相关函数功率谱分布形式 图2-1 知识点结构框图 教学要求 （1）了解随机过程的表述方法，高斯过程和窄带随机过程的描述方法； （2）理解广义平稳过程的定义、平稳随机过程的性质； （3）掌握随机过程通过线性系统的基本原理。 难点重点 教学难点：窄带随机过程以及正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位、同相和正交分量的统计特性分析。 教学重点：平稳随机过程的数字特征与概率密度函数，平稳随机过程的相关函数与功率谱密度，高斯过程与窄带高斯过程。 教学安排 本章共分为7节，即随机过程的一般表述、平稳随机过程、平稳随机过程的相关函数和功率谱密度、高斯过程、窄带随机过程、正弦波加窄带高斯过程、随机过程通过线性系统。讲授8学时，其安排见表2-1。讲授采用多媒体课件和板书相结合的方式。 表2-1 课时安排 学时 教学内容 15
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第一讲 2 随机过程的一般表述； 平稳随机过程。 第二讲 2 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度； 高斯过程。 第三讲 2 窄带随机过程。 第四讲 2 正弦波加窄带高斯过程； 随机过程通过线性系统。 第一讲安排 （1）教学要求 了解随机过程的表述方法（多维概率密度函数，数字特征）和各态历经性的含义，理解广义和狭义（宽和严）平稳随机过程的概念、特点及相互关系，掌握数学期望、方差、自相关函数、互相关函数、自协方差和互协方差等数字特征的含义及计算方法。 （2）难点重点 教学难点：宽平稳随机过程和严平稳随机过程的定义。 教学重点：数字特征的含义及计算方法。 （3）知识回顾 在概率论中，学过数学期望、方差的概念，它们是描述随机过程的关键参数。在物理实验中，nn112学过真值、算术平均值（x=x）、标准偏差（贝塞尔（Bessel）公式σ=(x−x) ii∑∑nn−1i=1i=1n12=v（v=x−x称为残差））等概念，这是描述测量过程的必备参数，而测量过程也是一iii∑n−1i=1个随机过程。本讲将详细介绍随机过程的概念，描述方法，及主要参数。 （4）讲授提纲 本章知识点结构 随机过程的一般表述 随机过程的概念（确定性过程，随机过程，随机过程的基本特征） 随机过程的统计特性 随机过程的概率分布（分布函数，概率密度函数） 随机过程的数字特征（数学期望，方差，相关函数，协方差函数，自相关函数与自协方差函数的关系） 平稳随机过程 平稳随机过程的概念（严平稳随机过程的定义，严平稳随机过程的特点，宽平稳随机过程的定义，宽平稳随机过程和严平稳随机过程的关系） 各态历经性 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 分布函数、概率密度函数和数字特征的计算公式及推导，宽、严平稳随机过程条件下数字特征的描述方法。 （6）扩展知识 1）数学期望的性质 E[C]=C（C为常数）；E[CX]=CE[X]；E[X±Y]=E[X]±E[Y]；当X、Y相互独立时，E[XY]=E[X]E[Y]。 【提示】：在讲授随机过程数字特征数学期望时补充。 16
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2）方差的性质 2D[C]=0（C为常数）；D[CX]=CD[X]；当X、Y相互独立时，D[XY]=D[X]D[Y]。 【提示】：在讲授随机过程数字特征方差时补充。 3）千克原器 最初规定在4℃时1立方分米纯水的质量为1千克。后来用铂铱合金制成一个高度和直径都是39毫米的圆柱体，在1819年国际计量大会上批准为国际千克原器。现今保存在巴黎的国际计量局总部，所有计量的测量都应溯源到该千克原器。 1799年法国在制作铂质米原器的同时，也制成了铂质千克基准， 保存在巴黎档案局里。后来发现这个基准并不准确地等于1立方分米 最大密度纯水的质量，而是等于立方分米。于是在1875年 米制公约会议之后，也用含铂90%、铱10%的合金制成千克原器，一 共做了三个，经与巴黎档案局保存的铂质千克原器比对，选定其中之一 作为国际千克原器。这个国际千克原器被国际计量局的专家们非常仔细 地保存在特殊的地点，用三层玻璃罩好，最外一层玻璃罩里抽成半真空， 以防空气和杂质进入。随后又复制了四十个铂铱合金圆柱体，经过与国 际千克原器比对后，分发给各会员国（包括一些已经不存在的国家，如 荷属东印度[即今印度尼西亚]）作为国家基准，在第二次世界大战前，拥有国际千克复制件曾是一个国家的无上荣耀。历史上德国通过统一获得了4个复制件，而没收国际千克复制件也是对战败国的惩罚之一。跟米原器一样，千克原器也要进行周期性的检定，以确保质量基准的稳定可靠。 但是，在最近（2007年）的一次检查中，相关人员发现有118年历史、用铂和铱混合铸造的圆柱形铸件——国际千克原器减轻了大约50毫克。没有人能说出它的重量减轻的原因。虽然相关人员将这个千克原器小心地存放在巴黎附近的一个设施里，但它的重量还是发生了改变。 【提示】：在讲授随机过程数字特征数学期望时补充。 （7）互动话题 1）数学期望与物理实验中的真值关系如何？ 数学期望是统计平均，在测量学（计量学）中称为真值。真值又称为名义值、理论值，是客观存在的。分为三种：理论真值（如三角形三内角和为180º）、计量学约定真值（如七大基本物理量的单位约定）和相对真值。 【提示】：在讲授随机过程数字特征数学期望时提问。 （8）思考题 教材31页2-1，2-2，2-3，2-4，2-5，2-6。 第二讲安排 （1）教学要求 了解高斯过程、尤其是正态分布的概率密度函数、分布特点、中心极限定理等，理解和学会利用误差函数计算区间概率，掌握平稳随机过程自相关函数的性质及与功率谱密度的关系。 （2）难点重点 教学难点：功率谱密度的含义及部分自相关函数性质的证明。 教学重点：自相关函数的性质及与功率谱密度的关系。 （3）知识回顾 上一讲介绍了数学期望、方差、相关函数（自相关函数和互相关函数）、协方差函数（自协方差函数和互协方差函数）和宽严平稳随机过程。其中自相关函数非常重要，一是它的许多性质具有实实在在的物理意义，二是它与功率谱密度互为付立叶变换对，这些都在后续章节中具有较多的应 17
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 用。同时正态分布在前续课程中已经学会，并在实际中应用较多，如成绩分布等，本讲将进行详细介绍。 （4）讲授提纲 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 相关函数的性质 平稳随机过程的功率谱密度 高斯过程 高斯过程的定义 高斯过程的性质 一维高斯分布（概率密度函数形式，正态分布的特点，正态分布的计算，中心极限定理） 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 自相关函数性质的证明，功率谱密度与自相关函数的关系推导，正态分布的概率密度公式及误差函数计算。 （6）扩展知识 1）欧拉公式：在例题解答中应用 见附录2。 【提示】：在讲授随机过程功率谱密度与自相关函数的关系的例题时补充。 2）中心极限定理：又称为李雅普诺夫（Liapounov）定理或李雅普诺夫中心极限定理 李雅普诺夫（1857~1918）：俄国数学家、力学家、常微分方程运动稳定性理论的创始人。在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性等等。 【提示】：在讲授中心极限定理时补充。 3）正态分布的四性在物理实验的随机误差中的解释 单峰性：误差小的测量值出现的概率大； 对称性：正负误差相等的测量值出现的概率相等； 单调性：误差绝对值小的测量值出现的概率大，而误差绝对值大的测量值出现的概率小； 有界性：误差特别大的测量值出现的概率近似为零。 【提示】：在讲授正态分布的特点时补充。 （7）互动话题 221）为何R(0)=E[ξ(t)]是ξ(t)的平均功率，R(∞)=E[ξ(t)]是ξ(t)的直流功率。 【提示】：在讲授随机过程自相关函数性质时提问。 2）何谓标准正态分布？ 当数学期望为0、方差为1的正态分布称为标准正态分布。 【提示】：在讲授正态分布的概率密度函数时提问。 （8）例题 见例题1。 第三讲安排 （1）教学要求 了解窄带随机过程、高斯白噪声的基本概念，理解窄带随机过程的两种表示形式（包络和相位18
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 表示形式，同相和正交分量表示形式），学会分析同相和正交分量、包络和相位的统计特性，掌握瑞利（Rayleigh）分布的概率密度函数和分布特性。 （2）难点重点 教学难点：窄带随机过程包络和相位，同相和正交分量的统计特性分析。 教学重点：窄带随机过程包络和相位，同相和正交分量的统计特性分析。 （3）知识回顾 上两讲介绍了随机过程的概念及表征参数（概率密度函数和数字特征），分析了自相关函数的六个性质以及与功率谱密度的关系（互为付立叶变换对）。本讲将随机过程限定在窄带系统中进行分析，这与实际通信系统是比较接近的。因为通信系统一般都是窄带系统，信号和噪声通过带通滤波器后均变为窄带随机过程。本讲的结论在后续章节的学习中将直接引用。 （4）讲授提纲 窄带随机过程 几个概念 窄带随机过程的表达式 同相和正交分量的统计特性（数学期望，自相关函数） 包络和相位的统计特性 高斯白噪声（理想白噪声，带限白噪声，高斯白噪声） 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 窄带随机过程包络和相位，同相和正交分量的统计特性分析推导。 （6）扩展知识 1）雅可比行列式的应用 若z=f(x,y)=f(m,n)，且x=g(m,n)，y=g(m,n)（f、f、g、g为对应法则），x、y和12121212m、n均相互独立，当已知x、y的概率密度函数为f(x)、f(y)时，求f(m)、f(n)的步骤为： ∂x∂y+∞∂m∂mf(x,y)=f(x)f(y)→f(m,n)=Jf(x,y)=f(x,y)→f(m)=f(m,n)dn，∫∂x∂y−∞∂n∂n+∞f(n)=f(m,n)dm ∫−∞雅可比（Jacobi）（1804~1851）：德国数学家。 【提示】：在讲授窄带随机过程包络和相位的统计特性时补充。 2）瑞利简介 瑞利（John William Rayleigh）（1842～1919）：英国物理学家、化学家。原名斯特列特（John William Strutt）。曾任剑桥大学卡文迪许实验室主任、教授、校长，大不列颠皇家学院教授，英国皇家学会会员、会长。在声学、振动、光学理论及热辐射等方面都有贡献。建立瑞利-金斯辐射公式和瑞利散射公式。 瑞利分布：是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接收包络统计时变特性的一种分布类型，两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。 瑞利信道：又称为瑞利衰落信道（Rayleigh fading channel），是一种信号传播环境的统计模型，是指信号通过无线信道后，其幅度是随机的，即“衰落“，包络服从瑞利分布。 瑞利散射：当光线入射到不均匀的介质中，如乳状液、胶体溶液等，介质就因折射率不均匀而产生散射光。 【提示】：在讲授窄带随机过程包络和相位的统计特性时补充。 19
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （7）互动话题 1）列举常见的几个窄带系统 电视广播：频率范围~958MHz，一路信号带宽只有8MHz。 调频立体声广播：频率范围88~108MHz，一路信号带宽为1HKz。 卫星电视：C波段为~，Ku波段为~，共500MHz带宽，一路信号带宽为27MHz。 【提示】：在讲授窄带随机过程的概念时提问。 （8）思考题 教材31页2-7，2-8，2-9，2-10。 第四讲安排 （1）教学要求 了解正弦波加窄带高斯噪声和随机过程通过线性系统的研究意义，学会分析正弦波加窄带高斯噪声的两种表示形式（同相和正交分量表示形式，包络和相位表示形式）的统计特性，掌握随机过程通过线性系统输出后数学期望、自相关函数和功率谱密度的计算方法。 （2）难点重点 教学难点：正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位、同相和正交分量的统计特性分析。 教学重点：正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位、同相和正交分量的统计特性分析，随机过程通过线性系统输出后数学期望、自相关函数和功率谱密度的计算方法。 （3）知识回顾 上一讲介绍了窄带随机过程和高斯白噪声，分析得出窄带高斯随机过程的同相和正交分量均服从正态分布（其均值和方差与窄带高斯随机过程一样），包络和相位分别服从瑞利分布和均匀分布。本讲将在上一讲的基础上，将传输信号（正弦信号）与窄带高斯噪声相叠加，研究其同相和正交、包络和相位的分布特性，并研究其通过线性系统后的输出特性。 （4）讲授提纲 正弦波加窄带高斯噪声 研究意义 正弦波加窄带高斯噪声的数学分析 同相和正交分量的统计特性 包络和相位的统计特性（包络概率密度函数的推导，包络概率密度函数的特点，相位概率密度函数的推导） 随机过程通过线性系统 研究意义 ξ(t)的数学期望 ξ(t)的自相关函数 ξ(t)的功率谱密度 ξ(t)的分布 0具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 正弦波加窄带高斯噪声的同相和正交分量、包络和相位的统计特性分析推导，随机过程通过线性系统输出后的数学期望、自相关函数、功率谱密度的分析推导。 （6）扩展知识 1）莱斯（iRce）分布 莱斯是一种连续概率分布，以美国科学家斯蒂芬·莱斯（Stephen .ORice）的名字命名。其概率20
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 22z+A2−z2AzA⎛⎞2σ密度函数为f(z)=eI（z≥0）。定义K=为莱斯因子，它决定了莱斯分布形式。⎜⎟0222σσ⎝⎠2σ当A→0，K→0时，即小信噪比时，莱斯分布接近瑞利分布；当A→∞，K→∞时，即大信噪比时，接近于高斯分布。 【提示】：在讲授正弦波加窄带高斯噪声包络和相位的统计特性时补充。 （7）互动话题 1）窄带高斯过程的包络和相位各服从什么分布？ 包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。 【提示】：在讲授正弦波加窄带高斯噪声包络和相位的统计特性时提问。 2）时域和频域中卷积与乘积有何关系？ 时域的卷积等于频域的乘积，频域的卷积等于时域的乘积。 【提示】：在讲授随机过程通过线性系统时提问。 （8）例题习题 例题：见例题2。 习题：教材31页2-2，32页2-8、2-9，33页2-11。 核心内容 随机过程的基本概念 （1）概念 当事物变化的过程不能用确定函数描述时，此过程称为随机过程（random process），记作ξ(t)。 随机过程具有两个特征，一是随机过程是时间的函数；二是在任一时刻观察到的值是不确定的，是一个随机变量（random variable）。 （2）概率密度函数（proabbility density function）和分布函数（distriubtion function） 设ξ(t)为一个随机过程，在任意给定时刻t，其取值为ξ(t)是一个一维（one dimensional）随11机变量。将随机变量ξ(t)小于或等于某一数值x的概率 11 F(x,t)=P[ξ(t)≤x] 11111定义为ξ(t)的一维分布函数。若存在 ∂F(x,t)111 =f(x,t) 111∂x1则称f(x,t)为ξ(t)的一维概率密度函数。 111一维分布函数和一维概率密度函数给出了随机过程最简单的概率分布特性，只能描述随机过程在任一孤立时刻取值的统计特性，而不能反映出随机过程各个时刻的内在联系。因此，为了完整地描述随机过程的统计特性，一般需要n维分布函数和n维概率密度函数。 随机过程ξ(t)的n维分布函数和n维概率密度函数定义为 Fx,x,L,x;t,t,L,t)=P[ξ(t)≤x,ξ(t)≤x,L,ξ(t)≤x] n12n12n1122nn∂Fx,x,L,x;t,t,L,tn12n12n =f(x,x,L,x) n12n∂x,∂x,L,∂x12n当n为2时，称为二维分布函数和二维概率密度函数，可以描述随机过程在任意两个时刻取值之间的关联程度，但不能完整地反映出随机过程的全部信息。从理论上讲，n值越大，用随机过程的n维分布函数和n维概率密度函数来描述随机过程的统计特性也就越完善，但随着n值的增大分析处理会变得越来越复杂。 （3）数字特征 21
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 随机过程的数字特征主要包括数学期望、方差、相关函数和协方差函数等。 数学期望（mathematic expectation）：又称为均值（average）和统计平均。随机过程ξ(t)在任一时刻t的数学期望定义为 +∞E[ξ(t)]=a(t)=xf(x,t)dx 1∫−∞数学期望是一个时间的确定函数，是由随机过程所有样本在任一时刻t的值取平均得到的，也就是统计平均值或均值。表示所有样本在任一时刻t取值的分布中心。 数学期望的性质：E[c]=c（c为常数）；E[cx]=cE[x]；E[x+y]=E[x]+E[y]；若x、y相互独立，则E[xy]=E[x]E[y]。 方差（variance）：随机过程ξ(t)在任一时刻t的方差定义为 +∞222 D[ξ(t)]=σ(t)=E{[ξ(t)−a(t)]}=[ξ(t)−a(t)]f(x,t)dx 1∫−∞方差也是时间的确定函数，且必为非负函数，描述了随机过程的诸样本相对于数学期望的离散程度。方差的算术平方根σ(t)称为标准差或方差根，应用较为广泛。 2方差的性质：D[c]=0（c为常数）；D[cx]=cD[x]。 相关函数（correlation function）：用于描述随机过程的内在联系特征，分为自相关函数（autocorrelation function）和互相关函数（cross-correlation function）。 自相关函数描述了随机过程在任意两个不同时刻取值之间的相关程度。设随机过程ξ(t)在任意两个时刻t和t上的自相关函数定义为 12+∞+∞ R(t,t)=E[ξ(t)ξ(t)]=xxf(x,x,t,t)dxdx 1212122121212∫∫−∞−∞互相关函数描述了两个随机过程之间的统计关联特性。设有两个随机过程ξ(t)和η(t)，它们在任意两个时刻t和t的取值分别为ξ(t)和η(t)，其互相关函数定义为 1212 R(t,t)=E[ξ(t)η(t)] ξη1212协方差函数（covariance function）：分为自协方差和互协方差。 自协方差函数表示随机过程在任意两个时刻起伏值之间的平均相关程度。随机过程ξ(t)在任意两个时刻t和t上的自协方差定义为 12+∞+∞ B(t,t)=E[ξ(t)−a(t)][ξ(t)−a(t)]=[x−a(t)][x−a(t)]f(x,x;t,t)dxdx 12112211222121212∫∫−∞−∞互协方差函数描述了两个随机过程起伏值之间的统计关联特性。设有两个随机过程ξ(t)和η(t)，它们在任意两个时刻t和t的取值分别为ξ(t)和η(t)，其互协方差定义为 1212B(t,t)=E[[ξ(t)−a(t)][η(t)−a(t)]] ξη121ξ12η平稳随机过程 平稳随机过程（stationary random process）是在通信系统中占有重要地位的一种特殊类型而又广泛应用的随机过程。 （1）定义 平稳随机过程分为严（狭义）平稳随机过程和宽（广义）平稳随机过程两种。 严平稳随机过程：如果随机过程ξ(t)的任意n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即当时间平移任意常数时，其n维概率密度函数不变化，则称ξ(t)是严平稳随机过程。它满足下述关系式 22
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 f(x,x,L,x;t,t,L,t)=f(x,x,L,x;t+τ,t+τ,L,t+τ) n12n12nn12n12n对于一维概率密度函数，若令t=−τ，则有 1 f(x,t)=f(x,0)=f(x) 111111严平稳随机过程的特点：对于严平稳随机过程，其数学期望、方差、二维概率密度函数、自相关函数变为 +∞ E[ξ(t)]=xf(x)dx=a 1∫−∞+∞22 D[ξ(t)]=σ=[x−a]f(x)dx 1∫−∞ f(x,x;t,t)=f(x,x;0,τ)=f(x,x,τ) 21212212212+∞+∞ R(t,t)=xxf(x,x,τ)dxdx=R(τ) 121221212∫∫−∞−∞这说明一维概率密度函数与时间无关，二维概率密度函数和自相关函数仅与时间间隔有关，数学期望和方差都是与时间无关的常量。 宽平稳随机过程：若随机过程ξ(t)的数学期望是与时间无关的常量，而自相关函数仅与时间间+∞隔有关，即E[ξ(t)]=xf(x)dx=a，R(t,t)=R(τ)，则称随机过程是宽平稳随机过程。 112∫−∞宽平稳随机过程和严平稳随机过程的关系：严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程，但宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程。这是由于严平稳随机过程的定义式本身就包含了宽平稳随机过程的定义式；但是满足后者定义式的宽平稳随机过程，它的n维概率密度函数却不一定能满足严平稳随机过程的要求，因此未必是严平稳随机过程。 （3）性质 平稳随机过程的自相关函数是一个重要的参数，一是其统计特性可以通过自相关函数来描述；二是自相关函数与平稳随机过程的频谱特性有着内在的联系。具有以下性质： 1）R(τ)是偶函数，即R(−τ)=R(τ)； 22）ξ(t)的平均功率为R(0)=E[ξ(t)]=S； 3）R(τ)的上界为R(0)，即R(τ)≤R(0)； 24）ξ(t)的直流功率为R(∞)=E[ξ(t)]； 25）ξ(t)的交流功率为σ=R(0)−R(∞)； 6）周期性随机过程的自相关函数同样具有周期性，即R(τ)=R(τ+T)； 7）自相关函数（autocorrelation function）和功率谱密度函数（power spectrum density function）互为付里叶变换（Fourier transform）。 高斯过程 （1）定义 任意n维分布服从正态分布的随机过程称为高斯过程，高斯过程（Gauss process）又称为正态随机过程（normal random process）。 （2）性质 1）高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。 23
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2）若高斯过程是宽平稳的，则其均值与时间无关，协方差只与时间间隔有关，而与时间起点无关。得其n维分布也与时间起点无关。所以，宽平稳高斯过程也是严平稳高斯过程。 3）若高斯过程中的随机变量两两之间互不相关，则它们是统计独立的。 4）若干个高斯过程之和组成的随机过程仍是高斯过程；高斯过程经过线性系统后的过程仍是高斯型。 （3）一维高斯分布 一维高斯分布也称为正态分布或常态分布，其概率密度函数形式为 2(x−a)−122σ f(x)=e 2πσ2式中，a和σ分别为均值和方差。 正态分布的特点：具有对称性、单调性、单峰性和有界性四性。 a+∞1对称性：曲线关于x=a左右对称，f(x)dx=f(x)dx=； ∫∫−∞a2 单调性：曲线在(−∞,a)单调上升，在(a,+∞)单调下降； 1 单峰性：曲线在x=a处取得唯一的极值； 2πσ+∞ 有界性：f(x)dx=1； ∫−∞ 极值点：x=a； 拐点：x=a−σ，x=a+σ； 渐近线：横轴。当x→+∞或x→−∞时，有f(x)→0； 2x−122σ 标准正态分布：f(x)=e 2πx22−z误差函数：erf(x)=edz ∫0π2z+∞−12Q函数：Q(x)=edz ∫x2π（4）中心极限定理 中心极限定理又称为李雅谱诺夫中心极限定理。如果一个随机变量是由大量相互独立的微小随机变量共同作用的结果，且每个随机变量对总随机变量的影响足够小，则不论每个微小随机变量服从何种分布，总的随机变量服从高斯（正态）分布。此定理在无线电技术领域有着重要的意义。 窄带随机过程 （1）概念 窄带信号（narrowband signal）：指频谱只限于以±f为中心，带宽为Δf（Δf<<f）的信号，cc更确切地应称为高频窄带信号。 窄带系统（narrowband system）：指通带宽度比中心频率小得很多的通信系统。如电视1频道中心频率为，而带宽只有8MHz。 窄带随机过程（narrowband random process）：通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，若此时信号或噪声又是随机的，则称为窄带随机过程。 （2）表示形式 24
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 窄带随机过程有两种表示形式，一种是同相与正交分量形式，另一种是包络与相位形式。 同相与正交分量形式：ξ(t)=ξ(t)cosωt−ξ(t)sinωt，其中ξ(t)=a(t)cosϕ(t)为同相分量，ccsccξξξ(t)=a(t)sinϕ(t)为正交分量。 sξξ包络与相位形式：ξ(t)=a(t)cos[ωt+ϕ(t)]，其中a(t)为包络函数，ϕ(t)为随机相位函数。 ξcξξξ（3）统计特性 ξ(t)的统计特性可由a(t)、ϕ(t)或ξ(t)、ξ(t)的统计特性确定。反之，由ξ(t)的统计特性也ξξcs可以确定a(t)、ϕ(t)或ξ(t)、ξ(t)的统计特性。 ξξcs2对于均值为零、方差为σ的窄带平稳高斯过程ξ(t)，其同相和正交分量同样是平稳高斯过程，ξ且均值为零，方差都相等。同时，同相和正交分量在同一时刻的取值是统计独立的。即222E[ξ(t)]=E[ξ(t)]=E[ξ(t)]=0，σ=σ=σ，R(0)=R(0)=0。 csξξξξξξξcscssc2对于均值为零、方差为σ的平稳高斯窄带过程，其包络的一维分布是瑞利（Rayleigh）分布，ξ2aξ−a21ξ2σξ相位的一维分布是均匀分布，且二者相互独立。即f(a)=e（a≥0），f(ϕ)=ξξξ22πσξ（0≤ϕ≤2π），f(a,ϕ)=f(a)f(ϕ)。 ξξξξξ高斯白噪声的概念 白噪声（white noise）：凡是功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声称为白噪声，它是nn00理想的宽带过程。其功率谱密度为P(ω)=，自相关函数为R(τ)=δ(τ)。由自相关函数看到，ξ22仅在τ=0时才不为零，其他均为零。说明只有在τ=0时才相关，而在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。 带限白噪声（band-limited white noise）：如果噪声被限制在（−f,f）之内，且在该频率区00n0间范围内有P(ω)=，在该区间外P(ω)=0，则称为带限白噪声。其自相关函数为ξξ2sin2πfτ0R(τ)=nf，只有在τ=kπ/ω时得到的随机变量才互不相关。 0002πfτ0高斯白噪声（Gauss white noise）：如果统计特性符合正态分布的条件，功率谱密度又符合白噪声的条件，则这样的噪声就称为高斯白噪声。或者说，高斯白噪声既是白噪声，又服从高斯分布。 正弦波加窄带高斯过程 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出实际就是信号与窄带噪声的混合波形。目前，通信系统中最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波。为了分析其输出性能，就有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。 25
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 合成信号为 r(t)=Acos[ωt+θ]+n(t)c=Acosωtcosθ−Asinωtsinθ+x(t)cosωt−y(t)sinωtcccc =[Acosθ+x(t)]cosωt−[Asinθ+y(t)]sinωt cc=z(t)cosωt−z(t)sinωtccsc=z(t)cos[ωt+ϕ]c2式中，n(t)为窄带高斯过程，其均值为零，方差为σ；正弦波的θ在（0，2π）为均匀分布，A、ω为确知。z(t)为同相分量，z(t)为正交分量；z(t)为包络函数，ϕ为相位函数。 ccs若θ给定，则同相分量z(t)和正交分量z(t)均服从正态分布，且相互独立，即 cs22(z−Acosθ)(z−Asinθ)cs−−12122σ2σ f(zθ)=e，f(zθ)=e cs2πσ2πσ包络服从广义瑞利分布或莱斯（Rice）分布，其概率密度函数为 22z+A−z2⎛Az⎞2σ f(z)=eI⎜⎟（z≥0） 022σ⎝σ⎠包络分布与信噪比有关。小信噪比时，接近于瑞利分布；大信噪比时，接近于高斯分布；在一般情况下为莱斯分布。 相位分布比较复杂，其概率密度函数为 2π f(ϕ)=f(ϕθ)f(θ)dθ ∫随机过程通过线性系统 设线性系统传输函数为H(ω)，冲激响应为h(t)，输入v(t)是随机过程，通过系统后得到的输i出过程为v(t)，则 0设线性系统的输入v(t)为平稳随机过程，则输出v(t)也是平稳随机过程，即i0E[v(t)]=E[v(t)]H(0)，R(t,t+τ)=R(τ)。由此可见，输出过程的数学期望等于输入过程的数学0i0110期望与H(0)相乘，且与时间无关。自相关函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关。 2系统的输出功率谱密度P(ω)是输入功率谱密度P(ω)与H(ω)的乘积，即vv0i2P(ω)=P(ω)H(ω) vv0i高斯过程经过线性系统后仍为高斯型。 重要公式 +∞均值：E[ξ(t)]=a(t)=xf(x)dx 1∫−∞+∞222方差：D[ξ(t)]=σ(t)=E{[ξ(t)−a(t)]}=[ξ(t)−a(t)]f(x,t)dx 1∫−∞+∞+∞自相关函数：R(t,t)=E[ξ(t)ξ(t)]=xxf(x,x,t,t)dxdx 1212122121212∫∫−∞−∞26
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 互相关函数：R(t,t)=E[ξ(t)η(t)] ξη1212+∞+∞自协方差：B(t,t)=E[ξ(t)−a(t)][ξ(t)−a(t)]=[x−a(t)][x−a(t)]f(x,x;t,t)dxdx 12112211222121212∫∫−∞−∞互协方差：B(t,t)=E[[ξ(t)−a(t)][η(t)−a(t)]] ξη121ξ12η22平稳随机过程：E[ξ(t)]=a，D[ξ(t)]=σ，R(t,t)=R(τ) 122(x−a)−122σ一维高斯分布：f(x)=e 2πσ2aξ−a2ξ2σξ窄带高斯过程：ξ(t)=ξ(t)cosωt−ξ(t)sinωt，ξ(t)=a(t)cos[ωt+ϕ(t)]，f(a)=eccscξcξξ2σξ1（a≥0），f(ϕ)=（0≤ϕ≤2π） ξξξ2π经典例题 例1 求随机相位正弦波ξ(t)=sin(ωt+θ)的自相关函数和功率谱密度。ω是常数，θ是在区间[0,2π]00上均匀分布的随机变量。 （1）求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度； （2）讨论ξ(t)是否具有各态历经性。 解：（1）ξ(t)的数学期望为 a(t)=E[ξ(t)]=E[sin(ωt+θ)]=E[sinωtcosθ+conωtsinθ]000 =Esinωtcosθ]+E[conωtsinθ] 002π2π11=sinωtcosθdθ+conωtsinθdθ=000∫∫002π2π自相关函数为 R(t,t)=E[ξ(t)ξ(t)]=E[sin(ωt+θ)sin(ωt+θ)] 12120102令t=t，t=t+τ，得 12R(t,t+τ)=E[sin(ωt+θ)sin(ωt+ωτ+θ)]000=Esin(ωt+θ)sin(ωt+θ)cosωτ+cos(ωt+θ)sinωτ000002=E[cosωτsin(ωt+θ)]+E[sinωτsin(ωt+θ)cos(ωt+θ)]000002=cosωτE[sin(ωt+θ)+sinωτEsin(ωt+θ)cos(ωt+θ) 0000011=cosωτE1−cos2(ωt+θ)]+sinωτE[sin2(ωt+θ)]0000221=cosωτ=R(τ)02由此可见，数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关，而与时间无关，所以ξ(t)为宽平稳随机过程。 根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，得 27
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 +∞+∞+∞11−ωτ−ωτjωτ−jωτjj−jωτ00P(ω)=R(τ)edτ=cosωτedτ=(e+e)edτξ0∫∫∫−∞−∞−∞24+∞+∞11−j(ω−ω)τ−j(ω+ω)τ00 =edτ+edτ ∫∫−∞−∞44ππ=δ(ω−ω)+δ(ω+ω)0022评注：考查数学期望、自相关函数和功率谱密度的计算，以及宽平稳随机过程的判别。 例2 试求功率谱密度为n/2的白噪声通过理想矩形低通滤波器（传输函数见下式）后的功率谱密0度、自相关函数和噪声平均功率。 jωtd⎧⎪Ke,ω≤ω0H H(ω)= ⎨⎪0,ω<−ω,ω>ω⎩HHn0解：由于输入功率谱密度为P(ω)=，根据随机过程通过线性系统后输出功率谱密度的计算公式ξi2得 n220 P(ω)=H(ω)P(ω)=K ξξ00i2 根据功率谱密度与自相关函数的关系得 2+∞+ωKnH1sinωτjωτ00jωτ2H R(τ)=P(ω)edω=edω=Knf ξ00H0∫∫−∞−ω2π4πωτHH 噪声平均功率为 2 N=R(0)=Knf 00H评注：考查随机过程通过线性系统后输入、输出功率谱密度的关系，以及自相关函数的性质。 1例3 设随机过程ξ(t)可以表示为ξ(t)=2cos(2πt+θ)，式中θ为离散随机变量，且P(θ=0)=，2π1⎛⎞Pθ==，试求E(1)和R(0,1)。 ⎜⎟ξξ22⎝⎠解：由于θ是一个离散随机变量，则 E(1)=E[2cos(2πt+θ)]=E[2cos(2π+θ)]ξt=1 =2Ecos2πcosθ−sin2πsinθ]=2E[cosθ 11π⎛⎞=⎜+⎟2cos0cos=1⎜⎟222⎝⎠R(0,1)=E[ξ(0)ξ(1)]=E[2cosθ⋅2cos(2π+θ)]=4E[cosθcos(2π+θ)]ξ 11π⎛⎞222=4E[cosθ]=4cos0+cos=2⎜⎟222⎝⎠评注：考查当参数时间t给定时，数学期望和互相关函数的计算方法。 提示：由随机过程的理论可知，当一个随机过程的参数t固定时，此随机过程变为随机变量。前者的含义是当t=1时，所得随机变量的均值。后者是当t=0及t=1时，所得两个随机变量的互相关函数。 28
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2例4 设z(t)=xcosωt−xsinωt是一随机过程，若x、x是彼此独立且具有零均值、方差为σ的1020122正态随机变量，试求：（1）E[z(t)]，E[z(t)]，D[z(t)]；（2）z(t)的一维概率密度函数f(z)；（3）R(t,t)12及B(t,t)。 12解：（1）由于x、x彼此独立，且E[x]=0，E[x]=0，得E[xx]=E[x]E[x]=0 12121212222222 由于D[x]=D[x]=σ，且D[x]=E[x]−E[x]，得E[x]=E[x]=σ 1212 E[z(t)]=E[xcosωt−xsinωt]=E[xcosωt]−E[xsinωt]=cosωtE[x]−sinωtE[x]=0 102010200102222222E[z(t)]=E[(xcosωt−xsinωt)]=E[xcosωt]−2E[xxcosωtsinωt]+E[xsinωt]1020101200202222 =cosωtE[x]−2cosωtsinωtE[xx]+sinωtE[x] 0100120222222=σcosωt+σsinωt=σ00222 D[z(t)]=E[z(t)]−E[z(t)]=σ （2）由于x、x是彼此独立的正态随机变量，而z(t)是x和x的线性组合，因此z(t)也12122是均值为零、方差为σ的高斯正态分布，其一维概率密度函数为 2z−122σ f(z)=e 2πσ （3） R(t,t)=E[z(t)z(t)]=E(xcosωt−xsinωt)(xcosωt−xsinωt)]1212101201102202=E[xcosωt⋅xcosωt−xcosωt⋅xsinωt101102101202−xcosωt⋅xsinωt+xsinωtxsinωt]1022012012022=cosωtcosωtE[x]−cosωtsinωtE[xx] 010210102122−cosωtsinωtE[xx]+sinωtsinωtE[x]020112010222=(cosωtcosωt+sinωtsinωt)σ010201022=σcosω(t−t)0122B(t,t)=E{[z(t)−E[z(t)]][z(t)−E[z(t)]}=E[z(t)z(t)]=R(t,t)=σcos(t−t) 121122121212评注：考查数学期望、方差、概率密度函数、自相关函数和自协方差的计算，以及其性质的应用。 提示：本题需要的基本知识有以下几点：E[ax]=aE[x]（a为常量），E[xy]=E[x]E[y]（x、y相互独立），两个相互独立的正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量，R(t,t)=E[z(t)z(t)]，1212B(t,t)=E{[z(t)−E[z(t)][z(t)−E[z(t)]}=E[z(t)z(t)]−E[z(t)]E[z(t)]=R(t,t)−E[z(t)]E[z(t)]。 12112212121212例5 若随机过程z(t)=m(t)cos(ωt+θ)，其中m(t)是广义平稳随机过程，且自相关函数R(τ)为 0m1+τ−1<τ<0⎧⎪ R(τ)=1−τ0≤τ<1 ⎨m⎪0其他⎩θ是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。（1）证明z(t)是广义平稳的；（2）给出自相关函数R(τ)；（3）求功率谱密度P(ω)及功率S。 zz解：（1）由于m(t)是广义平稳随机过程，则E[m(t)]=a（常数） 29
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 1由于θ服从均匀分布，则f(θ)= （0≤θ≤2π） 2π由于θ与m(t)彼此统计独立，则 E[z(t)]=E[m(t)cos(ωt+θ)]=E[m(t)(cosωtcosθ−sinωtsinθ)]000=E[m(t)]E[cosωtcosθ−sinωtsinθ]=E[m(t)]E[cosωtcosθ]−E[m(t)]E[sinωtsinθ] 00002π2π11=acosωtcosθdθ−asinωtsinθdθ=000∫∫002π2πR(t,t)=E[z(t)z(t)]=Em(t)cos(ωt+θ)m(t)cos(ωt+θ)z1212101202=E[m(t)m(t)]E[cos(ωt+θ)cos(ωt+θ)]1201021=R(τ)Ecosω(t+t)+2θ+cosω(t−tm012021211 =R(τ)E[cosω(t−t)]+R(τ)E[cosω(t+t)cos2θ)−sinω(t+t)sin2θ)]m021m0120122211=R(τ)E[cosω(t−t)]=R(τ)cosω(t−t)m021m021221=R(τ)cosωτm021由于E[z(t)]=0与时间无关，R(t,t)=R(τ)cosωτ与时间起点无关，仅与时间间隔有关，z12m02故z(t)是广义平稳的。 （2）将R(τ)代入上式得 (1+τ)cosωτ−1<τ<0⎧01⎪R(τ)=R(τ)cosωτ=(1−τ)cosωτ0≤τ<1 ⎨zm002⎪0其他⎩（3）由于z(t)是广义平稳的，故P(ω)⇔R(τ)，得 zτ2⎡⎤ωω+ωω−ω111⎛⎞⎛⎞⎡⎤2020P(ω)=×π[δ(ω+ω)+δ(ω−ω)]∗Sa=Sa⎜⎟−Sa⎜⎟ ⎢⎥z00⎢⎥⎜⎟⎜⎟2π22422⎣⎦⎝⎠⎝⎠⎣⎦1S=R(0)= z2评注：考查广义平稳随机过程的条件及证明，自相关函数和功率谱密度函数的关系等。 提示：只要证明随机过程的均值与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关且与时间起点无关，即可证明随机过程是广义平稳的。同时，对于平稳随机过程，功率谱密度是自相关函数的付里叶变换，功率为自相关函数τ取零时的值。 例6 如图2-2所示为单输入双输出的线性过滤器，若输入过程η(t)是平稳的，求ξ(t)与ξ(t)的互功12率谱密度表达式。 解：由图可知 +∞ ξ(t)=η(t)h(t)=h(τ)η(t−τ)dτ ξt h(t) ()11111∫0η(t)+∞ ξ(t)=η(t)h(t)=h(τ)η(t−τ)dτ 212∫ξ(t) h(t) 012 互相关函数为 图2-2 单输入双输出过滤器 30
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 R(t,t)=E[ξ(t)ξ(t)]12121122+∞+∞⎡⎤ =Eh(α)η(t−α)dαh(β)η(t−β)dβ 1122⎢⎥∫∫00⎣⎦+∞+∞=h(α)h(β)E[η(t−α)η(t−β)]dαdβ1212∫∫00由于η(t)是平稳的，故E[η(t−α)η(t−β)]=R(τ+α−β)（τ=t−t），得 12η21+∞+∞ R(t,t)=h(α)h(β)R(τ+α−β)dαdβ=R(τ) 121212η12∫∫00互功率谱密度为 +∞+∞+∞+∞−jωτ−jωτ P(ω)=R(τ)edτ=dτdαh(α)h(β)R(τ+α−β)edβ 121212η∫∫∫∫−∞−∞00−jωτ−ωτ′jjωα−jωβ令′′τ=τ+α−β，则dτ=dτ，e=eee，得 +∞+∞+∞jωα−jωβ−ωτ′j∗′′ P(ω)=h(α)edαh(β)edβR(τ)edτ=H(ω)H(ω)P(ω) 1212η12η∫∫∫00−∞评注：考查互相关函数的计算，及相关函数与功率谱密度函数的关系。 提示：平稳随机过程通过线性系统后仍是平稳随机过程。两个平稳随机过程的互功率谱密度是其互相关函数的付里叶变换。 2例7 已知x(t)和x(t)是相互独立的平稳高斯随机过程，x(t)的数学期望为a、方差为σ，x(t)的12111222数学期望为a、方差为σ，设x(t)=x(t)+x(t)。（1）试求随机过程x(t)的数学期望a和方差σ；2212（2）试求随机过程x(t)的一维概率密度函数。 解：（1）由于x(t)和x(t)相互独立，则E[x(t)x(t)]=E[x(t)]E[x(t)]=aa，得 12121212 a=E[x(t)]=E[x(t)+x(t)]=E[x(t)]+E[x(t)]=a+a 12121222222σ=D[x(t)]=E[x(t)]−E[x(t)]=E[(x(t)+x(t))]−E[x(t)+x]1212222=Ex(t)+2x(t)x(t)+x(t)−E[x(t)+x]112212 222=E[x(t)]+2aa+E[x(t)]−(a+a)1122122222=E[x(t)]+E[x(t)]−a−a1212222222222222由于σ=E[x(t)]−E[x(t)]，σ=E[x(t)]−E[x(t)]，则E[x(t)]=σ+a，E[x(t)]=σ+a 1112221112222222222 σ=E[x(t)]+E[x(t)]−a−a=σ+σ 121212（2）由于x(t)和x(t)是平稳高斯随机过程，x(t)=x(t)+x(t)为线性组合，则x(t)也是高斯过1212程，其一维概率密度函数为 22(x−a−a)(x−a)12−−221212(σ+σ)2σ12 f(x)=e=e 222πσ2π(σ+σ)12评注：考查随机过程线性组合的数字特征和概率密度函数。 提示：其结论很重要，即n个相互独立的平稳高斯随机过程的线性组合仍是平稳高斯随机过程，一维概率密度函数也服从正态分布，均值为n个随机过程均值的线性组合，方差也为n个随机过程方差的线性组合。 31
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 名词中英文对照 average，均值 autocorrelation function，自相关函数 band-limited white noise，带限白噪声 correlation function，相关函数 cross-correlation function，互相关函数 covariance function，协方差函数 convolution，卷积 distribution function，分布函数 deterministic signal，确知信号 energe signal，能量信号 ergodicity，遍历性 Fourier transform，付里叶变换 Fourier series，付里叶级数 frequence domain，频域 frequency spectrum，频谱 frequence spectrum density，频谱密度 Gauss process，高斯过程 Gauss noise，高斯噪声 generalized stationary random process，广义平稳随机过程 mathematic expectation，数学期望 normal random process，正态随机过程 narrowband signal，窄带信号 narrowband system，窄带系统 narrowband random process，窄带随机过程 nonperiodic signal，非周期信号 one dimensional，一维 probability density function，概率密度函数 power spectrum density function，功率谱密度函数 periodic signal，周期信号 power signal，功率信号 partial derivative，偏导数 random process，随机过程 random variable，随机变量 Rayleigh，瑞利 Rayleigh fading channel，瑞利衰落信道 Rice，莱斯 stationary random process，平稳随机过程 time domain，时域 time invariant system，线性时不变系统 variance，方差 white noise，白噪声 32
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 练习与思考 练习题 2-1 设随机过程ξ(t)可表示成ξ(t)=2cos(2πt+θ)，式中θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2，P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及R(0,1)。 ξπ⎛⎞解：根据E[ξ(t)]=P(θ=0)ξ(t)+Pθ=ξ(t)π得 ⎜⎟θ=0θ=2⎝⎠211π⎛⎞ E[ξ(t)]=⋅2cos2πt+⋅2cos2πt+ ⎜⎟222⎝⎠将t=1代入上式得 11π⎛⎞ E[ξ(1)]=⋅2cos2π+⋅2cos2π+=1 ⎜⎟222⎝⎠根据自相关函数的计算公式得 π⎛⎞R(t,t)=E[ξ(t)ξ(t)]=P(θ=0)ξ(t)ξ(t)+Pθ=ξ(t)ξ(t)⎜⎟πξ12121212θ=0θ=2⎝⎠2 11⎡ππ⎤⎛⎞⎛⎞=[2cos2πt×2cos2πt]+2cos2πt+×2cos2πt+⎜⎟⎜⎟12⎢12⎥2222⎝⎠⎝⎠⎣⎦将t=0、t=1代入上式得 1211⎡ππ⎤⎛⎞⎛⎞ R(0,1)=[2cos0×2cos2π]+2cos×2cos2π+=2 ⎜⎟⎜⎟ξ⎢⎥2222⎝⎠⎝⎠⎣⎦2-2 设Z(t)=Xcosωt−Xsinωt是一随机过程，若X和X是彼此独立且具有均值为0、方差为1020122σ的正态随机变量，试求 2（1）E[Z(t)]、E[Z(t)]； （2）Z(t)的一位分布密度函数f(z)； （3）B(t,t)与R(t,t)。 1212解：（1）由于X和X相互独立，则其数学期望为 12E[Z(t)]=E[Xcosωt−Xsinωt]=E[Xcosωt]−E[Xsinωt]10201020 =cosωtE[X]−sinωtE[X]=0010222E[Z(t)]=E[(Xcosωt−Xsinωt)]10202222=EXcosωt]−2E[XXcosωtsinωt]+E[Xsinωt]10120020 2222=cosωtE[X]−2cosωtsinωtE[XX]+sinωtE[X]0100120222222=σcosωt+σsinωt=σ0022（2）由于E[Z(t)]=0，D[Z(t)]=E[Z(t)]=σ，且Z(t)服从高斯分布，其一为概率密度函数为 2Z−122σ f(Z)=e 2πσ（3）自相关函数为 33
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 R(t,t)=E[Z(t)Z(t)]=E(Xcosωt−Xsinωt)(Xcosωt−Xsinωt)]121210120110220222=E[Xcosωtcosωt+Xsinωtsinωt1010220102−XXcosωtsinωt−XXsinωtcosωt]12010221010222 =cosωtcosωtE[X]+sinωtsinωtE[X] 0102101022−cosωtsinωtE[XX]−sinωtcosωtE[XX]01021201022122=σcosωtcosωt+σsinωtsinωt0102010222=σcosω(t−t)=σcosωτ0120其中令t−t=τ。 12自协方差为 2B(t,t)=E[Z(t)−E[Z(t)][Z(t)−E[Z(t)]=E[Z(t)Z(t)]=R(t,t)=σcosωτ 121122121202-3 试求乘积Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为R(τ)和R(τ)。 XY解：根据自相关函数的定义得 R(τ)=E[X(t)Y(t)X(t+τ)Y(t+τ)] z由于X(t)与Y(t)相互独立，则 R(τ)=EX(t)Y(t)X(t+τ)Y(t+τ)=E[X(t)X(t+τ)]E[Y(t)Y(t+τ)]=R(τ)R(τ) zXY2-4 若随机过程Z(t)=m(t)cos(ωt+θ)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数为 01+τ,−1<τ<0⎧⎪ R(τ)=1−τ0≤τ<1 ⎨m⎪0，其他⎩若θ是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。 （1）证明Z(t)是宽平稳的； （2）绘出自相关函数R(τ)的波形； Z（3）求功率谱密度P(ω)及功率S。 Z解：（1）E[Z(t)]=E[m(t)cos(ωt+θ)] 0由于m(t)与θ相互独立，且θ服从均匀分布，得 2π1 E[Z(t)]=E[m(t)]E[cos(ωt+θ)]=E[m(t)]cos(ωt+θ)dθ=0 00∫02πR(t,t+τ)=Em(t)cos(ωt+θ)m(t+τ)cos(ωt+ωτ+θ)]Z000=E[m(t)m(t+τ)]Ecos(ωt+θ)cos(ωt+ωτ+θ)00011⎡⎤ =R(τ)Ecos(2ωt+ωτ+2θ)+cosωτ m000⎢⎥22⎣⎦11⎡⎤⎡⎤=R(τ)Ecos(2ωt+ωτ+2θ)+R(τ)Ecosωτm00m0⎢⎥⎢⎥22⎣⎦⎣⎦1⎧(1+τ)cosωτ,−1<τ<00⎪2⎪11⎪=R(τ)cosωτ=(1−τ)cosωτ,0≤τ<1=R(τ)⎨m00Z22⎪0,其他⎪⎪⎩由以上计算可知，数学期望与时间无关，为一常数，自相关函数只与时间间隔有关，满足宽平稳的条件，故Z(t)是宽平稳的。 34
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （2）波形略。 （3）根据自相关函数与功率谱密度为一对付里叶变换得 22+∞⎡⎤ω+ωω−ω1⎛⎞⎛⎞−jωτ2020 P(ω)=R(τ)edτ=⎢Sa⎜⎟+Sa⎜⎟⎥ ZZ⎜⎟⎜⎟∫−∞422⎢⎝⎠⎝⎠⎥⎣⎦功率为 1 S=R(0)= Z2a−aτ2-5 已知噪声n(t)的自相关函数R(τ)=e，a为常数： n2（1）求P(ω)及S； n（2）绘出R(τ)和P(ω)的图形。 nn解：（1）根据R(τ)和P(ω)是一对付里叶变换对可得 nn+∞+∞0+∞aaa−aτ−jωτ−jωτaτ−jωτ−aτ−jωτP(ω)=R(τ)edτ=eedτ=eedτ+eedτnn∫∫∫∫−∞−∞−∞0222 2a⎛11⎞a=⎜+⎟=⎜⎟222a−jωa+jωa+ω⎝⎠a S=R(0)= n2 （2）略。 2-6 ξ(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为2s的周期函数。在区间(−1,1)(s)上，该自相关函数R(τ)=1−τ。试求ξ(t)的功率谱密度P(ω)，并用图形表示。 ξ解：自相关函数R(τ)在区间(−1,1)(s)上的截断函数为 ⎧1−τ,−1<τ<1 R(τ)= ⎨T0,其他⎩R(τ)所对应的付里叶变换为 T+∞+10+1ω⎛⎞−jωτ−jωτ−jωτ−jωτ2 R(ω)=R(τ)edτ=(1−τ)edτ=(1+τ)edτ+(1−τ)edτ=Sa ⎜⎟TT∫∫∫∫−∞−1−102⎝⎠根据周期函数的付里叶变换得 +∞+∞−jωτ P(ω)=R(τ)edτ=2πFδ(ω−nω) ξn0∑∫−∞n=−∞11nπ2π⎛⎞2式中，F=P(ω)=Sa，ω==π(rad/s)，得到 ⎜⎟nT0ω=nω0T22T⎝⎠+∞nπ⎛⎞2 P(ω)=πSaδ(ω−nπ) ⎜⎟ξ∑2⎝⎠n=−∞图形略 sint[附]Sa(t)=称为抽样函数，有时也写为sinc(t) t2-7 将一个均值为零、功率谱密度为n/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为ω、带宽为B的理0c想带通滤波器上，如图2-3所示。 35
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （1）求滤波器输出噪声的自相关函数； (ω)2πBH （2）写出输出噪声的一维概率密度函数。 解：（1）滤波器输出噪声的功率谱密度为 n⎧02⎪,ω−πB≤ω≤ω+πBccP(ω)=H(ω)P(ω)=⎨ξξ20iωω −ωcc⎪0,其他⎩ 图2-3 题2-7图 n⎡ω−ωω+ω⎤⎛⎞⎛⎞0cc=rect⎜⎟+rect⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟22πB2πB⎝⎠⎝⎠⎣⎦根据自相关函数与功率谱密度为一对付里叶变换，可得 +∞+∞n⎡ω−ωω+ω⎤11⎛⎞⎛⎞jωτ0ccjωτ R(τ)=P(ω)edω=rect⎜⎟+rect⎜⎟edω 0ξ⎢⎥⎜⎟⎜⎟0∫∫−∞−∞2π2π22πB2πB⎝⎠⎝⎠⎣⎦WWtω⎛⎞⎛⎞根据付里叶变换对Sa⇔rect有 ⎜⎟⎜⎟2π2E⎝⎠⎝⎠ R(τ)=nBSa(πBτ)cosωτ 00c（2）根据高斯过程通过线性系统后的输出仍为高斯过程可知，输出噪声服从高斯分布，其数学期望和方差为 E[ξ(t)]=E[ξ(t)]⋅H(0)=0 0i D[ξ(t)]=R(0)=nB 000得到输出噪声的一维概率密度函数为 2x−12nB0 f(x)=e 2πnB0n02-8 设RC低通滤波器如图2-4所示，求当输入均值为零、功率谱密度为的白噪声时，输出过程2的功率谱密度和自相关函数。 R 解：RC低通滤波器的传递函数为 1C jωC1 H(ω)== 11+jωRCR+jωC图2-4 题2-8图 输出过程的功率谱密度为 n20 P(ω)=H(ω)P(ω)= 0i22[1+(ωRC)]输出噪声的自相关函数为 +∞1jωτ R(τ)=P(ω)edω 00∫−∞2π2a−aτ根据付里叶变换对e⇔得 22a+ω2τ+∞+∞−nnn110jωτ0RCjωτ0RC R(τ)=edω=edω=e 0∫2∫2−∞−∞2π4RC2π4RC2[1+(ωRC)]1⎛⎞2+ω⎜⎟RC⎝⎠36
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 n02-9 将均值为零、功率谱密度为的白噪声加到图2-5所示的低通滤波器的输入端。 2（1）求输出噪声n(t)的自相关函数； 0L （2）求输出噪声n(t)的方差。 0解：（1）低通滤波器的传递函数为 R R H(ω)= R+jωL输出噪声的功率谱密度为 图2-5 题2-9图 2nR20 P(ω)=H(ω)P(ω)= 0i222[R+(ωL)]输出噪声的自相关函数为 2+∞+∞nR11jωτ0jωτR(τ)=P(ω)edω=edω00∫∫22−∞−∞2π2π2[R+(ωL)]2R Rτ +∞−nRnR10jωτ0LL=edω=e∫2−∞4L2π4LR⎛⎞2+ω⎜⎟L⎝⎠（2）输出噪声的方差为 nR20 σ=R(0)= n04L2-10 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为T，脉冲幅度取±1得概率相b等。现假设任一间隔T内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证 b⎧1−τ/T,τ≤T⎪bb（1）自相关函数R(τ)=； ⎨ξ0,τ>T⎪b⎩2（2）功率谱密度P(ω)=T[SaπfT]。 ξbb解：（1）根据R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]，当τ>T时，由于任意间隔波形取值相互独立，即ξ(t)和ξ(t+τ) ξb无关，则R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]=0 ξ 当τ≤T时，由于脉冲幅度取±1的概率相等，所以在2T内，该波形取(1,1)、(−1,−1)、(1,−1)和bb(−1,1)的概率均为1/4。 1）当波形取(1,1)和(−1,−1)时，如图2-6所示。在一个间隔T内，相关函数为 b11 R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]=×1= ξ44 2）当波形取(1,−1)和(−1,1)时，如图所示 ⎛T−ττ⎞1b⎜⎟ R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]=− ξ⎜⎟4TTbb⎝⎠ 当τ≤T时 b 37
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎛T−ττ⎞τ11b⎜⎟ R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]=2×+2×−=1− ξ⎜⎟44TTTbbb⎝⎠ 得到 τ T b⎧τ1−,τ≤T⎪b R(τ)= ⎨Tξb⎪0,τ>Tb⎩τ （2）根据自相关函数与功率谱密度为一对付里叶变换可得 T b+∞ωT⎛⎞−jωτ2b2 P(ω)=R(τ)edτ=TSa⎜⎟=TSa(πfT) ξξbbb⎜⎟∫−∞2⎝⎠图2-6 题2-10图 2-11 如图所示为单个输入、两个输出的线性过滤器，若输入过程 η(t)是平稳的，求ξ(t)和ξ(t)的互功率谱密度的表达式。（提示： 12互功率谱密度与互相关函数为付里叶变换对） 解：见例题6。 2-12 设ξ(t)是平稳随机过程，自相关函数为R(τ)，试求它通过图2-12所示系统后的自相关函数及ξ功率谱密度。 解：由于已知自相关函数为R(τ)，则输入的功率谱密度为 ξ(t)输出ξ相加 +∞−jωτ P(ω)=R(τ)edτ ξiξ∫−∞延时T −jωT图示系统的传递函数为H(ω)=1+e，则输出的功率谱密度为 图2-7 题2-12图 22−jω2T2P(ω)=H(ω)P(ω)=P(ω)1+e=P(ω)[(1+cosωT)+sinωT]ξ0ξiξiξi =2P(ω)(1+cosωT)ξi输出的自相关函数为 +∞+∞11jωτjωτR(τ)=P(ω)edω=P(ω)(1+cosωT)edω0ξ0ξi∫∫−∞−∞ 2ππ =2R(τ)+R(τ−T)+R(τ+T)ξξξn02-13 若通过图2-8示的随机过程时均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求输出过程的一2维概率密度函数。R 解：RC低通滤波器的传递函数为 1C C1jω H(ω)== 11+jωRCR+jωC图2-8 题2-13图 输出的功率谱密度为 2n0 P(ω)=H(ω)P(ω)= ξ0ξi22[1+(ωRC)]输出的自相关函数为 38
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 +∞+∞11njωτjωτ0R(τ)=P(ω)edω=edω0ξ02∫∫−∞−∞2π2π[1+(ωRC)]2 τ +∞−n1n0RCjωτ0RC=edω=e2∫−∞4RC2π4RC1⎛⎞2+ω⎜⎟RC⎝⎠输出的数学期望和方差为 E[ξ(t)]=E[ξ(t)]H(0)=0 0in0 D[ξ(t)]=R(0)= 04RC得到输出过程的一维概率密度函数为 22RCx−2RCn0 f(x)=e πn02-14 一噪声的功率谱密度如图2-9所示，试求其自相关函数为KSa(Ωτ/2)cosωτ。 0解：根据图示可写出功率谱密度为 P(ω) nΩ⎡πω−ωω+ω⎤K⎛⎞⎛⎞ccπK P(ω)=rect⎜⎟+rect⎜⎟ n⎢⎥⎜⎟⎜⎟ ΩΩΩ⎝⎠⎝⎠Ω⎣⎦根据自相关函数和功率谱密度为一对付里叶变换得 −ωωω00+∞1jωτP(τ)=P(ω)edωnn图2-9 题2-14图 ∫−∞2π+∞⎡πω−ωω+ω⎤1K⎛⎞⎛⎞ccjωτ =rect⎜⎟+rect⎜⎟edω ⎢⎥⎜⎟⎜⎟∫−∞2πΩΩΩ⎝⎠⎝⎠⎣⎦Ωτ⎛⎞2=KSacosωτ⎜⎟02⎝⎠2-15 一正弦波加窄带高斯平稳过程为z(t)=Acos[ωt+θ]+n(t) c（1）求z(t)通过能够理想地提取包络的平方律检波器后的一维分布密度函数。 （2）若A=0，重做（1）。 解：（1）设z(t)的包络为z，根据正弦波加窄带高斯平稳过程的包络服从莱斯分布得 22z+A−zAz2⎛⎞2σ f(z)=eI（z≥0） ⎜⎟022σσ⎝⎠2令u=z，则f(u)du=f(z)dz，得到 222z+Au+A−−⎛⎞dz1z2Az1Au⎛⎞22σ2σ⎜⎟ f(u)=f(z)=f(z)⋅=eI=eI（u≥0） ⎜⎟2222⎜⎟du2z2σzσ2σσ⎝⎠⎝⎠22z+A−1Az2⎛⎞22σ或 f(z)=eI ⎜⎟222σσ⎝⎠（2）若A=0，代入上式得 u−122σ f(u)=e（u≥0） 22σ 39
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 思考题 2-1 什么是随机过程？它有什么特点？ t答：随机过程是依赖于时间参量变化的随机变量的总体或集合。从数学角度可定义为，设随机试验E的可能结果为ξ(t)。试验的样本空间S为{x(t),x(t),L,x(t),L}，i为正整数，x(t)为第i个样12ii本函数，每次试验之后，ξ(t)取空间S中的某一样本函数，则称ξ(t)为随机函数。若t代表时间量，则ξ(t)为随机过程。 随机过程具有两个特点，一是随机过程是时间的函数；二是在任一时刻观察到的值是不确定的，是一个随机变量。 2-2 什么是随机过程的数学期望和方差？他们分别描述了随机过程的什么性质？ +∞答：随机过程的数学期望定义为E[ξ(t)]=xf(x,t)dx=a(t)，描述了随机过程所有样本在任一时刻t1∫−∞取值的分布中心。 +∞22 随机过程的方差定义为D[ξ(t)]=E[ξ(t)−E[ξ(t)]=[x−a(t)]f(x,t)dx，描述了随机过程的诸1∫−∞样本相对于数学期望的离散程度。 2-3 什么是随机过程的协方差函数和自相关函数？他们之间有什么联系？他们反映了随机过程的什么性质？ 答：随机过程的协方差函数反映了随机过程在任意两个时刻起伏值之间的平均相关程度，可用来判断同一随机过程的两个变量之间是否相关。定义为 +∞+∞B(t,t)=E[ξ(t)−a(t)][ξ(t)−a(t)]=[x−a(t)][x−a(t)]f(x,x;t,t)dxdx 2112211222121212∫∫−∞−∞随机过程的自相关函数描述了随机过程在任意两个不同时刻取值之间的相关程度，定义为 +∞+∞R(t,t)=E[ξ(t)ξ(t)]=xxf(x,x;t,t)dxdx 1212122121212∫∫−∞−∞自相关函数和自协方差函数之间的关系为 B(t,t)=E[ξ(t)−a(t)][ξ(t)−a(t)]=E[ξ(t)ξ(t)+a(t)a(t)−ξ(t)a(t)−ξ(t)a(t)]12112212121221 =E[ξ(t)ξ(t)]+E[a(t)a(t)]−E[ξ(t)a(t)]−E[−ξ(t)a(t)] 12121221=R(t,t)−a(t)a(t)12122-4 什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？他们之间有什么关系？ 答：如果随机过程ξ(t)的任意n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即当时间平移任意常数时，其n维概率密度函数不变化，则称ξ(t)是严平稳随机过程。 若随机过程ξ(t)的数学期望是与时间无关的常量，自相关函数仅与时间间隔有关，则称随机过程为宽平稳随机过程。 严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程，但宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程。 2-5 平稳随机过程的自相关函数具有什么特点？ 答：平稳过程的自相关函数与时间起点无关，仅与时间间隔τ有关，即R(t,t+τ)=R(τ)。 112-6 何谓各态历经性？对于一个各态历经性的平稳随机噪声电压来说，其数学期望和方差各代表什么？它的自相关函数在τ=0的值又代表什么？ 答：各态历经性的物理意义是指随机过程的任一样本在足够长的时间内，都先后经历了这个随机过程的各种可能的状态，即每个样本都可以作为有充分代表性的典型样本。 对于一个各态历经性的平稳随机噪声电压ξ(t)来说，其数学期望E[ξ(t)]代表其直流功率的均方值，方差D[ξ(t)]代表其交流功率，R(0)代表其平均功率。 2-7 什么是高斯噪声？什么是白噪声？他们各有什么特点？ 答：概率密度函数符合正态分布的噪声，即具有高斯过程特点的噪声称为高斯噪声。 40
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 功率谱密度函数在频域内均匀分布的噪声称为白噪声。 高斯噪声的特点有：（1）高斯噪声的n维分布由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定；（2）若高斯过程是宽平稳的，则其均值与时间无关，协方差只与时间间隔有关，而与时间起点无关。得其n维分布也与时间起点无关。所以，宽平稳高斯过程也是严平稳高斯过程；（3）如果高斯过程在不同时刻的取值是互不相关的（即统计独立），则其n维概率密度函数为n个概率密度函数之积。 白噪声的特点是只有在τ=0时才相关，而在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。 2-8 若某高斯白噪声n(t)的数学期望为1、方差也为1 ，试写出它的二维概率密度函数。 答：根据已知条件，a=a=1，σ=σ=1，相关系数为0，则其二维概率密度函数为xyxy22(x−1)+(y−1)−12f(x,y)=e。 2π2-9 什么是窄带高斯噪声？它在波形上有什么特点？它的包络和相位各服从什么概率分布？ 答：若一个高斯噪声满足窄带的假设，即频谱只限于以±f为中心，而带宽为Δf(Δf<<f)，则称cc之为窄带高斯噪声 窄带高斯噪声的波形象一个包络和相位在缓慢变化的正弦波。 其包络的一维分布服从瑞利分布，相位的一维分布服从均匀分布。 2-10 什么是窄带高斯噪声的同相分量和正交分量？他们各具有什么样的统计特性？ 2答：若一个均值为零、方差为σ的窄带高斯噪声可以表示为ξ(t)=a(t)cos(ωt+ϕ(t))，则其同相ξcξ分量为ξ(t)=a(t)cosϕ(t)，正交分量为ξ(t)=a(t)sinϕ(t)。 cξξsξξ2 同相分量和正交分量均服从高斯分布，且其均值为零、方差为σ。即E[ξ(t)]=E[ξ(t)]=0，cs222σ=σ=σ。 ξξcs2-11 正弦波加窄带高斯噪声的合成波的包络服从什么概率分布？ 答：服从广义瑞利分布，即莱斯分布 22z+A−z2⎛Az⎞2σ f(z)=eI⎜⎟ 022σ⎝σ⎠2-12 平稳随机过程通过线性系统时，输出随机过程和输入随机过程的数学期望及功率谱密度之间有什么关系？ 答：输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与H(0)的乘积，即E[ξ(t)]=H(0)E[ξ(t)]。 0i22输出过程的功率谱密度等于输入过程的功率谱密度与H(ω)的乘积，即P(ω)=H(ω)P(ω)。 ξξ0i 41
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第三章 信道 知识点结构框架 本章的知识点结构框架如图3-1所示。 信道 狭义信道 广义信道 有线信道 无线信道调制信道编码信道 明线 电缆光纤 无线视距 电离层卫星中继恒参信道随参信道无记忆 有记忆 幅频特性信道容量 相频特性 无失真条件多径效应快衰落 慢衰落 图3-1 知识点结构框图 教学要求 （1）了解信道的数学模型，信道的分类； （2）理解恒参信道的特性、随参信道传输媒质的特点及对传输信号的影响； （3）掌握香农公式的运用，并理解其意义。 难点重点 教学难点：恒参信道和随参对信号传输的影响，香农信道容量公式。 教学重点：调制信道模型，编码信道模型，恒参信道和随参对信号传输的影响，加性高斯白噪声，香农信道容量公式。 教学安排 本章共分为9节，即信道定义、信道数学模型、恒参信道举例、恒参信道特性及其对信号传输的影响、随参信道举例、随参信道特性及其对信号传输的影响、随参信道特性的改善——分集接收、信道的加性噪声、信道容量的概念。讲授6学时，其安排见表3-1。讲授采用多媒体课件和板书相结合的方式。 表3-1 课时安排 学时 教学内容 第一讲 2 信道定义； 信道数学模型； 恒参信道举例； 恒参信道特性及其42
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 对信号传输的影响。 随参信道举例； 随参信道特性及其对信号传输的影响； 随参信道特第二讲 2 性的改善——分集接收。 第三讲 2 信道的加性噪声； 信道容量的概念。 第一讲安排 （1）教学要求 了解信道的概念、分类，以及常见的恒参信道（如明线，对称电缆，同轴电缆，光纤信道，无线电视距中继，卫星中继信道等），理解调制信道和编码信道的数学模型，掌握恒参信道的传输特性及对传输信号的影响。 （2）难点重点 教学难点：恒参信道对传输信号的影响。 教学重点：调制信道和编码信道的数学模型，恒参信道的传输特性及对传输信号的影响。 （3）知识回顾 第一章简要介绍了通信系统由信源、信道和信宿三部分组成，其中信道作为传输媒介对信号影响甚大。本讲将信道分为恒参信道和随参信道，并对这两种信道的传输特性和对传输信号的影响进行分析，最后将详细推导和阐述香农信道容量公式。 （4）讲授提纲 本章知识点结构 信道定义 信道的定义 信道的分类（狭义信道的分类，广义信道的分类，按照信道参数的变化与否分类） 信道数学模型 调制信道模型（调制信道的特点，调制信道的数学模型） 编码信道模型（编码信道的特点，编码信道的数学模型） 恒参信道举例 三种有线信道（明线，对称电缆，同轴电缆） 光纤信道 无线电视距中继 卫星中继信道 恒参信道特性及其对信号传输的影响 理想恒参信道特性 幅度-频率畸变 相位-频率畸变 具有加性噪声的恒参信道数学模型（加性噪声信道，具有加性噪声的线性滤波信道） 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 调制信道和编码信道数学模型的分析，恒参信道幅频、相频特性分析，恒参信道数学模型的描述等。 （6）扩展知识 1）几个重要的名词概念 加性干扰：信号在传输时所迭加的噪声。不管信号有无，噪声始终存在。 乘性干扰：由于信道传输特性不理想而产生的噪声，包括各种线性畸变和非线性畸变等。噪声 43
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 随信号的消失而消失。 微波：波长小于1m，即频率大于300MHz无线电波的泛称。包括分米波、厘米波、毫米波和亚毫米波等。 视距：眼睛能够看到的距离。 同步卫星：位于赤道上空35786公里，与地球同步旋转，它围绕地球公转的角速度与地球自转的角速度相同，且旋转方向也一致，对地球上某一固定点来说卫星是相对静止的，故又称为静止卫星。同步卫星的周期为23小时56分，地球的自转周期为23小时56分4秒。由地球站至卫星信号往返一次需要左右，传输话音信号时会感觉明显的延迟效应 移动卫星：不在静止轨道运行的卫星称为移动卫星。 中轨卫星：一般位于距地面1~2万公里的高度上，要进行无缝覆盖需用卫星约10颗。 低道卫星：一般位于距地面1000公里的高度上。优点是无延时，终端简单，价格低，天线可安装在手机上。缺点是需要很多卫星，才能做到无缝覆盖，一般需要48~66颗。 【提示】：在讲授调制信道模型和恒参信道举例时补充。 2）狭义上讲信道的另一说法 传输媒介。正如人们常说，通信系统是由信源、信宿和信道组成，也可以说是由发射机、接收机和传输媒介组成的。 【提示】：在讲授新到的概念时补充。 （7）互动话题 1）为什么说调制信道是模拟信道，编码信道是数字信道？ 调制信道是指调制器输出端到解调器输入端所有变换装置及传输媒介组成的信道，由于调制器输出的是连续信号，故调制信道是模拟信道。 编码信道是指编码器输出端到译码器输入端所有变换装置及传输媒介组成的信道，由于编码其输出的是离散信号，故编码信道是数字信道。 【提示】：在讲授信道数学模型——调制信道模型和编码信道模型时提问。 2）幅频特性用什么仪器测量？ 幅频特性用频率特性测试仪（扫频仪）测量。 【提示】：在讲授恒参信道特性及其对信号传输的影响时提问。 （8）思考题 教材60页3-1，3-2，3-3，3-4。 第二讲安排 （1）教学要求 了解常见的随参信道（陆地移动信道，短波电离层反射信道，对流层散射信道等）的特点，熟悉和理解分集接收（空间分集，频率分集，时间分集，角度分集，极化分集）和合并处理（选择式合并，等增益合并，最大比值合并）的基本原理，掌握随参信道的传输特性及对传输信号的影响。 （2）难点重点 教学难点：随参信道对传输信号的影响。 教学重点：随参信道的传输特性及其对传输信号的影响。 （3）知识回顾 上一讲介绍了恒参信道的传输特性及其对传输信号的影响。对于理想恒参信道，对传输信号在幅度上产生固定衰减，时间上产生固定延迟。对于幅频特性畸变的恒参信道，对传输的模拟信号在波形上产生失真，对传输的数字信号产生码间干扰。对于相频特性畸变的恒参信道，对传输的模拟信号影响不大，对传输的数字信号也产生码间干扰。本讲将分析随参信道的传输特性及其对传输信号的影响。 44
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （4）讲授提纲 随参信道举例 陆地移动信道（自由空间传播，反射波与散射波，折射波） 短波电离层反射信道（电离层的结构，传播路径，工作频率，应用场合） 对流层散射信道（对流层信道的主要特征，对流层散射传播，应用场合） 随参信道特性及其对信号传输的影响 多径衰落与频率弥散 频率选择性衰落与相关带宽 随参信道特性的改善——分集接收 分集方式（空间分集，频率分集，时间分集，角度分集，极化分集） 合并方式（选择式合并，等增益合并，最大比值合并） 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 多径信道合成信号的分析，频率选择性衰落的分析推导。 （6）扩展知识 1）几个概念 自由空间：是一种理想空间，满足下列条件：（1）均匀无损耗的无限大空间；（2）各项同性；（3）电导率为零。 天线阵：许多天线放在一起构成天线阵（Antenna Arrays）。其方向图可把各天线的方向图叠加在一起求得。故天线阵的方向图与每一天线的型式、取向以及天线上电流分布的大小与相位等有关。调整天线之间的相对位置和电流关系，可以得到各种形状的方向图，以适应需要。 水平极化：电场方向与大地平行的极化波。 垂直极化：电场方向与大地垂直的极化波。 【提示】：在讲授随参信道中自由空间传播和分集接收时补充。 2）地球大气层的构造 地球大气层一般分为对流层、平流层、中间层、暖层、散逸层5层。 【提示】：在讲授短波电离层反射信道时补充。 （7）互动话题 1）反射和折射定理是什么？ 反射定理：入射角等于反射角，θ=θ（θ、θ分别为入射角和反射角）。 1212折射定理：nsinθ=nsinθ（n、n分别为两种媒质的折射率，θ、θ分别为入射角和折11231213射角） 【提示】：在讲授反射波和散射波时提问。 2）窄带随机过程的包络和相位各服从什么分布？ 2⎛⎞aaξξ⎜⎟包络服从瑞利分布：f(a)=exp− ξ22⎜⎟σ2σξξ⎝⎠1⎧⎪，0≤θ≤2π相位服从均匀分布：f(θ)= ⎨2π⎪0，其他⎩【提示】：在讲授多径衰落与频率弥散时提问。 （8）思考题 教材60页3-5。 第三讲安排 45
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （1）教学要求 了解信道中噪声的来源及分类，熟悉和理解有噪离散信道的信息量计算，掌握模拟信道香农容量公式的特点及应用。 （2）难点重点 教学难点：香农容量公式。 教学重点：离散信道信息量的计算，模拟信道香农容量公式。 （3）知识回顾 上两讲分别介绍了恒参信道和随参信道的传输特性及其对传输信号的影响。其中随参信道的传输特点是对信号的衰耗随时间而变，时延随时间而变，以及多径传播。多径传播使单一频率的正弦信号变成包络和相位受调制的窄带信号，即使信号产生瑞利衰落；使单一谱线变成了窄带频谱，即引起了频率弥；同时还产生了频率选择性衰落。本讲主要分析信道中噪声的来源，阐述离散信道和连续信道中的最大信息传输速率，即信道容量。 （4）讲授提纲 信道的加性噪声 噪声的分类（根据噪声来源分类，根据噪声特点，根据噪声性质分类） 热噪声（热噪声的产生，性质，表示，功率谱密度） 散弹噪声（散弹噪声的概念，产生，功率谱密度） 宇宙噪声 带通噪声（带通噪声的概念，等效带宽） 信道容量 离散信道的信息容量 连续信道的信息容量 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 离散信道和连续信道中信道容量的计算和分析。 （6）扩展知识 1）电子学中常用的几个常数 −23波尔兹曼常数（Boltzmann's constant）：k=×10J/K； −9电子电量：e=×10C； −34普朗克常数：h=×10J⋅S。 【提示】：在讲授热噪声时补充。 2）波尔兹曼简介 波尔兹曼（Ludwig Edward Boltzmann 1844~1906）：奥地利物理学家，历任格拉茨大学、维也纳大学、慕尼黑大学和莱比锡大学教授。他是统计物理学的奠基人之一。他发展了麦克斯韦的分子运动类学说，把物理体系的熵和概率联系起来，阐明了热力学第二定律的统计性质，并引出能量均分理论（麦克斯韦-波尔兹曼定律）。 【提示】：在讲授热噪声时补充。 3）普朗克简介 马克斯·普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1858~1947）：德国物理学家，量子物理学的开创者和奠基人，1918年诺贝尔物理学奖的获得者。其伟大成就就是创立了量子理论，这是物理学史上的一次巨大变革。从此结束了经典物理学一统天下的局面。 【提示】：在讲授热噪声时补充。 （7）互动话题 1）信道容量和信道信息传输速率的关系如何？ 46
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 信道信息传输速率的最大值即为信道容量。 【提示】：在讲授香农公式时提问。 （8）例题习题 例题： 习题：教材61页3-4，教材62页3-12、3-13、3-15。 核心内容 信道的概念及分类 （1）定义 信道（channel）是指以传输媒质为基础的信号通道，即信道是信号的传输媒质。 （2）分类 可有多种分类方法 按照信道设备分类：狭义信道和广义信道。 狭义信道仅是指信号的传输媒质。 广义信道不仅包括传输媒质，而且包括通信系统中的一些转换装置。 在讨论通信的一般原理时，采用广义信道；在研究信道的一般特性时，考虑狭义信道。 按照传输媒质的性质分类：有线信道（wired channel）和无线信道（wireless channel）。 无线信道是指利用收发天线和自由空间作为传输媒介，即利用电磁波（electromagnetic wave）在空间的传播（propagation）来传输信号。如地波传播、短波电离层反射、超短波或微波视距中继、人造卫星中继、散射及移动无线电信道等。 有线信道是利用各种传输线路作为传输媒介，如明线（open wire）、对称电缆（symmetrical cable）（又称为双绞线（twist wire））、同轴电缆（coaxial cable）和光缆（optical fiber）等。 按照信道功能分类：调制信道（modulate channel）和编码信道（coding channel）。 调制信道是指调制器（modulator）输出端到解调器（demodulator）输入端所有变换装置及传输媒介组成的信道。 编码信道是指编码器（coder）输出端到译码器（encoder）输入端所有变换装置及传输媒介组成的信道。 按照信道参数的变化与否分类：恒参信道和随参信道。 恒参信道是指对信号传输的影响是确定的或变化极其缓慢的信道，如架空明线、电缆、超短波及微波视距传播等。 随参信道是指对信号传输的影响是变化的信道，如短波电离层反射、超短波散射等。 恒参信道的特性及对信号传输的影响 （1）恒参信道的特性 理想恒参信道就是理想的无失真传输信道，可等效为线性非时变网络。其传输特性为 −jωtd H(ω)=Ke 0其中，K为传输系数，表示放大或衰减的一个固定值；t为时间延迟，它们都是与频率无关的常0d数。 幅频特性为H(ω)=K，相频特性为ϕ(ω)=ωt，群迟延频率特性为相频特性的导数，即0ddϕ(ω)τ(ω)==t。 ddω 47
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （2）理想恒参信道对信号传输的影响 在幅度上产生固定的衰减；在时间上产生固定的迟延。 （3）无失真传输的条件 幅频特性在全频范围内为一条水平线；相频特性在全频范围内为一条通过原点的直线。 （4）失真及其对信号的影响 实际的信道特性并不理想，一般产生幅度失真和频率失真。 幅度失真：信道对不同频率分量的信号衰减不同。对模拟信号影响较大，产生信号波形的失真；数字信号产生码间干扰（intersymbol interference）。 频率失真（群延迟失真）：信道对不同频率分量的信号延时不同。对数字信号影响较大，引起严重的码间干扰，产生误码。 一般采用均衡器（equalizer），补偿信道幅频和相频特性的不理想性。 随参信道的特性及对信号传输的影响 （1）随参信道传输媒质的特点 对信号的衰耗随时间随机变化；信号传输的时延随时间随机变化；多径传播（multipath propagation）。 （2）多径传输对信号的影响 多径效应是指从发射点出发的电波可能经多条路径到达接收点，就每条路径而言，衰减和延时都是变化的。因此在幅度上产生了瑞利型衰落，即多径传播使单一频率的正弦信号变成了包络和相位受调制的窄带信号。 从频谱上看，多径传播使单一谱线变成了窄带频谱，即多径传播引起了频率弥。 多径传播产生频率选择性衰落（frequency selective fading），即对于不同频率，传播结果将有不同的衰减，在某些频率上出现传输极点，某些频率上出现传输零点。 在两径传播时，模型的传输特性为 ωτ−jωt−jωτ0 H(ω)=Ve[1+e]，H(ω)=2cos 02多径传播的相对时延差通常用最大多径时延差来表征。设最大多径时延差为τ，则定义多径m传播信道的相关带宽（correlation bandwidth）为 1 B= cτm为了减小频率选择性衰落，应使信号带宽B小于相关带宽，工程经验为 1111⎛⎞ B=−B=− ⎜⎟c353τ5τ⎝⎠mm（3）分集（diversity）接收 即为分散接收，集中处理。分散接收是使接收端能得到多个携带同一信息的、统计独立的衰落信号；集中处理是在接收端把收到的多个统计独立的衰落信号进行适当合并，降低衰落的影响，改善系统性能。 分集方式有空间分集（space diversity）、频率分集（frequency diversity）、角度分集（angle diversity）、极化分集（polarization diversity）、时间分集（time diversity）等多种。 空间分集即天线分集（antenna diversity）是指接收端在不同位置上接收同一个信号，只要各位置间的距离大到一定程度，所接收到信号的衰落就是相互独立的。 频率分集是将待发送的信息分别调制到不同的载波频率上发送，只要载波频率之间的间隔大到一定程度，则接收端所接收到信号的衰落是相互独立的。 时间分集是将同一信号在不同时间内多次发送，只要各次发送的时间间隔足够大，则各次发送48
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 信号所出现的衰落将是相互独立的。 角度分集是利用天线波束指向不同使信号不相关的原理构成的一种分集方法。 极化分集是指分别采用水平和垂直极化波而构成的一种分集方法。 常用的合并方式有选择式合并、等增益合并和最大比值合并三种。 选择式合并是所有合并方式中最简单的一种，其原理是检测所有接收机输出信号的信噪比，选择其中信噪比最大的那一路信号作为合并器输出。 等增益合并是将各支路信号等权相加后输出。 最大比值合并是将各支路信号加权后输出，其加权系数与该支路信噪比成正比。 信道容量 （1）定义 信道无差错传输信息的最大信息速率称为信道容量（channel capacity），记为C。 （2）香农公式 香农公式给出了通信系统所能达到的极限信息传输速率，达到极限信息传输速率的通信系统称为理想通信系统。 ⎛⎞SS⎛⎞⎜⎟ C=Blog1+=Blog1+(bit/s) ⎜⎟22⎜⎟NnB⎝⎠⎝0⎠式中，B为信道带宽；S为信道输出信号功率；N为输出加性带限高斯白噪声功率；n为噪声功0率谱密度。 增大信号功率可以增加信道容量，若信号功率趋于无穷大，则信道容量也趋于无穷大，即 S⎛⎞limlim C=Blog1+→∞ ⎜⎟S→∞S→∞2N⎝⎠ 减小噪声功率或减小噪声功率谱密度可以增加信道容量，若噪声功率趋于零或噪声功率谱密度趋于零，则信道容量趋于无穷大，即 ⎛⎞SS⎛⎞limlimlimlim C=Blog1+→∞，⎜⎟C=Blog1+→∞ ⎜⎟N→0N→02n→0n→0200⎜⎟NnB⎝⎠⎝0⎠ 增大信道带宽可以增加信道容量，但不能使信道容量无限制增大。信道带宽B趋于无穷大时，信道容量的极限值为 ⎡⎤nB⎛⎞nB⎛⎞SSSSSSlimlim0lim0⎜⎟⎜⎟ C=log1+=log1+=loge≈ ⎢⎥B→∞B→∞2B→∞22⎜⎟⎜⎟nSnBSnBnnn0⎝0⎢⎠⎝0⎥⎠000⎣⎦1lim（log(1+x)=loge≈） x→重要公式 1多径传播的相关带宽：B=（τ为最大时延差） cmτm11⎛⎞信号带宽的工程经验公式：B=~B ⎜⎟c35⎝⎠ 49
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎛⎞SS⎛⎞信道容量：⎜⎟C=Blog1+=Blog1+(bit/s) ⎜⎟22⎜⎟NnB⎝⎠⎝0⎠经典例题 例1 设某接收天线的等效电阻为300Ω，接收机的通频带为4kHz，环境温度为17℃，试求该天线产生的热噪声电压的有效值。 3解：由题意可得R=300Ω，T=273+17=290K，B=4kHz=4×10Hz 根据噪声电压有效值的计算公式得 −233−7 V=4kTRB=4××10×290×300×4×10=×10(V) n评注：考查噪声电压有效值的计算公式。 例2 设信息源由符号0和1组成，顺序选择两符号构成所有可能的信息。如果消息传输速率是每秒1000符号，且两符号出现概率相等。在传输中，若干扰引起的差错是平均每100符号中有一个符号不正确，信道模型如图3-2所示。 （1）试问这时传输信息的速率是多少？ （2）若在强干扰情况下，假设无论发送什么符号，其输出端出现0或1的概率都相同，求信息传输速率。 P= 00解：（1）信源每个符号的平均信息量为 P= H(x)=log+log=1(bit/符号) 222222P=信源发出的信息速率为 P= 11 H(x)=rH(x)=1000×1=1000(bit/s) t图3-2 例2图 条件平均信息量为 H(x)y=−−=(bit/符号) 22信道上单位时间内丢失的信息量为 H(x)=()yrHxy=1000×=81(bit/s) t得到信道的信息传输速率为 R=H(x)−H(x)y=1000−81=919(bit/s) tt（2）当输出端0和1等概出现时，条件平均信息量为 1111 H(x)y=−log−log=1(bit/符号) 222222信道上单位时间内丢失的信息量为 H(x)()y=rHxy=1000×1=1000(bit/s) t故信道内信息传输速率为 R=H(x)−H(x)y=1000−1000=0(bit/s) tt评注：考查有噪信道中信息传输速率的计算公式。 例3 电视图象大致由300，000个小像元组成，每一像元取10个可辨别的亮度电平，假设10个亮50
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 度电平独立等概出现，每秒发送30帧图象，且要求信噪比为1000，计算传输上述信号所需的最小带宽。 解：由于亮度电平等概出现，且概率为1/10，则每个像元的信息量为 n10111 H(x)=P(x)log=log=(bit/符号) i22∑∑P(x)1010ii=1i=1每帧图象的信息量为 55I=300000×H(x)=3×10×=×10(bit) 每秒传输的信息量为 7 R=30I=×10(bit/s) bS7 由于已知=1000，C≈R=×10bit/s，根据香农公式得 ×10b6B=≈==×10(Hz)=(MHz) log(1+1000)SS⎛⎞⎛⎞2log1+log1+⎜⎟⎜⎟22NN⎝⎠⎝⎠评注：考查香农公式的应用。 −jωtd例4 设某恒参信道的幅频特性为H(ω)=[1+cosωT]e，其中t为常数。试确定信号s(t)通过该0d信道后的输出信号表示式，并讨论之。 解：传输函数为 1−jωt−jωtjωT−jωT−jωtdd00dH(ω)=[1+cosωT]e=e+[e+e]e02 11−jωt−jω(t−T)−jω(t+T)dd0d0=e+e+e22幅频特性为 H(ω)=1+cosωT 0相频特性为 ϕ(ω)=−ωt d冲激响应为 11h(t)=δ(t−t)+δ(t−t+T)+δ(t−t−T) dd0d022输出信号为 11y(t)=s(t)∗h(t)=s(t−t)+s(t−t+T)+s(t−t−T) dd0d022该信道幅频特性随ω发生变化，产生幅频失真；而信道相频特性是ω的线性函数，故不会产生相频失真。 评注：考查信道幅频特性不理想对输出信号的影响。 提示：注意付里叶变换和卷积的简便运算。 例5 设高斯信道的带宽为4kHz，信号与噪声的功率比为63，试确定利用该信道的理想通信系统之传信率和差错率。 解：理想通信系统是指R→C，P→0，由香农公式得 be 51
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 S⎛⎞3 C=Blog1+=4×10log64=24(kHz) ⎜⎟22N⎝⎠故传信率为 R=C=24(kbit/s) b差错率为 P=0 e评注：考查香农公式计算信道容量，并考察理想通信系统的概念，在理想通信系统中传信率可以达到最大，即为信道容量，而差错率为0。 例6 假设在一个信道中，采用二进制方式传送数据，码元传输速率为2000Baud，信道带宽为4000Hz，−5为了保证错误概率P≤10，要求信道输出信噪比S/N≥31（约15dB），试估计该系统的潜力。 e解：根据香农公式得 S⎛⎞ C=Blog1+=4000log32=20000(bit/s) ⎜⎟22N⎝⎠ R=R=2000bit/s bB2R20001b 潜力== C2000010评注：考查香农公式计算出的极限信息传输速率与实际的信息传输速率。 提示：系统的潜力即为实际系统传输信息的速率与该系统信道容量的比值，比值越小，潜力越大。 例7 已知某信道无差错传输的最大信息速率为R（bit/s），信道的带宽为B=R/2（Hz）设maxmax信道中噪声为高斯白噪声，单边功率谱密度为n（W/Hz），试求此时系统中信号的平均功率。 0⎛⎞S解：根据香农公式⎜⎟C=Blog1+，得 2⎜⎟nB⎝0⎠RCmaxS2SR/2Bmax 1+=1+=2=2=4 nBnR00max3 S=3nB=nR 00max2评注：考查香农公式的应用。 提示：最大信息速率即为信道容量。 名词中英文对照 antenna，天线 Antenna Arrays，天线阵 antenna diversity，天线分集 angle diversity，角度分集 additive noise，加性噪声 additive Gaussian noise channel，加性高斯噪声信道 attenuation，衰减 atmosphere noise，大气噪声 Boltzmann's constant，波尔兹曼常数 channel，信道 52
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 coaxial cable，同轴电缆 coding channel，编码信道 coder，编码器 channel capacity，信道容量 cosmic ray，宇宙射线 correlation bandwidth，相关带宽 demodulator，解调器 distortion，失真 diversity，分集 electromagnetic wave，电磁波 encoder，译码器 equalizer，均衡器 fading，衰落 fluctuation noise，起伏噪声 frequency diversity，频率分集 frequency selective fading，频率选择性衰落 ground wave，地波 geostationary satellite，静止卫星 intersymbol interference，码间干扰 ionosphere reflection wave，电离层反射波 impulse noise，脉冲噪声 line of sight，视线 lightning，闪电 modulate channel，调制信道 modulator，调制器 multipath propagation，多径传播 multiplicative noise，乘性噪声 man-made noise，人为噪声 natural noise，自然噪声 open wire，明线 optical fiber，光缆 Propagation，传播 polarization diversity，极化分集 symmetrical cable，对称电缆 sky wave，天波 scatter，散射 shot noise，散弹噪声 space diversity，空间分集 stratosphere，平流层 twist wire，双绞线 troposphere，对流层 TV broadcasting，电视广播 time diversity，时间分集 ultraviolet light，紫外线 53
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 wired channel，有线信道 wireless channel，无线信道 练习与思考 练习题 3-1 设一恒参信道的幅频特性和相频特性分别为 ⎧H(ω)=K0 ⎨ϕ(ω)=−ωt⎩d其中，K和t都是常数。试确定信号s(t)通过该信道后的输出信号的时域表示式，并讨论。 0d−jωtd解：由于该恒参信道的传输函数为H(ω)=Ke，则其冲激响应为 0 h(t)=Kδ(t−t) 0d得到输出信号的时域表达式为 s(t)=s(t)∗h(t)=s(t)∗Kδ(t−t)=Ks(t−t) 00d0d该幅频和相频特性满足无失真传输的条件，信号在传输过程中不会产生失真。 −jωtd3-2 设某恒参信道的幅频特性为H(ω)=[1+cosωT]e，其中t为常数。试确定信号s(t)通过该信0d道后的输出信号表示式，并讨论之。 解：见例题4。 3-3 设某恒参信道可用图3-3所示的线性二段对网络来等效，试求它的传输函数H(ω)，并说明信号C 通过该信道后会产生哪些失真。 解：根据图可写出该信道的传输函数为 RjωRCR H(ω)== 11+jωRCR+jωC幅频特性为图3-3 题3-3图 ωRC H(ω)== 21+(ωRC)相频特性为 π ϕ(ω)=−arctanωRC 2由于该幅频特性不是常数，相频特性与频率不成线性关系，因此信号通过该信道后会产生幅度畸变和相位畸变。 3-4 今有两个恒参信道，其等效模型分别如图3-4所示。试求这两个信道的群延迟特性及画出它们R 的群延迟曲线，并说明信号通过时有无群延迟失真。 1R2解：图a的传输函数为H(ω)= 1R+R12R 2 由于相频特性为ϕ(ω)=0 1dϕ1 故群延迟特性为τ==0 1（a） dω54
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 R 1jωC1 图b的传输函数为H(ω)== 211+CjωRCR+jωC 由于相频特性为ϕ(ω)=−arctan(ωRC) 2（b） dϕRC2 故群延迟特性为τ==− 2图3-4 题3-4图 2dω1+(ωRC) 因为图a中均为电阻，电路传输函数与频率无关，故群延迟为常数零，即无群延迟失真。图b中相频特性与频率是非线性关系，所以有群延迟失真。群延迟特性曲线略。 3-5 一信号波形s(t)=AcosΩtcosωt，通过衰减为固定值、存在相移的网络。试证明，ω>>Ω，00且ω±Ω附近的相频特性曲线可近似为线性，则该网络对s(t)的延迟等于它的包络的延迟。 0解：由于 1s(t)=AcosΩtcosωt=A[cos(ω+Ω)t+cos(ω−Ω)t] 0002 由于ω>>Ω，则s(t)可以看成双边带调制信号，且s(t)的包络为AcosΩt；又因为ω±Ω附近00的相频特性曲线可近似为线性，则衰减为固定值、存在相移的网络传输函数可假设为 −jωtd H(ω)=Ke 0 冲激响应为h(t)=Kδ(t−t)，则输出信号为 0d y(t)=s(t)∗h(t)=(AcosΩtcosωt)∗Kδ(t−t)=KAcosΩ(t−t)cosω(t−t) 00d0d0d 故网络对s(t)的延迟为t。网络对其包络对延迟为 d AcosΩt∗Kδ(t−t)=KAcosΩ(t−t) 0d0d 即网络对s(t)的延迟等于它的包络的延迟，都为t。 d3-6瑞利衰落的包络值V为何值时，V的一维概率密度函数有最大值？ 解：瑞利衰落的包络一维概率密度函数为 2V−V22σ f(V)=e（V≥0,σ>0） 2σdf(V)要使f(V)取得最大值，则需=0 dV2222VVVV2−−−−df(V)12V2⎛2V⎞12V22σ2σ2σ2σ =e+e⎜−⎟=e−e=0 22224dVσσ⎝2σ⎠σσ即当V=σ时，一维概率密度函数取得最大值。 3-7 试根据瑞利衰落的包络值V的一维概率密度函数求包络V的数学期望和方差。 解：根据瑞利分布的概率密度函数得 2V2+∞+∞−V2π2σ E[V]=Vf(V)dV=edV=σ ∫∫2−∞02σ2V3+∞+∞−V22222σ E[V]=Vf(V)dV=edV=2σ ∫∫2−∞0σ得到 55
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2⎛⎞ππ⎛⎞2222⎜⎟ D[V]=E[V]−{E[V]}=2σ−σ=2−σ ⎜⎟⎜⎟22⎝⎠⎝⎠3-8 假设某随参信道的两径时延差τ为1ms，试求该信道在哪些频率上传输衰耗最大？选用哪些频率传输信号最有利？ 解：当两径传播时，信道的传输特性为 −jωt−jωτ0 H(ω)=2Ve(1+e) 0V为两条路径对信号的增益。得到其幅频特性为 0ωτ H(ω)=2Vcos 02ωτωτωn当cos=1时，对传输最有利，此时=nπ，f===n(kHz) 222πτ1n+ωτωτ1ω1⎛⎞2当cos=0时，对传输衰耗最大，此时=n+π，f===n+(kHz) ⎜⎟2222πτ2⎝⎠3-9 如图3-5所示的传号和空号相间的数字信号通过某随参信道。已知接收信号是通过该信道两条路径的信号之和。设两径的传输衰减相等（均为d），且时延差τ=T/4。试画出接收信号的波形0示意图。 解：根据题意，输出信号为 T⎛⎞ s(t)=dAs(t−t)+dAst−t− ⎜⎟000004⎝⎠其中，t为两条路径的固定延时。其波形如图3-5所示。 0s(t) 0s(t) A A tt+2Tt 0t+Tt+3T 0000 T 02T 3T t T5T9T11T图t+t+t+t+ 3-5 题3-9图 00004444 图3-5 题3-9波形图 3-10 设某随参信道的最大多径时延差等于3ms，为了避免发生频率选择性衰落，试估算在该信道上传输的数字信号的占用频带范围。 解：由于最大多经时延差τ=3ms，故其信道相关带宽为 max11 B==(kHz) cτ3m11⎛⎞根据工程经验，信号带宽一般取为相关带宽的~，得信号带宽为 ⎜⎟53⎝⎠1111⎛⎞⎛⎞ B=~B=~(kHz) ⎜⎟⎜⎟c53159⎝⎠⎝⎠得到码元宽度为 1 T==(3~5)τ=(9~15)(ms)=(~111)(Hz) mB56
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 3-11 略 3-12 若两个电阻的阻值都为1000欧姆，它们的噪声温度分别为300K和400K，试求这两个电阻串联后两端的噪声功率谱密度。 解：已知R=R=1000Ω，T=300K，T=400K 1212 根据功率谱密度的计算公式P(ω)=2kTR，P(ω)=2kTR 111222 则两个电阻串联后两端的功率谱密度为 −23−17 P(ω)=P(ω)+P(ω)=2kTR+2kTR=2k(T+T)R=2××10×700×1000=×10 121122123-13 具有带宽的某高斯信道，若信道中信号功率与噪声单边功率谱密度之比为，试求其信道容量。 解：已知B=，S/n= 0⎛S⎞⎜1+⎟N⎝⎠根据香农公式C=Blog得 26⎛⎞⎛⎞×10S⎛S⎞⎜⎟⎜⎟+1+1⎜1+⎟6⎜⎟⎜⎟×10N⎝⎠⎝067⎠⎝⎠C=Blog=Blog=×10log=×10(bit/s) 2223-14 设高斯信道的带宽为4kHz，信号与噪声功率之比为63，试确定利用这种信道的理想通信系统的传信率与差错率。 解：信道带宽为 S⎛⎞34 C=Blog1+=4×10log64=×10(bit/s) ⎜⎟22N⎝⎠对于理想传输系统，传信率为 R=C=2400bit/s b差错率为 P=0 e63-15 某一待传输的图片约含×10个像元。为了很好地重现图片需要12个亮度电平。假若所有这些亮度电平等概率出现，试计算用3min传送一张图片时所需的信道带宽（设信道中信噪功率比为30dB）。 解：每个像元所含的平均信息量为 nn11 H(x)=P(x)log=log12=(bit/符号) i22∑∑P(x)12ii=1i=1每幅图片的平均信息量为 666 I=×10H(x)=×10×=×10(bit) 3min传输一张图片所需的传信率为 ×104 R===×10(bit/s) bt3×60S⎛⎞由于信道容量C≥R，且C=Blog1+，得 ⎜⎟b2N⎝⎠×10b3 B≥=≈×10(Hz) log(1+1000)S⎛⎞2log1+⎜⎟2N⎝⎠思考题 57
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 3-1 信号在恒参信道中传输时主要有哪些失真？如何才能减小这些失真？ 答：模拟信号在恒参信道中传输时，H(ω)不理想会造成波形失真。数字信号在恒参信道中传输时，H(ω)不理想会造成码间干扰和误码。 一般采用均衡器对信道的非理想特性进行补偿，以改善信道的传输特性。 3-2 什么是群延迟频率特性？它与相位频率特性有何关系？ 答：群迟延频率特性是指信号的不同频率成分经过信道传输后到达的时间不同，定义为相频特性的dϕ(ω)导数，即τ(ω)=。 dω3-3 随参信道的特点如何？为什么信号在随参信道中传输时会发生衰落现象？ 答：随参信道有三个特点：（1）对信号的衰耗随时间变化；（2）信号的传输时延随时间变化；（3）多径传播。 信号在随参信道中传输时，由于多径传播和信道的时变特性，即信号经多径传播后的接收信号是衰耗和时延都随时间变化的各路径信号的合成，故产生衰落。 3-4 信道中常见的起伏噪声有哪些？他们的主要特点是什么？ 答：常见的起伏噪声有热噪声，散弹噪声，宇宙噪声等。 起伏噪声是一种高斯噪声，且在相当宽的频率范围内具有平坦的功率谱密度，故起伏噪声常被描述为高斯白噪声。 3-5 信道容量是如何定义的？连续信道容量和离散信道容量的定义有何区别？ 答：信道容量是指信道可能传输的最大信息速率。 S⎛⎞连续信道即广义信道中的调制信道，其信道容量由香农公式决定，C=Blog1+(bit/s)。 ⎜⎟2N⎝⎠离散信道即广义信道中的编码信道，其信道容量为C=maxR=max[H(x)−H(x)y]。其中，ttH(x)为单位时间内信源发出的平均信息量或称为信源的信息速率，H(x)y为单位时间内对发送xtt而收到y的条件平均信息量。 3-6 香农公式是有何意义？信息容量与三要素的关系如何？ 答：香农公式表明当信号与作用在信道上的噪声的平均功率给定时，在具有一定频带宽度的信道上，理论上单位时间内可传输的信息量的极限值。其表达式为C=Blog(1+S/N)(bit/s)。 2传输容量与信道带宽、信号功率和噪声单边功率谱密度这三要素的关系为： （1）增大信号功率可以增加信道容量，若信号功率趋于无穷大，则信道容量也趋于无穷大。 （2）减小噪声功率或减小噪声功率谱密度可以增加信道容量，若噪声功率趋于零或噪声功率谱密度趋于零，则信道容量趋于无穷大。 （3）增大信道带宽可以增加信道容量，但不能使信道容量无限制增大。 58
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第四章 模拟调制系统 知识点结构框架 本章的知识点结构框架如图4-1所示。 模拟调制 调制调制的概念特征作用分类解调 线性调制 非线性调制相干解调非相干解调 AM BSDBSS VBSMFPM 图4-1 知识点结构框图 教学要求 （1）了解调制和解调的基本概念、特征、分类、作用； （2）理解各种幅度调制、角度调制的调制和解调的基本原理及其波形和频谱图； （3）掌握各种模拟调制系统的抗噪声性能，并清楚在相同条件下各种模拟调制系统的性能比较。 难点重点 教学难点：各类幅度调制的时域、频域区别联系及性能比较。 教学重点：AM、BSD、BSS、VBS、FM、PM的调制、解调以及抗噪声性能。 教学安排 本章共分为5节，即幅度调制的原理及抗噪声性能、非线性调制的原理及抗噪声性能、各种模拟调制系统的比较、频分复用（MDF）、复合调制与多级调制的概念。讲授8学时，其安排见表4-1。讲授采用多媒体课件和板书相结合的方式。 表4-1 课时安排 学时 教学内容 第一讲 2 幅度调制的原理及抗噪声性能； 幅度调制的原理。 第二讲 2 幅度调制的原理及抗噪声性能； 线性调制系统的抗噪声性能。 第三讲 2 非线性调制的原理及抗噪声性能。 各种模拟调制系统的比较； 频分复用（MDF）； 复合调制与多级第四讲 2 调制的概念。 59
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第一讲安排 （1）教学要求 了解调制解调的定义、作用、特征和分类等基本概念，理解幅度调制（线性调制）器的基本原理，熟悉常规幅度调制、抑制载波双边带调制、单边带调制、残留边带调制的时频域表示式及波形和频谱图，掌握各种调制和解调方法、功率和带宽的计算等。 （2）难点重点 教学难点：常规幅度调制、抑制载波双边带调制、单边带调制、残留边带调制的时频域表示，功率和带宽的区别，相干解调时带通滤波器的中心频率及带宽。 教学重点：线性调制器的基本原理，常规幅度调制、抑制载波双边带调制、单边带调制、残留边带调制的调制解调原理。 （3）知识回顾 调制是通信的基础。中学学过幅度调制、频率调制和相位调制的简单概念（简单回顾），主要是文字描述。本章主要从数学角度分析各种调制的时域和频域表示，并从中理解其基本参数。 （4）讲授提纲 本章知识点结构 几个概念（基带信号及特点，调制与解调，载波调制，调制的作用，调制的基本特征，调制的分类，调制的模型） 幅度调制的原理及抗噪声性能 幅度调制的原理 幅度调制的原理（时域分析，频域分析，线性调制信号的产生方法） 常规幅度调制（调幅信号的产生，调幅信号的功率，调制效率，调幅度，调幅信号的解调） 抑制载波双边带调制（抑制载波双边带信号的产生，抑制载波双边带信号的功率，抑制载波双边带信号的解调） 单边带调制（单边带信号的产生，单边带信号的功率，单边带信号的解调） 残留边带调制（残留边带滤波器的概念，残留边带滤波器传输函数的确定，残留边带滤波器的几何解释） 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 各种幅度调制的时频域表示式推导，解调推导。 （6）扩展知识 1）交流信号表征的五个参数 (ˆˆ峰值U或U（U为峰峰值、U为谷值）、均值U、有效值U、波峰因素K=U/U、波形PP−PP因素K=U/U。 F【提示】：在讲授调幅信号功率时补充。 2）缩减载波双边带调制 对应于抑制载波双边带调制。缩减载波双边带调制增大了发送功率，但在接收端利于重现载波。 【提示】：在讲授抑制载波双边带调制时补充。 3）注意“∧”的使用 希尔伯特（Hilbert）变换中，mˆ(t)表示m(t)的希尔伯特变换形式； ˆ统计学中，θ表示θ的估计值； 60
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ˆˆ电子学中，交流电压和电流的U、I表示电压和电流的峰值。 【提示】：在讲授移相法产生单边带调幅信号时补充。 （7）互动话题 1）基带信号、低通信号、调制信号、频带信号、带通信号、已调信号的含义及其之间的关系是什么？ 基带信号、低通信号、调制信号是同一信号的不同叫法，均是指原始的低频信号。 频带信号、带通信号、已调信号也是同一信号的不同叫法，均是指进行频谱搬移后的信号。 这些不同的叫法是从不同角度考虑的。基带信号和频带信号是从频谱分析的角度考虑，低通信号和带通信号是从信号特征的角度考虑，调制信号和已调信号是从信号传输（即调制解调）的角度考虑。 【提示】：在讲授调制概念时提问。 2）检波的含义是什么？ 在无线电技术中检波的含义有广义和狭义之分。广义的检波即“解调”，指从已调波中提取调制信号的过程。狭义的检波是把高频信号整流的过程，就本质而言是一种整流。 【提示】：在讲授调幅信号的解调时提问。 （8）思考题 1）教材85页4-4。 2）试比较AM、BSD、BSS、VBS四种调幅信号的特点。 第二讲安排 （1）教学要求 了解信噪比、调制制度增益等概念的含义，熟悉解调器抗噪声性能的分析模型，学会和掌握常规幅度调制系统、抑制载波双边带调制系统、单边带调制系统解调器输入、输出信噪比的分析方法。 （2）难点重点 教学难点：常规幅度调制系统包络检波时抗噪声性能的分析。 教学重点：常规幅度调制系统、抑制载波双边带调制系统、单边带调制系统解调器输入、输出信号功率和噪声功功率的分析计算。 （3）知识回顾 上一讲介绍了AM、BSD、BSS、VBS四种幅度调制，它们的性能各有千秋。从功率利用率看，常规幅度调制最差；从频率利用率看，单边带调制最优，即B>B>B=B；从实现方式SSBVSBDSBAM看，单边带调制难度最大；从解调方式看，常规幅度调制既可以采用相干解调，也可以采用非相干解调，而其余三种只能采用相干解调。而不同调制方式的抗噪声性能也是不同的，这将是本讲的主要内容。 （4）讲授提纲 线性调制系统的抗噪声性能 分析模型 BSD调制系统的性能 SSB调制系统的性能 AM调制系统的性能 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 BSD、BSS、AM三种调制方式解调器输入、输出信噪比，调制制度增益的推导。 （6）扩展知识 1）与调制制度增益相对应的有放大器的噪声系数 61
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 调制制度增益衡量解调器对输入信噪比的影响，定义为解调器输出信噪比与输入信噪比的比S/N00值，即G=，既可以大于1（BSD为2），也可以小于1（100%AM为2/3），还可以等于1S/Nii（BSS为1） 噪声系数衡量放大器对输入信号的影响，定义为放大器输入信噪比与输出信噪比的比值，即S/NiiF=，N=10lgF，一般是大于1的常数。说明放大器在放大信号的同时放大了噪声，也FS/N00引入了新的噪声。 【提示】：在讲授线性调制系统的抗噪声性能时补充。 2）调制器、解调器分别位于通信系统的发送端和接收端，同样发送端的末级和接收端的初级（除收发天线）都分别采用了两个放大器 发送端末级放大器为功率放大器，用于处理大信号，重点指标是动态范围（即最大输出信号）。 接收端初级放大器为前置放大器（又称为低噪声放大器），用于处理小信号，重点指标是噪声系数。 【提示】：在讲授线性调制系统的抗噪声性能时补充。 （7）互动话题 1）解调器抗噪声性能分析模型中带通滤波器中心频率和带宽针对不同调制方式如何选择？ 如载波频率为f=10kHz，调制信号最高频率f=1kHz，在双边带调制和单边带调制时，其cH中心频率和带宽各是多少？（这是许多高校考研必考内容） 双边带调制：中心频率f=10kHz，带宽为B=2kHz。 0单边带调制：带宽为B=1kHz，中心频率f=（下边带）或f=（上边带）。 0L0H【提示】：在讲授线性调制系统抗噪声性能的带通滤波器时提问。 2）为什么双边带调制制度增益为2，而单边带调制制度增益为1？ 双边带信号采用相干解调时，噪声的正交分量被消除，使得信噪比得以改善。 单边带信号采用相干解调时，信号和噪声的正交分量均被消除，故信噪比没有得到改善。 【提示】：在讲授单边带调制系统的抗噪声性能时提问。 （8）思考题 教材85页4-5，4-6，4-7。 第三讲安排 （1）教学要求 了解频率调制和相位调制等非线性调制的概念，理解其基本原理，熟悉各种模拟调制系统的性能比较，掌握大信噪比和小信噪比条件下频率调制系统的抗噪声性能分析。 （2）难点重点 教学难点：大小信噪比条件下调频系统抗噪声性能的分析。 教学重点：频率调制和相位调制的基本原理、抗噪声性能。 （3）知识回顾 目前在通信系统中幅度调制应用相当广泛，如电视采用残留边带调幅等。但幅度调制也有其不足之处，如抗干扰性能劣于频率调制等。因此，频率调制和相位调制也应用广泛，如模拟卫星电视采用频率调制，调频立体声广播等。 （4）讲授提纲 非线性调制的原理及抗噪声性能 非线性调制的原理 几个概念 62
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 角度调制的工作原理（相位调制，频率调制，调频和调相波的时域波形） 非线性调制系统的抗噪声性能 解调器输入端信噪比 解调器输出端信噪比 调幅信号与调频信号的比较（抗噪声性能的比较，带宽的比较） 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 频率调制和相位调制时域表示式的推导，频率调制抗噪声性能的推导。 （6）扩展知识 1）频率调制的应用 频域测量中测试仪器——频率特性测试仪（扫频仪），其内部构造同示波器基本相似，由水平偏转板和垂直偏转板组成，且垂直偏转板上加被测信号。不同之处是示波器中水平偏转板上加时基信号（锯齿波），代表时间；扫频仪中水平偏转板上加调频信号（锯齿波经过调频电路），代表频率。 【提示】：在讲授频率调制时补充。 2）幅度调制和频率调制的性能区别 幅度调制的技术和设备比较简单，频谱较窄，但抗干扰性能差。广泛应用于长中短波广播、小型无线电话、电报等电子设备中。 频率调制是1933年.阿姆斯特朗发明的，具有良好的抗干扰性能，广泛用于高质量广播、电视伴音、多路通信和扫频仪等电子设备中。 【提示】：在讲授频率调制时补充。 （7）互动话题 1）瞬时相位和瞬时频率的关系。 瞬时相位是瞬时频率的积分，瞬时频率是瞬时相位的导数。 【提示】：在讲授频率调制和相位调制时提问。 2）频率调制和幅度调制的最大区别是什么？ 频率调制是等幅不等频的正弦信号。 幅度调制是等频不等幅的正弦信号。 【提示】：在讲授频率调制时提问。 （8）思考题 1）为什么频率调制也存在门限效应？ 2）频率调制的调制制度增益与带宽的关系如何？ 第四讲安排 （1）教学要求 了解频分复用和复合调制的概念，熟悉和理解常规幅度调制、抑制载波双边带调制、单边带调制、残留边带调制、频率调制的性能比较及特点。 （2）难点重点 教学难点：各种调制系统输出信噪比的比较。 教学重点：各种模拟调制系统的性能比较。 （3）知识回顾 前面三讲介绍了幅度调制、频率调制和相位调制，这三种调制各有特点，各有应用场合。 （4）讲授提纲 各种模拟调制系统的比较 性能比较 63
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 特点及应用 频分复用 几个概念 频分复用的实现原理 频分复用的特点 复合调制及多级调制的概念 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 各种调制系统输出信噪比、带宽的比较等。 （6）扩展知识 1）频分复用的应用 电视：我国电视采用PAL /DK制式，伴音载频频率比图像载频频率高，每个频道带宽为8MHz。 VHF频道：D1S~3SD：~，4SD~5SD：76~92MHz，1Z~7Z：111~167MHz，6SD~1SD2：167~223MHz，Z8~1Z6：223~295MHz。 HUF频道：Z17~3Z7：295~463，1SD3~2SD4：470~566MHz，2SD4+1~S2D45+：566~606MHz，2SD5~6SD8：606~958MHz。 4G手机频率：国际电信联盟无线通信标准化部门IT-UR于2007年10月22日~11月16日在瑞士日内瓦召开了“世界无线电通信大会”（World Radio communication Conference，简称WRC），制定出了国际IMT（第三代及第四代移动通信系统）的新频带。具体为：~的200MHz带宽、~的100MHz带宽、698~806MHz的108MHz带宽和450~470MHz的20MHz带宽。 国内MSG网络频率：采用GMS900和CSD1800双频率。P-GMS900手机发送频率为890~ 915MHz，接收频率为935~960MHz。E-GMS900手机发送频率为880~915MHz，接收频率为925~ 960MHz。CS1D800手机发送频率为1710~1785MHz，接收频率为1805~1880MHz。 【提示】：在讲授频分复用时补充。 2）多路通信的概念 多路通信：用一条公共信道建立两条或多条独立传输信道的通信方式。采用这种公共信道的通信系统称为多路通信系统。 频分多路通信：把公共信道可传输的频带分割成若干个较窄频段，而每个频段构成一条独立传输信道的通信方式。 时分多路通信：各路信号轮流使用公共信道而构成多个周期性的传输信道的通信方式。 码分多路通信：利用各路信号码型结构正交性而实现多路复用的通信方式。这种通信方式是以信号的正交性和多路通信的正交性原理为基础的。 【提示】：在讲授复合调制和多级调制时补充。 3）复合调制及多级调制的应用 复合调制：对同一载波进行两种或多种调制。 多级调制：对同一基带信号实施两次或多次调制。 电视系统直接调制和中频调制的原理框图，见图4-2和4-3。在直接调制器中，对伴音信号首先进行频率调制，然后在载波上又进行了上变频（有的资料称为幅度调制），称为调频调幅波 在中频调制器中，图像信号先在38MHz频率上进行残留边带调幅，然后再在高频载波上上变频（即调幅），为调幅/ 调幅波。伴音信号先在频率上进行调频，然后在38MHz频率上进行上变频（即调幅），最后再在高频载波上上变频（即调幅），为调频/ 调幅/ 调幅波。 64
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 图像 信号处理 残留边带幅度调制（VBS）信号 加法器 射频载 波带通滤波器 放大器 输出振荡器 伴音 信号处理 频率调制 上变频信号 振荡器 图4-2 直接调制器原理框图 图像 信号处理 残留边带幅度调制（VBS）信号 加法器 射频38MHz上变频带通滤波器 放大器 输出振荡器 伴音 高 频 信号处理 频率调制 上变频信号 振荡器 振荡器 图4-3 中频调制器原理框图 【提示】：在讲授复合调制和多级调制时补充。 （7）互动话题 1）BSD、BSS的输出信噪比比MA高的理由是什么？ ⎡⎤⎡⎤SSS00i由于BSD、BSS的输出信噪比为==，AM的输出信噪比为⎢⎥⎢⎥NNnB⎣0⎦⎣0⎦0bDSBSSB⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞SSSSSS0i0000=，得到⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟10lg/=lg10/=10lg3=。 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟N3nBNNNN⎢⎣0⎦0b⎝0⎠⎝0⎥⎢⎠⎝0⎠⎝0⎥⎠AM⎣DSBAM⎦⎣SSBAM⎦【提示】：在讲授各种模拟调制系统性能比较时提问。 2）在抑制载波双边带和单边带解调中，当输入信号功率相等时，其输出信噪比相同。而双边带解调器的调制制度增益为2，单边带调制制度增益为1。这说明什么问题？ 当输入信号功率相等时，双边带解调器输入端的信噪比是单边带解调器输入端的信噪比的一半（即虽然S相等，但N=nB=2nB，N=nB=nB）， iiDSB0DSB0biSSB0SSB0b【提示】：在讲授各种模拟调制系统性能比较时提问。 （8）例题习题 教材86页4-4，87页4-8，88页4-12。 核心内容 65
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 调制解调的概念 （1）概念 调制（modulation）：在发送端把基带信号频谱搬移到给定信道通带内的过程称为调制，即基带（base-band）信号变为频带（frequence band）信号的过程。 解调（demodulation）：在接收端把已搬到给定信道通带内的频谱还原为基带信号的过程称为解调，即频带信号变为基带信号的过程。 调制和解调在一个系统中总是同时出现，一般把调制和解调系统统称为调制系统或调制方式。 （2）特征 经过调制后的已调信号具有两个基本特征，一是携带有消息，即含有调制信号的信息；二是适合于信道传输。 （3）作用 调制的实质是频谱搬移。其主要作用是把基带信号频谱搬移到一定频率，以适应信道的要求；便于辐射；实现频率分配和多路复用；减小噪声和干扰的影响，提高系统抗干扰能力。不同的调制方式具有不同的抗噪声性能。 （4）分类 根据调制信号分类：分为模拟调制（analog modulation）和数字调制（digital modulation）两类。 模拟调制的调制信号为连续变化的模拟量，通常以单音正弦波为代表；数字调制的调制信号为离散的数字量，通常以二进制数字脉冲为代表。 根据载波信号（carrier wave signal）分类：分为连续载波调制和脉冲载波调制两类。 连续载波调制的载波信号为连续波形，通常可用单频正弦波为代表；脉冲载波调制的载波信号为脉冲形式，通常用矩形周期脉冲为代表。 根据调制器（modulator）的功能分类：分为幅度调制（Amplitude Modulation，简称AM）、频率调制（Frequency Modulation，简称MF）和相位调制（Phase Modulation，简称PM）三类。 幅度调制的调制信号改变载波信号的振幅参数；频率调制的调制信号改变载波信号的频率参数；相位调制的调制信号改变载波信号的相位参数。 根据调制器频谱搬移特性分类：分为线性调制（linear modulation）和非线性调制（nonlinear modulation）两类。 线性调制的输出已调信号的频谱和调制信号的频谱之间呈线性搬移关系。如调幅（AM）、单边带调制（BSS）等；非线性调制的输出已调信号的频谱和调制信号的频谱之间没有线性对应关系。即在输出端含有与调制信号频谱不成线性对应关系的频谱成分。如调频（MF）、调相（PM）等。 幅度调制 （1）调制原理 设调制信号为m(t)，正弦型载波信号为s(t)=Acos(ωt+ϕ)，其中A、ω、ϕ分别为载波信号c0c0的幅度、角频率和初始相位。则已调信号可表示为 s(t)=Am(t)cos(ωt+ϕ) mc0可见，已调信号波形的幅度随调制信号变化而正比变化。 设调制信号的频谱为M(ω)，则调制信号的频谱为 A S(ω)=[M(ω−ω)+M(ω+ω)] mcc2这说明已调信号的频谱完全是调制信号频谱结构在频域内的简单搬移。由于搬移是线性的，即已调信号频谱与调制信号频谱呈线性对应关系，故幅度调制通常称为线性调制。 （2）实现方法 线性调制信号可以由线性调制器产生，如图4-4所示，由一个相乘器和带通滤波器（band-pass 66
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 filter）组成。 +∞s(t)m乘法器h(t) (t) ms(t)=h(τ)m(t−τ)cosω(t−τ)dτmc∫−∞+∞ =cosωth(τ)m(t−τ)cosωτdτ cc∫cosωt −∞c+∞+sinωth(τ)m(t−τ)sinωτdτ图4-4 线性调制器模型 cc∫−∞1 S(ω)=[M(ω−ω)+M(ω+ω)]H(ω) mcc2式中，h(t)、H(ω)是滤波器的冲激响应和传输函数，适当选取便可得到各种线性调制信号。 （3）分类 幅度调制分为常规幅度调制（Amplitude Modulation，简称AM）、双边带调制（oDuble Side Band-Suppressed Carrier，简称BSD）、单边带调制（Single side band，简称BSS）、残留边带调制（Vestigial-side band，简称VBS）等。 常规幅度调制 （1）实现原理 假设调制信号m(t)迭加了直流分量A后与载波信号相乘，滤波器为全通网络，即h(t)=δ(t)、0H(ω)=1，则得AM的时域表达式为 s(t)=[A+m(t)]cosωt=Acosωt+m(t)cosωt m0c0cc式中，Acosωt为载波项，m(t)cosωt为双边带（BSD）信号项。 0ccAM的频域表达式为 1 S(ω)=Aπ[δ(ω−ω)+δ(ω+ω)]+[M(ω−ω)+M(ω−ω)] m000002（2）频谱 图4-5给出了调幅信号的频谱（frequence spectrum），由载波分量和上下两个边带组成。上边带（upper sideband）的频谱结构与调制信号的频谱结构相同，下边带（lower sideband）是上边带的镜像。为保证包络检波时不发生失真，必须满足A+m(t)≥0，A≥m(t)。 00max（3）带宽 设调制信号的最高频率为f（即ω），则常规调幅信号的带宽（frequence bandwidth）为 mmB=2f AMm（4）信号功率 信号功率是指在1Ω电阻上消耗的平均功率，等于s(t)的均方值。一般情况下，调制信号m(t)m中不含有直流分量，即m(t)=0，得到 2Am(t)0 P=P+P=+ AMcs22式中，P为不带信息的载波功率；P为信号平均功率，即边带功率。这说明AM信号的总平均功cs率由不带信息的载波功率和携带信息的边带功率两部分组成。 （5）调制效率 调制效率定义为边带功率与总平均功率的比值，即 Psη= AMPAM 67
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 通常，即使在满调幅条件下，若调制信号为矩形波形，则最大可得到η=50%；若调制信号AM为正弦波时η=%。在一般情况下，调制效率很低，即边带占有功率很小。说明调幅信号功AM率利用率较低，但优点是可采用包络检波法解调。 m(t) 0 M(ω)t m(t)+A ωω −ω00 mm A 0 S(ω)0 t s(t) ω −ω0cω c 0 t 2ω S(ω)mm s(t) m [A(t)]min 0 −ωω 0ω cct [A(t)] max 图4-5 AM信号的波形及频谱 （6）调幅度 调幅度也称为调幅系数，定义为 [A(t)]−[A(t)]maxminm= [A(t)]+[A(t)]maxmin若m=1，则为满调幅，即m(t)=A；若m>1，则为过调幅，即m(t)>A；若m<1，00maxmax则为欠调幅，即m(t)<A。 A+m(s(t)t)×LP F0m0max（7）解调方法 cosωtc分为相干解调和包络检波解调两种。 相干解调器如图4-6所示 图4-6 相干解调制器模型 112s(t)=[A+m(t)]cosωt=[A+m(t)]+[A+m(t)]cos2ωt mcc22采用一个低通滤波器（low-pass filter），就可以无失真的恢复出原始的调制信号。 68
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 包络检波是采用峰值检波器进行检波。 （8）抗噪声性能 输入、输出信噪比为 222SA+m(t)Sm(t)i00=，= N2nBNnBi000调制制度增益定义为输出信噪比与输入信噪比之比，即 2S/N2m(t)00G== 22S/NiiA+m(t)0在100%正弦调制中，得到最大调制制度增益为2/3。 （9）特点 常规幅度调制的优点是接收设备简单；缺点是功率利用率低，抗干扰能力差，在传输中如果载波受到信道的选择性衰落，则在包络检波时会出现过调失真，信号频带较宽，频带利用率不高。因此AM制式用于通信质量要求不高的场合，目前主要用在中波和短波的调幅广播中。 抑制载波双边带调制 （1）实现原理 在调幅信号中，载波项并不携带信息，信息完全由边带传送。如果将载波项抑制，即将直流分量A去掉，输出便是抑制载波双边带信号，简称为双边带信号。其时域和频域表示式分别为 0 s(t)=m(t)cosωt DSBc1 S(ω)=[M(ω−ω)+M(ω−ω)] DSB002（2）频谱 抑制载波双边带调制信号的波形和频谱如图4-7所示。 （3）带宽 抑制载波双边带调制的带宽同常规幅度调制的带宽一样，为 B=2f DSBm（4）信号功率 由于抑制了载波传输，使得信号功率增强，为 2m(t)P= DSB2（5）解调方法 BSD信号的包络不再与调制信号的变化规律相一致，因而不能采用简单的包络检波来恢复调制信号，需采用相干解调（同步检波）。另外，在调制信号m(t)的过零点处，高频载波相位有180°的突变。 由频谱图可知，BSD信号虽然节省了载波功率，但频带宽度仍是调制信号带宽的两倍。由于上、下两个边带是完全对称的，都携带调制信号的全部信息，因此仅传输其中一个边带即可，这就是单边带调制。 （6）抗噪声性能 输入、输出信噪比为 22SmS(t)m(t)i0=，= N2nBNnBi000 69
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 得到调制制度增益为 S/N00G==2。 S/NiiBSD系统的调制制度增益为2，说明BSD信号的解调器使信噪比改善一倍。原因在于采用同步解调后，使输入噪声中的一个正交分量n被消除的缘故 s m(t) M(ω) 0 t −ωωω H0 H s(t)S(ω) 0 t ω −ω0cω c s(t) DSB S(ω)DSB 2ω m0 t −ωω 0ω cc 图4-7 DSB信号的波形及频谱 （7）特点 抑制载波双边带的优点是功率利用率高，但带宽与AM相同，接收要求同步解调，设备较复杂。只用于点对点的专用通信， 应用范围不太广泛。 单边带调制 （1）实现原理 单边带信号的产生方法主要有滤波法和相移法两种。 滤波法：产生BSS信号最直观的方法是让双边带信号通过一个边带滤波器，保留所需要的一个边带，滤除不需要的边带，如图4-8所示。这只需设计图 4-4中滤波器的传输函数，就可以分别获得下边带信号频谱或上边带信号频谱 S(ω)=S(ω)H(ω) SSBDSBSSB⎧⎧1ω≥ω⎪c上边带H⎪⎨USB0ω<ω⎪⎪c⎩ H(ω)= ⎨SSB⎧0ω>ω⎪c⎪下边带H⎨LSB⎪1ω≤ω⎪c⎩⎩滤波法的技术难点为，由于一般调制信号都具有丰富的低频成分，经调制后得到的BSD信号的上、下边带之间的间隔很窄，这就要求单边带滤波器在ω附近具有陡峭的截止特性，才能有效c地抑制无用的一个边带。这就使得滤波器的设计和制作很困难，有时甚至难以实现。 相移法：原理框图如图4-9所示。 70
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 1m(t)cosωtc12 m(t)乘法器2 cosωtc11ˆm(t)cosωtmm(t)sinωt cc希尔伯特22π/2移相器加法器滤波器 sinωtc 1ˆm(t) 2乘法器1 ˆm(t)sinωtc2 图4-9 相移法实现单边带调制 （2）频谱 单边带信号的频谱如图4-8所示。 M(ω) h(t) s(t)m(t) 乘法器 SSBSSB −ωωω 0 mmcosωt cS(ω) DSB 上边带下边带下边带 上边带 H(ω) SSB −ωω 0ω cc 上边带频谱 −ω ω 0ωcc −ωω 0ω cc H(ω) SSB下边带频谱 −ω ω −ωω 0ω0ω cccc 图4-8 形成SBS信号的滤波特性及信号频谱 （3）带宽 单边带调制由于只需要传输一个边带，故其带宽减小，为 B=f SSBm（4）信号功率 21m(t)P=P= SSBDSB24（5）解调方法 BSS信号的解调和BSD一样不能采用简单的包络检波，因为BSS信号也是抑制载波的已调信号，它的包络不能直接反映调制信号的变化，所以仍需采用相干解调。 71
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （6）抗噪声性能 输入、输出信噪比为 22SmS(t)m(t)i0=，= N4nBN4nBi000得到调制制度增益为 S/N00G==1 S/Nii在BSS系统中，由于信号与噪声具有相同表示形式，均是由正交分量和同相分量构成，所以在相干解调过程中信号和噪声的正交分量均被抑制掉，使得信噪比没有改善。 BSD系统的调制制度增益为BSS的2倍。但不能说明BSD比 BSS好。原因在于：一是BSD系统输入信号的平均功率是BSS的2倍。如果在相同的输入信号功率和噪声功率谱密度的条件下，输出信噪比是相等的，即抗噪声性能相同。二是BSD系统所需传输带宽是BSS的2倍。 （7）特点 单边带调制的优点是功率利用率和频带利用率都较高，抗干扰能力和抗选择性衰落能力均优于AM，而带宽只有AM的一半；缺点是发送和接收设备都复杂。因此，BSS制式普遍用在频带比较拥挤的场合，如短波波段的无线电广播和频分多路复用系统中。 残留边带调制 （1）概念 残留边带调制是介于BSS与BSD之间的一种调制方式，既克服了BSD信号占用频带宽的缺点，又解决了BSS信号实现上的困难。在VBS中不是完全抑制一个边带（如同SSB中那样），而是逐渐切割，使其残留一小部分。 （2）实现原理 用滤波法实现残留边带调制的原理如图4-10所示。图中滤波器的特性应按残留边带调制的要求来进行设计。其传输函数为 H(ω−ω)+H(ω+ω)=c VSBcVSBc式中，c为常数。 只要残留边带滤波器的截止特性在载频处具有互补对称特性，则采用同步解调法就可准确恢复原基带信号。 （3）频谱 1S(ω)=[M(ω−ω)+M(ω+ω)]H(ω) VSBccVSB2（4）带宽 B=f~2f SSBmm（5）解调方法 VBS信号不能简单地采用包络检波，而必须采用如图4-11所示的相干解调。 h(t) s(t)ms(t)(t) 乘法器×m(t) LP FVSBVSBVSB cosωt cosωtcc 图4-10 VSB实现方法 图4-11 VSB相干解调制 72
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （6）特点 残留边带调制的优点在于部分抑制了发送边带，同时又利用平缓滚降滤波器补偿了被抑制部分。性能与BSS相当，解调原则上也需同步解调，但在某些VBS系统中，附加一个足够大的载波，就可用包络检波法解调合成信号（VBSC+），这种（VBSC+）方式综合了AM、SSB和BSD三者的优点。所有这些特点，使得VBS对商用电视广播系统特别具有吸引力。 频率调制 （1）概念 频率调制是指瞬时频率偏移随基带信号成比例变化的调制方式。其时域表达式为 t⎡⎤ s=Acosωt+Km(t)dt mcF⎢⎥∫−∞⎣⎦式中，K为调频系数，由调频电路决定，单位是弧度/伏。 F（2）分类 频率调制一般分为宽带调频（wide band frequency modulation，简称WBMF）和窄带调频（narrow band frequency modulation，简称BNMF）。 π当调频信号的最大瞬时相位偏移满足Km(t)dt<<（或）时，称为窄带调频。此时调频F∫6信号的时域表达式可以简化为 t⎡⎤s(t)=Acosωt+Km(τ)dτmcF⎢⎥∫−∞⎣⎦tt =AcosωtcosKm(τ)dτ−AsinωtsinKm(τ)dτ cFcF∫∫−∞−∞t⎡⎤≈Acosωt−AKm(τ)dτsinωtcFc⎢⎥∫−∞⎣⎦π当调频信号的最大瞬时相位偏移不满足Km(t)dt<<（或）时，称为宽带调频。此时调F∫6频信号的时域表达式不能简化，给频谱分析带来困难。 π[附]当Km(t)dt<<时，cosKm(t)dt≈1，sinKm(t)dt≈Km(t)dt FFFF∫∫∫∫6（3）特征 d[ωt+ϕ(t)]c一是瞬时频率随调制信号线性变化，即=ω+Km(t)；二是瞬时相位随调制信号cFdtt的积分线性变化，即ωt+ϕ(t)=ωt+Km(t)dt。 ccF∫−∞（4）实现原理 频率调制的方法很多，主要有直接调频法、窄带调频法、锁相调频法等。 1）直接调频法：就是直接用调制信号控制载波振荡器的频率，使其按调制信号的规律线性变化，原理框图如图4-11所示。将调制信号直接输入到压控振荡器（voltage cortrol oscillator，简称VOC）的输入端，其输出频率正比于输入控制电压，即 ω(t)=ω+Km(t) m(t) S(t)FMi0F压 控 振荡器 若被控制的振荡器是LC振荡器，则只需控制振荡回路 的某个电抗元件（L或C），使其参数随调制信号变化。现 图4-11 直接调频原理框图 在常用的电抗元件是变容二极管。该方法电路简单，性能良 好，是目前应用最广泛的调频电路之一。 73
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2）间接调频法：先将调制信号积分，然后对载波进行调相，即可产生窄带调频信号。若在经n次倍频后即可获得宽带调频信号，其原理框图如图4-12所示。该方法又称为阿姆斯特朗（Armstrong）法。窄带调频可按其数学表达式实现，原理框图如图4-13所示。 s(t)s(t) NBFMWBFM相 位m(t)积分器 倍频器 调制器 Acosωtc 图4-12 间接法产生WBMF原理框图 m(t) 积分器乘法器 s(t) NBFMπ/2移相器加法器 Acosωt c 图4-13 NBFM原理框图 3）锁相调频法：锁相环（phase locked loop，简称PLL）调制器的原理框图如图4-14所示。当锁相环锁定且自然谐振频率f小于调制信号m(t)的最低频率f时，环路处于载波跟踪状态，VOCnL的控制电压近似为m(t)，故VOC的输出信号为调频信号，即 u(t)=Acos[Nωt+Km(t)dt] 0r0∫式中，ω为u(t)的频率，K为VOC的灵敏度，N由波道控制信号决定。 ri0这是目前广泛使用的调频方案，调频信号的载频频率稳定度与时钟源（晶振）相同，且可以方便地改变载波频率。 m(t) u(t) u(t)0 i时钟源÷R 相位检测器 环路滤波器加法器环路滤波器 ÷N 波道控制信号 图4-14 锁相环调频法原理框图 （5）解调方法 调频信号的解调也分为相干解调和非相干解调两种。相干解调仅适用于窄带调频，而非相干解调既适用于窄带调频，也适用于宽带调频。 1）非相干解调：调频信号的解调就是要产生一个与输入调频信号的频率呈线性关系的输出电压，完成这种频率——电压转换关系的器件称为频率检波器，简称鉴频器，其原理框图如图4-15所示。图中，微分器的作用是将恒定的调频波s(t)变成幅度和频率均随调制信号m(t)变化的调幅m调频波s(t)，即 d s(t)=−A[ω+Km(t)]sin[ωt+Km(τ)dτ] dcFcF∫包络检波器检出其幅度变化并滤去直流，再经低通滤波器滤波后输出为 74
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 m(t)=KKm(t) 0dF式中，K为鉴频器的灵敏度。 d带通限幅器的作用是消除信道中叠加的噪声和其他原因引起的调频波的幅度起伏。 鉴频器m(t) 0s(t) 加法器 带通限幅器微分器包络检波器低通滤波器 m n(t) 0s(t)d n(t) 图4-15 非相干解调原理框图 2）相干解调：由于窄带调频可以表示为同相分量和正交分量形式，故可以采用线性调制中的相干解调法来进行频率解调。其原理框图如图4-16所示。 s(t)s(t)pd m(t) 0 s(t) 加法器 带通限幅器乘法器低通滤波器微分器 mn(t) 0 c(t)n(t) 图4-16 相干解调原理框图 t⎡⎤由于s(t)=Acosωt−AKm(τ)dτsinωt，设相干载波为 mcFc⎢⎥∫−∞⎣⎦ c(t)=−sinωt c得到相乘器的输出为 t⎡⎤2s(t)=s(t)c(t)=−Acosωtsinωt+AKm(τ)dτsinωtpmccFc⎢⎥∫−∞⎣⎦ tAA⎡⎤=−sin2ωt+Km(τ)dτ(1−cos2ωt)cFc⎢⎥∫−∞22⎣⎦经过低通滤波器后，输出为 tA s(t)=Km(τ)dτ dF∫−∞2再经微分器后得到解调输出为 A m(t)=Km(t) 0F2（6）带宽 B=2f(m+1) FMmf（7）调频指数 KΔfFm== fωfmm（8）抗噪声性能 输入、输出信噪比为 75
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 22SSA3A/202i=，=m fN2nBN2nfi000m调制制度增益为 S/N002G==3m(m+1) ffS/Nii由此可见，在大信噪比情况下，宽带调频解调器的调制制度增益是很高的，即抗噪声性能好。如当m=5时，G=450。也就是说加大调制指数m可使系统的抗噪声性能迅速改善。 ff（9）特点 频率调制的幅度恒定不变，使其对非线性器件不甚敏感，给MF带来了抗快衰落能力。利用自动增益控制和带通限幅还可以消除快衰落造成的幅度变化效应。使得窄带MF对微波中继系统颇具吸引力。宽带MF的抗干扰能力强，可以实现带宽与信噪比的互换，因而宽带MF广泛应用于长距离高质量的通信系统中，如空间和卫星通信、调频立体声广播、超短波电台等。宽带MF的缺点是频带利用率低，存在门限效应。 相位调制 （1）概念 相位调制是指瞬时相位偏移随基带信号成比例变化的调制。其时域表达式为 s(t)=Acos[ωt+Km(t)] mcP式中，K为比例常数，称为调相系数或调相灵敏度。由调相电路决定，单位是弧度/伏。 p（2）特征 一是瞬时相位随调制信号线性变化，即ωt+ϕ(t)=ωt+Km(t)；二是瞬时频率随调制信号的ccPd[ωt+ϕ(t)]dm(t)c导数线性变化，即=ω+K。 cPdtdt（3）MF和PM之间的关系 由于频率和相位之间存在微分与积分的关系，故二者之间可以相互转换。如图4-17所示。 若将调制信号先微分再调频，则得到调相波，称为间接调相。 若将调制信号先积分再调相，则得到调频波，称为间接调频。 s(t) s(t) m(t) FMm(t)FM频 率 相 位 积分器调制器 调制器 （a）直接调频 （b）间接调频 s(t) s(t) m(t) PMm(t)PM 相 位 频 率 微分器调制器 调制器 （c）直接调相 （d）间接调相 图4-17 调频与调相之间的关系 76
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 重要公式 1122常规幅度调制的输入信号功率及噪声功率：S=A+m(t)，N=nB ii0222常规幅度调制的输出信号功率及噪声功率：S=m(t)，N=nB 000222SA+m(t)Sm(t)i00常规幅度调制的输入、输出信噪比：=，= N2nBNnBi00022m(t)常规幅度调制的调制制度增益、带宽：G=，B=2f AMm22A+m(t)012抑制载波双边带调制的输入信号功率及噪声功率：S=m(t)，N=nB ii02112抑制载波双边带调制的输出信号功率及噪声功率：S=m(t)，N=nB 0004422SmS(t)m(t)i0抑制载波双边带调制的输入、输出信噪比：=，= N2nBNnBi000抑制载波双边带调制的调制制度增益、带宽：G=2，B=2f DSBm12单边带调制的输入信号功率及噪声功率：S=m(t)，N=nB ii04112单边带调制的输入信号功率及噪声功率：S=m(t)，N=nB 00016422SmS(t)m(t)i0单边带调制的输入、输出信噪比：=，= N4nBN4nBi000带边带调制的调制制度增益、带宽：G=1，B=f SSBm12频率调制的输入信号功率及噪声功率：S=A，N=nB ii022K2nF202频率调制的输出信号功率及噪声功率：S=m(t)，N=f 00m224π3A2223AkSSAf02i频率调制的输入、输出信噪比：=，=m(t) 23N2nBN8πnfi000mS/N002频率调制的调制制度增益、带宽：G==3m(m+1)，B=2f(m+1) ffFMmfS/经典例题 例1 采用相干解调接收双边带信号Acosωtcosωt，已知f=2kHz，输入噪声的单边功率谱密度mcm−8为n=2×10W/Hz。试求在保证输出信噪比为20dB的条件下，A值为多少？ 0解：输出噪声功率为 77
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 11−8−5 N=nB=×2×10×2×2000=2×10(W) 0044输出信号功率为 2211AA2 S=m(t)=×= 04428S0−3由于要求=100，得到S=2×10(W)，得到 0N0 A=8S==(V) 0评注：考查双边带调制信号的带宽，相干解调时输出信号功率和噪声功率，以及正弦波功率的计算。 提示：正弦波的波峰因素K=2。 p63例2 某单音调频信号S=10cos[(10πt)+8cos(10πt)]V，试问信号功率、调频指数、相应的调制信号m表达式？（西安电子科技大学2002年考研试题） 答：根据题意可得 3d[8cos(10πt)]33=−8×10πsin(10πt) dt33由于ω=10π，K=8×10π，A=10V，得到信号功率为 mF2A100S===50(W) 22调频指数为 3K8×10πFm===8 f3ω10πm3由Km(t)dt=8cos(10πt)得到相应的调制信号表达式为 F∫′3⎛⎞8cos(10πt)3⎜⎟m(t)==−sin(10πt) ⎜⎟KF⎝⎠评注：考查单音频信号的信号功率、调频指数的计算，以及调频信号表达式的组成。 例3 设本地载波与发送载波的频率误差和相位误差分别为Δω和Δϕ，试分析对BSD信号相干解调结果的影响。 解：根据BSD相干解调的原理框图可知，本地载波与发送载波相乘后为 scos(ωt+Δωt+Δϕ)=m(t)cosωtcos(ωt+Δωt+Δϕ)DSBccc 11=m(t)cos(Δωt+Δϕ)+m(t)cos(2ωt+Δωt+Δϕ)c22经低通滤波器后，输出为 1 m(t)=m(t)cos(Δωt+Δϕ) 02若Δω=0，则解调器输出功率下降，及相位误差Δϕ使解调器输出功率下降。若Δω≠0，则解调器输出失真。 评注：考查相干解调时要求本地载波相位与发送载波相位完全相同，故又称为同步解调。 78
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 名词中英文对照 analog modulation模拟调制 Amplitude Modulation，简称AM，幅度调制 carrier wave，载波 base-band，基带 band-pass filter，带通滤波器 demodulation解调 demodulator，解调器 digital modulation数字调制 oDuble Side Band-Suppressed aCrrier，简称BSD，双边带调制 Frequency Modulation，简称MF，频率调制 frequence band，频带 frequence spectrum，频谱 frequence bandwidth，带宽 linear modulation线性调制 lower sideband，下边带 low-pass filter，低通滤波器 modulation调制 modulator，调制器 narrow band frequency modulation，简称BNMF，窄带调频 Phase Modulation，简称PM，相位调制 phase locked loop，简称PLL，锁相环 Single side band，简称BSS，单边带调制 Vestigial-side band，简称VBS，残留边带调制 voltage cortrol oscillator，简称VOC，压控振荡器 upper sideband，上边带 wide band frequency modulation，简称WBMF，宽带调频 练习与思考 练习题 4-1 已知线性调制信号表示式如下 （1）cosΩtcosωt （2）(1+Ωt)cosωt cc式中，ω=6Ω，试分别画出它们的波形图和频谱图。 c解：（1）设f(t)=cosΩtcosωt，则其频谱为 1c1F(ω)={π[δ(ω−Ω)+δ(ω+Ω)]×π[δ(ω−ω)+δ(ω+ω)]}1cc2π π=δ(ω−7Ω)+δ(ω+5Ω)+δ(ω−5Ω)+δ(ω+7Ω)2 其波形图和频谱图略。 （2）设f(t)=(1+Ωt)cosωt，则其频谱为 2c 79
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎧π⎫(ω)=π[δ(ω−ω)+δ(ω+ω)]+[δ(ω−Ω)+δ(ω+Ω)]×π[δ(ω−ω)+δ(ω+ω)]⎨⎬1cccc2πj⎩⎭ jπ=πδ(ω−6Ω)+δ(ω+6Ω)+δ(ω−7Ω)+δ(ω+5Ω)+δ(ω−5Ω)+δ(ω+7Ω)4其波形图和频谱图略。 4-2 略 44-3 已知调制信号m(t)=cos(2000πt)+cos(4000πt)，载波为cos(10πt)，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表示式，并画出其频谱图。 解：上边带的时域表达式为 11ˆs(t)=m(t)cosωt−m(t)cosωtmcc221144=[cos(2000πt)+cos(4000πt)]cos10πt−[sin(2000πt)+sin(4000πt)]cos10πt22144=cos(2000πt)cos10πt+cos(4000πt)cos10πt]2144 −sin(2000πt)cos10πt+sin(4000πt)cos10πt 21=[cos12000πt+cos8000πt+cos14000πt+cos6000πt41−cos8000πt−cos12000πt+cos6000πt−cos14000πt]411=cos12000π+cos14000π22 其付立叶变换为 ππ S(ω)=[δ(ω+12000π)+δ(ω−12000π)]+[δ(ω+14000π)+δ(ω−14000π)] M22 下边带的时域表达式为 11ˆs(t)=m(t)cosωt+m(t)cosωtmcc221144=[cos(2000πt)+cos(4000πt)]cos10πt+[sin(2000πt)+sin(4000πt)]cos10πt221 =cos12000πt+cos8000πt+cos14000πt+cos6000πt 41+cos8000πt−cos12000πt+cos6000πt−cos14000πt411=cos8000π+cos6000π22 其付立叶变换为 ππ S(ω)=[δ(ω+8000π)+δ(ω−8000π)]+[δ(ω+6000π)+δ(ω−6000π)] M224-4 将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。若此滤波器的传输函数H(ω)如图4-18所示（斜线段为直线）。当调制信号为m(t)=A[sin100πt+sin6000πt]时，试确定所得残留边带信号的表达式。 解：设调幅波为s(t)=[m+m(t)]cosωt，其中m>A。根据残留边带滤波器在载波f处具有互AM0c0c补对称特性，可以得出载频f=10kHz，得到 c80
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 s(t)=[m+A(sin100πt+sin6000πt)]cos20000πtAM0 =mcos20000πt+Asin100πtcos20000πt+Asin6000πcos20000πt 0AA=mcos20000πt+[sin20100πt−sin19900πt]+[sin26000πt−sin14000πt]022H(ω) 1 −− − 图4-18 题4-4图 其付立叶变换为 jπAS(ω)=πm[δ(ω+20000π)+δ(ω−20000π)]+[δ(ω+20100π)−δ(ω−20100π)]AM02jπAjπA −δ(ω+19900π)−δ(ω−19900π)+δ(ω+26000π)−δ(ω−26000π) 22jπA−[δ(ω+14000π)−δ(ω−14000π)]2根据残留边带滤波器的传输特性，有 f=±10kHz，即ω=±20000π，H(ω)= f=±，即ω=±20100π，H(ω)= f=±，即ω=±19900π，H(ω)= f=±13kHz，即ω=±26000π，H(ω)=1 f=±7kHz，即ω=±14000π，H(ω)=0 得到残留边带信号的频域表达式为 S(ω)=S(ω)H(ω)VSBAM=πm[δω+20000π)+δ(ω−20000π)]0jπA +δ(ω+20100π)−δ(ω−20100π) 2jπA−δ(ω+19900π)−δ(ω−19900π)2jπA+[δ(ω+26000π)−δ(ω−26000π)]2得到时域表达式为 mA0 s(t)=cos20000πt+πt−πt+sin26000πt] VSB224-5 某调制方框图如图4-18（b）所示。已知m(t)频谱图如图4-19（a）所示，载频ω<<ω，ω>ω，121H且低通滤波器的截止频率为ω，试求输出信号s(t)，并说明s(t)为何种已调信号。 1解：设m(t)与cosωt相乘后的输出为 1s(t)=m(t)cosωt 11显然s(t)为双边带信号。经理想低通滤波器后，输出信号为′s(t)为一个下边带信号，即 1111′ˆ s(t)=m(t)cosωt+m(t)sinωt 11122同样，m(t)与sinωt相乘后的输出为 1 81
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 s(t)=m(t)sinωt 21s(t)经理想低通滤波器后，输出信号为′s(t)也是一个下边带信号，即 2211′ˆ s(t)=m(t)sinωt−m(t)cosωt 21122 乘法器理想低通相乘器 M(ω) A cosωt cosωts(t)2m(1t) 相加器 sinωt sinωt21 ω ω H 乘法器理想低通相乘器 图4-19 题4-5图 得到调制器的输出信号为 ′′s(t)=s(t)cosωt+s(t)sinωt12221111⎡⎤⎡⎤=mˆˆ(t)cosωt+m(t)sinωtcosωt+m(t)sinωt−m(t)cosωtsinωt112112⎢⎥⎢⎥2222⎣⎦⎣⎦ 11mˆ=(t)[cosωtcosωt+sinωtsinωt]+m(t)[sinωtcosωt−cosωtsinωt]121212122211mˆ=(t)cos(ω−ω)t−m(t)sin(ω−ω)t212122得到s(t)是一个角频率为ω−ω的上边带信号。 214-6 某调制系统如图4-20所示。为了在输出端同时分别得到f(t)和f(t)，试确定接收端的c(t)和121c(t)。 2 f(t) f(t) 11 乘法器 乘法器低通 cosωt 0c(t) 1相加器sinωt c(t)02 f(t) f(t) 22乘法器 乘法器低通 发送端 接收端 图4-20 题4-6图 解：发送端的发送信号为 f(t)=f(t)cosωt+f(t)sinωt 1020设接收端采用相干解调，c(t)=cosωt，则上支路输出为 10f(t)=f(t)c(t)=[f(t)cosωt+f(t)sinωt]cosωt0110200 111=f(t)+f(t)cos2ωt+f(t)sin2ωt11020222经理想低通滤波器后上支路输出为 82
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 1′ f(t)=f(t) 012设c(t)=sinωt，则下支路输出为 20f(t)=f(t)c(t)=[f(t)cosωt+f(t)sinωt]sinωt0210200 111=f(t)sin2ωt+f(t)−f(t)cos2ωt10220222经理想低通滤波后下支路输出为 1′ f(t)=f(t) 022−34-7某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度P(f)=×10W/Hz，在该信道中传输抑制载波的双n边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz，而载波为100kHz，已调信号的功率为10kW。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过带宽为10kHz的一理想带通滤波器滤波，试问： （1）该理想带通滤波器中心频率为多大？ （2）解调器输入端的信噪功率比为多少？ （3）解调器输出端的信噪功率比为多少？ （4）求解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图形表示出来。 解：（1）该理想带通滤波器是用于滤除带外噪声，并保证已调信号顺利通过。由于已调信号的中心频率为载频100kHz，带宽为m(t)带宽的两倍，即B=2×5=10kHz。为保证信号顺利通过，理想带通滤波器的传输特性为 ⎧K,95kHz≤f≤105kHz H(ω)= ⎨0,其他⎩ K为常数，中心频率为100kHz。 （2）输入端的噪声功率为 −33 N=nB=2P(f)B=2××10×10×10=10(W) i0n已知信号的输入功率为 3 S=10kW=10×10W i得到解调器输入端的信噪比为 3S10×10i ==1000=30(dB) N10i（3）由于双边带调制系统的调制制度增益G=1，得解调器输出端的信噪比为 SS0i =2=2000=33(dB) NN0i（4）由于相干解调后，解调器输入输出端的噪声功率关系为 1 N=N=(W) 0i4得到解调器输出端的噪声功率谱密度为 −3 P===×10 n032B2×5×1014-8 若对某一信号用BSD进行传输，设加至接收机的调制信号m(t)之功率谱密度为 83
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎧fnm⋅,f≤f⎪m P(f)= ⎨2fmm⎪0,f>fm⎩试求： （1）接收机的输入信号功率； （2）接收机的输出信号功率； （3）若叠加于BSD信号的白噪声具有双边带功率谱密度为n/2，设解调器的输出端接有截止频0率为f的理想低通滤波器，那么输出信噪功率比是多少？ m解：（1）设BSD已调信号为s(t)=m(t)cosωt，则接收机 输入信号功率为 DSBcfm2+∞fmnnnf111ff22mmmm S=s(t)=m(t)=P(f)df=×2⋅df=⋅= iDSBm∫∫−∞02222f2f24mm01（2）相干解调后，接收机的输出信号为m(t)=m(t)，则输出信号功率为 02nf122mm S=m(t)=m(t)= 0048（3）解调器输入噪声功率为 n0 N=2××B=2nf i0m2经过相干解调后，解调器的输出噪声功率为 nf10m N=N= 0i42则接收机的输出信噪比为 nfmmSn08m == nfN4n0m002−34-9 某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度P(f)=×10W/Hz，在该信道中传输抑制载波的单n边带（上边带）信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz，而载波为100kHz，已调信号的功率为10kW。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器滤波，试问： （1）该理想带通滤波器的中心频率为多大? （2）解调器输入端的信噪功率比为多少？ （3）解调器输出端的信噪功率比为多少？ 解：（1）单边带信号的载频100kHz，带宽B=5kHz。为保证信号顺利通过，理想带通滤波器的传输特性为 ⎧K,100kHz≤f≤105kHz H(ω)= ⎨0,其他⎩ 其中K为常数，中心频率为。 （2）解调器输入端的噪声功率为 −33 N=nB=2P(f)B=2××10×5×10=5(W) i0n84
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 已知输入信号功率为S=10kW，则输入端的信噪比为 i3S10×10i ==2000 N5i （3）由于单边带调制系统的调制制度增益为G=1，得解调器输出端的信噪比为 SSS0ii =G==2000 NNN0ii−94-10 某线性调制系统的输出信噪比为20dB，输出噪声功率为10W，由发射机输出端到解调器输入之间总的传输损耗为100dB，试求： （1）BSD/CS时的发射机输出功率； （2）BSS/CS时的发射机输出功率。 S0解：（1）在BSD/CS方式中，调制制度增益G=2，输出信噪比为=20dB=100，得到解调器输N0入端信噪比为 SS11i0==×100=50 NGN2i0同时，在相干解调时，输出输入端的噪声功率关系为 −9N=4N=4×10(W) i0因此解调器输入端的信号功率为 −9−7S=50N=50×4×10=2×10(W) ii考虑到发射机输出端到解调器输入之间传输损耗为100dB，可得发射机输出功率为 1010−7S=10S=10×2×10=2000(W) 0iS0（2）在BSS/CS方式中，调制制度增益G=1，输出信噪比为=20dB=100，得到解调器输N0入端信噪比为 SS1i0==100 NGNi0同时，在相干解调时，输出输入端的噪声功率关系为 −9N=4N=4×10(W) i0因此解调器输入端的信号功率为 −9−7S=100N=100×4×10=4×10(W) ii考虑到发射机输出端到解调器输入之间传输损耗为100dB，可得发射机输出功率为 1010−7S=10S=10×4×10=4000(W) 0i4-11 设调制信号m(t)的功率谱密度与题4-8相同，若用BSS 调制方式进行传输（忽略信道的影响），试求： （1）接收机的输入信号功率； （2）接收机的输出信号功率； （3）若叠加于BSS信号的白噪声具有双边带功率谱密度为n/2，设解调器的输出端接有截止频率0 85
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 为fHz的理想低通滤波器，那么，输出信噪功率比是多少？ m（4）该系统的调制制度增益G为多少？ 解：（1）设BSS已调信号为 11ˆ s(t)=m(t)cosωtmm(t)sinωt ssBcc22 接收机输入信号功率为 fm2+∞fmnnnf111ff22mmmm S=s(t)=m(t)=P(f)df=×2⋅df=⋅= iSSBm∫∫−∞04442f4f28mm01（2）相干解调后，接收机输出信号为m(t)=m(t)，故接收机输出信号功率为 04nf122mm S=s(t)=m(t)= 001632（3）相干解调后，接收机输出噪声功率为 111 N=N=nB=nf 0i00m444得到输出信噪比为 nfmmSn032m == 1N8n00nf0m4nfmmSni8m（4）由于==，得到调制制度增益为 Nnf8ni0m0nmS/N8n000 G===1 nS/Nmii8n02S/N2m(t)004-12 试证明，当AM信号采用同步检测法进行解调时，其制度增益与公式G==的22S/NiiA+m(t)结果相同。 解：设AM已调信号为s=[A+m(t)]cosωt AMc解调器输入的信号功率为 11222S=s(t)=A+m(t) iAM22解调器输入的噪声功率为 N=nB i0解调器输入信噪比为 22SA+m(t)i= N2nBi011AM信号经相乘和低通滤波后，输出的有用信号为m(t)=m(t)，噪声为n(t)=n(t)，得 00c2286
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 解调器输出的信号功率为 122S=m(t)=m(t) 004解调器输出的噪声功率为 1122N=n(t)=n(t)=nB 00c044解调器输出信噪比为 2Sm(t)0= NnB00所以调制制度增益为 22S/Nm(t)/nB2m(t)000G=== 2222S/N⎡⎤iiA+m(t)A+m(t)/2nB0⎢⎥⎣⎦−34-13 某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度P(f)=×10W/Hz，在该信道中传输振幅调制信n号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz，载波为100kHz，边带功率为10kW，载波功率为40kW。若接收机的输入信号先经过一个合适的理想带通滤波器，然后再加至包络检波器进行解调。试问： （1）解调器输入端的信噪功率比； （2）解调器输出端的信噪功率比； （3）制度增益G。 解：（1）设AM信号的表达式为s(t)=[A+m(t)]cosωt，则已调信号功率为 AMc22Am(t) S=+=40+10=50(kW) i22 解调器输入端的噪声功率为 −33 N=nB=2P(f)B=2××10×2×5×10=10(W) i0n得到输入信噪比为 3S50×10i ==5000 N10i（2）包络检波器的输出信号功率为 2 S=m(t)=20(kW) 0解调器的输出噪声功率为 N=nB=10W 00得到输出信噪比为 3S20×100 ==2000 N100（3）调制制度增益为 S/N2000200 G=== S/N50005ii4-14 设被接收的调幅信号为s(t)=A[1+m(t)]cosωt，采用包络检波法解调，其中m(t)的功率谱密mc 87
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 度与题4-8相同。若一双边功率谱密度为n/2的噪声叠加于已调信号，试求解调器输出的信噪功0率比。 解：信号功率为 +∞fmnnff2mmm S=m(t)=P(f)df=2df= 0m∫∫−∞02f2m噪声功率为 N=nB=2nf 000m解调器输出信噪比为 nfmmSn02m == N2nf4n00m04-15 试证明：若在残留边带信号中加入大的载波，则可用包络检波法实现解调。 解：设调制信号为m(t)，残留边带滤波器特性为h(t)，则 +∞s(t)=[m(t)cosωt]∗h(t)=m(t−τ)cosω(t−τ)h(τ)dτVSBcc∫−∞+∞=m(t−τ)[cosωtcosωτ+sinωtsinωτ]h(τ)dτcccc∫ −∞+∞+∞=cosωtm(t−τ)cosωτh(τ)dτ+sinωtm(t−τ)sinωτh(τ)dτcccc∫∫−∞−∞=[m(t)∗h(t)]cosωt+[m(t)∗h(t)]sinωtccsc 其中h(t)=h(t)cosωt，h(t)=h(t)sinωt ccsc根据残留边带滤波器的特性 H(ω+ω)+H(ω−ω)=C（ω<ω） VSBcVSBcH有 m(t)∗h(t)⇔M(ω)[H(ω+ω)+H(ω−ω)]=CM(ω) ccc即 m(t)∗h(t)=Cm(t) c假设在残留边带信号中加入一个大载波 s(t)=s(t)+Acosωt=[cm(t)+A]cosωt+[m(t)∗h(t)]sinωt VSBccsc其中包络为 22 v(t)=[cm(t)+A]+[m(t)∗h(t)]≈cm(t)+A s由此可见，取出直流后可以恢复原始基带信号。 4-16 设一宽带信号频率调制系统，载波振幅为100V，频率为100MHz，调制信号m(t)的频带限制22于5kHz，m(t)=5000V，k=500πrad/(s⋅V)，最大频偏Δf=75kHz，并设信道中噪声功率谱密度f−3是均匀的，其P(f)=10W/Hz（单边谱），试求： n（1）接收机输入端理想带通滤波器的传输特性H(ω)； （2）解调器输入端的信噪功率比； （3）解调器输出端的信噪功率比； （4）若m(t)以调振幅方法传输，并以包络检波器检波，试比较在输出信噪功率比和所需带宽方面与频率调制系统有何不同？ 88
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 3Δf75×10解：（1）由于m===15，得信号带宽为 f3f5×10m B=2(Δf+f)=2(m+1)=2×(15+1)×5=160(kHz) mf得到理想带通滤波器的传输特性为 ⎧K,<f< H(f)= ⎨0,其他⎩其中K为常数，中心频率为100MHz。 （2）设解调器输入端的信号为 t⎡⎤ s(t)=Acosωt+Km(τ)dτ mcf⎢⎥∫−∞⎣⎦则输入信号功率为 22A100 S===5000(W) i22输入噪声功率为 −33 N=P(f)B=10×160×10=160(W) inS5000i == N160i（3）根据调频信号信噪比的计算公式得 22223AkS3×100×(500π)×5000f02 =m(t)==37500 233N2−338πnf00m8π×10×(5×10)（4）若m(t)以调振幅方法传输，则所需带宽为 B=2f=10(kHz)<B=160kHz AMmFMB160FM即 ==16 B10AM包络检波时，输出信噪比为 2⎛⎞⎛⎞SmS(t)500000⎜⎟⎜⎟ ===500<=37500 ⎜⎟−33⎜⎟NnBN10×10×10⎝0⎠0⎝0⎠AMFM(S/N)3750000FM即 ==75 (S/N)50000AM由此可见，频率调制系统于振幅调制系统相比，是通过增加信号带宽，提高了输出信噪比的。 思考题 4-1 什么是线性调制？常见的线性调制有哪些？ 答：线性调制是指输出已调信号的频谱和调制信号的频谱之间呈线性搬移关系，即已调信号的频谱完全是调制信号频谱结构在频域内的简单搬移。常见的线性调制有调幅（AM），双边带（SDB），单边带（BSS）和残留边带调制（VSB）等。 4-2 略 89
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 4-3 什么叫调制制度增益？其物理意义如何？ 答：调制制度增益定义为解调器的输出信噪比与输入信噪比的比值。其物理意义是对解调器的抗噪声性能进行评价。 4-4 双边带调制系统调制器的输入信号功率为什么与载波功率无关？ 答：双边带调制系统中调制器输入的基带信号没有直流分量，其输出的已调信号是无载波分量的双边带调制信号，有时也称为抑制载波双边带调制信号。 4-5 如何比较两个系统的抗噪声性能？ 答：在解调器输入噪声功率谱密度相同、输入信号功率也相同的情况下，由于双边带信号的带宽是单边带信号带宽的两倍，使得双边带的输入噪声功率和输出噪声功率均是单边带的两倍。因此尽管双边带调制器的调制制度增益是单边带的两倍，但其实际性能并不优于单边带的解调性能。 4-6 BSD调制系统和BSS调制系统的抗噪声性能是否相同？为什么？ 答：从抗噪声的观点看，单边带和双边带调制系统的抗噪声性能是相同的。 4-7 什么是门限效应？AM信号采用包络检波法解调时为什么会产生门限效应？ 答：当包络检波器的输入信噪比降低到一个特定数值后，检波器的输出信噪比急剧恶化的现象称为门限效应。这是因为在小信噪比情况下，包络检波器输出端没有单独的信号项，有用信号被噪声扰乱。其根本原因是由包络检波器的非线性性引起的。 90
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第五章 数字基带传输系统 知识点结构框架 本章的知识点结构框架如图5-1所示。 基带传输系统 基带信号波形基带信号频谱抗噪声性能 单极性 双极性归零码 不归零码单极性双极性噪声码间干扰 奈奎斯特2准则奈奎斯特1准则时域均衡眼图 图5-1 知识点结构框图 教学要求 （1）了解数字基带信号的常用码型、眼图的基本概念、时域均衡、部分响应系统的基本理论； （2）熟悉和理解数字基带信号的频谱特性分析，以及脉冲传输与码间干扰的概念； （3）掌握无码间干扰等效传输条件、无码间干扰基带系统的抗噪性能公式。 难点重点 教学难点：无码间干扰传输的条件，升余弦波形，部分响应波形。 教学重点：码间干扰的定义，无码间干扰的基带传输特性，无码间干扰时的基带系统抗噪声性能。 教学安排 本章共分为9节，即数字基带传输概述、数字基带信号及抗噪声性能、基带传输的常用码型、基带脉冲传输与码间干扰、无码间干扰的基带传输特性、部分响应系统、基带传输系统的抗噪声性能、眼图、时域均衡。讲授10学时，其具体安排见表5-1。讲授采用多媒体课件和板书相结合的方式。 表5-1 课时安排 学时 教学内容 第一讲 2 数字基带传输概述； 数字基带信号及抗噪声性能。 基带传输的常用码型； 基带脉冲传输与码间干扰； 无码间干扰的第二讲 2 基带传输特性。 第三讲 2 部分响应系统。 91
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第四讲 2 基带传输系统的抗噪声性能； 眼图。 第五讲 2 时域均衡。 第一讲安排 （1）教学要求 了解基带传输的概念、特点和组成、以及常用的基带信号波形，熟悉和理解基带信号的数学表达式及含义，掌握基带信号中交变波和稳态波的频谱分析及在单双极性条件下的频谱特点。 （2）难点重点 教学难点：交变波和稳态波的区分及频谱分析。 教学重点：基带传输的概念及基带信号的频谱分析。 （3）知识回顾 在第一章通信系统按照调制方式分类和第四章模拟调制系统中均介绍了基带信号的概念及其特点，基带信号是原始电信号、低通信号、调制信号，是频带信号的基础，虽然基带信号只能在具有低通特性的有线信道中传输，但它是频带传输的基础。 （4）讲授提纲 本章知识点结构 数字基带传输概述 基带传输的概念 基带传输的特点 基带传输的意义 基带传输系统的组成 基带传输系统中各部分的作用（信道信号形成器，信道，接收滤波器，抽样判决器） 基带传输系统各点波形图 本章重点 数字基带信号及其频谱特性 数字基带信号（单极性不归零波形，双极性不归零波形，单极性归零波形，双极性归零波形，差分波形，多电平波形） 基带信号的表达式 基带信号的频谱特性（稳态波的功率谱密度，交变波的功率谱密度） 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 数字基带信号的波形、表达式，稳态波和交变波的频谱特性分析推导。 （6）扩展知识 1）矩形脉冲的概念及参数 定义：国际电工委员会（International Electro Technical oCmmission，简称IEC）在IEC351-1中的定义为具有轮廓近似为矩形，其上升和下降时间远小于脉冲持续时间的波形。（1976年，）。 中国术语信息网的定义是阶跃时间远小于顶部持续时间的平顶脉冲；或上升时间和下降时间相对于脉冲持续时间可以忽略，而且上升和下降之间的瞬时值实际上不变的单向脉冲。 参数：脉冲周期，脉冲幅度，脉冲宽度，上升时间，下降时间，占空比。 脉冲周期：两个相邻脉冲之间的时间间隔。 脉冲幅度：脉冲电压最大变化幅度。 脉冲宽度：两个脉冲幅值的50%的时间点之间所跨越的时间。 92
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 上升时间：从脉冲幅值的10%到90%所经历的时间。 下降时间：从脉冲幅值的90%下降到10%所经历的时间。 占空比（uDty yCcle）：对于周期信号，是指在一串理想的脉冲序列中（如方波），正脉冲的持续时间与脉冲总周期的比值。对于非周期信号，是指在一段连续工作时间内脉冲占用的时间与总时间的比值。 【提示】：在讲授数字基带信号波形时补充。 2）讲授E[aa]（m≠n）时的补充 mn在概率论与数理统计中，若两个随机变量X与Y相互独立，则其联合概率为两个概率之积。⎧x，以概率P⎧y，以概率P11对于离散随机变量，若X=，Y=，则 ⎨⎨x，以概率1−Py，以概率1−P⎩2⎩22⎧xy，以概率P11⎪2xy，以概率(1−P)⎪22E[XY]=。 ⎨xy，以概率P(1−P)⎪12⎪xy，以概率(1−P)P⎩21⎧1−P，以概率P⎧1−P，以概率P由于a=，a=，得到 ⎨⎨mn−P，以概率1−P−P，以概率1−P⎩⎩22⎧(1−P)，以概率P22⎧(1−P)，以概率P⎪22⎪⎪(−P)，以概率(1−P)22E[aa]==(−P)，以概率(1−P) ⎨⎨mn(1−P)(−P)，以概率P(1−P)2⎪⎪−P(1−P)，以概率2P(1−P)⎪⎩−P(1−P)，以概率(1−P)P⎩【提示】：在讲授交变波功率谱密度时补充。 3）国际电工委员会简介 国际电工委员会是非政府性国际组织，是联合国社会经济理事会的甲级咨询机构，正式成立于1906年成月，是世界上成立最早的专门国际标准化机构。 IEC现有成员团体，包括了世界上绝大多数工业发达国家及一部分发展中国家。这些国家拥有世界人口的80%，生产和消费全世界电能的95%，制造和使用的电气、电子产品占全世界产量的90%。凡要求参加IEC的国家，应先在其国内成立国家电工委员会，并承认其章程和议事规则。被接纳为IEC成员后，该电工委员会就成为这个国家委员会，代表本国参加IEC的各项活动。每一个国家只能有一个组织作为该国IEC国家安全部委员会，参加IEC 的各项活动。我国于1957年1月以中华人民共和国动力会议国家委员会的名义向IEC提出入会申请，同年8月被接纳为会员。1960年9月我国确定以中国电机工程学会代替动力会议国家委员会作为我国的IEC国家委员会。1982年月1日又以中国标准化协会代替中国电机工程学会作为我国国家委员会，参加IEC的各项活动，后又改用国家标准局、国家技术监督局的名义参与IEC的活动。 IEC的宗旨是促进电气、电子工程领域中标准化及有关问题的国际合作，增进国际间的相互了解。为此，IEC出版包括国际标准在内的各种出版物，并希望各成员国在本国条件允许的情况下，在本国的标准化工作中使用这些标准。 IEC的组织机构主要由理事会、执行委员会、认证管理委员会、专门委员会和若干技术委员会组成。理事会是最高权力机关，由IEC主席、副主席、前任主席和秘书长组成（后两者无表决权）。 IEC下设技术委员会（TC）、分技术委员会（CS）和工作组（WG）。每一个技术委员会负责一个专业的技术标准编制工作，其工作范围由执行委员会指定。截止1998年底，IEC共有T C104个， 93
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 SC 143个，WG 3个。共制定标准6000多个。 【提示】：在讲授补充1）时补充。 （7）互动话题 1）按照广义信道进行分类，哪种信道是基带传输，哪种是频带传输？ 第三章中，信道按照广义可以分为调制信道和编码信道。前者是指调制器输出到解调器输入之间的所有设备及媒介，是模拟信道，属于频带传输（即信道的输入输出是频带信号）。后者是指编码器输出到解码器输入之间的所有设备及媒介，是数字信道，属于基带传输（即信道输入输出是基带信号）。 【提示】：在讲授基带传输的概念时提问。 2）周期信号和非周期信号的频谱有何区别？ 周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱。 【提示】：在讲授交变波和稳态波的功率谱密度时提问。 3）为什么等概双极性信号的离散谱为零？ 由于等概双极性信号的稳态波为零，即其均值为零，故无离散谱。 【提示】：在讲授双极性信号功率谱密度时提问。 （8）思考题 教材123页5-1，5-2，5-3。 第二讲安排 （1）教学要求 了解基带传输的常用码型，熟悉和理解码间干扰的产生机理及对传输信号的影响，掌握无码间干扰基带传输的条件和等效条件。 （2）难点重点 教学难点：无码间干扰传输的理论分析。 教学重点：码间干扰的产生机理分析，无码间干扰基带传输的条件和等效条件的分析推导。 （3）知识回顾 上一讲介绍了基带传输的概念、特点及基带信号波形，分析了基带信号的频谱（稳态波为离散谱，交变波为连续谱）和单双极性波形频谱的特点。本讲将介绍数字通信中码间干扰的产生机理及无码间干扰传输的条件，这是降低无码率、保证正常通信的必需。 （4）讲授提纲 基带传输的常用码型 对信道基带信号的要求 对码型的要求 常用码型 基带脉冲传输与码间干扰 基带传输系统模型 码间干扰的产生 码间干扰的影响 无码间干扰的基带传输特性 影响码间干扰的因素 对系统总传输函数H(ω)的波形要求 (ω)的理论分析 94
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎛⎞2iπ⎜对⎟Hω+的讨论 ∑⎜⎟T⎝s⎠等效理想低通滤波器 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 码间干扰产生的推导，对系统总传输函数的理论分析，等效低通滤波器的推导。 （6）扩展知识 1）码间干扰的多种定义（网上下载） 码间干扰：在一个数字传输系统中所接收的信号的失真，该失真是表现在单个信号的暂时分散和随后的重叠，直到接收器无法准确地区分状态之间改变（如单个信号元素）的程度。 码间干扰：在一个或多个电键间隔中的额外信号能量，该能量干扰了在另外一个电键间隔的信号的接收。 码间干扰：由于来自一个或多个电键间隔中的额外信号能量所造成的干扰，它妨碍了在另外一个电键间隔内的信号接收。 码间干扰：是数字通信系统中除噪声干扰之外最主要的干扰，它与加性的噪声干扰不同，是一种乘性的干扰。造成码间干扰的原因有很多，实际上，只要传输信道的频带是有限的，就会造成一定的码间干扰。 码间串扰：系统的工作频率在一定的范围内，而在时域内的工作时间是趋向无限的，所以每隔周期采样的数字信号序列在频率受限的系统中传输时，在时间上前面的码元对后面的若干码元造成的影响称为码间串扰。 【提示】：在讲授码间干扰的产生时补充。 2）码间干扰对通信质量的影响 码间干扰影响误码率，误码率影响通信质量。误码率对话音信号的影响见表5-2。 表5-2 误码率对话音信号的影响 误码率 受话者感觉 −6话音十分清晰，觉察不到噪声和干扰 10 −5在低声讲话时刚能感觉到干扰存在，个别的喀喀声存在 10 −4在低声讲话时感觉到有干扰的存在，个别喀喀声存在 10 −3在各种话音电平时，都感到有较大干扰存在，可懂度会受到一定影响 10 −2在各种话音电平时，均会受到强烈干扰，可懂度显著降低 10 −2几乎听不懂 5×10 【提示】：在讲授码间干扰的产生时补充。 3）奈奎斯特准则和香农定理的关系 奈奎斯特准则：对于一个带宽为W（Hz）的无噪声低通信道，最高的码元传输速率为R=2W(Baud)，如果采用M进制传输，则极限信息传输速率（信道容量）Bmax为 R=2WlogM(bit/s)。由于信道总是有噪声的，因此奈奎斯特准则给出的是理论上限。 bmax2S⎛⎞香农定理：C=Blog1+(bit/s)。 ⎜⎟2N⎝⎠【提示】：在讲授无码间干扰基带传输特性的奈奎斯特第一准则时补充。 （7）互动话题 1）何谓乘性噪声，加性噪声？ 加性干扰：信号在传输时所迭加的噪声。不管信号有无，噪声始终存在。 95
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 乘性噪声：由于信道传输特性不理想而产生的噪声，包括各种线性畸变和非线性畸变等。噪声随信号的消失而消失。 【提示】：在讲授码间干扰时提问。 2）何谓误码率？ 误码率定义为在一定的观察时间内，错误码元与传输总码元之比。 【提示】：在讲授码间干扰的产生时提问。 （8）思考题 教材123页5-5，5-6。 第三讲安排 （1）教学要求 了解部分响应波形的概念、作用和五类波形的特点、以及奈奎斯特第二准则，理解和熟悉第Ⅰ类响应波形及其特点，掌握消除错误传播的方法。 （2）难点重点 教学难点：部分响应波形的推导及错误传播。 教学重点：奈奎斯特第二准则，第Ⅰ类响应波形的推导及特点，误码传播及消除方法。 （3）知识回顾 上一讲介绍了码间干扰的概念、产生机理及对通信的影响，分析了无码间干扰传输的条件和等效条件。传输特性为理想低通滤波器和等效理想低通滤波器时可以实现无码间干扰，但一是物理实现困难，二是拖尾长、衰减慢，出现定时偏差时产生很大码间干扰。升余弦滚降特性虽然加快了拖尾衰减，可以实现无码间干扰，但频率利用率降低。为此，本讲分析既可以提高频带利用率，又能使拖尾衰减快的部分响应波形。 （4）讲授提纲 部分响应系统 几个概念（研究部分响应系统的意义，奈奎斯特第二准则） 第Ⅰ类部分响应波形 部分响应的一般形式 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 第Ⅰ类部分响应波形的推导，误码传播及消除方法的分析。 （6）扩展知识 暂无。 （7）互动话题 暂无。 （8）例题 误码传播举例 输入信码 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 发送端{a} +1 -1 +1 +1-1-1-1+1-1+1+1 k接收端{c} 0 0 +20 -2-20 0 0 +2 （理论） k接收端′{c} 0 0 +20 -20 0 0 0 +2 （实际） k恢复的′{a} +1 -1 +1 +1-1-1+1-1+1-1+3 k消除误差传播举例 发送端{a} 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 k发送端{b} 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 k−196
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 发送端{b} 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 k接收端{c} 1 2 1 1 2 2 2 1 0 1 1 （理论）k接收端′{c} 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 k恢复的′{a} 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 第四讲安排 （1）教学要求 了解眼图的概念、模型和产生，熟悉和理解单双极性基带信号的抗噪声性能，掌握错判概率的计算方法和最佳门限电平的确定方法。 （2）难点重点 教学难点：误码率的计算。 教学重点：双极性基带信号和单极性基带信号条件下，错判概率的计算。 （3）知识回顾 第二章介绍了正态分布下概率的计算，尤其是误差函数的应用。上几讲介绍了码间干扰。通信中由于信道上噪声的叠加和码间干扰的存在，使得接收信号成为有噪信号，易产生误判。本讲介绍在双极性和单极性基带信号条件下误码率的计算，以及判决门限的确定。 （4）讲授提纲 基带传输系统的抗噪声性能 双极性信号 单极性信号 几点结论 眼图 眼图的概念 眼图的模型 眼图的产生 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 误码率的计算。 （6）扩展知识 1）眼图的几个参数 如图5-2所示，衡量眼图质量的几个重要参数 U+U−2ΔU+−眼图开启度：指在最佳抽样点处眼图幅度“张开”的程度，定义为。无畸变眼U+U+−图的开启度应为100%。 2ΔU“眼皮”厚度：指在最佳抽样点处眼图幅度的闭合部分与最大幅度之比，定义为。无U+U+−畸变眼图的“眼皮”厚度应等于0。 ΔT交叉点发散度：指眼图过零点交叉线的发散程度，定义为。无畸变眼图的交叉点发散度应Ta为0。 正负极性不对称度：指在最佳抽样点处眼图正、负幅度的不对称程度。无畸变眼图的极性不对称度应为0。 97
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 图5-2 眼图的描述 【提示】：在讲授眼图的概念时补充。 （7）互动话题 1）何谓单极性和双极性信号？ 单极性信号：是指用正脉冲和零分别代表数字信号1和0。 双极性信号：是指用正脉冲和负脉冲分别代表数字信号1和0。 【提示】：在讲授基带传输系统的抗噪声性能时提问。 2）眼图张开信号能够判决，眼图闭合信号无法判决。眼图开闭与门限值有何关系？ 当抽样值大于或小于门限值时，眼图张开。当抽样值等于门限值时，眼图闭合。眼睛张开得越大，实际判决越准确。所以，可以通过眼图的开启度来衡量和比较基带信号的质量，并以此为依据来调整信号在信道中的传输特性，使信号在通信系统信道中传输尽最大可能接近于最佳工作状态。 【提示】：在讲授眼图的产生时提问。 （8）思考题 教材123页5-9，5-10，5-11。 第五讲安排 （1）教学要求 了解均衡的概念、作用和分类，理解利用均衡器消除码间干扰的基本原理，掌握横向滤波器作为自适应均衡器消除和消弱码间干扰的方法、以及均衡效果的评价指标。 （2）难点重点 教学难点：均衡器消除码间干扰的基本原理。 教学重点：均衡器消除和消弱码间干扰的机理及评价指标。 （3）知识回顾 在数字通信系统中，由于码间干扰的存在，出现了误码，降低了通信质量。为了改善通信效果，就需要在接收端加装均衡器，以消除和消弱码间干扰。在数字信号处理中，横向滤波器是一种有限冲激响应滤波器，可以作为自适应均衡器，利用改变抽头系数来补偿信道的非理想特性。 （4）讲授提纲 时域均衡 时域均衡原理 均衡效果的衡量 均衡器的实现与调整 具体内容见PPT课件。 98
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （5）板书提纲 均衡器的基本原理，横向滤波器的原理，均衡效果的评价指标。 （6）扩展知识 1）横向滤波器自适应均衡器的原理 横向滤波器的概念在《数字信号处理》课程中已经涉略，现进行简要补充。 横向滤波器的结构如图5-3所示。 y(n) y(n−1)y(n−L+1) −1−1−1Z ZZ w(n) w(n) w(n)0× 1×w(n) ×L−2×L−1 ∑ ~x(n) 图5-3 横向滤波器的结构图 设横向滤波器的输入序列矢量Y(n)为 TY(n)=[y(n)，y(n−1)，L，y(n−L+1)] 滤波器的加权矢量（或称系数矢量）W(n)为 TW(n)=[w(n)，w(n)，L，w(n)] 01L−1~则横向滤波器的输出x(n)可表示为 L−1~TTx(n)=w(n)y(n−i)=Y(n)W(n)=W(n)Y(n) i∑i=0式中，L为横向滤波器的长度。 ~设d(n)为系统的期望响应信号，也称为训练信号，e(n)为滤波器的输出x(n)相对于d(n)的误差，即 ~Te(n)=d(n)−x(n)=d(n)−Y(n)W(n) 按照最小均方误差准则（Minimum Mean qSuare Error，简称MMSE），定义滤波器的输出与期望响应之间的均方误差为代价函数，即 22⎡T⎤J(n)=E[e(n)]=Ed(n)−Y(n)W(n)⎢⎥⎣⎦ 2TTT=E[d(n)]−2E[d(n)Y(n)]W(n)+W(n)E[Y(n)Y(n)]W(n)TT定义R=E[Y(n)Y(n)]为均衡器输入序列的自相关矩阵，是一个L×L阶方阵；P=E[d(n)Y(n)]为互相关矩阵。 于是，上式可表示为 2TTJ(n)=E[d(n)]−2W(n)P+W(n)RW(n) 99
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 根据最小均方误差准则，使上式对W(n)的梯度（即偏导）为零，即 ∂J(n) ∇J(n)==2RW(n)−2P=0 ∂W(n)∗则可得到W(n)的最佳值W(n)应满足方程 ∗−1W(n)=RP ∗式中，W(n)称为横向滤波器的维纳（Wiener）解，即最佳滤波器系数矢量。由于均方误差（Mean Square Error，简称MSE）函数（即代价函数）是滤波器系数W(n)的二次方程，故形成了一个多维的超抛物曲面，好象一个碗状曲面且只有唯一的碗底最小点，通常称为滤波器的误差性能曲面。当给定初始值W(0)时，均方误差就位于误差性能曲面上的某一点，系数的自适应调节使得均方误差超碗底的最小点方向移动，最终到达碗底的最小点，实现了最佳维纳滤波。 在自适应均衡中，需要将上式变为自适应算法。目前，人们提出了不少梯度估计的方法，其中最著名、应用最广的是提出的最小均方算法（Least Mean Square Algorithm，简称LMS算法）。其算法的核心思想是用平方误差代替均方误差，即 22∂J(n)∂E[e(n)]∂e(n) ===−2e(n)Y(n) ∂W(n)∂W(n)∂W(n)根据最陡下降法得到LMS自适应均衡算法公式为 ∂J(n)W(n+1)=W(n)+μ=W(n)+2μe(n)Y(n) ∂W(n)式中，μ为步长因子。 【提示】：在讲授自适应均衡器时补充。 2）维纳简介 维纳（.NWiener）（1894~1964）：美国数学家，控制论的创始人。1948年维纳发表名著《控制论，或关于在动物和机器中控制与通信的科学》，成为控制论的创始人。此后，他积极传播控制论思想，发表了许多重要的著作和论文。1950年发表名著《人与人的用处──控制论与社会》。1963年与.谢德合编《神经、大脑和记忆模型》（二卷），1964年与.谢德合编《神经控制论》和《生物控制论进展》（三卷）。 【提示】：在讲授自适应均衡器时补充。 （7）互动话题 1）数字滤波器和均衡器的关系是什么？ 数字滤波器：是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号频谱的目的。数字滤波器一词出现在60年代中期。由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实时实现。 数字均衡器：在基带系统接收端的接收滤波器和抽样判决器之间插入一种可调滤波器，用以校正或补偿系统特性，减小码间干扰的影响，这种滤波器称为均衡器。均衡器分为模拟均衡器和数字均衡器。最早的是模拟均衡器，出现在19世纪30年代发明的，用来校正声音的不足，开始主要用途在好莱坞电影制片厂。其定义为一种可以分别调节各种频率成分电信号放大量的电子设备，通过对各种不同频率的电信号的调节来补偿扬声器和声场的缺陷，以补偿和修饰各种声源及其它特殊作用。 二者的关系为：凡是起补偿作用的滤波器统称为均衡器。 【提示】：在讲授时域均衡的概念时补充。 （8）例题习题 100
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 例题： 习题：教材124页5-5，125页5-12，126页5-13，127页5-22。 核心内容 基本概念 （1）基带传输的定义 基带传输是指不经过调制而直接进行传输的一种方式，即发送端不使用调制器，接收端也不使用解调器。 （2）基带传输的特点 一是基带信号含有大量的低频分量以及直流分量；二是基带信号只能在具有低通特性的信道中传输。 （3）基带传输的意义 一是基带传输是频带传输的基础。在频带传输中同样存在基带传输的问题。因为信道的含义是相对的，若把调制解调器包括在信道中（如广义信道），则频带传输就变成了基带传输。二是随着数字通信技术的发展，基带传输方式也有迅速发展的趋势。不仅用于低速数据传输，而且还用于高速数据传输。三是理论上可以证明，任何一个采用线性调制的频带传输系统，总可以由一个等效的基带传输系统所替代 （4）基带传输系统的组成 基本结构如图5-4所示。主要由信道信号形成器、信道、接收滤波器和抽样判决器组成。为了保证系统可靠有序地工作，还应有同步系统。 基带脉 基带脉 信道信号 信道接收滤波器抽样判决器形成器 冲输入 冲输入 干扰 图5-4 数字基带信号传输系统的基本结构 基带信号波形 常用的基带信号波形有单极性不归零波形（Single non-return zero code），双极性不归零波形（bipolar non-return zero code，简称Bi-RNZ），单极性归零波形（iSngle r return zero code），双极性归零波形（bipolar return zero code，简称Bi-RZ），差分波形，多电平波形等。 （1）单极性不归零波形 如图5-5（a）所示，是一种最简单、最常用的基带信号形式。该信号脉冲的零电平和正电平分别对应二进制代码0和1，即在一个码元时间内用脉冲的有或无来对应表示0码或1码。特点是极性单一，有直流分量，脉冲之间无间隔，位同步信息包含在电平的转换之中，当出现连0序列时没有位同步信息。 （2）双极性不归零波形 如图5-5（b）所示，脉冲的正、负电平分别对应于二进制代码1和0，脉冲之间无间隔。由于它是幅度相等极性相反的双极性波形，故当0和1符号等可能出现时无直流分量。这样，恢复信号的判决电平为0，因而不受信道特性变化的影响，抗干扰能力较强，故双极性波形有利于在信道中传输。 （3）单极性归零波形 如图5-5（c）所示，单极性归零波形与单极性不归零波形的区别是有电脉冲宽度小于码元宽度， 101
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 每个电脉冲在小于码元长度内总要回到零电平，所以称为归零波形。单极性归零波形可以直接提取定时信息，是其他波形提取位定时信号时需要采用的一种过渡波形。 （4）双极性归零波形 如图5-5（d）所示，每个码元内的脉冲都回到零点平，即相邻脉冲之间必定留有零电位的间隔。除了具有双极性不归零波形的特点外，还有利于同步脉冲的提取。 （5）差分波形 如图5-5（e）所示，该波形不是用码元本身电平表示消息代码，而是用相邻码元间电平的跳变和不变来表示消息代码。图中，以电平跳变表示1，以电平不变表示0，当然上述规定也可以反过来。由于差分波形是以相邻脉冲电平的相对变化来表示代码，因此称它为相对码波形，而相应地称前面的单极性或双极性波形为绝对码波形。差分波形可以消除设备初始状态的影响，特别是在相位调制系统中用于解决载波相位模糊问题。 （6）多电平波形 如图5-5（f）所示，波形的一个脉冲可以代表多个二进制符号，故在高数据速率传输系统中，采用这种信号形式是适宜的。如令两个二进制符号00对应3+E，01对应+E，10对应-E，11对应-3E，则所得波形为4电平波形。 1 0 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 1 E E 0 -E （a） （b） 1 0 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 1 E E 0 -E （c） （d）00 +3E 1 1 1 1 0 1 001 01 +E E 1010 -E -E 11 11（e）-3E （f） 图5-5 几种常见的基带信号波形 数字基带信号的频谱 数字基带信号一般表示为 +∞ s(t)=ag(t−nT)=v(t)+u(t) ns∑n=−∞式中，v(t)为稳态波，是以T为周期的周期信号；u(t)为交变波，属随机信号；a为是第n个信息sn符号所对应的电平值（0、1或-1、1等），由信码和编码规律决定；T为码元间隔；g(t)为某种标s准脉冲波形，对于不同进制，其表达式不同。 对于二进制代码序列，若令g(t)代表“0”，g(t)代表“1”，则 12⎧g(t−nT)出现符号0时1s g(t−nT)= ⎨sg(t−nT)出现符号1时⎩2s 对于M进制代码序列，则 102
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎧g(t−nT)出现第1个符号时1s⎪g(t−nT)出现第2个符号1时⎪2s g(t−nT)= ⎨sM⎪⎪g(t−nT)出现第M符号1时⎩Ms 稳态波v(t)取决于每个码元内出现g(t)和g(t)的概率加权平均，即 12+∞ v(t)=[Pg(t−nT)+(1−P)g(t−nT)] 1s2s∑n=−∞交变波u(t)是s(t)与v(t)之差，即 u(t)=s(t)−v(t) 由于稳态波为周期信号，故其频谱为离散谱；交变波频谱为连续谱。对于双边带信号，其功率谱密度为 P(ω)=P(ω)+P(ω)svu+∞ 22=fP(1−P)G(f)−G(f)+f[PG(mf)+(1−P)G(mf)]δ(f−mf)s12s1s2ss∑m=−∞对于单边带信号，其功率谱密度为 2P(ω)=P(ω)+P(ω)=2fP(1−P)G(f)−G(f)svus12+∞ 222+2f[PG(mf)+(1−P)G(mf)]δ(f−mf)+f[PG(0)+(1−P)G(0)]δ(f)s1s2sss12ss∑m=−∞+∞+∞−j2πft−j2πft式中，G(f)=g(t)edt，G(f)=g(t)edt。 1122∫∫−∞−∞对于单极性信号，g(t)=0，g(t)=g(t)，则双边功率谱密度为 12+∞22 P(ω)=fP(1−P)G(f)+f[(1−P)G(mf)]δ(f−mf) sssss∑m=−∞⎧1≤⎡⎤tT/21sinπTfss 当P=，g(t)为矩形脉冲时，g(t)=，G(f)=T。 ⎨s⎢⎥20其他πTf⎩⎣s⎦当m=0时，G(mf)=T，说明离散谱中有直流分量；当m≠0时，G(mf)=0，说明离散谱均sss为零，因而无定时信号。得到双边带功率谱密度函数为 2⎛⎞1sinπTf1S⎜⎟P(ω)=T+δ(f) ss⎜⎟4πTf4⎝S⎠对于双极性信号，设g(t)=−g(t)=g(t)，则双边功率谱密度为 12+∞22 P(ω)=4fP(1−P)G(f)+f[(2P−1)G(mf)]δ(f−mf) sssss∑m=−∞1当P=，g(t)为矩形脉冲时，上式变为 2 103
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎛⎞2sinπTfs⎜⎟ P(ω)=fG(f)=T sss⎜⎟πTf⎝s⎠因此，对于等概的双极性信号（0，1），由于其均值为0，所以只有连续谱，而无离散谱。 奈奎斯特准则 （1）码间干扰 码间干扰（intersymbol interference，简称IIS）指其他码元对判决码元的干扰。数字基带信号传输系统模型如图5-6所示。 发送滤波器传输信道 接收滤波器 ′{a} {a} s(t) r(t)nnG(ω) C(ω) G(ω)T加法器识别电路 R n(t) 图5-6 数字基带信号传输系统模型 {a}为发送滤波器的输入序列。在二进制情况下其取值为0和1（或-1和1）。设该序列所对n应的基带信号为 +∞ d(t)=aδ(t−nT) ns∑n=−∞+∞r(t)=d(t)∗h(t)+n(t)=ah(t−nT)+n(t) RnsR∑n=−∞+∞+∞11jωtjωt式中，h(t)=G(ω)C(ω)G(ω)edω=H(ω)edω；n为加性噪声通过接收滤波器后TRR∫∫−∞−∞2π2π的波形。接收滤波器输出的r(t)被送到识别电路，并由该电路确定′a值。识别电路是一个抽样判决n电路，对信号的抽样时刻一般在(kT+t)。其中，k是相应的第k可个时刻，t是可能的时偏（通s00常由信道特性和接收滤波器决定）。在(kT+t)时刻的取样值为 s0+∞r(kT+t)=ah(kT+t−nT)+n(kT+t)s0ns0sRs0∑n=−∞ =ah(t)+ah(kT+t−nT)+n(kT+t)k0ns0sRs0∑n≠k由上式可见，抽样值由三部分组成。第一部分ah(t)是第k个接收基本波形的取样值；第二k0部分ah(kT+t−nT)是接收信号中除第k个以外的所有基本波形在第k个抽样时刻上的代数ns0s∑n≠k和，称为码间干扰（亦称为码间串扰或符号间干扰）；第三部分n(kT+t)为随机干扰。 Rs0要消除码间干扰，需满足下式 ah(kT+t−nT)=0 ns0s∑n≠k（2）奈奎斯特第1准则 奈奎斯特（yNquist）第1准则即无码间干扰的条件。 无码间干扰的时域条件：若对h(t)在时刻kT抽样，则 s104
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 1k=0⎧ h(kT)= ⎨s0k≠0⎩即本码判决时刻不为零，其他抽样时刻均为零。 无码间干扰的频域条件：对H(ω)的要求为 +∞⎧⎛⎞2iππ⎜⎟Hω+=Tω≤⎪s∑⎜⎟⎪TT⎝s⎠si=−∞ H(ω)= ⎨eqπ⎪0ω>⎪T⎩s 其物理意义是将H(ω)在频率轴上以2π/T为周期展开并迭加，如果迭加后的结果为常数（不s一定是T），则无码间干扰；否则，则存在码间干扰。 s 若输入序列以f波特速率传输，则所需最小传输带宽为f/2（Hz）。这是在无码间干扰条件ss下，基带系统所能达到的极限值。一般将f/2称为奈奎斯特带宽。若给定基带系统带宽为W时，s则该系统无码间干扰的最高速率为2W波特，称为奈奎斯特速率。如果高于2W波特，将存在码间干扰 （3）奈奎斯特第2准则 有控制地在某些码元的抽样时刻引入码间干扰，而在其他码元的抽样时刻无码间干扰，那么就能够使频带利用率提高到理论上的最大值，同时又可以降低对定时精度的要求。 部分响应（partial-response）波形：符合奈奎斯特第二定律的波形称为部分响应波形。 部分响应系统：利用部分响应波形进行传输的基带传输系统称为部分响应系统。 无码间干扰时噪声对传输系统的影响 2设基带传输系统无码间干扰，信道噪声为零均值、方差为σ的高斯窄带白噪声，1P(1)=P(0)=，则最佳判决门限为 2⎧0双极性信号⎪ V= ⎨Ad单极性信号⎪⎩2系统无码率为 ⎧⎛⎞11A⎜⎟−erf双极性信号⎪⎜⎟22⎪2σ⎝⎠ P= ⎨e⎛⎞11A⎪⎜⎟−erf单极性信号⎜⎟⎪2222σ⎝⎠⎩几点结论：在单极性与双极性基带信号的峰值A相等、噪声均方根值也相同时，单极性基带系统的抗噪声性能不如双极性基带系统。在等概条件下，单极性的最佳判决门限电平为A/2，当信道特性发生变化时，信号幅度A将随着变化，故判决门限电平也随之改变，而不能保持最佳状态，从而导致误码率增大；而双极性的最佳判决门限电平为0，与信号幅度无关。因而不随信道特性变化而变化，故能保持最佳状态。因此，基带传输系统多采用双极性信号进行传输。 眼图及时域均衡 眼图：指利用实验手段方便地估计和改善（通过调整）系统性能时在示波器上观察到的一种图形。 观察眼图的方法：用一个示波器跨接在接收滤波器的输出端, 然后调整示波器水平扫描周期， 105
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 使其与接收码元的周期同步。此时可以从示波器显示的图形上，观察出码间干扰和噪声的影响，从而估计系统性能的优劣程度。在传输二进制信号波形时，示波器显示的图形很像人的眼睛，故名“眼图”。 眼图的作用：通过实验手段估计系统的抗噪声性能。从示波器显示的图形上，可以观察出码间干扰和噪声的影响，从而估计出系统性能的优劣。 均衡：对系统中的线性失真进行校正的过程称为均衡。 均衡器：在基带系统接收端的接收滤波器和抽样判决器之间插入一种可调滤波器，用以校正或补偿系统特性，减小码间干扰的影响，这种滤波器称为均衡器。或者说，凡是起补偿作用的滤波器统称为均衡器 均衡的分类：时域均衡和频域均衡两种。 频域均衡的思路：利用幅度均衡器和相位均衡器来补偿传输系统的幅频和相频特性的不理想性，以达到所要求的理想形成波形，从而消除符号间干扰，是以保持形成波形的不失真为出发点的。 频域均衡的概念：从校正系统频率特性出发，使包括均衡器在内的基带系统的总特性满足无失真传输条件。 频域均衡的分类：幅度均衡和相位均衡。 频域均衡的特点：简单、实用，便于硬件电路实现。适用于信道特性不变，低速数据通信系统。 时域均衡的思路：根据大多数高、中速数据传输设备的判决可靠性，都是建立在消除取样点的符号间干扰的基础上，并不要求传输波形的所有细节都与奈氏准则所要求的理想波形一致，利用接收波形本身来进行补偿，消除取样点的符号间干扰，提高判决的可靠性。 时域均衡的概念：利用均衡器产生的时间波形去直接校正已畸变的波形，使包括均衡器在内的整个系统的冲激响应满足无码间干扰的条件。 时域均衡的特点：时域均衡是对信号在时域上进行处理，较之频域均衡更为直接和直观，但计算较复杂。适用于时变信道和，高速数据通信系统。 重要公式 2P(ω)=fP(1−P)G(f)−G(f)ss12+∞ 双边带信号其功率谱密度： 2+f[PG(mf)+(1−P)G(mf)]δ(f−mf)s1s2ss∑m=−∞2P(ω)=2fP(1−P)G(f)−G(f)ss12+∞2单边带信号功率谱密度：+2f[PG(mf)+(1−P)G(mf)]δ(f−mf) s1s2ss∑m=−∞22+fPG(0)+(1−P)G(0)]δ(f)s12ss+∞22单极性信号双边功率谱密度：P(ω)=fP(1−P)G(f)+f[(1−P)G(mf)]δ(f−mf) sssss∑m=−∞2⎛⎞1sinπTf1S⎜ 单极性等概矩形脉冲双边带功率谱密度：⎟P(ω)=T+δ(f) ss⎜⎟4πTf4⎝S⎠+∞22双极性双边功率谱密度：P(ω)=4fP(1−P)G(f)+f[(2P−1)G(mf)]δ(f−mf) sssss∑m=−∞106
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎛⎞2sinπTfs双极性等概矩形脉冲双边带功率谱密度：⎜⎟P(ω)=fG(f)=T sss⎜⎟πTf⎝s⎠+∞⎧⎛⎞2iππ⎜⎟Hω+=Tω≤⎪s∑⎜⎟⎪TT⎝s⎠si=−∞无码间干扰的频域条件：H(ω)= ⎨eqπ⎪0ω>⎪T⎩s⎛⎞11A单极性信号无码率：⎜⎟P=−erf e⎜⎟2222σ⎝⎠⎛⎞11A双极性信号无码率：⎜⎟P=−erf e⎜⎟222σ⎝⎠经典例题 例1 设有一个三抽头的有限长横向滤波器，其抽头系数分别为C=−1/4，C=1，C=−1/2；−10+1均衡器输入x(t)在各抽样点上的取值分别为x=1/4，x=1，x=1/2，其余都为零。试求均衡−10+1器输出y(t)在各抽样点上的值。 N解：根据式y=Cx有 kik−i∑i=−N当k=0时，有 111113⎛⎞⎛⎞ y=Cx=Cx+Cx+Cx=−×+(1×1)+−×= ⎜⎟⎜⎟0i−i−1+100+1−1∑42244⎝⎠⎝⎠i=−1当k=1时，有 1111⎛⎞⎛⎞⎛⎞ y=Cx=Cx+Cx+Cx=−×0+1×+−×1=0 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟+1i1−i−1+20+1+10∑422⎝⎠⎝⎠⎝⎠i=−1当k=−1时，有 1111⎛⎞⎛⎞⎛⎞ y=Cx=Cx+Cx+Cx=−×1+1×+−×0=0 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟−1i−1−i−100−1+1−2∑442⎝⎠⎝⎠⎝⎠i=−1当k=+2时，有 11111⎛⎞⎛⎞ y=Cx=Cx+Cx+Cx=−×0+(1×0)+−×=− ⎜⎟⎜⎟+2i2−i−1+30+2+1+1∑4224⎝⎠⎝⎠i=−1当k=−2时，有 11111⎛⎞⎛⎞ y=Cx=Cx+Cx+Cx=−×+(1×0)+−×0= ⎜⎟⎜⎟−2i−2−i−1−10−2+1−3∑44216⎝⎠⎝⎠i=−1由此可见，除y、y、y不为零外，其余均为零。说明利用有限长横向滤波器可以减小码0−2+2 107
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 间干扰，但不能完全消除。 评注：离散频率分量的功率可用该离散分量的功率谱密度在整个频域上积分得到。 例2 设某基带传输系统具有图5-7示的三角形传输函数，试求（1）该系统接收滤波器输出基本脉ω0冲的时间表达式；（2）当数字基带信号的传码率R=时，用奈奎斯特准则验证该系统能否实现Bπ无码间干扰传输。H(ω) 解：（1 1）由图可知 ⎧ω⎪1−,ω≤ω0 H(ω)= ⎨ω0⎪0,其他⎩−ωω 0 00ω由于基本脉冲的表达式为 图5-7 例2图 ⎧t⎪1−,t≤Ts g(t)= ⎨Ts⎪0,其他⎩2⎛sinωT⎞/2s得到⎜⎟G(ω)=T s⎜⎟ωT/2⎝s⎠1根据对称性G(ω)→g(t)，ω→t，T→ω，得到 s02π2ω⎛sinω⎞t/200⎜⎟ h(t)= ⎜⎟2πωt/2⎝0⎠ω0（2）当R=时，需要以ω=2πR=2ω为间隔对H(ω)进行分段叠加，即分析在区间BB0π[−ω,ω]叠加函数的特性。 00方法一：在[−ω,ω]区间内，H(ω)为非常数，所以有码间干扰。 00π方法二：因为T=，所以 sω0⎧ω⎛⎞2iπ⎪1−ω≤ω0⎜⎟ Hω+=H(ω+2iω)= ⎨0∑∑ω⎜⎟0T⎝s⎠⎪0其他⎩ω0根据无码间干扰的传输条件，该系统不能以R=速率实现无码间干扰。 Bπ评注：用奈奎斯特准则验证系统能否实现无码间干扰传输时，对H(ω)分段叠加的区间应为[−πR,πR]。 BB例3 某二进制数字基带传输系统所传送的是单极性基带信号，且数字信息1和0的出现概率相等。（1）若数字信息为1时，接收滤波器输出信号在抽样判决时刻的值A=1V，且接收滤波器输出噪−5声是均值为0、方差为的高斯噪声，试求这时的无码率；（2）若要求无码率不大于10，试确定A至少应是多少？ 12解：（1）已知传输的是单极性基带信号，且P(0)=P(1)=，σ=，A=1V，得 2⎛⎞⎛⎞11A11111⎜⎟⎜⎟ P=−erf=−erf=−erf() e⎜⎟⎜⎟22222222σ⎝⎠⎝⎠108
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 查表得erf()=，所以 11−3 P=−×==×10 e22⎛⎞11A−5（2）依题意⎜⎟P=−erf≤10，得 e⎜⎟2222σ⎝⎠⎛⎞A−52⎜⎟ erf≥1−2×10，A≥σ=(V) ⎜⎟22σ⎝⎠评注：本题重点考查误码率的计算及误差函数。 名词中英文对照 bipolar non-return zero code，简称Bi-NRZ，双极性不归零码 bipolar return zero code，简称Bi-RZ，双极性归零码 baseband channels，基带信道 bandpass channels，带通信道 intersymbol interference，简称IIS，码间干扰 International Electro Technical Commission，简称IEC，国际电工委员会 Least Mean qSuare Algorithm，简称LMS算法，最小均方算法 Minimum Mean qSuare Error，简称MMES，最小均方误差准则 Mean Square Error，简称MSE，均方误差 non-return zero code，简称RNZ，不归零码 yNquist，奈奎斯特 Nyquist criterion，奈奎斯特准则 yNquist filter，奈奎斯特滤波器 yNquist frequency，奈奎斯特频率 yNquist interval，奈奎斯特区间 yNquist rate，奈奎斯特速率 Nyquist sampling theorem，奈奎斯特抽样定理 partial-response，部分响应 return zero code，简称RZ，归零码 Single non-return zero code，单极性不归零波码 Single r return zero code，单极性归零波形 Wiener，维纳 练习与思考 练习题 5-2 设二进制随机脉冲序列由g(t)及g(t)组成，出现g(t)的概率为P，出现g(t)的概率为1−P。1212试证明：如果 1 P==k（与t无关） g(t)11−g(t)2 109
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 且0<k<1，则脉冲序列将无离散谱。 解：基带序列的离散谱为 +∞2 P(ω)=f[PG(mf)+(1−P)G(mf)]δ(f−mf) vs1s2ss∑m=−∞若无离散谱，则 PG(mf)+(1−P)G(mf)=0 1s2s令mf=f，则 s PG(f)+(1−P)G(f)=0 12作付立叶变换得 Pg(t)+(1−P)g(t)=0，Pg(t)+g(t)−Pg(t)=0 12122得到 g(t)12 P[g(t)−g(t)]=g(t)，P== 212g(t)g(t)−g(t)1211−g(t)2本题得证 5-3 设随机二进制脉冲序列中的0和1分别由g(t)及−g(t)组成，出现的概率分别为P和1−P： （1）求其功率谱密度及功率谱； （2）若g(t)为图5-8（a）示的波形，T为码元宽度，问该序列存在离散分量f=1/T否？ sss（3）若g(t)为图5-8（b）示的波形，回答题（2）所问。 g(t)g(t) 11 0 −T/4T/4t−T/2T0/2 tssss5-8（a） 题5-3图 5-8（b） 题5-3图 解：（1）对于双极性信号，由于g(t)=−g(t)=g(t)，则其功率谱密度为 12+∞22 P(ω)=4fP(1−P)G(f)+f[(2P−1)G(mf)]δ(f−mf) sssss∑m=−∞ 功率为 +∞+∞+∞⎧⎫1⎪22⎪S=P(ω)dω=4fP(1−P)G(f)+f[(2P−1)G(mf)]δ(f−mf)df⎨⎬sssss∑∫∫−∞−∞2π⎪⎪⎩m=−∞⎭+∞+∞22 =4fP(1−P)G(f)df+f[(2P−1)G(mf)] sss∑∫−∞m=−∞+∞+∞2222=4fP(1−P)G(f)df+f(2P−1)G(mf)sss∑∫−∞m=−∞ （2）由图5-8（a）可得 T⎧s⎪1,t≤ g(t)= ⎨2⎪0,其他⎩110
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 其付立叶变换为 sinπTfs G(f)=T sπTfs 在f=f时，有 ssinπTfsinπss G(f)=T=T=0 sssπTfπss代入（1）中得 +∞222 P(f)=4fP(1−P)G(f)+f[(2P−1)G(mf)]=4fP(1−P)G(f) ssssssss∑m=−∞1 即无离散谱，该序列中不存在离散分量f=。 sTs （3）由图5-8（b）可得 T⎧s⎪1,t≤ g(t)= ⎨4⎪0,其他⎩ 其付立叶变换为 TsinπTf/2ss G(f)= 2πTf/2s 在f=f时，有 sTsinπTf/2Tsinπ/2Tsssss G(f)===≠0 s2πTf/22π/2πss1代入（1）中得，存在离散分量f= sTs5-4设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，如图5-9所示。图中，T为码元间隔，数s字信息1和0分别用g(t)的有无表示，且1和0出现的概率相同。（1）求该数字基带信号的功率谱1密度；（2）能否从该数字基带信号中提取码元同步所需的频率f=的分量？若能，试计算该分sTsg(t) 量的功率。 A 解：（1）由图得 ⎧⎛⎞T2s⎜⎟⎪A1−t,t≤⎜⎟ g(t)= ⎨T2⎝s⎠0 −T/2 T/2 t⎪ss0,其他⎩图5-9 例1图 T2s+∞0⎛⎞⎛⎞⎛⎞2t2tATsinπTf/2−jωtss2⎜⎟⎜⎟⎜⎟ G(ω)=g(t)edt=A1+dt+A1−dt= Ts⎜⎟⎜⎟⎜⎟∫∫∫−∞−0TT2πTf/2⎝s⎠⎝s⎠⎝s⎠21已知P(0)=P(1)=，且g(t)=g(t)，g(t)=0，G(f)=G(f)，G(f)=0 12122 111
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 +∞22P(ω)=fP(1−P)G(f)−G(f)+f[PG(mf)+(1−P)G(mf)]δ(f−mf)ss12s1s2ss∑m=−∞2+∞f12⎡⎤s=G(f)+fG(mf)δ(f−mf)s1ss∑⎢⎥42⎣⎦m=−∞ 44+∞2222⎛⎞fATsinπTf/2ATsinmπ/2⎛⎞2ssss⎜⎟=+fδ(f−mf)⎜⎟ss∑⎜⎟44πTf/216mπ/2⎝⎠⎝s⎠m=−∞44+∞22⎛⎞ATsinπTf/2Asinmπ/2⎛⎞ss⎜⎟=+δ(f−mf)⎜⎟s∑⎜⎟16πTf/216mπ/2⎝⎠⎝s⎠m=−∞（2）二进制数字基带信号的离散谱分量为 4+∞2Asinmπ/2⎛⎞ P(ω)=δ(f−mf) ⎜⎟vs∑16mπ/2⎝⎠m=−∞当m=±1时，f=±f，代入上式得 s4422Asinπ/2Asinπ/2⎛⎞⎛⎞ P(ω)=δ(f−f)+δ(f+f) ⎜⎟⎜⎟vss16π/216π/2⎝⎠⎝⎠1因为该二进制数字基带信号中存在f=的离散谱分量，所以能从该数字基带信号中提取码sTs1元同步所需的频率分量f=。该频率分量的功率为 sTs222AA2A S=+= 444πππ5-5 设某二进制数字基带信号中，数字信息1和0分别由g(t)及−g(t)表示，且1和0出现的概率相等，g(t)是升余弦脉冲，即 ⎛⎞πt⎜⎟cos⎜⎟T⎛⎞1πt⎝s⎠⎜⎟g(t)=sa 2⎜⎟2T4t⎝s⎠1−2Ts（1）写出该数字基带信号的功率谱密度表达式，并画出功率谱密度图； （2）从该数字基带信号中能否直接提取频率f=1/T的分量； ss−3（3）若码元间隔T=10s，试求该数字基带信号的传码率及频带宽度。 s解：（1）根据给定的g(t)，求得其频谱函数为 ⎧TTT⎛⎞sss⎜1+cosω⎟,ω≤⎪⎜⎟⎪222⎝⎠ G(ω)= ⎨Ts⎪0,ω>⎪⎩22 由双极性等概发送基带信号的功率谱密度的计算公式P(ω)=fG(f)得功率谱密度为 s1112
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2⎧TTT⎛⎞sss⎪⎜1+cosω⎟,ω≤⎜⎟⎪422⎝⎠ P(ω)= ⎨T⎪s0,ω>⎪⎩2 （2）由于无离散谱，所以不能从数字基带信号中直接提取频率f=1/T的分量。 ss（3）传码率 13R==10(Baud) sTs频带宽度 2πR=/2π=1000(Hz) sTsTs5-6 设某双极性基带信号的基本脉冲波形如图5-10所示。它是一个高度为1，宽度τ=的矩形脉331冲。且已知数字信息1的出现概率为，0的出现概率为： 44（1）写出该双极性信号的功率谱密度表示式，并画出功率谱密度图； （2）由该双极性信号中能否直接提取频率为f=1/T的分量？若能，试计算该分量的功率。 ss解：（1）双极性双边功率谱密度为 +∞g(t) 22P(ω)=4fP(1−P)G(f)+f[(2P−1)G(mf)]δ(f−mf) sssss∑1 m=−∞1 当P=时，功率谱密度为 40 −τ/2 tτ/22+∞f322s P(ω)=fG(f)+G(mf)δ(f−mf) ssss∑5-10 题5-6图 44m=−∞由图5-8可知 τ⎧⎪1,t≤ g(t)= ⎨2⎪0,其他⎩得到 πTfssinsπτTinfs3 G(f)=τ= πTfπfτ3s3代入功率谱密度表达式得 22πTfmπTf⎛⎞⎛⎞sss22⎜sin⎟⎜sin⎟2+∞TfT3⎛⎞⎛⎞s3ss3⎜⎟⎜⎟P(ω)=f⎜⎟+⎜⎟δ(f−mf)sss⎜⎟⎜⎟∑⎜πT⎟⎜⎟fmπTf4343⎝⎠s⎝⎠ssm=−∞⎜⎟⎜⎟ ⎝3⎠⎝3⎠2+∞TπTf⎛⎞1mπ⎛⎞s2s=Sa⎜⎟+Saδ(f−mf)⎜⎟s⎜⎟∑123363⎝⎠⎝⎠m=−∞图略 113
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 1（2）由于其功率谱中存在离散谱，故可直接提取f=的分量。该基带信号中的离散分量为 sTs2+∞1mπ⎛⎞ P(ω)=Saδ(f−mf) ⎜⎟vs∑363⎝⎠m=−∞当m=±1时，即f=±f时，有 s22+∞+∞1π1π⎛⎞⎛⎞ P(ω)=Saδ(f−f)+Saδ(f+f) ⎜⎟⎜⎟vss∑∑363363⎝⎠⎝⎠m=−∞m=−∞1所以频率为f=的功率为 sTs22+∞+∞1π1π3⎛⎞⎛⎞ P(ω)=Sa+Sa= ⎜⎟⎜⎟v∑∑2363363⎝⎠⎝⎠8πm=−∞m=−∞5-12 设某数字基带传输的传输特性H(ω)如图5-11所示。其中，α为某个常数（0≤α≤1）： （1）试检验该系统能否实现无码间干扰传输。 （2）试求该系统的最大码元传输速率为多少？这时的系统频带利用率为多大？ 图5-11 题5-12图 解：（1）该系统可以构成等效矩形系统 ⎧1,ω≤ω0 H(ω)= ⎨equ0,其他⎩ 所以可以实现无码间干扰传输。 （2）该系统的最大码元传输速率为 ω0R=2f（f=） s002π系统实际带宽为 B=(1+α)f 0得频带利用率为 R2sη== B1+α35-13 为了传送码元速率R=10(B)的数字基带信号，试问系统采用图5-12中所画的哪一种传输特B性较好？并简要说明其理由。 114
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 图5-12 题5-13图 34×10π解：（a）由于传输速率R=1000Baud，频带宽度B==2000(Hz)，得频带利用率为 s2πR1000s η=== B200032×10π（b）由于传输速率R=1000Baud，频带宽度B==1000(Hz)，得频带利用率为 s2πR1000s η===1 B100032×10π（c）由于传输速率R=1000Baud，频带宽度B==1000(Hz)，得频带利用率为 s2πR1000s η===1 B1000 讨论：从频带利用率情况看，（b）、（c）均好于（a），故不选用（a）；从收敛速度方面比较，由于（b）为理想低通特性，其响应的尾部幅度大，收敛慢；从实现的难易程度看，（c）较容易。综合各种因素，应选择（c）。 思考题 5-3 数字基带信号的功率谱有什么特点？它的带宽主要取决于什么？ 答：数字基带信号的功率谱分为连续谱P(ω)和离散谱P(ω)两部分。对于连续谱，由于代表数字信uv1息的g(t)和g(t)不会完全相同，故连续谱总是存在。对于离散谱，当P==k（0≤k<1）12g(t)11−g(t)2时，无离散谱。 随机序列的带宽主要取决于单个码元波形的频谱函数，即一个码元的持续时间和麻原波形的付立叶变换。 5-5 什么是码间干扰？它是如何产生的？对通信质量有什么影响？ 答：码间干扰是指其他码元对判决码元的干扰。其产生的主要原因是在某个码元的判决时刻，理论上应该仅有该码元的抽样值，其他码元的抽样值均为零，但实际上除判决码元外，其他码元的抽样值可能出现，这便产生了码间干扰。 由于码间干扰的存在，导致了判决电路对信号进行误判，从而使通信质量下降。 5-6 为了减小码间干扰，基带传输系统的传输函数应满足什么条件？ 答：为了消除码间干扰，基带传输系统的传输函数应满足 ⎧⎛⎞2ππ⎜⎟Hω+i=T,ω≤⎪s∑⎜⎟⎪TT⎝s⎠si H(ω)= ⎨eqπ⎪0,ω>⎪T⎩s 115
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 5-9 在二进制数字基带传输系统中，有哪两种误码？它们各在什么情况下发生？ 答：两种误码形式是发送1码错判成0码和发送0码错判成1码。 若发送端发送1码，由于噪声的影响，使得接收端输出的瞬时值x小于判决门限V，即x<V，dd此时判为0码，产生第一种误码。 若发送端发送0码，由于噪声的影响，使得接收端输出的瞬时值x大于判决门限V，即x>V，dd此时判为1码，产生第二种误码。 5-10 什么是最佳判决门限电平？ 答：使总误码率最小的判决门限电平称为最佳判决门限电平。 5-11 当P(0)=P(1)=1/2时，对于传输单极性基带波形和双极性基带波形的最佳判决门限点评各是多少？为什么？ A∗答：对于单极性基带信号，最佳判决门限电平是V=。 d2∗ 对于双极性基带信号，最佳判决门限电平是V=0。 d116
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第六章 正弦载波数字调制系统 知识点结构框架 本章的知识点结构框架如图6-1所示。 数字调制技术 二进制调制改进型调制 数字调制的概念多进制调制 2AS K2FSK2PS K2DPSKMASKMFSKMPS KAP KAQM 数学表达式 信号波形 功率谱密度实现方式解调方式抗噪声性能 图6-1 知识点结构框图 教学要求 （1）了解数字调制系统的基本概念、与模拟调制系统的区别联系、以及多进制调制系统的概念和原理； （2）理解振幅键控、移频键控和移相键控三种基本调制信号的波形特点和功率谱密度； （3）掌握2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK信号的调制解调原理及抗噪声性能。 难点重点 教学难点：各类数字调制方式的区别联系。 教学重点：二进制数字调制解调原理，2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK系统的抗噪声性能，二进制数字调制系统的性能比较。 教学安排 本章共分为6节，即正弦数字调制的概述、二进制数字调制原理、二进制数字调制系统的抗噪声性能、二进制数字调制系统的性能比较、多进制数字调制系统和改进的数字调制方式。讲授8学时，其安排见表6-1。 表6-1 课时安排 学时 教学内容 第一讲 2 正弦数字调制的概述； 二进制数字调制原理。 第二讲 2 二进制数字调制系统的抗噪声性能。 第三讲 2 二进制数字调制系统的性能比较； 多进制数字调制系统（部分）。第四讲 2 多进制数字调制系统（部分）； 改进的数字调制方式。 117
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第一讲安排 （1）教学要求 了解数字调制系统的基本概念及与模拟调制系统的区别联系，理解振幅键控、移频键控和移相键控三种基本调制信号的波形特点和功率谱密度，掌握其调制解调的基本原理。 （2）难点重点 教学难点：2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK三种基本调制的区别联系。 教学重点：2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK调制解调原理。 （3）知识回顾 在第四章中介绍了模拟调制系统，分析了幅度调制（常规幅度调制，抑制载波双边带调制，单边带调制，残留边带调制）、频率调制、相位调制三种基本的模拟调制方式。本章将模拟基带信号变为数字基带信号，高频载波仍为正弦载波，分析数字调制的基本理论。 （4）讲授提纲 本章知识点结构 正弦数字调制的概述 二进制数字调制原理 二进制振幅键控（2ASK） 数学原理 实现方法 解调方法（相干解调，非相干解调） 功率谱密度分析 几点结论 二进制频移键控（2FSK） 数学原理 实现方法 解调方法（非相干解调，相干解调，过零检测法，差分检波法） 功率谱密度分析 二进制相移键控（2PSK） 绝对相移方式 实现方法 的缺陷 解调方法 相对相移方式 实现方法 解调方法 功率谱密度分析 几点结论 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 二进制振幅键控、频移键控和相移键控的调制解调原理、功率谱密度分析。 （6）扩展知识 1）数字调制与载波键控的关系 数字调制就是用数字信号调制载波，即用数字信号控制载波的某些参数。载波一般采用正弦波，这种数字调制又称为载波键控。 键控即用电键进行控制，这是借用电报传输中的术语。载波键控是以数字信号作为电码，用它118
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 对正弦载波进行控制，使载波的某个参数随电码变化。单位时间内的键控次数称为键控速率（又称符号速率，传输码元速率），其单位为波特（Baud）；单位时间内所传输的信息量，称为信息速率（又称比特速率），其单位为比特／秒（bit/s）。信息速率等于键控速率乘以键控信号所携带的平均信息量。 【提示】：在讲授正弦数字调制的概念时补充。 2）实用数字调制 通信系统中采用的数字调制技术有以下四种： 四相移相键控（Quadrature Phase Shift Keying，简称PQSK）：采用四个对称的相位来传送两个二进制码元。其特点是频谱效率较高、抗干扰性较强，是数字卫星、数字微波和有线数传中的一种主要调制方式。 参差四相移相键控（offset PQSK，简称PQOSK）和最小移频键控（M-ary Frequency Shift eKying，MFSK）：前者是将四相键控的两个调制码元偏移半个码长，后者是将连续相位移频键控的移频指数定为，均是四相键控的派生形式。特点是包络较恒定、非线性信道引起的频谱展宽较小等，适用于卫星信道。 八相移相键控（8 Phase Shift Keying，简称8PSK）、正交部分响应调制（PQRS）、16状态和64状态正交调幅调制（16 Quadrature Amplitude Modulation，简称16AQM和64AQM）：这是一些频谱效率很高、误码性能也较好的数字调制技术，主要用于中、大容量的数字微波接力通信系统。 连续相位调制（Continuous Phase Modulation，简称CPM）、受控调频（Tamed Frequency Modulation，简称TFM）和高斯预滤波最小移频键控（Gaussian Filtered Minimum Shift Keying，简称KSFMG）：这是一些具有较好频谱效率和误码性能的数字调制技术，其主要特点是包络恒定、旁瓣很低、非线性信道引起的频谱展宽很小，可用于移动通信和卫星通信。 【提示】：在讲授完二进制数字调制原理后补充。 （7）互动话题 1）何谓相干解调，非相干解调？ 相干解调是指利用乘法器，输入一路与载频相干（同频同相）的参考信号与载频相乘。因此相干解调需要接收机和载波同步。 非相干解调在解调时不需要提取载波信息来进行解调。因此不使用乘法器，不需要接收机和载波同步。 【提示】：在讲授二进制振幅键控的解调方法时提问。 2）试述2SKA、2KSF和2KSP中基带信号的极性问题。 2ASK、2FSK中基带信号采用单极性信号。 2PSK中基带信号采用双极性信号。 【提示】：在讲授二进制移相键控的绝对移相方式时提问。 （8）思考题 教材184页6-1~6-10。 第二讲安排 （1）教学要求 了解二进制振幅键控、频移键控、相移键控相干和非相干接收系统的模型，熟悉和理解其输出信号所服从的概率密度函数，掌握各种解调方式的误码率计算方法。 （2）难点重点 教学难点：各种解调输出信号所服从的分布。 教学重点：各种解调输出信号的概率密度函数及误码率的计算。 （3）知识回顾 119
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 在第二章中，分析了窄带随机过程的统计特性（包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布）、正弦波加窄带随机过程的统计特性（包络服从莱斯分布，相位服从均匀分布）、以及高斯分布，研究了各种分布的概率计算。本章将利用上述分布，分析二进制振幅键控、频移键控、相移键控在相干和非相干接收系统中误码率的计算。 （4）讲授提纲 二进制数字调制系统的抗噪声性能 2ASK系统的抗噪声性能 2ASK非相干接收时系统的性能（系统结构，信号的概率密度函数，误码率计算，最佳门限值的确定） 2ASK同步检测法的系统性能 2FSK系统的抗噪声性能 2FSK非相干接收时系统的性能 2FSK同步检测法的系统性能 2PSK系统的抗噪声性能 2PSK相干接收时系统的性能 2DPSK差分接收时系统的性能 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 2ASK、2FSK、2PSK各种解调方式下输出信号的概率密度函数及误码率的计算。 （6）扩展知识 1）Q函数的类型 22t+α+∞−2马库姆（aMrcum）Q函数：Q(α,β)=tI(αt)edt 0∫β2t+∞−112高斯Q函数：Q(x)=edt（x>0），其性质为：Q(−x)=1−Q(x)（x>0）；Q(0)=；∫x22πQ(−∞)=0。 【提示】：在讲授2ASK非相干接收时系统的性能时补充。 （7）互动话题 暂无。 （8）例题 见例题1，例题2和例题3。 第三讲安排 （1）教学要求 了解2ASK、2FSK、2PSK/2DPSK调制信号在带宽、误码率和对信道敏感性方面的区别联系，理解多进制调制的特点，掌握多进制振幅调制、频率调制和相位调制的基本原理及参数计算。 （2）难点重点 教学难点：多进制调制中误码率的计算。 教学重点：多进制调制解调的基本原理，及其参数计算。 （3）知识回顾 上一讲介绍了二进制振幅键控、频移键控和相移键控的基本原理，分析了带宽和误码率的计算。本讲将对上述三种调制方式从频带利用率、误码性能、对信道的适应能力等方面进行分析比较。同120
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 时，在第一章中，曾讲到在信息传输速率不变的情况下，通过增加进制数M，可以降低码元传输速率，从而减小信号带宽，节约频带资源，提高系统频带利用率；在码元传输速率不变的情况下，通过增加进制数M，可以增大信息传输速率，从而在相同的带宽中传输更多的信息量。因此，本讲还将介绍多进制数字调制。 （4）讲授提纲 二进制数字调制系统的性能比较 频带宽度 误码率 对信道特性变化的敏感性 多进制数字调制系统 概述 二进制数字调制系统的缺陷 多进制数字调制系统的优点 多进制数字调制系统的分类 多进制数字振幅调制的原理及抗噪声性能 调制原理 与二点评调制波形比较 MASK的带宽 MASK的相干解调 MASK的误码率 信噪比与误码率的关系 多进制数字频率调制的原理及抗噪声性能 调制原理 MFSK的带宽 MFSK的误码率 多进制数字相位调制的原理及抗噪声性能 调制原理 四相制（四相制的概念，四相制的分类，PQSK的概念） 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 二进制2ASK、2FSK、2PS/K2DPSK调制信号的性能比较，MASK、MFSK调制解调的基本原理及误码率的计算。 （6）扩展知识 暂无。 （7）互动话题 1）多进制数字调制与二进制数字调制相比，有何缺点？ 在相同信噪比条件下，多进制系统的抗噪声性能低于二进制系统；或在相同误码率条件下，多进制系统的信噪比要求较二进制系统高。 【提示】：在讲授二进制数字调制系统的缺陷时提问。 （8）思考题 教材185页6-11，6-12。 第四讲安排 121
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （1）教学要求 了解多进制振幅和相位调制的不足、以及16AQM的基本原理，理解和熟悉PQS/KQDPSK的调制解调原理及方法，掌握其误码率的分析与计算。 （2）难点重点 教学难点：DQPSK的调制解调原理。 教学重点：DQPSK和QAM调制信号的调制解调原理及特点，PQS/KQDPSK的抗噪声性能。 （3）知识回顾 上一讲介绍了多进制幅度调制（MASK）和多进制频率调制（MFSK）以及四相绝对相移调制（PQSK）的基本原理，分析了其误码性能。本讲将进一步介绍四相相对相移调制（DQPSK）和正交振幅调制（AQM）的基本原理及抗噪声性能。 （4）讲授提纲 四相制（PQSK的产生，PQSK的解调，QDPSK的概念，DQPSK的产生，DQPSK的解调） 多进制相位调制系统的抗噪声性能（PQSK的抗噪声性能，DQPSK的抗噪声性能） 振幅相位联合键控（APS）系统 ASK、PSK的缺陷 APS的数学模型 正交振幅调制 信号 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 DQPSK和QAM调制信号的调制解调原理，PQS/KDQPSK的抗噪声性能分析。 （6）扩展知识 暂缺。 （7）互动话题 1）何谓星座调制？ 振幅相位联合调制方式称为星座调制，是一种I-Q调制。 【提示】：在讲授正交振幅调制时提问。 （8）思考与习题 思考题：教材185页6-13，6-14，6-15。 习题：教材185页6-6，186页6-10，6-12。 核心内容 数字调制的基本概念 （1）定义 用数字基带信号控制高频载波，把数字基带信号变换为数字频带信号的过程称为数字调制（digital modulation）。把数字频带信号还原为数字基带信号的过程称为数字解调（digital demodulation）。 正弦数字调制：调制信号为数字基带信号，被调制的载波为正弦波。 （2）分类 按调制方式分类：分为数字振幅调制，数字相位调制和数字频率调制三类。 按二进制正弦数字调制的参数分类：分为振幅键控（Amplitude Shift Keying，简称ASK），移频键控（Frequency Shift eKying，简称FSK）和移相键控（Phase Shift Keying，简称PSK）三种基122
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 本信号形式。 振幅键控是用数字消息控制载波的振幅；移频键控是用数字消息控制载波的（角）频率；移相键控是用数字消息控制载波的相位。 按照数字调制的频谱结构分类：分为线性调制和非线性调制两种。 线性调制是已调信号的频谱结构与基带信号的频谱结构相同，只不过是频率位置进行了搬移；非线性调制是已调信号的频谱结构与基带信号的频谱结构不同，不是简单的频谱搬移，而是有其他新的频率成分出现。 模拟调制（analog modulation）与数字调制（digital modulation）的区别联系：本质无差别，都是进行频谱（frequency spectrum）搬移，目的也都是为了有效传输信息。区别在于调制信号不同，一个是模拟信号（analog signal），一个是数字信号（digital signal）。 二进制振幅键控 （1）数学原理 振幅键控是正弦载波的幅度随数字基带信号而变化的数字调制。当数字基带信号为二进制时，则为二进制振幅键控，又称为通断键控或开关键控（nO fOf eKying，简称KOO）是利用代表数字信息（0或1）的基带矩形脉冲去键控一个连续载波，使载波进行断续输出。 设发送的二进制符号序列由0、1序列组成，发送0符号的概率为P，发送1符号的概率为1−P，且相互独立。该二进制符号序列可表示为 s(t)=ag(t−nT) ns∑n其中，T为二进制基带信号的码元间隔；g(t)为持续时间T的矩形脉冲。则二进制振幅键控信号可ss表示为 ⎡⎤ e(t)=ag(t−nT)cosωt ⎢⎥0nsc∑⎢⎥⎣n⎦（2）实现方法 2ASK调制一般采用模拟相乘的方法或数字键控的方法实现，如图6-2所示。 s(t) e(t)s(t) 0cosωte(t) 乘法器 c0 cosωt c 图6-2（a） 模拟相乘法图6-2（b） 数字键控法 图6-2 二进制振幅键控信号的产生 （3）解调方法 2ASK信号与模拟调制中的AM信号类似。所以能够采用非相干解调（noncoherent demodulation）（包络检波法）和相干解调（coherent demodulation）（同步检测法），其相应原理方框图如图6-3所示。 （4）功率谱 由于二进制振幅键控信号是随机的、不归零单极性脉冲信号，按照第五章所讲，在等概发送的条件下，其功率谱密度函数为 123
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2⎡sinπT⎤f11s P(f)=T+δ(f) ss⎢⎥4πTf4⎣s⎦⎡⎤由于e(t)=ag(t−nT)cosωt，得到e(t)的功率谱密度函数为 ⎢⎥0nsc0∑⎢⎥⎣n⎦1P(f)=[P(f+f)+P(f−f)]Escsc4 22 ⎧⎫T⎡sinπT(+)⎤⎡ffsinπT(f−)⎤f1⎪⎪sscsc=++[δ(f+f)+δ(f−f)]⎨⎬⎢⎥⎢⎥cc16πT(f+f)πT(f−f)16⎣sc⎦⎣sc⎦⎪⎪⎩⎭2ASK信号的功率谱由连续谱和离散谱两部分组成。其中，连续谱取决于g(t)经线性调制后的双边带谱，离散谱则处在载波频率上；其带宽是基带脉冲波形带宽的两倍；第一旁瓣值比主峰值衰减14dB；被称为第一零点带宽的主瓣零点带宽为2f。 s 输入输出 带通滤波器 包络提取低通滤波器抽样判决器 （a） 非相干方式 输入输出 带通滤波器 乘法器低通滤波器抽样判决器 带通滤波器定时脉冲 （b） 相干方式 图6-3 二进制振幅键控信号接收系统原理框 （5）带宽 B=2f 2ASKs（6）抗噪声性能 相干解调时的误码率为 ⎛⎞11r⎜⎟P=−erf e2ASK⎜⎟224⎝⎠非相干解调时的误码率为 r−14P=e 二进制频移键控 （1）数学原理 移频键控是指正弦载波的频率随数字基带信号的变化而变化。传送1码时，对应载频为ω，2传送0码时，对应载频为ω，称为二元移频键控，如图6-4所示。其数学表示为 1124
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎡⎤⎡⎤ e(t)=ag(t−nT)cos(ωt+ϕ)+ag(t−nT)cos(ωt+θ) ⎢⎥⎢⎥0ns1nns2n∑∑⎢⎥⎢⎥⎣n⎦⎣n⎦其中，a、a为反码，即a=1，a=0，a=0，a=1；ϕ、θ代表第n个码元的初始相位，nnnnnnnn不携带信息，通常令其为零。 ⎧0概率为P⎧0概率为1−P a=，a= ⎨⎨nn1概率为1−P1概率为P⎩⎩得简化的数学表示为 ⎡⎤⎡⎤ e(t)=ag(t−nT)cosωt+ag(t−nT)cosωt ⎢⎥⎢⎥0ns1ns2∑∑⎢⎥⎢⎥⎣n⎦⎣n⎦ 图6-4 2FSK信号波形 （2）实现方法 二进制移频键控信号既可以采用模拟调频电路来实现，也可以采用数字键控的方法来实现。如图6-5所示。图（a）是用一个矩形脉冲对载波进行调频而获得，这是早期采用的实现方法；图（b）是利用受矩形脉冲序列控制的开关电路对两个不同的独立频率源进行选通。 振荡器1选通开关1 e(t) s(t) 0 模拟 加 e(t) 0调频器 法 s(t)反相器 器 （a） 振荡器1选通开关1 （b） 图6-5 二进制移频键控信号的产生 125
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （3）解调方法 2FSK信号的解调方法很多，有模拟鉴频法和数字检测法，有非相干解调方法也有相干解调方法。 非相干解调：原理如图6-6所示。其解调原理是将二进制移频键控信号分解为上下两路不同载频的二进制振幅键控信号，经带通滤波和包络检波后，由相减电路对上下两路的抽样值进行比较最终判决出输出信号。 相干解调：原理如图6-7所示。其解调原理也是将二进制移频键控信号分解为上下两路不同载频的二进制振幅键控信号，分别进行解调，通过对上下两路的抽样值进行比较最终判决出输出信号。另外，还有过零检测法、差分检波法等。 ωω 11 r(t) 带 通包络 带 通 包络 1 +滤波器检波 滤波器 检波 抽 加cosωt1输出 输出样 输入输入 法判 cosωt2ωω 器2决 2 r(t) 2带 通包络 带 通 包络 +滤波器检波 滤波器 检波 图6-7 相干解调原理框图 图6-6 非相干解调原理框图 （4）功率谱 在等概率情况下，2FSK（初始相位为0）的功率谱密度是载频为ω和ω的两个2ASK信号功12率谱密度之和，即 11 P(f)=[P(f+f)+P(f−f)]+[P(f+f)+P(f−f)] Es11s11s22s2244当采用单极性不归零码时 2222⎧⎫T⎡sinπT(f+f)⎤⎡sinπT(f−f)⎤⎡sinπT(f+f)⎤⎡sinπT(f−f)⎤⎪⎪ss1s1s2s2P(f)=+++⎨⎬E⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥16πT(f+f)πT(f−f)πT(f+f)πT(f−f)⎣s1⎦⎣s1⎦⎣s2⎦⎣s2⎦⎪⎪ ⎩⎭1+[δ(f+f)+δ(f−f)+δ(f+f)+δ(f−f)]1122162FSK信号的功率谱密度由连续谱和离散谱组成。其中，连续谱由两个双边带谱叠加而成，离散谱出现在两个载频位置上。若两个载频之差较小，如小于f，则连续谱呈现单峰；如载频之差s增大，则连续谱将出现双峰。第一零点带宽约为Δf=f−f+2f。 21s（5）带宽 B=f−f+2f 2FSK21s（6）抗噪声性能 相干解调时的误码率为 ⎛⎞11r11⎜⎟P=−erf，P=−erf(r) e2FSKe2PSK⎜⎟22222⎝⎠非相干解调时的误码率为 126
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 r−11−r2P=e，P=e 二进制相移键控 （1）数学原理 二进制移相键控（BPSK或2PSK）就是利用二进制数字基带信号去控制载波信号的相位，使载波相位发生跳变的一种调制方式。一般分为绝对移相方式（2PSK）和相对移相方式（2DPSK）。 绝对移相方式：在二进制绝对移相方式中，是以载波的不同相位直接表示相应的数字信息，即载波的相位随二进制基带信号0或1而改变，通常用已调信号载波的0°和180°分别表示数字基带信号的1和0。其时域表达式为 ⎡⎤e(t)=ag(t−nT)cosωt ⎢⎥2PSKnsc∑⎢⎥⎣n⎦式中，a为双极性，即 n⎧1，概率为P a= ⎨n−1，概率为1−P⎩假设g(t)是幅度为1，脉冲宽度为T的单个矩形脉冲，则有 s⎧cosωt,发送1符号时，概率为Pce(t)= ⎨2PSK−cosωt,发送0符号时，概率为1−P⎩c即在发送二进制信号1时，e(t)取0相位；发送二进制信号0时，e(t)取180º相位。也2PSK2PSK可以是发送二进制信号0时，e(t)取0相位；发送二进制信号1时，e(t)取180º相位。二进2PSK2PSK制移相键控信号的典型时间波形如图6-8所示。 2PSK调制规律是“异变同不变”。即本码元与前一码元相异时，本码元内2PSK信号的初相相对于前一码元内2PSK信号的初相变化180°，相同时则不变。 图6-8 2PSK的时间波形图 127
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 相对移相方式：又称为差分相位键控方式，不是利用载波相位的绝对数值来传送数字信息，而是利用载波的相对相位表示数字信息，即利用前后相邻码元的相对载波相位变化来表示数字信息。 相对相位定义为本码元的初相与前一码元的初相之差，有时也可以定义为本码元的初相与前一码元的终相之差，用Δϕ表示。一般规定，用Δϕ=0表示数字信息“0”，用Δϕ=π表示数字信息“1”，即 ⎧0,表示数字信息“0” Δϕ= ⎨π,表示数字信息“1”⎩有时，也用Δϕ=0表示数字信息1“”，用Δϕ=π表示数字信息“0”，即 ⎧0,表示数字信息“0” Δϕ= ⎨π,表示数字信息“1”⎩实现2DPSK信号的常用方法是首先对二进制数字基带信号进行差分编码，将绝对码变换为相对码，然后再进行绝对调相，从而产生二进制差分相位键控信号。设a为绝对码，b为相对码，则 nn b=a⊕b nnn−12DPSK信号调制过程波形图如图6-9所示。 图6-9 2DPSK的时间波形图 2DPSK的调制规律是“1变0不变”。即数字信息（绝对码）为“1”时，本码元内2DPSK信号的载波初相相对于前一码元内2DPSK信号的终相变化180°，数字信息为0“”时，则本码元内2DPSK信号的载波初相相对于前一码元内2DPSK信号的终相不变化。 （2）实现方法 2PSK的调制器原理框图如图6-10所示。其中，图（a）为采用模拟调制方式产生2PSK信号（也称为直接调相法）。图（b）为采用数字键控方式产生2PSK信号。 模拟调相法是将单极性数字基带信号通过码型变换转换为双极性数字基带信号，然后用双极性128
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 数字基带信号与载波直接相乘来实现。相移键控法是用数字基带信号控制开关电路，以选择不同相位的载波输出。如基带信号s(t)为1码时，开关接通1，输出0相载波；基带信号s(t)为0码时，开关接通2，输出π相载波，从而得到2PSK信号。 2DPSK的产生基本上类似于2PSK，也可以用键控法和模拟调制法实现，只是需要将二进制数字基带信号经过码变换器，有绝对码变为相对码，如图6-11所示。 振荡器ω1cs(t) e(t)双极性 2PSK 不归零 e(t) 2PSK码型变换 乘法器 2移相π cosωtcs(t) （a） （b） 图6-10 2PSK调制器原理框图 （a）模拟调相法 （b）相移键控法 振荡器ω1 ce(t)2DPSK s(t) e(t)2DPSK相对码 + 乘法器2 移相π相对码 绝对码 码变换器 延时 cosωtc绝对码 s(t) （a） （b） 图6-11 2DPSK调制器原理框图 （a）模拟调相法 （b）相移键控法 （3）解调方法 2PSK一般采用相干解调，其原理框图及各点波形图如图6-12和图6-13所示。图中的解调过程实质上是输入的已调信号与本地载波信号进行极性比较的过程，通常又称为极性比较法。 （f） e(t) （c）（d）2PSK输出 带通滤波器 乘法器低通滤波器抽样判决器 （a） （g） （b）（e） cosωtc定时脉冲 图6-12 2PSK相干解调原理框图 由上图可以看出，绝对移相方式由于发送端是以载波相位为基准的，故在接收端也必须有相同的载波相位作参考。如果接收端的参考相位发生变化，则恢复的数字信息就会发生0变1或1变0，从而造成错误恢复。这种现象称为2PSK的倒π现象或反向工作现象。在实际通信系统中，接收端恢复的载波存在相位模糊，即相位会出现随机跳变，有时与发送载波同相，有时与发送载波反相。因此，在实际通信系统中一般不采用绝对移相方式2PSK，而是采用相对移相方式2DPSK。 2DPSK信号的解调主要有两种方法，一种是相干解调，即极性比较法；另一种是差分相干解调法，即相位比较法。 129
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 10 1 1 101 1 发送序列发送序列 tt t（ta） （a）tt （b） （b）tttt （c） t（c） ttt （d） （d） tttt （（tte）e） tt 抽样值（抽样值（f）f） tttt 0 10 0 101 1 （g） （g） tttt 反向工作波形图 正常工作波形图 图6-13 2PSK解调各点波形图 相干解调法：其原理框图如图6-14所示，是对2DPSK信号进行相干解调，恢复出相对码，再通过码反变换器变换为绝对码，从而恢复出发送的二进制数字信息。在解调过程中，如果相干载波产生180°相位模糊，解调得到的相对码将产生倒置现象，即0、1倒置，但经过码反变换器后，输出的绝对码不会发生任何倒置现象，从而解决了载波相位“倒π”问题。 码反变换器的功能是将相对码恢复为绝对码，其规则为 a=b⊕b kkk−1 e(t) （c）DPSK（d）（e）2输出 带通滤波器乘法器 低通滤波器码反变换器 抽样判决器（a） （f） （b） cosωt c图6-14 2DPSK相干解调原理 差分相干解调法：其原理框图如图6-15所示。不需要恢复本地载波，而是通过直接比较前后码元的相位差，即只需要将2DPSK信号延时一个码元间隔然后与2DPSK信号本身相乘。相乘结果反映了前后码元的相对相位关系，经低通滤波后可直接抽样判决恢复出原始数字基带信号。 e(t) （c）（d） 2DPSK输出 带通滤波器 乘法器低通滤波器抽样判决器 （a） （e） （b） 延迟器 图6-15 2DPSK差分相干解调原理 130
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （4）功率谱 根据第五章所讲，双极性信号的功率谱密度为 +∞22 P(ω)=4fG(f)P(1−P)+f(2P−1)G(mf)δ(f−mf) sssss∑m=−∞对于矩形信号 ⎡sinπT⎤fs G(f)=T s⎢⎥πfT⎣s⎦2222 P(ω)=4fG(f)P(1−P)+f(2P−1)G(0)δ(f) sss得到2PSK信号的功率谱密度为 122P(f)=[P(f+f)+P(f−f)]=f[G(f+f)+G(f−f)]P(1−P)Escscscc4 1222+f(2P−1)G(0)[δ(f+f)+δ(f−f)]scc4在等概发送条件下，有 22⎡⎤sinπ(f+f)Tsinπ(f−f)T1221cscs⎢⎥ P(f)=f[G(f+f)+G(f−f)]=T+ Esccs44⎢π(f+f)Tπ(f−f)T⎥cscs⎣⎦由于2PSK与2DPSK已调信号的波形是一样的，即说明它们的频率成分是相同的，因此具有相同的功率谱密度。功率谱密度由连续谱与离散谱两部分组成，当0和1等概发送时，只有连续谱，而无离散谱，这一点与2ASK不同。2ASK永远存在离散谱。 （5）带宽 B=2f 2PSKs（6）抗噪声性能 相干解调时的误码率为 11P=−erf(r) e2PSK22非相干解调时的误码率为 1−rP=e 多进制数字调制 （1）多进制数字调制的特点 二进制数字调制系统的缺陷：二进制数字调制系统是数字通信系统最基本的方式，具有较好的抗干扰能力。由于二进制数字调制系统频带利用率较低，使其在实际应用中受到一些限制。在信道频带受限时为了提高频带利用率，通常采用多进制数字调制系统。其代价是增加信号功率和实现上的复杂性。 多进制数字调制系统的特点：在信息传输速率不变的情况下，通过增加进制数M，可以降低码元传输速率，从而减小信号带宽，节约频带资源，提高系统频带利用率；在码元传输速率不变的情况下，通过增加进制数M，可以增大信息传输速率，从而在相同的带宽中传输更多的信息量。 （2）多进制数字振幅调制 多进制振幅调制的时域表达式：多进制振幅调制（M-ary Amplitude Shift Keying，简称MASK） 131
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 也称多电平调制，它是二进制数字振幅键控方式的推广。M进制数字振幅调制信号的载波幅度有M种取值，在每个符号时间间隔T内发送M个幅度中的一种幅度的载波信号。M进制数字振幅调制s信号可表示为M进制数字基带信号与正弦载波相乘的形式，其时域表达式为 ⎡⎤ e=ag(t−nT)cosωt ⎢⎥0nsc∑⎢⎥⎣n⎦式中，g(t)为单个基带信号码元波形，其持续时间为T；a为幅度值，表示为 sn⎧0，概率为P1⎪1，概率为P⎪2 a=P+P+L+P=1 ⎨n12MM⎪⎪M−1，概率为P⎩MKSAM的波形：如图6-16所示给出了四进制幅度调制。由图可以看出，四进制幅度调制可以看作是由四个二进制幅度调制之和，即0、1、2、3信号可以表示为 ⎧⎡⎤⎪ag(t−nT)cosωt⎢⎥0sc∑⎧a≡0，概率为P01⎪⎢⎥⎣n⎦⎪⎪⎧1，概率为P2⎡⎤⎪a=⎪⎨1ag(t−nT)cosωt⎢⎥0，概率为1−P⎪1sc∑⎩2⎪⎪⎢⎥⎪⎣n⎦⎧2，概率为P 3⎨⎨a=⎡⎤⎨2⎪⎪0，概率为1−Pa3g(t−nT)cosωt⎩⎢⎥2sc∑⎪⎪⎢⎥3，概率为P⎣n⎧⎦⎪⎪4a=⎨3⎪⎪⎡⎤0，概率为1−P⎩4⎩⎪ag(t−nT)cosωt⎢⎥3sc∑⎪⎢⎥⎣n⎦⎩ 二进制调制 0信号 1信号 2信号 3信号 四进制调制 图6-16 四进制振幅键控 2KSAM的带宽：同2ASK信号带宽相同，均为B=2f=。T为M进制码元的宽度。 ssTs132
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 222但需注意的是，此时的T为M进制码元的宽度，如在4ASK中T=2T，其带宽为==，ssT2TTs其中T为基带二进制码的码元宽度。 KSAM的相干解调：如图6-17所示。 ˆe(t)+n(t) a n带通滤波器 乘法器低通滤波器抽样判决器 cosωt定时脉冲 c 图6-17 MASK相干解调原理框图 设发送端发送的信号为s(t)，信道上迭加的高斯白噪声为n(t)，则带通滤波器的输出为 ⎡⎤ s(t)+n(t)=ag(t−nT)cosωt+n(t)cosωt−n(t)sinωt ⎢⎥inscccsc∑⎢⎥⎣n⎦式中，发送端发送的M电平基带码元振幅分别为±d、±3d、…、±(M−1)d，相邻电平振幅间的距离为2d，即 ±d⎧⎪±3d⎪ a= ⎨nM⎪⎪±(M−1)d⎩经乘法器与本地载波相乘后，输出为 22[s(t)+n(t)]cosωt=acosωt+n(t)cosωt−n(t)sinωtcosωticncccscc2 =[a+n(t)]cosωt−n(t)sinωtcosωt nccscc11=[a+n(t)]1+cos2ωt)−n(t)sin2ωtnccsc22经过低通滤波器后，输出为 x(n)=a+n(t)。 nc则抽样判决规则为：若(k−1)d<x(nT)<(k+1)d（k=±(1,3,L,M−1)），则判ˆa=kd。 snKSAM的误码率：设发送信号为a=3d，则正确判决时抽样值应为 n 2d<3d+n(t)<4d，−d<n(t)<d cc则错误判决概率为P[n(t)>d]。 c即当a=±d、±3d、L、±(M−3)d时，错判概率均为P[n(t)>d]。 nc当a=±(M−)d时，正确判决的抽样值应为 n (M−1)d+n(t)>(M−2)d，−(M−1)d+n(t)<−(M−2)d cc1则错误判决概率为P[n(t)>d]。 c2在等概发送条件下，得到MASK的总误码率为 M−2211⎛⎞ P=P[n(t)>d]+P[n(t)>d]=1−P[n(t)>d] ⎜⎟ecccMM2M⎝⎠2由于n(t)服从均值为零、方差为σ的高斯分布，即 c 133
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2nc−122σ f(n)=e c2πσ得到 2nc+∞−⎡⎤⎛⎞111⎛⎞⎛⎞21d⎛⎞2σ⎜⎟ P=1−P[n(t)>d]=21−edn=1−1−erf ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥ecc⎜⎟∫MMdM⎝⎠⎝⎠2πσ⎝⎠2σ⎢⎥⎝⎠⎣⎦（3）多进制数字频率调制 多进制数字频率调制的概念：多进制数字频率调制（M-ary Frequency Shift eKying，简称MFSK）简称多频制，是二进制数字移频键控方式的直接推广。 KSFM的调制解调：如图6-18所示。调制是采用频率选择法实现，M种频率由logM了位输2入信息确定。 f 带通输出 f检波器 抽 1门电路 1接 样 收 输出逻辑带通输波出器 f检 2判 输出f 逻 2 门电路 门电路信道滤电路决 辑 波 输入串并 器 电 器 变换带通f 输出 M检波器 f M门电路 路 解调器 调制器 图6-18 MFSK调制解调原理框图 图中，串并变换电路和逻辑电路将输入的二进制码转换成多进制码。当某组二进制码到来时，逻辑电路的输出仅打开相应的一个门电路，将和该门电路相应的载波发送出去，其他频率对应的门电路此时是关闭的。当一组组二进制码元输入时，通过相加器输出的就是一个多进制频率键控的波形。多进制频率调制系统的解调器由M个带通滤波器、M个包络检波器及一个抽样判决器和相关的逻辑电路组成。各带通滤波器的中心频率分别是M个载频的频率。当某一载频输入时，只有一个带通滤波器有信号及噪声通过，而其他带通滤波器只有噪声通过。抽样判决器通过比较在抽样时刻上各包络检波器的输出电压，选出其中最大值作为输出。 当M=4时，即4FSK的波形如图6-19所示。 发送“0”信号（或00）时，发送频率为f的载波； 1发送“1”信号（或10）时，发送频率为f的载波； 2发送“2”信号（或11）时，发送频率为f的载波； 3发送“3”信号（或01）时，发送频率为f的载波。 4 ff f f3142 T TT Tssss 图 4FSK信号波形图 134
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 KSFM的带宽：多频制信号的第一零点带宽为B=f−f+2f，其中f为最高载波频率，fM1sM1为最低载波频率，f为单个码元宽度的倒数。 sKSFM的误码率：非相干系统的误码率为 M−1222⎡⎤x+ax⎛⎞+∞−−2xa⎛⎞⎢⎥⎜⎟2σ2 P=xeI1−1−edx ⎜⎟e0⎢⎥⎜⎟∫0σ⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎣⎦相干系统的误码率为 M−122⎡⎤(x−a)u⎛⎞+∞−x−121⎢⎥⎜⎟2σ2 P=e1−edudx e⎢⎥⎜⎟∫∫0−∞⎜⎟2π2π⎢⎥⎝⎠⎣⎦图6-20示出了相干和非相干系统检测的误码率曲线。 图6-20 多频制的误码率曲线 由图可见，在M一定的情况下，信噪比越大，则误码率越小。在信噪比一定的条件下，M越大，则误码率越大。另外，相干解调与非相干解调性能之间的差异将随着M的增大而减小，而且同一M下的每一对相干和非相干曲线将随着信噪比的增加而趋于同一极限值。 （4）多进制相位调制 多进制相位调制的时域表达式：多进制数字相位调制（M-ary Phase Shift Keying，简称MPSK）又称多相调制，是利用载波的多种不同相位（或相位差）来表征数字信息的调制方式。与二进制数字相位调制相同，多进制数字相位调制也有绝对相位调制和差分相位调制两种。M进制相位调制信号的时域表达式为 e(t)=g(t−kT)cos(ωt+ϕ)0sck∑k =g(t−kT)cosωtcosϕ−g(t−kT)sinωtsinϕ scksck∑∑kk=ag(t−kT)cosωt−bg(t−kT)sinωtkscksc∑∑kk可以看出，多进制相位调制可以看作是两个正交载波进行多电平双边带调制所得信号之和。也 135
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 就是说，多进制相位调制信号的带宽和多电平双边带调制时的相同。 四相制：四相制是利用载波的四种不同相位来表征数字信息。因此，对输入的二进制数字序列首先进行分组，将每两个比特编为一组，然后用四种不同的载波相位去表征它们。四相制与二相制相似，可以分为四相绝对移相调制（记作4PSK或PQSK）和四相相对相移调制（记为4DPSK和DQPSK）两种。 （5）四相绝对相移调制 四相绝对相移调制的概念：通常称为正交移相键控PQSK，是利用载波的四种不同相位来表征数字信息。由于每一种载波相位代表两个比特的信息，故每个四进制码元一般称为双比特码元。设前一个信息比特为a，后一个为b，则它们与载波相位的关系如表6-2所示。 表6-2 双比特码元与载波相位的关系 载波相位ϕ 双比特码元 ka b A方式 B方式 000°45° 0 1 90° 135° 11180°225° 1 0 270° 315° 图6-21（a）表示A方式时PQSK信号的矢量图，图6-21（b）表示B方式时PQSK信号的矢量图。 01 0001 11 00 参考相位 参考相位 1011 10 （a） （b） 图6-21 QPSK信号的矢量图 KSPQ的波形：图6-22给出了采用A方式时，输入00100100（11）二进制码元时，PQSK的时间波形图。图中所给的PQSK曲线分别是载波为5Hz和75Hz时的调制信号。 KSPQ的产生：可以采用直接调相法和相位选择法来产生。 直接调相法：原理框图如图6-23所示，为正交调制器。输入的二进制数字信息通过串/并变换器后依次变为两个并行的双极性码元序列，分别用a、b表示，每一对ab称为一个双比特码元。双极性的a、b序列通过与同相载波及正交载波相乘后，分别得到2PSK信号，如图4-14的虚线矢量所示。将两路输出叠加，即可得到四相移相信号，如图6-24中实线所示，其相位编码逻辑关系如ππ表6-3所示。这是产生B方式（即体系）PQSK信号的原理框图，若产生A方式（即体系）42πPQSK信号，则只需将载波移相后再送乘法器即可。 4 136
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 图6-22 QPSK信号的时间波形的示意图 b（0） a乘法器10010 cosωt c输入a（0）a（1） 串并输出 加法器π/2移相变换 sinωt c11 01乘法器2 bb（1） 图6-23 QPSK正交调制器 图6-24 直接调相法矢量图 表6-3 PQSK信号相位编码逻辑关系 a 10 01 b 1 10 0乘法器1输出 0°180° 180°° 乘法器2输出 270° 270°90° 90° 合成相位 315°225° 135°45° 相位选择法：原理框图如图6-25所示。四相载波发生器产生四种相位（45°、135°、225°和315°）的载波。按照串并变换器输出的双比特码元的不同，逻辑选相电路每次选择其中一种作为输出，然后经带通滤波器滤除高频分量，即可得到PQSK信号。这是一种全数字化的方法，适合于载波频率较高的场合。 137
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 输出带输出 通串并 逻辑选相电路 滤波器变换 45°135°225°315° 四相载波发生器 图6-25 相位选择法原理框图 KSPQ的解调：由于PQSK信号可以看作是两个正交的2PSK信号的合成，所以可以采用与2PSK信号相似的解调方法进行解调，即由两个2PSK信号相干解调器构成，其组成原理框图如图6-26所示。图中并串变换器的作用与调制器中的串并变换器相反，用于将上下之路所得到的并行数据恢复为串行数据。 y(t)x(t)aaa乘法器1 低通滤波器抽样判决器 cosωt c输出PQSK信号 定时脉冲并串变换 π/2移相 sinωt c 乘法器2 低通滤波器抽样判决器b y(t) x(t)bb 图6-26 QPSK相干解调原理框图 在不考虑噪声及传输畸变时，解调器的输入信号为 oooo y(t)=y(t)=acos(ωt+ϕ)（ϕ=45,135,225,315） abckk上下两路与载波相乘后为 a y(t)cosωt=acos(ωt+ϕ)cosωt=[cos(2ωt+ϕ)+cosϕ] acckcckk2a y(t)sinωt=acos(ωt+ϕ)sinωt=sin(2ωt+ϕ)−sinϕ bcckcckk2经低通滤波器后输出为 a x(t)=cosϕ ak2a x(t)=−sinϕ bk2根据PQSK相位配置规定，抽样判决器的判决准则见表6-4。 表6-4 PQSK相干解调判决准则 判决器输出 符号相位ϕ cosϕ极性 −sinϕ极性 kkka b 45° + - 10135° - - 0 0 225° - +01315° ++ 1 1 138
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 在2PS K信号相干解调过程中会产生180°相位模糊。同样，对于PQSK信号相干解调也会产生相位模糊问题，并且是0°、90°、180°和270°四个相位模糊。因此，在实际中更实用的是四相相对移相调制，即4DPSK方式或PQSK方式。 （6）四相相对相移调制 四相相对移相调制的概念：与二相相对移相键控方式相同，四相相对移相调制也是利用前后码元之间的相对相位变化来表示数字信息的。若以前一码元相位作为参考，并令Δϕ为本码元与前一k码元的初相差，则信息编码与载波相位变化仍可用表6-2表示，矢量关系也可用图6-21表示。不同之处在于原先的ϕ改为Δϕ。 kkKSPDQ的调制：在二相调制时，为了得到2DPSK信号，可以先将绝对码变换成相对码，然后用相对码对载波进行绝对移相。同样，DQPSK信号的产生也可用同样的方法。先将输入的双比特码经码型变换，再用码型变换器输出的双比特码进行四相绝对移相，则所得到的输出信号就是四相相对移相信号。通常采用的方法有码变换加调相法和码变换加相位选择法两种。 码变换加调相法：原理框图如图6-27所示。与PQSK信号调制器相比，仅在串并变换器后面增加了一个码变换器。码变换器的作用是将输入的双比特码ab转换成双比特差分码cd。而对于双比特差分码cd而言，则是PQSK信号。信息编码与载波相位的变化符合A方式，即满足表6-5的要求。 乘法器1 −π/4移相ca 输入DQPS K串并 码变cosωtc加法器 变换 换器b dπ/4移相 乘法器2 图6-27 码变换加调相产生DQPSK信号原理框图 表6-5 QDPSK 信号载波相位编码逻辑关系 双比特码元 载波相位变化双比特码元 载波相位变化Δϕ Δϕ A BA Bkk00 0° 11 180° 0 190° 1 0270° 由表6-5可见，输入双比特数据不同，载波相位变化不同。如输入的双比特数据为00，则调相信号的载波相位相对于前一双比特码元的载波相位不变化，即原载波相位是多少还是多少；若输入的双比特数据为01，则调相信号的载波相位相对于前一双比特码元的载波相位变化90°。但前一双比特码元的载波相位有四种可能，所以现在时刻输入的某一双比特数据得到的载波相位也是不固定的，也有四种可能。如果前一双比特码元为00，则相位为135°（见表4-2），则此时载波相位为135°9+0°=225°。按照表4-2规定，其相应的输入双比特数为01，即码变换器输出不变。若前一双比特码元为01，则相位为225°，得到载波相位变为225 ° +90°=315°，相应的输入双比特数为11，即码变换器需将01变为11。若前一双比特码元为11，则相位为315°，得到载波相位变为315 °9+0 °=45°，相应的输入双比特数为10，即码变换器需将01变为10。若前一双比特码元为10，则相位为45°，得到载波相位变为45 °9+0 °=135°，相应的输入双比特数为00，即码变换器需将01变为00。其余类推。 139
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 上例说明了码变换器的工作过程，其逻辑功能如表6-6所示。 表6-6 PQSK码变换器逻辑功能表 本时刻到达的ab及所要求 前一双比特码元的状态 本时刻应出现的码元状态 的相对相位变化 ab Δϕ cd θ θ cd kkkk−1k−1k−1kkk00135°135°0001 225° 225° 01 00 0° 11315°315°1110 45° 45° 10 00135°225°0101 225° 315° 11 01 90° 11315°45°1010 45° 135° 00 00135°315°1101 225° 45° 10 11 180° 11315°135°0010 45° 225° 01 00135°45°1001 225° 135° 00 10 270° 11315°225°0110 45° 315° 11 码变换加相位选择法：原理框图和PQSK相位选择法的原理框图6-25基本一样。不同之处在于逻辑选相电路的功能不同。在PQSK中，选相电路是根据串并变换器输出的不同双比特数，输出相应相位的载波信号。在DQPSK中，除按规定完成选择载波相位外，还要实现将绝对码转换成相对码的功能。即需要将输入的双比特码ab转换成相应的双比特差分码cd，再用cd去选择载波相位，从而产生DQPSK信号。 KSPDQ的解调：与2DPSK信号类似，可以采用相干解调加码反变换器方式（极性比较法），也可以采用差分相干解调方式（相位比较法）。 相干解调加码反变换器方式：原理框图如图6-28所示。与PQSK相干解调法不同之处在于在并串变换器之前增加了码反变换器。在不考虑噪声及传输畸变时，解调器的输入信号为 oooo y(t)=y(t)=acos(ωt+ϕ)（ϕ=0,90,180,270） cdckk上下两路与载波相乘后为 ππa⎡ππ⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ y(t)cosωt−=acos(ωt+ϕ)cosωt−=cos2ωt+ϕ−+cosϕ+ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ccckc⎢ckk⎥44244⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ππa⎡ππ⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ y(t)sinωt+=acos(ωt+ϕ)sinωt+=sin2ωt+ϕ+−sinϕ− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟dcckc⎢ckk⎥44244⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦经低通滤波器后输出为 aπaπ⎛⎞⎛⎞ x(t)=cosϕ+，x(t)=−sinϕ− ⎜⎟⎜⎟ckdk2424⎝⎠⎝⎠根据DQPSK相位配置规定，抽样判决器的判决准则见表6-7。判决器按极性判决，负抽样值140
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 判为1，正抽样值判为0。 y(t) x(t)ccc 乘法器1低通滤波器抽样判决器 −π/4移相定时脉冲a 输出DQPSK信号码反 并串 cosωt载波振荡c变换 变换 b 定时脉冲 π/4移相 乘法器2低通滤波器抽样判决器d y(t) x(t)dd 图6-28 QDPSK相干解调加码反变换器原理框图 表6-7 QDPSK相干解调判决准则 判决器输出 符号相位ϕ 上支路抽样值极性下支路抽样值极性kc d 0° + + 0090° - +1 0 180° - - 11270° + - 0 1 码反变换器的功能与发送端正好相反，任务就是将判决器输出的相对码cd变换为绝对码iiab。其逻辑关系符合表6-8。 ii表6-8 接收端码变换器的逻辑功能 前一时刻输入双比特码 本时刻输入双比特码 码变换器的输出数据 c d c d a b i−1i−1iiii00000 1 1 0 0 0 11111 0 0 1 00011 1 0 0 0 1 11111 0 1 1 00110 1 0 1 1 1 11001 0 1 0 00100 1 1 1 1 0 11011 0 0 0 141
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 对表6-8分析可得，如果前一状态上、下两支路满足c⊕d=1，则码变换器输出为 i−1i−1a=c⊕c⎧iii−1 ⎨b=d⊕d⎩iii−1如果前一状态上、下两支路满足c⊕d=0，则码变换器输出为 i−1i−1a=d⊕d⎧iii−1 ⎨b=c⊕c⎩iii−1根据上述关系可以得到码变换电路如图6-29所示。 c i模二加 交叉直通电路ai ci−1一码元延迟 比较 电路bi一码元延迟d i−1 di模二加 图6-20 QDPSK码反变换器原理框图 交叉直通电路受比较电路的控制。当c⊕d=1时，交叉直通电路处于直通状态，即把i−1i−1c⊕c作为a的输出，而把d⊕d作为b的输出。当c⊕d=0时，交叉直通电路处于交叉ii−1iii−1ii−1i−1状态，即把c⊕c作为b的输出，而把d⊕d作为a的输出。 ii−1iii−1i（2）差分相干解调方式 差分相干解调方式又称为相位比较法或差分正交解调法，其原理框图如图4-20所示。采用延π迟电路将输入的DQPSK信号延迟一码元时间后，分别移相±，作为上下支路的相干载波。不需4要采用码变换器，这是因为DQPSK信号的信息包含在前后码元相位差中，故可以直接比较前后码元的相位。 在不考虑噪声及传输畸变时，解调器的输入信号为 y(t)=acos(ωt+ϕ)，y(t−T)=acos(ωt+ϕ) cksck−1式中，ϕ和ϕ分别为本码元和前一码元的初相。 kk−1π经±移相后，分别为 4ππ⎛⎞⎛⎞ y(t)=acosωt+ϕ+，y(t)=acosωt+ϕ− ⎜⎟⎜⎟ack−1bck−144⎝⎠⎝⎠两路相乘后输出为 π⎛⎞2y(t)y(t)=acos(ωt+ϕ)cosωt+ϕ+⎜⎟ackck−14⎝⎠ 2a⎡ππ⎤⎛⎞⎛⎞=cos2ωt+ϕ+ϕ++cosϕ−ϕ−⎜⎟⎜⎟⎢ckk−1kk−1⎥244⎝⎠⎝⎠⎣⎦142
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 π⎛⎞2y(t)y(t)=acos(ωt+ϕ)cosωt+ϕ−⎜⎟bckck−14⎝⎠ 2a⎡ππ⎤⎛⎞⎛⎞=cos2ωt+ϕ+ϕ−+cosϕ−ϕ+⎜⎟⎜⎟⎢ckk−1kk−1⎥244⎝⎠⎝⎠⎣⎦经低通滤波器后为 22aπaπ⎛⎞⎛⎞ x(t)=cosϕ−ϕ−=cosΔϕ− ⎜⎟⎜⎟akk−1k2424⎝⎠⎝⎠22aπaπ⎛⎞⎛⎞ x(t)=cosϕ−ϕ+=cosΔϕ+ ⎜⎟⎜⎟bkk−1k2424⎝⎠⎝⎠根据DQPSK信号的相位配置规定，抽样判决器的判决准则见表6-9所示。即判决器是按极性判决的，正抽样值判为0，负抽样值判为1。 x(t)a 乘法器1低通滤波器抽样判决器 y(t) aπ/4移相 DPS输出QK信号 定时脉冲延迟 并串变换 −π/4移相 y(t) b 乘法器2低通滤波器抽样判决器 x(t)b 图6-30 QDPSK差分相干解调原理框图 表6-9 QDPSK差分正交解调的判决准则 载波相对相位 上支路抽样值 下支路抽样值 判决器输出 Δϕ 的极性 的极性 a Bk0° ++00 90° + - 0 1180° - - 11 270° - +1 0 （7）正交振幅调制 正交振幅调制的概念：正交振幅调制（uQadrature Amplitude Modulation，简称AQM）是一种幅度——相位联合键控（APK）调制方式，既能提高系统的可靠性，减小误码率，又能获得较高的频带利用率，是目前应用较为广泛的一种调制方式。如图6-31所示给出了16AQM和16PSK信号的星座图。 由图可以看出，对于16AQM信号，相邻两点的距离为 2A d== 16QAML−1式中，L为两个正交方向上信号的电平数。16AQM中，L=4。 对于16PSK信号，相邻两点距离为 π⎛⎞ d≈2sin= ⎜⎟16PSK16⎝⎠ 143
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 由此可见，16AQM信号的距离超过16PSK约 在实际中，应该以信号的平均功率相等为条件来比较上述信号的距离。可以证明，AQM信号的最大功率与平均功率之比为 22最大功率L(L−1)4(4−1) ξ==== 16QAML/22平均功率222(2i−1)2(2i−1)∑∑i=1i=1 A A （a） （b） 图6-31 16PSK和16QAM星座图 （a）16PS K （b）16AQM 16PSK信号由于包络恒定，其平均功率与最大功率相等，因此ξ=1。可见ξ比ξ16PSK16QAM16PSK大。如果平均功率相等，则ξ比ξ大。这说明在其它条件相同情况下，采用16QAM16PSKAQM调制可以增大各信号间的距离，提高抗干扰能力。 MAQ的产生：正交振幅调制是用两个独立的数字基带信号对两个相互正交的同频载波进行抑制载波的双边带调制，利用这种已调信号在同一带宽内频谱正交的性质来实现两路并行的数字信息传输。正交振幅调制信号的一般表示式为 e(t)=ag(t−nT)cos(ωt+ϕ) MQAMnscn∑n式中，a为基带信号的幅度；ϕ为基带信号的相位；g(t−nT)是宽度为T的单个基带信号波形。nnss展开为 e(t)=ag(t−nT)cosωtcosϕ−ag(t−nT)sinωtsinϕMQAMnscnnscn∑∑nn =Xg(t−nT)cosωt−Yg(t−nT)sinωt nscnsc∑∑nn=X(t)cosωt+Y(t)sinωtcc式中，X=acosϕ=ca，Y=−asinϕ=da。a是固定的振幅，(c,d)由输入数据确定。nnnnnnnnnn(c,d) 决定了已调AQM信号在信号空间中的坐标点。 nnMAQ的调制：图6-32和图6-33分别给出了AQM的调制原理框图及各点波形图。输入的二进制序列经过串并变换器输出速率减半的两路并行序列，分别经过2电平到L电平的变换，形成L电平的基带信号。为了抑制已调信号的带外辐射，该基带信号需要经过预调低通滤波器，形成X(t)和Y(t)，再分别与同相载波和正交载波相乘，最后将两路信号相加即可得到AQM信号。 MAQ的解调：解调器原理框图和各点波形图如图6-33和图6-34所示。解调器输入信号与本地恢复的两个正交载波相乘后，经过低通滤波输出两路多电平基带信号X(t)和Y(t)。多电平判决器144
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 对多电平基带信号进行判决和检测，再经L电平到2电平转换和并串变换器最终输出二进制数据。 bf 2到L点平变换低通滤波器乘法器 d cosωtc输入串并 MAQM 加法器 a 变换 π/2移相 e c g 2到L点平变换 低通滤波器乘法器 图6-32 QAM调制器原理框图 1 0110100 a t 1 100t b 0110 c t dt t e f t g t 图3-32 QAM调制器各点波形图 a c L到2电平变换 乘法器 低通滤波器多电平判决 cosωt c AQM 并串 输出定时脉冲载波恢复 e变换 sinωt c b d 乘法器 低通滤波器多电平判决L到2电平变换 图6-33 QAM相干解调原理框图 145
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 t a 高频 t t b 高频 t 1 100c t 0 110 d t 1 0 110100 e t 图6-34 QAM解调原理图中各点波形图 星座图：星座图是信号矢量端点的分布图，可用来描述信号空间分布状态。常见的有方型星座和星型星座两种，前者的信号点分布成方型，后者的信号点分布成星型。 若信号点之间的最小距离为2A，所有信号点等概出现时，信号的平均发射功率为 M2A22 P=(c+d) nn∑Mn=1如图6-35所示给出了8AQM不同星座图的信号平均发射功率。图6-35（a）的信号平均功率22AA22为 P=(2×4+10×4)=6A，图6-35（b）的信号平均功率为 P=(2×4+×4)=，12882A2图6-35（c）的信号平均功率为 P=(4×4+8×4)=6A，图6-35（d）的信号平均功率为 382A2P=(2×4+×4)=。 48对于16AQM信号有多种分布形式的星座图。其中两种具有代表意义的星座图如图6-36所示。在图6-36（a）中，信号点的分布成方型，称为方型16AQM星座，也称为标准型16AQM。在图6-36（b）中，信号点的分布成星型，称为星型16AQM星座。 ⎛⎞⎛⎞⎜−3+22,3+22⎟⎜3+22,3+22⎟⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠⎝⎠−1(1,1) (,1) (−3,1) (3,1)(−1,1)(1,1) (1,−1) (−1,−1) (−3(3,−1),−1) (−1,−1) (1,−1) ⎛⎞⎛⎞⎜−3+22⎟,−3+22⎜3+22⎟,−3+22⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ （a） （b） 146
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎛⎞⎜0,1+3⎟ ⎝⎠ (−2,2) (2,2) −(1,1) (1,1)(0,2) ⎛⎞⎛⎞(−22,0) ,0() ⎜−1−3,0⎟⎜1+3,0⎟ ⎝⎠⎝⎠ (0,−2)(−1,−1)(1,−1) (−2,−2) (2,−2) ⎛⎞⎜0,−1−3⎟ ⎝⎠ （c） （d） 图6-35 8QAM星座图 (0,) (1,3) (−1,3) (0,) (−3,3) (3,3) (−1,1)(1,1) (−3,1) (3,1)(−,0)(,0) (,0) (−,0) (−3,−1) (3,−1)(1,−1) (−1,−1) (0,−) (−3,−3) (3.−3) (1,−3) (−1,−3)(0,−) （a）（b） 图6-36 16QAM的两种星座图 对于方型16AQM，信号平均功率为 M22AA222 P=(c+d)=(2×4+10×8+18×4)=10A nn∑M16n=1对于星型16AQM，信号平均功率为 M22AA22222 P=(c+d)=(×8+×8)= nn∑M16n=1由上述计算可知，在保证信号点之间最小距离为2a的条件下，方型16AQM的信号平均功率比星型16AQM小，说明在平均发送功率相同的条件下，方型的最小距离比星型的大，方型的功率利用率高于星型的功率利用率，因此实际中方型应用较多。但考察方型和星型的星座图可以发现，两者的星座结构有重要的差别。一是星型16AQM只有两个振幅值, 而方型16AQM有三种振幅值；二是星型16AQM只有8种相位值，而方型16AQM有12种相位值。因此，从衰落信道来说，星型更为适用。 重要公式 147
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 带宽：B=2f，B=(f−f)+2f，B=2f 2ASKs2FSK21s2PSKs⎛⎞⎛⎞11r11r11⎜⎟⎜⎟ 相干解调误码率：P=−erf，P=−erf，P=−erf(r) e2ASKe2FSKe2PSK⎜⎟⎜⎟22422222⎝⎠⎝⎠rr−−111−r42 非相干解调误码率：P=e，P=e，P=e 经典例题 6例1 设某2ASK系统中二进制码元传输速率为R=×10B，发送1和0的概率相等，接收端分B别采用同步检测法和包络检波法解调。已知接收端输入信号幅度a=1mV，信道等效加性高斯白噪−15声的单边功率谱密度n=2×10W/Hz。 试分别求出同步检测法和包络检波法解调时系统的总误0码率。 6解：由于R=×10B，则接收端带通滤波器的带宽近似为 B6 B≈2R=×10(Hz)=(MHz) B 带通滤波器输出的噪声平均功率为 2−156−8 σ=nB=2×10××10=×10(W) 0 得到滤波器输出信噪比为 22−3a(1×10) r===>>1 2−82σ2××10代入同步检测法解调时系统误码率计算公式得 −−11−444 P=e=e=×10 eπ×代入包络检波法解调时系统误码率计算公式得 −−11−444 P=e=e=×10 e22评注：考查2ASK信号在相干（同步检测）和非相干（包络检波）解调时误码率的计算公式。 例2 采用二进制频移键控方式在有效带宽为2400Hz的传输信道上传送二进制数字消息。已知2FSK信号的两个频率分别为f=980Hz，f=1580Hz，码元速率R=300B，传输信道输出端的信噪比10B为6dB，试求2FSK信号的带宽和分别采用包络检波法与同步检波法解调时的误码率。 解：根据2FSK信号带宽的计算公式得 Δf≈f−f+2f=1580−980+2×300=1200(Hz) 01s 由于码元速率为R=300B，则上下两路滤波器的带宽为 B B=2R=600Hz 0B由于传输信道输出端的信噪比为6dB，即解调器输入信噪比为 148
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 622aa10 r===10=4 i22nB2σ0ii根据有效带宽B=2400Hz和带通滤波器带宽B=600Hz，可以得到解调器输出信噪比为 i0222aa4a r====4×4=16 022nB2nB2σ000i0 根据包络检波误码率的计算公式得 r16−−11−422 P=e=e=×10 e22 根据同步检测误码率的计算公式得 ⎡⎤⎛⎞1r1−5⎜⎟ P=⎢1−erf⎥=[1−erf(8)]=×10 e⎜⎟222⎢⎥⎝⎠⎣⎦评注：考查2FSK信号在相干（同步检测）和非相干（包络检波）解调时误码率的计算公式。 6例3 采用2DPSK信号在微波线路上传送二进制消息，已知码元传输速率R=10B，接收机输入B−10−4端的高斯白噪声的单边功率谱密度n=2×10W/Hz，要求系统误码率不大于10。试求采用差0分相干解调时，接收机输入端所需的信号功率。 2解：接收机输入信号功率P=a/2与信噪比r有关。 s 信噪比r可由给定的误码率求得 21a−r−4 P=e≤10，r==−ln2P≥ ee222σ 由于 2−106−4 σ=nB=2nR=2×2×10×10=4×10(W) 00B 得输入信号功率为 2a2−4−3 P==rσ≥×4×10=×10(W) s2评注：考查2DPSK信号在差分相干解调时误码率计算公式的应用。 6例4 若采用2ASK方式传送二进制数字信息，已知码元传输速率R=2×10Baud，接收端解调器B−18输入信号的振幅a=40μV，信道加性噪声为高斯白噪声，且其单边功率谱密度n=6×10W/Hz。0试求（1）2ASK信号的频带宽度；（2）非相干解调时，系统的误码率；（3）相干接收时，系统的误码率。 解：（1）2ASK信号的带宽为 6 B=2f=2R=4×10(Hz) 2ASKsB22−6a/2(40×10)100（2）信噪比为r=== −186nB32×6×10×4×1002ASK 149
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 非相干接收时，系统误码率为 r100−−11−4412 P=e=e=×10 e22（3）相干接收时，系统误码率为 r⎛⎞−11r12−54⎜⎟ P=−erf≈e≈×10 e⎜⎟2242rπ⎝⎠评注：考查2ASK信号带宽，相干和非相干解调时误码率的计算公式。 2−12例5 已知发送端发出的信号振幅为5V，输入接收端解调器的高斯噪声功率为σ=3×10W，现−4要求误码率P=10。试求（1）若采用2ASK方式传送二进制数字信息，在非相干接收和相干接e收时，由发送端到解调器输入端的衰减应分别为多少?（2）若采用2FSK方式传送二进制数字信息，在非相干接收和相干接收时，由发送端到解调器输入端的衰减应分别为多少? 解：（1）采用2ASK方式时，非相干接收的误码率为 r−1−4−44 P=e=10，r=−4ln(2×10)=34 e22a/22−5 由于r=，得到a=2rσ=×10(V) 2σ由发送端到解调器输入端的衰减分贝数为 A5 20lg=20lg=(dB) −×10⎛⎞11r−42−5⎜⎟相干接收时P=−erf=10，得到r=27，a=2rσ=×10(V) e⎜⎟224⎝⎠由发送端到解调器输入端的衰减分贝数为 A5 20lg=20lg=(dB) −×10（2）采用2FSK方式时，非相干接收的误码率为 r−1−4−42 P=e=10，r=−2ln(2×10)=17 e22a/22−5 由于r=，得到a=2rσ=×10(V) 2σ由发送端到解调器输入端的衰减分贝数为 A5 20lg=20lg=(dB) −×10⎛⎞11r−42−5⎜⎟相干接收时P=−erf=10，得到r=，a=2rσ=×10(V) e⎜⎟222⎝⎠由发送端到解调器输入端的衰减分贝数为 A5 20lg=20lg=(dB) −×10评注：考查2ASK和2FSK误码率计算公式的应用。 提示：求从发送端到接收端解调器输入端的衰减是指发送信号功率与接收信号功率比值的分贝数，150
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 PAA即10lg；如果用发送端电压与接收端电压比值计算，应改为20lg。这里P、A为发送端信APaa号功率和信号电压，P、a为接收端信号功率和信号电压。 a6例6 若某2FSK系统的码元传输速率为2×10Baud，传输数字信息1的频率为f=10MHz，传输1数字信息0的频率为f=。输入接收端解调器的信号振幅a=40μV，信道加性噪声为高斯2−18白噪声，且单边功率谱密度为n=6×10W/Hz，试求（1）2FSK的频带宽度；（2）非相干接收0时系统的误码率；（3）相干接收时系统的误码率。 6解：（1）已知f=10MHz，f=，R=2×10Baud，则 12B B=f−f+2f=f−f+2R=+4=(MHz) 2FSK21s21B（2）非相干接收时 212a/2800×10100r=== −1862nR32×6×10×2×100Br100−−11−826 P=e=e=3×10 e22（3）相干接收时 ⎛⎞⎛⎞11r11100−9⎜⎟⎜⎟ P=−erf=−erf=4×10 e⎜⎟⎜⎟222226⎝⎠⎝⎠评注：考查2FSK信号误码率计算公式的应用。 提示：从2FSK相干和非相干解调原来框图可知，信号在解调前先通过带通滤波器ω或ω，其带12宽均为2R，因此高斯白噪声通过带通滤波器变为窄带高斯白噪声，其中心频率为ω或ω，带宽B12为2R，而不是f−f+2R。 名词中英文对照 Amplitude Shift Keying，简称ASK，振幅键控 analog modulation，模拟调制 analog signal，模拟信号 binary digital modulation，二进制数字调制 Binary Amplitude Shift eKying，简称BASK，二进制振幅键控 Binaryy Frequency Shift eKying，简称BFSK，二进制频率键控 Binary Phase Shift Keying，简称BPSK，二进制相位键控 Binary Differental Phase Shift Keying，简称BDPSK，二进制差分移相键控 coherent demodulation，相干解调 Continuous Phase Modulation，简称CPM，连续相位调制 digital modulation，数字调制 digital demodulation，数字解调 digital signal，数字信号 151
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 Differental Phase Shift Keying，简称DPSK，差分移相键控 Discrete Continuous Phase Modulation，简称DCPM，不连续相位调制 frequency spectrum，频谱 Frequency Shift eKying，简称FSK，移频键控 frequency efficiency，频率利用率 Gaussian Minimum Shift Keying，简称GMSK，高斯最小移频键控 linear modulation signal，线性调制信号 M-ary Amplitude Shift eKying，简称MASK，多进制振幅键控 M-ary Frequency Shift eKying，简称MFSK，多进制频率键控 M-ary Phase Shift Keying，简称MPSK，多进制相位键控 Minimum Shift Keying，简称MSK，最小移频键控 moltiplier，乘法器 noncoherent demodulation，非相干解调 nonlinear modulation signal，非线性调制信号 nO fOf eKying，简称KOO，通断键控 Phase Shift eKying，简称PSK，移相键控 power efficiency，功率利用率 uQadrature Amplitude Modulation，简称AQM，正交振幅调制 Quadrature Phase Shift Keying，简称PQSK，正交移相键控 练习与思考 练习题 366-2 已知某KOO系统的码元传输速率为10Baud，所用的载波信号为Acos(4π×10t)。 （1）设所传送的数字信息为011001，试画出相应的KOO信号波形示意图； （2）求KOO信号的第一零点带宽。 64π×10663解：（1）由于ω=4π×10，f==2×10(Hz)，R=10Baud，故每个码元周期内有2000ccB2π个载波周期，如图6-37所示。 0 1 1 0 0 1 图6-37 题6-2图 （2）KOO信号的第一零点带宽为 3B=2f=2×10=2000(Hz) 2ASKs6-3 设某2FSK调制系统的码元传输速率为1000Baud，已调信号的载频为1000Hz或2000Hz。 （1）若发送数字信息为011010，试画出相应的2FSK信号波形； （2）试讨论这时的2FSK信号应选择怎样的解调器解调； （3）若发送数字信息是等可能的，试画出它的功率谱密度草图。 解：（1）以载频为1000Hz代表信号为0，以载频为2000Hz代表信号为1，则信号波形如图6-38152
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 所示。 0 1 1 0 1 0 图6-38 题6-3图 （2）由于f−f=1000=f，功率谱出现单峰，频谱有较大的重叠，用包络检测法不合适，21s上下支路有较大串扰，使得解调性能降低。因此，可采用相干解调或过零检测法，也可采用差分解调法解调，以减小相互串扰。 （3）略。 6-4 设在某2DPSK系统中，载波频率为2400Hz，码元速率为1200Baud，已知绝对码序列为1100010111。（1）试画出2DPSK波形图（相位偏移可自行假设），写出相对码；（2）若采用差分相干解调法接收该信号，试画出解调各点的波形图；（3）若发送信息符号0和1的概率分别为 ，试求2DPSK信号的功率谱密度。 解：（1）由于载波频率为2400Hz，码元速率为1200Baud，相当于每个码元周期内有两个载波波形，如图6-39所示 参考相位为0，Δϕ=π→1，Δϕ=0→0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 绝对码 1 0 0 0 0 1 1 0 1 相对码 图6-39 题6-4图 （2）差分相干解调系统的原理框图及各点波形图如图6-40和图6-41所示。抽样判决规则为大于0判为0，小于0判为1。 （3）2DPSK信号的功率谱密度与2PSK信号的功率谱密度相同，即 1 P=[P(f−f)+P(f+f)] escsc4f=2400Hz为载波频率，P为基带信号功率谱密度，基带信号为双极性矩形脉冲，则 cs+∞22 P(f)=4fP(1−P)G(f)+f[(2P−1)G(mf)]δ(f−mf) sssss∑m=−∞sinπTfs G(f)=T sπTfs221222P=fP(1−P)[G(f−f)+G(f+f)]+f(2P−1)G(0)[δ(f−f)+δ(f+f)]esccscc422⎡⎤π(f−2400)π(f+2400) ⎢sinsin⎥28812001200−2⎢⎥=++10[δ(f−2400)+δ(f+2400)]2⎢⎥f−2400f+2400π⎢⎥⎣⎦ 153
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2DPS K cd输出e 带低 通抽 样 通 乘法器滤波器滤波器判决器 信号a 反转b延迟T s 图6-40 差分相干解调系统原理框图 1 1 0 0 0 1 0 1 1 a点波形图 b点波形图 c点波形图 d点波形图 e点波形图 图6-41 差分相干解调系统原理框图各点波形图 66-6 若采用KOO方式传送二进制数字信息，已知码元传输速率R=2×10B，接收端解调器输入B−18信号的振幅a=40μV，信道加性噪声为高斯白噪声，其单边带功率谱密度为n=6×10W/Hz。0试求： （1）非相干接收时，系统的误码率。 （2）相干接收时，系统的误码率。 解：（1）2ASK系统带宽 6 B=2R=4×10Hz B输出噪声的平均功率 2−12σ=nB=24×10W 0解调器输入信噪比 22−6a(40×10)r=== 2−122σ2×24×10得到非相干接收时系统误码率 154
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 r−11−−44P=e=e=×10 e22（2）相干接收时 r−11−−54P=e=e=×10 eπ×-10 若某2FSK系统的码元传输速率为2×10B，数字信息为1时的频率f为10MHz，数字信息1为0时的频率f为。输入接收端解调器的信号峰值振幅a=40μV，信道加性噪声为高斯2−18白噪声，其单边带功率谱密度为n=6×10W/Hz。试求： 0（1）2FSK信号的第一零点带宽。 （2）非相干接收时，系统的误码率。 （3）相干接收时，系统的误码率。 解：（1）2FSK信号的频带宽度 6Δf=f−f+2f=f−f+2R=(+4)×10= 12s12B （2）接收系统带宽为 6B=2R=4×10Hz B输出噪声的平均功率 2−12σ=nB=24×10W 0解调器输入信噪比 22−6a(40×10)r=== 2−122σ2×24×10得到非相干接收时系统误码率 r−11−−82P=e=e=3×10 e22（2）相干接收时 ⎡⎤⎛⎞1r1−9⎜⎟P=⎢1−erf⎥=[1−erf()]=4×10 e⎜⎟222⎢⎥⎝⎠⎣⎦6-12 在二进制移相键控系统中，已知解调器输入端的信噪比r=10dB，试分别求出相干解调2PSK、极性比较法解调和差分相干解调2DPSK信号时的系统误码率。 解：（1）由于10lgr=10dB，得r=10，相干解调时误码率为 ⎡⎤⎛⎞1r1−6⎜⎟P=⎢1−erf⎥=[1−erf(10)]=4×10 e⎜⎟222⎢⎥⎝⎠⎣⎦ （2）极性比较法解调时，误码率为 −6P′=P=8×10 ee （3）差分相干解调时，误码率为 155
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 11−r−10−5P=e=e=×10 e226-13 若相干2PSK和差分相干2DPSK系统的输入噪声功率相同，系统工作在大信噪比条件下，试rDPSK计算它们达到同样误码率所需的相对功率电平（k=）；若要求输入信噪比一样，则系统性能rPSKPePSK相对比值（l=）为多大。并讨论以上结果。 PeDPSK解：（1）对于相干2PSK，由于r>>1，得到大信噪比条件下的误码率为 1−rPSK P≈e e12rπPSK 对于差分相干2DPSK，系统误码率为 1−rDPSK P=e e2211−r−rDPSKPSK当P=P时，e=e，即−r=−lnrπ−r，得到 e1e2DPSKPSKPSK2rπPSKrlnrπDPSKPSK k==1+ r2rPSKPSK（2）对于相干2PSK，其误码率为 1−r P≈e ePSK2rπ 对于差分相干2DPSK，其误码率为 1−r P=e eDPSK2P1ePSK则 l== PrπeDPSK由上述结果可知，由于lnrπ>0，得r>r，即在相同误码率的条件下，2DPSK需要PSKDPSKPSK1更大的信噪比。由于<1，得在相同信噪比的条件下，2PSK的误码性能更好。由此可见，虽rπ然2DPSK克服了倒π现象，但这是以抗噪声性能降低为代价的。 n30−106-14 已知码元传输速率R=10Baud，接收机输入噪声的双边功率谱密度为=10W/Hz，今B2−5要求误码率P=10。试分别计算相干2ASK、非相干2FSK、差分相干2DPSK以及2PSK等系统e所要求的输入信号功率。 解：噪声功率为 2−103−7 σ=nB=2×10×2×10=4×10(W) 0⎛⎞11r−5⎜⎟ （1）相干2ASK系统的误码率为P=−erf=10，得到r=36 e2ASK⎜⎟224⎝⎠22a/2a2−7−5由于r=，所以P==rσ=36×4×10=×10(W) s22σ156
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 r−1−52（2）非相干2FSK系统的误码率为P=e=10，得到r=，所以 e2FSK22a2−7−6 P==rσ=×4×10=×10(W) s21−r−5（3）差分相干2DPSK系统的误码率为P=e=10，得到r=，所以 e2FSK22a2−7−6P==rσ=×4×10=×10(W) s211−5（4）相干2PSK系统的误码率为P=−erf(r)=10，得到r=9 e2PSK222a2−7−6P==rσ=9×4×10=×10(W) s26-15 已知数字信息为1时，发送信号的功率为1kW，信道衰减为60dB，接收端解调器输入的噪−4声功率为10W。试求非相干KOO系统及相干2PSK系统的误码率。 解：发送信号经信道衰减后，到达解调器输入端的信号功率为 2a1000−3 S===10(W) i60210102−4由已知条件可知，解调器输入端的噪声功率σ=10W，得到解调器输入端的信噪比为 2−3Sa10i ===10 2−4N2σ10i对于非相干KOO系统，其误码率为 r10−−11−244 P=e=e==×10 e22对于相干2PSK系统，其误码率为 11−6 P=erf(r)=erf(10)=×10 思考题 6-1 什么是数字调制？它与模拟调制有哪些异同？ 答：数字调制是用数字基带信号控制高频载波的某些参数，把数字基带信号变换为数字频带信号的过程。即用高频载波的某些离散状态来表征所传送的信息。 相同点：本质相同，都是频谱搬移；目的相同，都是为了便于信号传输。 不同点：调制信号不同，一个是模拟信号，一个是离散信号；被调制参数的状态不同，一个是无穷的，一个是有限的。 6-2 什么是振幅键控？2ASK信号的波形有什么特点？ 答：振幅键控是利用数字基带信号来控制载波的振幅。对于二进制而言，就是利用载波幅度的有无来表征传送的信息。 2ASK信号波形的特点就是有载波波形表示二进制符号1，无载波波形表示二进制符号0。 6-3 KOO信号的产生及解调方法如何？ 答：KOO信号的产生方法主要有模拟相乘法和数字键控法两种，如图6-2所示。 KOO信号的解调方法一般有相干解调和非相干解调两种，如图6-3所示。 6-4 KOO信号的功率谱密度有何特点？ 157
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 答：功率谱由连续谱和离散谱两部分组成，其中连续谱取决于g(t)经线性调制后的双边带谱，离散谱则处在载波频率上；带宽是基带脉冲波形带宽的两倍；第一旁瓣值比主峰值衰减14dB；第一零点带宽的主瓣零点带宽为2f。 s6-5 什么是移频键控？2FSK信号的波形有什么特点？ 答：移频键控是利用数字基带信号来控制载波的频率。对于二进制而言，就是利用两种不同的载波频率来表征不同的传输信息。 2FSK信号波形的特点就是载波频率为ω时表示二进制符号0，载波频率为ω时表示二进制符12号1。 6-6 2FSK信号的产生及解调方法如何？ 答：2FSK信号的产生方法主要有模拟调频法和数字键控法，如图6-5所示。 2FSK信号的解调方法很多，如相干解调、非相干解调、鉴频法、过零检测法和差分检波法等，一般采用相干解调和非相干解调，如图6-6和图6-7所示。 6-7 相位不连续的2FSK信号的功率谱密度有什么特点？ 答：2FSK信号的功率谱密度由连续谱和离散谱组成。其中，连续谱由两个双边带谱叠加而成，离散谱出现在两个载频位置上。若两个载频之差较小，如小于f，则连续谱呈现单峰；如载频之差s增大，则连续谱将出现双峰。第一零点带宽约为Δf=f−f+2f。 21s6-8 什么是绝对移相？什么是相对移相？它们有何区别？ 答：绝对移相是用载波的不同相位直接去表示相应数字信息的相位键控方式。 相对移相是利用前后相邻码元的载波相位的相对变化来表示数字信息的一种方式。 相对移相信号可以看作是把数字信息序列（绝对码）变为相对码，然后再根据相对码进行绝对移相。 6-9 2PSK信号和2DPSK信号可以有哪些方法产生和解调？它们是否可以采用包络检波法解调，为什么？ 答：2PSK信号和2DPSK信号可以采用模拟调制法和数字键控法产生。2PSK信号一般采用相干解调法，2DPSK信号采用同步检测法和差分相干解调法（即相位比较法）解调。 2PSK和2DPSK不能用包络检波法解调。因为它们是用相位而不是用振幅表征传送信息。 6-10 2PSK信号和2DPSK信号的功率谱密度有何特点？试将它们与KOO信号的功率谱密度加以比较。 答：由于2PSK与2DPSK已调信号的波形是一样的，说明它们的频率成分相同，即具有相同的功率谱密度，且均由连续谱与离散谱两部分组成。 与2ASK信号的功率谱密度相比，相同之处是二者的带宽相同，均为2f；不同之处是2ASKs永远存在离散谱，而2PSK和2DPSK当0和1等概发送时，只有连续谱，而无离散谱。 6-12 试述多进制数字调制的特点。 答：在信息传输速率不变的情况下，通过增加进制数M，可以降低码元传输速率，从而减小信号带宽，节约频带资源，提高系统频带利用率。 在码元传输速率不变的情况下，通过增加进制数M，可以增大信息传输速率，从而在相同的带宽中传输更多的信息量。 158
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第七章 模拟信号的数字传输 知识点结构框架 本章的知识点结构框架如图7-1所示。 模拟信号数字化 PCM系统ΔM系统 抽样 量化 编码抗噪声性能原理 抗噪声性能 低通抽 带通抽 均匀 非均匀自 然折 叠格 雷 A 律 样定理 样定理 量化 量二进码二进码二进码 13折线 化 图7-1 知识点结构框图 教学要求 （1）了解模拟信号数字化传输的基本方法，以及增量调制的基本原理； （2）理解和熟悉低通、带通抽样定理，脉冲编码调制的基本原理； （3）掌握模拟信号均匀量化和非均匀量化的基本方法，学会对A律13折线的具体编码方法。 难点重点 教学难点：抽样定理，A律13折线编码方法。 教学重点：低通和带通抽样定理，均匀和非均匀量化，自然二进制编码、格雷二进制编码和折叠二进制编码，A律13折线编码方法。 教学安排 本章共分为8节，即模拟信号数字传输的概述、抽样定理、脉冲振幅调制（PAM）、模拟信号的量化、脉冲编码调制（PCM）、差分脉冲编码调制（DPCM）系统、增量调制和DPCM系统中的量化噪声。讲授8学时，其安排见表7-1。讲授采用多媒体课件和板书相结合的方式。 表7-1 课时安排 学时 教学内容 第一讲 2 模拟信号数字传输的概述； 抽样定理。 第二讲 2 脉冲振幅调制（PAM）； 模拟信号的量化。 第三讲 2 脉冲编码调制（PCM）； 差分脉冲编码调制（DPCM）系统。第四讲 2 增量调制； DPCM系统中的量化噪声。 159
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第一讲安排 （1）教学要求 了解模拟信号数字化传输的基本方法和抽样的基本概念，理解低通和带通抽样定理，掌握带通抽样定理的应用。 （2）难点重点 教学难点：带通抽样定理的证明。 教学重点：模拟信号数字传输的基本方法，低通和带通抽样定理。 （3）知识回顾 在中学已经学过，当抽样频率大于信号最高频率的2倍时，利用抽样值可以准确恢复原信号，这就是低通抽样定理。在实际通信系统中，由于传输信号调制后变为带通信号，利用低通抽样定理会使抽样频率选得太高，降低了信道利用率，为此需要采用带通抽样定理。 （4）讲授提纲 本章知识点结构 模拟信号数字传输的概述 数字信道传输信号的类型 模拟信号数字传输的步骤 模拟信号数字传输的模型 信源编码的方法 抽样定理 几个概念（抽样，抽样定理，抽样定理的分类） 低通抽样定理（均匀抽样定理，均匀抽样定理的证明，信号的恢复，混叠失真） 带通抽样定理（研究带通抽样定理的意义，带通均匀抽样定理，） 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 低通抽样定理，带通抽样定理的推导与证明。 （6）扩展知识 暂无。 （7）互动话题 1）信源编码和信道编码的作用有何不同？ 信源编码是指将信源中多余的信息除去，目的是为了提高信息传输的有效性，即提高传输效率。 信道编码的实质是在信息码中增加一定数量的多余码元（即监督码元），使它们满足一定的约束关系，这样由信息码元和监督码元共同组成一个由信道传输的码字。其目的是为了提高信息传输的可靠性。 【提示】：在讲授模拟信号数字传输的步骤时提问。 （8）思考题 教材7-1，7-2。 第二讲安排 （1）教学要求 了解抽样和量化的基本概念，理解各类抽样（自然抽样，理想抽样，平顶抽样）和量化（均匀量化，非均匀量化）的特点，熟悉μ压缩律和A压缩律，掌握A律13折线的编码原理。 （2）难点重点 教学难点：A律13折线的原理。 教学重点：抽样和量化的基本概念、分类及特点，μ压缩律和A压缩律（尤其是A律13折线）160
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 的编码原理。 （3）知识回顾 上一讲介绍了抽样的概念及低通和带通抽样定理。抽样是模拟信号数字化的第一步，然后需要进行量化和编码。本讲主要介绍这两方面的内容。 （4）讲授提纲 脉冲振幅调制 脉冲编码调制 自然抽样的PAM 平顶抽样的PAM 模拟信号的量化 几个概念 量化的几个参数 均匀量化 非均匀量化 μ压缩律 压缩律 律13折线 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 量化误差和量化信噪比，μ压缩律和A压缩律（尤其是A律13折线）的原理。 （6）扩展知识 1）量化误差的不同概念 在数字仪器中：量化误差通常称为±1字误差，是数字仪器特有的、且不可避免的误差。 在模数变换中：量化误差是指量化结果和被量化模拟量的差值。量化级数越多，量化的相对误差越小，但编码越复杂。 【提示】：在讲授模拟信号量化的几个参数时补充。 2）A律13折线的来源 A律编码是IT-UT（国际电联电信标准局）CCITT 定义的关于脉冲编码的一种压缩/解压缩算法。 【提示】：在讲授A律13折线时补充。 （7）互动话题 暂无。 （8）例题及思考题 例题：见例题1。 思考题：见教材7-3~7-7。 第三讲安排 （1）教学要求 了解脉冲编码调制中码型和码位的选择、以及差分脉冲编码调制系统的基本原理，理解和熟悉逐次比较编码器的原理及脉冲编码调制系统的抗噪声性能，掌握A律13折线的编码方法。 （2）难点重点 教学难点：A律13折线的编码方法。 教学重点：脉冲编码调制的基本原理及抗噪声性能，A律13折线的编码方法。 （3）知识回顾 161
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 上一讲量化和编码的基本方法，分析了自然抽样、理想抽样和平顶抽样、均匀量化和非均运量化的特点及适用范围，阐述了A律13折线的编码原理。本讲将在上一讲的基础上，分析脉冲编码调制的基本原理及抗噪声性能，介绍A律13折线的具体编码方法。 （4）讲授提纲 脉冲编码调制 脉冲编码调制的原理（概念，原理，编码码型的选择，码位的选择，编码器原理，译码器原理，PCM信号的码元速率及带宽） PCM系统的抗噪声性能（系统模型，考虑量化噪声的系统性能，考虑信道加性噪声的系统性能，考虑信道加性噪声和量化噪声的系统性能） 差分脉冲编码调制系统 研究差分脉冲编码调制的意义 DPCM的概念 线性预测基本原理 DPCM的工作原理 系统性能 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 脉冲编码调制的基本原理及抗噪声性能，A律13折线的编码方法。 （6）扩展知识 1）A律13折线量化单位的表示 A律13折线量化单位的表示见表7-2。 表7-2 A律13折线量化单位的表示 量化段 量化单位 电平范围 量化段 量化单位 电平范围 1111Δ=/16= 0~16ΔΔ=/16==8Δ 128~256Δ 1 5 11511742048256221111Δ=/16==Δ 16~32ΔΔ=/16==16Δ 256~512Δ 2 6 211611732048128221111Δ=/16==2Δ 32~64ΔΔ=/16==32Δ 512~1024Δ 3 7 31171162102464221111Δ=/16==4Δ 64~128ΔΔ=/16==64Δ 1024~2048Δ4 8 411811515123222 【提示】：在讲授脉冲编码调制的码位选择时补充 （7）互动话题 1）试述自然二进制码、格雷二进制码和折叠二进制码的特点 自然二进制码和二进制数一一对应，是权重码，简单易行，每一位都有确定的大小，从最高位到最低位依次排列，可以直接进行大小比较和算术运算，也可以直接由数/模转换器转换成模拟信号。但在某些情况下，如从十进制的3转换为4时二进制码的每一位都要变，使数字电路产生很大的尖峰电流脉冲。 格雷二进制码是在相邻电平间转换时，只有一位生变化，不是权重码，每一位码没有确定的大小，不能直接进行大小比较和算术运算，也不能直接转换成模拟信号，要经过一次码变换，变成自然二进制码。 折叠二进制码沿中心电平上下对称，适于表示正负对称的双极性信号。其最高位用来区分信号幅值的正负，抗误码能力强。 162
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 【提示】：在讲授脉冲编码调制的码性选择时提问。 （8）例题 例题：见例题2。 第四讲安排 （1）教学要求 了解增量调制的基本原理，理解和掌握其噪声分析方法。 （2）难点重点 教学难点：量化噪声的分析方法。 教学重点：增量调制便译码原理，量化噪声分析方法。 （3）知识回顾 上一讲介绍了脉冲编码调制和差分脉冲编码调制的基本原理，分析了A律13折线的具体编码方法和编码过程。本讲针对脉冲编码调制码位多，译码复杂等缺陷，研究一种新的编码方式，即增量调制方式。 （4）讲授提纲 增量调制 PCM和DM的区别联系 DM的概念及原理框图 DM波形示意图 DM的译码原理 DM的编码原理 DM系统中量化噪声的分类 过载量化噪声 一般量化噪声 抗噪声性能 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 抗噪声性能的分析。 （6）扩展知识 暂无。 （7）互动话题 暂无。 （8）习题 见教材7-2，7-10，7-12。 核心内容 模拟信号数字化方式 （1）模拟信号数字传输的目的 充分利用数字通信抗干扰能力强等特点，提高系统的抗噪声性能。 模拟信号数字传输的步骤：利用数字通信系统传输模拟信号，一般需三个步骤：一是把模拟信号数字化，即模数转换（A/D）；二是进行数字方式传输；三是把数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A）。由于A/D或D/A变换的过程通常由信源编（译）码器实现，故一般把发送端的A/D变换称为信源编码，而把接收端的D/A变换称为信源译码。 163
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 （2）模拟信号数字传输的模型 如图7-2所示。 模拟 模拟信息源 信源编码数字传输系统信源译码 输出 图7-2 模拟信号数字传输的模型 图中，模拟信息源输出模拟随机信号，对该信源进行编码，即信源编码后变成了M进制的数字随机序列。然后利用数字通信系统进行传输，在接收端对收到的数字随机序列进行译码，便可恢复出模拟随机信号。 抽样及抽样定理 （1）概念 把时间上连续的模拟信号变换成一系列时间上离散的抽样序列的过程称为抽样（sampling）。 （2）分类 按照信号是低通型还是带通型分类：分为低通抽样定理和带通抽样定理。 根据抽样脉冲序列的间隔分类：分为均匀抽样和非均匀抽样。 均匀抽样：抽样间隔是均匀的抽样 非均匀抽样：抽样间隔是非均匀的抽样。 根据抽样脉冲序列的性质分类：分为理想抽样和实际抽样（非理想抽样），其中非理想抽样又分为自然抽样（曲顶抽样）和平顶抽样。 理想抽样：是指抽样脉冲为冲激脉冲串δ(t)，即脉冲调幅信号为 T+∞11 m(t)=m(t)δ(t)，M(ω)=[M(ω)∗δ(ω)]=M(ω−2nω) sTsTH∑2πTsn=−∞非理想抽样：是指脉冲载波s(t)（抽样函数）不是冲激脉冲组成，而是具有一定宽度的矩形脉冲序列。 自然抽样：又称曲顶抽样，是指抽样后的脉冲幅度（顶部）随基带信号变化，或者说保持了基带信号的变化规律。 +∞1Aτ m(t)=m(t)s(t)，M(ω)=[M(ω)∗S(ω)]=Sa(nτω)M(ω−2nω) ssHH∑2πTsn=−∞平顶抽样：又称瞬时抽样，是指抽样后的脉冲幅度（顶部）是平坦的，相等的。或者说，能够得到平顶的PAM的抽样方法称为平顶抽样。即先将m(t)与δ(t)相乘，形成理想抽样信号，然后通过一个脉冲形成电路，其输出即为所需的平顶抽样信号。其频谱为 +∞+∞11 M(ω)=M(ω)H(ω)=H(ω)M(ω−2nω)=H(ω)M(ω−2nω) HsHH∑∑TTssn=−∞n=−∞1接收端现加上修正网络，再通过低通滤波器就可以无失真地恢复原信号。 H(ω)（3）低通抽样定理 1一个频带限制在(0,f)内的时间连续信号m(t)，如果以T≤秒的时间间隔对它进行等间Hs2fH隔（均匀）抽样，则m(t)将被所得到的抽样值完全决定。即如果抽样频率f大于等于2f，则可sH164
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 1由抽样序列{m(nT)}无失真地重建恢复原始信号m(t)。T=为抽样的最大间隔，称为奈奎斯特ss2fH间隔。f=2f为最低抽样速率，称为奈奎斯特速率。 sH（4）带通均匀抽样定理 一个带通信号m(t)，其频率限制在(f,f)之间，带宽为B=f−f，如果最小抽样速率LHHL2ffHHf=，m是一个不超过的最大整数，那么m(t)可完全由其抽样值确定。 smB当最高频率为带宽的整数倍时，即f=nB（n为正整数）时，f=2B。当最高频率为带宽Hs的非整数倍时，即f=nB+kB（0<k<1），且f>>B时，f≈2B。 量化理论 （1）概念 量化（quantization）：把幅度上仍然连续（无穷多个取值）的抽样信号进行幅度离散，即指定M个规定的电平，把抽样值用最接近的电平表示。也就是说，量化就是利用预先规定好的有限个电平来表示模拟信号抽样值的过程。 （2）分类 量化一般分为均匀量化和非均匀量化。 均匀量化：把输入信号的取值域按等距离分割的量化称为均匀量化。在均匀量化中，每个量化区间的量化电平平均取在每个区间的中点。 均匀量化的缺点：在给定量化间隔时，量化噪声功率是确定的。因此，量化信噪比随着信号电平的减小而下降。产生这一现象的原因是均匀量化的量化间隔是固定值，无论信号大小如何，量化噪声功率固定不变。这样，小信号时的量化信噪比就难以达到给定的要求。通常，把满足信噪比要求的输入信号的取值范围定义为动态范围。故均匀量化时输入信号的动态范围将受到较大的限制。为了克服均匀量化的缺点，实际中往往采用非均匀量化。 非均匀量化：这是一种在整个动态范围内量化间隔不相等的量化。即根据输入信号的概率密度函数来分布量化电平，以改善量化性能。也就是根据信号的不同区间来确定量化间隔。对于信号取值小的区间，其量化间隔也小，反之则大。 非均匀量化的特点：一是当输入量化器的信号具有非均匀分布的概率密度时，输出端可以得到较高的平均信号量化噪声功率比；二是量化噪声的均方根值与信号抽样值成比例，因此量化噪声对大、小信号的影响大致相同，改善了小信号时的信号量噪比。 非均匀量化的实现方法：对抽样值先进行压缩处理，然后再把压缩的信号进行均匀量化。 压缩（compressor）：是指用一个非线性变换电路将输入变量变换成另一个变量。压缩器就是一个非线性变换电路，通过它后，微弱的信号被放大，较强的信号被压缩。其输入输出关系为 y=f(x) −1非均匀量化就是对压缩后的变量y进行均匀量化。接收端采用一个传输特性为x=f(y)的扩张器来恢复x。 常用的压缩率分为μ压缩率和A压缩率。前者主要用于美国和日本等，后者主要用于我国和欧洲各国 ln(1+μx)0≤x≤1μ压缩率：y=，其中为归一化的压缩器输入电压，0≤y≤1为归一化的压缩ln(1+μ)器输出电压。 165
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 Ax1⎧0≤x≤⎪1+lnAAA压缩率：y=，其中，A=。 ⎨1+lnAx1⎪≤x≤1⎩1+lnAA（3）A律13折线 从不均匀量化的基点出发，设法用13段折线逼近A=的A律压缩特性。目前，A律13折线主要用于我国和英、法、德等欧洲各国的PCM30/32路基群中。 产生办法：把输入x轴和输出y轴用两种不同的方法划分： 对于x轴：在0~1范围内不均匀地分成8段，分段规律是每次以二分之一对分。将区间[0，1]一分为二，其中点为1/2，取区间[1/2，1]为第八段；将剩下的区间[0，1/2]再一分为二，其中点为1/4，取区间[1/4，1/2]为第七段；将剩下的区间[0，1/4]再一分为二，其中点为1/8，取区间[1/8，1/4]为第六段；将剩下的区间[0，1/8]再一分为二，其中点为1/16，取区间[1/16，1/8]为第五段；将剩下的区间[0，1/16]再一分为二，其中点为1/32，取区间[1/32，1/16]为第四段；将剩下的区间[0，1/32]再一分为二，其中点为1/64，取区间[1/64，1/32]为第三段；将剩下的区间[0，1/64]再一分为二，其中点为1/128，取区间[1/128，1/64]为第二段；最后剩下的区间[0，1/128]为第一段。 对于y轴：在0~1范围内采用等分法，均匀分成8段，每段的间隔均为1/8。然后将x、y各对应段的交点连接起来，构成8段直线，其斜率分别见表7-3。 表7-3 13折线斜率表 段落 1 2 3 4 5 6 7 8 斜率 16 16 8 4 2 1 1/2 1/4 从表中可以看出，除一、二段外，其他各段折线的斜率都不相同。图只画出了第一象限的压缩特性，第三象限的压缩特性的形状与第一象限的压缩特性的形状相同，且以原点为奇对称，所以负方向也有八段直线，总共有16个线段。但由于正向一、二两段和负向一、二两段的斜率相同，所以这四段实际上为一条直线。因此，正、负双向的折线总共由13条直线段构成，这就是13折线的由来。 A=的原因：一是使压缩特性曲线在原点附近的斜率为16；二是当用13折线逼近时，x的n八段量化分界点近似为1/2。 编码理论 （1）概念 编码（coding）：用二进制码组表示量化后的M个样值脉冲的过程。 码字（code word）：对于M个量化电平，可以用N位二进制码来表示，其中的每一个码组称为一个码字。 码型（code type）：是指代码的编码规律，其含义是把量化后的所有量化级，按其量化电平的大小次序排列起来，并列出各对应的码字，这种对应关系的整体就是码型。 （2）常用码型 常用码型有自然二进制码（Natural Binary Code，简称NBC），格雷二进制码（Folded Binery Code，简称FBC）（反射二进制码）（Reflected Binary Code，简称RBC）和折叠二进制码（Gray or Reflected Binary Code，简称RBC）。 自然二进码：编码简单，易记，且译码也可逐比特独立进行，但上下两部分无任何规律。 折叠二进码：是一种符号码，左边第1位表示信号极性，信号为正用1表示，信号为负用0表示；第2位到最后一位表示信号幅度。由于正负绝对值相同时，其上半部分与下半部分呈倒影关系，即折叠关系，故名折叠码。其幅度码从小到大按自然二进码编排。 166
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 格雷二进码：特点是任何相邻电平的码组（code clock），只有一位码位发生变化，即相邻码字的距离恒为1。译码时，若传输或判决有误，则量化电平的误差小。同时，该码除极性外，当正负绝对值相等时，其幅度相同，故又称为反射二进码。但这种码不是可加的，不能逐比特进行，需先转换为二进码后再译码。 折叠二进码的特点：对于双极性信号，只要绝对值相同，即可进行相同的编码，即用第1位码表示极性后，双极性信号可以采用单极性编码方法，使得编码过程大大简化； 在传输过程中，若出现误码，对小信号影响较小。如大信号1111误为0111，自然二进码误差为8个量化间隔，折叠二进码为15个量化间隔，可见大信号误码对折叠二进码影响大。若小信号1000误为0000，前者为8，后者为1，说明有利于小信号时减小平均量化噪声。由于语音信号小幅度出现的概率比大幅度出现的概率大，故要着眼于小信号的传输效果。因此，在PCM通信编码中，一般采用折叠二进码。也是A律13折线PCM30/32路基群设备中采用的码型。 （3）A律13折线编码 一般按8段折线（8个段落）进行编码。若用8位折叠二进码表示输入信号的抽样量化电平时，其中第1位表示量化值的极性，其余7位则可表示抽样量化值的绝对大小，共有128个量化级。具体做法为：第1位（极性码）：1表示正信号，0表示负信号；第2位到第4位（段落码）：8种状态表示8个段落电平；第5位到第8位（段内码）：16种状态代表每一段落的16个均匀划分的量化间隔。表7-4和表7-5分别给出了段落码和段内码的表示方式。 表7-4 段落码的表示 表7-5 段内码的表示 段落序号 段落码 量化间隔 段内码 量化间隔 段内码 8111151111701117 110 14 1110 6 0110 6101131101501015 100 12 1100 4 0100 4 011 11 1011 3 0011 3 010 10 1010 2 0010 2 001 9 1001 1 0001 1 000 8 1000 0 0000 若记最小量化间隔Δ=1/2048，则A律13折线的段落码、段内码起点电平见表7-6。 表7-6 A律折线幅度码及其对应电平 量化段 电平范围 段落码 段落起量化间隔段内码对应权值/Δ ~CΔ/Δ CCi=18 /Δ 始电平CC C C234i56788 1024~2048 1 1 1 1024 64 512256 128 64 7 512~1024 1 1 0 512 32 256128 64 32 6 256~512 1 0 1 256 16 12864 32 16 5 128~256 1 0 0 128 8 64 32 16 8 4 64~128 0 1 1 64 4 32 16 8 4 3 32~64 0 1 0 32 2 16 8 4 2 2 16~32 0 0 1 16 1 8 4 2 1 1 0~16 0 0 0 0 1 8 4 2 1 以上为非均匀量化，若采用均匀量化，且量化间隔为非均匀量化时的最小间隔1/2048，则从13折线第1段到第8段的各段所包含的均匀量化间隔数分别为16、16、32、64、128、256、512、 167
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 1024，共计2048个均匀量化级。而非均匀量化只需要128个量化级。即均匀量化需要编11位码，非均匀量化只需要7位码。由此可见，在保证小信号量化间隔相同的条件下，7位非线性编码与11位线性编码等效。由于非线性编码的码位减少，故设备简单，所需带宽减小 （4）编码器原理 实现编码方法很多，主要有逐次比较型、级联型、混合型等等。目前应用较多的是逐次比较型编码器。 逐次比较编码器的原理：原理框图如图7-3所示。编码器的任务就是根据输入的样值脉冲编出相应的8位二进制代码，除第1位极性码外，其余7位是通过逐次比较确定的。 各部分的作用 整流器（rectifier）：识别输入样值脉冲的极性，编出第1位码。样值为正时输出1，样值为负时输出0。 比较器（comparer）：为编码器的核心，通过比较样值电流和标准电流，对输入信号抽样值实现非线性量化和编码。 在比较过程中，每比较一次，输出一位二进制代码，其规则是当I>I时，输出1，当I<Iswsw时，输出0。由于在13折线中用7位二进制代码代表段落和段内码，故对每一个抽样值比较7次，每次所需的标准电流均由本地译码器提供。 RAM 后7位输出 整流器 保持电路 比较器输入 恒流源7/11变换电路记忆电路 本地译码电路 图7-3 逐次比较型译码电路 记忆电路：用于寄存二进代码。 7/11变换电路：相当于非均匀量化中的数字压缩器，由于恒流源有11个基本权值电流支路，而比较器只能编7个码，故需进行11到7的转换。 恒流源（constant current source）：也称11位线性解码电路或电阻网络，用于产生各种标准电流。标准电流的个数与量化级数有关。对于A律13折线编出码，需要11个标准电流。即11个基本的权值电流支路，每个支路都有一个控制开关。 保持电路（holding circuit）：在比较过程中，保持输入信号的幅度不变。 抗噪声性能 由于PCM系统涉及量化噪声（quantization noise）和信道加性噪声两种噪声。 在不考虑信道噪声的条件下，量化信噪比为 S022N =M=2 NqM式中， M为量化电平数；N=log为二进制的位数。 2在仅考虑信道加性噪声时，输出信噪比为 S10 = N4Pee在综合考虑加性噪声和量化噪声的条件下，将上述两种情况进行综合得 168
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2NSS11200 ==== 2NN1NN+NN1+4P2q0eqee4P++增量调制（ΔM） （1）概念 增量调制（Delta Modulation，简称DM或ΔM）是对信号相邻样值的增加量进行1比特量化编码的方式。 （2）MCP与MD的区别联系 二者都采用二进制代码表示模拟信号的编码；PCM中，代码表示样值本身的大小，所需码位较多，编译码设备复杂；DM中，只用一位编码表示相邻样值的相对大小，反映抽样时刻波形的变化趋势，与样值本身的大小无关；DM与PCM相比，具有编译码简单，低比特率时的量化信噪比高，对信道误码不敏感（抗误码特性好）等特点，在军事和工业部门的主要通信网和卫星通信中得到了广泛应用。 （3）实现原理 原理框图如图7-4所示。 ′mme eem′ (t) qkkokokk二电平 抽样器 加法器加法器 量化器 加法器m′ 延迟线 k mk 编码器译码器 延迟线 图7-4 DM系统原理框图一差分mm′e=− qkkk二电平量化器输出为+σ或−σ，称为量化台阶（quantization step），e为二进制符号。 ok将延迟单元—相加器变为积分器，得到原理框图二，见图7-5所示。图中译码器的工作原理是接收端只要每接收到一个1码，就使输出上升一个+σ，每接收到一个0码，就使输出下降一个+σ。连续收到1码（或0码）就使输出一直上升（或下降），这样就可以近似地复制出阶梯波形。该功能可用积分器来完成。遇到1码（即有+E脉冲），就固定上升一个ΔE，且ΔE=σ。遇到0码，就下降一个ΔE。由于积分器输出中一般含有不需要的高频分量，故用低通滤波器进行平滑（smoothing）。 e(t) mp(t)(t) qo′m′p(t) 加法器 抽样判决ok 积分器低通滤波器 m′(t) 积分器 译码器 编码器 图7-5 DM系统原理框图二 （4）抗噪声性能 DM系统中量化噪声分为过载（overload）量化噪声和一般量化噪声两种。 169
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 过载量化噪声又称为过载噪声，发生在模拟信号斜率陡变时，由于台阶σ是固定的，而且每秒内台阶数也是确定的，使得阶梯电压波形跟不上信号变化，形成了很大的失真阶梯电压波形，称为1过载现象，也称为过载噪声。设抽样时间间隔为Δt=，则一个台阶上的最大斜率为 fsdm(t)σ K===σf sdtΔt称为译码器的最大跟踪斜率。 在实际应用中，若信号实际斜率超过最大跟踪斜率，则会造成过载噪声。因此为了不发生过载现象，必须使f和σ的乘积达到一定的数值，以使信号实际斜率不超过这个数值。这个数值通常s可以用增大f或σ来达到。 s对于一般量化噪声，台阶σ大，则量化噪声大；台阶σ小，则量化噪声小，采用大的台阶虽然能减小过载噪声，但却增大了一般量化噪声，因此σ值应适当选取。 在临界条件下，系统有最大的信号功率输出，为 22222Aσfσfmaxss S=== 022222ω8πfkk得到临界条件下的最大信噪比为 33S3ff0ss =≈ 222N8πffff0kmkm可以看出，在临界条件下，量化信噪比与采样频率f的3次方成正比，与信号频率f的平方sk成反比，与低通滤波器的截止频率f成反比。所以，提高采样频率对改善量化信噪比大有好处。 重要公式 低通抽样定理：f≥2f sH2fH带通抽样定理：f≥，f≥2B ssmln(1+μx)μ压缩率：y= ln(1+μ)Ax1⎧0≤x≤⎪1+lnAAA压缩率：y= ⎨1+lnAx1⎪≤x≤1⎩1+lnAA2NS20PCM系统信噪比：= 2NN1+4P20edm(t)ΔM系统不失真条件：K=≤σf sdt33S3ff0ssΔM系统临界条件的最大信噪比：=≈ 222N8π经典例题 170
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 例1 设一个M电平的均匀量化器，其输入信号的概率密度函数在[−a,a]内均匀分布，试求该量化器的量化信噪比。 解：根据量化噪声功率的计算公式得 MM2m−a+iΔVi1ΔV⎛⎞2N=(x−q)f(x)dx=x+a−iΔV+dx ⎜⎟qi∑∑∫∫m−a+(i−1)ΔV2a2i−1⎝⎠i=1i=1−a+iΔVM3M33⎡⎤11ΔV11ΔVΔV⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎢⎥ =x+a−iΔV+=−− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟∑∑2a322a322⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠i=1i=1−a+(i−1)Δ⎣⎦V3M(ΔV)= 24aΔV由于q=−a+iΔV−，M⋅ΔV=2a，得 i22(ΔV) N= q12信号功率为 22aaa111aM2232 S=xf(x)dx=xdx=⋅x==(ΔV) 0∫∫−a−a−a2a2a3312得到信号量化噪声功率比为 2M2(ΔV)⎛⎞SS012202⎜⎟ ==M，=10lgM=20lgM 2⎜⎟NN(ΔV)qq⎝⎠dB12评注：考查量化噪声功率、信号功率和信号量化噪声功率比的计算公式。 例2 设输入信号抽样值为1270个量化单位，采用逐次比较型编码器，按A律13折线编成8位码。 解：编码过程为： 确定极性码C：由于输入样值为正，故极性码C=1； 11确定段落码CCC：13折线中，正半部分的8个段落以1/2048为单位的每个段落的起点电平234如表7-所示。 表7 段落起点电平 段落 1 2 3 4 5 6 7 8 起点电平 0 16 32 64 128 256 512 1024 C：用于表示输入信号抽样值处于8个段落中的前4段还是后4段。标准电流选择I=128Δ 2w（Δ为量化单位），由于I>I，所以C=1。 sw2C：用于进一步确定输入信号样值属于5~6段，还是7~8段。标准电流选择I=512Δ，由于3wI>I，所以C=1。 sw3C：用于进一步确定输入信号样值属于第7段，还是第8段。标准电流选择I=512Δ，由于4wI>I，所以C=1。 sw4得到段落码为：CCC=111 234确定段内码CCCC：段内码是在已经确定输入信号所处段落的基础上，确定处于该段落的5678哪个量化间隔上。 现已确定输入信号处于第8段，该段的16个量化间隔均为64个量化单位，故各段内码为 C：用于确定输入信号处于前8个还是后8个量化间隔，标准电流选择 5 I=段落起始电平+8×量化间隔=(1024+8×64)Δ=1536Δ w 171
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 由于I<I，故C=0。 sw5 C：用于进一步确定输入信号处于0~3还是4~7量化间隔，标准电流选择 6 I=段落起始电平+4×量化间隔=(1024+4×64)Δ=1280Δ w 由于I<I，故C=0。 sw6 C：用于进一步确定输入信号处于0~1还是2~3量化间隔，标准电流选择 7I=段落起始电平+2×量化间隔=(1024+2×64)Δ=1152Δ w 由于I>I，故C=1。 sw7C：最后确定是处于2还是3量化间隔，标准电流选择 8 I=段落起始电平+3×量化间隔=(1024+3×64)Δ=1216Δ w由于I>I，故C=1。 sw8评注：考查A律13折线的具体编码方法。 例3 设输入抽样器的信号为门函数D(t)，宽度τ=20ms，若忽略其频谱第10个零点以外的频率分τ量，试求最小抽样频率。 解：门函数D(t)的频谱函数为 ττω⎛⎞ D(ω)=τSa ⎜⎟ω2⎝⎠ωτ20π当=10π时，ω= 2τω1010 f===500(Hz) −32πτ20×10 f≥2f=1000(Hz) s所以最小抽样频率为1000Hz。 评注：考查抽样频率的计算。 提示：门函数的频谱为Sa函数，它在整个频域上均有值，但其主瓣占有能量最多，越偏离主瓣的旁瓣占有能量越小，故可取其一定的频谱宽度，而把更高频率的频谱认为是零。本题是取10个频谱以内的值近似为门函数的频谱。Sa(x)函数当x=nπ时值为零（其中n为正整数且不为零）。所以ωτD(ω)的第10个零点的频率即为当=10π时的ω值，从而可求出f及f。 ωs2例4 已知模拟信号抽样值的概率密度f(x)如图7-6所示。若按四电平均匀量化，试计算信号量化噪声功率比。 f(x) U−(−U)1−(−1)解：量化间隔为：Δ=== M4量化区间终点为：−1,−,0,,1 x−10 1 量化电平值：−,−,, 7-6 例2图 量化噪声功率：N=2(x−m)(1−x)dx+2(x−m)(1−x)dx= qqq∫∫Δ1或 N== q1248信号功率为 ⎛⎞⎛⎞ S=2(1−x)dx+2(1−x)dx= ⎜⎟⎜⎟q∫∫⎝⎠⎝⎠172
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 量化噪声功率比为 3Sq16 ==9=(dB) 1Nq48US⎛⎞eM也可以按均匀量化信噪比的计算公式=20lg+6N+（式中U=S，N=log）⎜⎟eq2NU⎝⎠dB来计算。 US3⎛⎞e =20lg+6N+=10lg+6×2+=(dB) ⎜⎟NU16⎝⎠dB评注：考查均匀量化信噪比的计算方法。 例5 信号m(t)=Msin2πft进行简单增量调制，若台阶σ和抽样频率选择得既保证不过载，又保证0不致因信号振幅太小而是增量调制器不能正常编码，是证明此时要求f>πf。 s02Mπfdm(t)0解：要使系统不过载，要求K=≤σf，即2Mπf≤σf，f≥ s0ssdtσ2M要保证增量调制器能够正常编码，要求σ<2M，即>1 σ比较上两式得 πff≥1，f≥πf 0ss0评注：考查增量调制不发生过载的条件。 dm(t)提示：增量调制时，为了不发生斜率过载现象，必须满足≤σf，要保证增量调制器能够sdtmax正常编码，必须σ<2M。 例6 对10路带宽均为300~3400Hz的模拟信号进行PCM时分复用传输。抽样速率为8000Hz，抽样后进行8级量化，并编为自然二进制码，码元波形是宽度为τ的矩形脉冲，且占空比为1，试求传输此时分复用PCM信号所需的带宽。 1解：由于抽样频率为f=8kHz，则抽样间隔为T==125(μs) ssfs8由于采用8级量化，故需码元位数为N=log=3 2Ts所以一个矩形脉冲的宽度为T= b3由于路数n=10，所以信号第一个过零点的带宽为 n3 B==10×=240(kHz) TTbs也可以按公式B=nNf直接计算其带宽，即 s B=nNf=10×3×8=240(kHz) s评注：考查在脉冲编码调制时带宽的计算。 提示：占空比为1的矩形脉冲作为码元波形的PCM系统的信号带宽公式为B=nNf。其中，n为s复用路数，N为编码位数，f为抽样频率。当占空比P不为1时，上式简化为B=PnNf。 ss例7 设信号幅度的概率密度函数分别为 ⎧a(1−u)u≤1⎧bu≤1（1）P(u)= （2）P(u)= ⎨⎨0其他0其他⎩⎩ 173
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 式中，过载电压取归一化值1，采用均匀量化，量化级数M=4，试求： （1）上两式的a、b； （2）计算两种概率密度分布情况下的量化噪声平均功率（归一化值），两值是否相同。 1解：（1）由P(u)du=1得 ∫−10+12210+1⎛⎞⎛⎞auau⎜⎟⎜⎟ P(u)du=a(1+u)du+a(1−u)du=au++au−=a=1 ∫∫∫⎜⎟⎜⎟−1−1022⎝⎠⎝⎠−10222Δ12U121⎛⎞⎛⎞ 量化误差N===×= ⎜⎟⎜⎟q1212M12448⎝⎠⎝⎠1（2）由P(u)du=1得 ∫−1+11+1bu P(u)du=bdu==b=1 ∫∫−1−12−1222Δ12U121⎛⎞⎛⎞ 量化误差N===×= ⎜⎟⎜⎟q1212M12448⎝⎠⎝⎠评注：考查不同概率密度时量化误差的计算方法。 1提示：利用P(u)du=1可计算出a、b值。 ∫−名词中英文对照 Adaptive Difficiental Pulse Code Modulation，简称ADPCM，自适应差分脉冲编码调制 coding，编码 code clock，码组，码块 code type，码型 code word，码字 compression，压缩 comparer，比较器 constant current source，恒流源 Delta Modulation，简称DM，增量调制 Difficiental Pulse Code Modulation，简称DPCM，差分脉冲编码调制 dynamic range，动态范围 expansion，扩张 Folded Binery Code，简称FBC，格雷二进制码 holding circuit，保持电路 integrator，积分器 linear differential equation，线性微分方程 linear combination，线性组合 linear prediction，线性预测 logarithm，对数 174
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 Natural Binary Code，简称NBC，自然二进制码 overload，过载 Pulse Code Modulation，简称PCM，脉冲编码调制 Pulse Amplitude Modulation，简称PAM，脉冲振幅调制 Pulse Duration Modulation，简称PDM，脉冲宽度调制 Pulse Position Modulation，简称PCM，脉冲位置调制 prediction order，预测阶数 prediction coefficient，预测系数 quantization，量化 quantizer，量化器 quantized value，量化值 quantization noise，量化噪声 quantization step，量化台阶 rectifier，整流器 Reflected Binary Code，简称RBC，反射二进制码 Gray or Reflected Binary Code，简称RBC，折叠二进制码 sampling，抽样 smoothing，平滑 练习与思考 练习题 7-1 已知一低通信号m(t)的频谱为M(f)为 ⎧f⎪1−f<200Hz M(f)= ⎨200⎪0其他⎩（1）假设以f=300Hz的速率对m(t)进行理想抽样，试画出已抽样信号m(t)的频谱草图。 ss（2）若用f=400Hz抽样，重做上题。 s解：频谱图见图7-7所示。 MM(f)(f) s -200 -300200 f(Hz)300f(Hz) 原始信号频谱 300Hz抽样信号频谱 M(f) s -400400f(Hz) 400Hz抽样信号频谱 图7-7 题7-1图 175
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 7-2 已知一基带信号m(t)=cos2πt+2cos4πt，对其进行理想抽样： （1）为了在接收端能不失真地从一抽样信号m(t)中恢复m(t)，试问抽样间隔应如何选择？ s（2）若抽样间隔为，试画出已抽样信号的频谱图。 解：（1）基带信号可以看成是低通信号，由于ω=2πf=4π，得到 mm f=2Hz m 根据抽样定理可知，抽样频率和抽样间隔为 f≥2f=4(Hz) smT≤1/2f=1/4=(s) sm （2）略 7-3 已知某信号m(t)的频谱如图7-8所示，将它通过传输函数为H(ω)的滤波器后再进行理想抽样。 1（1）抽样速率应为多少？ （2）若抽样速率f=3f，试画出抽样信号m(t)的频谱。 s1s（3）接收端的接收网络应具有怎样的传输函数H(ω)，才能由m(t)不失真地恢复m(t)。 2s mm(t)(t) sH(ω) 1×m(t)m(t)sH(ω)1 δ(t)T 发送端接收端 M(ω) H(ω)1 ωω −ω ω−2ω2ω1111 图7-8 题7-3图 解：（1）根据抽样定理，要是信号不失真，抽样速率应为 ω f≥2f= s1π （2）抽样速率为f=3f时，频谱图如图7-9所示。 s1 M(f)s ω -3ω 3ω11 图7-9 题7-3图 （3）在接收端，若H(ω)=1/H(ω)时，可以不失真地恢复m(t)。 217-4 已知信号m(t)的最高频率为f，若用图7-10示q(t)的对m(t)进行自然抽样，试确定已抽样信号m的频谱的表达式，并画出其示意图。 解：三角脉冲形成网络的传输函数为 176
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 +∞nωττ⎛⎞2s Q(ω)=2πSa⎜⎟δ(ω−nω)，ω=2πf=2π⋅2f=4πf sssmm∑⎜⎟T2⎝⎠n=−∞q(t) 抽样信号为 m(t)=m(t)q(t) s 抽样信号的频谱为 −τ τ +∞T=1/2fmnωτ1τ⎛⎞2s M(ω)=M(ω)∗Q(ω)=Sa⎜⎟M(ω−nω) ss∑⎜⎟图8-10 题7-4图 2πT2⎝⎠n=−∞ 频谱图略。 7-5 已知信号m(t)的最高频率为f，若用图7-11示q(t)的单个脉冲对m(t)进行瞬时抽样，试确定已m抽样信号及其频谱表达式。 解：瞬时抽样是由理想抽样信号经过脉冲形成电路得到的，三角脉冲形成网络的传输函数为 ωτ⎛⎞2 Q(ω)=τSa q(t) ⎜⎟2⎝⎠ 理想抽样信号的频谱为 +∞+∞11 M(ω)=M(ω−nω)=M(ω−2nω) ssm∑∑−τ τ TTssn=−∞n=−∞T=1/2fm 脉冲形成电路输出信号的频谱为 图8-11 题7-5图 +∞+∞τ1ωτ⎛⎞2 M(ω)=M(ω)Q(ω)=M(ω−nω)=SaM(ω−2nω) ⎜⎟Hssm∑∑TT2⎝⎠ssn=−∞n=−∞ 脉冲形成电路输出信号（已抽样信号）为 +∞ m(t)=m(t)δ(t−nT)∗q(t) Hs∑n=−∞7-7 设输入抽样器的信号为门函数G(t)，宽度τ=20ms，若忽略其频谱第10个零点以外的频率分τ量，试求最小抽样速率。 解：门函数的频谱函数为 τ⎛⎞ G(ω)=τSaω ⎜⎟τ2⎝⎠ 第一个零点频率为 1 f==50Hz 1τ 由于个零点的间隔均为1/τ，得到第10个零点的频率为 f=10f=500Hz m1 所以最小抽样速率为 f=2f=1000Hz sm7-8 设信号m(t)=9+Acosωt，其中A≤10V。若m(t)被均匀量化为40个电平，试确定所需的二进制码组的位数及量化间隔。 解：由于 56 2<40<2 所以所需二进制码码位为N=6，量化间隔为 177
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2A20 Δv===(V) 40407-9 已知模拟信号抽样值的概率密度如图7-12所示，若按四电平均匀量化，试计算信号量化噪声功率比。 解：根据的图7-12可知 f(x) ⎧1−x0<x≤1⎪ f(x)=1+x−1≤x≤0 ⎨x ⎪0x>1⎩-11 图7-12 题7-9图 x的动态范围为 v=1−(−1)=2 量化间隔为 v2Δv=== M4得到量化区间端点和量化电平为 m=−1、m=、m=0、m=、m=1、q=−、q=−、q=、q= 012341234 量化器输出信号功率为 4m−=qf(x)dx=(−)(1+x)dx+(−)(1+x)dxqi∑∫∫∫m−1−1−=1 +()(1−x)dx+()(1−x)dx=∫∫ 量化噪声功率为 4m−=(x−q)f(x)dx=(1+)(1+x)dx+(1+)(1+x)dxqi∑∫∫∫m−1−1−=1 +(1−)(1−x)dx+(1−)(1−x)dx=∫∫ 所以量化噪声功率比为 S3/16q ==9=(dB) N1/48q7-10 采用A律13折线编码，设最小量化级为1个单位，已知抽样脉冲值为6+35单位 （1）试求此时编码器输出的码组，并计算量化误差； （2）写出对应于该7位码的均匀量化11位码。 解：（1）极性码的确定 由于I=+635>0，所以极性码C=1。 s1 （2）段落码的确定 由于512<I<1023，所以抽样值位于第七段，得到段落码为 s CCC=110 234（3）段内码的确定 第七段的电平范围是512~1023，每个量化间隔为32个单位。由于 I=+635=512+3×32+27 s得到抽样值位于第7段的第3个量化间隔，故段内码为 CCCC=00115678得到编码器输出码组为 178
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 CCCCCCCC=1110001112345678（4）量化误差的计算 编码器输出码组所对应的量化电平数为 I=512+3×32=608 q 量化误差为 I=I−I=635−608=27 esq （5）量化电平数I=608对应的11位均匀量化码为 q CCCCCCCCCCC=0100110000012345678910117-11 采用A律13折线编码，设接收端收到的码组位01010011，最小量化级各为1个单位，并已知段内码改用折叠二进制码 （1）试求译码器输出为多少量化单位； （2）写出对应于该7位码的均匀量化11位码。 解：（1）由于极性码C=0，则信号为负值。 1 由于段落码CCC=101，则码组位于第6段。该段的起始电平为256，终止电平为511，量234化间隔为16。 根据折叠码的编码原理，段内码CCCC=0011对应的是第4个量化级，所以量化值为 5678 I=−(256+4×16)=−320 q 得到译码器输出为-320个量化单位。 （2）320对应的均匀量化11位码为 CCCCCCCCCCC=00101000000 12345678910117-13 信号m(t)=Msin2πft进行简单增量调制，若台阶和抽样频率选择的既保证不过载，又保证不0致因信号幅度太小而使增量调制器不能正常编码，试证明此时要求f>πf。 s0证：要使增量调制不过载，要求 dm(t)σ =2πMfcos2πft≤=σf 00sdtΔt 即 2πMf<σf 0s 要使系统能够正常编码，要求 σσ m(t)>，M> max22 得到 σ σf>2πMf>2πf×=πσf，f>πf 思考题 7-1 什么是低通型信号的抽样定理？什么是带通型信号的抽样定理？ 答：低通抽样定理：一个频带限制在(0，f)内的时间连续信号m(t)，如果以T=1/2f秒的时间间HH隔对它进行等间隔（均匀）抽样，则m(t)将被所得到的抽样值完全决定。 带通抽样定理：一个带通信号m(t)，其频率限制在(f，f)之间，带宽为B=f−f，如果最LHHL小抽样速率f=2f/m， m是一个不超过f/B的最大整数，那么m(t)可完全由其抽样值确定。sHH当f>>B时，f≈2B Ls 179
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 已抽样信号的频谱混叠是什么原因引起的？若要求从已抽样信号m(t)中正确恢复原信号m(t)，s抽样速率f应满足什么条件？ s答：已抽样信号的频谱混叠是由于抽样频率小于原始信号最高频率的两倍而造成的。 若要从已抽样信号m(t)中正确恢复原信号m(t)，抽样速率f应不小于原始信号m(t)最高频率ssf的两倍，即f≥2f。 msm7-3 试比较理想抽样、自然抽样和瞬时抽样的异同点。 答：理想抽样是指采用真正的冲激脉冲串对原始信号进行抽样，但实际中是无法实现的。 瞬时抽样：抽样幅度为抽样时刻信号的瞬时值，在抽样脉冲持续期间抽样值保持不变。或者说，抽样后的脉冲幅度（顶部）是平坦的，相等的。 自然抽样：一般采用窄脉冲串来实现，在抽样脉冲持续期间，样值幅度随输入信号变化而变化。即指抽样后的脉冲幅度（顶部）随基带信号变化，或者说保持了基带信号的变化规律。 其相同点是：都是对模拟信号进行抽样，将连续信号变为离散信号，且频谱非常相似。 不同点是：① 抽样脉冲形式不同：理想抽样是冲激脉冲串，自然抽样和瞬时抽样是窄脉冲串。② 抽样值不同：理想抽样值和瞬时抽样值只有一个，自然抽样值是无穷多个。③ 带宽不同：理想抽样的信号带宽为无穷大，自然抽样的带宽是有限的。 7-4 什么是量化？为什么要进行量化？ 答：量化就是把连续信号变换为取值域上的离散值，使信号取有限个量化电平之一。 量化的目的就是用有限的离散值近似模拟原始信号的振幅，在接收端由这些有限的离散值恢复原始信号，从而实现利用数字传输系统来传输抽样值的信息。 7-5 什么是均匀量化？它的主要缺点是什么？ 答：均匀量化是把输入信号的取值域按等距离分割的量化。 均匀量化的主要缺点是无论抽样值大小如何，量化噪声的均方根值都是固定不变的。故当信号较小时，则量化信噪比会很小，难以达到要求。 7-6 在非均匀量化时，为什么要进行压缩和扩张？ 答：在非均匀量化时，采用压缩和扩张可以提高小信号的信噪比，从而扩大了输入信号的动态范围。 7-7 A律13折线与μ律15折线相比各有什么特点？ 答：在小信号时，μ律15折线信号量化噪声比比A律13折线的量化噪声比大一倍多；对于大信号，μ律15折线信号量化噪声比比A律13折线的量化噪声比要差。 180
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第八章 数字信号的最佳接收 知识点结构框架 本章的知识点结构框架如图2-1所示。 数字信号最佳接收 最佳接收概念 最佳接收准则匹配滤波器 研究对象 统计模型 确知信号随相信号起伏信号基本高斯白噪声 最佳接收最佳接收最佳接收原理匹配滤波器 图8-1 知识点结构框图 教学要求 （1）了解数字通信系统的统计模型和最佳准则； （2）熟悉确知信号、随机相位信号和起伏信号接收的模型结构和接收机性能； （3）掌握匹配滤波器的基本原理。 难点重点 教学难点：确知信号、随相信号和起伏信号的最佳接收。 教学重点：数字信号接收的统计表述；最佳接收准则；二进制确知信号的最佳接收原理及抗噪声性能；二进制确知信号的最佳形式；匹配滤波器原理。 教学安排 本章共分为8节，即最佳接收的概述、数字信号接收的统计表述、关于最佳接收准则确知信号的最佳接收、随相信号的最佳接收、起伏信号的最佳接收、普通接收机与最佳接收机的性能比较和匹配滤波器。讲授8学时，其安排见表8-1。讲授采用多媒体课件和板书相结合的方式。 表8-1 课时安排 学时 教学内容 最佳接收的概述； 数字信号接收的统计表述； 关于最佳接第一讲 2 收准则。 第二讲 2 确知信号的最佳接收； 随相信号的最佳接收。 第三讲 2 起伏信号的最佳接收； 普通接收机与最佳接收机的性能比较。第四讲 2 匹配滤波器。 181
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 第一讲安排 （1）教学要求 了解最佳接收的概念及研究意义，理解和熟悉数字通信系统的统计模型（消息空间，信号空间，噪声空间，观察空间，判决空间）及检测概率、漏报概率和虚警概率的含义，掌握最佳接收准则，即最小差错概率准则。 （2）难点重点 教学难点：检测概率、漏报概率、虚警概率的含义及计算。 教学重点：统计模型的分析，四种概率的计算公式，最小差错概率准则的推导。 （3）知识回顾 本章是在前几章的基础上，研究如何从收到干扰的接收信号中恢复发送信号。 （4）讲授提纲 本章知识点结构 最佳接收的概述 影响信号可靠传输的因素 最佳接收理论的研究对象 数字信号接收的统计表述 数字通信系统的统计模型 模型参数的统计描述 关于最佳接收的准则 二元接收信号判决 最佳接收准则 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 检测概率、虚警概率和漏报概率四种概率的计算公式，最小差错概率准则和最大似然准则的推导。 （6）扩展知识 1）最佳信号接收的发展历程 最佳信号接收理论，即信号检测与估计理论自40年代问世以来，得到了迅速的发展和广泛的应用，其发展历程可以大致分为三个阶段。 初创和奠基阶段：信号检测与估计理论是从40年代第二次世界大战中逐步形成和发展起来的。在整个40年代，美国科学家维纳（）和苏联科学家（Α.Η.Иолмогоров）将随机过程及数理统计的观点引入通信和控制系统，揭示了信息传输和处理过程的统计本质，建立了最佳线性滤波器理论，即维纳滤波理论。这样，就把经典的统计判决理论和统计估计理论与通信工程紧密结合起来，为信号检测与估计理论奠定了基础。 同时，在雷达技术的推动下，诺思（.）于1943年提出了以输出最大信噪比为准则的匹配滤波器理论。1946年，卡切尼科夫（В.А.ΚотелЬников）发表了“潜在抗干扰性理论”，用概率论方法研究了信号检测问题，提出了错误判决概率为最小的理想接收机理论，证明了理想接收机应在其接收端重现出后验概率为最大的信号，即将最大后验概率准则作为一个最佳准则。1948年香农（Shannon）认识到对消息事先的不确定性正是通信的对象，并在此基础上建立了信息论的基础理论。1950年伍德沃德（）将信息量的概念应用到雷达信号检测中，提出了理想接收机应能从接收到的信号加噪声的混合波形中提取尽可能多的有用信号，即理想接收机应是一个计算后验概率的装置。 迅猛发展阶段：在整个50年代，信号检测与估计理论发展迅速，密德尔顿（）等人用贝叶斯（Bayes）准则来处理最佳接收问题，并将各种准则统一到了风险理论，使检测理论发182
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 展到成熟阶段。 成熟阶段：60年代，多部有关信号检测与估计理论的专著问世，范特理斯（ Trees）陆续完成了他的三大巨著（ Trees．eDtection，Estimation，and Modulation Theory．Wiley，eNw oYrk，Part Ⅰ 1968，Part Ⅱ 1971，Part Ⅲ 1971．中译本．《检测、估计和调制理论》，国防工业出版社，1983），是信号检测与估计理论代表作。 【提示】：在讲授最佳信号的接收时补充。 2）其他几个最佳接收准则 最小风险Bayes准则（Bayes criterion）： H1f()(C−C)P(H)y|H1>10000l(y)=l= <0f(y|H)(C−C)P(H)H0011110最大后验概率准则（maximum a posterior probability criterion，简称MAP准则）： H1f()P(H)P(H)y|H1>00l(y)=l== <0f(y|H)P(H)1−P(H)H0100极大极小准则（minimum a posteriori probability criterion）： H1f()(C−C)qy|H1>10000l(y)=l= <0f(y|H)(C−C)(1−q)H0011100Neyman-Pearson准则（Neyman Pearson criterion）： H1f(y|H)1> l(y)=l=μ <0f(y|H)H00式中，P(H)、P(H)是两种假设H和H发生的先验概率；C、C分别为虚警代价和漏报代价；01011001f(y|H)、f(y|H)为条件概率密度函数，又称为似然函数；q为最不利的先验概率；μ为Langrange100乘数。 【提示】：在讲授最佳接收准则——最小差错概率准则时补充。 （7）互动话题 1）何谓先验概率？何谓后验概率？ 先验概率：是指根据以往经验和分析得到的概率。往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。 后验概率：是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率。是“执果寻因”问题中的“因”。后验概率是基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。 【提示】：在讲授最佳接收准则时提问。 （8）思考题 教材277页8-1，8-2。 第二讲安排 （1）教学要求 了解确知信号和随相信号的概念，理解和熟悉最佳接收机的含义及结构，掌握确知信号和随相信号最佳接收机数学模型的推导和最小错误概率（即误码率）的分析与计算。 （2）难点重点 教学难点：最小错误概率的计算。 教学重点：不同条件下最佳接收机数学模型的推导，最小错误概率的分析与计算。 （3）知识回顾 183
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 上一讲介绍了数字信号最佳接收的概念及参数，分析了最小差错概率准则和最大似然准则，补充了Bayes准则和最大后验概率准则。本将将利用最小差错概率准则，分析和推导确知信号和随机相位信号条件下，最佳接收机的数学模型及产生的最小错误概率。 （4）讲授提纲 确知信号的最佳接收 二进制确知信号最佳接收的概念 二进制确知信号的最佳接收机 二进制确知信号最佳接收机的性能 随相信号的最佳接收 二进制随相信号最佳接收的概念 二进制随相信号的最佳接收机 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 最佳接收机和最小错误概率的推导与分析。 （6）扩展知识 1）条件概率的计算 根据概率论中条件概率的计算，若已知条件概率密度f(yx)和概率密度f(x)，则+∞+∞f()=()yfyxf(x)dx=f(y,x)dx ∫∫−∞−∞在随相信号接收中，已知f(y|H，θ)和f(θ)，则f(y|H)=f(y|H，θ)f(θ)dθ。 111∫{θ}【提示】：在讲授随相信号的最佳接收时补充。 （7）互动话题 暂无。 （8）思考题 教材277页8-3，8-4，8-5。 第三讲安排 （1）教学要求 了解起伏信号（即随机相位和随机振幅）的含义及所服从的分布（振幅服从瑞利分布，相位服从均匀分布），熟悉和理解普通接收机与最佳接收机的性能比较，掌握起伏信号最佳接收机数学模型的推导和最小错误概率（即误码率）的分析与计算。 （2）难点重点 教学难点：起伏信号最佳接收机数学模型的推导，最小错误概率计算。 教学重点：起伏信号最佳接收机数学模型的推导和，最小错误概率的分析与计算。 （3）知识回顾 上一讲介绍了确知信号和随机相位信号的最佳接收，推导了其数学模型和最小错误概率的计算公式。本讲将在此基础上，将随机相位信号再扩展为随机振幅信号，成为起伏信号，研究其最佳接收机的数学模型，并将最佳接收与第六章介绍的各类普通调制系统的解调接收进行性能比较。 （4）讲授提纲 起伏信号的最佳接收 二进制起伏信号最佳接收的概念 二进制起伏信号的最佳接收机 184
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 普通接收机与最佳接收机的性能比较 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 最佳接收机和最小错误概率的推导与分析。 （6）扩展知识 1）起伏信号似然函数的计算 起伏信号中，已知f(y|H，A，θ)和f(A)、f(θ)，则 1+∞2π+∞2πf(y|H)=f(y|H，A，θ)f(θ)f(A)dθdA=f(y，A，θ|H)dθdA 111∫∫∫∫0000【提示】：在讲授起伏信号的最佳接收时补充。 （7）互动话题 1）试写出瑞利分布的概率密度函数。 2⎡⎤AA第二章学过，窄带噪声的包络服从瑞利分布，其概率密度函数为f(A)=exp−,A≥0。 ⎢⎥22A2A⎢⎥0⎣0⎦【提示】：在讲授起伏信号的最佳接收时提问。 （8）思考题 暂无。 第四讲安排 （1）教学要求 了解匹配滤波器的概念、作用及设计准则，理解和熟悉匹配滤波器的基本原理，掌握高斯白噪声条件下匹配滤波器的设计方法及输出信噪比的计算。 （2）难点重点 教学难点：匹配滤波器的基本原理及推导。 教学重点：匹配滤波器和高斯白噪声条件下匹配滤波器的设计方法。 （3）知识回顾 前几讲介绍了各种条件下信号的最佳接收，构造了最佳接收机（即相关接收机）。为了简化相关接收机，不再产生本地相干信号，本讲将介绍匹配滤波器的概念及设计方法。 （4）讲授提纲 匹配滤波器 概念（匹配滤波器的作用，滤波器的设计准则，研究匹配滤波器的原因） 匹配滤波器的原理 白噪声背景下的匹配滤波器 具体内容见PPT课件。 （5）板书提纲 匹配滤波器和高斯白噪声条件下匹配滤波器的设计方法及输出最大信噪比的计算。 （6）扩展知识 1）匹配滤波器的性质 性质1：在所有的线性滤波器中，匹配滤波器输出的信噪比最大，SNR=2E/N，最大信噪max0比取决于输入信号的能量和白噪声的功率谱密度，而与输入信号的形状和白噪声的分布特性无关。 性质2：匹配滤波器的幅频特性与输入信号的幅频特性一致，相频特性相反，并有一附加的相位项−ωt。 0性质3：匹配滤波器的输出信号在t=t时刻瞬间功率达到最大。 0 185
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 性质4：滤波器输出信噪比达到最大的时刻t，应等于原信号s(t)的持续时间T。 0性质5：匹配滤波器对波形相同而幅值不同的时延信号具有适应性。 性质6：匹配滤波器对频移信号不具备适应性。 【提示】：在讲授匹配滤波器时补充。 （7）互动话题 1）试述维纳滤波器和匹配滤波器的设计准则分别是什么。 维纳滤波器：最小均方误差准则。 匹配滤波器：最大信噪比准则。 【提示】：在讲授匹配滤波器时提问。 （8）习题 教材277页8-1，8-2，8-3。 核心内容 最佳接收的概念 （1）最佳接收理论的研究对象 最佳接收理论以接收问题作为自己的研究对象，研究从噪声中如何最好地提取有用信号。最佳并非是一个绝对的概念，而是指在某个准则意义下说的一个相对概念。即在某个准则下是最佳的接收机，但在另一准则下就并非一定是最佳的。 （2）数字通信系统的统计模型 从统计学的观点看，数字通信系统可以用一个统计模型来表述，如图8-2所示。图中的消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别代表消息、信号、噪声、接收波形及判决的所有可能状态的集合。 消息空间 观察空间判决空间 yx s +判决规则D 信号空间 n 噪声空间 图8-2 数字通信系统模型 发送消息：参数x代表离散消息的所有可能取值x,x,L,x。从接收端的角度看，发送哪一12m个值是不确定的，因而只能用概率的概念来描述这种不确定性。假设每一个值的发送是相互独立的，mx出现的概率为P(x)，则P(x)=1。若x,x,L,x出现的可能性相同，则iii12m∑i=1P(x)=P(x)=L=P(x)，即为等概发送。 12m发送信号：由于消息本身不能进行传输，故必须把消息变换成合适的发送信号s(t)，用参数s表示。s与x之间为一一对应的关系，故有m个可能取值s,s,L,s，而且s出现的统计规律同样由x12m的概率分布所确定，即有P(s)=P(x),P(s)=P(x),L,P(s)=P(x)。 1122mm迭加噪声：假定噪声是高斯型的（均值为零）随机过程，则n的统计特性应用多维联合概率密度函数来描述。令n的k维联合概率密度函数为f(n)，n在k个不同时刻的取值为n,n,L,n，得k12k186
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2nj−122σf(n)=f(n,n,L,n)，且f(n)=e。由于噪声一般是相互独立的，则k12kj2πσ2knj−∑212σj=1f(n)=e kk(2πσ)接收信号：信号通过信道叠加噪声后到达接收端，其波形为y(t)=s(t)+n(t)，y(t)服从于均值2为s(i=1,2,L,m)，方差为σ的高斯分布。 i（3）最佳接收准则 二元接收信号判决：在数字通信系统中，最常用、也是最简单的是二元通信系统。此时，消息空间只有两种状态x、x，分别代表消息符号0和1，对应的信号也只有两种s(t)=0、s(t)=1。01012信道迭加噪声n(t)为均值为零、方差为σ的高斯白噪声，则接收信号y(t)有两种可能 s(t)+n(t)=n(t)⎧0 y(t)= ⎨s(t)+n(t)=1+n(t)⎩1判决空间就是要根据接收到的y(t)，判断发送端发送的信号是s(t)，还是s(t)。即对应两种假01设 H：y(t)=s(t)+n(t) 00H：y(t)=s(t)+n(t) 11这就是说，将判决空间也划分为两个区域D和D。 01若输入信号y(t)落在区域D，则判定假设H为真，反之，则判定假设H为真。这样，会出001现4种判决结果 实际是假设H为真，而判决为假设H为真； 00实际是假设H为真，而判决为假设H为真； 01实际是假设H为真，而判决为假设H为真； 11实际是假设H为真，而判决为假设H为真。 10显然，前两种判决是正确的，后两种判决是错误的。 虚警错误：本身是假设H为真，而判为假设H为真，即本身无信号，而判为有信号，称为虚01警。虚警发生的概率称为虚警概率P(DH)。 10漏报错误：本身是假设H为真，而判为假设H为真，即本身有信号，而判为无信号，称为漏10报。漏报发生的概率称为漏报概率P(DH)。 01检测概率：正确判决的概率，分为P(DH)和P(DH)。 1100四种概率的计算公式：P(DH)=f()yHdy，P(DH)=f()yHdy，100000∫∫DD10P(DH)=f()yHdy，P(DH)=f()yHdy 111011∫∫DD10最佳接收准则：在数字通信系统中，最直观和最合理的准则是最小差错概率准则。以二元通信为例，传输的差错概率为 187
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 P=P(H)P(DH)+P(H)P(DH) e010101式中，P(H)、P(H)为先验概率（prior probability）。 01由于P(DH)=1−P(DH)，得到 0111P=P(H)P(DH)+P(H)[1−P(DH)]=P(H)f()yHdy+P(H)−P(H)f()yHdye01011100111∫∫DD11 =P(H)+[P(H)f()yH−P(H)f()yHdy10011∫D1为了使差错概率最小，被积函数应为负，即P(H)f()yH<P(H)f()yH，判为假设H为真。00111同理，若P(H)f()yH>P(H)f()yH，判为假设H为真。也可以写成 00110H1f()yHP(H)1>0 <f()P(H)yHH010在等概发送时，有P(H)=P(H)，得 10HH11f()yH1>> 1，f()()yHfyH <1<0f()yHHH000上式又称为最大似然准则（maximum likelihood criterion）。 扩展到m元通信系统，最大似然准则为：若f()>()yHfyH（i,j=1,2,L,m，i≠j）则假设ijH为真。 确知信号的最佳接收 （1）概念 确知信号是指其波形和全部参量都已知的信号。对于正弦信号，如果幅度、频率、相位及到达时间都是已知的，则该正弦信号就是一个确知信号。 （2）最佳接收机结构 对于二元数字通信系统，发送端发送信号s(t)和s(t)分别代表0码和1码，接收机接收到的01信号r(t)是s(t)或s(t)与n(t)混合信号，且n(t)为均值为零、功率谱密度为n/2的高斯白噪声。 010设计一最佳检测系统（即接收机）对y(t)进行处理，以便在下述两个假设中作出选择： H：y(t)=s(t)+n(t)0≤t≤T 00 H：y(t)=s(t)+n(t)0≤t≤T 11接收信号的概率密度为 T⎧⎫112 f(y|H)=exp−[y(t)−s(t)]dt ⎨⎬00k∫0n⎩0⎭(2πσ)T⎧⎫112 f(y|H)=exp−[y(t)−s(t)]dt ⎨⎬11k∫0n⎩0⎭(2πσ)得到似然比l(y)为 188
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 TT⎧⎫f(y|H)11221l(y)==exp−[y(t)−s(t)]dt+[y(t)−s(t)]dt⎨⎬10∫∫00f(y|H)nn0⎩00⎭ TTT⎧⎫21⎡⎤22=expy(t)s(t)dt−y(t)s(t)dt+[s(t)−s(t)]dt⎨⎬1001⎢⎥∫∫∫000nn⎣⎦⎩00⎭故判决规则为 H1TTT22122> y(t)s(t)dt−y(t)s(t)dt+[s(t)−s(t)]dtlnl 1001<0∫∫∫000nnnH0000即 H1TTTn1>022 y(t)s(t)dt−y(t)s(t)dtlnl+[s(t)−s(t)]dt 10<010∫∫∫00022H0Tnn110220令 lnl+[s(t)−s(t)]dt=lnl+(E−E)=β 010010∫02222T2式中，E=s(t)dt称为信号的能量。 ii∫0故判决规则可写为 H1TT> y(t)s(t)dt−y(t)s(t)dtβ 10<∫∫00H0对应的最佳接收机（optimum receiver）模型如图8-3所示。 × 积分器>0选择H1 ++s(t) ∑1+y(t) <0选择H0 β× 积分器 s(t) 0图8-3 二元确知信号检测的最佳接收机结构图 图8-3中最佳接收机的核心是由乘法器和积分器构成的相关运算，因此这种算法常称为相关接收（correlation reception）。 （3）最佳接收的误码率 在最佳接收理论中，研究系统的误码率通常是在给定信号与噪声条件下，分析系统的误码率与输入信噪比的关系。在二元通信系统中，假定两类假设的先验概率相等，即P(H)=P(H)，根据01最小错误概率准则门限值为 E−E10β= 2则判决公式为 H1TTE−E>10 y(t)s(t)dt−y(t)s(t)dt=β 10<∫∫002H0 令检测统计量I为 189
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 TT I=y(t)s(t)dt−y(t)s(t)dt 10∫∫00则判决规则变为 H1> Iβ <H0 两种错误判决的概率分别为 +∞β P(D|H)=f(I|H)dI，P(D|H)=f(I|H)dI 100011∫∫β−∞平均错误概率P为 e∞β11 P=P(H)P(D|H)+P(H)P(D|H)=f(I|H)dI+f(I|H)dI e01010101∫∫β−∞22 要计算平均错误概率，首先需要计算出I的均值和方差。在假定H下，I的条件均值为 0⎧⎫E(I|H)=E[s(t)+n(t)]s(t)dt−[s(t)+n(t)]s(t)t⎨⎬00100⎩⎭TTTT⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤2 =Es(t)s(t)dt+En(t)s(t)dt−Es(t)dt−En(t)s(t)dt 01100⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∫∫∫∫0000⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦TT2=s(t)s(t)dt−s(t)dt010∫∫00TT2 令R=s(t)s(t)dt表示两个信号的时间互相关，且s(t)dt=E，则上式可以写为 0100∫∫00 E(I|H)=R−E 002 I的条件方差D[I|H]为D[I|H]=E{[I−E(I|H)]H}，由于 0000TTTT2I−E(I|H)=[s(t)+n(t)]s(t)dt−[s(t)+n(t)]s(t)dt−s(t)s(t)dt+s(t)dt00100010∫∫∫∫0000 T=[s(t)−s(t)]n(t)dt10∫0TT⎧⎫2D(I|H)=E{[I−E(I|H)]H}=E[s(t)−s(t)]n(t)dt[s(τ)−s(τ)]n(τ)dτ⎨⎬0001010∫∫00⎩⎭ TT=E[n(t)n(τ)][s(t)−s(t)][s(τ)−s(τ)]dtdτ1010∫∫00n0因为 E[n(t)n(τ)]=R(t−τ)=δ(t−τ) 2Tnn2200故 D(I|H)=[s(t)−s(t)]dt=[E+E−2R]=σ 01010I∫022 同理可求得 E[I|H]=E−R 11n02 D[I|H]=[E+E−2R]=σ 110I2 定义两信号的平均能量为E=[E+E]/2，两信号的时间相关系数（correlation coefficient）为10T1r=R/E=s(t)s(t)dt（|r|≤1）。则方差可写为 01∫0E190
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2 σ=nE(1−r) I0 故两种假设下统计量的条件概率密度函数为 22⎧⎫⎧⎫[I−(R−E)][11I−(E−R)]⎪⎪⎪⎪01 f(I|H)=exp−，f(I|H)=exp− ⎨⎬⎨⎬01222πσ⎪2σ⎪2πσ⎪2σ⎪II⎩⎭II⎩⎭得第一类错误概率为 2+∞⎧⎫[I−(R−E)]1⎪⎪0 P(D|H)=exp−dI ⎨⎬10∫2β2πσ⎪2σ⎪II⎩⎭I−(R−E)10 令u=，得du=dI，代入上式得 σσII2+∞⎛⎞1u⎜⎟ P(D|H)=exp−du 10β−(R−E)0∫⎜⎟22π⎝⎠σIE−E10−(R−E)0β−(R−E)E−RE(1−r)02 由于===，得到 σnnE(1−r)nE(1−r)I0002+∞⎛⎞1u⎜⎟P(D|H)=exp−du10E(1−r)∫⎜⎟22π⎝⎠n02E(1−2r)⎧⎫⎡⎤⎡⎤+∞⎛⎞⎛⎞12uu2uu⎪⎪n⎢⎥0⎢⎥⎜⎟⎜⎟ =exp−d−exp−d ⎨⎬⎜⎟⎜⎟∫∫002⎢⎥⎢⎥π22π22⎪⎝⎠⎝⎠⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎞1E(1−r)⎜⎟=⎢1−erf⎥⎜⎟22n⎢⎥0⎝⎠⎣⎦第二类错误概率为 2β⎧⎫[1I−(E−R)]⎪⎪1 P(D|H)=exp−dI ⎨⎬01∫2−∞2πσ⎪2σ⎪I⎩I⎭I−(E−R)11 令v=，得dv=dI，并代入上式，得 σσIIβ−(E−R)122+∞⎛⎞⎛⎞1v1vσI⎜⎟⎜⎟P(D|H)=exp−dv=1−exp−dv01β−(E−R)1∫⎜⎟∫⎜⎟−∞222π2π⎝⎠⎝⎠σI2β−(E−R2)⎧1⎫⎡⎤⎡⎤+∞⎛⎞⎛⎞12vv2vv⎪⎪σ⎢⎥I⎢⎥⎜⎟⎜⎟=1−exp−d−exp−d⎨⎬⎜⎟⎜⎟∫∫002⎢⎥⎢⎥π22π22⎪⎝⎠⎝⎠⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭ ⎧⎫⎡⎤1β−(E−R)⎪⎪1=1−1−erf⎢⎥⎨⎬22σ⎪⎢⎥⎪⎣I⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎞1E(1−r)⎜⎟=⎢1−erf⎥⎜⎟22n⎢⎥0⎝⎠⎣⎦ 可见，两类错误概率相等，平均错误概率为 191
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 P=P(H)P(D|H)+P(H)P(D|H)=P(D|H)=P(D|H)e0101011001⎡⎤⎛⎞ 1E(1−r)⎜⎟=⎢1−erf⎥⎜⎟22n⎢⎥0⎝⎠⎣⎦接收机的性能主要取决于输入信噪比和信号之间的时间互相关系数r，而与传输信号的具体波形无关。当输入信噪比E/n增加时，平均错误概率减少。当E/n给定时，(1−r)越大，平均错误00概率越小。最优的信号形式为r=−1，即s(t)=−s(t)，此系统称为理想二元通信系统。 随相信号的最佳接收 （1）概念 随机相位信号：经过信道传输后码元相位带有随机性，称为随相信号。 接收信号的相位不仅取决于发射信号的初相，而且还取决于路径上的延时。故一般无法预先确定，通常假设相位θ在区间[0，2π]上均匀分布。相位均匀分布意味着完全缺乏相位信息，是一种最不利的分布。 （2）最佳接收机结构 设发送端发送的二元信号为 s(t)=0（0≤t≤T） 0s(t)=Asin(ωt+θ)（0≤t≤T） 1式中，振幅A、频率ω及到达时间T是已知的，相位θ是随机变量，其先验概率密度f(θ)服从均匀分布。即 1⎧⎪,0≤θ≤2π f(θ)=⎨2π⎪0,其他⎩则接收端对应的两个假设为 H：y(t)=s(t)+n(t)=n(t)（0≤t≤T） 00H：y(t)=s(t)+n(t)=Asin(ωt+θ)+n(t)（0≤t≤T） 11式中，n(t)为信道上迭加的均值为零、功率谱密度为n/2的高斯白噪声。 0对于高斯白噪声中随机参量信号的似然函数，根据上一节的结论，可得 T⎧⎫112f(y|H，θ)=exp−[y(t)−s(t)]dt⎨⎬11k∫0n⎩0⎭(2πσ) T⎧⎫112=exp−[y(t)−Asin(ωt+θ)]dt⎨⎬k∫0n⎩0⎭(2πσ)f(y|H)=f(y|H，θ)f(θ)dθ11∫{θ}2πT⎧⎫111222=exp−[y(t)−2Ay(t)sin(ωt+θ)+Asin(ωt+θ)]dtdθ⎨⎬k∫∫00n2π⎩0⎭(2πσ) 2T2πT⎡⎤⎡⎤11A22=exp−y(t)dtexp−sin(ωt+θ)dtdθ⎢⎥⎢⎥k∫∫∫000nn⎢⎥⎣0⎦0⎣⎦(2πσ)2πT⎡⎤2A1×expy(t)sin(ωt+θ)dtdθ⎢⎥∫∫00n2π⎣0⎦一般取T=kπ/ω，则有 TT11T⎡⎤2sin(ωt+θ)dt=−cos2(ωt+θ)dt= ⎢⎥∫∫00222⎣⎦192
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 2T2πT⎡⎤⎡⎤⎡⎤11AT2A12f(y|H)=exp−y(t)dtexp−expy(t)sin(ωt+θ)dtdθ ⎢⎥1⎢⎥⎢⎥k∫∫∫000n2nn2π⎢⎥⎣0⎦0⎣0⎦⎣⎦(2πσ)根据最小差错概率准则得出判决规则为 f(y|H，θ)f(θ)dθH11∫f(y|H){θ}1>l(y)==l <0f(y|H)f(y|H)H00022πT⎡⎤⎡⎤AT12Al(y)=exp−×expy(t)sin(ωt+θ)dtdθ ⎢⎥⎢⎥∫∫002n2πn⎢⎥0⎣0⎦⎣⎦根据sin(ωt+θ)=sinωtcosθ+cosωtsinθ，可知 TTTy(t)sin(ωt+θ)dt=cosθy(t)sinωtdt+sinθy(t)cosωtdt ∫∫∫000T⎧y=y(t)sinωtdtc⎪∫0令 ⎨T⎪y=y(t)cosωtdts∫⎩0代入上式得 Ty(t)sin(ωt+θ)dt=ycosθ+ysinθcs∫0⎡⎤yy22cs⎢⎥=y+ycosθ+sinθcs⎢2222⎥y+yy+ycscs⎣⎦22=y+y[cosγcosθ+sinγsinθ] cs22=y+ycos(θ−γ)cs=Mcos(θ−γ)1222⎧⎫TTyy⎪⎡⎤⎡⎤⎪22cc式中，M=y+y=y(t)sinωtdt+y(t)cosωtdt，cosγ==， ⎨⎬cs⎢⎥⎢⎥∫∫0022M⎣⎦⎣⎦⎪⎪y+y⎩⎭csyysssinγ== 22My+ycs代入似然比公式，得 222π⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤AT12AMAT2AMl(y)=exp−expcos(θ−γ)dθ=exp−I ⎢⎥⎢⎥⎢⎥0⎢⎥∫02n2πn2nn⎢⎥⎢⎥0⎣0⎦0⎣0⎦⎣⎦⎣⎦2π⎡⎤⎡⎤2AM12AM其中，I=expcos(θ−γ)dθ称为零阶修正贝赛尔函数。 0⎢⎥⎢⎥∫0n2πn⎣0⎦⎣0⎦于是判决规则变为 H21⎡⎤⎡⎤AT2AM>exp−Il ⎢⎥0⎢⎥<02nn⎢⎥H0⎣0⎦⎣⎦0两边取对数得 H122⎡⎤2AMATAT>lnI+lnl= 0⎢⎥<0n2n2nH⎣0⎦000 193
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 ⎡⎤⎡⎤2AM2AM2AM可见，要组成最佳接收机，需计算lnI，较为复杂。由于I与以及0⎢⎥0⎢⎥nnn⎣0⎦⎣0⎦0⎡⎤⎡⎤2AM2AMlnI与I均为单调变化，故上述判决可改写为 0⎢⎥0⎢⎥nn⎣0⎦⎣0⎦H1>Mβ <H0M称为检验统计量，β为判决门限，最佳接收机如图8-4所示，这种接收机通常称为正交接收机。 yc2× 积分器[⋅] y(t) cosωt >0判H假设为真1+/21+[⋅]+ sinωt <0判H假设为真0- ys2× [⋅]积分器β 图8-4 正交接收机原理框图 起伏信号的最佳接收 （1）概念 起伏信号：是指包络随机起伏，相位也随机变化的信号。其中振幅服从瑞利分布，相位服从均匀分布。 （2）最佳接收机结构 设发送端发送的信号为 s(t)=Asin(ωt+θ) 1s(t)=0 0其中，信号幅度A及相位θ都是随机参量，它们在一次观测时间[0，T]内为常数，在各次观测中随机取值。角频率ω已知，A和θ相互独立。相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。即 2⎧⎡⎤AA1⎧⎪exp−,A≥0⎪⎢⎥,0≤θ≤2π22，f(A)= f(θ)=⎨⎨2πA2A⎢⎥0⎣0⎦⎪⎪0,其它⎩0,其它⎩则接收端对应的两个假设为 H：y(t)=n(t)（0≤t≤T） 0H：y(t)=s(t)+n(t)（0≤t≤T） 1式中，n(t)为信道上迭加的均值为零、功率谱密度为n/2的高斯白噪声。可得似然比 0f(y|H，A，θ)）f(A)f(θdAdθ1∫∫{A}{θ}l(y)= f(y|H)0直接引用随机相位信号的结论，可以得出给定振幅A条件下随机相位信号的似然比 2⎡⎤⎡⎤AT2AMl(y|A)=exp−I ⎢⎥0⎢⎥2nn⎢⎥0⎣0⎦⎣⎦上式中，振幅A为服从瑞利分布的随机参量，l(y|A)对A取统计平均得 194
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 l(y)=l(y|A)f(A)dA∫{A}22∞⎡⎤⎡⎤⎡⎤AT2AMAA=exp−Iexp−dA ⎢⎥⎢⎥0⎢⎥∫2202nnA2A⎢⎥0⎣0⎦⎢⎥⎣⎦0⎣0⎦2⎧⎫∞⎡⎤⎡⎤AA1T2AM⎪⎪=exp−+IdA⎢⎥⎨⎬0⎢⎥∫2202nnAA⎪⎢0⎥⎪⎣0⎦0⎣0⎦⎩⎭利用积分公式 ∞11⎡⎤2xexp(−ax)I(x)dx=exp 0⎢⎥∫02a4a⎣⎦2n(n+TA)2AM000令x=，a= 得 22n8AM00222∞⎡⎤+⎡⎤⎡⎤2AMAnTAA2AM2AM00exp−Id⎢⎥0⎢⎥⎢⎥∫20nnn2An0⎢⎥⎣0⎦⎣0⎦⎣00⎦22⎧⎫∞⎡⎤⎡⎤4MA1T2AM⎪⎪=Aexp−+IdA ⎢⎥⎨⎬0⎢⎥2∫202nnnA⎪⎢0⎥⎪⎣0⎦0⎣0⎦⎩⎭2222⎡⎤4AM2AM00=exp⎢⎥22n(n+TA)n(n+TA)⎢⎥000⎣000⎦将上式代入l(y)的表达式，可得 2⎧⎫∞⎡⎤⎡⎤AA1T2AM⎪⎪l(y)=exp−+IdA⎢⎥⎨⎬0⎢⎥∫2202nnAA⎪⎢0⎥⎪⎣0⎦0⎣0⎦⎩⎭22222⎡⎤n4AM2AM1000=⋅exp ⎢⎥2222A4Mn(n+TA)n(n+TA)⎢⎥0000⎣000⎦22⎡⎤n2AM00=exp⎢⎥22n+TAn(n+TA)⎢⎥00⎣000⎦取自然对数得 22n2AM00lnl(y)=ln+ 22n+TAn(n+TA)00000得判决规则为 H1>lnl(y)lnl <0H01H2212⎧⎫⎡⎤n(n+TA)l(n+TA)⎪⎪>000000即 Mln=β ⎢⎥⎨⎬<2nH2A⎪⎢0⎥⎪00⎣⎦⎩⎭可见，最佳检测系统的结构与随机相位信号检测系统一致，只是判决门限取值不同。 匹配滤波器 （1）概念 定义：匹配滤波器（match filter）是按照最大信噪比准则建立起来的线性滤波器，使得与其匹配的信号在检出后的某时间t（最大信噪比时刻）达到最大信噪比。 0滤波器的作用：使输出的有用信号成分尽可能地强；抑制频带外的噪声，使滤波器输出噪声成 195
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 分尽可能地小，减小噪声对信号判决的影响。 （2）滤波器的设计准则 匹配滤波器的设计准则一般分为最小均方误差准则和最大信噪比准则。 最小均方误差准则：使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小。由此导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器。 最大信噪比准则：使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大。由此导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器。 （3）研究匹配滤波器的意义 一是在高斯白噪声确知信号的检测中，平均错误概率与信噪比有关，信噪比越大，平均错误概率越小。二是在通信系统中，信噪比是一个很重要的指标，一般来说，信噪比越大，系统的整体性能越好。因此常常用信噪比最大作为设计最佳接收机的一个准则。 （4）匹配滤波器的原理 匹配滤波器是1943年诺斯（.）首先提出来的，是一种最佳线性滤波器，其设计原则是以带噪声的观测信号作为滤波器的输入时，使滤波器输出信号的瞬时功率与噪声的平均功率之比为最大。 设滤波器的输入信号为y(t)=s(t)+n(t)。其中，s(t)为持续时间(0~t)的确知信号，n(t)为均值0为零的广义平稳噪声，其自相关函数为R(τ)，滤波器的冲激响应为h(t)。 n在t时刻，滤波器的输出信号与噪声分量分别为 0tt00 s(t)=h(t)s(t−t)dt，n(t)=h(t)n(t−t)dt 000000∫∫00由于输入噪声均值为零，所以输出噪声均值也为零，输出噪声的方差即噪声功率，为 2⎧⎫ttt000⎪⎡⎤⎪⎡⎤2Var[n(t)]=E[n(t)]=Eh(t)n(t−t)dt=Eh(t)n(t−t)dt⋅h(τ)n(t−τ)dτ⎨⎬0000000000⎢⎥⎢⎥∫∫∫000⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭ tttt0000=h(t)h(τ)E[n(t−t)n(t−τ)]dtdτ=h(t)h(τ)R(t−τ)dtdτ0000n∫∫∫∫0000则在t输出的信噪比为 02t0⎡⎤h(t)s(t−t)dt20⎢⎥∫s(t)0⎣⎦00 SNR== tt00Var[n(t)]00h(t)h(τ)R(t−τ)dtdτn∫∫00使输出信噪比最大，等效为在s(t)为常数的约束条件下，使输出噪声功率Var[n(t)]最小。根00据拉格郎日乘数法，首先构造目标函数为 ttt000 J=Var[n(t)]−μs(t)=h(t)h(τ)R(t−τ)dtdτ−μh(t)s(t−t)dt 0000n0∫∫∫000式中，μ为拉格朗日乘子。 经推导得 t0μ h(τ)R(t−τ)dτ=s(t−t) 0n0∫02由于μ为拉格朗日乘子，其变化仅改变滤波器的增益，对信号和噪声的影响是一致的，故可令为2。因此使输出信噪比最大的最佳滤波器冲激响应可通过求解下列积分方程得到 t0 h(τ)R(t−τ)dτ=s(t−t) 0n0∫0上式即为匹配滤波器的普通形式。得到匹配滤波器输出的最大信噪比，为 196
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 22tt00⎡⎤⎡⎤h(t)s(t−t)dth(t)s(t−t)dt00⎢⎥⎢⎥∫∫t000⎣⎦⎣⎦ SNR===h(t)s(t−t)dt 0ttt∫0000h(t)h(τ)R(t−τ)dtdτh(t)s(t−t)dtn0∫∫∫000（5）白噪声背景下的匹配滤波器 对于白噪声，其自相关函数为 n0 R(τ)=δ(τ) n2代入匹配滤波器的普通形式，得到 t0nn00 h(τ)(t−τ)dτ=h(t)=s(t−t) 000∫0222得到 h(t)=s(t−t) 00n0匹配滤波器的输出信噪比为 t022SNR=s(t−t)dt max0∫0n0令τ=t−t，则dτ=−dt，上式变为 00t0222E22SNR=−s(τ)dτ=s(τ)dτ= max∫∫t0nnn0000由上式可以看出，输出信噪比仅与输入信号的能量和噪声的功率谱密度有关，而与输入信号的波形和噪声的幅度分布无关。 重要公式 H1f()yHP(H)1>0最小错误概率准则： <f()P(H)yHH010H1>最大斯然比准则：f()(yHfyH) 1<0H0t0匹配滤波器的冲激响应：h(τ)R(t−τ)dτ=s(t−t) 0n0∫02白噪声背景下的匹配滤波器的冲激响应：h(t)=s(t−t) 经典例题 例1 假设H为真时，接收信号幅度s=+1，H为真时，接收信号幅度s=−1，加性噪声时均值110012为0，方差σ=1的高斯白噪声，P(H)=P(H)=，求用最小错误概率准则时的误码率。 102解：平均错误概率即误码率P=P(H)P(DH)+P(H)P(DH) e010101 197
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 22(y−1)(y+1)H1−−f()yHP(H)111>022由于f(yH)=e，f()yH=e，根据得 10<f(yH)P(H)2π2πH010f()yH12y =e=1，y=0 f()yH0y+12=x(y+1)+∞2−+∞2⎛⎞11111−x2则⎜⎟ P(DH)=f()yHdy=edy=edx=−erf≈ 1001⎜⎟∫∫∫D02212ππ2⎝⎠2y−12=x(y−1)+∞2−+∞211−x2P(DH)=f()yHdy=1−edy=1−edx0111∫∫∫D0−02ππ 2 ⎛⎞⎛⎞111111⎜⎟⎜⎟=+erf−=−erf≈⎜⎟⎜⎟222222⎝⎠⎝⎠11 P=P(H)P(DH)+P(H)P(DH)=×+×= e01010122评注： 0例2设二进制PKS信号为相位相差180的正弦波，即 s(t)=Asinωt,0≤t≤T⎧1s ⎨s(t)=−Asinωt,0≤t≤T⎩2s且二信号等可能出现。试求： （1）构成相关检测器形式的最佳接收机结构； （2）若接收机输入高斯噪声功率谱密度n/2（W/Hz），试求系统的误码率。 0解：（1）由于s(t)=−Asinωt，s(t)=Asinωt,(0≤t≤T)，得到 12sH：y(t)=s(t)+n(t)0≤t≤T 01s H：y(t)=s(t)+n(t)0≤t≤T 12s接收信号的概率密度为 T⎧s⎫112 f(y|H)=exp−[y(t)+Asinωt]dt ⎨⎬0k∫0n⎩0⎭(2πσ)T⎧s⎫112 f(y|H)=exp−[y(t)−Asinωt]dt ⎨⎬1k∫0n⎩0⎭(2πσ)得到似然比l(y)为 TT⎧⎫f()ssy|H11221l(y)==exp−[y(t)−Asinωt]dt+[y(t)+Asinωt]dt⎨⎬∫∫00f(y|H)nn0⎩00⎭TT⎧ss⎫4122 =expy(t)Asinωtdt+(−Asinωt)−(Asinωt)dt ⎨⎬∫∫00nn⎩00⎭T⎧s⎫4=expy(t)Asinωtdt⎨⎬∫0n⎩0⎭故判决规则为 198
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 H1T⎡s⎤P(H)4>0 expy(t)Asinωtdt=1 ⎢⎥<∫0nP(H)H⎣0⎦10即 H1Ts> y(t)Asinωtdt0 <∫0H0 得到最佳接收机结构如图8-5所示。 y(t) “+”，选择H 1积分器 ×符号鉴别器“−”，选择H 0 ASinωt 图8-5 例2图 （3）由于s(t)=−Asinωt，s(t)=Asinωt,(0≤t≤T)，得到 12s2TTTssAs1222 E=s(t)dt=(−Asinωt)dt=[1−2cos2ωt]dt=AT 11s∫∫∫000222TTTssAs12222 E=s(t)dt=Asinωtdt=[1−2cos2ωt]dt=AT 22s∫∫∫000222E+EAT12s E== 22TTTs1−ss222 r=s(t)s(t)dt=sinωtdt=[1+cos2ω]dt=−112∫∫∫E0T02T0ss代入平均错误概率的计算公式得 ⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞E(−T11r)1s⎜⎟⎜⎟P=⎢1−erf⎥=⎢1−erfA⎥ e⎜⎟⎜⎟22n22n⎢⎥⎢⎥00⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦评注：考查确知信号最佳接收机的结构及误码率（平均错误概率）的计算。 名词中英文对照 Bayes criterion，Bayes准则 correlation reception，相关接收 correlation coefficient，相关系数 complementary error function，补误差函数 error function，误差函数 joint probability density，联合概率密度 maximum likelihood criterion，最大似然准则 match filter，匹配滤波器 maximum a posterior probability criterion，简称MAP准则，最大后验概率准则 minimum a posteriori probability criterion，极大极小准则 optimum receiver，最佳接收机 prior probability，先验概率 199
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 statistical decision，统计判决 standard deviation，标准偏差 vector，矢量 weighting factor，加权因子 练习与思考 练习题 8-1 试构成先验等概的二进制确知AKS（KOO）信号的最佳接收机结构。若非零信号的码元能量为E时，试求该系统抗高斯白噪声的性能。 b解：设发送信号分别为s(t)=0，s(t)=Asinωt，得到 011H：y(t)=s(t)+n(t)=n(t)0≤t≤T 00 H：y(t)=s(t)+n(t)0≤t≤T 11接收信号的概率密度为 T⎧⎫112 f(y|H)=exp−[y(t)]dt ⎨⎬0k∫0n⎩0⎭(2πσ)T⎧⎫112 f(y|H)=exp−[y(t)−s(t)]dt ⎨⎬11k∫0n⎩0⎭(2πσ)得到似然比l(y)为 TT⎧⎫f(y|H)11221l(y)==exp−[y(t)−s(t)]dt+[y(t)]dt⎨⎬1∫∫00f(y|H)nn0⎩00⎭TT⎧⎫212 =expy(t)s(t)dt−s(t)dt ⎨⎬11∫∫00nn⎩00⎭T⎧E⎫2b=expy(t)s(t)dt−⎨⎬1∫0nn⎩00⎭故判决规则为 H1T⎧E⎫P(H)2b>0 expy(t)s(t)dt−=1 ⎨⎬1<∫0nnP(H)H⎩00⎭10H1T>0，选择HE+2y(t)1b> y(t)s(t)dt−0 积分器+ 1<×∫0nnH00<0，选择H00-β Hs(t)11TE>by(t)s(t)dt=β 1<∫02H0图8-6 题1图 得到接收机结构如图8-6所示。 由于s(t)=0，s(t)=Asinωt，得到 011TR=s(t)s(t)dt=0，r=0 01∫0E+EE10bE=E，E=0，E== 1b022200
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 代入平均错误概率的计算公式得 ⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞E(−E11r)1b⎜⎟⎜⎟P=⎢⎥ ⎢1−erf⎥=1−erf e⎜⎟⎜⎟22n24n⎢⎥⎢⎥00⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦8-2 设二进制KSF信号为 s(t)=Asinωt,0≤t≤T⎧11s ⎨s(t)=Asinωt,0≤t≤T⎩22s4π且ω=，ω=2ω，s(ω)和s(ω)等可能出现： 12112Ts（1）构成相关检测器形式的最佳接收机结构； （2）画出各点可能的工作波形； （3）若接收机输入高斯噪声功率谱密度n/2（W/Hz），试求系统的误码率。 0解：（1）由于s(t)=Asinωt，s(t)=Asinωt,(0≤t≤T)，得到 1122sH：y(t)=s(t)+n(t)0≤t≤T 01s H：y(t)=s(t)+n(t)0≤t≤T 12s接收信号的概率密度为 T⎧s⎫112 f(y|H)=exp−[y(t)−Asinωt]dt ⎨⎬01k∫0n⎩0⎭(2πσ)T⎧s⎫112 f(y|H)=exp−[y(t)−Asinωt]dt ⎨⎬12k∫0n⎩0⎭(2πσ)得到似然比l(y)为 TT⎧⎫f()ssy|H11221l(y)==exp−[y(t)−Asinωt]dt+[y(t)−Asinωt]dt⎨⎬21∫∫00f(y|H)nn0⎩00⎭ TTT⎧sss⎫21⎡⎤22=expy(t)Asinωtdt−y(t)Asinωtdt+(Asinωt)−(Asinωt)]dt⎨⎬2112⎢⎥∫∫∫000nn⎣⎦⎩00⎭由于 TTTsss222222[(Asinωt)−(Asinωt)]dt=Asinωtdt−Asinωtdt1212∫∫∫000 22TTsAsA=[1−cos2ωt]dt−[1−cos2ωt]dt=012∫∫0022故判决规则为 H1T⎡s⎤P(H)2>0 expy(t)A(sinωt−sinωt)dt=1 ⎢22⎥<∫0nP(H)H⎣0⎦10即 H1TTss> y(t)Asinωtdt−y(t)Asinωtdt0 21<∫∫00H0 得到最佳接收机结构如图8-7所示。 201
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 Asinωt 2 × 积分器 +“+”H1符 号y(t) + 识别器− × 积分器“−”H0 Asinωt 1 图8-7 题2图 （2）各点可能的工作波形略。 （3）由于s(t)=Asinωt，s(t)=Asinωt,(0≤t≤T)，得到 1122s2TTTssAs12222 E=s(t)dt=Asinωtdt=[1−2cos2ωt]dt=AT 1111s∫∫∫000222TTTssAs12222 E=s(t)dt=Asinωtdt=[1−2cos2ωt]dt=AT 2222s∫∫∫000222E+EAT12s E== 22TTTTssss122⎡⎤r=s(t)s(t)dt=sinωtsinωtdt=cos(ω−ω)tdt−cos(ω+ω)tdt12122112⎢⎥∫∫∫∫E0T0T002⎣⎦ss TTss111⎡⎤⎡TT⎤ss=cosωtdt−cos3ωtdt=sinωt−sin3ωt=01111⎢⎥⎢⎥00∫∫T00T3⎣⎦⎣⎦ss代入平均错误概率的计算公式得 ⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞E(−T11r)1s⎜⎟⎜⎟ P=erf⎢erf⎥ ⎢1−⎥=1−A e⎜⎟⎜⎟22n24n⎢⎥⎢⎥00⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦8-3 在功率谱密度为n/2的高斯白噪声下，设计一个对图8-8所示的匹配滤波器： 0（1）如何确定最大输出信噪比； （2）求匹配滤波器的冲激响应和输出波形； （3）求最大输出信噪比的值。 解：（1）由于信号f(t)在t=T时刻结束，因此最大输出信噪比的时刻为 t≥T 02（2）根据白噪声背景下匹配滤波器冲激响应的计算公式h(t)=s(t−t)，令t=T，n=2，0000n0得到 f(t)T⎧−A，0≤t≤⎪A2⎪T⎪ h(t)=f(T−t)=A，<t<T ⎨2⎪0，其他Tt ⎪T ⎪2⎩−A输出波形为 图8-8 题8-3图 t y(t)=f(t)∗h(t)=f(τ)h(t−τ)dτ ∫0202
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 T当0≤t≤时 2tt2 y(t)=f(τ)h(t−τ)dτ=A(−A)dτ=−At ∫∫00T当<t<T时 2TTtt−T22222 y(t)=f(τ)h(t−τ)dτ=Adτ+A(−A)dτ+(−A)dτ=A(3t−2T) TT∫∫∫∫00t−223T当T<t≤时 2TTtt−T22222 y(t)=f(τ)h(t−τ)dτ=Adτ+A(−A)dτ+(−A)dτ=A(4T−3t) TT∫∫∫∫0t−Tt−223T当<t≤2T时 2tT2 y(t)=f(τ)h(t−τ)dτ=(−A)Adτ=A(t−2T) ∫∫0t−T当t为其他时 t y(t)=f(τ)h(t−τ)dτ=0 ∫0综合上述卷积，得到 T⎧2−At，0≤t≤⎪2⎪T2⎪A(3t−2T)，<t≤T2⎪⎪ y(t)=3T ⎨2A(4T−3t)，T<t≤⎪2⎪3T2⎪A(t−2T)，<t≤2T2⎪⎪0，其他⎩输出波形图略。 （3）根据最大输出信噪比的计算公式得 22E2AT SNR== 思考题 8-1 在数字通信中，为什么说“最小差错概率准则”是最直观和最合理的准则？ 答：在数字通信中，由于噪声和畸变的影响，接收端极易出现误判。从通信角度讲，总希望误码率越小越好，即错误接收的概率越小越好，因此最小差错概率准则是最直观的准则。从误判代价函数来看，最小差错概率准则是在假定正确判决不花代价、错误判决代价相等条件下的最小风险Bayes准则。 8-2 什么是似然比准则？什么是最大似然准则？ 答：在信号的最佳接收中，判决准则是采用两个似然函数之比与门限值进行比较，故称为似然比准 203
天津商业大学信息工程学院《通信原理》教案 H1f()yHP(H)1>0则，其表达式为l(y)==l，其中，l(y)为似然比，l为门限值。 <00f()(H)yHPH010 最大似然准则是指两个先验概率相等条件下的似然比准则。即P(H)=P(H)时，01H1>f()()yHfyH。 1<0H08-3 什么是确知信号？什么是随相信号？什么是起伏信号？ 答：确知信号：是指其波形和全部参量都已知的信号。 随相信号：即随机相位信号，是指信号的相位是随机的，而其余参数都是确知的。 起伏信号：即随机振幅和随机相位信号，是指信号的振幅和相位是随机的，而其余参数都是确知的。 8-4 二进制确知信号的最佳接收机结构如何？它是怎样得到的？ 答：最佳接收机结构见图8-3。 二进制确知信号的最佳接收机结构是通过比较y(t)与s(t)和s(t)的相关性而得到的。 128-5 什么是二进制确知信号的最佳形式？ 答：在二进制确知信号检测中，当s(t)和s(t)两信号的时间相关系数r=−1时，平均错误概率越小。01即最佳信号形式为s(t)=−s(t)。 01 204
