第四章 生产理论
企业是从事生产经营活动的经济行为主体，其利润取决于外部的市场和内部的效率。生产理论揭示企业内部效率的因素和规律。
生产是指企业投入一定的生产要素，并经过加工转化产出一定产品的过程。企业就是一个投入产出系统，或加工转化系统。
生产要素：土地（自然资源），劳动，资本（资本品，有形和无形），管理，知识
产品：物质产品，服务，知识
经营决策问题：投入多少？怎样配合？怎样扩大？
第一节 生产函数
一．生产函数(production function)的含义
生产函数是指在一定技术条件下生产要素的投入量与产品最大产出量之间的物质数量关系
注意技术不变假设、要素和产品同质性假设、最大效率假设
一般形式： Q = f（X1，X2，X3，……Xn）
在应用中必须通过假设加以简化，如单一可变要素，二元生产函数。
生产函数的估计与需求函数估计一样，也要用计量经济学方法。
二．短期生产函数与长期生产函数
短期与长期的划分
（1）短期生产函数：在短期内其他生产要素固定不变的条件下，可变要素投入量与产品产出量之间的数量关系。如 Q = f（L）
（2）长期生产函数：在全部生产要素都可改变的条件下，要素投入量与产品产出量之间的数量关系。如 Q = f（L，K）
短期分析与长期分析；短期决策与长期决策；产业差异很大
三．生产函数与技术进步
生产函数反映的是技术不变条件下投入产出之间的数量关系，技术进步引起生产函数本身的改变。图示：生产函数曲线移动。
内涵扩大再生产与外延扩大再生产；经济增长方式的转变。
技术进步往往与固定生产要素、生产规模、培训和教育、新产品开发等活动有关，需要一定的的载体。
L
O
Q
Q=f（L）
Q=f（L）
第二节 短期生产函数分析
假设技术水平和其他生产要素的投入保持不变，只有劳动力投入可变，则短期生产函数为：Q = f（L），这是最简单的短期生产函数，也称为单一可变要素生产函数，主要用来揭示边际报酬递减规律，分析要素投入的合理区间和最佳水平，回答投入多少的问题。
一．三种产量函数及其关系
对于Q = f（L），在某一可变要素的投入水平上，产量函数有三种：
1．总产量(total product)函数：TP = Q = f（L）指全部生产要素带来的产量。
2．平均产量(average product)函数：AP = TP/L 指平均每个单位的可变要素所生产的产量。
3．边际产量(marginal product)函数： MP = ΔTP/ΔL 或MP = dTP/dL 指最后一个单位可变要素引起总产量的改变量。
三种产量函数从不同的角度反映了投入产出之间的数量关系，把它们画在平面坐标上，形成三种产量曲线。
三种产量函数的图示
L
O
Q
AP
TP
MP
L1
L2
三种产量之间的关系
1．总产量与边际产量：（1）由MP = ΔTP/ΔL = dTP/dL可知，当投入为L时，MP为TP曲线上相应点的斜率；（2）MP＞0时，TP上升， MP＜0时，TP下降；MP=0时，TP达到最大；（3）MP上升时， TP递增增加， MP下降时， TP递减增加；
2．总产量与平均产量：由AP = TP/L可知，当投入为L时，AP为TP曲线上相应点与原点连线的斜率；
3．平均产量与边际产量：（1）MP＞AP时，AP上升；（2）MP＜AP时，AP下降；（3）MP＝AP时，AP达到最大。
显然，边际产量决定总产量和平均产量。
二． 边际报酬递减规律
1．含义：在生产技术和其他要素投入固定不变的条件下，连续增加可变要素的投入达到一定水平后，边际产量会出现下降的趋势。它具有普遍性。
2．原因：要素之间的替代关系具有一定的限度。木桶原理，瓶颈约束
3．意义：靠可变要素投入增加产量是有限的，投入水平应该控制在合理水平上，技术进步是增加产量的根本出路。
三．生产的三个阶段
根据边际报酬递减规律所决定的可变要素投入增加过程中MP、TP、AP之间的关系，可将可变要素的投入分为三个阶段。
图示
设产品价格P、要素价格W、固定成本FC不随可变要素投入和产量增加而变化，由利润函数 π=PQ－WL－FC = Q（P－W/AP－FC/Q）可知，
在生产函数的第一阶段，由于Q和AP随L的增加而提高，π会增加；在第三阶段，π会减少；第二阶段为技术合理阶段。
四．可变要素投入的最佳水平
最佳投入就是利润最大的投入量。
设产品价格P、要素价格W、固定成本FC不随可变要素投入和产量增加而变化，由利润函数 π=TR－TC=PQ－WL－FC可知，利润最大的必要条件是dπ/dL = dTR/dL－dTC/dL = P·MP－W =0
即P·MP = W，这个条件称为
边际产品价值VMP(value of marginal product) =边际要素成本MFC(marginal factor cost)。
第三节 长期生产函数分析
在长期中，全部生产要素都可以改变，且具有一定的替代性，企业可以改变投入的数量和组合方式。本节假设只使用具有替代关系的劳动和资本两种投入要素生产一种产品，以两种投入可变的生产函数为例，分析要素最佳组合的条件。
一．等产量曲线
1．含义：在使用具有替代关系的两种生产要素生产一种产品时，能够产生相同产量的全部要素组合方式所构成的轨迹称为等产量曲线。
2．推导：等产量曲线是从生产函数推导出来的。设 Q = f（L，K），则对于某一产量水平Qi，有f（L，K）= Qi。从中可以解出 K = φ（L），它反映了在产量保持不变的条件下，两种生产要素之间的函数关系，可称为等产量曲线方程式。
例如，对于生产函数Q = LK，K = Qi/L，若Q=12，则K=12/L，对应于平面坐标上的一条等产量曲线。图示
3．等产量曲线图：
对应于一个生产函数及其推导得出的等产量曲线方程式，每给定一个产量水平Qi，就可以画出一条等产量曲线，全部等产量曲线共同组成等产量曲线图。（Qi称为转移参数）
K
L
K = φ（L）
Q1
Q2
Q3
Q4
4．等产量曲线图的特点：
（1）任何两条等产量曲线都不能相交；
（2）离原点越远的等产量曲线代表产量越高；
（3）向右向下倾斜，斜率为负，表明两种要素之间具有替代关系；
（4）等产量曲线凸向原点，斜率下降，替代能力递减；
（5）等产量曲线为直线时，要素之间完全可替代（如两种燃料之间），斜率为常数；
（6）等产量曲线为直角折线时，要素之间完全不可替代，投入比例必须固定。
5．边际技术替代率
（1）含义：marginal rate of technology substitution ，MRTS ，指在保持产量水平不变的条件下，增加一个单位某种要素的投入可以减少（替代）另一种要素的数量，它是等产量曲线斜率的绝对值。
劳动力对资本的边际技术替代率用公式表示为：MRTSlk = －ΔK/ΔL = －dK/dL，它反映劳动对资本的替代能力。
（2）边际技术替代率递减规律
对等产量曲线方程式f（L，K）= Q0两边求全微分有：
Q/L×dL+ Q/K×dK = d Q0 ＝0
MPl dL = －MPkdK
－dK/dL = MPl /MPk = MRTSlk
它表明，只有增加劳动力投入增加的产量等于减少资本投入所减少的产量相等，才能保持产量不变。
由于MPl随着L的增加而下降，MPk则因K的减少而提高，所以MRTSlk具有递减趋势。这是边际报酬递减规律作用的结果。
6．要素配合的合理区间
根据边际报酬递减规律，当边际产量等于零以后，总产量开始下降，说明增加劳动不再能够替代资本。
在等产量曲线图上，把劳动力边际产量等于零的点A（此点以后等产量曲线斜率为正）连起来，把资本边际产量等于零的点B连起来，两条脊线之间的区域称为生产的经济区域，要素最佳组合应该位于这个区间，具体要考虑成本。
A
B
L
K
二．等成本线
1．含义：在使用具有替代关系的两种生产要素生产一种产品时，假设各种要素的价格保持不变，花费相同成本能够购买到的全部要素组合方式所构成的轨迹称为等成本曲线。
2．推导：
等成本线是从总成本函数推导出来的。
在要素价格不变条件下，TC = PlL+PkK，对于既定的TC0，有
K = TC0/Pk－Pl/Pk L ，这个一元线性函数就是等成本线方程式，它反映在保持总成本不变条件下，两种要素之间对的竞争关系。
例如，设TC=20，Pk= Pl =1，则 K = 20－L，据此可以画出一条等成本线。
3．等成本曲线图及其特点
根据一个成本函数及其推导的等成本线方程式，可以画出无数条等成本线，共同组成等成本曲线图。
特点：（1）相互平行，不相交；（2）离原点越远，代表的成本水平越高；（3）斜率为负，dK/dL=－Pl / Pk，两种要素反方向变化。（4）要素价格比发生变化时，等成本线的斜率改变。
K
L
K=Q0-L
三．生产要素最佳组合及其条件
一般来说，企业面临两种决策问题：
1．总成本既定条件下，寻求产量最大的要素组合方式。在数学上是约束极值问题。
目标函数：max. Q = f(L,K)
约束条件：. TC = PlL+PkK
根据拉格朗日常数法，可构造拉格朗日方程式为：
Z = Q+λTC=f（L，K）+λ（PlL+ Pk K）
令 Z/ L= Z/ K= Z/ λ=0
解方程组可得，MPl/Pl=MPk/ Pk，此式即为最佳组合的条件。
第二种决策问题
2．总产量既定条件下，寻求成本最低的要素组合方式。
在数学上也是约束极值问题。
目标函数：min. TC = PlL+PkK
约束条件：. Q = f(L,K)
根据拉格朗日常数法求解仍然可得要素最佳组合的条件，MPl /Pl=MPk/ Pk，也可表示为：MPl/ MPk = Pl / Pk，
图示
既定成本使产量最大
既定产量使成本最小
K
L
A
B
C
E
k
l
K
L
A
B
C
E
k
l
总结：要素最佳组合的条件
以上图形分析表明，最佳组合位于等产量线于等成本线相切的点。此时，等产量曲线的斜率等于等成本线的斜率。
由－dK/dL = MPl /MPk = MRTSlk可知，等产量曲线的斜率为dK/dL = －MPl /MPk
由等成本线方程可知，它的斜率为dK/dL=－Pl / Pk
所以，要素最佳组合的条件为：MPl/ MPk = Pl / Pk。这与数学推导的结果是一致的。
如果MPl /Pl＞MPk/ Pk，就应该增加劳动的投入，减少资本的投入；反之，如果MPl /Pl＜MPk/ Pk，则要增加在资本方面花费。
这个结论可以推广到多个要素的最佳组合决策。
要素最佳组合与利润最大化
要素最佳组合条件也可由利润函数对L和K分别求偏导数并等于零求解来证明。
利润函数π=TR-TC=PQ-TC最大的必要条件为：
（1） π/ L=P Q/ L- TC/ L=0，
即 P=Pl/MPl
（2） π/ K=P Q/ K- TC/ K=0，
即 P=Pk/MPk
可见， P= Pl / MPl = Pk / MPk。说明要素最佳组合实现了利润最大的目标。
四．最佳组合的改变
上述最佳组合的条件是在要素价格不变、产量或总成本不变以及技术水平不变条件下得出的，否则，最佳组合的位置将会发生改变。可区分为三种情况
1．技术不变，要素价格改变
（1）Pl / Pk保持不变，即两种要素的价格同比例改变，等成本线的斜率不变，产量或总成本会发生变化。
（2）Pl / Pk变化，等成本线的斜率改变。若Pl / Pk下降，劳动力相对便宜，应多使用劳动力；反之，若Pl / Pk上升，则多使用资本。
K
L
A
B
C
E
k
l
2．技术水平和要素价格不变，投入成本和产量增加
将导致要素组合发生改变，最佳组合方式的轨迹称为生产扩大路线（Expansion path）。
生产扩大路线的方程式可以把边际产量函数和要素价格代入要素最佳组合条件求得。
设Q=100 K1/2 L1/2，则
A
B
K
L
C
E
k0
l
E
代入要素最佳组合条件可得
在已知产量或成本的条件下，
企业按此组织生产就可以实现利润最大
3．要素价格和产量不变,技术进步
（1）技术进步引起生产函数改变，等产量曲线向原点方向推移。
（2）技术进步类型：
B劳动节约型技术进步，导致劳动投入比例下降；
C资本节约型技术进步，导致资本投入的比例下降；
A1中性技术进步，投入都减少，但比例不变
E1
A1
k1
l1
k0
l0
K
L
A0
E0
B
C
第四节 规模报酬
一．规模报酬的含义
规模报酬（returns of scale）是指在生产技术和要素价格保持不变的条件下，全部生产要素按相同的比例同时增加时，产量发生变化的比例。即规模扩大本身所带来的报酬。
注意规模报酬问题的局限性：技术不变；全部要素同比例增加；
设生产函数为 Q = f（L，K）
规模报酬问题就是研究如果劳动和资本的投入分别从L0，K0增加λ倍，λ＞1，产出由Q0增加多少倍？
二．规模报酬的三种类型和三个阶段
设各种要素同时增加λ倍，产出增加b倍，即
b Q0= f（λL0，λK0），则根据投入增加的倍数λ和产出增加的倍数b可将规模报酬分为三种类型：
b＞λ，规模报酬递增；b＝λ，规模报酬不变；b＜λ，规模报酬递减；
规模报酬的三种类型可以出现在不同的企业，也可出现在同一企业生产规模扩大的不同阶段，一般表现为递增、不变、递减三个阶段。
三、产出弹性
规模报酬可以用投入要素的产出弹性来衡量。
产出弹性是指所有投入品都增加1%所引起的产量变化的百分比。
对于Q=f（L，K）
根据规模报酬的定义，
如果Ε ＞1，规模报酬递增；
如果Ε ＝1 ，规模报酬不变；
如果Ε ＜ 1 ，规模报酬递减；
第五节 生产函数的估计
一、生产函数的数学形式
（1）三次方程式
Q=aLK+bL2k+cLK2－dL3K－eLK3
这种生产函数的特点是每种生产要素的边际产量都是先递增然后递减，符合边际报酬递减规律。规模报酬也是先递增再递减。
（2）柯布-道格拉斯函数（幂函数形式）
Q=aLαKβ，这种函数有三个特点：一是某种要素的边际产量取决于全部要素的投入水平；二是α+β等于产出弹性系数；三是两边取对数后，可以变为线性函数 logQ=loga+αlogL+βlogK，便于回归估计。
二、数据资料来源
1、使用历史上要素投入与产品产出之间的时间序列资料估计生产函数；
2、使用同一时间内不同企业要素投入与产品产出之间的横截面资料估计生产函数；
3、通过实验或经验积累要素投入与产品产出之间的数据资料估计生产函数；
数据资料的可靠性和可用性是决定生产函数估计质量的关键
