数理经济与计量经济学
具有状态转换的跨期资本资产定价模型与实证
摘 要
本文探讨了市场对资产定价行为的影响，并提出具有状态转换特性的跨期资本资产定价模型——ALRS-ICAPM (Intertemporal Capital Asset Pricing Model with Auto-Regressive Logit Regime Switching)。本文采用美国纽约证券交易所(New York Stock Exchange)上市的公司股票报酬的月资料，检定ALRS-ICAPM与以往的资本资产定价模型相比更有解释力。
实证分析得出，ALRS-ICAPM 与以往的资本资产定价模型相比能更好的解释投资者的行为，并且由ALRS-ICAPM可以识别出重大经济现象对股票报酬的影响。在模型估计方法方面，本文采用了一种更具有一般性的方法来估计含有GARCH (Generalizes Auto-Regressive Conditional Heteroskedaticity) 效果的ALRS-ICAPM，通过这种方法可以清楚的解释市场报酬以及大小公司股票报酬各自所处的状态之间是如何相互影响的，这是Hamilton (1989) 的文章中的模型所不能做到的。
【关 键 词】：资本资产定价理论 ALRS-ICAPM 状态转换
壹、引言
资本资产定价模型是不确定性条件下资产定价的均衡模型，该模型被普遍认为是研究投资和资本市场运作的简单工具，它的提出在实证界引发了大量的研究。研究者从不同的方面对资本资产定价模型进行完善，并尝试采用不同的计量方法，试图找到一个更有解释力的模型。
股票市场在不同时点有不同的表现，根据股票报酬和风险可以把股票市场简单的划分为几种不同的状态，比如高报酬低风险的牛市和低报酬高风险的熊市。本文就试图探讨股票市场所处的状态是否会影响到股票的报酬。基于Capmbell (1993) 的不含消费的跨期资本资产定价模型，本文提出具有状态转换的跨期资本资产定价模型——ALRS-ICAPM，选取了美国纽约证券交易所从1960年1月到2001年12月的资料，包括整股票市场以及按公司规模分类的大小公司的资料，来研究股票市场所处的状态对股票定价行为的影响。通过对资料进行简单的统计检验发现，在模型的设定中应含有MA (Moving Average) 项和GARCH (Generalizes Auto-Regressive Conditional Heteroskedaticity) 项。为了解决模型估计中当前值受到状态的所有历史值影响的问题，本文参照Gray (1996) 的文章中的做法来消除路径依赖的影响。在Gray (1996) 的文章中假设状态转换概率服从一阶马尔可夫过程，本文则采用了一种更具有一般性的方法——假设状态转换概率满足Multinomial Logit函数形式，这样可以比较直观地看出整个市场报酬以及大小公司的股票报酬所处的状态之间是如何相互影响的，这是Hamilton (1989) 的模型所不能做到的。
本文的架构是，第部分是绪论，第二部分提出具有状态转换的跨期资本资产定价模型 (ALRS-ICAPM) ，并介绍估计方法，第三部分为资料的来源、前期处理和实证结果，第四部分是对全文的总结，并指出本文研究的不足和对后续研究的建议。
贰、计量模型
一、ALRS-ICAPM模型设定
在考虑状态转换框架下，假设市场报酬的均值和变异数都具有状态转换：
(1)
其中，代表整个市场的报酬，和分别是AR()和MA()用滞后因子 (Lag operator) L表示的多项式。
具有状态转换的跨期资本资产定价模型的设定如下：
(2)
其中：
其中，代表金融资产的超额报酬 （资产的报酬减去无风险利率）。在ALRS-ICAPM中假设市场报酬的期望值具有状态转换，每个状态的均值取决于市场所处的状态。 EMBED 分别表示市场报酬和金融资产的报酬的波动性的幅度效果，也就是检定市场报酬和资产的报酬的波动性是否会随资产的报酬所处状态的变化而不同。是状态指标 (state indicator)，它是一个随机变数，表示时间序列在t期所处的状态。是市场报酬和资产的报酬的相关系数。是折现因子，是外生变量，本文中假设市场报酬具有均值回转特性，根据通常的做法假设的值是。在本文中，为了简化，假设投资者对风险的趋避程度是常量。
条件变异数的设定为：
其中，和分别表示ARCH ()和GARCH ()用滞后因子L表示的多项式。
假定标准化的创新服从下面的分布：
也就是说，市场报酬和资产的报酬，除了标准化的创新，和具有不随时间改变的相关系数之外， ，和是相互独立的。
从ALRS-ICAPM的设定中可以看出，不考虑状态转换的资本资产定价模型是它的一个特例（设定表征状态转换的参数， ）。
二、估计方法
因为状态指标是不可观察的，条件密度函数（表示截至 期所有的观察值）不能用来构建似然函数，但可以通过把 中不可观察的状态指标消除掉来解决。通常的做法是用条件概率与 的乘积来得到联合密度函数。
假设是的函数，此时密度函数可表示为：
对于的定义，本文假定转换概率也受到状态指标的历史值的影响，与密度函数中g函数的设定类似，在转换概率中 是的函数：
从上式中可以看出，Hamilton (1989) 的 的设定是上式的一个特例。为了保证中的滞后项的个数是有限的并且是任意的，而且每个时间序列的残差项都是独立同分布的，假设转换概率具有Multinomial Logit Model的函数形式：
(3)
、和的值与状态有关，所以状态转换概率表达式中的Z函数可以用这几个参数的回归方程来表示状态指数的动态特性。Z函数的
设定如下：
假设，那么近似的似然函数可以定义为：
(4)
其中密度函数可表示为：
(5)
具有状态转化特性的创新 , 和可以用下面的式子来近似：
条件方差的近似值：
EMBED
在转换概率的方程中，、、和的历史值都是不可观察的，可以采用下面的表达式近似：
，
本文的ALRS-ICAPM和Hamilton (1989) 的状态转换模型的不同之处在于：
1、在本模型中允许有MA以及 GARCH 效果的存在。但Hamilton的模型中这些项不能存在。
2、在Hamilton模型中市场报酬所处的状态和资产的报酬所处的状态是可以互相影响的，但并没有说明这些状态之间是如何相互影响的。而从本文Logit函数，可以很清楚地看到状态之间是如何相互影响的。
叁、资料和实证结果
一、资料的来源和前期处理
（一）、资料来源
本文选取了美国芝加哥大学的CRSP (Center for Research in Security Prices) 数据库中纽约股票交易所 (New York Stock Exchange)的从1960年1月到2001年12月的股票月资料，总共504笔。用价值加权的股票报酬率 (value-weighted stock returns) 来替代整个市场的报酬率，用90天的政府债券来代表无风险利率。大小公司的定义类似 Reinganum (1981) 按公司规模分类的证券，根据资本额把上市公司均等的分为10个等级，其中1代表资本额最大的公司，10代表资本额最小的公司，考虑到规模较大的公司的股票报酬在整个市场报酬中所占的比例很大，本文中大公司的股票的报酬定义为等级为3、4和5的公司的价值加权股票报酬的平均值，小公司的股票报酬定义为等级为9和10的公司的价值加权股票报酬的平均值。
本文采用GUASS编程，用不考虑状态转换的ICAPM的估计结果作为ALRS-ICAPM的起始值，在程序开始运行时采用Broyden Fletcher，Goldfarb 和Shanno算法 （或简记BFGS），因为BFGS算法收敛速度比较快，当快接近极值时，为了使收敛比较稳定则采用Davidon，Fletcher 和Powell 算法（或简记DFP）或Berndt，Hall，Hall和Hausman算法（或简记BHHH）。为了避免局部最大 (local maximum) 的问题，运行程序时选取不同的初始值，从中找出使似然函数值最大的一组估计值作为模型的估计结果。
（二）、资料分析
通过对样本进行简单的统计分析得出，市场报酬以及大小公司分布具有不为零的偏度和较大的峰度，Jarque-Bera检定也拒绝了正态分布的假定。
通过ARCH效果检定得出，在10%的显著性水平，市场报酬的波动性上具有持续性，大公司的股票报酬的波动没有显著的持续性，小公司的股票报酬的波动性具有持续性。因此在本文的模型中，采用ARCH和GARCH效果来消除波动的持续性。
通过Granger因果关系检定得出，在10%的显著性水平上，大公司的股票报酬影响市场的股票报酬和小公司的股票报酬，整个市场的报酬反过来也影响大小公司的股票报酬，而小公司的股票报酬对大公司的股票报酬和整个市场的股票报酬的影响不显著。因此本文采用三变量的ALRS-ICAPM来进行估计。
二、实证结果
通过将市场报酬以及大、小公司的股票报酬代入三变量的ALRS-ICAPM，估计结果见表〔1〕。
表1 三变量的ALRS-ICAPM的估计结果
参数 估计值 标准差 t-ratio
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
对数似然函数的值
注：*表示在5%的水平上显著。
从〔表1〕中可以看出，市场报酬以及大小公司股票报酬的波动都存在状态转换，模型识别出三种不同的状态，因此从长期来看股票报酬服从混合分布。本文通过参数由资料本身来识别在不同的时间点股票报酬所服从的分布。一般政策和外在冲击对股票报酬的影响在时间上具有滞后效应，并且股票报酬的波动本身具有波动群聚效果，从估计结果来看，对市场报酬以及小公司的股票报酬，ARCH和GARCH效果都很显著。
〔图1〕画出了由模型估算出的整个市场的报酬每个时点所处的状态。其中发生概率小于5%的状态可能并不是有经济意义的独立状态，而只是一些极端值的集合。
图1 市场报酬所处的状态估计
注：1表示高波动，2表示中波动，3表示低波动。
ALRS-ICAPM识别出三次石油危机，以及1987年10月股票市场崩溃 (market crash)，当时市场处于高波动状态，并且从股票月报酬的图中可以看出，1987年10月整个市场的股票月报酬突然下降。
本文状态转换概率的表达式中Z函数的设定如下： 由三变量的ALRS-ICAPM得到的Logit 函数中的各个参数的估计结果见 〔表2〕。
表2 Logit 函数的估计结果：
参数 估计值 标准差 (.) T-Ratio
A1(2) *
A1(3)
A2(2)
A2(3)
A3(2) *
A3(3) *
C1(2,1)
C1(3,1) *
G1(2,1) **
G1(3,1)
C2(2,1) *
C2(3,1)
G2(2,1)
G2(3,1)
C3(2,1)
C3(3,1) **
G3(2,1)
G3(3,1)
RHO(1,2) **
RHO(1,3) **
RHO(2,3) **
注：1、**表示在5%的水平上显著,*表示在10%的水平上显著。
2、A1(i) 表示Logit函数中的截距项，C1 (i, l) 表示Logit函数中，的系数，G1 (i, l) 表示Logit函数中的系数。
从 〔表2〕可以看出，C1(3,1) 在10%的显著性水平上异于零，说明当期市场报酬处于低波动的概率与上期市场报酬所处的状态是显著相关的；C2(2,1) 在10%的显著性水平上异于零，说明当期大公司股票报酬处于中波动的概率与上期市场报酬所处的状态是显著相关的；C3(3,1) 在10%的显著性水平上异于零，说明当期的小公司股票报酬处于高波动的概率与上期市场报酬所处的状态是显著相关的。也就是说，不论上期市场报酬处于什么状态，都会增加当期市场报酬处于低波动、大公司股票报酬处于低波动以及小公司股票报酬处于高波动的概率。所以虽然[表3]大公司股票报酬的平方ACF和PACF检定出大公司股票报酬没有显著的波动持续性，但是〔表1〕三变量的ALRS-ICAPM却得出大公司股票报酬的波动具有持续性。G1(2,1) 在10%的显著性水平上异于零，说明当期的市场报酬处于中波动与上期小公司的股票报酬所处状态是显著相关的，也就是说，不论上期小公司股票报酬处于什么状态，都会增加当期市场报酬处于中波动的概率。
此时，Logit函数中的Z函数可以表示为：
通过以上因素的共同作用，ALRS-ICAPM可以识别出市场报酬以及大小公司的股票报酬各自所处的状态之间是如何相互影响的，这是Hamilton 模型所不能做到的。
肆、结论与建议
本文在Campbell (1993)的不含消费的跨期资本资产定价的基础上，提出ALRS-ICAPM，并通过研究美国纽约证券交易所上市公司的股票报酬的月资料做实证分析得出，ALRS-ICAPM可以更好的解释投资者的行为以及经济生活中的现象。并通过Logit函数中的Z函数可以清楚地看出，市场报酬以及大小公司的股票报酬所处的状态之间是如何相互影响的，这是Hamilton的模型所不能做到的。
本文的估计结果可能会受选取的资料的影响，这有待于在以后的研究中进一步讨论。另外在本文中只是讨论了风险趋避指数是常量的情况，未来的研究可以讨论在时间序列上风险趋避指数的变化，因为当经济处于不同的状态以及投资者可以支配的财富不同时，投资者对待风险的态度可能会有所不同。
在模型设定方面，模型中的市场报酬的均值以及条件变异数中的截距项 (intercept) 和Z函数中的(或 ，和) 都可以表示为外生变数的线性方程。
参考文献
[1] Campbell, J. Y. (1993), “Intertemporal Asset Pricing without Consumption Data,” American Economic Review, 83, 487-512.
Econometrica, 55, 391-407.
[2] Gray, S. F. (1996), “Modeling the conditional distribution of interest rates as a regime –switching process,” Journal of Financial Economics, 42, 27-62.
[3] Hamilton, J. D. (1989), “A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle,” Econometrica, 57, 357-384.
[4] Reinganum, Mark R. (1981), “Misspecification of Capital Asset Pricing: Empirical Anomalies Based on Earnings’ Yield and Market Values,” Journal of Financial Economics, 9, 19-46.
Theory and Eempirical of Intertemporal Capital Asset Pricing Model with Regime Switching
Abstract
This paper discusses whether which state of market staying has effect on the behavior of capital pricing, and puts forward Intertemporal Capital Asset Pricing Model with Auto-Regressive Logit Regime Switching (ALRS-ICAPM). This paper uses the monthly stock return of firms in New York Stock Exchange to test ALRS-ICAPM against traditional CAPM.
Empirical results reveal that ALRS-ICAPM can give better explanation of investors’ behavior and the effect that economic phenomena having on capital pricing. With regard to estimation method of the model, this paper brings a new method to estimate regime-switching model with GARCH effect, and this method can explain clearly how the states that market return and large and small firm’s stock return stay affect each other, which does Hamilton (1989)’s model not do.
【Key words】 : ALRS-ICAPM regime switching
Capital Asset Pricing Model
