風險管理學報 第七卷 第一期 2005年3月 Journal of Risk Management March 2005 pp. 29-51 *巨災鏈結權益賣權契約與評價Pricing Catastrophe-linked Equity Put ****林文昌 (Wen-Chang Lin) 王祝三 (C. Edward Wang) ***李佩純 (Pei-Chun Lee) 摘 要 在日益重要的巨災風險管理中，巨災連結權益選擇賣權屬於或有資本中的損失後之或有權益商品，且與屬於負債融資的巨災債券在許多特性上有所不同，其在過去文獻上甚少受到討論。本文除介紹或有資本商品中的巨災連結權益賣權之特徵外，由於我們注意到契約之標的（權益）價格，對巨災常存有高度相關的同時跳躍，再加上額外的盈餘限制，使該權益衍生物的結構相對地複雜。本研究藉助蒙地卡羅模擬對其作數值評價，所得結果並以不同設計條件下之契約作為比較，最後再檢視各風險因子對其之影響。結果發現，巨災連結權益賣權因為執行時間的提早而使價差的縮小，致使此雙執行條件契約的價格明顯低於傳統歐式單執行條件賣權；而多重理賠型態的契約則因整體執行時間的提早而有較高的價格；另一方面，道德危機對權益賣權的影響會大於或有負債。最後我們也發現，巨災與權益跳躍之大小相關程度，以及盈餘的限制均會對價格有明顯的影響。 關鍵字：巨災，或有資本、權益賣權。 Abstract Although most catastrophe-linked derivatives have been well documented in the literature of catastrophe risk management; however, surprisingly, catastrophe-linked equity put (CatEPut®), as one of the most important contingent capital products, receives very few attentions. In this paper, by recognizing the contemporaneous jump between equity price and catastrophe losses, the CatEPut, which can be viewed as an insurance-linked structured equity derivative with multiple triggers, is evaluated using financial pricing approach. Numerical Monte Carlo method is carried out to compute the fair price. The simulation results indicate that the price of double trigger equity put is lower than traditional single trigger option. We also find that the contract with moral hazard as well as the contract allowing multiple claims also significantly increases the price. Finally, several influential factors, ., the instantaneous correlation between catastrophe and equity price, the surplus protection etc., are also founded that may affect the price substantially. Keywords: Catastrophe, Contingent Capital, Equity Put. * 作者感謝兩位匿名評審之寶貴意見，以及陳誼娉小姐之協助。 ** 國立中正大學財務金融研究所助理教授Assistant Professor, Department of Finance, National Chung Cheng University, Chia–Yi, Taiwan *** 國立中正大學財務金融研究所博士班研究生，Doctoral student**, Department of Finance, National Chung Cheng University, Chia–Yi, Taiwan.
30巨災鏈結權益賣權契約與評價 1. 前言 雖然傳統上對於低頻率、高額度的巨災損失之風險管理，企業多採例如巨災保險或再保險契約的移轉方式(risk transfer, see ., Cummins, et al., 1999)，但由於這些產品易受限於保險市場容量，早已無法滿足市場需求。另一近年來逐漸重要的的巨災風險管理方式，則是透過財務契約將巨災風險移轉給資本市場之投資人，以求得更有效的分散及更大的容量。相關較重要的產品中，包括巨災期貨(catastrophe futures)、巨災選擇權(PCS catastrophe option)、巨災交換證券(catastrophe swap)和巨災債券(catastrophe-linked bond)等，在過去文獻中受到較多的討論(., Cummins and Geman, 1995; Doherty, 1997; Lee and Yu, 2002)。 例如，台灣屬全球巨災最頻繁的地區，在歷經921震災後，政府積極研議巨災承保機制，除了分層的共保與再保的設置外，在2003年3月更1成為全世界第一個發行政府巨災債券的國家，在國際引起相當的囑目。由於國際再保險的獲得常受制於價格及保額的不穩定，而且國際市場上投資人對台灣巨災風險的資訊不對稱，使得巨災債券等証券化商品的風險成本可能高於再保險，若以債券發行更會增加負債比，提高破產機會。另一方面，在近年來國外日益風行的替代風險管理(Alternative Risk Transfer, ART)策略中，另一個重要的管理方式則是利用或有資本契約(Contingent Capital Arrangement)，由於此商品迄今在國內文獻均止於簡單介紹而較少受到進2一步分析，而其中最重要的商品 - 巨災權益賣權(catastrophe equity put)，在國內外更都少見任何文獻對其評價。 或有資本契約 由於資本的持有對於公司會帶來相當的成本，因此資本管理(capital management)的基本原則是；當企業擁有多餘的營運資金時應將其退還給股東（如股利發放）；而在資本不足時再行對外融資(external financing)，以使槓桿處於最適狀態，避免營運困難。但公司如果要在短期內獲得資本，則公司可能會付出比應有成本更高的價格；這是因為在市場常對該公司存有不對稱資訊，此現象將導致公司價值被低估。為解決此問題，除了傳統的財務保險契約外，近年來的一個金融創新則是買入或有資本契約，使公司得以在遇有額外的資金需求時可以用來迅速回復資本。藉由或有資本，公司可提昇潛在資本的能力，承受更大的風險，降低資本成本，提高 1 見National Underwriter, Sep. 2003。 2 見Doherty (2000)及Shimpi (2000)等。
風險管理學報 31第七卷 第一期2005年3月 公司的信用評等。因此或有資本近年在國外已成為如銀行、證券及保險公司等金融機構重要的資本風險管理工具。特別是產險業對其面臨的巨大損失風險，最可能因而導致資本不足甚至破產，使股東及投保人的權益受到影響。但若產險公司因而在事前籌集資本(pre-loss financing)，持有的成本3將降低公司價值，一般也無法有效提昇保單價格。如果使用再保險來移轉，相對的交易成本也偏高，且再保險公司也可能破產。而或有資本的特性，特別在巨災損失上，正符合金融機構風險管理、特別是產險產業需求，契約更可依不同的客戶需求訂定，所以在國外已受到保險產業的重視。 或有資本契約係指，由購買者(buyer)在損失發生前與承作者(writer)約定；當損失發生超過一定的限度之情況下，購買者能夠依照事前訂定的有利條件而迅速獲得資本恢復。其形式可以是權益，負債及可轉換証券等；而金融保險業選擇的標的資產常為普通股或特別股，因其可以視為權益資本(surplus)而降低槓桿，符合監理要求。而一般產業則常以負債為標的，主要取其稅盾效果。或有資本契約購買公司必須支付一筆承諾費用(committment fee)給予在損失事後之資本購買者。因此，由過程上來看其並非直接將損失移轉給對方(loss transfer)，而是在損失發生後購買者可以根據契約獲得資本的注入，因此屬於損失後融資(post-loss financing)，故或有資本在事前屬資產負債表外(off-balance-sheet)的項目（亦即公司尚未擁有的資金），只是一種予以企業以發行證券換取資金的權利，因此在事前4對於財務比率不至造成太大改變。由於契約為事先簽訂，因此公司在資本因損失被大量剝奪時，可以用遠比事後融資更低的成本（利率）來獲得資本，如保險公司不但得以用來迅速恢復資本，改善財務槓桿，滿足監理資本要求(capital requirement)，避免因損失後外部資金成本過高而導致進一5步的承保循環的發生，而且公司價值也得以保持。因此目前以巨災為或有的執行條件(trigger) 的產險公司是市場的主要契約購買者。 契約特性 保險結構性商品 (Insurance linked structured derivative) 因為保險的理賠僅能在保險事件發生的條件下支付，因此保險契約也可以視為一種依保險事件連結之結構性商品(Cummins and Philip, 2000)。若由此角度來看，或有資本則擁有額外的執行條件(trigger)，因此常被稱之為多執行條件商品(multiple triggers product)；也就是必須在所有條件都滿足時，該商品才可以履約。常見的情況是同時擁有兩個執行條件(double 3 由於資訊不對稱及安定基金等之不完美因素存在。 4 但如巨災債券則屬在事前發行。 5 詳見承保循環相關文獻。
32巨災鏈結權益賣權契約與評價 trigger)，第一個條件需為價內(in-the-money)，也就是標的資產合乎其約定價格內；而第二個條件(second trigger)經常議定為隨機不可預期事件的發生，例如地震、颱風或是呆帳的發生，該事件通常與公司的營運風險或財務風險有關。另外也可以是，若事件發生時會導致公司所發生損失金額超過一定的條件下方可執行，這種情況類似於一敲進選擇權(knock-in option)，但報酬連結於另一標的；換句話說，也可視為一種保險事件連結之結構性商品。就巨災而言，由於損失累計金額多呈現間斷式跳躍，假若標的資產價值易受該事件影響，則該標的資產價值亦可能連帶呈現不連續的過程。 道德危機 如果契約的執行條件可以由契約購買者操控時，就容易產生道德危機。例如Doherty (1997)、Lee and Yu (2002)指出，保險公司常存有事後道德危險(ex post moral hazard)，也就是保險公司常會對巨災損失的理賠採取更寬鬆的標準，利用提早達成執行條件來提高契約價值。為避免道德危機的發生，契約的執行條件常改以企業無法直接操控的產業損失指數來取代，例如美國PCS損失指數，但無可避免的對公司又會產生基差風險(basis 6risk)。但是道德危機的是否產生，要視提早達成執行條件的時間價值加上契約報酬的利益，能否足以抵銷增加的巨災理賠的損失而定。 理賠條件 契約理賠門檻可能包括下列兩種情況：第一、在一定時間內，事件累計損失(aggregate losses)超過議定門檻始可執行，其結構相似於財務商品中的亞式選擇權 (Cummins and Geman, 1995)，與損失發生的累計過程有關。第二、一定期間內，若單一事件(per occurence)在損失超過議定門檻時即可執行，而且在約定時間內可以多次執行，也就是保險契約的多重理賠7條件(multiple claim)，而總報酬則為各個在不同時間發生的單一事件所獲理賠的總和。 或有盈餘票券 (Contingent Surplus Note) 其中一個重要的或有資本產品是或有盈餘票券，其在本質上雖屬於負債，但在美國會計法(statutory accounting rules)中，卻允許發行的保險公司在資產負債表上將之列為保單持有人之盈餘（policyolders’ surplus），因此其不會增加公司負債盈餘比。因此由監理的角度來看，其可實質增加公 6 所謂的基差風險，是指企業個別損失與產業損失指數的差異，也就是實際的損失與損失指數的相關係數較低。Lee and Yu (2002)曾同時考慮巨災債券的事後道德危險與基差風險。 7 Shimko (1992)曾經對可以多次執行的保險契約作過訂價。
風險管理學報 33第七卷 第一期2005年3月 司承保的容量。或有盈餘票券係同樣根據事先簽訂的契約，在損失發生後，以事先約定的利率，藉由發行票券迅速增加盈餘，因此屬於或有資本。在發行上，利用類似於巨災債券的特殊目的公司，又稱為或有盈餘票券信託公司(contingent surplus note trust)，由其接受投資人之資金並投資於流動性資產，而投資人也透過該信託取得保險公司盈餘票券。在指定的期間內，保險公司可以由該信託的投資獲得投資收益，因此保險公司也可由該收益回復損失的資本。同時，將資金置於該信託公司獲得票券的投資人，因其及時提供的資金以及承受的票券信用風險，根據事先的約定也獲得相當對較高的利息，最終並歸還本金。 巨災權益選擇賣權(Catastrophe Equity Put) 或有資本契約中另一個重要的產品則是巨災權益選擇賣權，也是本文評價的對象。相對於盈餘票券在特性上與保險連結衍生性商品中的巨災債8券 同屬於負債融資(debt financing)，巨災權益選擇賣權則完全屬於權益融資，也就是或有權益(contingent equity)，因此在特性上有所不同。巨災連結權益賣權係指在巨災發生後，擁有依據事先決定的執行價格將權益售出的權利，該賣權購買者 (option buyer)，通常是保險公司，但也可以是一般公司。藉由支付一筆權利金，給同意在巨災發生後根據事先約定的價格購買該公司權益的權益發售者 (option writer)，亦即是投資人，也可以是另一保險公司、或再保險公司及一般投資銀行。一般而言，市場預期在巨災發生後保險公司權益價值會有一定程度同時下跌，因此該權利可以提供保險公司以較低的資金成本獲得權益，而無需增加財務負債。但一個可能缺點是，因為新的權益加入會稀釋原有之權益價值。 為保護新投資人的權益，賣權契約通常附有盈餘保護條款(surplus protection provision)，規定該賣權在保險公司盈餘低於某一水準下不得執行，但是若保險公司沒有維持一定水準的再保險情況下則除外。附加此條款造成的結果是使其成本必定較再保險為低；因為在同樣情況下，再保險即使在移保公司(ceding insurer)盈餘發生困難、甚至清償不足時候仍舊需要執行理賠義務，但巨災權益賣權的承作投資人在公司盈餘不足時則可以豁免執行該契約。此條款另一可能影響是，在巨災損失程度增加到可能危及安全的盈餘水平時，與巨災債券相比，保險公司膨脹其理賠損失的道德危險可能較輕微，因為過於膨脹損失時可能使得此契約無法執行的機率增加。 最終，該選擇權發售人（投資人）也可能將獲得之權益（股票）再賣回給該保險公司、或在股票市場出售。權益賣權必需指定發生事件的型態 8 巨災債券雖也屬於巨災避險衍生物商品，但是因公司已事先獲得資本，故不屬於或有資本。
34巨災鏈結權益賣權契約與評價 以及要執行該權利所需要的發生金額，其標的物通常為普通股、優先股、及其他的可能的權益。此外該契約也訂有指定的保障時間、每年保費、以及可執行的權益數量，並且要附帶保証該新權益不得去影響公司的管理、並維持在保險以及其原公司的的各種風險限制。 與巨災債券相比，權益賣權之標的資產（通常是股票）更容易直接受到巨災的直接影響，亦即價格會跟隨巨災而呈現同時的跳躍(contemperanous jump)，因巨災跳躍與股價的相關性直接反映了市場對於保險公司承受損失和避險程度的看法。由於其執行條件為巨災的發生，跳躍也使得其執行前後之價內價值呈現不連續。此外，因為權益價格與巨災跳躍的關聯性以及盈餘限制條款，因此可能發生的事後道德危險要比在巨災債券的情況複雜。若權益價格與巨災跳躍能呈現負相關，則保險公司可能存有道德危險以提高契約的價值（或提早執行契約），但是如果權益的市場價值過高而未能達到執行條件（也就是價外），或是公司盈餘過低受到盈餘條款限制，則公司的事後道德危險反而對提升契約價值不利。 巨災權益賣權最早是由美國著名的AVON經紀公司發展創新得來，用以替代傳統的巨災再保險契約。第一個成功的例子則是在一九九六年十月，由RLI公司購買一個在地震發生時可以用來發行五千萬股的可轉換特別股(convertible preferred shares)的巨災賣權，此選擇權的承作人為Centre Re（再保公司），契約期間為三年，執行條件只要是加州發生地震。如果這個賣權被執行，RLI公司另必須支付三到四年的股利給這些特別股直到這些股票轉換成一般權益，而RLI公司有也擁有在事先約定的價格下可以重新購回這些特別股的權利。此外，在1997年Horance Mann以及Lasalle Re也分別購買了類似的權益賣權。 在最近的2001年底，Trenwick Group公司也購買了一個巨災權益賣權，設定如果在2002年1月1日前有合乎其規定的巨災事件，該公司可以發行高達五千五百萬的可轉換特別股給European Reinsurance Company of Zurich公司(即option writer)。結果在2001年911發生的恐怖攻擊事件中，Trenwick公司共發生了超過五億四千萬元的巨災損失，因此Trenwick公司在2002年三月決定執行此權益賣權，但是遭到賣權承作人以不符合契約規定拒絕而引起一些法律爭議。 由於在巨災風險管理商品文獻上，過去多集中在巨災選擇權及巨災債券上面，其它產品則較少受到討論，雖然或有盈餘票券與巨災連結權益選擇賣權同屬於針對公司損失後的或有資本，但是前者與巨災債券因同屬負9債融資，本質上較為接近，而權益賣權則屬於權益融資之保險結構性商品，與固定收益之商品特性都有所不同。因此鑑於文獻上的缺乏，本文主 9 主要的區別是前者屬於事前負債融資，後者則屬於事後負債融資。
風險管理學報 35第七卷 第一期2005年3月 要目的除了以上介紹或有資本的特性外，下面主要針對巨災連結權益賣權以財務的角度作評價的分析，探討重要的風險影響因素，以作為未來定價的參考依據。 2. 巨災權益賣權之評價 考慮某一產險公司以其權益為標的，發行或有資本之巨災連結權益選擇賣權，並假設契約的價值與巨災的發生及損失金存有連動關係。同時也考慮可能發生的道德危機(moral hazard)，假設公司以實際損失為執行條件10之標的，則不會存有基差風險(basis risk)。 模型設定(The Model) 累計損失過程 (cumulative losses process) 假設該公司所支付的巨災理賠損失(paid loss)之過程服從一純粹跳躍過程（pure jump process） dL=αLdt+Ydq tLtLL其中L ：為在時點t時的累計損失。 tα：為累計損失期望變動，相當於通貨膨脹率，假設其不隨時間變動。 LY ：為損失規模的隨機變數。 Ldq：為巨災發生事件，假設服從卜瓦松過程（Poisson process）。 L在時點t產險公司的累計損失為從期間開始至時點t的損失加總；可以表為： tL=dL tS∫0若產險公司損失累積到達契約所議定損失金額時，則產險公司可執行選擇權；而累計損失超過契約議定損失金額最早的時點τ可表為： *τ=inf(t,L≥L) t*L ：為契約議定累計損失金額，相當於第二個執行條件（second trigger）。 10 例如著名的美國巨災選擇權(PCS Option)係以產業整體損失指數為標的，亦即存有較高之基差風險。
36巨災鏈結權益賣權契約與評價 巨災跳躍損失分配 (severity distribution of catastrophe jump) 11為符合過去文獻在巨災跳躍損失規模變數的設定以方便比較，假設損失規模服從對數常態分配(lognormal distribution)。對數常態為厚尾分配，在財務上廣泛被用來描述跳躍損失規模大小(Merton, 1976, 1977)。而保險文獻亦常採用(Cummins, 1988; Yu and Lee, 2001)，其機率密度函數為： 2⎡⎤⎛⎞1ln(Y−T)−µLN⎜⎟f(Y,µ,σ)=exp⎢−⎥ LNLN⎜⎟σ(Y−T)σ2π⎢⎥⎝LN⎠LN⎣⎦12其中 T ：為損失門檻(threshold)。 µ：為位置參數（location parameter）。 LN13σ：為規模參數（scale parameter）。 LN權益過程 (equity process) 假設產險公司的權益動態過程符合一混合擴散性質（mixed diffusion and jump process, Merton, 1976），也就是： dE=αEdt+σEdZ−EYdq tEtEtEtEL其中 E：為時點t的權益價格。 t ：為權益瞬間預期報酬率。 α E：為權益瞬間波動率。 σ EdZ：為韋納過程（wiener process）。 E Y ：為權益跳躍規模變數。 E上式的設定顯示，權益過程為與巨災損失具有同時的跳躍(contemporaneous jump，即同為dq)，但是跳躍大小隨著二者之間的相關程度而異。在給予L相關係數的條件下，間斷式的跳躍在模擬上無法像兩擴散過程般的利用Cholesky分解求得隨機亂數，因此為方便模擬，我們假設兩者之關係可以線性迴歸表示，亦即； Y=α+βY+e ESELLE其中β代表巨災損失與權益跳躍之期望變動比例，假若兩者相關係數為： EL 11 多數巨災損失實際並不符合對數常態分配，較合適的損失分配可參照Cummins et al., (1999)，以及林文昌，賴怡洵(2003)。不同的損失分配在此非本文討論的重點。 12 在本文設為零。 13222 對數常態分配之期望值為，變異數為 E(Y)=exp(µ+1/2σ)VAR(Y)=exp(2µ+σ)(exp(σ)−1)LNLNLNLNLN
風險管理學報 37第七卷 第一期2005年3月 Corr(Y,Y)=ρ ELELtt則′ β=ρ×β ELELEL其中′β代表在兩者完全相關時之Y對Y的比例係數。 ELEL盈餘過程 (surplus process) 在沒有其它避險（例如再保險）的情況下，保險公司的盈餘在時間t的大小將直接受到同時間巨災損失跳躍影響，且其衝擊大小和巨災損失有14相同的規模，因此亦可將盈餘過程可寫為一混合擴散過程： dS=αSdt+σSdZ−Ydq tStStSLL其中 S ：為時點t的盈餘。 t α：為瞬間預期盈餘報酬率。 S σ：為瞬間波動率。 S dZ：為韋納過程（wiener process）。 S 15假設盈餘隨機波動與權益之隨機波動之瞬間相關為dσdσ=ρdt ESES或有收益 (contingent payoff ) 選擇權購買者發行每單位新股的收益，即為契約所議定的發行價格與履約當時公司權益價格的差異，因此在時間τ時發生的或有收益為 **⎧E−E, if S>SττPO=， ⎨τ0, otherwise ⎩其中PO：為發行每單位新權益的收益。 * E：為契約議定執行價格。 * S：為議定之盈餘保護門檻。 E：為執行當時之權益價格。 τ S：為執行當時之盈餘。 τ 14 因為盈餘的風險主要來自投資資產(一般適合以擴散過程表示)，以及承保風險(一般適合跳躍過程表示)。因此，在較大的跳躍損失下，盈餘有可能小於零；此時，依監理標準，公司應已停止營運而遭清算(liquidation)。 15 一般可預期其間具高度正相關。
38巨災鏈結權益賣權契約與評價 巨災損失的風險價格 (market price of catastrophe risk) 衍生性商品中的風險中性評價必須在連續交易假設下達成，但由於巨災損失屬於間斷式跳躍，因此保險損失連結契約屬於不完全市場商品，故必需知道於巨災損失的風險價格來改變相對的機率測度。但根據Cummins (1988)以及Cummins and Geman (1995)的看法，認為保險的巨災損失有地區局部性，對於資本市場而言，可視為可分散的非系統風險(idiosyncratic 16risk)，因此投資人不需要額外的風險報酬(Merton, 1976)。因此為簡化分析，本文亦假設巨災損失完全為非系統風險，而採用風險中性評價之Q機率測度。所以雙執行條件權益賣權之價格可寫為 −rτDTQfP=E[ePO] 0τ也就是以無風險利率的折現值。 道德危機 (moral hazard ) 當產險公司的單次或多次損失金額愈接近契約議定邊界之時，就可能影響道德危機的發生。因巨災為事後理賠(ex post paid)，在累計損失已高的情況下，保險公司傾向放寬理賠標準來增加賠償金額，藉以提高契約價值。Lee and Yu (2002)認為，若忽略其影響將明顯低估價格。但要衡量道德危機的程度迄今尚缺乏有力的理論依據；例如Lee and Yu (2002)在巨災債券的評價中僅簡單地假設，在累計損失及盈餘超過一定範圍下，對數常態分配的位置參數將呈固定比例的增加。但在權益賣權評價中可發現，雖然累計損失增加會增高道德危機，但若累計損失增加過高而使盈餘不足時，則反而可能減緩道德危機的發生。也就是即使損失較大，若盈餘偏低，保險公司為保持賣權價值，仍不會有明顯的道德危機行為。在此仿照Lee 17and Yu (2001)的假設，將有盈餘保護下權益賣權的道德危機的程度表示為**⎧µ+α, if L≥L≥L and S≥S≥S'LNMtMtMµ=, ⎨LN0, otherwise ⎩其中α>0代表對數常態分配位置參數分別在一定的累計損失及盈M餘範圍之內所受影響的大小程度。由上式可看出，由於多出盈餘保護條款的限制，權益賣權的道德危機的程度將較巨災債券緩和。 16 但是對台灣市場而言，巨災風險則未必完全屬於非系統風險(林文昌and賴怡洵，2003）。 17 在此本文改變Lee and Yu (2002)對道德危機程度的設定，原設訂在對數平均等於零時無法顯示其影響。
風險管理學報 39第七卷 第一期2005年3月 單次事件之多重理賠契約 (per occurrence multiple claims contract ) 假設在契約期間內，當每一單次巨災損失超過一指定門檻時(per occurrence trigger)，允許只要權益價格在價內都可以執行理賠，而傳統保18險多屬於此種多重理賠性質(multiple claims)。財務評價文獻上，Shimko (1992)最早利用選擇權來計算多次理賠保險契約價值；他指出，該價值相當於將每單一歐式求償選擇權對時間之積分總和(time integral)。也就是只要任何單一損失超過門檻，在同契約期間內可以執行一定數量之賣權。依此原則，可先將在單位時間∆t發生的或有求償報酬(contingent payoff)表為 ***⎧E−E, if dq>0 , dL>L and S>SMCttMCtPO=， ⎨t0, otherwise ⎩*其中L代表單次巨災發生之損失門檻。 MC而多次理賠權益賣權之價格則為其時間總合之現值，可寫為 TMCQ−rsMCP=E[ePO]ds 0s∫0上式相當於對每一瞬間的或有收益，作一Laplace轉換(see, Shimko, 1992)。由選擇權原理可知，在相同的條件下，因為執行時間的提前(early exercise)使時間價值增加，多次理賠契約價值因此較同條件的累計單次執行契約為高。 蒙地卡羅模擬 (Monte Carlo Simulation) 由以上建構之巨災權益賣權模型可看出其包含的風險因子甚多且結構複雜，因此顯然分析封閉解不易獲得，本文以下主要透過蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）數值分析，在巨災跳躍為非系統風險假設下，以風險中性評價以計算契約價值。 模擬範圍包括計算在契約期間內累計損失超過一定門檻時的雙執行條件權益賣權契約、單次事件之多重理賠契約，並與相同條件下的傳統單執行條件契約、以及具有道德危險時下的合理契約價格來作為對照。此外並進一步檢視重要參數對雙執行條件契約價格之影響。 為更符合實際狀況，考慮一產物保險公司，其初始權益價格為20元，扣除跳躍以後的淨波動率σ為 ；契約議定執行價格設定為25元， E表1 模擬參數設定值 18 多重理賠契評價之國內文獻相關討論可參考林文昌and賴怡洵（2003）。
40巨災鏈結權益賣權契約與評價 權益價格過程參數 E 權益初始價格(元) 20 0σ 權益波動率 盈餘過程參數 S 初始盈餘(億)200α 盈餘期望變動率 0 Sσ 盈餘過程波動率ρ 權益價格與盈餘之韋納過程瞬間相關係數 ES 巨災損失分配參數 L 初始累計損失值(億) 0 0α累計損失期望變動率(通貨膨脹率) Lλ 卜瓦松分配平均參數(天)4/365µ 巨災損失對數常態分配位置參數 0 LNσ 巨災損失對數常態分配規模參數 1 LNρ 巨災損失與權益價格跳躍之相關係數 其他參數設定 *L 巨災累計損失門檻值 20 *L 多重理賠契約下之單次巨災損失門檻值 *E 權益賣權價格執行價25*S 盈餘保護條款之盈餘最低門檻 5 α 道德危機程度參數 發生道德危機之累計巨災損失門檻 10 MS 發生道德危機之最低盈餘門檻10M′β 完全相關時，損失與權益跳躍之變動比例 ELr 無風險折現率 取十年期公債利率%為無風險折現率。此外，並假設初始盈餘為二十億新臺幣，但若盈餘低於五億則巨災權益賣權不得執行。假設盈餘過程與權益過程的韋納過程上另外具有高達的瞬間相關。在巨災損失方面，假設其為對數平均為0、對數標準差為1的對數常態分配，而累計損失期望變動率(α)為通貨膨脹率()；巨災衝擊發生頻率設為平均一年四次之L卜瓦松過程，大致符合在台灣巨災發生的期望次數。此外，在巨災跳躍、
風險管理學報 41第七卷 第一期2005年3月 權益過程與盈餘過程具有同步的跳躍下，假設巨災損失跳躍規模大小與權19益跳躍之規模大小有高達的負相關。契約議定損失門檻則設定為20億。另外也需設定道德危機發生的門檻以及發生的程度參數，模型的基本設定參數如表1，模擬次數為兩萬次；在此標準設定下，即使增加模擬次數，其標準差穩定地約為。 3. 結果 20依照所設定之參數模擬的結果顯示；在相同的條件下（圖1），雖然限制條件（巨災損失門檻）的增加使雙執行條件契約執行時間提早，使時間價值增加再加上因高度負向的巨災損失與權益價格跳躍相關導致之價差擴大，雖有盈餘保護的限制，仍使傳統歐式單一執行條件賣權的價格明顯高於雙執行條件契約，且跳躍相關係數越大，由於權益價格下降程度越大使賣權價值也越高。在多重理賠契約方面，因其價值等於個別事件收21益現值之總和，只要單次事件超過議定的門檻時即可執行，因此整體執行時間將提早而使價格提高。圖1也顯示在有道德危機下雙執行條件賣權22對價格較高，但是程度不如單執行條件與多重理賠契約。 Put Value10 雙執行條件契約 有道德危機下的契約8 多重理賠契約 單執行條件契約ρEL 圖1 不同損失與權益價格跳躍相關係數下，各類型權益賣權契約價值之比較 19 雖然一般認為當巨災發生時，權益價格與發生損失大小會呈現高度負相關的跳躍。但是另一種看法則認為，市場投資人認為產險公司會因為未來巨災保險需求的增加而受益，因此反而提高權益市值，也就是所謂『因損失而獲益gaining from losses』假說，如此權益價格與巨災損失則呈現正相關。 20 權益過程與雙執行條件賣權相同，受巨災損失大小影響，但執行條件只有一個，必須滿足價格在價內（in-the-money）的情況，且只能在到期日當天執行選擇權，而不能提前執行。 21 在此設定在契約期間內，單次門檻的總和等於累計損失的門檻，另外設定兩者契約執行的權益總數量相等，如此以便於相互比較。 22 假設道德危機會使對數平均有的增加。
42巨災鏈結權益賣權契約與評價 在其他條件不變的情況之下，圖2則顯示在不同的權益執行價以及不同的盈餘保護門檻下所得到的價格。由圖2可以發現，當盈餘保護門檻越高則價格愈低的非線性關係；另外，在權益執行價格越高時賣權價值也愈高。但在盈餘保護門檻愈高時，即使賣權仍在價內，卻易有更高的機率使賣權無法執行，因此執行價的增加相較於在低盈餘保護門檻時，對價格的增加影響愈為減緩。 Put *E2468*22S102012 圖2 不同權益執行價(E*)及盈餘保護門檻(S*)下之權益賣權價值 圖3則表示在不同的對數常態分配位置參數與形狀參數下價格的變化，當位置與形狀參數增加時，因為同時使權益價格降低以及執行的時間提早，因此賣權價格呈現增加趨勢，但是當位置參數到達一定程度，會因為易於觸及盈餘保護門檻反而使契約履行機率降低，導致賣權價格的增加趨緩，甚至呈現降低的現象。由此顯見盈餘保護門檻在有高損失程度時對價值的影響十分顯著。另外，對損失發生頻率平均參數(λ)所作結果也極為類似。 圖4則為不同的權益波動率、以及不同的到期時間下的權益賣權價格變化。由於巨災損失累積以及權益價格的下降，都會隨著時間增加，因為執行機會的增加以及價差的擴大可以超過時間價值的降低，而使賣權價格很也隨之遞增。另外，根據選擇權原理，權益波動率越大賣權價格應增加，但是在有巨大損失的設定下，多數影響來自權益跳躍，因此其變化並不如一般僅具單純擴散過程下的賣權來的明顯。
風險管理學報 43第七卷 第一期2005年3月 Put μσ 2圖3 不同對數常態分配位置參數(µ)與形狀參數(σ)下之權益賣權價值 LNLN Put σ 圖4 不同的權益波動率及到期時間之權益賣權價值
44巨災鏈結權益賣權契約與評價 圖5則為不同契約到期時間以及不同的巨災損失履約門檻下的價格變化。大致而言，因損失門檻越低而且契約期間越長時越容易履約，因此價格越高；但當損失門檻超過一定程度，價格的下降減緩甚至反而略增，此乃因為在權益價格與損失有高度的負相關下，連帶使權益價差擴大而抵消了時間價值的降低。 Put *24L73060927TIME48730366 圖5 不同巨災損失履約門檻(L*)與契約到期時間下之權益賣權價值 4. 結論 近年來巨災風險管理逐漸受到重視，但在眾多的管理工具中，損失後融資的方式可與給予企業在不影響其正常營運及財務槓桿下，得到最有效率的巨災避險。其中或有資本是最重要的方式之一，但是其在過去受到文獻的討論遠不如其他巨災風險管理商品。而或有資本中的保險損失連結權益賣權，因為是以權益為標的的或有資本，若從公司的資本管理的角度來看，例如保險公司等之對財務槓桿特別敏感的金融機構，更是比利用負債融資為有利及有效率的巨災風險管理工具，未來值得在國內推展引用。 由於權益賣權在財務評價上迄今並無相關文獻，因此本文首先指出，在認知到權益價格與巨災損失會具有同時的跳躍、且大小會有高度負相關的情況下，若再加上盈餘限制條款，將使巨災權益賣權價格變化呈現複雜
風險管理學報 45第七卷 第一期2005年3月 的結構。大體而言，該賣權類似一個結構式的敲入障礙選擇權，但由於執行條件的增加，其價格較傳統歐式單執行條件賣權為低。在合理的價格及損失過程的設定下，本文藉助蒙地卡羅模擬分析了各種風險因子（參數）對價值的影響，結果發現權益價格與巨災損失同步跳躍大小相關的程度、巨災之損失門檻以及盈餘保護的門檻等，對價格都有明顯的影響。此外我們也指出，若無盈餘保護條件，權益賣權可能較或有負債(如巨災債券)會有更為嚴重的道德危機，這是因為保險公司藉著道德危機不但可提早執行時間，而且可以擴大權益價差使賣權價值更為提高。最後，不同於多數財務衍生性商品只能單次求償的型態，傳統保險契約多具有多重理賠的特性，而多重理賠契約之巨災連結權益賣權價格，由於其整體執行時間的提前，使得價格有顯著的增加。 如同Lee and Yu (2002)對巨災債券的道德危機程度衡量的討論，至今文獻上仍然無法提供一有理論依據的模型。再者，對於大多數的保險巨災損失，實證顯示對數常態分配並非最為適合，其他保險學者以已提出不同的分配(Cummins, 1999；林文昌、賴怡洵，2003)；例如，極值分配等，應用在與財務選擇權評價上。另外，風險中性評價是否合適、或是需要另行估計風險價格似仍有待實証探討。以上問題在本研究雖非強調之重點，但在未來實務應用上仍需予以考慮。 本研究目的之一，在給予在巨災風險管理中的或有資本商品之設計實務提供財務特性上的介紹，並且藉著財務衍生性商品評價基本原理與保險定價的結合，在契約評價上提供重要的理論模型基礎，對於未來保險公司欲引用此契約於巨災風險管理上將能提供重要的參考意義。 參考文獻 1. 林文昌、賴怡洵，2003，台灣巨災超額再保險之契約設計與評價，風險管理學報，第5卷，第2期，233-260。 2. Cummins, J. D., 1988, Risk-Based Premiums for Insurance Guarantee Funds, Journal of Finance, 43, 593-607. 3. Cummins, J. D. and H. Geman, 1995, Pricing Catastrophe Insurance Futures and Call Spread: An Arbitrage Application Approach, Journal of Fixed Income, 4, 4, 46-57. 4. Cummins, J. D., C. Lewis and R. Phillips, 1999, Pricing Excess of Losses Reinsurance Contract against Catastrophe Loss, in The Financing of Catastrophe Risk, K. Froot ed., Chicago: Illinois, Chicago Press. 5. Cummins, J. D., and R. Philip, 2000, Application of Financial Pricing Models in Property-Liability Insurance, in Hand Book of Insurance. G.
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風險管理學報 47第七卷 第一期2005年3月 附表1 不同損失與權益價格跳躍相關係數下各型權益賣權契約之價格* ρEL雙執行條件契約 有道德危機下契約多重理賠契約 單執行條件契約 * 數值取到小數以下第二位
48巨災鏈結權益賣權契約與評價 **附表2 不同賣權價格執行價（E）與盈餘保護最低門檻（S）下之權益賣權價格 *執 行 價（E） 賣權價值 20 22 28 29 302 盈5 餘保護 最低 門7 檻 ︵8 ︶ *S
風險管理學報 49第七卷 第一期2005年3月 附表3 不同巨災損失對數常態分配位置參數(μ)與巨災損失對數常態LN分配規模參數(σ)下之權益賣權價格 LN規模參數（σ） LN賣權價值 2 -1 位 置0 參 數︵μ ︶ 1 LN
50巨災鏈結權益賣權契約與評價 附表4 不同權益波動率（σ）和到期期間（T）下之權益賣權價格 E權益波動率（σ） E賣權價值 365 396 426 457 487 518 548 579 609 到期期間︵640 670 701 731 ︶762 792 823 853 884 914 945 975 1006 1036 1067 T
風險管理學報 51第七卷 第一期2005年3月 *附表5 不同巨災損失累計門檻值（L）和到期期間（T）下之權益賣權價格 *巨災損失累計門檻值（L） 賣權價值 15 18 30 365 396 426 457 487 518 548 579 609 到期640 670 期間701 ︵731 ︶762 792 823 853 884 914 945 975 1006 1036 1067 T
