第九章 線性結構關係模式
陳順宇 教授
成功大學統計系
、線性結構關係模式簡介
迴歸模式與計量經濟模式是討論
顯性變數(Manifest) 間的關係，
因素分析強調潛在變數(latent)(不可觀測)
與可觀測變數間的關係，
線性結構關係模式是
綜合這兩種型態的模式。
線性結構關係模式包含
(1)測量模式
(說明可觀測變數與潛在變數間的關係)
(2) 結構方程式
(說明潛在變數間的關係)
Bagozzi(1980)研究行銷問題
想了解
(1)成就動機對績效的影響？
(2)自我滿足對工作滿意的影響？
(3)智力對滿意度的影響？
(4)績效對滿意度的影響？
線性結構關係模式(LISREL)
是結構方程模式(SEM) 的一種
SEM有很多別名，如
共變異數結構分析
潛在變數分析，
驗證性因素分析
常聽到的是LISREL，
此名來自有名的套裝軟體。。
LISREL是多變量分析中應用範圍涵蓋相當廣泛一種分析工具
LISREL包含
路徑分析
驗證性因素分析
徑向分析
或稱因果模式(Causal Model)：
它是對一組可觀測變數間
線性系統方程組的因果關係式
也可看成
多組複迴歸方程式所組合而成。
驗證性因素分析：
是因素分析的擴展，
它對一組變數對其
因素結構做驗證
(即做假設之檢定工作)
外生變數，內生變數
在因果模式中，變數分成兩類
內生變數是 ‘果’，
外生變數是‘因’。
外生變數是引起其他變數產生效應，
本身的變異是來自因果模式以外的變數，
外生變數間的關係，並不在模式中討論；
相反的，
內生變數會受
外生變數或系統中其他變數影響。
注意：
模式中的變數必定是下面4類中的一類，(a)顯性、內生
(b)顯性、外生
(c)潛在、內生
(d)潛在、外生。
LISREL基本觀念
例如做變換
y = 4x
可得下面兩個結果：
(1) E(y) = 4E(x)
(2)
因此可利用比較y與x的變異數是否為(2) 來檢驗y = 4x的關係成立與否。
LISREL的模式
指定(Specification)
模式鑑定(Identifications)
參數估計
模式評估
LISREL與路徑圖
在LISREL分析，路徑圖扮演一重要角色
路徑圖的每一路徑(Path)以有箭頭(arrows)的直線表示(箭頭指向應變數)
聯繫兩個有相關(但不一定有因果關係)的變數以沒有箭頭的直線表示
變數的變異數估計是以曲線聯接自己
圖 y對x迴歸的路徑圖
圖 單因單果路徑圖例
例 Bagozzi(1980)研究行銷問題
有關績效、滿意度受成就動機，
自我滿足與智力的影響。想了解
(1)成就動機對績效的影響？
(2)自我滿足對工作滿意的影響？
(3)智力對滿意度的影響？
(4)績效對滿意度的影響？
資料說明與信度
Bagozzi提出研究架構
結構模式
表 行銷問題中各問項之
相關矩陣
測量模式
圖 例徑向分析M3路徑圖
如利用SEPATH其PATH1語言
結果如下
圖 例路徑圖與參數估計
(i)飽和(完全單向)模式：
任何兩顯性變數間都有線連接
結果如下
獨立模式：
路徑圖是任何兩個變數都沒有線連接，
獨立模式(Independent Model)路徑圖如下
獨立模式
x1
x3
x5
y2
y1
自由度
5個變數完全獨立(任何變數間皆無相關)，
因5個變數的變異數(即相關係數)為
固定參數(設定為1)，
自由度為
獨立模式卡方值
Other single sample indices
Basic summary statistics
AMOS Graphics執行
編輯長方形(顯性變數)
編輯變數名稱
在長方形□上按左鍵兩下
編輯路徑
編輯曲線(即相關或共變異數)
編輯 Title
EX9-5 AMOS
\FORMAT
Chi-Square=\cmin (DF=\DF)
P=\P
其中\FORMAT為Model Specification(說明是標準化或未標準化)。
\CMIN為計算卡方值，
\DF為自由度，\P為計算P值
資料檔案放在Excel下的
之sheet 1
表示模式不可鑑定
Group number 1 (Group number 1 - Default model)
Estimates (Group number 1 - Default model)
Scalar Estimates (Group number 1 - Default model)
The (probably) unidentified parameters are marked.
回到編輯圖形，在E2到y2路徑上按一下，出現Object Properties
按Parameters並鍵入1
完整圖形如下
未標準化的路徑圖參數估計
如要得到標準化(即潛在變數的變異數為1)的參數估計
標準化解
註：
Weights： 4條路徑
Covariances： (X1、X3)、(X3、X5) 、(X1、X5) 3個共變異數，
Variances ： (X1、X3、X5、E1、E2)
5個變異數。
TotaL 12 自由參數，
自由度=15-12=3。
、 LISREL的符號與觀念
LISREL模式中包括兩部份：
一為測量模式
一為結構模式
分述如下
架構
社會科學常研究各種
不同概念(或構面)間的關係，
表達這些概念間的關係最簡單的方式
就是線性的因果關係式，
此種關係式就稱為架構(或稱結構模式)
例 兩因一果的結構模式
上面架構圖可以表成數學式子為
複迴歸模式路徑圖
LISREL 模式路徑圖
每個潛在變數各有一個顯性變數做為量測
兩因一果每個潛在變數有
多個 顯性變數測量之路徑圖
例(續) 驗證性因素分析
路徑圖
1. 測量模式
測量模式是研究者對每個潛在變數以
一個或多個顯性變數
(或稱指示變數(Indicator))做量測。
測量模式又分成兩部份
一部份為內生變數的測量
一部份為外生變數的測量
內生變數的測量模式
外生變數的測量模式
結構模式
LISREL模式中有8個矩陣
(1) y是內生顯性變數與內生潛在變數
因素負荷所組成的矩陣。
(2) x是外生顯性變數與外生潛在變數
因素負荷所組成的矩陣。
(3) 是內生潛在變數對內生潛在變數之
路徑係數所組成的矩陣。
(4) 是外生潛在變數對內生潛在變數之
路徑係數所組成的矩陣。
共變異數矩陣
(5) 是外生潛在變數的( )共變異數矩陣。
(6) 是結構方程模式誤差( )的共變異數
矩陣。
(7) 是內生變數量測的誤差( )之共變異
數矩陣。
(8) 是外生變數量測的誤差( )之共變異
數矩陣。
LISREL的基本結構圖
LISREL建模過程分成
下列7個步驟
(1) 建立一個有理論依據的LISREL暫定
模式；並畫因果關係(即架構)路徑圖；
(2)將路徑圖變成結構方程式與測量方程式
(3) 輸入矩陣型態
(原始資料，共變異數矩陣或相關矩陣)；
(4) 對提出模式自由參數做參數估計；
(5) 評估模式中每個方程式；
(6) 做整體模式的適合度評估；
(7) 對所得模式做解釋與修正。
、因果關係模式之鑑定與檢定
徑向分析和LISREL是探討因果關係
最重要的兩種分析模式，
基本原理是依假設之限制條件
將相關矩陣(或共變異數矩陣)再製，
鑑定(Identification)問題
在估計路徑係數過程中最可能造成
計算機程式“爆炸”或產生無意義
或不正確結果的是
模式的鑑定(Identification)問題，
鑑定問題
所謂鑑定問題(也稱不足鑑定)
就是提出模式的參數不能得到唯一解，
基於每個參數估計需要有一個
且僅有一個方程式原則，
因此由線性代數知
方程式個數不能少於自由的參數個數，
否則就會產生鑑定問題，
在電腦報表上
檢查鑑定問題的方法包括
(1)是否有參數的標準誤非常大
(2)是否有不合理的參數估計，
例如變異數為負值或
標準化路徑係數>1等。
例如某人花了50元買香蕉
由此資訊能否知道此人買了
多少斤香蕉(1)？
每斤香蕉多少錢(2)？
過度鑑定
如果方程式個數比自由的參數個數多，則可能是‘過度鑑定’的，
此種模式的自由度(Degree of freedom)
即為方程式個數與參數個數的差。
模式是合適的
當卡方值< ，
表示此模式是合適的(與飽和程度比較)，否則表示模式不合適
如果提出模式合適，
表此模式可被接受，
但仍要評估是否可再做簡化
(即刪除幾條路徑)。
Modification Index
如果提出模式不合適，
則要增加路徑(即減少自由度)，
此可利用AMOS的
Modification Index
找到增加路徑的方向
不能鑑定(unidentifiable)
不足鑑定可能是模式中某個子系統
自由參數指定不正確所造成，
只要將此子系統的參數重新設定，
就可解決不能鑑定unidentifiable的問題
最常發生子系統指定
不正確的情況有下列3種
(a)測量誤差
(b)兩條以上測量路徑
(c)模式誤差
(a)測量誤差
(b)兩條以上測量路徑
(c)模式誤差
不足鑑定的解決之道
1代表潛在變數或誤差項的變異數代號，2、3表示路徑係數。
對這3種不足鑑定的解決之道是
路徑代號1、2、3中
至少有一個代號要設定為固定
自由參數與固定參數的表示法
Amos Graphics與STATISTICA
對自由參數與固定參數的表示法
(1)路徑的路徑係數為固定參數1，而誤差項的變異數為自由參數
(2) 路徑係數為自由參數，
而誤差項的變異數為固定參數
飽和模式
(2)例的路徑圖
有5個顯性變數，故方程式有15個，
但參數也有15個
(7條路徑，3條共變異數，5個變異數
(外生變數有3個，殘差項有2個))，
此為飽和模式(Saturated Model)，
是剛好鑑定，
也稱完全單向模式(Full Recursive Model)
或稱為是完整模式(Full Model)。
飽和模式自由度為0，卡方值=0，
無法判斷模式的好壞
獨立模式
圖的獨立模式，
只有x1,x3,x5,y1,y2 5個變數的
變異數是自由參數，
自由度為
15-5=10
二種檢定方式
下面提出二種檢定方式，
一種是討論此模式可否再更簡化，
它以針對某路徑限制為0做檢定
稱為理論整修法，
另一種檢定是針對整個模式
探討其適合度與否做檢定
路徑的檢定法
(1)理論整修法 即刪除一條路徑的檢定法
(2)過度鑑定模式之檢定 即刪除多條路徑的檢定法
理論整修法
即刪除一條路徑的檢定法
過度鑑定模式之檢定
(即刪除多條路徑的檢定法)
由‘剛好鑑定’模式中去除幾條路徑
就變成‘過度鑑定’模式，
去掉幾條路徑就等於
檢定這幾條路徑係數為0。
對‘過度鑑定’模式的檢定，
是利用再製矩陣與原來矩陣之比較，
其中虛無假設是過度鑑定模式能擬合資料，
(i)比較兩個模式必須有巢形(Nested)關係，如是將模式中的幾個參數再做限制，
則稱 是 在下的巢形
(ii)必須 本身已能擬合資料
即與完整模式 比較，卡方值小
例 M1模式路徑圖
試問
(1) 對此M1模式做參數估計；
(2) 與完整模式M0比較求檢定卡方值；
(3) 對此M1模式而言，與
例的M3路徑模式比較，
是否更能擬合此組資料？
參數估計表
(2)與飽和模式M0比較
卡方值做比較
、LISREL參數估計
LISREL最常用的參數估計是
最概估計法，
它是對不一致函數(Discrepancy Function)F()(定義在()式)
求最佳解，
(1)廣義最小平方法(GLS)
或稱一般化最小平方法，
即加權最小平方法：它是找，
使下式最小
(2)常用最小平方法(OLS)
即未加權最小平方法：
它是找，
使下式最小
(3)最概估計法(ML)：
它是定義為找，
使下式最大
檢定此模式合適與否
(此模式與完整模式比較)卡方值
不一致函數
(Discrepancy Function)
註1：
不一致函數(Discrepancy Function)
只與樣本共變異數矩陣S有關，
與樣本數n無關，
也與個別的資料無關
註2：常用的樣本數
檢定適合度的卡方值 與
樣本數有很大的關聯，
它隨n增大而增大，
樣本數大時常會導致H0是顯著的
(即模式是不合適的)。
因此做LISREL模式常用的樣本數n為
例 下圖是不足鑑定路徑圖
所以是不足鑑定
方程式有10個
參數有11個(4個，4個i，3個ij)
例(續)
每個潛在變數都各有一個顯性變數測量
而且假設每個測量都是100%正確；
即誤差項的變異數為0
則下面LISREL路徑圖與
例的徑向分析路徑是同義的
例之LISREL路徑圖
以STATISTICA執行
參數估計表
註1：
與例以徑向分析
參數估計值、 t值、 p值完全相同
註2：
也可以對3個外生變數測量路徑
各有一條路徑係數指定為1
(在路徑上不寫數字，即表固定參數1)
但相對的外生潛在變數的變異數
指定為自由參數
(參數沒有限定，路徑上要給定整數代號)
結果參數估計
、LISREL模式的評估
值得注意的是卡方檢定要在
下列條件下才是正確的：
(1)所有觀測變數需擁有多變量常態分配。
(2)樣本數要夠大。
最常發生的不合理估計有：
(1) 變異數為負值
(2) 標準化係數
(相關係數或標準化路徑係數)
超過或非常接近
(3) 參數標準誤非常大。
處理方式
(1)當變異數估計值為負值
(也稱為Heywood Cases) ，
處理方式是
將此變異數固定為很小正數，如；
(2)若相關係數超過或接近1，
則可考慮刪 除其中一個變數
自由度愈大愈理想
在LISREL尚需考慮共變異數矩陣的大小與自由參數的個數，也就是自由度
在其他情況不變下，
自由度愈大，
表示模式愈精簡，
所以模式也愈理想
對適合度指標可分成3種型態：
(1)絕對擬合指標
(2)增量擬合指標
(3)精簡擬合指標。
絕對擬合指標
只評估整體模式(包含結構與測量)，
但此指標對“過程擬合”不做懲罰
(即未做修正)；
增量擬合指標
是以提出模式與
研究者指定的對比模式
做比較；
精簡擬合指標
是對模式的自由度做調整
1. 對整個模式評估
當卡方值大時表示模式不合適，
自由度在判斷卡方值大小扮演重要角色，
卡方值對大樣本與偏離常態分配很敏感
樣本數多而且資料與偏離常態分配嚴重時，
將造成大的卡方值，
許多研究者已提出替代檢定的統計量，
(1) GFI
(2)AGFI
但不幸的是GFI的分配不知道
所以無法做統計的檢定工作
但是當GFI(或AGFI)接近1
一般要求超過時，
表示模式擬合不錯
(3) AIC(愈小模式擬合愈好)
(4) SBC(也是愈小愈好)
(6)獨立模式卡方值
(6)卡方值(Chi-Square)：
定義在()式。
(7)自由度(Degrees of Freedom)：
定義在 ()式。
(8) p值(P-level)：
p值小表示此提出的模式不合適
(9) RMR 或寫成RMS當RMR小於時表示模式擬合不錯
2. 測量模式的評估
對單一測量 y
其信度定義為
因此潛在變數()中測量變數yi，
若路徑係數為 ，即
由()式，信度為
除了對每個測量路徑係數做檢查外，
做為評估測量模式的指標尚有
結構信度(Construct Reliability)與
萃取變異數(Variance Extracted) 比例
(1) 結構信度
(2) 萃取變異數比例
(或稱平均萃取變異數)
3. 結構方程之評估
結構方程部份之評估有兩種量測，
第一種是對每一個方程式的個別評估
另一種是對整體結構之評估
第i個方程式的評估以其
複相關係數平方為指標
全體判定係數
例(例續)
行銷問題有關績效與滿意度受成就動機、自我滿意與智力的影響
收集122份回券其相關矩陣如表。
試對圖的LISREL路徑圖做參數估計與對整個模式做評估。
一. 以STATISTICA執行
若對單一測量變數之變異數未指定為0 (即單一測量允許有誤差)，
SEPATH 語言如下
執行結果如下
其次對測量模式的設定
提供兩種方法
(1) ＜方法1＞
潛在變數變異數為固定參數1；
(2) ＜方法2＞
外生潛在變數變異數為自由參數，
且每個潛在變數指定一個顯性變數
路徑係數為1。
(參看57頁對不足鑑定之處理方式)。
＜方法1＞外生潛在變數
變異數為固定參數
＜方法2＞外生潛在變數為自由參數，且每個潛在變數指定一個顯性變數的路徑係數為1。
加入下列3行
(KSI1)-31-> (KSI1)
(KSI2)-32-> (KSI2)
(KSI3)-33-> (KSI3)
並將
(KSI1)-1->[X1]
(KSI2)-3->[X3]
(KSI3)-5->[X5]
改為 (KSI1)-->[X1]
(KSI2)-->[X3]
(KSI3)-->[X5]
參數估計表
Basic summary statistics
Other single sample indices
共變異數矩陣做分析
以上參數估計是以相關矩陣執行，
下面改為以共變異數矩陣來做分析
參數估計表 (COV)
Covariance與Correlation
Data to analyze
以內設的Covariance與以Correlation
參數估計值、卡方值、自由度、適合度指標等相同，
但標準誤、t值、P值不同。
註6:標準化
按Set Parameter，
Data to analyze選Covariance，
Standardize選Old
(此為所有潛在變數，包括誤差項都標準化(即變異數=1))
結果只有參數估計
沒有標準誤與t值、p值
2. Amos Graphics 做編輯
圖形編輯精靈(或工具)圖
(a) 未標準化
(b) 標準化
註1：如以共變異數矩陣資料()
(a)STATISTICA
(a) 未標準化
(b) 標準化
註2：
如果智力的測量信度為.8
可以將D5指定為固定變異數.2
(a) 未標準化
(b) 標準化
註3： modification index
如果提出的模式不正確
即卡方值太大(p值太小)
需要做模式的修正，
利用Amos的modification index
可以提供修正的方向，
例如在例題9-15如果提出的路徑圖
行銷問題中績效與滿意度
模式路徑圖(不合適)
按view/set
選取Estimation
在Modification前打勾
由上面報表知增加路徑
KSI1ETA2
可減少卡方值大約，
因此修正模式如下
行銷問題中績效與滿意度模式路徑圖(修正)
註4：
以共變異數矩陣所得參數估計與
以相關矩陣所得參數估計不同
、LISREL模式的評估
對LISREL模式，我們已學過
個別參數顯著性的t檢定以及
整體模式做適合度的卡方檢定。
評估
1.測量模式的評估
2.結構方程之評估
3.對整個模式評估
例 (例續)
分別求
(1)各測量變數之信度
(2)5個測量系統的結構信度
萃取變異數比例
(數據參看例方法2)
各測量變數之信度
結構信度
變異數萃取比例
例(例續)
對個別方程式與
整個結構方程模式
做評估
對1
對2
對整體評估
整體判定係數
Amos Graphics標準化解可以求信度與結構方程的判定係數
行銷問題中績效與滿意度的
雙向模式路徑圖
雙向模式參數估計路徑圖
兩群LISREL模式
下面舉例說明有常數項的迴歸式及
資料分成兩群(甚至多群)時
如何以LISREL執行
例 身高、體重
87位學生體重(Y)對身高(X)做線性迴歸
有常數項，以CONSTANT為變數名稱
87位學生身高(X)、
體重(Y)資料
試求
(1)不分男女全體學生體重(Y)對身高(X)
線性迴歸式。
(2)男女生分別做體重(Y)對身高(X)線性
迴歸式。
路徑圖
方程式
STATISTICA程式
[X]-1->[Y]
[CONSTANT]-2->[Y]
(EPS1)-->[Y]
(EPS1)-3-(EPS1)
選Moments ， ML，Free
Model summary
迴歸式
註：
因利用最概法所得誤差項變異數與
迴歸分析利用最小平方法的變異數不同，
這是因為前者自由度為n-1 、後者為n-2。
(2)男女生分別各為一群
上面是不分男女全體學生做迴歸分析，
下面將男女生分別各為一群
以LISREL執行共變異數分析
男女生兩群互不相關 (兩群的變異數未假設相等，即異質性)
LISREL兩群路徑圖
程式
GROUP 1
[X]-1->[Y]
[CONSTANT]-2->[Y]
(EPS1)-->[Y]
(EPS1)-3-(EPS1)
ENDGROUP
GROUP 2
[X]-4->[Y]
[CONSTANT]-5->[Y]
(EPS1)-->[Y]
(EPS1)-6-(EPS1)
ENDGROUP
由於是兩群體，故執行時要先按Specify groups
將Variable 改為Sex
(以性別做分群)
女生迴歸式
男生迴歸式
有均質性
一般是假設男女生迴歸式的誤差項
有相同變異數(即有均質性)，
以性別為干擾變數(Moderating Variable)探討身高對體重的影響
迴歸模式為
性別身高有交互作用的路徑圖以性別為干擾變數
以性別為干擾變數探討
身高對體重的影響
以性別為干擾變數兩群迴歸線(均質性)
程式
GROUP 1
[X]-1->[Y]
[CONSTANT]-2->[Y]
(EPS1)-->[Y]
(EPS1)-3-(EPS1)
ENDGROUP
GROUP 2
[X]-4->[Y]
[CONSTANT]-5->[Y]
(EPS1)-->[Y]
(EPS1)-3-(EPS1) 將上面代號6改為3，表示男女兩群有均質性。
ENDGROUP
女生迴歸式
男生迴歸式
兩迴歸線平行
男女生迴歸線平行之路徑圖
程式
GROUP 1
[X]-1->[Y]
[CONSTANT]-2->[Y]
(EPS1)-->[Y]
(EPS1)-3-(EPS1)
ENDGROUP
GROUP 2
[X]-1->[Y] 代號1與GROUP1相同，表示迴歸線限制平行。
[CONSTANT]-5->[Y]
(EPS1)-->[Y]
(EPS1)-3-(EPS1)
ENDGROUP
女生迴歸式
男生迴歸式
故可接受男女生兩條迴歸線是平行的假設
男女生迴歸線重合
男女生迴歸線重合之路徑圖
女生迴歸式
男生迴歸式
，故男女生體重對身高迴歸線假設相同(即重合)是不正確的
2. Amos Graphics
不分男女全體學生體重(Y)對身高(X)
做線性迴歸
(a) 未標準化
(b) 標準化
身高對體重的影響路徑圖
性別為干擾變數
(a) 未標準化
(b) 標準化
迴歸式
迴歸式
體重= + .58身高 + SEX - .02 XSEX
女生迴歸式(SEX=0)
體重= + .58身高
男生迴歸式(SEX=1)
體重= + .58身高 + - .02身高
= + .56身高
(2) 兩群
男女學生體重對身高分別做線性迴歸
按Model Fit -Manage Group
點選Manage Group，出現
將Group number 1改為女生
按New，將Group number2
改為男生
按Data File，
設資料檔案放在Excel下的 (sheet1、sheet2)，
按 File Name，女生、男生分別
點選 (sheet1、sheet2)
按View Data，
女生資料結構如下
編輯路徑圖形
有常數項的迴歸式，
按
出現Analysis Properties，
點選Estimation的
Estimate means and intercepts
Estimate means and intercepts
(a) 女生未標準化參數估計
(b) 男生未標準化參數估計
(a) 女生標準化參數估計路徑圖
(b) 男生標準化參數估計路徑圖
(ii)男女生體重對身高迴歸線
(均質性)
設定男女生兩個誤差項變異數估計相同(Var(E)=c)
女生路徑圖(均質性)
男生路徑圖(均質性 )
(a) 女生未標準化參數估計
(b) 男生未標準化參數估計
(a) 女生標準化參數估計
(b) 男生標準化參數估計
(iii) 男女生的迴歸線平行
男女生兩個誤差項的變異數估計相同、
兩群迴歸路徑代號相同(設定為A)，
表示迴歸線限制平行。
(a) 女生未標準化參數估計
(b) 男生未標準化參數估計
(a) 女生標準化參數估計
(b) 男生標準化參數估計
(iv) 男女生的迴歸線重合
設定男女生兩個誤差項變異數估計相同
兩群迴歸路徑代號相同(設定為A)
而且截距項也相同(設定為B)
表示迴歸線重合
(a) 女生未標準化參數估計
(b) 男生未標準化參數估計
(a) 女生標準化參數估計
(b) 男生標準化參數估計
Manage Model
註：下面以Manage Model
比較4個巢形(Nested)關係模式
模式(1) 迴歸線(異質性)
設定6個參數路徑圖
結果與圖相同
按Model Fit，點選Manage Model出現
將Default model改為
兩群異質性
(ii) 按New，將Model Number 2改為兩群均質性
(iii) 按New，將Model Number 3改為兩迴歸線平行
(iv) 按New，將Model Number 4
改為兩迴歸線重合
得報表如下
由上面各項評估指標顯示模式是合適的
