基于马尔科夫链一蒙特卡洛法的
债务抵押债券定价模拟
谢 恒，李 芊
(石家庄经济学院，石家庄 050031)
摘 要：文章旨在通过马尔科夫链一蒙特卡洛法(MCMC)对债务抵押债券CDO进行定价模拟。以寻求CDO产
品预期回收率与其预期违约率间的关系，并研究两者对债务抵押债券定价模拟的影响。研究发现，在CDO投资
中，资产池中的个别资产违约，将会将违约信号和相应的信用损失传递给各个相关投 资者。所以，理性控制
CDO标的资产的违约风险，降低其违约概率是提升CDO资产定价的重要举措。
关键词：马尔科夫链一蒙特卡洛法MCMC；债务抵押债券CDO；资产定价模拟
中图分类号：F832 文献标识码 ：A 文章编号：1002—6487(2015)07—0040—04
债 务 抵 押 债 券 (Collateralized Debt Obligation，即
CDO)，是以诸多风险分散化、收益差别化的抵押债务信用
为资本标的，重新分担资本风险、分割投资回报的金融衍
生产品。CDO的标的资产主要以政府公券、企业债券 、银
行信贷为主。自1987年美国华尔街德崇证券发行世界上
最早的CDO以来，CDO发展迅猛，并成为世界主要金融衍
生产品之一。在世界金融市场，资产定价问题通畅成为金
融衍生品发展的重要问题。有关 CDO的资产定价，David
x．Li(2001)推介了一种高斯Copula模型，为CDO资产定
价的后续研究提供了理论指向。此后，CDO产品也得以在
世界金融市场广泛流通与交易。一尽管如此，债务抵押债券
的定价问题存有诸多不确定性，尤其是CDO产品的预期
回收率与其预期违约率间的关系对债务抵押债券定价模
拟产生重要影响。为此，本文将着力展开研究。
1 CDO定价的违约边界条件
Cantor，Hamihon&Ou(2002)研究表明，CDO违约率与
CDO回收率之间呈负相关关系，其相关系数约为一0．67。
为此，他们设计了CDO违约率与CDO回收率之间的单因
子模型，其间，M表示时间T的违约水平，M越小，表明违
约概率越大。下述我们采用 QTMSGuasscopula模型来
探讨CDO定价的边界条件。
令随机变量 x ，满足以下函数：
r— — ———：—一
=aRM+√1～口R ZR，一1<a <1
z 与M彼此独立 ，并能够映射到相应的回收率概率
中。设 为 的非条件概率分布， 为 z 的概率分
布，Q 为R的非条件概率分布，于是：
p阳6 <R’I = { 二 }
根据上述QTMSGuasscopula模型，关于CDO预期回
收率与预期违约率间的关系我们可以用图1反映。
。l2
。j
0．08
篓0。s
州 。。4
0。2
。
预期回报率
圈1 CDO违约率与回收率关系图
将上述模型扩展到一般情况，假设区间O-t的贴现因
子为D(t)，而且 D(t)是关于t的利普希茨函数 ，于是 ，
D(t)=exp(一rt)，其中r为利率。
令 ⋯f 表示违约次数，并服从高斯函数；资产i的冒
险 值 为 2i(t， (f=1，2⋯． ， = ：^>h } ，令
inf,
． ^(f， >0，Vh∈H都成立，E(zl(h))<oo； 1(r， 是有
关h的严格递增函数，且 A．(f，h)／Oh对于所有的h和t都有
约束。
在上述框架下，求解CDO定价的边界条件。假设 K
为CDO的损失栅栏，T为资产期限。假设CDO在离散集合
(ti)i=l1_
，
BC~,I，产生违约损失 三 ，有：
目
= ∑P(O，ti)(ExL (f )-ExL ( 一1))
f= l
则连续函数下的违约损失为：
三 = P(O，t)dExL (f， )
基金项目：教育部人文社科青年基金资助项目(14YJC630033)
作者简介：谢 恒(1977一)，女，河北秦皇岛人，硕士，副教授，研究方向：资产定价与政府投融资。
李 芊(1980一)，女，河北阜平人，硕士，实验师，研究方向：资本理论和实务。
40 统计与决策 2 01 5年第7期 ·总第427期
=
N
(Ⅳ一脱( )) 薹￡ ，t)dExL(t
在此，CL与AL分别表示收益率与损失率，CDO的违
约边界条件即由上式决定。
2 CD0定价模拟的期限结构与CDO模拟的漂移方程
由上分析可得，CDO的损失函数为：
=
q
， +1)，v ⋯
可知，CDO定价与期限结构高度相关。令CDO由若
干资产组成，资产i的权重为 ， 的取值由CDO的期限
结构确定。
假 定 T期 的远 期 损 失 为 f， ，’(f≤ ，有
， = rI ；假定远期资产剩余为ON(t， ，有
ON(t，T)=E0[1一Lrl 。因为L(T， )=三r，则超额损失由
远期损失确定：ExL(T， )= [ ( ， 一目J，此处，累计
损失是期限结构的增函数，由下式表示：
L(t， )≤ ， )，Vu
在这里，T期的远期损失过程是一个 鞅，对于t时刻
的 (f， ，满足：
ExL(t， =E [ r-K)+lFt]
可见，ExL(t， 是 F 鞅的函数，且与累计损失相关
联。这意味着，对于每一个违约栅栏K，都有一个对应的
期限结构。
接下来，我们讨论，CDO模拟的漂移方程与波动方程0
设 (Q，( )。 ，，Q)为资产概率空间，包含强度为
(~⋯k k
：
= 1
．
_． m 布朗运动向量为 ( (f))
⋯
的泊松运 动
(N—k k
一
= 1’
，于是，在时间[0，T]内，瞬时远期损失率
x(t，n的随机差分为：
dX(t， =砸，T)dt+~(ai(t，T)dWi(t)+~fl (f，T)(dN ∞一 ))
j l l
此处，泊松过程 Ⅳ 代表跳跃项，。【O， 是漂移项，在
假设强度 为常数的前提下，有：
∽=f0篓 篚墨 其可能性
跳跃的幅度为 flk,(t，n ，选择合适的泊松过程后，
[dNki(OIF一】= 及 [ Ⅳ i(f) I 一]=2kidt成立。于是，
波动方 程 O， )f∈Io
，
可转换为 (盯j ， )f∈10
．r2)=a (f，
T， ))， 表示各期限远期损失率之和。
假设远期损失率用波动方程 (f， )来表示。于是，
远期损失率可以由漂移项条件给出：
a(t，1")=-Eai(t， (f， +∑∑五 (f， [exp(一y ， ))+1]
上述模型构建主要由标准的类HJM漂移项和模拟远
期损失的跳跃性质两部分构成。于是，我们已经提出了一
个包含了漂移项的关于远期损失率的标准模型。
此模型说明：在波动方程 O"i与 约束下， ，的动态
方程不是马尔科夫链。为了得到关于点损失率的马尔科
夫分布，必须做以下处理。
令对于给定的期限 ( )f=1
． ．Ⅳ 满足： (f)=(x ，X(t，
r1)⋯．，X(t， ))；布朗波动结构满足 ：at(t，T， ∽)= (f，
一 r
，X(t))exp(-I )
于是，修正的泊松波动性函数变成 ： (f， )= exp
．
’
(一I， )此时的‘即为马尔科夫链。
3 CDO价格序列的马尔可夫链模拟
在CDO投资中，资产池中的个别资产违约，将会将违
约信号和相应的信用损失传递给各个相关投资者。即当
第i期资产违约时，将会引发一连串的不信任信号，进而影
响CDO的整体声誉，这就是第i期资产的违约损失。假定
， ⋯ ， 为 债 券 发 生 违 约 损，失 的 支 付 日期 ，
三(f)=∑ l， 1( ≤f)为时间 ≤ 的违约损失。于是，联交
所的损失则由 ( =(三 一 ) 一(三 )一 ) 给出。
Cherubini认为，CDO的违约损失与年金支付之间的
差额可以用来表述CDO的不连续收益，由以下函数给出：
( ，⋯，f )= ldef( ，⋯， )一Vpre(r ，．．．， )
于是，联交所收益则为：
f ⋯ ．， )= D( )( ( )一 ( 一 ))
To=1下的年金不连续收益为：
(r ⋯ f )=c D( )( 一S 一M( ))
令常数c为交易所债券率，则CDO的收益为：
v(r。，⋯， )=(1+c)∑D( ) ( )一∑(D( + ( )一c( — )∑D( )
可见，f= ，⋯， 情况下， ( ，⋯，r )是违约损失的
线性函数，于是，违约风险为：
百
OE(V)-(1+c) )
一
m +1)丝
(1)风险估计 ， ．
上述一篮子违约互换模型估计与极大似然估计一致，
但在与表达式 V(v1，⋯，f )的表述上不尽相同。假定区间
为( ， )，f= ⋯ ．， 时，交易所风险为通过 (f)计算
的违约损失的线性组合：
)=(∑， ≤f)一 -(Zlfl(r ≤f)一 )
风险估计的连续函数满足 ：百OM(t)
： 下
OM(t)
瓦
Oz"i
： 0 。
，I U 【l U，I
当∑ ： J( ≤f)≤ 一， ∑ m lil(ri<f)≥ 时， =0或
(f)=Su所以，假设 h =Z-i- (f)，无论 大于t抑或小于t，
统计与决策2 01 5年第7期 ·总第427期 41
都 司得到跳跃区间的顺 向估计函数 ：
Ⅳ+1
∑△ (Jl(f)) ( )；Jl ⋯．， =△ (^ ) (f： f2，⋯，7N+4)
l0Z
= [f。+L2m(t)一Sl一(『l+￡ (f)一S ) 一 一S1) 】×l(S，一，
< (f))< )
O)=∑ l(ri≤ )；
f Z
于是，M(t)风险的顺向估计函数为：
一 △ l ) (f； Ir2，．，rⅣ+1)
分支价值E (r ．．
．
f ))满足：
， )=-o+ ) f ； 1 72⋯。， + )
+∑D( +。)A^ r。 (Ill ) ( ；hi72，⋯， +1)
5％，于是 ，资产标的c1与 C2互为的三因素结构矩阵∑
r 0．0816 -0．4103 -0．4591 、
一 l一0．5190 -0．4043 —0．1371 1
1 0．0501 -0．4733 -0．6461 I
0．5794 0．5490 0．335 1
f： 及 f= 的估计 E(M∽)，包括 CDOs、C1及 c2的
除息期 (年) 蒎患期 (荤)
图2 f= 的CDOs、Cl厦C2的delta方差值估计
4 CDO定价的奠特卡洛模拟
基于债券及其他相关信用风险资产的组合而形成的
衍生债券即为一篮子违约互换债券。一篮子违约互换债
券 为投资者提供 了n(n<Ⅳ )次违 约的资产保护 。
Chen&Glasserman的研究表明，互换的非连续收益同等于
不同收益率分券之间的收益差，其两者即叫做“保护支”及
“价值支”。
(
， ， )= (71， ⋯ ， )一 (31， ⋯ ， )
假设 r为第no：违约，于是：
f“ (fl— )=(1一固D(r)1(r<T)
42 统计与决策 2 01 5年第7期 ·总第427期
豫量用 (年) 除惠潮 (年)
圈3 扭 I~CDOs、C1聂C2的delta方麓使估计
1 < )意味着第n次违约事件将发生在T之前，存在
以下函数式：
(
，
‘ 稿1 + l f一
l∑ 1SiD( )，f≤T
上述表明，第no：违约保护买家的成本恰恰由被保护
的卖方承担；这一支付在期限 内是线性的。于是有：
( ，⋯，f )= (rl，⋯，f )+∑ D( )
可见，v(7 ⋯rⅣ)的定价能够通过对 E(V(r ⋯rⅣ))
的测算来实现。
(1)极大似然比估计
极大似然比估计函数如下：
= 一 一 (uj)q一2ne
r (1-u~ +士 _r
根据Kainth&Joshi的研究，在连续冒险率中，上述可
修正为：
． ．， 一
(1一“ )∑(∑～-I) 】
， 】 I，
(2)顺向估计
而后，估计一个n次违约互换采取顺向估计法进行。
假设 r 并非第nO：资产违约，于是r：的弱势变动将不能引
发V的波动，即OV／Or1=0成立。否则在 f1<T(V=O)式，
OV／Orl=0式成立，于是有：
= l(z1=V~T)
如果 7是第n次违约时间，为了估计的进一步准确，
令h，=f ( ，h(i)=r／ (f(f))，则有：
∑△ r (f)) 0∞；hi r2⋯．， )
= AV
e(． l(r < 1( 1) (r 一t；hlh⋯·，rN)
+△
、
< ) ( ； ⋯，rⅣ)
+△ 1( 一1 ≤ )rl r) ( ；h[h⋯．，f．v)
函数的跳跃区间为：
△ 1( 一D< =JD( 一1))( 一r(n—D)1( 一D<
△ l(r(帕< =D 帕) ～，1)l(r∞<
△ l(r(n-1) ∽)=D( (1一r1)l(r( 一1) V(n))
在情景一中，我们将 『l与 ． 互换次序，即改变第 一
n_1次的违约识别秩序；在情景二中，我们将 与 、互换
次序，即改变第n次的违约识别秩序；在情景三中，我们将
转换成T，即第n次违约时间贯穿资产交易始终。于是，
估计量将成为：
OVl(rl=r≤
— D( 一1))(，l—r 一1))1( 一1)< 一1) ( —l；．ilI ，．．．，fⅣ)
— r(月)) )一，t)1( )< rl(7l ) (r ； l r2，⋯， )
一 D( (1一r1)1( 一D≤ ≤ ) (|il ) (r；|izI r2，⋯．z_Ⅳ)
这与Kainth&Joshi的研究结果一致。
(3)数字模拟
根据上述所述顺向估计法及极大似然比法，我们假设
在有限差分法利率r==5％，而且只有唯一保护付款s=l0，支
付时间为第n次违约发生时。
情景 1：篮子I互换Al。在篮子I中存在N=10种资产
标的，其资产覆盖率为(0．3，，O．20．1，0．1，0．1，0．3，0．2，O-3)，
0．2，0．1，冒险率 分别为 (0．1，0．02，0．025，0．015，0．1，0．3，
0．01，0．15，0．25，0．03)。在篮子I中，A1是第四次违约。
情景2：篮子II互换A2。同样设定篮子II 10种资产表
的的冒险率和覆盖率。篮子II中，A2是第四次违约。假
定两者之间的相关三因素结构矩阵为 ∑，矩阵的计算补
充量为B，此时，B =、』1一∑ ：l口 ，假设Z=AA +肋 ，于
是，矩阵A为：
A=
O．0817
- 0．5190
0．0452
0．5789
- 0．4978
- 0．4959
0．2839
0．5205
0．5944
— 0．4052
- 0．41O3
- 0．4043
— 0．4737
0．5488
- 0．．3289
0．3288
0．2419
— 0．4566
- 0．0717
- 0．0122
■一日 (●> 一■日 (簟)
图4篮子I互换A1的情景1方差值估计图
朋 日《●) 一一目‘卑)
围5篮子 II互换A2的情景2方差值估计图
图4和图5中给出了基于互换A2和A1情景1及情景
2的期限估计方差图。其中，点线是极大似然估计的方
差，虚线是有限差分估计的方差，实线则是顺向估计的方
差。从图中可以看出，有限差分法估计值有待商榷；顺向
。
估计法得到的方差更小：所以，顺向估计法估计相对于极
大似然率法估计更有效。
5 结论与展望
第一，本文旨在通过马尔科夫链一蒙特卡洛法(MC—
MC)对债务抵押债券CDO进行定价模拟。为此，我们先研
究了债务抵押债券定价模拟的初始状态值(风险识别和期
限结构分析)，以得出CDO定价模拟的初始状态值数据的
生成算法。这为将对CDOs资产标的利率上限进行组合跨
期模拟提供理论前提。利率上限是CDOs资产标的定价模
拟的基本基准，此外，还需确定债务抵押债券价格波动幅
度，这一幅度的确定可以通过风险估计方差的测算予以确
认。于是，利率上限序列加上CDO的波动下限(可通过非
对称E—GARCH效应加以判定)，就可确定 CDOs基础资
产一利率变化的波动范围，为债务抵押债券定价模拟提供
依据。
第二，本文采用马尔科夫链一蒙特卡洛法，对 CDO产
品的违约与其定价的关系进行研究 ，试图测算债务抵押债
券资产标的的违约损失与资产定价的关系。研究发现：在
CDO投资中，资产池中的个别资产违约，将会将违约信号
和相应的信用损失传递给各个相关投资者。即当第i期资
产违约时，将会引发一连串的不信任信号，进而影响CDO
的整体声誉，最终拉低CDO的整体市场定价。所以，理性
控制CDO标的资产的违约风险，降低其违约概率是提升
CDO资产定价的重要举措。
第三，当然，需要说明的是：在进行债务抵押债券CDO
资产定价时，我们将面临一个难题，即在高质量信用资产
组合中，违约的概率是很低的，频次也是很低的，这使得马
尔 科 夫 链 一蒙 特 卡 洛 法 (MCMC)定 价模 拟 失 效 O
Joshi&Kainth·(2005)提出了另一种可替代方法，即违约互
换组合抽样JK方法。Glasserman&Chen又将该方法称之
为CP法。JK方法的运用可以在资产标的出现违约的概
率较小的任意区间内进行，此时给定的违约概率即可等于
其违约的条件概率。于是，采用违约互换组合抽样JK方
法在某种意义上保证了方差的最小化，CDO资产定价的方
差估计将可达到最佳效果状态。
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统计与决策 2 01 5年第7期 ·总第427期 43
删姗 姗一 娜 册洲 加
信息不对称下的实物期权投资策略
陈丹梅
(上海财经大学 金融学院，上海 200433)
摘 要：在信息不对称条件下，文章分析了实物期权投资问题。在项 目价值完全或部分可观测的情况下，得
到了最优投资时机与分成系数，并分析了各参数对投资决策的影响。研究结果表明，与项目价值完全可观测相
比，在项目价值部分可观测时，代理人的努力程度增大，委托人的期权价值减小，项目的投资时机会推迟。
关键词：委托代理；实物期权；激励机制；投资
中图分类号：F830．59 文献标识码：A 文章编号：1002—6487(2015)7—0044—04
0 引1I『
自Myers等” 率先提出了企业未来投资机会可以视为
实物期权的概念和思想后，实物期权在现代经济领域得到
了广泛应用，例如自然资源、房地产开发、企业的收购兼并
等O与传统净现值方法相比，它考虑了投资的柔性，例
如企业在进行项目投资时，可以灵活地采取等待、扩张等
投资机会，为企业的投资决策提供了更科学的依据。标准
的实物期权模型中，假定企业被所有者经营，所以不存在
委托代理问题。在企业项目的投资决策中，当项目的所有
权和经营权分离时，所有者与经营者之间形成委托代理关
系，委托人和代理人之间的利益冲突和信息不对称造成了
代理问题的存在。当所有者委托经理人进行项目投资时，
由于经理人拥有信息优势，他可能为了自身利益而作出有
损于委托人的行为，例如隐藏项 目回报、偷懒等。例如，
Harris等 指出，在信息不对称的情况下，经理人有隐藏项
目回报转为己有的动机。传统的委托代理理论假定委托
人不能直接观测到代理人的努力程度，委托人设计一种激
励机制，以诱导经理人从 自身利益最大化出发，选择对委
托人最有利的行动。
近年来，信息不对称下的实物期权投资问题引起了研
究者的兴趣。Grenadier等iS1考虑了代理人隐藏行动与拥有
关于项目价值的私人信息同时存在时，得到了实物期权投
资的最优合同。Shibata等[71在信息对称与信息不对称的情
况下，分析了代理人的努力程度与项目的投资时机，得到
了最优合同。梁铄等 在二维信息不对称的条件下分析了
项目的实物期权投资问题。企业的投资决策中，除了所有
者与经理人的代理冲突外，常见的还有股东与债权人的代
理冲突。宋小保 分析了集中股权结构下，股东异质性所
导致的控股股东代理冲突对企业投资决策和负债融资代
理成本的影响。王治等㈣通过把项 目融资政策内生到投
资决策的实物期权模型中，分析了负债代理冲突对企业投
融资行为的影响。
本文基于企业所有权和经营权相分离这一实际，假定
项目价值与代理人的努力程度相关，将委托代理理论应用
于实物期权投资问题，在项目价值完全可观测与部分可观
测时，研究项目的最优投资策略。
1 模型假设
企业所有者和经理人之间存在委托代理关系，他们各
自追求自身利益最大化。企业所有者(委托人)拥有延迟项
目投资的期权，委托经理人(f弋理人)执行投资期权。
基金项目：国家自然科学基金资助项目(71271127)
作者简介：陈丹梅(198O-)，女，湖北天门人，博士研究生，讲师，研究方向：数理金融。
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(责任编辑／易永生)
