通信原理主讲教师：张立毅天津商业大学信息工程学院二0 0 九年二月
课程性质和任务)课程的性质《通信原理》是为通信工程专业学生开设的一门必修主干课程。既是入门课，又是核心专业基础课，也是低频电路、高频电路、信号与系统、工程数学等在通信中的综合运用。)任务比较全面系统地讲述现代通信系统的基本原理、基本性能和基本分析方法。通过学习，掌握模拟通信和数字通信系统的信息传输的基本原理和分析方法，并把重点放在数字通信原理上，为今后从事通信领域的工作和研究打下必要的基础；懂得通信系统的基本构成；了解有关通信系统的技术指标及改善系统性能的一些基本技术措施；培养学生的辨证思维能力，对今后进一步学习更为专业的通信技术起到辐射的作用。《通信原理》是通信工程专业后续几乎所有专业课程，如移动通信、光纤通信、微波与卫星通信、通信网等的基础。
教材、参考书、学时安排)教材樊昌信，张甫翊，徐炳祥，吴成柯．通信原理（第5版）．北京：国防工业出版社，2003．)参考书[1] 樊昌信，曹丽娜．通信原理（第6版）．北京：国防工业出版社，2007．[2] 曹志刚，钱亚生．现代通信原理．北京：清华大学出版社，2003．[3] 沈越泓，高媛媛，魏以民．通信原理．北京：机械工业出版社，2003．[4] 王秉钧，冯玉珉，田宝玉．通信原理．北京：清华大学出版社，2008．[5] 王兴亮．通信系统原理教程．西安：西安电子科技大学出版社，2007．)学时安排根据教学计划规定，总学时68，其中理论讲授58学时，实验10学时。
教学要求平时成绩由实验（40分）、作业（28分）、平时测验（12分）、课堂点名（10分）和PBL大作业（10分）五部分组成。)实验10学时实验分5个完成，其中三个是必做的，另两个可从5个中选做。每个实验满分8分。)作业作业7次，每次按A、B、C、D给分，满分4分。)平时测验平时测验是随堂测验，共3次，每次满分4分。)课堂点名课堂随机抽查点名，满分20分，无故旷课要扣分。)PBL大作业大作业1次，期末上交，满分10分。
本课程安排♣♣第一章绪论♣♣第二章随机信号分析♣♣第三章信道♣♣第四章模拟调制系统♣♣第五章数字基带传输系统♣♣第六章正弦载波数字调制系统♣♣第七章模拟信号的数字传输♣♣第八章数字信号的最佳接收♣♣第九章差错控制编码（自学）♣♣第十章正交编码与伪随机序列（自学）♣♣第十一章同步原理（自学）♣♣第十二章通信网（自学）
课程学习指导♣抓住一条主线抗干扰♣领会两个指标有效性和可靠性♣掌握三种调制幅度调制，频率调制和相位调制（模拟和数字两个系统）♣理解四个定理香农公式，奈奎斯特第一准则、奈奎斯特第二准则和奈奎斯特抽样定理
第1章绪论通信与信息通信系统的组成通信系统的分类及通信方式 信息及其度量 主要性能指标通信系统的发展
本章知识点结构通信基本概念基本概念通信系统发展简史系统分类工作方式系统组成信息度量性能指标模拟通信系统数字通信系统
本章教学要求n了解通信的基本概念，通信系统的分类，工作方式，以及发展简史；o理解通信系统的基本组成，熟悉通信系统各部分的功能；p掌握信息及其度量的计算；q掌握模拟和数字通信系统的主要性能指标及其计算，重点是信息量的计算。
通信与信息 通信的概念及作用通信（communication）是指信息的传输或消息的传输，即利用电波（电通信（telecommunication））、光波（光通信（opticommunication））等信号来传送文字、语音、图象等。古代的消息树、烽火台、驿马传令和鸣金击鼓，以及现代社会的文字、书信、电报、电话、广播、电视、遥控、遥测等都是消息传递的方式和信息交流的手段。人们可以利用语言、文字、图象和数据等不同形式来表达信息，但这些语言、文字、图象或数据本身不是信息而是消息。信息（information）是消息（message）中所包含的人们原来不知而待知的内容，即通信的目的是传输含有信息的消息。
信息的由来信息一词由来已久，据考证，“信息”二字最早出现在我国唐代文人李中的《暮春怀故人》一诗中：梦断美人沉信息日穿长路倚楼台 信息的解释♣《词海》：信息，如通风报信。♣《词源》：信息：消息。♣《新英汉词典》：Information译为通知，报告，消息，报道，情报，知识，见闻，资料等。♣Information一词在我国台湾省被译为资讯。目前，一般定义为客观事物运动状态的表征与描述。
暮春怀故人唐：李中体裁：七律池馆寂寥三月尽，落花重叠盖莓苔。惜春眷恋不忍扫，感物心情无计开。梦断美人沉信息，目穿长路倚楼台。琅玕绣段安可得，流水浮云共不回。
通信系统的组成 通信系统的一般模型通信是指从一地向另一地传递和交换信息，实现信息传递所需的一切设备（equipment）和传输媒介（transmission medium）的总和称为通信系统（communication system）。基于点对点通信系统的模型如图所示。信息源发送设备信道接收设备受信者发送端接收端噪声源 通信系统的一般模型
1．信息源信源（information source）是消息的产生地，其作用是把各种消息转换成原始电信号，称为消息信号或基带信号。电话机、电视摄像机和电传机、计算机等各种数字终端设备就是信源。前者属于模拟信源，输出的是模拟信号；后者是数字信源，输出离散的数字信号。2．发送设备发送设备（sendequipment ）简称发信机（transmitter），其基本功能是将信源和信道匹配起来，即将信源产生的消息信号变换成适合在信道中传输的信号。变换方式是多种多样的，在需要频谱搬移的场合，调制是最常见的变换方式。对数字通信系统来说，发送设备常常又可分为信源编码（source coding）与信道编码（channel coding）。
3．信道信道（channel）是指传输信号的物理媒质。可以是无线，也可以是有线。在无线信道中，信道可以是大气（自由空间），在有线信道中，信道可以是明线、电缆或光纤。有线和无线信道均有多种物理媒质。媒质的固有特性及引入的干扰与噪声直接关系到通信的质量。4．接收设备接收设备（receiving equipment ）简称为收信机（receiv-er），其基本功能是完成发送设备的反变换，即进行解调、译码、解码、解密等。其主要任务是从带有干扰的接收信号中正确恢复出相应的原始基带信号，对于多路复用，还包括解除多路复用，实现正确分路等。
5．噪声源噪声源（noise source ）不是人为加入的，而是通信系统中各种设备以及信道所固有的，并且是人们所不希望的。噪声（noise）的来源是多样的，分为内部噪声和外部噪声。内部噪声产生于各种设备，外部噪声是由信道引入。为了分析方便，一般把噪声源视为各处噪声的集中表现而抽象加入到信道。6．受信者受信者即信宿（destination），是传输信息的归宿点，其作用是将复原后的原始信号转换成相应的消息。故通信系统可以概括为是由信源（information source）、信道（channel）和信宿（destination）三部分组成。
模拟通信系统信源发出的消息分为两大类：一类是连续消息，另一类是离散消息。连续消息是指消息的状态连续变化或是不可数的，如语音、图象等。离散消息则是指消息的状态是可数的或离散的，如符号、数据等。 消息的传递是通过其物质载体——电信号来实现的。即把消息寄托在电信号的某一参量上（如连续波的幅度、频率或相位；脉冲波的幅度、宽度或位置）。消息和电信号之间是一一对应关系，否则在接收端就无法恢复。按信号参量的取值方式不同可把信号分为模拟信号（analog signal）和数字信号（digital signal）两大类，相应地将通信系统也分为模拟通信系统和数字通信系统。
模拟通信系统是利用模拟信号来传递信息的通信系统，如图所示。系统需要进行两种变换：♣将连续消息变换成原始电信号；♣将原始电信号变换成适合信道传输的信号，即调制。信源发出的原始电信号是基带信号（base-band signal）或低通信号（low-pass signal），基带的含义是指信号的频谱从零频附近开始，如语音信号为300~3400Hz，图像信号为0~6MHz。信息源调制器信道解调器受信者噪声源 模拟通信系统的模型
由于基带信号具有频率很低的频谱分量，一般不宜直接传输，这就需要把基带信号变换成其频带适合在信道中传输的信号，即进行调制。经过调制后的信号称为已调信号（modulat-ed signal）、带通信号（band-pass signal）或频带信号。具有两个基本特征：♣携带有信息；♣适合在信道中传输。消息在从发送端到接收端的传递过程中，不仅仅只有连续消息与基带信号、基带信号与频带信号之间的两种变换，而且还要进行滤波、放大、变频、辐射等。由于调制与解调两种变换对信号的变化起决定性作用，而其他过程对信号不会发生质的变化，只是对信号进行了放大或改善了特性，故一般被认为是理想的而不予讨论。
【附】几个概念之间的关系原始电信号变换为传输信号：便于传输频带信号基带信号传输信号还原为原始电信号：便于识别未调制信号变换为调制后信号调制信号已调信号调制后的信号还原为调制前的信号频率低的信号变换为中心频率高的信号带通信号低通信号中心频率高的信号还原为频率低的信号
数字通信系统数字通信系统（Digital Communication System，简称DCS）是利用数字信号来传递信息的通信系统。点对点数字通信系统的原理框图如图 所示，基带数字通信系统如图所示。数字通信涉及的技术较多，其中主要有信源编码/译码、信道编码/译码、数字调制/解调、数字复接、同步以及加密等。信加密器编码器调制器信解调器译码器解密器信源道宿噪声源 点对点数字通信系统的模型
1．信源编码与译码 信源编码的作用之一是设法减少码元数目和降低码元速率，即数据压缩，提高信息传输的有效性。码元速率将直接影响传输带宽，而传输带宽又直接反映了通信的有效性。作用之二是当信源给出的是模拟信号时，信源编码器将其转换成数字信号，以实现模拟信号的数字化传输。2．信道编码与译码 信号在传输过程中，由于噪声、衰落以及人为干扰等，将会引起差错。为了减少差错，信道编码器对传输的信息码元按一定的规则加入保护成分（监督码元），组成所谓“抗干扰编码”。接收端的信道译码器按一定规则进行解码，从解码过程中发现错误或纠正错误，从而提高通信系统的抗干扰能力，实现可靠通信。即信道编码是提高信息传输的可靠性。
3．加密与解密 在需要实现保密通信的场合，为了保证所传信息的安全性，人为将被传输的数字序列扰乱，即加上密码，这种处理过程叫加密（encrypt）。在接收端利用与发送端相同的密码复制品对收到的数字序列进行解密，恢复原来信息，叫解密。4．数字调制与解调 数字调制就是把数字基带信号的频谱搬移到高频处，形成适合在信道中传输的频带信号。基本的数字调制方式有振幅键控ASK、频移键控FSK、绝对相移键控PSK、相对（差分）相移键控DPSK。对这些信号可以采用相干解调或非相干解调还原为数字基带信号。对于高斯噪声下的信号检测，一般用相关器接收机或匹配滤波器来实现。
5．同步与数字复接 同步是保证数字通信系统有序、准确、可靠工作不可缺少的前提条件，是使收、发两端的信号在时间上保持步调一致。按照同步的功用不同，可分为载波同步、位同步、群同步和网同步等。数字复接就是依据时分复用原理，把若干个低速数字信号合并成一个高速的数字信号，以扩大传输容量，提高传输效率。基带信号接收信息源信道受信者形成器滤波器噪声源 数字通信系统的模型
数字通信的特点与模拟通信相比，数字通信具有如下特点：♣抗干扰能力强，在中继通信中，数字信号通过再生，可以消除噪声积累，如图所示；♣传输差错可以控制，通过信道编码技术使误码率降低，提高传输质量；♣易于与各种数字终端接口，用现代计算机技术、数字信号处理技术对信号进行处理、加工、变换、存储；♣易于加密处理，且保密性强；♣可以综合传输各种消息，增强通信系统功能，实现综合化通信。♣缺点是需要较大的传输带宽。
（a）模拟通信将带有杂音、畸变的信号原封不动传出去声音信号附加了杂音的信号用户线模拟中继线用户线模拟交换机模拟交换机（b）数字通信脉冲经“再生”后杂音被消除，还原成用脉冲传送声音信号在脉冲上附加了杂音“干净”的原脉冲用户线数字中继线用户线内藏CODEC 内藏数字交换机数字交换机CODEC图 数字通信与模拟通信噪声积累示意图
通信系统的分类及通信方式 通信系统的分类通信系统的分类方法很多。1．按照通信业务分类可以分为电报通信系统，电话通信系统，数据通信系统和图象通信系统等。2．按照调制方式分类可以分为基带传输和频带传输两大类。基带（base-band）传输是将未经调制的信号直接传送，如音频市内电话、有线广播等。频带传输是对各种信号调制后传输的总称，调制方式很多，如表所示。
表 常用调制方式及用途调制方式用途常规双边带调幅AM广播抑制载波双边带调幅DSB 立体声广播线性单边带调幅SSB载波通信、无线电台调制残留边带调幅VSB 电视广播、传真连频率调制FM微波中继、卫星通信、广播非线性续调制相位调制PM 中间调制方式波幅度键控ASK 数据传输调制频率键控FSK数据传输数字相位键控PSK数据传输调制其他高效数字调制QAM，数字微波、空间通信MSK等
表 常用调制方式及用（续表）调制方式用途脉幅调制PAM 中间调制方式、遥测脉冲模脉宽调制PDM（PWM）中间调制方式拟调制脉脉位调制PPM 遥测、光纤传输冲脉码调制PCM 市话、卫星、空间通信数字增量调制DM 军用、民用电话调差分脉码调制DPCM 电视电话、图像编码脉冲数制字调制中低速数字电话其他语言编码方式ADPCM、APC、LPC
3．按照信号特征分类可以分为模拟通信系统和数字通信系统等。4．按照传输媒介分类可以分为有线通信系统和无线通信系统两大类。有线通信是用导线（如架空明线、同轴电缆、光纤等）作为传输媒介完成通信，如市内电话、有线电视、海底电缆通信等。无线通信是依靠电磁波在空间传播达到传递消息的目的，如短波电离层传播、微波视距传播、卫星中继等。5．按照工作波段分类不同频率的电磁波具有不同的传输特点，按照设备的工作频率可以分为长波通信、中波通信、短波通信、微波通信、远红外线通信等等。表给出了通信波段与常用传输媒质。
表 通信波段与常用传输媒质 波长符号用途频率范围传输媒质音频、电话、数据终端长距483Hz~30kHz10~10m 甚低频VLF 有线线对长波无线电离导航、时标3430~300kHz10~10m 低频LF有线线对长波无线电导航、信标、电力线通信300kHz调幅广播、移动陆地通信、2310~10m 中频MF同轴电缆短波无线电~3MHz 业余无线电移动无线电话、短波广播定23~30MHz10~10m 高频HF同轴电缆短波无线电点军用通信、业余无线电电视、调频广播、空中管制、30~300MHz1~10m 甚高频VHF同轴电缆米波无线电车辆、通信、导航300MHz微波接力、卫星和空间通信、10~100cm特高频UHF波导，分米波无线电~3GHz雷达微波接力、卫星和空间通信、3~30GHz1~10cm超高频SHF波导，厘米波无线电雷达雷达、微波接力、射电天文30~300GHz1~10mm极高频EHF波导，毫米波无线电学-5 3×10紫外，可见7810~10GHz 光纤，激光空间传播光通信-4~3×10cm光，红外
6．按照信号复用方式分类分为频分复用（Frequency Division Multiplexing，FDM），时分复用（Time Division Multiplexing，TDM）和码分复用（Code Division Multiplexing，CDM）三种方式。频分复用是用频谱搬移的方法使不同信号占据不同的频率范围，如电视广播，不同节目占据不同频道。时分复用是用脉冲调制的方法使不同信号占据不同的时间区间，如电话。码分复用是用正交的脉冲序列分别携带不同信号，如移动通信和空间通信中的扩频通信。图到图分别给出了频分复用，时分复用和码分复用发射和接收端的示意图。
图 频分复用示意图（发射端）
图 频分复用示意图（接收端）
图 时分复用示意图（发射端）
图 时分复用示意图附图时分复用（接收）（接收端）
图 码分复用示意图（接收端）
通信方式1．按照消息传递的方向与时间关系分类可以分为单工（simplex）、半双工（half-duplex ）和全双工（full-duplex ）通信三种。♣单工通信是指消息只能单方向传输的工作方式，因此只占用一个信道，如图所示。广播、遥测、遥控、无线寻呼等都是单工通信等。♣半双工通信是指通信双方都能收发消息，但不能同时进行收和发，如图所示。如使用同一载频的对讲机等。♣全双工通信是指通信双方可以同时进行收发消息的工作方式。一般情况下全双工通信的信道必须是双向信道，如图所示。普通电话、手机都是最常见的全双工通信方式。
发端信道收端图 单工通信方式发端发端信道收端收端图 半双工通信方式发端发端信道信道收端收端图 双工通信方式
2．按照数字信号排列顺序分类 可以分为并行传输（parallel transmission）和串行传输（serial transmission）。并行传输是将代表信息的数字序列以成组的方式在两条或两条以上的并行信道上同时传输，如图所示。优点是节省传输时间，但需传输信道多，设备复杂，成本高，故较少采用，一般适用于计算机和其他高速数字系统。 串行传输是数字序列以串行方式一个接一个在一条信道上传输，如图所示。一般远距离数字通信都采用该传输方式。如电视图像采用逐行扫描方法，每帧图像扫描625行，每秒扫描50帧。
发送设备接收设备发送设备接收设备101图 串行传输图 并行传输3．按照同步方式分类可以分为同步通信和异步通信。4．按照通信网络形式分类可以分为点对点通信（如专线通信等）、点对多点通信（如广播、电视等）和多点对多点通信（如电话等）。
信息及其度量 信息的度量信息一词在概念上与消息的意义相似，但它的含义更普遍化、抽象化。信息可以被理解为消息中包含的有意义的内容。信息的多少可以用“信息量”来衡量。任何信源的输出都是随机的。对接收者来说，只有消息中不确定的内容才构成信息；否则，信源输出已确切知晓，就没有必要再传输。因此，信息含量就是对消息中这种不确定性的度量。 现有三条消息：♣太阳从东方升起；♣太阳比往日大两倍；♣太阳将从西方升起。
第一条几乎没有带来任何信息，第二条带来了大量信息，第三条带来的信息多于第二条。究其原因，第一事件是一个必然事件，不足为奇；第三事件几乎不可能发生，它使人感到惊奇和意外，也就是说，它带来更多的信息。因此，信息含量是与惊奇这一因素相关联的，这是不确定性或不可预测性的结果。越是不可预测的事件，越会使人感到惊奇，带来的信息越多。根据概率论知识可知，事件的不确定性可用事件出现的概率来描述。可能性越小，概率越小。因此，消息中包含的信息量与消息发生的概率密切相关。消息出现的概率越小，包含的信息量就越大。
设P（为消息发生的概率，Ix）是从该消息中获得的信息量，则二者的关系为：♣信息量是概率的函数，即[I=IP（x）]♣消息出现的概率越小，所含信息量就越大，且P（x）→0 ， ∞P（x）→I→0I→1；，♣若干个相互独立事件构成的消息，所含信息量等于各独立事件的信息量之和，即信息量具有相加性 I[P（x）P（x）L]=I[P（x）]+I[P（x）]+L1212定义消息x所含的信息量为I1P（x）P（x）I=log=−logaa
信息量的单位信息量的单位是由信息量计算公式中对数底数决定的。♣若对数的底数为2，则信息量的单位为比特（bit）；♣若对数的底数为e，则信息量的单位为奈特（nit）；♣若对数的底数为10，则信息量的单位为哈特莱（hartley）。目前，应用最广泛的单位是比特。 等概离散消息的信息量设M个波形等概独立发送，则传送某一波形的信息量为11MP1/MI=log=log=log222KM=2（K=1，2，3，L）若M为2的整幂次，即，则I为K2I=log=K2
非等概离散消息的信息量设离散信源是一个由N个符号组成的符号集，其中每个符号NP（x）=1xx（i=1，2，3，L，N）出现的概率为P（x）i，且有∑，则每个iiii=1P（x）P（x）P（x）12N所包含的信息量分别为−log，−log，L，−log。得到每222个符号所含信息量的统计平均值，称为平均信息量（bit）为P（x）P（x）P（x）i2NH（x）=P（x）[−]log+P（x）[−]log+L+P（x）[−]log12N222NP（x）i=−P（x）logi∑2i=1由于平均信息量同热力学中熵（entropy）形式相似，因此也把信源输出消息的平均信息量称为信源的熵，单位为bit/符号。熵值越大越好。当每个符号等概出现，且符号出现为统计独立时，该信源的熵最大，为1N1NNH（x）=−log=logmax2∑2Ni=1
连续消息的信息量+∞f（x）H（x）=−f（x）logdxe∫−∞f（x）式中，为连续消息出现的概率密度。 信息量的计算♣对于单一符号的信息量1P（x）P（x）I=log=−log22♣对于由一串符号构成的消息，若各符号的出现相互独立，则整个消息的信息量为NP（x）iI=−nlogi∑2i=1nP（x）iN式中，和分别为第个符号出现的次数和概率，为离散ii消息源的符号数目。
♣对于一串很长的消息，可以用平均信息量（即信源的熵）来代替整个消息的信息量NP（x）iI≈MH（x）=MP（x）[−]logi2∑i=1式中，M为符号总数。消息越长，替代所引起的误差越小。x、yX、Y♣对于两个离散信源，所出现的符号分别为，则ii定义这两个信源的联合信息量为P（xy）iiI（xy）=−logii2P（xy）式中，为x、y的联合概率，但两个信源统计独立时，联合信iiii息量等于两个信息量之和。（）P（x/y）PxX♣设为发射端，为接收端，为先验概率，为后验Yiii概率，定义后验概率与先验概率之比的对数为互信息量，即P（x/y）iiP（x）iI（x，y）=logii2
互信息量反映两个随机事件之间的统计关联程度，在通信x、y系统中就是接收端所能获取的发送端的信息。若统计独ii立，则互信息量为零，若后验概率为1，则互信息量等于信源的信息量。【例】某人A预先知道他的三位朋友B、C、D中晚上必有一人到P（B）、P（C）、P（D）他家，并且可能性相同。令分别表示B、C、D三人到A家的概率，则有P（B）=P（C）=P（D）=。1/3但上午D说他不来了，若称此事为事件E，则P（DE），，/=0P（B/E）=1/2P（C/E）=1/2。下午C说他也不能来了，称此事为事件F，则P（BP（CEF）=P（DEF）/EF）=1//=0，。试求互信息量I（B，E），I（C，E），I（D，E）和I（B，EF）。
【解】接到上午电话后，A获得的B、C、D的互信息量P（B/E）P（C/E）P（B）P（C）I（B，E）=I（C，E）=log=log221/21/3=log=（bit）2由于在E条件下，已不可能出现D，故不必考虑D、E之间的互信息量在接到两次电话后，A获得的B、C、D的互信息量P（B/EF）13P（B）1/3I（B，EF）=log=log=log=（bit）222由于此时C、D已不可能出现，故也不必考虑C、D与EF之间的互信息量。
【例】一信息源由4个符号0、1、2、3组成，它们出现的概率分别为3/8、1/4、1/4、1/8，且每个符号的出现都是独立的。试求某个消息201020130213001203210100321010023102002010 312032100120210的信息量。【解】该消息共有57个符号，其中0出现23次，1出现14次，2 出现13次，3出现7次。整个符号串的信息量为3111NP（x）i8448I=−nlog=−23log−14log−13log−7logi∑22222i=1=33+28+26+21=108（bit）若用熵的概念计算，则为3111N⎧⎫3111⎪⎪P（x）i8448I≈MP（x）[−]log=57×−log−log−log−log⎨⎬i22222∑8448⎪⎪i=1⎩⎭=（bit）
主要性能指标通信系统的性能指标又称质量指标，是对整个系统综合提出或规定的。主要包括有效性、可靠性、适应性、标准性、经济性及维护使用性等等。其中主要指标为有效性和可靠性，前者是指消息传输的速度问题，后者是指消息传输的质量问题。 模拟通信系统有效性可用有效传输频带来度量，同样的消息用不同的调制方式，则需要不同的频带宽度。可靠性用接收端最终输出信噪比来度量。不同调制方式在同样信道信噪比下所得到的最终解调后的信噪比是不同的。如调频信号抗干扰能力比调幅好，但调频信号所需传输频带却宽于调幅。
数字通信系统数字通信系统的有效性可用传输速率来衡量，可靠性可用差错率来衡量。1．传输速率传输速率主要包括码元传输速率、信息传输速率和频带利用率。♣码元传输速率R：又称为传码率、符号速率、码元速率、B波形速率、数码率、信号速率、码率等。定义为每秒钟传输码元的数目，单位是波特（Baud），记作B（注意不能用小写）。如若1秒内传2400个码元，则传码率为2400B。 数字信号有多进制和二进制之分，但码元速率与进制数无关，只与传输的码元长度T有关，即1R=(B)BT
♣信息传输速率R：又称为传信率、比特率等。定义为每b秒钟传递的信息量，单位是比特/秒，记作bit/s、b/s、bps。♣频带利用率：定义为信息传输速率与带宽的关系，单位为bit/s/Hz，即η=R/B（bit/s/Hz）bb 由于频带宽度的大小取决于码元速率，而码元速率与信息速率有确定的关系。因此，频带利用率也可以定义为单位频带内码元传输速率的大小，即η=R/B（B/Hz）BB频带利用率越高，系统传输效率越高。
♣码元速率与信息速率的关系 每个码元或符号通常都含有一定bit数的信息量，因此码元速率和信息速率存在确定的关系。即等概发送R=RH（bit/s）bB对于二进制，码元速率与信息速率在数值上相等（每个码元包含信息量为1bit），只是单位不同。对于M进制，信息速率与码元速率之间的关系为RbM=R（B）R=Rlog（bit/s）BbB2Mlog2如码元速率为1200B，采用八进制（M=8）时，信息速率为3600b/s；采用二进制（M=2）时，信息速率为1200b/s。这说明为提高有效率，可以采用多进制传输。
在给出码元速率时，需说明码元的进制。由于M进制的一个Mlog码元可以用个二进制码元表示，因而M进制的码元速率R2BM与二进制的码元速率R之间的关系为B2MR=Rlog（B）B2BM2在码元速率保持不变的条件下，二进制信息速率R与M进b2制信息速率R之间的关系为bMMR=R/log（bit/s）b2bM2
2．差错率 差错率常用误码率和误信率表示。 ♣误码率（码元差错率）Pe是指发生差错的码元数在传输总码元数中所占的比例，更确切地说，误码率是码元在传输系统中被传错的概率，即错误码元数p=e传输总码元数♣误信率（信息差错率）P是指错误接收的信息量在传送b信息总量中所占的比例，即是码元的信息量在传输系统中被丢失的概率。也可以说，发生差错的比特数在传输总比特数中所占的比例，故又称为误比特率，即错误比特数p=b传输总比特数
♣误码率和误信率的关系p=p在二进制中，be。M在M进制中，每个码元含有n=log比特，出现错误的样式2iC有M-1种，其中错i（i=1，2，…，n）比特的样式有个。n若错误样式等概出现，则当一个码元发生错误时，在n比特中错误比特为所占比例的数学期望为⎡错误比特⎤E[n]=E⎢⎥一个码元的比特数⎣⎦nn−11i2Mi=C==n∑M−1nM−12(M−1)i=1当M较大时，有M1p=E[n]p=p≈pbeee2(M−1)2
通信系统的发展 通信发展简史19世纪以来，通信技术发展迅速，特别是在20世纪50年代以后，其发展可谓日新月异。通信发展简史如下： 1837年，莫尔斯发明有线电报（Community telegraph）； 1864年，麦克斯韦尔（James Clerk Maxwell）提出电磁辐射方程； 1876年，贝尔（Alexander Graham Bell）发明了电话（telephone）； 1896年，马可尼（GuglielmoMarcheseMarconi）发明了无线电报（marconigram）； 1906年，德福雷斯特（Lee De Forest）发明了真空三极管；
1918年，调幅无线电广播（radiobroadcast）开播，超外差接收机问世； 1925年，开始采用三路明线载波电话、多路通信； 1928年，奈奎斯特（Harry Nyquist）发表数据信号传输理论，并相继提出消除码间干扰的三个准则； 1936年，调频无线电广播开播； 1937年，发明脉冲编码调制原理； 1938年，电视广播（telecast）开播； 1940~1945年，二次大战刺激了雷达和微波通信系统的发展； 1948年，发明晶体管（transistor），香农提出了信息论，通信统计理论开始建立； 1950年，时分多路通信应用于电话； 1956年，敷设了越洋电缆（cable）；
1957年，苏联发射第一颗人造卫星（artificial satellite）； 1958年，美国发射第一颗通信卫星（communication satellite）； 1960年，美国人梅曼发明激光（laser）； 1961年，发明集成电路（integrate circuit）； 1962年，发射第一颗同步通信卫星（synchronouscommuni-cationsatellite），脉冲编码调制（Pulse Code Modulation，简称PCM）进入实用阶段； 1960~1970年，彩色电视（color television）问世；阿波罗宇宙飞船（astro-airship）登月；数字传输理论和技术得到了迅速的发展力；出现了高速数字电子计算机（electronic computer）；
1970~1980年，大规模集成电路（Large Scale Integration of Circuits，简称LSI）、商用卫星通信、程控数字交换机、光纤通信系统、微处理器（Micro-Processor Unit，简称MPU，即micro-processor）等迅速发展； 1980年以后，超大规模集成电路（Super Large-Scale Integration，简称SLSI，或Grand Scale Integration，简称GSI）、长波长光纤通信系统广泛应用；综合业务数字网崛起。
萨密尔·莫尔斯（公元1791～1872年）：有线电报的发明人。起初是美国第一流的画家，后来投身科学。为了制造电报机，他花完了所有的积蓄，终于在1837年研制出第一台传递电码的电报机。他发明了一连串的点、划，以代表各个字母和数字，也就是今天的莫尔斯电码。还设计出一套发送电报的线路。1844年5月24日，他完成了世界上第一次电报通信。1851年，国际会萨密尔·莫尔斯议又对莫尔斯电码加以修订，使之更为准确、简单。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell ）（公元1831~1879年）：英国物理学家，经典电动力学的创始人，统计物理学的奠基人之一。建立了第一个完整的电磁理论体系，不仅科学地预言了电磁波的存在，而且揭示了光、电、磁现象本质的统一性，完成了物理学的又一次大综合，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。这一理论自然科学的成果，奠定了现代电力工业、电子工业和詹姆斯·克拉克·麦克斯韦无线电工业的基础。
亚历山大·格拉汉姆·贝尔（Alexander Graham Bell）（公元1847～1942年）：贝尔的主要成就是发明了电话。此外，还制造出助听器，改进了爱迪生发明的留声机。从1875年到1922年间，获得美国政府的三十项专利权。由于这许多发明创造，在1876年接受了费城万国博览会百年纪念奖证书，同年还获得波士顿大学理学博士学位。为了纪念贝尔的功绩，将电学和声学中计量功率或功率密度比值的一种单位命名为“贝尔”。亚历山大·格拉汉姆·贝尔伽利尔摩·马可尼（GuglielmoMarcheseMarconi）（公元1874~ 1937年）：意大利电气工程师和发明家。1896年，在英国其试验成果可用于公里距离的通信，并取得专利；1897年成立“马可尼无线电报公司”；1899年建立越过海峡的英法无线电通讯；1901年在英国与纽芬兰之间实现横过大西洋的无线电通信，使无线电达到实用阶段；1905~1906年，发明无线电报技术上操纵间歇波系统；1909年与布劳恩一起获得诺贝尔伽利尔摩·马可尼物理学奖；1918年起，任意大利终身参议员；1929年获得侯爵称号。
德福雷斯特（Lee De Forest ）（公元1873~1961年）：美国发明家。一生共获300多项专利，涉及电子学的广泛领域，如外科手术用射频电刀、高频反馈电路、无线电报、无线电发信系统、无线电接收系统、扬声器、光电池、无线电扫描电视系统、彩色电视、电子群聚方法等。1906年，制成第一个真空三极管，是他的最重要的一项发明，曾获美国无线电工程师协会荣誉奖章等多种荣誉奖励。德福雷斯特奈奎斯特（Harry Nyquist）（公元1889～1976年）：美国通信工程师。1924年在一篇关于电报的论文中就蕴含着信息论的思想。1928年发现信道带宽和传输速率间的关系，提出著名的奈奎斯特定理。奈奎斯特还是卓越的发明家，在美国就有138项专利，涉及电话、电报、图像传输系统、电测量、传输线均衡、回波抑制、保密通信等方面。奈奎斯特曾获美国无线电工程师学会（1960）、富兰克林学会（1960）、电气和电子工程师学奈奎斯特会IEEE（1961）、美国工程科学院（1969）、美国机械工程师学会（1975）的奖章。
克劳德. 艾尔伍德. 香农（公元1916～2001年）：美国数学家，美国全国科学院院士。信息论的创始人。1941～1956年间任贝尔电话实验研究所数学研究员。1956年到麻省理工学院任教，先后担任客座教授、教授，1958年后为终身教授。1948年发表《通信的数学理论》和1949年发表《噪声中的通信》，奠定了信息论的基础。1949年发表《保密系统的通信理论》，使他成为密码学的先驱。被尊称为是“信息论之父”克劳德. 艾尔伍德. 香农迈克尔·法拉第（公元1791～1867年）：英国物理学家、化学家，也是著名的自学成才科学家。主要从事电学、磁学、磁光学、电化学等方面的研究，并取得一系列重大发现。1831年发现电磁感应定律，使人类掌握了电磁运动相互转变以及机械能和电能相互转变的方法，成为现代发电机、电动机、变压器技术的基础，被称为“电磁学之父”；1833~1834年发现了电解定律；1845年发现光磁效应（法拉第效应）；1851年，发表《论迈克尔·法拉第磁感线》论文，创建了力线思想和场的概念，为麦克斯韦电磁场理论奠定了基础。
第一颗人造地球卫星：1957年10月4日，苏联发射世界上第一颗人造卫星。它由壳体、卫星设备和天线组成。呈球形，外径米，重千克。壳体由两个铝合金半球壳对接而成，借助橡胶件保持气密，内部充有兆帕（大气压）的干燥氮气。下半壳表面是热控制系统的辐射表面；上半壳外面加有隔热层。壳体内安装电池组、无线电发射机、热控制系统组件、转接元件、温度和压力传感器等。电池组由3个银锌电池构成。在电池组中央的矩形槽内置两台交替工作的无线电发射机，频率分别为和。4根鞭状天线重千克，长～米。卫星的初始轨道参数是：近地点215千米，远地点947千米；轨道倾角65；运行周期分。卫星共运行92天，绕地球飞行约1400圈。于1958年1月4日坠入大气层烧毁。
中国第一颗人造地球卫星：1970年4月24日，中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，成为继苏联、美国、法国、日本之后第五个能够独立发射卫星的国家。该卫星采用中国自己研制的“长征一号”运载火箭在酒泉卫星发射场发射。是一个直径约1米的球形多面，重173公斤，比苏联及美、法、日的第一颗人造卫星总重量之和还重。其轨道的近地点为439公里，远地点为2388公里，轨道平面和地球赤道平面的夹角为°，绕地球一周时间为114分钟。“长征一号”运载火箭是一种三级固体混合型火箭，分别采用液体和固体火箭发动机，全长约30米，起飞重量吨。用的频率播送“东方红”乐曲。设计工作寿命20天（实际工作寿命28天），期间把遥测参数和各种太空探测资料传回地面，至同年5月14日停止发射信号。
通信技术的发展趋势21世纪作为信息时代，通信技术必将得到进一步的发展与普及，其发展趋势是：♣♣♣多媒体化♣♣♣数字化♣♣♣宽带化♣♣♣综合化♣♣♣个人化1．多媒体化多媒体化就是要充分利用声音、文字、图形、图象、数据、符号、颜色等来表示消息，以提供声、像、图、文并茂的信息服务。这是人类最乐意接受的消息形式，也是综合业务最完美、最高程度的体现。
2．数字化数字化是指在消息传输过程中，全面使用数字技术。包括数字传输，数字交换，数字终端等。3．宽带化宽带化是指传输速率越来越高，传送容量越来越大。目前，通信技术已跨越（G，n）时代，进入了（T，p）时代，即传输速度从吉比特每秒（Gbit/s）量级发展到太比特每秒（Tbit/s）量级，信息量的存储能力从吉位元（GB）提高到太位元（TB）水平，信息处理速度突破纳秒（ns）门槛，进入皮秒（ps）的境界。4．综合化综合化就是把来自各种消息源的业务综合在一个数字网中进行传输。
5．个人化个人化就是要实现个人通信，提供五“W”功能。即：保证任何人（whoever）在任何时间（whenever）、任何地点（wherever）能同任何人（whomever）进行任何方式（whatever）的通信。♣任何时间：要求支持动中通，无线通信是前提。♣任何人：要求支持巨大用户量，频谱资源有限。♣任何地点：要求无缝覆盖，传输能力有限。♣任何形式：要求多媒体，处理能力有限。
第2章随机信号分析随机过程的一般表述平稳随机过程平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 高斯过程 窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程随机过程通过线性系统
本章知识点结构随机过程统计描述概率密度函数平稳随机过程数字特征广义狭义概念高斯过程自互相关函数功率谱密度函数正态分布窄带高斯过程数学描述随机过程通过线性系统统计特性数学期望相关函数功率谱分布形式
本章教学要求n了解随机过程的表述方法，高斯过程和窄带随机过程的描述方法；o理解广义平稳过程的定义、平稳随机过程的性质；p掌握随机过程通过线性系统的基本原理。
随机过程的一般表述 随机过程的概念自然界中事物的变化过程可以分为确定性过程和随机过程两类。)确定性过程：其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。如电容器通过电阻的充放电过程。)随机过程：其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。ξ（t）其数学定义为：设随机试验E的可能结果为。试验的样{x（），（），L，（），L}txtxt，ix（t）本空间S为为正整数，为第i个样12iiξ（t）本函数，每次试验之后，取空间S中的某一样本函数，则称ξ（t）ξ（t）为随机函数。若 t 代表时间量，则为随机过程。
)随机过程的基本特征体现在两个方面：♣随机过程是时间的函数；♣在任一时刻观察到的值是不确定的，是一个随机变量。随机变量是依赖随机因素而变，以一定概率取值的变量。因此，也可以把随机过程看成是依赖时间参数的一族随机变量。)随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 随机过程的统计特性用统计特性描述随机过程的方法分为两大类：♣多维概率密度函数和分布函数的描述方法；♣随机过程的数字特征。
1．随机过程的概率分布ξ（t）设表示一个随机过程，在任意给定时刻t，其取值为1ξ（t）是一个一维随机变量，则定义其一维分布函数和一维概率1密度函数分别为F（x，）={ξ（）}tPt≤x11111∂F（x，t）111=f（x，t）111∂x1一维分布函数和一维概率密度函数给出了随机过程最简单的概率分布特性，只能描述随机过程在任一孤立时刻取值的统计特性，而不能反映出随机过程各个时刻的内在联系。因此，为了完整地描述随机过程的统计特性，一般需要n维分布函数和n维概率密度函数。
ξ（t）随机过程的n维分布函数和n维概率密度函数定义为F（x，x，L，x；t，t，L，t）n12n12n=P{ξ（）≤，ξ（）≤，L，ξ（）≤}txtxtx1122nn∂F（x，x，L，x；t，t，L，t）n12n12n=f（x，x，L，x；t，t，L，t）n12n12n∂x，∂x，L，∂x12n当n为2时，称为二维分布函数和二维概率密度函数，可以描述随机过程在任意两个时刻取值之间的关联程度，但不能完整地反映出随机过程的全部信息。从理论上讲，n值越大，用随机过程的n维分布函数和n维概率密度函数来描述随机过程的统计特性也就越完善，但随着n值的增大，分析处理会变得越来越复杂。
2．随机过程的数字特征 虽然利用分布函数和概率密度函数能够全面描述随机过程的统计特性，但在大多数情况下，计算比较复杂，使用不便，而且没有必要。一般使用随机过程的数字特性，就可以简捷地解决实际问题，也能够满足应用要求。随机过程的数字特征主要包括数学期望、方差、相关函数和协方差函数等。 数学期望 ξ（t）随机过程在任一时刻 t 的数学期望定义为+∞E[ξ（t）]=xf（x，t）dx=a（t）1∫−∞数学期望是一个时间的确定函数，是由随机过程所有样本在任一时刻 t 的值取平均得到的，也就是统计平均值或均值。表示所有样本在任一时刻 t 取值的分布中心。
方差 随机过程在任一时刻 t 的方差定义为ξ（t）+∞222D[ξ（]t）=σ（t）=E{ξ（t）−E[ξ（]t）}={ξ（t）−E[ξ（]t）}f（x，t）dx1∫−∞利用数学期望公式，方差还可以表示为22D[ξ（]{[][[]]}t）=Eξ（t）−2ξ（t）Eξ（t）+Eξ（t）22=E[ξ（][][]{[]}t）−2Eξ（t）Eξ（t）+Eξ（t）22=E[ξ（]{[]}t）−Eξ（t）+∞22=xf（x，[]t）dx−a（t）1∫−∞方差也是时间的确定函数，且必为非负函数，描述了随机过程的诸样本相对于数学期望的离散程度。方差的算术平方根σ（t）称为标准差、标准偏差或方差根，应用较为广泛。
相关函数 数学期望和方差是描述随机过程在各个时刻的重要特征，但不能反映出随机过程的内在联系。相关函数就是用来描述其内在联系特征的。随机过程ξ（t）在任意两个时刻t和t上的自相关函数定义为12+∞+∞R（[]t，t）=Eξ（t）ξ（t）=xxf（x，x；t，t）dxdx1212122121212∫∫−∞−∞随机过程的自相关函数描述了随机过程在任意两个不同时刻取值之间的相关程度。ηtξ（）（）t设有两个随机过程和，它们在任意两个时刻t和t12ξ（t）η（t）的取值分别为和，其互相关函数定义为12R（[t，t）=Eξ（t）η（t）]ξη1212互相关函数描述了两个随机过程之间的统计关联特性。
协方差函数 ξ（t）)随机过程在任意两个时刻t和t上的自协方差定义为12B（t，t）=E{[ξ（t）−a（][t）ξ（t）−a（]}t）121122+∞+∞=[x−a（）][tx−a（）]tf（x，x；t，t）dxdx11222111212∫∫−∞−∞随机过程的自协方差函数表示随机过程在任意两个时刻起伏值之间的平均相关程度。ξ（t）η（t）)设有两个随机过程和，它们在任意两个时刻t和1ξ（t）η（t）12t的取值分别为和，其互协方差定义为2B（{[][]t，t）=Eξ（t）−a（t）η（t）−a（t）}ξη121ξ12η2互协方差函数描述了两个随机过程起伏值之间的统计关联特性。
)自相关函数和自协方差函数的关系由自相关函数和自协方差函数的定义式可知B（t，t）=E{[ξ（t）−a（t）][ξ（t）−a（t）]}121122=Eξ（t）ξ（t）−a（t）ξ（t）−a（t）ξ（t）+a（t）a（t）}12122112=E[ξ（t）ξ（t）]−a（t）E[ξ（t）]−a（t）E[ξ（t）]+a（t）a（t）12122112=Eξ（t）ξ（t）−a（t）a（t）1212=E[ξ（t）ξ（t）]−E[ξ（t）]E[ξ（t）]1212=R（t，t）−E[ξ（t）]E[ξ（t）]1212E[ξ（t）]、E[ξ（t）]若中有一个为零，则自相关函数和自协方差12函数相等。随机过程的统计特性都与时刻有关。如相关函数与时刻t、1t>tt=t+ττt有关，若，令，即是两个时刻间的间隔，则21212R（t，t）R（t，t+τ）相关函数可以表示为。这说明相关函数是1211tτ和的函数。1
平稳随机过程 平稳随机过程的概念平稳随机过程分为严（狭义）平稳随机过程和宽（广义）平稳随机过程两种。)严平稳随机过程的定义ξ（t）如果随机过程的任意n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即当时间平移任意常数时，其n维概率密度函ξ（t）数不变化，则称是严平稳随机过程。它满足下述关系式f（x，x，L，x；t，t，L，t）n12n12n=f（x，x，L，x；t+τ，t+τ，L，t+τ）n12n12nτ=−t对于一维概率密度函数，若令，则有1f（x，t）=f（x，0）=f（x）111111
)严平稳随机过程的特点对于严平稳随机过程，其数学期望、方差、二维概率密度函数、自相关函数变为+∞E[ξ（）]t=xf（x）dx=a1∫−∞+∞22D[ξ（]σ{t）==ξ（t）−a}f（x）dx1∫−∞f（x，x；t，t)=f（x，x；0，τ）=f（x，x，τ）21212212212+∞+∞R（t，t）=xxf（x，x，τ）dxdx=R（τ）121221112∫∫−∞−∞这说明一维概率密度函数与时间无关，二维概率密度函数和自相关函数仅与时间间隔有关，数学期望和方差都是与时间无关的常量。
)宽平稳随机过程的定义ξ（t）若随机过程的数学期望是与时间无关的常量，而自相关函数仅与时间间隔有关，即+∞E[ξ（]t）=xf（x）dx=a，R（t，t）=R（τ）1∫12−∞则称随机过程是宽平稳随机过程。)宽平稳随机过程和严平稳随机过程的关系严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程，但宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程。这是由于严平稳随机过程的定义式本身就包含了宽平稳随机过程的定义式；但是满足后者定义式的宽平稳随机过程，它的n维概率密度函数却不一定能满足严平稳随机过程的要求，因此未必是严平稳随机过程。
各态历经性 随机过程是大量样本函数的集合，要得到随机过程的统计特性，就需要事先观测大量的样本函数，然后对大量样本函数在特定时刻的取值利用统计方法求平均才能得到数学期望、方差、相关函数等数字特征的估计值。一般来说利用的样本函数越多，得到的估计值越准确，但是观测并记录大量的样本函数，在实际中很不方便。能否只利用随机过程的一个样本函数，就可以解决随机过程数字特征的估计问题？这就是随机过程的各态历经性要解决的问题。X（t）设平稳随机过程，其时间均值和时间相关函数定义为+T+T1R（τ）=limx（t+τ）x（t）dta=limx（t）dt∫∫→−TT∞T→∞−T2T
X（t）设是一个平稳随机过程a=aX（t）♣若时间均值依概率1等于集合平均，即，则称的均值具有各态历经性（也叫遍历性）。♣如果时间相关函数依概率1等于集合相关函数，即R（τ）=R（τ），则称X（t）的相关函数具有各态历经性。♣如果平稳随机过程的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称为广义各态历经过程。随机过程的各态历经性是指随机过程的数学期望（统计平均值）可以由任一实现的时间平均值来代替；自相关函数也可以由“时间平均”来代替“统计平均”。各态历经性的物理意义是指随机过程的任一样本在足够长的时间内，都先后经历了这个随机过程的各种可能的状态，即每个样本都可以作为有充分代表性的典型样本。
平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 相关函数的性质平稳随机过程的自相关函数是一个重要的参数。一是其统计特性可以通过自相关函数来描述；二是自相关函数与平稳随机过程的频谱特性有着内在的联系。平稳随机过程自相关函数具有以下性质： R（τ）=R（−τ）♣性质1：自相关函数是偶函数，即。R（τ）=E[ξ（t）ξ（t+τ）]=E[ξ（t+τ）ξ（t）]=R（−τ）【证】♣性质2：R（0）=E[ξ（）ξ（）]tt=s（s为ξ（的平均功率）t）【证】平稳随机过程的总能量往往是无穷的，但其平均功率却是有限的。
R（0）≥R（τ）R（τ）τ=0♣性质3：在时有最大值，即。【证】由于任何正函数的数学期望为非负值，故有2E{[ξ（]}t）±ξ（t+τ）≥022E[ξ（t）±2ξ（t）ξ（]t+τ）+ξ（t+τ）≥0对于平稳过程，有22E[ξ（t）]=E[ξ（+τ]t）=R（0）2R（0）±2E[ξ（t）ξ（t+τ）]≥0得R（0）≥E[ξ（t）ξ（t+τ）]=R（τ）2R（∞）=E[ξ（t）]♣性质4：。limlim2R（τ）=E[ξ（ξ+τ]=[ξ][t）（t）E（t）⋅Eξ（t+τ）]=E[ξ（t）]【证】τ→∞τ→∞ξ（t）ξ（t+τ）τ随机过程随着的增大，变量与之间的关联程τ→∞度会逐渐减小。当时，变量间呈现统计独立性
2R（0）−R（∞）=σ♣性质5：。【证】根据方差的定义式22σ=E{[ξ（[]]}t）−Eξ（t）22=Eξ（[][]}t）−2ξ（t）Eξ（t）+Eξ（t）22=E[ξ（t）]−E[ξ（t）]性质4=R（0）−R（∞）♣性质6：周期性随机过程的自相关函数同样具有周期R（τ）=R（τ+T）性，即。ξ（t）=ξ（t+T）【证】若随机过程满足条件，则称它为周期为T的周期性随机过程。因此，对于周期性随机过程有R（τ）=E[ξ（t）ξ（t+τ）]=E[ξ（t）ξ（t+τ+T）]=R（τ+T）
平稳随机过程的功率谱密度随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。对于任意的确定功率信号，其功率谱密度定义为12P（ω）=limF（ω）sT T→∞TF（ω）f（t）式中，是的截短函数f（t）所对应的频谱函数。如图TTf（t）所示。F（ω）f（t）与是傅立叶变换关系。TTt0+∞+T/2−jωt−jωtf（t）TF（ω）=f（t）edt=f（t）edtTT∫∫−∞−T/2t0T/2-T/2+∞1jωtf（t）=F（ω）edωTT∫−∞2π图 随机信号及其截短函数
f（t）ξ（t）可以把看成是平稳随机过程中的任一实现，因而ξ（t）每一实现的功率谱密度也可用上式来表示。由于是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的。因此，某一实现的功率谱密度不能作为整个过程的功率谱密度。整个过程的功率谱密度应是任一实现的功率谱的统计平均，即12⎡⎤P（ω）=E[P（ω）]=limEF（ω）ξsT⎢⎥T→∞⎣⎦Tξ（t）的平均功率表示为+∞+∞1112⎡⎤S=P（ω）dω=limEF（ω）dωξT∫∫⎢⎥⎣⎦−∞−∞T→∞2π2πT功率谱密度函数是这样一个频率函数：♣描述了在各个不同频率分量上功率的分布情况；♣在整个频率范围内，对其进行积分便得到信号总功率；♣表示随机过程的一个样本函数在单位频带内在1欧姆电阻上的平均功率值。功率谱密度也简称为功率谱。
)功率谱密度与自相关函数的关系平稳随机过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅里叶变换关系，即∞∞1−jωτjωτR（）=P（）edP（ω）τωω=R（τ）edτξξ∫∫−∞−∞2π)功率谱密度的性质♣P（ω）≥0，即非负性；ξP（ω）=P（−ω）♣，即对称性，或称偶函数；ξξξ（t）=sin（ωt+θ）【例】求随机相位正弦波的自相关函数和功0ω率谱密度。是常数，θ是在区间[0，2π]上均匀分布的随机0变量。 （ξ（t）1）求的自相关函数与功率谱密度； ξ（t）（2）讨论是否具有各态历经性。
ξ（t）【解】（1）的数学期望为a（t）=E[sin（ωt+θ）]=E[sinωtcosθ+cosωtsinθ]000=Esinωtcosθ+Ecosωtsinθ]002π2π11=sinωtcosθdθ+cosωtsinθdθ00∫∫002π2π=0自相关函数为R（t，t）=E[ξ（t）ξ（t）]=E[sin（ωt+θ）sin（ωt+θ）]12120102t=t，t=t+τ令，得12R（[]t，t+τ）=Esin（ωt+θ）sin（ωt+ωτ+θ）000=E{sin（ω]}t+θ）sin（ωt+θ）cosωτ+cos（ωt+θ）sinωτ000002=cosωτE[sin（ω][t+θ）+sinωτEsin（ωt+θ）cos（ωt+θ）0000011⎧⎫⎧⎫=cosωτE1−cos2（ωt+θ）]+sinωτE[sin2（ωt+θ）]⎨⎬⎨⎬000022⎩⎭⎩⎭2π111=cosωτ−cosωτcos2（ωt+θ）dθ000∫0222π2π111+sinωτsin2（ωt+θ）dθ=cosωτ000∫022π2
由此可见，数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔τξ（t）有关，而与时间无关，所以为宽平稳随机过程。 根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，得+∞+∞1−jωτ−jωτP（ω）=R（τ）edτ=cosωτedτξ0∫∫−∞−∞2+∞1jωτ−jωτ−jωτ00=（e+e）edτ∫−∞4+∞+∞11−j（ω−ω）τ−j（ω+ω）τ00=（edτ+（edτ∫∫−∞−∞44ππ=δ（ω−ω）+δ（ω+ω）0022
（2）计算时间平均T/21−1⎡11⎤⎛⎞⎛⎞limlima=sin（ωt+θ）dt=cosωT+θ−cos−ωT+θ=0⎜⎟⎜⎟T→∞0T→∞00⎢⎥∫−T/2TωT22⎝⎠⎝⎠⎣⎦0T/21limR（τ）=sin（ωt+θ）sin（ωt+ωτ+θ）dtT→∞000∫−T/2TT/21lim=sin（ωt+θ）[sin（ωt+θ）cosωτ+cos（ωt+θ）sinωτ]dtT→∞00000∫−T/2TT/2T/21lim2={sin（ωt+θ）cosωτdt+sin（ωt+θ）cos（ωt+θ）sinωτdt}T→∞00000∫∫−T/2−T/2TT/2T/2111⎧⎫lim=cosωτ[1−cos2（ωt+θ）]dt+sinωτsin2（ωt+θ）dt⎨⎬T→∞0000∫∫−T/2−T/2T22⎩⎭11⎡T−T⎤⎛⎞⎛⎞lim=cosωτ−sin2ω+θ−sin2ω+θ⎜⎟⎜⎟0T→∞00⎢⎥24ωT22⎝⎠⎝⎠⎣⎦0sinωτ⎡T−T⎤⎛⎞⎛⎞lim0−cos2ω+θ−cos2ω+θ⎜⎟⎜⎟T→∞00⎢⎥4ωT22⎝⎠⎝⎠⎣⎦01=cosωτ02
由上述计算可知，时间平均与统计平均相等，因此，该随机相位正弦波是各态历经的。
高斯过程 高斯过程的定义高斯过程又称为正态随机过程，是指任意n维概率密度函数由下式表示f（x，x，L，x；t，t，，t）12n12nnn⎡⎤⎛x−a⎞⎛x−a⎞1−1jjkk⎜⎟⎢⎜⎟⎥=expB∑∑⎜⎟jkn/2⎜⎟σσ2B⎢⎥（2π）σσLσBjk⎝⎠12nj=1k=1⎝⎠⎣⎦22[（）]σ=E{[ξ（t）−a]}a=EξtB式中，；kkk；为归一化协方差矩阵行kkBb列式；为行列式B中元素的代数jkjk1bLb121nb余因子；为归一化协方差函数。jkb1Lb212nB=E{[ξ（）−][ξ（）−]}tataMMMMjjkkb=jkσσbbL1jkn1n2
重要性质 ♣由上式可以看出，高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程只要研究它的数字特征就可以了。♣若高斯过程是宽平稳的，则其均值与时间无关，协方差只与时间间隔有关，而与时间起点无关。得其n维分布也与时间起点无关。所以，宽平稳高斯过程也是严平稳高斯过程。♣如果高斯过程在不同时刻的取值是互不相关的（即统计j≠k独立），即对所有，有b=0，则定义式变为jkn⎡2⎤（x−a）1jj⎢⎥f（x，x，L，x；t，t，，t）=exp−12n12n∑n2⎢⎥n2σjj=1⎣⎦(2π)σ2j∏j=1n2⎡⎤（x−a）1jj⎢⎥=exp−=f（x，t）⋅f（x，t）Lf（x，t）1122nn∏2⎢⎥2πσ2σjjj=1⎣⎦
一维高斯分布1．概率密度函数形式一维高斯分布（亦称为正态分布、常态分布）的概率密度函数形式为2⎡⎤1（x−a）f（x）=exp−⎢⎥2f（x）2σ2πσ⎢⎥⎣⎦12σπ2式中，a、σ分别为均值和方差。高斯分布的特性曲线如图所示。♣均值固定，方差改变，则曲线位置不变，形状改变（陡峭或平缓）。0ax♣方差固定，均值改变，则曲线形图 正态分布的密度函数状不变，位置改变（左右平移）。
2．正态分布的特点 a+∞1f（x）dx=f（x）dx=♣对称性：曲线关于x=a左右对称，。∫∫−∞a2（a，+∞）（−∞，a）♣单调性：曲线在单调上升，在单调下降。x=a♣单峰性：曲线在处取得唯一的极值。+∞f（x）dx=1♣有界性：∫−∞2⎡⎤−1x−a（x−a）′f（x）=exp−=0，x=a♣极值点：⎢⎥222σ2πσσ⎢⎥⎣⎦♣拐点：x=a−σ，x=a+σ222⎡⎤⎡⎤−11（x−a）1⎛x−a⎞（x−a）′′f（x）=exp−+⎜⎟exp−⎢⎥⎢⎥⎜⎟22222πσσ2σ⎢⎥2πσσ2σ⎝⎠⎢⎥⎣⎦⎣⎦222⎡⎤1（x−a）−σ（x−a）=exp−=0⎢⎥422πσσ2σ⎢⎥⎣⎦x→−∞x→+∞f（x）→0♣渐近线：横轴。当或，有。
2⎡⎤1xa=、σ=♣标准正态分布：f（x），即01=exp−。⎢⎥22π⎣⎦♣正态分布函数：22xx⎡⎤⎡⎤1（z−a）1（z−a）x−a⎛⎞F（x）=exp−dz=exp−dz=ϕ⎜⎟⎢⎥⎢⎥22∫∫−∞−∞2σ2σσ2πσ2πσ⎝⎠⎣⎦⎣⎦2x⎡⎤1zϕ（x）=exp−dz式中，称为概率积分函数，简称概率积分。⎢⎥∫−∞22π⎣⎦x22−zerf（x）=edz♣误差函数：∫0πerf（−x）=−erf（x）
误差函数是奇函数，即。efr（−∞）=0efr（+∞）=1
，。+∞22−zerfc（x）=1−erf（x）=edz
补误差函数：。∫xπ2z⎛⎞−⎜⎟+∞12⎝⎠
Q函数：。()Qx=edz∫x2π
♣正态分布函数的计算22ax⎡⎤⎡⎤1（z−a）1（z−a）F（x）=exp−dz+exp−dz⎢⎥⎢⎥∫2∫2−∞a2σ2σ2πσ⎢⎥2πσ⎢⎥⎣⎦⎣⎦2x⎡⎤11（z−a）=+exp−dz⎢⎥∫2a22σ2πσ⎢⎥⎣⎦x−a2⎛⎞z−a1111x−a−t2σ⎜⎟t=+edt=+erf⎜⎟∫02222σπ2σ⎝⎠erf（−x）=−erf（x）由于为奇函数，得⎧⎛⎞11x−a⎜⎟+erfx≥a⎪⎜⎟22⎪2σ⎝⎠F（x）=⎨⎛⎞11a−x⎪⎜⎟−erfcx≤a⎜⎟⎪222σ⎝⎠⎩
♣正态分布函数的计算22ax⎡⎤⎡⎤1（z−a）1（z−a）x≥aF（x）=exp−dz+exp−dz当时，⎢⎥⎢⎥∫2∫2−∞a2πσ2σ⎢⎥2πσ2σ⎢⎥⎣⎦⎣⎦2x⎡⎤11（z−a）=+exp−dz⎢⎥∫2a2πσ2σ2⎢⎥⎣⎦x−a2⎛⎞z−a1111x−a−t2σ⎜⎟t=+edt=+erf⎜⎟∫02222σπ2σ⎝⎠22+∞+∞⎡⎤⎡⎤1（z−a）1（z−a）当x≤a时，F（x）=exp−dz−exp−dz⎢⎥⎢⎥22∫∫−∞x2σ2σ2πσ2πσ⎣⎦⎣⎦2+∞⎡⎤1（z−a）=1−exp−dz⎢⎥2∫x2σ2πσ⎣⎦+∞2z−a11⎛x−a⎞−tt=1−edt=1−erfc⎜⎟x−a∫22σπ2σ⎝⎠2σ⎧⎛⎞11x−a⎜⎟+erfx≥a⎪⎜⎟22⎪2σ⎝⎠F（x）=即：⎨⎛⎞1x−a⎪⎜⎟1−erfcx≤a⎜⎟⎪22σ⎝⎠⎩
♣概率积分函数与误差函数的关系由正态分布函数可知当x≥a时，⎛⎞x−ax−a⎛⎞⎜⎟erf=2ϕ−1erf（x）=2ϕ（2x）−1⎜⎟⎜⎟σ2σ⎝⎠⎝⎠当x≤a时，⎛⎞x−ax−a⎛⎞⎜⎟erfc=2−2ϕ⎜⎟erfc（x）=2−2ϕ（2x）⎜⎟σ2σ⎝⎠⎝⎠♣中心极限定理：如果一个随机变量是由大量相互独立的微小随机变量共同作用的结果，且每个随机变量对总随机变量的影响足够小，则不论每个微小随机变量服从何种分布，总的随机变量服从高斯（正态）分布。此定理在无线电技术领域有着重要的意义。
窄带随机过程 几个概念±fΔf♣窄带信号：是指频谱只限于以为中心，而带宽为cΔf<<f（）的信号，更确切地应称为高频窄带信号。c♣窄带系统：是指通带宽度比中心频率小得很多的通信系统。如电视1频道中心频率为，而带宽只有8MHz。♣窄带随机过程：通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，若此时信号或噪声又是随机的，则称为窄带随机过程。图（a）给出了一个窄带波形的频谱，若用示波器观察这个过程的一个实现波形，则如图（b）所示，它是一个载波频率为f，包络和相位随机缓慢变化的正弦波。c
S（ω）ΔΔff0-fffcc（a）S（t）缓慢变化的包络0t频率近似为fc（b）图 窄带过程的频谱和波形示意图
窄带随机过程的表达式窄带随机过程可以用两种方式表示：♣一般表示形式ξ（t）=a（t）cos[ωt+ϕ（]t）a（t）≥0ξcξξa（t）、ϕ（t）式中，分别为窄带随机过程的包络函数和随机相位函ξξ数。♣同相、正交分量表示形式ξ（t）=ξ（t）cosωt−ξ（t）sinωtccscξ（t）、ξ（t）式中，分别为的同相分量和正交分量。其表达式csξ（t）分别为ξ（t）=a（t）cosϕ（t）ξ（t）=a（t）sinϕ（t）cξξsξξ
1．同相和正交分量的统计特性 ξ（t）设窄带过程是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差2为σ。ξξ（t）ξ（t）下面证明其同相分量和正交分量也是零均值的平csξ（t）稳高斯过程，而且与具有相同的方差。)数学期望 E[ξ（）]=[ξ（）]cos−[（）]tEtωtEξtsinωtccsc由于ξ（t）是平稳的，且已假设E[ξ（]t）=0。得E[ξ（]t）=0E[ξ（t）]=0cs得出同相分量和正交分量的数学期望均为零。
)自相关函数R（t，t+τ）=E[ξ（t）ξ（t+τ）]ξ=E{ξ（t）cosωt−ξ（t）sinω[t⋅ξ（t+τ）cosω（t+τ）−ξ（t+τ）sinω（t+τ）]}ccscccsc=Eξ（t）cosωt⋅ξ（t+τ）cosω（t+τ）−ξ（t）cosωt⋅ξ（t+τ）sinω（t+τ）ccccccsc+Eξ（t）sinωt⋅ξ（t+τ）sinω（t+τ）−ξ（t）sinωt⋅ξ（t+τ）cosω（t+τ）scscsccc=R（t，t+τ）cosωtcosω（t+τ）−R（t，t+τ）cosωtsinω（t+τ）ξccξξccccs+R（t，t+τ）sinωtsinω（t+τ）−R（t，t+τ）sinωtcosω（t+τ）ξccξξccsscR（t，t+τ）=E[ξ（t）ξ（t+τ）]式中，，R（t，t+τ）=E[ξ（t）ξ（t+τ）]，ξccξξcsccsR（t，t+τ）=E[ξ（t）ξ（t+τ）]，R（t，t+τ）=E[ξ（t）ξ（t+τ）]。ξξξssscsscξ（t）由于是平稳的，故有R（t，t+τ）=R（τ）。这就要求上式右ξξ端与时间无关，仅与有关。τtt=0若令：，得R（τ）=[R（t，t+τ）]cosωτ−[R（t，t+τ）]sinωτξξt=0cξξt=0cccs
得到下式R（，R（t，t+τ）=R（τ）tt+τ）=R（τ），ξξξξssccR（τ）=R（τ）cosωτ−R（τ）sinωτξξcξξcccsπt=若令，则同理求得2ωcR（τ）=R（τ）cosωτ+R（τ）sinωτξξcξξcsscξ（t）、ξ（t）这就证明了也是宽平稳的。csR(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]ξξcscs=E[ξ(t+τ)ξ(t)]=R(−τ)由上两式可以看出scξξscR（）（）R（τ）=−R（ττ=R）τξξξξξξ，cssccsR（τ）=R（−τ）根据互相关函数的性质，有ξξξξcsscR（τ）=−R（−τ）ξξξξ但csscR（τ）τR（0）=0即ξξ是的一个奇函数，故ξξscscR（0）=0同理得到ξξcs
将上述结果代入自相关函数计算公式得R（0）=R（0）=R（0）ξξξcs22R(0)=E[ξ(t)ξ(t)]=E[ξ(t)−E[ξ(t)]]=σςξ222σ=σ=σξξξ即cs根据窄带过程的表达式，得ξ（t）=ξ（t）cosωt−ξ（t）sinωtccscξ（t）=ξ（t）t=0当时，1c11πt=ξ（t）=−ξ（t）当时，22s22ωcξ（t）ξ（t）、ξ（t）由于是高斯过程，故也是高斯随机变量，c1s2ξ（t）、ξ（t）从而得cs也是高斯过程。由以上分析可知，一个均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相和正交分量同样是平稳高斯过程，且均值均为零、方差都相等。同时，同相和正交分量在同一时刻的取值是统计独立的（为什么？）。
2．包络和相位的统计特性 ξ（t）、ξ（t）由上述分析可知，的概率密度函数和联合概率密cs度函数分别为22⎡⎤⎡⎤1ξ1ξscf（ξ）=⎢exp−⎥f（ξ）=⎢exp−⎥sc22，πσ2σ2⎢⎥πσ2σ2⎢⎥ξξξξ⎣⎦⎣⎦22⎡⎤1ξ+ξcs⎢⎥f（ξ，ξ）=exp−cs222πσ2σ⎢⎥ξξ⎣⎦由于（）a（t）（t）ξ（t）=a（t）sinϕ（t）ξt=cosϕ，。根据雅可比公式sξξcξξf（a，ϕ）=Jf（ξ，ξ）ξξcs式中，J为雅可比（Jacobi）行列式。∂ξ∂ξcscosϕ（t）sinϕ（t）∂a∂aξξξξJ===aξ∂ξ∂ξ−asinϕ（t）acosϕ（t）csξξξξ∂ϕ∂ϕξξ
得到222⎡⎤⎡⎤a（acosϕ）+（asinϕ）aaξξξξξξξ⎥f（a，ϕ）=exp⎢−⎥=exp⎢−ξξ22222πσ2σ2πσ2σ⎢⎥⎢⎥ξξξξ⎣⎦⎣⎦22⎡⎤⎡⎤+∞2πaaaaξξξξf（a）=f（a，ϕ）dϕ=exp⎢−⎥dϕ=exp⎢−⎥ξξξξξ2222∫∫−∞02πσ2σσ2σ⎢⎥⎢⎥ξξξξ⎣⎦⎣⎦2⎡⎤+∞+∞aa1ξξ⎢⎥f（ϕ）=f（a，ϕ）da=exp−daξξξξξ∫∫22−∞02πσ⎢⎥2σξξ⎣⎦+∞222⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞+∞aaa111ξξξ⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥=exp−d=−exp−=∫222⎜⎟⎜⎟02π2π⎢⎥2π⎢⎥2σ2σ2σξξξ⎣⎦⎝⎠⎝⎠⎣⎦0由于上面第一式等于第二、第三式相乘，说明包络与相位是统计独立的。2由此可见，对于均值为零、方差为σ的平稳高斯窄带过ξ程，其包络的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是均匀分布，且二者相互独立。
高斯白噪声 ♣理想白噪声理想白噪声的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，是一个理想的宽带随机过程。理想白噪声的功率谱密度和自相关函数为nn00P（ω）=R（τ）=δ（τ）ξ22n式中，为常数，单位是瓦/赫（W/Hz）。由自相关函数看到，0τ=0τ=0仅在时才不为零，其他均为零。说明只有在时才相关，而在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。P（ω）R（τ）ξn/2n00δ（τ）2τ0ω0图 理想白噪声的功率谱密度和自相关函数
♣带限白噪声（−f，f）如果噪声被限制在00之内，且在该频率区间范围内P（ω）=n/2P（ω）=0有ξ0，在该区间外ξ，则称为带限白噪声。其自相关函数为ω01nnωsinωτsinωτ0jωτ0000R（τ）=edω==fn00∫−ω2π22πωτωτ000τ=kπ/ω由此可见，带限白噪声只有在上得到的随机变量才0互不相关。图给出了其自相关函数和功率谱密度。P（ω）R（τ）ξn/20−π/ωπ/ω00ωτ−ω0ω000图 带限白噪声的功率谱密度和自相关函数
♣高斯白噪声U高斯噪声：是指概率密度函数符合正态分布的噪声。2n（t）σ在一般情况下，噪声均值为零，方差为，则其一n维概率密度函数为2x−212σnf（x）=e2πσn对于N个相互独立的噪声，其联合概率密度为各个概率密度之积，即N2xNi−∑⎛⎞212σni=1⎜⎟f（x，x，L，x）=e12N⎜⎟2πσn⎝⎠U高斯白噪声：如果统计特性符合正态分布的条件，功率谱密度又符合白噪声的条件，则这样的噪声就称为高斯白噪声。或者说，高斯白噪声既是白噪声，又服从高斯分布。
正弦波加窄带高斯噪声 研究意义当高斯噪声通过窄带系统后所形成的噪声，一般称为窄带高斯噪声。信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出实际就是信号与窄带噪声的混合波形。目前，通信系统中最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波。为了分析其输出性能，就有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。
正弦波加窄带高斯噪声的数学分析设混合信号形式为r（t）=Acos（ωt+θ）+n（t）c=[]Acos（ωt+θ）+x（t）cosωt−y（t）sinωtccc=[cosωcosθ−sinωsinθ]+[（）cosω−（）sinω]AtAtxttyttcccc=cosθ+（）]cosω−[sinθ+（）]AxttAytsinωtccn（t）=x（t）cosωt−y（t）sinωt式中，为窄带高斯过程，其均值为零，cc2[方差为；正弦波的在0，2π]A、ωσθ为均匀分布，为确知。cz（t）=cosθ（）cosϕz（t）=A+yt=ztA+x（t）=ztsinθ（）（）sinϕ若令，scr（t）=z（t）cosωt−z（t）sinωtccsc则r（t）=z（t）cosϕcosωt−z（t）sinϕsinωt=z（t）cos（ωt+ϕ）ccc或z（t）22sz（t）=z（t）+z（t）z≥0式中，，ϕ=arctan0≤ϕ≤2π。csz（t）c
1．同相和正交分量统计特性分析z、z根据上一节的结论，若θ给定，则是相互独立的高cs斯随机变量，有E[z]=E[Acosθ+x（）]t=AcosθE[z]=E[Asinθ+y（]t）=Asinθcs2D[z]=D[z]=σcsz、z所以，的概率密度函数和联合概率密度函数为cs2⎡⎤1（z−Acosθ）cf（zθ）=exp−⎢⎥c222πσσ⎢⎥⎣⎦2⎡⎤1（z−Asinθ）sf（zθ）=exp−⎢⎥s2πσ2σ2⎢⎥⎣⎦22⎡⎤1（z−Acosθ）+（z−Asinθ）csf（z，zθ）=exp−⎢⎥cs222πσ2σ⎢⎥⎣⎦
2．包络和相位的统计特性 ♣包络概率密度函数的推导根据雅可比公式f（z，ϕθ）=Jf（z，zθ）cs式中，J为雅可比（Jacobi）行列式。∂z∂zcscosϕsinϕ∂z∂zJ===z∂z∂zs−zsinϕzcosϕc∂ϕ∂ϕ22⎡⎤z（z−Acosθ）+（z−Asinθ）csf（z，ϕθ）=Jf（z，zθ）=exp−⎢⎥得cs222πσ2σ⎢⎥⎣⎦2222⎡⎤zz−2zAcosθ+（Acosθ）+z−2zAsinθ+（Asinθ）ccss=exp−⎢⎥222πσ2σ⎢⎥⎣⎦22⎡⎤zz−2zAcosϕcosθ−2zAsinϕsinθ+A=exp−⎢⎥222πσ2σ⎢⎥⎣⎦22⎡⎤zz−2zAcos（ϕ−θ）+A=exp−⎢⎥222πσ2σ⎢⎥⎣⎦
包络的概率密度为222π2π⎡⎤zz+A⎡zAcos（ϕ−θ）⎤f（zθ）=f（z，ϕθ）dϕ=exp−expdϕ⎢⎥⎢⎥222∫∫002πσ2σσ⎢⎥⎣⎦⎣⎦2π1exp[xcosθ]dθ=I(x)0x≥0由于为零阶修正贝塞尔函数，且∫02πI（x）I（0）=1时，为单调增函数，。得0022⎡⎤zz+AAz⎛⎞f（zθ）=exp−I⎜⎟⎢⎥0222σ2σσ⎝⎠⎢⎥⎣⎦f（zθ）θ因为与无关，故包络的概率密度函数为22⎡⎤zz+AAz⎛⎞f（z）=exp−Iz≥0⎜⎟⎢⎥0222σ2σσ⎝⎠⎢⎥⎣⎦此概率密度函数称为广义瑞利分布，或莱斯（Rice）分布。22f（z）A/2σ图给出了在不同时，的曲线。
♣包络概率密度函数的特点22A/2σ
当信号很小，A→0，即信号功率与噪声功率之比n22I（A/2σ）→1很小，有，这时合成波中只存在窄带高斯噪声，0n莱斯分布退化为瑞利分布。x22I（x）≈e/2πx
当信噪比很大时，有，这时接近于A/2σ0n高斯分布，即2⎛⎞1(z−A)⎜⎟f（z）=exp−2⎜⎟2σ2πσ⎝⎠
只有当信噪比不大不小时，概率密度函数才属于莱斯分布。由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，接近于瑞利分布；大信噪比时，接近于高斯分布；在一般情况下为莱斯分布。
♣相位概率密度函数的推导22+∞+∞⎡⎤1z−2zAcos（ϕ−θ）+Af（ϕθ）=f（z，ϕθ）dz=zexp−dz⎢⎥22∫∫002πσ2σ⎢⎥⎣⎦22222+∞⎡⎤1z−2zAcos（ϕ−θ）+Asin（ϕ−θ）+Acos（ϕ−θ）=zexp−dz⎢⎥22∫02πσ2σ⎢⎥⎣⎦222+∞⎡⎤⎡⎤1Asin（ϕ−θ）(z−Acos（ϕ−θ）)=exp−zexp−dz⎢⎥⎢⎥222∫02πσ2σ2σ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦z−cos（ϕθ）1A−t=dt=dz令,,则2σ2σ22+∞⎡⎤21Asin（ϕ−θ）−tf（ϕθ）=exp−[2σt+Acos（ϕ−θ）]edt⎢⎥Acos（ϕ−θ）2∫−πσ2σ2⎢⎥⎣⎦2σ22+∞⎡⎤21Asin（ϕ−θ）−t=exp−tedt⎢⎥Acos（ϕ−θ）2∫−π2σ⎢⎥⎣⎦2σ22+∞⎡⎤2Acos（ϕ−θ）Asin（ϕ−θ）−t+exp−edt⎢⎥Acos（ϕ−θ）2∫−2σ2πσ⎢⎥⎣⎦2σ
上式中第二个积分为22+∞⎡⎤2Acos（ϕ−θ）Asin（ϕ−θ）−texp−edt⎢⎥Acos（ϕ−θ）2∫−2σ2πσ⎢⎥⎣⎦2σ22⎧⎫0+∞⎡⎤22Acos（ϕ−θ）Asin（ϕ−θ）⎪⎪−t−t=exp−edt+edt⎢⎥⎨⎬Acos（ϕ−θ）2∫∫−02σ2πσ⎢⎥⎪⎪⎣⎦2σ⎩⎭Acos（ϕ−θ）22⎧⎫−+∞⎡⎤22Acos（ϕ−θ）Asin（ϕ−θ）22⎪⎪−t−t2σ=exp−−edt+edt⎢⎥⎨⎬2∫∫00πσ2σ22ππ⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭22⎡⎤⎧⎫⎛⎞Acos（ϕ−θ）Asin（ϕ−θ）Acos（ϕ−θ）⎪⎪⎜⎟=exp−−erf−+1⎢⎥⎨⎬⎜⎟22σ⎪⎪22πσ2σ⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎩⎭22⎡⎤⎧⎫⎛⎞Acos（ϕ−θ）Asin（ϕ−θ）Acos（ϕ−θ）⎪⎪⎜⎟=exp−1+erf⎢⎥⎨⎬⎜⎟2⎪⎪222πσσ2σ⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎩⎭xx022−t在此积分中，利用了公式和。edt=erf（x）f（t）dt=−f（t）dt∫∫∫00xπ
上式中第一个积分为22+∞⎡⎤21Asin（ϕ−θ）−texp−tedt⎢⎥Acos（ϕ−θ）2∫−π2σ⎢⎥⎣⎦2σ22+∞⎡⎤21Asin（ϕ−θ）1−t=exp−[e]⋅−⎢⎥Acos（ϕ−θ）2π2−2σ⎢⎥⎣⎦2σ2222⎡⎤⎡⎤1Asin（ϕ−θ）Acos（ϕ−θ）=exp−exp−⎢⎥⎢⎥222π2σ2σ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2⎡⎤1A=exp−⎢⎥22π2σ⎢⎥⎣⎦得到2⎡⎤1Af（ϕθ）=exp−⎢⎥22π2σ⎢⎥⎣⎦22⎡⎤⎧⎫⎛⎞Acos（ϕ−θ）Asin（ϕ−θ）Acos（ϕ−θ）⎪⎪⎜⎟+exp−1+erf⎢⎥⎨⎬⎜⎟2⎪⎪22πσ2σ2σ⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎩⎭
得到相位的概率密度函数为2π2πf（ϕ）=f（ϕ，θ）dθ=f（ϕθ）⋅f（θ）dθ∫∫00这个积分比较复杂，一般不再推导。图给出了相位变化的大致规律。f（z）22f（ϕθ）A/2σ=012461/2ππ−π00ϕ/θz/σ图 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布
随机过程通过线性系统 研究意义通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起。通信系统中的信号和噪声一般都是随机的，这样就会遇到一个问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？ 现考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况，其分析是建立在确知信号通过线性系统分析原理的基础上。系统：是指进行信号变换的过程。线性时不变系统：简称线性系统，是指系统响应等于输入信号与冲激响应的卷积。具有两个重要性质：♣可加性：若v（t）→，则v（t）+→+。v（t）v（t）v（t）v（t）i0i1i20102♣比例性：若v（t）→v（t），则av（t）→av（t）。i0i0
v（t）v（t）设系统输入为，冲激响应为h（t），则系统输出为i0+∞v（t）=v（t）∗h（t）=v（τ）h（t−τ）dτ0ii∫−∞如果v（t）⇔V（ω），v（t）⇔V（ω），h（t）⇔H（ω），则有ii00V（ω）=H（ω）V（ω）0i若线性系统是物理可实现的，则t′t−τ=τv（t）=v（τ）h（t−τ）dτ0i∫−∞+∞v（t）=h（τ）v（t−τ）dτ0i或∫0v（t）0如果把v（t）看作是输入随机过程的一个样本，则可看i作是输出随机过程的一个样本。这样，输入过程ξ（t）的每个样iξ（t）本与输出过程的相应样本之间都满足上式的关系。即0+∞ξ（t）=h（τ）ξ（t−τ）dτ0i∫0ξ（t）ξ（t）若是平稳随机过程，现分析的统计特性。i0
ξ（t） 的数学期望+∞+∞⎡⎤E[ξ（]t）=Eh（τ）ξ（t−τ）dτ=h（τ）E[ξ（）]t−τdτ0ii⎢⎥∫∫00⎣⎦E[ξ（−τ）]=[ξ（）]tEt=μ根据平稳性假设为常数，上式变为iii+∞E[ξ（）]t=μh（τ）dτ0i∫0由于+∞−jωtH（ω）=h（t）edt∫0+∞H（0）=h（t）dt得∫0所以E[ξ（]t）=μH（0）0i由此可见，输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望H（0）与相乘，且与时间无关。
ξ（t） 的自相关函数根据自相关函数的定义，有R（，+）=[（）（+）]ttτEξtξtτ0110101+∞+∞⎡⎤=Eh（α）ξ（t−α）dαh（β）ξ（t+τ−β）dβi1i1⎢⎥∫∫00⎣⎦+∞+∞=（）（）[hαhβEξ（t−α）ξ（t+τ−β）]dαdβi1i1∫∫00再根据平稳性E[ξ（]t−α）ξ（t+τ−β）=R（τ+α−β）i1i1i得到+∞+∞R（t，t+τ）=h（α）h（β）R（τ+α−β）dαdβ=R（τ）011i0∫∫00由此可见，自相关函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关。由和可以证明，输出过程是宽平稳的。
ξ（t） 的功率谱密度根据自相关函数与功率谱密度为傅立叶变换对，得+∞−jωτP（ω）=R（τ）edξ0∫0−∞+∞+∞+∞−jωτh（α）h（βR）（τ+αβe）ddβdατi∫∫∫−∞00′τ=τ+α−β令，得+∞+∞+∞−jω（τ+α−β）jωα−jωβP（ω）=h（α）h（β）R（τ+α−β）eeedβdαdτξi0∫∫∫−∞00+∞+∞+∞′jωα−jωβ−jωτ′′=h（α）edαh（β）edβR（τ）edτi∫∫∫00−∞∗=H（ω）H（ω）P（ω）ξi2=H（ω）P（ω）ξiP（ω）由此可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度ξi2H（ω）与的乘积。
【例】试求功率谱密度为n/2的白噪声通过理想矩形低通滤波0器（传输函数见下式）后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。jωtd⎧Keω≤ω⎪0HH（ω）=⎨⎪0ω<−ω，ω>ω⎩HHn0P（ω）=ξ【解】由于输入功率谱密度为i2n220P（ω）=H（ω）P（ω）=K则ξξ00i2自相关函数为+∞1jωτR（τ）=P（ω）edω0ξ0∫−∞2π2+ωKnHsinωτ00jωτ2H=edω=Knf00H∫−ω4πωτHH输出噪声功率为2N=R（0）=Knf000H
ξ（t） 0 的分布如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。或者说，高斯过程经过线性变换后的过程仍为高斯型。
第3章信道信道定义信道数学模型恒参信道举例 恒参信道特性及其对信号传输的影响 随参信道举例随参信道特性及其对信号传输的影响随参信道特性的改善——分集接收 信道的加性噪声 信道容量的概念
本章知识点结构信道狭义信道广义信道调制信道编码信道有线信道无线信道明线电缆光纤无线视距电离层卫星中继恒参信道随参信道无记忆有记忆幅频特性相频特性无失真条件信道容量多径效应快衰落慢衰落
本章教学要求n了解信道的数学模型，信道的分类；o理解恒参信道的特性、随参信道传输媒质的特点及对传输信号的影响；p掌握香农公式的运用，并理解其意义。
信道定义 信道的定义 信道（channel）是指以传输媒质为基础的信号通道，即信道是信号的传输媒质。♣狭义（narrow sense）信道：如果信道仅是指信号的传输媒质，则称为狭义信道。♣广义（broad sense）信道：如果信道不仅是传输媒质，而且包括通信系统中的一些转换装置，则称为广义信道。 在讨论通信的一般原理时，采用广义信道；在研究信道的一般特性时，考虑狭义信道。一般将广义信道简称为信道。
信道的分类 狭义信道线的分类♣无线信道：利用收发天线和自由空间作为传输媒介。包括地波传播、短波电离层反射、超短波或微波视距中继、人造卫星中继、散射及移动无线电信道等。♣有线信道：利用各种传输线路作为传输媒介。包括明线、对称电缆、同轴电缆和光缆等。 广义信道的分类♣调制信道（modulate channel）：调制器输出端到解调器输入端所有变换装置及传输媒介组成的信道。如图所示。♣编码信道（coding channel）：编码器输出端到译码器输入端所有变换装置及传输媒介组成的信道。如图所示。
调发转换器传输媒介收转换器解译码器编码器制调器器输出输出调制信道编码信道图 调制信道和编码信道 按照信道参数的变化与否分类♣恒参信道：是指对信号传输的影响是确定的或变化极其缓慢的信道。如架空明线、电缆、超短波及微波视距传播等。♣随参信道：是指对信号传输的影响是变化的信道。如短波电离层反射、超短波散射等。
信道数学模型 调制信道模型 调制信道的特点：♣有一对（或多对）输入端和一对（或多对）输出端。可以是单向传输，也可以是双向传输。♣绝大多数信道是线性的，满足线性迭加原理。实际中，任何信道都有其动态范围，超过此范围产生非线性失真。 ♣信号通过信道具有一定的延迟时间，而且还会受到（固定的或时变的）损耗。♣即使没有信号输入，在信道的输出端仍有一定的功率输出（噪声）。
调制信道的数学模型调制信道属于模拟信道，是组成模拟系统的基础，其模型是一个二对端（或多对端）的时变线性网络。如图所示。时变线性网络e（t）e（t）i101e（t）e（t）02i2时变线┇┇e（t）e（t）i0性网络e（t）e（t）0mim（a）（b）图 调制信道模型对于二对端信道模型，其输入输出关系为e（t）=[fe（t）]+n（t）0i[（）]n（t）fet式中,, 表示已调信号通过网络所发生的线性变换；为i加性噪声，与已调信号无关，即相互独立。
[fe（t）]=k（t）e（t）若，则iie（t）=k（t）e（t）+n（t）0ie（t）式中，k（t）依赖于网络的特性，是对的一种干扰，通常称i为乘性干扰。k（t）信道对信号的影响归为两点：一是乘性干扰，二是加n（t）性干扰。k（t）有些信道的不随时间变化，而有些信道则不然，前者一般称为恒参信道，后者称为随参信道。【附】加性干扰：信号在传输时所迭加的噪声，不管信号有无，噪声始终存在。乘性噪声：由于信道传输特性不理想而产生的噪声，包括各种线性畸变和非线性畸变等。噪声随信号的消失而消失。
编码信道模型 编码信道的特点：编码信道包括调制信道、调制器和解调器，是一种数字信道或离散信道，是组成数字通信系统的基础。编码信道输入的是离散时间信号，输出也是离散时间信号，其影响是将输入数字序列变成另一种输出数字序列。由于信道噪声或其他因素的影响，将导致输出数字序列发生错误，输入、输出数字序列之间的关系可以用一组转移概率来表征。由于编码信道包括调制信道，调制信道越差，即特性越不理想和加性噪声越严重，则发生的错误概率越大。因此，编码信道特性依赖于调制信道。
编码信道的数学模型最简单的编码信道模型如图所示。最简单是指每个码元发生差错是相互独立的，即信道是无记忆的。P（0/0）信道转移概率四个：00P（0/1）P（0/0）P（1/1）P（1/0）P（0/1）P（1/0）11P（1/1）其中，前两个称为正确转移概率，后图 二进制编码信道模型两个称为错误转移概率。且有P（0/0）=1-P（1/0）P（1/1）=1-P（0/1）转移概率由编码信道的特性决定。一个特定的编码信道，有确定的转移概率，但需要对实际编码信道进行大量统计分析才能获得。
由二进制无记忆编码信道模型，可以推广到多进制无记忆编码信道模型。图给出了无记忆四进制编码信道模型。P（0/0）00 正确转移概率为：P（0/3）P（0/0）P（1/1）P（1/0）P（2/2）P（3/3）11错误转移概率为：P（1/3）P（2/0）P（1/0）P（2/0）P（3/0）22P（0/1） P（2/1）P（3/1）P（2/3）P（0/2）P（1/2）P（3/2）P（3/0）33P（0/3）P（1/3）P（2/3）P（3/3）对于有记忆编码信道，其模型图 二进制编码信道模型和转移概率均很复杂。
恒参信道举例 三种有线电信道 明线（open wire） 明线是指平行而相互绝缘的架空裸线线路。特点是传输损耗低，但易受气候和天气的影响，对外界噪声干扰比较敏感。目前，已逐渐被电缆所代替。 对称电缆（symmetrical cable）对称电缆是在同一保护套内有许多对相互绝缘的双导线的传输媒质。通常有非屏蔽和屏蔽型两种，导线材料是铝或铜，直径为~ mm。为减小各线对之间的相互干扰，每一对线都拧成扭绞状，如图（a）。其特点是传输损耗较大，但传输特性稳定，价格便宜、安装容易。主要用于市话中继线路和用户线路，以及局域网中。
同轴电缆（coaxial-cable） 同轴电缆与对称电缆结构不同，单根同轴电缆的结构如图（b）所示。由同轴的两个导体构成，外导体是一个圆柱形金属空管或金属编织物，内导体是金属导线，中间填充着绝缘介质，可以是空气或塑料等。实际应用中同轴电缆的外导体是接地的，对外界干扰具有较好的屏蔽作用，所以抗电磁干扰性能较好。在有线电视网络中大量采用这种结构的同轴电缆。为了增大容量，也可以将几根同轴电缆封装在一个大的保护套内，构成多芯同轴电缆。另外，还可以装入一些二芯扭绞线对或四芯线组，作为传输控制信号用。如图所示。
四芯线组双绞线55对塑料外皮同轴电缆图（a）对称电缆结构图绝缘体支撑物内层导体塑料外皮外层导体图（b）同轴电缆结构图图 多组同轴电缆结构图
光纤信道 光纤信道是指以光导纤维（简称光纤）为传输媒介、以光波为载波的传输信道。其特点是损耗低、频带宽、线径细、重量轻、弯曲半径小、不怕腐蚀、节省有色金属和不受电磁干扰等特点。光纤通信系统的组成如图所示。图 光纤通信系统组成示意图
无线电视距中继无线电视距中继是指工作频率在超短波和微波波段时，电磁波基本上沿视线（即直线）传播，通信距离依靠中继方式延伸的无线电线路。其特点是传输容量大、发射功率小、通信稳定可靠以及与同轴电缆相比节约了有色金属，广泛用于电话和电视传输中。中继距离一般为40（或30）~50km。当进行长距离通信时，需要建立多个中继站。【附】超短波：即甚高频，频率范围为30~300MHz，波长为1~10m。微波（microwave）：波长小于1m，即频率大于300MHz无线电波的泛称。包括分米波、厘米波、毫米波和亚毫米波等。视距：眼睛能够看到的距离。
卫星中继信道卫星中继信道是利用人造地球卫星作为中继站所构卫星卫星成的通信信道。其特点是传输距离远、覆盖范围大、传播稳定可靠、传输容量大等。目前，广泛用来传输多路电地球站地球站话、电报、数据和电视等。卫星中继信道是以卫星地球站转发器作为中继站与接收、地球站地球站发送地球站构成。如图所示。图 卫星中继信道组成
若以静止卫星作为中继站，采用三个相差120°的卫星就可以覆盖地球的绝大部分地域（两极盲区除外），如图 所示。但若采用中、低轨道移动卫星，则需要多颗卫星才能覆盖地球。所需卫星的个数与卫星轨道高度有关，轨道越低所需卫星数量越多。目前卫星中继信道主要工作频段有L频段（ GHz）、C频段（4/6GHz）、Ku频段图 三星覆盖技术（12/14GHz）、Ka频段（20/30GHz）等。
【附】同步卫星：位于赤道上空35786公里，与地球同步旋转，它围绕地球公转的角速度与地球自转的角速度相同，且旋转方向也一致，对地球上某一固定点来说卫星是相对静止的，故又称为静止卫星。同步卫星的周期为23小时56分，地球的自转周期为23小时56分4秒。由地球站至卫星信号往返一次需要左右，传输话音信号时会感觉明显的延迟效应移动卫星：不在静止轨道运行的卫星称为移动卫星。中轨卫星：一般位于距地面1~2万公里的高度上，要进行无缝覆盖需用卫星约10颗。低道卫星：一般位于距地面1000公里的高度上。优点是无延时，终端简单，价格低，天线可安装在手机上。缺点是需要很多卫星，才能做到无缝覆盖，一般需要48~66颗。
恒参信道特性及其对信号传输的影响 恒参信道对信号传输的影响是确定的或者是变化极其缓慢的。因此，其传输特性可以等效为一个线性时不变网络。只要知道网络的传输特性，就可以采用信号分析方法，分析信号及其网络特性。线性网络的传输特性可以用幅度频率特性和相位频率特性来表征。 理想恒参信道特性理想恒参信道就是理想的无失真传输信道，其等效的线性网络传输特性为−jωtdH（ω）=Ke0其中，K为传输系数，表示放大或衰减的一个固定值。为时t0d间延迟，它们都是与频率无关的常数。
H（ω）=K幅频特性定义为0ϕ（ω）=ωt相频特性定义为d信道的相频特性通常采用群迟延-频率特性来衡量。所谓群迟延-频率特性就是相频特性的导数，即群迟延-频率特性可表示为dϕ（ω）τ（ω）==tddω理想的幅频、相频特性和群延迟-频率特性如图所示。τ（ω）ϕ（ω）H（ω）Kt0ωtddωωω000图 理想的幅频、相频和群延迟——频率特性
得到理想信道的冲激响应为h（t）=Kδ（t−t）0ds（t）i 若信道的输入信号为，则理想恒参信道的输出为s（t）=Ks（t−t）00id 由此可见，理想恒参信道对信号传输的影响为♣对信号在幅度上产生固定的衰减； ♣对信号在时间上产生固定的迟延。 这种情况也称信号是无失真传输。无失真传输的条件为♣幅频特性在全频范围内为一条水平线；♣相频特性在全频范围内为一条通过原点的直线。
幅度-频率畸变 幅度-频率畸变是由实际信道的幅频特性不理想所引起的，又称为频率失真。如典型音频信道的幅频特性如图所示。低端截止频率约在300Hz衰减dB以下，每倍频程衰减15~25dB；在300~1100Hz范围内，衰减比较平坦；在1100~2900Hz之间，衰减通常是线性上升的（2600Hz的衰减比频率Hz1100Hz处高8dB）；在2900Hz以0300Hz1100Hz2900Hz图 典型音频电话上，衰减增加很快，每倍频程增加信道的幅频特性80~90dB。
♣幅频特性不理想的产生原因信道中存在的各种滤波器、电容、电感等是引起信道幅频特性不理想的主要原因。♣幅频特性不理想的影响信道的幅频特性不理想会使通过它的信号波形产生失真，若传输数字信号，则会引起相邻数字信号波形之间在时间上的相互重叠，造成码间干扰。♣幅频特性不理想的改善措施♣♣将信道中传输的信号频率严格限制在幅频特性比较平坦的部分，并允许有一定的波动范围。♣♣采用均衡器，补偿信道幅频特性的不理想性。
相位-频率畸变相位-频率畸变是指信道的相位-频率特性偏离线性关系所引起的畸变。图给出了一个典型电话信道的相频特性和群迟延频率特性。可以看出，相频特性和群迟延频率特性都偏离了理想特性的要求，因此会使信号产生严重的相频失真或群迟延失真。ϕ（ω）τ（ω）理想特性理想特性ωω00群时延频率特性幅频特性图 相频和群时延频率特性
♣相频特性不理想的产生原因信道相频特性不理想主要来源于信道中的各种滤波器及可能有的电感线圈。♣相频特性不理想的影响在话音传输中，由于人耳对相频失真不太敏感，因此相频失真对模拟话音传输影响不明显。如果传输数字信号，相频失真同样会引起码间干扰，特别是当传输速率较高时，相频失真会引起严重的码间干扰，使误码率性能降低。♣相频特性不理想的改善措施♣♣采用均衡器对相频特性进行补偿，改善信道传输特性。♣♣严格限制已调信号的频谱，使其保持在信道的线性相移范围内传输。
具有加性噪声的恒参信道数学模型 加性噪声信道通信信道最简单的数学模型就是加性噪声信道，如图（t）s（t）0i所示。其输入输出关系为+×an（t）s（t）=as（t）+n（t）0i图 加性噪声信道a式中，为信道的衰减因子。s（t）s（t）线性滤波器0i 具有加性噪声的线性滤波信道+h（t）htn（t）一般恒参信道可以看成是带宽有限的线性时不变信道，可以用图图 线性滤波信道所示的线性滤波信道来描述。其输入输出关系为+∞s（t）=s（t）∗h（t）+n（t）=h（τ）s（t−τ）dτ+n（t）0ii∫−∞式中，h（t）为信道的冲激响应，是一个线性滤波器。
随参信道举例 陆地移动信道陆地移动通信工作频段主要在VHF和UHF频段，电波传播以直射波为主。但由于城市建筑群和其他地形地物的影响，电波在传播过程中会产生反射波、散射波以及它们的合成波，电波传输环境较为复杂，因此，移动通信信道是典型的随参信道。 自由空间传播 在VHF、UHF移动信道中，电波传播方式主要有自由空间直射波、地面反射波、大气折射波、建筑物等的散射波等。当移动台和基站天线在视距范围内时，电波传播的主要方式是直射波，直射波传播可以按自由空间传播来分析。
电波在自由空间传播时，由于传播路径中没有反射和折射，所以电波能量不会被障碍物吸收。设发射机输入给天线的P功率为，则接收天线上获得的功率为P（W）RT2λ⎛⎞P=PGG⎜⎟RTTR4πd⎝⎠GG式中，为发射天线增益，为接收天线增益，d为接收天线与TR发射天线之间的直线距离，λ/4πd为各向同性天线的有效面积。当发射天线和接收天线的增益都等于1时，上式简化为2λ⎛⎞P=P⎜⎟RT4πd⎝⎠自由空间传播损耗定义为22p4πd4πdf⎛⎞⎛⎞TL===⎜⎟⎜⎟fPλC⎝⎠⎝⎠R
用分贝表示为L=+20lgf+20lgd（dB）ff式中，d为收发射天线之间的直线距离，单位为km；为工作频率，单位为MHz。120110由此可见，自由空100间传播损耗与距离和频90率的平方成正比。距离801 GHz越远，频率越高，损耗70100 MHz越大。图给出了移60f＝10HzM 50动信道中自由空间传播402－10110101010损耗与频率和距离的关距离 / km系。图 自由空间传播损耗自由空间损耗 /dB
反射波与散射波当电波辐射到地面或建筑物表面时，会发生反射或散射，从而产生多径传播现象，如图所示。这些反射面通常是不规则和粗糙的。为了分析方便，可以认为反射面是平滑表面，此时电波的反射角等于入射角，分析模型如图所示。Tdc2hmaRdbhhhmoθθrtd1θθdd12图 移动信道的传播路径图 平滑表面反射
折射波 电波在自由空间传播时，由于大气中介质密度随高度增加而减小，导致产生折射、散射等，如图所示。大气折射对电波传输的影响通常可用地球等效半径来表征。地球的实际半径和地球等效半径之间的关系为 折射电波ReK=R0地表面K式中，称为地球等效半径系数，为地球实际半径，R=6370km0图 电波折射示意图R为地球等效半径。eK=4/3在标准大气折射情况下，，此时地球等效半径为R=KR=8493kme0
短波电离层反射信道 几个概念♣短波：波长为10~100m，频率为3~30MHz的无线电波。♣地波传播：短波可以沿地表面传播，称为地波传播。一般距离较近，限于几千米范围。♣天波传播：短波可以由电离层反射传播，称为天波传播。既可以一次反射，也可以多次反射，传输距离可以从几千千米到上万千米。♣电离层：离地面高60~600km的大气层为电离层，由分子、原子、离子和自由电子组成，为半导电媒质。形成原因主要是太阳辐射的紫外线和x射线。♣短波电离层反射信道：是指利用地面发射的无线电波在电离层、电离层与地面之间的一次或多次反射所形成的信道。
地球大气层分层
地球大气层一般分为5层，它们分别是对流层、平流层、中间层、暖层、散逸层。♣对流层从地面到11km高度为对流层，人类就生活在对流层中，集中了约%75%的大气质量和%90%以上的水气，云、雾、雨、雪等主要天气现象都发生在这一层，热气球、直升飞机也在这一层活动。♣平流层从对流层顶到55km左右的大气层为平流层，这一层气流稳定，水汽、尘埃等非常少，很少出现云和降水，因此喷气式飞机主要在这一层飞行。
♣中间层从平流层顶到85km高度的气层为中间层，中间层温度大，水汽很少，大部分的流星在这一层会被烧得干干净净，只有很少一部分到达地面；在14km到35km高处具有一层臭氧气体，它可以有效地阻挡太阳辐射中有害的高能紫外线，使地球上的生物得到保护。♣暖层或者电离层从中间层顶到800km高度的气层称为暖层或者电离层，该层的空气因受到太阳紫外辐射的宇宙线作用而处于高度电离状态，电离层对一定波长的电波有良好的反射作用，人们利用电离层反射的短波实现了远程无线通信，而且壮丽的极光通常是在这一层出现。
♣散逸层900km高度以上的大气称为散逸层，其上界为3000km左右，这一层空气极其稀薄，温度很高，而且远离地面，引力很小，高度运动的分子可挣脱地球引力逃逸到宇宙空间。
♣电离层的结构电离层厚度有数百千米，可分为D、E、F和F四层，如12图所示。由于太阳辐射的变化，电离层的密度和厚度也随时间随机变化。白天由于太阳辐射强，D、E、F和F四层都存在。夜12晚由于太阳辐射减弱，D层和F层几乎完全消失，只有E层和1F层存在。由于D、E层2电子密度小，不能形成反射条件，对电波传输的影响主要是吸收电波，使电波能量损耗。F层是反射2层，其高度为250~300km，图 电离层的结构所以一次反射的最大距离约为4000 km。
传播路径电离层是半导体，其相对介电常数为Neε=1−式中，为电子密度，为电磁波的频率。电子密度随高度不同eε而变化，故相对介电常数和媒质折射率（）随高度的增加而r减小。当电波在此媒质中传播时，因逐步折射使轨道弯曲，在某一高度产生全反射。如图所示。由于一次反射的最大距离为4000km，若进行两次反射，则通信距离为8000km。Fϕ20FF12ED300kmA地球B地球反射点BA图 短波信号从电离层反射的传播路径
工作频率工作频率的选用应考虑以下两个条件：♣工作频率应小于最高可用频率；♣使电磁波在电离层的吸收较小。f最高可用频率取决于电离层电子密度的最大值N和mufemaxϕϕ=0电磁波投射到电离层的入射角。当垂直入射（）时，能00从电离层反射的最高频率称为临界频率f=ϕ当以0入射时，能从电离层反射的最高频率称为最高可用频率 f=fsecϕmuf00 当工作频率高于最高可用频率时，电磁波将穿透电离层，不再返回地面。
♣工作频率的获得方式从电离层观测站预报的电离层图上可以获得临界频率和4000km跳距的最高可用频率，由这些数据可以推算出任意跳距的最高可用频率；♣工作频率的变换情况利用短波电离层反射信道进行通信时，工作频率需经常更换。由于电离层的电子密度随昼夜、季节以至年份剧烈变化，使得最高可用频率也发生变化。在白天，电离层较厚，F层的电子密度较大，最高可用频2率较高。在夜晚，电离层较薄，F层的电子密度较小，最高可2用频率要比白天低。
♣多径传播短波电离层反射信道最主要的特征是多径传播，多径传播有以下几种形式:: ♣♣电波经电离层的一次反射和多次反射； ♣♣几个反射层高度不同； ♣♣地球磁场引起的寻常波和非寻常波； ♣♣电离层不均匀性引起的漫射现象。 以上四种形式如图所示。第一种情况时延差最大，可达几毫秒，不仅引起快衰落，还会产生多径时延失真。其他三种情况属于细多径，主要影响是快衰落。
A（Aa）（b）BBAA（c）（d）BB图 多径形式示意图（a）一次反射和两次反射（b）反射区高度不同（c）寻常波与非寻常波（d）漫射现象
应用短波电离层反射信道过去是、现在仍然是远距离传输的重要信道之一。其优点是：♣要求功率较小，终端设备成本较低；♣传播距离远；♣受地形限制较小；♣有适当的传输频带宽度；♣不易受到人为破坏，军事通信尤有意义。其不足是：♣传输可靠性差，只能达到。会引起长时间通信中断；♣需要经常更换工作频率，因而使用较复杂；♣存在快衰落和多径时延失真；♣干扰电平高。
对流层散射信道 几个概念♣反射：当传播的电磁波入射到一个其尺寸比波长大得多的物体时，电磁波会产生反射。反射主要来自地表面、建筑物和墙壁。♣绕射：若发射端和接收端之间的无线电波被一个具有不明显不规则性（边缘）的表面阻塞，则会发生绕射，即电磁波绕过障碍物传播。♣散射：当电磁波在传播中遇到一些尺寸小于波长的目标物或每单位体积的障碍物数目很多时，电磁波便会产生散射。散射波形由粗糙表面、小目标物或信道中的其他不规则物产生。
♣对流层：离地面10~12km以下的大气层。在对流层中，由于大气湍流运动等原因产生了不均匀性，故引起电波散射。♣对流层散射信道：是一种超视距传播信道，其一跳的传播距离约为100~500km，可工作在超短波和微波波段。 对流层信道的主要特征♣衰落散射信号电平随时间不断变化称为衰落，一般分为快衰落和慢衰落两种：♠慢衰落：表示接收信号的长期变化，又称为长期衰落。主要是由建筑物或自然界特征的阻塞效应引起的。对于散射信号主要取决于气象条件，夏季信号比冬季强（约10dB），中午信号比早晚弱（约5dB）。常用小时中值（有的取5分钟中值，分钟中值与小时中值接近）相对于月中值的起伏来表示。
♠快衰落：表示接收信号的快速变化，又称为短期衰落。主要由多径传播引起。对于散射信号，散射接收信号振幅服从瑞利分布，相位服从均匀分布。克服快衰落影响的措施是分集接收。♣传播损耗散射传播能量的总损耗包括自由空间的能量扩散损耗和散射损耗。♣信道的允许频带发射散射信道是典型的多径信道，产生多径时散。多径时散是指信号经过不同接收的路径，到达接收点的时刻不同，引起图 多径时散示意图脉冲展宽的现象。如图所示。
散射信道允许频带定义为B≈1/τcmτ式中，为最大多径时延差。m当信号带宽小于信道的允许频带时，波形不会产生严重失真；反之，信号将遭受严重失真。♣天线与媒质间的耦合损耗天线在自由空间的理论增益与在对流层散射线路上测得的实际增益之差称为天线与媒质间的耦合损耗，又称为无线增益亏损。无线增益亏损是由散射的性质造成的，随着天线增益的提高，散射体积减小，故接收电平不象自由空间传播那样按比例增加。
对流层散射传播对流层散射传播路径如图所示，图中ABCD所表示的为收发天线共同照射区，称为散射体积，其中包含许多不均匀气团。每个气团都是一个二次辐射源。经研究表明，散射具有强方A向性，接收到的能量大致与θ50sin（θ/2）θBD成反比。是入射线与00散射线的夹角，这说明能量主要Cθ集中在角方向，即集中于前0方，故又称为前向散射。1站2站对流层散射传播可提供R12~240个频分复用的话路，可靠0图 对流层前向散射的传播路径性达%%。
应用对流层散射的应用场合可分为：♣干线通信：通常每隔300km左右建立一个中继站，构成无线电中继线路，以达到远距离传输。♣点对点通信：如海岛与陆地、边远地区与中心城市之间的通信。
随参信道特性及其对信号传输的影响随参信道的传输媒质具有以下三个特点： ♣对信号的衰耗随时间随机变化； ♣信号传输的时延随时间随机变化； ♣多径传播。 多径衰落与频率弥散 d2如图所示，基站天hmd线发射的信号经过多条不同hm的路径到达移动台。设发送d1θθ信号为单一频率正弦波，即图 移动信道的传播路径s（t）=Acosωtc
多径信道一共有n条路径，各条路径具有不同的时变衰耗和时变传输时延，且从各条路径到达接收端的信号相互独立，则接收到的合成波为R（t）=μ（ω[t）cost+τ（]t）+μ（ω[t）cost+τ（）]t1c12c2n+L+μ（）cosω[tt+τ（）]t=μ（）cosω[tt+τ（）]tncnici∑i=1μ（τ（t）t）式中，为从第i条路径到达接收端的信号振幅，为第i条路ii径的传输时延。传输时延可以转换为相位形式，即nR（t）=μ（[]t）cosωt+ϕ（t）ici∑i=1ϕ（t）=ωτ（t）iciμ（τ（t）t）经大量观察表明，和随时间的变化与发射载频的ii周期相比，通常要缓慢得多，即为缓慢变化的随机过程。
接收信号也可以写成 nnR（t）=μ（t）cosϕcosωt−μ（t）sinϕsinωtiiciic∑∑i=1i=1=Xcosωt−Xsinωt=V（t）cos[ωt+ϕ（t）]ccscc式中，V（t）为合成波的包络，ϕ（t）为合成波的相位。nnX（t）=μ（t）cosϕX（t）=μ（t）sinϕciisii∑∑i=1i=1X（t）s22ϕ（t）=arctanV（t）=X（t）+X（t）csX（t）cX（t）V（t）X（t）由于μ（t）和τ（t）是缓慢变化的，所以、、、sciiϕ（t）R（t）也是缓慢变化的。即可以看作为一个窄带过程。X（X（tt））另外，由于和都是相互独立的随机变量之和，sc根据中心极限定理可知，均服从于正态分布。同时，根据窄V（t）ϕ（t）带高斯过程的性质，服从瑞利分布，服从均匀分布。
22⎛⎞⎛⎞1X1Xcs⎜⎟⎜⎟f（X）=exp−f（X）=exp−cs22⎜⎟⎜⎟2σ2σ2πσ2πσ⎝⎠⎝⎠1⎧2⎪0≤ϕ≤2π⎛⎞VVf（ϕ）=⎨2π⎜⎟f（V）=exp−22⎜⎟⎪0其它σ2σ⎩⎝⎠根据第二章窄带随机过程的分析可知：♣多径传播使单一频率的正弦信号变成了包络和相位受调制的窄带信号，该信号称为衰落信号，即多径传播使信号产生瑞利型衰落；♣从频谱上看，多径传播使单一谱线变成了窄带频谱，即多径传播引起了频率弥。在多径信道中传输数字信号时，信号衰落会引起突发错误，对通信造成严重危害。
频率选择性衰落与相关带宽 频率选择性衰落频率选择性衰落是多径传播的重要特征之一，是指信号频谱中某些分量的一种衰落现象。设多径传播的路径只有两条，且到达接收点的两路信号具f（t）有相同的强度和一个相对的时延差。发射信号为，到达接（tVft−t）Vf（t−t−τ）收点两路信号分别表示为和。是固定时00000τ延，是两路信号的相对时延差，其传播过程如图所示。f（t）Vf（t）Vf（t−t）000tV延迟00Vf（t−t）+00+Vf（t−t−τ）00Vf（t）Vf（t−t−τ）000t+τV延迟00图 两径传播模型
f（t）f（t）⇔F（ω）设的频谱密度函数为F（ω），即−jωt0Vf（t−t）⇔VF（ω）e则000−jω（t+τ）0Vf（t−t−τ）⇔VF（ω）e000−jωt−jωτ0Vf（t−t）+Vf（t−t−τ）⇔VF（ω）e[1+e]00000因此，在两径传播时，模型的传输特性为−jωt−jωτ0[]VF（ω）e1+e−jωt0−jωτ0H（ω）==[]Ve1+e0F（ω）由此可见，传输特性由三部分级联而成，常数因子V，模0−jωτt为1、固定时延为的网络以及特性为的网络。0[1+e]−jωt−jωτ0[]Ve1+e0F（ω）−jωτexp[−]jωtV[1+e]00图 两径传播模型中传输特性组成
第三部分的模特性（即幅频特性）为ωτωτωτ−jωτ21+e=1+cosωτ−jsinωτ=2cos−j2sincos22222ωτωτωτωτ⎛⎞⎛⎞2=2cos+sincos=2cos⎜⎟⎜⎟2222⎝⎠⎝⎠幅频特性如图所示。两径传播的模特性将依赖于，cos（ωτ/2）即对于不同频率，传播结果将有不同的衰减。尤其是当ω=2nπ/τ时（n为整数），出现传播极点；−jωτ1+eω=（2n+1）π/τ当时，出现传播零2点。显然，信号通过该传输特性的信道时，信号的频谱将产生失ω真。由于失真随时间随机变化，π/τ2π/τ3π/τ0便形成频率选择性衰落。−jωτ图 （ 1 + e ） 幅频特性
相对时延差通常是时变的，故传输特性中的零、极点在频率轴上的位置也随时间随机变化，这使传输特性更为复杂。如图所示。对于一般的多径传播，信道的传输特性将比两条路径信道传输特性复杂得多，但同样存在频率选择性衰落现象。多径传播的相对时延差通常用最大多径时延差来表征。设τ最大多径时延差为，则定义多径传播信道的相关带宽为mB=1/τcm−jωτ1+e表示信道相临传输零点2的频率间隔。如果信号的频谱比相关带宽宽，则产生频ωooo•••∗∗∗•π/τo2π/τ∗3π/τ率选择性衰落。因此要求信0号频谱小于相关带宽。图 时变相对时延差时的幅频特性
随参信道特性的改善——分集接收随参信道引起的多径时散、多径衰落、频率选择性衰落、频率弥散等，会严重影响接收信号质量，使通信系统性能大大降低。为了提高随参信道中信号传输质量，必须采用抗衰落的有效措施。常采用的技术措施有：♣抗衰落性能好的调制解调技术；♣扩频技术；♣功率控制技术；♣与交织结合的差错控制技术；♣分集接收技术等；其中，分集接收技术是一种有效的抗衰落技术，已在短波通信、移动通信系统中得到广泛应用。
♣分集接收的概念分集接收是指接收端按照某种方式使它收到的携带同一信息的多个信号衰落特性相互独立，并对各个信号进行特定的处理，以降低合成信号电平起伏，减小各种衰落对接收信号的影响。从广义信道的角度来看，分集接收可看作是随参信道中的一个组成部分，通过分集接收使包括分集接收在内的随参信道衰落特性得到改善。♣分集接收的含义 ♣♣分散接收，使接收端能得到多个携带同一信息的、统计独立的衰落信号；♣♣集中处理，即接收端把收到的多个统计独立的衰落信号进行适当合并，降低衰落的影响，改善系统性能。
分集方式 为了在接收端得到多个互相独立或基本独立的接收信号，一般可利用不同路径、不同频率、不同角度、不同极化、不同时间等接收手段来获取。因此，分集方式也有空间分集、频率分集、角度分集、极化分集、时间分集等多种。♣空间分集 空间分集是指接收端在不同位置上接收同一个信号，只要各位置间的距离大到一定程度，所接收到信号的衰落就是相互独立的。因此，空间分集的接收机至少需要两副间隔一定距离的天线，┅其基本结构如图所示。图中，发射端接收端发送端用一副天线发射，接收端用N图 空间分集示意图副天线接收。
♣频率分集 频率分集是将待发送的信息分别调制到不同的载波频率上发送，只要载波频率之间的间隔大到一定程度，则接收端所接收到信号的衰落是相互独立的。在实际中，当载波频率间隔大于相关带宽时，则可认为接收到信号的衰落是相互独立的。因此，载波频率的间隔应满足Δf≥Bc
♣时间分集时间分集是将同一信号在不同时间内多次发送，只要各次发送的时间间隔足够大，则各次发送信号所出现的衰落将是相互独立的。主要用于在衰落信道中传输数字信号。 在移动通信中，多卜勒频移的扩散区间与移动台的运动速度及工作频率有关。因此，为了保证重复发送的数字信号具有独立的衰落特性，重复发送的时间间隔应满足11Δt≥=2f2（v/λ）mf式中，为衰落频率，为移动台运动速度，λ为工作波长。vm若移动台是静止的，则移动速度v=0，此时要求重复发送的时间间隔为无穷大。这表明时间分集对于静止状态的移动台是无效的。
♣角度分集角度分集是利用天线波束指向不同使信号不相关的原理构成的一种分集方法。由于地形地貌和建筑物等环境的不同，到达接收端的多径信号可能有不同的到达方向。因此，在接收端如果使用方向性天线，使它们指向不同的信号到达方向，则各副天线接收到的信号是不相关的。♣极化分集极化分集是指分别采用水平和垂直极化波而构成的一种分集方法。水平和垂直极化波的相关性极小，尤其是短波电离层反射信道。电场方向与大地平行为水平极化。电场方向与大地垂直为垂直极化。
合并方式 在接收端采用分集方式可以得到N个衰落特性相互独立的信号，但需要经过适当合并。所谓合并就是根据某种方式把得到的各个独立衰落信号相加后合并输出，从而获得分集增益。合并可以在中频进行，也可以在基带进行，通常是采用加权相加方式合并。R（t），R（t），L，R（t）假设N个独立衰落信号分别为，则合12N并器输出为NR（t）=aR（t）+aR（t）+L+aR（t）=aR（t）1122NNii∑i=1式中，a为第i个信号的加权系数。 i选择不同的加权系数，就可构成不同的合并方式。常用的是以下三种合并方式。
♣选择式合并 选择式合并是所有合并方式中最简单的一种，其原理是检测所有接收机输出信号的信噪比，选择其中信噪比最大的那一路信号作为合并器的输出，如图. 2所示。 k1选择逻辑输出k2┇发射端kN输出端图 选择式合并方式
♣等增益合并等增益合并原理如图所示。当加权系数相等时即为等增益合并。♣最大比值合并 最大比值合并原理是各支路加权系数与该支路信噪比成正比。信噪比越大，加权系数越大，对合并后信号贡献也越大。其原理框图见图。k可变增益加权1选择逻辑输出可变增益加权k2┇发射端可变增益加权kN输出端图 等增益合并\\最大比值合并方式
三种分集合并的性能如图所示。最大比值合并性能最好，选择式合并的性能最差。10a为最大比值合并ab8为等增益合并bcc为选择式合并SNR合并6SNR支路log24cc212345678910N （分集支路数）图 三种分集合并的性能比较
信道的加性噪声 噪声的分类 根据来源分类可以分为人为噪声、自然噪声和内部噪声三类。♣人为噪声。人为噪声是指人类活动所产生的对通信造成干扰的各种噪声。其中包括工业噪声和无线电噪声。工业噪声来源于各种电气设备，如开关接触噪声、工业点火辐射及荧光灯干扰等。无线电噪声来源于各种无线电发射机，如外台干扰、宽带干扰等。
♣自然噪声。自然噪声是指自然界存在的各种电磁波源所产生的噪声。如雷电、磁暴、太阳黑子、银河系噪声、宇宙射线等。可以说整个宇宙空间都是产生自然噪声的来源。♣内部噪声。内部噪声是指通信设备本身产生的各种噪声。它来源于通信设备的各种电子器件、传输线、天线等。如电阻一类的导体中自由电子热运动产生的热噪声、电子管中电子起伏辐射、晶体管中载流子起伏变化产生的散弹噪声等。 根据噪声的特点分类可以分为单频噪声、脉冲噪声和起伏噪声三种，均属于随机噪声。
♣单频噪声单频噪声主要是无线电干扰，频谱特性可能是单一频率，也可能是窄带谱。其特点是一种连续波干扰，占有极窄的频谱。可以通过合理设计系统来避免单频噪声的干扰。♣脉冲噪声。脉冲噪声是在时间上无规则的突发脉冲波形，包括工业干扰中的电火花、汽车点火噪声、雷电等。其特点是以突发脉冲形式出现、干扰持续时间短、脉冲幅度大、周期是随机的且相邻突发脉冲之间有较长的安静时间。由于脉冲很窄，所以其频谱很宽。但是随着频率的提高，频谱强度逐渐减弱。可以通过选择合适的工作频率、远离脉冲源等措施减小和避免脉冲噪声的干扰。
♣起伏噪声。起伏噪声是一种连续波随机噪声，包括热噪声、散弹噪声和宇宙噪声。对其特性的表征可以采用随机过程的分析方法。其特点是无论时域还是频域都是普遍存在和不可避免的，具有很宽的频带，它是影响通信系统性能的主要因素。 根据噪声的性质分类可以分为确知噪声和随机噪声两种。♣确知噪声确知噪声是确知的，如电源哼声、自激振荡、各种内部谐波干扰等。虽消除不易，但可从原理上消除或消弱。♣随机噪声随机噪声是不能预测的噪声，如单频噪声、脉冲噪声和起伏噪声等。
热噪声♣热噪声的产生热噪声是在电阻一类导体中，自由电子的布朗运动引起的噪声。导体中的每一个自由电子由于其热能而运动。♣热噪声的性质k热噪声服从高斯分布，其功率谱密度为2kTG。其中，为玻−23TG耳兹曼常数，；为热噪声源的绝对温度；为电k=×10J/K阻R的电导。♣热噪声的表示热噪声有两种表示方法。一种是无噪声电导和功率谱密度为2kTG的噪声电流源i（t）并联，如图（b）所示。另一种是nv（t）=Ri（t）无噪声电阻和电压源串联，如图（c）所示。nn
♣热噪声的功率谱密度噪声电流的功率谱密度：P（ω）=2kTGiP（ω）=2kTR噪声电压的功率谱密度：v噪声电压均方根值（等效有效值）：V=4kTRBn噪声电流均方根值（等效有效值）：I=4kTGBnB式中，为电路的频率范围（即带宽）。aaaRi（t）RGnv（t）nbbb（a）（b）（c）图 电阻热噪声的等效表示
【例】设某接收天线的等效电阻为300Ω，接收机的通频带为4kHz，环境温度为17℃，试求该天线产生的热噪声电压的有效值。【解】由题意已知R=300Ω，T=17+273=290K，B=4kHz根据公式得−233−7V=4kTRB=4××10×290×300×4×10=×10（V） 散弹噪声♣散弹噪声的概念散弹噪声是由真空电子管和半导体器件中电子发射的不均匀性引起的一种随机噪声，服从于高斯分布。
♣散弹噪声的产生如图所示，为平行板二极管热电子发射示意图。在给定温度下，二极管阴极每秒发射的电子平均数目是常数，不过电子发射的实际数目随时间是变化和不能预测的。即将时间段划分为许多小区间后，每小区间内电子发射数目不是常量而是随机变量。因此，发射电子所形成的电流不是固定不变的，而是在一个平均值上起伏变化。如图所示。i（t）i（t）起伏电流I0V0t图 平行板二极管图 二极管总电流变化示意图热电子发射示意图
♣散弹噪声的功率谱密度IqI散弹噪声的功率谱密度为一个恒值，其中，是平均电00−19qq=×10C流值，是电子电荷，。 宇宙噪声宇宙噪声是指天体辐射波对接收机形成的噪声。它在整个空间的分布是不均匀的，最强的来自银河系的中部，其强度与季节、频率等因素有关。实测表明，在20~300MHz的频率范围内，它的强度与频率的三次方成反比。因而，当工作频率低于300MHz时就要考虑它的影响。宇宙噪声也服从高斯分布，在一般工作频率范围内，具有平坦的功率谱密度。
带通噪声♣带通噪声的概念起伏噪声本身是一种频谱很宽的噪声，当它通过通信系统时，会受到通信系统中各种变换的影响，使其频谱特性发生变化。一个通信系统的线性部分可以用线性网络来描述，通常具有带通特性。当宽带起伏噪声通过带通特性网络时，输出噪声就变为带通噪声。如果线性网络具有窄带特性，则输出噪声为窄带噪声。如果输入噪声是高斯噪声，则输出噪声就是带通型（或窄带）高斯噪声。
♣带通噪声的等效带宽带通噪声的频谱具有一定的宽度，噪声的带宽通常用等效p（ω）带宽来描述。设带通噪声的功率谱密度为，如图所n示，则等效带宽定义为∞∞p（ω）dfp（ω）dfnn∫∫−∞0B==n2p（ω）p（ω）n0n0ω式中，为带通噪声功率谱密度的中心频率。0BBP（ω）带通噪声等效带nnn宽的物理意义为图中矩形内的面积等于功P（ω）n0率谱密度曲线下的面B积，故称为噪声的nf−ff000等效带宽。图 带通噪声的功能谱密度
信道容量在信道模型中，根据信息论观点，信道可以分为离散信道和连续信道。离散信道（discrete channel）是指信道的输入和输出信号都是取值离散的时间函数。连续信道（continuouschannel）是指信道的输入和输出信号都是取值连续的时间函数。编码信道（cording channel）是一种离散信道，可以用转移概率来描述信道模型。调制信道（modulate channel）是一种连续信道，可以用时变线性网络来描述信道模型。
离散信道的信息容量离散信道的模型如图所示，图（a）为无噪声信道，图（b）为有噪声信道。在图中，（）xPx表示发送符号的概率，P（y）表示接收到符iiiyP（y/x）号的概率，和P（x/y）为转移概率，也称为条件概率。iiiiiP（P（y/x）y/x）1111xxyy1111P（y/x）P（y21/x）22yxxyxyxyjii22i22P（y/x）31P（y/x）33xxyy3333}{{P（y/x）P（（）P（y）Pxx）P（m1y）}jiiiP（y/x）nnxxyynnnm（a）（b）图 离散信道模型
♣无噪声信道由于信道无噪声，故其输入输出一一对应，即P（x/y）=P（y/x）=1i=jijjiP（x/y）=P（y/x）=0i≠jijji♣有噪声信道由于信道中噪声的存在，使得输入输出成为随机对应关系，不再存在一一对应关系，即P（x/y）≠P（y/x）≠1i=jijjiP（x/y）≠P（y/x）≠0i≠jijji输入输出间具有一定的统计关联，可以用信道的条件概率来描述信道干扰和信道的统计特性。
♠有噪声信道中信息量的计算yx发送符号而收到符号为时所获得的信息量为未发送符jixyx号前对的不确定程度减去收到符号后对的不确定程度，iji即P（x/y）P（x）iji[发送x，收到y时所获得的信息量]=−log+logij22yP（x）x式中，为未发送符号前出现的概率；P（x/y）为收到jiiij而发送为x的条件概率。ix、yyx对各取统计平均，即对所有发送为而收到为取ijji平均，则nP（x）i[平均信息量]/符号=−P（x）logi2∑i=1mn⎡⎤P（x/y）ij⎢⎥−P（y）P（x/y）logjij2∑∑⎢⎥j=1i=1⎣⎦
若令H（x）表示发送的每个符号的平均信息量，H（表x/y）示发送符号在有噪声信道中传输平均丢失的信息量，或当输出符号已知时输入符号的平均信息量。则[平均信息量/符号]=H（x）−H（x/y）♠信息传输速率信息传输速率是表征信道传输信息能力的一个参数，定义为信道在单位时间内所传输的平均信息量，即R=H（x）−H（x/y）ttH（x）式中，为单位时间内信息源发送的平均信息量，或称信息txyH（x/y）源的信息速率，为单位时间内发送而收到的平均信t息量。
若令r为单位时间内传送的符号数，则H（x）=rH（x）H（x/y）=rH（x/y）tt得R=[rH（x）−H（x/y）]这说明在有噪声信道中，信息传输速率等于每秒钟内信息源发送的信息量与信道不确定性而引起丢失的那部分信息量之差。♠无噪声信道的信息传输速率在无噪声信道中，由于信道不存在不确定性，H（x/y）=0即，则信道传输速率为信源信息速率，即R=rH（x）
【例】设信息源由符号0和1组成，顺序选择两符号构成所有可能的信息。如果消息传输速率是每秒1000符号，且两符号出现概率相等。在传输中，若干扰引起的差错是平均每100符号中有一个符号不正确，信道模型如图所示，试问这时传输信息的速率是多少？P=【解】信息源每个符号的平均信息量P=⎡⎤1/21/2H（x）=−log+log=1（bit/符号）P=⎢⎥22⎣⎦11P=信息源发送信息速率为11图二进制离散信道模型H（x）=rH（x）=1000（bit/s）t条件平均信息量（x/y）=−[0].99log+=（bit/符号）22
信道上单位时间内丢失的信息量H（x/y）=rH（x/y）=81（bit/s）t得信道传输信息的速率为R=H（x）−H（x/y）=919（bit/s）tt【例】上例中，在强干扰情况下，假设无论发送什么符号，其输出端出现0或1的概率都相同，求信息传输速率。【解】按题意得，条件平均信息量为11⎡⎤1/21/2H（x/y）=−log+log=1（bit/符号）22⎢⎥22⎣⎦信道上单位时间内丢失信息量为H（x/y）=rH（x/y）=1000（bit/s）t故信道传输信息的速率为R=H（x）−H（x/y）=0tt
♠影响信息传输速率的因素♣♣单位时间内传送的符号数目；♣♣信息源的概率分布；♣♣信道干扰的概率分布。一般情况下，信道干扰的概率分布是确知的，发送端单位时间传送的符号数也是一定的，则信息传输速率仅与信息源的概率分布有关。♠信道容量的概念信道传输信息的速率的最大值称为信道容量，即R[maxRmaxH（x）−H（x/y）]ttC=={P（x）}{P（x）}max式中，是表示对所有可能输入概率分布来说的最大值。
连续信道的信道容量♣香农公式 设信道带宽为，信道输出信号功率为，输出加性带BS（W）限高斯白噪声功率为N（W），则信道容量为S⎛⎞1+⎜⎟N⎝⎠C=Blog（bit/s）2上述香农公式表明，当信号和作用在信道上的起伏噪声的平均功率给定时，在具有一定频带宽度的信道上，理论上单位时间内可能传输的信息量的极限数值。由于噪声功率与信道带宽有关，若噪声功率谱密度为，n0则噪声功率为nB，得香农公式的另一形式0⎛⎞S⎜⎟1+⎜⎟nB0⎝⎠C=Blog（bit/s）2
♣由香农公式得到的结论 ♠增大信号功率可以增加信道容量，若信号功率趋于无穷大，则信道容量也趋于无穷大，即limlim（1+S/N）C=Blog→∞ S→∞S→∞2♠减小噪声功率或减小噪声功率谱密度可以增加信道容量，若噪声功率趋于零或噪声功率谱密度趋于零，则信道容量趋于无穷大，即（（1+S/nB）limlim1+S/N）limlim0C=Blog→∞C=Blog→∞N→0N→02n→0n→0200♠增大信道带宽可以增加信道容量，但不能使信道容量无限制增大。信道带宽B趋于无穷大时，信道容量的极限值为nBnBS⎡⎤S（1+S/nB）（1+S/nB）limlim0lim000C=⋅log=logB→∞B→∞2B→∞2⎢⎥nSSn⎣⎦00SS1⎛⎞elim（1+x）e=log≈=log≈⎜⎟2x→022nnx⎝⎠00
香农公式给出了通信系统所能达到的极限信息传输速率，达到极限信息传输速率的通信系统称为理想通信系统。但是，香农公式只证明了理想通信系统的“存在性”，却没有指出这种通信系统的实现方法。因此，理想通信系统只能作为实际通信系统的理论界限。♣香农公式的应用根据香农公式，信道带宽、信噪比和传输时间三者间可以相互转换。增加信道带宽，可以换来信噪比的降低或传输时间的减少。对于给定的信道容量，互换前后的带宽和信噪比分别B、S/NB、S/N为和，则111222（1+S/N）（1+S/N）1122Blog=Blog1222（1+S/nB）（1+S/nB）101202或Blog=Blog1222
【例】电视图象大致由300，000个小像元组成，每一像元取10个可辨别的亮度电平，假设10个亮度电平独立等概出现，每秒发送30帧图象，且要求信噪比为1000，计算传输上述信号所需的最小带宽。【解】亮度电平的概率为1/10（等概出现）1/10每个像元的信息量为−log=（bit）2每帧图象的信息量为300000×=996000（bit）6每秒传输的信息量为996000×30=×10（bit/s）6由于已知，，根据香农公式S/N=1000C=×10bit/s得×106B===×10（Hz）=（MHz）（1+S/N）（1+1000）loglog22
第4章模拟调制系统幅度调制的原理及抗噪声性能非线性调制（角度调制）的原理及抗噪声性能各种模拟调制系统的比较 频分复用（FDM） 复合调制与多级调制的概念
本章知识点结构模拟调制调制调制的概念特征作用分类解调线性调制非线性调制相干解调非相干解调AMDSBSSBVSB
本章教学要求n了解调制和解调的基本概念、特征、分类、作用；o理解各种幅度调制、角度调制的调制和解调的基本原理及其波形和频谱图；p掌握各种模拟调制系统的抗噪声性能，并清楚在相同条件下各种模拟调制系统的性能比较。
几个概念♣基带信号语言、音乐、符号、图象、数据等通过输入变换器（如话筒、拾音器、电键和电视摄象机等）转换成相应的频率很低的电信号，称为基带信号，即原始电信号。♣基带信号的特点♠频谱特点是包括（或不包括）直流分量的低通频谱，最高频率与最低频率之比远大于1，如电话为300~3000Hz；♠可通过架空明线、电缆等有线信道传输，且一对线路上只能传输一路信号，信道利用很不经济；♠不能在无线信道中直接传输。要在无线信道中传输或提高有线信道的利用率，需要采用调制解调技术。
♣调制与解调在发送端把基带信号频谱搬移到给定信道通带内的过程称为调制（modulation），即基带信号变为频带信号的过程。在接收端把已搬到给定信道通带内的频谱还原为基带信号的过程称为解调（demodulation），即频带信号变为基带信号的过程。调制和解调在一个系统中总是同时出现的，一般把调制和解调系统统称为调制系统或调制方式。♣载波调制按照调制信号（基带信号）的变化规律去改变载波某些参数的过程，称为载波调制。调制用载波一般为两类，一类是正弦型信号，另一类是脉冲串或一组数字信号。
♣调制的作用调制的实质是频谱搬移。♠把基带信号频谱搬移到一定频率，适应信道的要求。♠便于辐射。发射天线一般采用半波折合振子天线（天线长度约1/4波长），基带信号频率太低，要求天线长度太大，一般无法实现，故需把基带信号调制到较高频率。♠实现频率分配。为了使各个信号互不干扰，可以利用调制技术把各种基带信号调制到不同的载频上。♠实现多路复用。若信道通带较宽，可以用一个信道传输多个基带信号时，只要把基带信号分别调制到相邻的载频，然后送入信道即可传输。♠减小噪声和干扰的影响，提高系统抗干扰能力。不同的调制方式具有不同的抗噪声性能。
♣调制的基本特征经过调制后的已调信号应具有两个基本特征：♠仍然携带有消息，即含有调制信号的信息。♠适合于信道传输。♣调制的分类♠根据调制信号的不同分类可以分为模拟调制和数字调制两类。模拟调制：调制信号为连续变化的模拟量，通常以单音正弦波为代表。数字调制：调制信号为离散的数字量，通常以二进制数字脉冲为代表。
♠根据载波信号的不同分类可以分为连续载波调制和脉冲载波调制两类。连续载波调制：载波信号为连续波形，通常可用单频正弦波为代表。脉冲载波调制：载波信号为脉冲形式，通常用矩形周期脉冲为代表。♠根据调制器的功能不同分类可以分为幅度调制、频率调制和相位调制三类。幅度调制：调制信号改变载波信号的振幅参数。频率调制：调制信号改变载波信号的频率参数。相位调制：调制信号改变载波信号的相位参数。
♠根据调制器频谱搬移特性的不同分类可以分为线性调制和非线性调制两类。线性调制：输出已调信号的频谱和调制信号的频谱之间呈线性搬移关系。如调幅（AM）、单边带调制（SSB）等。非线性调制：输出已调信号的频谱和调制信号的频谱之间没有线性对应关系。即在输出端含有与调制信号频谱不成线性对应关系的频谱成分。如调频（FM）、频率键控（FSK）等。♣调制的模型调制信号已调信号调制器模型如图所示。调制器调制信号、载波信号和已调信载波信号号分别表示为图 调制器模型m（t）、s（t）、s（t）。m
幅度调制的原理及抗噪声性能 幅度调制的原理幅度调制是用调制信号去控制正弦载波的振幅，使其按调制信号的规律而变化的过程。或者说，幅度调制是正弦型载波信号的幅度随调制信号进行线性变化的过程。♣时域分析设调制信号为m（t），正弦型载波信号为s（t）=Acos（ωt+ϕ）c0式中，A、ω、ϕ分别为载波信号的幅度、角频率和初始相位。c0则已调信号可表示为s（t）=Am（t）cos（ωt+ϕ）mc0可见，已调信号波形的幅度随调制信号变化而正比变化。
♣频域分析设调制信号的频谱为M（ω），由于j（ωt+ϕ）−j（ωt+ϕ）c0c0⎡⎤e+es（t）=Am（t）cos（ωt+ϕ）=Am（t）⎢⎥mc02⎢⎥⎣⎦应用傅立叶变换得AS（ω）=[M（ω−ω）+M（ω+ω）]mcc2这说明已调信号的频谱完全是调制信号频谱结构在频域内的简单搬移。由于搬移是线性的，即已调信号频谱与调制信号频谱呈线性对应关系，故幅度调制通常称为线性调制。需注意的是此处的线性并非原先所讲的线性，即已调信号和调制信号之间符合线性变换关系。事实上，任何调制过程都是一种非线性变换过程。
♣线性调制信号的产生方法线性调制信号可以由线性调制器产生，如图所示。它由一个相乘器和带通滤波器组成。+∞s（t）=h（τ）m（t−τ）cos（ωt−ωτ）dτmcc∫−∞+∞=cosωth（τ）m（t−τ）cosωτdτcc∫−∞+∞+sinωth（τ）m（t−τ）sinωτdτcc∫−∞1[S（ω）=M（ω−ω）+M（ω+ω）]H（ω）mcc2）S（tm（）tmh（t）、H（ω）式中，是滤波器的冲×h（t）激响应和传输函数，适当选取便cosωtc可得到各种线性调制信号。图 线性调制器模型
调幅（AM）信号♣调幅信号的产生（t）Am在图中，假设调制信号迭加了直流分量后与h（t）=δ（t）、H（ω）=1载波信号相乘，滤波器为全通网络，即，则得s（[]t）=A+m（t）cosωt=Acosωt+m（t）cosωtm0c0ccAcosωtm（t）cosωt式中，为载波项，为双边带（DSB）信号项。0cc1ω=π[δω−ω+δω+ω]+[ω−+（+）]S（）A（）（）M（ω）Mωωm0cccc2图给出了调幅信号的频谱，由载波分量和上下两个边带组成。上边带的频谱结构与调制信号的频谱结构相同，下边带是上边带的镜像。为了保证包络检波时不发生失真，必须满足A≥m（t）A+m（t）≥000max
m（t）M（ω）0tm（t）+A0−ωωωHH0A00S（ω）ts（t）0−ωωω0ccts（t）S（ω）mm0t−ωωω0cc[]A（t）min[]A（t）max图 AM信号的波形及频谱
幅度调制示意图
♣调幅信号的功率调幅信号的功率是指在1Ω电阻上消耗的平均功率，等于s（ts（））tm（t）的均方值。当为确知信号时，的均方值即为mm其平方的时间平均，即T/212222P=s（）=（）=[+（）]tdtstAmtcosωtAMmm0clim∫−T/2TT→∞22222=Acosωt+m（t）cosωt+2Am（t）cosωt0cc0cm（t）一般情况下，调制信号中不含有直流分量，即m（t）=0，得到22Am（t）0P=+=P+PAMcs22PP式中，为不带信息的载波功率，为信号平均功率，即边带cs功率。这说明AM信号的总平均功率由不带信息的载波功率和携带信息的边带功率两部分组成。
♣调制效率定义边带功率与总平均功率的比值为调制效率，即11/2Psη==η==η=AM1+11+1/2PAM通常，即使在满调幅条件下，若调制信号为矩形波形，则最大η=50%η=%可得到；若调制信号为正弦波时，。在一般AMAM情况下，调制效率很低，即边带占有功率很小。说明调幅信号功率利用率较低，但优点是可采用包络检波法解调。♣调幅度定义调幅信号的调幅度（也称调幅系数）为[][]A（t）−A（t）maxminm=[][A（t）+A（t）]maxminm（t）=Am=1m>1若，则为满调幅，即；若，则为过调0maxm（t）<Am（t）>Am<1幅，即；若，则为欠调幅，即。00maxmax
s（t）s（t）mm[]A（t）>0min[A（t）]=0min00tt[[]A（t）]A（t）maxmax（a）欠调幅（b）满调幅s（t）m[]A（t）<0min0t[]A（t）max（a）过调幅图 幅度调制中调幅度的影响
♣调幅信号的解调调制的逆过程叫做解调。调幅信号的解调方法有相干解调和包络检波解调两种。接收端是否重现载波)相干解调相干解调器如图所示。2s（[]t）⋅cosωt=A+m（t）cosωtmc0c11=[+（）]+[+（）]AmtAmtcos2ωt00c22采用一个低通滤波器，就可以无失真地恢复出原始的调制信号。)包络检波即采用峰值检波器进行检波。电容器两端电压载波包络s（t）A+m（t）m0×LPFDRCcosωtc载波图 包络检波模型图 相干解调器模型
抑制载波双边带调制信号（DSB-SC）♣抑制载波双边带信号的产生在调幅信号中，载波项并不携带信息，信息完全由边带传A送。如果将载波项抑制，则只需要在图中将直流分量去0掉，即可输出抑制载波双边带信号，简称为双边带信号（DSB）。其时域和频域表示式分别为s（t）=m（t）cosωtDSBc1[S（ω）=M（ω−ω）+M（ω+ω）]DSBcc2其波形和频谱如图所示。
M（ω）s（t）0−ωωωHHt0S（ω）m（t）0−ωωω0cctS（ω）m载波反相点2ωhs（t）m0−ωωωt0cc图 DSB信号的波形和频谱
双边带信号频谱示意图
♣抑制载波双边带信号的功率由于，得A=002m（t）P==PDSBs2♣抑制载波双边带信号的解调由图可知，DSB信号的包络不再与调制信号的变化规律相一致，因而不能采用简单的包络检波来恢复调制信号，需采用相干解调（同步检波）。另外，在调制信号m（t）的过零点处，高频载波相位有180°的突变。 由频谱图可知，DSB信号虽然节省了载波功率，但频带宽度仍是调制信号带宽的两倍。由于上、下两个边带是完全对称的，都携带调制信号的全部信息，因此仅传输其中一个边带即可，这就是单边带调制。
单边带调制信号（SSB）♣单边带调制信号的产生)滤波法产生SSB信号最直观的方法是让双边带信号通过一个边带滤波器，保留所需要的一个边带，滤除不需要的边带。这只需设计图中滤波器的传输函数，就可以分别获得下边带信号频谱或上边带信号频谱。S（ω）=S（ω）H（ω）SSBDSBSSB⎧⎧1|ω|≥ωc上边带H（ω）=⎪⎨USB0|ω|≤ω⎪c⎩H（ω）⎨SSB⎧0|ω|≥ω⎪c下边带H（ω）=⎨LSB⎪1|ω|≤ωc⎩⎩滤波器形式如图所示。
M（ω）−ωωωHH0s（t）m（t）SSBh（t）×SSBS（ω）mcosωt上边带下边带下边带上边带c−ωωω0ccH（ω）上边带频谱SSB1−ωωω−ωωω00ccccH（ω）下边带频谱SSB1−ωω−ωωωω00cccc图 形成SSB信号的滤波特性及信号频谱
单边带信号形成示意图
滤波法的技术难点为，由于一般调制信号都具有丰富的低频成分，经调制后得到的DSB信号的上、下边带之间的间隔很ω窄，这就要求单边带滤波器在附近具有陡峭的截止特性，c才能有效地抑制无用的一个边带。这就使得滤波器的设计和制作很困难，有时甚至难以实现。)相移法 SSB信号的时域表示式的推导比较困难，一般需借助希尔伯特变换来表述。现从简单的单频调制信号出发，得到SSB信号的时域表示式，然后再推广到一般表示式。m（t）=Acosωts（t）=cosωt设单频调制信号为，载波为，两mmc者相乘得DSB信号的时域表示式为11s（t）=Acosωtcosωt=Acos（ω+ω）t+Acos（ω−ω）tDSBmmcmcmmcm22
保留上边带得1s（t）=Acos（ω+ω）tUSBmcm211=Acosωtcosωt−Asinωtsinωtmcmmcm22保留下边带得1s（t）=Acos（ω−ω）tLSBmcm211=Acosωtcosωt+Asinωtsinωtmcmmcm22把上下边带合并起来得11s（t）=AcosωtcosωtmAsinωtsinωtSSBmcmmcm22式中，“-”表示上边带信号，“+”表示下边带信号。sinωtcosωtπ/2m可以看成是相移，而幅度保持不变，称为m∧希尔伯特变换，记作“”，得ˆˆAsinωt=Acosωtm（t）⇔m（t）mmmm
上述关系虽然是在单频调制下得到的，但是它不失一般性，因为任意一个基带波形总可以表示成许多正弦信号之和。因此，可以得到调制信号为任意信号的SSB信号的时域表示式11ˆs（t）=m（t）cosωtmm（t）sinωtSSBcc22ˆm（t）m（t）设M（ω）为的傅立叶变换，则的傅立叶变换为ˆM（ω）=M（ω）[−jsgnω]式中，符号函数为⎧+1ω>0sgnω=⎨−1ω<0⎩ˆH（ω）=M（ω）/M（ω）令，称为希尔伯特滤波器，实质上是一hm（t）个宽带相移网络，表示把幅度不变，所有的频率分量均相ˆπ/2m（t）移，得到。如图所示。
[附]希尔波特（Hilbert）变换♣定义：将一个信号波形中的全部频率分量相移-90°后所得的时间信号就叫做原信号的希尔波特变换。♣变化公式希尔波特变换的数学描述为+∞11f（τ）ˆˆ（（）f（t）=f（t）∗=dτFω）=−jsgnωFω∫−∞πtπt−τ♣Hilbert变换的性质：)信号和它的希尔波特变换具有相同的能量谱密度或相同的功率谱密度。)信号和它的希尔波特变换的能量（或功率）相同。)信号和它的希尔波特变换具有相同的自相关函数。)信号和它的希尔波特变换互为正交。
1m（t）cosωtc12×m（t）2cosωt1cs（t）=m（t）cosωtSSBc2H（ω）−π/2mh1ˆ+m（t）sinωtc12ˆm（t）2×1ˆm（t）sinωtc2图4174 . 相移法形成单边带信号♣单边带信号的功率2ˆ()()mt、mt具有m（t）P==PSSBs相同的功率2♣单边带信号的解调SSB信号的解调和DSB一样不能采用简单的包络检波，因为SSB信号也是抑制载波的已调信号，它的包络不能直接反映调制信号的变化，所以仍需采用相干解调。
残留边带调制（VSB）♣残留边带滤波器的概念残留边带调制是介于SSB与DSB之间的一种调制方式，它既克服了DSB信号占用频带宽的缺点，又解决了SSB信号实现上的困难。在VSB中不是完全抑制一个边带（如同SSB中那样），而是逐渐切割，使其残留一小部分。 用滤波法实现残留边带调制的原理如图所示。图中滤波器的特性应按残留边带调制的要求来进行设计。残留边带信号的频谱为1S（ω）=[M（ω+ω）+M（ω−ω）]H（ω）VSBccVSB2s（t）m（t）VSBH（ω）×VSBcosωtc图 滤波法实现残留边带原理框图
♣残留边带滤波器传输函数的确定H（ω）为了确定上式中残留边带滤波器传输特性应满足VSB的条件，需要分析接收端是如何从该信号中恢复出原基带信号。VSB信号不能简单地采用包络检波，s（t）m（t）VSB×LPF而必须采用如图所示的相干解调。cosωts（t）设残留边带信号为，同步载波cVSB图 相干解调器模型为。根据卷积定理可知，乘积s（t）=cosωtc信号的频谱等于相应频谱的卷积，即1[，S（ω）∗S（ω）]S（ω）=π[δ（ω+ω）+δ（ω−ω）]VSBcc2π得11[][S（ω）∗S（ω）=S（ω+ω）+S（ω−ω）VSBVSBcVSBc2π2
1S（ω）=[M（ω+ω）+M（ω−ω）]H（ω）根据得VSBccVSB2⎧1S（ω+ω）=[M（ω+2ω）+M（ω）]H（ω+ω）VSBccVSBc⎪⎪2⎨1⎪S（ω−ω）=M（ω）+M（ω−2ω）H（ω−ω）VSBccVSBc⎪2⎩11[S（ω）∗S（ω）]=[S（ω+ω）+S（ω−ω）]VSBVSBcVSBc代入上式得2π211[][]S（ω）∗S（ω）=M（ω+2ω）+M（ω）H（ω+ω）VSBcVSBc2π41+M（ω）+M（ω−2ω）H（ω−ω）cVSBc4M（ω+2ω）、M（ω−2ω）式中，为）±2M（ωω搬移到处的频ccc谱，通过低通滤波器后被滤除，得低通滤波器的输出为1S（ω）=M（ω）[H（ω+ω）+H（ω−ω）]0VSBcVSBc4
H（ω+ω）+H（ω−ω）=cM（ω）为了准确获得，要求（常VSBcVSBcω>ωω<ω数）。由于时，M（ω）=0，故上式的频率范围为。HHω其中，为基带信号的截止频率。H得到残留边带滤波器的传输特性应满足的条件为H（ω+ω）+H（ω−ω）=cω<ωVSBcVSBcH♣残留边带滤波器的几何解释设残留边带滤波器的传输函数如图所示，为一低通滤波器，使得上边带小部分残留，下边带绝大部分通过。其中，H（ω±ω）H（ω）±ω分别是由搬移到处的。VSBcVSBc
H（ω）VSB若要求H（ω−ω）+H（ω+ω）VSBcVSBc−ωωω0ccω<ω在H范围内为常数，则必H（ω+ω）VSBcH（ω−ω）须使和H（ω+ω）VSBcVSBc在处具有互补对称的截止ω=0−ωωω0cc特性。H（ω−ω）VSBc由此可见，只要残留边带−ωωω0cc滤波器的截止特性在载频处具H（ω−ω）+H（ω+ω）VSBcVSBc有互补对称特性，则采用同步解调法就可准确恢复原基带信−ωωω0cc号。图残留边带滤波器的几何解释
ω=0满足在处具有互补对称特性，显然不是惟一的，而是具有无穷多个。这说明残留边带滤波器的选择具有很大的自由度。如图所示，分别为低通和带通（或高通）滤波器形式。低通滤波器残留上边带的小部分，通过下边带的绝大部分；带通滤波器使得上边带小部分残留，下边带绝大部分通过。H（ω）H（ω）−ωωω−ωωω00cccc图 残留边带滤波器特性 残留部分上边带的滤波器特性 残留部分下边带的滤波器特性
线性调制系统的抗噪声性能 分析模型 由于加性噪声只对已调信号的接收产生影响，因而调制系统的抗噪声性能可以用解调器的抗噪声性能来衡量。通常使用信噪比来度量，即信号与噪声的平均功率之比。分析解调器的抗噪声性能的模型如图s（t）所示。为已mn（t）调信号，为传输过程中叠加的高斯白噪声。经过带通滤波器n（t）后，有用信号未变，噪声变为带通型噪声，即解调器输入i端的噪声带宽与已调信号的带宽是相同的。s（t）s（t）m（t）mm0+带通滤波器解调器n（t）n（t）i0n（t）图 解调器抗噪声性能分析模型
s（t）对于不同的调制系统，将有不同形式的调制信号，但mn（t）解调器输入端的噪声形式是相同的，它是由平稳高斯白噪i声经过带通滤波器而得到的带通型噪声。当带通滤波器带宽远小于其中心频率时，为平稳高斯窄带噪声，表示为n（t）=n（t）cosωt−n（t）sinωtn（t）=V（t）cos[ωt+θ（t）]iccscic 由随机过程知识可知，窄带噪声及其同相和正交分量的均值均为零，且具有相同的方差（即平均功率）222σ=σ=σn（t）=n（t）=n（t）nincnsics式中，“—”对随机信号表示统计平均，对确定信号表示时间平均。n若白噪声的双边功率谱密度为n，或单边为，带通滤/200波器幅度为1、带宽为B的理想矩形函数，则输入噪声功率为2N=n（t）=nBii0
评价一个模拟通信系统质量的好坏，最终要看解调器的输出信噪比。输出信噪比定义为2S解调器输出有用信号的平均功率m(t)00==2N解调器输出噪声的平均功率0n(t)0只要解调器输出端有用信号能与噪声分开，则输出信噪比就能确定。输出信噪比与调制方式有关，也与解调方式有关。因此在已调信号平均功率相同，信道噪声功率谱密度也相同的情况下，输出信噪比反映了系统的抗噪声性能。 为了衡量不同解调器对输入信噪比的影响，还可用输出信噪比和输入信噪比的比值G（称为调制制度增益）来表示，即输出信噪比S/N00G==输入信噪比S/Nii2S解调器输入有用信号的平均功率s(t)im==2N解调器输入噪声的平均功率n(t)ii
DSB调制系统的性能DSB信号的解调为同步解调器，如图所示。输入信号和噪声可以分别进行解调。若输入信号为s（t）=m（t）cosωt，则其平均功率为mc1122222S=s（t）=m（t）cosωt=m（t）[1+cos2ωt]=m（t）imcc22cosωt由于同步解调器的相干载波为，则乘法器输出为c1112[]m（t）cosωt=m（t）1+cos2ωt=m（t）+m（t）cos2ωtccc222经过低通滤波器后，输出端信号为1s（t）m（t）=m（t）m（t）m00×LPF2则输出端有用信号功率为cosωtc211⎡⎤22S=m（t）=m（t）=m（t）00⎢⎥24图 相干解调器模型⎣⎦
n（t）=n（t）cosωt−n（t）sinωt解调器输入端的噪声为，与载iccsc波相乘后得2n（t）cosωt=n（t）cosωt−n（t）sinωtcosωticccscc11=n（）+[tn（t）cos2ω−n（）sin2ω]tttcccsc22经低通滤波器后，解调器输出噪声为21cos2α=2cosα−1n（t）=n（t）0c2sin2α=2sinαcosα故输出噪声功率为1111222N=n（t）=n（t）=n（t）=N=nB00cii04444得解调器输入、输出信噪比分别为1122m（t）2m（t）2Sm（t）Sm（t）04i2====1NnBNnB2nB00i00nB04
得到调制制度增益为22S/Nm（t）m（t）00G==/=2S/NnB2nBii00由此可见，对于DSB系统其调制制度增益为2。这就是说，DSB信号的解调器使信噪比改善一倍。原因在于采用同步解调后，使输入噪声中的一个正交分量n（t）被消除的缘故。s SSB调制系统的性能单边带信号的解调方法与双边带信号基本相同，区别仅在于带通滤波器的带宽和中心频率不同，前者带通滤波器的带宽是后者的一半。为何不同？由于解调方法相同，则输入输出信噪比的计算方法也基本相同。
单边带解调器输入输出噪声的功率分别为11N=N=nBN=nB，0i0i044单边带调制器输入信号为11ˆs（t）=m（t）cosωtmm（t）sinωtmcc22则其功率为（以上边带为例）122ˆ[]S=s（t）=m（t）cosωt−m（t）sinωtimcc412222ˆˆ=（）cosω+（）sinω−2（）（）cosωsinω]mttmttmtmtttcccc411112222ˆˆ=m（t）+m（t）cos2ωt+m（t）−m（t）cos2ωtcc88881ˆ−m（t）m（t）sin2ωtc4
ˆm（t）m（t）由于是基带信号，故同样也是基带信号，所以ˆm（t）m（t）2ω随时间的变化相对于以为载频的载波的变化是c缓慢的，则有T/21ˆˆm（t）m（t）sin2ωt=limm（t）m（t）sin2ωtdt=0cc∫T→∞T−T/2T/2122m（t）cos2ωt=limm（t）cos2ωtdt=0cc∫T→∞T−T/2T/2122ˆˆm（t）cos2ωt=limm（t）cos2ωtdt=0cc∫T→∞T−T/2得1122ˆS=m（t）+m（t）i88ˆ（t）m（t）m由于和具有相同的功率谱密度或相同的平均功率，故有111222ˆS=m（t）+m（t）=m（t）i884
单边带信号经乘法器与载波信号相乘后为112ˆs（t）cosωt=m（t）cosωt−m（t）sinωtcosωtmcccc22111ˆ=m（t）+m（t）cos2ωt−m（t）sin2ωtcc444经低通滤波器后为1m（t）=m（t）04得到单边带调制器的输出功率为211⎡⎤22S=m（t）=m（t）=m（t）00⎢⎥416⎣⎦得到单边带调制器的输入输出功率分别为1122m（t）2m（t）2Sm（t）Sm（t）016i4====1N4nBNnB4nB00i00nB04
得到调制制度增益为22S/Nm（t）m（t）00G==/=1S/N4nB4nBii00由于在SSB系统中，信号与噪声具有相同表示形式，均是由正交分量和同相分量构成，所以在相干解调过程中信号和噪声的正交分量均被抑制掉，使得信噪比没有改善。由此可见，DSB系统的调制制度增益为SSB的2倍。但不能1122S=S=m（t）m（t）说明DSB比SSB好。原因在于SSBDSB24&DSB系统输入信号的平均功率是SSB的2倍。如果在相同的输入信号功率和噪声功率谱密度的条件下，输出信噪比是相等的。即抗噪声性能相同。$DSB系统所需传输带宽是SSB的2倍。
AM调制系统的性能AM信号可以采用相干解调（同步解调）和包络检波。不同的解调方法，将得到不同的信噪比。相干解调时，AM系统的性能分析方法与双边带（或单边带）基本相同。但在实际中，AM信号常用简单的包络检波法解调，如图所示。s（t）m包络m（t）0+BPFn（t）检波器0[]s（t）=A+m（t）cosωt设输入信号为，mcn（t）i且A>>m（t），则其平均功率为max图 包络检波器模型22{[]}S=s（t）=A+m（t）cosωtimc2222=Acosωt+m（t）cosωt+2Am（t）cosωtccc1122=[]A1+cos2ωt+m（t）[1+cos2ω]tcc221122=A+m（t）22
n（t）=n（t）cosωt−n（t）sinωt输入噪声为，则其平均功率iccsc为N=nB。得到解调器输入信噪比为i022SA+m（t）i0=N2nBi0检波器输入端为信号加噪声的合成包络，即s（[t）+n（t）=A+m（t）]cosωt+n（t）cosωt−n（t）sinωtmicccsc=A+m（t）+n（t）]cosωt−n（t）sinωtccsc=E（t）cos[ωt+ψ（t）c22式中，E（=[t）A+m（t）+n（t）]+n（t）为检波器输入端的合成包cs⎡⎤n（t）s络，ψ（为合成相位。t）=arctan⎢⎥A+m（t）+n（t）c⎣⎦
对于理想的包络检波器（即传输系数近似为1），其输出就E（t）是。由上式可知，检波输出中有用信号与噪声之间存在非线性关系，无法完全分开。因此，计算输出信噪比具有一定困难。现考虑两种特殊情况。 ♣大信噪比情况 大信噪比是指输入信号幅度远大于噪声幅度，即A+m（t）>>n（t）iA+m（t）>>n（t）cA+m（t）>>n（t）s22上式变为E（[]t）=A+m（t）+n（t）+n（t）cs
222E（t）=[A+m（t）]+2[A+m（t）]n（t）+n（t）+n（t）ccs2≈[A+m（t）]+2[A+m（t）]n（t）c2n（t）c=[A+m（t）]1+A+m（t）⎡n（t）⎤c≈[A+m（t）]1+=A+m（t）+n（t）c⎢⎥A+m（t）⎣⎦由此可见，包络检波器输出的有用信号为m（t），噪声为。得输出的信号功率和噪声功率分别为n（t）c2N=nBS=m（t）000得到输出信噪比为2Sm（t）0=NnB00
22SA+m（t）i0=调制制度增益为N2nBi02Sm（t）20=S/N2m（t）00NnB00G==2S/NiiA+m（t）显然，在大信噪比情况下，AM信号检波器的调制制度增益随着A的减小而增加，但为了防止发生过调制现象，A不能减小m（t）到低于。对于100%调制，。由于为A=m（t）m（t）maxmax正弦信号，故有2A2m（t）=2得到最大调制制度增益为。G=2/3若采用同步解调器解调AM信号，则得到的调制制度增益的计算公式与上式相同。说明在大信噪比情况下，二者的检测性能基本一样。
♣小信噪比情况小信噪比情况是指信号幅度远小于噪声幅度，即A+m（t）<<n（t）iA+m（t）<<n（t）cA+m（t）<<n（t）s222得到E（t）=[A+m（t）]+2[A+m（t）]n（t）+n（t）+n（t）ccs22≈2[A+m（t）]n（t）+[n（t）+n（t）]ccs⎧⎫2n（t）[A+m（t）]⎪⎪22c=[n（t）+n（t）]1+⎨⎬cs22⎪n（t）+n（t）⎪cs⎩⎭2[A+m（t）]=R（t）1+cosθ（t）R（t）22式中，R（t）=n（t）+n（t），。cosθ（t）=n（t）/R（t）scc
（）Am（t）由于n（）nt>>+t和，所有上式可以近似为sc2[A+m（]t）E（t）=R（t）1+cosθ（t）R（t）⎡A+m（t）⎤≈R（t）1+cosθ（t）⎢⎥R（t）⎣⎦=R（+[t）A+m（t）]cosθ（t）cosθ（t）这表明检波器输出端没有单独的信号项，只有受到m（t）cosθ（t）调制的项。由于cosθ（t）是一个依赖于噪声变化的随机函数，即为随机噪声。因而，有用信号m（t）被噪声扰乱，致使m（t）cosθ（t）也只能看作是噪声。因此，输出信噪比急剧下降，这种现象称为解调器的门限效应。开始出现门限效应的输入信噪比称为门限值。这种门限效应是由包络检波器的非线性解调作用所引起的。
用相干解调的方法解调各种线性调制信号时不存在门限效应。原因是在解调过程中，信号与噪声可分别进行解调，解调器输出端总是单独存在有用信号项。 由以上分析可得如下结论：大信噪比情况下，AM信号包络检波器的性能几乎与相干解调法相同；但随着信噪比的减小，包络检波器将在一个特定输入信噪比值上出现门限效应；一旦出现门限效应，解调器的输出信噪比将急剧恶化。
非线性调制的原理及抗噪声性能 非线性调制的原理♣线性调制是通过改变载波的幅度来实现基带调制信号的频谱搬移。如调幅信号是控制正弦载波的振幅，使其按调制信号的规律而变化。♣非线性调制是通过改变载波的频率或相位来完成频谱搬移。如频率调制和相位调制，已调信号的频谱与基带信号频谱之间存在着非线性变换关系。♣使高频载波的频率或相位按调制信号的规律变化，而振幅保持恒定的调制方式，称为频率调制（FM）和相位调制（PM），简称调频和调相。♣因为频率或相位的变化都可以看成是载波角度的变化，故调频和调相又统称为角度调制
角度调制的工作原理角度调制信号的一般表示式为s（=cos[t）Aωt+ϕ（t）]mcϕ（t）式中，A是载波的恒定振幅；[ω+]是信号的瞬时相位；tϕ（t）cd[ω+ϕ（）]tt/dtdϕ（t）/dt称为瞬时相位偏移；称为瞬时频率；称cω为瞬时频率偏移，即相对于的瞬时频率偏移。c♣相位调制相位调制是指瞬时相位偏移随基带信号成比例变化的调制，即ϕ（t）=Km（t）P式中，K为比例常数，称为调相系数或调相灵敏度。由调相电P路决定，单位是弧度/伏。
得到调相信号的表达式为s（t）=[Acosωt+Km（t）]mcP相位调制的两个特点：)瞬时相位随调制信号线性变化。即ωt+ϕ（t）=ωt+Km（t）ccp)瞬时频率随调制信号的导数线性变化。即d[ω+ϕ（）]ttdm（t）c=ω+Kcpdtdt♣频率调制频率调制是指瞬时频率偏移随基带信号成比例变化的调制，即dϕ（t）=Km（t）FdtK式中，为调频系数，由调频电路决定，单位是弧度/伏。F
得到调频信号的表达式为t⎡⎤s（t）=Acosωt+Km（t）dt⎢⎥mcF∫−∞⎣⎦频率调制的两个特点：)瞬时频率随调制信号线性变化。即d[ωt+ϕ（t）]c=ω+Km（t）cFdt)瞬时相位随调制信号的积分线性变化。即tωt+ϕ（t）=ωt+Km（t）dtccp∫−∞♣调频和调相波的时域波形图给出了调制信号分别为三角波和正弦波时的调频信号。图给出了调制信号为三角波时的调相信号。由于精确的时域波形需要严格计算，现给出的仅是变化规律图。
非线性调制系统的抗噪声性能以频率调制为例。调频信号的解调方法通常采用鉴频法，其原理框图如图所示。s（t）s（t）m（t）mm0+带通限幅器鉴频器低通滤波器n（t）n（t）i0n（t）图 调频信号的解调器方框图♣解调器输入端信噪比接收端都会有设解调器输入端信号为带通滤波器t⎡⎤s（t）=Acosωt+Km（τ）dτ⎢⎥mcF∫−∞⎣⎦且设其带宽为B，则解调器输入端的信噪比为22SA/2Ai==NnB2nBi00
♣解调器输出端信噪比带通限幅器输入端信号为s（+=[+]t）n（t）Acosωtϕ（t）+n（t）cosω（t）−n（t）sinω（t）micccsc=[]Acosωt+ϕ（t）+V（t）cosωt+θ（t）cc′=V（t）cosψ（t）这是两个余弦波的合成。对于鉴频器而言，关心的是ψ（t）。为ψ（t）了求得值。令C⎧[Acosωt+ϕ（]t）=acosφc11⎪a2aV（t）cos[ωt+θ（t）=acosφ⎨c22φ⎪2acosφ+acosφ=acosφφaφ−φ1122⎩121Oφ1B利用三角函数矢量合成法，如图所示。任意参考线φ>φ若，则21图 矢量合成图BCasin（φ−φ）221tan（φ−φ）==1OBa+acos（φ−φ）1221
C得到a1asin（φ−φ）221aφ=φ+arctan1φ1a+acos（φ−φ）1221φaφ−φ212OφB2φ>φ若，则得到12任意参考线asin（φ−φ）112φ=φ+arctan2a+acos（φ−φ）2112图 矢量合成图对于调频信号，上两式变为V（t）sin[θ（t）−ϕ（t）]ψ（t）=ωt+ϕ（t）+arctancA+V（t）cosθ（t）−ϕ（t）φ=ωt+ϕ（t）1cφ=ωt+θ（t）sin[ϕ−θ]A（t）（t）2cψ（t）=ωt+θ（t）+arctancV（t）+Acosϕ（t）−θ（t）由于解调器输出正比于瞬时频率偏移，故原则上可从上两式中求得相应输出。但直接求解非常困难，因此一般只考虑大信噪比和小信噪比两种特殊情况。
)大信噪比情况在大信噪比情况下，A>>V（t），则式sin[−]V（t）θ（t）ϕ（t）ψ（t）=ωt+ϕ（t）+arctancA+V（t）cosθ（t）−ϕ（t）V（t）ψ（t）≈ωt+ϕ（t）+sin[θ（t）−ϕ（t）]近似变为cA式中，第二项是与有用信号有关的项，第三项与噪声有关的项。由于鉴频器输出与输入信号的瞬时频偏成正比，得到解调器输出电压为有用信号噪声信号1⎡dψ（t）⎤v（t）=−f0c⎢⎥2πdt⎣⎦1⎡dϕ（t）⎤1d=+{V（t）sin[θ（t）−ϕ（t）]}⎢⎥2πdt2πAdt⎣⎦
得到解调器输出的有用信号为t⎡⎤1dϕ（t）1dKFm（t）==Km（τ）dτ=m（t）⎢⎥0F∫2πdt2πdt2π−∞⎣⎦输出有用信号的功率为2K22FS=m（t）=m（t）0024π解调器输出的噪声为1dn（t）={V（t）sin[θ（t）−ϕ（t）]}02πAdt1dn（t）1s′==n（t）s2πAdt2πA式中，n（in[t）=V（t）sθ（t）−ϕ（t）]。s22n（t）n（t）=n（）=n（t）tnB的信号功率为。但需注意的是isi0s′n（t）是带通型噪声，是解调后的低通（0，B/2）型噪声。s
′n（t）因为n（t）是通过理想微分器后的输出，所以其功率谱ss密度等于n（t）的功率谱密度乘以理想微分器的传输函数。sP（ω）设n（t）的功率谱密度为，理想微分器的传输函数为is222H（ω）=jω=ω′得到n（t）的功率谱密度函数sP（ω）022P（ω）=H（ω）⋅P（ω）=ωP（ω）0ii因为⎧2n（t）Bs⎪=nf≤0P（ω）=⎨iB2⎪0，其他f⎩BBf0−22B22得到P（ω）=ωn=（2πf）nf≤000图 功率谱密度函数2图给出了P（ω）的曲线图。可见，功率谱密度函数在频02带内与f成正比，为非均匀的。
f<B/2设解调器中低通滤波器的截止频率，则输出噪声功m率为fm1122′N=n（t）=n=P（f）df00s02222∫−f4πA4πAmfm12n230=（2πf）ndf=f0m222∫−f4πA3Am2K2F得到解调器的输出信噪比为S=m（t）024π22S3AK20F=m（t）23N8πnf00mm（t）设为单一频率的余弦信号，即tKm（τ）dτ=msinωtFfm∫−∞s（）=cos[ω+sin]tAtmωtKm（t）=mωcosωtmcfmFfmmm=K/ω=Δω/ω=Δf/f式中，为调频指数。fFmmmt根据式msinωt=Km（τ）dτ，得到mf=ΔffmFfm∫−∞Km（t）=2πmfcos2πft=2πΔfcos2πftFfmmm
Km（t）=2πΔfcos2πftFm得到2（2πΔf）2222Km（t）==2πΔfF2得到解调器的输出信噪比为22222⎡⎤S3AK3ΔfA/23A/2220F=m（t）==m⎢⎥f23N2fnf2nf8πnf0m0m0m⎣⎦0m2nff由于S=A/2，可看作是频带（0，）内的输入噪声0mmi功率，记作N，上式可写为mS3S20i=mfN2N0mf≠BN≠N因为，所以。在宽带调频时，调频波的总带宽可mimB=2（Δf+f）表示为，故上式又可写为mN=nBS3S3SBi0220ii=m=mffN2N2Nf0mim32（Δf+f）SS22mii=m=3m（m+1）fff2fNNmii
得到调频系统的调制制度增益为S/N200G==3m（m+1）ffS/Nii由此可见，在大信噪比情况下，宽带调频解调器的调制制m=5G=450度增益是很高的，即抗噪声性能好。如当时，。也fm就是说加大调制指数可使系统的抗噪声性能迅速改善。f&调幅和调频信号抗噪声性能的比较在大信噪比情况下，对于100%调幅信号，其包络检波器的输出信噪比为22⎛⎞Sm（t）A/20⎜⎟==⎜⎟NnBnB000⎝⎠AM上式中，B为调幅信号的带宽。一般为基带信号频带的两倍，即B=2f，故有m2⎛⎞SA/20⎜⎟=⎜⎟N2nf00m⎝⎠AM
得到调频系统和调幅系统输出信噪比之比为2⎛⎞S3A/202⎜⎟=m（S/N）f⎜⎟M200FN2nf⎝0⎠0m=3FMmf（S/N）00AM这说明，在大信噪比情况下，若系统接收端的nA与相同，02则调频系统的输出信噪比是调幅系统的3m倍。如当调频指数fm=5时，二者之比为75，这是非常可观的。但调频系统是以f2f增加带宽换来的。对于调幅信号，传输带宽是，对于宽带调m2（mf+f）=12f频信号，当m=5，传输带宽为。fmmmf$调频和调幅信号带宽的比较宽带调频的传输带宽与调幅的传输带宽之间的关系为B=2（Δf+f）=2（mf+f）=2f（m+1）=B（m+1）FMmfmmmfAMfm>>1当时，上式近似为fB≈mBFMfAM
故有2⎡⎤（S/N）BBFM00FMFM==3mf⎢⎥，B（S/N）BAM00AM⎣AM⎦这说明，宽带调频输出信噪比相对于调幅的改善与其传输带宽的平方成正比。即对于调频系统来说，增加传输带宽就可以改善抗噪声性能。调频方式的这种以带宽换取信噪比的特性是十分有益的。在调幅制中，由于信号带宽是固定的，无法进行带宽与信噪比的互换，这也正是在抗噪声性能方面调频系统优于调幅系统的重要原因。)小信噪比情况在小信噪比情况下，即，则式V（t）>>A[Asinϕ（t）−θ（t）]ψ（t）=ωt+θ（t）+arctancV（t）+Acosϕ（t）−θ（t）近似变为
Aψ（t）≈ωt+θ（t）+sin[ϕ（t）−θ（t）]cV（t）由上式可以看出，解调器的输出中不存在单独的有用信号项，信号被噪声扰乱，因而信噪比急剧下降。即调频系统的解调器存在门限效应。图给出了调频解调器输出与输入信噪比的关系。为便于比较，还给出了双边带信号同步检测器的性能曲线。由图可见，S当信噪比低于某一门限时，出现门限0/dBN0FM 效应。若继续降低输入信噪比，则输出信噪比将急剧变坏。实践和理论计算表明，鉴频器的DSB同步检测Si/dB门限效应一般发生在输入信噪比为10Ni门限值dB左右。图 解调器性能曲线示意图
各种模拟调制系统的比较 性能比较设所有系统在接收机输入端具有相等的信号功率，且加性n/2噪声都是均值为零、双边功率谱密度为的高斯白噪声，基070带信号在所有系统中满足：S0/dBN01602m（t）=0，m（t）=，m（t）=1max250FMm=6f得到各种调制系统的输出信噪比为40S/N200S/N=00=2S/N3FMm=3ii⎡⎤⎡⎤fSSS1SS/Nii0i0i==30⎢⎥⎢⎥NnBN3nB00b00b⎣⎦⎣⎦DSBAM20DSB⎡⎤⎡⎤SSS3Sn/20i020i==m⎢⎥⎢⎥SSBfN10nBN2nB00b00b⎣⎦⎣⎦SSBFMAM0102030图给出了各种模拟调制系统的Si/dB图 各种模拟调制系nB0b性能曲线。图中的黑圆点表示门限点。统的性能曲线
由图可以看出，DSB、SSB的信噪比比AM高 dB以上，而FM（m=6）的信噪比比AM高22 dB。即从信噪比角度来考f虑，FM最好，DSB和SSB次之，AM最差。 特点及应用表给出了各种模拟调制系统在带宽、设备复杂性等方面的比较。表 各种模拟调制系统比较调制方式传输带宽设备复杂性主要应用中等：要求相干解调，常与DSB信号一起模拟数据传输，低带宽信DSB2Bb传输一个小导频。号多路复用系统。AM2B较小：调制与解调（包络检波）简单。无线电广播。b话音通信，话音频分多路SSB较大：要求相干解调，调制器也较复杂。Bb通信。较大：要求相干解调，调制器需要对称滤数据传输，宽带（电视）VSB略大于Bb波。系统。数据传输，无线电广播，2（m+1）BFM中等：调制器有点复杂，解调器较简单。fb微波中继。
♣AM调制：优点是接收设备简单；缺点是功率利用率低，抗干扰能力差，在传输中如果载波受到信道的选择性衰落，则在包络检波时会出现过调失真，信号频带较宽，频带利用率不高。因此AM制式用于通信质量要求不高的场合，目前主要用在中波和短波的调幅广播中。♣DSB调制：优点是功率利用率高，但带宽与AM相同，接收要求同步解调，设备较复杂。只用于点对点的专用通信，应用范围不太广泛。♣SSB调制：优点是功率利用率和频带利用率都较高，抗干扰能力和抗选择性衰落能力均优于AM，而带宽只有AM的一半；缺点是发送和接收设备都复杂。因此，SSB制式普遍用在频带比较拥挤的场合，如短波波段的无线电广播和频分多路复用系统中。
♣VSB调制：其优点在于部分抑制了发送边带，同时又利用平缓滚降滤波器补偿了被抑制部分。性能与SSB相当，解调原则上也需同步解调，但在某些VSB系统中，附加一个足够大的载波，就可用包络检波法解调合成信号（VSB+C），这种（VSB+C）方式综合了AM、SSB和DSB三者的优点。所有这些特点，使得VSB对商用电视广播系统特别具有吸引力。♣FM调制：幅度恒定不变，使其对非线性器件不甚敏感，给FM带来了抗快衰落能力。利用自动增益控制和带通限幅还可以消除快衰落造成的幅度变化效应。使得窄带FM对微波中继系统颇具吸引力。宽带FM的抗干扰能力强，可以实现带宽与信噪比的互换，因而宽带FM广泛应用于长距离高质量的通信系统中，如空间和卫星通信、调频立体声广播、超短波电台等。宽带FM的缺点是频带利用率低，存在门限效应。
频分复用（FDM） 几个概念♣复用：将若干个彼此独立的信号合并为一个可在同一信道上传输的复合信号的方法。♣复用的分类：频分复用，时分复用，码分复用等等。♣频分复用的概念：信道复用按频率区分信号，即不同频段传送不同的信号。♣频分复用的意义：在通信系统中，信道所能提供的带宽往往要比传送一路信号所需的带宽宽得多。因此，一个信道只传输一路信号是非常浪费的。为了充分利用信道带宽，提出了频分复用的概念，即可以将信道带宽划分为不同的频带段，以传输不同的信号。
频分复用的实现原理如图所示为频分复用系统的组成框图。m（t）m（t）11××LPFSBF1BPF1LPFωωc1c1m（t）m（t）22××LPFSBF2BPF2LPF相加器信道ωωc2c2m（t）m（t）nn××LPFSBFnBPFnLPFωωcncn图,1 频分复用系统组成原理框图
图中，复用信号共有n路，每路首先通过低通滤波器ω（LPF），以便限制各路信号的最高角频率，一般假定各路m的ω都相等，然后各路信号通过各自的调制器（由乘法器和边m带滤波器（SBF）组成，其电路可以是相同的，但所用载波频率不同。调制方式可以任意选择，最常用的是单边带调制，因为其频带最窄。经调制后的各路信号就可以通过相加器复合（混合）为一路，在信道中传输。在接收端，利用相应的带通滤波器（BPF）来区分各路信号的频谱，然后通过各自的相干解调器恢复各路调制信号。 频分复用的特点♣优点：信道复用率高，分路方便。♣缺点：设备生产较为复杂，同时由于滤波器特性不够理想和信道内存在非线性而产生路间干扰。
复合调制及多级调制的概念 ♣复合调制：对同一载波进行两种或更多种的调制。♣多级调制：将同一基带信号实施两次或更多次的调制过程。图给出了一个SSB/SSB二级调制的原理框图。第1路SSB调制器ωc11第i路SSB调制器SSB调制器带通带通ωωc2c1i图 SSB/SSB多级调制的组成原理框图
第5 章数字基带传输系统数字基带传输概述 数字基带信号及抗噪声性能基带传输的常用码型基带脉冲传输与码间干扰无码间干扰的基带传输特性部分响应系统基带传输系统的抗噪声性能眼图时域均衡
本章知识点结构基带传输系统基带信号波形基带信号频谱抗噪声性能单极性双极性归零码不归零码单极性双极性噪声码间干扰奈奎斯特2准则奈奎斯特1准则时域均衡眼图
本章教学要求n了解数字基带信号的常用码型、眼图的基本概念、时域均衡、部分响应系统的基本理论；o熟悉和理解数字基带信号的频谱特性分析，以及脉冲传输与码间干扰的概念；p掌握无码间干扰等效传输条件、无码间干扰基带系统的抗噪性能公式。
数字基带传输概述♣基带传输的概念基带传输是指不经过调制而直接进行传输的一种方式，即发送端不使用调制器，接收端也不使用解调器。如各种来自数据终端的原始数据信号等，往往包含丰富的低频分量，甚至直流分量，因而称之为数字基带信号。在某些具有低通特性的有线信道中，特别是传输距离不太远的情况下，数字基带信号可以直接传输，称之为数字基带传输。而对于大多数信道，如各种无线信道和光信道，则是带通型的，数字基带信号必须经过载波调制，把频谱搬移到高频载波处才能在信道中进行传输，称为数字频带（调制或载波）传输。
♣基带传输的特点&基带信号含有大量的低频分量以及直流分量。$基带信号只能在具有低通特性的信道中传输。♣基带传输的意义目前，虽然基带传输不如频带传输广泛，但对于基带传输系统的研究仍是十分有意义的。主要原因在于：&基带传输是频带传输的基础。在频带传输中同样存在基带传输的问题。因为信道的含义是相对的，若把调制解调器包括在信道中（如广义信道），则频带传输就变成了基带传输。$随着数字通信技术的发展，基带传输方式也有迅速发展的趋势。不仅用于低速数据传输，而且还用于高速数据传输。%理论上可以证明，任何一个采用线性调制的频带传输系统，总可以由一个等效的基带传输系统所替代。
♣基带传输系统的组成基带传输系统的基本结构如图 所示。主要由信道信号形成器、信道、接收滤波器和抽样判决器组成。为了保证系统可靠有序地工作，还应有同步系统。噪声数字基接收抽样接收抽样信道信号信道带信号形成器滤波器判决器同步图 基带传输系统提取
♣基带传输系统中各部分的作用 &信道信号形成器：基带传输系统的输入是由终端设备或编码器产生的脉冲序列，它一般不适合直接送到信道中传输。因为很多基带信号含有直流，而信道往往不能传输直流（如信道有变压器或隔直电容等）。信道信号形成器的作用就是把原始基带信号变换成适合于信道传输的基带信号。这种变换主要是通过码型变换和波形变换来实现的，其目的是与信道匹配，便于传输，减小码间串扰，利于同步提取和抽样判决。码型变换器输出的各种码型是以矩形为基础的，一般低频分量和高频分量都较大，占用频带宽，不利于传输。故信道信号形成器中一般含有发送滤波器将其变为平滑波形。
$信道：是指允许基带信号通过的传输媒质，通常为有线信道，如市话电缆、架空明线等。信道的传输特性通常不满足无失真传输条件，甚至是随机变化的。另外信道还会引入噪声。在通信系统分析中，通常把噪声等效，都集中在信道中引入。%接收滤波器：其主要作用是滤除带外噪声，对信道特性均衡，使输出的基带波形有利于抽样判决。,抽样判决器：是在传输特性不理想及噪声背景下，在规定时刻（由位定时脉冲控制）对接收滤波器的输出波形进行抽样判决，以恢复或再生基带信号。而用来抽样的位定时脉冲则依靠同步提取电路从接收信号中提取，位定时的准确与否将直接影响判决效果。
♣基带传输系统各点波形图（a）是输入的基带信号；（b）是进行码型变换后的波形；（c）是对（a）进行了码型及波形变换后，适合在信道中传输的波形；（d）是信道输出信号，显然由于信道频率特性不理想，波形发生失真并叠加了噪声；（e）为接收滤波器输出波形，与（d）相比，失真和噪声减弱；（ff）是位定时同步脉冲；（g）为恢复的信息，其中第4个码图 基带传输系统各点波形图元发生误码。
♣本章重点基带传输的根本目的是在接收端以最小错误概率恢复发送序列。这就需要研究误码率与系统的什么参数有关，如何能使误码率达到最小。实际上就是数字通信系统的可靠性问题。如上例中，误码产生的原因，一是信道加性噪声，二是传输总特性（包括收、发滤波器和信道的特性）不理想引起的波形延迟、展宽、拖尾等畸变，使码元之间相互串扰。此时，实际抽样判决值不仅有本码元的值，还有其他码元在该码元抽样时刻的串扰值及噪声。显然，接收端能否正确恢复信息，在于能否有效地抑制噪声和减小码间串扰，这正是本章讨论的重点。
数字基带信号及其频谱特性 数字基带信号数字基带信号是指消息代码的电波形，是用不同的电平或脉冲来表示相应的消息代码。其类型有很多，常见的有矩形脉冲、三角波、高斯脉冲和升余弦脉冲等。其中最常用的是矩形脉冲，因为矩形脉冲易于形成和变换。下面以矩形脉冲为例介绍几种最常见的基带信号波形。♣单极性不归零波形 如图（a）所示，是一种最简单、最常用的基带信号形式。该信号脉冲的零电平和正电平分别对应二进制代码0和1，即在一个码元时间内用脉冲的有或无来对应表示0码或1码。特点是极性单一，有直流分量，脉冲之间无间隔，位同步信息包含在电平的转换之中，当出现连0序列时没有位同步信息。
♣双极性不归零波形在双极性不归零波形中。脉冲的正、负电平分别对应于二进制代码1和0，脉冲之间无间隔，如图（b）所示。由于它是幅度相等极性相反的双极性波形，故当0和1符号等可能出现时无直流分量。这样，恢复信号的判决电平为0，因而不受信道特性变化的影响，抗干扰能力较强，故双极性波形有利于在信道中传输。♣单极性归零波形 单极性归零波形与单极性不归零波形的区别是有电脉冲宽度小于码元宽度，每个电脉冲在小于码元长度内总要回到零电平，见图（c），所以称为归零波形。单极性归零波形可以直接提取定时信息，是其他波形提取位定时信号时需要采用的一种过渡波形。
10100111010011EE0-E（a）（d）1010111010011EE-E-E（b）（e）0000+3EE1010011010101+EEE10-EE1111-3EE0（c）（ff）图 几种常见的基带信号波形
♣双极性归零波形 它是双极性波形的归零形式，如图（d）所示。每个码元内的脉冲都回到零点平，即相邻脉冲之间必定留有零电位的间隔。除了具有双极性不归零波形的特点外，还有利于同步脉冲的提取。♣差分波形 该波形不是用码元本身电平表示消息代码，而是用相邻码元间电平的跳变和不变来表示消息代码，如图（e）所示。图中，以电平跳变表示1，以电平不变表示0，当然上述规定也可以反过来。由于差分波形是以相邻脉冲电平的相对变化来表示代码，因此称它为相对码波形，而相应地称前面的单极性或双极性波形为绝对码波形。差分波形可以消除设备初始状态的影响，特别是在相位调制系统中用于解决载波相位模糊问题。
♣多电平波形 上述各种信号都是一个二进制符号对应一个脉冲。实际上还存在多于一个二进制符号对应一个脉冲的情形。这种波形统称为多电平波形或多值波形。如令两个二进制符号E00对应+3E，01对应E+E，10对应E-E，E11对应-3E，则所得波形为4电平波形，如图（ff）所示。由于这种波形的一个脉冲可以代表多个二进制符号，故在高数据速率传输系统中，采用这种信号形式是适宜的。
基带信号的表达式组成基带信号的单个码元并非一定是矩形脉冲，也可以是其他形状，如三角形、高斯型、升余弦、半余弦脉冲等。但无论采用什么形式的波形，数字基带信号都可以用数学表达式表示出来。若数字基带信号中各码元波形相同而取值不同，则可表示为∞()st=a(gt−nT)∑nsn=−∞式中，a为是第n个信息符号所对应的电平值（0、1或-1、1n等），由信码和编码规律决定；TTs为码元间隔；()为某种gt标准脉冲波形，对于不同进制，其表达式不同。
()()gtgt♣对于二进制代码序列，若令代表“0”，代12表“1”，则()gt−nT出现符号“0”时⎧1s()gt−nT=⎨s()gt−nT出现符号“1”时⎩2s♣对于M进制代码序列，则()gt−nT出现第1个符号⎧1s⎪()gt−nT出现第2个符号⎪2s()gt−nT=⎨sM⎪⎪()gt−nT出现第M个符号⎩Ms由于是信息符号所对应的电平值，是一个随机量。因an此，实际中遇到的基带信号都是一个随机的脉冲序列
基带信号的频谱特性 研究基带信号的频谱结构是十分必要的，通过谱分析，可以了解信号需要占据的频带宽度，所包含的频谱分量，有无直流分量，有无定时分量等。这样，才能针对信号谱的特点来选择相匹配的信道，以及确定是否可从信号中提取定时信号。 数字基带信号是随机的脉冲序列，没有确定的频谱函数，所以只能用功率谱来描述它的频谱特性。()gt()gt设一个二进制脉冲序列如图所示。和分别表示21T符号0和1，出现概率为P和（1-P），且相互独立，为每一码元s的宽度。则得+∞()()st=st∑nn=−∞式中，(gt−nT)以概率P⎧1s()st=⎨n()gt−nT以概率1−P⎩2s
()gt(gt−T)(()(+−3T)gt−5Tgt2T)gt()gt+T2s21s1ss2s(()gtgt+4T)()()gt−2T(gt+3T−)gt4T2s11s12ss随机脉冲序列t()vt(t)(gt)g1稳态波TTsst−22()ut(gt−2T)1s交变波t−TTss图 任一随机脉冲序列示意波形
为了使频谱分析的物理概念清楚，推导过程简化。可以把()()stvt()ut分解成稳态波和交变波。()()vtst稳态波是随机序列的统计平均分量，它取决于每()()gtgt个码元内出现1和2的概率加权平均，即+∞+∞()vt=[Pg()(1)()]()t−nT+−Pgt−nT=vt∑∑1s2snn=−∞n=−∞ 其波形如图所示，是一个以TTs为周期的周期函数。()()()utstvt交变波是与之差，即()()()ut=st−vt()()()其中，第ut=st−vtn个码元为nnn得+∞()()ut=ut∑nn=−∞
()vt()根据st和的计算公式，可以得出(gt−nT)−Pg()(1)()t−nT−−Pgt−nT⎧1s1s2s⎪=(1−P)[⎪(gt−nT)−(gt−nT)]以概率P1s2s()ut=⎨n(gt−nT)−Pg(t−nT)−(1−P)(gt−nT)2s1s2s⎪⎪=−P(gt−nT)−(gt−nT)以概率1−P⎩1s2s()=()−()utstvtnnn或者写成()()()vt=Pgt−nT+1−P(gt−nT)n1s2s()[()(ut=agt−nT−gt−nT)]nn1s2s(gt−nT)以概率P⎧1ss()t=⎨n()gt−nT以概率1−P⎩2s式中，1−P以概率P⎧a=⎨n−P以概率1−P⎩()ut可见，是随机脉冲序列，如图为其一个实现。 ()()vtut因此，可以分别求出稳态波和交变波的功率谱，然()st后，将两者的功率谱合并即可得到的频谱特性
♣稳态波的功率谱密度()vt由于是以TTs为周期的周期信号，即+∞()[()()()]vt=Pgt−nT+1−Pgt−nT∑1s2sn=−∞ 可以展开成傅氏级数+∞j2πmfts()vt=Ge ∑mn=−∞式中，T/21s−j2πmfts()G=vtedtm∫−T/2sTs由于在(−T/2T),/2范围内（相当于=n0=），得到ss()()()()vt=Pgt+1−Pgt12T/21s−j2πmfts[G=Pg()+(1−)()]tPgtedtm12∫−T/2sTs
Pg()+(1−)()tP(gt−T/2T2),/由于只存在于范围内，所以12ss(−∞,+∞)上式的积分限可以扩展为，因此+∞1−j2πmfts[()()()]G=Pgt+1−Pgtedtm12∫−∞Ts=()+(1−)()fPGmfPGmfs1s2s+∞−j2πmfts()Gmf=()gtedt式中，1s1∫−∞+∞−j2πmfts()()Gmf=gtedt2s2∫−∞根据周期信号功率密度谱的计算公式，得周期信号的频谱是离散+∞2谱P(ω)=()Gδf−mf∑vmsm=−∞+∞2=[()fPGmf+(1−P)()](Gmfδf−)mf∑s1s2ssm=−∞
♣交变波的功率谱密度 交变波是随机脉冲序列，其功率谱密度可采用截短函数和求统计平均的方法来求，参照第2章中功率谱密度的原始定义式，有22E[(ω)][()]UEUfTTP()t=ulim=limT(2N+1)TT→∞N→∞S()()f()Uutut其中，是的截短函数的频谱函数；EE表示统计平TT均；截取时间TT是（N2N+1）个码元的长度。 ()ut=a[(gt−nT)−(gt−nT)]nn1s2s+∞−j2πft+N()()Uf=utedt(ut)=a(gt−nT)−(gt−nT)TT∑Tn1s2s∫−∞n=−N+N+∞−j2πft=a[()()]gt−nT−gt−nTedtn1s2s∑∫−∞n=−N+N()−2π−j2πft−nT−j2πfnTjftss−j2πfnTse=ee=ae[()()]Gf−Gfn12∑n=−N
∞∞−j2πft−j2πft式中，()=()，。Gfgtedt()()Gf=gtedt11∫22∫−∞−∞2∗()()()Uf=UfUfTTTNN2π()∗jfn−mTs=aae[()()][()()]Gf−GfGf−Gf∑∑mn1211m=−Nn=−N其统计平均为NN2(j2πfn−)∗mTsE[()]Uf=E[aa]e[()Gf−()][()GfGf−()]Gf∑∑Tmn1212m=−Nn=−N&当=mn=时2⎧(1−P)以概率P⎪2aa=a=⎨mnnP2♣均以概率取值1−P⎪P以概率1−P⎩1−P♣均以概率取值−P−P$♣一个取值，一个当m≠n时22取值1−P。概率和为1⎧(1−P)以概率P⎪22aa=P以概率(1−P)⎨mn⎪−P(1−P)以概率2P(1−P)⎩
由于222E[a]=P(1−P)+(1−P)P=P(1−P)n2222E[aa]=P(1−P)+(1−P)P−2P(1−P)P(1−P)=0mn得统计平均为NN2∗()j2πfn−mTsE[()][]Uf=Eaae[()−()][()−()]GfGfGfGf∑∑Tmn1212n=−Nn=−NN2=()−()(1−)GfGfPP∑12n=−N2=(2N+1)()−()GfGP(1−P)f12非周期信号得到交变波的功率谱密度为的频谱是连2续谱(2N+1)()()()Gf−GfP1−P12P(ω)=limuN→∞(2N+1)Ts2()()()Gf−GfP1−P212==()−()(f1−P)GfGfPs12Ts
♣随机基带序列的功率谱密度由于()()()st=ut+vt，得P(ω)=P(ω)+P(ω)suv2=()fGf−()(GfP1−P)s12+∞2+[()fPGmf+(1−P)()](Gmfδf−)mf∑s1s2ssm=−∞上式为双边带功率谱密度表达式。如用单边带功率谱表示，则需将负频域部分叠加到正频m=0域，即单边带功率谱密度为222P(ω)=2()()(fGf−GfP1−P)+[(fPG0)+(1−P)(G0)]δ()fss12s12+∞2+2[()(fPGmf+1−P)()]()Gmfδf−mff>0∑s1s2ssm=1
+∞22P(ω)=f()()()[()()()]()Gf−GfP1−P+fPGmf+1−PGmfδf−mfss12s1s2ss∑&对于单极性波形m=−∞()=0()()gtgt=gt设，，则双边带功率谱为12+∞22P(ω)=()()(fGfP1−P+f1−P)()(Gmfδf−)mf∑sssssm=−∞式中，()是()的频谱函数。当，且()为矩形脉冲时P=gtGfgt1/2⎧1t≤T/2⎡⎤sinπfTss()gt=()Gf=T⎨s⎢⎥0其他tπfT⎩⎣s⎦()()f=mfGmfGmf=T当，的取值情况：=m0= 时，。因ssss()Gmf=0此，离散谱中有直流分量；m不为零的整数时，，离s散谱均为零，因而无定时信号。得到双边带功率谱密度函数为22⎡⎤⎡⎤1sinπfT11sinπfT12ssP(ω)=fT+δ(f)=T+δ(f)⎢⎥⎢⎥ssss4πfT44πfT4ss⎣⎦⎣⎦
由于稳态波为周期信号，故其频谱为离散谱；交变波频谱为连续谱。随机序列的带宽取决于连续谱，实际上是由单个码元的频f=f谱函数决定，该频谱的第一个零点在，因此单极性不归s零信号的带宽为B=f，如图所示。s对于单极性归零码，P()fs其占空比决定信号带归零码宽，即不归零码B=1/ττ其中，为占空比。图中，占空比为ff2fssB=2f1/2，得。s图 二进制基带信号的功率谱密度
&对于双极性波形()=()()gt−gt=gt设，则双边带功率谱为12+∞22P(ω)=4()()()fGfP1−P+f2P−1()δ(Gmff−)mf∑sssssm=−∞()Gf()gt式中，是的频谱函数。当时P=1/22P(ω)=()fGfss若⎧1t≤T/2⎡⎤sinπfTss()gt=()Gf=T⎨s⎢⎥0其他πfTt⎩⎣s⎦22则⎡⎤⎡⎤sinπfTsinπfT2ssP(ω)=fT=Tss⎢s⎥s⎢⎥πfTπfT⎣s⎦⎣s⎦对于等概的双极性信号（0，1），由于其均值为0，所以无离散谱。
♣几点结论&随机序列的带宽主要取决于单个码元波形的频谱函数()Gf()Gf或，两者之中应取较大带宽的一个作为序列带宽。12时间波形的占空比越小，频带越宽。通常以谱的第一个零点作B=1/τ为矩形脉冲的近似带宽，它等于脉宽的倒数，即。τ对于不归零脉冲，τ=T，则B。=1/T=fsssτ=T/2对于半占空归零脉冲，，则B=2/T=2f。sssf=1/T其中，为位定时信号的频率。ss$单极性基带信号是否存在离散线谱取决于矩形脉冲的占空比。单极性归零信号中有定时分量，可直接提取。单极性不归零信号中无定时分量，若想获取定时分量，需进行波形变换。对于0、1等概的双极性信号，没有离散谱，即无直流分量和定时分量。
基带传输的常用码型♣基带调制器：是指将数字基带信号变换成适合于基带信道传输的基带信号的变换器。♣基带解调器：是指将信道基带信号变换成原始基带信号的变换器。基带调制器和基带解调器统称为基带调解器。♣对信道基带信号的要求#对代码的要求，原始消息代码必须编成适合于传输用的码型。即为传输码型的选择； #对所选码型的电波形要求，电波形应适合于基带系统的传输。即为基带脉冲的选择。
♣对码型的要求传输码（线路码）的结构取决于实际信道特性和系统工作条件。通常，应具有下列主要特性： )相应的基带信号无直流分量，且低频分量少； )便于从信号中提取定时信息； )高频分量尽量少，以节省传输频带并减少码间串扰； )不受信源统计特性的影响，即能适应于信源的变化；)具有内在的检错能力，传输码型应具有一定规律性，以便利用这一规律性进行宏观监测；)尽可能提高传输码型的传输效率；)编译码设备要尽可能简单，等等。满足或部分满足上述特性的传输码型种类繁多。
♣常用码型*极性交替转化码IAMI码；*三阶高密度双极性码HDB3码；*成对选择三进制码TPST码；*双相码，即曼彻斯特码（hManchester Code）；*密勒（Miller）码；*反转码ICMI码；*分组码mBnB码；*等等。
基带脉冲传输与码间干扰♣基带传输系统模型基带信号传输系统模型如图所示。基带信号波形变换为相应的发送基带波形后，送入信道传输。一方面要受到信道特性的影响，使信号产生畸变，另一方面要迭加加性噪声，造成信号的随机畸变。故用接收滤波器抑制噪声，并由识别电路（一般为抽样判决器）进行信号的恢复和再生。噪声n()t(Gω)TC(ω)()GωR′{a}{a}nn发送接收发送接收识别信道滤波器滤波器电路图 基带传输系统模型
♣码间干扰的生产{a}在图中，为发送滤波器的输入序列。在二进制情况n下其取值为0和1（或-1和1）。设该序列所对应的基带信号为+∞d()t=aδ(t−nT)∑nsn()tn=−∞+∞′{a}{a}则()()st=agt−nT()rtns()tn∑nTs识别C(ω)(Gω)(Gω)识别RTn=−∞电路电路∞1jωt()图 基带传输系统模型=(gtGω)edωTT∫−∞2π+∞()rt=a(ht−nT)+n()t∑nsRn=−∞∞1jωt()()ht=GωC(ω)(Gω)edωTR∫−∞2π
或者，设系统总传输函数为H(ω)=()()(GωCωGω)TR其单位冲激响应为+∞∞1jωtd()t=aδ(t−nT)∑ns()=(htHω)edωn=−∞∫−∞2π因此，在()ht作用下，接收滤波器输出信号为+∞()rt=d()t∗()ht+n()t=a(ht−nT)+n()tR∑nsRn=−∞n()t式中，为加性噪声通过接收滤波器后的波形。R接收滤波器输出的()rt被送到识别电路，并由该电路确定′a值。识别电路是一个抽样判决电路，对信号的抽样时刻一般nt在()kT+t。其中，kk是相应的第kk个时刻，是可能的时偏（通0S0常由信道特性和接收滤波器决定）。
()kT+t()rt在时刻的取样值为S0+∞(+)=(+−)+(+)rkTtahkTtnTnkTt∑s0ns0sRs0n=−∞=a()+[(−)+]+(+)htahknTtnkTt∑k0ns0Rs0n≠ka()ht由上式可见，抽样值由三部分组成。第一部分是第kkk0a[(hk−n)T+]t个接收基本波形的取样值；第二部分∑是接收ns0n≠k信号中除第kk个以外的所有基本波形在第kk个抽样时刻上的代数和，称为码间干扰（亦称为码间串扰或符号间干扰）；第三部分n()kT+t为随机干扰。如图所示。Rs0a码间干扰是指其他码元对判决码元的干扰。由于是以某n一概率出现的，故码间干扰为一随机变量。
图 接收信号波形
()由于码间干扰和随机噪声的存在，当rkT+t加到判决电s0路时，对a取值的判决可能判对，也可能判错。ka如在二进制数字通信时，的可能取值为“0”或“1”，k判决电路的判决门限为，判决规则为V0a&当()rkT+t>V时，判为“1”；ks00a$当()rkT+t<V时，判为“0”。ks00显然，只有当码间干扰值和噪声足够小时，才能基本保证上述判决的正确。否则，有可能发生错判, 造成误码。因此，为了使误码率尽可能地小，必须最大限度地减小码间干扰和随机噪声的影响。这也正是研究基带脉冲传输的基本出发点。
无码间干扰的基带传输特性♣影响码间干扰的因素要想消除码间干扰，必须使a[()]hk−nT+t=0∑ns0n≠k由此可见，影响码间干扰的主要因素有：&a发送滤波器输入序列；n$系统总传输特性。H(ω)a由于是随信息内容而变化，是一随机变量，要想通过各n项相互抵消使码间干扰为零是不可能的。因此，就需要研究系H(ω)统总传输特性，即通过选择H(ω)，使得系统码间干扰最小，甚至无码间干扰。
H(ω)♣对的波形要求如果在第二个码元的抽样判决时刻，前一个码元波形已经衰减到零，则第一个码元对第二个码元不形成码间干扰。如图（a）所示的波形，就能满足要求。但这样的波形不易实现，因为实际中的波形有很长的“拖尾”，也正是由于每个码元()htt+Tt+2T“拖尾”造成对相邻码元的串扰，但它只要在、等后0s0s面码元抽样判决时刻正好为零，就能消除码间串扰，如图（b）所示。这也是消除码间串扰的基本思想。()()ththt+Tttt+Tt+2Ttt0s000s0s图 消除码间干扰的原理
♣H(ω)的理论分析基带传输特性的分析模型见图所示。()无码间干扰意味着对ht在时刻抽样，下式应成立kTs1k=0⎧a(ht−nT)aδ(t−nT)∑ns∑ns′{a}n()hkT=⎨nn识别sH(ω)识别0k为整数⎩电路电路()ht即的值除时不为零外，t=0图 基带传输特性的分析模型在其他抽样点上均为零。+∞1jωkTs()hkT=H(ω)edω由于s∫−∞2π2π/T将积分区间用角频率分割，得s(2i+1)π/T1sjωkTs()hkT=H(ω)edω∑s∫(2i−1)π/Ts2πi
′ω=ω−2iπ/T′做变量代换，令，则有dω=dω，′ω。=ω+2iπ/Tss(2i+1)π/T1s′且当ω=(2)时，。于是jωkTi±1π/Tω=±π/Tsss()hkT=H(ω)edωs∑∫(2i−1)π/Ts2πiπ/T⎛⎞12iπs′jωkTj2πiks⎜′⎟′()hkT=Hω+eedω∑s∫⎜⎟−π/Ts2πTi⎝s⎠j2πikπ/T⎛⎞e=cos2πik12iπs′jωkTs⎜′⎟′=Hω+edω∑+jsin2πik=1∫⎜⎟−π/Ts2πTi⎝s⎠π/T⎛⎞12iπs′jωkTs⎜′⎟′=Hω+edω∑∫⎜⎟−π/Ts2πTi⎝s⎠将再换为ω，得′ωπ/T⎛⎞12iπsjωkTs⎜⎟()hkT=Hω+edω∑s∫⎜⎟−π/Ts2πTi⎝s⎠π/T1sjωkTs=B(ω)edω∫−π/Ts2π⎛⎞2iπ式中，⎜⎟是周期为2π/TB(ω)=Hω+的频率周期函数。s∑⎜⎟Ti⎝s⎠
F(ω)由傅立叶级数可知，若是周期为的频率函数，则ω02πnω⎧−jω0F(ω)=fe⎪∑n⎪n⎨2πnωjω/210ω⎪0()f=Fωedωn∫⎪−ω/20ω⎩0令ω=2π/T，则0s−jnωTS⎧F(ω)=fe∑n⎪nπ/T⎛⎞12iπsjωkT⎨sπ/T⎜⎟T()hkT=Hω+edωsjnωTs∑s∫⎜⎟S−π/Ts2πTf=F(ω)edω⎪i⎝s⎠n∫−π/Ts⎩2ππ/T1sjωkTs=B(ω)edω∫−π/Ts2π同理，得−jnωTS⎧B(ω)=be∑n⎪n⎪⎨π/Tπ/T⎛⎞TT2nπssjnωTjnωTssSS⎜⎟b=B(ω)edω=Hω+edω⎪n∑∫∫⎜⎟−π/T−π/Tss2π2πT⎪n⎝s⎠⎩
π/T⎛⎞1s2iπjωkTs⎜⎟(nT)()hkT=Hω+edωh由和的比较可得bs∑∫s⎜⎟−π/Tns2πTi⎝s⎠π/T1sjωkTsb=T()hnT=B(ω)edωnss∫−π/Ts2ππ/TTs要满足无码间干扰的条件，则有jnωTsSb=B(ω)edωn∫−π/T2πsTn=0⎧sπ/Tb=⎛⎞Ts2nπ⎨jnωTsnS⎜⎟=Hω+edω∑0n≠0⎜⎟∫−π/T⎩2πTs⎝s⎠n⎛⎞2πi−jnωTS⎜⎟B(ω)=Hω+=be=T∑∑ns⎜⎟Tin⎝s⎠这说明只要基带系统的总传输特性符合此要求，均可消除码间干扰。即给出了检验某一基带系统是否产生码间干扰的准则。由于该准则最早由奈奎斯特（NyqNyquist）提出，故称为奈奎斯特第一准则。其物理意义是将H(ω)在频率轴上以2π/T为周期展开并迭sT加，如果迭加后的结果为常数（不一定是），则无码间干s扰；否则，则存在码间干扰。
⎛⎞2iπ⎜⎟Hω+♣∑对的讨论⎜⎟Ti⎝s⎠f>2W&当时（码元速率大于两倍系统带宽）sH(ω+2)iπ/T如图W<f/所示，由于，且∑可看作是ssi2π/T由一系列H(ω)的周期性重复，周期为，使得无论H(ω)的sH(ω+2π)i/T形状如何选取，都不可能使为常数，即无法设∑si计无码间干扰的系统。⎛⎞2iπ⎜⎟Hω+∑⎜⎟Ti⎝s⎠ω2π2π2π2π−WW−W−+WTTTTssssf>2W图 时的波形图s
$当f=2W时（码元速率等于两倍系统带宽）sf=2W由于，即码元速率为基带系统带宽的两倍，称为奈s奎斯特速率。其含义就是在给定基带传输系统带宽的情况下，H(ω+2π)i/T最高无码间干扰的速率。由图可知，要想使∑si为常数，唯一的传输函数和冲激响应为⎧常数ω<Wsin(π)t/Ts()H(ht=ω)=⎨πt/T0其他s⎩⎛⎞2iπ⎜⎟Hω+∑⎜⎟Ti⎝s⎠ω2π−WWTsf=2W图 时的波形图s
f<2W%当时（码元速率小于两倍系统带宽）s如图H(ω+2)iπ/所示，是由一系列相互重叠的波形∑si迭加而成，极有可能使为常数。H(ω+2)iπ/T∑si⎛⎞2iπ⎜⎟Hω+∑⎜⎟Ti⎝s⎠ω4π4π−WW−TTss图 f < 2 时的波形图Ws
#几点结论f)若输入序列以波特速率传输，则所需最小传输带宽sf/2为（Hz）。这是在无码间干扰条件下，基带系统所能达到sf/2的极限值。一般将称为奈奎斯特带宽。若给定基带系统带s宽为时，则该系统无码间干扰的最高速率为波特，称为2WW奈奎斯特速率。如果高于2波特，将存在码间干扰。Wf)若某基带传输系统在码元速率为波特时无码间干扰，sf/n则当码元速率为时也无码间干扰，其中n为整数。s)当码元速率小于奈奎斯特速率时，判断基带系统在抽样H(ω+2)iπ/T时刻无码间干扰的条件为∑是否为常数。一般只siω<π/T需检验在区间中是否为常数。通常将这一区间中的迭s加结果记为等效理想低通H(ω)，故判断条件简化为eqH(ω)=H(ω+2)iπ/T=常数eqs
#重要概念)奈奎斯特带宽：也称为对称点带宽，即π11fsW====BminT2π2T2ss这是基带系统的最小带宽，也称等效理想低通带宽或信息带宽。)奈奎斯特速率：f=2W=RsBmax对于波形来说，间隔最小，速率越快，也称为无码间干扰的最高速率，属于码元速率的范畴。信道带宽BÖ车的载重量Ö给定车，允许拉货的最高值受限。（给定公路的宽度，允许车的最大宽度，超过溜沟）。速率Ö货的重量Ö给定货，车的最小载重量受限。（给定车的宽度，要求路的最小宽度）
#奈奎斯特第一准则Nyq1924年，奈奎斯特（Nyquist）就推导出在理想低通信道下的最高码元传输速率的公式理想低通信道下的最高码元传输速率＝W2W Baud其中，WW是理想低通信道的带宽，单位为赫兹；Baud是码元传输速率的单位。奈氏准则的另一种表达方法是：每赫兹带宽的理想低通信道的最高码元传输速率是每秒2个码元。若码元的传输速率超过了奈氏准则所给出的数值，则将出现码元之间的互相干扰，以致在接收端就无法正确判定码元是1还是0。
♣等效理想低通滤波器H(ω)如图所示,低通滤波器的传输函数关于ω=π/T为s奇对称。则当=H(i0=时，ω+2iπ/T)=H(ω)ω≤π/T，见图（b）∑ssi当=H(ω+2π)=(ω+)i/TH2π/Tω≤π/Ti1=时，，（c）∑sssiH(ω+2)(iπ/T=Hω−2π/T)ω≤π/T当=i=-1时，，（d）∑sssi除这三项外，i为其他值时的各项均为0。则在ω≤π/T区s间内，有⎛⎞⎛⎞⎛⎞2iπ2iπ2iπ⎜⎟⎜⎟⎜⎟Hω+=Hω−+H(ω)+Hω+=Tω≤π/T∑ss⎜⎟⎜⎟⎜⎟TTTi⎝s⎠⎝s⎠⎝s⎠即三项迭加的结果（见图（e））满足无码间干扰的条件。
H(ω)2πππ2π3π3πω−−−TTTTTTssssss（b）H(ω+2π)i/Tω<π/T∑sωsππi−TTss（c）ωω2ππ3πππ−−−−TTTTTsssss（d）ωπ2π3πTTTsss图5-13 H ( ω ) 的构成
ω=±(2n−1)π/T上式的物理意义是，按（其中n为正整数）sH(ω)2π/T将在ω轴上以间隔切开，然后分段沿ω轴平移到s−π/T~π/T（）区间内进行叠加，其结果应当为一常数（不一定ss是T），如图（e）所示。这种特性称为等效理想低通特sH(ω)性，记为。即eq⎧⎛⎞2πiπ⎜⎟Hω+=Tω≤⎪∑s⎜⎟⎪TTi⎝s⎠sH(ω)=⎨eqπ⎪0ω>⎪T⎩s当=i0=时，上式变为理想低通滤波器，即ππ⎧sintH(ω)=Tω≤s⎪T⎪Tss()ht=H(ω)=⎨eqππ⎪t0ω>T⎪Ts⎩s其曲线图如图所示。
H(ω)()htTstω−3TT−2T−T2T3Tssssss图 理想低通滤波器的传输函数及冲激响应(t=±kTk≠0)由图可以看出，()在时有周期性零点，当发hts送序列的间隔为T时正好巧妙地利用了这些零点，实现了无码s间干扰的传输。理想低通滤波器存在两个缺陷：&理想矩形特性的物理实现极为困难；$理想的冲激响应的尾巴很长，衰减很慢，当定时存在偏差时，可能出现严重的码间串扰。
()ht理想冲激响应尾巴衰减慢的原因是系统的频率截止特性过于陡峭。这就启发我们可以按图所示的构造思想去设Y(ω)W计H(ω)特性，只要图中的具有对呈奇对称的振幅特1H(ω)性，则即为所要求的。这种设计也可以看成是理想低通特性按奇对称条件进行“圆滑”的结果，上述的“圆滑”，通常被称为滚降。定义滚降系数为W2α=W1WW式中，是无滚降时的截止频率，为滚降部分的截止频率。12由于，不同的α有不同的滚降特性。图画出0≤α≤1了按余弦滚降的三种滚降特性和冲激响应。
H(ω)Y(ω)H(ω)eqW2ωωωW−W12W+WW+WW12121图 滚降特性构成H(ω)()htα=0α=，，ωO0W2W11图 余弦滚降系统
具有滚降系数α的升余弦滚降特性可表示为1−α⎧Tω≤πs⎪Ts⎪⎡⎤⎛⎞TTπ1−α1+α⎪ss⎜⎟H(ω)=1+sin−ωπ<ω<π⎨⎢⎥⎜⎟22αTTT⎝s⎠ss⎪⎣⎦⎪1+α0ω>π⎪T⎩s而相应的冲激响应为sin(π)()t/Tcosαπt/Tss()ht=⋅222πt/T1−4αt/Tss对于，有α=1⎧⎡⎤⎛⎞TTπ2πss⎜⎟1+sin−ωω<⎪⎢⎥⎜⎟⎪22TT⎝s⎠s⎣⎦H(ω)=⎨2π⎪0ω>⎪T⎩s
)几点分析主要针对α=1的升余弦波形#该波形除抽样点t=0时不为零外，其余所有抽样点上均为零，这就保证了无码间干扰的传输条件。#在两个抽样点之间又增加了一个零点，且尾部衰减较快，有利于减小码间干扰和对位定时误差的影响。#频谱宽度是理想低通滤波器的2倍，因而频率利用率较低，传输速率为，即频率利用率为，为最高频率利1W/Hz1W用率的一半。频率利用率定义为单位频带内的码元传输速率。频率利用率越高，系统的有效性越好。
部分响应系统 几个概念♣研究部分响应系统的意义&理想低通滤波特性的优点是频谱窄，传输速率能够达到理论极限。缺点是尾巴振荡幅度大，收敛慢，对定时要求严格，且实现困难。$升余弦特性的优点是克服了理想低通滤波特性的缺陷，减小了尾巴的振荡幅度，放松了对定时的要求。缺点是所需带宽加大，系统频带利用率降低。%如何找到一种既可以提高频带利用率，又能够使尾巴衰减大、收敛快的波形，便是部分响应系统所要研究的内容。
♣奈奎斯特第二定律)奈奎斯特第二定律：有控制地在某些码元的抽样时刻引入码间干扰，而在其他码元的抽样时刻无码间干扰，那么就能够使频带利用率提高到理论上的最大值，同时又可以降低对定时精度的要求。$部分响应波形：符合奈奎斯特第二定律的波形称为部分响应波形。%部分响应系统：利用部分响应波形进行传输的基带传输系统称为部分响应系统。
第Ⅰ类部分响应波形sinx/x由图可以看出，相距一个码元间隔的两个波形的尾巴刚好正负相反，利用这样的波形组合肯定可以构成拖尾衰减很快的脉冲波形。根据这一思路，可用两个间隔为一个码元宽度的相加，如图所示。合成波形为Tsinx/xs⎡⎤⎡⎤πTπT⎛⎞⎛⎞SSsint+sint−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥T2T2⎝⎠⎝⎠⎣s⎦⎣S⎦()gt=+πTπT⎛⎞⎛⎞SSt+t−⎜⎟⎜⎟T2T2⎝⎠⎝⎠SS相应频谱函数为ωTπ⎧S2Tcosω≤S⎪⎪2TS()Gω=⎨π⎪0ω>⎪T⎩S
H(ω)()htTstω−3TT−2T−T2T3Tssssss图 理想低通滤波器的传输函数及冲激响应⎡⎤⎡⎤πT⎛⎞πT⎛⎞SSsint+⎜⎟sint−⎜⎟⎢⎥⎢⎥T2T2⎝⎠⎝⎠sS⎣⎦⎣⎦πT⎛⎞πT⎛⎞SSt+⎜⎟t−⎜⎟T2T2⎝⎠⎝⎠SS图() g t 及其频谱
()gt简化的表达式⎡⎤⎡⎤πTπT⎛⎞⎛⎞SSsint+sint−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥T2T2sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ⎝⎠⎝⎠sS⎣⎦⎣⎦()gt=+sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβπTπT⎛⎞⎛⎞SSt+t−⎜⎟⎜⎟T2T2⎝⎠⎝⎠SSπtππtππtππtπsincos+cossinsincos−cossinT2T2T2T2ssss=+πTπT⎛⎞⎛⎞SSt+t−⎜⎟⎜⎟T2T2⎝⎠⎝⎠SSTπtTπtπtπt⎛⎞⎛⎞SSt−cos−t+cosTcoscos⎜⎟⎜⎟S2T2TT4T⎝⎠⎝⎠ssss==−=222⎛⎞⎛⎞π4tπTπT22ss⎜⎟⎜⎟1−t−t−2⎜⎟⎜⎟T4T4TSSs⎝⎠⎝⎠可见kTT4⎛⎞⎛⎞ssg±=0k=±3，±5，Lg±=1()⎜⎟g0=⎜⎟22π⎝⎠⎝⎠
()gt=1由图可见，除了在相邻的取样时刻处外，t=±T/2s()gt其余的取样时刻上，具有等间隔零点。♣波形特点2&sinx/x()gt波形的拖尾幅度与t成反比，而波形幅度与t()成反比。说明gt波形拖尾的衰减速度加快了。$T若用()gt作为传送波形，且码元间隔为，则在抽样时s刻上仅受到前一码元相同幅度样值的串扰，而与其他码元不会发生串扰。如图所示。表面上看，前后码元的串扰很大，似乎无法按1/T的速率进行传送。但实际上由于这种串扰是确s定的、可控的，在接收端可以消除掉，故仍可按1/T传输速率s传送码元，即频带利用率可达到理论极限值。%由于存在前一码元留下的有规律的串扰，可能会造成误码的传播（或扩散）。
判决时刻图 码元发生串扰的示意图
♣误码传播举例设输入的二进制码元序列为{a}，且取值为+1或-1。当发k()gt送码元a时，接收波形在抽样时刻上获得的样值为kC=a+akkk−1由于串扰值和信息码元的抽样值幅度相等，因此C可能有ka+2、0、-2三种取值。如果已经判定，则接收端可根据收到k−1a的C减去，便得到k−1ka=C−akkk−1a但实际上，由于的恢复不仅取决于C，而且还必须参考kka{C}前一码元的判决结果，如果中某个抽样值因干扰而发k−1ka生差错，则不但会造成当前恢复的值错误，而且还会影响到ka，a，L以后所有的抽样错误，称为错误传播现象。k+1k+2
【例】输入信码1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1C=a+akkk−1发送端{a}+1 -1 +1 +1-1 -1-1+1 -1 +1 +1k接收端{C}0 0 +2 0 -2 -20 0 0 +2 （理论上）k′{C}接收端0 0 +2 0 -200 0 0 +2 （实际上）k恢复的′+1-1 +1 +1-1 -1+1 -1 +1 -1 +3{a}k′′a=C−akkk−1接收信码1 0 1 1 0 01 0 1 0 ？′′{C}{a}由上例看出，自出现错误后，接收端恢复出的全部kk是错误的，见红色恢复值。′{a}此外，在接收端恢复时，还必须有正确的起始值+1，否k′{a}则也不可能得到正确的序列。k
♣消除错误传播现象的方法0+0=00+1=1ab首先将发送端的变为，其规则是kk1+1=0a=b⊕bb=a⊕bkkk−1kkk−1式中，⊕表示模a2和，且设和是二进制数字0和1。bkk{b}然后将作为发送滤波器的输入码元序列进行发送，得到kC=b+bkkk−1最后，对C进行模2处理，则有k[C]=[b+b]=b⊕b=akkk−1kk−1kmod2mod2这说明，对接收到的序列C做模2处理后便直接得到发送ka端的a。此时，不需要预先知道，故不存在错误传播现象。k−1k
a原始信号为二进制信号，仅有两个状态0，1；经过预编k码之后b仍为二进制信号，也仅有两个状态0，1；但经过系统k传输后C却有三个状态0、1、2。判决规则是k0或2判0⎧′C=⎨k1判1⎩a此例说明，由当前C值可直接得到当前的，所以错误不kk会传播下去，而是局限在受干扰码元本身位置，这是因为预编码解除了码间的相关性。其系统组成方框图如图 所示。其中图（a）为原理框图，图（b）为实际系统组成框图。
a预编码：将变为b的过程，称为预编码。kkC=a+a相关编码：将式和式C=b+b的关系称为kkk−1kkk−1相关编码。因此，消除错误传播现象的方法可以归纳为“预编码~相关编码~模2判决”。【例】发送端{a}1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 k发送端{b}0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1b=a⊕bkkk−1k−1{b}发送端1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0kC=b+bkkk−1接收端{1 2 1 1 2 2 2 1 0 1 1C}k接收端′1 2 1 1 2 2 2 1 11 1{C}k′恢复的{a}1 0 1 1 0 0 0 1 11 1 k
发送端发送端bCkkak′akbbk−1k−1发送端发送端ak′ak图 第Ⅰ类部分响应系统组成框图
部分响应的一般形式将第Ⅰ类部分响应形式推广到一般的部分响应系统中，它sinx/xT是NN个相继间隔为的波形之和，即sπππsin()[()]tsint−Tsint−N−1TssTTTsss()gt=R+R+L+R12Nπππ()[()]tt−Tt−N−1TssTTTsssR、R、L、R式中，为加权系数，其值可以是正整数、负整数12N或零。部分响应的频谱函数为N⎧π−ω(1)jm−TsTReω≤∑sm⎪⎪Tm=1s()Gω=⎨π⎪0ω>⎪T⎩s−π/T~+π/T()Gω可见，仅在（）范围内存在。ss
R不同，将有不同的部分响应信号，相应有不同的相关编i{a}{码方式。设输入数据序列，相应相关编码电平为C}。kkC=Ra+Ra+L+Rak1k2k−1Nk−(N−1)Ca由此可见，的电平数将依赖于的进制数L及R的取值。kkiCa一般的电平数要超过的进制数。kk为了消除差错传播，一般采用预编码~相关编码~模2判决的过程。)预编码为a=Rb+Rb+L+Rb（按模L相加）()k1k2k−1Nk−N−1a、b式中，已假设为L进制。kk)相关编码为C=Rb+Rb+L+Rb（按算术相加）()k1k2k−1Nk−N−1
)对C进行模L处理，得ka=[C]=[Rb+Rb+L+Rb]()kk1k2k−1Nk−N−1modLmodL这正是所期望的结果。此时不存在错误传播结果，接收端译码也十分简单，只需直接对C按模L判决即可。kR根据取值不同，表列出了常见的五类部分响应波形、iR频谱特性和加权系数，分别命名为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ类部isinx/x分响应信号，为便于比较，把具有波形的理想低通也列在表内，并称为第0类。从表中看出，各类部分响应波形的频谱均不超过理想低通的频带宽度，但他们的频谱结构和对临近码元抽样时刻的串扰不同。目前应用较多的是第Ⅰ类和第Ⅳ类。第Ⅰ类频谱主要集中在低频段，适于信道频带高频严重受限的场合。第Ⅳ类无直流分量，且低频分量小，便于实现单边带调制。
表 五类相应波形比较
♣采用部分响应波形的特点&优点#能够实现每赫兹2Baud的码速率，即频带利用率达到理论极限#能消除码间干扰，且拖尾衰减大，收敛快。$缺点#在相同输入信噪比的条件下，抗噪声性能比零类响应系统要差。原因在于输入数据为L进制时，相关编码电平要超过L个。#部分响应系统的优点的获得是以牺牲可靠性为代价的，即抗干扰能力下降。
基带传输系统的抗噪声性能码间干扰和信道噪声是影响接收端正确判决而造成误码的两个主要因素。上节讨论了不考虑噪声影响时，消除码间干扰的基带传输特性。本节讨论在无码间干扰的条件下，噪声对基带信号传输的影响，即计算噪声引起的误码率。分析模型如图所示。n()tx()()()t=st+ntRs()t+接收滤波器取样判决器图 抗噪声性能分析模型设二进制接收波形为，信道噪声n()t通过接收滤波器后()st的输出，则接收滤波器的输出为n()tRx()=()+()tstntR
♣双极性信号若二进制基带信号为双极性，设它在抽样时刻的电平取值x()kT为+A或-A（分别对应于信码“1”或“0”），则在抽样s时刻的取值为⎧()A+nkT发送1信号Rsx()kT=⎨s−()A+nkT发送0信号⎩RsV设判决电路门限为，则判决规则为dx()kT>V判决为1码⎧sd⎨x()kT<V判决为0码⎩sd上述判决过程的典型波形如图所示。其中，图（a）是无噪声影响时的信号波形，图（b）则是图（a）迭加上噪声后的混合波形。即无噪声干扰时能够毫无差错地恢复基带信号，而迭加噪声后就出现了两种判决错误。
图 无噪声和有噪声时判决电路的输出波形
信道加性噪声n()t通常被假设为均值为0、双边功率谱密度为n/2的平稳高斯白噪声，而接收滤波器又是一个线性网0络，故判决电路输入噪声n()t也是均值为0的平稳高斯噪声，R且功率谱密度为2n0P(ω)=()GωnR2(式中，Gω)为接收滤波器的传输函数。Rn(这说明只要给定了和Gω)，判决器输入端的噪声特性0R2就可确定。一般假设为均值为零，方差为，则其瞬时值的σ统计特性为2V−122σ()fV=e2πσ
对于双极性信号，发送1码和0码的概率密度函数为22(x−)A(x+)A−−11222σ2σ()fx=e()fx=e102πσ2πσ其相应的曲线见图所示。若令判决门限为V，则将1错判为0的概率P和将0错判de1为1的概率分别为Pe2f(x)f(x)01VdP=()fxdxe11∫−∞x−Adx令′x=，′dx=2σ2σ2V−Ad22(1x−)A+∞1−x′−x′P=2σ′edx=1−′edxe1∫∫V−A−∞d−VVππ1d22σd2σV−Ad221⎛22⎞+∞−x′−x′=edx=1−⎜′edx−2σ′edx⎟∫∫⎜00⎟∫2ππ⎝⎠−∞2πσ1⎡⎤⎛V−A⎞d=1−erf(+∞)−erf⎜⎟⎢⎥22σ⎝⎠图 概率密度曲线⎣⎦1⎡⎤⎛V−A⎞d=1−erf⎜⎟11V−A⎡⎤⎢⎥22σd⎝⎠⎣⎦=+erf⎢⎥222σ⎣⎦
2(x+)A+∞+∞−⎡⎤1211V+Ad2σP=f(x)dx=edx=−erf⎢⎥e00∫∫22VV2πσ2σdd⎣⎦若发送1码的概率为，发送零码的概率为P(0)，则基带P(1)传输系统总误码率为P=P(1)P+P(0)Pee1e0由此可见，总误码率与判决门限电平有关。通常把使总Vd误码率最小的判决门限称为最佳门限电平。若令22(x−)(Ax+)A⎡⎤−−dP122e2σ2σ⎢P(⎥=1)e−P(0)e=0dV2πσ⎢⎥d⎣⎦则可求得最佳门限电平为22(x−)()Ax+A2xA2−+P(0)σP(0)222∗2σ2σσe=e=V=lndP(1)2(AP1)
若P(1)=P(0)=1/2，即0和1等概发送，则最佳门限电平∗为V=0。这时基带传输总误码率为d1码0码⎧⎫⎧⎫111A111A11A⎡⎤⎡⎤⎡⎤P=+erf−+−erf=−erf⎨⎬⎨⎬e⎢⎥⎢⎥⎢⎥222222222σ2σ2σ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭显然可见，系统总误码率依赖于信号峰值和噪声均方根值。P若A越/σ大，则越小。等概条件下，1e码和0码的错误概率相等♣单极性信号对于单极性基带波形，电平取值为+A或0，则222(x−)Axx⎡⎤−−−dP11222e2σ2σ2σ=⎢P(1)e−P(⎥0)e=0()fx=e0dV2πσ2πσ⎢⎥d⎣⎦2()AσP0∗V=+lnd2(AP1)11A⎡⎤P=−erfe⎢⎥2222σ⎣⎦
♣几点结论)在单极性与双极性基带信号的峰值A相等、噪声均方根值也相同时，单极性基带系统的抗噪声性能不如双极性基带系统。)在等概条件下，单极性的最佳判决门限电平为A/2，当信道特性发生变化时，信号幅度A将随着变化，故判决门限电平也随之改变，而不能保持最佳状态，从而导致误码率增大。而双极性的最佳判决门限电平为0，与信号幅度无关。因而不随信道特性变化而变化，故能保持最佳状态。因此，基带传输系统多采用双极性信号进行传输。
眼图♣眼图的概念从理论上讲，只要基带传输总特性满足奈奎斯特第一准则，就可实现无码间串扰传输。但在实际中，由于滤波器部件调试不理想或信道特性的变化等因素，都可能使系统传输总特性发生变化，从而使系统性能恶化。计算由于这些因素所引起的误码率非常困难，尤其在码间串扰和噪声同时存在的情况下，系统性能的定量分析更是难以进行。因此，在实际应用中，可以采用简便的实验方法来定性测量系统的性能。其中一个比较有效的实验方法是观察接收信号的眼图。
)眼图：指利用实验手段方便地估计和改善（通过调整）系统性能时在示波器上观察到的一种图形。)观察眼图的方法：用一个示波器跨接在接收滤波器的输出端, 然后调整示波器水平扫描周期，使其与接收码元的周期同步。此时可以从示波器显示的图形上，观察出码间干扰和噪声的影响，从而估计系统性能的优劣程度。在传输二进制信号波形时，示波器显示的图形很像人的眼睛，故名“眼图”。)眼图的作用：通过实验手段估计系统的抗噪声性能。从示波器显示的图形上，可以观察出码间干扰和噪声的影响，从而估计出系统性能的优劣。
♣眼图的模型)最佳抽样时刻应是“眼睛”张开最大的时刻； )眼图斜边的斜率决定了系统对抽样定时误差的灵敏程度。斜率越大，对定时误差越灵敏； )图的阴影区的垂直高度表示信号的畸变范围；图 眼图的模型
)图中央的横轴位置对应于判决门限电平； )抽样时刻上、下两阴影区的间隔距离之半为噪声的容限, 噪声瞬时值超过它就可能发生错误判决； )图中倾斜阴影带与横轴相交的区间表示了接收波形零点位置的变化范围，即过零点畸变，它对于利用信号零交点的平均位置来提取定时信息的接收系统有很大影响。图 眼图的模型
♣眼图的产生为了便于理解，一般先不考虑噪声的影响。图是接收滤波器输出的无码间串扰的双极性基带波形。将示波器扫描周期调整到码元周期，由于示波器的余辉作用，扫描所得的每一个码元波形将重叠在一起，形成迹线细而清晰的大“眼睛”。
图 无码间干扰和噪声时的眼图
图是有码间干扰的双极性基带波形。由于存在码间干扰，波形已经失真，示波器的扫描迹线就不完全重合，形成的眼图线迹杂乱，“眼睛”张开得较小，且眼图不端正。当存在噪声时，眼图的线迹变成了比较模糊的带状线，噪声越大，线条越宽，越模糊，“眼睛”张开得越小。需注意的是，从图形上并不能观察到随机噪声的全部形态。例如出现机会少的大幅度噪声，由于它在示波器上一晃而过，因而人眼是观察不到的。所以，在示波器上只能大致估计噪声的强弱。由此可知，眼图的“眼睛”张开得越大，且眼图越端正，表示码间干扰越小，反之，表示码间干扰越大。
图 有码间干扰和无噪声时的眼图
时域均衡♣几个概念#均衡：对系统中的线性失真进行校正的过程称为均衡。#均衡器：在基带系统接收端的接收滤波器和抽样判决器之间插入一种可调滤波器，用以校正或补偿系统特性，减小码间干扰的影响，这种滤波器称为均衡器。或者说，凡是起补偿作用的滤波器统称为均衡器。#线性失真的分类：振幅频率失真（衰减失真）和相位失真（群迟延失真）。#线性失真的影响：对传输数字信号来说，这些失真的主要危害是引起波形的畸变从而产生码间干扰。
#均衡的分类：时域均衡和频域均衡两种。#频域均衡的思路：利用幅度均衡器和相位均衡器来补偿传输系统的幅频和相频特性的不理想性，以达到所要求的理想形成波形，从而消除符号间干扰，是以保持形成波形的不失真为出发点的。#频域均衡的概念：从校正系统频率特性出发，使包括均衡器在内的基带系统的总特性满足无失真传输条件。#频域均衡的分类：幅度均衡和相位均衡。#频域均衡的特点：简单、实用，便于硬件电路实现。适用于信道特性不变，低速数据通信系统。
#时域均衡的思路：根据大多数高、中速数据传输设备的判决可靠性，都是建立在消除取样点的符号间干扰的基础上，并不要求传输波形的所有细节都与奈氏准则所要求的理想波形一致，利用接收波形本身来进行补偿，消除取样点的符号间干扰，提高判决的可靠性。#时域均衡的概念：利用均衡器产生的时间波形去直接校正已畸变的波形，使包括均衡器在内的整个系统的冲激响应满足无码间干扰的条件。#时域均衡的特点：时域均衡是对信号在时域上进行处理，较之频域均衡更为直接和直观，但计算较复杂。适用于时变信道和高速数据通信系统。
时域均衡原理♣无码间干扰的实现现在证明：如果在接收滤波器和抽样判决器之间插入一个称之为横向滤波器的可调滤波器，则理论上就可以完全消除抽样时刻上的码间干扰。设其冲激响应为+∞()ht=Cδ()t−nTT∑nsn=−∞T(ω)设插入滤波器的频率特性为，则当′T(ω)H(ω)=H(ω)满足无码间干扰条件时，有⎛⎞⎛⎞⎛⎞2πi2πi2πiπ′⎜⎟⎜⎟⎜⎟Hω+=Tω+Hω+=Tω≤∑∑s⎜⎟⎜⎟⎜⎟TTTTii⎝s⎠⎝s⎠⎝s⎠s
若T(ω)是以2π/T为周期的周期信号，则s⎛⎞2πi⎜⎟Tω+=T(ω)⎜⎟T⎝s⎠T(ω)说明与i无关，可以拿到求和号的外面，即TπsT(ω)=ω≤⎛⎞T2πis⎜⎟Hω+∑⎜⎟Ti⎝s⎠由于T(ω)是周期函数，则可用傅立叶级数展开，即∞⎧−jnTωST(ω)=Ce∑n⎪n=−∞⎪π/TTsjnTωs⎪SC=T(ω)edωn⎪∫−π/Ts2π⎨π/T⎪TTsjnTωssS=edω⎪∫−π/Ts2π⎛⎞2πi⎪⎜⎟Hω+∑⎜⎟⎪Ti⎝s⎠⎩
T(ω)对求傅立叶反变换，得到其单位冲激响应为+∞()()hω=Cδt−nTT∑nsn=−∞H(ω)由上述证明可以看出，给定一个系统特性就可以唯一′H(ω)确定T(ω)，即找到消除码间干扰的新的总特性。♣横向滤波器实现上述单位冲激响应的结构见图。由无限多个按横向排列的延迟单元和抽头系数组成，故称为横向滤波器。图 横向滤波器结构
)横向滤波器的作用：将输入端（即接收滤波器输出端）抽样时刻上有码间干扰的响应波形变换成（利用它产生的无限多个响应波形之和））抽样时刻上无码间干扰的响应波形。)由于横向滤波器的均衡原理是建立在响应波形上的，故把这种均衡称为时域均衡。)横向滤波器的特点：无限长横向滤波器可以（至少在理论上）完全消除抽样时刻上的码间串扰，但实际上是不可实现的。#均衡器长度要受到经济条件的限制；#均衡器长度还受到每一个系数调整准确度的限制。如果调整准确度得不到保证，则增加长度所获得的效果也不会显示出来。
♣截断横向滤波器设有限长横向滤波器如图所示，其长度为N2N+1，单位()冲激响应为et，相应频率特性为E(ω)。即+N+N−jωiTse()t=Cδ(t−)()iTEω=Ce∑∑isii=−Ni=−N横向滤波器的输出为+Ny()t=x()t∗e()t=Cx(t−)iT∑isi=−N在抽样时刻有+N+Ny()()[()]kT+t=CxkT+t−iT=Cxk−iT−t∑∑s0is0sis0i=−Ni=−N或者简写为+Ny=Cx∑kik−ii=−N
图 有限长横向滤波器及其输入输出单脉冲响应波形
y上式说明，均衡器在第kk个抽样时刻上得到的样值将由kN2N+1个与乘积之和来确定。Cxik−iyy显然，其中除以外的所有都属于波形失真引起的码间0kx串扰。当输入波形()给定，即各种可能的确定时，通过xtk−iyy调整使指定的等于零是容易办到的，但同时要求所有的Ckki（除kk＝0外）都等于零却是很困难的。【例】设有一个三抽头的有限长横向滤波器，其抽头系数分别为C=−1；均衡器输入在各抽样/4、C=1、C=−1/2()xt−10+1点上的取值分别为x=1，其余都为零。/4、x=1、x=1/2−10+1()试求均衡器输出yt在各抽样点上的值。【例】根据下式进行计算+Ny=Cx∑kik−ii=−N
当时，有k=0+1y=Cx=Cx+Cx+Cx0∑i−i−11001−1i=−111113⎛⎞⎛⎞=−×+(1×1)+−×=⎜⎟⎜⎟42244⎝⎠⎝⎠当k=1时，有+1y=Cx=Cx+Cx+Cx1∑i1−i−120110i=−1111⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−×0+1×+−×1=0⎜⎟⎜⎟⎜⎟422⎝⎠⎝⎠⎝⎠k=2当时，有+1y=Cx=Cx+Cx+Cx2∑i2−i−130211i=−11111⎛⎞⎛⎞=−×0+(1×0)+−×=−⎜⎟⎜⎟4224⎝⎠⎝⎠
当时，有k=−1+1y=Cx=Cx+Cx+Cx−1∑i−1−i−100−11−2i=−1111⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−×1+1×+−×0=0⎜⎟⎜⎟⎜⎟442⎝⎠⎝⎠⎝⎠当时，有k=−2+1y=Cx=Cx+Cx+Cx−2∑i−2−i−1−10−21−3i=−11111⎛⎞⎛⎞=−×+(1×0)+−×0=−⎜⎟⎜⎟44216⎝⎠⎝⎠y、y、y由此可见，除0−22不为零外，其余均为零。说明利用有限长横向滤波器可以减小码间干扰，但不能完全消除。
均衡效果的衡量采用有限长横向滤波器时，码间干扰不可能完全消除。一般采用峰度畸变（失真）准则和均方畸变（失真）准则来衡量。♣两个准则的定义)峰度畸变准则定义为+∞1D=y∑kyk=−∞0k≠0可见，峰度畸变准则是码间干扰的最大值与有用信号样值之D=0比。对于完全消除码间干扰的均衡器，。对于码间干扰不为零的场合，希望D有最小值。)均方畸变准则定义为+∞122e=y∑k2yk=−∞0k≠0
♣时域均衡器均衡效果分析设未均衡前的输入峰度畸变（称为初始失真）为+∞1D=x0∑kxk=−∞0k≠0x若为归一化的，且令x=1，则上式变为k0+∞D=x0∑kk=−∞k≠0yy=1同理，将k也归一化的，并令，则得0+N+Ny=Cx=Cx+Cx=10∑i−i00∑i−ii=−Ni=−Ni≠0+NC=1−Cx得，并代入下式得0∑i−ii=−Ni≠0+N+N+N+N⎡⎤y=Cx=Cx+Cx=1−Cxx+Cx⎢⎥∑kik−∑i0kik−∑ii−∑ikik−ii=−Ni=−Ni=−Ni=−N⎢⎥i≠0⎣i≠0⎦i≠0+N=x+C(x−xx)∑kik−i−iki=−Ni≠0
代入峰度畸变计算公式得+∞+∞+N1D=y=C(x−xx)+x∑∑∑kik−ik−ikyk=−∞k=−∞i=−N0k≠0k≠0i≠0{x}可见，在输入序列给定的情况下，峰度畸变是各抽头kCD<1C增益（除外）的函数。kyLucky证明，如果初始畸变，i00yyk≤N，k≠0则D的最小值必然发生在前后的（）都等于0k{C}零的情况下。其数学意义是所求各抽头系数应该是i⎧01≤k≤Ny=⎨k1k=0⎩时的N2N+1个联立方程的解。
写成矩阵形式为C0⎡⎤⎡⎤−N⎢⎥⎢⎥xxLxCM⎡⎤0−1−2N−N+1⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥MMMM0⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥xxLxC=1NN−1−N0⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥MMMM0⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥xxLxCM⎢⎥⎢⎥⎣2N2N−10⎦N−1⎢⎥⎢⎥C0⎣N⎦⎣⎦{x}这就是说，在输入序列给定时，如果按上式方程组调ky整或设计各抽头系数C，可迫使前后各有NN个取样点上的零值。0i这种调整叫做迫零调整，所设计的均衡器称为迫零均衡器。它D<1能保证在（该条件等效于在均衡之前有一个睁开的眼图，0C即码间串扰不足以严重到闭合眼图）时，调整出外的N2 N个抽0y头增益，并迫使前后各有NN个取样点上无码间串扰，此时D取0最小值，均衡效果达到最佳。
【例】设计一个3抽头的迫零均衡器，以减小码间串扰。已x=0、x=、x=1、x=−、x=知，，求3个抽头的−2−10+1+2系数，并计算均衡前后的峰值失真。【解】根据迫零滤波器的矩阵公式⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤0−1−2−1−1⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥xxxC=1−=110−100⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣210⎦⎣1⎦⎣⎦⎣⎦⎣1⎦⎣⎦写成联立方程形式得C+=0C=−⎧⎧−10−1⎪⎪−+C+0C==0⎨⎨−1010⎪⎪0+=C=−⎩−101⎩1
+Ny=Cx∑kik−i由式可得i=−Ny=0、y=、y=0、y=1−3−2−10y=0、y=、y=输入峰度失真为+∞D=x=∑kk=−∞k≠0输出峰度失真为+∞D=y=∑kk=−∞k≠0由此可见，均衡后的峰度失真减小到均衡前的分之一。3yy个抽头可以使两侧各有一个零点，但在远离的一些抽样点00上，仍会有码间干扰。即抽头有限时，总不能完全消除码间干扰，但适当增加抽头数可以将码间干扰减小到相当小的程度。
均衡器的实现与调整♣均衡器的分类均衡器按照调整方式，可分为手动均衡器和自动均衡器。自动均衡器又可分为预置式均衡器和自适应均衡器。#预置式均衡，是在实际数据传输之前，发送一种预先规定的测试脉冲序列，如频率很低的周期脉冲序列，然后按照迫零调整原理，根据测试脉冲得到的样值序列x自动或手动调整k各抽头系数，直至误差小于某一允许范围。调整好后，再传送数据，在数据传输过程中不再调整。#自适应均衡可在数据传输过程根据某种算法不断调整抽头系数，因而能适应信道的随机变化。
♣预置式均衡器 图 给出一个预置式自动均衡器的原理框图。它的输入端每隔一段时间送入一个来自发送端的测试单脉冲波形（此单脉冲波形是指基带系统在单一单位脉冲作用下，其接收滤波器T的输出波形）。当该波形每隔秒依次输入时，在输出端就将s获得各样值为y（k=−N，−N+1，L，N−1，N）的波形。ky根据迫零调整原理，若得到的某一为正极性时，则相应kyC的抽头增益应下降一个适当的增量Δ；若为负极性，则相kk应的C应增加一个增量Δ。为了实现这个调整，在输出端将每ky个依次进行抽样并进行极性判决，判决的两种可能结果以极k性脉冲表示，并加到控制电路。这样，经过多次调整，就能达到均衡的目的。这种自动均衡器的精度与增量Δ的选择和允许调整时间有关。Δ愈小，精度就愈高，但需要的调整时间就愈长。
输入TTTTssssCCCCC−N−11N0相加器输出抽样与峰值控制电路极性判决器图–5–25 预置式自动均衡器的原理框图
♣自适应均衡器自适应均衡与预置式均衡一样，都是通过调整横向滤波器的抽头增益来实现均衡的。不同之处在于自适应均衡器不再利用专门的测试单脉冲进行误差的调整，而是在传输数据期间借助信号本身来调整增益，从而实现自动均衡的目的。设发送序列为{a}，均衡器的输入序列为{x}，输出序列kk{y}为。则得均方误差为k2⎡⎤⎛⎞22μ=E[(y−a)]=E⎜Cx−a⎟⎢⎥∑kkik−ik⎜⎟i⎢⎝⎠⎥⎣⎦2欲使μ最小，需2∂μ()[()][]QC==2Ey−ax=2Eexkkk−ikk−i∂Cix即抽头增益可以通过调整误差e和样值乘积的统计k−ik平均获得。
图 自适应均衡器的原理框图
第6 章正弦载波数字调制系统正弦数字调制的概述 二进制数字调制原理二进制数字调制系统的抗噪声性能二进制数字调制系统的性能比较多进指数字调制系统改进的数字调制方式
本章知识点结构数字调制技术多进制调制二进制调制数字调制的概念多进制调制2ASK2FSK2PSK2DPSKMASKMFSKMPSKQAMAPK数学表达式信号波形功率谱密度实现方式解调方式抗噪声性能
本章教学要求n了解数字调制系统的基本概念、与模拟调制系统的区别联系、以及多进制调制系统的概念和原理；o理解振幅键控、移频键控和移相键控三种基本调制信号的波形特点和功率谱密度；p掌握2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK信号的调制解调原理及抗噪声性能。
正弦数字调制的概述几个概念♣数字调制（digital modulation）：用基带数字信号控制高频载波的某些参数，把基带数字信号变换为频带数字信号的过程称为数字调制。♣数字解调（digital demodulation）：把频带数字信号还原为基带数字信号的过程称为解调。♣正弦数字调制：调制信号为数字基带信号，被调制的载波为正弦波。♣正弦数字调制按调制方式分类：数字振幅调制，数字相位调制和数字频率调制三类。♣二进制正弦数字调制的分类：振幅键控（ASK），移频键控（FSK）和移相键控（PSK）三种基本信号形式。
)幅度键控（Amplitude Shift Keying，简称ASK）：用数字消息控制载波的振幅。)移频键控（Frequency Shift Keying，简称FSK）：用数字消息控制载波的（角）频率。)移相键控（Phase Shift Keying，简称PSK）：用数字消息控制载波的相位。♣数字调制按照频谱结构分类：线性调制和非线性调制。)线性调制：已调信号的频谱结构与基带信号的频谱结构相同，只不过是频率位置进行了搬移。)非线性调制：已调信号的频谱结构与基带信号的频谱结构不同，不是简单的频谱搬移，而是有其他新的频率成分出现。♣模拟与数字调制的异同：本质都是进行频谱搬移，作用都是为了有效传输信息。区别在于调制信号不同。
二进制数字调制原理 二进制振幅键控（2ASK） ♣数学原理振幅键控是正弦载波的幅度随数字基带信号而变化的数字调制。当数字基带信号为二进制时，则为二进制振幅键控。设发送的二进制符号序列由0、1序列组成，发送0符号的概率为P，发送1符号的概率为1-P，且相互独立。该二进制符号序列可表示为s()t=a(gt−nT)∑nsn()TgtT其中，为二进制基带信号的码元间隔；为持续时间的矩形ss脉冲。0概率为P⎧a=⎨n1概率为1−P⎩
则二进制振幅键控信号可表示为⎡⎤e()=(tagt−nT)cosωt0∑nsc⎢⎥⎣n⎦二进制振幅键控信号的时间波形如图所示。由图可见，e()ts()t2ASK信号波形随二进制基带信号的通断而变化，故又0称为通断键控信号（On Off Keying，简称OOK信号）。图 2ASK时间波形图
图 2ASK时间波形图图 2ASK时间波形图
♣实现方法如图所示，图（a）是采用模拟相乘的方法实现，图（b）是采用数字键控的方法实现。s()ts()te()t0e()tcosω0t乘法器ccosωtc（a）（b）图 二进制振幅键控信号的产生♣解调方法2ASK信号与模拟调制中的AM信号类似。所以能够采用非相干解调（包络检波法）和相干解调（同步检测法），其相应原理方框图如图所示。
输入带通低通抽样包络输出滤波器提取滤波器判决器（a）非相干方式输入带通低通抽样输出乘法器滤波器滤波器判决器载波定时发生器脉冲（b）相干方式图 二进制振幅键控信号接收系统原理框图
♣功率谱密度分析由于二进制振幅键控信号是随机的、不归零单极性脉冲信号，按照第五章所讲，在等概发送的条件下，s()t的功率谱密度2函数为⎡⎤1sinπfT1sP(f)=T+δ(f)⎢⎥ss4πfT4s⎣⎦⎡⎤e()te()=()s=(−)tstcoωtagtnTcosωt由于，得到的功率00∑cnsc⎢⎥⎣n⎦谱密度函数为1P(f)=[P()f+f+P(−)ff]Escsc422⎧⎫⎡⎤⎡⎤Tsinπ(+)sinπ(−)ffTffT⎪⎪scscs=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥16π(f+f)Tπ(f−f)Tcscs⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭1+[δ(+)+δ(−)ffff]cc16
P(ω)s()ste()t0P(ω)E图 二进制幅度键控信号的频谱
♣几点结论)2ASK信号的功率谱由连续谱和离散谱两部分组成。其()gt中，连续谱取决于经线性调制后的双边带谱，离散谱则处在载波频率上。即离散谱由载波分量确定，连续谱由基带信号波形确定)2ASK信号的带宽是基带脉冲波形带宽的两倍。)2ASK信号的第一旁瓣值比主峰值衰减14dB。2f)被称为第一零点带宽的主瓣零点带宽为。s
二进制移频键控（2FSK） ♣数学原理移频键控是指正弦载波的频率随数字基带信号的变化而变ωω化。传送1码时，对应载频为，传送0码时，对应载频为，21称为二元移频键控，如图所示。二元移频键控的数学表示为⎡⎤⎡⎤e()()()()()t=agt−nTcosωt+ϕ+agt−nTcosωt+θ0∑ns1n∑ns2n⎢⎥⎢⎥⎣n⎦⎣n⎦a、aa=1，a=0；a=0，a=1ϕ、θ其中，为反码，即；代表第nnnnnnnnn个码元的初始相位，不携带信息，通常令其为零。0概率为P0概率为1−P⎧⎧a=a=⎨⎨nn1概率为1−P1概率为P⎩⎩得简化的数学表示为⎡⎤⎡⎤e(t)=a()(gt−nTcosωt+ag−nT)tcosωt⎢⎥⎢⎥0ns1ns2∑∑⎢⎥⎢⎥nn⎣⎦⎣⎦
图 2FSK时间波形
图 2FSK时间波形
♣实现方法二进制移频键控信号既可以采用模拟调频电路来实现，也可以采用数字键控的方法来实现。如图所示。图（a）是用一个矩形脉冲对载波进行调频而获得，这是早期采用的实现方法；图（b）是利用受矩形脉冲序列控制的开关电路对两个不同的独立频率源进行选通。振荡器1选通开关加法器e()t0s()ts()t反相器e()t模拟0调频器振荡器选通开关2（a）（b）图 二进制移频键控信号的产生
♣解调方法2FSK信号的解调方法很多，有模拟鉴频法和数字检测法，有非相干解调方法也有相干解调方法。#非相干解调采用非相干解调的原理如图所示。其解调原理是将二进制移频键控信号分解为上下两路不同载频的二进制振幅键控信号，经带通滤波和包络检波后，由相减电路对上下两路的抽样值进行比较最终判决出输出信号。其时间波形如图所示。ω1输出输入ω2图非相干解调原理框图
#相干解调采用相干解调的原理如图所示。其解调原理也是将二进制移频键控信号分解为上下两路不同载频的二进制振幅键控信号，分别进行解调，通过对上下两路的抽样值进行比较最终判决出输出信号。ω1输入输出ω2图 相干解调原理框图
#过零检测法)过零检测法的思路：数字调频波的过零点数随不同载频而异，故检出过零点数就可以得到关于频率的差异。这就是过零检测法的基本思想。)过零检测法的工作原理：其原理框图和各点时间波形如图所示。输入信号经过带通滤波器后得到信号形式基本相同的信号a，限幅后产生矩形波b，经微分和整流电路形成与频率变化相应的脉冲序列c、d，该序列代表调频波的过零点。再经宽脉冲发生器形成与频率变化相关的矩形脉冲波e，经低通滤波器滤除高次谐波，便恢复出与原数字信号对应的基带数字信号f。
图 过零检测法原理图和各点时间波形
#差分检波法差分检波法基于输入信号与其延迟信号相比较进行检波。原理框图如图所示。输入信号经接收滤波器滤除带外无用信号后分为两路，一τ路直接送到乘法器，另一路延迟后送到乘法器，相乘后再经低通滤波器提取信号。cos(ω+ω)At设输入信号为，与延迟波形的乘积为c()()()Acosω+ωt×Acosω+ωt−τcc22AA=cos(ω+ω)τ+cos[2(ω+ω)t−(ω+ω)τ]ccc22输出输入带通滤波器×低通滤波器τ图 差分检波器原理框图
若用低通滤波器滤除倍频分量，则其输出为22AAV=cos(ω+ω)τ=[cosωτcosωτ−sinωτsinωτ]ccc22V可见，是角频率的函数，但对应关系比较复杂。选择cosωτ=0csinωτ=±1则有，故此时有c2AπV=−sinωτωτ=c222AπV=+sinωτωτ=−c22ωτ<<1当角频率较小时，即时，有22AπAπV≈+ωτωτ=−V≈−ωτωτ=cc，2222cosωτ=0ωτ<<1这说明，当满足和时，输出电压与角频率c呈线性关系。
♣功率谱密度分析2FSK信号的功率谱密度可以利用2ASK的功率谱密度来进行计算。假定“1”、“0”码等概率出现，且前后码独立，则ω、ω2FSK（初始相位为0）的功率谱密度是载频为的两个122ASK信号功率谱密度之和()()st=a(gt−nT)st=a(gt−nT)令，，则2∑ns1∑nsnn⎡⎤⎡⎤e()()(t=agt−nTcosω+−)tagtnTcosωt0∑n∑s1ns2⎢⎥⎢⎥⎣n⎦⎣n⎦=s()cosω+()ttstcosωt112211P()=[(+)+(−)]+[(+)+()]fPffPffPffPf−f得Es11s11s22s2244在等概发送和采用单极性不归零脉冲时，2⎡⎤1sinπfT1sP()=+δ()fTfss⎢⎥4πfT4⎣s⎦
得到2FSK的功率谱密度函数为11P()[()()][()()]f=Pf+f+Pf−f+Pf+f+Pf−fEs11s11s22s2244⎡⎤Tsinπ()()()()f+fTsinπf−fTsinπf+fTsinπf−fTs1s1s2s2s=+++⎢⎥16π(+)π(−)π(+)π(−)ffTffTffTffT⎣1s1s2s2s⎦1+δ(+)+δ(−)+δ(+)+δ(−)ffffffff112216其示意图如图所示。得到以下几点)2FSK信号的功率谱密度由连续谱和离散谱组成。其中，连续谱由两个双边带谱叠加而成，而离散谱出现在两个载频位置上。f)若两个载频之差较小，如小于，则连续谱呈现单峰；s如载频之差增大，则连续谱将出现双峰。Δf=f−f+2f)第一零点带宽约为。21s
图 2FSK功率谱密度函数示意图
f−f2sfff+f1s21f−fff−ff+f1sf22s1s1f+f2s图 2FSK功率谱密度函数示意图
二进制移相键控（2PSK）♣绝对移相方式)移相键控：在数字调制中，当正弦载波的相位随二进制数字基带信号离散变化时，则产生移相键控2PSK。)绝对移相方式：以载波的不同相位直接去表示相应的数字信息的相位键控方式称为绝对移相方式。通常用已调信号载波的0°和180°分别表示数字基带信号的1和0。2PSK的信号形式一般表示为⎡⎤e()()t=agt−nTcosωt0∑nsc⎢⎥⎣n⎦a()式中，gt是脉宽为T的单个矩形脉冲；与2ASK和2FSK时的ns不同，在2PSK调制中，应选择双极性，即
+1概率为P⎧a=⎨n−1概率为1−P⎩即在某一码元持续时间内观察时，有cosωt概率为P⎧ce()t=⎨0−cosωt概率为1−P⎩c即在发送二进制信号1时，e()取0相位；发送二进制信号0t0时，取π相位。也可以是发送二进制信号0时，e()te()取0相t00e()tπ位；发送二进制信号1时，取相位。0二进制移相键控信号的典型时间波形见图所示。♣实现方法2PSK的调制原理框图如图所示。其中，图（a）为采用模拟调制方式产生2PSK信号。图（b）为采用数字键控方式产生2PSK。
图 2PSK时间波形图
图 2PSK时间波形图图 2PSK时间波形图
0e(t)cosωt0ce(πt)s()t双极性0码型变换乘法器不归零s()t移相cosωtc（a）（b）图 2PSK调制原理框图♣2PSK的缺陷如果采用绝对移相方式，由于发送端是以某一相位为基准的，故在接收系统也必须有这样一个固定基准相位作参考。若参考相位发生变化，则恢复的数字信息就会发生0变1或1变0。从而造成错误恢复。这种现象称为2PSK的倒π现象或反向工作现象。所以在通信系统中一般不采用2PSK，而采用2DPSK。
♣解调方法2PSK信号可以采用相干解调，如图（a）所示。由于相干解调起鉴频作用，故相干解调中的“相乘—低通”可用各种鉴相器替代，如图（b）所示。已调信数据带通滤波器×低通滤波器抽样判决器号输入输出本地载波定时脉冲0V（a）已调信数据带通滤波器鉴相器抽样判决器号输入输出本地载波定时脉冲0V（b）图 2PSK信号的解调原理框图
♣相对移相方式相对移相方式是利用前后相邻码元的载波相位的相对变化来表示数字信息的一种方式，即将绝对码变为相对码后进行相位调制。ΔϕΔϕ设前后相邻码元的载波相位差为（定义为本码元的初Δϕ相与前一码元初相之差），并设数字信息与之间的关系为0表示数字信息0⎧Δϕ=⎨π表示数字信息1⎩或0表示数字信息1⎧Δϕ=⎨π表示数字信息0⎩绝对码与相对码之间的变换关系b=a⊕bkkk−1a、bkk式中，分别为绝对码和相对码。如图所示。
+1++1+图 2DPSK时间波形图
2PSK2DPSK（1）2DPSK（2）图 2DPSK时间波形图
♣实现方法2DPSK既可以用键控法实现，也可以用模拟调制法实现，如图所示。e(t)s()t相对码0++×绝对码cosωtc延时（a）0e(t)cosωt0cπ移相码变换（b）s()t图 2DPSK调制原理框图
♣解调方法2DPSK信号可以采用同步检测法解调（见图），也可以采用差分相干解调法（即相位比较法，见图）。差分相干解调法是通过直接比较前后码元的相位差，从而恢复发送的二进制数字信息。由于解调的同时完成了码的反变换作用，故解调器中不需要码反变换器。由于差分相干解调方式不需要专门的相干载波，因此是一种非相干解调方法，也是一种实用的方法，但在设备上增加了一延迟电路并精确地延迟一个码元间隔。2DPSK系统是一种实用的数字调相系统，但其抗加性白噪声性能比2PSK的要差。
已调信数据带通滤波器×低通滤波器抽样判决器码反变换器号输入输出本地载波定时脉冲0V图 2DPSK同步解调原理框图已调信数据e带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器号输入输出accdb定时脉冲0V延迟器abccd1101001e图 2DPSK差分相干解调原理框图及波形图
♣功率谱密度分析根据第五章所讲，双极性信号的功率谱密度为+∞22P(ω)=4()(fGfP1−P)+(f2P−1)()(Gmfδf−)mf∑sssssm=−∞对于矩形信号⎡⎤()⎧G0m=0sinπmfTs()Gmf=T=⎢⎥⎨sπ0m≠0mfT⎡⎤sinπfTs⎩⎣⎦s()Gf=Ts⎢⎥πfT⎣s⎦2222P(ω)=4()(1−)+(2−1)(0)δ()fGfPPfPGfsss得到2PSK信号的功率谱密度为1P()[()()]f=Pf+f+Pf−fEscsc422=(+)+(−)(1−)fGffGffPPscc1222+(2−1)(0)[δ(+)+δ(−)]fPGffffscc4
若0和1等概发送，则得122P(f)=[()()]fGf+f+Gf−fEscc422⎡⎤()()1sinπf+fTsinπf−fTcscs⎢⎥=T+s4π()(f+fTπf−)fT⎢⎥cscs⎣⎦其功率谱密度见图所示。♣几点结论)由于2PSK与2DPSK已调信号的波形是一样的，即说明它们的频率成分是相同的，因此具有相同的功率谱密度。)功率谱密度由连续谱与离散谱两部分组成。)当0和1等概发送时，只有连续谱，而无离散谱，这一点与2ASK不同。2ASK永远存在离散谱。2f)2PSK与2ASK的带宽相同，即。s
图 2PSK和2DSK频谱图
二进制数字调制系统的抗噪声性能通信系统的抗噪声性能是指克服加性噪声影响的能力。在数字通信系统中，衡量系统抗噪声性能的重要指标是误码率。因此，分析二进制数字调制系统的抗噪声性能，也就是分析在信道等效加性高斯白噪声的干扰条件下系统的误码性能，得出误码率与信噪比之间的数学关系。 在分析中需假设：)信道特性是恒参信道，在信号的频带范围内其具有理想矩形的传输特性。2)噪声为等效加性高斯白噪声，其均值为零，方差为σ。
2ASK系统的抗噪声性能 2ASK非相干接收时系统的性能♣系统结构2ASK非相干接收系统模型如图所示，包络检波器、低通滤波器的输出送到抽样判决器，根据判决门限电平，在抽样时刻判决脉冲的有无。因此，计算非相干2ASK系统的误码率，就需要确定有信号时信号加噪声合成信号包络的概率分布、无信号时噪声包络的概率分布，然后再根据判决门限，确定非相干系统的误码率。输入带通低通抽样包络输出滤波器提取滤波器判决器图 2ASK非相干接收系统原理框图
♣信号的概率密度函数接收带通滤波器的输出为acosωt+n()t=[a+n()]tcosωt−n()tsinωt发1信号⎧ciccscy()t=⎨n()t=n()tcosωt−n()tsinωt发0信号iccsc⎩则得到发送1信号时，带通滤波器输出的包络为22()[()]Vt=a+n+n()ttcs发送0信号时，带通滤波器的输出包络为22()()Vt=n+n()ttcs根据第二章所讲，发送1信号时，包络检波器输出的包络服从莱斯分布。当发送0信号时，服从瑞利分布，即其概率密度函数为22⎡⎤VaV−(a+)V⎛⎞f()V=Iexp⎜⎟⎢⎥10222σσ2σ⎝⎠⎢⎥⎣⎦2⎛⎞V−V⎜⎟f()V=exp022⎜⎟σ2σ⎝⎠
()Vt设的抽样值为V，判决门限为b，则得到判决规则为⎧V>b判为1码⎨V<b判为0码⎩由此可见，选择判决门限与判决的正确程度密切相关，选择不同的b，得到的误码率不同。♣误码率计算)发送1码、判决为0码的错误概率等于包络值小于b的概率，即b+∞P=P()()V<b=fVdV=1−f()VdV2e111∫∫⎛z⎞0b−⎜⎟+∞12⎝⎠()Qx=edz22∫+∞x⎡⎤2πVaV−(V+a)⎛⎞=1−IexpdV⎜⎟⎢⎥0222∫bσσ2σ⎝⎠⎢⎥⎣⎦此积分函数可用Q函数（Marcum Q函数）来计算。定义为22+∞⎡⎤−()t+α(Qα，β)=tI(αt)expdt⎢⎥0∫β2⎢⎥⎣⎦
abVα=、β=、t=令，，则得到V：b→+∞，t：β→+∞σσσ22+∞⎡⎤−()t+αab⎛⎞P=1−()tIαtexpdt=1−()Qα，β=1−Q，⎜⎟⎢⎥e10∫β2σσ⎝⎠⎢⎥⎣⎦22b=b/σ由于带通滤波器的输出信噪比为r=a/2σ，令为022+∞⎡⎤V⎛aV⎞−(V+a)P=1−I⎜⎟expdV归一化门限值，则上式变为⎢⎥e10⎜⎟222∫bσσ2σ⎝⎠⎢⎥⎣⎦22+∞⎡⎤−(t+α)()Qα，β=tI(αt)expdt⎢⎥0P=1−(Q2，)rb∫β2e10⎢⎥⎣⎦)发送0码、判决1码的错误概率即为包络值大于b的概率，即2+∞+∞⎛⎞VV⎜⎟P=P()()V>b=fVdV=exp−dVe0022∫∫⎜⎟bbσ2σ⎝⎠22⎛⎞⎛⎞bb022⎜⎟⎜⎟VVb=exp−=exp−t=，dt=dV，b→2⎜⎟⎜⎟22222σ2σσ2σ⎝⎠⎝⎠
得到系统的总误码率为2−b/20P=P(1)P+P(0)P=P(1)[1−(，)]+(Q2rbP0)eee1e00在等概发送的条件下，有211−b/20P=[1−(，)]Q2rb+ee022由此可见，包络检波法的系统误码率取决于系统输入信噪比和归─化门限值。如图所示。如图所示，误码率为图中两块阴影面积之和的一半。而b阴影面积随判决门限变化。由0∗b=b图可见，当时，两个阴影00面积的总和最小，即当门限值取V/σ∗b时，系统将有最小的误码率，0图 误码率表示该门限值称为最佳门限。
图 包络检波时误码率的几何表示
♣最佳门限值的确定∗∗最佳门限值应在两条曲线的相交处获得，即由方V=bσ0程确定∗∗()fV=()fV102⎡⎤⎛2∗⎞2−a+V⎜⎟∗∗∗⎛∗⎞⎛⎞⎢⎥VaVVV⎝⎠∗⎜⎟∗⎜⎟()fV=Iexp=exp−=()fV⎢⎥10022222⎜⎟⎜⎟σσ2σσ2σ⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦∗2⎛⎞⎛⎞aVa⎜⎟⎜⎟Iexp−=1022⎜⎟⎜⎟σ2σ⎝⎠⎝⎠2∗⎛⎞aaV⎜⎟r==lnI022⎜⎟2σσ得⎝⎠r>>1)在大信噪比（即）情况下，有2ar=2∗∗22σaaVaVr∗∗≈，V≈，b==0222σ22σσ
r<<1)在小信噪比（即）情况下，有22∗∗⎛⎞a1aVV∗2∗⎜⎟≈，V≈2σ，b==2022⎜⎟4σ2σσ⎝⎠r显然，对于任意的值，b的取值介于2~r/2之间。0在实际使用过程中，采用包络检波法的接收系统通常工作在大噪比的情况下，最佳非归一化门限值通常为接收信号包络值的一半，也就是说对于2ASK的包络检波法来说，最佳门限值和接收信号的包络值有关，这个特性使得2ASK不适用于变参信道。α>>1，β>>1在大信噪比和最佳门限时，有，得⎛⎞⎛⎞1α−β11α−β⎜⎟⎜⎟()Qα，β≈1−erfc=+erf⎜⎟⎜⎟22222⎝⎠⎝⎠erfc(x)=1−erf(x)式中，。
得到2ASK非相干接收时的误码率为∗Vr2∗b==0b0−11σ22P=[1−(Q2)]r，b+ee022r⎡⎤⎛⎞−1112r−b104⎜⎟⎢⎥=−erf+e⎜⎟2222⎢2⎥⎝⎠⎣⎦r⎛⎞−11r14⎜⎟=−erf+e⎜⎟4422⎝⎠r→+∞erf(+∞)=1根据误差函数的性质，有，得到当时，上式的下界为rr⎛⎞−−11r1144⎜⎟P=−erf+e=ee⎜⎟44222⎝⎠
2ASK同步检测法的系统性能同步检测法的原理框图如图。带通滤波器的输出为acosωt+n()t=[a+n()]tcosωt−n()tsinωt发1信号⎧ciccscy()t=⎨n()t=n()tcosωt−n()tsinωt发0信号iccsc⎩经乘法器和低通滤波器输出后的信号为a+n()t发1信号⎧cx()t=⎨n()t发0信号⎩c输入带通低通抽样输出乘法器滤波器滤波器判决器载波定时发生器脉冲图 2ASK相干接收系统原理框图
在上式中，未考虑系数1/2。此值可由电路增益来补偿。2由于n()服从均值为零、方差为的高斯分布，得到发送tσc信号1和0的概率密度函数为2⎡⎤1(x−a)f(x)=exp−⎢⎥122σ2πσ⎢⎥⎣⎦2⎛⎞1x⎜⎟f(x)=exp−02⎜⎟2σ2πσ⎝⎠若令判决门限电平为b，则将1错判为0的概率为b⎡⎤1b−a⎛⎞P=()fxdx=1+erf⎜⎟e11⎢⎥∫−∞22σ⎝⎠⎣⎦将0错判为1的概率为+∞⎡⎤1b⎛⎞P=()fxdx=1−erf⎜⎟e00⎢⎥∫b22σ⎝⎠⎣⎦
在等概发送条件下，得到系统总误码率为⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞111b−a1b⎜⎟⎜⎟P=P+P=1+erf+1−erf⎢⎥⎢⎥ee1e0⎜⎟⎜⎟22442σ2σ⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦误码率曲线如图和图所示。显然可见，误码率与门限值有关。门限值不同，误码率不同。最佳门限值同样可仿造前面的方法来确定，此时有∗∗()()fb=fb10()fx1()fx0代入1和0码的概率密度函数表达式，得22⎡∗⎤⎛∗⎞1(b−a)1b⎜⎟⎢⎥exp=exp22∗⎜⎟ax⎢⎥2σ2σ2πσ2πσbb⎣⎦⎝⎠a∗图 误码率与判决门限的关系b=2
22∗∗r=a/2σb=b/σ=r/2令信噪比为，归一化门限值为，代0a入系统总误码率计算公式得∗b=2⎡⎤⎡⎤1−a1a⎛⎞⎛⎞P=1+erf⎜⎟+1−erf⎜⎟e⎢⎥⎢⎥4422σ22σ⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎞⎡⎤1a1r⎛⎞⎜⎟=1−erf⎜⎟=1−erf⎢⎥⎢⎥⎜⎟22222σ⎝⎠⎣⎦⎢⎥⎝⎠⎣⎦r>>1在大信噪比情况下，即时，有1−r/4P≈eeπr在大信噪比条件下，比较相干检波和包络检波的误码特性可知，同步检波的误码率总是小于包络检波的误码率，但相差不大。由于包络检波不需要稳定的本地相干载波信号，故电路形式要简单一些。
图 2ASK相干接收时误码率的几何表示
6【例】设某2ASK系统中二进制码元传输速率为，R=×10BB发送1和0的概率相等，接收端分别采用同步检测法和包络检波法解调。已知接收端输入信号幅度a=1mV，信道等效加性高斯−15白噪声的单边功率谱密度 n=2×10W/Hz。试分别求出同步检测0法和包络检波法解调时系统的总误码率。6【解】由于，接收端带通滤波器的带宽近似为R=×10BB6B≈2R=9(.6×10Hz)B带通滤波器输出的噪声平均功率为2−8σ=nB=1().92×10W0得到滤波器输出信噪比为2−6a10r===>>12−82σ2××10
代入同步检测法解调时系统误码率计算公式得11−r/4−−4P≈e=e=×10eπ×代入包络检波法解调时系统误码率计算公式得11−r/4−−4P≈e=e=×10e22比较两种方法解调时系统的总误码率可以看出，在大信噪比情况下，包络检波法解调性能接近同步检测法解调性能。
2FSK系统的抗噪声性能 2FSK非相干接收时系统的性能2FSK非相干接收系统模型如图所示。它是将2FSK信号分为两路2ASK信号分别进行包络检波。在发送1信号时，两个带通滤波器的输出分别为y()=sω+()=[+()]tacotntantcosωt−n()tsinωt11i1c11s11y()=()=()cosω−()tntnttntsinωt0i0c00s00ω1()Vt1输出输入ω0(t)V0图非相干解调原理框图
两路输出信号的包络分别为22()=[+()]Vtan+n()tt1c1s122()()()Vt=nt+nt0c0s0()()Vt、Vt根据第二章分析可得，分别服从莱斯分布和瑞利10分布。在2FSK信号解调器中，抽样判决器的判决过程与2ASK不同。在2ASK信号的判决是与一个固定的门限值比较。2FSK信()Vt号的判决是对上下两路包络的抽样值进行比较，即当的抽1()VtVV样值大于的抽样值时，判决器输出为1，此时是正确001判决；当()的抽样值小于()的抽样值时，判决器输出VtVVtV1100为0，此时是错误判决。
错误判决的概率为+∞+∞⎡⎤P=P(<)=()()=()()VVfVfVdVdVfVfVdVdVe11010101001⎢⎥∫∫∫∫0V=V01⎣⎦c222⎡⎤+∞+∞⎡⎤⎛⎞(+)VaVaVVV⎛⎞11100⎜⎟=I⎜⎟exp−⎢exp−dV⎥dV⎢⎥00122222∫∫⎜⎟0V=Vσσ2σ01σ2σ⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎣⎦222+∞⎡⎤⎛⎞()VaVV+aV⎛⎞1111⎜⎟=I⎜⎟exp−exp−dV⎢⎥012222∫⎜⎟0σσ2σ2σ⎝⎠⎢⎥⎣⎦⎝⎠22+∞⎡⎤(+)VaV2Va⎛⎞111=I⎜⎟exp−dV⎢⎥01222∫0σσ2σ⎝⎠⎢⎥⎣⎦积分为12Va1令，得t=、z=r=σ2σ2222tzt+z2∞∞−−z−−11222P=()tIztedt=etI(zt)edte100∫∫002222+∞⎡⎤−(t+α)根据Q函数的性质有()()Qα，β=tIαtexpdt⎢⎥022∫β2t+z⎢⎥⎣⎦∞−2(Qz，0)=tI(zt)edt=10∫0
得到2zr−−1122P=e=ee122同理可求得2zr−−1122P=e=ee022得到2FSK非相干接收系统等概条件下的总误码率为rrr−−−111222P=e+e=ee442ω1 2FSK同步检测法的系统性能x()ty()t11同步检测法的原理输入输出框图如图所示。ω0y()t设发送信号1时，抽0x()t0样判决器的输入分别为x()()t、xt，则表达式为10图 2FSK相干解调原理框图
由于2y()cosω=[+()]cosω−()ttanttntcosωtsinωt11c11s11111=[a+n()]1+cos2ω)−()ttntsin2ωtc11s11222y()cosω=()cosω−()ttnttntcosωtsinωt00c00s00011=n()1+cos2ω)tt−n()tsin2ωtc00s0022x()t=n()tx()()t=a+nt得到0c01c1n()、()tnt由于都是高斯随机过程，都服从正态分布，则c1c0将1码判为0码的概率为P=P(x<x)=P(a+n<n)=P(a+n−n<0)e110c1c0c1c0z=a+n−n令，则z也服从高斯分布，其数学期望和方差为c1c0E[z]=E[a+n−n]=ac1c02222σ=E[()z−a]=E[(n−n)]=2σzc1c0
则其分布为2⎡⎤1(z−a)f(z)=exp−⎢⎥1222σσπ⎢⎥zz⎣⎦得到2⎡⎤00⎡⎤⎛⎞1(z−a)1r⎜⎟P=f(z)dz=exp−dz=⎢1−erf⎥⎢⎥e12∫∫⎜⎟−∞−∞22σ2σ2π⎢⎥⎢⎥zz⎝⎠⎣⎦⎣⎦同理可求得0判为1的错误概率为⎡⎤⎛⎞1r⎜⎟P=⎢1−erf⎥e0⎜⎟22⎢⎥⎝⎠⎣⎦得到2FSK接收系统的总误码率为⎡⎤⎛⎞1r⎜⎟P=⎢1−erf⎥e⎜⎟22⎢⎥⎝⎠⎣⎦在大信噪比条件下，可近似为1−r/2P=ee2πr
【例】采用二进制频移键控方式在有效带宽为2400Hz的传输信道上传送二进制数字消息。已知2FSK信号的两个频率分别为f=980Hz，R=300Bf=1580Hz，码元速率，传输信道输出端的10B信噪比为6dB，试求2FSK信号的带宽和分别采用包络检波法与同步检波法解调时的误码率。【解】根据2FSK信号带宽的计算公式得等效为2ASK Δf≈f−f+2f=1580−980+2×300=1200(Hz)01sR=300B由于码元速率为，则上下两路滤波器的带宽为BB=2R=600HzoBB=2400Hz由信噪比计算公式和知，输入输出信噪比为===10=4i22σ2nB0i
22a4aB=4Bior===16o2nB2nB00oi根据包络检波误码率的计算公式得r−11−8−42P=e=e=×10e22根据同步检测误码率的计算公式得⎡⎤⎛⎞1r1−5⎜⎟P=1−erf=[1−erf(8)]=×10⎢⎥e⎜⎟222⎢⎥⎝⎠⎣⎦
2PSK系统的抗噪声性能 2PSK相干接收时系统的性能2PSK相干接收系统模型如图所示。解调器输入信号为acosωt+n()t=[a+n()]tcosωt−n()tsinωt发1信号⎧ciccscy()t=⎨n()t−acosωt=[n()t−a]cosωt−n()tsinωt发0信号⎩icccsc经乘法器和低通滤波器后，输出信号为a+n()t发1信号⎧cx()t=⎨n()t−a发0信号⎩c已调信数据带通滤波器×低通滤波器抽样判决器号输入输出本地载波定时脉冲0V图 2PSK信号的解调原理框图
这与2ASK相干接收系统是基本一样的，不同之处仅在于判决门限变为0。得到22⎡⎤⎡⎤1(x−a)1(x+a)f(x)=exp−()fx=exp−⎢⎥⎢⎥10222σ2σ2πσ2πσ⎢⎥⎣⎦⎣⎦0⎡⎤1a1⎛⎞P=()[fxdx=1−erf⎜⎟=1−erf()]re11⎢⎥∫−∞222σ⎝⎠⎣⎦+∞⎡⎤1a1⎛⎞P=()=1−[(fxdxerf⎜⎟=1−erf)]re00⎢⎥∫0222σ⎝⎠⎣⎦1P=[1−erf()]re2在大信噪比情况下1−rP≈ee2πr
2DPSK差分接收时系统的性能2DPSK差分接收系统模型如图所示。相乘器的两路输入信号分别为（假设发送信号为1，前一位也是1）y()[()]t=a+ntcosω−n()ttsinωt1c1cs1c2cos2α=2cosα−1y()=[()ta+n]cosω−()ttntsinωt22c2cs2c=1−2sinα经乘法器后输出信号为22()()[()][()]()()ytyt=a+nta+ntcosωt+ntntsinωt12c1c2cs1s2c−[a+n()]()cosω[()]()tnttsinωt−a+ntntcosωtsinωtc1s2ccc2s1cc已调信y()t数据1带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器号输入输出y()t2定时脉冲0V延迟器图 2DPSK差分相干解调原理框图及波形图
经低通滤波器后输出为11x()[()][()]()t=a+nta+nt+nn()ttc1c2s1s222则该波形取样后，判决规则为若x>0，则为1正确判决⎧⎨若x<0，则为0错误判决⎩将1码错判为0码的概率为P=P(x<0)=P{[(a+n)(a+n)+nn]<0}e1c1c2s1s2利用恒等式12222xx+yy={[(x+x)+(y+y)]−[(x−x)+(y−y)]}1212121212124代入错误概率计算公式得P=P{[(a+n)(a+n)+nn]<0}e1c1c2s1s22222=P2a+n+n+(n+n)−(n−n)−(n−n)<0c1c2s1s2c1c2s1s2
2222令R=2a+n+n+(n+n)、R=(n−n)+(n−n)1c1c2s1s22c1c2s1s2P=P(R<R)得e112n、n、n、n由于Rc1c2s1s2是相互独立的正态随机变量，则1R服从莱斯分布，服从瑞利分布，其概率密度公式为222⎡⎤RaR−(4a+R)⎛⎞111()fR=Iexp⎜⎟10⎢⎥2222σσ4σ⎝⎠⎣⎦2⎛⎞R−R22⎜⎟()fR=exp222⎜⎟2σ4σ⎝⎠仿照2FSK非相干接收时，误码率的计算公式得+∞+∞1−r⎡⎤P=P(R<R)=()()fRfRdRdR=ee1121221∫∫0⎢R=R⎥⎣21⎦2同理可求得1−rP=P=eee02
【例】采用2DPSK信号在微波线路上传送二进制消息，已知码6元传输速率R=10B，接收机输入端的高斯白噪声的单边功率B−10−4n=2×10W/Hz谱密度，要求系统误码率不大于10。试求采0用差分相干解调时，接收机输入端所需的信号功率。2P=a/2r【解】接收机输入信号功率与有关。s信噪比r可由给定的误码率求得21a−r−4P=e≤10r=≥σ由于2−106−4σ=nB=2nR=2×2×10×10=4×10()W00B得输入信号功率为2a2−4−3P==σ≥8(.52×4×10=3×)
二进制数字调制系统的性能比较对不同二进制数字通信系统的频带利用率、误码率性能、对信道的适应能力等进行比较。 ♣频带宽度二进制数字调制方式有2ASK、2FSK、2PSK及2DPSK，其频带宽度如表所示。可见，2FSK频带利用率最差，最不可取。 表 二进制数字调制系统已调信号的频带宽度比较表名称已调信号的频带宽度2/T=2f2ASKssf−f+2/T=f−f+2f10s10s2FSK2/T=2f2PSKss2/T=2f2DPSKss
♣误码率各种二进制数字调制系统的误码率与信噪比的关系见图和表所示。 表 二进制数字调制系统的误码率公式一览表 误码率调制方式相干解调非相干解调111−r/42ASKerfc()=[−(r/21erfr2)]/e222111−r/22FSKerfc()[()]r/2=1−erfr/2e2221−r112PSK/2DPSKeerfc()=[1()r−erf]r222
图 三种调制系统误码率与信噪比关系图
)几点结论：&对于同一种数字调制信号，采用相干解调的误码率低于erfc()rexp(−)r采用非相干解调的误码率。它们基本上是和之间的关系。$在误码率一定的情况下，2PSK、2FSK、2ASK系统所需要的信噪比关系为 r=2r=4r2ASK2FSK2PSK 即在误码率相同情况下，2ASK所需要的信噪比是2FSK的2倍（3dB），2FSK是2PSK的2倍（3dB）。%在相同信噪比条件下，2PSK相干解调系统误码率最小，2ASK非相干解调系统最大。
♣对信道特性变化的敏感性 对信道的敏感特性是指最佳判决门限对信道特性的敏感。)在2FSK系统中，判决器是根据上下两路解调输出的样值大小进行判决，不需要人为地设置判决门限，因而对信道的变化不敏感。)在2PSK系统中，当等概发送时，判决器的最佳判决门限为零，与接收机输入信号的幅度无关。判决门限不随信道特性的变化而变化，接收机总能保持工作在最佳判决门限状态。)对于2ASK系统，判决器的最佳判决门限在等概发送时为a/2，与接收机输入信号的幅度有关。当信道特性发生变化时，输入信号幅度随之变化，导致最佳判决门限变化。故2ASK对信道特性变化敏感，性能最差。
)几点结论：&2FSK最优；因为不需人为设置判决门限；$2PSK次之；最佳判决门限为0，与信号幅度无关。%2ASK最差；最佳判决门限为a/2，与信号幅度有关，因为信道变化，判决门限随着信号幅度的变化而变化，不利于电路设计，此时需要自适应控制电路。♣设备的复杂程度&发送端：设备复杂程度不相上下；$接收端：相干比非相干复杂；%同为非相干接收时，2DPSK设备最为复杂。
多进制数字调制系统♣二进制数字调制系统的缺陷二进制数字调制系统是数字通信系统最基本的方式，具有较好的抗干扰能力。由于二进制数字调制系统频带利用率较低，使其在实际应用中受到一些限制。在信道频带受限时为了提高频带利用率，通常采用多进制数字调制系统。其代价是增加信号功率和实现上的复杂性。♣多进制数字调制系统的优点R根据信息传输速率R、码元传输速率和进制数M间的关Bb系可知RbR=(B)BlogM2
得出多进制数字调制系统的优点为：)在信息传输速率不变的情况下，通过增加RbR=(B)B进制数M，可以降低码元传输速率，从而减小信logM2号带宽，节约频带资源，提高系统频带利用率。)在码元传输速率不变的情况下，通过增加进制数M，可以增大信息传输速率，从而在相同的带宽中传输更多的信息量。♣多进制数字调制系统的分类与二进制数字调制系统相类似，若用多进制数字基带信号去调制载波的振幅、频率或相位，则可相应地产生多进制数字振幅调制、多进制数字频率调制和多进制数字相位调制三种不同的方式。
多进制数字振幅调制的原理及抗噪声性能 ♣调制原理多进制数字振幅调制又称多电平调制（MASK），它是二进制数字振幅键控方式的推广。M进制数字振幅调制信号的载波幅度有M种取值，在每个符号时间间隔Ts内发送M个幅度中的一种幅度的载波信号。M进制数字振幅调制信号可表示为M进制数字基带信号与正弦载波相乘的形式，其时域表达式为⎡⎤⎢⎥e=a(−)gtnTcosωt0nsc∑⎢⎥n⎣⎦a()Tgt式中，为单个基带信号码元波形，其持续时间为；为幅度ns值，表示为⎧0概率为P1⎪1概率为P⎪2a=P+P+L+P=1⎨n12MMM⎪⎪M−1概率为PM⎩
♣与二电平调制波形比较二电平调制波形和四电平调制波形如图所示。从图（c）可以看出，它是由图（b）中四个不同振幅的二电平调制波形叠加形成的，其各个波形的表达式为⎧⎡⎤a≡0概率为P⎧11a()gt−nTcosωt⎪∑1sc⎢⎥⎪⎣n⎦⎧1概率为P⎪2⎪a=⎨2⎪⎡⎤⎪0概率为1−Pa()gt−nTcosωt∑⎩22sc2⎪⎢⎥⎪⎪⎣n⎦⎧⎨1概率为P⎨3⎡⎤a=⎨⎪3a()gt−nTcosωt⎪∑3sc⎢⎥0概率为1−P⎩3⎪⎣n⎦⎪⎪⎧⎪1概率为P⎡⎤4⎪a=a(gt−nT)cosωt⎨4∑4s⎪c⎢⎥⎪0概率为1−P⎣n⎦⎩⎩4⎩因此，多电平调制波形可以看成是由时间上不重叠的M个不同振幅的二进制振幅键控信号的叠加。
二进制调制0信号1信号2信号四进制调制3信号合成波图 二电平与四电平调制波形比较
1111101010010100000t1111101010010100000t11111010100100000t1111101010010100000t图 二电平与四电平调制波形比较
♣MASK的带宽由于MASK信号可以分解成若干个2ASK信号相加，故其带宽与2ASK信号的带宽相同，均为2/Ts。但需注意的是，此时的Ts为M进制码元的宽度，如在4AS K中Ts＝2T，其带宽为2/Ts＝2/2T＝1/T，其中T为基带二进制码的码元宽度。♣MASK的相干解调MASK相干解调的原理框图如图所示。ˆas()t+n()tn图 MASK相干解调原理框图
s()t假设发送端发送的信号为，信道上迭加的高斯白噪声为n()，则带通滤波器的输入为t⎡⎤⎢⎥s()t+n()=(−)cosω+()tagtnTtntnsc∑⎢⎥n⎣⎦设发送端M电平的基带码元振幅为±d、±3d、L、±(M−1)d，相邻电平振幅的距离为2d，得到带通滤波器的输出为⎧±d⎪±3d⎪a=⎨nM⎪⎪±(M−1)d⎩y()t=[a+n()]cosω−()ttntsinωtnccsc2y()tcosωt=[a+n()t]cosω−()tntcosωtsinωtcnccscc11=[a+n()]1+cos2ω)−()ttntsin2ωtnccsc22
低通滤波器输出为x()()t=a+ntnc则抽样判决规则为：ˆ(1)()(1)=±(135La=kd−1)k−d<xkT<k+dk，，，，M若，则判。s♣MASK的误码率设发送信号为a=3d，则正确判决时抽样值应为n2d<3d+n()t<4d−d<n()t<+dcc则错误判决的概率为P[n()>d]t。ca=±d、±3d、L、±(M−3)d即当，错判概率均为P[n()>d]t。nca=±(M−1)d当时，正确判决时抽样值应为n(M−2)d<(M−1)d+n()t−(M−1)d+n()<−(−)tM2dcc1P[n()>d]t即错误概率为。c2
在等概发送条件下，得到MASK的总误码率为M−2211⎛⎞P=P[n()][()](t>d+Pn>=[)td⎜1−⎟Pn>d]tecccMM2M⎝⎠2n由于服从于均值为零，方差为的高斯分布，即σc2ncP[n(t)>d]=P[n(t)>d]−cc122σ+P[n(t)<−d]=2P[n(t)>d]ccf(n)=ec2πσ2nc+∞−得111⎛⎞⎛⎞22σP=P[n()]⎜1−⎟t>d=2⎜1−⎟ednecc∫MMd⎝⎠⎝⎠2πσ⎡⎤⎛⎞1d⎛⎞2221+3+L+(2n−1)⎜⎟=⎜1−⎟1−erf⎢⎥⎜⎟M1⎝⎠2σ2⎢⎥⎝⎠⎣⎦=n(4n−1)3♣信噪比与误码率的关系设各信号出现的概率相同，则信号功率就是信号均方值的统计平均，为M/2M/22222[d(2i−1)]dM−122P==[(2i−1)]=ds∑∑M2M6i=1i=1
得到⎡⎤⎛⎞1d⎛⎞6P⎜⎟P=⎜1−⎟1−erf2s⎢⎥e⎜⎟d=M⎝⎠2σ⎢⎥⎝⎠⎣⎦2M−1将其代入误码率的计算公式得⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞13P13r⎛⎞⎛⎞s⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥P=⎜1−⎟1−erf=⎜1−⎟1−erfe222⎜⎟⎜⎟MM⎢⎥⎢⎥M−1σM−1⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦图给出了2ASK、4AS K、8ASK、16ASK系统的误码率与信噪比的关系曲线。由图可知，为得到相同的误码率，有效的信81623(M−1)/噪比大致需用因子加以修正。如四电平系统比二电平系统需增加功率约5倍，八电平比图 信噪比与误码率关系二电平需增加约12倍。
多进制数字频率调制的原理及抗噪声性能♣多进制数字频率调制的原理多进制数字频率调制（MFSK）简称多频制，是二进制数字移频键控方式的直接推广。图给出了MFSK调制器和解调器的方框图，调制是采用Mlog频率选择法实现，M种频率由位输入信息确定。2图中，串并变换电路和逻辑电路将输入的二进制码转换成多进制码。当某组二进制码到来时，逻辑电路的输出仅打开相应的一个门电路，将和该门电路相应的载波发送出去，其他频率对应的门电路此时是关闭的。当一组组二进制码元输入时，通过相加器输出的就是一个多进制频率键控的波形。
f门电路11逻f1门电路门电路2辑输入2串//并电变换路┇Mf门电路M信M道检波器f带通1抽样判决器输出接收f检波器带通逻辑2滤波器电路f检波器带通M图 多进制数字频率调制系统的组成方框图
多进制频率调制系统的解调器由M个带通滤波器、M个包络检波器及一个抽样判决器和相关的逻辑电路组成。各带通滤波器的中心频率分别是M个载频的频率。当某一载频输入时，只有一个带通滤波器有信号及噪声通过，而其他带通滤波器只有噪声通过。抽样判决器通过比较在抽样时刻上各包络检波器的输出电压，选出其中最大值作为输出。当M=4时，即4FSK的波形如图所示。f发送“0”信号（或00）时，发送频率为的载波；1f发送“1”信号（或10）时，发送频率为的载波；2f发送“2”信号（或11）时，发送频率为的载波；3f发送“3”信号（或01）时，发送频率为的载波。4
4FSK的波形♣MFSK的带宽多频制信号的第一零点带宽为f−f+2fM1sfff式中，为最高选用频率；为最低选用频率；为单个码元Ms1宽度的倒数。
♣MFSK的误码率)非相干系统的误码率22x+aM−1+∞−⎡⎤22xa⎛⎞−x/2⎛⎞2σP=xeI⎜⎟1−1−edx⎢⎜⎟⎥e0∫⎝⎠σ0⎝⎠⎢⎥⎣⎦)相干系统的误码率2(x−a)M−1⎡⎤+∞−x2⎛⎞121−u/22σ⎢⎥⎜⎟P=e1−edudxe⎜⎟∫∫⎢⎥−∞−∞2π2π⎝⎠⎣⎦图示出了相干和非相干系统检测的误码率曲线。在M一定的情况下，信噪比越大，则误码率越小。在信噪比一定的条件下，M越大，则误码率越大。另外，相干解调与非相干解调性能之间的差异将随着M的增大而减小，而且同一M下的每一对相干和非相干曲线将随着信噪比的增加而趋于同一极限值。
图 多频制的误码率曲线
多进制数字相位调制的原理及抗噪声性能 多进制数字相位调制的原理多进制数字相位调制（MPSK）又称多相调制，是利用载波的多种不同相位（或相位差）来表征数字信息的调制方式。与二进制数字相位调制相同，多进制数字相位调制也有绝对相位调制和差分相位调制两种。 M进制相位调制信号的时域表达式为e()t=(gt−)(kTcosωt+ϕ)0∑sckk=(gt−)kTcosωtcosϕ−(gt−)kTsinωtsinϕ∑sck∑sckkk=a(gt−)kTcosωt−b()gt−kTsinωt∑ksc∑ksckka=cosϕ；b=sinϕϕkkkk式中，为受调相位，有M种不同的取值；。k
可以看出，多进制相位调制可以看作是两个正交载波进行多电平双边带调制所得信号之和。也就是说，多进制相位调制信号的带宽和多电平双边带调制时的相同。 四相制♣四相制的概念四相制是利用载波的四种不同相位来表征数字信息。因此，对输入的二进制数字序列首先进行分组，将每两个比特编为一组，然后用四种不同的载波相位去表征它们。♣四相制的分类四相制与二相制相似，分为四相绝对移相调制（记作4PSK或QPSK）和四相相对移相调制（记为4DPSK和QDPSK）两种。
♣QPSK的概念在QPSK中，由于每一种载波相位代表两个比特的信息，故每个四进制码元一般称为双比特码元。设前一个信息比特为a，后一个为b，则它们与载波相位的关系如表所示。ϕ[0，2π]k相位在内等间隔地取四种可能相位。当采用B方式ab±1/2（π/4系统）时，其幅度k和只有两种取值。这表明kM进制相位调制信号是由两个正交的二相调制信号合成。表 双比特码元与载波相位的关系A：π/2系统ϕkB：π/4系统
图（a）表示A方式时QPSK信号的矢量图，图（b）表示B方式时QPSK信号的矢量图。图 QPSK信号的矢量图图给出了采用A方式时，输入00100100（11）二进制码元时，QPSK的时间波形图。图中所给的QPSK曲线分别是载波为5Hz和75Hz时的调制信号。
0+1++1+0图 4PSK信号的时间波形的示意图
♣QPSK的产生QPSK可以采用调相法和相位选择法来产生。7调相法原理框图如图所示。输入的二进制信息序列通过串/并变换器后依次变为两个并行的双极性码元序列，分别用a、b表示，每一对ab称为一个双比特码元。双极性的a、b序列通过两个平衡调制器分别对同相载波及正交载波进行二相调制，得到图中的虚线矢量。将两路输出叠加，即可得到如图中实线所示的四相移相信号，其相位编码逻辑关系如表所示。表 QPSK信号相位编码逻辑关系a1001b1100a路平衡调制器输出0°180°180°0°b路平衡调制器输出270°270°90°90°315°225°135°45°合成相位
b(0)(0，0)(1，0)a(0)a(1)(1，1)(0，1)b(1)图 调相法的矢量图图 调相法的原理框图图中串/并变换器将输入的二进制序列变成两路并行的双极性序列，将这两路信号分别进行2PSK调制后再相加，这样就得到的四相移相信号。1a=cos0=1，b=sin270=−1，ab=sin315如11时，21a=cos180=−1，b=sin90=1，ab=sin135如00时，2
7相位选择法相位选择法的原理框图如图所示。四相载波发生器产生四种相位（45°、135°、225°、315°）的载波。按照串并变换器输出的双比特码元的不同，逻辑选相电路每次选择其中一种作为输出，然后经带通滤波器滤除通频带以外的信号，即可得到QPSK信号。图 相位选择法的原理框图
♣QPSK的解调由于四相调相信号可以看作是两个正交的2PSK信号的合成，所以可以采用与2PSK信号相似的解调方法进行解调，即由两个2PSK信号相干解调器构成，其组成原理框图如图所示。图中并串变换器的作用与调制器中的串并变换器相反，用于将上下之路所得到的并行数据恢复为串行数据。y()tay(t)x(t)bb图 QPSK相干解调的原理框图
在不考虑噪声及传输畸变时，解调器的输入信号为ooooy()()()t=yt=acosωt+ϕϕ=45、135、225、315abckk上下两路与载波相乘后为ay()cosω=cos(ω+ϕ)cosω=[cos(2+)+cos]ttattωtϕϕacckcckk2ay()sin=cos(+)sin=(+)tωtaωtϕωtsin2ωtϕ−sinϕbcckcckk2经低通滤波器后输出为aax()t=−sinϕx()t=cosϕbkak22则根据QPSK相位配置规定，抽样判决器的判决准则见表。表 QPSK相干正交解调的判决准则判决器输出cosϕϕ−sinϕ极性极性符号相位kkkab45°10++-135°00--225°01++-11+++315°+
♣QDPSK的概念四相相对移相调制是利用前后码元之间的相对相位变化来表示数字信息。Δϕ若以前一码元相位作为参考，并令为本码元与前一码元k的初相差，则信息编码与载波相位变化仍可用表表示，矢量ϕΔϕ关系也可用图表示。不同之处在于原先的应改为。kk表 双比特码元与载波相位的关系Δϕk图 QPSK信号的矢量图
♣QDPSK的产生在二相调制时，为了得到2DPSK信号，可以先将绝对码变换成相对码，然后用相对码对载波进行绝对移相。同样，QDPSK信号的产生也可用同样的方法。即先将输入的双比特码经码型变换，再用码型变换器输出的双比特码进行四相绝对移相，则所得到的输出信号就是四相相对移相信号。通常采用的方法有码变换加调相法和码变换加相位选择法。7码变换加调相法原理框图如图所示。与QPSK信号产生器相比，仅在串并变换器后多了一个码变换器。码变换器的作用是将输入的双比特码ab转换成双比特差分码cd。信息编码与载波相位的变化符合A方式，即满足表的要求。
相乘电路ac载波振荡相加输入输出串//并码型变换变换−π/2移相bd相乘电路图 QDPSK码变换加调相法原理框图表 QDPSK信号相位编码逻辑关系双比特码元载波相位变化ab0°0090°01180°1110270°
由表可见，输入双比特数据不同，载波相位变化不同：)若输入双比特数据为00，则调相信号的载波相位相对于前一双比特码元的载波相位不变化；)若输入双比特数据为01，则调相信号的载波相位相对于前一双比特码元的载波相位变化90°。但前一双比特码元的载波相位有四种可能：*若前一双比特码元为00，则相位为135°（见表），则此时载波相位应为135°+9+0°=225°。按照表规定，其相应的输入双比特数为01，即码变换器输出不变。$若前一双比特码元为01，则表相位为225°，载波相位应为315°，1a0001b10相应的输入双比特数为11，即码变315°225°5°相位135°4换器需将01变为11。
%若前一双比特码元为11，则相位为315°，载波相位应为45°，相应的输入双比特数为10，即码变换器需将01变为10。,若前一双比特码元为10，则相位为45°，得到载波相位应为135°，相应的输入双比特数为00，即码变换器需将01变为00。)若输入双比特数据为11或10，则同上类推。码变换器的逻辑功能如表所示。ϕcd在表中，与的关系是固定的，属于绝对调相，而输入kkkabϕ双比特数kk与是不固定的，有四种可能。k0→−1、1→+c、1d码变换器产生的为单极性信号，需按照kk的规律变为双极性信号，然后再对载波进行调制，最后由相加器输出的信号便是QDPSK。
与表一致表 QDPSK码变换的逻辑功能本时刻到达的ab及所前一码元的状态本时刻应出现的码元状态要求的相对相位变化ϕaΔϕcbdϕdckk−1kk−1k−1kkkk0 0 135°0 0 135°0 1 225°0 1 225°0 0 0°1 1 315°1 1 315°1 0 45°1 0 45°0 0 135°0 1 225°0 1 225°1 1 315°0 1 90°1 1 315°1 0 45°1 0 45°0 0 135°0 0 135°1 1 315°0 1 225°1 0 45°1 1 180°1 1 315°0 0 135°1 0 45°0 1 225°0 0 135°1 0 45°0 1 225°0 0 135°1 0 270°1 1 315°0 1 225°1 0 45°1 1 315°
7码变换加相位选择法原理框图和QPSK相位选择法的原理框图基本一样。不同之处在于选相电路的功能不同。在QPSK中，选相电路是根据串并变换器输出的不同双比特数，输出相应相位的载波信号。在QDPSK中，除按规定完成选择载波相位外，还要实现将绝对码转换成相对码的功能。即需要将输入的双比特数ab转换成相应的双比特数cd，再用cd去选择载波相位。图 相位选择法的原理框图
♣QDPSK的产生（ITU-T建议）（第六版）π/4QDPSK信号的产生原理框图如图所示，采用两个移相器代替一个π/2移相器，是为了使用A编码方式，其相位逻辑编码关系如表所示，解调方式同。相乘电路−π/4移相ac相加输入输出串//并码型载波振荡器变换变换bdπ/4移相相乘电路图 ITU-T建议QDPSK原理框图
与表一致表 QDPSK码变换的逻辑功能本时刻到达的ab及所前一码元的状态本时刻应出现的码元状态要求的相对相位变化cϕaΔϕdϕdcbkk−1k−k−11kkkkk0 0 0°0 0 0°0 1 90°0 1 90°0 0 0°1 1 180°1 1 180°1 0 270°1 0 270°0 1 90°0 0 0°1 1 180°0 1 90°0 1 90°1 0 270°1 1 180°0 0 0°1 0 270°0 0 0°1 1 180°0 1 90°1 0 270°1 1 180°1 1 180°0 0 0°1 0 270°0 1 90°1 0 270°0 0 0°0 0 0°0 1 90°1 0 270°0 1 90°1 1 180°1 1 180°1 0 270°
♣QDPSK的解调解调方法有相干解调加码反变换（极性比较法）和差分相干解调（相位比较法）两种。7极性比较法原理框图如图所示。与QPSK相干解调法不同之处在于在并串变换器之前增加了码反变换器。x(t)y(t)低通c抽样cc×滤波器判决−π/4a输入带通输出码反并串载波振荡滤波器变换变换bπ/4低通抽样×滤波器判决y(x(t)t)ddd图 QDPSK相干解调法原理框图
在不考虑噪声及传输畸变时，解调器的输入信号为ooooy()()t=yt=acos(ω)t+ϕϕ=0、90、180、270cdckk上下两路与载波相乘后为ooy()()tcosωt−45=acos(ωt+ϕ)(ω)cost−45ccckcaoo=[cos(2ωt+ϕ−45)+cos(ϕ+45)]ckk2ooy()tcos(ωt+45)=acos(ω)t+ϕcos(ωt+45)dcckcaoo=[cos(2ωt+ϕ+45)+cos(ϕ−45)]ckk2经低通滤波器后输出为aaoo()()xt=cosϕ+x()()45t=cosϕ−45abkk22
得到抽样判决器的判决准则见表。判决器按极性判决，负抽样值判为1，正抽样值判为0。表 QDPSK相干正交解调的判决准则判决器输出ϕ上支路极性下支路极性符号相位kcd0°00+++90°10-+180°11--01++270°-aox(t)=cos(ϕ+45)ak2aox(t)=(cosϕ−45)bk2码反变换器的工作原理码反变换器的功能与发送端正好相反，即将判决器输出的相对码恢复成绝对码。
c、dc【例】设码变换器当前的输入数据为，前一输入数据为iii−1da、b和，输出数据为。输入解调器的相位值分别为i−1iiooooooo{ϕ}：090902701800270k前后码元相位差序列为oooooo{Δϕ}：900180270180270k0：00根据表规定，发送端发送的数据序列为90：01180：11{a}：001111i270：10{b}：101010iϕ根据假设的和表可以得到码变换器输入数据序列为k{}c：0110100i0：0090：10{d}：0001101i180：11270：01c、da、b码变换器的任务就是将ii变换为ii。其逻辑关系应符合表。
表 接收端码变换器的逻辑变换关系本时刻输入输出数据前一输入双比特⎧a=d⊕diii−1⎨b=c⊕ciii−1⎩cddacbi−1i−1iiiic⊕d=0i−1i−10 0 0 0 0 1 1 00 01 1 1 1⎧a=cc⎧a=d⊕diii−1iii−1⎨⎨1 0 0 1b=ddb=c⊕c⎩iii−1iii−1⎩c⊕d=1i−1i−10 0 0 1 0 1 0 00 11 1 1 01 0 1 1⎧a=d⊕diii−1⎨b=c⊕cc⊕d=0iii−1⎩i−1i−10 0 1 1 0 1 0 11 11 1 0 01 0 1 0⎧a=cc⎧a=d⊕diii−1iii−1c⊕d=1⎨11⎨i−i−0 0 1 0 b=ddb=c⊕c⎩iii−1iii−1⎩0 1 1 11 01 1 0 11 0 0 0
对表分析可得)前一状态上、下两支路具有相同的数据01或10，即满c⊕d=1足，则码变换器输出有i−1i−1a=c⊕c⎧iii−1⎨b=d⊕diii−1⎩)前一状态上、下两支路具有相同的数据00或11，即满c⊕d=0足，则码变换器输出有i−1i−1a=d⊕d⎧iii−1⎨b=c⊕ciii−1⎩根据上述关系可以得到码变换电路如图所示。c、d图中，比较电路用于比较的极性，并控制交叉i−1i−1直通电路。
交叉直通电路受比较电路的控制。c⊕d=1)当i−1i−1时，交叉直通电路处于直通状态，即把c⊕cad⊕dbii−1作为i的输出，而把ii−1作为i的输出。c⊕d=0i−1i−1)当时，交叉直通电路处于交叉状态，即把c⊕cd⊕dabii−1ii−1i作为i的输出，而把作为的输出。acii模二加交叉ci−1一码元比延迟直较通电路d电i−1一码元延迟路bidi模二加图 接收端码变换电路
7相位比较法原理框图如图所示。采用延迟电路将某一码元信号延迟−π/4π/4一码元时间后，分别移相和，再将它们分别作为上下支路的相干载波。不需要采用码变换器，这是因为QDPSK信号的信息包含在前后码元相位差中，故可以直接比较前后码元的相位。x(t)a低通抽样a×判决滤波器y(t)aπ/4输入输出并串y(t−T)Tss变换y(t)−π/4y(t)b低通抽样×滤波器判决x(t)bb图 QDPSK差分解调法原理框图
在不考虑噪声及传输畸变时，解调器的输入信号为y(t−T)=acos(ωϕ)t+y()=cos(ω+)tatϕsck−1ckϕϕ式中，和分别为本码元和前一码元的初相。k−1kπ/4经移相后，分别为oy()()t=acosωt+ϕ+45ack−1oy()t=a(ω)cost+ϕ−45bck−1两路相乘后输出为o()()ytyt=acos(ωt+ϕ)a(ω)cost+ϕ+45ackck−12aoo=[ω()cos2t+ϕ+ϕ+45+cosϕ−ϕ−45]ckk−1kk−12oy()()()()tyt=acosωt+ϕacosωt+ϕ−45bckck−12aoo=()cos2ωt+ϕ+ϕ−45+cosϕ−ϕ+45ckk−1kk−12
经低通滤波器输出后，为2aox()t=cos(ϕ−ϕ−45)akk−122aox()(t=cosϕ−ϕ+45)bkk−12根据QDPSK信号的相位配置规定，抽样判决器的判决准则见表所示。即判决器是按极性判决的，正抽样值判为0，负抽样值判为1。表 QDPSK差分正交解调的判决准则判决器输出相位差上支路的极性下支路的极性ϕ−ϕkk−1ab0°00+++90°01+-180°11--10270°-+
多进制数字相位调制系统的抗噪声性能♣MPSK的抗噪声性能在M相数字调制中，可以认为M个信号矢量把相位平面等分为M个，每一等分的相位间隔代表一个传输信号。在没有噪声时，每一信号相位都有相应的确定值。如M=8时，每一信号间隔为π/4，如图所示。若发送信号的基准相位为零相位，则合成波形相位在[−π/8，π/8]范围内变换时就不会产生错误判决。如果超出这个范围，将造成错判。设信号等概发送，合成波形的相位的概率密度函数为f(θ)，则误码率为π/MP=1−(fθ)dθe∫−π/Mf(θ)只要给定，即可求得误码率。但在一般情况下，f(θ)很难知道，故误码率不易求得。
在大信噪比情况下，近似有2−()rsinπ/MP=eeP♣MDPSK的抗噪声性能e差分解调1相干解调在大信噪比情况下，近似有2−1−2sin(π/2M)r10P=eeθ−2310θθ52π24163288−3108241632θθoo511800−410π−8r/dB−5θθ1086051015202530θ7图 M=8时的多相调制示意图图 MPSK系统的误码率性能曲线
振幅相位联合键控（APS）系统 ♣ASK、PSK的缺陷在系统带宽一定的条件下，多进制调制的信息传输速率比二进制高，即多进制调制系统的频带利用率（frequency efficiency）高。但频带利用率的提高是以牺牲功率利用率（power efficiency）换取的。且随着M的增加，在信号空间中各信号点间的距离减小，相应的信号判决区域随之减小。这样当信号受到噪声和干扰的损害时，接收信号的错误概率也随之增加。振幅相位联合键控方式可以有效克服上述缺陷，当M较大时，可以获得较好的功率利用率，同时设备组成也比较简单。因此，是目前研究和应用较多的一种调制方式。
♣APK的数学模型振幅相位联合键控信号的一般表达式为e()t=(Agt−nT)cos(ωt+ϕ)0nscn∑n=(Agt−nT)cosϕcosωt−(Agt−nT)sinϕsinωtnsncnsnc∑∑nn=X(gt−nT)cosωt+Y(gt−nT)sinωtnscnsc∑∑nnX=Acosϕ，Y=−Asinϕ式中，。nnnnnn由上式可见，APK信号可以看作是两个正交调制信号之和，有时也称为星座调制。因为在其矢量图平面上信号分布如星座（constellation）。目前，研究较多并建议用于数字通信系统中的APS信号是16QAM（十六进制正交振幅调制）信号。
♣正交振幅调制正交振幅调制（QuatratureAmplitude Modulation，简称QAM）是用两个独立的基带波形对两个相互正交的同频载波进行抑制载波的双边带调制，利用这种已调信号在同一频带内频谱正交的性质来实现两路并行的数字信息传输。其组成框图如图所示。(t)m′(t)m低通II××滤波器cosωtcosωtcc相加器信道sinωtsinωtcc()mt′()mtQ低通Q××滤波器图 正交振幅调制系统组成原理框图
()mt()mt图中，和是两个独立的、带宽受限的基带信号，IQcosωtsinωt和是相互正交的载波，则发送端信号为cce()t=mcosωt+msinωt0IcQc若信道具有理想传输特性，则上下支路相干解调器的输出分别为11′′()()()()mt=mtmt=mtIIQQ22这样便可无失真地实现波形传输。由于正交幅度调制信号与四相移相键控信号形式相同，故采用相干解调时系统误码率与四相移相键控信号相同。当输入的基带信号为多电平时，便构成多电平正交振幅调制。
♣16QAM信号16QAM信号的表达式为s()t=Acos(ω)t+ϕi=1，2，L，16iici其星座图见图。在最大功率（振幅）相等条件下，16QAM和16PSK的星座图如图所示。A图 16QAM星座图图 16QAM和16PSK星座图
对于16QAM信号，相邻两点的距离为2A2Ad===−13式中，L为两个正交方向上信号的电平数。16QAM中，L=4。对于16PSK信号，相邻两点距离为=20×ππ⎛⎞=(dB)d≈A=A=⎜⎟2168⎝⎠由此可见，16QAM信号的距离超过16PSK约。实际上，应以信号平均功率相等为条件进行比较。可以证明22最大功率(LL−1)4(4−1)ζ====
第7 章模拟信号的数字传输模拟信号数字传输的概述 抽样定理脉冲振幅调制（PAM）模拟信号的量化脉冲编码调制（PCM）差分脉冲编码调制（DPCM）系统增量调制系统中的量化噪声
本章知识点结构模拟信号数字化PCM系统增量调制系统抽样量抗噪声性能原理抗噪声性能化编码自然折叠格雷低通抽带通抽均匀非均匀A 律量化样定理样定理量化二进码二进码二进码13折线
本章教学要求n了解模拟信号数字化传输的基本方法，以及增量调制的基本原理；o理解和熟悉低通、带通抽样定理，脉冲编码调制的基本原理；p掌握模拟信号均匀量化和非均匀量化的基本方法，学会对A律13折线的具体编码方法。
模拟信号数字传输的概述♣数字信道传输信号的类型数字信道可以传输两类数字信号。一类是数据信号，另一类是数字化后的模拟信号。♣模拟信号数字传输的步骤利用数字通信系统传输模拟信号，一般需三个步骤：*把模拟信号数字化，即模数转换（A/D）；$按照数字方式进行传输；%把数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A）。由于A/D或D/A变换的过程通常由信源编（译）码器实现，故一般把发送端的A/D变换称为信源编码，而把接收端的D/A变换称为信源译码。
♣模拟信号数字传输的模型模拟信号数字传输系统的原理框图如图所示。数字随机序列模拟随机数字随机信号序列模拟模拟信源数字传信源信息源编码输系统译码输出图 模拟信号的数字传输图中，模拟信息源输出模拟随机信号，对该信源进行编码，即信源编码后变成了M进制的数字随机序列。然后利用数字通信系统进行传输，在接收端对收到的数字随机序列进行译码，便可恢复出模拟随机信号。
♣信源编码的方法目前信源编码的方法主要有以下三大类)波形编码：直接把时域波形变换为数字代码序列，比特率通常在16kb/s~64kb/s范围内，接收端重建信号的质量好。特点是利用抽样定理恢复原始信号的波形。)参数编码：利用信号处理技术，提取语音信号的特征参量，再变换成数字代码，其比特率在16kb/s以下，但接收端重建（恢复）信号的质量不够好。)混合型编码：将波形编码和参数编码联合使用的一种编码方式。♣模拟信号数字化的方法模拟信号数字化过程包括三个步骤：抽样（sampling），量化（quantization）和编码（coding）。
抽样定理♣几个概念#抽样（sampling）：把时间上连续的模拟信号变换成一系列时间上离散的抽样序列的过程。#抽样定理：如果对某一带宽有限的时间连续信号（模拟信号）进行抽样，当抽样速率达到一定数值时，就可以根据这些抽样值准确地恢复原信号。也就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，只需要传输按抽样定理得到的抽样值即可。因此，抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。#抽样定理的分类##按照信号是低通型还是带通型，分为低通抽样定理和带通抽样定理。
##根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，分为均匀抽样和非均匀抽样。##根据抽样的脉冲序列是冲激序列还是非冲激序列，又可分为理想抽样和实际抽样（非理想抽样）。 低通抽样定理♣均匀抽样定理（奈奎斯特定理）(mt)(0，f)一个频带限制在内的时间连续信号，如果以HT≤1(/2f)(t)msH秒的时间间隔对它进行等间隔（均匀）抽样，则将被所得到的抽样值完全决定。ω(t)m此定理表明，若的频谱在某一角频率H以上为零，则T≤1()/2f(t)m的全部信息包含在其间隔不大于的均匀抽样序列sH里。即在信号最高频率分量的每一个周期内起码应抽样两次。
T≤1(/2f)均匀抽样定理：用在均匀间隔秒上给定信号的抽sH样值来表征信号，称为均匀抽样定理。2ff混叠失真：若抽样速率（每秒内的抽样点数）小于，sH则产生失真，称为混叠（superposition）失真。♣均匀抽样定理的证明设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，表示为+∞δ(t)=δ(t−nT)Ts∑n=−∞δ()t由于是周期性函数，则其频谱必然是离散的，为T+∞2π2πδ(ω)=δ(ω−nω)ω=2πf=Tsss∑TTssn=−∞()mtδ()t抽样过程可以看成是和相乘的结果，也是一个冲激T(t)m序列，冲激强度等于在相应时刻的取值，得抽样后信号为+∞()()()()()mt=mtδt=mnTδt−nTsTss∑n=−∞
利用频谱卷积定理，抽样后信号的频谱为+∞+∞⎡⎤111⎢⎥M(ω)=[M(ω)∗δ(ω)]=M(ω)∗δ(ω−nω)=M(ω−nω)sTss∑∑2πTT⎢⎥ssn=−∞n=−∞⎣⎦如图所示，抽样后信号的频谱是由无限多个间隔M(ω)sM(ω)(mt)为ω的相叠加而成，这意味着抽样后的信号包含了信ss(mt)号的全部信息。♣信号的恢复由抽样频谱图可知，抽样值序列通过一个适当的低通滤波器即可恢复原始信号，如图中的绿色虚线所示。显然，要无失真地恢复原始信号，抽样频率必须满足抽样定理。T=1/2f当时为抽样的最大间隔，称为奈奎斯特间隔。相对sHf=2f应的最低抽样速率称为奈奎斯特速率。sH
(M(ω)t)mωt−ωωHH（a）（d）δ(t)δ(ω)TTtω（b）（e）M(ω)s(t)mstω−ffhh（c）（f）图 抽样过程的时间函数及对应频谱图
m(()t)M((ω)……tω0-ω0 ωHHδ()(t)δ((ω))TT………………ωt-2ω-ω0 ω2ωs sss-2T-T0 T2Tssssm()(t)Ms((ω))s………………tω-2ω-ω-ω0 ωω2ωs sHHss-2T-T0 T2Tssss图 抽样过程的时间函数及对应频谱图
♣混叠失真T>1/2fω<2ω()f<2f当时，即抽样时间间隔，则抽样sHsHsH后信号的频谱在相邻周期内发生混叠，如图所示。此时，无法无失真地重现原信号。M(ω)sω2π/Ts图 混叠现象
M((ω))ω>2ωsH低通信号的抽样定理：…一个频带限制在0~f内的低通Hω-2ω-ω-ω0 ωω2ωs sHHss信号()xt()，如果抽样频率f≥2f，sHω-ωω+ωsHsHM'('(ω)则可以由抽样序列无失真地重建恢复原始信号()xt( )。ω-ω0 ωHH(Sω)M((ω))ω=2ωsH<ω<2ωsH频谱重叠………………ωω-2ω-ω-ω0 ωω2ωs sHHss-2ω-ω0 ω2ωs sssω-ωω++ωsHsHX(ω)M'(ω)ω-ω0 ωHHω-ω0 ωm m
带通抽样定理♣研究带通抽样定理的意义在实际应用中，经常遇到的信号是带通型信号。如果采用fff≥2f低通抽样定理的抽样速率，对频率限制在L与H之sH间的带通型信号抽样，肯定能满足频谱不混叠的要求。但这样f0~f选择的太高，会使一大段频谱空隙得不到利用，降低sL了信道的利用率。为了提高信道利用率，同时又使抽样后的信号频谱不混叠，应如何选择抽样频率？♣带通均匀抽样定理()()f，fmt一个带通信号，其频率限制在之间，带宽为LHB=f−ff=2f/mH，如果最小抽样速率，m是一个不超过LsHf/B()mt的最大整数，那么可完全由其抽样值确定。H
)当最高频率为带宽的整数倍时f=nBf/B=n，m=n若最高频率为带宽的整数倍，即H，得H，f=2f/m=2B则最小抽样速率为。sHf=5B如图所示，为的频谱图。HM(ω)由图可见，抽样后信号的频谱既没有混叠，也无空s()mtM(ω)隙，而且包含有的频谱（图中虚线所框）。这样采用带f=2B通滤波器就可以无失真地恢复原信号，且此时抽样频率远sf=2f=10Bf小于按低通抽样定理时的要求。但若再减小，即sHsf<2B时必然会出现混叠失真。s()mtf=nB由此可见，当时，能重建原信号的最小抽样速H率为f=2Bs
M(ω)ffLH−f−fHLf−3f−2f−δ(ω)Tf−3f−2f−f2ff3f0ssssssM(ω)sf−3f−2f−f2ff3f0ssssss图 带通信号的抽样频谱
)当最高频率为带宽的非整数倍时f=nB+kB，0<k<1若最高频率为带宽的非整数倍，即，得Hf/B=n+m=n+kk到。由定理可知，m是一个不超过的最大整H数，显然m=n，所以能恢复出原信号的最小抽样速率为()mtk⎛⎞f=2f/m=2(n+)kB/m=2B⎜1+⎟sHn⎝⎠如图所示。当f由Lfs4Bf0变到B时，即H由B变到3Bn=12B，此时，k由0变为2Bf=2B(1+)k1，得到由2Bs线性地增加到4B，得到曲B3B4B5B6Bf7B2BLf图 与的关系Ls线第一段。当f增加到B时，LfHn=2，k=0，f=2Bf增加到2B，得。即从4B跳回到2B。ss
=(fff2B1+k2)/当由B变到2B时，即由2B变到3B，此时LHsff由2B线性地增加到3B，得到曲线第二段。当增加到2B时，HLn=3，k=0，ff=2B增加到3B，得。即从3B跳回到2B。ssff依次类推，当继续增加时，s趋于2B。Lf>>B由于在现实中，，所以抽样频率可以近似为Lf≈2Bsfsf4B这说明，不论H是否3B为带宽的整数倍，抽样频率均可选择带宽的两倍。2BB3B4B5B6Bf7B2Bk⎛⎞Lf=2B1+⎜⎟sn⎝⎠f图 与的关系Ls
脉冲振幅调制♣脉冲编码调制)概念：采用脉冲信号作为载波，用模拟基带信号去控制脉冲串的某个参数（幅度、宽度、时间位置等），使其按基带信号规律变化的调制方式称为脉冲调制。)分类：按照控制参数的不同，可以分为：*脉冲幅度调制PAM（Pulse Amplitude Modulation）：用基带信号去改变脉冲的幅度。如图所示。$脉冲宽度调制PDM（Pulse Duration Modulation）：用基带信号去改变脉冲的宽度。如图所示。%脉冲相位调制PPM（Pulse Position Modulation）：用基带信号去改变脉冲的相位。如图所示。
基带信号波形三种调制波形虽然在时间上都是离散载波信号波形的，但受调参量变化是连续脉冲高度变化PAM波形的，取值是无穷的，即代表脉冲位置不变，宽度变化信息的参量是PDM波形连续变化的，脉冲宽度不变，位置变化故也属于模拟信号。PPM波形图 PAM、PDM、PPM信号波形
♣自然抽样的PAM)理想抽样：抽样脉冲载波为理想冲激脉冲。)非理想抽样：若抽样脉冲载波（即抽样函数）不是冲激脉冲组成，而是采用具有一定宽度的矩形脉冲序列，则为非理还有平顶抽样想抽样。)自然抽样：又称曲顶抽样，是指抽样后的脉冲幅度（顶部）随基带信号变化，或者说保持了基带信号的变化规律。在τ图中，脉冲载波s()t是由宽度为秒、周期为T秒的矩T=1/2f形脉冲串组成，T是按抽样定理确定的，即秒。抽样信H号是()与s()tmt的乘积，所以已抽样信号的频谱为+∞1AτM(ω)=[M(ω)∗()]()()Sω=SanτωMω−2nω∑sHH2πTn=−∞
M(ω)(t)m自然抽样tωω−ωHH()Sωs(t)AtωT2π2π2ω−2ωHHτ−ττM(ω)s()mtstω2π2πω2ω−2HH−ττ图 自然抽样的PAM波形及频谱
(mt)M(ω)理想抽样ωt−ωωHH（a）（d）δ(t)δ(ω)TTtω（b）（e）M(ω)s(mt)stω2π/Ts（f）（c）图 抽样过程的时间函数及对应频谱图
比较理想抽样和自然抽样的频谱图可得：)频谱非常相似，都是由无限多个M(ω)频谱之和组成。)1/T理想抽样的频谱被常数加权，因而信号带宽为无穷s(x)S大；自然抽样频谱的包络按函数随频率增高而下降，因而aττ带宽是有限的，且带宽与脉宽有关。越大，带宽越小，有ττ利于信号传输，但大会导致时分复用路数减小，因此的大小要兼顾带宽和复用路数的要求。)在自然抽样频谱中，n=0的成分为+∞AτAτM(ω)=a(τω)(ω−2ω)SnMnM(ω)=M(ω)s∑HHsTn=−∞TM(ω)Aτ/T这与原信号频谱只差一个比例常数，因而可以M(ω)用低通滤波器从中过滤出，从而恢复出基带信M(ω)s()mt号。
♣平顶抽样的PAM)平顶抽样：又称瞬时抽样，是指抽样后的脉冲幅度（顶部）是平坦的、相等的。或者说，能够得到平顶的PAM的抽样方法称为平顶抽样。)平顶抽样的意义：在模拟信号数字化过程中，进行波形编码的过程是抽样、量化、编码。在量化编码过程中，每一个抽样值应只有一个量化值。实际应用中不宜用较宽脉冲进行抽样，这样不能准确地选取量化标准。因此，在量化编码过程中，每一个样值应该固定不变。也就是说需要将曲顶的PAM变为平顶的PAM。平顶抽样PAM信号在原理上可以由理想抽样和脉冲形成电路产生，其原理框图及波形如图所示，其中脉冲形成电路的作用就是把冲激脉冲变为矩形脉冲。
()mt图中，首先将与δ()t相乘，形成理想抽样信号，然后T通过一个脉冲形成电路，其输出即为所需的平顶抽样信号。+∞+∞11M(ω)=M(ω)H(ω)=H(ω)M(ω−2nω)=H(ω)M(ω−2nω)∑∑HsHHTTn=−∞n=−∞由上式可见，平顶抽样的PAM信号频谱是由H加权后的(ω)M(ω)周期性重复的所组成，由于H(ω)是ω的函数，所以不能直接用低通滤波器恢复。(t)mHM(ω)H(ω)s()mtM(ω)脉冲形H乘法器成电路tδ(t)TT图 平顶抽样信号及其产生原理框图
)平顶抽样PAM的恢复恢复电路的原理框图如图所示，在低通滤波器前面增加了特性为1H(ω)/的网络，用于修正的影响。低通滤波器输H(ω)入信号的频谱为+∞11M(ω)=M(ω)=M(ω−2nω)sHH∑H(ω)Tn=−∞故通过低通滤波器就可以无失真地恢复原信号。按自然抽样和平顶抽样均能构成PAM通信系统，也就是说可以在信道中直接传输抽样后的信号，但由于抗干扰能力差，目前很少应用。已被性能良好的脉冲编码调制（PCM）所取代。M(ω)HM(ω)M(ω)s1(/Hω)低通(滤x)S波器a图 平顶抽样信号的恢复原理框图
模拟信号的量化抽样：时间离散量化：幅度离散♣几个概念)模拟信号变为数字信号的步骤：抽样、量化、编码。)抽样：按照抽样定理把时间上连续的模拟信号转换成时间上离散的抽样信号。)量化：把幅度上仍然连续（无穷多个取值）的抽样信号进行幅度离散，即指定M个规定的电平，把抽样值用最接近的电平表示。也就是说，量化就是利用预先规定好的有限个电平来表示模拟信号抽样值的过程。)编码：用二进制码组表示量化后的M个样值脉冲。♣量化的几个参数)量化范围：如[a，b]。对于语音信号为对称双极性信号，通常量化范围为。[−a，a]
[)a，b]量化级数：在内所分的区间段落数M。Δ=(−)Vba/M)量化间隔：也称为量阶或量化级，。i)量化电平：也称量化值，是指预先规定好的可能的输出q、q、L、q电平，如127。)编码位数：若用二进制进行编码，则需要的位数N应满N2≥M足。)量化误差：抽样值与量化值之差，也是随机的，像噪声一样影响通信质量，因此又称为量化噪声()mt)量化过程：如图所示。是模拟信号，抽样速率f=1/T(t)m为，抽样值用“•”表示，第k个抽样值为()mkT，ssqsq、q、L、q12M表示量化信号，是预先规定好的M个量化电平（这m里M=7），为第i个量化区间的终点电平（分层电平），电平iΔV=m−m之间的间隔iii−1称为量化间隔。量化就是将抽样值()mkTq、q、L、qs转换为M个规定电平12M之一。
q()7mtq信号的实际值m6量化误差q6信号的量化值()mtm5q5(6T)ms(m6T)qsm4q4m37T8TT2T3T4T5T6Tssssssssq3m2q2m1q1()mkT()mkTqss量化器图 量化的物理过程
量化一般分为均匀量化和非均匀量化。♣均匀量化把输入信号的取值域按等距离分割的量化称为均匀量化。在均匀量化中，每个量化区间的量化电平平均取在每个区间的中点。其量化间隔取决于输入信号的变化范围和量化电平数，即b−aΔV=ΔV=iM量化器输出为()()mkT=q当m<mkT≤mqsii−1siqmii式中，为第个量化区间的终点，m=a+iΔV；为第个量化iii=(+)qmm/2，i=1、2、L、M区间的量化电平，iii−1。()mt图为均匀量化。可见，量化后的信号是对原来信q()号mt的近似，当抽样速率一定，量化数目（量化电平数）增加并且量化电平选择适当时，可使量化误差减小。
量化误差一般分为绝对量化误差和相对量化误差。*绝对量化误差抽样值与量化值之差，称为绝对量化误差，即e=()()mkT−mkTsqsΔ/2绝对量化误差在每一间隔内的最大值为。$相对量化误差（量化信噪比）相对量化误差是指信号功率与量化噪声功率之比，是衡量量化器的主要指标。量化噪声功率为Mbmi222N=E[()]m−m=(x−)()mfxdx=(x−)()qfxdxqqqi∑∫∫ami−1i=1f(x)()式中，假设输入信号mt是均值为零，概率密度为的平稳随机过程。
信号功率为b22[]S=Em=xf(x)dx0∫a只要给出信号特性和量化特性，就能得到量化信噪比。【例】设一M个电平的均匀量化器，其输入信号的概率密度函[−aa],数在区间内均匀分布，试求该量化器的量化信噪比。MM2【解】m−a+iΔVi1ΔV⎛⎞2N=(x−)()qfxdx=⎜x+a−iΔV+⎟dxqi∑∑∫∫2a2−+(−1)maiΔV⎝⎠i−1i=1i=1MM333⎡⎤11ΔV11ΔVΔV⎛⎞⎛⎞⎛⎞−a+iΔV⎢⎥=⎜x+a−iΔV+⎟=⎜⎟−⎜−⎟∑−a+(i−1)ΔV∑2a322a322⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠i=1i=1⎣⎦3M(Δ)V=24aΔq=−a+iΔ−i2q=−a+iΔV−ΔV/2，M⋅ΔV=2a由于，得到i1⎛⎞=−a+i−Δ⎜⎟2⎝⎠2(Δ)VN=q12
信号功率为322a112aaM122==()Sxdx⋅==ΔVa=M⋅ΔV0∫2a2a33122−a得到信号量化噪声功率比为⎛⎞SS200⎜⎟=M=20lgM⎜⎟NNqq⎝⎠dB由上式可知，量化信噪比随着量化电平数M的增加而提高。)均匀量化的缺陷：量化信噪比随着信号电平的减小而下降。产生这一现象的原因是均匀量化的量化间隔是固定值，无论信号大小如何，量化噪声功率固定不变。这样，小信号时的量化信噪比就难以达到给定的要求。通常，把满足信噪比要求的输入信号的取值范围定义为动态范围。因此，均匀量化时输入信号的动态范围将受到较大的限制。为了克服均匀量化的缺点，实际中往往采用非均匀量化。
♣非均匀量化非均匀量化是一种在整个动态范围内量化间隔不相等的量化，即根据输入信号的概率密度函数来分布量化电平，以改善量化性能。也就是根据信号的不同区间来确定量化间隔。对于信号取值小的区间，其量化间隔也小，反之则大。)非均匀量化的特点*当输入量化器的信号具有非均匀分布的概率密度时，输出端可以得到较高的平均信号量化噪声功率比。$量化噪声的均方根值与信号抽样值成比例。因此，量化噪声对大、小信号的影响大致相同，改善了小信号时的信号量噪比。)非均匀量化的方法：对抽样值先进行压缩处理，然后再把压缩的信号进行均匀量化。
)压缩：是指用一个非线性变换电路将输入变量变换成另一个变量。压缩器就是一个非线性变换电路，通过它后，微弱的信号被放大，较强的信号被压缩。其输入输出关系为y=f(x)y非均匀量化就是对压缩后的变量进行均匀量化。接收端采用一个传输特性为−1x=(fy)的扩张器来恢复x。y=lnx)压缩律的选择：大多采用对数式压缩，即。常用的是*μ压缩律：主要是美国采用。$A压缩律：主要是我国和欧洲各国采用。
μ♣压缩律其压缩特性为()ln1+μxy=0≤x≤1(+μ)ln1式中，为归一化的压缩器输出电压，即0≤y≤1压缩器的输出电压y=压缩器可能的最大输出电压x为归一化的压缩器输入电压，即压缩器的输入电压x=压缩器可能的最大输入电压μ为压扩参数，表示压缩的程度。由于上式近似为对数关系，因此称为近似对数压扩律。μμ=0图给出了不同时的压扩特性。由图可见，时为过μ原点的一条直线，没有压缩效果；随着的增加，压缩作用明μ=100显增大，对改善小信号有利。当时压缩效果比较明显。
yy110Δy00001103Δxx01xx10iμ图 律压缩特性图 压缩特性
)μ压缩律对小信号的改善效果如图所示，虽然纵坐标为均匀分级，但由于压缩特性作x用，反映到输入信号（横坐标）即为非均匀量化。且信号越Δx小，量化间隔越小；信号越大，量化间隔也越大。而在均匀量化中，量化间隔是固定不变的。在每一量化区间内，压缩特性曲线可近似为直线，即yΔydyμ′==y=1ΔyΔxdx(1+μx)(ln1+μ)得到1(ln1+μx)Δx=Δyy=′y(ln1+μ)Δx因此，量化误差为Δx1ΔyΔy(1+μx)(ln1+μ)=⋅=⋅x01xi′2y22μ图 压缩特性
Δy/2Δx/2当μ>1时，与的比值就是压缩后量化间隔精度提高的倍数，也就是非均匀量化对均匀量化的信噪比改善程度。当用分贝表示时，信噪比改善程度为ΔxΔy(1+μx)(ln1+μ)Δydy⎛⎞⎛⎞=⋅Q=20lg⎜⎟=20lg⎜⎟22μdBΔxdx⎝⎠⎝⎠μ=100x→0【例】时，对于小信号（）的情况⎡⎤dyμ⎛⎞Q=20lg⎜⎟=20lgdBx→0⎢⎥x→0dx(1+μx)(μ)ln1+⎝⎠⎣⎦100⎛⎞=20(lg⎜⎟=)ln101=⎝⎠100lg==在大信号时，若x=1，则1lg=−=−⎡⎤dyμ⎛⎞Q=20lg⎜⎟=20lgdBx=1⎢⎥x=1dx(1+μx)(+μ)ln1⎝⎠⎣⎦⎡⎤1001⎛⎞=20(lg=20lg⎜⎟=−)⎢⎥(1+100)()ln1+⎝⎠⎣⎦
由此可见，大信号时，质量损失；小信号时，质量改善。表给出了信号量噪比与输入电平的关系。图画出了有无μ=100μ=0压扩时的比较曲线。其中，表示无压扩时的信噪比，S0/dB表示有压扩时的信噪比。Nq40由图可见，无压扩时信噪比随输Q<0μ=10030入信号的减小迅速下降；有压扩时信183620μ=0Q>0噪比随输入信号的下降比较缓慢。即10x/dB采用压扩后，提高了小信号的信噪比，0-10-20-30-40-50相当于扩大了输入信号的动态范围。图 有无压扩时的比较曲线 信号量噪比改善程度与输入信号电平的关系输入信号电平/dB0-10-20-30-40-50[]改改善善量量
y1b♣A压缩律1+lnAxy=其压缩特性为1+lnA1ayAx11y=1y=0<x≤1+lnA1+lnAAAxy=1+lnAx11+lnAy=<x≤11+lnAA0x=1/A11xx式中，为归一化的压缩器输入电压；y为归一化的压缩器输出电压；A为压小信号大信号扩参数，表示压缩的程度。区域区域图 A律压缩特性图给出了A律的压缩特性。μ早期的A律和律压扩特性是采用模拟电路实现的，电路复杂，且精度和稳定度受到限制。随着数字电路的普及，现采用μ折线逼近对数压扩特性。一种是A律13折线，另一种是律15折线。CCITT建议规定上述两种均为国际标准，但在国际间数字系统互连时，要以前者为标准。
♣A律13折线)出发点：从不均匀量化的基点出发，设法用13段折线逼近A=的A律压缩特性。目前，A律13折线主要用于我国和英、法、德等欧洲各国的PCM30/32路基群中。)产生办法：把输入x轴和输出y轴用两种不同的方法划分：*对x轴：在0~1范围内不均匀地分成8段，分段规律是每次以二分之一对分。a将区间[0，1]一分为二，其中点为1/2，取区间[1/2，1]为第八段；a将剩下的区间[0，1/2]再一分为二，其中点为1/4，取区间[1/4，1/2]为第七段；a将剩下的区间[0，1/4]再一分为二，其中点为1/8，取区间[1/8，1/4]为第六段；
a将剩下的区间[0，1/8]再一分为二，其中点为1/16，取区间[1/16，1/8]为第五段；a将剩下的区间[0，1/16]再一分为二，其中点为1/32，取区间[1/32，1/16]为第四段；a将剩下的区间[0，1/32]再一分为二，其中点为1/64，取区间[1/64，1/32]为第三段；a将剩下的区间[0，1/64]再一分为二，其中点为1/128，取区间[1/128，1/64]为第二段；a最后剩下的区间[0，1/128]为第一段。$对y轴：在0~1范围内采用等分法，均匀分成8段，每段为间隔均为1/8。然后将x、y各对应段的交点连接起来，构成8段直线，得到图所示的折线。各段折线的斜率见表所示。
图 A律13折线
表 各段的斜率12345678段落161684211/21/4斜率从表中可以看出，除一、二段外，其他各段折线的斜率都不相同。图只画出了第一象限的压缩特性，第三象限的压缩特性的形状与第一象限的压缩特性的形状相同，且以原点为奇对称，所以负方向也有八段直线，总共有16个线段。但由于正向一、二两段和负向一、二两段的斜率相同，所以这四段实际上为一条直线。因此，正、负双向的折线总共由13条直线段构成，这就是13折线的由来。)A=的原因*使压缩特性曲线在原点附近的斜率为16；n1/2$当用13折线逼近时，x的八段量化分界点近似为。
)13折线与A（）律的近似程度x=1/A=1/在A律大小信号区域的分界点，相应的y值为Ax1y==≈+lnA1+lnA即当y<0，满足.183x、==≈16x1+lnA1+由于在13折线中，y是均匀划分的，取值在第1、2段时小y=0y=1/8x、y于，故的关系可用上式表示，即时x=0，时x=1/128。y>、y当时，满足1+lnAxlnxlnx1y−1y==1+y−1=x=(eA)=1−y1+lnA1+lnAlneA(eA)
8段折线中，除第1、2段外，其余6段折线用A=代入上式，即可求得x值，列于表的第二行，按折线分段时的x值列于第三行。由表可见，13折线各段落的分界点与A=曲线十分逼近，并且两特性起始段的斜率均为16。这就是说，13折线非常逼近A=的对数压缩特性。表 A=与13折线比较y02/81 1/83/85/84/86/87/81/ 01/6411/1281/321/81/161/41/212 3 4 5 6 7 8 段落161684211/21/4斜率
脉冲编码调制（PCM） 脉冲编码调制原理♣概念脉冲编码调制（PCM）：简称脉码调制，是一种用一组二进制数字代码来代替连续信号的抽样值，从而实现通信的一种方式。即将模拟信号的抽样量化值转换成二进制码组的过程。图给出了脉冲编码调制的一个示意图。♣脉冲编码调制的原理()mt原理框图如图所示。输入的模拟信号经抽样、量化、编码后变为数字信号，经信道传输至接收端，先由译码器ˆ()mt恢复出抽样值序列，再经低通滤波器滤出模拟信号。
量化电平数抽样间隔精确抽样值量化值010100101011PCM码组单极性传输双极性传输时隙图 PCM信号形成示意图
通常将量化与编码的组合称为模数变换器（A/D变换器），将译码与低通滤波器的组合称为数模变换器（D/A变换器）。在PCM编码调制系统中，编码是关键。编码就是把量化后的信号转换成代码的过程。有多少个量化值就需多少个代码组，代码组的选择是任意的，只要满足与样值成一一对应关系即可。既可以是二元码组，也可以是多元码组。干扰A/D变换(t)ˆm(mt)抽样量化编码信道译码低通滤波()mt(t)m()mtssqsq图 PCM通信系统原理框图
♣编码码型的选择)码字：对于M个量化电平，可以用N位二进制码来表示，其中的每一个码组称为一个码字。)码型：是指代码的编码规律，其含义是把量化后的所有量化级，按其量化电平的大小次序排列起来，并列出各对应的码字，这种对应关系的整体就是码型。)常用码型：自然二进制码，格雷二进制码（反射二进制码）和折叠二进制码。表列出了用4位码表示16个量化级时的三种码。由表可见，将16个量化间隔分为了两部分：*负极性样值脉冲：0~7的8个量化间隔；$正极性样值脉冲：8~15的8个量化间隔。
表 常用二进码型自然二进码格雷二进码量化间隔序号样值脉冲极性折叠二进码11111000111115111010011110141101101111011311001010110012正极性部分1011111010111110101111101010100111011001910001100100080000011170100000101106010100100101501110011负极性部分0100401100100001130010010100102001101100001100010111000000000
)三种码的比较*自然二进码编码简单，易记，且译码也可逐比特独立进行，但上下两部分无任何规律。$折叠二进码是一种符号码，左边第1位表示信号极性，信号为正用1表示，信号为负用0表示；第2位到最后一位表示信号幅度。由于正负绝对值相同时，其上半部分与下半部分呈倒影关系——折叠关系，故名折叠码。其幅度码从小到大按自然二进码编排。%格雷二进码的特点是任何相邻电平的码组，只有一位码位发生变化，即相邻码字的距离恒为1。译码时，若传输或判决有误，则量化电平的误差小。同时，该码除极性外，当正负绝对值相等时，其幅度相同，故又称为反射二进码。但这种码不是可加的，不能逐比特进行，需先转换为二进码后再译码。
)折叠二进码的特点*对于双极性信号，只要绝对值相同，即可进行相同的编码。这就是说，用第1位码表示极性后，双极性信号可以采用单极性编码方法，使得编码过程大大简化。$在传输过程中，若出现误码，对小信号影响较小。如大信号1111误为0111，自然二进码误差为8个量化间隔，折叠二进码为15个量化间隔。可见大信号误码对折叠二进码影响大。若小信号1000误为0000，前者为8，后者为1，说明有利于小信号时减小平均量化噪声。由于语音信号小幅度出现的概率比大幅度出现的概率大，故要着眼于小信号的传输效果。因此，在PCM通信编码中，一般采用折叠二进码。也是A律13折线PCM30/32路基群设备中采用的码型。
♣码位的选择码位选择涉及到通信质量的好坏和设备的复杂程度。在输入信号变化范围一定时，码位数越多，量化分层越细，量化噪声就越小，通信质量就越好，但总传输码率增加，对设备要求提高。在A律13折线中，一般按8段折线（8个段落）进行编码。若用8位折叠二进码表示输入信号的抽样量化电平时，其中第1位表示量化值的极性，其余7位则可表示抽样量化值的绝对大小，共有128个量化级。具体做法为：)第1位（极性码）：1表示正信号，0表示负信号。)第2位到第4位（段落码）：8种状态表示8个段落电平。)第5位到第8位（段内码）：16种状态代表每一段落的16个均匀划分的量化间隔。表和表给出了段落码和段内码的表示方式。
表 段落码表 段内码段落序号段落码量化间隔段内码量化间隔段内码8 11115 1111 7 01117 11014 1110 6 01106 10113 1101 5 01015 10012 1100 4 01004 01111 1011 3 00113 01010 1010 2 00102 0019 1001 1 00011 0008 1000 0 0000上述表示中，虽然16个量化间隔是均匀的，但由于段落长度不同，使得不同段落的量化间隔不同。输入信号小时，段落小，量化间隔小；反之，量化间隔大。)第1段最小：量化间隔为（1/128）×（1/16）=1/2048)第8段最大：量化间隔为（1/2）×（1/16）=1/32
若记最小量化间隔Δ=1/2048，则A律13折线的段落码、段内码起点电平见表。图 律折线幅度码及其对应电平段内码对应权值/Δ量化段电平范围段落码段落起量化间隔/ΔCCCCCCCi=1~8始电平Δ/Δ2345678i8 1024~2048 1 1 1 1024 64 512 256 128 647 512~1024 1 1 0 512 32 256 128 64 326 256~512 1 0 1 256 16 128 64 32 165 128~256 1 0 0 128 8 64 32 16 8 4 64~128 0 1 1 64 4 32 16 8 4 3 32~64 0 1 0 32 2 16 8 4 2 2 16~32 0 0 1 16 1 8 4 2 1 1 0~16 0 0 00 1 8 4 2 1
以上为非均匀量化，若采用均匀量化，且量化间隔为非均匀量化时的最小间隔1/2048，则从13折线第1段到第8段的各段所包含的均匀量化间隔数分别为16、16、32、64、128、256、512、1024，共计2048个均匀量化级。而非均匀量化只需要128个量化级。即均匀量化需要编11位码，非均匀量化只需要7位码。由此可见，在保证小信号量化间隔相同的条件下，7位非线性编码与11位线性编码等效。由于非线性编码的码位减少，故设备简单，所需带宽减小。非线性编码：按非均匀量化特性的编码方式。线性编码：按均匀量化特性的编码方式。♣编码器原理实现编码方法很多，主要有逐次比较型、级联型、混合型等等。目前应用较多的是逐次比较型编码器。
)逐次比较编码器的原理：原理框图如图所示。编码器的任务就是根据输入的样值脉冲编出相应的8位二进制代码，除第1位极性码外，其余7位是通过逐次比较确定的。)各部分的作用#整流器：识别输入样值脉冲的极性，编出第1位码。样值为正时输出1，样值为负时输出0。#比较器：为编码器的核心，通过比较样值电流和标准电流，对输入信号抽样值实现非线性量化和编码。I后7位码PAM输入s整流器保持电路比较器Iw本地译码器7/11变换电路恒流源记忆电路图 逐次比较型编码器
在比较过程中，每比较一次，输出一位二进制代码，其规I>II<I则是当时，输出1，当时，输出0。由于在13折线中swsw用7位二进制代码代表段落和段内码，故对每一个抽样值比较7次，每次所需的标准电流均由本地译码器提供。#记忆电路：用于寄存二进代码。#7/11变换电路：相当于非均匀量化中的数字压缩器，由于恒流源有11个基本权值电流支路，而比较器只能编7个码，故需进行11到7的转换。#恒流源：也称11位线性解码电路或电阻网络，用于产生各种标准电流。标准电流的个数与量化级数有关。对于A律13折线编出码，需要11个标准电流。即11个基本的权值电流支路，每个支路都有一个控制开关。#保持电路：在比较过程中，保持输入信号的幅度不变。
【例】设输入信号抽样值为1270个量化单位，采用逐次比较型编码器，按A律13折线编成8位码。解：编码过程为：#C=1确定极性码C：由于输入样值为正，故极性码；11#确定段落码CCC：13折线中，正半部分的8个段落以2341/2048为单位的每个段落的起点电平如表所示。C：用于表示输入信号抽样值处于8个段落中的前4段还是2I>II=128Δ后4段。标准电流选择（Δ为量化单位），由于，swwC=1所以。21 5 6 7 80 128 256 512 1024 2048图 段落起点电平段落1 2 3 4 5 6 7 8起点电平0 16 32 64 128256 512 1024
C：用于进一步确定输入信号样值属于5~6段，还是7~8段。3C=1I>I标准电流选择I=，512由Δ于，所以。3swwC：用于进一步确定输入信号样值属于第7段，还是第8段。4C=1标准电流选择I=，512由Δ于I，>所I以。4swwCCC=111得到段落码为。234#确定段内码CCCC：段内码是在已经确定输入信号所5678处段落的基础上，确定处于该段落的哪个量化间隔上。具体可参照表。现已确定输入信号处于第8段，该段的16个量化间隔均为64个量化单位，故各段内码为C：用于确定输入信号处于前8个还是后8个量化间隔，标5准电流选择I=段落起始电平+8×量化间隔=(1024+8×64)Δ=1536Δw
C=0由于I<I，所以。5swC：用于进一步确定输入信号处于0~3还是4~7量化间隔，6标准电流选择I=段落起始电平+4×量化间隔=(1024+4×64)Δ=1280ΔwC=0I<I由于，所以。6swC：用于进一步确定输入信号处于0~1还是2~3量化间隔，7标准电流选择I=段落起始电平+2×量化间隔=(1024+2×64)Δ=1152ΔwC=1I>I由于，所以。7swC：最后确定是处于2还是3量化间隔，标准电流选择8I=段落起始电平+3×量化间隔=(1024+3×64)Δ=1216ΔwC=1I>I由于，所以。7swCCCC=0011得到段落码为。5678
经过上述7次比较，编出的PCM码组为11110011，表示输入信号处于第8段第3个量化间隔，量化电平为1216Δ，量化误差为54Δ。♣译码器原理)译码器的作用：将接收到的PCM信号还原为相应的样值信号，即进行D/A转换。)译码器的类型常用译码器有电阻网络型，级联型和级联-网络混合型等。)电阻网络型的原理原理框图如图所示。它与逐次比较型编码器中的本地译码器基本相同，都能进行译码。不同之处在于编码器中的译码只译出幅度，不译出极性。而接收端的译码器幅度和极性均要译出。
)记忆电路::将接收到的串行PCM码变为并行码，并记忆下来。故又称为串并变换电路。)7/11变换电路：将7位非线性码转换为11位线性码。)极性控制电路：用于恢复译码后的极性脉冲。)寄存读出：将输入的串行码在存储器中寄存起来，待全部接收后再一起读出，送入解码网络。)恒流源：由标准电流支路组成，输出与发送端原抽样值脉冲接近的脉冲。极性控制放大器PCMPAM7/11变换电路记忆电路寄存读出恒流源写入脉冲存入控制读出脉冲图 电阻网络型译码器
♣PCM信号的码元速率与带宽由于PCM要用N位二进制代码表示一个抽样值，即一个抽样周期T内要编N位码，故每个码元宽度为T，码位越多码元/Nss宽度越小，占用带宽越大。)码元速率设为低通信号，最高频率为f()，根据抽样定理f≥2f，mtHsH如果量化电平数为M，则采用二进制代码的码元速率为Mf=flog=Nfbs2s)最小带宽f=2ff=2Nf抽样速率的最小值为，这时码元传输速率为，sHbH得到在无码间干扰和理想低通传输条件下，所需最小带宽为11B=f=Nf=NfbsH22
实际中使用升余弦的传输特性，所需带宽为B=f=Nf= PCM系统的抗噪声性能由于PCM系统涉及两种噪声：量化噪声和信道加性噪声。而这两种噪声产生机理不同，互不依赖，故首先分析其各自单独存在时的特性，然后再分析共同存在时的系统性能。♣系统模型系统模型如图所示。干扰A/D变换(t)ˆm(mt)抽样量化编码信道译码低通滤波(t)m(t)m()mtssqsq图 PCM通信系统原理框图
系统输出端低通滤波器的输出为ˆ()=()+()mtmtnt+n()t0qe()、()mtnt、n()t式中，分别为输出信号成分、由量化噪声引起0qe的输出噪声和由信道加性噪声引起的输出噪声。PCM系统的抗噪声性能通常定义为2[()]SEmt00=22NE[n()]+[()tEn]t0qe♣考虑量化噪声的系统性能()设输入信号mt在区间[−a，+a]上均匀分布，对()进行均mt00匀量化，其量化级数为M，在不考虑信道噪声的条件下，量化信NB=NfM=2噪比为H2[()]SEmt22N2B/f00H==M=2=22NE[n()]tqq
N式中，二进制码位数N与量化级数M的关系为M=2。可见，量化信噪比依赖于每一个编码组的位数N，并随N按指数增加。同时与带宽也呈指数关系。♣考虑信道加性噪声的系统性能在加性噪声为高斯白噪声的情况下，每一码组中出现的误码可以认为是彼此独立的，假设每个码元的误码率均为P。一般e考虑PCM的每个码组中出现多于1位误码的概率很低，通常只考虑仅有一位误码的码组错误。由于码组中各位码的权值不同，因此，误差的大小取决于误码发生在码组的哪一位上，而且与码型有关。以N位长自然二01N−1进制码为例，从最低位到最高位的加权值分别为2、2、L、2，若量化间隔为Δ，则发生在第i位上的误码所造成的误差2i−1i−1为±(2Δ)，其噪声功率为。(2Δ)
由于发生误码的位置越高，造成的误差越大，且假设每位码元的误码率概率相同，所以一个码组中产生一位误码的平均功率为N2N2N22−122i−122N=E[n()]()t=P2Δ=PΔ=PΔeeeee∑33i=1()mt[已假设信号在−a，+a]上为均匀分布，得信号输出功率022为a1ΔΔ2222N=[()]SEmt=xdx=M=200∫−a2a1212得到在仅考虑信道加性噪声时，输出信噪比为S10=N4Pee♣考虑信道加性噪声和量化噪声的系统性能N112==将上述两种情况进行综合得NN1N1+4P2qee+4P+eN2N2SS00SS200==2NNN+N1+4P20qee
差分脉冲编码调制（DPCM）系统♣研究差分脉冲编码调制（DPCM）的意义64kb/s的A律或μ律的对数压扩PCM编码已经在大容量的光纤通信系统和数字微波系统中得到了广泛的应用。但PCM信号占用频带要比模拟通信系统中的一个标准话路带宽（ kHz）宽很多倍。这样，对于大容量的长途传输系统，尤其是卫星通信，采用PCM的经济性能很难与模拟通信相比。 以较低的速率获得高质量编码，一直是语音编码追求的目标。通常，人们把话路速率低于64kb/s的语音编码方法，称为语音压缩编码技术。
语音压缩编码方法很多，其中自适应差分脉冲编码调制是语音压缩中复杂度较低的一种编码方法，可在32kb/s上达到64kb/s的PCM数字电话质量，现已成为长途传输中一种新型的国际通用语音编码方法。它是在DPCM基础上发展起来的。♣DPCM的概念PCM中每个波形样值都独立编码，与其他样值无关，这样样值的整个幅值编码需要较多位数。然而大多数以奈奎斯特或更高速率抽样的信源信号在相邻抽样间表现出很强的相关性，有很大的冗余度。一种比较简单的解决方法是对相邻样值的差值而不是样值本身进行编码。由于相邻样值的差值比样值本身小，可以用较少的比特数表示差值。这样，用样点之间差值的编码来代替样值本身的编码，可以在量化阶数不变（即量化噪声不变）的情况下，编码位数显著减少，信号带宽大大压缩。这种利用差值的PCM编码称为差分PCM（DPCM）。
♣线性预测基本原理利用前面的几个抽样值的线性组合来预测当前的抽样值，称为线性预测。当前抽样值和预测值之差，称为预测误差。由于相邻抽样值之间的相关性，预测值和抽样值很接近，即误差的取值范围较小。对较小的误差值编码，可以降低比特率。♣DPCM的工作原理DPCM是根据前面k个样值预测当前时刻的样值。编码信号只是当前样值与预测值之间的差值的量化编码。
()mkT()mtkT来自信源的话音信号为，其时刻的抽样值为，ss~′mmm′mm记作。是的预测值，预测值与其输入样值的关系为kkkkkp~′m=amkik−i∑i=1a、p上式中，i分别为预测器的预测系数和预测阶数。p′e=m−m差值作为量化器的输入，ok为量化器的输出，量qkkkp化后的每个预测误差ok被编码成二进制数字序列，送入信道。′p在接收端，该误差ok与本地预测值相加，得到输出信号。~e()mmt′p′mkqkokk抽样器加法器量化器编码器译码器加法器pok信道加法器预测器~′mmkk译码器预测器编码器图 DPCM系统原理框图
~m的含义：在不考虑量化误差的情况下k~′′′′m=p+m=e+m=m−m+m=mkokkqkkkkkk~这说明，m是带有量化误差的输入信号m。kk′e=m−mqkkk~e()mmt′p′mkqkokk抽样器加法器量化器编码器译码器加法器pok信道加法器预测器~′mmkk译码器预测器编码器图 DPCM系统原理框图
♣系统性能DPCM系统的总量化误差定义为输入信号样值与解码器输出信号样值之差。编码器中预测器和相加器的连接电路和解码器中的完全一样。′p故当无传输误码时，即当编码器的输出就是ok解码器的输入~~p′m=mok时，这两个相加器的输入信号相同，即kk~′′′()()q=m−m=m+e−m+p=e−pkkkkqkkokqkok2[]SEm0k=该量化误差是随机的，定义总量化信噪比为2NE[]qqk~e()mmt′p′mkqkokk抽样器加法器量化器编码器译码器加法器pok信道加法器预测器~′mmkk译码器预测器编码器图 DPCM系统原理框图
增量调制（DM或ΔM）♣PCM与DM的区别联系DM是继PCM后出现的又一种模拟信号数字传输方法，可看作是DPCM的特例。)DM与PCM都采用二进制代码表示模拟信号的编码；)PCM中，代码表示样值本身的大小，所需码位较多，编译码设备复杂；DM中，只用一位编码表示相邻样值的相对大小，反映抽样时刻波形的变化趋势，与样值本身的大小无关。)DM与PCM相比，具有编译码简单，低比特率时的量化信噪比高，对信道误码不敏感（抗误码特性好）等特点，在军事和工业部门的主要通信网和卫星通信中得到了广泛应用。
♣DM的概念及原理框图*概念：DM是对信号相邻样值的增加量进行1比特量化编码的方式。$原理框图：DM是DPCM的特例。当DPCM系统的量化电平取2，预测器变为延迟T的延迟线时，该DPCM系统变为DMs系统，其原理框图如图所示。′e=m−m差分qkkk二电平量化器输出为+σ或−σ，称为量化台阶，e为二进ok制符号。将延迟单元—相加器变为积分器，得到原理框图二，见图所示。
~′ee()memt′mkokqkokk二电平抽样器加法器加法器量化信道加法器延迟线~′mmkk译码器延迟线编码器图 DM系统原理框图一(()mt)mt′p()te()p()tt0ooq加法器抽样判决积分器低通滤波器′()mt积分器译码器编码器图 DM系统原理框图二
DM的工作原理♣DM波形示意图如图所示，为一频带受限的模拟信号，可以用时间()mt′Δt间隔为、相邻幅度差为的阶梯波形()Δt±σmt来逼近。只要σ和足够小，则阶梯波可近似代替模拟信号。阶梯波具有两个特点Δt′()mt*在每个间隔内，的幅值不变；+σ−σ$相邻间隔的幅值差不是（上升一个量化阶），就是（下降一个量化阶）。′σ()用mt“1”码和“0”码分别表示上升或下降一个量化台阶,,′()mt则可用一个二进制序列表示，即该序列也相当于表示了模拟信号()mt，实现了模数转换。
图 增量调制波形示意图
♣DM的译码原理如图所示，接收端只要每接收到一个1码，就使输出上σ+σ升一个，每接收到一个0码，就使输出下降一个。连续收到1码（或0码）就使输出一直上升（或下降），这样就可以近(t)m似地复制出阶梯波形。()mt0i积分器低通滤波器该功能可用积分器来完()mti成。遇到1码（即有++E脉冲），就固定上升一个ΔE，且ΔE=σ。遇到0码，就下降(t)m0一个ΔE。由于积分器输出中一般含有不需要的高频分量，故用低通滤波器进行平滑。图 积分器译码示意
♣DM的编码原理()mt如图所示，编码过程为将模拟信号与发端译码器输′()mt出的阶梯波形进行比较，然后在抽样脉冲作用下，将相减t结果进行极性判决。如在给定抽样时刻有i′()mt−()mt>0t=tt=ti−i−p()te()t(t)moq加法器抽样判决则判决器输出1。若′()mt积分器′()mt−()mt<0t=tt=ti−i−图 DM系统编码器则判决器输出0。t式中，是t时刻的前一瞬间，即阶梯波形跃变点的前一瞬间。i− DM系统的量化噪声♣DM系统中量化噪声的分类三种：过载量化噪声，空载量化噪声和一般量化噪声。
♣过载量化噪声过载量化噪声又称为过载噪声，发生在模拟信号斜率陡变时，由于台阶σ是固定的，而且每秒内台阶数也是确定的，使得阶梯电压波形跟不上信号变化，形成了很大的失真阶梯电压波形，称为过载现象，也称为过载噪声。如图所示。设抽样时间间隔为Δ，则一个台阶上的最大斜率为t=1/fsσK==σfsΔt称为译码器的最大跟踪斜率。在实际应用中，若信号实际斜率超过最大跟踪斜率，则会f造成过载噪声。因此为了不发生过载现象，必须使和σ的乘积s达到一定的数值，以使信号实际斜率不超过这个数值。这个数值通常可以用增大f或σ来达到。s
一般量化噪声过载量化噪声图 两种形式的量化噪声♣一般量化噪声σσ对于一般量化噪声，台阶大，则量化噪声大；台阶小，则量化噪声小，采用大的台阶虽然能减小过载噪声，但却增大了一般量化噪声，因此σ值应适当选取。
♣抗噪声性能′在不考虑过载量化噪声的情况下，误差e=()()mt−mt是限制q在−σ~+σ范围内变化。假定其服从均匀分布，则量化噪声平均功率为3σ1σ22E[()]et=ede=qqq∫−σ2σ3这并不是系统最终输出的量化噪声功率。从图可以看e(t)fe(t)出，的变化频率最高为采用频率，最低为0。假定的qqse(t)功率在其频率范围内为均匀分布，则的功率谱密度为q2σP(f)=0<f<fes3fsf则通过低通滤波器（截止频率为）后，量化噪声功率为m22⎛⎞σfσfmm⎜⎟N=P(f)f==qem⎜⎟3f3fss⎝⎠
从上式中可以看出，DM系统输出的量化噪声功率与量化台f/fσ阶及比值有关，而和输入信号的幅度无关。但上述条件ms是在未过载的情况下得到的。设输入信号为()mt=Asinωtk其斜率为dm()t=AωcosωtkkdtAω斜率的最大值为。为了不发生过载现象，要求kAω≤σfks得到临界的过载振幅为σfsA=maxωk
在临界条件下，系统有最大的信号功率输出，为22222AσfσfmaxssS===022222ω8πfkk2⎛⎞σfm⎜⎟N=q⎜⎟得到临界条件下的最大信噪比为3f⎝s⎠33S3ff0ss=≈πffffqkmkmf可以看出，在临界条件下，量化信噪比与采样频率的3次sf方成正比，与信号频率的平方成反比，与低通滤波器的截止kf频率m成反比。所以，提高采样频率对改善量化信噪比大有好处。
第8 章数字信号的最佳接收最佳接收的概述 数字信号接收的统计表述关于最佳接收准则确知信号的最佳接收随相信号的最佳接收起伏信号的最佳接收普通接收机与最佳接收机的性能比较匹配滤波器
本章知识点结构数字信号最佳接收匹配滤波器最佳接收的概念最佳接收准则研究统计确知信号随相信号起伏信号基本高斯白噪声对象模型最佳接收最佳接收最佳接收原理匹配滤波器模型
本章教学要求n了解数字通信系统的统计模型和最佳准则；o熟悉确知信号、随机相位信号和起伏信号接收的模型结构和接收机性能；p掌握匹配滤波器的基本原理。
最佳接收的概述♣影响信息可靠传输的主要因素*信道特性的不理想；$信道中噪声的存在。因此，提高信道质量、减少信道内噪声是提高可靠传输的重要手段之一。但问题还有另一方面，在同样的信道和噪声条件下，如何使正确接收信号的概率最大，而错误接收概率最小，这就是最佳接收问题。♣最佳接收理论的研究对象最佳接收理论以接收问题作为自己的研究对象，研究从噪声中如何最好地提取有用信号。最佳并非是一个绝对的概念，而是指在某个准则意义下说的一个相对概念。即在某个准则下是最佳的接收机，但在另一准则下就并非一定是最佳的。
数字信号接收的统计表述在数字通信系统中，发送端把几个可能出现的信号之一发送给接收机。但接收端在观察到接收波形后，要准确无误地进行判断却非易事。一是哪一个信号被发送，对接收端来说是不确定的；二是即使预知某一信号被发送了，但由于信号在传输过程中可能发生各种畸变和混入随机噪声，也会使接收端对收到的信号产生怀疑。即接收端观察到的波形是一个受发送信号的不确定性和噪声的不确定性等因素直接影响的随机波形。但不确定性或随机性的存在，绝不意味着信号就无法可靠地接收。因为从概率论的观点看，任何因素总是遵循某种统计规律。只要掌握接收波形的统计资料，就可以利用统计判决法获得满意的接收效果。因此，带噪声的数字信号的接收，实质上是一个统计接收，即信号接收过程是一个统计判决的过程。
♣数字通信系统的统计模型从统计学的观点看，数字通信系统可以用一个统计模型来表述，如图所示。图中的消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别代表消息、信号、噪声、接受波形及判决的所有可能状态的集合。消息空间观察空间判决空间♣模型参数的统计描述判决yxs+D规则)发送消息信号空间n噪声空间参数代表离散消息的xx，x，L，x所有可能取值。图 统计判决模型12m从接收端的角度看，发送哪一个值是不确定的，因而只能用概率的概念来描述这种不确定性。假设每一个值的发送是相互独x立的，出现的概率为P(x)，则iimP(x)=1i∑i=1
x，x，L，x若出现的可能性相同，则12mP(x)=P(x)=L=P(x)=1/m12m即为等概发送。)发送信号由于消息本身不能进行传输，故必须把消息变换成合适的ssx发送信号，用参数表示。与之间为一一对应的关s()ts，s，L，s系，故有m个可能取值，而且出现的统计规律s12mx同样由的概率分布所确定，即有mP(s)=P(x)，L，P(s)=P(x)P(x)=111mmi∑i=1)迭加噪声假定噪声是高斯型的（均值为零）随机过程，则n的统计特性应用多维联合概率密度函数来描述。令kn的k维联合概率密n，n，L，n度函数为f(n)，n在kk个不同时刻的取值为，得12kk
f(n)=(，，L，)fnnnk12k且2⎡⎤1ni()fn=exp⎢⎥i22σ2πσ⎢⎥⎣⎦由于噪声一般是相互独立的，则k⎡⎤112()fn=()()()fnfnLfn=exp−n⎢⎥k12ki∑k22σ⎢⎥(2πσ)i=1⎣⎦根据帕塞瓦尔定理，当kk很大时有kT1122n=n()tdti∑2∫n02σ0i=1即T⎡⎤112()fn=expn()tdt⎢⎥∫kn0⎢⎥0⎣⎦(2πσ)
)接收信号信号通过信道叠加噪声后到达接收端，其波形为y()()()t=st+nty(t)服从于均值为s(=1，2，L，)i，方差为σm的高斯分i布，即T⎧⎫112()f[()()]t=exp−yt−stdt⎨⎬yik∫n00⎩⎭(2πσ)
关于最佳接收的准则 二元接收信号判决在数字通信系统中，最常用、也是最简单的是二元通信系x、x统。此时，消息空间只有两种状态，分别代表消息符号001s()、(t=0s)t=1和1，对应的信号也只有两种。信道迭加噪声为01均值为零、方差为的高斯白噪声，则接收信号y()tσ有两种可能s(t)+n(t)=n(t)发送0信号⎧0y(t)=⎨s(t)+n(t)=1+n(t)发送1信号⎩1判决空间就是要根据接收到的y()t，判断发送端发送的信s()t号是s()t，还是。即对应两种假设10H：y()=()+()tstnt11H：y()=()+()tstnt00DD这就是说，将判决空间也划分为两个区域和。01
y()tDH若输入信号落在区域，则判定假设为真，反之，00则判定假设H为真，如图所示。1DD01这样，会出现4种判决结果)实际是假设H为真，而判决为0图 二元估计判决区域假设H为真；0)实际是假设HH为真，而判决为假设为真；11)实际是假设H为真，而判决为假设H为真；01H)实际是假设为真，而判决为假设H为真。10显然，前两种判决是正确的，后两种判决是错误的。HH虚警错误：本身是假设为真，而判为假设为真，即本01身无信号，而判为有信号，称为虚警。虚警发生的概率称为虚警概率P(DH)。10
H漏报错误：本身是假设H为真，而判为假设为真，即本01身有信号，而判为无信号，称为漏报。漏报发生的概率称为漏报P(DH)概率。01P(DH)检测概率：正确判决的概率，分为和P(DH)。0011四种概率的计算公式为P(DH)=f(yH)dy100∫D1P(DH)=(fyH)dy011∫D0P(DH)=f(yH)dy000∫D0P(DH)=(yH)fdy111∫D1
最佳接收准则在数字通信系统中，最直观和最合理的准则是最小差错概率准则。以二元通信为例，传输的差错概率为P=P(H)P(DH)+P(H)P(DH)e010101P(H)、P(H)式中，为先验概率。10P(DH)=1−P(DH)由于，得到0111P=P(H)P(DH)+P(H)[1−P(DH)]e010111=P(H)f(yH)dy+P(H)−P(H)()fyHdy00111∫∫DD11=P(H)+[P(H)f(yH)−P(H)(fyH)]dy10011∫D1为了使差错概率最小，被积函数应为负，即P(H)f(yH)<P(H)()fyHH，判为假设为真。00111
同理，若P(H)f(yH)>P(H)(fyH)H0011，判为假设为真。0也可以写成H似然函数1f(y|H)P(H)>10条件概率<f(y|H)P(H)H010P(H)=P(H)在等概发送时，有，得01H1f(y|H)>11<f(y|H)H00上式又称为最大似然准则。扩展到m元通信系统，最大似然准则为f(yH)>()fyH(、=1，2，L，；≠)ijmij若ijH则假设为真。i
确知信号的最佳接收 概念确知信号是指其波形和全部参量都已知的信号。对于正弦信号，如果幅度、频率、相位及到达时间都是已知的，则该正弦信号就是一个确知信号。 最佳接收机结构s()t、s()t对于二元数字通信系统，发送端发送的信号分别01y()t代表0码和1码，接收机接收到的信号是s()或s()tt与n()t01n/2的混合信号，且n()t为均值为零、功率谱密度为的高斯白0噪声。y()t设计一最佳检测系统（即接收机）对进行处理，以便在下述两个假设中作出选择
H：y()=()()tst+nt0≤t≤T00H：y()=()+()tstnt0≤t≤T11接收信号的概率密度为T⎧⎫112()fy|H=exp−[y()()t−s]tdt⎨⎬00k∫0n0⎩⎭(2πσ)T⎧⎫112f(y)|H=exp−[y()t−s()]tdt⎨⎬11k∫0n0⎩⎭(2πσ)得到似然比为TT⎧⎫f(y)|H11221()ly==exp−[y()t−s()]tdt+[y()t−s()]tdt⎨⎬10∫∫00f(y)|Hnn000⎩⎭TTT⎧⎫21⎡⎤22=expy()()tstdt−y()()tstdt+[s()()]t−stdt⎨⎬1001⎢⎥∫∫∫000nn⎣⎦00⎩⎭
得到判决规则为H1TTT22122>y(t)s(t)dt−y(t)s(t)dt+[s(t)−s(t)]dtlnl1001<0∫∫∫000nnnH0000H1TTTn1>022y()()tstdt−y()()tstdtlnl+[s()t−s()]tdt10<010∫∫∫00022H0信号能量令Tn1n10220lnl+[s()t−s()]tdt=lnl+(E−E)=β010010∫02222得到判决规则为H1TT>y()()()tstdt−yts()tdtβ10<∫∫00H0上式即为确知信号最佳接收的数学模型，接收机结构如图所示。
H1TT>y(t)s(t)dt−y(t)s(t)dtβ数学模型：10<∫∫00H0乘法器积分器+>0选择H1+y()ts()t加法器加法器1<0选择H−0−乘法器积分器βs()t0图 二元确知信号检测的最佳接收机
随相信号的最佳接收 概念随机相位信号：经过信道传输后码元相位带有随机性的信号，简称为随相信号。接收信号的相位不仅取决于发射信号的初相，而且还取决于路径上的延时，故一般无法预先确定。通常假设相位在区间[0，2π]上均匀分布。相位均匀分布意味着完全缺乏相位信息，是一种最不利的分布。 最佳接收机结构设发送端发送的二元信号为s()t=00(0≤t≤T)s()t=sin(Aωt+θ)1
AT式中，振幅、频率ω、到达时间是已知的，相位θ是随机相位，服从均匀分布，其概率密度函数为1⎧⎪,0≤θ≤2πf(θ)=⎨2π⎪0,其他⎩则接收端对应的两个假设为H：y()()()t=st+nt=n()t00H：y()=()()sin(ωθ)tst+nt=At++n()t11n/2式中，n()t为信道上迭加的均值为零、功率谱密度为的高0斯白噪声。对于高斯白噪声中随机参量信号的似然函数，根据上一节的结论，可得
T⎧⎫112f(y|H，θ)=exp−[y()()]t−stdt⎨⎬11k∫0n0⎩⎭(2πσ)T⎧⎫112=exp−[y()t−sin(Aωt+θ)]dt⎨⎬k∫0n0⎩⎭(2πσ)f(y)(|H=fy|H，θ)f(θ)dθ11∫{θ}1T222−[y(t)−2()()()]Aytsinωt+θ+Asinωt+θdt∫2π011n0=edθk∫02π(2πσ)21A2AT2T2T−y(t)dt−sin(ωt+θ)dt+y(t)sin(ωt+θ)dt∫∫∫2π00011nnn000=eedθk∫02π(2πσ)T=kπ/ω一般取，则有
TT11T⎡⎤2sin(ωt+θ)dt=−cos2(ωt+θ)dt=⎢⎥∫∫00222⎣⎦2T⎡⎤⎡⎤11AT2f(y)()|H=exp−ytdtexp−⎢⎥⎢⎥1k∫0n2n⎢⎥00⎣⎦⎣⎦(2πσ)2πT⎡⎤2A1×expy()(tsinωt+θ)dtdθ⎢⎥∫∫00n2π0⎣⎦T⎧⎫112()fy()|H=exp−ytdt⎨⎬0k∫0n0⎩⎭(2πσ)得到似然比为f(yH，θ)f(θ)|dθH11∫f(y)|H{θ}>1()ly==l<0f(y)()|Hfy|HH00022πT⎡⎤⎡⎤AT12A()ly=exp−×expy(t)sin(ωt+θ)dtdθ⎢⎥⎢⎥∫∫002n2πn⎢⎥00⎣⎦⎣⎦
sin(ωt+θ)=sinωtcosθ+cosωtsinθ根据，可知TTTy()(tsinωt+θ)dt=cosθy()tsinωtdt+sinθy()tcosωtdt∫∫∫000T⎧y=y()tsinωtdt=Mcosγc⎪∫0⎨令，得到T⎪y=y()tcosωtdt=Msinγs∫0⎩Ty()(tsinωt+θ)dt=ycosθ+ysinθcs∫0=Mcosγcosθ+Msinγsinθ=Mcos(θ−γ)yyyyss22ccsinγ==式中，，cosγ==M=y+y，。cs22M22My+yy+ycscs
代入似然比公式，得222π⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤AT12AMAT2AM()ly=exp−expcos(θ−γ)dθ=exp−I⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0∫02n2πn2nn⎢⎥⎢⎥0000⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2π⎡⎤⎡⎤2AM12AMI=expcos(θ−γ)dθ⎢⎥⎢⎥0其中，称为零阶修正贝赛尔函数。∫0n2πn00⎣⎦⎣⎦于是判决规则变为HH21221⎡⎤⎡⎤⎡⎤2AMATATAT2AM>>exp−IllnI+lnl=⎢⎥⎢⎥⎢⎥0<00<02nnn2n2nH⎢⎥H00000⎣⎦⎣⎦0⎣⎦0⎡⎤2AMlnI⎢⎥0可见，要组成最佳接收机，需计算，较为复杂。n0⎣⎦2AM⎡⎤⎡⎤2⎡⎤AM2AM2AMIIlnI⎢⎥⎢⎥由于0与以及与0均为单调变化，故上⎢⎥0nnnn000⎣⎦⎣⎦0⎣⎦述判决可改写为H1>Mβ<H0βM称为检验统计量，为判决门限，最佳接收机如图所示。
H221TT22>⎡⎤⎡⎤M=y+y=y()tsinω()tdt+ytcosωtdtβ数学模型：cs<∫∫⎢0⎥⎢0⎥⎣⎦⎣⎦H0yc2乘法器积分器[]⋅+>0选择H1y()+t1/2cosωt加法器[]⋅加法器<0选择H−0+ys2乘法器积分器[]⋅βsinωt图 二元随相信号检测的最佳接收机
起伏信号的最佳接收 概念起伏信号：是指包络随机起伏，相位也随机变化的信号。其中振幅服从瑞利分布，相位服从均匀分布。 最佳接收机结构设发送端发送的二元信号为s()t=00(0≤t≤T)s()(t=Asinωt+θ)1其中，信号幅度及相位都是随机参量，它们在一次观测时间内为常数，在各次观测中随机取值。角频率ωA已知，和相互θ独立。相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。即2⎧1⎡⎤⎧AA⎪,0≤θ≤2π⎪exp−,A≥0⎢⎥22f(θ)=f()A=⎨2π⎨A2A⎢⎥00⎣⎦⎪⎪0,其它⎩0,其它⎩
则接收端对应的两个假设为H：y()=()+()=()tstntnt00H：y()()()()()t=st+nt=Asinωt+θ+nt11n()tn/2式中，为信道上迭加的均值为零、功率谱密度为的高0斯白噪声。可得似然比f(yH，，θ)）()(|AfAfθdAdθ1∫∫f(y)|H{A}{θ}1=()()fy|Hfy|H00根据已知的振幅和相位的先验分布求得似然比为1H2212⎧⎫⎡⎤n(n+TA)()ln+TA⎪⎪>000000Mln=β⎢⎥⎨⎬<2n2AH⎪⎪⎢⎥000⎣⎦⎩⎭可见，接收机结构同随机相位信号一样，见图。不同之处在于门限值不同。
匹配滤波器 概念♣滤波器的作用*使输出的有用信号成分尽可能地强；$抑制频带外的噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。♣滤波器的设计准则*最小均方误差准则：使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小。由此导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器。$最大信噪比准则：使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大。由此导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器。
♣研究匹配滤波器的原因)在高斯白噪声确知信号的检测中，平均错误概率与信噪比有关，信噪比越大，平均错误概率越小。)在通信系统中，信噪比是一个很重要的指标，一般来说，信噪比越大，系统的整体性能越好。因此常常用信噪比最大作为设计最佳接收机的一个准则。)匹配滤波器是1943年诺斯（）首先提出来的，是一种最佳线性滤波器，其设计原则是以带噪声的观测信号作为滤波器的输入时，使滤波器输出信号的瞬时功率与噪声的平均功率之比为最大。
匹配滤波器的原理y(t)=s(t)+n(t)s()t设滤波器的输入信号为。其中，为持续时(n()0~)tt间的确知信号，为均值为零的广义平稳噪声，其自相0()htR(τ)关函数为，滤波器的冲激响应为。nt在时刻，滤波器的输出信号与噪声分量分别为0tt00s()t=()(htst−)tdtn()t=()(htnt−)tdt000000∫∫00由于输入噪声均值为零，所以输出噪声均值也为零，输出噪声的方差即噪声功率，为2⎧⎫t0⎪⎡⎤⎪2[()][()]()()Varnt=Ent=Ehtnt−tdt⎨⎬00000⎢⎥∫0⎣⎦⎪⎪⎩⎭tt00⎡⎤=E()(htnt−)()()tdt⋅hτnt−τdτ00⎢⎥∫∫00⎣⎦tttt0000=()()[(hthτEnt−)(tnt−τ)]dτdt=()()(hthτRt−τ)dτdt00∫∫∫∫0000
则在t输出的信噪比为02t0⎡⎤()(htst−)tdt02⎢⎥∫s()0t⎣⎦00()SNRt==0tt00[()]Varnt00()()(hthτRt−τ)dτdt∫∫00s(t)使输出信噪比最大，等效为在为常数的约束条件下，使0[()]Varnt输出噪声功率最小。根据拉格郎日乘数法，首先构造目标函数为ttt000[()]()()()J=Varnt−μst=(hthτRt−τ)dτdt−μ()(htst−)tdt00000∫∫∫000μ式中，为拉格朗日乘子。()htJ设是能使达到极小的最佳滤波器冲激响应，则任意0滤波器的冲激响应可表示为()=()+αβ()hthtt0β()t式中，为任意常数，为定义在区间上的任意函数。α
把上式代入目标函数的表达式，得到tt00(α)=[()+αβ()][(τ)+αβ(τ)](−τ)JhtthRtdτdt00n∫∫00t0−μ[()+αβ()](−)httsttdt00∫0α=0β()t对于任意给定的，应在处达到极小值，即应满足如下方程∂()Jα=0∂αα=0ttt000dJ(α)={β(t)[()()]()[()()]}()()()hτ+αβτ+βτht+αβtRt−τdτdt−μβtst−tdt00n0∫∫∫000dαttt000=β()()()()()()()()thτ+βτht+2αβtβτRt−τdτdt−μβ(−)tsttdt00n0∫∫∫000tt00⎧⎫=[β(t)(τ)+β(τ)()+2αβ()β(τ)](−τ)τ−μβ()(−)hhttRtdtsttdt⎨⎬00n0∫∫00⎩⎭
ttdJ(α)00={[β(t)()()()()()](hτ+βτht+2αβtβτRt−τ)dτ−μβ(t)s(t−t)}dt当00n0α=0时，上式变为∫∫00dαtt00∂(α)J⎡⎤=β()()()()t2hτRt−τdτ−μst−tdt=00n0⎢⎥∫∫00∂αα=0⎣⎦由于的任意性，上式等效为β()tt02()()()hτRt−τdτ−μst−t=00n0∫0t0μ(τ)(−τ)τ=(−)hRtdstt0n0∫02由于μ为拉格朗日乘子，其变化仅改变滤波器的增益，对信号和噪声的影响是一致的，故可令为2。因此使输出信噪比最大的最佳滤波器冲激响应可通过求解下列积分方程得到t0(τ)(−τ)τ=(hRtds−)tt0n0∫0上式即为匹配滤波器的普通形式。
得到匹配滤波器输出的最大信噪比，为22tt00⎡⎤⎡⎤()(htst−)()(tdthtst−)tdt0000⎢⎥⎢⎥∫∫t000⎣⎦⎣⎦SNR===()(htst−)tdtmax00ttt∫0000()()(hthτRt−τ)dτdt()(htst−)tdt00n00∫∫∫000t0()()()hτRt−τdτ=st−t0n0∫ 白噪声背景下的匹配滤波器♣时域特性对于白噪声，其自相关函数为n0R(τ)=δ(τ)n2代入匹配滤波器的普通形式，得到t0nn00(τ)δ(τ)τ()ht−d=ht=s(−)tt000∫0222()=()htst−t()()ht=st−t0000n0
