博 弈 论
Game Theory
江西财经大学数学与管理工程系
华长生
Huachsh@
0791-3816092
江西南昌（330013）
华长生制作
第三章 完全信息动态博弈
1. 博弈的扩展式表述
2. 扩展式表述博弈的纳什均衡
3. 子博弈精炼纳什均衡
4. 子博弈精炼纳什均衡应用举例
5. 重复博弈与民间定理(无名氏定理)
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“完全信息”是指每个参与人对所有其他参与人的特征
(战略空间、支付函数等)有完全的了解;
“动态”是指所有参与人分先后选择行动且可能选择多
次行动;
“完全信息动态博弈”就是指每个参与人对所有其他参
与人的特征(战略空间、支付函数等)有完全了解的前提下,
分先后选择行动的博弈.
手雷博弈:
第一步:Tom要求Smith负1000$给自己,否则就引爆手中的手雷;
第二步:Smith决定是否要负Tom1000$(要判断Tom所说话的可
信度);
第三步:Tom观察Smith的决定,然后决定是否要引爆手雷.
在动态博弈中都有一个问题:可信任性问题
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1.博弈的扩展式表述
在上一章,我们利用战略式表述研究了完全信息静态博
弈,并且作为静态博弈的解的概念,重点讨论了纳什均衡(NE).
手雷博弈:
第一步:Tom选择是否威胁要求Smith付1000$给自己,否则就引
爆手中的手雷;
第二步:Smith决定是否要付Tom1000$(要判断Tom所说话的可
信度);
第三步:Tom观察Smith的决定,然后决定是否要引爆手雷.
该博弈的语言描述可以转化为一种很直观的表述结构:
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这种结构称为博弈树,也称为
博弈的扩展式表述.这是动态博弈
分析中最常用的表述方法.
博弈的扩展式表述包含以下要素:
注意:在这里没有提到战略,战略是选择行动时的策略
Tom
Smith
Tom
不威胁
威胁
付
不付
引爆
不引爆
(0,0)
(1000,-1000)
(-10000,-10000)
(-100,0)
支付:(Tom,Smith)
博弈的扩展式表述
华长生制作
Tom
Smith
Tom
不威胁
威胁
付
不付
引爆
不引爆
(0,0)
(1000,-1000)
(-10000,-10000)
(-100,0)
支付:(Tom,Smith)
博弈的扩展式表述的一般结构：
结(nodes): 分决策结和终点结,
决策结是参与人采取行动的时
点 , 而终点结则是对应支付向
量的点 .
决策结
终点结
每一个决策结都只有一个直接前列结(初始结除外),
但可能有若干个直接后续结.
博弈的扩展式表述
华长生制作
Tom
Smith
Tom
不威胁
威胁
付
不付
引爆
不引爆
(0,0)
(1000,-1000)
(-10000,-10000)
(-100,0)
支付:(Tom,Smith)
(2) 枝(branches): 是博弈树上一个
决策结到它的直接后续结的连
线或箭头, 枝实际上是参与人
的一个行动选择.
枝
注意终点结不存在行动集合，只有支付组合
初始结没有进入的枝；终点结没有出去的枝；
每个中间的决策结只有一个进入的枝，但有多个出去的枝.
博弈的扩展式表述
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(3) 信息集(information sets)
开发商A
开发
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
不开发
自然N
自然N
大
大
小
小
开发商B
B
B
B
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(-3,-3)
(1,0)
(0,8)
(0,0)
(0,1)
(0,0)
开发商博弈的行动次序:
开发商A选择行动:
开发、不开发;
自然选择市场的大小:
大、小;
开发商B选择行动:
开发、不开发;
如果开发商B在决策
之前清楚地知道开发商A
和自然的选择,即参与人在轮到他决策时知道在他之前所发生
的一切,这种情形下的每一个决策结属于一个信息集,即开发商
B有四个信息集.只含有一个决策结的信息集成为单结信息集 .
如果博弈树中的信息集都是但单结的，则称为完美信息博弈,
在完美信息博弈中，参与人在决策前都知道自己处于哪个决
策结.
信息
集
开发商博弈(1)
博弈的扩展式表述
华长生制作
开发商A
开发
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
不开发
自然N
自然N
大
大
小
小
开发商B
B
B
B
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(-3,-3)
(1,0)
(0,8)
(0,0)
(0,1)
(0,0)
但是如果开发商B在决
策之前只知道A的选择,并不
清楚自然的选择 , 此时对于
B只有两个信息集,即B在决
策前只知道自己处于哪个信
息集,每个信息集有两个决策
结,而开发商并不知道自己处
于哪个决策结.
开发商博弈(2)
含有两个或以上的决策结的信息集称为多结信息集，含有
多结信息集的博弈称为不完美信息博弈。不完美信息博弈中要
求至少有一方具有不完美信息。
博弈的扩展式表述
华长生制作
开发商A
开发
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
不开发
自然N
自然N
大
大
小
小
开发商B
B
B
B
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(-3,-3)
(1,0)
(0,8)
(0,0)
(0,1)
(0,0)
还有一种情形时,开发
商B在决策之前知道市场
需求的大小, 但并不知道开
发商A的选择(如A,B同时选
择), 此时对于B仍然只有两
个信息集,即B在决策前只知
道自己处于哪个信息集, 并
且每个信息集也有两个决策
结,而B不知道自己处于哪个
决策结.
开发商博弈(3)
博弈的扩展式表述
华长生制作
自然N
大
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
小
开发商A
开发商A
开发
开发
不开发
不开发
开发商B
B
B
B
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(0,8)
(0,0)
(-3,-3)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
开发商博弈(4)
将开发商博弈的行动
顺序改变：由自然首先选
择市场的大小，然后由开
发商A选择是否开发.并且
开发商A行动前不知道自
然的选择(市场的大小)，
开发商B在行动前知道市
场的大小，但不知道开发
商A的选择.
博弈的扩展式表述
华长生制作
博弈的扩展式表述
华长生制作
1
U
D
2
2
L
L
R
R
1
1
1
完美记忆和不完美记忆
N
U
D
1
1
L
L
R
R
2
2
1
1
参与人2的
不完美信息集
参与人1将
第一步自己的选择忘记了
参与人2的
不完美信息集
参与人1将
第二步自己的选择忘记了
忘记自己
选择的博
弈称为不
完美记忆
博弈的扩展式表述
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2.扩展式表述博弈的纳什均衡
扩展式表述博弈的战略式表述
战略式表述在博弈开始之前就制定
了相机行动计划 ,即“如果….,我将
选择…...
扩展式表述是相机行动，要等待博
弈到达自己的信息集，然后再决定
选择什么行动 .
Tom
Smith
Tom
不威胁
威胁
付
不付
引爆
不引爆
(0,0)
(1000,-1000)
(-10000,-10000)
(-100,0)
支付:(Tom,Smith)
考虑手雷博弈是否存在纳什均衡
扩展式表述的博弈如何求纳什均衡？
先考虑该博弈的战略式表述方法：
华长生制作
扩展式表述博弈的纳什均衡
威胁，引爆
Tom 威胁，不引爆
不威胁
Smith
付 不付
(-10000,-10000)
(0，0)
(1000,-1000)
(-100, 0)
(0，0)
(-10000,-10000)
手雷博弈的战略式表述
Tom
Smith
Tom
不威胁
威胁
付
不付
引爆
不引爆
(0,0)
(1000,-1000)
(-10000,-10000)
(-100,0)
支付:(Tom,Smith)
第一步Tom有两个纯战略：
{威胁，不威胁}
第二步在Tom选择“威胁时”Smith有
两个战略为：
{付,不付}
{引爆,不引爆}
第三步在Smith选择“付”时Tom有
两个战略为：
唯一的纳什均衡
(不威胁,不付)
华长生制作
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
开发商A
开发
不开发
开发商B
B
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(0,8)
(0,0)
开发商博弈
开发商A的战略有两个：
{开发，不开发}
而开发商B的战略有四个：
A开发我也开发；
A开发我不开发；
A不开发我开发；
A不开发我不开发；
开发商B的四个战略表示为
{开发,开发};{开发,不开发};{不开发,开发}; {不开发,不开发};
注意行动和战略的区别
战略是行动的准则
扩展式表述博弈的纳什均衡
华长生制作
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
开发商A
开发
不开发
开发商B
B
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(0,8)
(0,0)
开发商博弈
开发商B
{开发,开发} {开发,不开发} {不开发,开发} {不开发,不开发}
开发
开发商A
不开发
(4 , 4)
(4 , 4)
(8 , 0)
(8 , 0)
(0 , 8)
(0 , 8)
(0 , 0)
(0 , 0)
这个战略式表述的博弈中有两个
纯战略的纳什均衡：
(开发,{开发,开发}),
(开发,{开发,不开发})
对应的行动组合只有一个:
(A开发,B也开发)
但均衡(开发,{开发,不开发})中B的均衡
战略{开发,不开发}是不可信的.
扩展式表述博弈的纳什均衡
华长生制作
Tom
Smith
Tom
不威胁
威胁
付
不付
引爆
不引爆
(0,0)
(1000,-1000)
(-10000,-10000)
(-100,0)
支付:(Tom,Smith)
手雷博弈
1
2
3
再考虑第二步：
Smith知道第三步Tom会选择“不
引爆”,因此比较了“付”和“不付”的
支付后，Smith应该选择“不付”
最后考虑第一步：
Tom知道Smith第二步会选择
“不付”，因此Tom一开始就会
选择“不威胁”
因此可以得到该博弈的均衡
（不威胁、不付、不引爆）
这种从后面往前面推导的
方法称为逆向归纳法
我们先考虑第三步：
Tom的行动“不引爆”比“引爆”更
占优，Tom应该选择“不引爆”
扩展式表述博弈的纳什均衡和逆向归纳法
扩展式表述博弈的纳什均衡
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定理 (Zermelo,1913;Kuhn,1953):一个有限完美信息博弈
至少有一个纯战略纳什均衡.
如果一个扩展式博弈有有限个信息集 , 每个信息集上参
与人有有限个行动选择,并且这个博弈是完美信息的,那么一定
有一个纯战略纳什均衡,即
这个定理可是使用逆向
归纳法解释.
开发商博弈 : 假设这是
一个有限完美信息博弈.
自然N
大
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
小
开发商A
开发商A
开发
开发
不开发
不开发
开发商B
B
B
B
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(0,8)
(0,0)
(-3,-3)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
有均衡的结果:
(市场需求大,A开发,B开发)
(市场需求小,A开发,B不开发)
扩展式表述博弈的纳什均衡
华长生制作
将这两个纳什均衡写成战略组合形式有四个:
(大,开发,{开发,开发})
(市场需求大,A开发,B开发)
(市场需求小,A开发,B不开发)
(小,开发,{不开发,开发})
(大,开发,{开发,不开发})
(小,开发,{不开发,不开发})
战略组合(大,开发,{开发,不开发}), (小,开发,{不开发,不开发})
显然不合理,B的合理战略在市场需求大时为{开发,开发},而在
市场需求小时应为{不开发,开发}
那么如何将不合理的纳什均衡剔除呢?
扩展式表述博弈的纳什均衡
华长生制作
自然N
大
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
小
开发商A
开发商A
开发
开发
不开发
不开发
开发商B
B
B
B
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(0,8)
(0,0)
(-3,-3)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
开发商博弈
Tom
Smith
Tom
不威胁
威胁
付
不付
引爆
不引爆
(0,0)
(1000,-1000)
(-10000,-10000)
(-100,0)
支付:(Tom,Smith)
手雷博弈
3.子博弈精炼纳什均衡
子博弈
子博弈
非子博弈
图例:
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自然N
大
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
小
开发商A
开发商A
开发
开发
不开发
不开发
开发商B
B
B
B
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(0,8)
(0,0)
(-3,-3)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
开发商博弈
如果开发商B在行
动时不知道开发商A的
选择,则开发商B有两个
信息集 , 且每个信息集
有两个决策结.
子博弈
非子博弈
图例:
定义 : 由一个动态博弈
第一阶段以外的某阶段
开始的后续博弈阶段构
成的,有初始信息集和进
行博弈所需要的全部信
息,能够自成一个博弈的
一部分,称为原动态博弈
的一个“子博弈”.
子博弈精炼纳什均衡
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条件(1)说明,“子博弈”的初始结x必定在原博弈的一个
单结信息集中,即只有当参与人在原博弈中确切地知道博弈
进入一个特定的决策结时,该决策结才能作为一个子博弈的
初始结 . 如果一个信息集包含两个以上的决策结, 则这些决
策结都不能作为子博弈的初始结.
完美信息博弈由于所有信息集都是单结的,所以每个决
策结都可以开始一个子博弈.
条件(2)说明,“子博弈”中的信息集必须只含有子博弈中
的决策结,并且结构与原博弈一致.
子博弈精炼纳什均衡
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子博弈精炼(完美)纳什均衡
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
开发商A
开发
不开发
开发商B
B
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(0,8)
(0,0)
开发商博弈
开发商博弈有两个纯战略的纳什均衡：
(开发,{开发,开发}),
(开发,{开发,不开发})
子博弈1
子博弈2
子博弈1的纳什均衡是开发商B “开发”
子博弈2的纳什均衡也是开发商B “开发”
在扩展式表述的动态博弈中,
有的纳什均衡中可能会含有不可
信的战略被选择,在前面的例子中
我们已经发现,虽然这些战略构成
的战略组合是纳什均衡,但就这些
战略本身而言不符合参与人的自
身利益.
子博弈精炼纳什均衡
华长生制作
原博弈的另一个纳什均衡(开发,{开发,不开发})中B的
战略为{开发,不开发},即A开发则B开发,A不开发则B也不
开发,与子博弈2的纳什 均衡“开发”矛盾.
(开发,{开发,开发})是既是原博弈也是子博弈的纳什均衡
原博弈的第一个纳什均衡(开发,{开发,开发})中,B的
战略是{开发,开发},即不管A是否开发,都选择开发,即B的
战略也是子博弈1和2的纳什均衡.
(开发,{开发,不开发})虽然什原博弈的纳什均衡,但并
不是子博弈的纳什均衡,即这是一个不合理的均衡
如何将扩展式博弈中博不合理的纳什均衡去除?
子博弈精炼纳什均衡
华长生制作
子博弈精炼纳什均衡和纳什均衡的区别就在于子博弈
精炼纳什均衡可以将含有不可信战略的纳什均衡排除.
在开发商博弈中,纳什均衡(开发,{开发,开发})是子博弈
精炼纳什均衡,但(开发,{开发,不开发})不是一个子博弈精炼
纳什均衡.
(开发,{开发,开发})也是原博弈中唯一可信的纯战略的
纳什均衡
子博弈精炼纳什均衡
华长生制作
自然N
大
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
小
开发商A
开发商A
开发
开发
不开发
不开发
开发商B
B
B
B
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(0,8)
(0,0)
(-3,-3)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
开发商博弈
(4,4)
支付:(开发商A,开发商B)
开发商A
开发
不开发
开发商B
B
开发
不开发
开发
不开发
(8,0)
(0,8)
(0,0)
开发商博弈
用逆向归纳法求完美信息博弈的子博弈精炼纳什均衡
子博弈1
子博弈2
使用逆向归纳法可以求出完全且完美信息动态博弈的纯
战略的子博弈精炼纳什均衡.
(开发,开发)
(大,开发,开发) 和(小,开发,不开发)
子博弈精炼纳什均衡
华长生制作
讨价还价博弈(一)
Smith和Jones分100美圆 . 在谈判的第一回合中由Smith
提出方案,由自己留下S1 美圆,出价费用为零,Jones或者接受
(此时博弈结束) 或者拒绝并转入第二回合;第二回合由Jones
提出方案,出价费用为10美圆, Jones提出给Smith的数量为S2
美圆, Smith选择接受(此时博弈也结束)或拒绝并转入第三回
合;第三回合再次由Smith提出方案,出价费用为c美圆, Smith
提出自己留下S3美圆.讨价还价谈判最多只进行三轮,如果三
轮都不能达成协议,则100$将全部给Jim.
如何就不同的出价费用c找到均衡的结果?
(1) c=0;
(2) c=80;
(3) c=10;
4.子博弈精炼纳什均衡应用举例
华长生制作
讨价还价博弈
Smith
提出要求S1
Jones
接受
不接受
接受
不接受
接受
不接受
(S1 ,100-S1)
(S2 ,100-S2-10)
(S3 -C,100-S3 -10)
(-C,-10)
Smith
Jones
Jones
Smith
提出给Smith为S2
提出要求S3
支付:(Smith,Jo nes)
(1)
(2)
(3)
应用逆向归纳法求解：
首先考虑第三回合
Smith提出自己留下100美圆
Jones会接受
再考虑第二回合
Jones只能提出自己留下0美圆
而给Smith100美圆,否则Smith
一定是不接受
(100，-10)
(0，-10)
(100，-10)
子博弈精炼纳什均衡应用举例
华长生制作
最后考虑第一回合
Smith提出自己留下100美圆,
而Jones只能选择接受,不然第
二回合还要出10美圆的出价
费用
讨价还价博弈
Smith
提出要求S1
Jones
接受
不接受
接受
不接受
接受
不接受
(S1 ,100-S1)
(S2 ,100-S2-10)
(S3 -C,100-S3 -10)
(-C,-10)
Smith
Jones
Jones
Smith
提出给Smith为S2
提出要求S3
支付:(Smith,Jo nes)
(1)
(2)
(3)
(100，-10)
(0，-10)
(100，-10)
(100，0)
子博弈精炼纳什均衡应用举例
华长生制作
讨价还价博弈
Smith
提出要求S1
Jones
接受
不接受
接受
不接受
接受
不接受
(S1 ,100-S1)
(S2 ,100-S2-10)
(S3 -C,100-S3 -10)
(-C,-10)
Smith
Jones
Jones
Smith
提出给Smith为S2
提出要求S3
支付:(Smith,Jo nes)
(1)
(2)
(3)
首先考虑第三回合
Smith提出自己留下100美圆
Jones会接受
再考虑第二回合
Jones只能提出自己留下80美圆
而给Smith20美圆,否则Smith
一定是不接受
(20，-10)
(-80，-10)
(20，70)
子博弈精炼纳什均衡应用举例
华长生制作
最后考虑第一回合
Smith提出自己留下30美圆,
而Jones只能选择接受,不然第
二回合还要出10美圆的出价
费用
讨价还价博弈
Smith
提出要求S1
Jones
接受
不接受
接受
不接受
接受
不接受
(S1 ,100-S1)
(S2 ,100-S2-10)
(100, -10)
(0,-10)
Smith
Jones
Jones
Smith
提出给Smith为S2
提出要求S3
支付:(Smith,Jo nes)
(20，70)
(30，70)
(1)
(2)
(3)
(20，-10)
(-80，-10)
子博弈精炼纳什均衡应用举例
华长生制作
讨价还价博弈
Smith
提出要求S1
Jones
接受
不接受
接受
不接受
接受
不接受
(S1 ,100-S1)
(S2 ,100-S2-10)
(S3 -C,100-S3 -10)
(-C,-10)
Smith
Jones
Jones
Smith
提出给Smith为S2
提出要求S3
支付:(Smith,Jo nes)
(1)
(2)
(3)
首先考虑第三回合
Smith提出自己留下100美圆
Jones会接受
再考虑第二回合
Jones只能提出自己留下10美圆
而给Smith90美圆,否则Smith
一定是不接受
(90，-10)
(-10，-10)
(90，0)
子博弈精炼纳什均衡应用举例
华长生制作
最后考虑第一回合
Smith提出自己留下100美圆,
而Jones只能选择接受,不然第
二回合还要出0美圆的出价
费用
讨价还价博弈
Smith
提出要求S1
Jones
接受
不接受
接受
不接受
接受
不接受
(S1 ,100-S1)
(S2 ,100-S2-10)
(S3-C, 100-S3 -10)
(0,-10)
Smith
Jones
Jones
Smith
提出给Smith为S2
提出要求S3
支付:(Smith,Jo nes)
(100，0)
(90，0)
(1)
(2)
(3)
(90，-10)
(-10，-10)
子博弈精炼纳什均衡应用举例
华长生制作
思考：
1. 如果Jones是一个非常情绪化的人，博弈的结果会如何?
将中的讨价还价博弈的条件改变如下:Smith和Jones
分100美圆 . 谈判的次序与讨价还价一样,出价费用都是零,
但是每一回合谈判后,总资金的价值都会降低,贴现因子为δ,
即 第一回合如果Jones选择拒绝,第二回合由Jones给Smith的
数量为S2 , 自己留下100- S2 , 但二人实际所得分别为S2 δ和
(100-S2 ) δ,依此类推,此博弈得均衡结果如何? (贴现)
子博弈精炼纳什均衡应用举例
华长生制作
讨价还价博弈(二)
一个公司的管理层和工会之间的关系往往比较紧张,经常
为利益的分配或薪水问题进行谈判,双方以裁员或罢工相威胁,
甚至有时会贻误商机 .
我们设想有一家拥有自然资源的公司比如一家夏季度假
酒店,每年只有101的旺季,其他时间没有客人.在旺季中每开门
营业一天酒店就赚取1000$的利润,但在旺季开始之际,管理层
与工会之间就利益分配问题发生纠纷而进行谈判.工会首先提
出自己的要求,管理层要么同意,要么不同意并且于第二天提出
反建议.酒店只能在达成协议后才能开业.
分析谈判能否达成双方都接受的协议(纳什均衡)?
我们依然使用逆向归纳法.
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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连续多轮的工资讨价还价
剩余天数
建议方
工会份额
管理层份额
总金额
每天金额
总金额
每天金额
1
2
3
4
5
…
100
101
工会
管理层
工会
管理层
工会
…
管理层
工会
1000 1000 0 0
1000 500 1000 500
2000 667 1000 333
2000 500 2000 500
3000 600 2000 400
50000 500 50000 500
51000 505 50000 495
子博弈精炼纳什均衡为工会每天获得505$,管理层获得495$.
工会每一次提出建议都具有一个优势,
因为它是最后一个提出建议的一方.
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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思考：
1. 如果讨价还价(二)中,在工会与管理层谈判期间,工会成员
可以出去打工,每天收益300$,谈判结果将会怎样?
2. 如果谈判期间,管理层可以发动不愿罢工的工人维持酒店
的营业,但每天的利润只有500$,谈判结果又会怎样?
“以上两个问题结果反映的是:谁能在没有协议的情况下过
得越好,谁就能从讨价还价的利益大饼中分得更大一块.”
3. 如果谈判的建议只能又管理层一方提出,均衡的结果是什
么?
4. 如果管理层和工会对利润价值的看法不一样,假如管理层
认为1$现金一周后价值$,而工会认为只有$,均衡
结果又将是什么?
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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轮盘赌
《策略思维》的作者之一的巴里.奈尔伯夫在毕业的时候
参加了剑桥大学的五月舞会,其中活动的一部分是到一个赌场
下注,舞会结束时收获最大的人将获得下一年度的舞会入场券,
开始时每人有20英镑的筹码,到了最后一盘轮盘赌下注的时候
巴里手里已经有了700英镑的筹码,独占鳌头,排第二的是一位
拥有300英镑的小姐,该小姐提出分享入场券,但巴里拒绝了.
轮盘赌规则:输赢取决于轮盘停止转动时小球落在什么地方,一
般轮盘上有刻有0到36的37个格子,若小球落在0算庄家赢.常见
玩法有赌小球落在奇数还是偶数格子里,赔率一赔一;赌小球落
在3的倍数的格子里,赔率一赔二.
该小姐有没有赢的可能?
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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如果小姐先下注
轮盘赌
小姐
奇偶300
3的倍数300
奇偶
3的倍数
如果小姐押奇偶300英镑,
赢获得600英镑,输则为0;
巴里只需观望即可获胜.
因此小姐只能押3的倍数
300英镑,赢获得900英镑,
输仍然为0;
巴里该怎么办?
巴里只要同样将300英镑押在3的倍数上
所以她只能寄希望于巴里先下注
如果巴里押200英镑在奇数上,她又该怎么办?
她只能将300英镑押在偶数上!
实际结果是小姐押300英镑在3的倍数,而巴里押200在偶数上
后动优势
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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斯塔克尔博格(Stackelberg)寡头竞争模型(产量模型),1934年
在完全信息静态博弈中,我们介绍了古诺特(Cournot)的寡
头产量竞争模型,两个寡头同时确定产量.
如果在市场上存在两个厂商,厂商1是市场上的领头企业,
首先选择产量,厂商2在观察到厂商1的产量后,再确定自己的产
量 . 这个博弈显然是完全且完美信息动态博弈 .
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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Stackleberg模型
厂商1
厂商2
能否用博弈树表述？
仍然使用逆向归纳法均衡
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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子博弈精炼纳什均衡应用举例
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在Cournot模型中，本博弈的两个反应函数为
这不是纳什均衡
在Stackleberg模型中,
总产量增加了,总利润
减少 ; 厂商1的产量增
加,利润也增加,厂商2
则相反,产量和利润均
减少 . 这种现象称为
“先动优势” . 如果将选
择产量改为选择价格,
结果将会怎样?
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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不稳定因素:
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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进入威慑(Entry Deterrence)
工业组织中有一个老问题:一个在位的垄断者是否能通过
威胁引发价格战来阻止新公司进入市场以维持自己的垄断地
位, 这种思想遭到了芝加哥学派学者的猛烈抨击, 认为价格战
给在位者带来的损失大于和进入者合作的损失,博弈论可以作
出推理.
博弈参与人为进入者和在位者,博弈顺序为进入者选择进
入或不进入;如果进入者进入,在位者选择是与进入者合作还是
使用大幅度降价来斗争 . 我们对支付作出假设:在垄断价格上,
市场利润为300;在斗争价格上,市场利润为0;双寡头竞争(合作)
时市场利润为100 , 两家平分 .
进入者战略空间:进入、不进入
在位者战略空间:进入者进入合作、进入者进入斗争
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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进入威慑
进入者
不进入
进入
斗争
(0,300)
在位者
支付:(进入者,在位者)
合作
(-10,0)
(40,50)
该博弈的有两个纳什均衡:
(进如者不进入,在位者斗争)
(进入者进入,在位者合作)
因为(进入者不进入,在位者斗争) 不是子博弈的纳什均衡,因此是不可信的纳什均衡,即在位者的威慑不可信.
如果在位者在进入者进入之前声称
如果有进入者进入,一定斗争,进入者
是否还会选择进入?
进入者将不会理会在位者的威慑
子博弈精炼纳什均衡应用举例
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5.重复博弈与民间定理(无名氏定理)
某连锁机构在20个城市开设有分店,现在该机构试图阻止
竞争对手进入这20个市场,即上节中的“进入威慑”博弈就会
重复进行20次 . 根据中,竞争对手如果只是进入其中一个市
场,在位者选择的应该不是斗争而是合谋,但是,该连锁结构为了
阻止竞争者进入其他19个市场 , 因而现在的结果可能不同于只
有一个市场的结果.
连锁店悖论、重复囚徒博弈和有限次重复博弈
这个形式的博弈称为重复博弈,分有限次和无限次两种.
这种重复博弈的均衡是什么?
1.连锁店悖论(Selten ,1978)
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如果竞争者已经进入了19个市场(在位者可能选择了斗
争,也可能选择了合作),在最后一个市场,竞争双方意识到他
们所在的子博弈与一次性的“进入威慑”博弈是一样的:进入
者总是选择进入,而在位者总是选择合作 .
我们使用逆向归纳法推导下去,在第19个市场,双方知道,
不管双方选择什么行动,第20个市场都是“进入者进入,在位者
合作”,因此在第19个市场,“进入者一定会选择进入,而在位者
一定选择合作”,依此类推,在所有的市场,进入者都将选择进
入,而在位者则都将选择合作 .
这与我们前面在位者将会在第一个市场选择斗争建立威
慑的想法相矛盾,称为“连锁店悖论”.
进入者总是选择“进入”而在位者总是选择“合作”是唯一
的子博弈精练纳什均衡.
重复博弈与民间定理
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2.重复囚徒困境
如果将囚徒困境博弈重复进行20次,会发生什么?
显然囚徒们更希望大家都能选择抵赖,但在个体理性的
前提下,这种结果会发生吗?
在最后一轮即第20次博弈时,情况与一次博弈的囚徒困
境是一样的,因此囚徒们都会选择最后一论子博弈的纳什均
衡即“坦白”;
在第19次博弈时,囚徒们知道在最后一轮大家都会选择
“坦白”, 因此会认为在第19次建立声誉是毫无意义的,也会选
择“坦白”;
逐次递推下去,唯一的子博弈精练纳什均衡为两人每依
次都选择“坦白”.
重复博弈与民间定理
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连锁店悖论和重复囚徒困境这两个重复博弈都有以下
共同点:
(1) 都进行了有限次的重复;
(2) 两个重复博弈的基本博弈都有唯一的纳什均衡;
两个重复博弈都有唯一的子博弈精练纳什均衡,并且
是将基本博弈的纳什均衡重复而成.
定理:如果G是一个基本博弈,并且只有唯一的纳什均衡,那么
将G重复进行n次的有限次重复博弈也只有一个子博弈精练
纳什均衡,并且结果是由G的纳什均衡复合而成.
这个定理成立有两个必备的条件:重复的次数有限和基本
博弈只有唯一的纳什均衡.
另外在前面的两个博弈中还提到了两个词:威慑和声誉
重复博弈与民间定理
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无限次重复博弈和无名氏定理
“连锁店悖论”中得出的均衡与是进行一次的“进入威慑”
博弈是一致的，与我们所观察到的现实是不一致的. 出现这种
结果的原因是由于博弈的重复次数有限造成的,毕竟一个经济
实体不会期望在有限的时间内结束!重复囚徒困境的结果也是
一样的.
在有限次博弈中,囚徒们
总是会选择“坦白”
但在无限次博弈中,囚徒
们会不会选择合作呢?
囚徒们的战略是什么?
囚徒A
坦白
抵赖
囚徒B
坦白 抵赖
囚徒困境
冷酷战略 针锋相对战略
重复博弈与民间定理
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冷酷战略(Grim strategy):
(1) 开始时选择“抵赖”;
(2) 一直选择“抵赖”,除非有人选择了“坦白”;如果有人
选择“坦白”,自己就永远选择“坦白”.
由于是无限次博弈,开始时选择“抵赖”,以表明自己合作的
意向(声誉),直至有人不合作为止.并给予不合作者以惩罚.
在无限次重复囚徒博弈中,如果囚徒A选择了“冷酷战略”,
那么“冷酷战略”也是囚徒B的最优战略,如果他选择合作即选
择抵赖,会永远得到(抵赖,抵赖)的较高支付;而如果选择“坦白”
只能得到一次 ( 抵赖 , 坦白) 的很高支付,但以后最多只能得到
(坦白,坦白)的较低支付.
冷酷战略是一种可信的“惩罚威胁”或者“报复”,在无穷次
重复博弈可能会促成参与人之间的合作.
冷酷战略是无限次囚徒博弈的子博弈精炼纳什均衡.
开始时友好地建立自己的声誉
对破坏合作者进行惩罚
重复博弈与民间定理
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囚徒A
坦白
抵赖
囚徒B
坦白 抵赖
囚徒困境
冷酷战略是子博弈纳什均衡的证明:
假设囚徒A选择了冷酷战略,
囚徒B应该选择什么战略呢?
如果囚徒B在某一期不选择“抵赖”而是选择“坦白”,那么B
在这一期的支付为0而不是-1,但是由于囚徒A选择了冷酷战略,
以后都选择“坦白”,因此囚徒B在以后的支付最多为-8而不是-1,
由于博弈的次数无限,囚徒B如果一开始就选择了“抵赖”,他就不
会再选择“坦白”,以后也不会,只要A不“坦白”
但如果囚徒B在一开始就选择了“坦白”,由于囚徒A执行冷
酷战略,那么囚徒B在以后也将永远选择“坦白”,即自己惩罚自己.
因此,如果A执行冷酷战略,B也将执行冷酷战略,反过来,如
果B执行冷酷战略,A也将一致,即冷酷战略是“纳什均衡”.
重复博弈与民间定理
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由于博弈重复无限次,因此从任意一期开始的子博弈与
原博弈完全一致,所以冷酷战略也是任意一个子博弈的纳什
均衡.
冷酷战略是无限次囚徒博弈的子博弈精炼纳什均衡.
虽然冷酷战略是一种可信的“惩罚威胁”或者“报复”,在无
穷次重复博弈中, 惩罚“坦白”可能会促成囚徒们之间的合作,
但是不是所有惩罚“坦白”的战略都能促成囚徒们之间的合作,
如“针锋相对”战略.
冷酷战略的结果也表明,在无限次的博弈中,任何机会主
义的选择都将可能带来更大的损失 .
但是冷酷战略并不是无限次囚徒博弈唯一的子博弈精炼纳什均衡.如果双方选择“总是坦白”战略也将是一个子博弈纳什均衡, 因为在对方选择“坦白”的情况下, 不可能选择“抵赖”.
重复博弈与民间定理
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针锋相对战略(Tit-for-tat strategy):
(1) 开始时选择“抵赖”;
(2) 以后每一期选择与其他参与人上一期相同的行动.
针锋相对战略不是囚徒博弈的子博弈纳什均衡.
无限次重复博弈的无名氏定理(民间定理):
囚徒A
坦白
抵赖
囚徒B
坦白 抵赖
囚徒困境
重复博弈与民间定理
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囚徒A
坦白
抵赖
囚徒B
坦白 抵赖
囚徒困境
无名氏定理的几何解释:
-10
-8
-1
0
-10
-8
-1
0
囚徒A
囚徒B
无名氏定理说明:子博弈均精炼什均衡不只一个,
当然更多的是混合形式的
重复博弈与民间定理
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声誉与单边囚徒困境博弈
双边博弈:是指每个参与人的战略空间都是相同的,并且支付
也是对称的静态博弈.
单边博弈:指战略或行动、支付不对称的博弈.
囚徒A
坦白
抵赖
囚徒B
坦白 抵赖
单边囚徒困境
如双寡头博弈和原始的囚徒困境博弈
囚徒A
坦白
抵赖
囚徒B
坦白 抵赖
原始囚徒困境
如单边囚徒困境博弈和产品质量博弈
重复博弈与民间定理
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囚徒A
坦白
抵赖
囚徒B
坦白 抵赖
单边囚徒困境
囚徒A
坦白
抵赖
囚徒B
坦白 抵赖
原始囚徒困境
囚徒A
坦白
抵赖
囚徒B
坦白 抵赖
单边囚徒困境
生产者
低质量
高质量
消费者
抵制 购买
产品质量
单边囚徒困境到产品质量博弈的转化
重复博弈与民间定理
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生产者
低质量
高质量
消费者
抵制 购买
产品质量
支付:(生产者,消费者)
产品质量博弈的纳什均衡为
(低质量,抵制)
可以理解为一个参与人拒绝
与其他参与人打交道
一个理性的消费者更热衷于购买熟悉的厂家的高质量产品
如一个消费者拒绝购买克莱斯勒公司的汽车,因为他知道
克莱斯勒公司有一次在汽车里程表上作弊.
生产者要生存,必须建立自己的“声誉”,愿意与消费者“合
作”,生产“高质量”的产品.
重复博弈与民间定理
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声誉起重要作用时的重要博弈
应用 单/双边 参与人 行动
囚徒困境
双寡头垄断
就业
产品质量
阻止进入
财务披露
借贷
双边
双边
双边
单边
单边
单边
单边
行
列
企业
企业
雇主
雇员
消费者
生产者
在位者
进入者
公司
股东
贷款人
借款人
抵赖/坦白
抵赖/坦白
高价格/低价格
高价格/低价格
发奖金/不发奖金
努力/偷懒
购买/抵制
高质量/低质量
低价格/高价格
进入/不进入
如实披露/造假
投资/不投资
借出/不借
还帐/赖帐
重复博弈与民间定理
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不合作的战例
Spirit航空公司和西北航空公司
这是美国的两家航空公司.1995年之前,西北航空经营着
底特律至费城的航线,单程平均票价高于170美圆.1995年12
月Spirit航空公司涉足该航线,每天有一趟往返航班,开始时单
程平均票价为49美圆. 1996年, 6月20日西北航空公司将该航
线所有票价降至49美圆,并且将其大部分运力集中于该航线,
增加了30%的客位.同见9月30日, Spirit航空公司宣布退出该
航线.1997年第一季度,西北航空公司将该航线的单程平均票
价提高至230美圆,并且为该航线提供的客位也下降.
重复博弈与民间定理
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-10
-8
-1
0
-10
-8
-1
0
囚徒A
囚徒B
重复博弈与民间定理
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无限次重复博弈的产品质量模型(参与人不固定)
这是一个生产者与消费者之间的博弈
生产者
低质量
高质量
消费者
抵制 购买
产品质量
唯一的是纳什均衡为
(低质量,抵制)
如果这是一个无限次重
复博弈,情形将如何?
假设生产者是长期的产品提供者,但消费者是不同的,假定每
次每个消费者只购买一件产品,不知道自己购买的产品的质量,但
知道前面的消费者购买的产品的质量.
生产者和消费者将如何决策?
重复博弈与民间定理
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生产者
低质量
高质量
消费者
抵制 购买
产品质量
生产者的战略:
如果生产低质量的产品,
被消费者购买,可以得到8个单
位的较高支付 , 但以后将失去
所有的消费者,支付永远为零.
如果总是生产高质量的产品,即使消费者不购买,支付也不
会比生产低质量产品得到的支付差,并且消费者预期生产者会
继续生产高质量的产品(声誉)，因此会选择购买,从而总是得到
7个单位的较高支付.
消费者的战略:
如果生产者生产高质量的产品 , 消费者会选择购买,由于不
知道自己购买的产品的质量,因此只有生产者持续生产高质量的
产品,建立声誉,消费者才会选择持续购买. (冷酷战略)
重复博弈与民间定理
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因此,该博弈子博弈精炼纳什均衡为:
(生产者总是生产高质量的产品,消费者总是购买)
不过,这不是唯一的子博弈精炼纳什均衡,如
(生产者总是生产低质量的产品,消费者总是抵制)
思考:为什么一个大商场,一般不会销售假冒伪劣商品,而一个走
街串巷的小贩却总是销售假冒伪劣的货物?
关于更详细的产品质量博弈的模型是Klein和Leffler在
1981年建立的.见艾里克.拉斯缪森的《博弈与信息—博弈论
概论》P141,北京大学出版社
重复博弈与民间定理
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思考题
一、教材:P138
1. 3.
二、一美圆的价格
美国耶鲁大学教授Martin Shubik设计了一个游戏:他拿
出一张一美圆来拍卖,无底价,每次叫价的增幅为5美分,出价
最高者得到这一美圆,但是规则是叫价最高和次高者都要向
拍卖者支付所叫价的费用.
1.假如Airy和John各有美圆,并且都互相知道对方有
美圆,他们俩参加Shubik的游戏,请分析结果.
2.这个博弈有均衡吗?
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三、海盗分金问题
海盗，大家听说过吧。这是一帮亡命之徒，在海上抢人钱财，夺人性命，干的是刀头上舔血的营生。在我们的印象中，他们一般都瞎一只眼，用条黑布或者讲究点的用个黑皮眼罩把坏眼遮上。他们还有在地下埋宝的好习惯，而且总要画上一张藏宝图，以方便后人掘取。不过大家是否知道，他们是世界上最民主的团体。参加海盗的都是桀骜不驯的汉子，是不愿听人命令的，船上平时一切事都由投票解决。船长的唯一特权，是有自己的一套餐具--可是在他不用时，其他海盗是可以借来用的。船上的唯一惩罚，就是被丢到海里去喂鱼。
现在船上有若干个海盗，要分抢来的若干枚金币。自然，这样的问题他们是由投票来解决的。投票的规则如下：先由最凶猛的海盗来提出分配方案，然后大家一人一票表决，
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1. 如果有50%或以上的海盗同意这个方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盗同意，那么这个提出方案的海盗就将被丢到海里去喂鱼，然后由剩下的海盗中最凶猛的那个海盗提出方案，依此类推。试就10个海盗100枚金币给出你认为合理的方案；
2.改变一下规则，投票中方案必须得到超过50%的票数（只得到50%票数的方案的提出者也会被丢到海里去喂鱼），那么如何解决10个海盗分100枚金币的问题？
*3.不改变规则，如果让500个海盗分100枚金币，会发生什么？
*4.如果每个海盗都有1枚金币的储蓄，他可以把这枚金币用在分配方案中，如果他被丢到海里去喂鱼，那么他的储蓄将被并在要分配的金币堆中，这时候又怎样？
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