第三节 投入产出表的编制方法
——推导法
一、 问题的提出
二、 推导法投入产出核算表式
三、几个有关矩阵
四、 投入产出系数的推导
五、投入产出表的推导
六、对UV法的评价
七、混合工艺假定下纯部门×纯部门投入产出表的推导
一、 问题的提出
分解法遇到的难题：
1、消耗大量的人力、物力与财力；
2、“纯部门”与现行统计制度不好接轨，从应用的角度出发，往往希望能编制出“产业部门×产业部门”的投入产出表；
例：电力部门消耗重油发电时，不好区分重油是来自石油部门，还是来自化工部门（某些化工企业的次要产品可能是重油）。往往将它列入石油部门。
4、“纯部门”表不好进行实际应用，而“产业部门”表往往具有较广的应用。
推导法（U-V表方法）能够克服上述困难，并能同时得到纯部门×纯部门的表和产业部门×产业部门的表。
3、编制产业部门×产业部门的投入产出表，虽不需要基层企业进行分解，但又带来其它问题，如所编表可能会出现主栏的“部门”（列）为纯部门，而宾栏的“部门”（行）为产业部门的现象；
推导法是建立在下面推导法投入核算表式基础上的：
二、 推导法投入产出核算表式
qij表示纯部门投入产出表中第Ⅰ象限元素；
xij表示产业部门投入产出表中第Ⅰ象限元素；
uij表示第j个产业部门生产中直接消耗的第i个纯部门产品的数量；
vij表示第i个产业部门生产第j个纯部门产品的数量；
Nj，Njs，y，ys的含义可相应理解。
纯部门×纯部门表：
由(1)、(5)、(6)、(9)、(11)构成，
产业部门×产业部门表：
由(4)、(7)、(8)、(10)、(12)构成
习惯上称uij形成的表为U表（又称消耗表），vij形成的表为V表（又称制造表），于是这种推导投入产出表的方法称为U-V表方法。
联合国统计局于1968年发表的新SNA将投入表（U表）和产出表（V）表纳入国民经济核算体系并正式向世界各国推荐UV表法。
UV法能充分利用现有国民经济核算资料编制投入产出表。但如果国民经济核算体系没有细分到足够的程度，编表所需的数据仍需另行搜集。
中国现行的统计制度与推导法所需的数据能够衔接，因此UV法得到了广泛的应用。广东、天津、河北等地的应用证明，此法得确是一种省时、省力的编表方法。
UV法由英国经济学家理查•斯通等人于20世纪50年代提出，该成果为西方国民经济核算体系中引入投入产出核算提供了科学方法和经验。
三、几个有关矩阵
1、消耗系数矩阵（投入系数矩阵）
由投入表得
产业部门对纯部门产品的消耗系数矩阵（投入系数矩阵）B：
其中元素bij=uij/xj为第j产业部门生产单位产品所直接消耗的第i类产品的数量。
2、产出系数矩阵
由产出表得
①部门的产品比例矩阵（产品比例矩阵）C：
其中元素cij=vji/xj ，为第j产业部门总产品中第i类产品所占的份额。
②产品的部门比例矩阵（市场份额矩阵）D：
其中元素dij=vij/qj ，为第j类产品中由第i产业部门生产的份额。
产业部门的最初投入系数矩阵
其中:元素
的产品所需要的最初投入
为第j个产业部门生产单位产值
只要求出“纯部门”（产品）表及“产业部门”（部门）表的直接消耗系数，以及“纯部门”（产品）表的最初投入系数，则可求出相应的投入产出表。
1、 部门工艺假设：纯部门×纯部门表的直接消耗系数
部门工艺假设指出，在同一个产业部门内，所有产品都以同样的工艺技术生产，即具有相同的消耗结构（投入结构）。
四、 投入产出系数的推导
dkj为单位第j类产品（即第j个纯部门产品）中由第k个产业部门生产的份额，而第k个产业部门生产单位产品消耗第i类产品的数量是bik。
j产品对i产品的消耗，是通过各部门生产j产品，而各部门在生产过程中对i产品的消耗来完成的。
矩阵形式为：
同样地，j产品对最初投入的消耗，是通过各部门生产j产品，而各部门在生产过程中对最初投入的消耗来完成的：
矩阵形式：
对部门工艺假定的理解：
第1种产品投入各部门后用于生产第1种产品的系数
第1种产品投入各部门后用于生产第2种产品的系数
各等式右面第一项表明，不管第1个部门生产的各种产品分别占这些产品总产量的比重如何（d11,d12,…,d1n），其投入系数都是b11，即一个部门生产的各种产品具有相同的投入构成。这正是部门的工艺假定。
……
第1种产品投入各部门后用于生产第n种产品的系数
2、部门工艺假定：产业部门×产业部门直接消耗系数
j部门对i部门的消耗，是通过j部门在生产中消耗各种产品，而各种产品的生产由i部门生产来完成的部分。
为第j个产业部门生产单位产品所消耗的第i个产业部门产品的数量，应等于它对各类纯部门产品的消耗量分别乘以各类纯部门产品中由第i个产业部门生产的份额，然后求和。
矩阵形式为：
同样地，对于最终产品yis，它应为各产品的最终产品，由第i产业部门来生产的部分：
或
对部门工艺假定的理解：
AS第1行：
从各等式右边第1项看，不管第1种产品投向何部门（b1j），它由第1个部门生产的比例不变（d11），其他项也如此。这正是部门的工艺假定。
●注：从上边的推导中可以看到，采用部门工艺假定，纯部门分类数（产品数）与产业部门分类数（部门数）可以相同，也可以不相同。
例：在上面的假想的数值例中，由于B，D矩阵已知，可求出：
由于
则：
3、产品工艺假定：纯部门×纯部门表直接消耗系数
在同一产业部门中，有主要产品，也有多种次要产品（例如在钢铁企业中有焦炭生产）而主要产品和次要产品的消耗构成一般相差较大，所以部门工艺假定带来的误差较大。
产品工艺假定指出，同一类产品，不管在哪个产业部门生产，都具有相同的工艺技术和消耗结构（投入结构）。
在这nm个方程组成的方程组中，共有n n个未知数（即aij），只有当n=m时，才有唯一解，即当n=m，可求得纯部门×纯部门的直接消耗系数
第j部门对第i种产品的消耗，是通过第j部门生产各种产品，而各种产品在生产过程中对第i种产品的消耗来完成的。
同样可得
纯部门×纯部门表 直接消耗系数的推导：
对产品工艺假定的理解：
从B=AC的第一行看，第1种产品对各部门的投入系数为
cij表示j部门生产的i产品占其总产出的比例，因此，从各等式右边第一项看，无论第1种产品在何部门生产，它所投入的各种产品结构不变。这正是产品工艺假定。
4、产品工艺假定：产业部门×产业部门直接消耗系数
第j部门对第i种产品的消耗，是通过第j部门在生产过程中对各部门产品的消耗，进而对各部门产品中第i类产品的消耗来完成的。
在n=m时，可求得未知量aijs。写成矩阵形式为：
同样可得
对产品工艺假定的理解：
假定同一种产品具有相同的投入构成，就意味着各部门生产各种产品的比例稳定不变;
从B=CAs的第一行看，第1种产品对各部门的投入系数为：
无论何部门消耗第1部门的产品，第1部门产出中各种产品的比例不变（c11）。
●注：产品工艺假定要求纯部门分类数与产业部门分类数相等。
例：在上面的假想的数值例中，由于B，C，ANs矩阵已知，可求出：
只要求出“纯部门”（产品）表及“产业部门”（部门）表的直接消耗系数，“纯部门”（产品）表的最初投入系数，及“产业部门”（部门表）的最终使用，则可求出相应的投入产出表。
例：在上面假想的数值例中，按部门工艺假定与产品工艺假定分别推导的“纯部门”表与“产业部门”表如下：
五. 投入产出表的推导
1、优点：
(1)收集数据的工作量较小，减少编表所需的人力、物力与财力；
(2)可用计算机直接编表，保证编表的时效性。
2、缺点：
(1)直接消耗系数常与实际情况有较大的差别：
部门工艺假定：假定同一产业部门内所有产品的生产具有相同的消耗结构。对于次要产品来讲，显然不符，但对于副产品与联产品，较为符合。
例：钢铁厂生产的焦炭与钢铁：消耗构成不同；
焦化厂生产的焦炭与焦炉气：消耗结构相同。
六、对UV法的评价
产品工艺假定：假定同一类产品在所有产业部门内都具有相同的消耗结构。对于次要产品，比较符合，但对于副产品与联产品，该假定又不符合。
例：焦炭：在炼焦部门生产与在钢铁部门生产，工艺是相同的；
煤气：在煤气厂生产与在焦化厂作为付产品的焦炉气，工艺不同。
（2）由于部门的产品比例系数矩阵 C的逆阵往往有负值出现，导致按产品工艺假定推导的“纯部门”表与“混部门”表的直接消耗系数及由此得到的中间流量也出现负值。为实际应用带来不便。
例：已知U表、V表如下：
由制造矩阵：
则可得投入矩阵B及部门的产品比例矩阵C如下：
则
在产品工艺假定下，“纯部门”表的直接消耗系数矩阵为：
矩阵A中出现负元素a13。
（1）由制造矩阵V知：第III部门除生产本部门特征产品190个单位外，还生产第II部门特征产品10个单位；
根据产品工艺假定，第II部门产品不论在何部门生产，投入结构（消耗结构）应相同，即第III部门生产的10单位第II部门特征产品，应按第II部门投入结构进行生产；
（2）由U表知，第II部门与第III部门投入结构有较大差别：第II部门有较大比例的第I部门产品的投入，而第III部门根本没有第I部门产品的投入。
（3）第III部门在生产过程中，一方面事实上不消耗第I部门的产品，另一方面根据产品工艺假定却“假定”消耗了第I部门的特征产品，在样，在成本转移过程中负直接消耗系数就产生了。
分析：
为了避免按产品工艺假定或按部门工艺假定推导“纯部门”表及“混部门”表时带来的与现实不符的情况，混合工艺假设就提出来了。
混合工艺假定中：V=V1+V2， X=X1+X2
七、混合工艺假定下纯部门×纯部门投入产出表的推导
V1的元素v1ij表示第i个产业部门生产的适合于采用产品工艺假定的第j类产品的数量（一般包括次要产品）;
V2的元素v2ij表示第i个产业部门生产的适合于采用部门工艺假定的第j类产品的数量（一般包括付产品）。
设
元素c1ij表示第j产业部门所有列入V1的产品中第i类产品所占的比例。
元素d2ij表示第j类产品由第i个产业部门生产并列入V2中的份额。
可以证明，在产品比例假设下，纯部门×纯部门表的直接消耗系数矩阵为：
公式中，为i单位列向量，I为单位矩阵。
同样地，设
在市场份额假设下，有
这里：产品比例假设指同一产业部门所生产的各类产品的比例是稳定的；市场份额假设指各产业部门在某一类产品生产中所占的份额是稳定的。
例：在上例中，将V分解为满足产品工艺假定的V1与满足部门工艺假定的V2：
练习题：
设有如下投入表U、产出表V、产品总产出向量Q、部门总产出向量X，试分别用部门工艺假定及产品工艺假定推导“纯部门”直接消耗系数与“混部门”直接消耗系数：
10 20 30 90 0 10 90 100
U= 20 40 30 v= 0 190 10 Q= 210 X= 200
40 20 60 0 20 280 300 300
