一个内生增长模型：计量检验与实证分析
中央财经大学 郑宇
研究领域：宏观经济政策与金融改革，宏观经济增长等。
摘要：本文提出了一个新的内生增长模型，和传统的增长模型相比，重点考虑劳动投入对增长的作用，而且各内生变量的设定与统计部门所选取的指标相一致，先后对发达国家和中国的增长数据进行增长路径计量并检验，最后根据模型结果和实证性的结论给出政策建议。
关键词：内生增长模型 劳动 增长率
An Internally Determined Growth Model:
Econometric Examination and Positive Analysis
Abstract: Therefore, in this paper, we draw a new model, in which all factors affecting growth rate are internally determined and the standard is according with statistics. Comparing the theory of internal decision of technology growth rate, the contribution of labor was regarded, and the variations are consistent with statistical standard. Moreover, data from the developed countries were employed to examine this model in econometric point. Finally, due to the conclusion of the model, we bring forward some suggestions to governments. What we are hoping eagerly is that the theory in this paper can be applied to realistic economic regulation.
Keywords: Internally determined growth model Labor Growth rate
一个内生增长模型：计量检验与实证分析
增长问题一直是经济学争论 的重大关键问题，而关于经济增长的理论也一直是经济学家关注和研究的焦点。
文献评述
经典的经济学理论普遍认为：增长的因素分为资本投入、劳动投入和技术进步。然而，各因素的贡献有多大，这种贡献是由什么机制决定的，却一直存在争论。目前学术界的主流是新增长理论，代表人物是罗默和卢卡斯，罗默在其三篇论文（《收益递增和长期增长》（1986）、《基于由专业化引起的收益递增的增长》（1987）和《内生的技术变化》（1990）中提出了三个有关增长的经济理论，认为增长的源动力主要是技术进步，并首先使用了内生技术进步的概念。对增长理论做出了杰出贡献，也因此获得了诺贝尔经济学奖。另一位诺贝尔经济学奖获得者卢卡斯却提出了一种截然不同的新增长理论，认为资本是增长的关键，将技术进步引入人力资本的范围，对资本的含义进行了扩展。
不论是罗默的内生技术变量还是卢卡斯的人力资本变量，都带有主观臆测的色彩，无法用当前通用的经济学计量方法进行度量，而且将劳动投入作为外生变量，割裂了劳动增长与技术进步或资本增长的内在联系。
本文将提出一种以当前通用的对全要素生产率、资本投入、和劳动投入的标准度量为变量的，增长因素全内生的增长模型，并利用乔根森等人所取得的数据估计模型的部分参数，以期形成一种可以应用于实践的经济增长理论。
内生增长模型的基本框架
基本假设：
（1）决定宏观经济运行情况的行为主体是国家，而不是企业或个人。
和传统的宏观经济理论不同，本模型认为政府对宏观经济的调控发挥着重大作用，各项经济指标由政府追求国家总体利益最优化的行为决定。政府最为关心的目标变量是人均国民收入。政府的行为由长期国民收入最大化的目标所决定。
（2）设定生产函数，其中使用不变基准期价格衡量的总产出价值，、分别使用不变基准期价格度量的资本和劳动服务价值量，表示t 期的全要素生产率，生产函数对实际要素投入表现出规模报酬不变的特性，即，。
（3）技术进步成本函数，技术进步越快，所付出的研发或引进成本必然越高，显然;现有技术水平越高，技术进步必然越困难，所以；技术不能作为独立的要素在生产中发挥作用，进步只能体现在每单位资本或劳动质量的提高，现有的资本或劳动存量越大，单位技术进步所要求的资本或劳动质量提高总量就越大，所需付出的成本就越大，所以。
（4）劳动服务可以取得工资报酬,资本服务可以取得利息报酬,这两部分报酬成为国民收入的一部分,不构成国家损失的成本,因此不应计入以国民收入度量的目标函数。
模型表述：
综合以上假设，可以得到国家利益最优化目标下政府行为的数学表述：
Max
St. 。
令，由变分法原理，最优解满足欧拉方程；边界和横截性条件 EMBED EMBED EMBED 。由于该问题是一个实际经济问题的数学表述，一定存在使目标函数最大化的内部解，二阶条件必然可以得到满足。
模型的简化及求解
1．假设总生产函数为柯布道格拉斯技术,,其中均为内
生的要素变量。
2．假设技术进步成本，其中都是大于零的常数。之所以假设关于是线性的，一方面是为了求解过程中出现的二阶导数使模型复杂难解；另一方面，关于新增技术的成本表现为规模收益递增还是递减尚无定论，认为规模成本不变通常也是一种合理的假设。前面已经论述过，的原因，这里采用最为简捷的对数线性假设，既不会使模型复杂化，又不会割裂之间的相关关系。
于是，该增长模型的数学表述可以化为：
下面用变分法求模型的最优解：
被积函数，
欧拉方程
边界条件：
横截性条件： EMBED EMBED 。
于是，欧拉方程（1）可化为：
即：
欧拉方程（2）可化为：
即：
即：
欧拉方程（3）可化为：
即：
结合方程（5）和方程（6）可以发现：
所以，
将方程（6）代入方程（4）可得
对方程（7）两边取对数然后两边分别对t求导可得：
方程（8）和方程（9）给出了资本增长率、技术进步率和劳动增长率的关系，是本模型的两个关键方程。
将方程（7）代入方程（6）可得：
将方程（10）分别带入方程（8）和方程（9），并令
EMBED 。显然，a,m,p,b,c,d都是常数。可得：
方程（11）和方程（12）可以解出和的表达式，是本模型的另外两个关键方程。
以下为书写方便，分别用表示。方程（11）和方程（12）可以改写为：
分别消元得：
由方程（15）得：
对方程（17）两边对t求导得：
所以，
将方程（15）变形后代入上式，消掉项得：
分别将方程（17）和（18）代入（16）得：
对方程（19）两边同乘得：
EMBED 。则方程（20）可简化表示为
即：
所以
如果v>0，方程（21）可化为： EMBED
所以
而且常数。
如果v<0，则令u=-v，方程（21）化为
所以 EMBED
而且常数。
如果v=0，则，由方程（16）知常数
而不会恒为常数，与方程（8）和方程（9）联立解得的与的线性关系相矛盾，要舍去。
不论v和如何取值，都是常数，根据方程（8）和方程（9），和也都是常数，横截性条件对参数的确定不起作用，而该实际问题的参数必然会使横截性条件得到满足，不必再对横截性条件多加考虑。所以，最后确定的最优解为而且。
由方程（8）和方程（9）联立，可以解得
其中，方程（*）可以由方程（22）和方程（23）解出，是一个可以消掉的方程，但从方程（*）中可以得到一个显然的结论：，所以和是正相关的，这个结论有助于进行数据检验。
于是，我们可以得到两组可能的解：
和
以及无穷时间条件下的最优解：
如果各参数能够用统计量完全确定，v的符号就可以确定，两组解就可以只保留一组。设求得的最优解分别为和。则根据总生产函数，最优经济增长率为。
发达国家要素增长路径的估计
方程（30）、方程（31）和方程（32）告诉我们，每种要素增长率的表达式只有一个，而且表达式中的参数全是固定参数。另外从本模型的关键方程（8）和（9）可以看出，最优技术进步率，资本增长率和劳动增长率之间呈现固定的线性关系。而发达资本主义国家经过上百年的发展，产品生产模式已经十分接近，生产技术没有显著的差异。于是，我们就可以依据理性国家的假设（即认为各发达国家在技术进步率、资本增长率和劳动增长率的关系处理方面是理性的，每个国家在长期中都不会出现系统的误差，各国家对三者关系的处理平均而言是正确的）,来对模型的关键方程做出参数估计，以此确定三种要素增长率之间的关系。关于资本投入增长率，劳动投入增长率和技术进步率的数据见以下各表。
表1 资本投入年增长率表
年份
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
加拿大
美国
法国
德国
意大利
日本
荷兰
英国
年份
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
加拿大
美国
法国
德国
意大利
日本
荷兰
英国
韩国
表2 劳动投入年增长率表
年份
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
加拿大
美国
法国
德国
意大利
日本
荷兰
英国
年份
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
加拿大
美国
法国
德国
意大利
日本
荷兰
英国
韩国
表3 全要素生产率年增长率表
年份
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
加拿大
美国
法国
德国
意大利
日本
荷兰
英国
年份
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
加拿大
美国
法国
德国
意大利
日本
荷兰
英国
韩国
数据说明：
劳动投入量有所有工人的劳动时间乘以单位时间工资得到，劳动质量由工资标准体现。
资本存量依据永续盘存法和年龄价格函数测算，资本重置包括实物损耗和由时间价格函数确定的经济折旧。
实际要素投入量以加总每种实际投入要素数量与投入价格之积计算。
产出以加总每种产出品数量与产出价格之积计算。
全要素生产率增长率为产出增长率与实际要素投入增长率之差。
价格指数采用购买力平价，基准期单位的选取因国家不同而不同，例如美国以1958年十亿美元为单位。
分部门加权时，权重均为基期和报告期的平均权重。
所有增长率均为自然对数的一阶有限差。
详细的统计方法和数据均来自乔根森的著作《生产率》
乔根森的统计表是目前可以获得的关于资本投入、劳动投入、全要素生产率和产出增长率最为先进和全面的资料，其采用自然对数一阶有限差度量增长率的方法也与本文模型使用的增长率相一致，因此，可以把乔根森数据作为实际数据的近似，用于本文模型的参数估计。
为了剔除经济周期因素对生产行为的扰动，并使国家有足够长的时期来实现其理性行为，我们对每个国家选取两个基钦经济周期作为一个时间段，取该时间段内每种要素的平均增长率得到样本数据来估计关键方程的参数。由于增长率根据自然对数一阶有限差计算，所以一定时间段内的平均增长率为各期增长率的算术平均值。各要素的平均增长率样本见以下各表
表4 资本平均增长率表
时间段
平均增长率
时间段
平均增长率
时间段
平均增长率
时间段
英国平均增长
时间段
韩国平均增长
加拿大
美国
法国
德国
意大利
日本
荷兰
47-54
50-57
52-59
55-62
60-67
54-61
55-62
59-66
61-68
66-73
60-67
61-68
66-73
66-73
66-73
66-73
表5 劳动平均增长率表
时间段
平均增长率
时间段
平均增长率
时间段
平均增长率
时间段
英国平均增长
时间段
韩国平均增长
加拿大
美国
法国
德国
意大利
日本
荷兰
47-54
50-57
52-59
55-62
60-67
54-61
55-62
59-66
61-68
66-73
60-67
61-68
66-73
66-73
66-73
66-73
表6 技术平均增长率表
时间段
平均增长率
时间段
平均增长率
时间段
平均增长率
时间段
英国平均增长
时间段
韩国平均增长
加拿大
美国
法国
德国
意大利
日本
荷兰
47-54
50-57
52-59
55-62
60-67
54-61
55-62
59-66
61-68
66-73
60-67
61-68
66-73
66-73
66-73
66-73
回顾模型的求解过程，路径的求解是通过首先解出零期的资本增长率而确定参数来完成的。事实上，在安排每期要素增长率时，资本增长率是由期初的储蓄率和前期资本折旧率确定的。因此，在联立方程组模型估计中，可以作为外生变量。在待估计的关键联立方程组中，有两个内生变量一个外生变量，有两个方程，因此该方程组是完备的。但方程（8）和方程（9）都含有所有变量，两个都是不可识别的方程，要进行参数估计，必须将他们转换为可识别方程。转换可以采用两次带入，即将方程(8)代入方程（9），在方程（9）中消掉内生变量l，得到的方程再代入方程（8），在方程（8）中消掉内生变量a。得到的可识别方程组形式为：，其中c(1),c(2),c(3),c(4)都是由一系列常数混合运算得到的常数。下面用三阶段最小二乘法对此方程组进行参数估计。
首先用表5和表6中的数据对方程（34）进行两阶段最小二乘法估计，由于不同国家面临的外界情况不同，而同一国家在相近阶段面临的外界情况相近。所以应使用分组异方差模型进行估计。先用普通最小二乘法估计残差平方矩阵，再用估计标准差的倒数对角矩阵作工具变量，将方程（34）、（35）化为同方差模型并进行工具变量法估计。两阶段最小二乘法得到的估计结果为：，简单相关系数为；，简单相关系数为。可见技术进步率和资本增长率是高度正相关的。将样本值进行加权后，原来的两个异方差方程（34）、（35）已转化为同方差模型，随机变量方差固定为1。估计残差相关系数矩阵。于是构建联立方程组模型，而残差的协方差估计矩阵为,所以三阶段最小二乘法的工具变量与广义最小二乘法的工具变量一样，应选取为 EMBED ，根据分块矩阵求逆公式，。三阶段最小二乘法估计结果为，拟和优度，调整的拟和优度，c(5),c(6),c(7),c(8)的t统计量分别为，，，。除c(6)外，其他参数都可以以不小于95%的概率通过检验。
为剔除经济周期的冲击，采用加拿大的7年移动平均资本增长率作为样本，可以得到20个平均增长数据。根据方程（24）和方程（28）可知，资本增长率的最优路径遵循的形式。由实际经验和已知的观测值可以初步确定的范围在—之间，该区间平均分成7段，将8个分割点的数值带入方程（39）中，进行试算。式（39）两边取倒数得:，从增长路径函数的形式上可以看出，t的取值和时间段长度的选取不影响最终估计结果，因此，不妨将t的值取为1—20，将20个平均增长率数据及对应的t值带入式（40），就可以得到20个样本点。分别对和进行分段试算。第一阶段试算确定资本极限增长率。将可能的区间继续细分，可以确定。继续细分，确定，。最后确定加拿大的资本极限增长率为，c(9)=，c(10)=,c(11)=，拟和优度，修正拟和优度。因此，估计的加拿大资本最优增长路径为（以1947-1954年平均增长率作为第一期）。再根据方程（37）和方程（38），估计加拿大最优劳动增长路径和技术进步路径为。
中国增长路径估计
以资本增长率为基础的增长路径估计方法可以用于发达国家，但在中国，至今没有关于资本增长率，劳动增长率及技术进步率的统计数据，政府当然不可能按照各种要素的路径来规划经济增长路径。但在改革开放以后，中国的总产出增长率一直是由政府预先确定目标，然后让实际情况去接近目标。二十几年来，中国经济的实际增长率一直与事先确定的目标十分接近，而事先确定的目标，必定是政府认为满意的目标，完全可以认为是理性的。因此在假设中国政府理性的条件下，选取中国1978年起的经济增长数据对模型确定的增长路径进行估计，对发展中国家的增长路径具有代表意义。
分别将表达式组（24）、（25）、（26）和表达式组（27）、（28）、（29）代入方程（33），并与表达式组（30）、（31）、（32）代入方程（33）的结果进行比较。可知，经济增长率的表达式遵循如下形势：，其中都是常数。最优均衡增长率只可能在[0，]的范围内，继续采用反复试算法。将该区间划分成n段，n+1个分割点分别作为的测试值，代入式（41），可得。可以引用中国1978-2003年的增长率数据对表达式（41）的参数进行试算。
表7 中国经济增长率表
年份
GDP增长率
年份
GDP增长率
年份
GDP增长率
1978
1987
1996
1979
1988
1997
1980
1989
()
1998
1981
1990
()
1999
1982
1991
2000
1983
1992
2001
1984
1993
2002
1985
1994
2003
1986
1995
2004
括号中的数据是对1989、1990两年数据的人为调整（以消除政治风波对经济增长的影响）。为了剔除经济周期因素的影响，并得到足够数量的样本，可将表7中的数据以6个连续年份为一组，进行移动平均。
表8 中国移动平均增长率表
时间段
平均增长率
时间段
平均增长率
时间段
平均增长率
1978-1984
1985-1991
1992-1998
1979-1985
1986-1992
1993-1999
1980-1986
1987-1993
1994-2000
1981-1987
1988-1994
1995-2001
1982-1988
1989-1995
1996-2002
1983-1989
1990-1996
1997-2003
1984-1990
1991-1997
1998-2004
由于中国从1978年起进行经济体制改革，经济制度从该年起逐步走向完善，因此，将1978-1983年的平均增长率设定为第一期增长率具有合理性。以后各期的增长率可以根据表8中的数据顺延。
式（41*）两边取倒数得:将表8中的数据及对应的t值带入式（42），就可以得到21个样本点。然后将各分割点带入式（42），采用“三和法”进行参数估计。令；当=0时，根据上述21个样本点的数值知 EMBED 。令，则。所以，所以。将的估计值代入式（44），可以算得，再将和的估计值代入式（43），可以算得。再根据估计方程和实际观测值计算拟和优度得。第一阶段试算估计中国极限增长率，第二阶段试算估计中国极限增长率，第三阶段试算估计中国极限增长率，最后估计中国总产出极限增长率，,,拟和优度为。于是，根据式（41）或（41*），可得中国经济增长率的估计路径为。
六、政策建议
模型的结论及其统计检验说明：技术、资本和劳动的最优增长率是相互关联的，其中技术进步率和资本增长率是显著正相关的，而且在长期情况下三种要素的增长率都将达到各自的极限值。跟根据模型的计量分析结果来看，不论是加拿大还是中国经济的增长率都是一个下降的过程，即使在某一阶段实现了突破性增长，也仍会立即回复到下降的状态。所以，当一国经济处于发展中阶段时，表达式组{（24），（25），（26）}和表达式组{（27），（28），（29）}中的一个应被采用，三种要素的增长率可能都比较高，总产出增长率根据方程（33）也相应较高。但随着经济的不断发展，各种要素的最优增长率均呈现下降趋势，最优总产出增长率也相应下降，一味强调经济的持续高增长必然因牺牲本期人民生活水平的代价过大而得不偿失。因此，可以得到如下政策建议。
发展中国家将高经济增长率作为政策目标是无可非议的，但增长率在长期中呈现下降
趋势是不可避免的。
发展技术的同时必须重视资本增长和劳动人员素质的提高，片面强调高科技产业会使
技术、资本和劳动的增长率比例关系失衡，造成国民收入的损失，并且不利于经济的长期发展。当技术、资本和劳动的增长率关系明显失衡时，国家必须采用有力措施予以调整，保证国民经济的协调发展。
国家在发展过程中吸引外国直接投资和引进外国先进技术可以缓解增长中的资本资
源和技术资源问题,有利于本国的长期发展，只要规模适度，这种引进就是有利的。资本和技术的引进会随经济的发展而逐渐减少，所以外国资本不会在长期中对本国经济形成垄断。
只要宏观调控无重大失误，资本的增长在一定程度上可以促进技术的进步，在设定技
术进步目标时应考虑到资本的促进作用，因而不宜使研发或引进技术的投入过高，以免造成浪费。
参考文献：
戴维∙罗默（美）《高级宏观经济学》[M]商务印书馆 1999年9月
高鸿业 《宏观经济学高级教程》 [M]人民大学出版社 1998年10月
D∙W∙乔根森（美）《生产率：第一卷 战后美国经济增长》[M] 中国发展出版社2001年1月
D∙W∙乔根森 (美)《生产率：第二卷 经济增长的国际比较》[M]中国发展出版社2001年1月
陶一桃 蔡增正 主编《西方经济学的问题演进》[M] 中央编译出版社 2002年12月
Jorgenson, Dale w., and Mieko Nishimizu. 1978. and Japanese Economic Growth, 1952-1974: An International Comparison. The Economic Journal (December):707-726
为保证足够的样本数据，有些时间段之间有1-2年的重叠，但跟整个时间段相比，这种重叠很小不会导致样本数据重复使用。
2002中国统计年鉴，世界货币基金组织网站
PAGE 14
PAGE 14
