2005年瑞典银行纪念诺贝尔经济学奖得主Robert J. Aumann教授在博弈论和经济理论方面♣的主要贡献概述 ∗董保民 Robert J. Aumann (1930－ ) ♣ 如果在分类上，博弈论不属于纯数学的话，那么本文所总结的Aumann博士的学术贡献主要是指Aumann博士在博弈论与经济理论方面的贡献，而不包括其在纯数学方面的贡献，对Aumann在纯数学方面的工作感兴趣的读者可以参阅Aumann（1956，1965，1969，1977）等。本文每章的篇幅和顺序与Aumann教授在相对应的领域所做贡献的重要程度并不直接相关，其原因是：1，作者认为有些方面的贡献已经被广为人知；2，某些领域，如重复博弈，在其他介绍性文献里，如瑞典皇家科学院的颁奖辞里，有更通俗和详尽的叙述。 ∗ 联系方式：电话：010－64493601，Email：baomindong@，对外经济贸易大学国际经济贸易学院，邮编：100029。文中对Aumann教授在博弈论和经济理论方面的贡献的评介仅是作者个人的理解，不代表任何机构的观点。
内 容 一、在理性方面的贡献 3 二、在合作博弈论方面的贡献 9 三、在非合作博弈论方面的贡献 13 四、在期望效用理论方面的贡献 14 五、在完全竞争经济方面的贡献 16 六、其他贡献 18 参考文献 19 2
一、在理性方面的贡献 1， 交互认知论（Interactive Epistemology） Aumann（1976）（Agreeing to Disagree）是经济学对理性理解的一个里程碑。这篇短文开创了研究人际间信念一致性的决策理论的先河。同时这篇文章提出的“共同知识”概念是非合作博弈论中最基础性的工作。这篇文章产生了极为深远的影响。文章的逻辑基点是把概率理论看成主观信念的一个一致性系统。文章中主要的问题是把两个信念系统的一致性解释为两个不同个体的信念。一致性一个最为简单的解释是：如果某个人把一个事件赋予0概率，那么一定没有人赋予它概率1。这个简单的一致性概念引发了在事件空间的0－1分割的研究。例如，可以引入一个知识的概念：一个个体“知道”一个事件，如果根据他的信念事件的补集具有0概率。 当然，如果传统统计学被认为是搜集不确定的知识的话，这种对知识的描述是完全不是传统统计学意义下的。但是，它对于理解信念一致性的最低要求的研究有着重要意义。 Aumann在这个文献里还修正了统计推断的概念。这篇文献对推断的理解是通过获取信息而把一些事件的概率设置为0，并成比例地修正其他事件的概率。 假设两个具有同样先验信念的人在获得一些信息后在上述意义下做统计推断。假定我们知道非零概率事件区域重叠。那么很容易地，在这个区域内的所有事件的后验概率也重叠。 Aumann的主要贡献在于他证明，即便知识的域不同，一些特定事件的后验概率可能重叠。其实这个粗略地讲也不难理解，即假如两个人各自有对于事件先验信念的分割，如果对先验信念的修正是相同的，那么这两个分割的和是相等的。 Aumann描述了这种共同的区域和不可削减的情形，并用“后验共同知识”（common knowledge of posterior）这个术语来表述。Aumann还指出，一致的后验信念是个体之间相互通信的结果。那么，可以证明，此时一个人对于另一个人的信念的信念就很重要了。 在金融学领域里，这种理性的例证就是即便人们有不同的信息片断，但其中具有相同先验信念的人不会进行交易。更具体地说，就是具有不同信息集的人不会产生交易，只要他们的先验信念相同并且其行动是共同知识。这篇文献本身还极大地促进了我们今天所知道的“交互认知论”（interactive epistemology）。 在后续的工作中，Aumann（1999I）总结了正式的交互认知论中关于知识的概念。他区分了直接语义（semantic）的知识和语义衍生的（syntactic）知识。Aumann在此主张经济学家使用语义衍生方法，即通过严格定义的造句法所造出的句子里所包含的知识。因为Aumann认为直接语义法并不清晰明了，而衍生语义法无论是在知识函数、信息函数、信息分割、知识算子，以及知识普遍域（knowledge universal fields）等五个对知识的形式化方法上都比直接语义法更为规范（canonical）。Aumann用交互认知论的方法分析了二者之间的关系，并指出二者在某种含义上的等价性。这篇文章的出发点是基于迄今为止的博弈论和经济学文献中压倒性地对使用直接语义方法的不满。伴随产生的一个重要问题就是，是否、在什么意义下、以及为什么知识空间和分割可以被所有参与人视为共有？这些问题在语义衍生法 3
里可以给出规范的答案。换句话说，Aumann（1999I）认为语义衍生法更适用于博弈论理论家和经济学家。 与Aumann（1999I）伴随的姊妹篇，Aumann（1999II）在知识的基础上加入概率和信念的概念，并讨论了其关系。同样地，概率和信念也可以应用到语义衍生法中，只是表述更α为复杂，如kpe的含义是“j知道i知道j知道e的概率至少是α”；相对应地，在没有概ji率时，符号KKE表示“j知道i知道E”。直接语义法更为方便因此也广为应用，但是在概ji念上来讲，它是不直观的。经常产生的问题有，参与人对形式本身知道多少？每个人知道其他人的主观概率分割么？更进一步，每个人知道其他人的对每个状态ω对应的主观概率函数吗？如果是，那么这些知识从哪里来的？Aumann表明，使用语义衍生法能更清楚地区分知识、信念、概率等概念。同样地，该文回答了是否和在什么意义下空间、分割和概率分布被参与人共同了解。 Aumann（1995a）公式化并证明，如果在一个完美信息博弈里，参与人对理性有共同知识，那么逆向归纳的均衡结果就可以达到。即，理性的共同知识（Common Knowledge of Rationality，CKR）是逆向归纳的充分条件。此处的理性含义非常明晰，就是指参与人是“习性上”的（habitual）支付最大化者，即在任一顶点，他不会在明知的前提下继续执行一个导致低于其他策略支付的策略。但是，Aumann承认，CKR是一个很严格的要求，在实践中很少能够遇到，如果CKR不满足，那么逆向归纳不仅可能是不合理和不聪明的，并且有可能还是不理性的！因此，Aumann指出，尽管CKR可以保证逆向归纳结果，但是他并不能保证满足CKR。 在随后的一篇短文当中，Aumann（1998a）证明，在Rosenthal的蜈蚣博弈（centipede game）中，如果从博弈一开始，命题A就是一个共同知识的话，那么传统的逆向归纳结果将出现，即第一个参与人第一步就选择向下，博弈结束。其中命题A是：参与人仅在他们实际到达的顶点进行理性选择。 在随后的综述性文献中，Aumann and Heifetz（2002）认为，虽然Harsanyi转换拯救了不完全信息博弈的不可分析性，但是语义衍生方法仍然更加适于博弈论学者在研究时使用。 1980年代后期以来，交互认知论的文献得到了发展。其中一个很重要的课题就是什么样的认知条件会导致Nash均衡结果。Aumann（1995b）很清楚地回答了这个问题。Aumann认为，混合策略不仅是有意识的随机化战略，而且是对其他参与人的推测的表现。尽管Aumann（1976）提出的共同知识概念对于博弈论研究的规范化有着重要意义，但Aumann（1995b）的分析表明，共同知识在刻画Nash均衡时只起到很小的作用，Aumann在文中坦言了这一点。这也表明Aumann在学术上不断进取，以及对自己敢于某种程度的自我否定的精神。Aumann进一步证明，当参与人数n=2时，关于支付函数、理性、推测的相互知识（mutual knowledge）是Nash均衡推测的充分条件。当n≥3并存在共同先验时，关于支付函数和理性的相互知识，加上推测的共同知识，是导致Nash均衡的充分条件。Aumann（1995b）还用几个例子说明了条件的必要性。相比而言，Tan and Werlang（1988）证明如果参与人的支付函数、推测和理性都是共同知识的话，Nash均衡可以实现。Aumann（1995b） 4
相对于Tan and Werlang（1988）是一个理论上的精练因为前者假定相互知识而后者要求共同知识。 Aumann近期的一个关于交互认知理论的贡献，Aumann and Hart（2003）重新审视了博弈论学者经常下意识地使用但对其研究相对忽视的廉价磋商（cheap talk）。廉价磋商是指没有媒体中介的、非承诺约束的、与支付无关的简单对话。廉价磋商的存在是可以实现Pareto改进的，如性别战博弈中有了双方的廉价磋商，Pareto优的Nash均衡就可以实现。因此，在性别战中我们看到均衡得到了精练。这篇文章考察相反的问题，即廉价磋商的存在如何使得均衡得以扩展以及何种扩展。将Aumann and Maschler（1995）关于重复博弈的分析应用到长廉价磋商，这篇文献表明，即使一方比其他参与人拥有更好的信息，长的廉价磋商也比一个单独的消息交换Pareto更优。作为比较，在完全信息情形下（即其中一个参与人只有一个类型），一般的廉价磋商导致相关均衡（Aumann（1974））而长廉价磋商只导致加权平均Nash均衡，后者是更小的集。在不完全信息博弈里，通讯均衡是由有限个代表激励兼容条件的不等式刻画的。因为该文改变了廉价磋商只能精练某些特定的均衡的传统错误观念，这个文献对于经济学家理解合作或冲突形成的实质有着重要的意义。 2， 贝叶斯理性（Bayesian rationality）： 其含义简单地说就是每个人根据他们的信念最大化自己的效用。在单个人决策当中，贝叶斯理性的含义是容易理解的，但是在博弈当中，该有什么含义呢？Aumann（1987）证明贝叶斯理性在博弈当中，恰恰对应的是“相关均衡”（Correlated Equilibrium）。相关均衡的概念是Aumann（1974）提出来的。在非合作博弈当中，如果参与人可以通过模型通信渠道交换私人信息或者发信号，则产生的均衡就是相关均衡。如果假定这些信号是统计独立的，产生的均衡则是Nash均衡。 3， 有限理性（Bounded Rationality） 在Aumann的近期文献中，甚至包括2005的工作论文，Aumann继续对关于理性的问题做进一步的深入研究，如Aumann（1997）（Rationality and Bounded Rationality），（1999I），（1999II），（1998a），（1998b），（1995a），（1995b），Aumann and Hart（2003）（Long Cheap Talk），（2005）（Conditioning and the sure-thing principle）等。在Aumann（1995a，1995b）中，Aumann研究了关于理性的基础性的问题，即实现特点的Nash均衡中需要的理性和关于理性的知识是什么？与多数经济学家想当然的看法不同，这个问题的答案并不是简单的“理性的共同知识”。 在现实的经济行为当中，严格理性是一个过于复杂而苛刻的条件，因此以Simon为代表的经济学家主张采用有限理性（bounded rationality）来替代严格理性。在交互式环境里，Aumann表明，一个微量的非理性会导致均衡结果的大不一致。例如，在一次博弈里不可能 5
出现的合作结果，在重复博弈里可以出现，并且可以解决Selten等人提出的“蜈蚣博弈”中的逆向归纳悖论。 Aumann（1997）总结了理性和有限理性的区别。遵循严格理性的经济分析遇到困难的原因可能有：（1），经验甚至自身的例子告诉我们，人们甚至在单人决策时也并不是扫描所有的可选集然后有意识地选择一个最大化策略；（2），这些最大化策略的寻找和实施往往是很难的；（3），实验和测验表明，人们在做决策时并不遵守一些基本的假设；（4），既便排除假设的因素，严格理性的分析往往不能解释现实；（5），严格理性有时令人感觉并不合理。Aumann从演化博弈论、“法则理性”和“行动理性”、扰动和重复博弈、关于理性的共同知识的缺乏等方面系统阐述了Simon提出的有限理性概念的涵义。Aumann（1997）还提出一个开放问题，我们所看到的有限理性所暗含的绝对最大化标准并不相同，但是这些标准是如何产生的呢？ 4， 不完美回忆（Imperfect Recall） 在提高博弈论对现实的解释力的一系列努力当中，不完美回忆（imperfect recall）假设的提出是一个重要的贡献。在一个被Aumann称之为具有煽动性的例子中，Piccione and Rubinstein（P & R 1997）运用一个“心不在焉的司机”（absent-minded driver）模型说明“计划阶段”和“动作阶段”的决策有可能导致悖论或者不一致。 图1. 心不在焉的司机 如图所示的例子中，一个心不在焉的司机记不清自己是否已经过了一个路口X或Y。在P & R中，令α为司机通过一个路口时当前路口为X的概率，令p和q分别为为通过当前路口和通过其他路口时选择继续的概率。P & R固定α，最大化动作阶段的支付，然后令p=q，并同时最大化。Aumann, Hart and Perry（1997a）指出，令p=q是违反时间和理性 6
规则的，因为当司机通过一个路口时，他并不能决定在其他路口的决策。另外，在逻辑上，如果p=q成立，即司机可以控制在其他路口的概率，则α取决于q，α就不能在最大化问题中令其固定。在定义了计划最优和动作最优后，Aumann, Hart and Perry (1997a)用令人信服的方法证明，心不在焉的司机并不存在动态不一致性。 图2. 健忘的乘客 在一个姊妹篇文献里，Aumann, Hart and Perry（1997b）讨论了图2所示的健忘的乘客问题。一个心不在焉并且健忘的乘客坐上了一个随机转弯的汽车，乘客不能操控汽车，也记不清到了哪一站。在开始（Start）点，乘客到达C点的概率为1/4，但到了X点就变成了1/3（因为当到达X点时，乘客意识到他要么在X，要么在Y，但他在X的概率是在Y的两倍，因为他通过X点的概率为1，而通过Y的概率为1/2）。但是，从开始点到X，乘客没有收到新的信息，也没有新的信号。在开始点，他也知道他将以概率1通过X点，但为什么到了X事情就变了样？这是很奇怪的。 如果我们设计一个彩票，它的面值是$30，如果到达C就获得$100，其他点没有奖励，那么在开始点，这个彩票的净收益是$－5，而到了X点，就是$，这样，一个理性的乘客愿意在X点购买这个彩票而在开始点会拒绝购买。但实质上，从开始点到X并没有不确定性存在，所以造出这种现象到底是为什么？ 其原因就是X点和Y混在了一起，而开始点不是。Aumann, Hart and Perry（1997b）表明，当存在不完美回忆和心不在焉的情况时，在某些场合的确会导致实质非常相似的决策点上的决策差异，但和动态不一致不是一个概念。因此，Aumann等人纠正了对于具有不完美 7
回忆的博弈可能存在动态不一致的错误概念。 在实际生活中，有很多情形可以用不完美回忆博弈来刻画，而以上的文献对于我们了解此类博弈至关重要。 8
二、 合作博弈论 1， 效用不可转移联盟博弈（NTU games） Aumann把可转移效用联盟博弈（TU games）扩展到了效用不可转移联盟博弈（NTU games）。Aumann（1960）谨慎地提出了效用不可转移联盟博弈，Aumann（1961）给出了效用不可转移联盟博弈中核的概念和刻画。Aumann（1967）提供了一个效用不可转移联盟博弈的综述。Aumann（1985）公理化了NTU博弈，并证明惟一的值对应是Shapley值对应。Aumann的一系列文献对于NTU博弈的开创和研究有着重要的意义（Aumann and Maschler（1985））。 2， 基于成本的定价（Aumann－Shapley价格）： 为了纪念Aumann和Shapley在合作博弈论方面的研究对基于成本的定价所产生的影响，博弈论界把由Billera and Heath（1982），Mirman and Tauman（1982）等证明的定价方法称之为Aumann－Shapley价格。 在经济学里，有许多问题不是通过市场出清，而是基于成本的定价完成的，例如： z 生产多个产品的企业的定价问题； z 电话公司通过对不同的通话类型定价以分配交换设备和线路的成本； z 规制一个自然垄断企业的定价； z 规制者因为促进竞争而对行业内的基础设施（essential facility）定价； z 民航局对各种机型起降费用的制定； z 大学在不同的院系里分摊公共成本； z 最终用户支付电力、自来水等公共产品的价格； z 几个村落共同分摊一个灌溉系统的成本； 传统的经济学往往建议使用Ramsey定价，它是一种基于考虑需求对于产品成本变化的响应的定价方法。但是Ramsey定价的一个致命缺点是它对于需求弹性高度敏感，而需求弹性在实践中并不被经济学家或规制者所精确地测量到。但是，纯粹基于成本的定价可以避免这个问题，其中一个诱人的定价方法就是Aumann-Shapley定价。 Aumann-Shapley定价（Billera and Heath（1982），Mirman and Tauman（1982））：存在这样一个成本分摊方法f，它满足预算平衡、可加性、弱加总不变（weakly aggregation invariance）和非负性，它可以表达为：对于所有参与人i，有 9
*∂tq1()* p=fC,q=dt ()ii∫0∂qi其中0≤t≤1。 其中价格对于成本增量的可加性，以及非负性都易于理解，而弱加总不变性是指，对**于任何成本C,C'及量q，有：对于所有q≤q，Cq,q,...,q=C'λq都意味着()()12n∑ii*fC,q=λfC,λq。我们之所以把f称之为Aumann-Shapley价格，是因为它的()()∑iii原理来自Aumann and Shapley（1974）中关于非原子博弈的值。可以看出，Aumann－Shapley价格是每个产品的边际成本对所有向量的“平均”。 注意到边际成本满足以上定理中的除了预算平衡以外的所有要求，所以，在不变规模回报情形下，Aumann－Shapley价格和边际价格是一致的。 现在，Aumann－Shapley定价和其他几种合作博弈定价方法如Shapley－Shubik定价等已经逐步被应用到基于成本的定价当中来。例如，在某些规制放松步伐较快的地区和国家，反映在最终电价中的电力市场中传输线路的损耗分摊、拥堵成本分摊等；大学里内部电话定价等等。 3， 合作博弈论的核心内容――值和解： Aumann除了开创NTU博弈并公理化，在TU博弈方面也做出了不可或缺的贡献。Aumann and Maschle（r1964）在TU博弈框架下提出了“提议”（proposal）、“反对”（objection）、“反反对”（counterobjection）等概念，并基于以上概念提出了“议价集”（Bargaining Set）概念。由此而直接导致了陆续提出的“核仁”（Kernel）（Davis and Maschler（1965））和“仁”（Nucleolus）（Schmeidler（1969））等合作博弈理论中极其重要的解概念。 而议价集本身就是一个解，在合作博弈论中有着重要的作用，因为它对于理解核仁和仁具有承上启下的作用。简单地说，议价集就是一个没有合理的反对（justified objections）的解。Aumann的学生Peleg（1963，1967）用不动点定理证明了议价集的存在性。Maschler and Peleg（1966）用一个完全不同的代数方法也证明了其存在性。Schmeidler（1969）发现了一个简单的证明方法，这是合作博弈论教科书和讲义里经常使用的证明方法。 非常明显地，Aumann对议价集的开创性贡献直接引发了以下几个主要贡献： z 基于“超出额”（excess）而定义的“核仁”； z 定理（Davis and Maschler（1965））：核仁是议价集的一个子集。 z 根据欧式空间里的字典编纂式排序（lexicographic order）定义的“仁”； z 定理（Schmeidler（1969））：仁是非空的；仁是核仁的子集；仁仅包含一个点。 z 定理（Maschler and Peleg（1966））：如果核仁和核（Core）都是非空的，那么它们的交集也是非空的。 10
1其中，特别地，由于仁仅包含一个点，而且可以证明，它是核的几何中心。相比之下，Shapley值虽然简单易求，但可能不在核的中心，甚至在核非空的情况下都不一定在核里，所以，仁的这个诱人的特性使得仁在合作博弈论里的地位特别重要。总之，虽然在TU博弈里，以Aumann命名的定理或值很少，但他的贡献是非常显著的。 4, 关于非原子博弈中解（值）的特性的刻画： 1953年标志着博弈论发展的里程碑，这一年，Shapley用博弈空间的线性向量空间结构的公理化方法证明了原子联盟博弈中解的存在性和唯一性，并给出了解，这就是著名的Shapley值。同时，Shapley断言了存在满足另外一类公平特性的值即所谓的“随机顺序值”（Random Order Value）。在这种方法中，参与人的获得是他在参与人随机排序情形下的边际贡献。在原子联盟博弈里，Shapley证明这两种方法给出的公式是一致的。 Aumann and Shapley（1974）把公理化值的概念推广到非原子博弈中，即博弈参与人是2一个连续统的情形。他们证明，在pNA和bv’NA两类博弈中，公理化的值算子存在且唯一。他们也给出了在pNA博弈中的“对角线公式”。在试图把随机顺序值推广到连续统情形时，他们发现了一个不可能定理，我们把这个称之为Aumann－Shapley不可能原则的定理简单陈述如下： Aumann－Shapley不可能原则（Aumann and Shapley（1974））：不存在一个关于参与人排序的度量结构，以使得特定的pNA博弈中有对应的一个随机顺序值。 这项开创性的研究引发了更多的博弈论学者来研究非原子博弈中解的特性。一个方向是寻找公理化的值（可能是惟一的）存在的更大的空间。事实上，Aumann and Shapley（1974）证明ASYMP空间是解能够存在的最大空间。在经济学里，pNA博弈是最有价值的，因为它包括了平滑市场博弈和公平的成本分摊机制等问题，但另一方面，有些博弈甚至不属于ASYMP博弈。为了解决这个问题，Mertens（1988）引入了一个更大的空间，即Mertens空间。这个空间包括了以上的空间，也包括非平滑博弈。与Aumann and Shapley（1974）断言的不一样，Mertens（1988）还利用对角线公式的扩展证明了在Mertens空间里解的存在性。 另一线路的研究的思路则是通过公理的细微变动寻找满足存在性的解。因为Aumann and Shapley（1974）已经证明了不是在所有的有限变动博弈中存在对称公理值算子，那么随后的工作就是把对称公理限定在更合理的参与人子群里。这里，有些相关工作已经有了初步结果，如，Raut（1995，1997）已经证明了一个所谓的关于Aumann－Shapley不可能原则 的局部可能定理。更具体地，在一个被称之为NBV空间里，存在一个惟一的Θ对称随机顺 1 当核非空时，仁是核的中心，而当核是空时，仁是反核的中心。 2 关于这些博弈的分类的符号，读者可参阅原文或本小节所涉及的文献。这些符号是该类文献中通用的。粗略地说，pNA博弈是定义在原博弈上的线性概率空间的闭集上的，而bv’NA则是在前者之上加入了连续的有限变动。 11
序值算子。这个NBV空间与以往空间的关系是，它包括有限变动博弈中大多数博弈，和一些甚至不属于ASYMP空间的非平滑博弈。 但是，有些问题至今还没有找到满意的答案。例如，是否可以构造出一个解算子，它满足基本的公理，但又能打破Aumann－Shapley不可能原则？还有些更初步的问题，如G对称随机顺序值算子是否能够打破Aumann－Shapley不可能原则？至今也没有寻找到答案。 12
三、 非合作博弈论 1，重复博弈： 根据瑞典皇家科学院的官方文件，Aumann此次获得瑞典银行纪念诺贝尔经济学奖的主要原因，是他在长期关系（重复博弈）里的贡献。Aumann（1959）给出了一个在超级博弈下的均衡概念：强均衡（strong equilibrium）。他还证明强均衡就是β−核。从均衡范围的角3度来讲，这项工作是均衡的精练。1970－80年代是博弈论学家研究重复博弈的高潮时期，Aumann等人的研究表明，如果把静态均衡结果为不合作的博弈重复无穷次或有限次，合作的结果可能出现。关于这方面的更详细介绍，请参见诺贝尔奖官方网站 （ 2，相关均衡： Aumann另一个在非合作博弈里的重要贡献是相关均衡（Correlated Equilibrium）。Aumann（1974）提出了这个概念，Aumann（1987）进一步证明Nash均衡是参与人交换的私人信息或者信号在统计上独立时相关均衡的一个特例。 以上两个在非合作博弈论的贡献非常重要，但是因为是广为人知的，因此本文不再赘述。 3 而相关均衡则是相对于Nash均衡的扩展。 13
四、 期望效用理论 Anscombe and Aumann（1963）（简称AA）构建了一个介于vNM和Savage框架之间4的期望效用理论。AA认为，在某些情况下，客观概率毫无意义，例如赛马赌博。如果我们关心的是主观概率环境下的个人效用最大化问题，那么我们应该需要一个什么样的效用定理？我们想要的定理的雏形应该是这样的：在满足一定的（比较合理的，能够刻画个人决策的特点的）条件下，存在一个定义在“赛马”的主观概率μ，和定义在彩票奖励的效用函数v，这些概率和效用函数应该能从以下意义上表述这个人对行动的偏好：即他在选择行动时是最大化他的主观期望效用的，并且，μ是惟一的，v也应该基本上是惟一的。 实际上，效用函数定理中最关键的是所需要满足的条件。AA在这里的含义是很精巧的：AA关注的是能够满足主观概率的关于对“行动的轮盘赌彩票”的偏好的条件，而不是能够满足主观概率的关于对“行动”的偏好的条件。这一点可以通过简单的例子来说明：如果存在4种行动：a=[b,b],a'=[b,w],a'=[w,b],a'=[w,w]，有两种彩票： 1111q=a+a''',q'=a'+a''。大多数人应该如何在这两种彩票中间选择？ 2222应该说大多数人对于q和q’是无差异的。q的含义是先掷一次硬币，如果是正面，就获得彩票a，如果是反面，就获得彩票a’’’，那么第一匹马赢你就获得b，第二匹马赢你就获11得w，如果我们把虚拟的顺序反过来，先看哪一匹马赢，如果1赢，那么你面临彩票b+w，2211如果2赢，你面临b+w，然后再掷硬币，如果是正面就得到b，反之w。对q’的分析22会发现其实和q一样，所以顺序是无关的。这样，顺序无关公理就成为AA定理中的一个条件。 另外，AA效用理论还要求一个“确定性原则”（Sure-thing principle）。下面我们写出确定性原则的简化形式： 确定性原则（Sure-thing principle）：对于所有的两个概率彩票p,p'∈P,m∈M,以及赛马h∈H，p;p'的充要条件是m,...,m,p,m,...,m;m,...,m,p',m,...,m[][]1h−1h+1H1h−1h+1H成立。其中M是彩票奖金的集合。 AA证明了存在一个惟一的期望效用函数来表达主观概率偏好。这个命题通常被称为Anscombe－Aumann定理。因为期望效用是几乎所有经济学研究的起点，我们把定理简单地描述如下： Anscombe-Aumann定理（Anscombe and Aumann（1963））：如果个人的偏好满足独立性公 4轮盘赌是典型的客观概率赌博。 14
理、连续性公理、确定性原则，和顺序独立公理，那么存在一个主观概率μ和效用函数v以使得p;p'的充要条件是μhqzvz>μhq'zvz。 ()()()()()()()()∑h∑zh∑h∑zhAnscombe and Aumann（1963）是期望效用理论的一个重要贡献，它帮助经济学家进一步理解主观概率下的偏好与效用，其重要性在保险、博弈论，以及经济学各个分支博弈不言而喻。 15
五、 完全竞争经济 如何准确刻画完全竞争经济是经济学中最基本的问题之一。Aumann最先引入了连续统概念（Aumann（1964））。Aumann指出，连续统可以被看作是一个对存在许多但是有限个粒子（或经济个体，策略，或可能的价格）的“真实”情形的近似。Aumann证明在连续统类型的交易人的市场中，核和竞争配置重合。 此外，Aumann还获得了另一个完全竞争经济中竞争分配和值分配之间等价性的结果（Aumann（1975））。这一个结果是比核与竞争配置等价结果更出乎意料的，因为值，从定义来讲，并没有考虑稳定性和均衡。因此，这一结果的意义不仅是定理命题本身，而使很多经济学家意识到博弈论在解释经济现象时的普遍性。 作为这一结果的后续，Aumann（1973）应用包括一个或几个大的参与人的连续统模型考察了垄断和寡头竞争。Aumann还使用类似的框架研究了税收和公共产品等问题（Aumann（1977a，1977b，1977c，1983）。由于Aumann和Hildenbrand（Hildenbrand（1974））等人在这方面的开创性贡献，后来的文献把有策略的个体连续统经济称之为Aumann－Hildenbrand经济。 16
六、 其他贡献 作为一个极为虔诚的犹太教徒，Aumann一直没有放弃用现代逻辑学、认知论等研究犹太教义。例如，Aumann（2003b）就指出，古巴比伦犹太教法典就对现代的风险承担的概念有深刻的理解。 作为一个深刻的思想家，Aumann除了自己努力进行各个领域的研究以外，还诲人不倦，培养出了一大批世界顶尖的经济学家，如Hart，Kreps，Schmeidler，Zamir，Kohlberg，Neyman，Tauman，Samet，Peleg等做出杰出贡献的经济学家。除了指导博士生以外，他还在世界各地的大学亲自讲授博弈论课程，如从1970年代就在Stanford大学讲授博弈论。 Aumann还积极致力于推动博弈论学者间的交流以及创建年轻学者学术发表的平台。Aumann提倡学术合作，他本人的文章有很多就是和同行合作完成的。他总是积极参加博弈论领域内的各种学术活动。他曾告诫博弈论领域的年轻学者，要尽量发表（投出）尽可能多的文章，而不要仅仅投那些数学上很优美但思想贫乏的文章。作为IJGT和GER的主编，他也一直尽力贯彻这个原则。Aumann也曾努力试图打破经济学刊物审稿周期长，文章过于八股化而不利于年轻学者发表的现状：他曾经提议主办一个电子刊物，可以接收短的，未完全成熟的文章，以鼓励和激励年轻学者不断钻研。 不断修正已有文献中的谬误，即否定与自我否定，是任何科学进步的动力。Aumann就善于发现，而且勇于指出文献中的错误，包括他本人的已有研究中的谬误。Aumann的很多重要的文献实际上都是指出已有文献的错误，或者基于对已有文献的漏洞的不满而产生的。同时，Aumann懂得在批评错误的时候，充分肯定已有文献的价值，尊重对方人格。Aumann教授这种就事不就人的学术风范赢得了学术界的钦佩，被他指出错误的作者在随后与他的通讯都是积极、友善、富于建设性的。 关于Aumann本人的学习，研究和人生历程的更多内容，请有兴趣的读者参阅S. Hart所做的Aumann访谈录全文（ 17
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