不同时期
比 较
动 态
相对数
强 度
相对数
不同现象
比较
不同总体
比较
比 较
相对数
同一总体中
部分与部分
比 较
部分与总体
比 较
实际与计划
比 较
比 例
相对数
结 构
相对数
计划完成
相对数
同一时期比较
同类现象比较
四、平均指标
1、算术平均数
2、调和平均数
3、几何平均数
4、中位数
5、 众数
四、平均指标
1、算术平均数
（1）基本公式
例： 平均工资=工资总额/职工人数
平均成本=总成本/产量
（2）算术平均数的种类
简单算术平均数——未分组时
加权算术平均数——当数据已分组，形成了变量数列
简单算术平均数——未分组时
5名学生的考试成绩分别为（分）：
70、80、80、85、85，
他们的平均成绩是多少？
（70+80+80+85+85）/5=80（分）
加权算术平均数
——当数据已分组，形成了变量数列时，有几个问题需要解决：
(1)采用什么公式计算？
(2)什么是权数，它有几种形式，如何正确选择权数？
(3)单项变量数列与组距数列的计算方法一致吗？
加权算术平均数
——当数据已分组，形成了变量数列：
5
合计
f
1
2
2
70
80
85
人数
成绩
x
平均成绩=（70+80+85）/3 ？
平均成绩=所有人的成绩总和/总人数
=（70+80*2+85*2）/5=80
权数（权重） （Weighted）
是分布数列中的频数或频率。
对平均数有权衡轻重（影响）作用
权数的两种形式——绝对数（次数）f；
——相对数（比重）
当权数是绝对数（次数）f时，加权算术平均数的计算公式为：
计算算术平均数
850
合 计
70
100
380
150
100
10
11
12
13
14
工人人数（人）
工人日产量（件）
计算算术平均数
9710
800
合 计
700
1100
4560
1950
1400
70
100
380
150
100
10
11
12
13
14
工人人数（人）
工人日产量（件）
不符合基本公式，不是5个工人，而是800个工人；工人人总产量不是60件，而是9710件
错误的计算：
加权平均数
（件）
当权数是相对数（比重） 时，加权算术平均数的计算公式为：
计算算术平均数
合 计
10
11
12
13
14
工人人数比重（%）
工人日产量（件）
计算算术平均数
合 计
10
11
12
13
14
工人人数比重（%）
工人日产量（件）
次数和比重这两种权数形式哪种更直接体现权数的实质？
例
(1)
(2)
(3)
X
4
5
6
合计
频数
频率(%)
10
20
10
40
X
4
5
6
合计
频数
频率(%)
20
40
20
80
X
4
5
6
合计
频数
频率(%)
20
10
10
40
=5
=5
=
次数是如何影响平均数的？
例
(1)
(2)
(3)
X
4
5
6
合计
频数
频率(%)
10
20
10
40
X
4
5
6
合计
频数
频率(%)
10
10
20
40
X
4
5
6
合计
频数
频率(%)
20
10
10
40
=5
=
=
比重权数更能够直接体现权数的实质：
100
50
5
合计
10
20
20
人数f2
人数比重F3
人数f 1
10
40
50
1
2
2
70
80
85
成绩
x
组距数列如何计算算术平均数？
xf
x
54
合计
2
15
19
15
3
60以下
60—70
70—80
80—90
90—100
学生人数（人）f
按成绩分组（分）
4070
110
975
1425
1275
285
xf
55
65
75
85
95
x
54
合计
2
15
19
15
3
60以下
60—70
70—80
80—90
90—100
学生人数（人）f
按成绩分组（分）
4070
110
975
1425
1275
285
xf
55
65
75
85
95
x
54
合计
2
15
19
15
3
60以下
60—70
70—80
80—90
90—100
学生人数（人）f
按成绩分组（分）
根据组距数列计算总平均数的方法
——加权算术平均
（分）
X——各组的组中值（代表组平均水平）
假定条件：组内均匀分布或对称分布
一般地，计算结果是近似值。
月工资
组中值
职工人数
500以下
450
208
93600
500-600
550
314
172700
600-700
650
382
248300
700-800
750
456
342000
800-900
850
305
259250
900-1000
950
237
225150
1000-1100
1050
78
81900
1100以上
1150
20
23000
合计
------
2000
1445900
某企业职工按月工资分组
元
如果所给资料的权数不是唯一的，如何正确选择权数？
如何选择合适的权数
企业1999某月份按工人劳动生产率高低分组的有关资料如下，求该企业工人平均劳动生产率
解：
根据公式
合计
50
2
95
90以上
30
2
85
80------90
70
8
75
70------80
100
5
65
60------70
150
3
55
50------60
生产工人总数
生产班组
x
按劳动生产率（件/每人）
权数？
(4) 算术平均数的特点和数学性质
特点：
算术平均数受变量值和变量值出现次数的共同影响；
算术平均数靠近出现次数最多的变量值；
算术平均数受极端变量值的影响；
数学性质：
变量值与算术平均数的离差和为零。
变量值与算术平均数的离差平方和最小
证明：设
2、调和平均数（倒数平均数）
常作为加权算术平均数的变形公式使用。仍是总体的标志总量与总体单位总量的对比，仅仅是因为资料的不同，需要将算术平均数变形。
当缺乏分子数据时，采用算术平均数；
当缺乏分母数据时，采用调和平均数。
某供销社分三批收购某种农副产品，其收购单价及各批收购额如下,计算平均收购价格。
批次
单价（元）
收购额
1
6000
2
12000
3
2150
合计
——
20150
9710
合计
700
1100
4560
1950
1400
10
11
12
13
14
工人日总产量（件）
m
工人日产量（件）
x
3、几何平均数
例 某企业生产某种产品要经过三道工序，各工序的合格品率分别为95%、96%和98%。
该产品三道工序的平均合格品率为多少？
三道工序的平均合格品率为%.
思考：三道工序的废品率分别为5％，4％和2％，则平均废品率为多少？
平均废品率=1 - 平均合格率
几何平均数通常用在总量等于各分量乘积的情形。比如，求某些平均比率，平均发展速度等。
例1
某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的不合格率分别为5%、8%、10%、15% 、 20%，整个流水线产品合格率？
例2
某金融机够以复利方式计息。近12年来的年利率有4年为3%、 2年为5% 、 2年为8%、3年为10%、 1年为15%。则12年的平均年利率？
平均年利率=%-100%=%
4、中位数（Median)
中位数是根据变量值的位置来确定的平均数。将变量值按大小顺序排序，处于中间位置的变量值（或数据）即中位数，用表示。由于中位数是位置代表值，所以不会受极端值的影响，具有较高的稳健性。
Me
50%
50%
中位数位置的确定
未分组数据：
组距数列数据：
中位数位置
N
2
中位数位置=
未分组数据的中位数
原始数据: 24 22 21 26 20
排 序: 20 21 22 24 26
位 置: 1 2 3 4 5
位置
n+1
2
5+1
2
3
中位数
22
原始数据: 10 5 9 12 6 8
排 序: 5 6 8 9 10 12
位 置: 1 2 3 4 5 6
位置
n+1
2
6+1
2
中位数
8 + 9
2
单项变量分配数列的中位数确定
2000年某地区家庭按儿童数分组表
100
97
90
75
55
5
向上
累计
100
合计
3
5
7
4
15
3
20
2
50
1
5
0
家庭数
家庭儿童数
在组距数列中确定中位数：
确定中位数的位置k=N/2和所在组；
计算向上累计次数；
用公式确定中位数
其中
为中位数组的下限；
为总次数；
为中位数组前一组的向上累计次数；
为中位数组的次数；
为中位数组的组距。
该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布
2
17
36
51
54
向上累计
54
合计
2
15
19
15
3
60以下
60—70
70—80
80—90
90—100
学生人数
（人）
按成绩分组（分）
某公司职工按月工资分组
月工资
职工人数（人）
向上累计次数（人）
500以下
208
208
500-600
314
522
600-700
382
904
700-800
456
1360
800-900
305
1665
900-1000
237
1902
1000-1100
78
1980
1100以上
20
2000
合计
2000
—
中位数具有不受极端变量值的影响的特点，比算术平均数稳健。
5、 众数（Mode)
众数是指总体中出现次数最多或频率最大的变量值（数据），用 Mo 表示。
众数也是一种位置平均数，且也不受极端值的影响。
集中趋势的测度值之一
出现次数最多的变量值
不受极端值的影响
可能没有众数或有几个众数
单项变量分配数列的众数确定
2000年某地区家庭按儿童数分组表
100
合计
3
5
7
4
15
3
20
2
50
1
5
0
家庭数
家庭儿童数
组距数列的众数——
——众数的值与相邻两组频数的分布有关
该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布
Mo
相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数
相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算：
Mo
Mo
等距数列近似计算众数
——先确定众数所在组，然后确定众数。
54
合计
2
15
19
15
3
60以下
60—70
70—80
80—90
90—100
学生人数
（人）
按成绩分组（分）
中位数、众数和平均数的关系:
中位数、众数和平均数之间的数量关系决定于总体内次数分配的状况。
对称钟形分布情形下：
非对称左偏分布情形下：
非对称右偏分布情形下：
实例一：据某报刊报道，某地的一个村庄近几年来经济发展速度很快，全村106户农民家庭2000年户均年现金收入已经达到25000元左右，这对该地区来说是一个很高的收入水平。可是实地调查却发现，这个村106户家庭中，绝大多数家庭的年现金收入在3000—5000元之间，与周围的村庄并无多大的差别。但是，这个村里却有一户家庭，由于近几年来做收购生皮毛的生意，买卖十分兴隆，年均收入达到200万元以上。正因为如此，村干部在计算全村家庭收入时，户均现金收入一下子就达到了25000元左右。然而，不仅村里绝大多数村民对这种说法持否定态度，认为不能代表他们真实的收入水平，就连那户致富的村民也不以为然。
慎用和善用统计平均指标
梁秋生
（摘自《统计与决策》）
某车间有两个生产小组，某周5天的产量如下：
甲：171，172，172，172，173（件）
乙：220，190，170，150，130（件）
你从这两组数据能看不出什么？
某车间有两个生产小组，某周5天的产量如下：
甲：171，172，172，172，173（件）
乙：220，190，170，150，130（件）
两组的平均日产量均为172件。
平均日产量172件的代表性甲组比乙组好，为什么？
前面已学过总量指标、相对指标和平均指标,借助这些指标,我们对现象总体的规模、结构、比例和一般水平等有了认识。但这些指标不能反映总体各单位的差异情况,相反地它们却把各单位的差异抽象化，把各单位的差异给掩盖,为了说明总体中各单位标志之间的差异和分布变异情况我们又引进一个指标------变异指标---说明总体数量特征的另一个指标---------变异指标。
集中趋势(Central tendency)
——平均指标
一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度
测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值
不同类型的数据用不同的集中趋势测度值
选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定
离中趋势（差异程度）——变异指标
