第三章 生命表
生命表相关定义
生命表：反映在封闭人口的条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。
封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出人口。
生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。
ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx
nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生命表基本函数
(1)
(2)
(3)
生命表基本函数
npx： x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。
当n=1，简记为px 。
生命表基本函数
nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。
人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，x~x+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故
当n=1时，
生命表基本函数
：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。
当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。
Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。
在均匀分布假设下，
生命表基本函数
：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，
或x岁的人在x+n~x+n+1岁死亡的概率。
：表示x岁的人在x+n~x+n+m岁之间死亡的概率。
生存分布
一、新生儿的生存函数
二、x岁余寿的生存函数
三、死亡力
四、整值平均余寿与中值余寿
新生儿的生存函数
F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
新生儿的生存函数
生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积，
lx=l0s(x)
而s(x)曲线形状如下图所示，
x岁余寿的生存函数
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示
x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
x岁余寿的生存函数
考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了x岁 ，tqx实际是一个条件概率
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 ，以
概率的方式表示为：
整值剩余寿命
定义： 未来存活的完整年数，简记
概率函数
死亡力
定义： 的瞬时死亡率，简记
死亡力与生存函数的关系
死亡力
死亡力
实际上生命表x岁平均余寿
正是T(x)随机变量的期望值
死亡力
生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 0~1上的积分
生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在0~1上的积分
生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx+t在0~∞上的积分
死亡力
对于x岁期望剩余寿命 ，可以证明：
整值平均余寿与中值余寿
x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x)的期望值，以ex表示，
整值平均余寿与中值余寿
由于，
所以
整值平均余寿与中值余寿
由于
故，
在死亡均匀分布假设下，
故，
整值平均余寿与中值余寿
中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x岁的中值余寿，则
即，
非整数年龄存活函数的估计
死亡均匀分布假设
死亡力恒定假设
巴尔杜奇(Balducci) 假设
有关非整数年龄的假设
使用背景:
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况
基本原理:插值法
常用方法
均匀分布假定(线性插值)
常数死亡力假定(几何插值)
Balducci假定(调和插值)
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
死亡均匀分布假设
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
死亡力恒定假设
当假设死亡力在x~x+1上恒定时， (x为整数，0≤t≤1)，
由死亡力的定义，
死亡力恒定假设
若以
表示
，有
此时，
巴尔杜奇(Balducci)假设
以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设是当x为整数，0≤t≤1时，生存函数的倒数是t的线性函数，即
巴尔杜奇(Balducci)假设
（其中，0≤t≤1, 0≤y≤1, 0≤t+y≤1）
此时，
三种假定下的生命表函数
Ballucci
常数死亡力
均匀分布
函数
生命表的编制
一、生命表编制的一般方法
二、选择生命表
生命表编制的一般方法
时期生命表(假设同批人生命表)：采用假设同批人方法编制，描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平，反映了假定一批人按这一时期各年龄死亡水平度过一生时的生命过程。
Dx：某年龄x岁的死亡人数；
： x岁的平均人数，即年初x岁人数与年末x岁人数的平均数，有时也用年中人数代替。
生命表编制的一般方法
x岁的中心死亡率 （分年龄死亡率）为，
生命表分年龄中心死亡率 ：生命表分年龄死亡人数在分年龄生存人年数中的比例。
生命表编制的一般方法
在死亡均匀分布假设下，有，
变换后，
通常 与 非常接近，实际中常用 近似
选择生命表
选择生命表构造的原因
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。
需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失
选择生命表的使用
选择生命表函数关系
