第二章 消费者行为专题
第一章阐述了消费者行为的基本理论，这些理论已在许多方面得到发展，并且已被应用于包括一系列特定类型效用函数的最优行为。本章讨论这些发展和具体应用的部分内容。
本章第一节讨论产生可以估算的线性支出函数的效用函数。第二节定义可分的和可加的效用函数，并考察它们的特定性质。第三节的主题是齐次的和位似的效用函数的性质。第四节从价格和收入角度定义了效用函数，确定了效用函数和需求函数的进一步关系。第五节概述显示偏好理论，它是根据可以观测的消费者行为而得到的重要定理。第六节证明对于一组商品，如果他们的价格总是以相同比例变动，则他们可以当作一个单一的复合商品。消费者可从商品的消费中获得“消费者剩余”，因此第七节讨论消费者剩余的计量。第八节里，消费者行为理论被发展到不确定性条件下的选择。第九节把这种分析运用到了保险问题上。
线性支出系统
许多年来，经济理论家们分析了消费者的最优行为，计量经济学家们估算了消费者需求和支出的关系，以及这二者之间的一些联系。值得庆幸的是，理论与实际工作的距离已经缩小，一大批可用 于实际估算的理论型的正确范例业已建立。本节所论述的是一个例子。
考虑效用函数
U＝α1㏑（q1-γ1 ）+α2㏑（q2-γ2 ）
上式的定义域为 q1 >γ1 ,q2 >γ2 。γ可以解释为最低生活费用数量，是正的,α也是正的。运用正的单调变换（monotonhic transformation） U’＝U/（α1＋α2）,以得到
U’＝β1㏑（q1-γ1 ）+β 2㏑（q2－γ2 ）
系数β1和β 2（β1＋β 2＝1）叫做“分享“参数（share parameter）。
列出拉格朗日函数：
Z＝β1㏑（q1－γ1 ）＋β 2㏑（q2－γ2 ）＋λ(y－p1q1－p2q2)
且令它的一阶偏导数等于零：
（2－1－1）
可以证明二阶条件得到了满足，收入的边际效用在这个例子中是递减的。
为求最优数量，解（2－1－1），得需求函数：
（2－1－2）
通过（2―1－2）的第一个方程式乘以p1，第二个方程乘以p2，得支出函数
（2－1－3）
它在收入和价格上都是线性的，因而，适合于线性回归分析。
第二节 可分效用函数与加性效用函数
假定效用函数严格正则拟凹、光滑、递增。在这里和本章第三节，考虑满足某些新的一般假定的效用函数的性质。可分性是要考虑的第一个新假定。一个效用函数，如果可以写成下列（2－2－1）的形式，则它在其所有自变量上就是强可分的（strongly separable）：
(2－2－1 )
其中，F和fi都是增函数。U＝ln（q1α＋q2β＋q3γ）就是一例。一个效用函数，如果可以写成下列（2－2－2）的形式，那它就是强加性的（strongly additive）:
(2－2－2 )
其中，fi是递增的。可加性（additivity）是可分性的一种具体情形。U＝（q1α＋q2β＋q3γ）就是一例。任何效用函数，只要它单调变换后具有加性，则对于适用于加性函数的一切定理，它就可以看作是加性函数。函数U＝q1αq2是可分的，但并不呈现出加性。然而，它的对数变换（log transformation）F（U）＝αln q1＋ln q2是加性的。类似地，U＝ln（q1α＋q2β＋q3γ）的反对数（antilog）是强加性的。
对（2－2－1）关于qi 和 qj微分，再用其中的一个除以另一个，则
（2－2－3）
从（2－2－1）可知，一般来说，每种商品的边际效用取决于所有商品的数量。然而，（2－2－3）表明Qi和Qj之间的RCS仅仅取决于qi和 qj的数量。由此可推知，强可分性的假定，允许作一般情况下不可能进行的成对分析。
加性效用函数也具有这种性质，就是所有交叉偏导数等于零，即∂2/ ∂qi∂qj=0对于所有i ≠j，且在有两个变量的情况下，严格正则拟凹性条件就是f11f22＋f22f12<0。
一个效用函数，如果其他变量可以分成两（或更多）组（qi，…， qk）和（qk＋1，…qn），使下式成立，则它是弱可分性的（weakly separable）。
U=F[（qi，…， qk）+（qk＋1，…qn）]
如果能够使得下式成立，则是弱可加性的（weakly additive）
U= f1（qi，…， qk）+f2（qk＋1，…qn）
在这里，可分性意味着，同组内的变量对(pairs of variable)的RCS，不受组外变量数量的影响。加性意味着，不同组商品对（pairs of commodities）的交叉偏导数恒等于零。
第三节 齐次效用函数于位似效用函数
一个效用函数，如果
f(tqi，，…,t qn)＝tk f(qi，…， qn) （2－3－1）
其中，k是一个常数，t是使（tqi，…，t qn）在函数定义域内的任何正实数，则这个效用函数就k次齐次函数。k次齐次函数的偏导数，是（k－1）次的齐次函数。对（2－3－1）作关于qi的偏微分（见附录第二节）：
tf1(tqi，…，t qn)＝tk f1(qi，…， qn)
这样，Qi和Qj的RCS：
对于所有消费品的同比例变动来说，是不变的。如果消费者在两种消费组合之间是无差异的，则任何与它们具有相同倍数的其它组合之间，它将也是无差异的。
对于两个不同的效用函数，如果其中的一个函数是另一个的单调增函数，则对应于这两个不同效用函数的无差异曲线将是同一的。因而，齐次函数所展示的性质，由齐次函数的单值增函数的所有函数展示出来了。这种包括齐次函数在内的主要种类中效用函数，称为位似效用函数。如果效用函数是位似的，商品替代率将取决于相对的而不是绝对的商品数量。RCS方程的考察，可以表明一个具体效用函数是不是位似的。例如，U＝α－1/q1αq2不是一个齐次函数；然而，因为f1 /f2＝αq2/q1 ,所以，它是位似函数。
第四节 间接效用函数
一，一般效用函数：
U=f(q1、q2、…、qn) （2－4－1）
预算约束：
y=∑ni=1piqi （2－4－2）
由于需求函数对于收入和价格是零次齐次的，故可对所有商品的相对价格单纯型化：
1＝∑ni=1viqi， vi＝pi/y （2－4－3）
拉格朗日函数：
L=f(q1、q2、…、qn)+λ（1－∑ni=1viqi） （2－4－4）
最大化一阶条件：
fi-λvi=0，或fi=λvi i＝1，2，…，n （2－4－5）
1－∑ni=1viqi =0 （2－4－6）
由一阶条件可得普通需求函数：
qi＝Di(v1,v2,…,vn)， i＝1，2，…，n （2－4－7）
二，间接效用函数是以单纯型化的价格为自变量的效用函数
U=f[D1(v1,v2,…,vn)，D2(v1,v2,…,vn)，…，Dn(v1,v2,…,vn)]=g(v1,v2,…,vn) （2－4－8）
直接效用函数描述偏好独立于市场现象。间接效用函数反映市场价格对于效用最大化的影响。由反函数法则和一阶条件，可得：
j＝1，2，……，n （2－4－9）
其中第三个等式是由于（2－4－5）。（2－4－3）关于vj求偏微分，得：
j＝1，2，……，n （2－4－10）
这样（2－4－9）可以改写为：，即：
j＝1，2，……，n （2－4－11）
这是罗伊恒等式（Roy’ identity）。表明最优商品需求取决于间接效用函数的导数和拉格朗日乘数（即收入的边际效用）。把（2－4－11）代入（2－4－6），得：
（2－4－12）
把（2－4－12）代入（2－4－11），得罗伊恒等式的另一种形式：
j＝1，2，……，n （2－4－13）
三，直接效用函数
现在以（2－4－8）为目标函数、以（2－4－3）为约束条件，以（2－4－3）中标准化的价格为变量、数量作参数，求最优化问题。列出拉格朗日函数 ：
令其偏导数为零：
i＝1，2，……，n
（2－4－14）
把价格作为数量的函数，解（2－4－14）得“反需求函数”：
vi＝Vi(q1，q2，…，qn) （2－4－15）
定义直接效用函数h(q1，q2，…,qn)为：
U=g[V1(q1，q2，…,qn)，…,Vn(q1，q2，…qn)]＝h(q1，q2，…,qn)
（2－4－16）
这提供了在数量为变量、价格作参数情况下直接效用问题的一种平行形式。
四，对偶性定理
直接效用函数与间接效用函数之间的关系，可以用一系列对偶性定理来描述。下面叙述的定理，都没作证明。
定理1 令f是一个服从内在假设 的有限的严格正则拟凹增函数。对于正的价格，由（3－11）决定的g是一个有限严格正则拟凸 减函数。
定理2 令g是一个当价格为正时有限的严格正则拟凸减函数。由（3－4-16）决定的h是一个有限的严格正则拟凹增函数。
定理3 在上述假设下
H(q1，q2，…,qn)＝g[V1(q1，q2，…,qn)，…,Vn(q1，q2，…,qn)]
和 g(vi ，…,，vn )＝h[Di(vi,…，vn )，…, Dn(vi ，…，vn )]
直接效用函数决定于间接效用函数，与直接效用函数决定间接效用函数，是相同的。
为了实际需求研究的目的，假设中的对偶性在需求和效用函数之间构造了好多比较密切的联系。有时候，利用罗伊恒等式，可以把需求函数转变为间接效用函数，然后是对应的直接效用函数。在比较静态的分析中，对偶性也是很有用的。对于间接效用函数，位似性，可分性和可加性，每一个都有对应者。因此，许多理论性分析都可以通过直接的或间接的效用函数来进行，而且，两种效用函数用起来都比较方便。
五，对偶性例子
考虑间接效用函数g＝a－v12v2的例子。图3－1显示了拟凸无差异曲线。这些曲线看上去很像图2－1给出的商品平面中的拟凹无差异曲线。两个图中的无差异曲线都是凸的。然而，仍存在重大区别，因为，在图2－4－1中，当消费者向原点移动时效用增加。在线段AC上的所有点对应的效用水平，要低于A和C这两点所产生的效用水平。拟凹和拟凸之间的差别，反应在效用增加的方向上，而不是反应在无差异曲线的斜率上。在图2－4－1中，在预算约束下，切点B产生最小效用。
v2
A
B
C
O v 1
图 2－4－1
利用（2－4－11），可以得到这个例子的需求曲线
q1=2/3v1 q2=1/3v2 （2－4－17）
通过相应函数的最小化，读者可以证明，反需求函数为
v1＝2/3q1 v2=1/ 3q2
且对应的直接效用函数是U＝a－(2/3q1)2(1/3q2)=a - 4/27q12q2 （2－4－18）
它是一个严格的拟凹函数。
过去的例子中曾指出，效用函数U*= q12q2产生需求函数（2－4－17）。由此，（2－4－18）必然是U*= q12q2的单调变换：
这一式子确立对偶性。
六，效用－支出的对偶性
考虑实现一定效用水平所必要的支出的最小化。q1 的解产生补偿需求函数（见第一章第三节）。如果q1的解代入,则可以得到支出函数E（p1，…，pn，U0），它给出实现一定效用水平的必要支出的最小值。容易看出，E在价格上是一次齐次的，在U0上是单调递增的。还能看出，对应于严格正则拟凹的效用函数的支出函数，在效用没有达到饱和的情况下，在价格上是凹的。最后，谢泼德引理（Shephard’s lemma）表明，E关于第i种价格的偏导数，就是第i个补偿需求函数。这可以说明如下。用qi＝qi（p1，…，pn，U0）表示第i个补偿需求函数。则
E(p1，…，pn，U0)＝(p1，…，pn，U0)
且 qi(p1，…，pn，U0)＋
但是，对于给定的效用水平U0，补偿需求函数是通过支出最小化取得的；因而，价格的微小变动而引起的总支出的变动为零。这使得上述式子中的第二项为零。从而。
对于导出（2－4－17）和（2－4－18）的例子来说，补偿需求函数为
支出函数是
通过对E关于p1和p2分别偏微分，谢泼德引理很容易证明。
一般说来，效用函数和支出函数之间的对偶性，与生产函数和成本函数之间的对偶性，是完全一致的。
第五节 显示偏好理论
前面几节假定消费者有一种效用函数。然而由于效用无法计量无法观察，所以效用函数是难以给出明确的形式的。为了弥补这一缺陷，萨缪尔逊提出了显示偏好理论。它允许在没有显形效用函数的情况下，从观测到的消费者在商品系列中的选择行为，推导出他的效用函数的存在和性质，预测他的行为，提供一些适用的简单公理。
假定存在n种商品。一个具体的价格集合用价格向量p0表示，消费者对应的购买数量用向量q0表示。消费者的总支出为：
p0 q0＝ （2－5－1）
考虑另一种可供选择的商品组合q1，它能为消费者所购买，但没有购买。当价格为p0时，q1的总成本必定不大于q0的总成本：
p0 q1≤p0 q0 （2－5－2）
由于q0是一组至少与q1一样昂贵的商品组合，又由于消费者拒绝选择组合q1，因此，q0显示出比q1更可取。
一，显示偏好的弱公理
显示偏好弱公理：如果q0显示出比q1更可取，则后者必定不再显示出比q0更可取。
如果在价格向量为p1的情况下，消费者能够买q0时他购买q1，q1才能显示出比q0可取，这时，q0的总成本必定不大于q1的总成本：
p1q0≤p1q1 （2－5－3）
显示偏好弱公理表明，如果（2－5－2）成立的话，（2－5－3）就不能成立。因而，（2－5－2）蕴含着（2－5－3）的对立式，即：
p0 q1≤p0 q0 蕴含着 p1 q0＞p1q1 （2－5－4）
如果消费者A在价格向量p0时选择商品组合q0，在价格向量p1时选择商品组合q1，那么一定有：
p0q0≥p0q1，且 p1q1＜p1q0
在图2－5－1中，用两种商品的情形说明显示偏好弱公理。假定价格向量由p0表示的线给定时，消费者购买商品组合q0；而当价格由给定p1时，她购买q1。这两种情形都反映在图2－5－1的（a）图上。由于消费者能够以p0价格购买q1但没有购买，则弱公理表明，如果她购买q1，q0必定是因为在价格向量为p1时无法取得的，即q0必定在线p1上方。图2－5－1（a）中表现的行为是满足显示偏好弱公理的。图2－5－1（b）中表现的行为则违反了显示偏好弱公理。在这种情形下，一条无差异曲线在点q0与预算线p0相切，另一条无差异曲线在点q1与预算线p1相切，但是这两条无差异曲线将会交叉。这种性质的无差异曲线是不可能的。
q2 q2
p1
·q0
p0
q1· q0·
p1 q1· p0
q 1 q1
(a) (b)
图2－5－1
二，显示偏好的强公理
显示偏好强公理：如果q0显示出比q1更可取，q1显示出比更q2可取，…，qk-1显示出比qk更可取，则qk必定不再显示出比q0更可取。这一公理保证显示偏好的传递性，但要比一般的传递性条件更强。
如果消费者总是遵循显示偏好强公理，通过对他在各种价格集合下的购买情况的观测，他的无差异图可以高度精确地建立起来。 如果消费者不遵循这些公理，那他可以说是“不理性的”。他前后矛盾的行动说明，他没有一种无差异图，而他的效用函数也不可能通过观测他的购买行为而给出。
显示偏好公理表明偏好序不受价格的影响。
三，用显示偏好公理证明替代效应
显示偏好理论可以证明替代效应总是负的。 假定消费者在n维商品空间内沿着一条给定的无差异超曲面移动。若商品组合q0与q1无差异，消费者在价格向量为p0时购买q0组合而非q1，那一定是：
p0q0≤p0q1 或p0（q0－q1）＝－p0（q1－q0）≤0 （2－5－5）
而在价格向量为p1时购买q1组合而非q0，那一定是：
p1q1≤p1q0 或p1（q1－q0）≤0 （2－5－6）
两式相加，得：
（p1－p0）（q1－q0）≤0
这个不等式断言，如果消费者沿着一条给定的无差异曲线移动，所有数量变动与对应的价格变动的乘积是非正的。现在假定，只有第一种商品的价格变动，所有其他价格保持不变，假定价格变动不等于零和和不相等，即价格是需求的一个单值函数，则（2－5－6）推导出：
（p1-p2）（q1-q2）＜0 （2－5－7）
（2－5－7）中的严格不等式表明，如果价格提高，购买量将下降，反之亦然。这说明，替代效应是负的。
第六节 复合商品
复合商品定理（composite commodity theorem）说明，如果一组由（m<n）种商品组成的商品组的价格，在n维商品空间里（n－commodity－space）总是按相同比例变动，则对m种商品的总需求的行为，就会像它们是一个单一商品时一样。 由于这个定理在许多分析中减少了所考虑的商品数字，因此，它常常使得分析大大简便。
通过等号两边同乘以pipj，可以得到斯拉茨基方程（1－4－9）的另一种形式：
（2－6－1）
因为
其中，是Qi关于pj的交叉需求弹性，因此（2－6－1）左边的项，表示由于pj的变动而引起的对商品i的需求的变动。
假定复合组中的全部商品按相同的比例提高价格。通过（2－6－1）的累加就能求出需求增量的值：
（2－6－2）
这与（2－6－1）形式相同，它还能确定，（2－6－2）中等号右边第一项是负的。根据附录第三节给定的对应于严格拟凹性而决定的条件，对于所有的ki和kj不全为零，可得
其中，D是相关的加边海赛斯行列式，Dij是它的余子式。记住Sij＝Dijλ/D。令ki＝pi，kj＝λpj，使得
这就确定了（2－6－2）中等号右边第一项是负的。
根据（1－5－2），，由它可得
给定复合商品的价格按比例地变动，则复合组以外的商品（也许只有一个）总和，与复合商品是一种替代关系。
第七节 消费者剩余
消费者的购买支付，常常小于她宁可付出也不愿意放弃对商品的消费的最大数量。几种计量这种消费者剩余的方法业已提出。这里考虑的有三种。注意力限定于对经过调查的一种物品和一种称之外“钱”的复合商品的考虑上，并且，分别以q和M代表它们的消费数量。令图3－3（a）中的距离OA代表消费者的收入。在无差异曲线I2上的D点，她实现了一种切点解（tangency solution）。如果她不能消费Q她将在较低的无差异曲线I1上的A点实现切点解。为了返回到无差异曲线I2，她必须得到AB美元的收入增量。这种收入增量称为补偿性收入变动（compensating income variation）,用c表示，它提供了一种消费者剩余的计量方法。
在给定的价格水平上，消费者应该愿意放弃AC美元的收入，而不是丧失她消费物品Q的机会。当收入为QC时，她的消费在E点，E点与A点在同一条无差异曲线上。对应于AC的数量称为等值收入变动（equivalent income variation）,用e表示，它提供了另一种计量消费者剩余的方法。第三种计量方法是关于价格－数量组合p0q0的图3－4中需求曲线提供的。它相当于ABp0区域，是处于需求曲线内的区域（OABq0）与消费者支出区域（Op0Bq0）的差异，用s表示。
M B M Ｂ
A Ａ
Ｄ Ｉ２ Ｄ
C Ｃ Ｉ２
Ｅ Ｅ
Ｉ１ Ｉ１
Ｏ （ａ） q Ｏ （ｂ） q
图 3－3
P Ａ
p0 B
O q0 q
可以看出，c≥s≥e, 作为收入效应的结果（见第二章第五节），在图3－3（a）的情形下严格不等式成立，如果消费者消费物品要花费更多的钱，她的的需求将下降，因为，她的有效收入变低需求曲线以内的区域将超过她应该支付的数量，而不是物品的先前消费量 。图3－3（b）描述了一种收入效应始终为零的情形。连接D点和E点的垂线（perpendicular）于RCS是相同的。无差异曲线是“平行的”，因为，一对无差异曲线之间保持这固定的垂直距离。在这种情形下，AB＝AC，消费者剩余的三种计量方法是相同的。
当商品的价格变动时，对偶性理论(见本章第四节)可以用来决定增加的消费者剩余。令n种商品的最初价格为p01，…，p0n,且令消费者的收入为y0。她的直接效应函数是g(v01,…，v0n)≡U0,其中，v0i＝p0i/y0i,i=1,…，n;而她的支出函数为E（p01，…，p0n， U0）＝y0。如果p01变为p1,则E（p1，p02…，p0n， U0）＝y0＋c,其中，c是补偿性变动，且
c= E（p1，p02…，p0n， U0）- E（p01，…，p0n， U0）
规定p1＝p01＋⊿p1，运用偏导数定义得，对于0<θ<1,
根据谢泼德引理，偏导数 E/ p1是补偿需求函数q1（p01+θ⊿p1，p02…，p0n， U0）.根据积分中值定理（mean value theorem for integral）(见附录第四节)得
(3-30)
这样，利用补偿需求函数左边的两种价格之间的区域，增加的消费者剩余就能逼近。在实践上，普通需求函数于补偿需求函数之间的区别，常常忽而不予考虑。因此，图3－4中对应的区域将是p0pCB.如果p是需求等于零时的价格，增加的剩余（3－30）就正好与三角形ABp0重合，它也可以写成
其中，Φ（q）是反需求函数，q0是在p0的需求数量。
考虑一个例子，其效用函数是U＝+2M。读者可以证明，其需求曲线由q=1/(16p)2给定，反需求曲线为p＝1－（4√q）。如果p＝，q＝25，则消费者剩余为
根据（2－31）估计收入效应，则
其中，下标1表示Q ，下标2代表货币，p是Q的价格。由于效用函数的二阶导数独立于p，所以，自始至终的零收入效应，始终要求f12=f22=0。由于效用函数也满足严格拟凹条件（2－5），所以可得f11<0。Q的边际效用是递减的。
可以得到，效用函数必定是以
U＝f(g)+kM
的形式强加性的，式中的k是货币的不变边际效用。马歇尔的货币不变效用这个概念。相当于比较现代的零收入效应(zero-income effect)概念。效用最大化的一阶条件显示，Q对应的反需求曲线是p＝f’(q)/k.
消费者剩余不必运用于全基或无基分析。事实上，对于象p=q-a(其在q=0时无定义)这样的反需求函数，它们是基本的分析方法。为阐明这些，考虑消费者剩余的获益（gain），这种获益将当价格由p0降到p1,对应的q0增加到q1时发生。消费者剩余的变动是
令ф（q）=,且p0=,p1=.读者可以证明⊿s=1。
第八节 风险情形下的选择问题
传统的消费者行为理论，不包括对不确定情形的分析。从这一意义上说，此前的分析是不现实的。冯·纽曼和摩根斯坦表明，在某些条件下，可以建立一个特定消费者的预期效用函数，用于预测她在不确定情形下的选择。冯·纽曼－摩根斯坦的效用，具有某些基数性质。
同一个工厂生产的同一型号的所有摩托车，并不总是具有相同的性能的。由于生产过程中的偶然事故，一些不符合标准的摩托车可能生产出来。消费者并没有办法可以提前知道他买的那辆摩托车是否达到标准质量。令A代表他拥有一辆满意的摩托车的情形，B代表他没有摩托车的情形，C代表他拥有一辆不合格的摩托车。假定对他来说，A比B可取，而B比C可取。向他推荐两种可以选择的办法中的一种：（1）他可以保持现状，干脆不买摩托车。这是一种具有确定结果的选择。（2）他可以买一种具有一次中奖机会的彩票：取得一辆满意的摩托车（A），或一辆不满意的摩托车（C）。消费者也许愿意稳当地保持其收入（或货币）。也可能愿意购买带有不明确结果的彩票，甚或可能哪一种办法都一样。他的决定将取决于这种特定彩票中奖或不能中奖的机会。如果C的概率很高，他可能更愿意稳当地保持其货币；如果A的概率很高，他也许宁愿购买彩票。数字组（P，A，B）用来表示彩票提供A的结果的概率为0<P<1,而结果B的概率为1－P。
冯·纽曼－摩根斯特恩公理
如果消费者遵循下列风险条件下消费选择的五个公理，那就能确定一种效用函数，用以预测不确定性情形下的选择。
完全顺序公理（complete-ordering axiom）。对于两种可以选择的方案A和B，下
列之一必定为真；消费者宁要A而不要B，他宁要B而不要A，或者二者对他区别，消费者对方案的估价是传递的：若他宁要A而不要B，又宁要B而不要C，则他宁要A而不要Ｃ。
连续性公理（continunity axiom）。假定A比B可取,B比C可取，则存在某一概率
P，0<P<1,使得具有确定结果的B和彩票（P，A，C）对消费者无区别。
独立公理（independence axiom）。假定A和B对消费者无区别，且C是任意的结
果。如果彩票L1分别以P和1－P的概率提供结果A和C，L2分别以与L1相同的概率P和1－P提供结果B和C，则两种彩票对消费者无区别。类似地，若他宁要A而不要B，则他将宁要L1而不要L2。
概率不等公理（unequal-probability axiom）。假定消费者宁要A而不要B。令L1
＝（P1，A，B），L2＝（P2，A，B）。当且仅当P2>P1时，消费者宁要L2而不要L1。
复合彩票公理（compound-lottery axiom）。令L1＝（P1，A，B），L2＝（P2，L3，L4），
是当奖为彩票时的复合彩票。其中，L3＝（P3，A，B），L4＝（P4，A，B）。给定L2取得L3的概率为P2，由此，通过L2取得A的概率为P2P3。类似地，给定L2取得L4的概率是（1－P2），通过L4取得A的概率为（1－P2）P4。L2取得A的概率是两种概率的总和P2P3＋（1－P2）P4。
如果P2P3＋（1－P2）P4＝P1，则L2＝L1。消费者估价彩票，只考虑得奖的概率，不考虑得奖的过程。
这些公理是很一般性的，要反对它们是很困难的。然而，它们排除了一些可能的消费者行为。考虑一个人，他从纯粹的冒险行为中获取满足；或者他惧怕冒险，总是觉得确定的东西比不明确的前景更可取。这两种可能存在的行为由连续性公理和复合彩票公理排除了。
这些公理已发展用于只存在两种结果的情形。它很容易扩张到任意多个结果。令
L＝（P1，…，Pn, A1, …，An）
代表具有n种结果的彩票，其中0<Pi<1是结果Ai的概率，且∑i-1nP1=1。
二，期望效用函数
假定存在一个与五个公理一致的效用指数。消费者面对具有两种可能结果的彩票L＝
（P，A，B）时的期望效用：
E[U（L）]＝PU（A）＋（1－P）U（B） （3－8－1）
考虑彩票L1＝（P1，A1，A2），L2＝（P2，A3,A4）。期望效用定理说明，如果L1比L2更可取，则E[U（L1）]> E[U（L2）]。这个定理的意义在于，能使用期望效用最大化方式，分析不确定情形。
定理的证明是很简单的。选定最好结果如B，它比所考虑的一切其他结果更可取；最坏结果W，它比所考虑的一切其他结果都更差。根据连续性公理，Qi以Ai无区别于(Qi,B,W)(i=1,…，4)而存在。这样，L1和L2分别相当于彩票（Z1，B，W）和（Z2，B，W），即具有了相同的期望效用，其中Z1＝P1Q1＋（1－P1）Q2，Z2＝P2Q3＋（1－P2Q4。根据假定，L1比L2更可取，则根据概率不等公理得Z1>Z2.由于计量单位和原点对效用指数是任意得，令U（B）＝1，U(W)＝0。现在，E[U（L1）] ＝Z1，E[U（L2）]＝Z2，这就确定了定理。
在第二章第二节里，证明了效用函数的任何正单调变换可使确定性结果的等级（ranking of certain outcome）保持不变。从期望效用角度看，对不确定性结果的等级来说，这种结论并不成立。作为例子，考虑效用数字
U(A1)=25 U(A2)=64 U(A3)＝36 U（A4）＝49
彩票L1＝（，A1，A2）比L2＝（，A3，A4）更可取，因为E[U（L1）]＝> E[U（L2）]＝。进行单调变换V＝。现在，L2比L1更可取，因为，E[V(L1)]=<E[V(L2)]=。
在递增线性变换中，期望效用等级是不变的。假定L1＝（P1，A1,B1）比L2＝（P2，A2，B2）更可取，使得
E[U（L1）]＝P1U(A1)＋（1－P1）U(B1)>P2 U(A2)+ （1－P2）U(B2)= E[U（L2）]
现在令V＝a+bU,其中a和b是常数，且b>0。对指数V的L1的期望效用，只不过是对指数U的期望效用的线性变换：
P1[a+bU(A1)]+(1-P1)[a+bU(B1)]= a+bE[U（L1）]
且很明显，
a+bE[U（L1）]> a+bE[U（L2）]
这就确定了在线性变换情况下，期望效用等级不变。
期望效用公式可以用以设立某个人的效用数，只要她遵循冯.纽曼－摩根斯坦公理。给两个确定的结果A1和A2任意设定效用数。例如，如果A2比A1更可取，则令U(A1)＝20，U(A2)＝1000。现在考虑结果A3。如果在偏好等级上，A3处于A1和A2之间，要消费者求P的值，使A3和（P，A1,A2）对她无区别。如果P=，解得
U（A3）＝(A1)＋（A2）＝216
如果A4比所有的三种选择可取，通过求消费者的P值，使得A2和（P，A1,A4）对她无区别，就可以确定A4的效用。设P=，解
1000＝（）（20）＋（A4）
得U（A4）＝2470。只要遵循五个公理，这种过程可以无限继续下去，而且不会得出矛盾的结果。
从严格意义上讲，冯.纽曼－摩根斯坦分析中的效用，是基数效用。它们导出于消费者的风险行为（risk behavior）,并且，只要她把效用最大化，它们对预测她的选择将是有效的。它们是通过向她推荐互相排斥的选择而导出的，因此，对于从事件的企图，它们是没什么用的。虽然并不全是，但冯.纽曼－摩根斯坦效用也具有序数效用的一些性质。如果U(A)=k U(B),对于断定消费者k倍于B地爱好A，它是没有太大意义的。在线性变换的情况下，效用比率是不变的。一般来讲，
然而，效用数提供了一种间隔大小(interval scale),而它们之间的差是很有意义的。这种意义来自下列事实，即在线性变换中，效用数之间的差的相对大小是不变的：
V（A）－V（B）＝b[U(A)- U(B)]
与传统的消费者理论相反，边际效用变动率(rate of change of marginal utility)(效用函数的二阶导数)的正负号是有用的，因为，它在线性变换中是不变的。在本章第九节中，这尤其重要。不过，这种比较并不意味着消费者应该宁要C而不要B，宁要B而不取A，因为，选定的选择必须具有最高的效用数。
若E[U(L1)]＞E[U(L2)]，则E[V(L1)]＞E[V(L2)]的充分必要条件为V是U的递增线性变换，即：V=a+bU，a,b是常数，且b＞0
但是U的正单调变换不再能保持L1和L2的期望效用的大小次序。
个人之间的效用比较，至今不可能。然而，冯.纽曼－摩根斯坦效用的建立确实可以（1）在以确定性为特征的情形下，使选择完全等级化；（2）利用上述基数性质的优点，进行效用差异的比较；（3）进行期望效用的计算，这就使得有可能处理不确定性情况下消费者的行为。
第九节 不确定情形下的行为
在本章第八节中，期望效用函数是非常一般性的。现在假定效用函数：1，有单一自变量“财富”，它以货币单位衡量；2，是严格递增的；3，是连续的，且具有连续的一阶导数和二阶导数。
一，消费者对于风险的不同态度
彩票[L=（P,W1,W2）] （其中Wi是不同的财富水平）的价值是它的期望值，即每一种结果与其发生的概率之乘积的总和：
E[W]= PW1+(1-P)W2
一个人彩票期望值的效用为U[PW1+(1-P)W2]，彩票的期望效用为PU(W1)+(1-P)U(W2)。依据其彩票期望值的效用与彩票的期望效用的关系，一个人可以是：
风险回避者 U[PW1+(1-P)W2]＞PU(W1)+(1-P)U(W2)， d2U/dW2＜0
风险偏好者 U[PW1+(1-P)W2]＜PU(W1)+(1-P)U(W2)， d2U/dW2＞0
风险中立者 U[PW1+(1-P)W2]＝PU(W1)+(1-P)U(W2)， d2U/dW2=0
U(W)
0 W1 W0 W2 W
绝对风险回避系数： ＞0，风险回避者
r =－U”(W)/U’(W) =0，风险中立者
＜0，风险偏好者
相对风险回避系数： ＞0，风险回避者
ρ＝－[WU”(W)]/[U’(W)] =0，风险中立者
＜0，风险偏好者
ρ反映了财富水平对于风险态度的影响。
风险中立者只对期望值感兴趣，总的说来对风险是不在意的。彩票（；1；1000000）和彩票（；500000；500001）对她是有区别的。如果她对所有彩票都是个风险中立者，（3－32）那就意味着，她有一个U=α＋βW（其中β>0）形式的线性效用函数。为确定情形而发展的效用分析，所面临不确定性的风险中立者个人也是适用的。所必要的一切只是用期望值代替确定值。
风险回避者宁要一种确定结果，而不要具有相同期望值的不确定结果。如果对于所有0<P<1,W1和W2在效用函数定义域内，有(3-33)成立，则在其定义域上，效用函数是严格凹的，因为，(3-33)与附录第二节所给的严格凹性的定义是相同的。如果d2U/dW2<0,则效用函数是严格凹的，消费者是个风险回避者。
反省和观察到的行为表明，大多数人在他们的大多数活动中是不愿冒风险的。不过，分析完全可以针对一个宁愿要不确定结果的人。一个人，相对于一种彩票，如果其期望值的效用，小于其期望的效用，则他是一个风险爱好者（risk lover）。在这种情况下，(3-33)的不等性将反过来。风险爱好者将总是下持平的赌注（fair bet）（即，其收益的期望值等于亏损的期望值）。根据对风险回避者所用的自变量，如果d2U/dW2>0,则效用函数是严格凸的，消费者是个风险爱好者。
对于同一个人，在某些情形下可能是一个风险回避者，而在另一些情形下，又可能是一个风险爱好者。比如，考虑一个低收入的人，她几乎在所有的其行为中不愿冒险，除了她将花一美元买一张有50美分期望值的彩票——例如，有一百万分之一的机会获得500000美元的机会。她的行为或许是不一致的，但是，如果她的效用函数具有图3-5所描绘的斜率，其行为将是始终一致的。W1是其输掉彩票的财富状况，W2是其赢得彩票的财富状况。当0≤W≤W0时，她的效用函数是严格凹的；当W>W0时，其效用函数则是严格凸的。这样，对于所有最好结果不大于W0的不确定情形，她是不乐意冒险的。所观察到的她的所有行为几乎全在这种范围之内。她愿意支付一定的保险费(premium),取得日后摆脱低收入困境的一种小小机会。
效用函数二阶导数的符号提供了消费者态度的一种指示，但是，由于在线性变换情况下，其二阶导数的数量大小是不变的，所以，它不能用以表明回避或偏好风险的水平。二阶和一阶导数的比率，提供了绝对风险回避（absolute risk aversion）r的计量方法 。
U（W）
O W1 W0 W2 W
（3-34）
随着消费者对风险采取回避，偏好或中立的态度，这种计量的结果将分别为正的，负的或零。令当b>0时，V＝a+bU:
这证实了预想的不变性。
考虑一个二次效用函数(quadratic utility function),U=W-αW2, α>0,定义域为0<W<1/(2α).因为U”＝－2α<0,所以，它描述了风险回避行为。以dr/dW=4α2/(1-2αW) 2>0计算（3－34）
这里，风险回避随财富增长而增强。人们最常见的假定，是与此相反的情况。效用函数U＝ln(W+α), α>0，表示减少风险回避。
考虑表现固定的风险回避的效用函数组(class)。令r=c,把（3－34）重新写成
对于W积分
其中，k1是积分的常数，取反对数，
并再积分
其中，k2是积分的令一个常数。最后，以α＝－（k2c）/e-k1和b=c/ek1进行线性变换，使得
V（W）＝－e-ew
是有不变绝对风险回避的效用函数的一般形式。
二 风险与保险
假定消费者面对一种风险，如果发生火灾，她将承受概率为P的A美元的损失。这相当于彩票（P，W0－A，W0），其中W0是其原先的财富状况。如果她付给一家保险(insurance)公司R美元，他们将在发生火灾时给她A美元。这样，不管是否发生火灾，她有保证的财富为W0－R。通过解下式的R，可以得到她愿意支付的保险费的最大数量：
U（W0－R）＝PU（W0－A）＋（1－P）U（W0）
火灾损失的期望值是PA。如果消费者是不愿冒险的，解值R大于PA,假使保险价格不大于R，她将购买保险，如果保险价格大于R，尽管她是个风险回避者，她也不会购买保险。由于保险公司期望收支相抵并有一定盈利，他们将力图把保险价格维持在大于PA的水平上。在一个完全市场(perfect market)里，所有的风险爱好者，全部风险中立者和某些风险回避者，将都不买保险。
令消费者的效用函数为U＝。令W＝90000，A＝80000，P＝。相关的方程是
（90000-R）＝（90000）＋（10000）
解得R＝5900，损失的期望值是PA＝4000。害怕风险的消费者愿意多花1900，以避免火害的风险。
在所考虑的一系列保险政策中，各个政策可能互有不同。某些政策有扣除性质(deductible feature)，不赔偿亏损的第一个D美元。另一些政策有联合保险性质(coinsurance feature)，任何保了险的损失都必须赔偿一部分0<α<1。设想有个消费者有一辆汽车，面临的风险是小事故的概率为P1，大事故的概率为P2，但不可能大小事故同时发生。由此产生的损失分别为A和B美元，其中A<B。假定她是一个风险回避者，而且必须在扣除性政策和联合保险政策中选定一种保险政策，此外，令D和α选定这两种政策的损失期望值相等，且等于每种政策的保险费R。
R＝P1（A－D）＋P2（B－D）＝P1（1－α）A＋P2（1－α）B
（3－35）
在这些条件下，消费者将永远购买扣除性保险，因为它产生较高的期望效用。这是通过确立下列不等式而得到的
P1U（W0－D－R）＋P2U（W0－D－R）＋（1－P1－P2）U（W0－R）
>P1U（W0－αA－R）＋P2U（W0－αB－R）＋（1－P1－P2）U（W0－R）
两边减去（1－P1－P2）U（W0－R），同除以（P1＋P2），再合并同类项（like term）
U（W0－D－R）> Q1U（W0－αA－R）+Q2（W0－αB－R）(3-36)
其中，Q1=P1/（P1＋P2）, Q2=P2/（P1＋P2）。由于从（3-35）得D＝Q1αA＋Q2αB，对于回避风险的消费者，不等式(3-36)必定成立。它可以看作是（3-33）的一个特殊例子，在那儿，期望值的效用大于效用的期望值。
本 章 总 结
本章考虑了消费者行为基本理论的发展和具体效用函数的性质。最小消费要求的对数线性效用函数，导出了线性支出函数。线性支出函数是经得起统计参数估计的检验的。
一个效用函数，如果它能写成单个消费水平函数的函数，它就是强可分的。对于一对商品，它的RCS只取决于那些商品的消费水平。一个效用函数，如果它能写成单个消费水平函数的总和，它就是强加性的。可加性是可分性的一种特殊例子。可加性意味着，每种商品的边际效用是独立于所有其他商品的消费水平的。一个效用函数，如果它能写成一个齐次函数的一个正单调变换，那它就是位似的。位似函数具有重要性质，即RCS只取决于商品消费的比例。
间接效用函数把最优效用水平作为价格和收入的函数。它们是通过把需求函数代入直接效用函数而得到的。罗伊恒等式，把商品需求于直接的和间接的效用函数联系了起来。对偶性定理进一步把直接和间接的效用函数联系了起来。这些都有助于为实际工作提供理论基础，使得能用间接效用函数进行许多理论分析
消费者行为的基本理论，可以重新叙述成显示偏好理论。显示偏好理论对微分和达到与先前分析完全相同的结论是无用处的。其结果是通过把消费者置于假定的价格——收入情形下，然后观测其行为而得到的。如果消费者的行为满足显示偏好之基本公理，就能够得到她的无差异曲线，并能根据过去的选择预测其未来的选择。
如果一组商品的价格总是以相同的比例变动，则这组商品的需求变动方式，将象单个商品的需求变动方式一样。这个复合商品定理意味着，在许多理论分析中，几种商品可以加总起来，当作一种单一的商品来处理。消费者常常从一种商品的消费中获得剩余，即她的支付小于她宁可付出也不愿意放弃对该商品的消费的最大数量。这种剩余的几种不同方法计量的结果是不等的。如果一种商品的收入效用恒等于零，则（1）消费者剩余的基本计量方法所得计量结果是相等的；（2）消费者剩余等于需求曲线减去支出的区域；（3）由所有别的商品组成的一种复合商品的边际效用是不变的；（4）所调查研究的商品的边际效用是递减的。
冯.纽曼和摩根斯顿的方法，是针对于以不确定性为特征情形中的消费者行为的。如果消费者的行为满足一些决定性的公理，通过把消费者置于一方面是一种确定的结果，另一方面是两种不确定结果的或然性组合之间的一系列选择之中，就能得出她的效用函数。这样得到的对线性变换是唯一的，并提供了一种不带有风险情形下的选择等级。消费者要把期望效用最大化，而在某种意义上说，冯.纽曼——摩根斯顿效用是基数效用，因为它们能加起来计算期望效用，能够用来比较效用的差异。期望效用的计算可以用来决定风险情形下消费者的选择。
随着财富作为效用函数的唯一自变量，对于回避风险的消费者来讲，不确定情形结果的期望值之效用，超过结果的期望效用，即她的效用函数是严格凹的。类似地，风险爱好者和风险中立者分别拥有严格凸的和线性的效用函数。绝对风险回避的指数被定义为效用函数的二阶导数和一阶导数的比率。回避风险的消费者将支付一定的保险费，购买保险，以把不确定的结果转变为确定的结果。
练 习 题
3-1 下列效用函数中，哪一个是（a）强可分的，（b）对所有变量是加性的：
表明每个强可分和加性函数的F和fi是什么。
3-2 证明：如果消费者对商品组合和是无差异的，且有齐次效用函数，则他在组合和之间也是无差异的。
3-3 证明加性的严格拟凹效用函数是凸的。
3-4 建立对应于直接函数U＝αlnq1+q2的间接效用函数。运用罗伊恒等式建立两种物品的需求函数。这些需求函数与从直接效用函数得到的需求函数相同吗？
3-5 观察到消费者以价格p1＝2，p2=6购买q1=20,q2=10.还观察到她以价格p1=3,p2=5购买q1＝18,q2=4。她的行为与显示偏好理论的公理一致吗？
3-6 令消费者的效用函数为f(q1,q2,q3)=q1q2q3，她的预算约束为y=p1q1+p2q2+p3q3。考虑q1+(p2/p1)q2=qc为一种复合物品。以qc的方式阐述消费者的最优化问题并求出qc的需求函数。
3-7 令消费者的反需求曲线为p=a-bq,a,b>0,并假定征收100t%的销售税，使得她支付的价格提高到p(1+t)。证明她的消费者剩余的亏损，将总是超过政府通过征税而提高的收益。
3-8 有个遵从冯.纽曼——摩根斯顿公理的消费者，面临四种情形A，B，C和D。她的偏好是A强于B，B强于C，C强于D。经验表明，消费者在B与一种对A和D分别有概率和的彩票之间是无差异的，在C与一种对B和D分别有和概率的彩票之间是无差异的。建立这四种情形的冯.纽曼——摩根斯顿效用数集合。
3-9 表明下列效用函数中，哪一个表现出递减的风险回避：U（W）=(W+α)β, α≧0,0<β<1；U（W）＝W；U（W）＝ln(W+α), α≧0; U（W）＝W3
3-10 有个消费者服从冯.纽曼——摩根斯顿公理，并有关于火灾风险的初始财富160000。存在5％概率的较大火灾，其损失为7000，5％概率严重火灾，其损失为120000。她的效用函数为U＝。她面临一种扣除性预防保险政策，根据这种政策，她要承担任何火灾损失的前7620。对于这种政策，她愿意支付最大保险金是多少？
3-11 令消费者的严格拟凹函数是U＝f(g)+3M,其中M是一种单位价格的复合商品。假定她对Q的需求函数为q＝p-α,其中α>0。通过解由效用最大化的一阶条件而形成的差分方程，确定f(q)。
这个函数以克莱因—鲁宾或斯通—吉尔里（Klein—Rubin or Stone－ Geary）效用函数著称。见 .克莱因和H.鲁宾：《生活费用的不变效用指数》（A Constant－Utility Index of the Cost of Living），《经济学研究评论》（Review of Economics Studies），第15卷（1947－48年），第84－87页；.吉尔里：《对生活费用的不变效用指数的说明》（A Note on a Constant Utility Index of the Cost of Living），《经济学研究评论》，第18卷（1949－50年），第65－66页；R.斯通：《线性支出系统和需求分析：在英国需求模型分析的应用》（Linear Expenditure Systems and Demand Analysis：Application to the Pattern of British Demand）,《经济学杂志》（economic Journal），第64卷（1954年），第511－527页。
读者可以证明，对于这种形式的函数，拉格朗日乘数是正的。
一种其中的一个或更多的数为零的商品组合的效用，小于一种其中的所有数都是正数的商品组合的效用。
如果在其定义域内的所有对不同点和当0<λ<1时，
g[v（1）＋（1－λ）v（2）]<max[g(v（1）,g(v（2）))
则函数g（v）（v是由n个分量的向量）是严格拟凸的。
这个定理的证明有一定困难，这里不再进行了。读者可参见.霍撒克（houthakker）：《显示的偏好与效用函数》，《经济学》（Economic），.，第17卷（1950年5月），第159－174页。
这只是从该理论中能够推倒出来的公理之一。其他的是（1）在价格和收入上零次需求函数的齐次性（见第二章第三节）；（2）交叉替代效应相等（见第二章第五节）。参见萨缪尔森（. Samuelson）：《经济分析基础（Foundations of Economic Analysis）》，Cambridge，Mass。：Harvard University Press，1984年，第111－112页；又见贝希克斯（）：《需求理论的修正（A Revision of Demand Theory）》，Oxford：Clarendon Press，1956年，第127页。
这里讨论根据于.希克斯：《价值与资本（Value and Captial）》，第2版，Oxford：Clarendon Press，1946年，第312－313页。
参见上述希克斯的著作。
见Ｒ.Ｃ.威立吉(Willig):《不用辩白的消费者剩余(Consumer’s Surplus without Apology)》，《美国经济评论(American Economic Review)》，第66卷(1976年9月号),第589-597页。
在这里的讨论中，忽略了劣等物品(见第二章第五节)
乘积W提供了一种相对风险回避(relative risk aversion)的计量方法。
