第4章 异方差性
异方差性的含义与产生的原因
异方差性的定义
设线性回归模型为:
()
经典回归中所谓同方差是指不同随机误差项（）的方差相同，即：
如果随机误差项的方差不是常数，则称随机项具有异方差性（heteroskedasticity），即:
EMBED 常数(t=1，2，…n)
异方差性的几何直观表示形式，可借助观测值的散布图表示。以一元线性回归为例，在散布图上，就是样本残差平方随解释变量的变化而变化。
图 异方差性在散布图上的反映
产生异方差性的原因
在计量经济研究中，异方差性的产生原因主要有
1．模型中遗漏了某些解释变量
2．模型函数形式的设定误差
3．样本数据的测量误差
4．随机因素的影响
异方差性的影响
对模型参数估计值无偏性的影响
以一元线性回归模型为例。 设一元线性回归模型为，随机误差项的方差随解释变量的变化而变化：，其他条件不变。此时：。在高斯——马尔可夫定理证明过程中曾经得到：，因此，。这表明满足无偏性。同理可以证明也是的无偏估计量。
由此可见，随机误差项存在异方差性，并不影响模型参数最小二乘估计值的无偏性。
对模型参数估计值有效性的影响
在上述假定下参数的估计值的方差为
在随机误差项同方差的假定下，则参数的估计值的方差为
在随机误差项存在异方差条件下，假设参数估计值为，=（，t=1,2,…n）,此时，
EMBED EMBED =
比较上式两端，当时，有
从而说明在随机误差项存在异方差条件下，最小二乘估计量不再具有最小方差。同理也有类似的结果。
由此可见，当线性回归模型的随机误差项存在异方差时，参数的最小二乘估计量不是一个有效的估计量。
对模型参数估计值显著性检验的影响
在同方差的情况下，如果以的无偏估计量估计，就可以得到系数的标准误差为
但是，在异方差的情况下，是一些不同的数值，只有估计出每一个之后才能得到系数的标准误差，这在只有一组样本观测值的情况下是无法做到的。而且如果设，则在异方差的情况下，系数的标准误差：
== EMBED
因此，如果仍然用计算系数的标准误差，将会产生估计偏差，偏差的大小取决于第二个因子值的大小，当其大于1时，则会过低估计系数的误差；反之，则做出了过高的估计。因而，检验的可靠性降低。
在异方差情况下，无法正确估计系数的标准误差，用t统计量为来判断解释变量影响的显著性将失去意义。
对模型估计式应用的影响
异方差性的检验
图示检验法
1．相关图分析
在回归分析中，常常对拟合回归方程的残差进行分析。具体作法为将残差对其相应的观察值作散点图或对一个或多个解释变量作散点图，或是对的估计值作散点图。残差图可以为我们判断古典线性回归模型中的同方差假定是否满足提供线索。
图 的的各种形式
例 我国制造工业利润函数。表列出了1998年我国主要制造工业销售收入与销售利润的统计资料(单位：亿元)。现以此数据资料为例，介绍检验异方差性的一些常用方法。
表 我国制造工业1998年销售利润与销售收入情况
行业名称
销售利润y
销售收入x
行业名称
销售利润y
销售收入x
食品加工业
医约制造业
食品制造业
化学纤维制造
饮料制造业
橡胶制品业
烟草加工业
塑料制品业
纺织业
非金属矿制品
服装制品业
黑色金属冶炼
皮革羽绒制品
有色金属冶炼
木材加工业
金属制品业
家具制造业
普通机械制造
造纸及纸制品
专用设备制造
印刷业
交通运精设备
文教体育用品
电子机械制造
石油加工业
电子通讯设备
化学原料制品
仪器仪表设备
图我国制造业为销售利润与销售收入的相关图，呈现出递增异方差。
图 我国制造业销售利润与销售收入的相关图
2．残差分布图分析
先用最小二乘法估计模型，估计结果为:
= () ()
= () ()
建立回归模型之后，在方程窗口中点击Resids按钮可以得到模型的残差分布图，如果残差分布的离散程度有明显扩大的趋势，则表明存在着异方差性。注意观察之前需要先将数据关于解释变量排序，命令格式为 SORT x
现根据表数据资料，可以分别得出模型的残差分布图（图）、与的散点图（图）、与的散点图（图），从这些残差分布图可以大致看出随机误差项存在递增的导方差性。
图 残差分布图
图 与的散点图
图 与的散点图
戈德菲尔德——匡特检验（Goldfeld and Quandt test）
检验的具体做法是：
第一，将观察值按解释变量的大小顺序排列，被解释变量与解释变量保持原来对应关系。
第二，将排列在中间的约1／4的观察值删除掉，除去的观察值个数记为c，则余下的观察值分为两个部分，每部分的观察值个数为(n-c)/2
第三，提出检验假设。 EMBED 为同方差性； EMBED 为异方差性。
第四，分别对两部分观察值求回归方程，并计算两部分的残差平方和与，它们的自由度均为，k为模型中解释变量的个数。如果是递增的异方差，则〉，两者差别较大。于是构造：
（）
则统计量F服从分布。
第五，判断。当(给定显著性水平下的F临界值)，则表明第二部分的误差项方差大于第一部分误差项方差，即两个子样本的方差水平显著不同，于是否定，接受，即随机误差项存在异方差性。若，则不存在异方差性。
例 下面我们用德菲尔德——匡特检验法来检验例中模型：是否存异方差性。在例中，样本数据个数n=28，C=n/4为了使两个子样本的容量相同，从中间去掉8个数据(即取C=8)。因此，利用EViews进行(G—Q)检验的具体步骤为
SORT x 将样本数据关于x排序
SMPL 1 10 确定子样本1（在命令窗口输入）
LS y c x 求出RSS1=
SMPL 19 28 确定子样本2
LS y c x 求出RSS2=
计算出F=／=
取=时，查第一自由度和第二自由度均为的F分布表得，而F=>，所以存在(递增的)异方差性。
从检验过程可以看出，G-Q检验适用于检验样本容量较大、异方差性呈递增或递减的情况，而且检验结果与数据剔除个数c的选取有关。
怀特检验（ test）
不访设回归模型为二元线性回归模型：
（）
White检验的具体步骤如下：
1．用OLS法估计模型，并计算出相应的残差平方，作辅助回归模型：
（）
其中为随机误差项。即求对的线性回归估计式。
对于一元线性回归模型，则辅助回归模型为。
2．计算统计量，其中n为样本容量，为辅助回归函数中的未调整的决定系数。
3．在的原假设下，渐进地服从自由度为5的分布（对于一元情况，渐进地服从自由度为2的分布），给定显著性水平，查分布表得临界值，比较与，如果>，则拒绝，接受，表明回归模型中参数至少有一个显著地不为零，即随机误差项存在异方差性。反之，则认为不存在异方差性。
利用EViews软件可以直接进行White检验。例如对例我国制造工业利润函数，White检验的具体步骤为
(1)建立回归模型： LS y c x
(2)检验异方差性：在方程窗口中依次点击
View＼Residual Test＼White Heteroskedasticity
此时可以选择在辅助回归模型中是否包含交叉乘积项(Crass terms)。输出结果中obs*R-squared即White检验统计量，由其双侧概率可以判断是否拒绝无异方差性的原假设。
例 下面我们用White检验法来检验例中模型：是否存异方差。本例为一元回归模型，辅助回归模型中只有x和两项，不存在交叉乘积项。执行命令之后，屏幕将显示辅助回归模型的估计结果及表信息。
表 怀特检验结果
其中F值为辅助回归模型的F统计量值。取显著水平，由于 EMBED ，所以利润函数存在异方差性。实际上，由输出结果的概率值(p值)可以看出，只要取显著性水平>，就可以认为利润函数存在异方差性。实际应用中，一般是直接观察p值的大小，若p值较小，则拒绝不存在异方差性的假设，认为模型存在异方差性。
戈里瑟检验(Glejser test)和帕克检验（Park test）
其基本原理都是通过建立残差序列对解释变量的(辅助)回归模型，判断随机误差项的方差与解释变量之间是否存在着较强的相关关系。
戈里瑟提出如下的假定函数形式：
） （）
其中为随机误差项。
例如：
帕克提出如下的假定函数形式：
（）
即：
（）
或者：
以Glejser检验为例，其具体步骤如下：
1．根据样本数据用最小二乘法估计回归模型并求残差；
2．分别建立残差绝对值对每个解释变量的各种回归方程；
3．检验每个回归方程参数的显著性。如果其参数显著地不为零，则存在异方差性，相反，则认为随机误差项满足同方差假定。
Glejser检验的特点是：不仅能检验异方差性，而且通过“实验”可以探测异方差的具体形式，这有助于进一步研究如何消除异方差性的影响。
例 下面我们用Glejser检验法来检验例中模型：是否存异方差。
利用EViews软件进行Glejser检验的步骤为
LS y c x
GENR E=ABS（RESID） 生成序列
然后利用GENR命令生成等序列，再分别建立与这些的回归方程。结果如下：
（1）
t = () ()
= F=
（2）
t = () ()
= F=
（3）
t = () ()
= F=
上述三个回归方程都表明利润函数存在异方差性（只要取显著性水平大于即可）
例 下面我们用帕克检验法来检验例中模型：是否存异方差。
利用EViews软件进行Glejser检验的步骤为
LS y c x
GENR lnE2=log（RESID^2） 生成序列
GENR lnx=log(x)
LS lnE2 c lnx
运行结果如下：
表 回归结果
回归方程为：
t = () ()
= F=
上述回归方程表明利润函数存在异方差性。
以上怀特检验、戈里瑟检验和帕克检验方法统称为残差回归检验法。
ARCH检验（自回归条件异方差检验）
如果在建模分析中所用样本资料是时间序列数据，当存在异方差性的时候，可考虑用ARCH(autoregressive conditional heteroskedasticity)方法检验，设ARCH过程为:
（）
并且提出原假设为
EMBED （）
其中p为ARCH过程的阶数，为随机误差项。
则ARCH检验的基本步骤如下：
1．运用OLS方法对模型
（）
进行估计。
2．计算残差序列，及
3．求辅助回归函数：
（）
注意样本容量不能少于n-p个。
4．由辅助回归函数得，计算检验统计量=，在成立的条件下，=服从自由度为p的分布。比较=与给定下的临界值，如果=>，则拒绝，表明模型中存在异方差性，即存在ARCH效应。
利用EViews软件可以进行ARCH检验。在方程结果输出窗口选择View＼Residual Test＼ARCH LM Test，屏幕提示用户指定检验的阶数，系统默认为1，点击OK完成。
异方差性的解决方法
模型变换法
模型变换法即对存在异方差性的模型进行适当的变量变换，使变换后的模型满足同方差假定。前提是要合理确定异方差性的具体形式，这可以通过用帕克检验、戈里瑟检验等方法所提供的异方差的具体形式来确定。
设模型为一元线性回归模型：
（）
随机误差项具有异方差性，由Glejser检验可知，异方差性与变化有关，且
（）
式中为常数，为解释变量的函数，当=常数时，为同方差；当 EMBED 常数时，具有异方差性。用去乘式（）两端得
EMBED ++ （）
记：
，，，
则有
（）*
此时具有同方差性。事实上，
EMBED = EMBED
此时，原模型变成同方差模型，可以利用OLS估计模型并得到最佳线性无偏估计量。函数可以有不同的形式，Glejser检验提供了相应的的信息。一般取如下形式：
加权最小二乘法(WLS)
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS法估计其参数。加权的基本思想是：在采用OLS方法时，对较小的残差平方赋予较大的权数，对较大的残差平方赋予较小的权数，以对残差提供的信息的程度作一番校正，提高参数估计的精度。
设一元线性回归模型为，如果，则用除以模型得
（）
记：
，，，
则：
（）
此时，，原模型变成同方差模型，可以利用最小二乘法估计模型，并且得到的是最佳线性无偏估计量。
因此，加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和实施OLS法：，其中为权数。
在实际操作过程中，被解释变量和解释变量的每个观测值都以其误差项标准差的倒数1/为权数。这种加权过程就称为加权最小二乘法（Weighted Least Squares，简称WLS）。
加权最小二乘估计的EViews软件实现过程：
EViews软件的具体执行过程为
(1)生成权数变量；
(2)使用加权最小二乘法估计模型；
命令方式: LS(W=权数变量或表达式) y c x
菜单方式: ①在方程窗口中点击Estimate按钮；②在弹出的方程说明对话框中点击Option进入参数设置对话框；③在参数设置对话框中选定Weighted LS方法，并在权数变量栏中输入权数变量，然后点击OK返回方程说明对话框；④点击OK，系统将采用WLS方法估计模型。
(3)对估计后的模型，再使用White检验判断是否消除了异方差性。
例 我国制造工业利润函数中异方差性的调整。
1．先用最小二乘法估计模型，估计结果为:
t = () ()
= F=
2．生成权数变量：
根据Glejser检验，得到:
（1）
（2）
（3）
仅以（1）为例，取权数变量为
GENR W1=
3．利用加权最小二乘法估计模型：
依次键入命令：LS（W=W1） y c x 或直接键入命令：LS（W=1/x） y c x 或在方程窗口中点击Estimate＼Options按钮，并在权数变量栏输入W1，可以得到以下估计结果：
表 加权最小二乘法估计结果
t = () ()
为了分析异方差性的校正情况，利用WLS估计出每个模型之后，还需要利用White检验再次判断模型是否存在着异方差性，White检验结果如下：
上述模型中的(为了区别起见，辅助回归模型的判定系数用表示)和p值就是White检验的输出结果。模型的拟合优度 EMBED ，模型已不存在异方差性。
模型的对数变换
如果在模型中，变量分别用取代，则对
（）
进行回归，通常可以降低异方差性的影响。其原因在于：（1）对数变换能使测定变量值的尺度缩小，它可以将两个数值之间原来10倍的差异缩小到只有2倍的差异；（2）经过对数变换后的线性模型，其残差表示为相对误差，而相对误差往往具有较小的差异。
例 我国制造工业利润函数中异方差性的调整。用GENR生成序列lny和lnx，即在光标处键入：
GENR lny=log（y）
GENR lnx=log（x）
然后，用OLS方法求lny对lnx的回归，其结果如下：
表 对数变换回归结果
t = () ()
为了分析异方差性的校正情况，利用WLS估计出每个模型之后，还需要利用White检验再次判断模型是否存在异方差性，White检验结果如下：
上述模型中的和p值就是White检验的输出结果。模型的拟合优度 EMBED ，模型已不存在异方差性。从残差图也可以看出不存在异方差性。
图 残差图
广义最小二乘法(GLS)
对于多元线性回归模型：
()
其中随机误差项向量的数学期望和方差一协方差矩阵分别为E()=0
== EMBED =
= EMBED EMBED
其中为n阶实对称矩阵，为常数。
如果随机误差项的方差相同且等于，并且非自相关，则 (为单位矩阵)。古典回归模型中关于同方差和非自相关的假定可以统一表示为
= EMBED
如果，因为为n阶实对称矩阵，根据线性代数知识，存在n阶非奇异矩阵，使得,由此可得:
用左乘式()，得:
令：
则式()变换成：
（）
随机误差项的方差——协方差矩阵为
这表明变换后的模型满足同方差和非自相关的假定，由于是线性变换，其他假定也显然满足，因此可以应用OLS法估计模型（），参数的OLS估计量为
即：
（）
称式()为广义最小二乘估计(Generalized Least Square--GLS)。
为估计权重矩阵，可以对模型()首先采用OLS法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权重矩阵的估计量，即
（）
在使用统计软件估计模型时，作为一个一般的经验方法，可以不对原模型进行异方差检验和序列相关检验，而是直接选择广义最小二乘法。如果确实存在异方差性和序列关性，则被有效地消除；如果不存在，则广义最小二乘法等价于普通最小二乘法。
对()式中的，可以分以下几种情况讨论：
(1)当=，即满足基本假定时，,为OLS估计，可见OLS估计是GLS估计的特例。
(2)当为对角矩阵，即存在异方差性时，
=； EMBED
此时，选取权矩阵为下列形式：
= （）
其中，为权数。所以，在异方差性情况下，GLS估计即为WLS估计；或者说，WLS估计也是GLS估计的特例。
在实际应用中，由于，因此，权矩阵取为：
= （）
案例分析——中国农村居民人均消费函数
中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。农村人均纯收入除了从事农业经营的收入外，还包括从事其他产业的经营性收入及工资性收入、财产收入和转移支付收入等。试根据表数据，建立我国农村居民人均消费函数（采用对数模型）：
其中，表示农村人均消费支出，表示从事农业经营的收入，表示其他收入。
表 中国2001年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出（单位：元）
地区
人均消费支出
从事农业经营的收入
其他收入
北 京
天 津
河 北
山 西
内蒙古
辽 宁
吉 林
黑龙江
上 海
江 苏
浙 江
安 徽
福 建
江 西
山 东
河 南
湖 北
湖 南
广 东
广 西
海 南
重 庆
四 川
贵 州
云 南
西 藏
陕 西
甘 肃
青 海
宁 夏
新 疆
资料来源：《中国农村住户调查年鉴》（2002），《中国统计年鉴》（2002）。
1．首先用OLS法建立我国农村人均消费函数，估计结果如下
表 OLS法回归结果
t = () () ()
，，
回归结果显示，其他收入的增长，对农户人均消费支出的增长更有刺激作用。
2．检验模型是否存在异方差。
(1)图示法：可以认为，不同地区农村人均消费支出的差别主在来源于非农经营收入的差别，因此，如果存在异方差性，则可能是x2引起的。模型OLS回归得到的残差平方e2与lnX2、lnX1的散点图（图）表明存在单调递增异方差性
图 异方差性检验图
（2）Goldfeld-Quandt检验
将原始数据按x2排成升序，去掉中间的7个数据，得到两个容量为12的子样，对两个子样分别作OLS回归，求各自残差平方和RSS1和RSS2，利用EViews进行(C-Q)检验的具体步骤为
SMPL 1 12 确定子样本1
LS lnY1 c lnX1 lnX2 求出RSS1=
SMPL 20 30 确定子样本2
LS lnY1 c lnX1 lnX2 求出RSS2=
计算F=／=
取=时，查F分布表得， F=>，所以存在(递增的)异方差性。
（3）怀特检验
在方程窗口中依次点击：View＼Residual Test＼White Heteroskedasticity
本例含交叉乘积项回归后不显著，取不含交叉乘积项。估计结果如下。
表 怀特检验结果
其中F值为辅助回归模型的F统计量值。取显著水平，由于 EMBED ，所以存在异方差性。实际上，由输出结果的概率值(p值)可以看出，只要取显著性水平>，就可以认为存在异方差。
3．消除异方差性
取原模型残差绝对值的倒数为权数，采用加权最小二乘法，回归结果如表所示。
表 加权最小二乘法回归结果
t = () () ()
，，
为了分析异方差性的校正情况，在方程窗口中依次点击：View＼Residual Test＼White Heteroskedasticity，结果如下：
表 WLS估计模型后的怀特检验结果
取显著水平，由于 EMBED ，所以不存在异方差性。
可以看出，与采用OLS估计原模型相比，无论是拟合优度，还是各参数t统计量以及F统计量的值都有了显著提高。
回归结果表明，中国农村居民人均消费支出与人均纯收入、与从事非农经营收入及其他收入显著正相关。人均纯收入每增长1%，农村居民人均消费支出将增长%；从事非农经营收入及其他收入每增长1%，农村居民人均消费支出将增长%。来源于非农经营收入及其他收入的差别是我国影响不同地区农村人均消费支出的差别主要原因。
思考与练习
什么是异方差性？试举例说明经济现象中的异方差性。
产生异方差性的原因及异方差性对模型的OLS估计有何影响？
样本分段法检验（即戈德菲尔德——匡特检验）异方差性的基本原理及其适用条件。
戈里瑟检验异方差性的基本原理及优点。
5．检验异方差性的G-Q检验和White检验是否相同？试述White检验、Park检验和Glejser检验的异同之处。
6．加权最小二乘法及其基本原理，它与普通最小二乘法有何差异？
7．判断下列说法是否正确，并简要回答为什么：
(1)当异方差出现时，最小二乘估计是有偏的和不具有最小方差特性；
(2)当异方差出现时，常用的t检验和F检验失效；
(3)在异方差情况下，通常OLS估计一定高估了估计量的标准差；
(4)如果OLS回归的残差表现出系统性，则说明数据中有异方差性；
(5)如果回归模型遗漏一个重要变量，则OLS残差必定表现出明显的趋势
(6)在异方差情况下，通常预测失效。
8．用横截面资料建立企业利润（）对企业销售收入（I）的线性回归模型时，可能遇到的主要问题是什么？
9．检验下列模型是否存在异方差性，列出检验步骤，给出结论。
样本共40个，本题假设去掉样本点C=12个，假设异方差由引起，数值小的一组残差平方和为RSS1=-17，数值大的一组残差平方和为RSS2=-17。
10．建立住房支出模型:，样本数据如表1下（其中：y是住房支出，x是收入，单位：千美元）：
表1 住房支出与收入数据
y
x
5
5
5
5
5
10
10
10
10
10
y
x
15
15
15
15
15
20
20
20
20
20
请回答下列问题：
(1)用最小二乘法估计的估计值、标准差、拟合优度。
(2)用Goldfeld-Quandt检验异方差性（假设分组时不去掉任何样本值），取。
(3)如果存在异方差性，假设，用加权最小二乘法重新估计的估计值、标准差、拟合优度。
11．试根据表2中消费(y)与收入(x)的数据完成以下问题：
(1)估计回归模型：；(2)检验异方差性（可用怀特检验、戈德菲尔德——匡特检验）；(3)选用适当的方法修正异方差性。
表2 消费与收入数据
y
x
y
x
y
x
55
80
152
220
95
140
65
100
144
210
108
145
70
85
175
245
113
150
80
110
180
260
110
160
79
120
135
190
125
165
84
115
140
205
115
180
98
130
178
265
130
185
95
140
191
270
135
190
90
125
137
230
120
200
75
90
189
250
140
205
74
105
53
80
140
210
110
160
70
85
152
220
113
150
75
90
140
225
125
165
65
100
137
230
108
145
74
105
145
240
115
180
80
110
175
245
140
225
84
115
189
250
120
200
79
120
180
260
145
240
90
125
178
265
130
185
98
130
191
270
12．考虑表3中的数据。(1)估计OLS回归方程：
表3 样本数据
就业规模
（平均就业人数）
平均赔偿
y（美元）
平均生产率
x（美元）
赔偿的标准方差
（美元）
1-4
3396
9335
744
5-9
3787
8584
851
10-19
4013
7962
728
20-49
4104
8275
805
50-99
4146
8389
930
100-249
4241
9418
1081
250-499
4387
9795
1243
500-999
4538
10281
1308
1000-2499
4843
11750
1112
(2)估计：
分析两个回归方程的结果。你认为哪个回归方程更好？为什么？
13．现有20个家庭的年收入和消费支出资料如表4（单位：千元）：
表4 20个家庭年收入和消费支出资料
家庭序号
年收入额
年消费支出
家庭序号
年收入额
年消费支出
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
20
(1)用普通最小二乘法估计家庭消费函数：；
(2)用戈德菲尔特——匡特检验进行异方差性检验；
(3)怀特检验、戈里瑟检验和帕克检验进行异方差性检验；
(4)用加权最小二乘法估计家庭消费函数。
14．表5列出了1995年北京市规模最大的20家百货零售商店的商品销售收入x和销售利润y的统计资料。
表5 20家百货商店商品销售收入与利润 （单位：千万元）
商店名称
销售收入
销售利润
商店名称
销售收入
销售利润
百货大楼
贵友大厦
城乡贸易中心
金伦商场
西单商场
隆福大厦
蓝鸟大厦
友谊商业集团
燕莎友谊商场
天桥百货商场
东安商场
百盛轻工公司
双安商场
菜市口百货商场
赛特购物中心
地安门商场
西单购物中心
新街口百货商场
复兴商业城
星座商厦
(1)根据y、x的相关图分析异方差性；
(2) 利用White检验、Park检验和Glejser检验进行异方差性检验；
(3)利用WLS方法估计利润函数。
15．表6列出了2000年中国部分省市城镇居民每个家庭平均全年可支配收入x与消费性支出x的统计数据。
（1）OLS法建立人均消费支出与可支配收入的线性模型。
（2）检验模型是否存在异方差。
（3）如果存在异方差，试采用适当的方法加以消除。
表6 2000年中国部分省市城镇居民人均可支配收入与消费性支出(单位：元)
地区
可支配收入x
消费性支出x
北 京
天 津
河 北
山 西
内蒙古
辽 宁
吉 林
黑龙江
上 海
江 苏
浙 江
山 东
河 南
湖 北
湖 南
广 东
陕 西
甘 肃
青 海
新 疆
