结构突变与协变理论简介
王静
摘要：本文介绍了计量经济学的前沿理论——结构突变和协变的概念与检验和估计方法，以及其应用情况。一般计量方法都假定在建模区间内，经济变量的DGP保持不变，然而现实中一些强烈的外生冲击，例如石油危机、金融危机等，会改变经济数据的DGP，使得模型的某些参数发生改变。结构突变和协变理论就是研究经济模型的参数的时变问题，是对单位根检验和协整理论的有益补充,并且对于经济建模更接近数据的真实DGP、提高模型的预测精度有重要意义。
关键词：结构突变、协变、外生结构突变、内生结构突变、同期均值协变、异期均值协变
Keywords：Structural Breaks，Co-breaking，Exogenous Structural Breaks，Endogenous Structural Breaks，CMC，IMC
大量宏观经济序列都显示是由非平稳随机过程生成的。也就是说，观测数据的方差，甚至它们的均值，都是随时间而变的。这种序列的例子包括有上升趋势的GDP、在恶性通货膨胀时期的总价格水平的变化等。
一种解释非平稳过程的方法是单整过程，此时，非平稳性是有小扰动项累积而成的，并因此经常被称为随机非平稳。其数据生成过程（DGP）为， 。单整过程是差分平稳过程。检验一个随机非平稳过程是否含有单位根，常用的方法有DF(ADF)检验、CRDW检验和PP检验。这三者检验的结果有时会出现不尽一致的情况，追究其原因，因为经济序列的真实DGP形式往往是未知的，从而如果被检验过程的DGP与AR(1)不同，或者被检验过程的DGP在某时点发生了改变（也即含有突变点），这些都会导致单位根检验的检验势降低。
传统的单位根检验是假设在所考虑期间内数据的DGP保持不变，但是由于剧烈的外生冲击（例如体制变迁、经济危机、技术升级等），可能会导致经济模型所反映的数据的潜在DGP改变，也就是计量经济模型的系数发生了时变。
对于计量经济模型的系数的时变性问题，已经纳入一般计量软件的CHOW检验（Chow，1960）就显示出了计量工作者很早就开始考虑这个问题，但是Chow检验相对来说还是很粗略的。另外颇具影响的观点是Lucas批判（1976）。他当时是对经典计量方法的预测能力提出质疑。他认为，如果一个模型的某些参数所反映的是私人行为对以前的经济政策的反应函数的适应性，如果政策反应函数发生了改变，则私人行为对新的反应函数将再适应，其结果是，原先估计的模型参数将不能描述这种再适应。Lucas批判隐含的意思是如果政策反应函数出现变化，则计量经济模型的参数也将改变。其实质是提出了计量模型的参数是否随时间而变化的问题，隐含了经典计量模型产生不精确预测的重要原因是结构变化问题。
因此，计量理论开始尝试用另一种观点来描述数据生成：有些非平稳过程是由于数据的确定趋势（截距或者斜率）会随时间而变，数据的非平稳性归咎于断续出现的大的迁移（shift），即结构突变（Structural Breaks），将这样的数据称为确定性非平稳。
结构突变理论
结构突变的思想就是考察外生冲击（例如金融危机、石油价格冲击）是否使得时间序列的数据生成过程发生了改变。
除上面提到的差分平稳过程之外，还有两种常见的非平稳过程：
（1）
上式称为趋势平稳过程或者退势平稳过程，因为它可以通过退去时间趋势而成为平稳过程。
（2）
它被称为确定性趋势非平稳过程。它退去时间趋势后是一个随机非平稳过程，只有既差分又退势才能使之平稳化。
对于（1）和（2）式，如果在某一时点，式中的μ或者δ发生了变化，则称其发生了结构突变。对于含结构突变的时间序列，可以根据原序列是否平稳分为结构突变的趋势平稳过程和结构突变的单位根过程，根据突变点是否先验设定，分为外生性结构突变（已知）和内生性结构突变（未知）。
（1）外生性结构突变的检验
结构突变发生时点已知时，称其为外生性结构突变点。假定发生结构突变的时点为，则发生在截距的突变为，其中，当 时；， 当时。也就是之后，截距由突变到。对于时间趋势项δt，也可能发生相应的结构突变，或者结构突变在截距和时间趋势上同时发生。若发生了确定项结构突变的是单位根过程，则称为具有结构突变的单位根过程。
Perron（1989）针对突变点已知的结构突变提出了三种模型：截距突变的“崩溃”模型A、斜率突变的“增长率”模型B、截距与斜率都有突变的模型C。
模型A： （3）
这一模型称为崩溃模型，是因为结构变化之后，yt 的均值轨迹不再返回结构变化之前的均值轨迹。
模型B： （4）
这里t*=0，当t≤ tB时；t*=t - tB，当t>tB时。
突变发生在斜率而截距不变的模型B，由于斜率反映增长率，因此也称为变化的增长率模型。
模型C： (5)
对于模型A、B、C，原假设和备择假设为：
H0： H1：
当接受H0时，yt 为结构突变的单位根过程，而接受H1时，yt为结构突变的趋势平稳过程。从而对结构突变的单位根检验就转化为对退化趋势之后的残差的单位根检验。不过Perron（1989）证明，即使回归后的残差是独立同分布的，的系数ρ的分布并不是标准的DF分布，它与突变的时点位置λ= tB/T有关，因此必须使用Perron的临界值确定接受还是拒绝ρ=1。不过Perron（1989）证明，即使回归后的残差是独立同分布的，的系数ρ的分布并不是标准的DF分布，它与突变的时点位置λ= tB/T有关，因此必须使用Perron的临界值确定接受还是拒绝ρ=1。
（2）内生性结构突变的检验
当数据结构变化不是特别明显时，外生结构突变的检验可能失效。因此，很多文献开始研究在未知时的结构突变的单位根检验。这样问题的重点首先是如何确定。
Perron、Vogelsang等人对结构突变点未知的情况，仍延续结构突变点已知的单位根检验的思路，首先对数据进行退化趋势，然后对所有可能的结构变化点重复上述外生结构突变点的检验步骤。一般来说，为保证检验功效， 应位于[15％,85％]之间。的确定可以根据数据特性来经验判断，也可以把样本区的15％～85％的每一时点都作为可能的突变点。
这样，问题又转化为已知的情况。对每一个，重复外生结构突变的单位根检验的步骤，计算相应的的t值（记为），取，以此确定和。与对应的就是结构突变点。确定了结构突变点后，将与λ未知的结构突变的单位根检验的临界值比较，来最终确定数据是由结构突变的单位根还是结构突变的趋势稳定过程所生成。
进一步，Bai & Perron(1998)给出了在线性系统中存在多个内生突变时的参数的渐进分布和突变时点的检验方法，并且给出了对于零假设：存在个突变与备择假设：存在个突变的检验方法。
（3）结构突变检验的必要性
Perron（1989）指出，如果被检验过程是一个趋势项存在结构突变的退势平稳过程，当用ADF 统计量做单位根检验时，容易将其误判为随机趋势非平稳过程，即进行单位根检验时不考虑结构突变，会导致检验功效降低（实为退势平稳过程，检验结果却认为是单位根过程）。同样，当进行单位根检验时，不考虑漂移项存在突变，或不考虑趋势项、漂移项同时存在突变，也会导致单位根检验功效降低。
Hendry（1999）说明了若在建模时没有考虑数据存在的结构突变，将会导致预测失败。
王少平、李子奈（2003）利用仿真试验检验了当某样本区间存在结构突变点时的DF检验的功效。试验结果表明，当有持续的时间小于整个样本长度的1/4时的明显的结构变化，且其发生在样本的前半期时，DF检验仍有80％的正确率，但是若结构变化持续时间发生在样本后期时，DF的检验势则不足20％，且越靠后，检验势降低越明显。他们的仿真试验还表明，当结构变化持续时间较长时（超过整个样本期的1/2），对DF检验产生了严重的影响，检验势降低到几乎10％之下。
（4）结构突变的应用
关于结构突变理论的应用还不是非常广泛。皮荣Perron (1989)将大萧条（1929年）和石油危机（1973年）做为对美国经济序列的冲击，认为大萧条使得经济水平降低（均值突变），而石油危机使得增长率降低（斜率突变），并运用这种假设突变时点已知的方法检验了Nelson &Plosser(1982) 中的14个单位根过程，认为其中有11个为结构突变的趋势稳定。然而，Zivot&Andrews (1992) 通过内生化结构突变点的检验方法，认为Perron的结论部分不正确。Tony Caporale等（2000）检验了～的美国实际利率与政府换届之间的关系，发现利率发生结构突变的时间与总统换届的时间相吻合，而与更换美联储主席的时间不一致。Hungnes（2004）利用VAR模型中的结构突变方法，检验了德国统一前后货币需求、真实GNP、利率、通货膨胀等变量，发现在统一货币（1990年7月）后，变量都有结构突变。王少平（2003）检验了1976－2000年中国人民币汇率的稳定性，结果表明人民币汇率服从结构突变的单位根过程，两个突变点——1989 年和1993年——都是由于人民币自身的币值对汇率的调整所致，并且汇率在亚洲金融危机之后没有出现结构突变，保持了稳定。佟孟华等（2004）检验了1996年1月到2003年5月的中国上证指数，结果表明上证指数是结构突变的趋势平稳过程。
协变理论
当几个变量都发生了确定性趋势突变时，它们之间或许有关联，也可能没有。结构突变是一种间歇发生的持久的大的变化，与产生I(1)过程的频繁的小的变化不同。但是，这两种不平稳的形式又紧密相关，根据经验很难区分，解决方法也有相似之处（例如，单位根过程和均值突变都可以通过差分使之平稳化）。因此，自然容易想到，既然协整可以通过变量的线性组合来“消除”I(1)系统中的单位根，是否在具有结构突变的系统中也可以有类似做法呢？
与协整概念类似，Ogaki和Park（1989）、Kang（1990）介绍了共趋势回归（co-trending regression）的概念，线性组合后的数据消除了原有的确定性趋势。Chapman和Ogaki（1993）将上述思想扩展到了分段趋势序列中，线性组合消除了原先单个序列中的确定性突变。
相对于单方程分析，Hendry（1996）首次提出了协变（co－breaking）的定义，即通过变量之间的线性组合来消除时间序列的确定性趋势突变。同时他给出了协变关系的多变量建模过程。在Clements & Hendry (1999)中，他们定义了几种协变过程，并提出了协变成立的条件。更进一步，探讨了协变与协整的关系，并将协变概念应用到了多重突变和条件模型的情形中。
下面重点介绍Clements & Hendry (1999)定义的同期协变与异期协变的概念。
（1）同期均值协变
同期均值协变（Contemporaneous Mean Co-breaking，记为CMC）与从I(1)到I(0)的协整很类似。这时尽管系统是服从于突变的，然而对变量按照相同时点进行线性组合就不依赖于突变。
对于一个n维随机过程向量，，它的非条件期望是
这里， （6）
对于任何，都是发生了一个均值的迁移。
定义： 对于n×s维的s阶矩阵，如果，则称Φ与发生了s阶的同期均值协变。
s阶的CMC可以通过适当的分块子向量来描述，也可以直接扩展到更高阶矩(例如，方差协变)。类似地，这个概念可以扩展到对非平稳过程的函数，这里一些变量的组合的期望具有良好定义，例如（I(1)过程的差分），或者（协整组合）。
按照（6）的定义，有
（7）
这样降为s阶的线性变换的的参数确定就与确定性趋势变迁无关。从而，尽管总体会导致预测失败，但是这个子集不会。
直观感觉是，当在时期之间可以任意改变时，均值协变不可能存在，因为一个矩阵要去“消灭”所有的均值突变。然而，在理论上存在一些情况，当所有都变化时，仍然存在协变关系。为显示这种可能性，考虑在一个降秩的情况中的CMC。
记n×T维矩阵，这里。则条件（是n×1维的）可以被写作。
Clement & Hendry利用线性代数原理和CMC的定义，得出了以下结论：
1．对于（n×1维），即1阶CMC存在的充分必要条件是的秩。
2．如果存在r个线性无关的向量满足，则CMC的阶不小于r。
3．当存在突变时，CMC的阶数不能超过n－1阶。
把突变项按照行向量重新排列，它们影响着每个变量，相应地，。
4．当线性无关时，CMC不可能存在。因为对于所有的，有。
5．当只存在个不同的值时，则存在不小于的阶的CMC。
6．当时，的秩，从而必然存在着不小于阶的CMC。
结论6表明当时必然有CMC(n－T)，然而这可能是“虚假（spurious）”协变（例如，甚至当这里存在T个无关的突变时，CMC仍在理论上成立）。
7．当中存在任意m×1维的子向量是零向量时，（），则至少有CMC（m）发生。
一个重要的有实际意义的情形是当突变在变量间是相关的情况。
8．如果对于成立（这里是秩为的维矩阵，是维向量），则存在不小于的阶的CMC。
这些结论是互相关联，层层深入的。结论8非常重要，因为它将协变与协整以及共趋势结合了起来。Hendry & Doornik（1994）在消除两个协整向量中的一个的趋势时曾经暗含了上述思想的应用。
（2）异期均值协变
异期均值协变（Intertemporal Mean Co－breaking，记为IMC）用来消除发生在不同时点的突变，例如：
，这里j可以与i不同。由此，通过线性组合当期变量和滞后项，可能可以使突变消失。因为大多时间序列模型都是动态的，多个变量组成的系统中的突变有各种可能的时间相关性，这就要仔细考虑异期协变矩阵。
用L来表示滞后算子，也就是，用表示一个维的次多项式矩阵：。由来定义维的矩阵：。
定义：当的秩是s（）时，若维的次多项式矩阵使得成立，并且不存在秩为s的维的次多项式矩阵能够零化（对），则称与产生了s阶异期协变。
上述的异期均值协变记为IMC（p, s）。要求IMC（p-1, s）不存在是为了保证具有唯一的维的非退化线性变换。
IMC与CMC有着密切的关系。
CMC的定义要求与确定性突变无关，因此CMC(s)成立就意味着IMC((1,s)成立，并且IMC(p-1,s)成立也意味着IMC（p，s）成立。因此，条件比要弱的多。从IMC的定义和（6）式，有:
需要注意的是，由于滞后项的使用使得完全“消除”突变成为可能，CMC(0)是与IMC（1，n）是相容的。例如，当，并且CMC的阶是0时，使对于 成立。这里R是满秩矩阵（秩＝n）。从而，因此在时点存在IMC（1,n）。
异期均值协变可能会捕获以不同方式联系的突变的真实延迟效应，但是，当突变数很少、并且变量的滞后值恰好相抵时，异期协变也可能会成为一种“虚假”协变。当动态系统的真实滞后长度q小于的滞后长度p时，“虚假”协变的影响就更加严重。
正如IMC的定义所预示的，形式最简单的IMC（p,s）的公式消除了滞后的突变，将问题简化为一个扩展了向量的CMC的变形，记为。一般来说，它可能具有一个最高阶的CMC(s1)(记做)，则有最高阶的IMC（1,s1+s2）使得：
这里是维矩阵，并且对有和的秩是。
依次类推（为了简单起见，这里用下三角阵），得到：
对于 成立。
上式简记为：。
令，则是维的，是维的。
则此时的与原先的IMC(p,s)相同，并包括了对于维的矩阵的降秩条件：的零维数（nullity）决定了协变的阶数。因为当时不是方阵，所以在这个扩展的公式中，甚至是所有时存在是可能的。
（3）协变对于预测的影响
Clements & Hendry(1999)利用VEqCM （Vector Equilibrium Correction Mechanism or Model，向量均衡纠正机制/模型），说明了协变对于外推预测的影响。
考察，这个系统其实就是一个VEqCM，不过，式中的系统在时点T存在一个结构突变。尽管式中的4个参数矩阵都可能发生变化，但是这里只考察和存在一次迁移的情形。
记确定性突变为和，将其代入表达式，则
（8）
因为当存在突变时，变量的条件期望与突变的起始时间有关，因此，这里记：
和。则有：
（9）
表示的是的参数不变时的值，而第二项则包含了参数迁移的效果。
对于（9）式的系统，考虑维矩阵，用其转置矩阵左乘（9），则有：
，则s维的均衡-均值协变要求，s维的漂移项协变要求。
当，则协整向量在突变前后都没有趋势项，均衡-均值协变要求：，
相似地，对于漂移项协变，要求：。
（4）协变理论的发展和完善
在Clements & Hendry(1999)之后的寥寥三篇文献，就在co－breaking的统计模型检验、检验co－breaking向量的个数、估计co－breaking的值方面做出了长足的贡献。
首先是Bierens (2000)提出了检验“非参数的非线性共趋势的阶”的步骤。但是，他的成果，适用性值得质疑，因为“非线性共趋势检验不能区别共趋势和协整”（Bierens 2000，p331）。因此不能将序列中的非平稳归因于特定的历史事件，而这恰恰违反了结构突变分析的特性。
其次，Krolzig & Toro (2001)提出co-breaking向量或许可以通过自回归模型估计。他们假设结构突变点是已知的，并将向量自回归模型中的确定趋势项用适当的虚拟变量来组合。后一项特征与Bierens (2000)提出的方法有绝对的概念上的区别，Bierens假设有关的过程是服从于突变，而不是用自回归方程表示的方程。
第三，Hatanaka & Yamada (2003)的工作将分段趋势模型中的共趋势的思想与协整思想整合。依照Bierens (2000)的方法，他们建立了一个模型，将过程分解为确定项和随机项。但与Bierens不同的是，他们假设截取突变和趋势突变的时机是已知的。为了确定co-trending的阶，他们提出了一个假设检验步骤，其交替使用单位根检验（尤其是Johansen, Mosconi & Nielsen (2000)提出的方法），和检验确定性趋势存在的方法。利用主成分分析得出的随机变量的列空间是由三部分组成的：第一个子空间是由同时具有共趋势和协整关系的向量组成，另一个是具有共趋势但是不存在协整关系的向量组成，最后是不存在共趋势的向量空间。
(5)协变的应用
对于协变理论，由于其理论的研究尚未完善，其应用也处于起步阶段。
Clements & Hendry(1999)用协变理论补充和改进了他们以往对于英国货币需求的预测模型，预测精度较以往模型有了很大提高。他们使用了包括名义、总最终消费I、物价平减指数P、三月期本地债券抵押利率R这些变量的1963：3～1989：2的调整后的季度数据。由于用1963：3～1983：2的数据估计的英国需求的单方程模型显示出很差的外推预测精度，Hendry & Doornik（1994）将其扩展为4变量VAR模型，并检验出存在两个协整关系。然而将样本区扩展为1963：3～1989：2后，由于利率的支付在1984：2法定化而有一个大幅提高，存在突变或者金融冲击，从而在大样本区间的预测效果仍不理想。而通过协变关系的估计，在没有改变参数数量和参数值的情况下，与真实货币需求之间的协变关系大大减少了预测误差。
Massmann(2001)设计出了将协变思想应用到静态计量模型中的计量经济学方法，并用1872-1990年的英国的价格和工资水平的数据重新检验了Stolper-Samuelson定理。Massmann(2004) 将Massmann（2001）的静态分析框架扩展到了动态过程来解释时间序列数据的序列相关问题。并通过一个严格的co-breaking实证检验，显示了在表示长期关系时，协变可能是协整的一个有用的替代。更重要的是，他对于英国的实际工资和世界价格，应用了所提出的估计和检验过程，从新的角度诠释了著名的Stolper-Samuelson定理。
Krolzig & Toro（2003）利用新资产定价理论，检验1926～1986年的美国的股市收益、股息、股价、国债利息的协变关系，并利用结果做多期（multi-period）收益预测。
小结
无论是结构突变还是协变理论，它们的研究都还很不完善。但是从已有的理论进展和不多的应用中，我们仍能够看出它们的重要性和发展前景。
自从单位根检验以及Granger表述定理问世以来，计量经济学对非平稳时间序列的建模有了卓越的突破，大大弥补了在传统CC假设下计量模型的设立和预测能力的不足。然而对它们也存在一些批评，主要集中在“粗暴”的差分处理削弱了单位根过程和VAR模型的经济解释能力。对于这个问题，结构突变和协变理论是有益的补充和完善。结构突变和协变理论的最大优点，也正是它们的思想起源，就是可以用现实事件（外生冲击）来解释经济变量的变化，这使得模型的解释能力大大提高。
同时，假设数据生产过程在样本区间内保持不变，对于金融数据或者大样本经济序列确实是一个很苛刻的要求。结构突变和协变理论研究外生冲击对于DGP的改变，进而对经济模型系数的改变，使得计量模型更接近数据的真实DGP变得可能，这对于提高时间序列计量模型的预测精度有很大帮助。
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王静：中国社会科学院 数量经济与技术经济研究所 2003级博士生 专业：数量经济学
通讯地址：北京朝阳区望京中环南路1号 03级博3班 （100102） 电话：13391858029
E-mail: ellin_w@
EMBED 是由时间序列变量组成的 EMBED 向量，则一阶动态系统可以写作：
EMBED ，这里 EMBED ， EMBED 。 EMBED 包含了确定性项， EMBED 的初始值 EMBED 是固定的。 EMBED 是 EMBED 参数矩阵。上式可以被改写为：
EMBED
这里 EMBED 。当 EMBED 并且协整向量的秩是r时， EMBED 和 EMBED 是 EMBED 矩阵。将协整表示出来，就得到了VEqCM形式：
EMBED 。
