第四章 抽样及抽样分布.pdf

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第四章抽样及抽样分布抽样与抽样分布的概念2分布，t分布，F分布抽样分布定理返回主目录 第一节抽样和抽样分布概念为什么要抽样？数理统计中总体的演化；总体分布未知，但是又需要了解总体分布；什么是抽样分布？总体和样本的关系：样本具有和总体相同的分布；样本可以构造统计量：什么叫统计量？ 从社会统计到数理统计总体的演化研究的标志数字的取值和重复的频率素组成元素组成元素组成元具体对象重复数字数字的取值及其概率：分布实物总体数字总体分布总体例：班级同学的身高班级的同学的集同学身高的集合身高的取值及其合（全体同学）概率组成元素：每位同组成元素：身高的组成元素：身高的学（具体对象）数字（重复数字）分布 总体和样本的关系数理统计中，样本和总体具有相同的分布•分布总体总体各个值的概取值1取值2：率可以认为是有相应比重的个概率概率体取该值。•随机样本由于每一个体都分布有均等被抽中的概率，因而样总体本取总体各个值的概率即样本分布与总体分布相同。取值…3：取值0样品样品X2。。。样品Xn总体的分布：总体中重复数字取各值的概率有放回与不放回的抽？ 样本：从总体X中抽取的容量为n的样本，是一个随机向量，表达为：X1,X2,,Xn样本点（样品）:每一个Xi是一个随机变量样本观测值：抽出的n个样本，观察到的具体数字，是常数，没有随机性，用小写字母表达：x1,x2,,xn 样品同分布样品之间相互独立——简单随机样本因此，样本是一个联合分布问题例4-1，4-2 统计量的定义和作用抽样和构造统计量的过程总体分布未知总体参数未知总体其他信息未知样本统计量T=T(X1,X2,…Xn)两个要点：1、是样本的函数2、不含未知的总体参数.抽样分布就是样本统计量的分布抽样得到随机样本样本X利用统计量推断总体信息1,X2,…Xn 判断下列是否为统计量Xn1X2X1nXnXS21XX2()innii1n1i1XX(1,,)(n),,XnX1X2nTX2()XiZ0i1 统计量的主要类型样本矩统计量分位数统计量顺序统计量其他统计量 例.总体X服从两点分布，概率分布律如下：P(X1)pP(X0)1pq从总体中抽样容量为n的样本，构造统计量nTXii1求此统计量的抽样分布。 解：由于样本是独立的，X服从两点分布，统计量T为随机变量，其取值是0到in之间的所有整数，其分布恰好是二项分布，其分布律为：PTCkpkqnk(k)nk0,1,2,...,n从上面的例子中，可以看出总体的分布未必是抽样分布。 例.总体X~N1,1抽取容量为n的样本，构造如下三个统计量：T1X1T2X1X1n2T3XXini1求此三个统计量的抽样分布。 解：由于样本是独立的，Xi服从均值和方差都为1的正态分布，三个统计量都是样本的线性函数，由正态分布的性质，三个统计量仍服从正态分布，，下面分别求解其均值和方差：E(T1)E(X1)1D(T1)D(X1)1E(T2)E(X1)E(X2)2D(T2)D(X1)D(X2)2E(T3)()1D1EX(T3)D(X)n统计量T1服从均值和方差都为1的正态分布，这和总体的分布相同T2服从均值和方差都为2的正态分布，T服从均值为1，方差为1/n的正态分布。3 第二节统计量及其分布三种常见分布2(1)分布2分布的定义X1,,Xn为独立同分布于标准总体总体N(0,1)的随机变量列，则称随机变量：2X2X21n所服从的分布为自由度是n的2分布，记为2~2(n) 第二节统计量及其分布12. 分布的三个要点：独立同分布的随机变量序列新随机变量服从随机变量服从标准正态分布自由度为n的卡方分布为原随机变量平方和 例:设(X1,Xn)为来自正态总体N(0,1)的样本，则称统计量：2X21X22X2~2nn说明：因为样本来自标准正态总体，所以是独立同分布于标准正态总体，满足第1、2两个条件，同时注意到统计量的构造为平方和形式，满足第3个条件，共是n个样本的平方和，故成立。问:设为来自正态总体2(X1,Xn)N(,)的样本，构造服从卡方分布的随机变量： 2分布的性质：1、2~2n2~21(1),2(n2),且独立，则：2212~2(n1n2)n证明：设1n22X2221,2Y2，212独立，则：iji1j1X,Y,i1,2,n1,j1,2,n独立，由卡方分布的定义ij2n1n222X2Y2212~n1nij2ij 第二节统计量及其分布2分布的性质：2、E2nD2,2n证：X~N2(0,1), EX0,DX1, EX1iiiiDX2EX4EX22()312,i1,2,niii所以：nnE2E22(X)EX1i1nnD2D(X2)DX21i1 2(n)分布实质上就是参数为n/2,1/2的Γ分布，即2(n)的密度函数为nx1122xe,x0f(x)2n/2(n/2)0,x0 第二节统计量及其分布2对于给定的(01)，称满足条件：P{22(n)}的点2为2(n)(n)分布的上分位点((1-)分位点)当充分大时，1n22(n)(z2n1)2z是标准正态分布的上分位点。 第二节统计量及其分布(2) t-分布XX~NY2(0,1),~(n),X,Y独立，则称Y/n所服从的分布为自由度是n的t分布，记作T~t(n). 第二节统计量及其分布t分布的三个要点：分子是标准正态随机变量新随机变量服从分母是自由度为n的卡方随机变量自由度为n的t分布分子分母相互独立，且满足构造公式 t分布的图像基本性质: (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。(2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数 第二节统计量及其分布对于给定的(01)，称满足条件：P{tt(n)}的点t(n)为t分布的上分位点。t1(n)t(n)由概率密度的对称性知：t1(n)t(n)当n45时，t(n)z. 第二节统计量及其分布注(1) t(n)分布的密度函数为n1()2n12x2 t(x,n)(1) xR nnn()2(2) t分布的密度是偶函数， n=1,E(t)不存在，当n2，E(t)=0 (3) limt(x,n)N(0,1) n 第二节统计量及其分布(3) F－分布22独立，称X/nX~nYn,X,Yr1(1),~(2).v. FY/n2所服从的分布为自由度是(n1,n2)的F分布记作F~F(n1,n2). n1称为第一自由度,n2为第二自由度 第二节统计量及其分布F分布的三个要点：分子是自由度为n1的卡方随机变量新随机变量服从分母是自由度为n2的卡方随机变量第一自由度为n1第二自由度为n2的F分布分子分母相互独立，且满足构造公式 第二节统计量及其分布若 F~F(n1,n2),则1/F~F(n2,n1).对于给定的(01)，称满足条件：P{FF(n1,n2)}的点F(n1,n2)为F分布的上分位点结论：FF(n1,n2)1(n1,n2)1/F(n2,n1) 第三节抽样分布定理一个总体的统计量的分布1nXX21n,Si2(XX)inn1i1i1定理1：设总体X有E(X)=μ，D(X)=σ* σ，X1，…，Xn为来自总体X的一个容量为n的样本，则2EXDXES22(),(),.n 第三节抽样分布定理定理2：设总体X N2(,)，X1，…，Xn为来自总体X的一个容量为n的样本，则2(1)X~N(,)nX(2)~N(0,1)/n 第三节抽样分布定理定理3：设总体X~N(μ，σ2)，X…1Xn为来自总体X的一个容量为n的样本，记1nYX2() 2ii1则：Y 2(n) 第三节抽样分布定理定理4：设总体X~N(μ，σ2)，X1，…，Xn为来自总体X的一个容量为n的样本，则 第三节抽样分布定理定理5：设总体X~N(μ，σ2)，X1，…，Xn为来自总体X的一个容量为n的样本，则X~t(n1)S/n设来自于总体的样本,XDX2 X1,XnXE(),()>0 2则当n很大时 (1) X~N(,)nX (2) ~N(0,1) S/n 第三节抽样分布定理定理6：设X1，…，Xn为来自任意总体X的一个容量为n的样本，若E(X)=μ，D(X)=σ2>0存在，当n较大时，近似地有2(1) X~N(,)nX(2) ~N(0,1) S/n 第三节抽样分布定理2.两个总体的统计量的分布1n11n2 XX YY iin11ni2i1n1n2S21XX2S2121() i2(YY)in11i1n21i1Th7设 X~N2YN2(1,1), ~(2,2)22则12 XY~N(12,)n1n2 第三节抽样分布定理定理7：设两独立总体X~N(μ21，σ1)，Y~N(μ2，σ22)，则统计量22XY~N12(12,)n1n2从而有：XY(12)~N(0,1)2212n1n2 第三节抽样分布定理定理8：设两独立且等方差总体X~N(μ1，σ2)，Y~N(μ2，σ2)，则统计量( XY)( (1)T12) ~t(n1n22) 11Swn1n222其中(n11)S1(n21)SS2 w n1n22S21 (2) ~ F(n1,n1) 212S2