風險管理學報 第九卷 第二期 2007年7月Journal of Risk Management July 2007pp. 1-25台指選擇權市場最適波動度指標之研究A Research for the Optimal Volatility Index in TXO***羅庚辛 (Lo, Keng Hsin) 藍宇文 (Lan, Yu Wen)***張尚原 (Chang, Shan Yuan)摘 要芝加哥選擇權交易所（CBOE）於1993公布波動度指數（VXO），並在2003又推出修正波動度指數（VIX），說明了波動度指標的重要性與非唯一之特性。本文依研究目的：選取最適波動度指標、分析最適波動度指標與股價指數同期報酬及未來報酬關係、可否利用最適波動度指標來發展提高報酬的投資策略等進行分析。研究對象為2002/01/02至2006/03/31總計1,046筆之台灣集中市場加權股價指數（TAIEX）收盤價格日資料。研究方法利用七種不同波動度指標與真實波動度（RV）、TAIEX同期報酬、TAIEX未來報酬進行平均絕對誤差與迴歸等分析。研究發現，CBOE於1993推出的VXO，在解釋RV能力上優於2003年的VIX，也優於其他五項指標，是台指選擇權市場的最適波動度指標。此外VXO與TAIEX同期報酬呈現負向關係、與TAIEX未來報酬呈現低VXO水準時為顯著負報酬；高VXO水準時為顯著正報酬關係，說明投資者可利用VXO判斷TAIEX的可能走勢，進而形成可提高超額報酬機率之投資決策。ᙯᔣф：波動度指標、不對稱關係 * 作者感謝諸位匿名審查教授之悉心審閱與寶貴意見，使本文更臻周詳。國立中央大學企業管理系專任副教授，Associate Professor, Dept. of ., National Central University** 國立中央大學企業管理系所博士候選人，Doctoral Candidate, Dept. of ., National Central University*** 國立中央大學企業管理系所碩士，Graduate Student, Dept. of ., National Central University
2台指選擇權市場最適波動度指標之研究AbstractWhereas CBOE published the volatility index (VXO) in 1993 anddeclared the revision (VIX) in 2003, this event had exhibited us importanceand non-solitary of such an index. We aimed to find out the optimalvolatility index, the relationship between optimal volatility index andcontemporaneous as well as future return of stock index and, to find out theway to exploit optimal volatility index for an optimal investment utilized 1,046 daily closed data of TAIEX within period of 2002/01/02 to2006/03/31. We also utilized seven kinds of volatility indices to clarify theirrelationship with real volatility (RV), contemporaneous as well as futurereturn of TAIEX via the means of MAE, regression, etc. This studyillustrates that VXO transcends VIX as well as other five remaining indices inexplanning RV thus is recognized as the optimal index. We found also thenegative relation between VXO and contemporaneous TAIEX return, as wellas the tendency of low VXO brings up negative return and high VXO bringsup positive return in the future. These facts imply that an investor mayexploit VXO as a gauge of TAIEX to scheme an investment strategy withhigher probability of excess : Volatility Index, Asymmetric Relation
風險管理學報3第九卷 第二期 2007ٛ年7月1. 前言亞洲近年來衍生性金融商品市場不斷擴張，產品也趨向多樣化。以股價指數選擇權為例，南韓自1997年推出時日均量僅千餘口，到了2006年時日均量已達一千餘萬口（2006全年為2,百萬口，以年交易252日計），是該種類商品全世界最大的交易市場。台灣期貨交易所於2001年12月24日推出台灣指數選擇權（Taiwan Stock Exchange Capitalization Weighted Stock Index Options, TXO），日均量由2002年時之四千餘口，至2006年已達近四十萬口。這些例子說明了股價指數選擇權的發展十分迅速，同時也指出相關課題研究之重要性。在市場發展的同時，避險需求隨之出現，此時應有一個能表達市場波動程度的指標。芝加哥選擇權交易所（Chicago Board Options Exchange, CBOE）在1973年4月開始股票選擇權交易後，即提出自選擇權價格來推估波動度指數的構想，以表達市場波動程度。CBOE利用Black and Scholes (1973) 與Merton (1973) 選擇權定價模型，以反函數方式推估隱含波動度（Implied Volatility, IV）方式，於19931年推出波動度指數(Volatility Index, VIX，此版本於2003年後統一稱為VXO)。該指數代表的是市場上對S&P100股價指數波動度的共通預期。當VXO走低時，顯示股價指數的波動平緩；相反地，當VXO走高時，顯示交易人對市場狀況不安，預期未來股價指數的波動趨劇。因此VXO又被稱作「投資人恐慌指標」（TheInvestor’s Fear Gauge）。歷經十餘年運作後，CBOE於2003年9月提出了修正波動度指數VIX，以取代1993年的VXO。VIX與VXO雖在編製方法與基礎上彼此不同，但還是有一些共通特性，如兩者的數值水準在大部份時間差距不大、走勢與大盤相反、市場遭受重大利空衝擊時VIX與VXO水準將大幅上揚，參圖1。除CBOE編製的VIX與VXO外，財金學術與實務界曾討論過不同的編製觀念，如時間序列模型之歷史波動度（Historical Volatility, HV）、加權IV模型之價平等加權平均隱含波動度（At the Money IV, ATM）、等加權平均隱含波動度（Equal Weighted IV, EWIV）、Vega加權平均隱含波動度（Vega Weighted IV,VWIV）、成交量加權平均隱含波動度（Total Volume Weighted IV, TVIV）等。由於VIX發布至今為時不久，相關探討與文獻不足，也迄未能與VXO、ATM…等不同指標有過通盤性的比較，在股價指數選擇權發展迅速的今日，實在是相當大的缺憾。 1 CBOE於1993所公布的波動度指標稱為Volatility Index，代碼為VIX。後來為了分辨1993與2003版本，特別將1993版本代碼改為VXO，2003版本代碼則維持VIX，以資區隔。因此2003以前的文獻中所提到的‘VIX’，其實就是目前我們所知的VXO。
4台指選擇權市場最適波動度指標之研究60%8000700050%600040%5000TAIEXVXO30%VIX4000300020%200010%10000%0ဦ1 έ៉ΐᝋ۵ᆊᇴᄃ၆ᑕ̝VXOăVIX֕๕ဦ由前述背景中，我們不禁想問：如以台灣新興市場為研究背景，VIX與VXO，乃至於其他指標如HV、ATM、EWIV、VWIV、TVIV，何者是較佳的波動度指標？考量Poon and Granger (2003) 曾指出波動度研究的課題，在於找出波動度指標的資訊內涵。因此我們也想知道：波動度指標與台灣集中市場加權股價指數（TaiwanStock Exchange Capitalization Weighted Stock Index, TAIEX）報酬間關係如何？怎麼利用該指標蘊含的資訊？本研究基此發展：尋找最適波動度指標、分析最適波動度指標與TAIEX同期報酬及未來報酬關係、可否利用最適波動度指標來發展提高報酬的投資策略為研究目的來進行分析。分析結果除回應前述問題外，對於臺灣期貨交易所（Taiwan Futures Exchange, TAIFEX）近期邀集學者與業界研擬編製「臺指選擇權波動度指數」，亦希望能提供有用的參考資訊。2. 文獻探討Black and Schole (1973) 指出：「若投資人具有比市場更精確的波動度預測，將享有超額報酬。」，說明了波動度的重要性。Poon and Granger (2003) 亦指出，金融市場的波動度對經濟體系具有廣泛深遠的影響。1987年的股市大崩盤，美國2-Jan-022-May-0230-Aug-0228-Dec-0227-Apr-0325-Aug-0323-Dec-0321-Apr-0419-Aug-0417-Dec-0416-Apr-0514-Aug-0512-Dec-05
風險管理學報5第九卷 第二期 2007ٛ年7月政府為穩定股市與保護投資人，立法促成紐約證券交易所（New York StockExchange, NYSE）引進斷路器（Circuit Breakers）機制，即當股價發生異常時，以人為的方式暫時停止交易活動的進行，以降低市場的波動度來恢復投資人信心，更是說明波動度重要性的具體例子。本研究探討波動度指數（VXO）、修正波動度指數（VIX）、歷史波動度（HV）、價平等加權平均隱含波動度（ATM）、等加權平均隱含波動度（EWIV）、Vega加權平均隱含波動度（VWIV）與成交量加權平均隱含波動度（TVIV）以試圖選出一最適指標。VXO由CBOE於1993推出，以S&P100股價指數選擇權市場為基礎，利用Black and Scholes (1973) 等選擇權定價模型逆向推導出滿足市場價格的波動度，屬於隱含波動度（IV）模型的一種。2003年所推出之VIX，則利用近年交易量較高之S&P500選擇權為基礎，並以波動度變異數交換契約（Volatility andVariance Swaps）觀念推導。HV屬於時間序列波動度模型的一種，實務上經常使用。考量Beckers (1981) 曾利用不同加權方式的IV來估計真實波動度（RV），因此隱含加權方式的不同將影響IV對RV之解釋能力。Harvey and Whaley (1991)指出價平選擇權包含最多波動度的資訊，而且對波動度的變動最敏感，因此支持利用ATM指標去估計RV。Schmalensee and Trippi (1978) 提出EWIV指標，將同種類的選擇權給予相同權重，以減低如價內價外程度較深選擇權之IV高於價平選擇權IV之微笑波幅（Volatility smile）現象影響；Latane and Rendleman (1976)提出VWIV，對於越高的Vega值給予越高的權重；Day and Lewis (1988) 提出TVIV，以成交量為計算權重。至於指標間的比較，Lamoureux and Lastrapes (1993)認為HV較VXO有更好的RV預測績效。Latane and Rendleman (1976) 比較VWIV與HV後發現VWIV之估計績效較HV為佳。Vasilellis and Meade (1996) 以英國倫敦股票交易所交易12家公司的個股選擇權為標的，使用HV及數種加權IV指標來估計RV時發現，VWIV表現最佳，其他指標則不如HV。Fleming (1991) 指出，VXO對於不同長短期間的RV有良好的估計績效。Chu and Freund (1996) 以不同IV指標自估計期間求得不同到期日契約之平均波動度，代入選擇權定價模型以獲得選擇權理論價格，最後比較市價與理論價兩者之誤差後發現，VXO之價格誤差最小。Mayhew and Stivers (2003) 以CBOE成交量最大的前50支選擇權為樣本發現，VXO包含較多的資訊，但在成交量較小的選擇權中則不一定。 國內部份，李命志與趙其琳（2001）以已到期之認購權證為樣本，比較HV、VXO與GARCH模型，支持VXO為較佳指標。李存修等（2006）以台指選擇權市場為對象，比較VXO與VIX對RV預測績效發現，VXO優於VIX。值得注意者，以上研究較缺乏通盤性的比較，難以評判出一個最適的波動度指標。該情形也說明了
6台指選擇權市場最適波動度指標之研究為何本研究採用多種指標進行比較的原因。有關波動度指標與市場股價指數的同期與跨期關係方面，Whaley (2000) 分析波動度指標變動與同期S&P100指數報酬，發現二者具有負向關係；Giot (2003)分析同期S&P100指數及NASDAQ100指數報酬與波動度指標變動的關係後，觀察到負向關係的存在；Giot (2005) 的研究也有相同的結論。附帶一提的，上述研究過程也發現了波動度指標與股價指數間具有不對稱關係，該不對稱關係指的是股價指數上漲與下跌對波動度上漲與下跌影響程度並不相等。Whaley (2000) 以美國為例指出S&P100下跌時波動度指標上升的值，大於S&P100上漲時指標下跌的值。Schwert (1989)、Figlewski and Wang (2000)、Giot (2003) 與Giot (2005) 都曾觀察到此種不對稱關係的存在。Giot (2005) 另外發現股價指數的漲跌平方項對2波動度指標具有規模效果。至於跨期關係部分，Giot (2005) 利用波動度指標和未來1天、5天、20天及60天的S&P100指數與NASDAQ100指數報酬分析顯示，波動度指標在低水準時與未來報酬有負相關，在高水準時則與未來報酬呈現顯著正相關。Copeland and Copeland (1999) 探討波動度指標與市場報酬間關係，發現波動度指標可作為股市報酬之領先指標。當目前波動度指標顯著上升後，未來特定性質股票所形成的投資組合可望有較高報酬。針對如何利用波動度指標的問題，French et al. (1987) 發現RV可被波動度指標所解釋部分與預期股票報酬率具有正向關係，並建議利用波動度指標代表RV作為擬定未來交易策略的基礎。Copeland and Copeland (1999) 發現當波動度指標顯著上升時，未來股市中「大型股投資組合」報酬將優於「小型股投資組合」，「價值股投資組合」優於「成長股投資組合」；反之亦然。其策略意義在於，當波動度增加時，代表股市報酬的不確定性增加，此時投資者應設法將資產組合中的成長股轉換為價值股，小型股轉換為大型股，以期未來獲取超額報酬。Traub et al.(2000) 探討如何利用波動度指標對投資組合進行調整，以提高未來獲取超額報酬的可能性。前面提及Giot (2005) 針對S&P 100及NASDAQ 100指數報酬與波動度指標的跨期關係研究中，發現低波動度時期市場可能因「買超」，使未來市場調整時形成負報酬；高波動度時期市場可能有「賣超」，因此未來市場調整時可望有正報酬；說明波動度相對水準的高低，其實隱含了買進與賣出的時機。 2 Giot (2005) 分別利用S&P100指數報酬的平方與NASDAQ100指數報酬的平方為自變數，波動度指標變動為應變數，來觀察有無二次方效果（Quadratic Effect），Giot將此二次方效果稱為規模效果（SizeEffect）。
風險管理學報7第九卷 第二期 2007ٛ年7月3. 研究設計 資料來源與樣本選取說明本研究以TXO市場價格，推導出共七種波動度指標，再以TAIEX為研究對象，計算包括真實波動度（RV）與TAIEX報酬率等作為研究變項。為從TXO交易資料計算波動度指標，本研究採台灣經濟新報資料庫（Taiwan Economic Journal,TEJ），項目含交易日期、選擇權形態、執行價、收盤價、結算價、成交量、隱含波動度、剩餘交易日、無風險利率、Vega值。樣本期間為2002/01/02至2006/03/31，總計1,046筆交易日資料。為計算RV與TAIEX報酬率，本研究採TAIEX之毎日收盤價格；樣本期間與資料筆數同前。考量Christensen and Prabhala (1998) 指出，使用重疊資料（Overlapping Data）進行迴歸分析可能使殘差產生序列相關，將導致錯誤結論，故本研究採用非重疊資料（Non-Overlapping Data）進行分析。所謂非重疊資料是指比較期間非重疊；例如在五個交易日下，第一筆資料與第二筆資料分別為 (t+1，t+5)、(t+6，t+10)，在十個交易日下，第一筆資料與第二筆資料分別為 (t+1，t+10)、(t+11，t+20)。 各種波動度指標計算方法說明a. 真實波動度（RV）RV可由當日往後取固定之一段期間，計算該期間標的報酬之標準差並加以「年化」表示。n−112nσ=(r−r)×252 (1)∑tt+in−1i=0nσ表示自第t日至t+n-1日共n日的RV，n本研究中取5日、10日、22日，文t中的表示方式分別為RV5、RV10、RV22。r=ln(Ρ)−ln(Ρ，表第t+i日之)t+it+it+i−1股價指數報酬率，r為n日內股價指數報酬率平均數。b. 波動度指數（1993年版Volatility Index，VXO）VXO是由八個近月與次近月最接近價平的選擇權序列之IV所構成；其特性如依選擇權種類劃分，各有四個分屬買權與賣權；依到期日劃分，有近月與次近月二序列；依執行價格X劃分，則分為低於現貨指數的執行價格X，與高於現L
8台指選擇權市場最適波動度指標之研究貨的執行價格X二序列；參表1。Uܑ1 ࢍზVXOֹٙϡ۞ˣ࣎ᏴፄᝋԔЕ執行價最近到期契約次近到期契約買權賣權買權賣權XXXXX(<SL)LLLLσσσσc,1p,1c,2p,2XXUXXX(≥S)UUUUσσσσc,1p,1p,2c,2若當時標的現貨價格恰等於執行價格時，則選取略低於現貨的執行價與價平的執行價進行計算。具體步驟為：一、將相同執行價格與到期月份的買權與賣權的IV進行加權平均，可得到四個波動度。本步驟係考量S&P 100指數選擇權（S&P100 Index Options, OEX Options）之交易頻率高於S&P 100指數裡的一籃股票；當市場看好時，以買權計算IV會有向上偏誤（Upward Bias）傾向，賣權部份則有向下偏誤（Downward Bias）傾向，且兩者偏誤幅度接近，因此採平均值可降低衡量上的誤差。二、將相同到期月份的價內與價外序列求得之IV，利用插補法求出「價平」時IV。此法可確保VXO貼近價平時的波動度。有實證發現，價內及價外的IV通常會高於價平IV，即微笑波幅現象；Dumas et al. (1998) 認為微笑波幅在小區間中近似直線，支持使用線性插補法推估價平IV。三、利用近月與次近月契約的IV，用插補法設算為30個日曆日（或22個交易日）的IV。CBOE假設波動度的期間結構為線性關係，與Dumas et al. (1998) 的觀點類似。XXXXXXLLLUUU, σ=(σ+σ)/2σ=(σ+σ)/21c,1p,11c,1p,1XXXXXXLLLUUU, σ=(σ+σ)/2σ=(σ+σ)/22c,2p,22c,2p,2⎡X⎤⎡⎤−⎡SS−XX⎤⎡⎤−SS−XXUXXULUXLULL, σ=σ+σσ=σ+σ11⎢⎥1⎢⎥22⎢⎥2⎢⎥X−XX−XX−XX−X⎣UL⎦⎣UL⎦⎣UL⎦⎣UL⎦⎡N⎤⎡⎤−2222−Nt2t1 (2)VXO=σ+σ1⎢⎥2⎢⎥N−NN−N⎣t2t1⎦⎣t2t1⎦c. 修正波動度指數（2003年版Volatility Index，VIX）編製步驟：一、使用到期月份為近月與次近月之買權與賣權，當剩餘到期日
風險管理學報9第九卷 第二期 2007ٛ年7月低於6天以下（不包含6天）時，VIX指數會改採次近月與第二個次近月契約，以降低接近到期日時可能發生的價格異常現象。二、使用插補法來擬合存續期間VLX為22天的選擇權波動度。其中令σ=表IV，T為選擇權契約存續期間（以100RT年化之交易日計算），F=K+|C(K)−P(K)|e為從選擇權價格所推算出的000預期指數，K表第i個價外選擇權的執行價，當K>F時取買權，當K<F時取iiiK−Ki+1i−1賣權，ΔK=為執行價格的間距，若K為序列中最小執行價時，則ii2ΔK為次低執行價減該執行價。同理，若K為序列中最高執行價時，則ΔK為該iii執行價減去次高執行價。K表低於預期指數F的第一個執行價格，R表無風險0利率，Q(K)為每個執行價格K所觀察到之選擇權價格。ii2ΔK⎡F⎤212RTi11,σ=eQ(K)−−11∑i⎢⎥2TKTKi1i1⎣0⎦2ΔK⎡F⎤212RTi22σ=eQ(K)−−12∑i⎢⎥2TKTKi2i2⎣0⎦⎧⎫⎡N−22⎤⎡22−N⎤22⎪TT⎪2221 (3)σ=Tσ+Tσ×⎢⎥⎢⎥⎨⎬1122N−NN−N252⎪⎪⎢TT⎥⎢TT⎥⎣21⎦⎣21⎦⎩⎭N為近月契約的剩餘交易日，N為次近月契約的剩餘交易日。TT12d. 歷史波動度（HV）HV可由當日往前取過去一段期間，計算該期間標的報酬之標準差並加以「年化」表示。直觀上，若觀察期數選取愈長，報酬率之標準差估計值應該愈正確；但觀察期若過長，包含了太多過去資料，對估計未來報酬率的標準差恐無助益。觀察期數的長短，文獻間相當歧異；如Black and Scholes (1973) 取樣天數為一年；Chiras and Manaster (1978) 取樣天數是20個交易日；本研究則參考Canina andFiglewski (1993)作法，取前40個交易日之報酬率為計算基礎。n1HV2σ=(r−r)×252 (4)∑tt−in−1i=1
10台指選擇權市場最適波動度指標之研究HVσ表示過去n日(自t-1日至t-n日)的HV，n本研究取40日，t=ln(Ρ)−ln(Ρ，表第t-i日之股價指數報酬率，r為n日內股價指數報酬r)t−it−it−i−1率之平均數。e. 加權的隱含波動度（IV）模型(i) 價平等加權平均隱含波動度（ATM）實務上經常使用，買權與賣權各取兩個最接近價平之IV，再對此四個波動度等權重加權平均。41ATMσ=σ (5)∑ti4i=1其中σ為最接近價平的IV。i(ii) 等加權平均隱含波動度（EWIV）考量選擇權與標的資產未同步交易、有交易成本、市場價格非連續及買賣價差等因素，使不同執行價、不同到期日，但相同標的之選擇權將產生不同的IV。為了降低此系統誤差，最簡單的方式即利用Schmalensee and Trippi (1978) 方法，給予同一交易日不同選擇權契約相同權重之加權方式，估計出EWIV。nIVσ∑itEWIVi=1σ=(6)tnEWIVIVσ為第t個交易日的EWIV，σ為第t個交易日中第i個選擇權契約之IV，titn為同一觀察期中成交量不為零的選擇權契約數。(iii) Vega加權平均隱含波動度（VWIV）Latane and Rendleman (1976) 提出VWIV，對於愈高的Vega值給予愈高的權重。nIVσν∑ititVWIVi (7)σ=tnν∑itiVWIVIVσ為第t個交易日的VWIV，σ為第t個交易日中第i個選擇權契約之IV，titv為第t個交易日中第i個選擇權契約之Vega值，n為同一觀察期中成交量不it為零的選擇權契約數。
風險管理學報11第九卷 第二期 2007ٛ年7月(iv) 成交量加權平均隱含波動度（TVIV）nIVσTV∑ititTVIVi=1σ= (8)tnTV∑iti=1TVIVIVσ為第t個交易日之TVIV，σ為第t個交易日中第i個選擇權契約之IV，tit：第t個交易日中第i個選擇權契約之市場成交量。 資料處理與分析方法a. 選取最適波動度指標在不同波動度指標的比較上，本研究不同於以往Lamoureux and Lastrapes(1993) 側重於平均絕對誤差（Mean Absolute Error, MAE）等無母數方法，或Giot(2005) 側重於迴歸方法，而是整合上述方法進行分析。(i) 平均絕對誤差（MAE）用來評估預測值與真實值間之差距。Njnσ−σ∑t−1tt=1 (9)MAE=j,nNnjσ為第t期未來n日之真實波動度（RV），σ為第t-1期所預估之不同波動度tt−1指標，j=1、 2、…、7（令1=VXO、2=VIX、3=HV、4=ATM、5=EWIV、6=VWIV、7=TVIV，往後指標編號均依照此順序，不再贅述）。(ii) 均方根誤差（Root Mean Squared Error, RMSE）N2jn(σ−σ)∑t−1tt=1 (10)RMSE=j,nNnjσ為t期未來n日RV，σ為t-1期預估之各波動度，j=1、 2、…、7。tt−1(iii) 各波動度指標與RV之迴歸分析Gwilym (2001) 指出迴歸分析可作為不同預測模型間解釋能力的指標，誤差衡量指標MAE或RMSE則較適合作為不同預測模型間準確程度的指標。基此，2本研究納入迴歸分析並檢視所產生之參數β、β、R等。若β顯著大於0表示010
12台指選擇權市場最適波動度指標之研究波動度指標低估了RV；反之亦然。若β顯著異於0，則表示波動度指標對RV具12有解釋能力。R愈高者為越好的波動度指標。由於本研究採用時間序列資料，因此分析前應先就資料是否呈定態序列加以檢驗，以避免Granger and Newbold (1974) 所提假性迴歸（Spurious Regression），造成估計和檢定結果不具意義。所謂定態是指：變數之統計特性（如平均數、變異數等）不隨時間的經過而改變；本研究將採ADF單根檢定法加以判斷。單根檢定法最早由Dickey and Fuller (1979) 提出，稱為DF法。但DF法僅適用於變數為一階自我迴歸過程以及殘差項變異數為固定情形，當殘差存在高度的序列相關之非白噪音情形時則無法使用。為解決此問題，Said and Dickey (1984) 修正DF並加入變數的落後項，以捕捉殘差項之間具有相關的特性，成為ADF (AugmentedDickey-Fuller) 單根檢定。其檢定假設與迴歸式如下：sΔr=α+βr+δΔr+εtt−1∑t-ptp=1H： β=0（存在單根，為一非定態序列）0H： β≠0（不存在單根，為一定態序列） (11)12其中Δ表示差分，ε～(0,σ)。t若檢定結果無法拒絕虛無假設，則需要對等式的左右兩邊取差分，以差分後的資料再做單根檢定，若一次差分仍不成定態，必須對資料再做二次差分、三次差分...等，直到資料成為定態為止。除定態檢定外，應在OLS分析後進行Durbin-Watson 檢定。檢定結果如發現殘差有自我相關（Autocorrelation）時，再以輪替法（Cochrane-Orcutt Procedure）修正，俾得到正確的迴歸方程式。模式如下：njσ=β+βσ+ε, ε=ρε+u (12)t01t−1ttt−1t2其中j=1、 2、…、7，u～N(0,σ)。t經過本節(i)、(ii)、(iii)步驟後，我們預期可選取出一最適波動度指標。我們將利用該最適指標進行後續分析。b. 最適波動度指標與TAIEX同期報酬與未來報酬率關係(i) 最適波動度指標與TAIEX同期報酬率關係分析最適波動度指標變動與TAIEX報酬率於1天、5天、22天、60天之同期相關性，模式如下：
風險管理學報13第九卷 第二期 2007ٛ年7月jR=β+βΔσ+ε (13)t,x01t,xtjjj其中j∈{1,2,K,7}，Δσ=ln(σ)−ln(σ)，R=ln(P)−ln(P)，P為TAIEXt,xtt−xt,xtt−xt之t日收盤價，X為1天、5天、22天、60天。(ii) 最適波動度指標與TAIEX未來報酬率關係分析最適波動度指標變動與TAIEX報酬率於未來1天、5天、22天、60天之跨期相關性，模式如下：jR=β+βΔσ+ε (14)t,x01t,xtjjj 其中j∈{1,2,K,7}，Δσ=ln(σ)−ln(σ)，R=ln(P)−ln(P)，P為TAIEXt,xtt−xt,xt+xtt第t日收盤價，X等於1天、5天、22天、60天。(iii) 最適波動度指標與TAIEX同期報酬率之不對稱及規模效果關係文獻探討部分曾提到，在分析波動度變動與股價指數報酬的同期關係時，研究者曾觀察到不對稱關係（Schwert, 1989; Figlewski and Wang, 2000; Whaley, 2000;Giot, 2003; Giot, 2005）及規模效果（Giot, 2005）的存在，因此我們附帶將上述二種現象納入討論範圍。並參考Giot (2005) 建立如下的分析模式：不對稱關係j−+−+ (15)Δσ=βD+βD+βRD+βRD+εt,x0t1t2t,xt3t,xtt規模效果j−+−+2−2+Δσ=βD+βD+βRD+βRD+βRD+βRD+ε (16)t,x0t1t2t,xt3t,xt4t,xt5t,xtt−−+−j∈{1,2,K,7}。其中當R<0，D=1，否則D=0；D=1−D，X等於1天、ttttt5天、22天、60天。c. 最適波動度指標水準與未來不同持有期間報酬之分析我們將用最適波動度指標不同水準與未來不同持有期間報酬進行分析，以探討研究目的「可否利用最適波動度指標來發展提高報酬的投資策略」。步驟如下：jj一、將過去t−1個交易日至t−T個交易日所計算出之σ（σ代表最適波動度指0標，j∈{1,2,K,7}；T=504，以每年252個交易日計算，二年期間共504個交易0日），由小到大排列，並按累積百分比5%, 10%,…,100%形成20個區間, 並令區jj間代碼為i，i=1,2...,20。二、計算出第t個交易日之σ，令為σ。三、將所獲tjjσ依大小判斷出應位前述那一區間中，並給予i適當的值，例如σ之大小落於ttj累積百分比10% 區間中，則i=2, 餘類推。四、如σ值大於過去t−1個交易日t
14台指選擇權市場最適波動度指標之研究j至t−T個交易日期間中最大之σ值，則令i=21，本階段i=1,2,...,20,21。五、0建構如下的迴歸式，其中自變數為虛擬變數Dk，k=1,2...,21，以探討未來持有t期間1日、5日、22日及60日報酬與不同區間波動度指標水準之關係。R=δD1+δD2+...+δD21+η1,t1t2t21ttR=δD1+δD2+...+δD21+η5,t1t2t21ttR=δD1+δD2+...+δD21+η22,t1t2t21ttR=δD1+δD2+...+δD21+η (17)60,t1t2t21ttj其中，σ→i。當k=i時，Dk=1，否則等於0。tt4. 實證結果與分析 選取最適波動度指標a. 平均絕對誤差（MAE）ܑ2āЧگજޘᇾ̝MAEᄃRMSEᒻड़ࣃᄃଵԔ如表2顯示，在5日真實波動度（RV5）情形中，VIX因其所顯示的MAE最小，表現最佳；同理可知，RV10中HV最佳，RV22中ATM最佳，EWIV則始終最差。值得注意者，HV在RV5、RV10中排名分佔二、一，至RV22時滑落至四，顯示HV估計值在資訊內涵較多時會產生較大誤差；從RV5到RV22的過程中也可看出僅HV有MAE越來越高的現象。整體來說， MAE評量似乎未見任何指標具絕對優勢，而是隨不同分析天數互見消長。
風險管理學報15第九卷 第二期 2007ٛ年7月b. 均方根誤差（RMSE）如表2顯示，HV之排名在RV22時大幅滑落，ATM績效則隨RV天數增加而上升；EWIV、VWIV、TVIV排名大致穩定，其中EWIV始終排名最末，從RMSE值來看，七個不同波動度裡除了HV之外，均隨天數增加而遞減；以上結果與MAE類似。惟VIX於本分析中，相較其他指標稍具優勢。表2顯示出預測期間越長MAE與RMSE值越低的現象，在李存修等（2006）亦見類似情形。直觀上，預測越長期的資料應有越大的誤差，為何有這種相反的jn情形？歸納其因在於「誤差」（σ−σ）的加總組數；試舉一例：當觀察期間t−1t為110天（各RV天數之最低公倍數），以非重疊資料方式取樣，則RV22的誤差組僅5組，RV5的誤差組則有22組，因而形成預測期間越長MAE與RMSE值越低的現象；關鍵在於真正的預測期間不論RV5、RV10、RV22都是一樣的，即N=1046個交易日。c. 各波動度指標與RV之迴歸分析迴歸前先對波動度資料加以對數轉換，使資料趨近常態分配；接著對轉換後資料進行單根檢定，參表3。七種估計波動度及各天數下RV在10%顯著水準下，皆拒絕H單根存在情形，屬定態資料，可進行後續分析無虞。0ܑ3 Чگજޘ̝ಏॲᑭؠ**********ADF統計量TVIVVIXRV5RV10RV22 ********* ****註：*代表顯著水準在10%下顯著，**代表5%，***代表1%。(i) 各波動度指標與RV5如表4顯示，全部指標β皆顯著小於0，表示各波動度指標有高估RV情形。0HV、VXO、ATM、VWIV及VIX的β皆顯著異於0，表示這些指標具有資訊內12涵，可解釋RV。但RV5下各指標之解釋能力普遍偏低，多數R趨近於0。其中，2VXO的R=，是全部模型中解釋能力最高者，顯示VXO在RV5下為相對較佳指標。
16台指選擇權市場最適波動度指標之研究ܑ4 Чگજޘᇾᄃ5ă10ă22͟ৌ၁گજޘ̝ਫ਼ᕩ̶ژ5日(RV5)10日(RV10)22日(RV22)222ββββββ()***()***()***()()***()***()***()***() ***() ***()***()***()***()***()***() **()***()***()***()()***()()***()**()***()**()***() **()***()***()***()()***()()**()***()***()**()***() **()**()***註：括號內為t統計量；*代表顯著水準在10%下顯著，**代表5%，***代表1%(ii) 各波動度指標與RV10全部指標β皆顯著小於0，表示各波動度指標有高估RV情形。VXO、ATM、0VWIV及VIX之β顯著大於0，表上述模型對於RV有顯著解釋能力。其中，VXO12的R=，顯示VXO在RV10下為相對較佳指標。(iii) 各波動度指標與RV22β依舊全部顯著且為高估情形。此階段之β全部顯著大於0，即全部模型對012於RV22有顯著解釋能力；VXO的R達，為全部指標中最佳者。整體而言，VXO在三種期間中對RV的解釋能力優於其他，是最適的波動度指標。EWIV對RV解釋能力最差，推測其因為：EWIV給予同一天中之不同選擇權隱含波動度（IV）相同計算權重，但TXO市場正處萌芽時期，遠月份及深度價內外合約的流動性明顯不足，若給予相同權重將使EWIV偏離RV較大。先前MAE與RMSE的衡量結果，無法判斷出最適指標；但迴歸分析則明確顯示，VXO是最適動度指標。推論此一差異的原因在於：迴歸係利用普通最小平方法（Ordinary Least Square, OLS），尋找出一組迴歸係數，使殘差平方和達到最小，並在散佈的樣本中找到迴歸直線。但誤差衡量方式，只說明了各指標與RV間的歐幾里德距離，卻無法自散布樣本中找到趨勢，也就無法判斷出最適指標。因此，從預測值與真實值間的「距離」而言，MAE及RMSE可允當表達；但從「距離」與「趨勢」角度，迴歸模型才是較適當分析方式。
風險管理學報17第九卷 第二期 2007ٛ年7月 最適波動度指標VXO與TAIEX同期報酬率與未來報酬關係a. VXO與TAIEX同期報酬率關係由表5知，VXO與TAIEX的1日、5日、22日及60日報酬關係中，β皆1為負值且顯著異於0，支持波動度指標變動與股價指數報酬呈現負向關係，與Whaley (2000)、Giot (2003) 與Giot (2005) 以美國金融市場為例，觀察到的波動度指標變動與股價指數報酬呈現負向關係之結果相同。ܑ5 VXOᄃέ៉ΐᝋ۵ᆊᇴТഇಡ࿌தᙯܼ2βtβ***日()()***日()()***日()()***日()()註：括號內為顯著水準p；t統計量標示*代表顯著水準在10%下顯著，**代表5%，***代表1%b. VXO與TAIEX未來報酬率關係由表6知，未來1日報酬情形下，β並不顯著，表VXO在此期間下缺乏預12測能力，R偏低甚至接近0；但在未來5日、22日及60日情形下，VXO β均1顯著，代表對未來報酬率具預測能力。此外，VXO變動對近期的未來報酬預測能力較差，對遠期的未來報酬預測能力較佳，說明VXO是未來報酬情形的領先指2標（Copeland and Copeland, 1999）；在本研究情形下，22日R高於1日情形倍，高於5日情形12%，亦高於60日情形41%，因此 22日較其他天數為更適宜3之領先期間。 3 由於最適波動度指標與股價指數未來報酬之關係，攸關如何利用最適波動度指標發展交易策略，為慎2重起見，我們對VXO外的六種指標亦作相同的分析。結果發現所有指標在22日情形下的R平均高2於其他天數87%、48%、44%；VXO的R在各天數下平均高於其他指標59%、83%、60%、72%；該結果隱含波動度指標是未來股價指數報酬的先行指標，先行期間在本研究情形下為22日；在與股價指數未來報酬關係上，VXO依舊是最適的波動度指標。
18台指選擇權市場最適波動度指標之研究ܑ6āVXOᄃέ៉ΐᝋ۵ᆊᇴϏֽಡ࿌தᙯܼ2βtβ日()()***日()()***日()()***日()()註：括號內為顯著水準p；t統計量標示*代表顯著水準在10%下顯著，**代表5%，***代表1%c. VXO與TAIEX同期報酬率之不對稱及規模效果關係從Whaley (2000)、Giot (2003) 與Giot (2005) 的研究中，使我們也想附帶瞭解VXO與TAIEX同期報酬率之不對稱及規模效果關係。由表7知，VXO在不同天數報酬下β皆顯著異於0，β雖在60日顯著異於0，但絕對值小於β；上述結果232表示VXO與TAIEX報酬率間，存在著TAIEX報酬率下跌時VXO上升幅度，大於報酬率上漲時VXO下降幅度之不對稱關係。觀察β與β相減的絕對值，可發現23不對稱關係隨著天數的增加而減弱。有關規模效果部分，由表8知，在1日期間中，僅β顯著，表示當TAIEX報酬率下跌1%，VXO會因規模效果而大幅度上升%。其他天數中，由於無法拒絕β=0、β=0假說，表示沒有規模效果存在。45ܑ7āVXOᄃέ៉ΐᝋ۵ᆊᇴТഇಡ࿌த̝̙၆Ⴭᙯܼᄃܼᇴम၆ࣃ2ββββadjR0123********* 日()()()()係數差之絕對值 ******** 日()()()()******** 日()()()()****** 日()()()() 註：括號內為顯著水準p；迴歸係數標示*代表顯著水準在10%下顯著，**代表5%，***代表1%；另係數差之絕對值以10% 顯著水準為閥值，以「1日」例其值並非，原因為β未達5%顯著水準視同0值，同理類推。−−(−)=
風險管理學報19第九卷 第二期 2007ٛ年7月ܑ8āVXOᄃέ៉ΐᝋ۵ᆊᇴТഇಡ࿌த̝ఢሀड़ڍ2ββββββadjR012345***** 日()()()()()()*** 日()()()()()()****** 日()()()()()()***** 日()()()()()()註：括號內為顯著水準p；迴歸係數標示*代表顯著水準在10%下顯著，**代表5%，***代表1% 最適波動度指標VXO水準與未來不同持有期間報酬之分析由表9知，未來1日報酬情形下，VXO之低波動度水準(D1~D4)迴歸係數tt皆顯著為負；高波動度水準(D16~D21)迴歸係數不顯著。表未來1日報酬如在tt低波動度水準，可考慮賣出策略。未來5日、22日及60日報酬情形下，低波動度水準迴歸係數顯著為負；高波動度水準迴歸係數皆顯著為正，表示低波動度水準時可考慮賣出策略，高波動度水準時可考慮買入策略。進一步觀察D21發現，t其迴歸係數值在5日、22日及60日情形下為各波動度水準下最高（***,***, ***），意味著在極高波動度下，目前市場有過度賣出行為，可視為未來的買進訊號。所以當投資者判斷市場處於極高波動度時，實施買進策略可能享有超額報酬。值得注意者，表9雖在統計檢定上可作上述推論，但實際交易時因台灣金融市場並不完美，交易成本、流動性等諸多因素應善加考量，因此統計檢定上雖然表現出可提高獲取超額報酬的機率，實務上並不盡然。此外，由於文中的七個波動度指標皆為本研究編製，非市場可取得資訊；且台灣目前並沒有指數買賣現貨交易，因此波動度指標與實際交易（如集中市場的買賣張數與成交金額等）的關係，建議可待波動度指標成為公開資訊後進行後續研究。
20台指選擇權市場最適波動度指標之研究ܑ9āVXOͪᄃϏֽ̙Тѣഇมಡ࿌̶̝ژRRRR152260**********()()()()**********()()()()*********()()()()*********()()()()*********()()()()*()()()()*()()()()***()()()()**()()()()**()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()********()()()()******()()()()*******()()()()*********()()()()D--------20*********()()()()註：括號內為顯著水準p；迴歸係數標示*代表顯著水準在10%下顯著，**代表5%，***代表1%
風險管理學報21第九卷 第二期 2007ٛ年7月 穩健性分析（Robustness Test）為確保各分析結果的穩健性，我們實施了TXO交易量的陡坡分析（screetest），將市場導入期的資料排除後，並重複節的c.部份、節、節的分析步驟。由陡坡分析，我們排除了2002年5月份前日均量不足3,000口之低交易量樣本，形成2002年6月份至2006年3月份的子樣本。接著利用子樣本進行節c.部份的分析，結果顯示VXO在RV5、RV10、RV225下有最高R值，R值平均高於其他指標78%、41%、48%，說明VXO為最適指標；再利用子樣本進行節分析，結果顯示1日、5日、22日、60日之β值皆顯著為負（t值分別為***、***、***、***），說明VXO變動與TAIEX同期報酬具負向關係。有關VXO變動與TAIEX未來報酬關係，結果顯示未來1日情形下β1不顯著（t值為），未來5日、22日及60日顯著（t值分別為***、***、**），與全樣本期間的特性相似，說明了VXO是未來報酬情形的領先指標。不對稱與規模效果部分，以不對稱關係而言，子樣本呈現TAIEX報酬率下跌時VXO上升幅度，大於報酬率上漲時VXO下降幅度之情形，β與β相減的絕對值分別23為、、、；以規模效果而言，1日時當TAIEX報酬率下跌1%，VXO可能因規模效果而大幅度上升%；5日時當TAIEX報酬率下跌1%，VXO也可能因規模效果而上升%。節的分析結果顯示，除未來1日情形下D係數p值為，不若全樣本般顯著外，未來1日、5日、22日、60日1均呈現低波動度水準之迴歸係數為負；高波動度水準之迴歸係數為正，策略意涵與全期間樣本相同。整體來說，我們在全樣本期間下針對何者為最適波動度指標、最適波動度標與TAIEX同期與未來報酬關係、利用最適波動度指標所擬定交易策略等所作之結論，十分穩健。5. 結論CBOE在2003年9月推出了修正波動度指數VIX，以試圖取代1993年的波動度指數VXO。本研究以TAIEX為實證對象，分析包括VIX、VXO、歷史波動度 (HV)、價平等加權平均隱含波動度 (ATM)、等加權平均隱含波動度 (EWIV)、Vega加權平均隱含波動度 (VWIV)、成交量加權平均隱含波動度 (TVIV) 等七種波動度指標對真實波動度 (RV) 之解釋能力時發現，VXO的表現優於VIX，也優於其他五項指標，說明VXO為目前TXO市場最適的波動度指標。此一結果與COBE在美國試圖推動VIX以取代VXO的預期相逕庭，也說明了台灣的新興金融市場特性，與歐美成熟市場不同。由於TXO商品仍處於導入成長階段，因此本結果
22台指選擇權市場最適波動度指標之研究除可與以歐美的文獻結果作比較外，亦可提供台灣期貨市場研擬編製波動度指標時的參考。由於VIX發布時間未久，相對研究數量不足，因此本文可望對過去偏重在HV、VXO與加權隱含波動度 (IV) 比較的基礎上，加入VIX並提出新的排序結果。本研究在選取VXO作為TXO市場最適波動度指標後，接著分析VXO與TAIEX同期與未來報酬的關係。分析結果顯示，VXO變動與TAIEX同期報酬率呈現負向關係；此一關係說明當波動度升高的同時，同期TAIEX報酬可能因下跌而形成空頭市場，反之亦然。有關VXO與TAIEX未來報酬關係方面，分析結果顯示，VXO是未來報酬情形的領先指標（Copeland and Copeland, 1999）；在本研究情形中，VXO變動對於一個月後（約22個交易日）的TAIEX報酬率具有預測能力；因此該結果亦隱含投資人可利用VXO作為未來特定期間投資策略的依據。其他關係方面，VXO變動與TAIEX報酬率間具有TAIEX報酬率下跌時VXO的上升幅度，大於報酬率上漲時VXO下降幅度之不對稱關係。與Schwert (1989)、Figlewski and Wang (2000)、Whaley (2000)、Giot (2003)、Giot (2005) 等以美國的股價指數為例之觀察結果類似。此結果隱含在大部分情形下，利空消息對股市的衝擊與影響，大於利多消息。針對如何利用VXO來擬定投資策略的問題，我們利用波動度水準與未來不同持有期間的報酬情形作分析，結果顯示低VXO水準時未來報酬之迴歸係數顯著為負；高VXO水準時未來報酬之迴歸係數顯著為正。由此結果我們可延伸出以下的策略：當目前波動度處於相對低點時，股價指數應處於相對高點，但未來市場即將下跌，此時投資人可考慮「賣出」以便獲利了結。當波動度處於相對高點時，恐慌程度也處於高點，市場有過度賣出的情形，未來股價可能因市場調整而上漲，此時投資人可考慮「買入」以便逢低進場。值得注意者，台灣的金融市場並不完美，實施上述策略雖可提高獲取超額報酬機率，實務上並無法保證獲取得到超額報酬。
風險管理學報23第九卷 第二期 2007ٛ年7月參考文獻1.李存修、盧佳鈺、江木偉(2006)，台指選擇權隱含波動率指標之資訊內涵─新編VIX指標之實證，證券市場發展季刊，第十七卷，第四期，1-42。2.李命志、趙其琳(2001)，波動性預測模型能力之比較─臺灣認購權證之實證研究，台灣銀行季刊，第五十二卷，第四期，101-127。, S., 1981, Standard Deviations Implied in Option Prices as Predictors ofFuture Stock Price Variability, Journal of Banking and Finance, 5, 3, , F. and M. Scholes, 1973, The Pricing of Options and Corporate Liabilities,Journal of Political Econometrics, 81, 3, , L. and S. Figlewski, 1993, The Informational Content of ImpliedVolatility, The Review of Financial Studies, 6, 3, , . and S. Manaster, 1978, The Information Content of Option Prices anda Test of Market Efficiency, Journal of Financial Economics, 6, 3, , . and . Prabhala, 1998, The Relation Between Implied andRealized Volatility, Journal of Financial Economics, 50, 2, , . and S. Freund, 1996, Volatility Estimation for Stock Index Option:GARCH Approach, The Quarterly Review of Economics and Finance, 36, 4, , . and . Copeland, 1999, Market Timing: Style and Size RotationUsing the VIX, Financial Analysts Journal, 55, 2, , . and . Lewis, 1988, The Behavior of the Volatility Implicit in thePrice of Stock Index Option, Journal of Finance Economics, 22, 1, , . and . Fuller, 1979, Distribution of the Estimators forAutoregressive Time Series with a Unit Root, Journal of the American StatisticalAssociation, 74, 366, , B., J. Fleming, and R. Whaley, 1998, Implied Volatility Functions:Empirical Tests, The Journal of Finance, 53, 6, , S. and X. Wang, 2000, Is the Leverage Effect a Leverage Effect?,Working Paper S-00-37, New York University, Stern School of , J., 1991, The Rationality of Market Volatility Forecasts Implied byS&P100 Index Options, Unpublished Manuscript, Duke University.
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