《统计手册：金融中的统计方法》 *第5章 随 机 波 动 率 Eric Ghysels, Andrew C. Harvey and Eric Renault 1． 引言 随机波动率（SV）类模型产生于数理金融学和金融计量学。事实上，SV模型的几种变形来源于对非常不同问题的研究，例如，Clark（1973）认为资产收益率是信息到达这一随机过程的函数，这种所谓的时间形变（time deformation）方法产生了资产收益率的时变（time-varying）波动率模型。Tauchen和Pitts（1983）对此做了改进，提出了资产收益率与信息到达短暂相关的混合分布模型。Hull和White（1987）并不直接关心资产收益率与信息到达的联系，而是对欧式期权的定价感兴趣，并假定标的资产服从连续时间SV模型。他们提出资产价格服从扩散过程，其波动率为正扩散过程。另一种方法源于Taylor（1986）的研究，他建立了替代自回归条件异方差（ARCH）模型的离散时间SV模型。直到不久以前，估计Taylor模型或者任何其它SV模型几乎仍是不可能的，经济计量理论的最新发展使估计SV模型变得容易得多。从而，它们变成了一类很有吸引力的模型，并可替代其它类模型如ARCH。 在数理金融学和经济计量学文献中均可以找到关于SV模型的研究。因此，我们面对着一系列广泛的主题。本文将很少涉及ARCH模型，因为最近已有几篇关于该主题的优秀综述，包括Bera和Higgins（1995），Bollerslev、Chou和Kroner（1992），Bollerslev、Engle和Nelson（1994），以及Dievold和Lopez（1995）的研究成果。而且，由于本文是为《统计学手册》写的，我们力图最小限度地涉及数理金融学的内容。不过，期权定价的内容显然是不必要的。事实上，在第2节定义波动率时已广泛涵盖Black-Scholes隐含波动率问题。第2节还概括了经验类型化事实（stylized facts），及波动率统计建模的结论。对统计学概念有浓厚兴趣的读者可跳过更偏重于金融学的第2节的前三小节，而从节开始阅读；第3节讨论离散时间模型；第4节回顾了连续时间模型；第5节主要是SV模型的统计学推断；第6节是结论。 2. 金融市场的波动率 在对衍生证券定价时，波动率起了主要的作用。关于欧式期权定价的Black-Scholes模型是迄今为止应用最广泛的公式，即使其假设无法成立。因此，节将把Black-Scholes模型作为参考点，通过它来讨论波动率的一些概念；对有关波动率和期权价格的类型化事实的讨论在节；这两小节为节讨论的随机波动率的定义提供了正式的框架；最后，节介绍随机波动率的统计模型。 . Black-Scholes模型和隐含波动率 在Louis Bachelier（1900）开创性研究后的半个多世纪，连续时间随机过程成为描述资产价格的标准工具，Black和Scholes（1973）以及Merton（1990）的研究在这方面非常有影响。在节中，我们回顾了利用扩散过程对资产价格建模时所做的一些假设，特别是要提到瞬时波动率（instantaneous volatility）的概念；节转向期权定价模型和隐含波动率（implied volatility）的各种概念。 . 瞬时波动率的概念 2tt考虑一种金融资产，比如股票，当前的（时间）市场价格记为S，令I表示时已获得的tt * Torben Anderson、David Bates、Frank Diebold、René Garcia、Eric Jacquier和Neil Shephard对本文前期手稿提出了非常有用的建议。第一作者要感谢FCAR（Québec）、SSHRC（Canada）的赞助，以及CORE （Louvain-la-Neuve,Belgium）的热情与支持。第二作者要感谢ESRC的赞助。第三作者要感谢Institut Universitaire de France、the Fédération Francaise des Cociétés以及CIRANO和的赞助。 2 此点以后，本文将集中讨论有关股票和汇率的期权文献，不涉及利率期限结构和相关衍生证券的大量文献。 1
《统计手册：金融中的统计方法》 3信息，并且考虑给定I时，持有资产在期间[t,t+h]的收益SS的条件分布。贯穿全文的一tt+ht个假设是：给定I，资产的收益具有有限的条件期望，或： t−1E(SS)=SES<+∞ （） tt+htttt+h并且给定I时，同样具有有限条件方差，即 t−2 V(SS)=SVS<+∞ （） tt+htttt+h−1连续复利期望收益率由hlogE(SS)来表示，那么，第一个假设可以表述如下： tt+ht假设. 当h>0且趋近于零时，连续复利期望收益率几乎必定(almost surely)收敛于一个有限值μ(I)。从这个假设可得ES−S~hμ(I)S，或者用它的微分表达式： Sttt+htSttd 几乎必定 E(S)=μ(I)S （） tττ=tSttdτ其中，对右边求导。等式（）有时被近似地定义为：E(dS)=μ(I)Sdt。下一个假设是ttStt关于条件方差的，可以表述为： −12假设. 当h>0且趋近于零时，收益hV(SS)几乎必定收敛于一个有限值σ(I)。tt+htSt此外，用它的微分表达是 d22 几乎必定 Var(S)=σ(I)S （） tττ=tSttdτ22它与表达式V(dS)=σ(I)Sdt有近似关系。 ttStt通过如下形式的一个等式，假设和B都推导出资产价格动态的一个表达式： dS=μ(I)Sdt+σ(I)SdW （） tSttSttt其中W是一个标准布朗运动。因此，每次资产价格过程表示为扩散方程，我们就自动定义为所谓t的瞬时波动率过程σ(I)，上式的瞬时波动率过程也可写为： St12−1σ(I)=[limhV(SS)] （） Sttt+hth↓0在转到下一节之前，先对假设和B的某些基础做一个简要的讨论。Bachelier（1900）提出把布朗运动过程作为股票价格运动的一个模型。在现代术语学中，这相当于资产定价的随机游走理论。该理论认为，由于金融市场的信息有效性，资产收益应是不可预测的。因此，可以假设在连续规则样本期[t+k,t+k+1]，k=0,2,...,h−1，收益是独立（同）分布的。根据这个基准，把连续复利收益率log(SS)的期望值和方差看成与投资的到期期限h成比例就是合理t+ht的。 显然，我们不再用布朗运动作为资产价格的一个过程，但仍然值得注意的是假设和B还意味着，在一个无限短的间隔[t,t+h]内，投资的期望收益率和相关联的平方风险（根据收益率的方差）是和h成比例的。通过“局部不可预测性”概念，Sims（1984）为两个假设提供了一些依据。 最后，简要地讨论（）的一个特殊情形，它主要应用于理论发展，并且突出了本文包含的一个隐含约束。对所有t，μ(I)=μ和σ(I)=σ是常数时，资产价格是一个几何布朗运StSStS动。Black和Scholes（1973）应用该过程推导出著名的欧式期权定价公式。显然，由于σ(I)是St一个常数，不再是一个瞬时波动率过程，因而只有一个参数σ——这无疑大大简化了很多东西，S包括期权定价。必须强调的第二点是，假设和B考虑到了资产价格过程中离散跳跃的可能性。这样的跳跃通常用Poisson过程来表示，并且自Merton（1976）的研究以后，它在期权定价文献中占主导地位。然而，虽然假设在原则上考虑到了跳跃，但它们并没有在（）中出现。事实上，本文中，始终维持样本路径连续性的假设，并且当单独讨论SV模型时，排除了跳跃的可能性。 3 节将更详细讨论信息集。应指出的是，由于S属于I，本文在应用资产价格S和收益S/S的条件分布时ttt+kt+kt不加区分。 2
《统计手册：金融中的统计方法》 . 期权价格和隐含波动率 正如在引言中指出的，SV模型部分源于期权定价文献。在过去二十年中期权和其它衍生证券市场得以空前地增长，这些市场有时表现为“波动率交易”的地方。这一节将提供有关这些论述的基本原理，并且研究所谓的期权的隐含波动率与标的资产收益过程的瞬时及平均波动率概念间的关系。 Black-Scholes的期权定价模型是建立在标的资产价格可用对数正态或者几何布朗运动建模的基础上的： dS=μSdt+σSdW （） tStStt其中μ和σ是固定参数。具有执行价K和到期日t+h的欧式看涨期权可得收益 SS⎧S−K,如果S≥K+t+ht+h[S−K]= （） ⎨t+h0,其他⎩由于Black和Scholes（1973）开创性的论文，现在已有了完整的文献资料，提出各种方法，4能够导出这种合约的定价公式。显然，详细论述这些文献超出了本文的范围。在此只是最小限度地介绍其内容，以便于讨论关于波动率的概念。 若假定连续的无成本交易是可行的，则可以在Black-Scholes框架中构造一个投资组合，该组合对标的股票只用一个看涨期权和一个卖空策略就可以消除所有的风险，这就是为什么仅仅使用套利理论——即通过包括看涨期权的无风险投资组合的市场收益率等于无风险利率——就可以5确定期权价格，而且，这种以套利为基础的期权定价并不依赖于个人偏好。 这就是为什么推导Black-Scholes期权定价公式最容易的方法是通过一个“风险中性世界”，其中资产价格过程是由修正的概率测度来规定的，指的是风险中性的概率测度，记为Q（这在节中有更清楚的讨论）。在这个虚拟环境中，概率一般与数据生成过程（DGP）是不一致的，这个虚拟环境只是用来导出在客观概率设置中仍然有效的期权价格。在风险中性世界中，有： dSS=rdt+σdW （） tttStQ+ C=C(S,K,h,t)=B(t,t+h)E(S−K) （） tttt+hQ其中E是在Q下的期望值，B(t,t+h)是一个在时间t+h时（可以）得到一单位收益的纯贴现t债券在t时的价格，并且 1 r=−limLogB(t,t+h) （） th→0h6是无风险即时利率。本文已隐含地假设在这个市场中利率是非随机的（W是风险的唯一来源），t这样： t+h⎡⎤ B(t,t+h)=exp−rdτ （） τ∫⎢t⎥⎣⎦根据定义，在风险中性背景下没有风险溢价，因此r和股票的即时期望收益率是一致的，那t+么看涨期权价格C就是（）中描述的其期末收益(S−K)的贴现值。 tt+h给定S时，根据S的对数正态性可计算（）中的期望值，从而得到t时的看涨期权tt+h公式： C=Sφ(d)−KB(t,t+h)φ(d−σh) （） ttttS其中φ是累计标准正态分布函数，d在随后定义。（）就是所谓的Black-Scholes期权定价t 4 然而，可参阅Jarrow和Rudd（1983）、Cox和Rubinstein（1985）、Duffie（1989）、Duffie（1992）。在其他学者中，Hull（1993）或Hull（1995）对期权和其它衍生证券作了更详尽论述。 5 它有时被称为无偏好期权定价，该术语可能有些误导，因为在股票市场和无风险债券定价中隐含考虑了个人偏好。然而，期权价格仅通过债券和股票的市场价格依赖于个人偏好。 6为了符号的方便，用一个同样的符号W表示在P下（（）中）以及在Q下（（）中）的一个布朗运动。t实际上，Girsanov定理建立了这两个过程之间的联系（例如，参见Duffie（1992）和节）。 3
《统计手册：金融中的统计方法》 公式，因此，期权价格C依赖于股票价格S、执行价K和贴现因子B(t,t+h)，这里定义： tt x=LogSKB(t,t+h) （） tt那么，有 −xt CS=φ(d)−eφ(d−σh) （） ttttS其中d=(xσh)+σh2，很容易看出数量x所起的关键作用，称为期权的货币性。 ttSSt— 如果x=0，则当前股票价格S和执行价K的现值一致，换句话说，若不考虑在t和t+h之tt间股票价格的随机变化，合约对每个人可能看起来是公平的，本文称在这种情况下有一个两平期权。 7— 如果x>0（或者x<0），称期权是实值的（或者虚值的）。 tt前面已经提到，Black-Scholes公式在从业者中得到广泛运用，即使已知它的假设无法满足，特别是常数波动率σ的假设是不现实的（见节的实证证据），这激发了Hull和White（1987）S8 提出具有随机波动率的期权定价模型，该模型假设波动率本身是一个独立于W的状态变量：tdSS=rdt+σdW⎧tttStt （） ⎨(σ),(W)独立马尔可夫过程Stt∈[0,T]tt∈[0,T]⎩值得注意的是（）仍然被列入风险中性的背景下，因为r和股票的瞬时期望收益一致，t另一方面，外生的波动率风险并不直接用于交易，这阻碍了对风险中性的概率测度的明确定义，在节中对此有更详细的讨论。然而，给定(S,σ)时，如果期望值是按照马尔可夫过程tSt9(S,σ)的联合概率分布计算出来的，期权定价公式（）仍是有效的。那么，可把（）tS写成如下形式： +C=B(t,t+h)E(S−K) ttt+h+=B(t,t+h)E{E[(S−K)(σ)]} （） tt+hStt≤τ≤t+h其中方括号中的期望值是在给定I和一个波动率路径σ，t≤τ≤t+h时,根据S的条件概率tStt+h分布计算的。然而，由于波动率过程σ是独立于W的，由（）得 Stt+B(t,t+h)E{E[(S−K)(σ)]} tt+hStt≤τ≤t+h−xt=SE[φ(d)−eφ(d)] （） tt1t2t其中的d和d定义如下： 1t2t⎧d=(xγ(t,t+h)h)+γ(t,t+h)h21tt ⎨d=d−γ(t,t+h)h⎩2t1其中，γ(t,t+h)>0，并且 t+h122 γ(t,t+h)=σdτ （） Sτ∫th这就产生了所谓的Hull和White期权定价公式： −xt C=SE[φ(d)−eφ(d)] （） ttt1t2t其中的期望值是在给定σ时，根据γ(t,t+h)的条件概率分布（对于风险中性概率测度）计算的。St 7这里用一个做过微小修改的术语代替通常的术语。事实上，当分别有S=K/ S>K/S<K时，它更普ttt遍地被称为两平/实值/虚值期权。从经济学的观点来说，比较S和执行价K的现值更有意义。 t8类似Hull和White（1987）的其它随机波动率模型包括在Johnson与Shanno（1987），Scott （1987），Wiggins（1987），Chesney和Scott（1989），Stein和Stein（1991）以及Henston（1993）等等的论文中。 9这里隐含假定可得信息I包括过去的值(S,σ)，节将讨论这个假定。 tτττ≤t 4
《统计手册：金融中的统计方法》 10 在这一节的其余部分中，假设观察到的期权价格服从Hull和White的公式（）。那么，期权价格将产生两种隐含波动率概念：（1）瞬时隐含波动率，和（2）平均隐含波动率。为了使其更精确，假设风险中性概率分布属于一个参数族，P,θ∈Θ，那么，Hull和White期权定价θ公式产生出期权价格的一个函数表达式： C=SF[σ,x,θ] （） ttStt0其中θ是参数的真实未知值，（）揭示了为什么人们经常称“期权市场可以被当成是交易波0动率的市场”（参见Stein（1989））。事实上，如果对任意给定的(x,θ)，F(⋅,x,θ)是一一对应tt11 的，那么将等式（）求反函数，得到一个隐含瞬时波动率：imp σ(θ)=G[S,C,x,θ] （） τttt通过证明期权价格和瞬时波动率之间一一对应关系的成立，Bajeux和Rochet（1992） 在事实上使期权市场的作用，正式成为一个规避波动率风险的适当工具。显然，只有知道真实未知值θ，或至少能够算出它足够精确的估计值时，隐含瞬时波动率（）才能在实践中用于定价0或作为套期保值的衍生工具。 然而，估计SV模型时所遇到的困难长久地阻碍了它们在实证中的广泛应用，这也是为什么从业者经常偏好另一个隐含波动率概念的原因，即由Latane和Rendleman（1976）提出的所谓的impBlace-Scholes隐含波动率。它是一个定义如下的ω(t,t+h)过程： −xt⎧C=S[φ(d)−eφ(d)]tt1t2t⎪impimpd=(xω(t,t+h)h)+ω(t,t+h)h2 （） ⎨1ttimp⎪d=d−ω(t,t+h)h2t1t⎩12其中C是观测到的期权价格。 t事实上Hull和White的期权定价模型可以看作是实践的理论基础；比较（）和（），impimp可以把Black-Scholes隐含波动率ω(t,t+h)解释为隐含平均波动率，因为ω(t,t+h)可视为γ(t,t+h)的条件期望值（假设观测到的期权价格同Hull和White的定价公式相同）。更精确些，让我们考虑两平期权的最简单情形（一般情形将在节中讨论），由于x=0，则有d=−d，t2t1t−ximpt因此，φ(d)−eφ(d)=2φ(d)−1，所以，ω(t,t+h)（加上标记ο是为了清楚表明这1t2t1tο里探讨的是两平期权）由下式定义： imp⎛⎞⎛⎞ω(t,t+h)hγ(t,t+h)hο⎜⎟⎜⎟φ=Eφ （） t⎜⎟⎜⎟22⎝⎠⎝⎠由于累计标准正态分布函数在零附近大致是线性的，如有（对短的到期期限h）：impω(t,t+h)h≈Eγ(t,t+h) οtimp这就解释了为什么可以把Black-Scholes隐含波动率ω(t,t+h)看成一个隐含平均波动率： 12t+h1⎡⎤impω(t,t+h)h≈Eσdτ （） οtSτ∫⎢⎥th⎣⎦ . 波动率的一些类型化事实(stylized facts) 10条件是关于σ的，因为它概括了I的有关信息（过程σ假设为马尔可夫过程，并与W独立）。 tt11 F(⋅,x,θ)是一一对应的，这一事实对某些正则性条件下的σ的任何扩散模型都成立，参见Bajeux和Rochet tSt（1992）。 imp12这里并不明确研究ω(t,t+h)和各种有关过程：C，S，x之间的依存关系，也为了简便的缘故，未把tttimp这种依存关系体现在符号ω(t,t+h)中。 5
《统计手册：金融中的统计方法》 探索模型的设定和选择总是以经验类型化事实做指导的。模型能够再现这些类型化事实是比较理想的，未能达到这一要求的，通常作为放弃某一设定的准则，虽然人们并不试图立刻用一个简单的模型去拟合或者解释所有可能的实证规律。在ARCH文献中详细阐述了许多关于波动率的类型化事实，例如Bollerslev、Engle和Nelson（1994）。关于衍生证券和隐含波动率的实证规律也有很多，例如Bates（1995a）。这一节中将总结经验类型化事实，补充和更新上述参考资料中包含的一些材料。 （a）肥尾 六十年代早期以来，人们开始注意到资产收益具有尖峰分布的性质，特别是Mandelbrot（1963）、Fama（1963，1965）的发现。其结果是，大量的论文应用肥尾的独立同分布，如Prantian分布或者Levy分布，为资产收益建模。 （b）波动率群集 (clustering) 对金融时间序列的任何观测都表明了高或低波动率时段的聚集。事实上，波动率群集和资产收益肥尾是密切相关的，后者事实上是一个静态的解释，而ARCH模型的主要作用是给出了动态（条件）波动率行为和（无条件）肥尾间的正式联系。由Engle（1982）提出，并且此后获得大量扩展的ARCH模型及SV模型，主要就是用于模拟波动率群集的。文献广泛讨论的还有ARCH效应随着时频归并（temporal aggregation）而消失，参见Diebol（d1988）以及Drost和Nijman（1993）。 （c）杠杆效应 被Black（1976）称为杠杆效应的现象指股票价格运动和波动率呈负相关。因为下跌的股票价格暗示公司财务杠杆提高，人们相信这意味着更多的不确定性及更高的波动率。然而，Black（1976），Christie（1982）及Schwert（1989）的实证证据表明，杠杆效应自身作用太小，不足以解释股票价格中发现的不对称性。其他报告关于杠杆效应的实证证据的还包括Nelson（1991），Gallant、Rossi和Tauchen（1992，1993），Campbell和Kyle（1993）以及Engle和Ng（1993）。 （d）信息到达 资产收益通常是用固定频率的抽样观测资料进行度量和建模的，如每天、每周或每月的观测资料。Mandelbroty和Taylor（1967）以及Clark（1973）等作者提出把资产收益明确地和信息到达流联系起来。事实上，人们已注意到Clark提出了SV模型的早期例子。随着时间变化，信息到达是不均匀的，并且经常是不能被直接观测到的。在概念上，人们可以把资产价格运动想象成∗是过程Y=Y的实现，其中Z是所谓的有向过程（directing process）。这个正的非递减随机过程tZttZ可以被理解为和信息到达是相关的，这个时间形变或者从属随机过程的思想被Mandelbrot和tTaylor（1967）用来解释肥尾收益，被Clark（1973）用来解释波动率。最近Ghysels、Gouriéroux和Jasiak（1995a）对它做了改进和进一步研究。而且，Easley和O’Hara（1992）提出了一个涉及时间形变的微观结构模型。在实践中，它表明在与信息到达有关的许多其它现象中，同市场波动率有直接关系的包括（1）交易量，（2）报价到达，（3）可预测事件，例如股利通告或者宏观经济数据发布，（4）市场关闭。 关于交易量和波动率的关系，有几篇论文用类型化事实证明高交易量和市场波动率有显著的13联系，例如参见Karpoff（1987）或者Gallant、Rossi和Tauchen（1992）。被报价到达等所度量的波动率和市场活动的日内模式也很有名，并见诸文献中。Wood、McInish和Ord（1985）及Harris（1986）研究了证券市场的这个现象，并且发现在市场开盘和收盘时波动率都很高，即具有U-形模式。外汇市场的正点交易也产生独特的波动率模式，该波动率模式和市场活动的剧烈程度相联系，并产生了很强的周期性模式。许多学者分析了远期外汇市场的日内模式，例如Műller等（1990），Baillie和Bollerslev（1991），Harvey和Huang（1991），Dacorogna等（1993），Bolerslev和Ghysels（1994），Addersen和Bolleslev（1995），以及Ghysels、Gouriéroux和Jasiak（1995b）等。另一个有关的经验类型化事实是隔夜和周末市场的关闭以及它们对波动率的影响。Fama（1965）及French和Roll（1986）发现，当NYSE和AMEX关闭时，信息的积累会变得更慢，从而导致周末及假日后的市场产生更高的波动率。Baillie和Bollerslev（1989）发表了关于远期市 13有许多理论的和实证的模型把交易量同资产收益联系起来，对此本文不作详细讨论。部分名单包括Foster和Viswanathan（1993a,b），Ghysels和Jasiak（1994a,b），Hausman和Lo（1991），Huffman（1987），Lamoureux和Lastrapes（1990，1993），Wang（1993）以及Andersen（1995）。 6
《统计手册：金融中的统计方法》 场的类似证据。最后，大量的论文证实，金融市场在股利通告（Cornell（1978），Patell和Wolfson（1979，1981））和宏观经济数据发布（Harvey和Huang（1991，1992），Ederington和Lee（1993））时波动率增大。 （e）长期记忆和持续性 一般来说，波动率是高度持续性的。特别是对于高频率数据，证据表明条件方差过程具有接近单位根的行为。在ARCH文献中，关于股票市场、商品、外汇和其它资产价格序列的GARCH模型的各种估计，是与IGARCH设定相一致的。同样，对随机波动率模型的估计显示了相似的持续性模式（参见Jacquier、Polson和Rossi（1994））。这些发现导致了一场争论，即条件方差过程持久性的建模是通过单位根还是长期记忆过程。后一种过程还适用于ARCH模型和SV模型，参见Baillie、Bollerslev和Mikkelsen（1993），Breidt等（1993），Harvey（1993）以及Comte和Renaultc（1995）。Ding、Granger和Engle（1993）研究了c为正值时[r(t,t+1)]的序列相关性，其中cr(t,t+1)是投机性资产的一期收益，他们发现[r(t,t+1)]对于长期滞后具有很高的自相关性，当c接近1时具有最强的时频依赖（temporal dependence）。最早在日S&P500收益序列中发现的这个结果，已证明它在其它股票市场指数、商品市场和外汇序列中也存在（参见Granger和Ding（1994））。 （f）波动率的协同运动(comovement) 有大量的文献是讨论投机市场的跨国协同运动的。资本市场的全球化是否提高了价格的波动率和股票收益的相关性已经成为最近许多研究的主题，包括von Fustenberg和Jean （1989），Hamao、Masulis和Ng（1990），King、Sentatna和Wadhwani（1994），Harvey、Ruiz和Sentana（1992）以及Lin、Engle和Ito（1994）。人们通常运用因子模型来模拟国际波动率的共同性，比如Diebold和Nerlove（1989），Harvey、Ruiz和Sentana（1992），Harvey，Ruiz和Shephard （1994），或者探索所谓的共同特征，如Engle和Kozick（i1993），或共同趋势，如Bollerslev和Engle（1993）。 （g）隐含波动率的相关性 14类型化事实通常为无模型的实证观测所揭示。隐含波动率显然是基于模型的，因为它们从一个特定模型的定价公式计算得到，即在节中提到的Black和Scholes模型。由于它们是在每天数据的基础上计算出来的，且模型假定波动率为常数，因此明显存在内在的不一致性。然而，由于事实上许多期权价格是通过它们的隐含波动率来报价的，所以很自然地就要研究后者的时间序列行为。基于相同标的的资产，具有不同执行价和到期日的同期期权价格会产生不同的隐含波动率，所以经常要计算一个综合量度。综合量度通常是通过加权方案得到的，它给予接近实值的15期权更多的权重，这种期权在有组织的市场中的交易量最大。 从股票、股票指数和货币期权得到的隐含波动率的时间序列性质非常相似，它们体现了平稳性，并且可用一阶自回归模型很好地描述（参见Merville和Pieptea（1989）以及Sheikh（1993）关于股票期权的研究，Poterba和Summers（1986），Stein（1989），Harvey和Whaley（1992）以及Diz和Finucan（e1993）关于S&P100合约的研究，Taylor和Xu（1994），Campa和Chang （1995），以及Jorion（1995）关于货币期权的研究）。等式（）表明，人们认为隐含（平均）波动率包含了未来波动率的信息，因此可以预测未来波动率。通常对该假设的检验是用已实现波动率对过去的隐含波动率做回归。 关于隐含波动率可预测内容的实证结果多种多样。Lamoureux和Lastrapes（1993）对时间序列的研究考虑了无红利股票，并且比较了GARCH、隐含波动率和历史波动率估计的预测能力，发现隐含波动率的预测优于其它波动率，尽管从式（）可以看出预测偏差。明显不同的是，Canina和Figlewski（1993）研究交易活跃的S&P100指数看涨期权，他们发现隐含波动率在预测S&P100指数的未来实际波动率时几乎没有用。在设定以星期作为抽样间隔的S&P100期权合约和不同样本条件下，Day和Lewis（1992）发现隐含波动率不但具有预测内容，而且还是无偏的。对外币期权的研究，如Jorion （1995），也发现隐含波动率能预测未来的实际值，并且还发现GARCH和历史波动率都不优于隐含波动率。 14这在一定程度上是假想的，即使对宏观经济数据也是如此，例如当这些数据是趋势消除或季节调整的。趋势消除和季节调整都以模型为基础。关于趋势消除对类型化事实的潜在严重影响，参见Canova（1992）及Harvey和Jaeger （1993），关于季节调整对实证规律的影响见Ghysels等人（1993）。 15有不同的加权方案被提出，参见Latane和Rendleman （1976）， Chiras和Manaster （1978）， Beckers（1981），Whaley（1982），Day和Lewis（1988），Engle和Mustafa（1992）以及Bates（1995b）。 7
《统计手册：金融中的统计方法》 （h）隐含波动率的期限结构 Black-Scholes模型所预测波动率的期限结构是平缓的。事实上，当短期波动率很低的时候，实值期权的隐含波动率的期限结构是向上倾斜的，反之则向下倾斜（见Stein（1989））。Taylor和Xu （1994）发现外汇期权隐含波动率的期限结构每几个月都要改变一次斜率方向。Stein（1989）也发现中短期隐含波动率的实际敏感度比预测期限结构得到的估计敏感度要更大一些，并且得出中期隐含波动率对信息具有过度反应的结论。Diz和Finucane（1993）运用不同的估计技术拒绝了过度反应假设，同时报告了反应不足的证据。 （i）微笑 如果市场中的期权价格满足Black-Scholes公式，则对应于相同资产的各种期权的所有Black-Scholes隐含波动率将和标的资产的波动率参数σ相一致。但事实并非如此。由（）imp定义的Black- Scholes隐含波动率ω(t,t+h)在很大程度上取决于日历时间t、到期期限h和期权的货币性x=LogSKB(t,t+h)。当BS隐含波动率被用来评估具有不同执行价K和到期期tt限h的新期权时，这可能在期权定价和保值中产生偏差。这些对从业者来说是非常熟悉的价格失真在实证文献中通常被称为微笑效应，这里所谓的“微笑”指的是隐含波动率在不同执行价时产生的U-形模式。说得更精确些，下列类型化事实被广泛讨论（参见Rubinstein（1985），Clewlow和Xu（1993），Taylor和Xu（1993））： imp－ 作为K（或者logK）的函数，ω(t,t+h)的U-形模式当处于接近实值的期权时取其最小值（贴现的K接近于S，即x接近于零）。 tt－ 波动率的微笑作为logK（或者x）的函数常是，但不总是对称的。当微笑是非对称的时t候，偏度效应通常可以被描述为把一个单调曲线加到标准对称微笑上：如果一个下降的曲线被加上，则隐含波动率倾向于在执行价下降的时候比在它上升的时候增长得更快，并且隐含波动率曲线在处于虚值期权时取最小值。在相反的情形中（加上一个上升的曲线），隐含波动率在执行价上升时增长得更快，并且在处于实值期权时取最小值。 － 到期期限越短，微笑的幅度增长越快。事实上，对很短的到期期限，微笑效应是很显著的（同步期权价格的BS隐含波动率可能在15％到25％之间变化），而对很长的到期期限，它几乎完全消失了。 一般认为波动率的微笑效应必须由随机波动率模型来解释。这有几个理由：首先，应用随机时变波动率模型来表示随机时变BS隐含波动率是很自然的。其次，微笑下降的幅度是到期期限的函数，遵从象（）这样的公式。确实，实际情况显示，当到期期限增加时，波动率的时频归并消除了条件异方差，从而减少微笑现象。最后，偏度本身也可以被归因于波动率过程的随机特征以及该过程与价格过程（所谓的杠杆效应）的整体相关性。事实上，这个效应对股票价格数据是很明显的，但是对利率和汇率序列却是很小的，这就是为什么微笑的偏度在以股票为标的期权时更常见。 然而，慎重对待一些诱人的关系是很重要的：随机隐含波动率和随机波动率；股票和微笑偏度的不对称性。这将在第4节中讨论，诸如此类的情况并不总具有严密的证明。而且，关于解释微笑及其偏度的其它论据（跳跃，交易成本，买卖差价，非同步交易，流动性问题，…）在理论上和实证上都应加以考虑。例如，实证证据表明最昂贵的期权（微笑曲线的上部）也是最小流动性的期权；因此偏度或许可归因于期权市场中流动性的特殊结构形式。 . 信息集 到目前为止，我们还未清楚地定义信息集。这样做的目的是集中讨论相关问题。在这节中，我们需要更正式的信息定义，以便能够阐明文献中介绍的各种SV模型之间以及SV和ARCH模型之间的一些遗漏的联系。我们知道，SV模型是从一系列不同问题的研究中产生的。本节试图定义一个共同的思路和一般的统一框架。通过对信息集的认真分析来完成这个工作，并把它和Granger意义上的非因果性概念联系起来。这些因果性条件将允许我们在节中刻画出ARCH16和SV模型的独特性质。 16这节中的分析——在关于运用信息集阐明SV和ARCH类模型之间的差别时——具有一些和Andersen（1992）一样的特征。 8
《统计手册：金融中的统计方法》 . 状态变量和信息集 Hull和White（1987）模型是衍生资产定价模型的一个简单例子，其中的股票价格动态是由一些不可观察的状态变量控制的，例如随机波动率。更一般地，可以很方便地假设一个多变量扩散过程(diffusion process)U，它在一定意义上概括了相关的状态变量： tdSS=μdt+σdW⎧ttttt⎪U dU=γdt+δdW （） ⎨ttttU⎪Cov(dW,dW)=ρdt⎩tttU其中随机过程μ、σ、γ、δ和ρ是满足（假设）I=[Uτ,τ≤t]。这说明过程U概tttttt括了股票价格过程S（它验证了术语“状态”变量）的全部动态特征。因为对于状态变量的一个样本路径(Uτ)，连续收益SS，0≤t<t<...<t≤T是随机独立的并且服从对数0≤τ≤Ttt12kk+1k正态分布（如在基准BS模型中的一样）。 节中的一些论证可以扩充到这里讨论的状态变量的框架中（参见Garcia和Renault （1995））。实际上，Black和Scholes模型通常通过期权价格的隐含波动率为它们提供一个报价的17方法，上述的扩充为此提供了理论依据。事实上，这是引入BS模型中被忽略的异质性的一个方法（参见Renault（1995），这与引入劳动力市场和其他市场的微观经济计量模型的异质性相似）。 在连续时间模型中， t时刻交易者（他们的信息决定期权价格）的可得信息被状态变量样本路径和股票价格过程样本路径这两类的连续时间观测结果所描述；即： I=σ[U,S;τ≤t] 。 （） tττ . 离散抽样和Granger非因果性 下一节将明确讨论离散时间模型。有必要建立类似等式（）的离散时间模型。这里讨论的离散时间抽样和Granger非因果性条件将使我们进一步接近用离散时间数据建立统计模型的正式框架。很清楚，只要对过程ε加一些约束，类似等式（）的离散时间形式便成为： tlogSS=μ(U)+σ(U)ε 。 （） t+1tttt+1要加上的约束必须足够灵活，以适应比如杠杆效应这样的情况，这种灵活性体现在： 假设. （）中的过程ε是独立同分布的，并且不是状态变量过程U的Granger结果。 tt假设. （）中的过程ε不是U的Granger原因。 tt假设对BS隐含波动率的实际应用是很有帮助的，因为它是类似假设的离散时U间的情形。假设描述的是，过程U的系数适合I（详见Garcia和Renault(1995)）。假设对函数μ(U)和σ(U)的统计解释很重要，μ(U)和σ(U)分别表示趋势和波动率系数，即， tttt E[logSS(SS;τ≤t)] t+1tττ−1=E[E[logSS(U,ε;τ≤t)](SS;τ≤t)] （） t+1tττττ−1=E[μ(U)(SS;τ≤t)] ttt−1由于E[ε(U,ε;τ≤t)]=E[ε(ε;τ≤t)]=0，该等式成立归因于假设从U到ε的t+1ττt+1τttGranger非因果性。同样地，能够很容易得出 Var[logSS−μ(U)(SS;τ≤t)] t+1ttττ−12=E[σ(U)(SS;τ≤t)] （） tττ−1（）和（）中已经隐含地引入了一个新的信息集，包括（）中定义的I，该信t 17 Garcia和Renual（t1995）认为假设实质上保证了关于价格对（股票价格，执行价格）期权价格(option prices with respect to the pair)的同质性，期权价格的同质性反过来保证了BS隐含波动率不依赖股票价格水平，而依赖货币性SK。Merton （1973）首次强调了这种同质性。 9
《统计手册：金融中的统计方法》 息集对进一步的分析同样是很有用的。事实上，人们经常限于用统计方法分析股票收益序列的离散时间抽样所传达的信息，该序列由如下信息集定义为： R I≡σ[SS:τ=0,1,...,t−1,t] （） tττ−1其中上标R代表收益。通过扩展的Andersen（1994），我们将采用单变量波动率模型的最一般框架，其假设包括，和： R假设. μ(U)是I可测的。 tt因此，（）和（）事实上表明： R E[logSSI]=μ(U) （） t+1tttR2R Var[(logSS)I]=E[σ(U)I] （） t+1tttt . 随机波动率的统计建模 金融时间序列是在离散时间间隔中观测到的，而多数理论模型是在连续时间中构建的。一般说来，有两种统计学方法可以解决这个问题。或者估计连续时间过程的统计离散时间模型，或者按连续时间设定统计模型，而后通过离散时间近似推断。本节将详细讨论前一种方法，后一种将在第4节中介绍。这里讨论一类一般的离散时间统计模型。在节中介绍一些符号和术语。下一节讨论Andersen（1994）提出的所谓的随机自回归波动率模型。该模型由Andersen（1994）引入，作为一个非常一般的、灵活的半参数框架，包含文献中已有的随机波动率的各种表达式。它所要求的参数识别和约束在节中讨论。 . 符号和术语 在节中，对趋势μ(⋅)和波动率σ(⋅)所具有的函数形式未加以设定。事实上，在某种意义上本文建立了一个由Lezan、Renault和de Vitry（1995）最近提出的非参数框架，他们提出这个18框架是为了讨论未知形式随机波动率的符号。这种非参数结构包含了标准参数模型（参见节中更多正式的讨论）。为表述方便，先考虑两个极端的情形。为了简化，假设μ(U)=0：（i）t当σ(U)=σ是一个独立于股票收益标准化新生（innovation）过程ε的随机过程时，可以得到ttHull和White模型（）的离散时间形式；（ii）σ可以是过去新生的一个确定性函数th(ε,τ≤t)。后者是和（i）完全相反的，并且通过它可以得出h的参数化函数的许多种选择，τ从而得到X-ARCH模型（GARCH，EGARCH，QTARCH，周期性的GARCH等等）。 除了这两种极端的情形（其中假设是通过不重要的退化方法实现的）之外，人们还19可以提供杠杆效应。特别是，U中的新生和收益过程之间的同期相关性结构可以非零，因为Granger非因果性假设是处理瞬时(temporal)的因果联系，而不是同期的。例如，可以令σ(U)=σ，且： tt logSS=σε （） t+1ttt+1R Cov(σ,εI)≠0 。 （） t+1t+1t（）中负的协方差是杠杆效应的一个标准情形，这并不违反非因果性假设和B。 有必要做一些结论性的观察来应付文献中迅速增长的各种术语。首先，本文没有考虑Taylor（1994）提出的（）的“滞后自回归随机方差模型”与“同期自回归随机方差模型”之间的区别，后者被定义为： logSS=σε 。 （） t+1tt+1t+1 18 Lezan、Resault与Vitry（1995）详细讨论了怎样使这个框架适用于诸如波动率群集这样的现象。作为一种非参数的结构，在（稳健）估计方面也具有某些优点。例如，他们发展的模型能够作为一种特定参数模型（见第5节）的有效算法的第一步估计。 19假设在情形（i）中发挥作用，但不能被用于GARCH情形（ii），当它在后一个情形中不成立时，它使得GARCH结构不太适合期权定价。 10
《统计手册：金融中的统计方法》 事实上，由于波动率过程σ是不可观测的，故只要（）和（）不是由精确的（非）t因果性假设实现，它们的假定就观测而言就是等价的。例如：（i）（）和假设一起构成一个正确且非常一般化的SV模型定义，该模型可通过假设实现期权定价，并通过（）引入杠杆效应，（ii）（）与（）的结合将不是SV模型的一个正确定义，因为通常有这样R的情形：E[logSSI]≠0，并且模型将通过过程σ引入一个预测，该预测不但和波动率有t+1tt关而且和期望收益也有关。 为了简化符号，第3节中使用的框架（）的杠杆效应将由Cov(σ,ε)≠0代替t+1tCov(σ,ε)≠0来实现。Amin和Ng（1993）提出期权定价的另一个术语，他们的“可预测t+1t+1的”和“不可预测的”波动率之间的差别很接近杠杆效应的概念，并且可以通过因果性的概念进行分析，这在Carcia和Renault（1995）中有讨论。最后，不像相应的ARCH模型（参见Drost和Nijman（1993）），它没有必要区分SV模型的弱的、半强的和强的概念。事实上，这里定义的SV模型族可以满足参数化。这种参数化在时频归并下是闭合的（关于时频归并见第节）。 . 随机自回归波动率 为简单起见，考虑如下的单变量波动率过程： y=μ+σε （） t+1ttt+1R其中μ是观测变量y∈I,τ≤t的一个可测函数。这里将围绕（）展开讨论，先讨论几个ttt一般化的问题，而不局限于特定模型；第节中会有更明确的扩展。根据（）的结果，可得： R2R Var[yI]=E[σI] （） t+1ttt它表明：（1）通过条件期望（）中的自回归动态特征，可以反映波动率群集；（2）肥尾可以2R用三种方法中的任何一个得到，即（a）通过白噪声ε的分布的肥尾，（b）通过E[σI]的随机tttR20特征，（c）通过波动率过程σ的特殊的随机性，该随机性使得它隐含起来，也即σ∉I。从ttt（1）和（2）得出的波动率动态特性通常是关于σ的某个非线性函数的AR（1）模型，因此，t波动率过程被假设为平稳的并且是一阶马尔可夫过程，但并不要求σ本身是线性的AR（1）。正t2是这激发了Andersen（1994）提出随机自回归方差或者SARV类模型，其中σ（或者σ）是马tt尔可夫过程K的一个多项式函数g(k)，该马尔可夫过程具有如下动态设定： ttK=w+βK+[γ+αK]u （） tt−1t−1t~其中u=u−1是具有单位方差的零均值白噪声。Andersen（1994）讨论了确保K满足平稳性和ttt遍历性的充分正则性条件。在进入细节的讨论之前，要注意基本的非因果性假设暗示（）中的u过程并不是（）中ε的Granger原因。非因果性条件实际上表明了对Andersentt（1994）定义的轻微修改。也就是，它暗示给定ε,j≥0时，假设ε独立于u,j≥0是对t−jt+1t−j有条件的概率分布而言的，而不是对无条件的分布。这个修改并没有改变Andersen的SARV类模型是迄今为止有关波动率文献中最一般的参数统计模型这一事实。GARCH（1,1）模型是直接从22（）（通过令K=σ，γ=0和u=ε）得到的。要注意（）和（）的随机分量tttt2之间的确定性关系u=ε强调了，在GARCH模型中，波动率过程不存在随机设定。由Taylortt（1986）推广的自回归随机方差模型也属于SARV类，这里： logσ=ξ+φlogσ+η （） t+1tt+1其中η是一个白噪声扰动，所以Cov(η,ε)≠0引入杠杆效应。这是具有K=logσ、t+1t+1t+1tt 20 Kim与Shephard（1994）使用S&P500指数的周收益率数据发现，一个t−GARCH模型具有同基于正态的SV模型几乎一样的似然值。这个例子表明σ的特殊随机性可以产生同白噪声ε的肥尾学生分布一样的边际峰度水t平。 11
《统计手册：金融中的统计方法》 21α=0和η=γu的一个SARV模型。 t+1t+1 . 参数的识别 介绍一般类型的波动率过程，像前一节中讨论的SARV类型一样，提出有关识别的问题。再次假设： y=σε t+1tt+1q σ=g(K)，q∈{1,2} （） tt K=w+βK+[γ+σK]u tt−1t−1t~Andersen（1994）指出，通过零均值白噪声过程u=u−1，能更好地解释模型： tt~ K=(w+γ)+(α+β)K+[γ+αK]u （） tt−1t−1t从后者可以很清楚地看出，经验上可能很难区分常数w和“随机”常数γu，同样的，分别t估计参数α和β也会有很多问题，因为(α+β)决定了对波动率冲击的持续性，这些估计问题通常是通过对两对参数（w，γ）和（α，β）施加（主观）约束来解决。 GARCH（1,1）和自回归随机方差设定分别假设γ=0和α=0。没有这些约束的所有参数的识别一般要有附加的限制，例如通过ε和u分布的一些假设，把（）的半参数结构限制在t+1t参数统计模型的范围内。 为了更严格地解决识别问题，Andersen（1994）认为考虑如下的再参数化是很有用的（为了符号使用上的方便，假设α≠0）： K=(w+γ)(1−α−β)⎧⎪ ρ=α+β。 （） ⎨⎪δ=γα⎩因此方程（）可写成： ~K=K+ρ(K−K)+(δ+K)U tt−1t−1t~~其中U=αu。 tt从（）可以清楚看到只有原始参数α，β，γ，w的三个函数可以被识别，例如三个参数K，ρ，δ是由过程K的前三个无条件矩来识别的。 t为了给这些识别结果以实证内容，必须知道：（1）怎样从可观测过程Y的矩转化到波动率过t程σ的矩，（2）怎样从波动率过程σ的矩转化到潜在过程(latent process)K的矩。第一点通过ttt指定标准化的新生过程ε相应的矩很容易解决，例如，如果假设一个高斯概率分布，就可得到： ⎧Ey=2πEσtt⎪ Eyy=2πE(σσ) （） ⎨tt−jtt−j⎪22Eyy=2πE(σσ)tt−jtt−j⎩第二点的解决方法一般需要映射g的设定和（）中u的概率分布的设定。对所谓的对数t正态SARV模型，假设α=0和K=logσ（Taylor的自回归随机方差模型）以及u是正态分ttt布的（波动率过程的对数正态性）,在这种情形下，很容易得出： n2⎧Eσ=exp[nEK+nVarK2]ttt⎪mnmn E(σσ)=EσEσexp[mnCov(K,K)] （） ⎨tt−jtt−jtt−jj⎪Cov(K,K)=βVarKtt−jt⎩ 21 Andersen（1994）还证明了SARV结构包含了另一类被认为是病态设定的随机方差模型，因为它合并了（）和（）。 12
《统计手册：金融中的统计方法》 对没有正态假设（即QML，混合正态，学生分布……）的情形，这个模型将在第3节和第5节中从概率和统计的观点出发进行详细研究。而且，这是研究SARV类型模型的其它设定的一个样板，另外，各种设定将在第4节中考虑以代表连续时间模型。 3. 离散时间模型 本节的目的是运用简单的单变量情形，讨论离散时间模型的统计处理。先从与（）中讨论的自回归随机方差模型相对应的最基本的SV模型的定义开始。第节讨论它的统计特征。第节给出与ARCH模型的比较。第节研究过滤、预测和平滑。最后一节讨论各种扩展，包括多变量模型。第5节的最后部分讨论决定波动率过程的参数的估计。 . 离散时间SV模型 离散时间SV模型可记为 y=σε ， t=1,...,T （） ttt2其中y代表去均值（demeaned）的收益过程y=log(SS)−μ，并且logσ服从AR（1）tttt−1t2过程。假设ε是独立同分布的随机扰动序列。通常ε被设定为具有标准分布，所以它的方差σ是ttε22已知的。因而，对正态分布而言σ是单位元素，而对具有v自由度的t−分布而言σ是v(v−2)，εε2遵循文献中常采用的惯例，记h≡logσ： =σεe （） tt其中σ是一个尺度（scale）参数，它消除了平稳一阶自回归过程所需要的常数项，该过程为 2 h=φh+η,η~IID(0,σ)， φ<1 （） t+1tttη前面已经提到，如果允许ε和η相关，那么模型能够反映常在股价中发现的不对称行为。tt事实上，ε和η之间的负相关性导致杠杆效应，如同节中一样，对（）中扰动的时间tt选择要确保观测值仍是鞅差分，用这种方法写出方程是为使它和状态空间的文献保持一致。 需要强调的是，上述模型只是第2节的连续时间模型在离散时间观测中的一个近似，Dassions（1995）运用Edgeworth（埃奇渥斯）扩展（参见第节和第节中更进一步的讨论）检验了该近似的准确性。 . 统计特征 即使ε和η是同期相关的，SV模型仍具有如下性质。第一，y是一个鞅差分；第二，h的tttt平稳性隐含了y的平稳性；第三，如果η服从正态分布，那么从对数正态分布的性质可得到tt222E[exp(ah)]= exp(aσ2)，其中a是一个常数，σ是h的方差，因此，如果ε具有有限的thhtt方差，那么y的方差如下 t222 Var(y)=σσexp(σ2) （） tεh2同样，如果ε的四阶矩存在，则y的峰度是κexp(σ)，其中κ是ε的峰度，这样y呈现出比εtthttt更大的峰度，最后，所有的奇数阶矩都是零。 基于多种目的，需要考虑绝对值的幂的矩。再次，假设η是正态分布的，由于已假定ε具tt有标准正态分布，Harvey（1993）推导出了如下表达式： 2cΓ(c2+12)ccc22 Ey=σ2exp(σ) ， c>−1 ，c≠0 （） thΓ(12)8和 13
《统计手册：金融中的统计方法》 22⎧⎫⎡cΓ(c+12)Γ(c2+12⎤)c⎪⎪2cc2Vary=σ2exp(σ)− ， ⎨⎬th⎢⎥2Γ(12)Γ(12)⎪⎣⎦⎪⎩⎭c>−1 ，c≠0 注意Γ(12)=π，Γ(1)=1。对其它分布的也可以计算出ε相应的表达式，包括学生t－分布t和一般误差分布（参见Nelson（1991））。 2最后，σ变异系数的平方经常被用作SV过程相关强度的度量，即t22222Var(σ)[E(σ)]=exp(σ)−1。Jacquier、Polson和Rossi（1994）认为这比σ更容易解释。tthη在实证研究中，他们指出该系数很少小于或者大于2。 . 自相关函数 如果假设扰动ε和η是相互独立的，并且η是正态的，那么观测值的ACF的绝对值的c次ttt方如下： 2c2ccc2exp(σρ)−1hh,τE(yy)−{E(y)}tt−τt(c)4ρ== ， （） τ2cc22cE(y)−{E(y)}2ttκexp(σ)−1ch4 τ≥1 ， c>− ， c≠0 其中κ是 c2cc2κ=E(y){E(y)} （） ctt且ρ，τ=0,1,2,...表示h的ACF，Taylor（1986）给出了c等于1和2且ε是正态分布时的该h,τtt表达式。当c=2时，κ是峰度，对于标准正态分布它等于3。更一般地， c2κ=Γ(c+12)Γ(12){Γ(c2+12)} ， c≠0 。 c对于具有v自由度的学生t−分布： Γ(c+12)Γ(−c+v2)Γ(12)Γ(v2) κ= ， （） c2{Γ(c2+12)Γ(−c2+v2)}c<v2 ， c≠0 注意，如果c是2，v必须至少是5。 (c)2ACF，ρ具有如下特征：第一，与Taylor（1986，－5）比较，如果σ很小，并且/τh或者ρ接近于1， h,τ2c2exp(σ)−1h(c)4 ρ≈ρ ， τ≥1 （） τh,τ2c2(κexp(σ)−1)ch4(c)则h的ACF的形状近似于ρ。除了乘上一个比例因子外，对于正的c，当κ大于1时，该比tτc(c)例因子必须小于1；第二，对于t−分布，当v趋于无穷时，κ下降。所以，对于正态分布，ρcτ(c)是极大值。另一方面，具有比正态分布更小峰度的分布将会有更高的ρ值。 τ(c)(c)虽然（）给出了ρ和c之间的一个明确关系，但仍不可能对某个c值下ρ的极大化ττ2(c)2(c)作出概括性描述。事实上，不同的σ值将导致不同的c值以极大化ρ。如果σ的选择使得ρhτhτ和Ding、Granger和Engle（1993）的对应项大小相同，那么对于稍微小于1的c值就可以得到该(c)极大值。Harvey（1993）指出，与c相关的ρ曲线的形状同Ding，Granger和Engle报告的经τ 14
《统计手册：金融中的统计方法》 验关系很相似。 . 对数变换 将（）中的观测值进行平方并且取对数就得到 222 log(y)=log(σ)+h+logε （） ttt或 2log(y)=ω+h+ξ ， （） ttt22其中ω=log(σ)+Elogε，通过构造以使扰动ξ具有零均值。 tt2根据Abramovitz和Stegu（n1970），当ε具有标准正态分布时，可知ε的均值和方差为−和π2=。然而，logε的分布远非正态，而是严重偏斜的，且具有长尾。 t更一般地，如果ε服从具有v自由度的t−分布，它可以表示为： t−ε=ζκ ttt其中ζ是一个标准正态变量，κ是独立分布，从而使vκ服从具有v自由度的卡方分布。这样 ttt22logε=logζ−logκ ttt2再根据Abramovitz和Stegun（1970）中的结果，得出结论logε的均值和方差分别是t*′−−ψ(v2)−log(v2)和+ψ(v2)，其中ψ(⋅)是digamma函数。注意，ξ的矩是存t在的，即使模型的构造方式使ε服从Cauchy分布，即v=1。事实上，在这种情形中，ξ是对称tt的，具有超峰度为2，而当ε是高斯分布时，ξ具有超峰度为4。 tt22由于logε序列独立，由此可直接算出当h服从任何平稳过程时logy的ACF： ttt(0)22 ρ=ρ{1+σσ} ， τ≥1 （） th,τξhc(0)符号ρ表明观测值的绝对值的幂的ACF等同于Box-Cox变换，即{y−1}c，因此任何tt（非零）幂乘方的绝对值的对数变换对应于c=0。（但要注意，在（）中不能简单地规定c=0）。 根据Harvey、Ruiz和Shephard（1994），即使ε和η不是相互独立的，如果ε和η的联合tttt分布是对称的，即f(ε,η)= f(−ε,−η)，那么扰动η和ξ仍是不相关的，因此（）中ttttttACF的表达式仍是有效的。 . 与ARCH模型的比较 GARCH（1,1）模型已被广泛运用于金融时间序列中。它假设（）中的方差依赖于前一时间段的方差以及观测值的平方。这样 222 σ=γ+αy+βσ ， t=1,...,T （） tt−1t−1GARCH模型是由Bollerslev（1986）和Taylor（1986）提出的，并且是Engle（1982）提出的ARCH模型的推广。ARCH（1）模型是β=0时的特定GARCH（1,1）模型。这样做的动机是来自预测的需要，在具有独立扰动的AR（1）模型中，下一个观测值的最优预测是当前观测值的一小部分，并且在ARCH（1）中它是当前观测值平方的一部分（加上一个常数）。原因是最优预测是在当前信息条件下做出的，在ARCH模型中下一时段的方差被假设为已知。一旦ε的分布t2被假定，该结构可直接导出模型的似然函数。这样，对σ所依赖的参数估计原则上是直接的。tGARCH模型引入的项类似于ARMA模型中的移动平均项，从而使得预测值成为过去观测值平方的分布滞后函数。 显然y是具有（无条件）方差γ(1−α−β)的鞅差分(martingale difference)。因此α+β<1t * digamma函数表示gamma函数的导数——译者注。 15
《统计手册：金融中的统计方法》 是协方差平稳的条件。正如Bollerslev（1986）所述，高斯模型中使得四阶矩存在的条件是222α+(α+β)<1，于是模型显示出超峰度，然而在现实中不可能总满足四阶矩条件。有趣的是，严平稳的条件反而弱得多，如Nelson（1990）所指出的，甚至包括α+β=1的情形。 GARCH（1,1）的设定意味着 2222y=γ+αy+βσ+υ=γ+(α+β)y+υ−βυ tt−1t−1tt−1tt−1222其中υ=y−σ是一个鞅差分。从而，y具有ARMA（1,1）过程的形式，它的ACF可以用tttt2同样的方法计算数值。对应于ARMA模型的ACF反映了实际应用中在y的相关图里可能观察到t的模式类型。 22通过增加σ和y的更多滞后项可以扩展GARCH模型，而GARCH（1,1）看起来是用得最tt广泛的。它显示了和SV模型相似的特征，特别是φ接近1，这一点可以从具有ARMA（1,1）过程模式的（）清楚地看出。显然，φ发挥了类似于α+β的作用。ACF的主要不同似乎在滞后一期时最明显。Jacquier等（1994，）给出了纽约股票交易所中一个投资组合的周收益率平方的相关图，同时还给出拟合的SV模型和GARCH （1,1）模型所隐含的ACF。在这种情形下，SV模型隐含的ACF接近于样本值。 2因为y是混合分布，即使φ为零，SV模型仍显示出超峰度。参数σ决定的混合程度独立于tη方差演化的平滑程度。GARCH模型则不是这样，它的峰度是和方差方程的根相联系的，这些根在GARCH（1,1）情形下是α和β。因此，常常需要用非高斯的GARCH模型来捕捉金融时间序列中常见的高峰度。 基本的GARCH模型并不能反映SV模型在扰动同期相关下捕捉的不对称性，虽然Engle和2Ng（1993）提出它是能够修改的。Nelson（1991）提出的EGARCH模型通过使logσ成为过去t观测值的平方以及绝对值的函数来处理不对称性问题。 . 过滤，平滑和预测 2为了期权定价的目的，需要估计和预测方差σ，它当然是和h的指数成比例的。基于直到tt时间t的——并且可能包括时间t的——所有观测值的估计被称为过滤估计。另一方面，基于样本中所有观测值——包括时间t后的观测值——的估计被称为平滑估计。预测是估计未来值。出于对该方面演变历史的兴趣，我们可能希望通过考察平滑估计来研究方差随时间的演化。这些可以跟相应的期权价格所隐含的波动率做比较，如节中讨论的那样。为了定价“两平”期权，可以只使用在样本尾端的过滤估计和对方差未来值的预测，这是由Noh、Engle和Kane（1994）提出来的关于ARCH模型的方法。更一般地，价格的确定有必要基于方差未来值的完整分布。而这种分布可通过模拟技术得到。进一步的讨论见第节。 人们可以考虑用一个简单但主观的方法来构造过滤和平滑估计，即采用变换后观测值的移动平均函数，这样： r⎧⎫2 σˆ=gwf(y) ， t=1,...,T （） ⎨⎬t∑tjt−jj=t−1⎩⎭其中,对于过滤估计r=0或1，对于平滑估计r=t−T。 既然我们已经构建一个随机波动率模型，自然就是用其作为过滤、平滑和预测的基础。对一个线性的高斯时间序列模型，状态空间形式能够用来作为最优过滤和平滑算法的基础。可惜的是，SV模型是非线性的。这给我们留下三种可能性： a. 基于线性状态空间模型的非有效估计； b. 运用计算机的强化技术估计最优过滤直到一个满意的精确度； c. 运用一个（非特定的）ARCH模型来近似最优过滤。 下面分别对它们进行详细考察。 . 线性状态空间形式 16
《统计手册：金融中的统计方法》 2根据 Nelson（1988）和Harvey、Ruiz和Shephard（1994），变换的观测值logy能用于构造t线性状态空间模型。度量(measurement)方程是（），而（）是过渡(transition)方程。状态ht22的初始条件是由它的无条件均值和方差给出的，分别是0和σ(1−φ)。 η虽然假设η服从正态分布是合理的，但只有ε的绝对值服从对数正态分布，ξ才是正态分ttt布的。而这是不太可能的。因此，运用Kalman滤子和相关联的平滑器产生状态h的估计量，它t2仅在基于logy的线性组合的一类估计量中最优。而且，需要的不是h而是它们的指数。假定httt|T2代表基于线性空间的平滑估计量，那么exp(h)具有（）与常数尺度σ相乘的形式。它可tT以被写成一个加权几何平均值。这就使得这些估计量对很小的观测值很敏感，同时也显示了该方法的局限性。 进行对数变换产生了一个重要的实际问题，即怎样处理零观测值。这是前述要点的一个反映，因为很显然包含零观测值的任何加权几何平均值都是零。更一般地，我们希望避免很小的观测值，一个可能的解决方法是去掉样本均值。另一个是由Fuller提出并由Breidt和Carriquiry （1995）发展的更令人更满意的方法，基于Taylor级数展开式做如下变换： 222222logy≅log(y+cs)−cs(y+cs) ， t=1,...,T （） ttyyty2其中s是y的样本方差，c是一个很小的数，其建议值为。这个变换的作用是通过切掉长尾yt来减少转变观测值的峰度，该长尾由通过取“内层”对数所得到的负值组成。换句话说，它是一2种修剪（trimming）的形式。通过除以σˆ的初始估计量来纠正观测值的异方差，然后再进行前面t22的程序，结果可能更令人满意。这样，ˆlogσ被加到了转变观测值中。σˆ可以从第一轮中构造tt出来，或用完全不同的方法——也许是非参数方法——构造出来。 可对线性状态空间形式进行修改，以便于处理非对称模型。早就有人注意到，即使η和ε不tt是相互独立的，只要η和ε的联合分布是对称的，则状态空间形式中的扰动是不相关的。因此，tt前面的过滤和平滑操作仍是有效的，但会因为对观测值求平方而丢失一部分信息。Harvey和Shephard（1993）指出，通过给观测值的符号附加条件可以恢复该（丢失）信息，观测值的符号由s表示，当y是正的（负的）时s取值+1（−1）。当然，这些符号和ε的符号是一样的。令ttttE（E）表示在ε是正的（负的）条件下的期望值，并对方差和协方差算子给予一个类似的说+−t明。对ε的符号附加条件不影响ξ的分布，但是要记住E(ηε)是ε的一个奇函数， ttttt∗μ=E(η)=E[Eηε]=−E(η) ， +t+tt−t并且 ∗γ=Cov(η,ξ)=E(ηξ)−E(η)E(ξ)=E(ηξ) +tt+tt+tt+tt=−Cov(η,ε) −tt因为ξ的期望值是零，并且 t∗E(ηξ)=E[E(ηε)logε]−μE(logε)=−E(ηξ) 。 +tt+tttt−tt最后 222∗2Varη=E(η)−[E(η)]=σ−μ 。 +t+t+tη现在，线性状态空间形式是 2logy=ω+h+ξ ttt∗∗h=φh+sμ+η ， （） t+1ttt2∗⎛⎞⎛⎞σγsξ0⎛⎞⎛⎞ξtt⎜⎟⎜⎟⎜⎟s~ID⎜⎟, 。 2t∗⎜⎟⎜⎟∗2∗⎜⎟⎜⎟η0γsσ−μ⎝t⎠⎝⎠tη⎝⎠⎝⎠ 17
《统计手册：金融中的统计方法》 22通过使h具有零均值和方差σ(1−φ)，Kalman滤子仍然可以初始化。 0η∗∗（）的参数化并不直接包括代表ε和η之间相关性的参数。μ和γ间的关系和模型中tt的初始参数只能通过假设关于ε及η分布来得到。当ε和η服从具有Corr(ε,η)=ρ，ttttttE(ηε)=ρσε的二元正态分布时，就有 ttηt∗ μ=E(η)=ρσE(ε)=ρσπ2=ρσ ， （） +tη+tηη而且 ∗22γ=ρσE(εlogε)−ρσE(logε)=ρσ 。 （） ηttηtη−当ε为t−分布时，它可以写成ζκ，并且ζ和η能够被看作具有相关系数ρ的二元正ttttt∗∗态分布，而κ与两者都独立。μ和γ的数值计算与前面相同，除了初始条件是关于ζ而不是关tt于ε的，且必要的表达式和高斯情形下（的表达式）完全一样。 t对数波动率h的过滤估计——记作h——具有形式： tt+1t∗φ(p+γs)ttt−12∗h=φh+(logy−ω−h)+sμ ， t+1ttt−t1−ttt1∗2p+2γs+σ−tξtt1∗其中p是h对应的均方误差(mean square error)。如果ρ<0，那么γ<0，且过滤估计将tt−1tt−1表现出和Nelson（1991）估计的EGARCH模型一样的情形，即负观测值比相应的正观测值使被估计的对数波动率增加得更多。 . 非线性滤子 原则上，可以为原始方程（）和（）写一个准确的滤子，且前者作为度量方程。计算这样一个滤子需要用数值方法近似一系列积分。Kitagawa（1987）提出了得到该滤子的一般方法，并由Watanabe（1993）把它运用到SV模型中。可惜的是，它看起来非常耗时，在当前的计算机技术下不太适用。 通过将其作为整体模型的贝叶斯处理的一部分，Jacquier、Polson和Rossi（1994）说明了通过模拟得到波动率的平滑估计的可行性。需要的是以观测值为条件的波动率联合分布的均值向量。然而，因为模拟这样的联合分布在现实中是不可行的，他们把它分解成一系列单变量分布，每一个波动率都以所有其它的波动率为条件。这些分布可以记作p(σσ,y)，其中σ表示除t−t−t了σ之外的所有波动率，人们要做的是从这些分布中依次抽样，使得σ集合中的元素等于它们t−t最后的估计值，并且重复几千次。这就是Gibbs抽样法。然而存在一些困难。SV模型的马尔可夫结构可以拓展成 p(σσ,y)=p(σσ,σ,y)∝p(yh)p(hh)(hh) t−ttt−1t+1ttttt−1t+1t虽然上述表达式的右边可明确写出，但密度却不是标准形式，并且没有正规化常数的解析式。Jacquier、Polson和Rossi采用的解决方法是使用一连串的Metropolis接受/拒绝的独立链。 2Kimyu和Shephard（1994）指出，如果φ接近于1，并且/或者σ很小的话，因为σ变化很ηt慢，Jacquier、Polson和Rossi采用的单一移动算法（single mover）将会变慢。事实上，当它是一个常数时，运算将根本不收敛。基于线性状态空间形式的另一个方法是通过正态分布的混合获得度量方程中的非正态扰动项ξ。Watanabe（1993）提出了基于两矩的混合的近似方法。Kim和tShephard（1994）提出了基于线性状态空间形式的一个多移动抽样法（multimove sampler）。成批的h被抽取，而不是一次取一个。他们所采用的技术是混合适当数目的正态分布来达到（）t中所要求的近似扰动的精确程度。Mahieu和Schotman（1994a）通过在正态分布的混合中引进更多的自由度扩展了这种方法，其中的参数是估计的，而不是事先确定的。值得注意的是σ的分布t能够从h的模拟分布得到。 tJacquier、Polson和Rossi（1994，）指出，在Kim和Shephard的方法中，不论用到多 18
《统计手册：金融中的统计方法》 2少混合成份，logε的尾部状态不可能被满意地近似。事实上，他们注意到给定Kim和Shephardt状态空间的不连续性，在小数目的抽取中并不是所有的状态都能涉及到，也就是所谓的内层问题（也参见节和Nelson（1994））仍是存在的。 最后要注意，当超参数（hyperparameters）未知时，由贝叶斯方法生成的状态的模拟分布考虑到了它们的抽样变异性。 . 作为近似滤子的ARCH模型 这里的目的是把注意力引向一个将在节中更详细讨论的主题。在ARCH模型中，条件方差被假设成过去观测值的一个精确函数。Nelson和Foster（1994，）指出，这个假设是经济学和统计学特有的。然而，由于ARCH模型相对而言易于估计，Nelson（1992）以及Nelson和Foster（1994）主张的一个有用的策略，是把它们视为产生条件方差估计值的滤子，来估计条件方差。这样，即使我们相信有一个连续时间或者离散时间的SV模型，仍可以估计一个GARCH2（1,1）模型，并且把σ作为一个近似的滤子，如（）中那样。于是，估计值就是过去观测t2值平方的加权平均，它给出了以时间t−1的观测值为条件的σ分布的均值估计。此外，Taylort（1986）和Schwert（1989）提出的模型也可以运用，该模型中的条件标准差构造成先前条件标准差和先前绝对值的线性组合，这对异常值来说更稳健，因为它是过去绝对值的线性组合。 Nelson和Foster推导了一个ARCH模型，它给出连续时间SV公式的最接近的近似（详见节）。这并不对应某个标准模型，虽然它相当接近EGARCH。对于离散时间SV模型，过滤理论没有得到这样广阔的发展，事实上，Nelson和Foster指出，从随机微分方程到差分方程，在极限定理和优化理论中都有相当大的差异。他们研究近似扩散的情形，作为例子来说明这些差异。 . 模型的扩展 . 持续性和周期性 2最简单的非平稳SV模型是h服从随机游走。如果用观测值的对数变换logy来做研究，很tt容易得到这个模型的动态属性。所要做的全部工作只是求一阶差分以得到一个平稳过程。未变换c的观测值是非平稳的，但是模型的动态结构将出现在[yy]的ACF中，只要c<。 tt−1该模型的可替代选择是IGARCH，即α+β=1的（）。IGARCH模型使观测值的平方具有单整ARMA（integrated ARMA）过程的一些特征，并且被认为呈现持续性；参见Bollerslev和Engle（1993）。然而，它的性质并不是简单明了的。例如，它必须包含一个常数γ，否则如Nelson2（1990）所指出的，σ几乎必定收敛于零，且模型具有独特性质，即它是严平稳的而不是弱平t稳的。另一方面，非平稳的SV模型能够在h是一阶标准积分过程的基础上进行分析。 t2因为logy只是一个随机游走加上噪声，过滤和平滑能够在线性状态空间框架中执行。初始t条件用与非平稳结构时间序列模型相同的方法处理，即从第一个观测值开始，有效形成的状态适2当优先，参见Harvey（1989）。作为过去的logy线性组合的一类估计，h的最优过滤估计h，tttt−122是一个常数加上过去logy的一个等权重移动平均（EWMA）。在IGARCH中，σ由一个常数tt加上过去观测值平方的EWMA精确给出。 2随机游走波动率能够被其它非平稳设定所替代。一种可能是双重积分随机游走，其中Δh是t白噪声。在连续时间建模中，该模型等价于三次样条函数，应用于水平模型时，显示出相对平滑的趋势。在SV的框架下，如果目标是寻找满足平滑演化方差的加权函数，这将是很吸引人的。然而，对预测来说，它可能更不稳定。 其它非平稳成分可以很容易地引入h。例如，周期性的或日间的成分能够包含在内；设定与tHarvey（1989）以及Harvey和Koopman（1993）讨论的相应的水平模型完全一样。动态属性是2通过运用于logy的一般变换直接给出的，且适当地变换绝对值并不困难。这样，如果波动率是t由一个随机游走加上一个如Harvey（1989，－3）中的非平稳的周期性缓慢变化构成，那么 19
《统计手册：金融中的统计方法》 c2适当的变换则是Δlogy和yy，其中s是周期数。状态空间的公式遵循相应的水平结构sttt−s时间序列模型的方法。在GARCH框架中处理这样的效应并不容易。 通过运用将在稍后的小节中讨论的时间形变的思想，处理周期性的不同方法也可引入SV模型中。当处理周期性中的急剧变化时，这些方法可能特别重要，这些急剧变化似乎发生在高频数据中，如五分钟或者逐笔（tick－by－tick）的外汇交易数据。 . 干预和其它确定性效应 干预变量很容易引入SV模型。例如，波动率过程的一个突然的结构性变化能够通过如下假设来反映 22logσ=logσ+h+λw ttt其中w在突变前是0，在突变后是1，λ是一个未知参数。对数变换给出了（），只是λw加tt到了右边。将该效应引入ARCH模型时应谨慎。例如，在GARCH（1,1）中，反映意外的突变必须建立模型 222σ=γ+λw−(α+β)λw+αy+βσ ttt−1y−1t−12对λ的约束使σ总是正的。 t与干预虚拟变量相反，更一般的可观测解释变量可经方差引入模型。 . 多变量模型 对应于（）的多变量模型，假设每一个序列都是由如下形式的模型生成的 y=σεe ， t=1,...,T ， （） itiit向量′ε=(ε,...,ε)的协方差（相关）矩阵用Σ表示。波动率向量h遵从VAR（1）过程，也t1tNtεt就是 h=Φh+η ， t+1tt其中η~IID(0,Σ)。该设定允许波动率的变动通过Σ在不同序列间相关，相互作用通过Φ的tηη非对角元素体现。 观测值平方的对数变换导出了一个多变量线性状态空间模型，通过它可以计算波动率的估计值，如节中那样。 一个简单的非平稳模型可通过假设波动率服从多变量随机游走得到，即Φ=I。如果Σ是η奇异的，具有秩K<N，在波动率中只有K个分量，也就是（）中的每一个h都是K<Nit个共同趋势的线性组合，即 ⊥ h=Θh+h （） tt⊥其中h是共同随机游走波动率的K×1向量，h是常数向量，Θ是因子载荷的N×K矩阵。需t要在Θ和h上施加特定约束以确保可识别性，参见Harvey、Ruiz和Shephard（1994）。在Engle和Granger（1987）中，观测值平方的对数是“协整的”，这是由于有N−K个线性组合，这些线性组合是白噪声，因而是平稳的。这就意味着，例如，如果收益的两个序列表现出随机波动率特征，而当Θ′=(1,1)时，波动率是相同的，那么序列的比率将不存在随机波动率特征。“共同持续性”相关概念的应用能够在Bollerslev和Engle（1993）中找到。然而，如同在单变量情形中一样，对于是什么真正构成持久性仍存在疑问。 对于为何波动率中共同成分的思想不应扩展到平稳模型中，并无解释。公式（）的应用⊥不需要h，而需要对h建模，例如通过VAR（1）。 tBollerslev、Engle和Wooldridge（1988）指出，原则上一个多变量GARCH模型能够进行极大似然估计，但是由于涉及到大量的参数，除非施加约束，否则常会遇上计算问题。多变量SV模型比多变量GARCH的一般公式要简单得多。然而，它存在局限性，因为没有对变化的协方差建模。在这一意义上，它类似于Bollerslev（1986）的有约束的多变量GARCH模型，在该模型中条件相关系数被假设为常数。 20
《统计手册：金融中的统计方法》 Harvey、Ruiz和Shephard（1994）对四种汇率运用非平稳模型，发现只有两个共同因子主导波动率。另一个运用在Mahieu和Schotman（1994b）中。对汇率波动率建模的另一种完全不同的方法是Diebold和Nerlove（1989）建立的潜在因子（latent factor）ARCH模型。 . 观测间隔、归并和时间形变 假设对一个SV模型每隔δ时段进行一次观测。在这种情形下，h仍是AR（1），但参数变τδ2为φ，其中τ表示新的观测（抽样）间隔。扰动η的方差增大，但σ保持不变。SV模型的这th一性质使它很容易在不同抽样间隔中做比较；例如，为什么每天观测时φ大约是，而间隔一周（假定一周为5天）观测时φ值大约为，SV模型的性质使这一原因变得很清楚。 如果观测平均很长一段时间才进行一次，比较就复杂得多。因为h此时将服从一个ARMAτδ（1,1）过程。然而，AR参数仍为φ。值得注意的是，要改变ARCH过程的观测间隔是很困难的，除非如Drost和Nijman（1993）所述，结构将弱化，参见节。 如同在节中指出的，通常运用离散时间模型近似替代连续时间模型，这很容易通过运用如Harvey （1989）所描述的线性状态空间模型来处理不规则时间间隔的观测值。事实上，最初由Clark（1973）提出的以描述资产价格及其波动率的从属过程为基础的方法非常适合该框架。Stock（1988）指出，处理不规则时间间隔观测值的技术能够作为处理时间形变观测值的基础。Ghyseis和Jasiad（1994a,b）提出了一个SV模型，其中连续时间波动率方程的运作时间是由信息流决定的。这样的时间形变过程可能格外适合处理高频率数据。如果τ=g(t)是日历时间τ和运作时间t之间的映射，那么 dS=μSdt+σ(g(t))SdW ttt1t并且 dlogσ(τ)=a(b−logσ(τ))dτ+cdW 2τ其中W和W是标准的独立Wiener过程。离散时间近似产生了（），但它包含这样一项，1t2τ该项在（）中被包含在常数尺度因子σ中，因而有 −aΔg(t)−aΔg(t)h=[1−e]b+eh+η t+1tt其中Δg(t)是两个连续日历时间之间的运作时间变化，η是具有均值为零和方差为t2−2aΔg(t)−ac(1−e)2a的正态分布。明显地，如果Δg(t)=1，那么（）中φ=e。由于信息流，从而Δg(t)，是不可观测的，必须详细设定日历时间到运作时间的映射以使模型可操作。Ghysels和Jasiak（1994a）讨论了一些设定，这些设定围绕比例指数函数考虑使g(t)和可观测变量相关联，例如过去交易量和具有不对称杠杆效应的过去价格变化。该方法也被Ghysels和Jasiak（1994b）用于模拟收益率－成交量的联合运动，以及被Ghysels、Gourieroux和Jasiad（1995b）用于模拟日内高频数据，该数据具有很强的（节的）周期模式。 . 长期记忆 Baillie、Bollerslev和Mikkelsen（1993）提出了扩展GARCH类模型的一种方式以解释长期记忆。他们称该模型为分数单整（Fractionally Integrated）GARCH（FIGARCH），其主要特征是在条件方差等式中的过去观测值平方的滞后结构中，加入分数差分(Fractional difference)算子d(1−L)，其中L是滞后算子。然而，当d=0时，这个模型只能是平稳的，并还原为GARCH。在随后的一篇论文中，Bollerslev和Mikkelsen（1995）讨论了Nelson（1991）EGARCH模型的一2个推广，其中logσ对包含分数差分算子的过去ε的分布滞后建模。如果d<，该ttFIEGARCH模型是平稳和可逆的。 Breidt、Crato和de lima（1993）以及Harvey（1993）提出了一个SV模型，其中h由分数噪t声生成 d2 h=η(1−L) ， η~NID(0,σ) ， 0≤d≤1 。 （） tttη如同（）中的AR（1）模型，这个过程还原为白噪声和一个在参数空间边界上的随机游 21
《统计手册：金融中的统计方法》 走，即分别为d=0和1。然而，只有当d<时，它才是平稳的，因而，对AR（1）模型来说，从平稳性到非平稳性的转变具有不同的途径。与AR（1）的情形一样，限定（）中的自相关为正是合理的。然而，一个负的d值却是相当合理的，实际上，当h是非平稳的时候，对其差分t就可得到一个平稳的“中等记忆”过程，其中−≤d≤0。 具有长期记忆的SV模型的性质能够从小节的公式中得到。在Harvey（1993）中可以找2到，当h服从d=和σ=2的长期记忆过程时，以及当h是具有φ=的AR（1）时，tht相应的ACF之间的比较。回顾长期记忆的一个特有属性是自相关的双曲线比率衰减，而非数据中观测到的（见节）指数比率衰减。长期记忆模型中，衰减缓慢是很明显的。事实上，对于τ=1000，长期记忆的自相关系数仍然是，而在AR情形中它只是。长期记忆的形状和Ding、Granger和Engle（1993，-8）中的形状非常相似。 通过令η为一个ARMA过程，并且/或者通过给波动率方程加上更多成分，模型可以扩展。 t关于平滑和过滤，我们已经指出，由于涉及截断（truncation），状态空间方法是近似的，而2且由于状态向量的长度，这个方法是比较麻烦的。在logy的线性估计量中，平滑和过滤是最优t2的，如果已准备好构造并转置logy的T×T协方差矩阵，那么可以用直接的方法进行精确的平t滑和过滤。 4. 连续时间模型 第2节的末尾给出了离散时间SV的统计建模框架，并且把整个第3节用于讨论离散时间SV模型的设定。为了讨论连续时间模型，首先研究微分方程和离散时间SV模型之间的所有精确关系（也没有近似误差）。在节中通过一类在时频归并下是闭合的统计模型，进行（1）从高频的离散时间到较低频的离散时间，（2）从连续时间到离散时间的讨论。接下来，在节中，用连续时间模型讨论期权定价和套期保值，并且详细阐述诸如微笑效应这样的特征。实际实行SV期权定价公式时，经常要求把离散时间的SV和/或者ARCH模型作为连续时间波动率过程的滤子和预测器。将在节中涉及的滤子通常是连续时间SV模型的离散时间近似（并不是节中那样的精确离散化）。节以基础模型的扩展结束。 . 从离散到连续时间 这一节的目的是提供离散和连续时间SV模型之间关系的严格讨论。首先从对SARV类模型背景下时频归并的讨论开始，并着重讨论包括GARCH模型的特殊情形。这些内容涵盖了节。接下来把注意力转向各类连续时间SV模型，以得出离散时间的表达式。这是节的主题内容。 . 离散时间模型的时频归并 节讨论Andersen的SARV类模型，以作为一般的离散时间参数SV统计模型。这里考虑零均值的情形，即： y=σε （） t+1tt+1q当q=1或者2时，σ是马尔可夫过程K的一个多项式函数g(K)，K具有平稳的自回归表达tttt式 K=ω+βK+υ （） tt−1t其中β<1，并且 E[εε,υτ≤t]=0 （） t+1τ2 E[εε,υτ≤t]=1 （） t+1τ E[υε,υτ≤t]=0 （） t+1τ 22
《统计手册：金融中的统计方法》 22约束（-c）隐含υ是关于过滤ℜ=σ[ε,υ,τ≤t]的鞅差分序列。而且，（-c）tτt中的条件矩条件也说明（）中的ε在半强意义下是一个白噪声过程，也即E[εε,τ≤t]=0t+1τ223和E[εε,τ≤t]=1，并且不是由υGranger引起（Granger－caused）。第2节一开始，就选择t+1τ了在一个特定时间范围内的连续复利收益率作为讨论连续时间过程的起点。因而，令（）中的y为资产价格过程S在[t,t+1]的连续复利收益率，因此： t+1t y=logSS （） t+1t+1t由于抽样间隔的时间单位在很大程度上是主观的，因此要求由方程（）到（）所定义的SV模型（对于给定的q和函数g）在时频归并下是闭合的。由于收益率是流量变量，在时频归并下闭合意味着对任何整数m： m−1(m)y≡logSS=y tmtmtm−m∑tm−kk=0它也适合（）到（）类型的模型，对于所包含的适当参数值，q和g的选择相同。这一节中的分析沿用Meddahi和Renault(1995)，他们详细研究了SV模型的时频归并，尤其是对2σ=K的情形，也即q=2并且g是恒等函数。它与Drost和Werker(1994)的所谓的连续时间ttGARCH方法有关，因此，由（）我们有： 22 σ=ω+βσ+υ （） tt−1t该模型具有条件矩约束（-c），在时频归并下是闭合的，例如，对于m=2： (2)(2)(2) y=y＋y＝σε t+1t+1tt−1t+1具有： 22(2)(2)(2)(2)(2)(σ)=w+β(σ)+υ t−1t−3t−1其中： (2)⎧w=2ω(1+β)⎪2 β(2)=β ⎨(2)⎪υ=(β+1)[βυ+υ]t−1t−2t−1⎩而且，无论何时杠杆效应出现在归并水平中都是值得注意的，即： (2)(2) Cov[v,ε]≠0 t−1t−1(2)(2)具有ε=(y+y)σ，它必须出现在非归并(disaggregate)水平中，即Cov(σ,ε)≠0。 t−1t−1t−2t−3tt对于一般情形，Meddahi和Renault(1995)指出，模型（）和条件矩约束（-c）合在一起就是在归并条件下闭合的一类过程。给定这一结果，同Drost和Nijman(1993)关于GARCH时频归并的研究作比较是很有趣的。建立Meddahi和Renault(1995)与Drost和Nijman(1993)之间的联系时，也揭示了GARCH模型中杠杆性质的争论点。事实上，同人们通常相信的相反，发现了GARCH过程中的杠杆效应约束。而且，根据Meddahi和Renault的结果还发现弱GARCH过程包含某些SV模型。 为了找到在归并条件下闭合的一类GARCH过程，Drost和Nijman(1993)弱化了GARCH的定义，即对于一个正的平稳过程σ： t222σ=w+ay+bσ （） tt−1t−1其中a+b<1，他们定义： —强GARCH，如果yσ是具有均值0和方差为1的独立同分布.。 t+1t22—半强GARCH，如果E[yy,τ≤t]=0，并且E[yy,τ≤t]=σ t+1τt+1τt ~22注意，这里不用（）中出现的分解，即υ=[γ+aK]u。 tt−1t23这里考虑的ε的Granger非因果性比假设要弱，因为它只运用了前两阶条件矩。 t 23
《统计手册：金融中的统计方法》 22224—弱GARCH，如果EL[yy,y,τ≤t]=σ。 t+1ττtDrost和Nijman阐述了弱GARCH过程时频归并，而且给出了其系数的明确公式。在节中提到，当波动率过程不存在特定随机性时，SARV框架包含GARCH过程。这一性质将允许我们证明弱GARCH过程——如上面定义的——事实上包含更一般的、严格说来并不是GARCH的2SV过程。按照Meddahi和Renault(1995)的观点，要求根据υ和y之间的相关系数来对（）tt和（）所定义的模型进行分类，即： （a） 具有完全相关性的模型：第一种类型——以后就表示为C——表现为在条件12(ε,υ,τ<t)下υ和y之间是一个线性关系，对（）中的模型而言它就是1或者−1。 ττtt（b） 不具有完全相关性的模型：第二种类型——以后就表示为C——如上述的条件相关性具2有小于1的绝对值。 2类型C包括所有的半强GARCH过程，事实上只要C中Var[yε,υ,τ<t]和11tττVar[υε,υ,τ<t]成比例，就有半强的GARCH。因此，一个半强GARCH过程就是模型（）tττ25 满足：（1）约束（），（2）如同C的完全条件相关性，（3）对条件峰度动态特性的约束。1现在考虑如下假设： 假设. 如下两个条件期望为零： E[ευε,υ,τ<t]=0 （） ttττ3E[εε,υ,τ<t]=0 （） tττ这个假设相当于无杠杆效应，后者在条件协方差意义下定义，用于反映节中讨论的瞬26时因果关系的概念，这里它是在弱白噪声背景下运用。还需要注意的是（）和（）一般不相等，除非在类型C的过程中。 1类型C考虑了由于不完全相关性而产生的波动率过程的随机性。然而，尽管存在波动率特2定的随机性，还是可以指出在假设下C过程满足弱GARCH定义。不容置疑的是，任何满2足（-c）、（）、（-b）以及假设的SV模型，是弱GARCH过程。实际上，对222称假设（-b）或GARCH中对杠杆的约束，使得EL[yy,y,τ≤t] =σ（连同条件矩t+1ττt约束（-c）），并产生了Drost和Nijman(1993，例2，) 在所谓的对称弱GARCH(1,1)中发现的时频归并的内在一致性。因此，这类弱GARCH(1,1)过程能够被当作满足（）和（）27 过程的子类型。 . 连续时间模型的时频归并 为了方便讨论，将一般连续时间模型（）的研究集中于零漂移的过程，即： dlogS=σdW （） tttσdσ=γdt+δdW （） ttttσCov(dW,dW)=ρdt （） tttσ其中随机过程σ，γ，δ和ρ满足I=[σ;τ≤t]。为了保证σ是一个非负的过程，通常遵tttttτt 224对于任何L的Hilbert空间H，EL[xz,z∈H]是x关于1和z∈H的最佳线性预测值。需要注意的是，tt一个强GARCH过程，不容置疑地是一个本身也是弱GARCH过程的半强过程。 25事实上，Nelson和Foster(1994)发现，最常用的ARCH模型实际上假定了方差的方差(the variance of the variance)4线性地增加到σ，这是ARCH模型在近似连续时间SV模型（也见节）时的主要缺点。 t226条件期望（）可看成ε和ε之间的条件协方差。就是这个协方差——如果非零的话——产生GARCH中tt的杠杆效应。 27正如前面指出的，满足（）和（）的一类过程在时频归并下是闭合的，它包含了不满足假设的杠杆效应的过程。 24
《统计手册：金融中的统计方法》 22循如下两个策略中的一个：（1）考虑logσ的扩散，或者（2）将σ作为CEV过程（或者服从tt28Cox(1975)以及Cox和Ross(1976)的固定弹性方差过程）。前者经常在期权定价文献中遇到（例如，参见Wiggins(1987)），它明显与提出EGARCH的Nelson(1991)以及Taylor(1996)的对数正态SV模型有关。第二种类型的CEV过程可写作 222δσdσ=k(θ−σ)dt+γ(σ)dW （） tttt2其中δ≤12保证了σ是一个取非负值的平稳过程。方程（）可看作是节中提到的离散t时间SARV模型类型的连续时间情形。这一观测结果建立起同前面节中讨论内容的联系，并且产生了连续时间SV模型精确的离散化结果。因此，就像前一节一样，主要是根据弱GARCH过程时频归并同GARCH类模型比较，特别是Drost和Werker(1994)提出的扩散模型。 2首先，应该注意（）中的CEV过程隐含一个σ的离散时间自回归模型，即： tt+Δt2−kΔt−kΔt2−kΔtk(u−t)2δσσ=θ(1−e)+eσ+eeγ(σ)dW () t+Δttuu∫tMeddahi和Renault(1995)指出，只要（）和它的离散化（）决定波动率，离散时间过程logSS，k∈Ζ就是满足模型约束（-c）和（）的SV过程。因此，t+(k+1)Δtt+kΔt如前一节所述，从扩散（）可得到离散时间SV类模型，它在时频归并条件下是闭合的。更具体些，考虑例如Δt=1，那么由（），有： (1)y=logSS=σεt+1t+1ttt+1 （） 22(1)(1)(σ)=w+β(σ)+υttt其中由（）： −k−k⎧β=e,w=θ(1−e),⎪−kt+1⎛⎞1−e （） ⎨−kk(u−t)2δσυ=⎜⎟eeγ(σ)+1uu⎜⎟∫⎪tk⎝⎠⎩值得注意的是（），在连续时间中没有杠杆效应，即（）中ρ=0，这意味着在t低频率下没有该效应，且假设的两个对称条件得到满足。这一系列的合理性还解释了Drost和Werker(1994)的时频归并结果，但更具一般性的是，能够解释具有杠杆的连续时间SV模型，如何精确离散化为具有杠杆效应的离散时间SV模型。 . 期权定价和套期保值 节用于研究具有SV的基本期权定价模型，即第2节的Hull和White模型。现在有了更好的方法来详细阐述它的理论基础，在节讨论了实际意义，而以一些基础模型的扩展结束。 . 基本期权定价公式 回顾一下到期期限为t+h=T的欧式期权合约公式（）。如在节中提到的，假设交易是连续的和无摩擦的。并且，标的资产和无风险债券的交易中不存在套利机会，利率是非随机的，以使得由（）定义的B(t,T)表示到期期限为T的一单位贴现债券在时间t的价格。现在，考虑概率空间(Ω,ℜ,P)，它是标的资产价格过程S的基础空间： SdSS=μ(t,S,U)dt+σdWtttttt2 σ=f(U) （） ttσdU=a(t,U)dt+b(t,U)dWtttt 228偶尔会遇到不保证σ过程非负性的设定，为了计算的方便，如有些作者考虑σ和σ的Ornstein- Uhlenbeckttt过程（例如，参见Stein和Stein(1991)）。 25
《统计手册：金融中的统计方法》 SσSσ其中W=(W,W)是定义在(Ω,ℜ,P)上的标准二维布朗运动（W和W是独立的，具有零ttttt均值，方差为1）。函数f被称为波动率函数，假设为一一对应。在该框架下（在适当的正则性条件下），无免费午餐假设相当于(Ω,ℜ)上有一个概率分布Q存在，它等于P，在此假设下贴现价格过程是鞅（参见Harrison和Kreps(1979)）。这样的概率称为等鞅测度(an equivalent martingale 29measure)，当且仅当市场完全时它是唯一的（见Harrison和Pliska(1981)）。根据鞅表达式的积分形式（见Karatzas和Shreve(1988)），任何等于P的概率测度Q的（正）密度过程可写成： tt1⎡SSS2M=exp−λdW−(λ)du tuuu∫∫⎢002⎣tt1⎤σσσ2−λdW−(λ)du （） uuu∫∫⎥002⎦Sσ其中过程λ和λ适合于自然过滤σ=σ[W,τ≤t]，t≥0，并且满足可积性条件（几乎必定）： tτttS2σ2(λ)du<+∞和(λ)du<+∞ uu∫∫00~~~Sσ根据Girsanov定理，过程W′=(W,W)定义为： tt~~SSSσσσ W=W+λdu和W=W+λdu （） ttuttu∫∫00它们是Q条件下的二维布朗运动，Q条件下的标的资产价格的动态特征从（）和（）直接得到。而且，贴现资产价格过程SB(0,t)，0≤t≤T，是一个Q-鞅，当且仅当对于（）t中定义的r有： tμ(t,S,U)−rStttλ= 。 （） tσtσS由于S是唯一的交易资产，过程λ不是固定的。（）定义的λ被称为资产风险溢价。σ依此类推，任何满足所需的可积性条件的过程λ都能够视为一个波动率风险溢价，并且对于任σσσ何λ，由（）密度过程M定义的概率Q(λ)是一个等鞅测度。因此，给定风险溢价过程λ： σσλQ(λ) C=B(t,T)E[Max[0,S−K]] ， 0≤t≤T （） ttT30 是欧式看涨期权的一个可行的价格过程。Hull和White的期权定价模型依赖于下面的假设，它对等鞅测度集作出约束： σσσ假设. 波动率风险溢价λ只依赖于波动率过程的当前值：λ=λ(t,U)，∀t∈[0,T]。 ttt该假设和跨期均衡模型是一致的，在该模型中行为者的偏好由时间可分的等弹性效用函数描~~Sσ述（参见He(1993)以及Pham和Touzi(1993)）。它保证了W和W独立，使得以ℜ和波动率路tT1σ2径(σ,0≤t≤T)为条件的logSS的Q(λ)分布服从具有均值rdu−γ(t,T)和方差为tTtu∫t2T22γ(t,T)=σdu的正态分布。在假设下，可以计算（）中以波动率路径为条件的期u∫t望，最后得到： σσλQ(λ)−xt C=SE[φ(d)−eφ(d)] （） ttt1t2t它和（）有相同的符号。最后，值得注意的是，文献中用的许多期权定价公式具有和（）共同的特征，因为基于波动率参数异质分布的期望值（参见Renault(1995)关于这个主题的详细讨论），它们能够被表示为Black-Scholes价格。 . 用Hull和White模型进行定价和套期保值 29这里，（在考虑期权的市场价格之前）市场被看作是不完全的，所以必须描述一组等鞅测度的特征。 QQ30这里以及其他地方，当价格的动态特征由Q决定时，E(⋅)=E(⋅ℜ)表示给定ℜ时的条件期望算子。 tttt 26
《统计手册：金融中的统计方法》 过程(S,σ)的马尔可夫特征暗示期权价格（）只依赖于标的资产及其波动率的同期值。而且，在适当的正则性条件下，这个函数是可微的。因此，在随机波动率背景下解决套期保值问∗∗2题的一个很自然的方法，就是用Δ单位的标的资产和Σ单位的价格为C的其他任何期权，对ttt1价格为C的一个给定期权进行套期保值，其中套期保值比率的解为： t1∗∗2⎧∂C∂S−Δ−Σ∂C∂S=0⎪tttttt （） ⎨1∗2⎪∂C∂σ−Σ∂C∂σ=0⎩ttttt上述方法被称为delta-sigma套期保值策略，是由Scott(1991)发展的。通过假设任何欧式期权2在某一时点到期，即∂C∂σ≠0，0≤t≤T，Bajeux和Rochet(1992)显示充分证据证实ttdelta-sigma套期保值问题（）唯一解的存在性，还证实了前面几节中隐含的假设，即可获得的信息I包含过去值(S,σ)，τ≤t。实际操作中，期权交易者经常把兴趣集中在标的资产价格ttt1变化引起的风险上，并且考虑不完全的套期保值策略Σ=0和Δ=∂C∂S，那么，Hull和ttttWhite的期权定价公式（）直接给出了Δ的理论值： tσσλQ(λ) Δ=∂C∂S=Eφ(d) （） tttt1t这个理论值在实际中是很难运用的，因为：（1）给定I（被σ所概括）时，即使知道d的tt1tσQ(λ)条件概率分布，期望（）的求导在计算上仍然很费力，（2）给定σ时，该条件概率tT22与γ(t,T)=σdu的条件概率分布是直接相关的，进而可能非平凡地（nontrivially）包含潜在u∫tσ2过程σ的参数。而且给定σ时，这些参数是风险中性概率Q(λ)下，条件概率γ(t,T)的参数，tt它们通常与数据生成过程P不同。统计推断问题因此变得非常复杂，我们将在第5节讨论，只有基于模拟（Simulation-based），同时涉及资产和期权价格的推断方法（通过期权定价模型）可以提供满意的解。 不过，回避这些复杂性的一个实际做法是运用Black-Scholes期权定价模型，即使已知设定是错误的。事实上，期权交易者知道，使用BS公式，其波动率参数是标的资产价格时间序列的历史估计值，通常不能得到足够精确的期权价格和套期保值比率。然而，Black-Scholes的隐含波动率（）概念被视为改进了BS模型的定价和套期保值性质。这产生了两个问题：（1）同时运用（假设常数波动率的）BS模型和隐含波动率明显随时间随机变化的BS模型，它们的内在一致31 性是怎样的；(2)怎样讨论期权定价误差的面板结构？关于第一个问题，在第2节中已指出，Hull和White期权定价模型事实上可看作是这个定价实践的理论基础，套期保值问题和期权定价误差的面板结构在Renault和Touzi (1992)中有详细研究。 . 微笑和假笑 如同在节中提到的，微笑效应现在已是被广泛研究的经验类型化事实。而且，微笑有时会变成假笑，因为它或多或少会向一方倾斜（即所谓的偏度效应），在第2节我们告诫说微笑/假笑效应的一些解释经常是基于推断，而不是严格的证明。 据我们所知，现有研究结果包括：（i）对Hull和White期权定价模型隐含一个对称微笑的最正式证明，是由Renualt和Touzi(1992)给出的；（ii）微笑／假笑效应可由流动性问题替代解释（微笑曲线最上面的部分，即最贵的期权最少流动）的第一个最完整证明，是由Platten和Schweizer(1994)运用微观结构模型做出的，（iii）没有正式证明标的资产价格过程（杠杆效应、非正态性）的概率分布的不对称性能够用来解释观测到的微笑形的偏度。Renualt(1995)给出了解释~观测到的偏度的一种不同尝试。他证明，被用于推断BS隐含波动率的标的资产价格S和期权交t易者所考虑的股票价格S之间的差异，可能在微笑中产生一个经验上似乎合理的偏度。这种非同t 31使BS公式同观测到的期权市场价格相等的σ值，主要依赖实际日期t、执行价格K、到期时间T−t，并且因此生成一个面板数据结构。 27
《统计手册：金融中的统计方法》 ~步的S和S与各种问题相联系：买卖报价差额、两个市场间的非同步交易、基于杠杆效应的预tt测策略等等。 最后值得注意的是，由Gouriéoux、Monfort、Tenreiro(1994)始创，并且被Ait-Sahalia、Bichel、Stoker(1994)所继承的一种新方法，是运用某些观测的状态变量的非参数函数来解释BS的隐含波动率。例如，Gouriéroux、Monfort、Tenreiro(1995)得到的一个很好的非参数拟合，具有如下形式： 2σ(S,K)=a(K)+b(K)(logSS) tttt−1经典的微笑效应可以直接在截距a(K)上观察到，但是一个倒转的微笑效应的出现则由路径依赖的效应参数b(K)决定。对于美式期权，Broadie、Detemple、Ghysels和Torrès (1995)推行了32 一个不同的非参数方法，其中除了波动率外，还能得到期权合约的执行边界。 . 过滤和离散时间近似 在节中提到ARCH类模型能够被视为从离散时间数据中选取（连续时间）条件方差过程的滤子，有些论文就致力于该主题的研究，如Nelson（1990，1992，1995a,b）以及Nelson和Foster(1994，1995)。把ARCH和连续时间SV联系起来，是Nelson的开创性贡献之一。在其1990年的论文中，Nelson的第一个贡献是证明了把波动率模拟为过去收益（平方）的函数的ARCH模2型弱收敛于一扩散过程，要么是logσ的扩散，要么是如节中描述的CEV过程。特别地，t1212当具有条件方差参数ω=hω，α=α(h2)和β=1− α(h2)−θh以及条件均值hhh2μ=hcσ的GARCH(1,1)模型，在越来越密集的时间间隔Δt=h中被观察时，收敛于一个类似ht式（）与δ=1的（）结合的扩散极限，即 2 dlogS=cσdt+σdW tttt222σ dσ=(ω−θσ)dt+σdW tttt2类似地，也可以证明，一个AR(1)-EGARCH(1,1)模型序列将弱收敛于lnσ的一个Ornstein- tUhlenbeck扩散： 22σ dlnσ=α(β−lnσ)dt+dW ttt因此，这些基本观点表明，作为ARCH模型扩散的极限出现的连续时间随机差分方程，不再是ARCH而是SV模型。而且，根据Nelson(1992)，即使设定错误，ARCH模型仍然保持连续时间波动率的理想性质。有争议的是，对于种类繁多的设定错误的ARCH模型，当抽样时间间隔的长度以一个适当的比率趋向于零时，ARCH滤子的波动率估计和真实的潜在扩散波动率之间的差2会依概率收敛于零。例如，具有如前面描述的ω，α和β的GARCH(1,1)模型，σˆ的估计如hhht下： ∞2−1i2σˆ =ω(1−β)+αβy thh∑hht−h(i+1)i=0其中y=logSS。该滤子可以被看作是式（）的特例。通过过去收益平方在时间t附近ttt−h的一个滞后多项式函数，GARCH(1,1)和很多其他模型有效地完成了σ的一致估计。 t各种各样设定错误的ARCH模式始终如一地从高频率数据中选取σ，这就产生了关于滤子t效率的问题。Nelson(1995a,b)以及Nelson和Foster(1994,1995)给出了这个问题的答案，在节中提到，线性状态空间Kalman滤子也能看成σ的一个（次优的）选取滤子。Nelson和Foster(1994)t1422指出，渐近最优线性Kalman滤子具有标准化估计误差ˆh[ln(σ)− lnσ]的渐近方差等于tt12λY(12)，其中Y(x)=d[lnΓ(x)]dx和λ是尺度因子。和如下形式的EGARCH密切相关的一个模型： 22−1ˆˆˆ ln(σ)=ln(σ)+ρλ(S−S)σ t+htt+htt 32也见Bossaerts和Hillion(1995)关于非参数套期保值方法和微笑效应的运用。 28
《统计手册：金融中的统计方法》 2121212−1−12+λ(1−ρ)[ΓΓS−Sσˆ (12)(32)−2] t+htt212产生了具有标准化估计误差的渐近方差等于λ[2(1−ρ)]的渐近最优ARCH滤子，其中参数ρ度量杠杆效应。这些结果还显示了最有效的次优Kalman滤子和最优ARCH滤子之间的差别可能相当大。除了过滤之外，还必须处理平滑和预测。所有这些问题都在节的离散时间SV模型中讨论过，Nelson和Foster(1995)对（设定错误的）ARCH模型的预测性质进行了广泛的研究。Nelson(1995)通过研究平滑滤子使ARCH模型有了进一步的发展，即ARCH模型不仅包括了滞后收益的平方，还包括了将来的实现值，也就是等式（）中r=t−T。 . 长期记忆 用连续时间SV模型中长期记忆的简要讨论来结束这一节。目的是建立连续时间的长期记忆随机波动率模型，该模型同高频率金融数据及长期期权定价有关。引发长期记忆模型付诸使用的原因在节和节中讨论过。连续时间长期记忆的优点，是其能够对主导短期和长期动态特征的参数提供结构性解释。第一小节定义分数布朗运动，然后把注意力转向分数SV模型，接着就是关于过滤和离散时间近似。 . 关于分数布朗运动的随机积分 这一小节回顾了连续时间下分数和长期记忆过程的一些定义和性质，这些在（例如）Comte和Renault(1993)中有广泛的研究，考虑标量过程(scalar process)： t x=a(t−s)dW （） ts∫0这个过程在二次均值的意义上渐近等价于平稳过程： t y=a(t−s)dW （） ts∫−∞+∞2α~~只要a(x)dx<+∞。如果a(x)=xa(x)Γ(1+α)，其中α<12，a在[0,T]上连续可微，∫0而Γ(1+α)是尺度因子，在[0,T]上用于标准化分数导数算子，则该过程称为分数过程（fractional processes）。这些过程可有几种表示，特别它们能够写成： αtt(t−s)x=c(t−s)dW， W=dW （） tαsαts∫∫00Γ(1+α)其中W是所谓的α阶分数布朗运动（fractional Brownian Motion of a）（参见Mandelbrot和Van αNess(1968)）。 函数a和c之间的关系是一一对应的。有人可能会指出,W不是一个半鞅(Semi-Martingale)α（参见例如Rogers (1995)），但是关于W的随机积分能够被正确定义。如果： α~ limxa(x)=a，0<α<12并且0<a<+∞ （） ∞∞x→+∞过程x是长期记忆的，例如， tdx=−kxdt+σdW x=0，k>0， 0<α<12 （） ttαtt其解为： tα−1(α)x=(t−s)(Γ(1+α))dx （） tt∫0t(α)−k(t−s)x=eσdW （） ts∫0(α)注意，x的α阶导数x是普通SDE的一个解：dz=−kzdt+σdW。 ttttt . 分数SV模型 为了方便FIEGARCH模型和节中讨论的对数正态SV模型的分数扩展的比较，考虑如下分数SV模型（此后称为FSV）： 29
《统计手册：金融中的统计方法》 dSS=σdW （） tttt dlogσ=−klogσdt+γdW () ttαt其中k>0并且0≤α<12。分数的指数α如果是非零的，那么它将根据波动率过程的规则排列，给出一些自由度，即α越大，波动率过程的路径就越平滑。如果用r(⋅)表示σ的自协方差函数，σ那么： α>0⇒(r(h)−r(0))h→0 当 h→0 时 。 σσ这将被错误地解释为近似单整（near-integrated）行为，这在高频率数据中经常出现，例如当： h r(h)−r(0)h=(ρ−1)h→logρ 当 h→0 时 ， σσ并且σ是连续时间AR(1)，具有接近于1的相关性ρ时。 t长期记忆的连续时间方法允许对具有如下特征的持续性建模：（1）波动率过程本身（不仅仅是它的对数形式）具有双曲线形衰减的相关图；（2）波动率冲击的持续性使收益产生尖峰态特征，33它在缓慢的双曲线形衰减率下随着时频归并而消失。事实上，对于[0,h]上的收益率有： 4E[logSS−E(logSS)]t+htt+ht→3 22(E[logSS−E(logSS)])t+htt+ht2α−1如果α∈[0,12]，当h→∞，其衰减速率为h，如果α=0，该衰减速率为exp(−kh2)。 . 过滤和离散时间近似 波动率过程的动态特征由SDE()的解描述，即： tα(α) dlogσ=(t−s)Γ(1+α)dlogσ （） ts∫0(α)其中logσ服从O-U过程： (α)(α) dlogσ=−klogσdt+γdW （） ttt(α)为了计算离散时间近似，必须只用过程logσ在[0,t]的离散分割（discrete partition）点34jn，j=0,1,...,[nt]的值计算积分（）的数值。一个很自然的方法是用阶梯函数，生成如下的替代过程： [nt]nα(α)σˆ log=(t−(j−1)n)Γ(1+α)Δlogσ （） t∑jnj=1(α)(α)(α)其中Δlogσ=logσ−logσ。Comte和Renault(1994)指出，对于n→∞，logσˆ在jnjn(j−1)nnt紧集(compact sets)上均匀地收敛到logσ。而且，通过重新整理（）可以得到： tj−1⎡⎤nαααi(α)ˆ logσ=([(i+1)−i]nΓ(1+α))Llogσ （） jn∑njn⎢⎥i=0⎣⎦其中L是对应于抽样方案(sampling scheme)jn的滞后算子，即LZ=Z。有了该抽样nnjn(j−1)n(α)方案，logσ就是从连续时间过程推导出来的离散时间AR(1)，该连续时间过程具有如下形式： (α) (1−ρL)logσ=u （） nnjnjn其中，并且u是相关联的新生过程。由于过程是平稳的，可以得到（假设对ρ=exp(−kn)njn(α)于j≤0有logσ=u=0）： jnjn 33对于一般的GARCH或者SV模型，它以指数比率消失（参见Drost和Nijman(1993)以及Drost和Werker(1994)关于短期记忆情形中这些问题的讨论）。 34当k≤z<k+1时，[z]是整数k。 30
《统计手册：金融中的统计方法》 j−1αα⎡⎤(i+1)−ini−1ˆ logσ=L(1−ρL)u （） jn∑⎢n⎥nnjnαnΓ(1+α)i=0⎣⎦+∞iα它在两个部分给出了波动率动态特征的参数化：（1）对应于滤子∑aLn的长期记忆部分，i=0inαα−1其中a=[(i+1)−i]Γ(1+α)；以及（2）表现为AR(1)过程即(1−ρL)u的短期记忆部innjn分。事实上，可以证明，在两种类型的过程之间存在一个长期关系（协整关系）的意义上，该长−α期记忆滤子“长期等价于”通常的离散时间长期记忆滤子(1−L)。然而，该长期记忆滤子和通−α常的离散时间长期记忆滤子(1−L)之间的这个长期等价并不表示标准的参数化−αFARIMA(1,α,0)适合本文的框架。事实上，可以证明，通常的离散时间滤子(1−L)引进了长期35特征和短期特征之间的某种混合，而简约的连续时间模型却并不这样。与离散时间模型及GARCH长期记忆模型相比，该特征无疑是连续时间FSV一个优势。 5. 统计推断 计算ARCH模型的似然函数是一个相对简单的工作。形成明显对照的是，对于SV模型，不可能得到似然函数的明确表达式。这是几乎所有的非线性潜变量模型共同具有的一般性特征。SV模型估计方法的缺乏使其在很长一段时间里同ARCH相比，成为没有吸引力的一类模型。然而，最近几年，总体上关于非线性潜变量模型的估计已经有了显著的进步，特别是SV模型的估计，现在很多方法可用，随着CPU性能的提高，这些方法能够被计算机实现。对SV模型估计的早期尝试是用GMM方法，一个突出的例子是Melino和Turnbull(1990)。节致力于SV模型的GMM估计。显然，GMM不是用于处理连续时间扩散的，因为它要求离散时间过程来满足特定的正则性条件。由Hansen和Scheinkman (1994) 提出的连续时间GMM方法包含了直接从连续时间过程的表达式推导出来的矩条件，该方法在节中讨论。这两节之间，即节中，讨论QML方法，这是Harve、Ruiz和Shephard(1994)以及Nelson(1988)提出的。事实表明，非线性（高斯）SV模型能够转化为如第3节中的线性非高斯状态空间模型，并且根据这一点，可以计算高斯准似然(quasi- likelihood)。节到节中包含的方法均没有涉及到模拟。然而，计算机能力的提高使基于模拟的估计方法日益流行。模拟矩方法，或者由Duffie和Singleton(1993)提出的基于模拟的GMM方法，是第一个例子，它包含在节中。接下来的第5节中，讨论Gouriéroux、Monfort和Renault(1993)的间接推断方法，以及Gallant和Tauchen(1994)的矩匹配方法（moment matching methods）。最后，节包括很大一类强化计算机马尔可夫链蒙特卡罗方法的估计量，这些方法由Jacquier、Polson和Rossi(1994)以及Kim和Shephard(1994)在SV模型的框架下运用，还包括在Danielsson(1994)以及Danielsson和Richard(1993)在论文中提出的基于ML估计的模拟。 在每一节中，将试图把焦点仅限于在SV模型框架下估计方法的运用，而回避有关经济计量理论的细节。完成本节有用的参考材料主要有：（1）Hansen(1992)，Gallant和White(1988)，Hall(1993)以及Ogaki(1993)的GMM估计，（2）Gourieroux和Monfort(1993b)以及Wooldridge(1994)的QMLE，（3）Gouriéroux和Monfort(1995)以及Tauchen(1995)包含间接推断和矩匹配的基于模拟的经济计量方法，还有（4）Geweke(1995)以及Shephard (1995)的马尔可夫链蒙特卡罗法。 . 广义矩方法 考虑（）和（）介绍的离散时间SV的简单形式，它具有新生过程(ε,η)的概率分tt布服从正态性这个附加假设。该对数正态SV模型至少已经是两个扩展的蒙特卡罗研究的主题，它们是关于SV模型的GMM估计，分别是Andersen和Sørensen(1993)以及Jacquier、Polson和Rossi(1994)做出的。主要思想是运用SV模型的平稳性和遍历性性质，这些性质使得样本矩收敛2222于它们的无条件期望。例如，二阶和四阶矩是σ和σ的简单表达式，即分别是σexp(σ2)hh αn35即，Lσˆ(1−)log不是一个AR(1)过程。 njn 31
《统计手册：金融中的统计方法》 422和3σexp(2σ)。如果要在样本中计算这些矩，σ的估计可直接来自样本峰度ˆκ，ˆκ是四阶hh22矩与二阶矩的平方的比值，表达式为σˆˆ= log(κ3)。参数σ的估计则可以通过在该估计中替h2222换σ直接从二阶矩得到，还可以计算y的一阶自协方差，或者仅计算yy的样本均值，其表httt−14222达式为σexp({1+φ}σ)。给定σ和σ的估计，可以直接得到φ的估计。 hh以上步骤是矩法运用的一个例子。笼统地说，计算了m个矩。对一个容量为T的样本，令g(β)表示用模型参数β表示的每一个样本矩和其理论表达式之间的差距的一个m×1向量。广T义矩（GMM）估计量是通过最小化准则函数来构造的： ˆ′β=Argming(β)Wg(β) βTTT其中W是一个m×m的权重矩阵，它反映了赋予相应的每一个矩的重要性。当ε和η相互独立Ttt时，Jacquier、Polson和Rossi(1994)提出用24个矩，前面四个对于c=1,2,3,4由（）给出，而其它的解析式是： 22⎧⎫⎛⎞⎡c1⎤c⎪⎛⎞⎪cc2cc2τE⎜yy=σ2Γ+πexpσ[1+⎟[]φ] ， ⎜⎟⎨⎬tt−1h⎢⎥⎜⎟224⎝⎠⎪⎣⎦⎪⎝⎠⎩⎭36 c=1,2 ， τ=1,2,...,10 。 更一般情形下，当ε和η相关时，Melino和Turnbull(1990)引入E[yy]的估计，tttt−ττ=0,±1,±2,...,10。他们给出了τ=1情形的一个明确表达式，并且指出它的符号完全由ρ决定。 GMM方法还可以扩展，用来处理ε非正态分布的情形。需要的解析式能够从节中得到。t另一方面，节中提到的一般SARV模型的无条件矩的解析式可以在更一般的设定下给出GMM估计的基础（参见Andersen(1994)）。 从一开始，我们就知道GMM估计量不是有效的，问题是需要忍受多大无效性以换取它的相对简单性。GMM的一般设置方式没有矩条件的数目，除了识别所需要的最小数目以及矩的明确选择。而且，权重矩阵的计算也是一个问题，因为在实际中有很多选择。Andersen和Sørensen(1993)以及Jaquier、Polson和Rossi(1994)的扩展的蒙特卡罗研究试图回答这些重要的问题。他们发现主要以节中提到的类型化事实为基础的GMM大体上是一个相当无效的方法，（）中的φ在许多实证结果中是接近于1的，因为波动率具有高度的持续性。对于φ接近于1的参数值收敛于无条件矩是相当缓慢的，这表明只有大样本能够解决这种情况。Andersen和Sørensen(1993)的蒙特卡罗研究对怎样控制无效性的程度提出了一些指导，尤其是把矩条件控制在一个很小的数目内。对于具有数据依赖带宽(data-dependent bandwidch)的权重矩阵估计量的选择，通过运用Bartlett核，他们也提出了一些具体建议。 . 准极大似然估计(QML) . 基本模型 考虑小节中描述的线性状态空间模型，其中（）是度量方程，而（）是过渡22方程。参数φ，σ以及ξ的方差σ的QML估计，是把ξ和η视为正态的，并最大化由Kalmanηtξtt滤子获得的似然值的预测误差分解形式。Harvey、Ruiz和Shephard (1994)中指出，准极大似然（QML）估计量是渐近正态的，其协方差矩阵由Dunsmuir(1979，)中的理论给出。它假设ηt和ξ具有有限的四阶矩，并假设参数不是在参数空间的边界上。 t2参数ω能够与其它参数同时估计。换句话说，它可以作为logy的均值被估计，因为在φ的t绝对值小于1时，它们是渐近等价的。 QML方法的运用不要求对ε的具体分布做假设。我们称之为无约束的QML。然而，如果已t 36导出这些矩条件的一个简单方法是通过一个类似于（）和（）或者（）的两步法。 32
《统计手册：金融中的统计方法》 22经做了分布假设，那么就没有必要估计σ，因为它是已知的，而尺度因子σ的估计能够从ω的ξ估计中得到。换句话说，它能够象在小节中提到的那样取得。 如果无约束的QML估计已经实现了，那么决定一类分布中某个特殊分布的参数值可以从ξt方差的估计值推导出来。例如，在学生t分布中，v可以根据ξ的方差的理论值′+ψ(v2)来t决定（其中Ψ(⋅)是节中介绍的digamma函数）。 . 不对称模型 在一个不对称模型中，QML可以以（）中修正的状态空间形式为基础。除了η和ξ的tt22四阶矩存在以及ξ和η是联合对称的之外，在没有任何分布假设的条件下，参数σ、σ、φ、ttξη∗∗μ和γ能够通过Kalman滤子来估计。然而，如果想要得到ρ的估计，则需要作出关于扰动的22分布假设，导出与（）和（）一样的公式。这些公式可以用于设定有关原始参数σ、σ、ηφ和ρ的优化。其优点是能够施行ρ<1的约束。注意，任何t−分布都给出参数之间的相同关系，所以在该类分布中不需要设定自由度。 运用原始扰动均符合高斯假设的QML方法，Harvey和Shephard(1993)估计了有关1962年6月3日到1987年12月31日US市场指数加权值的CRSP日收益的一个模型。Nelson(1991)在论文中使用这些数据阐述他的EGARCH模型，实证结果表明有一个非常高的负相关。 . 频域（frequency domain）中的QML 对一个长期记忆的SV模型，时域中的QML估计是缺乏吸引力的，因为只有当h表示成一t个自回归或移动平均过程，并且截取适当高的滞后时，状态空间形式（SSF）才能使用。因此，该方法很麻烦，尽管原始状态的协方差矩阵很容易构造，而且截取并不影响估计量的渐进性质。2如果自回归的近似，从而SSF，没有使用，那么时域QML就要求重复构造logy的T×T协方t差矩阵并求逆，参见Sowell(1992)。另一方面，频域中的QML估计并不比AR(1)情形中的OML估计更难得到。Cheung和iebold(1994)给出模拟证据，指出虽然时域估计在小样本中更有效，但是在必须估计均值时，其差异较不显著。 忽略常数项，频域（准）对数似然函数是： T−1T−11logL=−logg−πI(λ)g （） ∑j∑jj2j=1j=12其中I(λ)是logy的样本谱(sample spectrum)，g是谱生成函数（SGF），对（）该谱生成jtj函数是： 2−d2g=σ[2(1−cosλ)]+σ jηjξ注意，（）中的总和是从j=1开始而不是j=0，这是因为对于正的d，g无法计算。然而，022222省略零频数的确会除去均值。未知参数是σ、σ和d，但是通过σ由信号噪声比率q=σσηξηηξ2替换的再参数化，σ可通过似然函数的集中化消去(concentrated out)。另一方面，如果已假设了εξt2的分布，那么σ就是已知的。Breidt、Crato和de Lima(1993)阐述了QML估计量的一致性。 ξ2当d处于和1之间时，h是不平稳的，但对logy差分会产生一个零均值的平稳过程，tt其SGF是 21−d2g=σ[2(1−cosλ)]+2(1−cosλ)σ jηjjξ长期记忆模型的一个吸引人的地方就是推断不受自回归产生的单位根问题的影响。因此，以似然函数为基础的假设检验d=1及其备择假设d<1，检验能够运用标准理论来构造，参见Robinson(1993)。 . GMM和QML的比较 33
《统计手册：金融中的统计方法》 关于GMM和QML的有限样本行为的模拟证据能够在Andersen和Sørensen(1993)，Ruiz (1994)，Jacquier、Polson和Rossi(1994)，Breidt和Carriquiry(1995)，Andersen和Sørensen(1996)以及Harvey和Shephard(1996)中找到。一般性结论似乎是，当波动率相对强时（反映为方差具有高系数），QML使估计值具有更小的MSE。这是因为度量方程（）中正态分布的波动率分量和非正态的误差项相关。当方差系数较低时，GMM较优。然而，在这种情形下，Jacquier、Polson和Rossi(1994，)观察到“…QML和GMM估计量的性能都迅速恶化”。换句话说，节中描述的强化计算机的方法表现更好。 其他方面都相同，一个接近于1的AR系数φ倾向于支持QML，因为自相关性缓慢衰减，因此较难被GMM中运用的矩捕捉。同样的原因，用GMM估计长期记忆模型的结果可能相当差。 QML的吸引人之处在于它很容易实现，并且很容易扩展到更一般的模型，例如非平稳的和多变量的模型。同时，它提供了状态的过滤、平滑估计以及预测。向前一步（one-step ahead）预测误差也可用于构造诊断，比如Box-Ljung统计量，虽然做这样的检验时必须记住观测值是非正态的。因此，即使超参数（hyperparameter）最终用其他方法估计，QML在寻找适当的模型设定时仍可起到重要作用。 . 连续时间GMM Hansen和Scheinkman(1995)提出应用GMM方法来估计连续时间扩散过程，GMM方法专为该过程设定。在节中，讨论了SM模型的估计，对于离散时间过程它可被明确公式化，或是连续时间扩散过程的离散化。在两种情形中，推断都是基于无条件矩与其等价样本矩之间差距的最小化。对于连续时间过程，Hansen和Scheinkman(1995)直接采用扩散而不是其离散化，来表示矩条件。为描述该方法的一般设置方式，他们建议考虑如下n个扩散方程组成的（多变量）系统： dy=μ(y;θ)dt+σ(y;θ)dW （） tttt与第2节中的表述相比较即可发现该方法的某些局限性。首先，函数μ(⋅)≡μ(⋅;θ)和θσ(⋅)≡σ(⋅;θ)的参数化只通过y进行，它将第2节中的状态变量过程U约束为y的同期值。θttt（）中的扩散过程包含一般的向量过程y，因此y可包含适合SV模型的波动率过程，但是，tt向量y被假设为可观测的。暂时把这个问题放到一边，到本节的结尾再讨论。Hansen和tnScheinkman(1995)考虑了极小算子A，它是为如下的一类平方可积函数ϕ:R→R定义的： 2⎛⎞dϕ(y)1dϕ(y)Aϕ⎜′ (y)=μ(y)+Trσ⎟ (y)σ(y) （） θθθθ⎜⎟′′dy2dydy⎝⎠由于该算子被定义为一个极限，即： −1Aϕ(y)=limt[E(ϕ(y)y=y)−y] ， θt0t→0它不要求对所有平方可积函数ϕ都存在，而只是对某一限制域D必须存在。现在，从这类函数ϕ∈D能够得到一组矩条件。事实上，例如正象Revuz和Yor(1991)已经指出的，下列等式成立： EAϕ(y)=0 ， （） θt∗~~E[Aϕ(y)ϕ(y)−ϕ(y)Aϕ(y)]=0 （） θt+1tt+1θt∗37其中A是A与过程y的不变测度相关联的标量乘积的伴随极小算子。通过选择一组适当的函θθ数，Hansen和Scheinkman利用矩条件（）和（）构造θ的GMM估计量。 *~函数ϕ∈D以及ϕ∈D的选择决定了数据的什么矩被用来估计参数。显然，这就产生有关于选择函数以提高估计量有效性的问题，但是最先也是最重要的问题是通过条件（）和（）决定θ的可识别性。在本节一开头就提到，为了涵盖SV模型，多变量过程y必须以某种方式包t~含潜在的条件方差过程。Gourieroux和Monfort(1994，1995)指出，由于以ϕ和ϕ为基础的矩条件不能包括任何潜在过程，所以经常（但不总是）不能识别所有参数，尤其是那些决定潜在波动率 ∗∗∗~37请注意A再一次同定义域D相关联，使得（）中ϕ∈D并且ϕ∈D。 θ 34
《统计手册：金融中的统计方法》 过程的参数。一个可能的补救方法是，增加模型中不直接与潜在波动率过程相关联的观测值，旨在使其可观测。一个可能的备选方案是把证券价格以及通过标的资产的期权市场报价得到的Black-Scholes隐含波动率包含在y中。事实上，这个方法是Pastorello、Renault和Touzi(1993)提t出的，虽然不是在连续时间GMM的背景下，而是使用了间接推断方法，该推断方法将在节38中讨论。另一个可能是依赖如Conley等人（1995）在连续时间GMM背景下讨论的SV模型的时间形变表示。 . 模拟矩方法 到目前为止讨论的估计方法还没有涉及任何模拟技术。从现在起，我们将从模拟矩方法（SMM）估计量开始，讨论模拟和估计相结合的方法， 这在Duffie和Singleton(1993)关于时间39序列过程的研究中已有所涉及。在节中，提到SV模型的GMM估计是以一组选择的样本矩和无条件总体矩之间距离的最小化为基础，并表达为模型参数的解析函数。现在，假设这样的解析函数很难得到。当该表达式涉及潜在过程（如随机波动率过程）的边际化时，情况就是如此。那么，能否对特定参数值的模型进行数据模拟，用模拟数据的矩匹配样本矩作为替代？这个策略即为SMM。事实上，模拟那些过程并且利用SMM方法经常是相当简单的，再考虑前一节（等式（））中的（多变量）扩散作为参考，用离散化进行H个模拟i=1,...,H： iiiΔˆyθ=μˆyθθ+σˆ()(();)(y(θ);θ)ε 且 i=1,...,H ， t=1,...,T tttt40其中ˆy(θ)是给定参数θ，而ε是独立同高斯分布的一个模拟，。根据识别性和其它正则性条件，tt可以考虑 H1Hiiˆθ=Argmin(,−ˆˆfy,...y)f(y(θ),...,y(θ)) T1T∑1TθHi=1它具有适当的标准选择，也就是GMM中二次型的加权矩阵，以及数据的函数f，即矩条件。其渐近分布理论和GMM中的非常相似，只是与GMM估计量相比，模拟行为引入了一个额外的随41 机误差源，影响了SMM估计量的有效性。有效性的损失能够由H的选择加以控制。 . 间接推断和矩匹配 Gouriéroux、Monfort和Renault(1993)对间接推断方法以及Gallant和Tauchen(1994)对矩匹配方法的重要见解是，为了估计关注的模型，引入一个被向量（比方说β）参数化的辅助模型。在42这里，后者就是SV模型。第一小节中，将描述一般原理，而第二小节集中于扩散的估计。 . 原理 在第5节的开头提到，同SV模型相比，ARCH类模型相对容易估计些。为此，ARCH类模型可以作为辅助模型的候选对象。一个可供选择的策略是，通过Gallant和Tauchen(1989)提出的SNP密度来尽量概括数据的特征，这种经验的SNP密度，或更具体地说是它的得分，也能够起到辅助模型的作用。其它可能性也可考虑。然后要运用辅助模型估计β，使得： T∗ˆ β=Argmaxlogf(yy,β) （） T∑tt−1βt=1这里为了便于阐述，把注意力限制在一个只有一期滞后的简单动态模型。当为了方便估计而有意 38在节中提到，隐含波动率是有偏的。Pastorello、Renault和Touzi(1993)运用的间接推断方法能够处理这种偏差，这将在节中解释。期权价格数据的使用会在节中做进一步的讨论。 39最初提出SMM是为了横截面应用，参见Pakes和Pollard(1989)以及McFadden(1989)。也可参见Gouriéroux和Monfort(1993a)。 40下一节将详细讨论模拟技术。事实上，为了控制离散化的偏倚，必须用一个好的抽样间隔来模拟。 −141 SMM估计量的渐近方差通过因子(1+H)依赖于H，例如，参见Gouriéroux和Monfort(1995)。 42值得注意的是，这里将描述的以推断方法为基础的模拟适用于许多其他类型的模型，如横截面、时间序列以及面板数据的模型。 35
《统计手册：金融中的统计方法》 ∗∗使辅助模型设定错误时，（）中的目标函数f可以是一个准极大似然函数。另一选择是f能43够从SNP类密度中得到。于是，Gouriéroux，Monfort和Renault提出估计同样的参数向量β，不采用真实的样本数据，而是使用在给定θ时从关注模型获得的i=1,...,H次模拟样本iTˆ{y(θ)}，这就产生了β的一个新估计量，即： tt=1HT∗iiˆβ(θ)=ArgmaxHˆˆ(1)logf(y(θ)y(θ),β) （） HT∑∑tt−1βi=1t=1下一步是基于H个重复模拟和T个观测值的样本，运用加权矩阵W来选择θ的一个间接估计量，t使得二次距离最小化，即： ′ˆˆˆˆˆ θ=Argmin(β−β(θ))W(β−β(θ)) （） HTTHTTTHTβ∗ˆGallant和Tauchen(1994)的方法避免了通过计算f的得分函数来估计β(θ)这一步骤，并HTˆ且不用最小化类似于（）的二次距离，但是它要计算得分函数在β处的值，并且要用由关Tˆ注模型生成的模拟序列来代替样本数据。在适当的正则性条件下，θ是根T一致（root T HTconsistent）且渐近正态的估计量。如同GMM和SMM，还要有一个最优加权矩阵，最后的渐进协方差矩阵依赖于模拟的次数，就象SMM估计量依赖于H一样。 Gouriéroux、Monfort和Renault(1993)用简单的例子阐明了间接推断估计量的运用，这里对该例做简要讨论。典型的AR模型很容易估计，而MA模型则需要更多的详细步骤。假设关注的模型是具有参数θ的一阶移动平均模型，他们提出估计一个包含参数向量β的AR(p)模型，而不是44直接从数据估计MA参数。下面的步骤包括运用MA模型模拟数据，并接着进行上面的步骤。他ˆ们发现θ的间接推断估计量看起来比MA参数更传统的极大似然估计量有更好的有限样本性HT质。事实上，间接推断估计量呈现出与Andrews(1993)提出的中值无偏估计量（median unbiased Estimator）相似的特征。Gouriéroux、Renault和Touzi(1994)证实并阐明了这些性质，他们研究了间接推断估计量的二阶渐近扩展及其降低有限样本偏倚的能力。 . 扩散估计 下面考虑一个同节中一样的扩散过程，该扩散方程处理连续时间GMM，即： dy=μ(y;θ)dt+σ(y;θ)dW （） tttt在节中提到，上述方程在特定约束下成立，例如约束y为函数μ和σ的自变量。这些约t束适用于节的设定，而不适用于这里讨论的估计方法。事实上，方程（）只是用于作为一个解释性的例子。那么，可以通过确切的离散化或者通过某类近似的离散化（例如Euler或者Mil’shtein，参见Pardoux和Talay(1985)或者Kloeden和Platten(1992)中更详细的讨论）来模拟扩(δ)散，更精确的y定义为： t(δ)(δ)(δ)(δ)12(δ) y=y+μ(y;θ)δ+σ(y;θ)δε （） (k+1)δkδkδkδ(k+1)δ在适当的正则性条件（例如，参见Strook和Varandhan(1979)）下，已知扩散（依分布）容许有一(δ)个唯一解，并且当δ趋于零时，过程y收敛于y。因此，当δ足够小时，可以期望非常精确地tt模拟y，选择δ=1，辅助模型可能是()的离散化。所以，令δ=1，可以在（）非线性tAR模型基础上建立一个ML估计量。例如，为了控制离散化的偏倚，可以在δ=110或者δ=120时模拟潜在扩散，且归并模拟的数据以符合DGP的抽样频率。Borze、Scaillet和Zakoïan(1994)讨论了模拟步幅（step size）对渐近分布的影响。 43这个讨论不应该留下如下印象，即辅助模型只能通过ML-类型的估计量来估计。任何根T(root T consistent)的一致渐近正态估计方法都可以运用。 44这里，遵循Gallant和Tauchen(1994)，可以再次运用得分原则。事实上，在一个线性高斯设定中，拟合由MA(1)模型生成数据的SNP方法可以估计AR(p)模型。Ghysels、Khalaf和Vodounou(1994)更详细地讨论了MA模型基于得分的和间接推断的估计量，以及它们同更标准估计量的关系。 36
《统计手册：金融中的统计方法》 当扩散包含潜在的过程，基于模拟推断方法的运用变得格外适合和富有吸引力，例如SV模型的情况。Gouriéroux和Monfort(1994，1995)讨论了几个例子，并且通过蒙特卡罗模拟研究它们的性能。需要注意的是，在一个粗糙的离散化下估计扩散并不是辅助模型唯一可能的选择。事实上，Pastorrello、Renault和Touzi(1993)，Engle和Lee(1994)以及Gallant和Tauchen(1994)提出使用ARCH类模型。 这些方法在金融时间序列中已经有一些成功的运用。它们包括Broze等（1995），Engle和Lee(1994)，Gallant、Hsieh和Tauchen(1994)，Gallant和Tauchen(1994，1995)，Ghysels、Gouriéroux和Jasiak(1995b)，Ghysels和Jasiak(1994a,b)，Pastorello等(1993)等等。 . 基于似然的方法与贝叶斯方法 在高斯线性状态空间模型中，似然函数通过向前一步预测误差构造。似然值的这一预测误差分解形式被用来作为QML中的准则函数，当然，在这种情形中它不是精确的似然值。原则上，Watanabe(1993)提出的精确滤子将产生精确似然值，然而，正如节中提到的，由于该滤子运用了数值积分，则需要长时间的计算，并且如果还需要计算关于超参数的数值最优化，那就会变得不切实际。 Kim和Shephard(1994)研究了用于QML的线性状态空间形式，除了用混合正态分布近似测2量误差的log(χ)分布。对于这些正态分布中的每一个，预测误差分解的似然函数都可以计算。一种模拟的EM算法被用于寻找最好的混合，并以此计算超参数的近似ML估计。 精确的似然函数也能被构造为以波动率为条件的观测值分布的混合，即 22L(y;φ,σ,σ)=p(yh)p(h)dh η∫2其中y和h分别包含T个元素y和h。这个表达式能够根据σ写出，而不是根据它们的对数形ttt式h，但是随后会有小的差异。当然，问题是上面的似然函数没有闭合的形式，所以它必须用某t种模拟方法计算。在Shephard(1995)以及Jacquier、Polson和Rossi(1994)中有精彩的讨论，包括评22论。在概念上，最简单的方法是运用蒙特卡罗积分获得在给定参数(φ,σ,σ)值时h的无条件分η2布，估计似然值作为p(yh)的平均值，然后重复进行，对φ、σ进行搜索，直到找到模拟似然η函数的极大值。按照现在的情况，这个方法不很令人满意，但是运用重点抽样的思想可以改善。Danielsson和Rechand (1993)以及Danielsson(1994)在SV模型的ML估计中已经采用了该方法，然而，随着样本容量的增加，这个方法变得越来越困难。 通过模拟技术处理似然估计的一个更有前途的方法是运用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）得到以观测值为条件的波动率的分布。能够做到这一点的方法在关于非线性滤子和平滑器的小节中已经有概述。Kim和Shephard(1994)提出了计算ML估计量的一个方法，就是在模拟的EM算法中赋予它们多移动算法(multimove algorithin)。Jacquier、Polson和Rossi(1994)采用了贝叶斯方法，这个方法中模型的设定具有一个分级的结构，其中超参数′ϕ=(σ,φ, σ)的先验分布连η接着条件分布yh和hϕ。（实际上，是用σ而不是用h）。h和ϕ的联合后验与三个分布的乘积tt成比例，即p(h,ϕy)∝p(yh)p(hϕ)p(ϕ)。h的引入使得统计处理易于进行，它是数据增扩（augmentation）的一个例子；见Tanner和Wong(1987)。考虑到超参数中样本的变易性，边际的p(yh)能够根据联合后验p(h,ϕy)解决未观测到的波动率的平滑问题。以h为条件的ϕ的联合后验p(ϕh,y)很容易从线性模型的标准贝叶斯处理计算得到。如果可以以很低的成本从p(hϕ,y)中直接抽取样本，那么通过来回地轮流提取p(ϕh,y)和p(hϕ,y)，构造一个马尔可夫链就变得很容易了，这将产生一个循环链，它是Gibbs抽样法的一个特殊情形。然而，正如在小节中提到的，Polson和Rossi(1994)指出，把p(hϕ,y)分解成一系列单变量分布更好，其中每一个h（而不是σ）都以所有其它的为条件。 ttω的先验分布，即JPR(1994)中波动率过程的参数，是线性模型的标准共轭先验，一个（截取的）正态—伽玛。这些先验可以高度扩散，而其余部分不扩散。JPR进行广泛的抽样试验，以 37
《统计手册：金融中的统计方法》 记录这个方法以及更传统方法的表现。通过模拟随机波动率序列，他们把后验均值的抽样性能同QML和GMM点估计做了比较。MCMC后验均值展示出均方根误差是在GMM和QML点估计均方根误差的大约一半与大约四分之一之间。更为显著的是波动率平滑表现的结果。由贝叶斯滤子生成的h的后验均值的均方根误差比点估计小10%，该点估计由有真实参数支持的近似tKalman滤子生成。 Shephard和Kim在对JPR(1994)的评论中指出，对于很高的φ和很小的σ，JPR算法的收敛η比率将变缓。那么，将需要更多的抽取以得到同样数量的信息。他们提出用正态分布的离散混合来近似波动率扰动，这个方法的好处是向量h的抽取成为可能，并快于每个h的T个抽取。然而，t这样做的代价是，由于离散化的影响，抽取将在更高维数的空间中进行。同样，基于离散混合的链的收敛对组合成分的数目以及赋于它们的概率权重很敏感，通过让数据产生离散状态空间特征的估计（概率，均值和方差）值，Mahieu和Schotman(1994)使Shephard和Kim的思想更具有一般性。 JPR算法的最初实行被限制在随机波动率的一个非常基本的模型AR(1)上，它具有不相关的均值和波动率扰动。在一个单变量的设定中，相关的扰动对股票收益可能是很重要的，即所谓的杠杆效应。Gallant、Rossi和Tauchen(1994)中的证据也涉及具有偏度和峰度的非正态条件误差。Jacquier、Polson和Rossi(1994a)展示了分层的框架怎样允许MCMC算法方便地扩展到更一般的模型。也就是，他们估计了单变量随机波动率模型，该模型具有相关扰动以及偏斜和肥尾的方差扰动，同时还考虑了多变量模型。换句话说，MCMC算法可以扩展到因子结构，这些因子显示了随机波动率，可以是可观测的或不可观测的。 . 推断和期权价格数据 当前在文献中可以找到的一些连续时间SV模型，是为解决关于衍生证券的定价问题而发展起来的。给出衍生产品和SV扩散之间相当清楚的联系，有点令人惊讶的是，人们对运用期权价格数据估计连续时间扩散的关注相对较少。事实上，Melino(1994)在他的调查中提到：“很清楚，关于资产价格随机波动率的信息包含在历史的资产价格和以其为标的资产的期权中。当前把这两个信息源（包括隐含估计）结合在一起的策略特别不能令人满意。从统计学来说，需要模拟期权定价中预测误差的来源，并且需要把这些误差的分布同股票价格过程联系起来”。例如，隐含的估计（如BS隐含波动率的计算），从统计学的观点来说的确是特别不能令人满意。一般说来，在同定价模型进行比较的时候，每个观测的期权价格都引进了预测误差的一个来源，通过许多未观测到的状态变量对期权和资产价格的联合非退化概率分布建模是一个挑战。最近许多论文都在从事该方法的研究，包括Christensen(1992)，Renault和Touzi(1992)，Pastorello等(1993)，Duan(1994)以及Renault(1995)。 Christensen(1992)考虑了一个定价模型，其中的n个资产是状态向量x的函数，x是l+n维tt的，被分成l维观测到的(z)和n维未观测到的(ω)部分。令p表示该n个资产的价格向量，那ttt么： p=m(z,ω,θ) （） ttt对于给定的z和θ，（）提供了n个潜在状态变量ω和n个观测到的价格p之间的一一ttt对应关系。从金融角度看，它意味着，如果假设观测到的n个状态变量z已经被其他（原始）资t产的价格动态所模拟，那么这n个资产就是完整描述市场的适当工具。而且，从统计的角度看，在给定观测到的价格的对数似然函数可以很容易地从x的一个统计模型推导出时，就可以得到完tT全结构的极大似然估计。例如，在马尔可夫设定中，以x为条件，x=(x)的联合分布具01t1≤t≤T有如下密度： TT f(xx,θ)=f(z,ωz,ω,θ) () x10∏ttt−1t−1t=1T给定D=(p,z)，则数据D=(p,z)的条件分布可从常用的雅克比公式(Jacobian 0001tt1≤t≤T 38
《统计手册：金融中的统计方法》 formula)得到： TT−1−1f(DD,θ)=f[z,m(z,p)z,m(z,p),θ]x D10∏tθttt−1θt−1t−1t=1−1−1 ×∇m(z,m(z,p),θ) （） ωtθtt−1−1其中m(z,⋅)是m(z,.,θ)的ω−逆，其正式定义是m(z,m(z,ω,θ))=ω，而∇m(⋅)代表与ωθtθω的雅克比矩阵相对应的列。利用了衍生（证券）价格数据的这一MLE是由Christensen(1992)和Duan(1994)独立提出的。Renault和Touzi(1992)对Hull和White的期权定价公式特别有兴趣，该公式具有：z=S个观测到的标的资产价格，以及ω=σ个未观测到的随机波动率过程。于是，tttt由于联合过程x=(S,σ)是马尔可夫链的，就有了买权（看涨期权）价格的形式： tttC=m(x,θ,K) tt其中′′θ=(α,γ)包含两类参数：（1）描述联合过程x=(S,σ)的动态特征的参数向量α，在ttt2等鞅测度下，它能够计算关于γ(t,t+h)的（风险中性）条件概率分布在给定σ时的期望；（2）t描述风险溢价特征的参数向量γ，该风险溢价决定了x过程的风险中性概率分布和数据生成过程之间的关系。 结构化的MLE通常很难执行。这就激发Renault和Touzi(1992)以及Pastorello、Renault和Touzi(1993)考虑有较低效率，但更简单且更稳健的方法，该方法涉及构造似然函数（）的一些替代。 为了阐明这些方法，先考虑连续时间的标准对数正态SV模型： σ dlogσ=k(a−logσ)dt+cdW （） ttt标准的期权定价理论允许忽略对标的资产价格过程漂移的错误设定，因此，朝简化和稳健迈出的第一步是分离波动率动态特征的似然函数，即： n22−122−1−kΔt−kΔt(2πc)exp[−(2c)(logσ−elogσ−a(1−e))] ∏ttii−1i=1 （） 和样本σ联合在一起，i=1,...n且t−t=Δt。为了求出该表达式的近似值，可以考虑直接方tii−1i法，如Renault和Touzi(1992)，或者间接方法，如Pastorello等(1993)。前者包括根据Hull和White模型计算隐含波动率，以生成参数为k、a和c的伪样本(pseudo sample)σ，还包括计算（）ti45关于那三个参数的最大值。Pastorello等人(1993)提出了在（）背景下的几种间接推断方法，这在节中有描述。例如，他们提出运用一个间接的推断策略，以包含从标的资产得到的GARCH(1,1)波动率估计（也由Engle和Lee(1994)独立提出）。这产生了渐近无偏但相当无效的估计量。Pastorello等人果然发现，Renault和Touzi涉及期权价格的直接方法的一个间接推断简化将有效得多，与适当的统计方法联系在一起的期权价格数据的运用，将大大提高波动率扩散参数估计的精确度，这是很清楚的直观阐述。 . 具有随机波动率的回归模型 扰动项中具有随机波动率的一个简单的回归模型可以写成 ′ y=xβ+u ， t=1,...,T ， （） ttt其中y表示第t个观测值，x是解释变量的k×1向量，β是系数的k×1向量，且如第3节中的tt讨论，u=σεexp()。作为一个特殊情形，观测值可以简化为具有零均值，使得ttt′xβ=μ∀t。 t 45运用BS隐含波动率的（）的直接最大化也已提出，例如Heynen、Kemna和Vorst(1994)。显然，由于BS模型的假设，对BS隐含波动率的运用导致了一个错误设定偏倚。 39
《统计手册：金融中的统计方法》 由于u是平稳的，故y对x的OLS回归生成β的一致估计量，但不是有效的。 ttt2对于给定的SV参数φ和σ的值，h的一个平滑估计量h可以用节中概述的方法中的ηttT一种来计算。（）两边乘以exp(−.5h)得到 tT~~~′ y=xβ+u ， t=1,...,T （） ttt~其中，u可以看作是校正异方差的扰动。Harvey和Shephard(1993)指出，这些扰动具有零均值、t常数方差，并且是序列不相关的，因此提出了构造可行的GLS估计量的结构 −1TT~⎡−h⎤−htTtT′ β=exxexy （） ∑tt∑tt⎢⎥⎣t=1⎦t=1在古典的异方差回归模型中，h是确定的，并且依赖于一个固定数目的未知参数。由于这些t参数能够被一致地估计，所以可行的GLS估计量具有同GLS估计量一样的渐近分布。这里h是t随机的，其估计量的MSE是o(1)的。因此，情况就有些不同，Harvey和Shephard (1993)指出，~在x序列的正则性条件下，β是渐近正态的，具有均值β和一个协方差矩阵，该协方差矩阵可t以被一致地估计为 −1−1TTT~⎡−h⎤~−2h⎡−h⎤tT2tTtT~′′′′avar(β)=exx(y−xβ)exxexx ∑tt∑tttt∑tt⎢⎥⎢⎥⎣t=1⎦t=1⎣t=1⎦ （） 当h是由线性状态空间给出的平滑估计量时，Harvey和Shephard(1993)的分析表明，渐近tT地，可行的GLS估计量几乎和GLS估计量一样有效，并且比OLS估计量有效得多。用从节所描述方法中的一种方法计算，得到更好的估计量替换exp(h)将是可能的，但这样做，对β的tT可行GLS估计量的有效性没有很大影响。 当h非平稳或接近非平稳，Hansen (1995) 证明，可以构建可行的适应性强的最小二乘估计t量，它渐近地等价于GLS。 6. 结论 不存在永远完美的研究。我们期待两个领域将在未来的几年中繁荣起来，但本文未能将它们包括进来。第一个是市场微观结构领域，Goodhart和O’Hara(1995)在最近的一篇回顾文章中对其做了很好的综述。随着高频数据序列可得性的不断提高，我们期待有更多的研究涉及博弈论模型。由于经济计量方法的最新发展，现在这些都能估计，就象能够实现对扩散的估计一样。希望出现令人感兴趣的研究的另一个领域，是运用非参数方法估计SV连续时间和衍生证券模型，最近的论文包括Ait-Sahalia(1994)，Ait-Sahalia等(1994)，Bossaerts、Hafner和Härdle(1995)，Broadie等(1995)，Conley等(1995)，Elsheimer等(1995)，Gouriéroux、Monfor和Tenreiro(1994)，Gouriéroux和Scaillet(1995)，Hutchinson、Lo和Poggio(1994)，Lezan等(1995)，Lo(1995)，Pagan和Schwert(1992)。 随机波动率模型的计量经济学研究相对较新。本文的回顾已经证明，近几年来，对最新统计技术的应用有了空前的增长。至于它与ARCH的关系，本文的观点是，SV和ARCH未必是直接竞争对手，在某些方面，它们是互补的。最近的一些研究——例如ARCH模型作为滤子的应用，GARCH和时频归并的弱化，以及引入非参数模型拟合条件方差——都说明对波动率建模的统一策略需要同时利用ARCH和SV。 参考文献 Abramowitz, M. and N. C. Stegun (1970). Handbookof Mathematical Functions. Dover Publications Inc., New York. Ait-Sahalia, Y. (1994). Nonparametric pricing of interest rata derivative securities. Discussion Paper, Graduate School of Business, Univcrsity of Chicago. 40
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