訊息與策略經濟學
第4章
不完全訊息動態賽局
不完全訊息動態賽局表示法…………………………………………………….......4-1
完美貝氏均衡與範例………………………………………………………………...4-3
傳訊賽局與信譽……………..……………………………………………………….4-8
序列均衡……………………………………………………………………………...4-6
實例與應用：邊緣運用策略..……..……………………………….…………………4-11
實例與應用：拍賣與出價……………………………………….……………………4-14
實例與應用：機制設計.………………………………………………………………4-17
不完全訊息動態賽局表示法：
考慮上章應用1的阻絕進入(Entry Deterrence)賽局，但原廠商的建廠行動成為可以觀察：原廠商先出招，新廠商觀察對手行動後才出招，因此成為動態賽局了。
例1：
y 進 ( 0, -1 )
建 2
1-y 不進 ( 2, 0 )
1
進 ( 2, 1 )
不建 2
不進 ( 3, 0 )
N
y 進 ( , -1 )
建 2
1-y不進 ( , 0 )
1
進 ( 2, 1 )
不建 2
不進 ( 3, 0 )
在此賽局中該使用什麼樣的均衡觀念？我們可先研究一下這樣賽局的結構及表示方法，再討論該使用的均衡觀念。
2’s strategy：不因先驗機率 (prior probability) p1改變了
觀察到原廠商已建廠x＝1，2應選擇y＝0（不進），嚇阻進入策略有效。
觀察到原廠商未建廠x＝0，2應選擇y＝1（進）
1’s strategy：高成本時：建得2，不建也得2
低成本時：建得，不建得2
因此， EMBED ，
注意在這個賽局中，1的行動也傳遞了其成本高低的訊號：原廠商低成本時一定會建廠，但觀察到1的建廠行動尚不足確認1必定為低成本(因)，但是可能性很大(可能要用到事後機率的貝氏算法，後面再討論)。研究這樣賽局要注意「觀察對手行動」所帶來的訊息涵義。
上例屬於不完全訊息的動態或序列賽局(dynamic or sequential games of incomplete information)。類似上章不完全訊息靜態賽局的情況，也可經由Harsanyi轉換表示為不完美訊息動態賽局，或簡稱為動態貝氏賽局。
完美貝氏均衡（Perfect Bayesian Equilibrium）與範例：
在此賽局中，參賽者1對自己的類型擁有私人資訊(private information)並且選擇行動或混合行動 A。在賽局開始之前，參賽者2對於參賽者1的類型θ有先驗信念p(prior belief)；參賽者2形成事後機率(posterior probability)μ 並選擇 或混合行動 A。
此賽局的完美貝氏均衡(Perfect Bayesian Equilibrium，PBE)可定義如下：
定義：一個完美貝氏均衡(PBE)是一組策略()與信念，滿足以下條件：
(i)以 (‧|θ) 表示參賽者1的策略。參賽者 2知道 (且可能觀察到a1)，並依照貝氏法則與先驗信念p更新他的信念：
μ(θ|a1)＝………………........................()
(ii)參賽者1 對於所有的θ，會選擇 (‧|θ) 以達到 u1(a1,a2,θ)；
(iii)參賽者2 觀察a2選擇 (‧| a1) 以達到 EMBED u2 (a1,a2,θ) ； 其中 μ(θ|a1) 依照 ()求得。
如此定義可再用四個條件表示如下：
C1. 在每一個訊息集合中，可做選擇的參賽者：對於之前的行動所能達到此訊息集合中各個環節的可能性必須能夠形成信念。(條件(i)的起始)
C2. 給定參賽者的信念，他們的策略必定符合序列理性(sequential rationality)。亦即，在給定其他參賽者的策略之下，在每個訊息集合都能選擇最佳行動。(對應條件(ii)、(iii))
C3. 對在均衡路徑(on the equilibrium path)上的訊息集合而言，信念是由貝氏法則和參賽者的均衡策略所決定。(所謂均衡途徑是指若使用均衡策略，則有正的機率會達到)。(條件(i)的意涵)
C4. 對在非均衡路徑(off the equilibrium path)上的訊息集合而言，信念是由貝氏法則和(儘可能參照)參賽者的均衡策略來決定。(條件(i)的意涵)
定義：一個完美貝氏均衡 (PBE)是滿足C1到C4的一組策略和信念。一個弱勢的完美貝氏均衡(weak PBE, WPBE)則滿足C1到C3即可。
例2：在嚇阻進入賽局中考慮新進者(E)可採策略更豐富，可採強勢進入或弱勢進入，強勢進入可能獨吞市場，而原廠商(I)反而擁有較少訊息。
合作 (c)
價格戰 (f)
強勢進入
3，0*
-1，-1
以策略形式
表示為
弱勢進入
2，1
-1，-1
不進入
0，2
0，2*
兩個NE：((強勢進入，合作)，(不進入，價格戰))
沒有子賽局，「子賽局完美均衡」尚無法去除任何均衡，SPNE=NE。
PBE定義的C1條件要求I要形成信念(belief)：
上式一定大於下式，所以，I可以去除價格戰的策略。
(α，μ)合稱為一個PBE；—定要列舉出信念μ。I的信念要由觀察E行動達到的訊息集合和對E策略α(·)的瞭解來推估。此例中令H＝｛x, x’｝，信念μ=Prob (x∣H, α)＝＝。E採α，到了一個information set｛x,x’｝＝H：
貝氏法則(Bayes’ Rule)：已知達此訊息集合H(在策略α之下)，I作信念更新得到
事後機率μ(x|H,α)＝＝=.
用了C3以後：可確定μ值μ＝1，只留一個均衡((強勢進入，合作)，μ＝1)
例3：嚇阻進入賽局的變化形式，來看何時用C4：
C1給我們(μ,1－μ)
I
若3μ－2＞－1，即μ＞，就選c
若μ＜則選f
先用C1，C2，C3找WPBE：
Weak PBE
但用了C4則可去除第二個均衡：c if in=>μ＝1
=>只有一個PBE ((in, c if in), c), μ＝1)
例4：對例2修改成以下賽局(假設γ＞-1)：
引用C1之後，I
若1－3μ＞－1，即μ＜時I選合作。此時E選強勢進入。
(強勢進入，合作，μ＜)：由E策略推知μ=1，不合C3，不是WPBE
若1－3μ＜－1，即μ＞時I選價格戰。因γ＞－1則E選弱勢進入
(弱勢進入，價格戰，μ＞)：由E策略推知μ=0，不合C3，不是WPBE。
假設γ＞－1成立
當μ＝時 I覺得合作與價格戰一樣好
I採混合策略 (αc,αf)＝(1－αf,αf)，使E採mixed strategy，E對強勢進入與弱勢進入無差異：
3(1－αf)-αf＝2(1－αf)＋γαf =>αf ＝：I應採混合策略(,)
E的策略()為(不進入，強勢進入，弱勢進入)的機率，需要與μ＝相合才可滿足C3，C4：μ與α之間要相配合。
此時WPBE≡PBE：(α*,β*)＝((α0,α1,α2),(αc,αf),μ)＝((0,, ),(,),
μ＝)，γ>-1。
PBE觀念強調信念的重要性，均衡描述中不可缺少信念。
例5：
考慮 (D,D,D)配合當信念μ=1：納什均衡
給定μ＝1，D是參賽者3的最佳反應。
給定其他參賽者的後續策略，D是參賽者2的最佳反應, 且 D 也是參賽者1的最佳反應。
但是這個納什均衡不是一個SPNE：
子賽局
可見(D,U)是子賽局的 NE，而SPNE是(U,D,U)
此SPNE 是一個 PBE (信念μ=0)，((U,D,U), μ=0)滿足C1到C4。
當μ=1時，再考慮(D,D,D)：滿足 C1到C3。因此，C1到 C3 並不保證參賽者的策略構成一個SPNE。因此C4是應該納入要求的。
在此均衡中，參賽者3的信念(μ＝1)和參賽者2的策略(D)是相悖的，當賽局均衡為(D,D,D)時，此訊息集合中要素並未被走到。C4 強迫參賽者3的信念必須由參賽者2的策略所決定：若2的策略是D，則3的信念必須為μ=0。但是當μ=0，由C2會使得3的策略變為U。因此當μ=1時，(D,D,D)並不滿足C1到C4。
WPBE： (D,D,D) 當μ=1 PBE： (U,D,U) 當μ=0
(U,D,U) 當μ=0 也是SPNE.
直覺式理解：PBE均衡在整個賽局中構成BNE，並在每個「後續賽局」(Continuation game，指起於任何完整的訊息集合(不論是singleton與否)且給定信念之下的部分賽局)亦為BNE。
傳訊賽局(signaling game)與信譽(reputation)
動態貝氏賽局中有訊息的傳遞，也可表示為傳訊賽局(signaling game)：
傳訊賽局可表示為：，賽局流程如下
1. 有兩位參賽者，送訊者(Sender，S)與接訊者(Receiver，R)
大自然(Nature，N)在型態集合中選取送訊者的類型，其機率滿足，，此先驗機率p(t)為共同知識。
3. 送訊者(S)觀察到(但接訊者不知)後，在集合中選取一訊號。
接訊者(R)觀察到(不是)，再選取行動。
報酬，對S與R分別實現。
R t1 R
m1 m2 ，機率
p
N
p
m1 m2
R t2 R
前面例1的「嚇阻進入」的賽局也可用如此「馬蹄型」擴展形式來表示，完全等同。原廠商(1)是送訊者，可能有兩種型態(高成本，低成本)，所選行動可視為送出訊號(建，不建)，新廠商(2)是接訊者，再選擇行動(進，不進)。雖然訊號(建，不建)未必能完全表露送訊者的私有訊息(型態)，但有時也提供了部分資訊，讓接訊者在觀察送訊者行動(亦可視為訊號)後再作最適反應。動態貝氏賽局很多可用傳訊賽局架構來分析。
再考慮信譽賽局Trust Game：
若重覆無窮多次，B可採Trigger Strategy，從開始就相信A，但A若背叛則永遠不再相信A，A會努力工作回報，NE每期報酬（1，1）。
但若無法在A與B間重覆無窮多次，B每期面對新的A參與者，B可觀察到A過去行為，只要新見面的A過去未曾背叛，則可從開始就相信A，一旦A背叛則永遠不再相信A。如此狀況下均衡仍為（1，1）。若A未曾背叛，則A有「好信譽」， B的均衡策略是「相信有好信譽的員工」，大致延續前面reciprocal rewards and punishments精神，但仍要求過去行為是可以觀察到的。
參與一方報酬不確定（不完全資訊賽局）時，在Entry Deterrence Game內，Incumbent可設法建立強悍的信譽。
例6：以2期聲譽(reputation)賽局為例：2期是T期的特例。
廠商 1 (現任者) 採取動作 a1 (合作或戰鬥).
廠商2 (進入者) 若廠商 1 選擇合作能獲得D2，若廠商1選擇戰鬥獲得P2。
D2＞0＞P2。
廠商 1 有2種類型 (理智或瘋狂)，當其選擇合作時得到D1，若選擇戰鬥，則得到P1，D1＞P1。
若廠商1為獨占，則得到M1＞D1
p＝廠商1是理智的先驗機率 (1－p＝瘋狂(愛好戰鬥)的機率)
一個理智的廠商不會選擇在第2期時戰鬥(沒有要保持聲譽的必要)。若廠商 2留下，此理智廠商會獲得D1，若廠商2退出，則獲得M1。瘋狂廠商總是選擇戰鬥。理智廠商可能會在第1期選擇戰鬥以取得聲譽。
1
I
C
F
2
E
D2,D1
P2,P1
不延
0,M1
0,M2
10,50
-10,30
0,100
0,100
(1) 分離均衡(Seprating equilibrium)：瘋狂類型：戰鬥；理智類型：合作。
廠商2在第2期時會有完整的訊息，後驗機率(posterior probability)為
μ(θ＝理智|a1＝合作)＝1, μ(θ＝瘋狂|a1＝戰鬥)＝1.
(2) 混同均衡(Pooling equilibrium)：理智類型選擇戰鬥。
廠商2 無法修正他的信念，因為在第1期時兩種類型都會戰鬥
μ(θ＝理智|a1＝戰鬥)＝p.
(3) 半分離均衡(Semi-separation equilibrium)：理智類型任意決定。
μ(θ＝理智|a1＝戰鬥) (0, p)； μ(θ＝理智|a1 ＝合作)＝1.
就(1)而言：理智類型合作得到D1(1＋δ), δ＝折現因子，若他戰鬥則得到P1＋δM1, 若在第1期戰鬥而使廠商2認為其是瘋狂類型的必要條件為：
δ(M1－D1)≦(D1－P1) (1)
就(2)而言：只有當能誘使廠商2退出為正機率事件時，理智的現任者會選擇戰鬥。也就是說，只有當進入者留下的第2期期望利潤為負值時：
ρD2＋(1－ρ)P2＜0 (2)
第1期：兩種類型皆會戰鬥，進入者的後驗機率如上所述。
理智類型的報酬為 P1＋δM1 當其戰鬥；
D1(1＋δ) 當其合作。
若不符合(1)時，理智類型會戰鬥(所以為混同均衡)。
就(3)而言：進入者觀察到廠商1戰鬥時，會任意認定1的類型。當不符合(1)及(2)時，理智現任者會在戰鬥及合作隨意選取。
D2＋(1－)P2＝0(prob χ＝進入者在觀察到廠商1作戰鬥行動後留下
現任者會任意選取若 P1＋δχM1＋δ(1－χ)D1＝D1(1＋δ)
δχ(M1－D1)＝D1－P1, 0＜χ＜1 (不符合(1)) 或 χ＝(D1－P1)／δ(M1－D1).
理智類型有 y機率選擇戰鬥，1－y機率選擇合作
＝廠商2在觀察到戰鬥行為後，認為廠商1是理智類型的信念
根據貝氏法則從p修正而得：＝＜p. (1為瘋狂類型的信念↑)
且, D2＋(1－)P2＝0 ( ＝(回想 D2＞0＞P2), 0＜＜1.
＝ 解 y
理智類型有 y機率選擇戰鬥。進入者在觀察到1的戰鬥行為後，將信念ρ修正為 (＜ρ)，然後以χ機率選擇退出。
序列均衡(Sequential equilibrium)：
定義：一組策略以及信念 (σ, μ) 是一個序列均衡(SE)若
(i) σ 在給定μ (如C2)之下為序列理性；
(ii) μ和σ一致，對於每個訊息集合H 以及每個x在H中，有一組完全混合策略σk ， σk → σ，μ＝, 而 μk(x)＝，., μk 是策略組σk 使用貝氏法則得到的信念。
說明：條件(ii)表示參賽者不會走到的訊息集合，其信念可以由均衡策略產生的小顫抖來解釋。 (在別的訊息集合中，這些信念與均衡策略產生出的一致。)
例7：
弱 PBE ((進入, c 若進入),c) 是以下策略組的極限：
()＝(), ()＝() ,
產生的信念為
這驗證了(σ, μ)為SE。
例8：
我們可以檢查此WPBE是否為以下策略組的極限：
()＝(), ()＝(),
產生的信念為：
＝
此 WPBE 同時也是 SE。同時檢查其是否為WPBE：
給定信念 μ1, I 會戰鬥若 －1≧－2μ1＋(1－μ1)＝1－3μ1, . μ1≧
若 μ1＞, I 有機率1會戰鬥，E 有機率1會採取I(r＞－1)，和μ1＞矛盾。
若μ1＜, I 有機率1會合作，E有機率1會採取I，和μ1＜矛盾。
唯一可能解為 “μ1＝”。I 隨意選取，使得E 在I與I無異：
E’的報酬.
實例與應用：邊緣運用策略(Brinkmanship)
邊緣政策就是創造並控制發生災難的風險。災難使雙方受到很大的損傷，才能迫使對方讓步。首先要創造出自己不能完全掌控的風險，才能改變對方行動。其次，這樣的風險必須要先規範在一個自己能忍受的範圍內。
邊緣政策：Controlled lack of control, with two essential parts
(1) how to lose control,
(2) how to do so in a controlled way; and (2) is the most delicate part of brinkmanship.
例9：在電影馬爾他之鷹(Maltese Falcon)中，亨佛利•鮑嘉(Humphrey Bogart)飾演的角色知道寶藏所在，對窮追他的人說：「你不能殺我，因為殺了我你就永遠無法知道寶藏的下落！既然我們都知道你不能殺我，你又如何能威脅我讓我來告訴你寶藏的下落？」你的看法呢？
考慮俄國輪盤，左輪槍中只有一顆子彈來對付主角。這樣射殺的風險是綁匪所不能掌控或屆時取消的，這樣1/6的風險是雙方都要冒的，綁匪可能覺得有1/6機會不得寶藏是可忍受的，而主角可能已不能忍受這麼高的死亡機率了！真正發生的事件由隨機因素決定，屆時任何一方均無能力或自由度去更改。
例10：1962年10月15日美國發現蘇聯在古巴布置了中程彈道飛彈(MRBM)及核彈頭，JFK在10月16日星期二緊急成立國家安全會議的執行委員會(ExComm)。經過多番內部討論後在10月22日在電視上要求蘇聯撤走飛彈(但未設下期限)，並宣布自10月24日起對古巴實行航運隔離(quarantine)；JFK估計有1/3至1/2機會蘇聯不讓步，迫使雙方展開核子大戰。10月23日在聯合國辯論，10月26日赫魯雪夫送來一封私人信件，但下午接著又公開發佈一封較強硬信件要求美國撤走在土耳其的飛彈，ExComm的氣氛相當凝重，10月27日已開始討論隔天要如何進行轟炸並登陸古巴作戰。10月27日晚JFK要RFK遞交蘇聯駐美大使 A. Dobrynin轉交赫魯雪夫私人信函中提出：(1)蘇聯撤走飛彈與伊留申28轟炸機，(2)美國承諾不進攻古巴，(3)美國願撤走在土耳其的飛彈，但蘇聯若公開提起則此承諾自動失效，並且要求在12至24小時內答覆，否則將有「嚴重後果」(drastic consequence)。10月28日星期日上午蘇聯電台廣播赫魯雪夫給JFK信，宣布撤走飛彈，JFK立即從VOA廣播表示歡迎。
採「不確定的威脅」：若對手不理，則有q的機率會發生核子大戰，但也有1-q的機率會放棄要求蘇聯撤走飛彈。US威脅USSR不理發生核戰的機率為q，美國得-10，否則美國退縮得-2，預期報酬為-10q-2(1-q)=-2-8q。
同樣作法可得蘇聯的預期報酬 (1)強硬：-4q+2(1-q)=2-6q，
(2)軟弱：-8q+2(1-q)=2-10q。
先考慮蘇聯的策略：
(1)強硬：因2-6q>-8，必定不理美國要求(發生核戰)。
(2)軟弱：若2-10q<-4，亦即 q> 則願撤出。
美國的邊緣政策要想有用，必須採用q>才有效，這是有效條件 (effectiveness condition)。
(1)lose control: disaster occurs with probability q
(2)controlled way: q to be in certain range.
再問發生災難(核戰)的機率是否在美國所能忍受範圍之內？
美國要求的報酬是 (-2-8q)xp+1x(1-p)=-8pq-3p+1，若-8pq-3p+1>-2，則美國最佳策略會進行邊緣政策，要求飛彈撤出，這個條件可寫成，是機率q的上限。q若超出此上限則核戰機率太高，美國也無法忍受！
Effectiveness Condition: q>，
Acceptability Condition: 。
p=蘇聯強硬機率
q=若蘇聯不理，發生核戰的機率
在陰影部份的 (p,q) 是美國所能接受的範圍。
(1)若p≦，則q=1「一定的威脅」是美國所能接受的而且對蘇聯有效。
(2)若≦p≦，則q=1「一定的威脅」是美國所不能接受的。採較小的q才能同時為美國所能接受，也仍對蘇聯有效，這就是「邊緣政策」！
(3)若p>，則採用任何有效的q，對美國來說都是無法忍受的。作決策的JFK無法知道這樣精確的圖形，當蘇聯報酬不是-8或-4，結果又不同，所以這樣的圖形只提供一個「分析的架構」，真實的情況有太多的不確定性！
實例與應用：拍賣與出價(Auctions and Bidding)
對拍賣的最佳出價策略與最適拍賣機制的設計來作分析研究。先做私有價值(private values)的分析，而且是從同一個分佈函數獨立抽取而得：
Private Value Auctions 私有價值拍賣：
A1. 參與出價者均為風險中立(risk neutral)，欲購買一個單位。
A2. 參與出價者的私有價值均從同一個分佈函數獨立抽取，而定義在區間內，在此區間內嚴格遞增，無任何具正機率(atomless)。（共同知識）
收益等值定理(Revenue Equivalence Theorem)
在A1，A2假設下，私有價值拍賣中凡是(1)造成標的物永遠由最高私有價值者獲得，而且(2)擁有私有價值的參與者預期獲得剩餘為零的拍賣制度均將產生相同的預期收益。(=>荷式、密封最高價、英式、密封次高價的預期收益相同)
Proof：A1，其中是獲勝的機率，是獲勝支出成本，是參賽者的預期剩餘。達納什均衡時，滿足下式才不會偏離均衡：
…………………….……………..(1)
這是因為模仿而得的相同的與，但真實的剩餘是(1)的RHS
(1)的特例()：
(反之亦然)
所以，…(2)
取，則(A2使能被定義)
積分得
………………………………………..………..(3)
與知道後，可決定，又由假設知。
由假設知若是最高價值對荷式、英式等均成立。因產生預期剩餘均相同，賣方預期收益亦相同。QED
在以上推導中的(1)式是誘因相容(Incentive Compatibility)條件，在訓息經濟學中常會出現。在此定理的推導中A2扮演一個種要的角色，若型態是非連續變動，則可找到反例。放鬆A1，考慮風險區避的出價者(賣方仍為風險中立)：在次高價密封拍賣(或英式拍賣)中出價策略依然如前，但在最高價密封拍賣中風險趨避者會出較高價格。(見Maskin and Riley, “Optimal Auctions with Risk Averse Buyers,” Econometrica 1984.)
以下我們考慮均勻分佈的特例：，有以下特性：從均勻分佈獨立抽取個值，其中第高值預期為。
次高價密封拍賣(或英式拍賣)：
賣方期待得到第二高值，出價者如實出價。預期收益為，賣給第一高值者。
最高價密封拍賣(或荷式拍賣)：
賣方預期賣給第一高值者，但其出價較保守，出價策略為。見講義3-12或應用以上特性：
若獲勝則必然個值是從均勻分佈抽出，其中最高值為，的出價即為此值。其以要找到(第一高值)的預期值。
從賣方看，必須是個值中的最高值，對的預期亦可用以上特性得。代入得預期收益為。
均勻分佈的計算是收益等值定理的特例。
Common Value Auctions 共有價值拍賣：
保留A1，但A2改成：
A3：，其中具一分佈函數而且對為互相獨立，未知。雖然，但是(信號為正相關)。
先看均勻分佈的例子，假設是從抽取，，均為均勻分佈。觀察到值高可推理與其他均高值。對第高的訊號以表示，若知道則對預期值為。
英式拍賣中，第一位停止出價者揭露訊息，其他參賽者最佳策略是在時停止出價，拍賣會在第二高訊息停止出價時結束，該價格就是成交價。應用均勻分佈特性可計算，賣方預期收益為。
在次高價密封拍賣中，從中抽取個其最高值預期為。第個參賽者出價為其預期值，期待勝出。
第二高訊息，其出價為。
賣方收益即為此價=當時。
在最高價密封拍賣中，若獲得訊號，出價，則獲勝機率為，獲勝利得為。以上推理中假設所有參賽者均採出價。因為訊號不能影響的出價與相差多少。
考慮是否會模仿而出價，則獲勝機率增加，獲勝利得，但在原獲勝機率情況下需多付達均衡時，對如此偏離沒有意願，忽略及更高級：
因此訊息的參賽者會出價，成交價是最高出價，由前特性得預期值是，代入得。 ，可知排序為：
。
實例與應用：機制設計(Mechanism Design)
例11：舊約上記載：所羅門王面對兩位婦人爭奪嬰兒時，他設計一套機制能夠判別真假母親，以色列人都讚揚所羅門王的睿智。這套機制為何有用﹖是否有瑕疵﹖
2 婦人：Anna (A) and Bess (B)
私人訊息：小孩對於A 與 B的重要性（CA and CB）。
所羅門王的威脅：若雙方意見分歧則將小孩切開，一人拿一半。
所羅門王要求兩人必須遵守他的規定。
他們的信息 → 分配：(機制設計)。
問題：可能模仿對方的反應。
替代方案：所羅門王可以設計另一個規定。
固定懲罰F。 A 先行，但如果B (A)有異議則A (B)必須付出F。If B challenges and bids E, then A has another round to match the challenge.
(1) Suppose A is the mother and values the child more, CA＞CB. Bess knows that the only way she can end up with the child is if she bid enough to force Anna’s payoffs to satisfy CA－E－F＜－F, or CA＜E. But we know CB＜CA＜E, Bess has to bid more than the child is worth to her：CB－E＜0. Anna will assert and Bess will accept.
(2) Suppose B is the mother and CB＞CA. Then Bess will bid as long as CB－E ＞0 and CA－E－F＜－F (or E＞CA), Since CB＞CA, Bess is able to find a bid E such that CB＞E＞CA. Anna will give up in the 1st stage. (SPNE)
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