金融案例分析进度表
第一讲 预备知识
路径有关期权（I） ——弱路径有关期权
路径有关期权（path-dependent options）
定义：期权的最终收益不仅依赖于期权到期日原生资产的价格，而且与整个期权有效期内原生资产价格的变化过程有关。
关卡期权（barrier options）又称挡板期权、障碍期权
一、定义
一般是欧式期权，最终收益不仅依赖于期权到期日原生资产的价格，而且与生存期内原生资产是否达到某一规定水平（关卡值（barrier））有关。
二、关卡期权分类：
1、敲出期权（knock-out options）
当原生资产价格达到规定卡时，期权“终止”有效。
（1）关卡值小于原生资产价格称为下降敲出期权（down-and-out options）
（2）关卡值大于原生资产价格称为上升敲出期权（up-and-out options）
2、敲入期权（knock-in options）
当原生资产价格达到关卡时，期权“开始”有效，关卡值也被称为激发值（trigger）
同样有下降敲入期权（down-and-in options）
同样有上升敲入期权（up-and-in options）
三、关卡期权（到期日）收益（payoff）
假设关卡值为
·敲出期权
·敲入期权
四、关卡期权的偏微分方程模型
不同期权的定价问题是求解Black-Scholes方程的一个特定的终一边值问题。
3、定解条件
五、方程的求解
以下降敲出期权为例
1、变系数→常系数
2、标准化
令：
利用镜像法（对终值条件进行奇延拓）
方程
解的限制必定是原方程解。
上述Cauchy问题的解可表为Poisson公式。
定理（put-call parity for barrier options）：对于下降敲出期权存在看涨-看跌平价公式：
重置期权（reset options）
一、定义：
当原生资产达到某一预先给定的水平时，按合约规定，将重新设定敲定价格。
二、分类
1、规定时间的重置期权（reset options with predetermined dates）：重新设定敲定价格的过程，在预先规定的时间进行。
2、规定水平的重置期权（reset options with predetermined level）：重新敲定敲定价格的过程按预先规定的价格水平进行。
三、重置期权的数学模型及方程求解
1、规定时间的重置期权
为了简便，假定在生存期内，仅有一次重置机会。
求得
定义：
求解
2、规定水平的重置期权
路径有关期权（II）——强路径有关期权
亚式期权
一、基本概念
1、定义：期权到期日的收益依赖与在整个期权有效期内原生资产所经历的价格平均值。
这里平均值有算术平均和几何平均两个意义。
2、分类（以看涨期权为例）
二、模型和简化
1、亚式期权的数学模型
二、模型和简化
所有亚式期权的定价问题，都可化为一维问题。
下面以看涨期权为例进行讨论。
①固定敲定价的算术平均亚式期权
②浮动敲定价的算术平均亚式期权
③固定敲定价的几何平均亚式期权
④具有浮动敲定价几何平均亚式期权
【注1】：美式亚式期权也可得到相应模型，但是否可化为一维问题目前还不清楚.
【注2】：算术平均不能得到显示解，几何平均经适当变换可以得到显示解。
三、欧式几何平均亚式期权的定价公式
1、固定敲定价的亚式期权
代入方程：
定解问题化为标准热传导方程的Cauchy问题
·浮动敲定价的亚式期权定价问题，利用Fourier变换等方法，同样能得到亚式解。
第二讲利率风险管理与股权风险管理
定期存款所含嵌入期权的定价
引言 问题的提出
定期存款所蕴含的权利
定期存款可看成是含有嵌入期权的一张债券。 因为它赋予投资人这样一种权利，即在到期日前随时可提前支取，并获得本金加上从存款日到支取日的活期利息。
结论：定期存款实际上是一张内含期权的债券。
问题：银行如何根据市场上国债的价格确定合理的定期存款的利率水平？
基本假设
(5).市场无套利，无摩擦(无税收，交易费等)。
问题的求解
方程(2)是利率衍生产品要满足的一般方程。
边界条件(3)是指当持有定期存款的价值小于提前支取的价值（活期存款）时，投资人应立即实施提前支取的权利。
其解可表示为:
方程(2)的基本解就是方程
1.方程化简 变系数一般方程——>常系数标准方程
金融意义
问题解的一些性质
由极值原理， 易知
第二讲
利率风险管理与股权风险管理
数量可变的购买期权
问题的提出
证券市场的一个重要功能就是进行资源配置的优化组合，融资是实现这一目标的一条重要途径，由于我国经济持续高速发展，以及股权结构的特点，上市公司对融资有着强烈的冲动，因此，融资策略的研究受到了市场各方的关注。
上市公司由于收购、投资或偿还到期债券等原因打算在未来某确定的日期发行新股票，进行融资，融资的总金额是确定的，为了确保融资成功，上市公司可采取下列策略：
与投资银行、证券商等签定包销合同，如果期限较短，一般较容易成功。而如果期限较长，签定包销合同一般较难，尤其是在熊市市场。
我们认为，决定股票发行成功与否，起决定作用不是融资量和发行股数，而是发行的价格。诞生于1992年的金融衍生产品—— 数量可变的购买期权（VPO），是解决这一问题的另一种有效的策略 .
VPO的基本条款和种类
VPO的持有者在到期日，其收益(Payoff)为：
这说明VPO的持有者，只要执行期权就有利可图。
标准格式的VPO与债券不同之处
首先，VPO持有人在到期日前不需支付大量的本金，其次，其收益是通过市场获得，而不是从发行者处得到。对于发行者来讲，债券是今天融资，VPO则是锁定未来的融资，公司不必支付利息等，融资成本比较低。
标准格式的VPO本质上是一种包销合同，但由于其可交易性和流通性，所以得到了投资者的欢迎。
有界的VPO（bounded VPO）
金融意义
有界VPO持有人在到期日的收益（payoff）为：
为了避免在到期日市场价格剧烈波动，防止价格操纵，在VPO的条款中，引进类似亚式期权的平均价格，产生了相应的亚式VPO。
标准亚式VPO
到期日该期权持有者的收益（Payoff）为：
有界的亚式VPO
有界的亚式VPO发行的公司股票数
收益（Payoff）为：
固定利率下VPO模型的建立
市场的假定
固定利率下欧式的VPO的定价
根据市场实际情况，作了下列考虑
首先，如果VPO的期限较长，利率作为常数来处理似乎不尽合理，应该探讨利率是随机的情况；
其次,为了防止操纵市场，亚式VPO应该更有实际意义。
随机利率下欧式的VPO定价模型的求解
(1) 欧式的标准VPO
(2) 欧式的有界的VPO
具体步骤如下：
其中：
亚式的VPO
1、 如果购买股票的数量依赖于到期日前长时间段内平均股价（几何平均），即
模型建立及求解
则定解问题（19）化为下列定解问题：
通过连续性条件得到前段的定解条件
此问题的解：
问题（25）可解得：
运用类似的方法，可得到：
方程（28）的解为
注2：有界的亚式VPO可以看作多个期权的组合，不难得到相应的模型，但一般也只能给出数值解。
第二讲
利率风险管理与股权风险管理
转股价可向下修正的可转换债券
实际背景
可转债券受到了证券市场方方面面的青睐
上市公司特殊的股权结构
熊市市场，投资者比较关注股价波动的风险
可转债券的发行条款中，一般都设有转股价修正条款
例如，在龙电转债（110726）的条款中，就设有“转股价格时点向下修正条款”：自龙电转债发行首日起，满半年、一年半、两年半之日，如果该时点前30个交易日龙电A股收盘价的算术平均值与的乘积低于当时生效的转股价格的98%，则该乘积自动成为修正后的转股价格；
例如水运转债（100087），在其条款中设有转股价向下修正条款，其修正权限与修正幅度为：当公司股票在任意连续30个交易日内收盘价格的算术平均值不高于当期转股价格的80%时，公司董事会有权在不超过20%的幅度内降低转股价。修正幅度在20%以上时，由董事会提议，股东大会通过后实施，董事会此权力的行使在12个月内不得超过一次。
转股价向下修正条款降低了可转债持有人的投资风险，有利于债券的发行。
可转债估值方法对投资各方具有强烈的现实意义。
数学模型
可转换债券的转股价向下修正条款有各种形式，为了便于数学处理，我们对实际问题进行了一些简化和抽象。
基本假设
注：采用平均股价的目的主要是为了防止大户操纵股价，而采用几何平均的目的主要为了数学求解的方便。
转债价格所满足的微分方程
如果可转换债券具有担保，可以不考虑违约风险。V表示可转债价值，用X表示可转债在时刻的转股价
模型的求解--转股价向下修正条款的定价公式
其中
第三讲 理财产品
与黄金价格挂钩的存款理财产品
问题的提出
与黄金价格挂钩的结构性存款理财产品，其收益除了与黄金价格的某个指标的累计数相关以外，还可以与黄金价格的某种触发指标有关。
第三讲 理财产品
保底型基金的设计与定价
背景
近年来，人们金融意识的逐步增强，储蓄已不能满足人们理财的需要,对投资理财有了更多的要求，但单纯的股票市场和债券市场也不能完全满足他们的要求。
例如，金融机构推出的分红保底基金是针对愿意承担一定风险而搏取高额回报的客户而设计的，投资者投资该基金后，基金公司承诺给投资者以事先约定的最低收益（通常低于同期国债的收益），同时投资者在投资收益的超额部分中可获得一定比例（而投资者不必承担基金低收益甚至亏损的风险）。
这是一个嵌入的欧式期权，是利率和股指的衍生物，其隐含的期权费体现在保底收益的大小和超额收益的分配比例上。
数学模型
基本假设
（a）资产的构成：每份基金的面值为一元；
（b）根据基金公司是否获得银行或其他金融机构进行担保，我们设计了如下条款：
如果有银行或其他金融机构进行担保，那么：
(2) 基金全部投资于指数基金；
如果没有银行或其他金融机构进行担保，那么，为了确保公众投资者的保底收益，发起人必须投入一部分自由资金，在基金中所占比例为，我们同样规定上述条款，但增加第三条款：
建立方程
经计算得：
定解条件
如果有银行提供担保，不存在违约，此时金融机构无须提供自有资金，定解问题为：
如果没有银行提供担保，存在违约可能性，此时金融机构必须提供自有资金，根据基金条款（3），定解问题为:
定解问题的简化与求解
定解条件
.由Black-Scholes 公式,得：
Cauchy问题（27）的解可表为Poisson公式：
由此得到：
数值分析
例如：东亚银行2006年发行的区间触发型存款理财产品可归结为一种双障碍期权。
2006年2月20日，东亚银行在广州推出了两款与黄金价格挂钩的保本型美元存款理财产品，期限为一年。最低申购额为5000美元，分别对应看“涨”和看“温和盘整”的不同市场预期，产品可能的最高收益率高达8%。若黄金价格（以美元/盎司为单位）于1年内均处于一个事先指定的区间长度为140美元的范围内，则投资者一年后便得到最高的8%投资收益。即使黄金价格于该1年内的某些时刻超出限定区间范围，投资者仍然可以根据黄金价格第一次超出限定范围前的总日数，于到期日获取收益：
投资金额4%D/N
其中D为在观察期内从初始日至首次穿破日（但不包括穿破日）在内之总日数，N为观察期之总日数（实际为黄金交易日的总天数）。设定的区间以黄金初始价格＋70美元和黄金初始价格－70美元分别为区间的上下限。
模型的建立
一旦黄金价格超过价格上限（或低于价格下限），根据产品的合约规定就不再计算利息，期权就终止了，即使黄金价格再次回到限定范围内，也不再重新计息。因此满足向上敲出-向下敲入的双障碍期权的特征。
从而问题的求解区域为
综合以上的分析，我们得到单位存款理财产品价值 满足以下偏微分方程的定解问题：
这是一个线性偏微分方程的初边值问题。下面将求出它的级数解
模型的求解
对于双障碍期权问题，我们将用Fourier 展开方法求解
作函数及自变量变换，双障碍期权问题变成常系数抛物型方程的齐次边值问题
则上述定界问题变为标准的热传导方程混合问题：
同时将问题（7）中方程的右端项、初值函数也作正弦函数展开，比较系数并求解相应的常微分方程初值问题得
我们最后得到
第四讲
信用风险管理
信用关联结构性存款的定价
引言
信用风险市场
信用风险管理基本方法
信用风险分散化
分散化方法
发行信用关联存款成为分散信用风险的一个重要途径。
与某一信用实体的信用事件挂钩的存款基本条款：
假定某存款存期1年，和A公司挂钩，挂钩事件为A公司破产或无法清偿其债务，在存期内，若没有发生信用事件，存款人将获得高于市场回报的回报；若发生信用事件，投资者将获得低回报甚至亏损。
现在的问题是如何确定高回报率和低回报率的数值
处理信用风险主要方法
结构化方法(structural approach)和约化方法(reduced form approach).
结构化方法是把公司债券银行贷款看成是关于公司资产的看跌期权(put option),其敲定价格为债务额.
最早由Merton (1974)等人提出
考虑到公司可在债券到期前破产,Black 和Cox（1976）等人提出了首次通过模型(first passage model),即当公司资产值下降到事先约定的阈值(违约边界)时,债权人有权强制公司破产以保护债券持有人的利益
为解决连续模型的在债券快到期时的违约概率几乎为零的问题, Zhou(1997)引入了跳扩散模型.
注：结构化方法的优点是把公司的违约可能性与公司的经济情况即公司资产和债务挂钩并建立在成熟的期权定价理论上
约化方法则把公司违约看成是一个外在的过程,用Poisson过程来描述,即第一次发生跳时公司就违约.
违约强度可从市场上债券和信用违约互换(credit default swap 简称为CDS)的报价中推得.
基本假定
建模
从而定解问题为
定解问题的简化及求解
以下步骤基本是标准做法。
为利用镜像法（[5]）求解上述问题，对终值条件作奇开拓。
第四讲 信用风险管理--2
标准信用违约互换定价
问题的提出
信用违约互换（Credit Default Swaps，简称为CDS），是一种信用衍生产品。信用衍生产品是交易风险资产的信用风险的衍生金融工具，将信用风险从原来的风险承担者转移给那些愿意承担信用风险的人。信用衍生产品的价值依赖于标的资产的信用质量，标的资产通常是具有违约风险的债权类金融产品，如银行贷款、公司债券等。
信用衍生品市场
信用衍生产品的出现是世界金融领域的一次意义深远的革命，是近30年来世界金融领域最重大和发展最快速的金融创新和金融工具。
2002年英国银行家协会（British Banker’s Association，BBA）的信用衍生产品研究报告 ([1]) 显示，近年内信用违约互换已成为国外债券市场上最常见的信用衍生产品。信用违约互换占上信用衍生产品市场接近50％的份额。其中单一信用违约互换 (Single-name Credit Swaps) 仍然是最流行的产品，而组合产品 (Portfolio Products / CLOs) 的比例则在逐年稳定增长中。
信用互换的特点
在违约互换交易中,互换购买方定期向互换售出方支付费用。一旦债券出现违约,互换购买方将有权利以面值将违约债券卖给互换售出方。
它在保留资产的前提下，将贷款或债券等资产的信用风险剥离出来，经过市场定价后转移给愿意承担风险的投资者。信用违约互换的出现为长期以来只能依靠内部管理或多样化来分散信用风险的金融机构提供了一种新的对冲工具，从根本上改变了信用风险管理的传统特征。
通过信用违约互换，金融机构可以将持有的具有信用风险的资产中的信用风险进行转移，同时保留对该资产的所有权。
信用违约互换（CDS）的交易流程如下图
零付返
定期付费 c%
停止付费
赔偿损失
CDS出售方
公司C
CDS购买方
公司A
CDS购买方
公司A
CDS出售方
公司C
图1 信用事件发生之前
图2 信用事件发生时（实物结算）
CDS本质上是一份针对具有违约风险债券的保险合约。
假设公司A持有公司B发行的一份公司债券，于是它就面临着公司B违约而带来的信用风险。为了管理这种风险，公司A与公司C签订一份信用违约互换合约，并定期向公司C支付费用，直至公司B违约或持有的B公司债券到期。当B公司违约时，公司C将补偿公司A在其持有的B公司债券(Reference Obligation)上面所遭受的损失。信用违约互换作为一份保险合约，它涉及到三方，违约保险的购买者公司A，违约保险的售出者公司C(Counterparty)及公司债券的发行者公司B(Reference Entity)，公司B发生的违约称为信用事件(Credit Event)。
CDS的费用与赔偿
CDS购买方A需要定期向出售方C支付固定的费用，直至信用事件发生时或者CDS合约到期，这个费用一般称为CDS Spread。
当信用事件发生时，停止支付保费，同时CDS出售方C赔偿购买方A因信用事件所遭受的损失。现实中有两种赔偿方式：实物结算方式(Physical Settlement)和现金结算方式(Cash Settlement)。
举例
假设2002年1月1日A保险公司和X银行签订一份五年期的针对GM公司的面值为$1000万的债券的CDS合约。X银行同意向A保险公司每年支付%的保险费。那么如果GM公司在五年之内不违约，即没有信用事件发生，则X银行在2003年、2004年、2005年、2006年和2007年的1月1日向A保险公司支付保费，每次支付的金额为$16万。如果2006年9月1日GM公司违约，即信用事件在CDS合约第5年的中途发生，若采用实物结算方式，则合约购买方X银行有权按面值将GM公司的$1000万债券出售给A保险公司。若采用现金结算方式，假设由于GM公司违约，X银行仅能收回债券面值的40%，则损失的60%要由A保险公司赔偿，即需要支付给X银行$600万。无论采用那种结算方式，由于保费是按年度支付的，而信用事件发生在年中，所以X银行需要向A保险公司补交2006年1月1日到9月1日这段时间的保费$12万。
模型的建立
考虑一份信用违约互换合约，其标的债券面值为1。假设保费按季度支付，违约可在信用违约互换到期日之前任何时刻发生，并且违约事件的发生，贴现率，回收率均相互独立。
定义
现金流分析
对于公司A
模型的求解
数值计算
考虑一份五年期的信用违约互换合约，无风险利率为5％，期望回收率为30％。债券发行公司的资产初始值为100万美元，违约边界为70万美元。
图3表示不同波动率违约概率密度
图4 表示CDS价格与信用违约互换到期时间T的关系。
图5 表示CDS价格与回收率R的关系
第五讲 实物期权--2
一类房产期权的二叉树定价模型和分析
问题的提出
2005年，北京西奥中心写字楼交易惊爆“地产期权”新招法，首次将实物期权概念引入地产交易：开发商以“以租代售”的方式将“西奥中心”租与客户2年，客户向开发商支付高于亚运村写字楼平均租金水平几个百分点的租金。客户拥有在2年内以与开发商约定的某个价格购买或放弃购买“西奥中心”的权力。
西奥中心有A，B，C，D 四种户型的写字楼可供出售：A户型的面积为平方米；B户型的面积为平方米；C户型的面积为平方米；D户型的面积为平方米。具体数据参见表1：
几点说明：
1．上表中虽然仅给出了客户在半年末、一年末、两年末行使权力的一些数据，但是在该方案中，期权持有人（客户）行使权力的时间实际上可以是购买期权2年内的任意租金结算周期期末，而并非局限于半年末、一年末、两年末这三个时间。
2．表中的行权价格即敲定价格，在该方案中，敲定价格是随着时间的变化而变化的。现行市场价格为12000元/平方米。
3．写字楼的承租与期权的权力是分离的，即当客户放弃持有该地产期权时，可继续租用原有的写字楼。
4．该地区写字楼平均租金为元/天/平方米。
注：上述“以租代售”合约的定价相当于分期付款期权（百慕大期权）。
下面，我们根据分期付款期权理论，对北京西奥中心的“地产期权”进行定价分析
客户每月向开发商支付的金额其实包含了两部分：租金以及购买该地产期权所需支付的期权金。
在每个租金和期权金的支付日，客户可以选择支付期权金以继续持有该地产期权，也可以选择不支付以终止该期权。
在每个租金和期权金的支付日，客户可以选择支付期权金以继续持有该地产期权，也可以选择不支付以终止该期权。
从客户的角度，该方案中的期权可看成是看涨的分期付款期权。
它与标准的分期付款期权又并不完全相同，由表1可知，敲定价格是随时间变化的，不是固定的常数。
将敲定价格进行分段线性插值，得到随时间变化的敲定价格：
模型的基本假设：
二叉树定价模型
单位面积的地产期权定价的二叉树迭代格式为：
由无套利原理可得：
二叉树格式的数值模拟和参数分析
数值模拟
参数分析
