1. Black-Scholes公式
经典的Black-Scholes期权定价公式是
对于欧式股票期权给出的。其公式为
其中T是到期时间，S是当前股价，
是作为当前股价和到期时间的函
数的欧式买 入期权的价格.
第九章 期权定价公式及其应用
一、引言
第一节Black-Scholes期权定价公式
K是期权的执行价格，r是无风险证券的（瞬时）收益率， 称为股价的波动率{volatility ,这是一个需要测算的参数}
称为累积正态分布函数，定义为
图1 期权价格曲线随到期时间T的变化
Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的
波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。
例如,如果这里价格以元计,时间以年计,从而涉
及的两个比率都指的是年率。那么（以下的等号实
际上都是近似等号）
把这些值代入公式，得到:
利用累积正态函数在点和处的
近似值，买入期权的价格是，即
更精确的计算可得:
2. 金融资产的定价问题
金融资产的定价问题(asset valuation)是现代财务
金融理论的一个基本问题。
对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具，
其价格都是通过净现值方法来确定的。
对于期权来讲，其风险究竟有多大?如何计算出相应的风险溢价以及未来的现金流?
这都是较为难解决的问题。
3. Black-Scholes公式发展过程
(1) 巴列切尔公式 ( Bachelier 1900)
n是标准正态分布的密度函数
法国 数学家 Bachelier· Louis,在其博士论文
《The Theory of Speculation》中首次给出了欧式买
权的定价公式
但他在建立模型时有3个假设与现实不符。
第一，假设标的股票的价格服从标准正态分布。这使得
股价出现负值的概率大于零，从而与现实明显不符。
第二，认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能大
于标的股票的价值，这显然也是不可能的。
第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零，
这也违背了股票市场的实际情况。
(2) 斯普伦克莱 ( Sprenkle ,1961)
在Bachelier的研究基础上,人们对期权定价问题进行
了长期的研究。
1961年Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布”
的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。
是股票价格的平均增长率，
A是对应的风险厌恶程度。
其中
(3) 博内斯 ( Boness, 1964)
其中，
1964年，Boness将货币时间价值的概念引入到期权
定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平
的差异。
(4) 塞缪尔森 (Samuelson, 1965)
其中
是期权价格的平均增长率。
1965年，著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)把上述 成果统一在一个模型中。
在1973年Black和Scholes提出Black—Scholes期权
定价模型.
我们可以看到，所有这些公式都与后来的Black-Scholes公式有许多相似的地方。
1969年，他又与其研究生Merton合作，提出了把期 权价格作为标的股票价格的函数的思想。
20世纪60年代末，两人开始合作研究期权的定价问
题,并找到了建立期权定价模型的关键突破点,即构造一
个由标的股票和无风险债券的适当组合(买入适当数量的
标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金)。该
组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化,
其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征。
Black和Scholes得到了描述期权价格变化所满足的
随机偏微分方程，即所谓的B—S方程。
从而得出了期权定价模型的解析解,这就是B—S模型。
Merton也对期权定价理论和实践的发展做出了独立的
和开创性的贡献,他几乎在与Black和Scholes同一时间,得
到了期权定价模型及其他一些重要的成果。
1976年，Merton把B—S期权定价模型推广到股票价格变化可能存在跳跃点的场合,并包含了标的股票连续支付股利
的情况，从而把该模型的实用性又大大推进了一步，学术界将其称为Merton模型。
另外Cox，Ross和Rubinstein等人还提出了二项式期权定
价模型。他们最初的动机是以该模型为基础，从而为推导
B-S模型提供一种比较简单和直观的方法。
但是,随着研究的不断深入，二项式模型不再是仅仅作为
解释B-S模型的一种辅助性工具,它已经成为建立复杂期
权（如美式期权和非标准的变异期权）定价模型的基本
手段。
二、Black-Scholes期权定价公式
（一）基本假设：
1. 股票价格满足的随机微分方程中,,为常数;
2. 股票市场允许卖空;
3. 没有交易费用或税收;
4. 所有证券都是无限可分的;
5. 证券在有效期内没有红利支付;
6. 不存在无风险套利机会;
7. 交易是连续的;
8. 无风险利率为常数.
(二) 股票价格的轨道
在通常情况下，假设股票价格St满足下列随机微分方程：
为概率空间
上的Brownian运动
（1)
(三) 期权套期保值
寻找期权定价公式（函数）的主要思想：
构造以某一种股票以及以该股票为标的的期权的一个证
券组合，所构造的证券组合正好是一个无风险资产的复制。
命题 1 设
函数 关于t一阶连续偏导数,关于x二阶连续有界偏
导数,且满足终值条件：
为期权现价格(t时刻的价格),
则 是下列偏微分方程的解：
为要套期保值此期权,投资者必须卖空
股此股票
（7）
下面求复制期权的证券组合
期权价格的分解：
由此可知证券组合（portfolio）
是自融资证券组合
(四) 方程（7）解的概率表示
命题 2 设
是下列随机微分方程的解：
其中
是定义在
上的P-Brownian运动。
又设
是方程（7）式具有有界偏导数的解，
则Feynman-Kac公式成立：
(五) Black-Scholes 公式
定理 1
股票价格设所满足的方程（1）中的系数均为常数,
则期权价格由下式给出：
证明：
a) 由于
所满足的方程(1)中的系数为常数，
由
所满足的随机微分方程可得到,
的显示表达式：
由条件期望性质可得a)的结果。
对看涨期权（Call option）由于
可令
为执行集（exercise set）：
(1)
(2)
(3)
注⒈ Black-Scholes公式不仅告诉我们Call option的
价格,且以证券组合的形式给出：
债券的套期保值证券组合或者说复制Call option的
证券组合。
股股票，
需购买
注⒉ 设Call option和Put option的价格分别为
和
，则有
第二节 期权价值的敏感性因素分析
影响期权价值的因素一共有五个，
即标的资产市场价格St、执行价格X、无风险利率r、
距离到期日时间T-t和标的资产价格的波动率。
一、 标的资产价格变化对期权价值的一阶影响
通常用Delta来表示期权价值对标的资产价格St变动
的敏感性。
从而 可以近似地表示为：
期权组合而言，其Delta值为：
二、 标的资产价格对期权价值的二阶影响
Gamma指的是期权Delta对于股票价格的一阶偏导数,也就
是期权价值对于股票价格的二阶偏导数。买权Gamma的计
算公式为：
另一方面，由卖权Gamma的计算公式，我们可以知道
卖权的Gamma值等于买权的Gamma值，即：
⑴ Gamma具有非负性。也就是说,无论对于买权还是卖权，
在其他因素不变时,其Delta值都随着股票价格的上升而上
升，随着股票价格的下降而下降。
⑵ Gamma与st的关系。当期权处于平价状态附近（也就
是在附近），其Gamma相对比较大；当期权处于较深的
亏价或盈价状态时,其Gamma接近于零。
⑶ Gamma与时间变量T-t的关系。如果期权处于平价状
态,在其他因素不变的情况下,其Gamma值随着到期日的
临近而变大。
三、 无风险利率对期权价值的影响
买权价格对无风险利率变化的敏感度由Rho值来衡量，
其公式为：
由上面的计算公式，可得到Rho的如下特点：
⑴ Rhoc一般大于零，而Rhop一般小于零。只有在到
（T=t），Rhoc和RhoP才会等于零。
⑵ 相对于影响期权价值的其他因素而言，r的影响要
小得多。
⑶ 因为Rho的绝对值与T-t成正比，因此对于距到期日时间较长的期权，r对于其价值的影响不容忽视。
四、 标的资产价格波动率对期权价值的影响
方差或标准差是布莱克-斯科尔斯模型中的重要变量,也称
波动率，是股票连续计息收益率的标准差，它也是公式中
唯一不可直接观测的变量买权价格对很小的波动率变化的
反映被称为Vega，即：
由买权价值与卖权价值可知卖权Vega与买权Vega完全相同
当期权处于平价状态时，其Vega值较大；
当期权处于较深的盈价或亏价状态时，
相应的Vega值较小。
因此，期权Vega随变化的曲线是一个倒U形。
五、到期时间长短对期权价值的影响
由于到期时间的临近,期权的时间价值下降,这就造成
期权的价格下降。
时间价值的消耗用Theta表示，买权Theta的定义为
始终是一个小于零的数
则有可能大于零，
第三节 期权套期保值的基本原理
一、有关期权套期保值的一个例子
综上所述,甲所采取的上述套期策略具有以下两个特点：
第一是自融资性(self—financing)，即套期所需的资
金只需期初一次性投人,此后，在套期的整个过程中不需
要增加新的外部融资。或者说，套期策略只需要期初投入，
不需要维持成本。
第二是精确复制性(replicating),即套期策略能够精
确地复制受险资产的收益和风险特征，从而将面对的风险
完全抵消。
套期策略所具有的这两个特点具有十分重要的意义。
首先，自融资性说明套期策略的成本可以在事先确定，
即为期初所需的投入。
其次，精确复制性说明套期策略组合应当与受险资产
具有相同的价值，这是由无套利定价原则所决定的。
最后，既然风险已经完全抵消，甲所要求的报酬率就
应该是无风险报酬率。
二、 期权套期保值的基本原理
考虑一个由m种期权
组成的投资组合，vi,i=1,2,…m表示第i种资产的价格,
该投资组合的价值V可以表示为：
其中，
是组合中第j种期权的权重。
期权套期保值的基本思想是构造一个头寸,使其风险
暴露与原组合的风险暴露相反,从而部分或者全部对冲掉
风险。如果所构造的头寸,其风险性质与原组合的风险性
质呈完全相反的状态，则原组合的风险可以被全部消除。
这称为完全对冲。
在构造对冲时，就是通过选择合适的nj,使得当风险因素
变动时，组合价值V能够保持不变。对于一阶风险，就是
选择nj，使得：
这样，当x发生微小变化x时，组合的价值变化为：
这里，风险因素可以是标的股票价格的变化、无风险利
率的变化、时间的变化或者是波动率的变化。
第四节 连续调整的期权套期策略
一、 Delta套期（Delta中性组合）
通过适当地调整不同期权及其标的资产的比例，
我们可以将风险暴露程度降低到所愿意的任何程度，
甚至可以将该资产组合对于标的资产价格变动的风险
降低到零。这样的一个资产组合,我们称之为“Delta
中性组合”。
我们可以用公式来表示上述这一概念。
假设构造这样一个投资组合：做空一个买权，其价格为
Ct，Delta值为N(d1)；同时买入数量为N(d1)的标的资产，
其价格为St。不难证明，该组合为一个Delta中性买权组
合。事实上，这个组合当前的价值为：
显然，V关于St的偏导数为0，即该组合是一个Delta中性
组合，组合的价值不受St变化的影响。
更一般地，对于任意一个资产组合而言，总能通过适当地
选择n1,n2，使得整个组合的Deltay等于0，也就是：
很容易就可以解得：
二、 Delta-Gamma套期策略
Delta-Gamma套期策略是Delta套期策略的推广,
它指的是构造一个Delta和Gamma值都为0的组合,
即通过构造一个Delta-Gamma中性的组合，从根
本上回避价格风险。
构成了以下组合
关于St求一、二阶偏导数
令组合的
同时等于零，可得到：
投资者只要根据计算出来的n2和n3的值买卖相应的资产
就可以完全回避手中资产的价格风险。
三、Delta-Gamma-Vega套期策略
如果投资者不愿意承担波动率的变化对套期结果的
影响,可以在Delta-Gamma中性组合的基础上,构造一
个Delta-Gamma-Vega中性组合,我们需要引进第三种
期权的交易，记该期权的价格为4，交易数量为n4
新的组合为
对上式两端分别关于St求一、二阶偏导，
并且关于求一阶偏导
实现完全的连续性套期会受到一些限制,这是因为：
第一，市场不具备充分的多样性。
第二，交易费用的存在。
第五节 组合套期策略
一、 90／10策略
90／10策略又称为保证报酬基金(guaranteed return
funds)，它有狭义和广义之分。
广义的90／10策略则不限于上述对投资比例的机械划
分，而是允许根据情况适当进行调整。
狭义的90／10策略是指机构投资者将暂时闲置资金的
90％用来购买无风险的货币市场工具,剩余的10%用来购买期权。
为保证90／10策略的两个基本目标(保证资本安全和得到足够的杠杆)得以实现，以下两个条件是必要的，即：
第一，货币市场利率越高越好；
第二，买权的价格越低越好。这样，既可以减少
套期成本，又可以增加杠杆程度。
二、 无成本期权套期
所谓无成本期权是指两个期权的特殊组合，其中一个
期权为做多，需要支付相应的权利金，另一个期权则
为做空，并因此得到相应的权利金。如果两个期权的
权利金大致相同，则该组合的净成本就近似等于零
无成本套期策略一方面避免了出现巨大损失的风险，另一方面也失去了获得巨大收益的可能性，因此这是一种比较保守的选择。根据这一性质，该套期策
略比较适合投资者预期市场会出现暴跌或缓升，且
缓升的可能性更大的场合。
