数理经济学精要——经济理论中的最优化数学分析厦门大学经济系邵宜航
§ 序论. 关于数理经济学. 经济学问题的数学表示§ 序论2
. 关于数理经济学数理经济学狭义上，是特指瓦尔拉斯开创的一般均衡理论体系。广义上，是指运用数学概念和方法进行经济分析，解释经济学现象的理论。§ 序论3
数学分析的意义马克思：一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。拿破仑：数学的进步和完美与国家的繁荣和富强是紧密相连的。伽利略：数学是上帝用来书写宇宙的语言§ 序论4
若干相关概念理论经济学数理经济学计量经济学经济数学数量经济学§ 序论5
现代经济学和最优化数学经济学(定义之一)，考察有限资源的有效（最优）配置的学问。最优化数学：讨论在变量的约束条件下，使目标函数值最优化的问题。§ 序论6
. 经济学问题的数学表示（一）数学的最优化问题（二）经济学问题的数学表述§ 序论7
（一）数学的最优化问题若约束条件可表示为等式或不等式约束时，则最优化问题可表示为:min(max): Fx()(P) 目标函数x约束条件.(subject to): G(x)≤0 H(x)=0F:X→R; G:X→Y; H:X→Z§ 序论8
（一）数学的最优化问题当变量的取值空间X和约束条件中的Y、Z均为有限维空间时，上述最优化问题（P）一般被称为非线性规划问题（Nonlinear Programming）。§ 序论9
nR空间的非线性规划问题（NLP）min:fx,x,"x(NLP)()12ng(x,x,"x)0⎡⎤⎡⎤112n⎢⎥⎢⎥g(x,x,"x)0212n⎢⎥.:gx,x,"x=≤=0()12n⎢⎥##⎢⎥⎢⎥g(x,x,"x)0⎣m12n⎦⎣⎦h(x,x,"x)0⎡⎤⎡⎤112n⎢⎥⎢⎥h(x,x,"x)0212n⎢⎥hx,x,"x===0()12n⎢⎥##⎢⎥⎢⎥h(x,x,"x)0⎣l12n⎦⎣⎦§ 序论10
变分法问题（CVP）当X为函数空间时，最优化问题（P）也可称为函数空间的非线性规划问题。对于函数空间的最优化问题，实际上，在微积分诞生后不久就产生了变分法理论（Calculus of Variation）。以下是最简单的变分法问题，它寻求符合端点条件的使目标积分值最小的函数。 t1(CVP)：mi n:f(t,x(t),x(t))dt∫（x） t⋅.:x(t)=x, x(t)=x0011§ 序论11
最优控制问题（OCP）50年代，从古典的变分法进一步发展出最优控制理论（Optimal Control Theory）。以下为基本的最优控制问题：(OCP) t1min:f(t,x(t),u(t))dt∫ .:=Φt,xt,ut()()(dtx(t)=x00u(t)∈U§ 序论12
离散型的动态最优化问题对应以上的连续型最优化问题，离散型的动态最优化问题可表示如下：T−1min:f(t,x,u)+ϕ(T,x(T))∑ttt=.:x=g(t,x,u), t=0,1,",T−1+1tx=x00u∈U, t=0,1,",T−1t§ 序论13
动态规划方法探讨离散型的动态最优化问题除了可以利用非线性规划原理外，主要还有也是从古典的变分法发展而来的动态规划（Dynamic Programming）方法。动态规划方法如变分法与最优控制理论一样也可以用来探讨连续型的最优化问题,但对离散的和随机的最优化问题更有效。§ 序论14
（二）经济学问题的数学表述如前所述，经济学可以理解为研究有限资源的有效配置的学问。资源的有限性就是约束条件，有效配置就是我们的最优目标。因此许多经济学的基本问题可以表示为约束条件下的目标最优化问题，借助最优化数学语言可以更准确、精炼地描述和展开分析。以下观察几个微观和宏观经济学中的基本范例。§ 序论15
例. 消费选择问题（Marshall型需求函数）考虑消费者的最优消费选择问题。用上述最优化模型可表示如下：max:U(x,",x).:p⋅x=px+"+px≤y11nnx: 第i个商品的消费量，p: 相对应的商品价格，ii U: 消费效用函数，y :收入。最优解x(p,y), i=1,…,n 即表示消费者在给定收入水平i 和价格体系下对各商品的需求量，一般称为Marshall型需求函数。§ 序论16
消费选择问题（Hicks型需求函数）从另一方面看，消费选择问题也可表示为：min:p⋅x=px+"+.:U(x,",x)≥v1nv: 给定的效用水平。最优解x(p,v), i=1,…,n 表示消费者在给定效用水平i和价格体系下对各商品的需求量，它被称为Hicks型需求函数。§ 序论17
例. 厂商问题（成本最小化问题）在固定产量下，考虑厂商最优的投入选择。厂商的成本最小化问题可模型化为：min:w⋅x=wx+wx+"+wx .: fx=fx, x,",x ≥y()()12nx: 第i个生产要素的投入量，w:相对应的要素价格，iif : 生产函数，y : 给定的产量。解函数x(w,y) 为第i个生产要素的条件投入需求函数。i 此时以下的最优目标值函数为成本函数：c(w,y)=min{w⋅xf(x)≥y}x§ 序论18
厂商问题（利润最大化问题）同时考虑产出和投入时，厂商的问题可表示为以下的利润最大化问题：max:py−w⋅x(x,y)≥0.:f(x)≥y最优解函数x=x(p,w) 称为投入需求函数, y=y(p,w) 称为供给函数。以下的最优目标值函数称为利润函数：π(p,w)=max{py−w⋅x f(x)≥y} (x,y)≥0§ 序论19
例. 最优经济增长问题（连续型）最优经济增长模型设想一代表性家庭如何选择最优的消费路径以最大化其从现在到将来的效用现值总和。该问题可表述如下： ∞−θtmax:U(c(t))edt∫ 0(c,k) .:k(t)=fk(t)−c(t)()k(0)=k0该最优化问题的最优解c(t)和k(t)即为最优的消费和资本的增长路径。§ 序论20
例.有限期离散型Ramsey最优增长问题用离散型的模型表示上述问题则如下：Ttmax: βU(c)∑tc,"c0Tt=.:k−k=f(k)−c, t=0,",Tt+1tttk=k00k=kT+1T+1§ 序论21
