第七章
时间序列分析
本章基本内容
时间序列及其分解
时间序列的描述性分析
长期趋势分析
季节变动分析
循环波动和随机波动分析
第一节 时间序列及其分解
一、时间序列及其分类
二、时间序列的构成要素与分析模型
一、时间序列及其分类
时间序列(Times series)又称动态数列，是将某一现象在不同时间上的取值按时间先后顺序排列所形成的序列，形式上由现象所属时间和与时间对应的观察值两部分组成。时间序列是对现象进行动态分析的依据。
时间序列作用：
1.可以描述现象发展变化的特点与结果；
2.可用来研究现象变动的趋势和规律性，从而对未来发展进行预测；
3.可以用来研究现象之间相互联系程度及变动关系。
我国国内生产总值等时间序列
129988
2004
129227
2003
128453
2002
127627
2001
126743
2000
3142
125786
1999
3094
124761
1998
2944
123626
1997
2726
122389
1996
2311
121121
1995
1781
119850
1994
1331
118517
1993
1070
117171
1992
896
115823
1991
803
114333
1990
居民消费水平（元）
人口自然增长率（％）
年末总人口
（万人）
国内生产总值
（亿元）
年份
时间序列的分类
时期序列
绝对数时间序列
时点序列
相对数时间序列
平均数时间序列
时间序列
㈠按构成时间序列的现象观察值的数学表现形式不同，时间序列可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列。
时间序列的分类
绝对数时间序列中的观察值是绝对数，根据其时间状况不同，可分为时期序列和时点序列。
时期序列中的观察值反映现象在一段时期内的活动总量，并且各观察值通常可以直接相加，用于反映现象在更长一段时期内的活动总量。
时点序列中的观察值反映现象在某一瞬间时点上的总量，序列中的各观察值通常不能相加，相加没有实际意义。
由绝对数时间序列可以派生出相对数时间序列和平均数时间序列，它们分别由一系列相对数和平均数按时间顺序排列而成。
时间序列的分类
㈡按构成时间序列的现象观察值的变动情况不同，时间序列可分为平稳序列和非平稳序列。
时间序列的分类
平稳序列(stationary series)
各观察值基本上在某个固定的水平上波动
或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的
非平稳序列 (non-stationary series)
有长期变动趋势的序列
趋势可以是线性的或非线性的
有长期变动趋势、季节性变动和周期性变动的复合型序列
（参见教材图）
编制时间序列的原则
1、计算期应当尽量一致；
2、总体范围应当保持一致；
3、指标的经济内容应当一致；
4、计算方法应当一致；
5、价格和计量单位应当一致。
二、时间序列的构成要素与分析模型
㈠时间序列的构成要素
事物的发展变化同时受多种因素的影响。作为表现事物发展数量特征的时间序列，其各个观察值（Yi）是多种因素共同作用结果的综合体现。影响时间序列的因素大体上可以分为四种，即长期趋势（Secular trend）、季节变动（Seasonal fluctuation）、循环波动（Cyclical movement）和不规则波动（Irregular variations）。
时间序列的构成要素
长期趋势(trend-T)
时间序列观察值在较长时期内呈现出某种持续发展变化的状态、趋向或规律
季节性变动(seasonality-S)
- 也称季节变动(Seasonal fluctuation)
- 时间序列观察值在一年内重复出现的周期性波动
周期性变动(cyclity-C)
也称循环波动(Cyclical fluctuation)
围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动
随机性变动(random-I)
也称不规则波动(Irregular variations)
除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动
㈡时间序列的分解模型
将影响因素与时间序列的关系用数学关系式表示就构成时间序列的分解模型。
分别测定各影响因素的变动规律及其对时间序列的影响程度的过程称为时间序列的构成分析，可作为预测未来的依据。
按四种因素对时间序列的影响方式不同，时间序列可分解为多种模型。
乘法模型 Yi=Ti×Si×Ci×Ii
加法模型 Yi=Ti+Si+Ci+Ii
最常用的是乘法模型。其基本假设是各构成因素互不独立，对事物的影响是相互的，除对时间序列的发展水平产生影响外，因素之间也相互影响。利用乘法模型可以将各因素从时间序列中分离出来进行分析。
第二节 时间序列的描述性分析
图形描述
时间序列的水平分析
时间序列的速度分析
一、图形描述
图形描述(例题分析)
二、时间序列的水平分析
㈠发展水平
㈡平均发展水平
㈢增长量
㈣平均增长量
㈠发展水平
现象在某时间的观察值也称为现象在该时间的发展水平，表示现象在某一时间达到的水平。
设时间序列 Y由 Y0 ， Y1 ，Y2 ，…，Yn 组成，Yi为第 i 期的发展水平（观察值）。
设ti为时间序列中现象所属时间。若观察的时间范围为t0 ， t1 ， t2，…， tn ，相应的观察值表示为
Y0 ， Y1 ，Y2 ，…， Yn－1 ，Yn
最初水平 中间水平 最终水平
㈡平均发展水平(序时平均数)
平均发展水平是时间序列所反映的现象在不同时间ti（i＝1，…，n）上取值的平均数，又称为序时平均数。可以描述现象在一段时期内发展所达到的一般水平。
对于观察值表现形式不同的时间序列，序时平均数有不同的计算方法。
1.绝对数时间序列的序时平均数
绝对数时间序列序时平均数的计算方法是计算相对数或平均数时间序列序时平均数的基础。
2.相对数时间序列的序时平均数
3.平均数时间序列的序时平均数
1.绝对数时间序列的序时平均数
⑴时期序列的序时平均数
其计算公式为：
式中 为序时平均数，Yi为第i时期的观察值，n为观察值个数。
[例] 根据前述1990~2004年国内生产总值时间序列，计算年平均国内生产总值
⑵时点序列的序时平均数
时点序列相邻两个观察值的所属时点间都有一定间隔。对于间隔不同的时点序列序时平均数通常采用不同的计算方法。
①对于以“天”为统计间隔的时点序列，序时平均数计算公式为： ＝∑Y／n 。
［例］某企业某月上旬每日职工人数如下：
日期ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人数Yi 250 250 250 250 258 258 258 262 262 262
平均每日职工人数=(250+250+…+262)/10=256(人)
时点序列的序时平均数
②对于统计时点间隔在一天以上（间隔为月、季、年）的时点序列，计算序时平均数是假定现象在相邻两时点间的变动是均匀的，先将相邻两时点数字相加除以2，求出两个相邻观察值的序时平均数，然后用算术平均法求出整个观察期间的序时平均数。若现象变动并非均匀，则计算结果只是近似值。
其基本计算公式为：
式中Ti为观察值Yi与Yi+1之间的间隔期长度
时点序列的序时平均数
[例]设某种股票某年各统计时点的收盘价如下表，计算此股票该年的平均价格。
时点序列的序时平均数
若时间序列中各观察时点的间隔相等,即T1=T2 =…= Tn-1，前式可演化为：
［例］根据前表年末总人口数序列，计算1991－2004年间的年平均人口数。
2.相对数时间序列的序时平均数
相对数可分为静态相对数和动态相对数，对于由静态相对数组成的时间序列，通常是由两个有联系的绝对数时间序列的相应项对比形成的，即观察值 。
计算相对数时间序列序时平均数时，应先分别求出构成相对数时间序列的两个绝对数时间序列的序时平均数，然后将两个序时平均数对比，其基本公式为：
为分子序列的序时平均数
为分母序列的序时平均数
相对数时间序列的序时平均数
［例］根据下表资料计算1998－2003年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重。
相对数时间序列的序时平均数
［例］根据下表资料计算某商业企业某年第二季度业务人员占全部职工平均比重
业务人员占全部职工比重(%) Y
100
90
85
84
全部职工人数(人) b
88
78
73
70
业务人员数(人) a
6月末
5月末
4月末
3月末
3.平均数时间序列的序时平均数
平均数可分为静态平均数和序时平均数。
由静态平均数组成的平均数时间序列，实质是两个绝对数时间序列的相应项对比而成，因此计算序时平均数的方法与前述静态相对数时间序列序时平均数计算方法相同。
由序时平均数组成的平均数时间序列计算序时平均数，时期相等时可采用简单算术平均法（如根据各月职工平均人数计算季度或年度平均人数可用简单平均法）；时期不等时可用时期作权数，采用加权平均法计算。
㈢增长量（增减量）
增长量是报告期水平与基期水平之差，表示现象在一定观察期内增长的绝对数量。若为正数，表示增长量；若为负数，则表示减少量。
所研究的时期称为报告期或计算期，对比的基础时期称为基期。
增长量（增减量）
按对比的基期不同，增长量分为逐期增长量和累积增长量。
逐期增长量是报告期水平与前一时期水平之差，表示现象本期比前一时期增长的绝对数量。
设增长量为△，则：
逐期增长量：△i= Yi － Yi-1（i＝1，2，…，n）
累积增长量是报告期水平与某一固定时期水平之差，表示现象报告期比某一固定时期增长的绝对数量。
累积增长量： △i= Yi － Y0（i＝1，2，…，n）
累积增长量是相应各期逐期增长量之和。即
㈣平均增长量
平均增长量是观察期各逐期增长量的平均数，表示现象在观察期内平均每期增长的数量。
可以根据逐期增长量或累积增长量求得。计算公式为：
三、时间序列的速度分析
㈠发展速度
㈡增长速度
㈢平均发展速度与平均增长速度
㈠发展速度
发展速度是报告期发展水平与基期发展水平之比，表示现象在观察期内相对发展变化程度。
按对比的基期不同，发展速度分为环比发展速度和定基发展速度。
环比发展速度是报告期水平与前一时期水平之比，表示报告期水平相对于前一期水平的发展变化程度，也可以说明现象逐期发展变化的程度。
定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平之比，表示报告期水平相对于某一固定时期水平的发展变化程度，说明现象在整个观察期内总的发展变化程度。
发展速度
设发展速度为R，则：
环比发展速度与定基发展速度之间的关系：
⑴观察期内各个环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度。
⑵两个相邻的定基发展速度用后者除以前者等于相应的环比发展速度。
即
㈡增长速度（增长率） (growth rate)
增长速度也称增长率，是增长量与基期水平之比，表示现象相对于基期增长或下降的程度。
可以根据增长量或发展速度求得。基本公式为：
若为为正值，表示增长的程度；若为负值，表示减少或下降的程度。
增长速度可分为环比增长速度和定基增长速度。
环比增长速度是逐期增长量与前一时期水平之比，表示现象本期比前一时期或现象逐期增长的程度。
定基增长速度是累积增长量与某一固定时期水平之比，表示现象报告期比某一固定时期或现象在观察期内总的增长程度。
增长速度（增长率）
设增长速度为G，则：
需要指出，环比增长速度与定基增长速度之间没有直接的换算关系。在由环比增长速度推算定基增长速度时，可先将各环比增长速度加1还原为环比发展速度后连乘得定基发展速度，再将结果减1 ，即得定基增长速度。
㈢平均发展速度与平均增长速度
平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，表示现象在整个观察期内各期平均发展变化的程度。
平均增长速度（平均增长率）(average rate of increase)是各期环比增长速度的平均数，表示现象在整个观察期内各期平均增长变化的程度。用平均发展速度减1来求得。
平均增长速度=平均发展速度-1
平均发展速度的水平法（几何平均法）
计算公式为：
R为平均发展速度；Ri为环比发展速度；n为环比发展速度的个数；Π为连乘符号。
还可以用发展水平按下式计算：
水平法计算的平均发展速度只与最末水平和最初水平有关。当数列两端水平有特殊变化时，应用水平法要特别慎重。
平均发展速度的水平法
水平法基本原理：从最初水平Y0出发，每期按平均发展速度R发展，经过n期后将达到最末期水平Yn，即
因此用水平法平均发展速度推算的最后一期数值与最后一期实际观察值相等。
如果关心的是现象在最后一期达到的水平，采用水平法计算平均发展速度比较合适。
平均发展速度的水平法（例）
［例］：某企业5年工业增加值发展情况如下：
2001-2005年间工业增加值年平均发展速度为
定基发展速度(%)
－
环比发展速度(%)
80
78
74
65
58
50
工业增加值(百万元)
2005
2004
2003
2002
2001
2000
平均发展速度的水平法（例）
设平均增长速度为 ，则有：
上例2001-2005年工业增加值年平均增长速度为
－1＝%
利用公式 可推测未来发展水平。如上例，若按此平均速度发展，则预测2010年工业增加值为
Y2010 =80×()5=80×=128(百万元)
平均发展速度的累计法
累计法又称方程法，通过求解方程
解出的R正根为平均发展速度。此方法一般只能根据《平均增长速度查对表》查表求解。
对于时期数列，如果关心现象在研究时期内发展水平的累计总和，可应用此法计算平均发展速度。
㈣速度分析中应注意的问题
1.当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度。
例如，假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算增长率，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析。
2.在有些情况下不能单纯看速度，要注意将速度与绝对水平相结合进行分析。
【例】 设有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表。仅看增长率乙企业高于甲企业。但基期水平差别很大，不能仅从增长率上作评价。
增长率(%)
增长率(%)
利润额(万元)
利润额(万元)
40
84
20
600
2005
—
60
乙 企 业
—
500
2004
甲 企 业
年 份
甲、乙两个企业的有关资料
此时应比较每增长1％的绝对值，即速度每增长一个百分点而增加的绝对数量，其计算公式为：
增长1％的绝对值＝前期水平／100
甲企业增长1%绝对值=500/100=5万元
乙企业增长1%绝对值=60/100=万元
说明甲企业经营业绩绝对量上比乙企业更好。
第三节 长期趋势分析
长期趋势(trend)是时间序列观察值在较长时期内呈现出某种持续发展变化的状态、趋向或规律。
通过对时间序列长期趋势的测定和分析，可以认识现象变动的规律性，以便对现象未来发展趋势作出预计；也便于从原数列中剔除长期趋势因素更好地观察分析其它影响因素。
时间序列长期趋势的测定方法有多种，主要是通过对时间序列进行平滑或修匀以消除其随机波动，可用于描述序列的长期趋势，有些方法可以用于对序列进行外推预测。
长期趋势分析方法
简单平均法
移动平均法
指数平滑法
趋势方程法（趋势线配合法）
一、简单平均法 (simple average)
此方法是根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值
设时间序列已有的各期观察值为 Y1、Y2、…、Yt，则t+1期的预测值Ft+1为
有了t+1的实际值，便可计算出的预测误差为
t+2期的预测值为
简单平均法的特点
适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当时间序列没有明显变动趋势时用该方法比较好
如果时间序列有明显变动趋势或有季节变动影响时该方法预测不够准确
此方法将远期数值和近期数值在预测未来中的作用同等看待，但从预测角度看近期的数值要比远期的数值对为来有更大的作用。因此简单平均法预测的结果不够准确
二、移动平均法
（Moving average method）
此方法是对简单平均法的一种改进。
是通过对时间序列逐期递移求得一系列移动序时平均数作为趋势值或预测值。
有简单移动平均法和加权移动平均法两种
㈠简单移动平均法(simple moving average)
方法一
将最近k期的数据加以平均作为下一期的预测值
设移动间隔为 k(1<k<t)，则t期的移动平均值为
t+1期的简单移动平均预测值为
预测误差用均方误差(MSE) 来衡量
简单移动平均法的特点
将每个观察值都给予相同的权数
只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k
主要适合对较为平稳的时间序列进行预测
应用的关键是确定合理的移动间隔长度，使移动的结果真实表现时间序列的变动趋势
对于同一个时间序列，采用不同的移动间隔长度预测的准确性是不同的
选择移动间隔长度时，可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长
如果现象的发展具有周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度，如对月份资料应采用12项移动平均，对季度资料应采用4项移动平均，可以消除变动周期的影响。
简单移动平均法(例题分析)
【例】对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的平滑值(预测值) ，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较
用Excel进行移动平均预测
简单移动平均法举例
表中移动平均值是对原序列的修匀，可作为下一年的预测值
简单移动平均法(例题分析)
简单移动平均法
方法二
1.将连续K期数据简单平均作为该K期中间一期趋势值
2.设移动间隔为K(1<K<t)，移动平均数序列可以写为：
式中， 为移动平均趋势值。
简单移动平均法
3.方法二是通过移动平均来平滑时间序列，但由于平均数易受异常数据的影响，为避免这种情况，可以用中位数来代替平均数，这就是移动中位数法。
[例]：已知1981－1998年我国汽车产量数据。分别计算3年和5年移动平均趋势值，以及3项和5项移动中位数，并作图与原序列比较。
汽车实际产量与K＝3的移动平均值、移动中位数的比较
简单移动平均法
4.方法二应注意的问题：
移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置。如3项移动平均的趋势值应放在第2项对应的位置上，5项移动平均的趋势值应放在第3项对应的位置上，其余类推。若移动间隔长度K为奇数时，一次移动即得趋势值；若K为偶数时，需将第一次得到的移动平均值再作一次2项移动平均，才能得到最后的趋势值。
此方法不适合于预测。
㈡加权移动平均法(weighted moving average)
对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测
当时间序列的波动较大时，最近期的观察值应赋予最大的权数，较远的时期的观察值赋予的权数依次递减
当时间序列的波动不是很大时，对各期的观察值应赋予近似相等的权数
所选择的各期的权数之和必须等于1。
对移动间隔长度和权数的选择也应以预测精度来评定，即用均方误差来测度预测精度，选择一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合
三、指数平滑法(exponential smoothing)
此方法是加权平均的一种特殊形式
是对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法
观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑
有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等
一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势
一次指数平滑
(single exponential smoothing)
只有一个平滑系数
观察值离预测时期越久远，权数变得越小
以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为t+1的预测值，其预测模型为
Yt为t期的实际观察值
Ft 为t期的预测值
为平滑系数 (0 <<1)
一次指数平滑
在开始计算时，没有第1个时期的预测值F1，通常可以设F1等于1期的实际观察值，即F1=Y1
第2期的预测值为
第3期的预测值为
第4期的预测值为
一次指数平滑(预测误差)
预测精度，用误差均方来衡量
Ft+1是t期的预测值Ft加上用调整的t期的预测误差(Yt-Ft)
一次指数平滑(的确定)
不同的会对预测结果产生不同的影响
一般而言，当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的，以便能很快跟上近期的变化
当时间序列比较平稳时，宜选较小的
选择时，还应考虑预测误差
用误差均方来衡量预测误差的大小
确定时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值
一次指数平滑 (例题分析)
用Excel进行指数平滑预测
第1步：选择“工具”下拉菜单
第2步：选择“数据分析”选项，并选择“指数平滑”，然后确定
第3步：当对话框出现时
在“输入区域”中输入数据区域
在“阻尼系数”（注意：阻尼系数=1- ）输入1- 的值
选择“确定”
【例】对居民消费价格指数数据，选择适当的平滑系数 ，采用Excel进行指数平滑预测，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较
一次指数平滑 (例题分析)
一次指数平滑 (例题分析)
四、趋势方程法（趋势线配合法）
此方法是根据时间序列的数据特征建立合适的趋势方程来描述现象的变动趋势并进行预测。
选取合适的趋势线模型的方法主要有两种：
1.散点图法：以时间t为横轴，以时间序列观察值Y为纵轴，绘出散点图，根据散点的分布形态来选择趋势方程。
2.数据特征法：计算出时间序列某些动态分析特征值，如增长量、增长率等，根据这些特征值选择合适的模型。
用一定方法估计方程中的参数，如常用的最小二乘法，最后依据方程计算趋势值及预测值。
常用的趋势方程
㈠直线趋势方程(线性趋势方程) (linear trend)
㈡二次曲线趋势方程(second degree curve)
㈢指数曲线趋势方程(exponential curve)
㈣修正指数曲线方程
(modified exponential curve)
㈤ Gompertz曲线方程(Gompertz curve)
㈥罗吉斯蒂曲线方程(Logistic curve)
下面仅介绍前三种
㈠直线趋势方程(线性趋势方程) (linear trend)
直线趋势方程一般表达式为：
为时间序列Y的趋势值
t为时间标号(可设t=1,2,···,n)
a和b为待估参数
a为趋势线在Y轴上的截距，是当t＝0时 的值
b为趋势线的斜率，表示时间t每变动一个单位时，趋势值 的平均增减数量。
如果时间数列中现象的逐期增减量大致相同，就可以配合直线趋势方程。
直线趋势方程(线性趋势方程)
直线趋势方程中的两个未知常数a和b通常按最小二乘法（最小平方法）求得。
最小二乘法是根据回归分析中的最小二乘法原理，对时间序列配合一条趋势线，使之满足条件：各实际观察值(Yi)与趋势值( )的离差平方和为最小，即
通过数学分析中求函数极值的方法，可推导出求解a、b的两个标准方程式。
线性趋势方程 (a 和 b 的求解方程)
根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为
解得：
预测误差可用估计标准误差来衡量
m为趋势方程中未知常数的个数
线性趋势方程(例题分析)
[例] 根据前述［例］我国汽车产量数据用最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981－1998年各年汽车产量的趋势值，推算2001年和2005年的汽车产量，并作图与原序列比较。
线性趋势方程(例题分析)
将t＝21和t＝25代入方程，得2001年和2005年汽车产量的预测值
线性趋势方程(例题分析)
【例】根据前述1986-2000年人口自然增长率数据，用最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的人口自然增长率，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较
线性趋势方程：
预测的估计标准误差：
2001年人口自然增长率的预测值：
‰
线性趋势方程(例题分析)
线性趋势方程(例题分析)
线性趋势方程(求解a和b简捷法)
为简便起见，上述方程中的变量t 可取时间序列的中间时期为原点。此时有 ，前式可化简为：
解得
简捷法时间标号t的取值方法：
时间序列项数n为奇数时，设中间一项t=0，其以前各项依次为t=-1，-2，···，-n/2，其以后各项依次为t=1，2，···，n/2，则有∑t=0；
时间序列项数n为偶数时，中点位于中间两项之间，可以半期为一个时间单位，设中间两项t值分别为-1和1，中点以前各项依次为t=-1，-3，-5，···，中点以后各项依次为t=1，3，5，···，可得∑t=0。
［例］某地社会商品零售额资料如下表，用最小二乘法确定社会商品零售额的直线趋势方程，并预测2009年的商品零售额。
16
9
4
1
0
1
4
9
16
60
－88
－72
－54
－30
0
38
84
141
212
231
22
24
27
30
34
38
42
47
53
317
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
0
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
合计
t2
tYt
零售额(亿元)
Yt
年份标号
t
年份
线性趋势方程(求解a和b简捷法)
根据公式得
社会商品零售额的直线趋势方程为
＝+
将各年份t值代入方程可得各年的趋势值
将t＝7代入方程，得2009年零售额预测值
㈡二次曲线趋势方程(second degree curve)
现象的发展趋势为抛物线形态
方程式为：
如果时间数列中现象的逐期增减量按大体相同的增减量增减，就可以配合二次曲线趋势方程。
方程中的三个未知常数a，b，c，也可根据最小二乘法求得。
二次曲线趋势方程(a、b、c 的求解方程)
根据最小二乘法原理，可推导出未知常数a，b，c的标准求解方程如下：
当取时间序列的中间时期为原点时，有∑t=0，方程可简化为：
二次曲线(例题分析)
【例】根据前述能源生产总量数据 ，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的能源生产总量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较
二次曲线方程：
预测的估计标准误差：
2001年能源生产总量的预测值：
二次曲线(例题分析)
二次曲线(例题分析)
㈢指数曲线趋势方程(exponential curve)
用于描述以几何级数递增或递减的现象
方程式为：
a、b为未知常数，b表示时间t每变动一个单位时，趋势值 的平均变动率（平均发展速度）
若b>1，变动率随着时间t的增加而增加
若b<1，变动率随着时间t的增加而降低
若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限
如果时间数列中的现象每期按大体相同的增减速度增减变化，即各期的环比增长速度大致相同，则可以配合指数曲线趋势方程。
指数曲线趋势方程(a、b的求解方程)
求解方程中待估参数a、b同样可用最小二乘法。先将指数曲线模型转化为对数直线模型，即方程两边取对数，得
然后根据最小二乘法原理，按直线方程待估参数的确定方法，得到求解loga和logb的标准方程，求解得：
指数曲线趋势方程(求解a和b简捷法)
当取时间序列的中间时期为原点时，有∑t＝0，上式可简化为：
求出loga和logb后，取其反对数，即得a和b得值。
指数曲线(例题分析)
【例】根据前述人均GDP数据，确定指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的人均GDP，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较
指数曲线趋势方程：
预测的估计标准误差：
2001年人均GDP的预测值：
指数曲线(例题分析)
指数曲线(例题分析)
指数曲线与直线的比较
指数曲线比一般的趋势直线有着更广泛的应用
指数曲线可以反应现象的相对发展变化程度
上例中，b= 表示1986～2000年人均GDP的年平均变动率为％，年平均增长率为%
不同序列的指数曲线可以进行比较
比较分析相对增长程度
第四节 季节变动分析
时间序列观察值在一年内重复出现的周期性波动称为季节变动。
测定季节变动可以确定现象的季节变化规律，以便对其未来发展作出预计；也便于从原时间序列中剔除季节因素从而更好地分析其他构成因素的影响。
分析季节变动一般是配合季节模型，以显示时间序列在一年中呈现出的典型状态，这种状态年复一年以基本相同的形态出现。
下面仅介绍季节指数分析法。
季节变动分析方法
一、按月（季）平均法
二、趋势剔除法
三、分离季节因素的分析
一、按月（季）平均法
季节指数分析法是对时间序列计算12个月度季节指数或4个季度季节指数，并根据各季节指数与其平均数的偏差程度来确定时间序列的季节影响程度。
按月（季）平均法计算季节指数的步骤：对含有若干个季节变动周期的时间序列数据计算历年同月（季）平均数（以消除随机波动的影响）；计算全部数据总月（季）平均数（其不包含季节变动影响）；将各同月（季）平均数与总月（季）平均数对比求出各月（季）季节指数（S）。其公式为：
如果某月或季的季节指数大于或小于总平均数，说明现象在该月或季有季节变动影响；如果其等于总平均数，说明现象在该月或季没有明显季节变动影响。
按月（季）平均法举例
［例］根据我国1978～1983年各季度农业生产资料销售额数据，用按季平均法计算各季的季节指数。
二、趋势剔除法
采用按月（季）平均法计算的季节指数没有剔除时间序列中长期趋势的影响，因此适用于时间序列中长期趋势影响不大的情况，若时间序列存在明显的长期趋势则该方法计算的季节指数不够准确。
趋势剔除法是先将时间序列中长期趋势予以剔除再计算季节指数。其中长期趋势值可采用移动平均法求得，也可采用最小二乘法求得。利用前者分析季节变动又称为移动平均趋势剔除法。
采用移动平均趋势剔除法分析季节变动时，假定时间序列一年以上周期性波动不明显，各构成要素（长期趋势T季节变动S不规则波动I）分解模型为Y＝T×S×I，假定各年度不规则波动I彼此独立。
移动平均趋势剔除法计算季节指数的步骤：
1.计算移动平均趋势值T(季度数据采用4项移动平均，月份数据采用12项移动平均)，并将其结果进行“中心化”处理，即将移动平均的结果再进行一次2项移动平均得出“中心化移动平均值”；
2.计算季节指数：将各观察值Y除以相应的趋势值T(Y/T＝S×I)剔除长期趋势影响，再计算各比值Y/T的同月(季)平均数消除不规则波动I影响，并将同月(季)平均数除以总平均数得季节指数S；
3.季节指数调整。各季节指数的平均数应等于1或100%。若上一步计算的季节指数的平均值不等于1则需进行调整，方法是将每个季节指数除以它们的总平均值。
移动平均趋势剔除法季节指数举例
【例】下表是一家啤酒生产企业1997～2002年各季度啤酒销售量(万吨)数据。试计算各季度季节指数
移动平均趋势剔除法季节指数举例
移动平均趋势剔除法季节指数举例
移动平均趋势剔除法季节指数举例
三、分离季节因素的分析
测定季节变动的目的之一是将季节性因素从时间序列中分离出去，以便观察和分析时间序列的其他特征。
方法是将原时间序列除以相应的季节指数
结果即为季节因素分离后的序列，它反映了在没有季节因素影响的情况下时间序列的变化形态。
分离季节因素后的趋势分析
根据分离季节性因素的序列确定趋势方程 如前述啤酒销售量例（教材）：
根据趋势方程计算各期趋势值
根据趋势方程进行预测
2003年1季度销售量趋势值(t=25)
该趋势值不含季节性因素，即在没有季节因素影响情况下的预测值
如果要求出含有季节性因素的销售量预测值，则需要将上面的趋势值乘以相应的季节指数
2003年1季度预计销售量×=(万吨)
分离季节因素后的趋势分析(例题)
分离季节因素后的趋势分析(例题)
第五节 循环波动和随机波动分析
一、循环波动及其分析目的
二、循环波动的分析方法
三、随机波动的分析方法
一、循环波动及其分析目的
循环波动也称周期性波动，是近乎规律性的从低到高再从高到低的周而复始的变动。
循环波动不同于趋势变动那样朝着单一方向持续运动，而是涨落相间的交替波动；也不同于季节变动那样有比较固定的规律且变动周期大多为1年，而是无固定规律变动周期多在1年以上且周期长短不一。
分析循环波动的主要目的是探索现象变动的规律性，研究不同现象之间循环波动的内在联系，为经营管理预测决策提供客观依据。
二、循环波动的分析方法
循环波动由于时间长短和波动大小不一，且常与不规则波动交织在一起，因而很难单独描述和分析。通常是从时间序列中剔除趋势变动、季节变动和不规则变动，所剩结果即为循环波动。因此分析循环波动的常用方法是剩余法。
剩余法的基本思想和原理是：从时间序列中依次消去季节变动、趋势变动，剩下循环波动和不规则波动，然后再将结果进行平滑（移动平均），尽可能消去不规则变动成分，其所余结果即为循环波动值。
循环波动分析的剩余法具体步骤
1.先消去季节变动，求得无季节性数值。公式为：
2.再将结果除以由分离季节性因素后数据计算的趋势值求得含有循环及不规则波动相对数。公式为：
3.最后将上述结果进行移动平均（MA）消除不规则波动得循环波动值，通常用百分比表示。公式为： 循环波动值C＝MA（C×I）
循环波动分析的剩余法(例题)
循环波动分析的剩余法(例题)
三、随机波动的分析方法
将季节因素、趋势因素、周期性因素分离后，剩下的就是随机波动。结果见上例表中的⑼列。例图如下
本章学习要求
理解时间数列的概念、种类、构成要素与分析模型、编制原则；
掌握时间数列的各种水平分析指标及速度分析指标的计算和应用；
掌握长期趋势、季节变动的测定和分析方法；
了解循环变动的测定和分析方法。
季节变动分析方法除可用于对一年内季节变动规律分析外，还可用于短期的周期性变动规律分析。
