投资学 第六讲
资产组合选择理论
Portfolio Selection
Portfolio Selection
Between risk-free and risky
The complete selection
Separation theorem
Between two risky assets
在无风险和有风险资产之间配置
Capital allocation between risk-free and risky assets
无风险资产 risk-free assets,指无违约风险.不排除利率风险，但由于持有期短，这些风险都可以忽略不计。
风险资产：股票，长期债券，不动产等
无风险资产 F 的收益率为rf =7%
风险资产 P 的期望收益为E(rP)=15%,标准差为P=22%. P的风险溢价为E(rP)-rF=15%-7%=8%
令资产组合 C 的收益率为rC 有：
组合C的期望收益为：
=7+y(15-7)
=7+8y
组合C的风险：
Risky position
c= y P=22y
根据σC=yσp，有y=c/p，将y代入组合的期望有
E(rc)=rf +y[E(rp)-rf]
=rf +(σc/σp)[E(rp)-rf]
=7+(8/22)σc
从式中知，组合的期望收益作为组合风险的函数是一条直线，其截距为rf，斜率S=[E(rp)-rf] /p 。
可行集
Possible Combinations
E(r)
E(rp) = 15%
rf = 7%
22%
0
P
F
c
E(rc)
C
CAL
8%
由F点引出，穿过P点的直线就是资本配置线（Capital allocation line，CAL）,它表示所有可行的风险-收益组合。
它的斜率为S＝
表示对资产组合，单位风险增加对应的预期收益增加。因此，该斜率又称为报酬－波动性比率，Reward-to-variability ratio。一般认为这个值较大为好.因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。
如果投资者能以无风险利率rf＝7％借入，那么P点右边的资产组合也是可行的。
假定投资预算为30,000元,另外借入12,000元，投入到风险资产中,建立风险资产的
杠杆头寸(Leveraged position),
y=42,000/30,000=
1-y==
反映出无风险资产是空头(Short position),
E(rc)=7%+×8%=%
处于P点右边的点是什么？
非政府部门不能以无风险利率借入资金。借款者的违约风险使得贷款者要求更高的利率。因此非政府投资者的借款成本高于7％.
假设为9％，则在借入资金的条件下，酬报与波动性比率，也就是CAL的斜率将为（15％-9％）/22％＝6/22=。因此，CAL在P点处被“弯曲”。
CAL with Higher Borrowing Rate
E(r)
9%
7%
) S = .36
) S = .27
P
p = 22%
面对CAL，也即所有可行的风险-收益组合，投资者需要从中选择一个最优组合，这个选择需要对风险和收益进行权衡trade-off。
不同的风险偏好类型，选择的组合就会不同。一般来说，投资者越厌恶风险，越将选择风险少的资产组合，持有较多的无风险资产。
投资者将通过选择风险资产的配置比例y来使效用最大化。
从一般意义上解决效用最大化问题，我们使用如下形式：
最大化问题的解决是利用一阶导数为零。
最优风险资产头寸与风险厌恶水平、方差成反比，与风险溢价成正比。
如例中：
具有风险厌恶系数A＝4的投资者的最优解：
该投资者将以投资预算的41％投资于风险资产，59％投资于无风险资产。
资产组合选择的几何表达
E(r)
7
P
CAL
p = 22
U＝
U＝
U＝7
CAL with Risk Preferences
E(r)
7
P
Lender
Borrower
p = 22
The lender has a larger A when
compared to the borrower
A1
A2
E(r)
9%
7%
) S = .36
) S = .27
P
p = 22%
CAL with Higher Borrowing Rate
小结
1、把资产组合向无风险资产调整是降低风险的最简单的方式。
2、资产组合的特征可以由S来表示，S也是CAL的斜率。如果借入利率高于贷出利率，CAL在P点被“弯曲”
3、风险资产的最优头寸y*与风险厌恶水平、方差成反比，与风险溢价成正比。用图形表示，这个资产组合处于无差异曲线与CAL的切点。
Portfolio Selection
Between risk-free and risky
The complete selection
Separation theorem
Between two risky assets
两种风险资产的组合选择
考虑投资于两个风险资产：债券D和股票E。投资于股票的份额为WE，剩下部分
WD ＝1-WE 投资于债券。
假定债券的预期收益8％，标准差为12％；股票的预期收益为13％，标准差为20％。
WE
E(r)
0
8％
债券
股票
13％
1
2
WD
-1
0
1
WE
标准差
0
12％
1
在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集
均值
标准差
ρ=1
ρ=0
ρ=-1
命题1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。
证明：由资产组合的计算公式可得
两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。
收益 Erp
风险σp
两种资产完全负相关，即ρ12 =-1，则有
命题2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。
证明：
两种证券完全负相关的图示
收益rp
风险σp
两种不完全相关的风险资产组合的可行集
在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集
Erp
σp
ρ=1
ρ=0
ρ=-1
3种风险资产的组合二维表示
当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。
收益rp
风险σp
1
2
3
收益rp
风险σp
不可能的可行集
A
B
风险资产组合的有效集
在可行集中，有一部分投资组合从风险和收益两个角度来评价，会明显地优于另外一些投资组合，其特点是在同种风险水平下，提供最大预期收益率；在同种收益水平下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称之为有效资产组合；
由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。
整个可行集中，G点为最左边的点。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S，这一边界线GS即是有效集。例如：Ｐ点与Ａ点比较起来，在相同风险水平下，可以提供更大的预期收益率；而与Ｂ点比较起来，在相同的收益水平下，Ｐ点承担的风险又是最小的。
最优风险资产组合
1. 由于一般投资者是风险厌恶，因此，最优投资组合必定位于有效集边界上，其他非有效的组合可以排除。
2. 虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，因此，最终从有效边界上挑选那一个资产组合，则取决于投资者的风险规避程度。
3. 度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界共同决定了最优的投资组合。
Portfolio Selection & Risk Aversion
E(r)
Efficient
frontier of
risky assets
More
risk-averse
investor
U’’’
U’’
U’
St. Dev
Less
risk-averse
investor
Portfolio Selection
Between risk-free and risky
The complete selection
Separation theorem
Between two risky assets
一种无风险资产与风险组合构成的新组合
我们已经讨论了由风险资产构成的组合，但未讨论资产中加入无风险资产的情形。
将无风险资产加入已经构成的风险资产组合（风险基金）中，形成了一个无风险资产+风险基金的新组合，则可以证明：新组合的有效前沿将是一条直线
E(r)
F
rf
P
St. Dev
不可行
非有效
风险组合的有效边界
加入无风险资产后的最优资产组合
E(r)
F
rf
A
P
Q
B
CAL
St. Dev
期望收益 标准差
股票 13％ 20％
债券 8％ 12％
相关系数：
无风险资产收益率： 5％
首先找出权重w1和w2，使CAL的斜率S最大
约束条件：
求最大化问题：
代入数值得：
已经构造了一个最优风险资产组合P，在这个最优风险资产组合与国库券产生的CAL下，我们根据投资者的类型A来计算投资于完整资产组合的最优风险头寸。
一个风险厌恶相关系数A＝4的投资者，他的最优风险头寸为：
因此，这个投资者将%的预算投资于风险组合P，%的预算投资于国库券。风险资产组合P中包括40％的债券，债券的总比例为yW2=×=%;
同样，股票的权重yW1=×=%.
E(rc)=×+×=%
=×%=%
Portfolio Selection
E(r)
CAL
P
5％
风险资产的有效边界
C
无差异曲线
11％
％
%
%
F
E(r)
F
A
P
Q
CAL
St. Dev
具有无风险收益率借出但无借入情况下的资产组合选择
更多风险忍耐的投资者
更少风险忍耐的投资者
E(r)
F
A
P
Q
B
CAL
St. Dev
高风险忍耐的投资者
中风险忍耐的投资者
低风险忍耐的投资者
利率不相等条件下的CAL：三段曲线。
例如，经纪人索要的保证金贷款利率就高于国库券利率。
Portfolio Selection
Between risk-free and risky
The complete selection
Separation theorem
Between two risky assets
分离定理
分离定理（Separation theorem）：投资者的风险规避程度与其持有的风险资产组合的最优构成是无关的。
无论投资者的偏好如何，P点就是最优风险资产组合。形象地说，FP直线将无差异曲线与风险资产组合的有效边界分离了。
风险厌恶较低的投资者可以多投资风险基金M，少投资无风险证券F，反之亦反。
分离定理对组合选择的启示
由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资产选择决策（Asset allocation decision）和资本配置决策（Capital allocation decision）。
资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。
资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。
由分离定理，基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。
资产组合理论的优点
首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从艺术迈向科学。
分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产风险的重点是相对于组合的风险。
从单个证券的分析，转向组合的分析
资产组合理论的缺点
当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。
解的不稳定性。
重新配置的高成本。
因此，马克维茨及其学生夏普寻求改进的方法，这就是CAPM。
假定需要分析n种股票，则按照均值－方差模型的要求需要估计：
n个期望收益
n个方差
(n2-n)/2个协方差
若n＝50，总共为1325个
若n＝100，总共为 5150个
若n＝3000，总共要估计超过450万个变量
r1
r2
r3
….
…..
….
rn
r1
σ21
σ21
σ31
….
….
….
σn1
r2
σ21
σ22
σ23
…..
….
….
σn2
r3
σ31
σ32
σ23
σn3
…
…
….
….
….
….
rn
σn1
σn2
σn3
σ2n
现代投资理论的产生以1952年3月Harry Markowitz发表的《投资组合选择》为标志
1962年，William Sharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型（Capital asset pricing model， CAPM）
1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定价模型（Arbitrage pricing theory，APT）。
上述的几个理论均假设市场是有效的。1965年，Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficient market hypothesis，EMH）
1990 年诺贝尔经济奖获得者
马科维茨（H. Markowitz, 1927～）
《证券组合选择理论》
1976 年诺贝尔经济学奖获得者
弗里德曼 (, 1912～2006) 货币主义学派领袖
杨小凯（1948 ～ 2004）超边际经济学创始人
Problems
P145 中文第六版
1-8
P223 英文第八版
4-10
Question
Gold
Stock
Expected return
8%
13%
Standard deviation
30%
20%
Will you hold Gold?
WE=
*
