(金融保险)第七章连续时
间金融初步期权定价
第七章 连续时间金融初步:期权定价
连续时间金融理论是现代金融经济学的一个重要分支,而且随着金融全球化的发展和
金融理论的创新和推进,连续时间金融在整个金融学科中的地位日益重要。特别是在理论运
用于实践方面,连续时间金融理论的运用丝毫不比离散时间金融理论逊色。例如,从金融产
品的角度来看,衍生品交易的规模在国际金融市场中占了很大的比例,而衍生品的交易与发
展正是建立在对衍生品合理定价的基础上,而衍生品的定价(比如期权)正是建立在连续时
间金融理论之上。
本章共分为三节,第一节将介绍期权的概念和定价问题;第二节将介绍股票期权;第
三节中,将详细讲解期权定价的二项式模型和 Black-Scholes模型。
§1 期权概论
一、期权发展的背景
期权交易早已有之。1973年以前,在美国就存在着场外期权交易。由于这种交易是直
接交易,交易费用很高,而且没有相应的期权二级市场,所以期权交易很不活跃。1973年 4
月 26日,芝加哥期权交易所(Chicago Board Option Exchange,CBOE)正式挂牌,开始了美
国全国性的股票买入期权标准化合约的交易。这一交易一经推出就取得了极大的成功。投资
者对期权的兴趣及期权交易量迅速增长,并将原来的股票期权柜台交易淘汰出局。期权市场
的建立和完善刺激了期权交易的发展,除此而外,70年代和 80年代金融市场,商品市场的
剧烈波动使得一些投资者纷纷采用期权战略进行保值,降低投资组合的风险,而另一些投机
者则利用期权作为投机工具,希望通过短线操作赚钱,所有这些因素,都促使期权交易迅速
发展。
二、期权的基本概念
1. 期权的定义
期权分为买入期权(Call option)和卖出期权(Put option)。
买入期权又称敲入期权、看涨期权,它是给予期权的持有者在给定时间,或在此时间
之前的的任一时刻按规定的价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
卖出期权又称敲出期权、看跌期权,它给予其持有者在给定时间,或在此时间之前的
任一时刻按规定的价格卖出一定数量某种资产的权利。
2. 期权的要素
(1)施权价。期权合同中规定的购入或售出某种资产的价格,称为期权的施权价
(exercise price或 striking price)。
(2)施权日。期权合同规定的期权的最后有效日期称为期权的施权日或到期日
(maturing date)。
(3)标的资产。期权合同中规定的双方买入或售出的资产为期权的标的资产。
(4)期权费。买卖双方购买或出售期权的价格称为期权费或期权的价格(option
premium)。
3. 欧式期权、美式期权与帽式期权
根据期权对有效期性质规定的不同,期权又可分为欧式期权(European-style)、美式
期
权(American-style)与帽式期权(Capped option)。欧式期权只有在到期日当天或在到期
日以前某一规定的时间可以行使权利;美式期权从它一开始购买直至到期日以前任何时刻都
可以行使权利;帽式期权只能在到期日前某一规定的时间内才可以行使权利,但如果在到期
日之前期权价值已达到了规定的上限(cap),则期权将被自动执行。美国的期权交易一般都是
美式期权。
4. 期权购买者和出售者的权利与义务
任何一个期权都有购买者(buyer)和出售者(writer或 seller)。期权的购买者在购
买期
权时需付出一笔费用给出售者,以获得买卖某种资产的权利。这笔付出的费用,就是期权的
价格或期权费。买入期权的购买者付出期权费,获得购买某种资产的权利,但他并没有到期
必须购买的义务,他拥有购买或者不购买的选择权。与此相似,卖出期权的购买者或持有者
可以出售某种资产,也可以选择不出售。但是,对期权的出售者来说,如果期权的购买者行
使其权利,出售者必须向买入期权的持有者提供相应的资产,或接受卖出期权持有者手中的
资产。因此,对于期权的购买者而言,付出期权费后,只有权利而没有义务;对期权出售者
而言,接受期权费后,只有义务而没有权利。
5. 期权的内在价值
(1) 期权的内在价值
根据上面对期权买卖双方的权利与义务的分析,可以对迈入期权和卖出期权的内在价值
做一些分析。
一个施权价为 K,标的资产的市场价格为 S的买入期权在执行日的价值为:
(7-1)
或
这是因为,若某买入期权的施权价为 100元,标的资产的市场价格为 110元,则买入
期
权持有者可执行期权,以 100元的价格买入标的资产,再在市场上以 110元的价格卖掉,从
中可获利 10元。若标的资产的市场价格为 90元,则买入期权的持有者将不执行期权,买入
期权的价值为零,但不会出现其价值为负的情况。
同样道理,施权价为 K,标的资产市场价格为 S的卖出期权在执行日的价值为:
(7-2)
买入期权和卖出期权的上述价值称为期权的内在价值。
(2) 币内期权、币上期权与币外期权
根据期权施权价与标的资产市场价之间的关系,期权可分为币内期权(in-the-money),
币上期权(at-the-money)和币外期权(out-of-the-money)。
对买入期权来说,如果,则为币内期权;如果,为币上期权;如果,为币外期权。对于
卖出期权来说,如果,为币内期权;如果,为币上期权;如果,为币外期权。表 7-1对买入
期权的类型做了介绍。
表 7-1 买入期权的类型
买入期权 施权价(元) 标的股票市价(元) 类型
A 55 60 币内期权
B 60 60 币上期权
C 65 60 币外期权
三、买入期权与卖出期权平价
买入期权、卖出期权和标的资产三者之间存在着一种价格依赖关系,投资者可以凭借
其中任意两个构造出另一个金融产品来。它们之间的这种价格依赖关系,称为买入期权与卖
出期权平价(Call and Put Option)。
下面我们就以欧式股票期权为对象,考察一下这种平价关系。
令:股票市价, 买入期权市价
卖出期权市价, 施权价
施权日股票市价, 距施权日的时间
利息率
假设投资者现在以价格出售一单位(注意,不是一份期权合约,关于一份期权合约在
后面将涉及,这里为了讨论的方便,对问题进行了简化)买入期权,以价格购入一单位(同
样到期日,同样施权价)卖出期权,以价格购入一单位期权的标的股票,以利率借入一笔借
期为的现金,金额为,以上权利义务在施权日全部结清,不考虑交易成本和税收,投资者的
现在和施权日的现金流量如表 7-2所示:
表 7-2 投资组合的现金流量
施权日
现在
出售买入期权:
购买卖出期权:
购买股票:
借入资金:
0
0
总计 0 0
由表 7-2可知,不管在施权日股价如何变化,该投资组合的价值均为 0。由于上述投资
组合为无风险投资组合,期末价值为 0,那么,它的期初价值也必然为 0,即:
(7-3)
将(7-3)移项得:
(7-4)
这就是买入卖出期权平价(call-put parity)。同样施权价、同样到期日的买入卖出
期权价格必须符合上式,否则,就会出现无风险套利机会,而市场是不会也不应该提供这种
机会的。
下面举例说明上述情况。如果市场出现下列情况,有效期为三个月,施权价为 40的买
入期权价格为 3,同样的卖出期权价格为 2,股票市价为 40,利率为 5% ,根据买入卖出期
权平价,应该为
(7-5)
所以、不符合买入卖出期权平价。如果投资者构造下述投资组合:
• 出售一单位买入期权:+3
• 购买一单位卖出期权:-2
• 买入一单位股票: -40
• 按 5%借入现金: +
————————————————————
当前现金收入: +
这个投资组合为无风险组合。根据表 7-2的分析,我们知道,其期末价值应等于 0,
即在施权日不管股价如何变化,投资者都不必付出任何财富。而现在,投资者的现金收入为
。因此,这个投资者只要构造这个投资组合,可马上得到 单位的无风险收益。市
场绝不允许出现这样的无风险套利的机会,所以买入期权、卖出期权的价格必须符合买入、
卖出期权平价。
§2 股票期权
一、股票期权合约
规定买卖双方权利义务的是标准化的期权合同,又称期权合约,在市场上买卖的就是
这种标准化的合同。
标准化期权合约有标准的标的资产数量,标准的到期日安排和标准的施权价单位。一般
股票期权合约规定:一份股票期权合约的标的资产数量为 100股股票,即期权的持有者如购
买了一份期权合约,则有权以施权价购买或出售该种股票 100股。值得指出的是,期权行情
表上公布的期权价格均是针对每股股票而言的,由于每份合约的数量是 100股股票,所以每
份合约的价格是行情表上标明的价格的 100倍。
最初,标准化的期权合约规定的到期月份分为三个固定的周期:
• 一月、四月、七月、十月
• 二月、五月、八月、十一月
• 三月、六月、九月、十二月
如一月份发行的期权,到期月份只能是四月、七月和十月;七月份的期权,到期月份只
能是十月、次年一月和四月。期权最长的期限为 9个月,到期日为到期月份的第三个星期五
后的那个星期六。因此,期权的最后一个交易日就是到期月份的第三个星期五。虽然交易所
为每一种股票期权选定了上面三个周期中的一组作为到期月份,但在任何一个营业日,此后
到期的期权都可以进行交易。如在九月初,到期月份为九月、十月、十一月、十二月的期权
都可交易。
标准化的期权合约还规定标准的施权价。根据其标的股票的价格,美国股票期权的施权
价一般以 美元、5美元或 10美元的价位递增递减。例如,以 5美元为价差的某种股票
的期权,其施权价可分为 65美元、70美元、75美元、80美元等几种。期权的施权价由交
易所确定。一般地说,每股价格较高的股票,它的期权的施权价位较高。每股价格较低的股
票,它的期权的施权价位较低。比如,CBOE规定当标的股票价格在 5——25美元之间时,
施权价按每档 美元的价值增减;当标的股票价格在 25——200美元之间时,施权价按每
档 5美元增减;当标的股票价格在 200美元以上时,施权价按每档 10美元增减。在市场上
发行、交易的股票期权,有的施权价高于现行股票市价,有的施权价低于现行股票市价,以
满足对股票价格走向持不同预期的投资者的需要。当股票价格上涨或下跌幅度较大时,施权
价要反映股价变化,因此就要发行不同施权价的新的期权。
由于施权价、到期日、标的资产数量都已有规定,因而期权买卖双方在市场上争取的只
是对自己有利的期权价格。换句话说,标准化期权买卖要谈判的只是期权价格。
二、 股票期权行情表
表 7-3是 1990年 6月 15日《华尔街日报》期权行情表的一部分,给出的是 1990年 6
月 14日 Honwell公司股票各种齐全的价格。表中第一列为标的股票 1990年 6月 14日在纽
约证券交易所的收盘价,其中第一列第一行是标的股票公司的名称缩写。由表 7-3可知,
Honwell公司股票 1990年 6月 14日的收盘价为 98美元。表中第二列期权的施权价,最低 85
美元,最高 105美元,价位差 5美元。第三列至第五列分别是不同施权价下不同到期日的买
入期权的期权费。第六至第八列为不同施权价下不同到期日卖出期权的期权费。表中表示当
日该种期权无交易,表示没有这种期权。
表 7-3 Honwell公司股票期权行情()
Call PutOption &
NY Close
strike
price 买入期权 卖出期权
纽约证券交
易所收盘价
施权价 6月 7月 8月 6月 7月 8月
Honwell 85
98 90 8
98 95
98 100 4
98 105 1
从表中可以看出,第一,对于给定到期日的买入期权,施权价越低,期权价格越高。
如到期日为 6月的买入期权,施权价为 100美元时,期权价格仅仅为,而施权价为 85美元
时,期权价格为,卖出期权则正好相反(这从最后一列中可看出)。第二,给定施权价,到
期日越晚,买入期权和卖出期权的价格越高。如施权价为 100美元时,6月份到期的买入期
权和卖出期权的价格分别为和,而 8月份到期的买入期权和卖出期权的价格分别为和 4。
三、 股票期权的交易与清算
1. 股票期权的交易
股票期权的交易与股票交易相似,都是在交易大厅内由经纪人进行的。投资者本身不
能直接进入交易所大厅,而要委托经纪人代为进行。通常,客户向经纪人发出交易指令,这
个指令包括以下内容:
(1) 买或卖;
(2) 合约份数;
(3) 标的股票;
(4) 到期月份;
(5) 施权价;
(6) 限价(也可以不限价);
(7) 期权类型(买入期权还是卖出期权);
(8) 多头还是空头(如果卖出期权的话)。
此外,客户还要告诉经纪人这一指令是要做一笔“开首”(opening)交易还是要做一笔
“结清”(closing)交易。所谓“开首”,是指交易者通过交易为自己开辟了一个头寸,拥
有了某种权利(购进某种期权)或义务(卖出某种期权)。所谓“结清”交易,是指交易者
通过交易结清了自己的某一头寸,取消了自己的某种权利或义务。比如,交易者卖出一份买
入期权,就是“开首”,使自己承担了在对方执行期权时按施权价卖给对方规定数量的标的
股票的义务。而如果该交易者后来又买下了一份同样的买入期权,就是“结清”,因为他按
照施权价卖给买入期权的持有者规定数量标的股票的义务已经转移给了另一个人,从而使自
己原来承担的义务消失了。下面介绍一条投资者向自己的经纪人发出的典型交易指令:
购进 1份 百事可乐 1月 60 买入期权——期权费。即此人要以的价格购进一份 1月份
到期,施权价为 60美元的百事可乐公司股票的买入期权。
经纪人接受指令后,将寻找合适的交易对象,如果交易成功,则在客户的账户上进行相
应的调整。
2.期权清算公司
为了保证期权交易的效率和安全,从事期权交易的证券交易所成立有期权清算公司
(Option Clearing Corporation,简写为 OCC),期权清算公司是期权购买者与期权出售者
之间的中介机构,其作用是保证期权合约的实施,进行期权交易的清算。
引进期权清算公司后,期权买卖双方的经纪人不再直接进行交易,而是通过清算公司这
一中介机构进行。清算公司作为买方,将卖方卖出的期权合同买下,同时又作为卖方,将买
方要购买的期权合同卖出,同时对买卖双方承担履约责任。由于清算公司组织严密,规章完
善,有很强的实力和很高的信誉,使合约的履行有充分的保障,从而大大提高了期权交易的
安全性。
清算公司除承担履约责任外,还负责办理交易的交割手续,制定标准化的期权合约,以
及帮助和安排期权的执行等项工作。
由于所有期权交易都要通过期权清算公司进行,所以有资格进行期权交易的经纪人都是
清算公司的会员,并且要向清算公司交纳保证金,以保证清算公司的正常运行和期权交易的
高效与安全。
当股票期权的持有者选择执行期权时,期权清算公司将按下述步骤安排卖方履约。首先,
公司要检查所有出售了该种期权的投资者的经纪商,随机选择其中的某一经纪商,向它发出
期权执行通知单,该经纪商收到通知单后,再从委托其出售了该期权的顾客中随机选择一个
或几个,向他们发出期权执行通知单,一旦被选中,该顾客必须进行实际股票交割,而不能
通过结清交易(即买入一个相应的期权)来结清他的头寸。因此,出售某种期权合约的一个
风险就是在期权有效期内,有可能被随机选中,被强迫执行该期权的义务。由于期权权利的
实际执行不超过期权总的发行量的 5%,所以这种可能性很小。
3.保证金
期权出售者要向经纪商交纳一定数量的保证金,这种保证金与股票、债券交易的保证金
不同。股票、债券交易的保证金是指投资者采用信用交易方式时,只需要经纪商交纳购买金
额的一部分,其余部分可向经纪人借款。交纳部分占全部金额的比率称为保证金比率。期权
交易不能采用信用交易方式,期权费在交易中必须缴足。期权的保证金是指在期权出售者出
售某种期权时,为保证交易的安全性,即保证他有能力在对方执行期权时履行义务,要求他
在经纪人那里存入一笔现金或其他流动性较强的有价证券(如国库券)作为抵押,这通常称
为期权交易的保证金。其实质是一种履约担保,而不是股票债券交易中的信用交易。
保证金比率根据经纪商、标的股票价格和期权是买入期权还是卖出期权的不同而不同。
在投资期内,保证金比率的大小影响投资者财务杠杆作用的程度,并最终影响其投资的收益
与风险。
四、股票期权的运用
在这一小节中,我们将讨论期权价值的基本形态和如何在投资活动中进行期权交易的
问题。
1.购进期权
买进某种期权是一种最简单、最基本的期权投资方式,其中尤以购进买入期权的为多。
(1)购进买入期权
购进买入期权在投资活动中有多种用途,其基本用途一是投机获利,一是资产保值。
如果投资者对某种股票的前景看好,预期其价格将上涨,可以通过购进买入期权的方
式以较小的投资额,有限的预期损失来争取最大的预期利润。
比如,假如某股票的市场价格为 38元,施权价 40元,为期 6个月的买入期权的价格
为 4元,购进一份期权合约的成本为 400元。如果在期权执行时,股票价格低于 40元,则
该期权一文不值,投资者的最大损失为 400元(这里忽略了付给经纪人的佣金及其他交易费
用)。如果股票价格大于 40元,投资者的损失开始逐步减少,盈亏平衡点为期权的施权价与
期权费之和 44元。当股票价格高于 44元时,投资者开始盈利,从理论上讲,其盈利水平是
没有上限的。购进买入期权的盈亏状况如图 7-1所示。如果我们将图中期权价格 4元换成买
入期权价格的一般符号 C,将施权价 40元换成符号 K,则图 7-1给出的就是买入期权的一般
盈亏状况。
盈利
购进股票
购进买入期权
o S
10 20 30 40 44
-4
图 7-1
设标的股票的价格涨至每股 48元,投资者执行期权,每股可获利 4元,总共获利
400元。如果投资者不是购进股票的买入期权,而是直接购进标的股票,则 400元只能购进
约 股股票。每股股票获利 10元(48元-38元),总共获利只有 105元,远小于前一种
选择。由此可见,购进买入期权有强大的杠杆作用,可以提高投资者的获利能力。但另一方
面,如果标的股票的涨幅不大,比如只涨到 39元,则买进股票每股仍可获利 1元(不考虑
交易费用),而购进买入期权却是净亏损。因此,其风险也较大。
购进买入期权的另一个原因是保值,特别是保护股票卖空行为。比如,某投资者预期股
票价格将下跌,卖空一部分股票以图盈利,但又怕万一股票上涨较多造成过大的损失,即可
购进相应股票的买入期权,如果股价上涨,可以执行买入期权,收进股票以补足卖空的股票。
(2) 购进卖出期权
如果投资者预期股价将下跌,可以购进相应股票的卖出期权,当股票价格果然下跌时,
便可执行该卖出期权,在市场上以低价买进股票,然后按较高的施权价卖出,赚取价差利润。
当然,投资者也可以通过直接卖空该种股票赚取利润,这样,其收益与损失将与股价变化成
正比。
假设某股票市场价格为 38元,施权价为 40元,有效期 4个月的卖出期权售价为 4元。
现在这个期权已经具有一定的内在价值,如果股价进一步下跌,其价值将进一步增加。该期
权的盈亏平衡点为 40元-4元=36元。如果股价低于 36 元,投资者将有利可图,若谷价高于
40元,投资者最大损失为 400元。购进卖出期权与直接卖空股票的盈亏比较如图 7-2所示。
同样,如果我们将期权价格用 P表示,施权价用 K表示,则图 7-2就是卖出期权的一般盈亏
图。
盈利
10 20 30 38 40
O S
-4 36
图 7-2
购进卖出期权的另一个作用是保值,特别是保护已到手的收益。假设某投资者手中的股
票由买入时的每股 40元涨至每股 60元,且投资者预期股价还将进一步上升,不愿立即抛出。
但该投资者又担心万一股价下跌,到手的利润将化为乌有。在这种情况下,投资者可购进一
个施权价为 70元的卖出期权,以少量的期权费支出来保护自己手中的股票的价值。
2.出售期权
(1)出售买入期权
如果投资者认为股票价格要下跌,可以出售买入期权来赚取期权费。若股票的市场价格
为 38元,按 4元的价格售出一份施权价为 40元,有效期为 6个月的买入期权合约,可赚取
400元的期权费。如果股价不超过 40元,没有人会执行期权,以每股 40元的价格从期权出
售者手中买入股票,出售着可获 400元净利。如果股价上升到 44元,出售者可保本不亏。
如果股价超过 44元,出售者将发生亏损。其总体盈亏情形如图 7-3所示。
盈利
4 出售买入期权
o S
10 20 30 40 44 50
图 7-3
若买入期权的出售者手中拥有相应的标的股票,该期权出售者售出的买入期权是非暴露
的,反之,则为暴露的。
(2) 出售卖出期权
与出售买入期权者一样,出售卖出期权的人也是为了赚取期权费。在合约有效期内,卖
出期权出售者有义务在对方执行期权时按事先规定的价格买下标的股票。因此,当股票价格
下跌时,卖出期权的买入者有可能低价在股市上买入股票,然后执行期权,以高价出售给期
权出售者。(出售者预期股价上涨)
根据前面的例子,施权价 40元,有效期为 4个月的卖出期权的售价为 4元,这时,期
权出售者的盈亏状况如图 7-4所示,其盈亏平衡点为 36元。
盈利
4 出售卖出期权
o S
10 20 30 36 40
图 7-4
3.组合期权策略
上面谈到的是简单地买进或售出某种期权的做法。事实上,将期权与股票,期权与期权
的购进卖出相互组合,可以得到许多不同的投资收益方式,及不同的投资策略。下面介绍几
种常见的组合策略。
(1)利用卖出期权保证盈利或限制损失(protective put)
买入或已经拥有一支股票的同时买入一个以该股票为标的资产,施权价为K的卖出期权,
以保证这一组合的价值不低于 K。
比如,该股票卖出期权的施权价为70,而市场价格为65,则该卖出期权的价值为70-65=5,
加上股票的价值 65,整个组合的价值为 70。
图 7-5给出了单独持有股票和同时持有股票和卖出期权两种策略的盈亏。如果股票价格
始终保持(股票的买入价格),则该投资的利润为 0。当股票价格时,单独持有股票将发生
亏损,其最大亏损额为。而如果同时持有股票和施权价的卖出期权,则这一组合的价值始终
保持为,投资者的损失为 (卖出期权的价格)。当时,单独持有股票即可盈利,而持有股票与
卖出期权组合需要先收回购买期权的成本后才开始盈利,不难看出,这种组合可以有效地保
护投资者不因股票价格大幅下跌而遭受重大损失。
盈利 股票
卖出期权与股票的组合
o S
卖出期权
图 7-5
(2)买入股票同时出售买入期权(covered call )
这一策略是在买入股票的同时出售一份以该股票为标的资产的买入期权。这一策略的收
益状况如图 7-6所以。 收益
股票
C 买入期权与股票的组合
S
K
买入期权
-S
图 7-6
采用这一策略的一个可能原因是:投资者准备按照施权价 K出售手中的股票,如果同时
出售以该股票为标的资产的买入期权,投资者可以得到一笔期权费。当股票价格升至 K时,
股票会随着期权的执行而售出。尽管这样做会丧失股票价格进一步上升的利润。但投资者毕
竟得到了期权费做补偿,并确保股票按照预先设定的价格卖出。
(3)同价对敲(straddle)
所谓同价对敲是指同时购进或出售标的股票、施权价、到期日都完全相同的买入期权和
卖出期权。同时购进成为多头同价对敲(long straddle),同时出售称为空头同价对敲(short
straddle)。二者的收益曲线如图 7-7,7-8所示。
盈利 购进买入期权
组合结果
K
o S
购进卖出期权
图 7-7 多头同价对敲(long straddle)收益图
盈利 组合
出售卖出期权
o K S
出售买入期权
图 7-8 空头同价对敲(short straddle)收益图
从图 7-8中不难看出,当投资者预期股票价格有较大波动时,采用多头同价对敲可获取
利润。当投资者预期股票价格没有较大波动时,采用空头同价对敲可获取利润。
同价对敲还可以推而广之,比如,同时购进或卖出两份买入期权,一份卖出期权(strap),
同时购进或卖出两份卖出期权,一份买入期权(strip),等等。
(4)异价对敲(spread )
异价对敲是指将具有相同标的股票,但具有不同施权价或不同到期日,或两者都不相同
的两个期权组合在一起,一个购进,一个售出。
根据组合中两个期权参数的差异,它们可分为不同的类型。一种是垂直组合,又称价格
组合或价格差异对敲(money spread),是指购进的那个期权与售出的那个期权具有相同的
到期日,不同的施权价。如 XYZ公司股票期权,到期日同是 2005年 10月,买进的是施权价
为 60美元的买入期权,而同时售出的是施权价为 65美元的买入期权。
另一种是水平组合,又称时间组合或时间差异对敲(time spread),是指购进的那个期
权与售出的那个期权有相同的施权价,不同的到期日。如 XYZ公司股票期权,施权价同为 60
美元,但买进的是到期日 2005年 8月的买入期权,售出的是 2005年 11月的买入期权。
如果组合中两个期权的到期日和施权价均不相同,即构成日历垂直组合,或三角异价对
敲(diagonal spread)。根据时间与价格的不同配合,可以得到四种不同的三角异价对敲。
除垂直组合外,其他异价对敲方式都无法用收益变化图描述。
收益
买入施权价为 K2的 Call
C2
K2
S
K1
C1
组合收益
卖出施权价为 K1的 Call
图 7-9 价格垂直组合 1
§3 股票期权定价
1 此种形态称为“熊市垂直价差组合”(Bearish Vertical Spread)
一、股票期权价值分析
1.影响期权价值的主要因素
在讨论期权的内在价值时,我们讨论了标的股票价格及施权价对期权价值的影响。事实
上,除上述两种因素外,期权距到期日的时间长度,标的股票的价格变动范围,期权有效期
内市场市场无风险利率的高低,股票的现金股利等都会对期权价值产生较大的影响,下面分
别讨论之。
(1)标的股票价格与施权价的影响。
我们知道,买入期权和卖出期权的内在价值分别由(7-1)式和(7-2)式决定。由这
两式可知,标的股票的市场价格越高,买入期权的价值越高,卖出期权的价值越低;期权的
施权价越高,买入期权的价值越低,卖出期权的价值越高。
(2)标的股票价格变化范围的影响。
对股票持有者来说,他们要承受价格上升和下降两方面的影响,价格波动越大,所承受
的风险也越大,因此股票的价值会相应降低。而对期权持有者来说,由于他们在执行期权的
问题上只有权利,没有义务,因此,他们在标的股票价格变动时只在情况有利时受益,而不
会在情况不利时受损。这样,在标的股票价格变动范围增大时,虽然正反两方面的影响都会
增大,但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处,因此,期权的价值随着标的股票价格
变动范围的增大而升高。
(3)距到期日时间距离的影响。
距离期权到期日的时间越长,标的股票价格发生变化的可能性越大。由于期权持有者只
会在标有股票价格的变动中受益,因此,距离期权到期日的时间越长,期权的价值越高。
(4)利率的影响
利率的大小直接影响未来收益或支出的现值。利率越高,买入期权的持有者在未来执行
期权时所支付的施权价的现值越低,故买入期权的价值越高。而对卖出期权持有者来说,他
在未来执行期权时所得到的施权价的现值随利率升高而降低的结果,使卖出期权的价值降低。
(5)现金股利的影响
股票期权受到股票分割(拆股)和股票股利的保护,即当标的股票的数量因股票分割或
发放股票股利而增加时,期权的数量也要做相应的调整,以保护持有者的利益。因此,股票
期权的价值不受上两项活动的影响。但股票期权不受现金股利的保护,因此,当标的股票的
价格因公司发放现金股利而下降时,买入期权的价值下降,卖出期权的价值上升。
上述种种因素对股票期权的影响,可用表 7-4总结如下。
表 7-4 有关因素对股票期权价值的影响
该因素增加后对期权价值的影响
因素
买入期权 卖出期权
股票价格 ↑ ↓
施权价 ↓ ↑
时间 ↑ ↑
股价变动范围 ↑ ↑
利率 ↑ ↓
现金股利 ↓ ↑
2.股票期权的价值变动范围
(1)买入期权的价值变动范围。
买入期权价值下限由其内在价值决定,即:。同时,由于施权价不可能为负,故买入期
权的上限为股票市价。因此,买入期权的价值范围为:
由于受时间因素,股价变动范围等的影响,股票买入期权的实际价值介于其上下限之间。
(2)卖出期权的价值变动范围。
卖出期权的价值下限同样由其内在价值决定,即:。而由于股票价格不可能为负,故其上限
为其施权价。
二、期权定价的二项式模型
期权定价公式可以通过无风险套利分析,利用二项式分布模型推倒得出。
1.期权价格的无风险套利分析
设某股票当前的价格为 60,下一期价格将变为 66(上升倍数 )或 57(下降比
例 )。若这一阶段的无风险利率 5%,那么一个施权价为 63的买入期权的价格应该是多
少呢?
如图 7-10所示,如果股票价格上升,则下一期买入期权的价值为 3,如果股票价格下降,
则下一期买入期权的价值为 0。为了求出买入期权的价格,我们可以构造一个无风险投资组
合。这一无风险投资组合由一股股票和出售 m份以该股票为标的的买入期权构成,为了确保
这一组合无风险,要求:
66 3(67-63)
60 C
57 0
图 7-10
不难解出:
(7-6)
代入数值:
即这一无风险组合由买入一股股票,出售 3个以该股票为标的买入期权构成。
根据无风险组合的特点我们知道,如果我们以的价格出售买入期权,应该有:
(7-7)
入的表达式(7-6),有:
(7-8)
代入数值不难求出:。即如我们按照 的价格出售一份买入期权,就保证了这是一个无
风险组合。
2.期权价格的二项式模型
在上一小节的分析中,
令:,有,(7-8)式可以简写为:
(7-9)
考虑两期股价变化模型(图 7-11)
图 7-11
根据一期模型可知(7-9)式:
(7-10a)
(7-10b)
将(7-10a),(7-10b)代入(7-9)式,有:
(7-11)
其中:,,
可以把(7-11)式中的分子部分看成是一期模型的定价公式(7-9)式的分子的二项展开。
由(7-11)式可知,买入期权的价格在股票价格变化两次时(两期模型)由的展开式各项分
别乘以,和得到。依此类推,股票价格变化次(期)时买入期权的价格将由展开式各项为系
数, 乘以得到。由于,有:
(7-12)
在(7-12)式中,若,我们将取为 0。所以,扣除所
的项,求和将从开始(对,有,对,有),所以(7-12)式变为:
(7-13)
令: ,
有:
(7-14)
因此,欧式买入期权的价格为:
(7-15)
式中:
大于的最小非负整数,且如果,则
期权的存续期间,此处为此期间股票价格变动的总次数。
3.二项式模型的极限形式——Black-Scholes公式
已知为一个时间区间,为该区间内的无风险利率。当把区间分为份计算复利
有:
(7-16)
比如当年,时,有:。
将(7-16)式重新写为:
令,有:
,且
因此,当在期间内股票价格变化次数很多,趋于无穷时,有。
另外,Cox,Ross和 Rubinstein(1979)2证明了,当二项式表达式中的 n(股票价格变
化次数)变得很大,趋于无穷时,有:
这样,在时,(7-15)式变为:
(7-17)
这就是著名的 Black-Scholes公式 3。关于这一公式,将在下一节具体讨论。
三、Black-Scholes公式
上一小节我们指出二项式模型的极限形式就是 Black-Scholes公式。实际上,这一公式
是 Black和 Scholes于 1973年用其他数学分析方法得到的,用来对无现金股利的股票的欧
式买入期权进行定价,Scholes和 Merton也因此获得了 1997年的诺贝尔经济学奖。
模型的 8个基本假设:
• 无风险利率已知,且为一个常数,不随时间变化
• 标的股票不支付红利
• 期权为欧式期权
• 无交易费用:股票市场、期权市场、资金借贷市场
• 投资者可以自由借贷资金,且二者利率相等,均为无风险利率
• 股票交易无限细分,投资者可以购买任意数量的标的股票
• 对卖空没有任何限制
• 标的资产为股票,其价格 S的变化为几何布朗运动
2 Cox J., S. Ross, and M. Rubinstein, “Option Pricing: A Simplified Approach”, Journal of
Financial Economics, September, 1979, 229-263.
3 F. Black and M. Scholes, “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political
Economy, Vol. 81(May-June 1973),637-654.
在具体介绍 Black-Scholes公式之前,我们先介绍一些导出 Black-Scholes公式所需的
一些基本数学知识。
1.维纳过程
根据有效市场理论,股价、利率和汇率具有随机游走性,这种特性可以采用维纳过程
(Wiener process,或者称为布朗运动:Brownian Motion),它是 Markov stochastic
process(马尔科夫链)的一种。
对于随机变量 w是 Wiener process,必须具有两个条件:
(1) 在某一小段时间内,它的变动与时段满足:
(7-18)
这里,,其中代表标准正态分布。
(2) 在两个不重叠的时段和,和是独立的,这个条件也是 Markov过程的条件,即增量独
立。
(7-19)
其中:
满足上述两个条件的随机过程,称为维纳过程,其性质有:
当时段的长度放大到 T时(从现在的 0时刻到未来的 T时刻)随机变量满足:
。
证明:
证毕。
在连续时间下,由(7-18)和(7-19)得到:
(7-20)
(7-21)
所以,概率分布的性质:
以上得到的随机过程,称为维纳过程。
2.Ito引理
一般维纳过程(Generalized Wiener process)可表示为:
(7-22)
其中:
显然,一般维纳过程的性质为:
一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。因为(7-22)式中:漂移率 a
和方差率 b为常数不恰当。
若把变量的漂移率 a和方差率 b当作变量 x和时间 t的函数,扩展后得到的即为 Ito过
程:
B-S 期权定价模型是根据 Ito过程的特例-几何布朗运动来代表股价的波动:
省略下标 t,变换后得到几何布朗运动方程:
(7-23)
证券的回报与其预期价格无关。
Ito引理:假设某随机变量 x的变动过程可由 Ito过程表示为(省略下标 t):
(7-24)
令 f(x,t)为随机变量 x以及时间 t的函数,即 f(x,t)可以代表以标的资产 x的衍生证
券的价格,则 f(x,t)的价格变动过程可以表示为:
证明:将(7-24)离散化
由(7-18)知:
利用泰勒展开,忽略高阶段项,f(x,t)可以展开为:
(7-25)
在连续时间下,即,从而,,
因此,(7-25)式可以改写成
(7-26)
(7-27)
且当时,有,从而
即不呈现随机波动。
由(7-27)可得:
(7-28)
由于,则
由(7-28)得到:
(7-29)
由于不呈现随机波动,所以,其期望值就收敛为真实值,即:
当时,由(7-26)式可得:
3.Black-Scholes微分方程
假设标的资产价格变动过程满足:
这里 S为标的资产当前的价格,令代表衍生证券的价格,则的价格变动过程可由 Ito引
理近似为:
假设某投资者以δ份的标的资产多头和 1个单位的衍生证券空头来构造一个组合,且δ
满足:
则该组合的收益为:
下面将证明该组合为无风险组合,在时间区间内收益为:
注意到此时不含有随机项 w,这意味着该组合是无风险的,设无风险收益率为 r,且由
于较小(不采用连续复利),则:
又由于
整理得到:
此 B-S微分方程的意义是:
(1)衍生证券的价格 f,只与当前的市价 S,时间 t,证券价格波动率和无风险利率 r
有关,它们全都是客观变量。因此,无论投资者的风险偏好如何,都不会对 f的值产生影响。
(2)在对衍生证券定价时,可以采用风险中性定价,即所有证券的预期收益率都等于
无风险利率 r。
(3)只要标的资产服从几何布朗运动,都可以采用 B-S微分方程求出价格 f。
4.几何布朗运动与对数正态分布
若股票价格服从几何布朗运动:
设当前时刻为 t,则 T时刻股票价格满足对数正态分布,即:
令:,则:
这样由 Ito引理得到
即
由(7-18)
由于
则称服从对数正态分布,其期望值为:
所以
注意:
5.B-S买权定价公式:
对于欧式不支付红利的股票期权,其看涨期权(买权)的在定价日 t的定价公式为:
其中 ——买入期权价值
——当前股票市价
——施权价
——年无风险利率
、是参数、标准正态分布的概率,即
其中:股票收益的方差
股票收益的标准差
(1)B-S买权定价公式的推导:
①设当前时刻为 t,到期时刻 T,若股票价格服从几何布朗运动,若已经当前时刻 t的
股票价格为,则 T时刻的股票价格的期望值为:
(7-30)
根据 B-S微分方程可知,定价是在风险中性条件下,则资产的期望回报为无风险回报,
则:
(7-31)
由(7-30)和(7-31)式得到:
(7-32)
这表明:在风险中性的世界中,任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。
②在风险中性的条件下,任何资产的贴现率为无风险利率 r,故买权期望值的现值为:
(7-33)
由于服从对数正态分布,则:
将 , 由(7-33)得到:
(7-34)
③先化简上式中的第一项:
(7-35)
因为 则
由于 所以
(7-36)
将(7-36)与(7-35)内的第二个指数项合并,即
(7-37)
将(7-37)代入(7-35)
(7-38)
下面,将利用变量代换来简化(7-38),不妨令
所以,
y的积分下限为:
y的积分上限为:
将 dy与 y代入(7-38),即有:
(7-39)
这样就完成了第 1项的证明。
下面证明 B-S公式中的第二项
首先进行变量代换,令
则 z的积分下限
z的积分上限
将 z和 dz代入
(7-40)
则由(7-39)和(7-40)得到
其中
证毕。
(2)B-S买权公式的意义:
①是在风险中性世界中大于 K的概率,或者说式欧式看涨期权被执行的概率。
②)是 K的风险中性期望值的现值。是的风险中性期望值的现值。
③其次,是复制交易策略中股票的数量,就是股票的市值,则是复制交易策略中负债的
价值。
假设两个均为 1,看涨期权价值为,则没有不确定性。如果确实执行了,我们就获得了
以为现价的股票的所有权,而承担了现值的债务。
④买入期权价值是下列变量的函数:
• 当前股价:影响期权价值最重要的因素,在其他情况不变的情况下,股价越高,买入期
权价格越高;
• 施权价:施权价越高,买入期权执行的可能性越小,买入期权价格越低;
• 距到期日时间:时间越长,股价大幅变动的可能性越大,期权价格越高;
• 无风险收益:无风险利率用来计算施权价的现值,因此,无风险利率越高,施权价现
值越小,买入期权价值越大。因为 Black-Scholes模型假定投资于买入期权是为了进行无风
险套利,当无风险利率提高时,套利投资组合的收益也要提高,因此,买入期权价格也要提
高。
• 股票收益的方差:以价格变动范围大的股票为标的资产的期权价值要大于股价平稳
的股票的期权价值。
下面我们举例说明应用 Black-Scholes公式计算买入期权价格。
已知:
三个月 年
,
一般说来,期权交易市场上买入期权的理论价格即由 Black-Scholes公式确定,如果实
际价格比模型计算出的价值低,说明与理论价格相比,期权的价格被低估,反之亦然。
在 Black-Scholes公式中,其他变量都比较容易确定,只有股票收益的方差的确定存在
争议。一般说来,方差的确定用历史股价的资料,但是,对取多少年的数据来作样本及样本
数据之间的时间间隔的确定,仍然是一个存在广泛争议的问题。
表 7-5显示了用 Black-Scholes公式计算的期权价值对于各个变量变动的敏感性。从
表中可以看出,股价变动对期权的影响是至关重要的,但这种影响并非线性。从表中还可以
看出:方差变化对期权价格的影响要比无风险收益变化的影响要大。
表 7-5 期权价值对关键因素的敏感性
I. 对股价和施权价的敏感性
三个月 年
不同股价和施权价下,期权价值
施权价
股价 $35 $40 $45 $50
$35 $ $ $ $
$40 $ $ $ $
$45 $ $ $ $
$50 $ $ $ $
Ⅱ. 对无风险收益和方差的敏感性
三个月 年 $50 $45
不同无风险收益和方差下期权价值
方差
无风险收益
$ $ $ $
$ $ $ $
$ $ $ $
$ $ $ $
可以证明,Black-Scholes模型中的,为套期保值率(hedge ratio),即如果要构造
一个无风险套期保值投资组合,每个期权合约所需要的股票的股数。上面的例中,是
,即一份期权合约需要 股股票配合才能组成一个无风险套期保值组合。实际上,
是股价变动带来期权价格变动的一个系数。
如果股价从 100元增至 101元,那么期权价值将增加 元。这样如果一份期权合
约的规模是 100股,那么套期保值组合将不可能完全保值。完全无风险的套期保值组合应该
是每 100股股票需要 (即 1/)份期权合约。因是用当前股价计算得出的,所
以当股价变动时,套期保值率也将发生变化。
Black-Scholes模型存在的另一个问题是现金股利对期权价值的影响未予考虑。现金股
息通过影响股价和股票的方差进而影响期权价值。Black-Scholes公式是建立在期权只能在
到期日执行及股票不支付股息的假定上的,因此,直接将 Black-Scholes模型用来分析美式
期权和在期权有效期内派发股息的股票期权不完全合适。为了分析支付股息的股票的期权,
必须从股价中减去预期未来股息的现值。当已知股息的现值为 I时,我们只要用代替 B-S公
式中的,即:。当股息为按连续复利计算的固定收益率 q(单位为年)时,我们只要将取代,
得到:。
6.欧式卖出期权的定价
Black-Scholes模型只是计算买入期权价格,卖出期权价格要通过买入卖出期权平价公
式(7-4)来计算,买入卖出期权平价原理反映的是买入期权和卖出期权价格的关系:
从几何图性上看,二者对影响期权的关键指标都进行了负向变换,是关于纵向对称的。
期权价值
o
标的资产价格
图 7-12
7.期权定价思想的意义
金融市场中一个引人注目的发展就是衍生证券的日趋普遍。在许多情况下,套期保值者
和投机者都发现交易某项资产的衍生证券比交易资产本身更具有吸引力。原因在于,衍生证
券往往具有现有上市证券所不具备的特点,从而能够满足一些套期保值者和投机者的特殊要
求,所以,证券公司经常根据客户的需要,开发一些衍生证券来满足要求。
衍生行业的蓬勃发展,说明了现有的证券市场并不是完备的市场,因为作为一个完备的
市场,总能通过构造证券组合来满足投资者的各种要求。同时,也说明了衍生产品在资源配
置有效化中所起的作用。
期权理论之所以重要,不仅仅因为期权在证券市场结构中具有重要的作用,也因为期权
理论说明了投资学的基本原理被提高到了一个新的水平——在以动态结构为基本结构的经
济环境中应用这些原理。
期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域,包括各种衍生证券定价、
公司投资决策等。学术领域内的巨大进步带来了实际领域的飞速发展。期权定价的技巧对产
生全球化的金融产品和金融市场起着最基本的作用。近年来,从事金融产品的创造及定价的
行业蓬勃发展,从而使得期权定价理论得到不断的改进和拓展。
所以,无论从理论还是从实际需要出发,期权定价的思想都具有十分重要的意义。
下面举例说明期权定价思想的应用。
股票和债券作为期权的例子:
Popov公司被授权在南极洲举办下一年的奥运会。由于南极洲特殊的条件,该公司在奥
运会后将解散。公司通过发行债券来筹办这次奥运会。假设下一年债务连本带息为 800元,
到时债务将一次性付清。公司下一年的现金流预测如下:
表 7-6 现金流
非常成功 一般成功 一般失败 完全失败
支付债务前
的现金流
1000 850 700 550
债务 800 800 700 550
股东的现金流 200 50 0 0
(1) 依照看涨期权来表示
股东:把股票看成以公司为标的物(债权人拥有公司),执行价格为 800的看涨期权
股东现金流
公司现金流
O 800
图 7-13
债权人的头寸可以用下面两个权益来描述:
• 拥有公司
• 写一份以公司为标的物、执行价格为 800的看涨期权
债权人现金流
800
公司现金流
O 800
图 7-14
(2)依照看跌期权来表示:
股东的头寸可以用三种权益来表示:
• 拥有公司
• 连本带息欠债权持有者 800元
• 股东持有以公司为标的物、执行价格为 800元的看跌期权。债权持有者是看跌期权
的卖者
债权持有者的头寸可以用下面两个权益来描述:
• 有 800元的债权
• 卖出了以公司为标的物、执行价格为 800元的看跌期权
把具有违约风险的债权利用无违约风险债权和看跌期权来表示: 风险债券的值=无风险
债券的值-看跌期权的值
上述两种观点的一致性:
普通股票的价值+看跌期权的值-看涨期权的值=执行价格的现值
以公司为标的物的看涨期权的值=公司的值+以公司为标的物的看跌期权的值-无违约风
险的债权的值
公司的值-以公司为标的物的看涨期权的值=无违约风险的债权的值-以公司为标的物的
看跌期权的值