期权市场是世界上最具有活力和变化的市场之一，盈利和避
险的需要不断推动新工具的产生。
通过在常规期权的基础上加入了条件约束或者增加新的变量
等方式，形成比先前所学习的常规期权更复杂的衍生证券，统称
为奇异期权。奇异期权是世界上最具生命力的金融工具之一，其
内涵和外延无时不处在变化和拓展中。由于奇异期权的多样性，
要对它们进行完全的描述是不可能的。本章我们将介绍其中一些
常见的新型期权，分析其定价和保值机制。这些思路和方法将有
助于我们理解市场中不断创新的期权工具。
知识点
标题
认知度
奇异期权概述
奇异期权的分类特征（1）——分拆与组合
奇异期权的分类特征（5）——维数
障碍期权
在布莱克—舒尔斯偏微分方程框架中为障碍
期权定价
了解
了解
奇异期权的分类特征（2）——弱路径依赖
奇异期权的分类特征（3）——强路径依赖
奇异期权的分类特征（4）——时间依赖
奇异期权的分类特征（6）——阶数
障碍期权的分类
障碍期权的性质
数值定价方法
了解
了解
了解
了解
了解
熟悉
熟悉
熟悉
知识点
标题
认知度
障碍期权的套期保值
亚式期权
亚式期权的种类
亚式期权定价公式的具体方法
回溯期权
在布莱克—舒尔斯模型框架下的回溯期权
回溯期权的定价公式
回溯期权的数值定价方法
其他奇异期权
两值期权
打包期权
强势路径依赖期权定价的基本思想及其在亚式
期权中的应用
熟悉
了解
熟悉
熟悉
熟悉
熟悉
熟悉
了解
了解
知识点
标题
认知度
非标准美式期权
远期开始期权
呐喊期权
复合期权和选择者期权
多资产期权
了解
了解
了解
了解
了解
奇异期权：比常规期权(标准的欧式或美式期权 )更复杂的衍生证券。
比如执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期
权，或是在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作
废 。
Why am I called
Exotic?
分拆和组合是金融工程的核心之一。
最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到我们所需要的回报。
通过对奇异期权到期时回报的数学整理，常常可以把期权分 成常规期权、简单期权和其他金融资产的组合，从而大大简化期权定价过程。
导致弱式路径依赖的第二个最常见的原因是 。
当标的资产价格在事先确定的时间内触及某个预先确定的障
碍水平时，障碍期权（敲入或敲出期权）就可能被敲出（作废）
或是敲入（开始生效）。这种期权显然是路径依赖的，但是因为
我们仍然只需要解一个以资产价格和时间为变量的偏微分方程，
它仍然只是弱式路径依赖的。
如果期权价值会受到路径变量的影响，但是在期权定价的
偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的
独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。
强路径依赖性质表明：
期权的损益除了取决于标的资产的目前价格和时间之外，还取决于资产价格路径的一些特征。期权价值是原先的期权价格、时间和至少再多一个独立变量的函数，相应的在期权价值偏微分方程中也将增加期权价值对这些独立变量的导数。
奇异期权的一种变化形式是在以上所述的所有特征中加入时间
依赖（Time Dependence）的特性
比如说美式期权只能在特定的一段时间之内提前执行，如百慕
大期权；
敲出期权的障碍位置也可以随着时间而不同，每个月都可以设
定一个比上个月更高的水平。
这些合约都可以称作是时间上非均匀的（Time-inhomogeneous）。
这些变化使得期权合约更加丰富，也更符合客户和市场的特殊需求。
2.弱式路径依赖期权合约和那些除了不是路径依赖之外其他条件都与之完全相同的期权合约的维数相同。
维数（Dimensions）指的是基本的独立变量的个数。
二维的形式：
1.常规期权有两个独立变量 S 和 t ，因此是二维的。
对于这些合约来说，资产价格这个变量的作用和时间变量的作用是彼此不同的，因为在布莱克－舒尔斯方程中，包含了对资产价格的二阶偏导而只有对时间的一阶偏导。
1.有其他随机源的时候，
比如期权中有多个标的资产。假设有一个期权，要取两种股票价格的最大值。这两种标的资产都是随机的，每种都有自己的波动率，它们之间还有相关关系。在布莱克－舒尔斯方程中，我们将会出现对每种资产价格的二阶偏导，我们把这叫做存在 和 的扩散过程，这就出现了三维问题。
多维的形式：
2.强式路径依赖的合约。
比如一种新的独立变量是路径依赖量（比如亚式期权中的价格平均数）的一个衡量，期权价值是依赖于这个量的。这样，期权价格方程中需要再增加新的变量，但这时期权价格对这个新变量的导数只是一阶的。这样这个新的变量看起来更像是一个象时间一样的变量，这与多标的资产的情况显然是不同的。
奇异期权最后的一个分类特征是期权的阶数，但这不仅是一种分类特征，还引入了建模的问题。
常规期权是一阶的，其损益仅直接取决于标的资产价格
其他的如路径依赖期权，如果路径变量直接影响期权价格的话，它也是一阶的。
高阶指的是那些期权损益和价值取决于另一个（些）期权的价值。最典型的二阶期权的例子是复合期权。比如一个看涨期权给予持有者购买一个看跌期权的权利。复合期权在时刻 到期，而作为其自变量的那个标的期权则在更迟的一个时刻 到期。
从实际的角度来看，高阶期权的存在提出了一些重要的建模问题：复合期权的损益取决于标的期权的市场价值而非理论价值。
我们对两阶期权都要使用理论模型，这时高阶期权对模型正
确与否就非常敏感，需要很小心地处理。
障碍期权（Barrier Options）是指期权的回报（Payoff）依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就叫做“障碍”水平。通常有许多种不同的障碍期权在场外市场进行交易。
1.敲出障碍期权（Knock-out Options）：当标的资产
价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即被
“敲出”）；如果在规定时间内资产价格并未触及障碍水
平，则仍然是一个常规期权。
2.敲入障碍期权（Knock-in Options）：正好与敲出期权相反，
只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在
（即“敲入”），其回报与相应的常规期权相同；反之该期权作
废。在此基础之上，我们可以通过考察障碍水平与标的资产初始
价格的相对位置，进一步为障碍期权分类：
1.如果障碍水平高于初始价格，则我们把它叫做向上期权。
2.如果障碍水平低于初始价格，则我们把它叫做向下期权。
将以上分类进行组合，我们可以得到诸如向下敲出看涨期权
（Down-and-out Call）、向下敲入看跌期权（Down-and-in Put）等组合形式。
根据市场需求而变形的特殊交易条款
障碍水平
的重新
设定
障碍水平
的时间
依赖性
外部障碍
期权
提前执行
的可能性
多次触及
障碍水平
特殊
交易
条款
部分
折扣
双重
障碍
障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受
到资产到期前遵循的路径的影响。
障碍期权是属于弱式路径依赖。我们只需要知道这个障碍是否
被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息。关于路径的信息不
会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被
触发，障碍期权到期时的回报仍然和常规期权是相同的。
障碍期权通常比常规期权便宜。障碍距离资产价格现价越近，
期权被敲出的可能性越大，合约就越便宜。相反，一个敲入期权将
会被某个相信障碍水平将会实现的人购买，这时期权同样也会比相
应的普通期权便宜。购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有
类似性质的现金流保值。
定价基本原理
障碍期权是弱式路径依赖的，这使得我们仍然可以直接应用布莱克-舒尔斯期权定价偏微分方程来为其定价。在障碍条件被触发之前，期权价值仍然满足
障碍条件则反映在相应的边界条件上。
1. 敲出障碍
当标的资产价格达到敲出障碍水平时，期权合约作废，因此边界条件为
当 t <T 时，f (H, t) = 0
其中 H 可以是向上或向下的障碍水平。
对于一个向上敲出障碍期权来说，我们要在 的条件下解出布
莱克-舒尔斯偏微分方程，同时考虑资产价格达到 H 时的边界条件（），
最后如果障碍水平没有达到，还需要考虑回报。如一个看涨期权，我们有：
这一边界条件。
如果是一个向下敲出障碍期权，则将范围改为 ，考虑相应的
两个边界条件，解出偏微分方程。
注意如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件当 t <T 时，f (H, t) = 0
可以修改为： f (H, t) = R 其中R为折扣数 。
2. 敲入障碍
敲入期权只有在障碍水平被触及的时候才有价值，因此，如果没有到达障碍水平，则
对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。如果是一个向上敲入期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值 就等于一个相应的常规期权价值 。
当 时， ＝ 。
对于敲入期权来说，当障碍被触及时，我们得到的是衍生工具本身，因此一个敲入期权实际上是一个二阶合约。在解敲入期权价值的时候，我们必须先得到常规期权的价值，因此要花解敲出期权两倍的
时间，才能得到敲入期权的价值。
3. 敲入和敲出障碍期权的关系
在不考虑折扣R的情况下，具有相同的执行价格、到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期权具有如下的关系：
这是因为无论资产价格是否触及障碍水平，敲入期权和敲出期权的组合总能得到与常规期权相同的回报。这个关系在障碍期权定价中很有意义，只需要求出其中一个障碍期权，即可得到另一个的价值。
障碍期权的具体定价公式
向下敲出看涨期权
向下敲入看涨期权
障碍期权定价的扩展
波动率的选择
标的资产价格
的观察频率
障碍期权合约
中增加条款的
考虑
数值定价
方法
将结点设置
在障碍上
结点不在
障碍水平
上的调整
适应性
网状模型
图 三叉树图
图 二叉树图
尽可能地用交易活跃的常规看涨和看跌期权来复制障碍期权价值。
障碍期权的静态套期保值
比如为向上敲出看涨期权空头保值的一个常用方法是买进同样价格和到期日的看涨期权多头，若期权敲出，则还有一个看涨期权多头可以弥补。
但是只有在障碍水平和执行价格以正确的顺序排列
的时候才有效。
假设我们目前拥有一个向下敲入看涨期权，并假设障碍水平H
和执行价格X相等。现在用一个具有同样执行价格的常规看跌期权
空头来为其保值。如果触及障碍水平，则我们的组合头寸价值为
，其中第一项来自障碍期权，第二项来自常规期权。根据平
价关系和 ，组合价值正好等于，
这是一个接近0的数。此时我们将两个期权平仓，就可实现保值。
反射保值
很简单但
效果相当不错，
这个方法建立在反射原理和看涨看跌对称的基础上，
亚式期权（Asian Options）是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一。
它最重要的特点在于：其到期回报依赖于标的资产在
一段特定时间（整个期权有效期或其中部分时段）内的平均
价格。它属于强式路径依赖期权，因为这一平均价格将成为定价
公式中的一个独立状态变量。
平均资产价期权
平均执行价期权
几何平均
算术平均
定义反映资产价格路径平均值的变量
，消除随机项，获得无风险收益。使用B—S公式得到偏微分方程：
其中 为平均值函数，视期权合约条款规定而不同
分析易得 ，即I所满足的随机偏微分方程中并没有包含随机项，
因此我们仍然可以建立一个无风险组合
连续取样平均
偏微分方程中增加了对变量I的一阶偏导，是对第三个独立变量的影响的描述。边界条件变为
连续取样平均（续）
这里的P (S, I )表示T时刻的期权回报。
具体运用到算术平均和几何平均期权，偏微分方程分别为
1.更新规则
在离散取样平均中，我们通常使用一个更新规则（Updating Rule）的概念。假设每个取样日为 ，获得的路径依赖变量取值 ，由于取样的离散性，在 之间，路径依赖变量始终为 ，直到 才根据一定的规则更新为 。比如在简单的亚式平均期权中，这个更新规则为：
离散取样平均
2. 离散取样的定价方程
由于更新规则，实际上只有在取样日变量I才发生变化。在取样日之间，I 是常数，因此定价方程与一般的布莱克-舒尔斯偏微分方程相同：
离散取样平均（续）
定义 为无限接近取样日 的时刻， 则为取样日之后无限接近的时刻，期权价格的连续性要求：
离散取样平均（续）
用更新规则表示为
在亚式期权中，只有几何平均期权能得到精确的解析解。几何平均期权的解析价格公式之所以存在，是因为布莱克-舒尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。
几何平均亚式期权
亚式期权中更常见的情况是取算术平均，但是一系列对数正态分
布值的算术平均值并不服从对数正态分布。为了解决这个问题，
人们采用了各种方法，但是仍然无法得到解析的定价公式。对标
的算术平均亚式期权更多的是采用数值方法或以标的几何平均亚
式期权来近似逼近，常见的如下：
算术平均亚式期权
二阶矩近似法
控制方差法
相似变量代换法
能在价格最高点卖出，或在最低点买进，是市场交易者梦寐以求的情形。
回溯期权（Lookback Options）就提供了这样一种可能。
回溯期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称
为回溯时段）中达到的最大或最小价格（又称为回溯价
），根据是资产价还是执行价采用这个回溯价格，回溯
期权可以分为：
固定执行价期权
浮动执行价期权
回溯期权定价模型中包含路径依赖变量，属于强式路径依赖期权。
可依前述的强式路径依赖定价的思路，根据连续观测和离散观测的不同，将回溯期权定价纳入到布莱克-舒尔斯模型框架中。
但回溯期权的定价和亚式期权有所不同：
亚式期权中平均价必然会随着观测值的增加而改变，
取最值的回溯价则不一定会改变
Goldman, Sosin和Gatto（1979）推导出这个
方程的边界条件是
当 时， 。
最后由回报推出的边界条件是
（固定执行价看涨期权）
（浮动执行价看跌期权）
连续观测条件下的回溯期权的定价模型
当 时，最大值不会改变， 。这时我们使用以
作为参数的方程
B. Goldman, H. Sosin, H & M. A. Gatto, “Path Dependent Option: Buy at the Low, Sell at the High,” Journal of Finance 34 (December 1979), 1111-1128
离散观测条件下，回溯价是通过离散时间取得的观测值比较形
成的，其更新规则为
这样资产价格可能会在M之上，而且离散观测下的回溯价M更新的
次数要少于连续观测的状态，这使得离散观测的回溯期权价格偏低。
根据上述更新规则，我们可以得到离散观测的回溯期权的跳跃条件：
之后我们可以应用亚式期权一节中所介绍的离散取样的定价方
法，为回溯期权定价 。
离散观测条件下回溯期权的定价
其中M是目前已经实现的最小值。在布莱克-舒尔斯模型框架下，
期权价值为
欧式浮动执行价回溯看涨期权
其中
欧式浮动执行价回溯看涨期权
，
，
，
。
其中M是目前已经实现的最大值。在布莱克-舒尔斯模型框
架下，期权价值为
欧式浮动执行价回溯看跌期权
其中
欧式浮动执行价回溯看跌期权
，
，
，
。
回溯期权的定价就经常使用到二叉树模型。
但是，在使用二叉树模型的时候，在每个结点需要考虑到当前为止
不同路径所导致的不同的最大值或最小值，路径越多，这些值的个
数越多，降低了二叉树模型的实用意义
解决方法1、在每个结点，仅对路径函数中具有代表性意义的值
进行计算，其他值则用内插法从已知的值中计算得到
解决方法2、最高价格M和现价S之比 来建立标的资产
价格树图并进一步为期权定价
奇异期权的种类非常繁多，而且正在不断扩大中
除了前面具体分析的三种期权，本节还将介绍其他一些常见的奇异期权
两值期权
打包期权
标准美式期权
远期开始期权
呐喊期权
复合期权和选择者期权
多资产期权
两值期权（Binary Options）也是一种基本期权，其到期回报
是不连续的。
其中一种是现金或无价值看涨期权（Cash-or-nothing Call）。
到期日时，如果标的资产价格低于执行价格，该期权没有价值；
如果高于执行价格，则该期权支付一个固定的数额Q。
期权到期时价格超过执行价格的概率为
因此现金或无价值看涨期权的价值就是
相应地现金或无价值看跌期权的价值是
两值期权（续）
资产或无价值看涨期权（Asset-or-nothing Call）。如果标
的资产价格在到期日时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于
执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的款额。这种资产
或无价值看涨期权的价值就是 . 类似地，资产或无价
值看跌期权的价值就是 。常规期权可以分解为两值期权的组合。比如一个常规欧式看涨期权就等于一个资产或无价值看涨期权多头和一个现金或无价值看涨期权空头之和，一个常规欧式看跌期权等于一个资产或无价值看跌期权多头和一个现金或无价值看跌期权空头之和，其中的现金支付金额等于执行价格 。
打包期权通常是由常规的欧式期权、远期合约、现金和标的资产等构成的证券组合。
经济意义：可以利用这些金融工具之间的关系，组合成符合需要的投资工具
最常见的打包期权：具有零初始成本的期权组合
另一种可以实现零初始成本的期权是延迟支付期权（Deferred Payment Options）
原理：目前不支付期权价格，到期时支付期权价格的终值。
执行价格等于相应资产的远期价格时，这类延迟支付期权又叫做不完全远期、波士顿期权、可选退出的远期和可撤销远期。
标准美式期权在有效期内任何时间都可执行且执行价格总
是相同的，非标准美式期权则对其做了一些改动：
百慕大期权（Bermudan Options）只能在事先确定的
时间内提前执行
公司发行的认股权证（Warrants）往往规定提前执行
的时间段，而且执行价格也会有所不同
远期开始期权（Forward Start Options）是现在支付期权费而在未来某时刻才开始的期权
零时刻的期权为
远期开始期权的价值与具有相同有效期的处于平价状态的常规期权价值完全相同。
呐喊期权(Shout Options) 是一个常规欧式期权加上一个额外的特征：
在整个期权有效期内，持有者可以向空头方“呐喊”一次
在期权到期时，期权持有者可以选择以下两种损益中的一种：
一个常规欧式期权的回报
根据呐喊时刻的内在价值得到的回报
呐喊期权的回报写为
其中T 是到期时刻， 是指呐喊时刻的资产价格
我们也可以用二叉树或三叉树模型为呐喊期权定价，
在每个结点我们都要分别计算持有者呐喊和持有者没有呐喊的期权价值，取其大者。
整个过程很类似美式期权的定价过程。
复合期权：
在 时刻给予持有者一个在特定时间 以特定价格买卖
另一个期权的权利，后面这个标的期权将在 时刻到期。复
合期权是二阶期权，因为复合期权给了我们对另一个衍生工具的权利。
首先，为标的期权定价
假设我们的复合期权是看涨期权的看涨期权，则标的期权价值 满足
条件为
其中 为 时刻标的期权中的标的资产理论价格， 为标的期权执行
价格。通过以上公式计算出 时刻的标的期权理论价值 。
复合期权（续）
然后为复合期权定价，得到 时刻的复合期权价值满足：
条件为
其中 为 时刻标的期权中的标的资产价格， 为复合期权
执行价格。
选择者期权
持有者可以在特定时间 以特定价格选择一个进一步的
期权：持有者可以选择购买一个看涨期权或是购买一个看跌期权。
在 时刻的回报为：
其中的 和 分别代表 时刻备选看涨期权和看跌期权的价值， 和 则表示事先确定的这两种期权的购买价格， 为 时刻的标的资产价格。
复合期权和选择者期权的定价模型在实际应用方面存在着同样的问题：
期权价值对资产价格服从的概率分布性质非常敏感，这些公式在实际当中都很少直接使用，交易者常常用我们在第七章中所介绍的随机波动率模型或是隐含波动率矩阵来定价。
多资产期权（Multi-asset Options）中往往包含两个或两
个以上标的资产，需要引进多维的概念。在三维或多维概念下
，我们必须考虑标的资产之间的相关关系，相应地产生了Ito引
理和布莱克-舒尔斯模型在多维世界中的扩展。
在多资产期权中，每个标的资产仍然假设服从几何布朗运动：
其中
是在第 个几何布朗运动和第 个几何布朗运动之间的相关
关系
（一）彩虹期权
彩虹期权（Rainbow Options）是指标的资产有两种以上的期
权，比如篮子期权（Basket Options）。篮子期权的回报取决于一
篮子资产的价值。这些资产包括单个股票、股票指数或是外汇等。
篮子期权的价值可以在高维的布莱克-舒尔斯框架中得到解释。
建立一个包括一篮子期权 和 份各项标的资产
的组合，令 ，我们就可以得到无风险组合，这样根据布莱
克-舒尔斯的建模思想，我们得到篮子期权的价值方程为：
（二）资产交换期权
资产交换期权（Exchange Options）是另一种常见的多资
产期权，它可以有多种形式：比如对于一个美国投资者而言，用澳元购买日元的期权就是用一种外币资产交换另一种外币资产的期权，股权收购（Stock Tender Offer）则可以看成是用一个公司的股份换取另一个公司股份的期权。
一个在 时刻用价值为 的资产来换取价值为 的资产的欧式期权，其回报为
资产交换期权（续）
Margrabe首先提出了这个期权的定价公式：假设资产价格U和V都遵循几何布朗运动，波动率分别为 和 ，收益率分别为 和 ，零时刻的资产价值分别为 和 。进一步假设U和V之间的瞬时相关关系为 ，则零时刻期权的价值为
其中
1.奇异期权的基本类型包括分拆与组合、弱式路径依赖、强式路径
依赖、时间依赖、维数和阶数。
2.奇异期权的变化很多，并且处在不断的衍生和变化当中。
3.障碍期权的回报依赖于标的资产的价格在特定时间内是否达到了一
个特定的水平，一般可以分
为敲出期权、敲入期权、向上期权和向下期权等。障碍期权属于弱
式路径依赖期权。
4.亚式期权的回报依赖于标的资产在一段时间内的平均价格，回溯期
权的损益则依赖于标的资产在某个确定的时段中达到的最大或最小
价格，它们都属于强式路径依赖期权。
5.其他的奇异期权还包括两值期权（现金或无价值期权、资产或无价
值期权）、打包期权（由期权和其他金融资产组成的证券组合）、
远期开始期权（现在支付期权费而在未来某时刻才开始的期权）、
二阶期权（复合期权和选择者期权）、多资产期权（多个标的资产
的期权）以及呐喊期权等等。
6.大多数奇异期权和路径依赖期权的定价仍然可以在布莱克－舒
尔斯模型框架中进行。例如障碍期权中的障碍条件主要反映在相
应的边界条件上，连续平均的亚式期权在原来的偏微分方程中加
进了对新的平均值变量的一阶偏导。我们也可以得到其中一些奇
异期权的定价公式。但是大部分情况下，我们无法得到精确的解
析解，或者是这些公式难以在实际中运用，大多时候人们是用数
值方法或是近似方法来为奇异期权和路径依赖期权定价。
7.蒙特卡罗模拟常用于处理路径依赖期权，但缺点是收敛缓慢，
为此，人们对树图方法进行了多种改进，使之可以用于估计许多
路径依赖型的期权价格。
8.有些奇异期权比常规期权更容易保值，如亚式期权，另一些奇
异期权则更难保值，如障碍期权，现实中人们使用静态期权复制
的方法来为之保值 。
奇异期权确实是无法尽述的。它的丰富多变就是金融工程
的核心和魅力的体现。
1.二阶矩近似法
这是在现实中应用得最广泛的方法之一，它适合于为离散算术
平均亚式期权定价。其主要思想是：尽管分布是未知的，但算术平均价
格的前两阶矩（即均值和方差）是可以精确计算出来的，用一个适合前
两阶矩的对数正态分布逼近算术平均价格的分布，即假定算术平均的分
布是具有相同均值和方差的对数正态分布，进而计算算术平均亚式期权
的价格。
考虑一个刚推出的亚式期权，其平均值为从发行零时刻到到期
时刻之间的算术平均：
定义一阶矩
二阶矩
这是因为欧式算术平均执行价看涨期权价格的边界条件是：
； ； ； 。
由于使用对数正态逼近，我们可以把算术平均价格期权看作一
个波动率为 的标的资产为期货的期权，其中
；
这样，就把算术平均亚式期权定价转化成了常规期货期权的定价问题。
以上的计算仅适合于新期权。若期权已经存在了一段时间 ，还剩下 时间。在 内，已经可以观察到构成平均值的部分价格，这段时间的平均价格为 ，对于一个平均资产价看涨期权来说，这个期权的回报为：
（）
其中 是剩余期限内的平均价格。式（）可以写作：
其中 。
当 时，期权仍然可以用前面的方法定价，只是用
作为执行价格，并把结果乘上 ；如果 ，期权肯定会被
执行，可以看成一个远期合约，其价值为：
.
2. 控制方差法
亚式期权中的控制方差法主要是利用价格公式计算几何平均期权的价格
，再应用蒙特卡罗模拟得到几何平均期权的近似价格 ，将误差
作为除了采用算术平均之外其他条件都相同的（即这两种期权的标的资产价格路径是相同的）期权价格的估计值 的一个控制，即期权A价值的一个无
偏估计是 ，这个方法可以降低对 估计的方差，从而缩小算术平均亚式期权定价的蒙特卡罗模拟的置信区间。这个方法在实际中也很常用。
3. 相似变量代换法
亚式期权价格是三个变量的函数：标的资产价格S，时间t和一
个表示平均价格演进状态的状态变量I。在一些情况下，由于期权本身的
结构性特点，使得这个问题可以用一个相似变量将其降为二维的方程。
比如连续取样的算术平均执行价期权，其代换过程如下：
算术平均执行价看涨期权的回报为：
将 提取出来，令 ，得到回报的另一种形式为：
这样，期权价值可以写成两个变量的函数：
我们发现，欧式算术平均执行价看涨期权的W满足如下的偏微分方程：
其边界条件为：
； ；
这个偏微分方程可以用数值方法求解，比较简单。
除此之外，为亚式期权定价的方法还包括四阶矩近似法、二叉树
模型等。
