第五章 债券价格波动性的衡量
重点和难点是久期和凸性的概念
债券风险
（1）利率风险；
（2）违约风险（信用风险）；
（3）通货膨胀风险；
（4）提前偿还风险；
（5）汇率风险；
（6）流动性风险。
债券利率风险
包括:价格(市场）风险;再投资风险
所有债券价格都受利率变化的影响
对于高等级债券利率风险更重要
本章重点介绍如何衡量债券价格变化的波动性
债券价值和收益率的关系
债券价格和收益率反方向变动
例子:
息票率6%
面值 = $1,000; 到期日: 2009年9月15日
支付日: 4月15日, 9月15日
半年利息=(6% of $1,000)/2=$30
现在是2002年10月15日
收益率
债券价格
息票现值
面值现值
%
1,
%
1,
%
%
%
%
%
%
%
%
该债券在2002年10月15日的价值
债券价格和收益率关系
债券价格和收益率反方向变化
$0
$50
$100
$150
$200
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
收益率
债券价格
债券价格和到期日之间的关系
随着到期日的临近，债券的价格趋向于面值
10% Return
6% Return
75
85
95
105
115
125
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
距到期日的年数
Price
到期时间影响债券价格变化
临近到期时间，债券价格趋向面值
相同面值、票面利率、收益率，到期时间越短则债券溢价或者折价的幅度越小
价格=本金现值+利息现值
临近到期日，息票支付减少，息票现值降低，本金现值增加。折价债券本金现值增加超过息票利率的减少，价格上升；溢价债券相反，价格下降。
面值100，票面利率8%，一年支付一次，下次在一年之后，10年后到期。
收益率为6%情形，溢价债券：
收益率为10%情形，折价债券：
剩余期限
10
5
1
0（到期日）
价格
100
剩余期限
10
5
1
0（到期日）
价格
100
债券价格波动性的特点
1、价格的利率敏感性与债券的票面利率具有反向关系。其他因素相同时，低票面利率债券比高票面利率债券价格的利率敏感性更强。
2、价格的利率敏感性与债券的到期时间长短具有正向关系。其他因素相同时，长期债券比短期债券价格的利率敏感性更强。
3、随着到期时间的增长，价格的利率敏感性增加，但是增加得越来越慢。
债券价格波动性的特点（续）
4、收益率上升导致价格下跌的幅度比等规模的收益率降低带来的价格上涨的幅度小，这被称为价格波动的不对称性。
5、价格的利率敏感性与债券的初始收益率水平具有反向关系。其他因素相同时，债券的初始收益率较低时，价格的利率敏感性更强。
价格
收益率
价格和收益率关系
Examples
Bond
Coupon
Maturity
Initial YTM
A
10%
5 years
9%
B
10%
20 years
9%
C
4%
20 years
9%
D
4%
20 years
5%
A
B
C
D
价格的利率敏感性比较
价格
0
票面利率大小与债券价格波动
A、B两种债券，半年付息一次，下次再半年之后，资料如下：
收益率上升到10%，新价格和变化率
A
B
票面利率（%）
8
10
面值
100
100
信用评级
AA
AA
到期时间
10
10
收益率（%）
8
8
价格
价格
100
价格波动（%）
票面利率的大小与利率风险
其他因素相同，票面利率越低，利率风险越大.零息债券的利率风险最大！
$0
$50
$100
$150
$200
1%
3%
5%
7%
9%
11%
13%
15%
Rate
Price
10%
8%
期限越长的债券价格的利率敏感性越大
ex. A B C
票面利息 ($) 80 80 80
面值 100 100 100
Moody's Rating Aa Aa Aa
期限 5 yrs. 10 yrs. 15 yrs.
YTM 8% 8% 8%
价格 100 100 100
收益率增加到10%
新价格:
%Price change: %
如果是无限期债券，则变化更大。假设债券D除了期限是无穷之外都与上述债券相同，则收益率从8%到10%时，价格由100变为80，下降20%！
期限越长，债券价格对利率变化越敏感。
随着到期时间的增长，价格的利率敏感性以递减的速度增加
上述A、B、C三种债券收益率增加2个百分点，价格下降百分比分别为、和个百分点。
这三种债券的到期时间依次递增5年
B比A波动大个百分点，而C仅比B波动大个百分点
利率敏感性增加速度随着到期时间的增长而递减
债券期限长度和利率风险
债券期限越长，利率风险越大
$0
$50
$100
$150
$200
$250
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
Rate
Price
10 Year
20 Year
5 Year
债券价格波动的不对称性
收益率的下降比上升对债券价格影响更大
上例中，收益率从8%降到6%时，A、B和C三债券的价格分别变为、和，变动百分比分别为%、%和%。如下表所示
从上表中可以看出，收益率的变动对债券价格的影响是不对称的。
6%（降低）
%
%
%
10%（升高）
%
%
%
初始收益率与债券价格波动
其他因素不变时，初始收益率越低，债券价格的利率敏感性越强：
市场利率水平越低时，债券价格的利率敏感性越强
到期收益率水平越低，债券价格的利率敏感性越强。
ex. A B
息票率（%） 8 8
面值 100 100
信用评级 Aa Aa
到期时间 10 10
YTM（%） 8 10
价格 100
收益率上升：
A
B
收益率上升一个百分点
%
%
初始收益率
8%
10%
简单价格波动性衡量
基点价格值：收益率变化%，债券价格变化量
价格变化的绝对值
相对值称作价格变动百分比
价格变动百分比=基点价格值/初始价格
价格变化较小情形
A B C
票面利息 ($) 80 80 80
面值 100 100 100
Moody's Rating Aa Aa Aa
期限 5 yrs. 10 yrs. 15 yrs.
YTM 8% 8% 8%
价格 100 100 100
A
B
C
价格+1基点
价格-1基点
价格变化较大情形
A
B
C
价格+10基点
价格-10基点
A
B
C
价格+1基点
价格-1基点
A
B
C
价格+100基点
价格-100基点
债券组合基点价格值
先得到每一种债券基点价格值，然后加总
A
B
C
每张债券基点价格值
持有量
100
300
1000
每种债券基点价格值
债券组合基点价格值
价格变化的收益值
价格变化一定数量时，收益率的变动值
教材5-10。
期限是影响利率风险的主要因素，但不是唯一的因素
久期（Duration）可以用来度量债券价格对利率的敏感性
类似于弹性的概念，久期等于价格变化百分比除以收益率变化百分比：
这可以通过现值公式推导得到
知道久期可以计算一定的收益率百分比导致的价格变化百分比：
Duration 1
推导久期公式
久期
也叫麦考利久期（Macaulay）
现金流时间的加权平均
权重是每次现金流的现值占总现金流（价格）的比重
所有现金流的平均到期时间才是衡量普通债券利率敏感性的准确指标
除零息债券之外，久期小于期限
零息债券久期等于期限
特殊债券久期大于期限，原因是对于利率变化非常敏感
本质上是对利率敏感性的度量，而不是一种期限
久期的计算方法
根据定义，不同情况具体计算，注意简化公式，注意单位
久期重要的原因
度量债券利率风险的准确指标
可用于比较不同息票率、收益率和期限的债券的利率风险
度量债券的有效期限（每一个现金流的到期期限的加权平均）
是债券组合管理的基本概念，尤其是在免疫策略的应用中
久期
到期期限不能很好地衡量债券的实际期限
需要考虑利息额的大小
计算平均值: “有效期限”
(Macaulay) 久期: 现金流发生时间的加权平均值,权重为各现金流的现值占所有现金流现值总和的比重 :
Duration: Calculation
久期计算例子
例5-11 面值100，息票率8%，三年期限，半年一次，下次半年之后。到期收益率为10%。注意单位是半年
期数
现金流
现值
权重
时间权重乘积
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
104
总计
1
例子 :久期 计算
面值100，3年期零息债券，收益率10%
期数
现金流
现值
权重
时间权重乘积
1-5
0
0
0
0
6
100
1
6
总计
1
6
简化公式
简化公式
久期规则
Rule 1 其他因素不变，票面利率越低，息票债券的久期越长：票面利率越高，早期现金流现值越大，权重越高，因此时间加权平均值也就是久期越低。就是说短时间权重大，因此均值低。与前面票面利率越低利率敏感性越高一致
Rule 2 到期收益率越低，久期越长：后期现金流现值大，权重高。这与到期收益率越低，利率敏感性越高是一致的
Rule3 到期时间越长，久期越长。这与到期时间越长，利率敏感性越高一致
久期并不一定总是随着到期时间的增长而增长。
收益率很高的债券的久期可能会随着到期时间的增长而减短
息票债券久期的增长速度小于到期时间增长速度。到期时间增长1年，久期增长小于1年
零息债券二者相等
浮动利率债券的久期
刚刚支付完利息的每个利息支付日，浮动利率债券价值都等于面值
下一个利息支付日，价值等于面值加上利息
等同于零息债券，该零息债券的期限等于重新设定票面利率所经历的期限。
如果浮动利率的票面利率每年重新设定一次，不管浮动利率债券本身期限多久，久期都是一年
久期与价格波动的关系
与债券的到期时间相比久期能够更准确度量价格对利率的敏感性
价格的利率敏感性对于债券组合利率风险管理是非常重要的
到期时间相同的两个债券如果票面利率不同显然也会具有不同的利率敏感性
然而，久期相等时，不论票面利率如何，两个债券的利率敏感性都是相通的
久期同时考虑了票面利率和到期时间
债券价格与久期成比例
久期与价格波动的关系
令D* 为修正久期，则债卷价格和久期之间的关系为：
Example: y = +100 basis points, D* = 5
P/P = - 5 x = or –5%
例5-13
面值100，息票率8%，三年期限，半年一次，下次半年之后。到期收益率为10%。久期是年。还有一种面值为100元，据到期日还有年的零息债券，久期也是年。比较两者的利率敏感性
久期相等，利率敏感性相等
两种方法比较
例5-14
利用久期和价格波动的关系，计算例5-7中债券A在收益率变动1个、100个基点时的价格波动
面值100，息票率8%，到期时间5年，收益率8%，利用平价债券久期公式可得久期为（半年），修正久期为（半年）
结果对比
收益率变动较小，一致
变动较大，不一致
久期计算结果对称，线性近似，误差随着收益率变动增加而增加
看图5-8，pp106
资产组合的久期
组合的久期是组合中各个债券的久期加权平均，权重是各个债券的市场价值与组合总市值的比例
面值
票面利率
到期时间
市场价格
到期收益率
A
1000
6%
6
7%
B
20 000
%
5
20 000
%
C
10 000
%
4
8%
首先计算各个债券的久期和修正久期
然后用各个债券市场价值所占组合市场价值之比例作为权重计算组合的修正久期
久期缺口（duration gap）分析
净资产百分比变化：
%ΔNW≈-DURgapⅹΔi/（1+i）
一家商业银行的资产价值为100，负债价值为95，当利率从10%上升到15%时，这家银行的净资产价值有何变化（资产负债久期分别是和）？
DURgap=-（95/100*）=
%ΔNW≈ⅹ
久期和凸性
Price
Duration
Pricing Error from convexity
Taylor expansion
凸性可以用来修正用久期计算价格波动带来的误差
对基于久期的价格变化进行修正：
凸性定义:
CFt 是t期的现金流.
凸性 (1)
久期是对价格收益率曲线上某一点斜率的度量 – 一阶导数
凸性是对价格收益率曲线上斜率变化的度量—二阶导数.
凸性度量价格收益率曲线的弯曲程度
凸性 (2)
性质: 凸性越大, 给定收益率变化时，价格增加越大，而价格减小越不明显
凸性 (3)
凸性 (3)
凸性 的计算
附息债券的凸性另一种计算公式:
Convexity (5)
Example:
10年期，9%息票率，面值售价，半年付息一次，半年期凸性 是，年化凸性为:
例5-16：面值100，r=8%,3年，半年一次，y=10%
t（期数）
现金流
现值
权重
t*(t+1)*权重
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
104
合计
1
半年期凸性=
年化=
例5-17 F=1000，r=10%，5年，y=14%，久期和凸性？
久期
时间
现金流
现值
权重
t*权重
t(t+1)
t(t+1)*权重
1
100
2
2
100
6
3
100
12
4
100
20
5
1100
30
1
D=
C=
久期和凸性与价格波动
泰勒展开，忽略高阶项
收益率较大时需要同时考虑久期和凸性
凸性非负，因此相对于考虑凸性情形，在利率降低时，不考虑凸性会低估价格上升幅度；利率升高时，又会高估。
凸性越大，对投资者越有利：收益率降低时价格上涨幅度越大，升高时价格下降幅度越小
考虑凸性，重新计算例5-7中债券A收益率变动1、100个基点引起的价格变动
+1个基点
-1个基点
+100个基点
-100个基点
久期
久期+凸性
实际值
可赎回债券的凸性
市场利率高于息票率，不赎回
市场利率低于息票率，赎回
利率高时，凸性相同，仅仅是价格相差一个差价
利率低时，凸性转负
继续降低，水平
债券久期的近似计算
例子
期限为25年票面利率为6% 的债券到期收益率为 9%,最初的价格P0 为
步骤 1:将收益率从 9% 提高到 %. △y 为.债券价格降为(P+)
步骤 2: 将收益率从 9% 降为 %. 债券价格则(P-) 为
近似久期可计算如下:
例子
Definition
VaR Value at Risk
指的是，一定时期内，给定某一置信水平，最糟糕情形发生时，发生的潜在损失
VaR=期望收益-某置信水平 c (例如99%) 情形对应的收益率
V=投资组合当前值,
R=投资区间 H的收益率，μ=期望收益率，R＊=某置信水平c最坏情形对应的收益率
VaR(H;c)=E(V)-V＊=V(μ-R＊)
If R ~N（μ,σ2）
Prob(R< R＊)= Prob[(R- μ) / σ < (R＊ - μ) / σ )=1-c
The cut-off return R＊can be expressed as:
R＊ = μ+α σ
VaR(H;c)=-α σ V
运用VaR衡量债券组合的价格风险
△V=-VD＊ △ y
σ （△V）=-VD＊ σ （△ y）
1%
*
*
*
*
