投资学第八讲
债券的收益与价格以及债券投资管理
厦门大学金融系副教授
陈善昂 博士
厦门大学金融系 陈善昂
教材与参考资料
教材第7,8,17三章。
博迪等《投资学》第14-16章。
夏普等《投资学》（上）第14-16章。
弗兰克.J.法博齐《资本市场:机构与工具》。
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债券属性
Bond Characteristics
到期时间(Time to Maturity)
面值(Face or par value)
息票率(Coupon rate)
零息票债券(Zero coupon bond)
债务契约(Indenture)
可赎回条款(Call Provision)
税收待遇(Tax Treatment)
流通性(Liquidity)
违约风险(Default Risk)
可转换性(Convertibility)
可延期性(Extendability)
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债券类型
中长期国债
-中期国债(Treasury notes)的期限最长为十年.
-长期国债(treasury bonds)的期限为10-30年.
两者都以面值发行或溢价发行,都是半年付息一次.除了到期日不同外,两者的唯一区别在于前者在特定期限内可赎回,通常是最后五年内.
公司债券
公司债券是私人企业直接从公众中筹资的方式.也是半年付息一次,到期公司向债券持有者支付债券的面值.公司债券与长期国债最重要的区别是风险程度的不同,购买公司债券必须考虑违约风险.
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公司债券中的相关条款
[1]赎回条款,大部分公司债券都附有赎回条款,允许发行人在债券到期日之前以特定的价格赎回部分或全部债券.
[2]偿债基金条款,公司债券通常会要求发行人每年提取一定的偿债基金,让发行人每年赎回一定比例的债券.
[3]转换条款赋予债券持有人将其债券转换成一定数量的同一发行人发行的普通股的权利.可转换债券实质上是一种内含购买发行人发行的普通股的买入期权的公司债券.
[4]公司破产条款,当发行人不能按时偿付债券的本息时,就称债券违约.如果一家公司没有能力偿付其债务,就称其为技术性无力偿付(或股权意义上的无力偿付)；如果公司资产价值低于其负债价值,就称其为无力偿付(或破产意义上的无力偿付).当公司无力偿付其债务时,如果不能与债权人达成协议,结果只能是公司申请破产保护,或者债权人强制要求公司破产偿债.
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债券价值(价格)：基本模型
V = 债券价格
Ct = 利息
T = 到期日
r = 预期收益率
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解释
债券价值＝息票利息值的现值＋票面值的现值.
公式中,除了现金流以外,最为重要的因素就是折现率.折现率一般由无风险真实收益率、预期通货膨胀补偿率与风险溢价三部分组成.
其中,风险溢价反映了债券的某些属性,如违约风险、流动性、税收待遇、赎回风险、可转换性等等.
但是,为了简化问题,一般假设只有一种利率(即到期收益率YTM),它适合于任何到期日现金流的折现.
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举例
某债券:30-yr,8%息票债券(每半年付息一次),面值$1000
Ct = 60 (半年)
V = 1000
T = 60 periods
r = 4% (半年)
本例中,息票率等于到期收益率,因此,债券的价值就等于其面值.
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扩展
-息票率不等于YTM时的情形
例如,如果市场利率提高到10%(半年为5%),债券价格将降低至元.
40元×年金因素(5%,60)＋1000元×现值因素(5%,60)
=元＋元＝元
利率越高,则投资者所得的现值支付就越低.因此,债券价格在市场利率上升时会下跌.原因在于,债券支付的现值是以更高的利率贴现得到的,利率上升,债券价格一定会下跌.
教材P164图为债券价格-收益率曲线.斜率为负的曲线表明了债券价格和收益率之间的反比关系.而且,图中曲线的形状显示了利率的上升所引起价格的下降程度逐渐变小.因此,曲线在较高利率时变得比较平缓.这就是后面要讨论的债券凸性问题.
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期限与债券价格[1]
债券价格受市场的影响而发生变化,它与市场利率呈反向变动.
假定其他因素不变,债券期限越长,价格对于利率波动的敏感性就越大.
如图所示期限与债券价值[3],到期日越短,价格的变动越小. 因为,假如投资者按面值购买了债券,但随后市场利率上升了,那么,投资将遭受资本损失.而且,随着投资者的资金被套牢的时间越长,损失就越大;相应地,债券价格就会有更大程度的下跌.图中显示,越临近到期日(假设为1年),债券价格对利率的敏感性越小.换言之,对于期限短的债券,利率变化对收益的威胁不是很可怕.但是,对于期限长的债券(如30年期),利率波动会对债券价格产生很大的冲击.
国库券之所以被认为是最安全的证券,在于它们不仅没有违约风险,而且几乎没有因利率多变而引起的价格风险.
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期限与债券价格[2]
给定其他因素不变,债券的到期时间越长,债券价格的波动幅度越大.但是,当到期时间变化时,债券的边际价格变动率递减.下表显示了息票率(6%)与面值(100)相同,但期限不同的债券(随YTM变化)的内在价值变化.
YTM%
期限
1年
10年
20年
30年
4
5
6
7
8
102
116
127
135
101
108
112
115
100
100
100
100
99
98
93
86
89
80
88
77
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期限与债券价格[3]
如果债券的收益率在整个生命期内都不变,则折扣或溢价的大小将随到期日的临近而逐渐减小.如下图所示.
面值
溢价债券价格
折价债券价格
溢价
折价
到期日
今天
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期限与债券价格[4]
价格-收益曲线和期限.3种债券的息票率均为10%,但期限分别为30年,10年和3年.在YTM=10%时,3债券的价格等于面值,因而3条曲线在此相切.但是,由于期限不同,3条曲线绕面值点旋转的量有所不同.其主要特征是随着期限的延长,曲线围绕面值点的旋转越来越陡.表明期限越长,价格对收益的敏感度越高.
YTM
30-Yrs
10-Yrs
3-Yrs
Price
0
10%
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期限与债券价格[5]
-零息票债券价值随时间的变化
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息票率与债券价值
息票率决定了未来现金流的大小.给定其他因素不变,债券的息票率越低,债券价格随收益率波动的幅度越大.因为,息票率越低,差价越大才能使债券的收益保持均衡.
见教材P166表债券价格变化与息票率之间的关系.
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可赎回条款与债券价值[1]
发行公司实行早赎权的价值
利率
价格
非早赎直接债券的价格曲线
早赎债券的价格曲线
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可赎回条款与债券价值[2]
债券被提前收回的可能性越大,其到期收益率就应该越高—即息票率越高或早赎溢价越低,到期收益率就应该越高.因为在其他条件不变的情况下,息票率越高或早赎溢价越低的债券,其内在价值也就越低.
例如,某一面值1000元、息票率8%、30年期债券,以1150元价格发行.在发行10年后,以1100元的价格赎回,早赎溢价100.则赎回收益率(YTC)为%,而非赎回的到期收益率为%.表明30年的实际到期收益率较原承诺的到期收益率低.计算见以下两页.
结论:某一早赎债券的息票率越高,其承诺的收益率和实际收益率之间的差异也就越大.
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可赎回条款与债券价值[3]:计算
非早赎债券的到期收益率
早赎债券的到期收益率
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税收待遇与债券价值
债券利息收入纳税与否直接影响着投资的实际收益率,因此,税收待遇是影响债券价格的一个重要因素.
在美国,市政债券的利息收入免征联邦收入所得税,所以,其到期收益率通常比类似的应税债券的到期收益率低,即其市场价格要高一些.
此外,税收待遇对债券价格和收益率的影响还表现在对贴现债券的影响上.对于息票率较低的贴现债券而言,其投资收益中的资本利得部分可以享受延缓纳税的待遇,因此,它们的税前收益率通常低于类似的应税高息票率债券,即低息票债券的债券价格要稍微高一些.
简言之,享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券.
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流动性与债券价格
债券的流动性(Liquidity)是指债券持有人在无损状态下将债券迅速变现的能力.
在债券市场上,绝大多数债券是通过交易商来完成的,因此,通常用债券买卖价差的大小衡量债券流动性的高低,价差较小说明债券的流动性较高;反之,则流动性较低[买卖差价反映了报价方对风险的估计].
在债券市场上通常可看到,交易活跃的债券的买卖价差比交易冷清的债券要小,因为交易活跃的债券的流动性较高,从而持有这种债券的风险就较小.
因此,在其他条件不变的情况下,流动性较高的债券的到期收益率较低,价格较高.相应地,债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系.
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违约风险与债券价格
债券违约溢价
0%
8%
期限与利息类似的无违约风险债券的YTM
9%
预期的YTM
承诺的YTM
12%
无违约风险YTM
风险溢价
违约溢价
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可转换条款与债券价格
可转换条款实际上是债券发行人向债券持有人出售了一个股票的看涨期权,因此,转债的价值由纯粹债券价值与可转换价值两部分构成.
转换率(Conversion Ratio):每单位债券可以换得的股票数.
转换价值(Conversion Value):转换所得股票的价值.
转换溢价(Conversion Premium):债券价格与转换价值之差额.
只有在转换价值高于债券市场价格时,即转换溢价为正时,转换才有可能发生.
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可转换债券举例
例：某一可转换债券,面值为$1,000(假设等于当前市场价格),转换率为20,当股价为$45,转换溢价为-$100,转换不可能发生;当股价上涨到$55时,转换溢价为$100,投资者可能进行转换而获利$100.
发行人在发行可转换债券时,所设定的转换率会使债券持有人不能通过立即行使转换权而获利,以免债券持有人立刻将其转换成股票.因此,如果股票价格没有相当幅度的上涨,转换不能实现,那么,可转换债券的到期收益率通常会较低,价格会比较高.但是,如果股价上涨到进行转换能够获利时,持有人的收益率就会高于承诺的收益率.
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可延期性与债券价格
可延期债券给予持有人一种终止或继续持有债券的权利.如果市场利率低于息票率,投资者将继续持有债券;反之,如果市场利率上升,超过了息票率,投资者将放弃这种债券,收回债券,投资于其他收益率更高的资产.
这一规定有利于投资者,所以,可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低.
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债券属性与债券收益率
债券属性
与债券收益率的关系
当预期收益率/市场利率调整时,期限越长,债券价格的波动幅度越大;但是,当期限延长时,单位期限的债券价格的波动幅度递减.
1.期限
当预期收益率/市场利率调整时,息票率越低,债券价格的波动幅度越大
2.息票率
当债券被赎回时,投资收益率降低.所以,作为补偿,易被赎回的债券的名义收益率比较高,不易被赎回的债券的名义收益率比较低.
3.可赎回条款
享受税收优惠待遇的债券的收益率比较低.
4.税收待遇
流动性高的债券的收益率比较低,流动性低的债券的收益率比较高.
5.流动性
违约风险高的债券的收益率比较高,违约风险低的债券的收益率比较低.
6.违约风险
可转换债券的收益率比较低.
7.可转换性
可延期债券的收益率比较低.
8.可延期性
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债券的收益
债券的收益是指由支付结构所隐含的利率.具体而言,债券的收益即为使支付款项现金流现值与债券当前价格相等的利率.这一价值更确切地以到期收益率(Yield to Maturity, YTM)来表示,以区别于有时使用其他收益率指标. YTM就是债券当前价格的IRR.
附息债券的到期收益率是债券收益率的基本模型,但考虑到其他因素之后就出现了简易贷款,年金,贴现债券与永久性债券等到期收益率.
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简易贷款的到期收益率
金额为100元的一年期贷款,一年后的偿付额为100元本金外加10元利息.求YTM.
计算公式：
结果：
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年金的到期收益率
面额为1000元的抵押贷款,期限为25年,要求每年支付126元 .求YTM.
计算公式：
结果：y=12%
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附息债券的到期收益率
息票率为10%、面额为1000元的10年期附息债券,每年支付息票利息100元,最后偿付面值,债券的市场价格为1200元.求YTM.
计算公式：
结果：y=%
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贴现债券的到期收益率
一张面额为1000元的一年期国库券,其发行价格为900元,一年后按照1000元的现值偿付.求YTM.
计算公式：
计算结果：
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债券等值收益率、有效年利率、当期收益率
例：面值$1000,10 yrs,息票率 7%,市价 $950,半年付息一次,则,到期收益率(半年)r =%.那么,
债券等值收益率:% = % × 2
有效年利率(考虑到复利因素):()2 - 1 = %
当期收益率(Current Yield):每年利息收入/当时市价
$70 / $950 = %
当期收益率之所以高于息票率,是因为息票率是利息收入除以面值而不是市场价格.
当期收益率之所以低于到期收益率,是因为到期收益率考虑到了债券的本金收益(50元).
债券组合收益率(见教材P171).
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持有期收益率
HPR = [ I + ( P0 - P1 )] / P0
式中,I 为利率;P1 为售价;P0买价.
举例:
市场利率8%; YTM = 8%;N=10 yrs;半年复利一次,P0 =$1000
6个月后利率降至7%,P1 = $
HPR = [40 + ( - 1000)] / 1000
HPR = % (半年)
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债券定价规则
(1962)最早系统地归纳了债券定价五规则.后来,Homer和Liebowitz(1972)又补充了一条. 形成了债券定价六规则.
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债券定价规则[1]
规则一 债券价格与收益率之间呈反比关系.当收益率增加时,债券价格下降;反之,收益率下降时,债券价格上升.如图所示.
Price
YTM
0
15%息票率
10%息票率
零息票
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债券定价规则[2]
规则二 当债券收益率不变,即债券的息票率与收益率之间的差额固定不变时,债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正比关系.换言之,到期时间越长,价格波动幅度越大;反之,到期时间越短,价格波动幅度越小. 也可以理解为:若两种债券具有相同的息票率、面值和收益率,则具有较短生命期内的债券的销售折扣或溢价也较小.
规则三 随着债券到期日的临近,债券价格的波动幅度减少,并且是以递增的速度减少;反之,到期时间越长,债券价格波动幅度增加,并且是以递减的速度增加.如果一种债券的收益率在整个生命期中不变，则折扣或溢价减小的速度将随着到期日的临近而逐渐加快。
以上两规则的解释见期限与债券价值[2]
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债券定价规则[3]
规则四(债券凸性) 债券收益率的下降会引起债券价格的上升,且上升的幅度要超过债券收益率以同样比率上升引起债券价格下降的幅度.因而,债券价格曲线是凸形的,所以称债券价格的这种特性为凸性.见前图.换言之,对于同等幅度的收益率变动,收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失.债券定价规则[1]
曲线的曲度反映了随着收益率的不断上升,所引起的债券价格的下降程度逐渐减小.因此,价格曲线在较高收益率时变得比较平缓.
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债券定价规则[4]
规则五 息票率与债券价格.如果债券的息票率越高,则由其收益率变化引起的债券价格变化的百分比越小.但是,该规则不适用于一年期债券和永久性债券.
规则六 债券价格对其收益率变动的敏感性与债券出售时的到期收益率呈反向变动关系.即债券出售时的到期收益率越低,债券价格对收益率的敏感性越大.
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利率期限结构
(the Term Structure of Interest Rates)
利率期限结构反映了债券到期收益率与债券到期期限之间的关系.它在债券的定价中起着关键的作用,因为债券现金流量的贴现用的正是这些利率.如果债券的定价不使用利率的期限结构,套利机会就会产生.
利率期限结构的变动对债券价格具有很大的影响,因为债券的内在价值是由其未来现金流量的现值所决定的,而贴现因子正是这些利率.由于未来利率的变动对债券价格有很大影响,因此进行债券投资时,就有必要了解利率为何变动以及如何预测其变动.
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收益率曲线
(Yield Curve)
收益率曲线就是对信用品质相同期限不同的债券收益关系的图形描述.
收益率曲线的构造来自对国库券价格与收益的观察.
收益率曲线通常有正常,反向,驼峰,平滑等四种形状.
国库券收益率曲线的主要功能是作为基准来给债券定价和设置其他债券市场(如银行贷款、公司债、抵押债和国际债券等)上的收益率.
然而,市场参与者正逐渐认识到按传统方式构造的国库券收益曲线并不是度量必要收益和到期时间关系的一种令人满意的方法.关键原因在于到期时间相同的证券可能具有不同的收益率,这种现象反映了债券息票利率间的差异所具有的作用和产生的影响.这样,就有必要找到一种估计利率期限结构更为准确、可靠的方法.
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短期利率与即期利率
给定期限的利率称为短期利率.(是否可以理解为给定期限国库券的到期收益率?).
给定到期时间的零息国库券的收益率称为即期利率.
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到期收益率及其意义
在市场中我们通常可以观察到的只是长短期限、息票利率和价格不同的各种国库券,到期收益率(YTM)正是根据这些指标加以计算的.YTM是债券持有期的平均收益率,是债券的内含报酬率. 在YTM的计算中,各期息票利息应用的贴现率是相同的,它隐含的一个重要前提条件是各期利息可以按同一利率----即YTM进行再投资.
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理论即期利率的构建
即期利率
0
0
差异
5
4
3
2
1
到期收益率
期限(年)
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续前表
10
9
8
7
6
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即期利率的计算
即期利率与YTM不同,它是根据息票债券用“捆箱子”的方法,将息票债券视作一系列零息债券的组合,然后按不同期限利率来加以计算所得到的. 以前表中所给息票债券为例,年的即期利率计算如下： =100*
理论即期利率与YTM不同,它考虑了不同时期的现金流应当运用不同时期的利率予以贴现.但根据上表计算结果,可以看出它们的差异并不是很大.
下面是一个国债息票拆离套利的例子,或许可以帮助我们理解其中的关系.
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一个息票拆离获取套利收入的例子
5
4
3
2
1
以YTM贴现的现值
YTM
以%贴现的现值
现金流
到期时间
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续前表
100
总计
10
9
8
7
6
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对上述套利例子的理解和分析
在上例中,由于十年期国债按照一个固定的YTM发行,这样,套利者可以购入后进行息票拆分,以一系列的现金流为基础,按照不同期限的利率加以发行,分解为一系列的零息债券,并在此基础上每100$获取了$套利收入.正是由于这种套利行为的存在,使市场利率最终趋向于理论即期利率.
上例套利行为存在两个假设:(1)各期限的债券需求是具备充分或一定弹性的,否则,由于拆分而造成各期限债券供给的变化将导致利率结构的变化,换言之,拆分也是有风险的；(1)拆分是存在交易成本的,套利收入扣除交易成本加成利润后的余额才应当是纯套利收入,才可视作利差,否则未免有些牵强.
可以说,正是由于套利行为的存在而使市场有效.
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远期利率
按照纯预期理论的观点,远期利率是人们关于未来利率的无偏期望,代表了市场人士对市场的一致看法.
根据该观点,人们无论以任何方式投资任何期限的债券所获取的收益都将是相同的.例如：甲要进行一笔三年期的投资,他可以直接购入一张三年期的国债;也可以购入一年期的国债,在今后两年到期日进行再投资;还可以购入一张十年期的国债,在持有三年后在市场上买出.不管那种方式,他所获取的收益都将相同.否则,市场中的套利行为也将使之趋于一致.因此,可以得出远期利率的公式：
(1+FN)N=(1+R1)(1+R2)‥(1+ZN)
FN=[(1+R1)(1+R2) ‥(1+ZN)]1/N-1
该理论假设人们是风险中性的,且未考虑交易成本.
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利率期限结构理论
无偏预期理论
流动性偏好理论
市场分割理论
优先置产理论
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无偏预期理论
首先由伊文·费歇尔 (Irving Fisher,1 892 )提出,是最古老的期限结构理论,也许是最著名的、最容易应用的期限结构理论.
该理论认为,长期债券的预期平均年收益是预期短期利率的几何平均.预期的未来短期利率等于收益率曲线隐含的远期利率,收益曲线的形状是由预期决定的.收益曲线向上倾斜表明投资者短期利率将变高,而收益曲线向下倾斜则表明投资者预期短期利率将变低.如果投资者预期短期利率保持不变,收益率曲线就应该平滑.
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流动性偏好理论
希克斯 ()和卡尔博特森 (,1957)在考虑风险因素后,对无偏预期理论进行了修正.
短期债券的流动性比长期债券要高.如果投资者是风险回避者,对高流动性债券的偏好将使得短期债券的利率水平低于长期债券.因此,长期债券相对短期债券而言就存在一个期限溢价(term premiums).
范·霍恩 (Van Horne,1965)断定,远期利率除包括了预期信息之外,还包括风险因素,它可能是对流动性的补偿.影响短期债券被扣除补偿的因素包括:不同期限债券可获得不同程度的变化以及投资者对流动性的态度.债券定价中的流动性偏好导致了价格的差别,因为并不是所有资产都能结构化以满足不同投资者的需要.
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市场分割理论
该理论假设,市场是由具有不同投资要求的各种投资者所组成的.莫迪里安尼(Modighiani)和苏茨 (Sutch,1996)提出,不同投资者具有明显的区别,每种投资者都偏好投资曲线的特定部分,所有投资者都偏好于使其资产寿命和债务寿命相匹配的投资,即预期的未来短期即期利率与隐含远期利率之间没有正式关系,而且收益曲线的形状是供给与需求的函数.
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优先置产理论
这一理论力图将上述理论统一起来,主要观点是长期利率是市场对未来短期利率的预期的(几何)平均加上期限补偿.不同期限的债券之间是可以互相替代的,但人们又有一定的期限偏好购买证券,只有当其他期限的证券具有较高的预期收益率时,才会转向购买其他期限的证券.期限较长的证券必须含有期限补偿,这一理论能较好地解释经验事实.短期利率的上升会导致对未来短期利率较高的预期,从而使长期利率也有升高的趋势,反之亦然.所以,不同期限(无风险)利率有相同的走势.期限补偿通常为正,所以市场预期短期利率上升或者即使保持不变,都会使收益曲线上翘.如果市场预期未来的短期利率下降甚至下降得很厉害,即使期限补偿为正,收益曲线也会出现平坦甚至下垂的现象.
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我国的利率期限结构
-经验数据
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公司债收益率期限结构估计
用同样的办法我们可以估计出公司债收益率的期限结构.
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违约风险溢酬
通过对比国债和公司债收益率曲线，我们就可以计算出违约风险溢酬。
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利率期限结构的动态变化
用不同时期的债券价格信息,我们可以计算出不同时期的利率期限结构.由此可以看出不同期限利率的变化趋势.
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市场分割带来的套利机会
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市场分割带来的套利机会
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市场分割带来的套利机会
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市场分割带来的套利机会
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债券投资管理
债券投资风险
-利率风险
-再投资风险
-赎回风险
-流动性风险
-违约风险
-通货膨胀风险
-波动率风险
-汇率风险
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债券久期
duration
最早由麦考勒()提出,因而也称麦考勒久期.
久期是债券分析中的核心概念,因为:
-它有效地度量了债券的风险,在债券风险管理中起到了非常重要的作用.
-它是资产免疫的一个重要概念,资产免疫就是指通过适当的方式,以避免利率波动对资产价值的影响.
本部分内容可参见教材第17章P464-470.
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什么是久期?
久期是把债券每次利息或本金的支付时间进行加权平均所得到的期限.因此,久期测度的是债券的实际持有期限.或者说,是债券支付的未来现金流(本息)的到期期限的加权平均值,也称为债券的平均期限.是一种债券的有效期限.
零息票债券,由于期间没有支付息票利息,债券的实际持有期限就是债券的到期期限(Duration is equal to maturity for zero coupon bonds).
附息债券,由于债券到期之前,每期都会支付息票利息,从而使债券的实际期限缩短.
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久期:计算
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久期计算:举例
8%
Bond
Time
years
Payment
PV of CF
(10%)
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C4
.5
40
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1
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1040
sum
.0358
.
8871
.0537
厦门大学金融系 陈善昂
久期(年)
30
0
零息票债券
息票率15%的YTM=6%
息票率3%的YTM=15%
息票率15%的YTM=15%
到期
30
20
久期的决定
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什么决定久期
-久期规则
影响债券价格对利率(收益率)变化敏感性的三要素为:到期时间、息票利率和到期收益率(YTM).根据前图可知,
Rule 1 零息票债券的久期等于它的到期时间.
Rule 2 直接债券的久期小于或等于其到期时间.只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的久期等于它的到期时间,并等于1.
Rule 3 到期时不变时,息票率越高,久期越短.原因在于较早的息票支付对债券利息支付平均期限的影响.息票率越高,较早支付的权重就越大,支付的加权平均期限就越短.如图中息票率分别为3%和15%的附息债券的图形轨迹.
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久期规则(cont’d)
Rule 4 当息票率不变时(无论债券以面值还是溢价出售),债券的久期通常随债券到期时间的增长而增长.
Rule 5 在其他因素不变时,债券的YTM越低,附息债券的久期越长.如图中息票率为15%,而YTM分别为15%和6%的附息债券的图形轨迹.
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久期规则(cont’d)
Rule 6 永久性债券的久期等于
Rule 7 固定年金的久期等于
式中,T为支付的次数,y是每个支付期的年金收益率.例如,收益率为8%的10年期年金的久期为年.
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久期规则(cont’d)
Rule 8 附息债券的久期等于
式中,c为每个支付期的息票率,T为支付次数,y为每个支付期的债券收益率.例如,息票率为10%的20年期债券,每半年付息1次,T=40,c=5%,如果y=4%,则该债券的久期为年.
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久期规则(cont’d)
Rule9 由于附息债券是以面值出售的,因此,规则7可以简化为
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久期与债券价格变化的关系
计算久期的主要目的在于找出久期、YTM与债券价格三者之间的关系. 用公式表示就是
P/P = -D x [y / (1+y)]
债券价格变化的百分比约等于收益变化的久期修正值.即
P/P = - D* x y
式中, P为债券价格的变化量,P为债券的初始价格, y 为债券到期收益率的变化量, y 为债券初始的到期收益率, D* 久期的修正值.
如果确实是这样,债券价格变化的百分比作为它的收益变化的函数图形将是一条斜率为-D*的直线(而不是前述的曲线).久期与凸性(Convexity)
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举例
例如,某债券P=1000元, y =8%.假定该债券久期为10年.若YTM增加至9%,债券的价格将会有多大变化?
可见, y =,因此, y / (1+y)= 则
P/P = -D x [y / (1+y)]=%.
因此,收益率每增加1%,债券价格大约就下降%,即降为元[=].
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久期与凸性(Convexity)
Yield
Price
Duration
Pricing Error from convexity
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凸性的修正
凸性使我们能够在债券价格变化时改进随之变化的久期近似值.考虑到凸性时,公式可以修正为
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投资者为什么喜欢凸性?[1]
凸性一般被认为是一个备受欢迎的特性.具有较大曲率的债券的收益率下降时,其价格的增加量大于收益率上升时价格的减少量.下图列举了在初始收益率下久期相同的两债券A和B.令价格变化率为利率变化的函数,则这两个函数的曲线是相切的.表示它们在收益率变化的敏感性在该切点处相同.
但是,债券A的曲线比债券B更凸出.当利率有较大波动时,债券A的价格或者比B涨得多,或者比B跌得少.如果利率不稳定,那么这个富有吸引力的不对称现象将增大债券的收益率.
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投资者为什么喜欢凸性?[2]
债券价格变动百分比
债券A
债券B
收益率的变化
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可赎回债券的久期与凸性:图示
债券价格
5%
10%
赎回价格
负凸性区域
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可赎回债券的久期与凸性:解释
上图描绘了一只可赎回债券的价格-收益曲线.当利率较高时,曲线向下凹,与直接债券一样.如利率为10%时,价格-收益曲线位于切线上方.但是当利率较低时,债券价格存在一个可能的极限:债券价格不可能高于其赎回价格.所以,当利率较低时,债券价格受制于价格限制,被”压”低到其赎回价格.当利率为5%时,价格-收益曲线位于切线下方,此时,称曲线具有负凸性.
注意:在负凸性区域,价格-收益曲线表现出不具吸引力的不对称性.对于同样的变化幅度,利率上升时引起的价格下跌大于利率下降时引起的价格上升.如果利率上升,与直接债券一样,债券持有人受损失.但是,如果利率下降,投资者不但没有资本利得,还会被赎回拥有的债券.这样一来,投资者就好像处于掷硬币时”正面输,北面也没赢”的境地.
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有效久期
(effective duration)
有效久期—债券价格变化率与市场利率变化量之比.
有效久期=-(P/P)/r
举例:假设一种赎回价格为1050元的可赎回债券的售价为980元.如果收益率上升%,债券价格会降至930元.如果下降%,债券价格会上升至1010元.
r=%-(%)=1%
P=930-1010=-80元
则有效久期=-(-80/980)/=年.
即,当前利率变化1%将引起债券价格变化%.
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消极的债券管理
(Passive Management)
消极管理者通常把债券的市价理解为公平的价格,并试图去控制他们持有的固定收入证券组合的风险.
债券的消极投资策略包括
债券指数基金
免疫(Immunization)
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债券指数基金
债券指数基金与股票指数基金策略相似,即让管理的资产组合重复一个已有指数的业绩.因而,债券指数策略与股票指数策略相似.但是,由于债券市场及其指数的一些特殊困难,需要做一些修正.
美国债券市场有三个重要指数,它们是:
Salomon Smith Barney Broad Investment Grade Index
Lehman Brothers Aggregate Bond Index
Merrill Lynch Domestic Master Index
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免疫(Immunization)
免疫与指数策略不同,许多机构试图将它们持有的资产组合与这些资产组合所面临的利率风险隔离.因而,用于保护全部金融资产免受利率风险的策略就是免疫.一些机构(如银行),致力于保护现有资本净值或公司净市值免受利率波动的风险;其他投资者(如养老基金),在一定的期限后可能会面临支付的义务.所有这些投资者均更关注保护他们证券组合的未来价值.
免疫的含义是无论利率如何变动,资产和负债的久期匹配就可以确保资产组合有偿还公司债务的能力.
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免疫举例[1]
例:一家保险公司发行了一份10000元的投资担保合约(GIC,为保险公司向客户发售的零息票债券).如果GIC的期限为5年,保证的利率为8%,保险公司到期必须支付的金额为10000×年金因素(8%,5)=元.
假定保险公司为了未来的支付,将10000元投资于以面值出售、期限5年、年息8%的附息债券,只要市场利率8%不变,公司就可以有足够的资金偿还债务.因为债务的现值正好等于债券的价值.(假设在5年内,保险公司将每年获得的800元以8%的市场利率再投资.)
然而,如果市场利率发生变化,两个相互抵消的作用会综合影响基金增至预定值元的能力.
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免疫举例[2]
债券投资者面临两种可相互抵消的利率风险:价格风险和再投资利率风险.如果利率上升,基金面临资本损失,影响其到期偿债的能力.债券到期的价值将比利率保持8%时的价值要低些.但是,如果利率继续提高,再投资的利息收入会以更快的速度增长,这将抵消资本的损失.
换言之,利率提高会导致资本损失,但同时,再投资收入会增加.如果资产组合的久期选择得当,这两种影响可以恰好相互抵消.当这一资产组合的久期恰好与投资者的持有期相等时,到期时投资基金的累计价值将不受利率波动的影响.即持有期与资产组合久期相等时,价格风险与再投资风险将完全抵消.
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免疫举例[3]
考虑利率的两种可能情况:降至7%和升至9%.在两种情况下,均假设在第一次支付息票利息之前利率发生了变化.所有债券利息以新的利率再投资,并在第5年出售债券以支付GIC.
如果利率降至7%,投资的累计总收入为元.如果利率升至9%,投资的累计总收入为元.以上两者与需要支付的GIC相比,均有小额剩余.
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免疫举例[4]
图中实线代表利率保持8%时的债券的累计价值,虚线表明利率上升时的情况,最初的效应是资本损失,但是,这种损失最终被以较快增长速度的再投资收益所抵消.在5年(债券久期也为5年)到期时,这两种效应正好相互抵消.
D
t1
基金
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免疫举例[5]
也可以通过现值而不是终值分析免疫.下表显示了保险公司GIC帐户最初的资产负债情况,表中的资产与负债均为10000元,所以投资计划刚好能满足支付.B和C表明,无论利率如何变化,债券投资所得收入与其GIC负债最终变化相同,都可满足支付.
保险公司资产负债表
资产
负债
A.利率=8%
债券
10000元
10000元
B.利率=7%
债券
元
元
C.利率=9%
债券
元
元
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免疫举例[6]
14000
息票债券
8%
10000
15%
一次性支付债务
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免疫举例[6]:解释
上图反映了债券现值和一次性支付债务与利率的函数关系.在利率为8%时,债券现值与一次性支付债务是相等的,债务完全可以由债券的收入偿还,而且这两条收益-价格曲线在YTM=8%处相切.
当利率变动时,资产与债务两者的价值变化相等,所以,债务仍可由债券的收入偿还.当利率有更大变动时,两条曲线分开了.反映了这样一个事实,即在市场利率不是8%时,偿债基金会有一个小的余额. 导致小的资金余额产生的因素是凸性.息票债券比负债有更大的凸性.因此,当利率变化很大时,债券的价值就大大超过了负债的价值.
另一种分析思路是,尽管债券的久期在YTM=8%时确实是5年,但是,当YTM降为7%时,久期延长至年,而当YTM升至9%时,久期则缩短为年.也就是说,债券资产与债务在利率变动时久期并不是匹配的,所以,这些头寸不能完全免疫.
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积极的债券管理
(Active Bond Management)
替代互换 (Substitution swap)
市场间价差互换 (Inter-market swap)
利率预测互换 (Rate anticipation swap)
净收益增长互换 (Pure yield pickup)
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替代互换
(Substitution swap)
替代互换是一种债券与另一种相近替代债券的交换.相互替代的债券应有基本相等的息票率、期限、质量、赎回特征及相同的证券偿债基金条款等等.如果人们相信市场中有两种债券价格有一暂时失衡,而债券价格的这种不一致能带来获利的机会,那么,这种互换方式就出现了.
例如,出售一种20年期、息票率为9%、5年后可以1050元赎回的福特公司债券,该债券的YTM=%.同时,购买一种息票率为%的克莱斯勒公司债券,它有着与福特公司债券相同的赎回条款、到期时间和%的YTM.如果两种债券信用等级相同,克莱斯勒公司就没有明显的理由提供更高的收益率.因此,只有使克莱斯勒公司债券在市场上显得更有吸引力,它才会有更高的收益率.
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市场间价差互换
(Inter-market swap)
市场间价差互换是当投资者相信债券市场两个部门间的收益率差只是暂时出轨时出现的行为.例如,如果公司债券与政府债券的现有价差被认为过大,并认为将来会缩小,投资者就会从投资政府债券转向投资公司债券.如果收益率差确实缩小了,公司债券将优于政府债券.
例如,如果20年期国债与20年期Baa级公司债券的收益率差现为3%,而历史上的差价仅为2%,投资者就可卖出国债而购买公司债.如果收益率确实缩小了, Baa级公司债券将优于国债.
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利率预测互换
(Rate anticipation swap)
利率预测互换是钉住利率的预测.在这种情况下,如果投资者相信利率会下降,就会把久期较短的债券换为久期更长的债券;相反,如果预测利率会上升,则把久期较长的债券换为久期较短的债券.
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净收益增长互换
(Pure yield pickup)
当收益率曲线向上倾斜时,收益增长互换会移进长期债券.这应该被看作一种以更高收益债券赚取预期的时间溢价的尝试.投资者愿意承受这种策略带来的利率风险.只要收益率曲线在持有期没有改变,投资者把短期债券换为长期债券就会获得更高的收益.当然,收益率曲线如果在此期间变化了,持有长期债券会遭受更大的资本损失.
税收互换(Tax swap)是一种可以利用税收优势的互换.例如,一个投资者愿意掉换一种价格降低了的债券,只要持有这种债券可以通过资本损失变现而获得纳税方面的好处就行.
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思考与练习
1.教材第8章所附习题第7-14题.
2.为什么流动性高的债券其内在价值越高?
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