第1章 完全信息静态博弈
经济理论、信息与策略分析 ..1-1
完全信息静态博弈的表示与求解 ..1-3
常见的几个博弈型态 ..1-3
静态博弈的策略式表示法 ..1-4
优势策略均衡 ..1-5
纳什均衡 ..1-6
混合策略均衡与均衡存在性 ..1-6
混合策略的涵义 ..1-6
一般的存在性定理 ..1-9
博弈分析在寡占市场之应用 ..1-9
数量竞争 ..1-9
价格竞争 ..1-13
实例与应用：大减价模型……………………………………………………………1-15
实例与应用：产能与寡占竞争……………………..…………………………….....1-16
小结……………………………………………..…………………………………….1-18
练习题……………………………………………..………………………………………1-19
参考文献……………………………………………..…………………………………....1-20
经济理论、信息与策略分析
「经济理论」就是具体而微的经济模型(Model)
对模型本身的要求：
内部一致性(Internal Consistency)
假设之必要性(Parsimony of Assumption)
模型与现实(Reality)之间的关联：我们要
了解模型到底说明了什么？有什么用处？
(Usefulness)
在学习经济理论过程中，要了解模型是怎么做出来的，也不要忘了对经济理论这两 点要求。
希望培养自己读期刊文献的能力，知道各种理论的优劣(养成判断的能力)，进而发挥来做自己的模型。这种训练对一个「经济学家」的养成非常重要，也就是所有经济领域的基础课程。
经济社会内涵众多的消费与生产单位，彼此之间又有紧密的关联。相应于此，经济理论也有两大分析原则：
(1) 极大化原则(Optimality)：参与者追求效用或利润之极大，由此导出最适策略。
(2) 均衡原则(Equilibrium)：经由互动，参与者之间达到某种均衡状态。又依经济环境的不同，而有两类均衡观念。完全竞争市场结构下采用瓦拉斯均衡(Walrasian Equilibrium)或称一般均衡(General Equilibrium)。而在寡占或不完全竞争结构下采用博弈的均衡观念，考虑的多属不合作博弈(Noncooperative games)。
博弈依信息型态来分类
信息结构可分为完全信息与不完全信息二种：
博弈依其信息结构与出招互动之过程可以区分为下列四种，均衡观念有：
(1). Nash Equilibrium (NE) ：Nash (1951)
(2). Subgame Perfect Nash Equilibrium (SPNE) ： Selten(1965)
(3). Bayesian Nash Equilibrium (BNE) ： Harsanyi(1967,68)
(4). Perfect Bayesian Nash Equilibrium (PBNE), Sequential Equilibrium (SE)：
Selten (1975)、Kreps-Wilson (1982) 、Fudenberg-Tirole (1991)
完全信息静态博弈 (Static games with Complete Information)的表示与求解
常见的几个博弈型态：
(1) Duopoly双寡头市场
(2) 囚犯困境(Prisoner’s Dilemma)：同时出招
(3) 两性战争(Battle of Sexes) 交通秩序
(4) 飚车族，或斗鸡博弈Games of Chicken) 协调博弈(Coordination Game)
(5) 钱币配对(Matching Pennies) 猜拳
2
正面
反面
1
正面
1, -1
-1, 1
反面
-1, 1
1 , -1
2
剪刀
石头
布
1
剪刀
0, 0
-1, 1
1, -1
石头
1, -1
0, 0
-1, 1
布
-1, 1
1, -1
0, 0
(6). 沙滩卖冰：
在充满泳客的海滩上(以〔0, 1〕表示)，有两家冰店进驻，你若是冰店经理，应选在何处设店？三家呢？
静态博弈的策略式表示法
以上同时出招的博弈，称为静态博弈。这些博弈也同时具有完全信息(Complete Information)，因为参赛者都知道自己与对手的策略及相应报酬。参赛者同时出招，又知道所有参赛者的策略和报酬的博弈就是完全信息静态博弈 (Static Games with Complete Information)，可用标准式(Normal Form)或策略式(Strategic Form)表示方法。
博弈 ＝(N, (Si), (Ui)) 的策略式包含三要素：
(1) 参赛者(players)： i N＝{ 1, 2, 3,…….n}
(2) 策略(strategies)： s i Si＝set of feasible (pure) strategies for player i, i N
策略组合(strategy profile) s＝( s1,……,sn)＝(s i, s-i ), s-i＝Sj 对手的策略。
(3) 报酬(payoffs)：Ui＝Ui (si, s-i)：Sj → 为报酬或效用函数。
策略式表示的完全信息静态博弈有几点特性：
˙ 同时出招，出招一次。(Determine strategies simultaneously)
˙ 知道博弈结构与游戏规则(Rules of the game)→共同认识(Common knowledge)。
˙ 不管是否沟通过，无法做出有约束力之承诺(can’t make binding commitment) →
不合作博弈 (Non-cooperative games)。
˙以上只考虑纯粹策略，后面会考虑混合策略.
先看些两人博弈 (Two-Persons game)的例子：
下表方格中数值u1代表参赛者1的报酬，u2代表参赛者2的报酬。
优势策略均衡(Dominant Strategy Equilibrium, DSE)
优势策略(dominant strategy)：不管对手策略为何，该参赛者可找到一个最佳策略。It is a best response against any action the opponent might take。「认罪」是囚犯的优势策略：不管对手认或不认，任一囚犯承认均可得到较高的报酬。
定义：严格劣势策略(strictly dominated strategy)：S1是一绝对劣势策略，当且仅当存在另一策略si’Si使得ui(si, s-i)＜ui(si’,s-i)对所有s-iS-i均成立。 (但si’未必是优势策略)
重复优势解法(Iterated Dominance)：逐次删去劣势策略(dominant strategy)，但对两性战争、飚车族与钱币配对等问题就无法解出。考虑以下二个例子：
2
Y
M
R
1
U
2, 3
0, 2
3, 4
D
1, 1
2, -7
4, 5
只要存在一个si’使S i成为劣势策略，s i即可删去。共同认识(Common knowledge)：1也知道2不会再采L，以此为基础再往下推论…。
纳什均衡(Nash Equilibrium)
定义：纳什均衡指一策略组合有以下特性：当参赛者采此策略组合后，任一参赛者均无诱因偏离此一均衡 (Nash Equilibrium is a strategy profile such that no player can improve his/her payoff by unilaterally deviating from his/her assigned rate in the strategy profile )；s*＝(s1*,s2*,…..sn*)＝(si*,s-i*)是一纳什均衡若且唯若对所有参赛者i而言，ui(si*,s-i*)≧ui(si’,s-i*)对所有si’Si均成立。
另一种等值的意义：当s1*是对s2*的最适反映，s2*也是对s1*的最适反映时，(s1* ,s2*)就是两人博弈的纳什均衡。
回头来看两性战争、飚车族、协调博弈均有均衡解(NE)，但对钱币配对就找不到。以上考虑的是纯粹策略(pure strategies) s i Si 。在允许混合策略(mixed strategies)以后，钱币配对及猜拳博弈才有解。
策略表示法成为Γ＝(N,(Σi)iN,(Ui) iN)，当参赛者与策略数目均为有限时，称为有限博弈。
混合策略均衡(Mixed strategy Equilibrium)与均衡存在性
混合策略的涵义
考虑钱币配对：
H 正面，T 反面。对σ的诠释：（1）对参赛者选si的信念，或（2）频率。
定义：= (,…, )＝(, )是一『纳什混合策略均衡』若且唯若对所有参赛者i而言，是的最适反应，ui(, )≧ ui (, )对所有均成立。
采混合策略的前提是在均衡时，两种策略的报酬会相等：
(H)－(T)＝－(H)＋(T) 而且
(H)＋(T)＝1 (H)＝(T)＝
同理，(H)＝(T)＝
允许混合均衡策略后，在飚车族博弈中也可能找到新的均衡（习题）
两性战争(Battle of Sexes)
给定(q, 1－q)，男子的报酬是2q 或 (1－q)
若2q＝(1－q) q＝1/3，则两策略的报酬相同。
对男子来说
给定(p, 1－p)，女子的报酬是p 或 2(1－p)
若p＝2(1－p) → p＝2/3，则两策略的报酬相同。
对女子来说
最适反应函数
三均衡(p*, q*)＝(0, 0)，(2/3, 1/3)，(1, 1)
f(p)：[0, 1] → [0, 1]，可用Kakutani’s 不动点定理来证明具有不动点(fixed point)。上列图形可穷尽所有可能均衡。其实，因为f：p→ q→ p，我们是在找一不动点(fixed point)：p*＝f(p*)。
Mapping f 是一对应(correspondence)
一般的存在性定理
Kakatani’s 不动点定理：Let X be a compact convex subset of and
f：X→X be a set-valued function such that
for all xX the set f(x) is nonempty and convex, and
the graph of f is closed(., if xn→x, ynf(xn), yn→y then yf(x).),
then there exists x* such that x*f(x*).
Theorem ( Nash, 1950, 1951)：若允许混合策略均衡，每个有限的策略式博弈都有纳什均衡存在。
博弈分析在寡占市场(oligopoly)之应用
数量竞争(Quantity Competition)
市场需求，，两家公司分别选取与：
需求，则 独占厂商
给定，选取以求取 最大，
(1) ，，
：对的最适反应函数(best response function)
给定，选取以求取 最大
(2)
：对的最适反应函数(best response function)
两个最适反应函数的交点就是「纳什均衡」(Nash Equilibrium)：
总需求为 P＝M－Q
独占时 MR＝M－2Q＝MC＝0
双占时 ：1的最适反应
：2的最适反应
Cournot-Nash 均衡：，总产量
数量竞争的库诺模型(Cournot Model)
请注 意Cournot竞争并不适用Theorem ，因为它不是有限博弈(为什么？)，但好在我们可引用下列定理：
(Debreu 1952)：若策略形式博弈的策略空间Si是欧式空间的非空、紧致(compact)的凸集合(convex subsets)，而且报酬函数ui是s的连续(continuous)的函数，是si的近凹(quasi-concave)函数，则此博弈必然存在一个纯粹策略纳什均衡。
数量竞争的Stackelberg Model (Firm 1 as the leader)：其实是一动态博弈(Dynamic Game)
，take as given
，，总产量 EMBED
：先动有优势(First Mover Advantage)
数量竞争的库诺模型 (Cournot Model)
总需求为
独占时 (Collusion Equilibrium)
双占时
Cournot均衡：
数量竞争还是价格竞争才是较佳模型？可参看Kreps and Scheinkman(1983).
价格竞争（price competition）
同质产品下的价格竞争 (Price Competition with Homogeneous Products)
(又称为Bertrand Model)：伯川模型
MC＝6, P＝30－Q
Cournot 模型以数量竞争：
同理 ，
所以 ，
Bertrand 模型 以价格竞争 :
， 均衡点在 Why？
异质产品下的价格竞争 (Price Competition with Differentiated Products)
第一家公司 ，
第二家公司 ，两家公司分别选取与：
给定，选取以求取 最大
：对的最适反应函数(best response function)
给定，选取以求取 最大
：对的最适反应函数(best response function)
两个最适反应函数的交点就是「纳什均衡」(Nash Equilibrium)：
EMBED
实例与应用：大减价模型
A. 策略思考：1988年三大百货公司Sears, KMart与Wal-Mart竞争激烈，Sears举行多次大减价，但成效不佳，至1989年Sears宣布采用新的定价策略：「每天都低价」(Everyday Low Prices) 。换言之，Sears决定维持稳定价格，价格虽然合理，但比以前大减价的价格要来得高，请问 Sears的决策是否明智？它的对手又应采何种策略？
假设二家相似的百货公司，对同一商品的成本均为450元，稳定价格600元，大减价时500元。另观察到每月无信息的消费者有100人，不看报纸不查价格，选百货公司也完全随机，所以二家可各分得一半，另外，有信息的120人是会去二家比较价格或查报纸减价广告，找到最低价格才购买。放入博弈架构可表示如下：
Wal Mart
Sears
稳定价格
大减价
稳定价格
7500, 7500
7500, 8500
大减价
8500, 7500
5500, 5500
上图计算背景：
Sears与对手均采稳定价格，二者均可赚(600－450) ×50＝7500。
任一家大减价而对手未减价可赚(500－450) ×(50＋120)＝8500，
未减价的一家公司仍可赚(600－450) ×50＝7500。
两家都大减价：各赚(500－450) ×(50＋60)＝5500。
把这二家对垒的四种情况表示出来就是一个博弈：有参赛者，有策略，有报酬。此时，从此矩阵可否找到最适策略？
B. Sears「每天都低价」策略
存在二个纯粹策略纳许均衡，高价低价并存，但那一个均衡会发生？
‧Sears采稳定价，对手采大减价，对手成长，Sears是否会满意？双方都想找最有利的结果(8500) ，若Sears更动策略，可否达成另一均衡？
‧若Sears长久维持稳定价，待全部人（包含无信息的100人）都知道后，这样的价格差异是否可以维持下去？如果消费者都去Wal-Mart，利润下降到零，像是第二图的报酬，成「囚犯困境」。
Wal Mart
Sears
稳定价格 q
大减价 1-q
稳定价格 p
7500, 7500
7500, 8500
大减价 1-p
8500, 7500
5500, 5500
Wal Mart
Sears
稳定价格 q
大减价 1-q
稳定价格
7500, 7500
0 , 11000
大减价
11000, 0
5500, 5500
C. Everyday Low Prices vs. Random Sales
考虑混合策略均衡，Sears使对手从二种策略所得报酬相等
p × 7500＋(1－p)×7500＝p ×8500＋(1－p)×5500
p=2/3，同理q=2/3，双方利润均为7500。
此纳许均衡中，Sears与Wal-Mart都采1/3机会大减价（1年中有4个月时间在减价）：「随机而且出人意表的大减价」比「每日都低价」来得好和稳定，Sears强调每日都有稳定价格反而放弃了公司可采混合策略（有时减价）的弹性。
‧Sears 1998年的失败可能是大减价太过频繁，未采用一适当的大减价机率。1989至1990年中采一稳定价格（减价频率又太低）也未增进业绩，于1990年末重回有时减价的策略pricing cycles.
‧混合策略均衡利于造成「差别取价」(price discrimination) ：不查报纸的消费者永远不知那家当时是最低价，有机会到一家不减价的百货公司，他们必须付出高价，支持了此种混合策略均衡。
参见, “A Model of Sales,”American Economic Review, 1980
实例与应用：产能与寡占竞争
A. 策略思考：
1972年美国玉米加工业看到HFCS(High Fructose Corn Syrup)可用来代替糖，但比糖便宜甚多。预期未来对HFCS需求大增，十一家主要厂商都打算增加产能(capacity) ，在此寡占产业中如何寻找最适产能决策？作决定过程中需要考虑那些因素？
M. Porter and M. Spence(in The Economics of Information and Uncertainty ed. By J. McCall, 1982, NBER)应用博弈理论来分析此产业。
B. 分析架构
上例寡占产业中厂商决策的分析过程：
找出需求与糖价的各种变化情况(Scenarios) ；
预期竞争对手的产能决策（对手产能加总即可）情况；
找出厂商本身产能选择的几种方案；
对以上各种变化情况赋予合理的概率；
找出对各种产能方案的报酬，决定本身的最适产能规模；
取得各厂商的产能决策，再验证是否与(2)的假设相符合，预期被验证时才达到 「均衡」。
C. Porter and Spence的预测结果
1973
1974
1975
1976
1976之后
产能总增量
实际产能
4
(billions of lb.)
预测产能
0
实际的调节较慢，但产能总增量还蛮接近的。Porter and Spence说明了 Cournot-Model 和纳许均衡在实用上也有相当价值。
小结
策略思考的几点原则：
1. 互动时要先在对手的角度思考，再反思自己的最佳策略。(Putting oneself in the rival’s position)
2. 在时点上要向前展望，再以逆推法寻找今天的最佳策略。(Look forward and reason backward) 。
3. 如果自己有优势策略，即可采用之。如果对手有优势策略，应即认定对手会采用，再依之决定自己最佳策略。
4. 如果双方均无优势策略，可先寻找劣势策略，删除后再考量。最后，考量纳许均衡策略。
5. 如果找不到纯粹策略纳许均衡，就应考虑如何采用混合策略。而且，混合策略有时是较佳的策略。
练习题
请找出剪刀、石头、布的猜拳博弈之纳什均衡。
请找出沙滩卖冰博弈的均衡，并证明它是一个纳什均衡。如果有三家冰店，是否能找到均衡？
请找出飚车族博弈的所有纳什均衡。请以最适反应函数及不动点映像图形来刻划。
在两性战争及飚车族博弈的不动点映像图形中，该映像是否为一函数，是否为一对应(correspondence)？如何应用Kakutani不动点定理来找纳什均衡？
Coke vs. Pepsi (1970-80)。Gasini(1992)先把实际销售量对价格作回归：
Coke Q1＝－＋
Pepsi Q2＝－＋
另由实际资料得知MC1＝$ MC2 ＝$，求预测的纳许均衡价。
某镇市场规模只足够一家百货公司进驻，一旦两家公司进驻则造成两家均亏损，所以是一「自然独占」情况。如果已有两家公司进驻，成本低者或资金雄厚者可能胜出，但若两家公司具有相似背景，其竞争型态表示成报酬矩阵，则最佳纯粹策略为何？均衡为何？如下。
乙
甲
第一期退出
第二期退出
第一期退出
0,0
0,10
第二期退出
10,0
-5,-5
考虑题的情况，寻找混合策略均衡。再考虑三期的消耗战，求混合策略均衡。
q
r
1-q-r
0,0
0,10
0,20
10,0
-5,-5
-5,5
20,0
5,-5
-10,-10
在大减价实例与应用()中，假设有信息的消费者增加成220人(其它不变)，则均衡是否会改变？是否可以推论原均衡会受何种外在因素的影响？
参考文献
J. F. Nash, “Equilibrium Points in n-Person Games,” PNAS 1950, 48-49.
J. F. Nash, “Non-Cooperative Games,” Annals of Mathematics 1950,155-162.
G. Debreu, “A Social Equilibrium Existence Theorem”, PNAS 1952, 886-893.
H. Varian, “A Model of Sales, ”American Economic Review, 1980.
D. Kreps and J. Scheinkman, “Quantity Competition and Bertrand Competition Yield Cournot Outcomes”, Bell Journal of Economics 1983, 326-337.
M. Porter and M. Spence, The Economics of Information and Uncertainty ed. By J. McCall, 1982, NBER.
Gasini , Journal of Economics and Management Strategy, Summer 1992.
PAGE
1- PAGE 13
