厦门大学经济系邵宜航数理经济学精要——经济学中的最优化数学分析灵敏性分析与应用（讲义要点）
第二章灵敏性分析及其应用§ 灵敏性分析§2 灵敏性分析及其应用2
含参数最优化问题（NLP-5）考虑含参数最优化问题， (NLP-5)： min:f(x,α) .:g(x,α)≤0, i=1,…,m i nk在这里α为参数，x∈R，α∈R，nknkf:R×R→R，g:R×R→R，i=1,…,m。i§2 灵敏性分析及其应用3
该最优化问题的Lagrange函数设定该最优化问题的Lagrange函数设定如下： TL(x,λ,α)=f(x,α)+λg(x,α). 对给定的参数α，如果存在最优解及相应的Lagrange系数，从Kuhn-Tucker最优性一阶条件及互补松弛条件知下列n+m个方程成立： L(x,λ,α)=0, j=1,",n xjλg(x,α)=0，i=1,",m ii 在相关条件的设定下，此方程组将决定了n+m个解x(α)，j=1,",n，λ(α),i=1,",m。换句话说，即该方程ji组隐含了函数x(α)和λ(α)。讨论参数对最优解及相应Lagrange系数的影响即讨论这些隐函数的特征。 §2 灵敏性分析及其应用4
针对（NLP-5）的假设条件对上述含参变量最优化问题(NLP-5)，假设对*应于给定的参数α=α，存在满足以下三个条件的*局部最优解x： (1) 二阶最优性充分条件：存在满足以下条件*m的Lagrange系数λ∈R， m********∇L(,λ,α)=∇f(,α)+λ∇g(,α)=0xx∑ixi=1******g(x,α)≤0, λ≥0, λg(x,α)0, i=1,",m iii（接后页） §2 灵敏性分析及其应用5
针对（NLP-5）的假设条件（续前页） 且 T*****y∇L(x,λ,α)y>0, ∀y∈C(x,α), y≠0 xx这里 ****+***I(x,α)=ig(x,α)=0, I(x,α)=iλ>0 {}{}iiT**+∗⎧⎫∇g(x,α)y=0,i∈I(x)⎪⎪xi**nC(x,α)=y∈R ⎨⎬T**∗+∗g(x,α)y≤0,iI(x)−I(x)⎪⎪xi⎩⎭****(2) 线性独立约束规范：∇g(x,α)，i∈I(x,α)线xi性无关。 **+**(3) 狭义互补松弛条件：I(x,α)=I(x,α)，即***g(x,α)=0⇔λ>0 ii（接后页） §2 灵敏性分析及其应用6
【引理】【引理】 若以上的假设条件(1)-(3)被满足，则以下(n+m)次方阵是可逆(非奇异)的， *******⎡∇L(,λ,α)∇g(,α)"∇g(,α⎤)xxx1xm⎢⎥***T**λ∇g(x,)g(x,)"01x11⎢⎥⎢⎥##%#⎢⎥***T**λ∇g(x,α)0"g(x,α)⎣mxmm⎦()§2 灵敏性分析及其应用7
【定理】【定理】： ∗设f,g二次连续可微。对应于给定的α，假定问题(NLP-5)存在满足上述条件(1)-(3)的局∗∗*部最优解x与相应的Lagrange系数λ，则在α的某邻域Ω，存在连续可微的函数nm∗∗∗∗x(α),λ(α):Ω→R,R，使得x(α)=x,λ(α)=λ，且对任意α∈Ω，x(α),λ(α)分别为满足条件(1)-(3)的问题(NLP-5)的局部最优解和相对应的Lagrange系数。 §2 灵敏性分析及其应用8
【定理】【定理】： ∗对应于给定的α，若上述条件(1)-(3)成立，则问题(NLP-5)的局部最优 解与相应的Lagrange系数关于参数α的变化率由下式决定：∗∗∗⎡∇L⎤(x,λ,α)xα⎢⎥∗∗∗∗T⎡∇x⎤(α)λ∇g(x,)***−11α1⎢⎥=−M(x,λ,α) ⎢⎥∗⎢⎥∇λ(α)#⎣⎦⎢⎥∗∗∗Tλ∇g(x,α)⎣mαm⎦*******⎡∇L(,λ,α)∇g(,α)"∇g(,α⎤)xxx1xm⎢⎥***T**λ∇g(x,α)g(x,α)"0***1x11⎢⎥M(x,λ,α)= ⎢⎥##%#⎢⎥***T**λ∇g(x,α)0"g(x,α)⎣mxmm⎦§2 灵敏性分析及其应用9
例 最优消费问题再考虑消费者的最优消费选择问题。如前所示，消费效用最大化问题可表示如下， (CP1) max:Ux,x,",x ()12n .:px+px+"+px≤y 1122nn现在我们考察作为参数的价格和收入水平对最优解的影响。显然此时的最优消费选择依赖于给定的参数，作为价格和收入水平函数的消费选择x(p,y)即消费品的需求函数。一般地，作为上述最优选择问题的解的消费函数被称为Marshall需求函数。 （接后页） §2 灵敏性分析及其应用10
例 最优消费问题（续前页） 设考虑参数的Lagrange函数如下 TL (x,λ,p,y)=Ux+λ(y−px) ()由最优性一阶条件和互补松弛条件得， T∇U(x)−λp=0，y−px=0 x在这里我们首先考虑价格参数对消费品需求的影响，由上述方程组的两边对p求导可得， i∂x∂λ∇U−p=λe， xi∂p∂pii∂xT−p=x，i=1,",n i∂pi（接后页） §2 灵敏性分析及其应用11
例 最优消费问题（续前页） 此处e为第i个分量为1其他分量为0的n维向量。上式写成矩阵i形式即为： ∂x⎡⎤⎢⎥∇U−p∂pλe⎡⎤⎡⎤xxii⎢⎥= ⎢T⎥⎢⎥−p0λx⎢⎥⎣⎦⎣i⎦⎢⎥∂p⎣i⎦∇U−p⎡⎤xx设H:=，考虑H为非奇异的情况，上式转换形式后为，⎢T⎥−p0⎣⎦∂x⎡⎤⎢⎥∂p⎡0e⎤⎛⎞⎛⎞i−1i−1−1⎢⎥=Hx+λ=xHeλHe ()⎢⎥i⎜⎟⎜⎟in+1i∂λ1⎢⎥0⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎢⎥∂p⎣i⎦（接后页） §2 灵敏性分析及其应用12
例 最优消费问题（续前页） 此时中得e为第i个分量为1其他分量为0的n+1维单位向i量，同样的分析可以得到最优解及相应的Lagrange系数对y的变化率如下， ∂x⎡⎤⎢⎥∂y−1⎢⎥=−He () n+1∂λ⎢⎥⎢⎥∂y⎣⎦结合()和()，可得， ∂x⎡⎤∂x⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂p∂yi−1⎢⎥⎢⎥=λHe−x ii∂λ∂λ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂p∂y⎣⎦⎣i⎦§2 灵敏性分析及其应用13（接后页）
例 最优消费问题（续前页） 注意到H的逆矩阵可以表示为，HH"H⎡⎤1121n1⎢⎥*HHHH−1*1222n2⎢⎥H=,H=，H为H的行列式，代H⎢#%⎥⎢⎥HHH⎣1n2nn⎦数余子式H为H的第j行第i列的元素，则上式隐含了，ij∂x(p,y)∂x(p,y)j=S(p,y)−x(p,y) () jiiiHij其中S(p,y)=λ(p,y)。 jiH（接后页） §2 灵敏性分析及其应用14
例 最优消费问题（续前页） () 称为Hicks-Slutsky方程，方程等号右边第一项S被称为替代项、表示当实质收入不变ji时第i个商品价格变化对第j个商品消费量的影响，表示为替代效应。右边第二项表示由第i个商品价格变化带来的实质收入的变化所引起的第j个商品消费量的变化，称为收入效应。二者之和为等号左边所表示的第i个商品价格对第j个商品消费量的影响。以上的结论源于Hicks和Samuelson的古典分析。 §2 灵敏性分析及其应用15
§ 包络定理§2 灵敏性分析及其应用16
【定理】（包络定理）考虑前节的含参数最优化问题(NLP-5)。一般地，称以下函数为值函数， Φ(α)=inff(x,α)g(x,α)≤0, i=1,…,m {}i【定理】（包络定理）: * 设定理的所有前提条件被满足。此时在α的某一领域Ω，下式成立： ∇Φ(α)=∇L(x(α),λ(α),α)αm () =∇f(x(α),α)+λ∇g(x(α),α)∑iαii=1式中x(α),λ(α)为问题(NLP-5)的局部最优解和相对应的Lagrange系数，∇表示对该函数的α变量的偏导数。 α§2 灵敏性分析及其应用17
【定理】考虑 (NLP-5*)： min:f(x) .:g(x)≤α, i=1,…,m ii 对此问题容易导出以下一阶和二阶的结论： 【定理】 对含参变量最优化问题(NLP-5*)设定理的所有前提条件被满足。 *此时在α的某一领域Ω，下式成立： ∇Φ(α)=−λ(α) 2∇Φ(α)=−∇λ(α) §2 灵敏性分析及其应用18
例 最优消费问题在例中的最优化问题的值函数为： TV(p,y)=maxU(x)px≤y {}在经济学中它也称为间接效用函数，同时如前所述，例中最大化消费效用问题的最优解x(p,y)称为Marshall需求函数。 另一方面如序中所述，若考虑给定一效用水平v我们可以从另一侧面考察最优消费问题如下， T(CP2) min:px .:U(x)≥v （接后页） §2 灵敏性分析及其应用19
例 最优消费问题（续前页） h此问题的最优解称为Hicks需求函数，记为x(p,v)，同时设该问题的值函数为： TE(p,v)=minpxU(x)≥v {}该函数称为支出函数。在上述最优化问题的最优解存在时，容易证明以下关系： hx(p,y)=x(p,V(p,y) iihx(p,v)=x(p,E(p,v) () iiE(p,V(p,y)=y V(p,E(p,v)=v （接后页） §2 灵敏性分析及其应用20
例 最优消费问题（续前页） 同时，用包络线定理，我们可以导出支出函数与Hicks需求函数的关系。 设(CP2)的Lagrange函数为TL(x,λ,p,v)=px+λ(v−U(x))，由包络线定理可知，在*参数(p,v)下，若最优解为x则 i**∂E(p,v)∂L(x,λ,p,v)*==x i∂ii*h根据定义，此处的x即x(p,v)。 ii同样可以分析间接效用函数和Marshall需求函数的关系。此处略。 （接后页） §2 灵敏性分析及其应用21
例 最优消费问题（续前页） * 现在，我们从以上分析中推导Hicks-Slutsky方程。设u为参数(p,y)下的(CP1)的最优值。对方程()的两边求pj的导数，有 h****∂x(p,u)∂x(p,E(p,u)∂x(p,E(p,u)∂E(p,u)iii=+ ()∂∂yjjj同时注意到 *E(p,u)=E(p,V(p,y)=y， *∂E(p,u)h*h=x(p,u)=x(p,V(p,y)=x(p,y) jjj∂pj（接后页） §2 灵敏性分析及其应用22
例 最优消费问题（续前页） 把此二式代入()，即有 h*∂x(p,y)∂x(p,u)∂x(p,y)iii=−x(p,y) jpjj此式的含义与()式相同，表示某一消费品的价格变化对其他消费品的消费量的影响可分解为替代效应和收入效应。其中替代效应可以用Hicks需求函数的边际量来表示。 §2 灵敏性分析及其应用23
